bÖlÜm ix laplace dÖnÜŞÜmÜ · devre teorisi ders notu dr. nurettin acir ve dr. engin cemal...

Devre Teorisi Ders Notu Dr. Nurettin ACIR ve Dr. Engin Cemal MENGÜÇ

1

BÖLÜM IX

LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ

Laplace tekniği lineer, toplu-parametreli devrelerde kullanılan güçlü bir

analiz tekniğidir. Laplace dönüşümü, birden fazla düğüm-voltaj veya göz-

akım diferansiyel denklemlerinin ihtiyaç duyulduğu devrelerin geçici

cevabının incelenmesinde kullanılabilir.

Ayrıca Laplace dönüşümü; integrodiferansiyel denklemler takımına, zaman

domeninden frekans domenine cebrik denklemler olarak geçiş imkanı da

sağlar.

0( ) { ( )} ( ) stF s L f t f t e dt

(9.1)


2

Devre uygulamalarında Laplace, ele alınan problemi zaman domeninden

frekans domenine taşır.

Lineer devrelerin analizinde Laplace dönüşümü alınabilen kaynaklar

kullanılır. tt veya 2te gibi Laplace dönüşümü olmayan fonksiyonlar

kaynak olarak kullanılmaz.

Eşitlik (1)’de alt sınır 0 olduğundan, Laplace t ’nin negatif değerlerini

ihmal eder. ( )F s ile devrenin sadece t ’nin pozitif değerleri ile davranışına

bakılır. Bu sebeple burada kullandığımız Laplace tek taraflı (one sided)

veya (unilateral) Laplace dönüşümüdür. İki taraflı (two sided) veya


3

bilateral Laplace’da alt sınır ’dır. Burada ( )F s dediğimizde tek taraflı

Laplace olduğu anlaşılmalıdır.

Orijinde bir süreksizlik varsa, alt sınır bu durumda (0) veya (0)

alınmalıdır.

Orijinde bir darbe fonksiyonu ( ( )t ) yoksa 0’den 0’ya integral sıfırdır.

( )f t

0

1.0

t

ate-

( )f t

0

1.0

t

, 0ate t- >

0, 0t <

Şekil 9.1: a) Orijinde sürekli b) Orijinde süreksiz


4

Fonksiyonel dönüşüm: sin( ), , atwt t e gibi fonksiyonların dönüşümünü

ifade eder.

İşlemsel dönüşüm: Matematiksel işlemlerin dönüşümünü ( ( )f t t ’nin

dönüşümü gibi) ifade eder.


5

9.1 Basamak Fonksiyonu

Şekil 9.2: Basamak Fonksiyonu

( ) 0, 0Ku t t

( ) , 0Ku t K t

( )u t , birim basamak fonksiyonu (unit step response).

( )f t

0 t

K


6

Basamak cevabı 0t ’da tanımlı değildir. Eğer 0 ile 0 arasında bir geçiş

tanımlanması gerektiği durum olursa; bu geçiş lineer kabul edilerek;

(0) 0.5Ku K olarak alınabilir.

( )f t

0- t

K

0+

Şekil 9.3: Basamak fonksiyonuna lineer yaklaşım


7

( )f t

0 t

K

a( 0)a>

( )f t

0 t

K

a( 0)a>

( ) 0,Ku t a t a ( ) 0,Ku a t t a

( ) ,Ku t a K t a ( ) ,Ku a t K t a


8

Örnek:

( )f t

0 ( )t s

2

2-

1 23 4

( ) 2 [ ( ) ( 1)] ( 2 4)[ ( 1) ( 3)] (2 8)[ ( 3) ( 4)]f t t u t u t t u t u t t u t u t


9

( )f t

0 ( )t s

10

0.51.5

( ) 10sin( )[ ( ) ( 2)]f t t u t u t


10

( )f t

0 ( )t s

20

5

( ) 4 [ ( ) ( 5)]f t t u t u t


11

9.2 Dürtü (Darbe) Fonksiyonu (Impulse Function)

Örneğin bir fonksiyonda aşağıdaki gibi sonlu bir süreksizlik mevcut olsun.

( )f t

0 t

Şekilden görüldüğü üzere ( )f t fonksiyonu 0t ’da süreksizdir ve bu

fonksiyonun süreksizlik noktasında yani 0t ’da türevi tanımlanamaz.


12

Dürtü fonksiyonu kabulü, bir süreksizlik noktasında türevi

tanımlamamıza yardımcı olur. Bu sayede, bir fonksiyonun süreksizlik

noktası olsa da Laplace’ı tanımlanabilir. Hatta fonksiyonun yüksek dereceden

türevleri dahi tanımlanabilir. Bu sebeple dürtü fonksiyonu ( ( )t ) devre

analizinde kullanışlı bir kavramdır.

Bir süreksizlikte türevi tanımlamak için, öncelikle fonksiyonun süreksizlik

noktasında lineer değiştiği kabul edilir.


13

Şekil 9.4: ile arasındaki lineer geçişin olduğu durum

Şekil 9.4’den görüleceği üzere, 0 durumunda ani süreksizlik meydana

gelir. Fonksiyonun ile arasında türevi alındığında sonuç 12

çıkar.


14

t için ' ( ) 0f t ’dır.

t için ' ( )( ) a tf t ae ’dur.

sıfıra yaklaştıkça, ' ( )f t , arasında sonsuza yaklaşır.


15

Öte yandan, ' ( )f t ’nin arasında kalan alanı, 0 , sabit kalır ve bu

alan birim alandır, 1’dir. Bu “birim dürtü veya darbe fonksiyonu (unit

impulse function)” olarak adlandırılır ve dürtü fonksiyonu ( )t ile

gösterilir.

Kısaca 0 ’a giderken ' (0) ( )f t olur.

Ayrıca dürtü cevabına, “Dirac Delta Fonksiyonu” da denir.

Özetleyecek olur isek; değişken parametreli bir fonksiyonun parametresi sıfıra

yaklaşırken bir dürtü fonksiyonu üretebilmesi için aşağıdaki 3 özelliği

sağlaması gerekir.

Fonksiyonun genliği sonsuza yaklaşacak.


16

Fonksiyonun aralığı sıfıra yaklaşacak.

Fonksiyonun altında kalan alan parametre değiştikçe sabit kalacak.

Böyle bir fonksiyona örnek ( )2

tKf t e

fonksiyonu verilebilir. Bu

fonksiyon dürtü fonksiyonu üretir.


17

Matematiksel olarak dürtü fonksiyonu:

( )K t dt K

( ) 0, 0t t

ile tanımlanır. Yukarıda tanımlanan integral dürtü fonksiyonun altında kalan

alanın sabit olduğunu gösterir. Bu alan dürtünün gücünü temsil eder.

( ) 0, 0t t durumu ise dürtünün 0t ’ın harici her yerde sıfır olduğunu

belirtir. t a ’da oluşan bir dürtü ise ( )K t a ile belirtilir. Dürtü fonksiyonu

için kullanılan grafiksel sembol oktur.


18

( )f t

0 ta

( )K t ad -( )K td

Dürtü fonksiyonun en önemli özelliği:

( ) ( ) ( )f t t a dt f a

ile ifade edilen eleme (sifting) özelliğidir. Burada, ( )f t fonksiyonu a ’da

sürekli kabul edilir ve bu nokta dürtünün yeridir. Görüldüğü üzere dürtü

fonksiyonun t a dışında tüm zamanda ( )f t ’nin değerlerini elemektedir.


19

Dürtü fonksiyonun Laplace’ı:

0 0{ ( )} ( ) (0) 1stL t t e dt dt

{ ( )} 1L t

Dürtü fonksiyonun türevinin Laplace’ı: '{ ( )}L t s ( ){ ( )}n nL t s (n’inci dereceden türevin Laplace’ı)

Not: Basamak fonksiyonun türevi dürtü fonksiyonunu verir. ( )( ) du ttdt


20

Birim Basamak fonksiyonun Laplace’ı:

0 00

1 1 1{ ( )} ( ) (1) [0 ( )]st st stL u t f t e dt e dt es s s

1{ ( )}L u ts

ate fonksiyonun Laplace’ı:

( ) ( )

0 00

1 1 1{ } [0 ( )]at at st a s t a s tL e e e dt e dt es a s a s a

1{ }atL es a


21

Sinüs fonksiyonun Laplace’ı:

0{ in } (sin ) stL s wt wt e dt

0 2

jwt jwtste e e dt

j

( ) ( )

0 2

s jwt s jwte e dtj

2 2

1 1 12

wj s jw s jw s w

2 2{sin } wL wts w


22

Fonksiyonel Dönüşümler

( ),( 0 )f t t Fonksiyon ( )F s ( )t darbe (dürtü) 1 ( )u t basamak 1 s

t rampa 21 s ate exponansiyel 1 ( )s a

sin wt sinüs 2 2( )w s w cos wt kosinüs 2 2( )s s w

atte sönümlü rampa 21

( )s a

sinate wt sönümlü sinüs 2 2( )w

s a w

cosate wt sönümlü kosinüs 2 2( )s a

s a w


23

Lineerlik özelliği:

Sabitle Çarpım:

{ ( )} ( ) { ( )} ( )L f t F s L Kf t KF s (K sabit)

Toplama (Çıkarıma):

1 1{ ( )} ( )L f t F s

2 2{ ( )} ( )L f t F s

3 3{ ( )} ( )L f t F s

Böylece;

1 2 3 1 2 3{ ( ) ( ) ( )} ( ) ( ) ( )L f t f t f t F s F s F s

Not: Yukarıda verilen bu iki özellik lineerlik sağlar.


24

Türev:

( ) ( ) (0 )df tL sF s fdt

İspat:

0

( ) ( ) stdf t df tL e dtdt dt

stu e , ( )df tdvdt

(0

uv vdu

yöntemini kullanacak olursak)

0 0

( ) ( ) ( )( )st stdf tL e f t f t se dtdt


25

0

( )

(0 ) ( ) st

F s

f s f t e dt

( ) ( ) (0 )df tL sF s fdt

olarak elde edilir.

Not: Bu özellik sayesinde zaman domeninde tanımlan bir diferansiyel

denklem, s-domeninde cebrik bir ifadeye dönüşmüştür. Buda bize önemli

bir işlem kolaylığı sağlar.

( )f t fonksiyonunun ikinci dereceden türevi bulunacak olur ise;

Öncelikle ( )( ) df tg tdt

olarak tanımlanır.

( ) ( ) (0 )G s sF s f


26

2 2

2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 )dg t d f t dg t d f tL L sG s gdt dt dt dt

22

2

( ) (0 )( ) (0 )d f t dfL s F s sfdt dt

olarak elde edilir.

Böylece bir ( )f t fonksiyonun n’inci dereceden türevi aşağıdaki gibi

genelleştirilir. 2 1

1 2 32 1

( ) (0 ) (0 ) (0 )( ) (0) ...n n

n n n nn n

d f t df d f d fL s F s s f s sdt dt dt dt


27

İntegral:

0

( )( )t F sL f x dx

s

İspat:

0 0 0( ) ( )

t t stL f x dx f x dx e dt

0( ) ( )

tu f x dx du f t dt

stst edv e dt v

s

0 0( )

tL f x dx uv vdu


28

0 00( ) ( )

st stte ef x dx f t dts s

10 ( )F ss

0

( )( )t F sL f x dx

s


29

Zaman domeninde öteleme:

Zaman domeninde öteleme, frekans domeninde bir eksponansiyel ile

çarpıma denk düşer.

( ) ( ) ( ), 0asL f t a u t a e F s a

Örnek: 2

1L ts

2( ) ( )aseL t a u t a

s

0

( ) ( ) ( ) ( ) stL f t a u t a u t a f t a e dt

( ) st

ax

f t a e dt


30

t a x dx dt t a ’da 0x dolayısıyla;

( )

0( ) ( ) ( ) s x aL f t a u t a f x e dx

0( )sa sxe f x e dx

( ) ( ) ( )asL f t a u t a e F s


31

Frekans domeninde öteleme:

Frekans domeninde öteleme, zaman domeninde bir eksponansiyel ile

çarpımına denk düşer.

( ) ( )atL e f t F s a

İspat:

( )

0 0( ) ( )at st s a te f t e dt f t e

( ) ( )F F s a

Örnek: 2 2cos sL wts w


32

2 2cos( )

at s aL e wts a w

Ölçeklendirme (Scaling):

1( ) , 0sL f at F aa a

İspat:

0( ) st

x

f at e dt

dxat x dx adt dta

0 0t x dolayısıyla;


33

0 0

1( ) ( ) ( )x xs sa adxL f at f x e f x e dx

a a

1 1( ) sF Fa a a


34

İşlemsel Dönüşümler

( )f t ( )F s( )Kf t ( )KF s

1 2 3( ) ( ) ( )...f t f t f t 1 2 3( ) ( ) ( )...F s F s F s ( )df t dt ( ) (0 )sF s f

2 2( )d f t dt 2 ( ) (0 ) (0 )s F s sf df dt ( )n nd f t dt 1 1 1( ) (0 )... (0 )n n n ns F s s f d f dt

0( )

tf x dx ( )F s s

( ) ( ), 0f t a u t a a ( )ase F s ( )ate f t ( )F s a

( )tf t ( )dF s ds ( )nt f t ( 1) ( )n n nd F s ds

( )f tt

( )s

F u du


35

Örnek:

dcI( )V t

Şekildeki devrede ( )V t ’yi 0t için bulunuz (Not: Başlangıç koşulları 0

alınmaktadır.)

0

( ) 1 ( )( ) ( )t

dcV t dV tV d C I u t

R L dt

0

( ) 1 ( ) 1[ ( ) (0 )] ( )dcV s V s C sV s V I

R L s s


36

1 1( ) dcI CV s sCR sL s

2( ) 1 1

dcIV ss s

RC LC

Not: ( )V t ifadesini bulabilmek için 1( ) ( )V t L V s işleminin yapılması

gerekir.


37

9.3 Ters Laplace Dönüşümü

Lineer, toplu-devrelerde, zamanla değişmez devrelerde bilinmeyen voltaj veya

akımın s-domenindeki ifadesinde fonksiyon her zaman s’in rasyonel

fonksiyonudur. 1

1 1 01

1 1 0

...( )( )( ) ...

n nn n

m mm m

a s a s a s aN sF sD s b s a s b s b

, , ,a b m n

m n düzgün rasyonel (proper rational)

m n düzgün olmayan rasyonel (improper rational)


38

Sadece düzgün rasyoneller kısmi çarpanlara ayrılabilir. Düzgün

olmayanlar, bölmeden sonra düzgünleştirilip ondan sonra kısmı çarpanlara

ayrılırlar.

Kısmi Çarpanlara Ayırma;

2

6( 3)( 1)

ss s s

, Paydanın 4 kökü vardır ve her biri ayrıdır.

31 2 42 2

6( 3)( 1) ( 3) ( 1) ( 1)

Ks K K Ks s s s s s s

1 31 2 3 42

6 ( )( 3)( 1)

t t tsL K K e K te K e u ts s s

Burada K katsayısının hesaplanmasında;


39

i. Reel ve ayrı kökler (D(s)’in)

ii. Kompleks ve ayrı kökler (D(s)’in)

iii. Reel/kompleks tekrarlı kökler (D(s)’in)

başlıkları altında belirlenir.


40

i) Reel ve ayrı kökler (D(s)’in)

31 296( 5)( 12)( )( 8)( 6) 8 6

Ks s K KF ss s s s s s

Her iki tarafı da s ile çarparsak;

31 21

0 00

96( 5)( 12) (96)(5)(12) 120( 8)( 6) 8 6 (8)(6)s ss

K ss s s K s K s Ks s s s s s

31 2

8 88 8

( 8)96( 5)( 12)( 8) ( 8) ( 8)( 8)( 6) 8 ( 6)( 8)s ss s

K ss s s K s K ss s s s s s s

2(96)( 3)(4) 72

( 8)( 2)K


41

31 2

6 66 6

( 6)96( 5)( 12)( 6) ( 6) ( 6)( 8)( 6) 8 ( 6)s ss s

K ss s s K s K ss s s s s s

3 48K

96( 5)( 12) 120 48 72( 8)( 6) 6 8s s

s s s s s s

5s veya 12s için sonuç 0 çıkar ve doğrulama yapılmış olur.

1 6 896( 5)( 12) (120 48 72 ) ( )( 8)( 6)

t ts sL e e u ts s s


42

ii) Kompleks ve Ayrı Kökler (D(s)’in):

2

100( 3)( )( 6)( 6 25)

sF ss s s

2 6 25 ( 3 4)( 3 4)s s s j s j

1 2 42

100( 3)( 6)( 6 25) 6 3 4 3 4

s K K Ks s s s s j s j

1 26

100( 3) 126 25 s

sKs s

23 4

100( 3) 100( 4)( 6)( 3 4) (3 4)( 8)s j

s jKs s j j j


43

33 4

100( 3) 100( 4)( 6)( 3 4) (3 4)( 8)s j

s jKs s j j j

2

100 12 10 53.13 10 53.13( 6)( 6 25) 6 3 4 3 4s s s s s j s j

1 6 53.13 (3 4) 53.13 (3 4)2

100 ( 12 10 10 ) ( )( 6)( 6 25)

t j j j jL e e e e e u ts s s

53.13 (3 4) 53.13 (3 4) 3 (4 53.13 ) (4 53.13 )10 10 (10 ( )j j j j t j t j te e e e e e e 320 cos(4 53.13 )te t

1 6 32

100 [ 12 20 cos(4 53.13 )] ( )( 6)( 6 25)

t tL e e t u ts s s


44

iii) Reel/Kompleks Tekrarlı Kökler (D(s)’in):

31 2 42 2

180( 30)( 5)( 3) 5 ( 3) 3

Ks K K Ks s s s s s s

1 20

180( 30) 120( 5)( 3) s

sKs s

2 25

180( 30) 225( 3) s

sKs s

2 21 2

3 3 4 33 3 3

180( 30) ( 3) ( 3) ( 3)( 5) 5 s

s s s

s K s K sK K K ss s s s

810

4K için her iki tarafı 2( 3)s ile çarp ve s ’e göre her iki tarafın türevini al.


45

2 21 2

3 33 3 3

4 3

180( 30) ( 3) ( 3)( 5) 5

( 3)

ss s s

s

d s d K s d K s d Kds s s ds s ds s ds

d K sds

42 23

( 5) ( 30)(2 5)180( 5) s

s s s s Ks s

4 105K

2 2

180( 30) 120 225 810 105( 5)( 3) 5 ( 3) 3

ss s s s s s s

1 5 3 32

180( 30) (120 225 810 105 ) ( )( 5)( 3)

t t tsL e te e u ts s s


46

Kompleks köklerde de yol aynıdır.

Katlı kökün derecesinden 1 eksiğe kadar türev alınarak kökler bulunur.

( ) ( 1)ns n türevle belirlenir.


47

Düzgün Olmayan Rasyonel Fonksiyonlar:

n m (yani payın derecesi daha büyük) 4 3 2

2

13 66 200 300( )9 20

s s s sF ss s

Burada pay paydaya düzgün rasyonel bir fonksiyon elde edilene kadar bölünür.

22

30 100( ) ( 4 10)9 20

sF s s ss s

2

30 100 30 100 20 509 20 ( 4)( 5) 4 5

s ss s s s s s

2 20 50( ) 4 104 5

F s s ss s


48

24 5

2( ) 4 10 (20 50 ) ( )t td df t e e u tdt dt

F(s)’in Kutupları ve Sıfırları:

1 2

1 2

( )( )...( )( )( )( )...( )

n

m

K s z s z s zF ss p s p s p

n

m

aKb

1 2, ,..., nz z z , payın kökler yeni F(s)’in sıfırları. Bu değerlerde ( ) 0F s .

1 2, ,..., ,mp p p paydanın kökleri yani F(s)’in kutupları. Bu değerlerde

( )F s .


49

Sıfırların ve kutupların s-düzleminde yerleştirilmesi bazen uygundur ve sonlu

s-düzleminde çalışılır. Çünkü F(s) sonsuzda r’inci (r n m ) derece sıfır veya

kutuplara sahip olabilir.


50

Örnek: 4( 5)( 10)( )( 1)( 2)( 3)( 4)

s sF ss s s s

Sonsuzda 2’inci dereceden sıfırı vardır, çünkü büyük s değerleri için fonksiyon 24 s ’ye dönüşür ve s , ( ) 0F s olur. Bu sebeple biz sonlu sıfır ve

kutupların olduğu durumda s-düzleminde çalışıyoruz.


51

Örnek: 10( 5)( 3 4)( 3 4)( )( 10)( 6 8)( 6 8)

s s j s jF ss s s j s j

fonksiyonun sıfır-kutup çizimi

(s plane);

Im

Re05-10-

3 4j- +

3 4j- -

6 8j- -

6 8j- +


52

İlk (initial) ve Son (final) Değer Teoremleri:

İlk ve son değer teoremleri bize ( )F s ’den devrenin ( )f t ’deki (0 ve ’da)

davranışı hakkında bilgi verir. Yani ters Laplace olmadan ilk ve son değere (

( )f t ’de) ( )F s ’ten bakabiliriz.

İlk değer teoremi (initial value theorem);

0lim ( ) lim ( )

stf t sF s

Son değer teoremi (final value theorem);

0lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

İlk değer teoreminde ( )f t ’nin darbe (dürtü) fonksiyonu içermediği kabul

edilir.


53

Son değer teoremi, ( )F s ’in kutuplarının (orijindeki 1’inci dereceden kutup

hariç) s-düzleminin sol tarafında yer aldığı durumda geçerlidir.

İlk Değer Teoreminin İspatı:

0( ) (0 ) stdf dfL sF s f e dt

dt dt

0lim[ ( ) (0 )] lim st

s s

dfsF s f e dtdt

0

0 0lim st st

s

df dfe dt e dtdt dt

s , 0dfdt

, böylece ikinci integral iptal olur. Böylece birinci integral

(0 ) (0 )f f olur (s’den bağımsız).


54

0lim (0 ) (0 )st

s

df e dt f fdt

(0 )f ’dan bağımsız olduğundan;

(0 )

lim[ (0 ) (0 )] lim[ ( ) (0 )]s s

f

f f sF s f

0lim ( ) lim ( )s t

sF s f t

Son Değer Teoreminin İspatı:

0 00 0lim[ ( ) (0 )] lim st

s s

df dfsF s f e dt dtdt dt

0 0lim

t

t

df dfdt dydt dy


55

lim[ ( ) (0 )] lim[ ( )] (0 )t t

sF s f f t f

0lim[ ( )] (0 ) lim[ ( )] (0 )s t

sF s f f t f

0lim[ ( )] lim[ ( )]s t

sF s f t

Son değer teoremi ( )f var ise geçerlidir. Bu da ( )F s bütün kutupları

(orijindeki tek kutup hariç) s-düzleminin sol tarafında ise doğrudur.


56

Kaynak

J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall.

bÖlÜm ix laplace dÖnÜŞÜmÜ · devre teorisi ders notu dr. nurettin acir ve dr. engin cemal...

Documents