2. fourier dÖnÜŞÜmÜ

Upload: zekeriya-akbaba

Post on 04-Apr-2018

233 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    1/62

    BLM II

    2. FOURIER DNM

    2.1 Giri

    Yer kremizde gzlenen jeofizik olaylar zamana yada uzakl a bal olarak geliir.

    Gzlenen jeofizik olay zaman n bir fonksiyonu ise zaman ortam (Time Domain),uzunluun bir fonksiyonu iseuzakl k ortam (Space Domain) szkonusudur.ayet olayfrekansa bal olarak gzlenmi, yani frekans n bir fonksiyonu ise frekans ortam (Frequency Domain)ndan sz edilir.

    Herhangi bir ortamda kaydedilmi jeofizik sinyaldeki bilgilerin tamam n bu ortamda a k

    seik grp, ileyip sonular deerlendirmek kolay hatta olanakl olmayabilir. Bu gibi

    durumlarda veri gzlendii ortamdan baka bir ortama aktar larak incelenip irdelendikten

    sonra bir sonuca var l r. Gerekir ise ikinci bir aktarma ile verinin gzlendii ilk ortama geridnlebilir. rnein; zaman ortam nda kaydedilmi bir sismik sinyal frekans ortam na

    aktar larak istenmeyen bileenleri ay kland ktan sonra tekrar zaman ortam na geri

    dnlebilir. Frekans ortam nda yap lan bu ay klama ilemi zaman ortam nda yap lmak

    istenseydi bir tak m sorunlarla kar la labilinirdi. Bunun gibi, herhangi bir ortamda

    gzlenmi bir sinyalin baka bir ortama aktar lmas na dnm ve aktarma tekniklerine dednm yntemleri denir. Fourier, Laplace, Hankel, Hilbert, Z dnm gibi eitli

    dnm yntemleri gelitirilmitir.

    ortam ve dnm kavramlar n n daha iyi anla lmas iin frekans zmlemesiyapan k prizmas n n gzden geirilmesi daha yararl olacakt r (ekil 2.1). Beyaz n

    optik prizmaya verildii tarafa A, farkl frekansta yedi ayr renk eklindeki bileenlerinin

    elde edildii tarafa da B diyelim. Tersine, prizman n B taraf ndan bu yedi renk verilirse A

    taraf ndan beyaz k elde edileceini biliyoruz. Burada gerek A blgesi gerekse B blgesi

    ayn bilgiyi tan mlamakta ancak olaya bak a s farkl d r.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    2/62

    8

    Yukar daki rnekte, sadece beyaz n incelenmesi, kaynak hakk nda hi bir bilgi

    vermeyebilir. Buna kar l k prizmadan geirilip ayr t r larak farkl frekanstaki bileenleri

    dier bir deyile spektrumu elde edilirse, bileenlerinin dalga boyu veya frekanslar ,

    miktarlar ve birbirlerine oranlar incelenerek beyaz veren kayna n bileimi, s s veonu meydana getiren malzemenin yap s hakk nda ok ayr nt l bilgiler elde edilebilir.

    Bunun gibi, zaman serilerinin zaman veya g spektrumlar n n incelenmesi onun yap s

    veya orijini hak nda nemli bilgiler verebilir. Dier yollarla bu bilgilerin salanmas

    olanakl olmayabilir.

    ekil 2.1 Beyaz n optik spektrumu Logaritma ilemi asl nda bir dm ileminden baka bir ey deildir. rnein, arpma

    ilemini yapmak iin arpanlar nceLog ortam na dntrlr. Hesaplamalar buortamda yap l r (Bilindii gibi, arpma ilemi Log ortam nda toplama ilemine dnr).Daha sonra ters dnm ilemi (Anti Logaritmik Ortam) ile orijinal ortama dnlr (ekil

    2.2).

    Orjinal Ortamr- Ortam

    f(r)'yiieren ortam

    r- Ortam ndaProbleminzm

    UygunDn m

    lemi

    TersDn m

    lemi

    FonksiyonF(s) olur.

    s- Ortam ndazm

    maj Oram s- Ortam

    ekil 2.2 Logaritmik dnm ak emas

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    3/62

    9

    rnein;

    (3 )

    6561

    8 Log 3

    3.816970038

    8

    Dnm yntemleri veri ilemciye byk kolayl klar salar. Dnm ileminde; verinin

    zellikleri deitirilmeden zaman ortam ndan frekans ortam na veya uzakl k ortam ndan

    dalga say s ortam gibi baka bir ortama geilmektedir. Iyi bir dnm ynteminin geri

    dnm de olmal d r (ekil 2.3). rnein; zaman ortam ndan frekans ortam na geilmi

    ise, frekans ortam ndan tekrar zaman ortam na dnlebilmelidir.

    X ORTAMI Y ORTAMI ekil 2.3 Iyi bir dnm yntemi ift ynl olmal d r.

    2.1.1 Spektrum Kavram

    Zaman ortam nda gzlenmi verilerin frekans ortam na aktar lmas ile elde edilen verilere

    spektrum ad verilir. Zaman ortam ndaki enerji veya genlik gibi byklklerin frekans

    ortam nda, frekans veya dalga say s gibi parametrelere gre deiimini belirtmek iinkullan l r. Matematik olarak, f(t)eklinde gsterilen bir sinyalin spektrumu F( ) ile

    verilir. Buradaki a sal frekanst r. Spektrumu ifade eden F( ) fonksiyonu karma k

    (complex) olup aa daki ikiekilden birisi ile gsterilebilir (Al Sadi, 1980, s. 107).

    1) Gerel ve sanal k s mlar n toplam olarak

    )()()( iba F =

    2) Gerel ve sanal k s mlar n arp m eklinde( ) ( ) ie F F .)( =

    Burada;( ) ( ) ( )[ ]2122 / ba F +=

    ( ) ( )( )

    n

    ab 21 += tan n = 0, 1, 2, ...

    olup ( ) F modlgenlik, ( ) argman ise faz spektrumu olarak adland r l r.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    4/62

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    5/62

    11

    ok geni bir uygulama alan n n oluu ve eitli konulardaki bir ok problemin zmnde

    kullan lmakta olmas nedeniyle Fourier dnm zerinde olduka ayr nt l biimde

    durulacakt r. Bu dnm, genlik ve faz deerleri gibi iki nemli fiziksel byklkten

    oluup karma k bir say ile ifade edilir.

    2.2.1 Fourier Kuram

    Frans z matematikisi Joseph Fourierin 1807de ortaya koyduu ve kendi ad yla bilinen

    Fourier kuram na gre, baz kuullar salayan herhangi bir f(t) fonksiyonu sonsuz say da

    trigonometrik fonksiyonlar n toplam olarak gsterilebilir (ekil 2.5). Fourier kuram baz

    kuullarda geerlidir. Drichlet kuullar olarak bilinen bu k s tlamalar aa dazetlenmitir (Drichlet 1829).

    1- f(t) fonksiyonu peryodiktir. Yani f(t) = f(t+nT) olup buradaki T peryod ve n = 0,1,

    2, ... dir. f(t) fonksiyonu peryodik deil fakat s n rl bir aral kta tan mlanm ise,

    sonsuz say daki sinsoidal deiimlerin toplam belirlenen aral kta yine f(t)ye

    yaklamal d r. Bu aral n d nda, toplam f(t)nin tekrarlar n gsterecektir.

    ekil 2.5 Herhangi bir fonksiyon belirliartlarda sonsuz say da sinsoidin toplam toplam eklinde gsterilebilir.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    6/62

    12

    2- f(t) fonksiyonu srekli, en az ndan belirli aral klarda srekli olmal ve sreksizliklerin

    say s s n rl olmal d r.

    3- f(t) fonksiyonunun bir peryod iindeki maksimum ve minimum say s sonlu olmal d r.

    4- f(t) fonksiyonu bir peryod aral nda sonlu yani,

    ( )

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    7/62

    13

    ve n faz a s ( )nnn ab /tan = 1

    olarak ifade edilir.

    Fourier katsay lar n bulmak iin (2.1) denkleminin her iki taraf s ras ile 1, t m 0cos ve

    t m 0sin ile arp l p sins ve kosins fonksiyonlar n n,

    ( ) ( ) ( ) ( )sin sin cos cos/

    mt nt dt mt nt dt T

    T

    T

    T

    T

    = =

    2

    2

    2

    2 2 m = n0 m n

    ve

    ( ) ( )sin cosmt nt dt T

    T

    =22

    0 Btn m ve n deerleri iinortogonalite (diklik) zellii gz nne al narak tam bir peryod aral nda integre edilirse

    a an0, ve bn

    dt t f T

    a

    T

    T

    =

    2

    2

    02 )(

    ( )dt t nt f T

    a

    T

    T n 0

    2

    2

    2 cos)(

    =

    ( )

    =2

    2

    02

    T

    T n dt t nt f T

    b sin)( (2.2)

    Fourier katsay lar bulunur. Buradaki m ve n tamsay lard r. Grld gibi a 0 /2 katsay s

    f(t) fonksiyonunun aritmetik ortalamas d r.

    Peryodik bir fonksiyonun Fourier serisi ile gsterilmesi, bu fonksiyonun deiik frekanslardaki sinzoidlerin toplam olarak gstermektir. ( ) n n= 0 frekans ndaki

    sinoidal bileene, seriye a lan fonksiyonun ninci harmonii denilir. Ilk harmoniinfrekans

    00 22

    f T

    == cps (devir/saniye) veya Hz (Hertz)

    olup temel a sal frekans denir. T peryodu ise fonksiyonun peryoduna eittir ve temel

    peryod olarak adland r l r.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    8/62

    14

    Denklem (2.1) ile verilen Fourier serileri, sonsuz say da terim al nd zaman, yani ne

    birden sonsuza kadar deerler verildiinde, ancak f(t) fonksiyonu tam olarak gsterilebilir.

    Sonlu say da terim al n rsa bulunan toplam, f(t) nin bir sreksizlik civar ndaki

    deerlerinden byk deerler gsterir. Bu deerler, genlii sreksizlikten uzaklat ka

    f(t)

    KatlanmaGenli i

    Fourier Serisininlk 3 TerimininToplam

    Fourier Serisininlk 9 TerimininToplam

    t

    ekil 2.6 Testere az fonksiyonunun Fourier serisine a l m nda sonlu say da terimin al nmas GIBSSolay n dourur (Al Sadi, 1980)

    azalan sal n mlar gsterir. Terim say s n n artt r lmas sreksizlikteki hatan n bykln

    azaltmaz fakat f(t)nin srekli k s mlar iin daha iyi bir yakla m salar. Bu ekilde,

    hatalar n sal n mlar gstermesinegibss olay denir (ekil 2.6).

    2.2.3 Tek ve ift Fonksiyonlar n Fourier Serileri

    Fourier serisine a lacak olan f(t) fonksiyonunun ift yani, f(-t) = f(t) veya

    =2

    2

    2

    2

    2T

    T

    T

    T

    dt t f dt t f )(.)(

    olmas halinde byle bir fonksiyonu Fourier serisi;

    =+=

    1002

    1n

    n t naat f cos)( (2.3)

    olup btn n deerleri iin bn =0 d r.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    9/62

    15

    ayet seriye a lacak fonksiyon tek yani f(-t) = -f(t) veya

    =2

    2

    0T

    T

    dt t f )(

    ise byle bir fonksiyonun Fourier serisi

    ==

    10

    nn t nbt f sin)( (2.4)

    olup btn n deerleri iin an = 0 ve a0 = 0d r.

    ift fonksiyonlar n Fourier serisine a l m nda yaln zca kosinsl terimler olduundan

    denklem (2.3) ile verilen a l ma kosins serisi denilir. Tek fonksiyonlar n a l m ndayaln zca sinsl terimler bulunduundan (2.4) a l m na sins serisi denilir.

    2.3 Fourier Serilerinin Karma k (complex)ekli

    Fourier serilerinde trigonometrik fonksiyonlar yerine karma k (kompleks) ifadeler

    kullan larak seri ile ilgili hesaplar basitletirilebilir. Denklem (2.1) ile verilen seride

    trigonometrik ifadeler yerine Euler forml ile verilen

    ( ) 200

    0

    t int in eet n

    +=cos

    ( )iee

    t nt int in

    2

    00

    0

    =sin

    stel kar l klar konularak (2.1) denklemi aa daki

    =

    +++=1

    0

    222

    0000

    n

    t int in

    n

    t int in

    n iee

    bee

    aa

    t f

    )(

    eklinde yaz labilir. Burada 1/i = -i ve i = (-1)1/2 olduu dikkate al narak yeni bir

    dzenleme ile yukar daki denklem

    ( ) ( )

    =

    +++=1

    0 00

    222 nt innnt innn e

    ibae

    ibaat f )( (2.5)

    eklinde yaz l r. Burada

    20

    0a

    C =

    n 0 iin

    ( )nnn ibac = 21

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    10/62

    16

    ve n 0 iin

    ( )c a ibn n n = +12

    konularak,( ) [ ]

    =

    ++=

    10

    n

    t inn

    t inn ececct f

    (2.6)

    karma k Fourier serisi elde edilir. Son olarak yukar daki (2.6) denklemi aa daki ekilde

    ( )

    =++=

    1

    10

    t inn

    n

    t inn ececct f

    yaz larak, karma k Fourier serisi

    ==

    n

    t inn ect f

    )( (2.7)

    eklinde elde edilir. Bu ifade aa daki ekilde de yaz labilir (bir ok yay nda bu ifadekullan l r).

    ( ) ( )

    =++=

    10

    nnn t ncct f cos (2.8)

    Burada cn cos(nt+n) terimine f(t) fonksiyonununninci harmonii cn katsay s naharmonik genlii ve n a s na iseharmoniin faz a s denir.

    dev: 2.7 veya edeeri olan 2.1 ba nt s ndan 2.8 ba nt s na gei ilemini gsteriniz.

    cn ile an ve bn katsay lar aras ndaki iliki aa daki ekilde elde edilir. (1.6) ba nt lar ndan

    n>0 iin

    2nn

    n

    ibac

    =

    bu ba nt da an ve bn deerlerini koyarsak

    =

    dt nt t f idt nt t f c n 21 21 sin)(cos)(

    [ ]= 12

    f t nt i nt dt ( ) cos sin

    c f t e dt n =12

    ( ) int (2.9)

    ilikisi elde edilir. Benzer ekilde

    ( )

    =+=

    21

    21

    dt et f ibac nnnint

    )( (2.10)

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    11/62

    17

    bulunur. Her ikisini (2.9 ve 2.10) birlikte n=0,1, 2,........ tamsay olmak zere

    ( )

    =

    dt et f cn

    int

    21 (2.11)

    tek forml ile gsterebiliriz.

    Uygulamada gerek olaylar gzlenip llr. Bu bak mdan, jeofizik verilerin ilenip

    problemlerin zmnde kullan lan hesaplamalar gerek byklerle ilgili olduundan

    karma k olarak bulunan sonular gerek byklklere evrilmelidir.

    Eer f(t) bir gerel fonksiyon ise (2.6) denkleminde c-n katsay s , cn in karma k elenii

    (complex conjugate) c*n = c-n dir. Bu durumda (2.7) denkleminn i

    ni

    nnn ececcc === nc ve* (2.12)

    eklinde yaz l r. Burada,

    [ ] 212221

    nnn bac += (2.13)

    )/(tan nnn ab= 1 dir. Bu ba nt lar n=0 d nda btn n deerleri iin dorudur cn katsay s na harmonik

    genlii ve n a s na ise harmonik faz a s denildii daha belirtilmiti. Bu cn Fourier

    katsay

    lar

    n

    n a

    sal frekansya kar

    grafik izimi f(t) fonksiyonunungenlik spektrumu ve ayn ekilde n faz a lar n n izimine ise faz spektrumunu ad verelir. Buspektrumlar n gerel (real) ve sanal (imaginer) bileenlerle ifadesi:

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nmnnnnn

    nennnnn

    c I cciccib

    c Rcciccia

    ca

    22

    2 00

    ====+=+=

    =

    *

    * (2.14)

    olduuda gz nne al narak (2.3) denkleminden kar labilir. Burada R e ve Im

    notasyonlar cn in gerel ve sanal k s mlar n belirtmektedir.

    2.4 Fourier Integrali ve Fourier Dnm

    Buraya kadar olan incelemelerde f(t) fonksiyonu peryodik kabul edildi. Oysa uygulamada

    kar la lan problemlerde ou kez peryodik fonksiyon bulunmaz. Bu tr olaylar bir kez

    meydana gelir ve bir daha tekrarlanmaz. Peryodik olmayan bu tr fonksiyonlar iin Fourier

    serisi kullan lmaz. Bu durumda incelenen T boyundaki veri sonsuzda peryodikmi gibi

    dnlerek uygun bir a l m elde edilebilir. Bu tr problemlerin zm yani peryodik

    olmayan fonksiyonlar n Fourier serileri ile gsterilebilmesini Fourier integrali salar.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    12/62

    18

    Her sonlu (-T/2, T/2) aral nda Dirichlet koullar n salamayan ve (-, +) aral nda

    yak nsayan f(t) fonksiyonunun karma k (complex) Fourier serisinin,

    == nt in

    n ect f 0

    )( T

    2

    0 = (2.7)ve yine

    dt et f T

    c t inT

    T n

    0

    2

    2

    1 =/

    /

    )( (2.11)

    olduunu biliyoruz.

    Son ba nt da geici olarak t=x deiken dnm yapal m ve cnin deerini ilk

    ba nt daki yerine T=2/0 koyal m.

    =

    =n

    t inT

    T

    xin edxe x f T

    t f o 02

    2

    1 /

    /

    )()( (2.15)

    ve burada T yerine koyarak

    0

    2

    2

    0

    21

    =

    =n

    t inT

    T

    xin edxe x f t f o/

    /

    )()( (2.16)

    eklinde yazal

    m. Tolurken temel frekans0=2/T sonsuz kk deer al

    r. n=n0 srekli bir deikene dnr. Yani birbirini izleyen ard k iki frekans aras ndaki fark

    T n

    n

    2=

    T n

    n

    )( 121

    +=+

    T T n

    T n

    nn

    2212

    1 =+== +

    )(

    ok kk olur. Bu durumdan n=narp m srekli bir deikenine

    yakla r. (2.16) ba nt s nda 0=al n rsa

    =

    =

    t inn

    xin edxe x f t f )()(21 (2.17)

    olur. T sonsuz vedya gittii limit durumunda nda ya giderek n0 harmonik frekanslar na gre hesaplanan cn katsay lar n n izimi sreklilik kazan r ve (2.17)

    ba nt s ndaki toplam integrale dnr:

    =

    d edxe x f t f t in xin

    )()( 21

    (2.18)

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    13/62

    19

    Bu ba nt ya peryodik olamayan fonksiyonlar iin Fourier integrali denir. Iteki integralde

    x yerine t koyarsak

    = dt et f F t i

    )()( (2.19)

    =

    d e F t f t i)()(

    21 (2.20)

    olur. Bu son iki ba nt peryodik fonksiyonlar iin olmayan zaman ve frekans (veya

    Fourier) ortam tan mlamalar d r. (2.19) ba nt s f(t) fonksiyonununFourier dnm,

    (2.20) ba nt s da F()n n ters Fourier dn mdr . F() ve f(t)ye Fourier ifti denir.

    (2.18) ba nt s ile verilen Fourier integralinin, geici verilerin Fourier ifti (2.19) ve 2.20)

    integrallerinin geerli olmas iin

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    14/62

    20

    F() ya f(t)nin genlik spektrumu, ()ya faz spektrumu denir. () yerine bazen-() kullan l r. Buna da faz-gecikme spektrumu denir.

    nemli tan m ve irdelemeler yap l rken kullan lan a sal frekans yerine uygulamada f frekans kullan l r. Bu nedenle (2.19) ve (2.20) ba nt lar nda =2f ve d=2df deiimiyap l rsa

    = dt et f f F ft i 2)()( (2.24)

    = df e f F t f ft i 2)()( (2.25)

    biimleri elde edilir.

    F(f) karma k olduundan

    )()()( f ib f a f F = (2.26) )()( f ie f F = (2.27)

    yaz labilir. a(f) ve b(f), F(f)in gerel ve sanal bileenleridir. f(t)nin genlik spektrumu

    )()()( f b f a f F 22 += (2.28)ve faz spektrumu

    =

    )()(tan)(

    f a f b

    f 1 (2.29)

    ba nt lar ile verilir.

    Fourier dnmnde dikkat edilmesi gereken bir konu F(f)nin birimidir. (2.24)

    ba nt s ndan grlecei gibi, F(f)nin birimi f(t) verisinin birimi ile tnin birimininarp m na eittir. rnein, f(t)nin Volt((V), tnin ise saniye(s) olmas durumunda F(f)nin

    birimi (Vs) olacakt r. Eer (s) yerine (1/Hz) yaz lacak olursa F(f)nin birimi (V/Hz) olarak

    verilebilir. Bu birim frekans ba na den genlik younluu olarak bilinir ve zellikle

    F(f) genlik younluu spektrumu olarak da adland r l r. F(f)nin faz n veren (2.29)

    ba nt s nda (f) birimsiz (yani radyan) olmas na kar n yukar da a klanan F(f) nin biimine ar m yapmas iin (f) faz younluu spektrumu olarak da

    adland r l rmaktad r.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    15/62

    21

    f(t) gerel bir fonksiyon olduunda F(f)nin gerel ve sanal bileenleri a(f) ve b(f),

    s ras yla, kosins ve sins dnmlerinden elde edilir. Ayr ca a(f)=a(-(f)) yani a(f) bir ift

    fonksiyon, b(f)= -b(-f) yani b(f) bir tek fonksiyondur. Bunlar (2.24) ba nt s nda

    ft i ft e ft i 222 sincos = (2.30)konularak gsterilebilir:

    = dt et f f F ft i 2)()(

    = ftdt t f i ftdt t f 22 sin)(cos)(

    )()( f ib f a = olur. Yani

    = ftdt t f f a 2cos)()( (2.31)

    = ftdt t f f b 2sin)()( (2.32)

    dir. Son iki ba nt da f yerine -f konulduunda

    )(cos)()cos()()( f a ftdt t f dt ft t f f a ===

    22 (2.33)

    )(sin)()sin()()( f b fdt t f dt ft t f f b ===

    22 (2.34)

    olur. a(f)=a(-f) ve b(-f)= -b(f) olduundan)()()()()()( f F f ib f a f ib f a f F =+== (2.35)

    olur. Burada * simgesi karma k elenii gstermek iin kullan lm t r. (2.35) ba nt s bir

    gerel fonksiyonun Fourier dnmnn elenik simetrik olduunu gsterir. Bunun tersi

    de dorudur. Yani Fourier dnm elenik simetri gsteren bir gerel fonksiyondur.

    Gerel fonksiyonlar n genlik younluu spektrumu F(f) ift fonksiyon, faz younluu

    spektrumu ise tek fonksiyondur. (2.27) ba nt s ndan)()()( f ie f F f F = (2.36)

    )()()( f ie f F f F = (2.37)

    olur. f(t) gerel fonksiyonu iin F(-f)=F*(f) olduundan son iki ba nt dan)()( )()( f i f i e f F e f F = (2.38)

    olur. Mod ve faz bileenleri eitlendiinde

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    16/62

    22

    ( ) ( ) f F f F = ( ) ( ) f f =

    olur.

    Fourier dnm ile elde edilen F(f)nin biimi f(t) fonksiyonunun tek fonksiyon veya

    ift fonksiyon olmas durumuna gre zel biim al r. Her f(t) fonksiyonu

    ( ) ( ) ( )t f t f t f e 0+= (2.39)

    ( ) ( ) ( )( )t f t f t f e += 21 (2.40)

    ( ) ( ) ( )( )t f t f t f =2

    10 (4.41)

    biiminde ift f e(t) ve tek f o(t) fonksiyonlar n n toplam olarak yaz labilir. (2.39)

    denkleminin Fourier dnm al nacak olursa F(f)

    ( ) ( ) ( ) f F f F f F e 0+= (2.42) biiminde, ift ve tek fonksiyonlar n Fourier dnmlerinin toplam olarak yazabiliriz.Burada

    ( ) ( ) dt et f f F ft iee 2

    = (2.43)

    ( ) ( ) dt et f f F ft i 200

    = (2.44)

    dir. (2.30) ile verilen Euler eitlii kullan larak f e(t), f 0(t) ve e-i2pft nin tye gre

    ( ) ft t f 22 coscos = (2.45) ( ) ft t f 22 sinsin = (2.46)

    ( ) ft it f i ee 22 = (2.47) biimindeki simetri zellikleri gznne al nd nda (2.43) ve (2.44) denklemleri aa daki biimde yaz labilir.

    ( ) ( ) ftdt t f f F ee 220

    cos

    = (2.48)

    ( ) ( ) ftdt t f f F 220

    00 sin

    = (2.49)

    Fourier dnmnn tek ve ift fonksiyonlara uyguland nda oluan bu denklemler

    kosins ve sins dnm olarak bilinirler. Yukar daki denklemlerden a ka

    grlmektedir ki, Fe(f) ift fonksiyon, F0(f) tek fonksiyondur. Peryodik veriler iin

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    17/62

    23

    gsterilen Parseval kuram Fourier dizilerinden Fourier dnmne geerken yap ld

    gibi T , a = , n gei ilemleri yap ld nda

    ( ) ( )df f F dt t f 2

    2

    = (2.50)

    olur. Grld gibi, peryodik olmayan verinin zaman ve frekans ortam ndaki enerjileri

    eittir. Verinin enerjisi s n rl byklkte olduundan, sonsuz aral ktaki ortalama enerji

    veya g ok kk olur. Sonsuz say da peryodik bileenlerin her birinin katk s ok kk

    olmas gerekir. nk sonsuz say da peryodik bileenden oluan peryodik olmayan

    fonksiyonun toplam enerjisi s n rl d r. F(f) 2 ye f(t) fonksiyonununenerji younluu

    spektrumu denir. F(f) 2 nin enerji younluu olduu Parseval eitlii kullan larak

    a klanabilir. f(t) gerilim verisi olsun. Bir direncin tkettii enerji (V2s)dir ve (2.50)

    ba nt s n n sol taraf nda verilmitir. Ayn ba nt n n sa taraf nda frekans fye gre al nan

    integralin ayn birimi vermesi iin F(f) 2 nin biriminin (V2s/Hz) = (V2s2) olmas gerekir.

    Yani F(f) 2 birim frekanstaki enerji, yani enerji younluudur. Gerekte yukar da

    deinildii gibi, bir tek frekanstaki enerji s f rd r. Bir ok veri gerilime evrilip

    alg land ndan F(f) 2 ye enerji younluu denilmesi al lagelmi bir adland rmad r.

    F(f) 2 birim frekanstaki enerji younluu yani g olduundan, F(f) 2 ye g spektrumu

    demek btn ortamlarda llen veriler iin geerli bir adland rmad r.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    18/62

    24

    Tablo 2.1 Baz fonksiyonlar n Fourier dnmleri.Fonksiyon Fourier dnm

    a) Dikdrtgen

    =

    1 1 2

    0 1 2

    , /

    , /

    t

    t

    sin( / )

    /

    2

    2 2= snc

    b) Fourier entiisin sinat

    t a at

    = w

    a2

    c) ( ) cost w t 0 sin(( ) / ) sin(( ) / )

    (sin sin )

    w ww w

    w ww w

    w wc

    w w

    +

    ++

    = + +

    0

    0

    0

    0

    0 0

    2 2

    12 2 2

    d) gen fonksiyon

    A t t t ( ) ,,

    = >

    1 110, t

    sin c w2

    2

    e)sgn t =

    1 , t > 0,-1 , t < 0,

    iw2

    f) Dirak delta fonksiyonu

    ( )

    ( )

    t

    t dt

    =

    =

    0 ,

    1

    t 0,

    -

    1

    g) 1 2 (w)h)

    u t t

    ( ),= 1 0

    0 ,,

    t < 0 , ( )w - i

    1w

    i) cos w0 t ( ( ) ( ))w w w w+ 0 0+ j) sin w0t i((w+w0) - (w-w0)k) u(t) cos w0 t

    2 0 0 0

    2 2( ( ) ( ))w w w wiw

    w w+

    +

    l) u(t) sin w0 t iw w w w

    w

    w w

    2 0 0

    0

    02 2( ( ) ( ))+

    -

    m) |t| 22w n) u(t)e-at a iw

    a w

    +2 2

    o) Laplace Fonksiyonue-a|t| 2

    2 2a

    a w+

    p) Gauss Fonksiyonue at

    2

    a

    e w a2 4/

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    19/62

    25

    ekil 2.8Tablo 2.1de verilen fonksiyonlar ve Fourier dnmleri

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    20/62

    26

    ekil 2.8(Devam ) Tablo 2.1de verilen fonksiyonlar ve Fourier dnmleri

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    21/62

    27

    2.5 Fourier Serisine A l m rnek Problemler

    rnek 1

    ( )

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    22/62

    28

    ( ) ( )( ) ( ) )cos(cos coscos == n-nnn2n1 bn

    ( )( ) ( ) ( )nn 1nn1n

    2 b =

    = cos cos

    n=ift say lar iin bn=0

    n=tek say lar iin bn= n4

    olacakt r. Buna gre sonu;

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    +++==

    =.....5sin

    513sin

    31sin4sin4 000

    10 t t t t nn

    t f n

    olacakt r.

    Harmonik genliklerinin hesaplanmas :

    22

    21

    nnn bac += 0=na olduu iin 221

    nn bc = olarak hesaplan r.

    Buna gre:

    4

    21

    1 =c 34

    21

    3 =c 54

    21

    5 =c ...

    Harmonik fazlar n n hesaplanmas :

    =

    n

    n

    n ab1

    tan 0=na olduu iin ( )nn b=1

    tan olarak hesaplan

    r.

    ( ) 411 tan = ( ) 3413 tan = ( ) 5415 tan = ...

    rnek 2

    (-,) aral nda tan mlanm olan 2 peryodlu f(t)=t fonksiyonunu Fourier serisine a n z.F(t)

    t

    -2 -

    2

    zm 2

    ( )( )

    =

    =ttf

    ttf olduu iin f(t) fonksiyonu tek fonksiyondur.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    23/62

    29

    Buradaki rneimiz bu zellie sahip olduundan dolay tek fonksiyondur. Yani; (Tek

    fonksiyonlarda a0, an=0 olmaktad r.)

    f(t)=t -

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    24/62

    30

    rnek 4

    (-, ) aral nda tan mlanm 2 peryodlu aa daki fonksiyonunu Fourier serisine a n z.

    ==

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    25/62

    31

    T

    0t00

    00

    tnttnn

    1n

    1

    =

    = )cos()sin(

    = )cos(.)sin()cos()sin( 000n1TT2nTTT2nn1n1TA2 b 0002n

    = )cos()sin( n2Tn2n1

    n1

    TA2 b

    002n

    )cos( n2T

    T2n

    1TA2 b 2n =

    )cos( n2nA

    bn = A=2 genlik deeri yerine konur ise;

    )cos( n2n2 bn =

    elde edilir. Bu durumda tm n deerleri iin = n2 bn olur.

    Sins serisi

    ==

    1n0n tn btf )sin()(

    olduundan

    == 1n 0

    tnn2tf )sin()(

    )...sin()sin()sin()sin()( t442t3

    32t2

    22t2tf 0000 =

    verilen n deerleri iin elde edilen genlik ve fazlar fonksiyonun harmoniklerini verir.

    rnein;

    N=1 iin; )sin( t2 0 1.ci harmonik,

    N=2 iin )sin( t222

    0 2.ci harmonik,

    N=3 iin )sin( t3

    3

    20

    3.ci harmoniktir.

    Harmoniin genlik ve fazlar an ve bn katsay lar ndan hesaplan r.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    26/62

    32

    ( )21

    22nnn bac +=

    ve n faz a s

    ( )nnn ab /tan = 1 S f r nc harmonik genlii a0 katsay s n n mutlak deeridir

    rnein 3. Harmoniin genlii

    ( )21

    23

    233 bac +=

    faz a s

    ( )3313 a b /tan =

    Bu rnek zmde an=0 olduundan genlik yaln zca bn katsay s n n mutlak deeridir:

    =

    = 32

    32c

    2

    3

    faz a s

    2032

    113

    ==

    = )(tantan

    olur.

    rnek 7

    Tt0 )(

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    27/62

    33

    = =

    =

    T

    0t

    tin20

    2

    T

    0t

    tin

    02n

    00 ein

    1tein

    1TAc

    T

    2

    0 =

    [ ]= 1e

    n1e

    inT

    TAc 2in2

    02

    2in

    02n

    Not= saytamn sincos === 1n2in2e 2in

    ==== n2Ai

    2inA

    T2in1

    TA

    in1

    TAc

    0n )/(

    iin / 2=

    2i2e 2i /sin/cos/ += ie 2i =/ bulunur.

    Bu durumda

    2in en2

    An2Aic /== yaz

    labilir.

    Yani

    2in en2

    Ac

    /

    = dir.

    ===T

    0

    T

    00 2

    AtdtTA

    T1dttf

    T1c )( olarak bulunur.

    Fourier serisi ise;

    =

    +=n

    tinn0

    0ecctf )( olduuna gre

    =

    +=

    n

    tin2i 0een2

    A

    2

    Atf /)(

    =

    +

    += ntn2i 0e

    n1

    2A

    2Atf )/()( olarak elde edilir.

    Bu sonucu Fourier dnmnn trigonometrik ekline dntrmek istersek;

    00 a21c = )( nnn iba2

    1c = )( nnn iba21c += olduuna gre

    2Ac0 = 2

    Aa21

    0 = Aa0 =

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    28/62

    34

    2in en2

    Ac /= Aa n=

    2in e

    n2

    Aib2

    1 /)(

    = 2iei /= olduundan

    2in

    2i en2A be

    21 //

    = =nA bn

    [ ]

    =++=

    1n0n000 tn btnaa2

    1tf sincos)(

    =+= 1n 0

    tnnAA

    21tf sin)(

    = = 1n 0tnn1A

    A21

    tf sin)(

    +++= ...sinsinsin)( t331t2

    21tA

    2Atf 000

    2.6 Fourier Dnm rnek zmleri

    rnek 1

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    29/62

    35

    bulunur. Sa taraf )/()(2dn

    2dn 00 ile arparsak;

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    n n2

    dn

    2dn 2

    dn2

    TA

    2dn 2

    dn

    n 2

    dn2

    TAC

    =

    =)sin()sin(

    2dn

    2dn

    TAdC

    0

    0

    n

    =)sin(

    T2

    0= olduundan

    Tdn

    2dn 0

    = olur. Bylece,

    TdnT

    dn

    TAdCn

    =

    )sin(

    Grld gibi Cn gerel bir fonksiyondur ve faz (spektrumu) s f rd r. Bu fonksiyonsincfonksiyonu olarak bilinir.

    )(sincT

    dnT

    AdCn=

    F(t) zaman fonksiyonunun karma k Fourier serisine a l m ;

    = )exp()(sinc)( tin

    Tdn

    TAdtf 0

    olarak yaz labilir.

    Ayr k frekans spektrumunu elde etmek iin d ve T ye deer vermek gerekir. rnein

    d=1/20s, T=1/4s olsun.

    ==== 8n41

    2nT

    2nn 0n/

    5n

    41201n

    Tdn ==

    //

    5A

    TAd =

    olarak bulunur.

    5n

    5n

    5

    A

    TdnT

    dn

    T

    AdCn

    =

    =

    )sin()sin(

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    30/62

    36

    son ba nt da n=0,1,2,.k deerler verilerek n0 frekanslar iin genlik spektrumlar hesaplan r. Spektrum ortam ndaki rnekleme aral == 821 dir. 0m =)sin(

    olduundan == m51

    nTd

    n yani m=1,2,3,.. deerleri iin n=5,10,15,20. Deerleri

    iin genlik spektrumu s f r olur.

    Tablo 2.2: Verilen n deerleri iin genlik deerleri

    -n Genlik n Genlik 0 0.600

    -1 0.561 1 0.561-2 0.454 2 0.454-3 0.303 3 0.303

    -4 0.140 4 0.140-5 0.000 5 0.000-6 -0.094 6 -0.094-7 -0.130 7 -0.130-8 -0.114 8 -0.114

    C

    f

    n

    -10 -8 -6 -4

    -5 5

    -2 0 2 4 6 8 10 12

    0.70

    0.60

    0.50

    0.40

    0.30

    0.20

    0.10

    0.00

    -0.10

    -0.20 -9 -0.062 9 -0.062ekil ..Genlik spektrumu 10

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    31/62

    37

    x(t) ve y(t)nin Fourier dnm X(f) ve Y(f) olsun. x(t)+y(t)nin Fourier dnm

    X(f)+Y(f)dir;

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) dt et ydt et xdt et yt xft i ft i ft i

    +=+ 222

    (2.51)K saca;

    )()()()( f Y f X t yt x ++ (2.52)yaz labilir. iareti solundaki ve sa ndaki fonksiyonun bir Fourier ifti oluturduunusimgeler. Dorusall k zellii ikiden fazla fonksiyon iin de geerlidir. Bu zellik Fourier

    dnmnn dorusal dzeneklere uygulanabileceini gsterir. Gerekte x(t), y(t) ve

    varsa toplanan dier dzenek fonksiyonlar n n kendileri birer dorusal olmayan dzenek

    fonksiyonlar

    da olabilirler.

    2.7.2 Bak ml l k zellii

    )()( f X t x (2.53)olsun

    X(t)x(f) (2.54)dir. Ters Fourier dnm ba nt s nda t yerine -t konulduunda

    ( ) ( ) x t X f e df i ft

    =

    2

    (2.55)olur. t ve f deikenleri aralar nda deitirildiinde

    ( ) ( ) x f X t e dt i ft =

    2 (2.56)

    elde edilir, yani (2.54) dorulan r. Bak ml l k zellii birok kuramsal al malarda

    ilemleri kolaylat r r.

    2.7.3 Zaman Kaymas zellii

    x(t)yi t0 kadar kayd rmakla elde edilen x(t-t0) n Fourier dnm ( )e X f i ft 2 0 olur:

    ( ) f X e ft i 020 )t-x(t (2.57)s = t-t0 al narak (2.57) zellii dorulanabilir:

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    32/62

    38

    x(t)

    x(t - T/8)

    x(t - T/4)

    x(t - T/2)

    f

    f

    f

    f

    R(f)A

    R(f)

    -A

    R(f)A2

    R(f)

    f

    f

    f

    f

    I(f)

    A

    -A

    I(f)

    R(f)I(f)A

    A-

    2

    2

    I(f)

    ekil 2.9Zaman kaymas zellii.

    ( ) ( ) ( )

    +

    = dse s xdt et t x t s f i ft i 0220 (2.58)

    ( ) dse s xe fsi ft i 22 0=

    ( ) f X e ft i 02=

    ekil 2.9de kosins fonksiyonu kayd r larak Fourier dnmnn zaman kaymas

    zellii irdelenmitir. Bak ml ve gerek bir fonksiyon olan x(t)=cos2ftnin Fourier dnm gerek bir fonksiyondur. Kaymayla bak ml l k kaybolduundan Fourier

    dnm kaybolduundan Fourier dnm gerel ve sanal bileenler ierir. Kayma

    genlii etkilemez, sadece faz deiir. Kosins fonksiyonu iin t0 kaymadaki Fourier

    dnm

    ( ) ( )( )002 22f X 0 ft i ft f X e ft i sincos = (2.59)olduundan genlik

    ( ) ( )( ) ( ) ( ) f X f X ft ft f X e ft i ==+= 21

    221

    02

    0222 22f X 0 sincos (2.60)

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    33/62

    39

    olur. Faz a s (f)=arctan(-b(f)/a(f)) kaymaya bal olarak deiir. (2.57) ba nt s ndaverilen kayma zelliine gre her frekanstaki bileen kendi frekans yla orant l faz

    gecikmesine urar, byyen frekansla faz a s da byr.

    2.7.4 Frekans Kaymas zellii

    X(f) frekans ekseninde f 0 sabiti kadar kayd r ld nda elde edilen X(f-f 0) n ters Fourier

    dnm x t ei f t ( ) 2 0 olur:

    ( ) ( )02 0 f f X et x t f i (2.61)Bu zellik ters Fourier dnm ba nt s nda s = f-f

    0al narak dorulanabilir.

    ( ) ( ) ( )dse s X df e f f X f st i ft i 0220 +

    = (2.62)

    ( ) dse s X e st it f i 22 0

    =

    )(t xe t f i 02 =

    X(f) gerel olduunda X(f-f 0)

    n ters Fourier dnm x(t)cos2f 0t olur. Yani frekansortam nda cos 2f 0t ile arpmaya denktir. Bunamodlasyon denir.

    2.7.5 Zaman leklenmesi zellii

    x(t)nin Fourier dnm X(f) olsun. k s f rdan farkl gerek bir sabit olmas kouluyla,

    x(kt) nin Fourier dnm (1 / |k|) X(f/k) olur:

    ( ) k f

    X k 1

    ktx (2.63)

    Bu zellik s=kt al narak dorulanabilir:

    ==k f

    X k k

    dse s xdt ekt x k s si ft i

    122 )/()()( (2.64)

    (2.63) dnm iftinde |k| al nm t r. nk k

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    34/62

    40

    enerji eit olduundan, daralan frekans fonksiyonunun s f r frekans yresinde genlii

    bymektedir.

    2.7.6 Frekans leklenmesi zellii

    X(f) in ters Fourier dnm x(t) olsun. kn n gerek bir sabit olmas kouluyla, X(kf)

    nin ters Fourier dnm (1 / |k|) x(t/k) d r.

    )(kf X k t

    xk

    1 (2.65)

    ters Fourier dnm ba nt s nda s=kf al narak bu zellik dorulanabilir:

    =

    =k t x

    k k dsk sie s X df ft iekf X 122 )/()()( (2.66)

    Zaman leklenmesine benzer biimde, frekans ortam daralt lmas zaman ortam

    genilemesine, genilemesi de zaman ortam daralmas na yol aar. ekil 2.11de yine

    dikdrtgen dalga biimi kullan larak bu zellik a klanm t r. Frekans ve zaman ortamlar

    enerjilerinin eitliinin salanmas iin, frekans leklemesi byynce zaman ortam

    fonksiyonu (dikdrtgen dalga) genlii bymektedir.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    35/62

    41

    ekil 2.10Zaman leklenmesi zelliine rnek.

    2.7.7 Fourier iftinin Ortak Ba nt zellii

    Say sal Fourier dnm hesaplamalar n h zland rmada yararlan lan bir zellikte Fourier

    dnm ve ters Fourier dnmnn ayn ba nt kullan larak hesaplanabilmesidir.

    Gsterilebilirki

    = *))(*()( df ft ie f X t x 2 (2.67)

    dir. Burada * karma k elenii simgelemektedir.

    e-i2ft ekirdei Fourier dnmnde olduu gibi, gerekli karma k elenek evirmeleri

    yap larak x(t) ve X(f) ayn bilgisayar program yla hesaplanabilir.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    36/62

    42

    ekil 2.11 Frekans leklenmesi zelliine rnek .

    2.7.8 Zaman ve Fourier Trevleri zellikleri

    Ters Fourier dnm ba nt s n n iki yan n n ninci trevleri al n rsa

    )()()( f X f idt

    t xd nn

    n 2 (2.68)

    olur. Burada x(f)nin trevlerinin var olduu varsay lm t r. Fourier dnm ba nt s n n

    iki yan n n n inci trevlerinden

    n

    nn

    )f 2()f (Xd )t(x)it( (2.69)

    Fourier ifti elde edilir. x(t)nin trevinin al nmas ile oluan sinyalin spektrumu X(f)

    spektrumunun f ye orant l oalan bir deerle arp lmas na edeerdir.

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    37/62

    43

    2.7.9 Zaman ve Frekans ntegralleri zellii

    Yukar daki trev zelliinden hareketle x(t)nin integrali olan sinyalin Fourier dnm

    aa daki ekilde bulunur:

    )()()( f X f idt t x 12 (2.70)

    Benzer ekilde X(f) spektrumunun frekans ortam nda integrali ile elde edilen spektrumun

    ters Fourier dnm ile x(t) aras ndaki iliki aa daki gibidir:

    f

    f

    df f X t xit )()()( 1 (2.71)

    Grld gibi, x(f)nin integrali al nmas ile oluan sinyalin spektrumu X(f) spektrumun

    1/f ye orant l bir deiken ile arp lmas na edeerdir.

    2.7.10 Elenik zellii

    x(t)=a(t)-ib(t) karma k fonksiyonunun elenii x*(t)=a(t)+ib(t) nin Fourier dnm

    X*(-f) dir:

    )()( ** f X t x (2.72)

    = dt et ibt a f x ft i 2))()(()( (2.73)

    = dt et ibt a f X ft i 2))()(()( (2.74)

    += dt et ibt a f X ft i 2))()(()(* (2.75)

    olur.

    2.7.11 Evriim (Konvolsyon) zellii

    Gerek kuramsal tretmelerde ve gerekse gzlemsel verilerin analiz ve ilenmesinde

    yararlan lan ok nemli bir olanak evriim kuram d r. Bu kurama gre zaman veya frekans

    ortam ndaki evriim, frekans veya zaman ortam nda arp m yaparak gerekletirilebilir.

    .H(f)X(f)h(t)* )(t x (2.76)H(f)*X(f)h(t). )(t x (2.77)

    * evriimi (konvolsyon) simgeler. Yukar daki Fourier iftini dorulamak iin

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    38/62

    44

    == d t h xt ht xt y )()()(*)()( (2.78)

    evriim ileminin her iki taraf n n Fourier dnm al ns n:

    = dt ed t h xdt et y ft i ft i 22 ))()(()( (2.79)

    y(t)y(f) al narak ve sa tarafta integralin s ras deitirilerek

    = d dt et h x f Y ft i ))()(()( 2 (2.80)

    elde edilir. s = t- al nd nda ayralar n ii

    + == )()()( )( f H edse shedse sh f i fsi f i s f i 2222 (2.81)

    olur. Bu sonu (2.80) ba nt s na konulduunda

    == )()()()()( f X f H d e x f H f Y f i 2 (2.82)

    elde edilir. Buna zaman evriim kuram denir. Bu zellik izleyen biimde zetlenebilir:

    )()(*)( t yt ht x = (2.83) )()()( f Y f H f X = (2.84)(2.77) Fourier ifti frekans evriim zelliidir ve yukar da verilen zaman evriim kuram na

    benzer biimde veya (2.76) iftini bak ml l k ba nt s (2.56)ya koyarak dorulanabilir.

    Sismik uygulamalarda olduu gibi, uzun ve ok say da verinin bilgisayarlarda

    ilenmesinde evriim kuram ndan yararlanarak ilemler nemli lde h zland r l r. Daha

    sonra deinilecek h zl Fourier dnm yntemiyle Fourier dnm ilemi

    abuklat r ld ndan, nce veri ve uygulanacak ilecin Fourier dnmleri al narak

    arp l r. Daha sonra bu arp m n ters Fourier dnm al narak k verisi elde edilir.

    2.7.12liki (Korelasyon) zellii

    Uygulamada nemli bir Fourier iftide iliki fonksiyonu ve onun Fourier dnmdr.

    x(t) ve h(t) fonksiyonlar n n ilikisi

    += dt t ht xc xh )()()( (2.85)

    ba nt s yla verilir. Bunun her iki taraf n n Fourier dnm

    += d edt t ht xd ec f i ft i xh 22 ))()(()( (2.86)

    al

    n

    p ve sa taraftaki integrallerin s

    ras

    deitirilirse

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    39/62

    45

    += dt d et ht x f c f i xh ))()(()( 2 (2.87)

    olur. s = t+ al n rsa ayralar n ii

    == )()()( )( f H edse shedse sh ft i fsi ft it s f i 2222 (2.88)

    olur. Bu sonu (2.87) ba nt s na konulduunda

    = dt f H et x f c ft i xh )()()(

    2

    +=

    ftdt t xi ftdt t x f h 22 sin)(cos)()(

    )()()( f i f R f H += (2.90)olur. x(t)nin Fourier dnm

    (f)i-R(f)=

    ftdtx(t)sin2i-ftdtx(t)cos2= - -

    2

    = dt et x f x ft i)()(

    olduundan, (2.90) ve (2.91) ba nt lar ndan

    )()()( * f X f H f c xh = (2.92)olur. K saca

    )()( f cc xh xh (2.93)yaz l r. Bu sonuca apraz-iliki zellii denir. Bu sonu ilikiye giren ikinci fonksiyonunFourier dnmnn eleniinin al nmas d nda evriim zelliinin ay ns d r. Evriim

    ileminin iliki ileminden fark n n fonksiyonlardan birinin katlanmas olduu an msan rsa

    bu benzerlik kolayca anla l r. Yukar da x(t) bir ift fonksiyon olduunda X(f) gerel

    olaca ndan X(f)=X*(f) olur. Bu durumda evriim ve iliki ilemleri yukar da deinilen

    zelliklerde edeer olur. Eer x(t)=h(t), yani her iki fonksiyon zde ise, (2.85) ba nt s

    ziliki ba nt s na dnr. (2.93) iliki zelliide

    )()()()()( * f c f X f X f X c xx xx ==2 (2.94)

    olur. Bunaziliki zellii denir. ki verinin apraz ilikisinin veya bir verinin zilikisinin

    hesaplanmas

    nda evriim zelliinde olduu gibi h

    zl

    Fourier dnmndenyaralan larak ve iliki kuram kullan larak ilemler h zland r labilir. Dier nemli bir

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    40/62

    46

    kullan m geici verilerin g ve apraz g younluu spektrumlar n n hesaplanmas d r.

    Geici verilerin g younluu spektrumlar verilerin Fourier dnm kullan larak

    gsterilebilir.

    2.7.13 ift fonksiyonlar (Even Functions)

    Eer f e(t)=f e(-t) ise f e(t)nin Fourier dnm bal ml (simetrik) ve gereldir:

    = dtft2tf f tf ee )cos()()Re()( (2.95)

    Yine 2.24 ba nt s ndan yararlanarak

    = dtetf f F ft2iee )()(

    = dtft2tf idtft2tf ee )sin()()cos()(

    == )Re()cos()( f dtft2tf e (2.96)

    olur. Sanal terim s f rd r, nk integralin ii bir tek fonksiyondur. )cos( ft2 bir iftfonksiyon )cos( ft2 bir ift fonksiyon olduundan [ ]tf 2tf ft2tf ee )(cos)()cos()( = ve

    Fe(f)=Fe(-f); yani Fourier dnm de bir ift fonksiyondur.Bu zelliin tersi de dorudur. Yani Gerek ve itf fonksiyonun ters Fourier dmm de bir ift fonksiyondur.

    Ayr k fonksiyonlar iin ift fonksiyon zellii;

    f e(k)=f e(-k) ise:

    1-0,1,2,...Nk N

    nk 2k f nk f 1 N

    0nee =

    =

    =)cos()()Re()( (2.97)

    2.7.14 Tek fonksiyonlar (Odd Functions)

    Eer f o(t)= -f o(-t) ise, f o(t)nin Fourier dnm de ters bak ml ve sanal bir fonksiyondur. Bu, 2.24 ba nt s ndan yararlan larak kan tlanabilir.

    = dtetf f F ft2oo )()(

    = dtft2tf idtft2tf oo )sin()()cos()(

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    41/62

    47

    == )Im()sin()( f idtft2tf i o (2.98)

    Gerel k sm n integrali s f rd r. nk bir ift fonksiyon ile tek fonksiyonun arp m yine bir tek fonksiyondur. )sin( ft2 bir tek fonksiyon olduundan,

    [ ]tf 2tf ft2tf oo )(sin)()sin()( = ; Fourier dnm tek fonksiyondur.

    Ayr k fonksiyonlar iin tek fonksiyon zellii;f o(k)= -f o(-k) ise:

    1-0,1,2,...Nk N

    nk 2k f inik f 1 N

    0noo =

    =

    =)sin()()Im()( (2.99)

    ekil 2.12: Fourier dnm ile Fourier dizisi aras ndaki ilikiye ematik bir rnek.

    2.7.15 Dalgaekli Ay r m (Waveform Decomposition)

    Herhangibir fonksiyon tek ve ift fonksiyonlar n toplam olarak ay r labilir;

    2tf

    2tf tf )()()( +=

    +

    += 2

    tf 2tf

    2tf

    2tf )()()()(

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    42/62

    48

    )()( tf tf oe += (2.100)nk, byk parantezlerin ii ift ve tek fonksiyon tan m n dorular. 2.96 ve 2.98 ba nt lar ndan, 2.100 ba nt s n n Fourier dnm,

    )()()Im()Re()( f Ff Ff if f F oe +=+= (2.101)Burada Fe(f)=Re(f) ve Fo(f)=iIm(f) dir. Fourier dnmnn bu zellii ayr k Fourier dnm hesaplamalar n h zland rmada kullan lan zelliklerden biridir.

    Ayr k fonksiyonlar iin dalga biimi ay r m zellii:

    2k f

    2k f k f )()()( +=

    ++=2k f

    2k f

    2k f

    2k f )()()()(

    )()( k f k f oe += ve)()()Im()Re()( nFnFninnF oe +=+=

    burada,)Im()()Re()( ninF vennF oe ==

    Tablo 2.3 :Fourier dnmnn baz zellikleri )()( f X t x )()( f Y t y

    Dorusall k )()()()( f Y f X t yt x ++ Bak ml l k )()( t X f x Zaman Kaymas )()( f xet t x ft i 020

    Frekans Kaymas )()( 0

    2 0 f f X t xe t f i

    Zaman leklenmesi 01

    k k f

    X k

    kt x ,)(

    Frekans leklenmesi 01

    k kf X k t

    xk

    ),(

    Ortak Ba nt ** ))(()( f X t x

    Zaman Integrali

    t f X f idt t x )()()( 12

    Frekans Integrali

    f

    f

    df f X t xit

    &&&

    )()()( 1

    Zaman Trevi )()(/)( f X f idt t xd nnn 2 Frekans Trevi nnn df f X d t xit /)()()( Elenek )()( ** f X t x

    Evriim)(*)()().(

    )().()(*)(

    f Y f X t yt x

    f Y f X t yt x

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    43/62

    49

    Iliki )().()(*)()( * f Y f X t yt xc yx =

    2.8 Fourier Spektrumu

    Buraya kadar olan incelemelerde frekans ortam na geerken verilerin periyodik veya geici

    olduu varsay larak Fourie dizileri veya Fourie dnm kullan ld . Ayr ca yine buraya

    kadar olan incelemelerde verilerin srekli olduu ve srekli verilerle ilem

    yapabileceimiz varsay ld . Ancak uygulamada kar la lan durum yukar daki varsay mlar

    gereklemez. Her eyden nce eldeki veri s n rl bir gzlemin sonucudur. Ayr ca veri ya

    ayr k olarak gzlenmi veya bilgisayarda ileme sokmak iin srekli verit rneklemearal ile ayr k ekle dntrlmtr. Her iki nedenle verinin frekans ortam na

    geirilmesinde sorunlarla kar la lmaktad r. Bu sorunlar n incelenmesinden nce s n rl ve

    ayr k verilerin frekans ortam na geirilmesinde kullan lan hesaplamay yeniden

    tan mlamak gerekmektedir. Eer elimizdeki T s n rl uzunluundaki veriyi xT(t) ile

    gsterecek olursak, bu veriye deitirilmi bir Fourier dnm uygulanarak frekans

    ortam nda xT( )y elde ederiz:

    =

    2

    21

    T

    T

    t iT T dt et xT

    x )()( (2.102)

    veya =2f ile

    =2

    2

    21T

    T

    ft iT T dt et xT

    f x )()( (2.103)

    Bu denklemle tan mlanan xT(f) ye uygulamada Fourier Spektrumu ad verilir.Grld gibi, bu denklem Fourier dnmnden (Denklem 2.19) farkl d r. Integral

    s

    n

    rlar

    doal olarak sonlu uzunlukta veri iin - ve yerine -T/2 ve T/2 olmu ve dahanemlisi integral nne 1/T arpan eklenmitir. Bu nedenle xT(f) den | xT(f)|hesapland nda birim veri genlik birimi ile eit olup Fourier dnmndeki gibi genlik

    younluu deildir. Asl nda Fourier spektrumu xT(f) denklemindeki Fourier dizisi ile elde

    edilen spektruma benzemektedir, yaln z gzlem uzunluu Tnin ana peryod Taya eit

    olmas ve srekli frekanslar yerine zel frekanslar f n=n/Ta kullan lmas durumunda Fourier

    dizileri ile elde edilen izgi spektrumuna eit olacakt r. Yukar daki nedenlerle Fourier

    spektrumu tan m geerli bir tan md r ve (2.96) denklemi gerek izgi spektrumu gerekse

    Fourier dnm iin kullan labilir. Ayr ca belirtmek gerekirki, nceki blmde konu

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    44/62

    50

    edilen tm Fourier dnm zellikleri Fourier spektrumu iin geerlidir. Bu Fourier

    dnm iin tm denklemlerde X(f) yerine XT(f) kullan larak kan tlanabilir.

    Fourier spektrumu ayr ca tan mlaman n ve Fourier dizisi ve dnm ile ba n incelemenin yarar uygulamadaki adland rma kar kl n gidermek iindir. Gerektende

    Fourier izgi spektrumu X(f n)yi veren Fourier dnm ile bulunan ve X(f) yi veren

    (2.19) denklemi ve sonrada Fourier spektrumu olarak adland r lan XT(f) yi veren (2.96)

    denklemi farkl d r. Bu denklemlerle verilen frekans ortam gsterimler ierdikleri

    varsay mlar ve stelik fiziksel birimler a s ndan da farkl d rlar ve uygulamada kullan lan

    denklem ile ilgili kavramlara ve adland rmaya zen gsterilmelidir.

    2.8.1 Ayr k Veriler

    Sonlu uzunlukta xT(t) verisi iint rnekleme aral kullan larak xn=x(nt), n=0,1,2,..,N-1ile t=nt zamanlar nda rneklenmi veri elde edilir. Veri boyu T olduuna gre T/t=Ntoplam veri say s n verecektir. rneklenmi veri ile Fourier spektrumu

    ( ) t fni N

    nnT e x N

    f X

    == 2

    1

    0

    1 (2.104)

    eklini al r. Bu yaz l m dorudan programlama iin kullan labilir ve herhangi bir f frekans

    iin geerlidir. Ancak hesaplamada srekli frekans kullan lam yaca na gre srekli

    frekans nda rneklenmesi gerekmektedir. Eer frekans rneklemesi f seilerek olursaf k f = frekanslar nda ( ) f k X T veya k salt lm olarak xk hesaplanabilir,

    ( )

    =

    ==1

    0

    n21 N

    n

    t f k ink e x N

    x f k X (2.105)

    n son hesaplanacak frekans Nyquist frekans t f N = 21 olduuna gre k=0,1,2,....,K,iin hesaplanan spektrumda t f K f N == 21 dolay s yla f t K = 21 olacakt r. Eer

    frekans rnekleme aral t N T f == 11 seilecek olursa 2 N K = olacak, yani veri

    say s n n yar s say da frekansda spektrum elde edilecektir. T f 1= seiminin Fourier spektrumunu dorudan Fourier izgi spektrumuna eit k ld na, yani gzlem uzunluu N

    iindeki gzlemin peryodik bir verinin ana peryoduna eit olduu varsay lm olaca na

    nceden deinilmiti. Eer veri asl

    nda sonsuz ise ve t N T = sadece gzlem uzunluunaeitse doal frekans seilebilirlii 1/T olacakt r. Bu nedenle birbirlerine uzakl 1/T olan

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    45/62

    51

    iki frekans bileeninin grlebilmesi iin frekans rnekleme aral 1/T den daha kk ve

    en az 1/2T olmal d r.

    Son olarak frekans ortam nda tan m verilmi bir verinin zaman ortam nda tekrar kurulmas konusunda baz zellikleri k saca belirtmek yerinde olacakt r. Fourier kuram na gre

    zaman ortam ndaki veri, spektrumun ters Fourier dnm ile verilir:

    ( ) ( ) df f X t x fti2e

    = (2.106)

    Eer elimizde Fourier spektrumu ( ) f X T varsa T ( ) f X T in s n rl Fourier dnmne

    eittir. Ayr ca bu spektrum f aral klar ile rneklenmi yani f k f = ise yukar dakidenklemde X(f) yerine TXk yaz labilir. Spektrumun Nyquist frekans f K f N = ile s n rl olduu gz nne al n rsa aa daki forml ile zaman ortam na geilebilir.

    ( ) f e X T t x f t f k i K

    K k k =

    = 2 (2.107)

    Zaman ortam nda srekli t yerinet n t= zamanlar nda hesaplama yap lacak olduunda,

    ( )t n f k i

    K

    K k k n e X t N t n x x

    === 2

    f (2.108)

    olacakt r veya K t f =1 2 kullan larak,

    ( ) K nk i K

    K k k n e X K

    N t n x x 22

    2

    === (2.109)

    ile zaman ortam nda elde edilecektir. Zaman ortam nda en nemli konu elde edilen verinin

    peryodik olma zorunluluudur. Hat rlanaca gibi, t aral klar ile rneklenmi bir verinin

    spektrumu peryodik olur. Yani t f N =12 de bir kendini tekrarlar. Ayn

    biimde f frekans aral ile rneklenmi bir spektrumun zaman ortam ndaki verisi 1/f aral klakendini tekrarlayacakt r. Bu nedenle T N t= uzunluundaki bir verinin spektrumu

    hesaplan rken frekans aral f serbest olmakla birlikte, eer zaman ortam na tekrar geridnldnde T aral nda ayn veri elde edilmek isteniyorsa dnte

    1 T f = al nmal d r.

    2.8.2 ok Boyutlu Fourier Dnm ve Fourier Spektrumu

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    46/62

    52

    Bir ok gzlemsel veri uzamsal ortamda ok boyutlu olarak gzlenir. Yeralt jeoloj k

    yap lar n n arat r lmas iin yeryznde veya havadan yap lan gravite alan , manyetik alan

    ve benzeri jeofizik lmeler, uzaktan alg lama verileri, optik yntemlerle yap langzlemler, x- nlar grntleri 2-boyutlu (2B) uzamsal verilere rneklerdir. Zaman ve

    uzamsal ortamlarda alg lanan ve k saca zaman uzakl k verileri denilen gzlemlerde

    uygulamada ok s k 3 boyutlu (3B) verileri olutururlar. Yeryznde bir dorultu boyunca

    birden fazla konumda alg lanan sismik yans ma ve k r lma verileri, deprem sismogramlar

    2B zaman uzakl k verileridir. Yeryznde 2B uzamsal ortamda serili al c dizinlerle

    alg lanan sismik veriler,ultrasonik veriler, 3B zaman uzakl k verilerine rneklerdir.

    Yeryznde 2B al c dzenler ve yer iinde kurulu al c lardan oluan yani 3B al c

    dzenlerle alg lanan veriler 4 boyutlu (4B) zaman-uzakl k verileridir. Zaman drdnc

    boyutu oluturur. Yukar da deinilen verilerin alg lanmas nda kullan lan al c dizinlerin ve

    nokta kaynak d nda kalan benzer verici dzenlerin frekans ve dalga say s ortamlar ndaki

    davran lar n n irdelenmesi iinde ok boyutlu Fourier dnm kuram na gereksinme

    vard r. Fourier dnm ile ok boyutlu verilerin analizlerinin yap lmas yan nda, bu

    verilerle ilgili uygulamalarda da yaralan l r. rnein ok boyutlu verilere szgeuygulamalar frekans ortam nda 1B verilerdeki gibi h zl Fourier dnm olana ndan

    yararlan l r.

    Uygulamada kar la lan veriler en fazla 3B ve bazende drt boyutlu olabilirler. Aa da

    verilen N-boyutlu Fourier dnm iftleri iin doada kar la lan veri boyutlar n n bir

    s n rlay c etkisi yoktur, yani N>4 olabilir. N say da t1,t2,.,t N srekli deikenlerine bal

    (N-boyutlu) x(t1,t2,....,t N) fonksiyonunun (verisinin) Fourier dnm X(f 1,f 2,.,f N)def 1,f 2,..,f N srekli deikenlerine bal bir N-boyutlu Fourier iftidir ve izleyen biimde

    yaz l r:

    +++= N t f t f t f i N N dt dt dt et t t x f f f X N N ...),....,(...),...,( )...( 2122121 2211 (2.110)

    +++= N t f t f t f i N N df df df e f f f X t t t x N N ...),...,(...),...,,( )...( 2122121 2211 (2.111)

    Ayr

    k veriler iin N-boyutlu Fourier ifti

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    47/62

    53

    = =

    =

    +++=

    1

    0 0

    1

    0

    2

    2121

    1

    1

    1

    2

    2

    22

    1

    11 M

    n

    M

    n

    M

    n

    M nk

    M nk

    M nk

    i

    N N

    N

    N

    N

    N N

    ennn xk k k x)...(

    ),...,,(...),...,,(

    (2.112)

    =

    =

    +++=

    1

    0

    1

    0

    1 2

    2121

    21

    1

    1

    2

    2

    2

    22

    1

    111 M

    k

    M

    k

    M

    k

    M nk

    M nk

    M nk i

    N N

    N

    N

    N

    N

    N N

    ek k k X M M M

    nnn x)...(

    ),...,,(......

    ),...,,(

    (2.113)

    dir. Yukar da (2.105) ba nt s nda k 1=0.1,...,M1 ve k N=0.1,...,M N; (2.106) ba nt s nda

    n1=0.1,...,M1 ve n N=0.1,...,M Ndir. Uygulamada en ok 3B ve 2B Fourier dnmnden

    yararlan l r. 3B sismik rlerinin tepki spektrumlar n n hesaplanmas nda, 3B szge

    dzenlemede ve 3B g ilelerinin hesaplanmas nda Fourier dnmnden yararlan l r.

    3B verilerinin frekans ortam analizleri yap ld ktan sonra bu verilerin szgelenmesi iin

    dzenlenen ok izli szge tepki yan tlar frekans ortan mda incelenir. 3B Fourier iftleri(2.103) (2.106) ba nt lar nda N=3 al narak kolayca yaz labilir.

    Uygulamada 2B verilerle daha ok kar la ld nda 2B Fourier dnmnn benzer

    ancak daha yayg n kullan m alanlar vard r. Iki boyutlu verilerin spektrumlar n n

    hesaplamnas ve uygun s n rl boyda szgelerin dzenlenmesi, sismik veriler iin ok izli

    szge dzenlemede kuramsal ilkelerin gelitirilmesi, bu szgelerin frekans yan tlar n n

    hesaplanmas ve sismik verilerin g ilemleri baz uygulama alanlar d r. Bu yaz n nizleyen blmleri daha ok 2B verilerle ilgili tart malar iermektedir. 2B Fourier ifti

    += dydt e yt xvu X vyut i 2 )(),(),( (2.114)

    ( ) ( ) ( ) dvduevu X yt x vyut i 2 +

    = ,, (2.115)

    dir. Yukar daki ift yaz l rken (2.103) ve (2.104) ba nt lar nda N=2 konulmas yerine

    kolayl k iin alt tak s olmayan u, v ve t,y deikenleri kullan lm t r. 2B ayr k Fourier ifti

    =

    =

    +=

    1

    0

    1

    0

    2

    2121

    1

    1

    2

    2

    2

    22

    1

    11 M

    n

    M

    n

    M nk

    M nk

    i

    enn xk k X )(

    ),(),(

    (2.116)

    =

    =

    +=

    1

    0

    1

    0

    2

    2121

    21

    1

    1

    2

    2

    2

    22

    1

    111 M

    k

    M

    k

    M nk

    M nk

    i

    ek k x M M

    nn x)(

    ),(),(

    (2.117)

    dir. Boyu uzun 1B gzlemsel verilerin Fourier dnmlerinin ve ters Fourier

    dnmlerinin hesaplanmas nda h zl Fourier dnm yntemlerinden yararlan l r. H zl

    Fourier dnmnden s n rl boyda 1B ve ok boyutlu szge dzenlemede ve

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    48/62

    54

    uygulamada da yararlan l r. ok boyutlu Fourier dnmleri hesaplan rken ilemler 1B

    Fourier dnmne indirgenerek 1B h zl Fourier yntemi kullan labilir. rnein (2.109)

    ba nt nt s yla verilen 2B Fourier dnm (2.111) ba nt s ndaki gibi yaz larak ilemler,

    iteki toplamdan d a doru yap labilir:

    )()(),(),( 1

    111

    1

    1

    2

    2

    22 21

    0

    1

    0

    2

    2121 M

    k ni M

    n

    M

    n

    M k n

    eenn xk k X

    =

    =

    = (2.118)

    Bu ba nt da n1 sabit tutulduunda keli ayralar iindeki toplam 1B olur. nce bu iteki

    toplam hesaplanarak buna s(n1, k 2) denilsin. s(n1, k 2) zaman ve frekans n fonksiyonudur.

    Daha sonra k 2 sabit tutularak d taki toplam hesaplanarak X(k 1, k 2) elde edilir.

    2B x(n1, n2) verisi ve Fourier dnm X(k 1, k 2) karma k olabilir. x(n1, n2)nin genlik

    spektrumu;

    ),(),(

    )),(()),((),(*

    2121

    221

    22121

    k k X k k X

    k k X sanal k k X gerel k k x

    =

    += (2.119)

    ve faz spektrumu;)),(/),(arctan(),( 212121 k k X gerel k k X sanal k k = (2.120)

    dir. * karma

    k elenei gstermektedir. Dairesel bak

    ml

    ve

    nsal bak

    ml

    l

    k gsteren2B fonksiyonlar n (verilerin) faz spektrumlar btn frekanslarda s f rd r. Bu zellik

    (2.107) ve (2.108) ba nt lar nda stel terim yerine edeer sins ve kosins fonksiyonlar

    yaz larak, yani

    ))(sin())(cos()( uyut iuyut e uyut i ++=+ 222 (2.121)Euler ba nt s kullan larak kolayca dorulanabilir. x(t, y) ve X(u, v) bak ml olduundan

    sin(2(ut+vy)) ile arp mlar tek fonksiyonlar olutururlar. Tek fonksiyonun (-, )

    aral nda integrali s f r olduundan (2.113) ba nt s nda sanal X(k 1, k 2)=0 olur.

    2B Fourier dnmnn 1B Fourier dnmne benzer zellikleri vard r. Tablo 2.4de

    uygulamada kar la lan zellikler sunulmutur. Bu zelliklerin varl 1B Fourier

    dnm zellikleri gibi dorulanabilir. Tablo 2.4de verilen zelliklerden uygulamada

    geni biimde yararlan l r. rnein evriim zellii 2B szgelemede bilgisayar zaman nda

    byk kazanlar salar. Szge katsay lar ve verinin daha nce deinildii gibi 2B h zl

    Fourier dnm ynteminden yararlan larak Fourier dnmleri al n r. 2Bfrekans

    ortam nda arp mlar gerekletirilerek bu arp m n 2B h zl Fourier dnmden

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    49/62

    55

    yararlan larak ters Fourier dnm, yani zaman ortam 2B szge k elde edilir. 2B

    Fourier dnmnn ikinci trev zellii, gzlemsel verilerin ilenmesinde kullan lagelen

    bir zaman ortam yntemi olan ikinci trev ileminin frekans ortam nda -42(u2+v2)ileciyle arpmaya edeer olduunu gstermektedir. Bu ile yksek frekanskar geiren

    dairesel bak ml bir szge zellii gsterdiinden grnt ve uzaktan alg lama

    verilerinde sinyallerin s n rlar n n belirginletirilmesinde kullan l r. Burada vurgulanmak

    istenilen trev zelliinin uygulanan ileci, analizi ve frekans yan t n n belirlemesidir.

    Tablo 2.4 2B Fourier dnmnn baz zellikleri

    x(t,y) X(u,v)

    lekleme ),(),( bv

    au

    X abbyat x1

    Dorusall k ),(),(),(),( vuGvu X yt g yt x ++ Kayma ),(),( )( vu X eb yat x bvaui + 2 Evriim ),().,(),(*),( vuGvu X yt g yt x ziliki

    221 ),(),( vu X c xx

    Parseval

    = dvduvu X dydt yt x

    41 22

    2 ),(),(

    Trev ),()()(),()()( vu X viui yt x yt nmnm

    22 ),(),(),( vuuX i yt x yt x

    t

    t 2=

    ),(),(),( vuvX i yt x yt x y

    y 2=

    ),(),(),( vu X u yt x yt xt

    tt 22

    2

    2

    4 =

    ),(),(),( vu xv yt x yt x y

    yy22

    2

    2

    4 =

    ),(),(),( vuuvX yt x yt x yt

    ty2

    24

    =

    ),()(),()( vu X vu yt x yt

    2222

    2

    2

    2

    4 ++

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    50/62

    56

    rnek

    t=1.0s ve N=10 olan;f(nt)=(1,2,3,2,0,-0.5,-1,0,1,0.5) olan ayr k zamanfonksiyonunu 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Zaman(ndt)

    G

    e n l i k ( c m

    )

    -1

    0

    1

    2

    3

    a) Fourier serisine a n z,

    b) Fourier katsay lar n iziniz,

    c) Fourier katsay lar ndan genlik ve faz spektrumlar n iziniz,

    d)

    Fonksiyonun 0 ile 10 aras

    ndaki deerini hesaplayarak iziniz,e) Fourier katsay lar n M=2N iin hesaplay n z ve iziniz,

    f) Fourier katsay lar ndan genlik ve faz spektrumlar n M=2N iin hesaplay n z iziniz.

    Bu rnek Fourier serilerinin ayr k veriler iin verilen trigonometrik ifadeleri kullan larak

    zlecektir.

    A klama

    Srekli fonksiyonunun boyu T iset eit aral klar ile rneklenmi (say sallat r lm )

    fonksiyonun veri boyu (nokta say s ) N=T/t olacakt r. Buna gre 00 tf 2t N2

    T2 =

    ==

    olur. Ayr k (say sallat r lm ) fonksiyonu f(t)=f(Nt)=f r eklinde gsterebiliriz. Budurumda ayr k fonksiyonlar iin Fourier seriye a l m ifadesi

    ( ) )tMr f 2cos(2

    atkr f 2sin btkr f 2cosaa21)tr (f f 0M

    1M

    1k 0k 0k 0r +++==

    =

    Burada M=N/2 dir. Yukar daki ba nt veri ift (N=2M) say da noktadan oluan

    fonksiyonlar iin kullan l r. Grld gibi seri M-1e kadar a l r ve aM katsay s na ait

    son terim sonradan eklenlenir. Bu durumda a katsay s Me kadar hesaplan rken, b

    katsay s (M-1)e kadar hesaplan r.

    M0,1,2,...,k tkr f 2tr f t N

    2a1 N

    0r 0k ==

    =)cos()(

    1-M1,2,...,k tkr f 2tr f t N

    2 b1 N

    0r 0k =

    =

    =)sin()(

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    51/62

    57

    Nokta say s n n (N=2M+1) tek olmas durumunda son terim kullan lmaz. nk a ve b

    katsay lar M say dad r. Bu durumda trigonometrik toplam M-1 deil Me kadar al n r.

    Buna gre seriye a l m ifadesi;

    ( )=

    ++==M

    1k 0k 0k 0r tkr f 2sin btkr f 2cosaa2

    1)tr (f f

    eklini al r. Fourier katsay lar

    M0,1,2,...,k tkr f 2tr f t N

    2a1 N

    0r 0k ==

    =)cos()(

    M1,2,...,k tkr f 2tr f t N

    2 b1 N

    0r 0k ==

    =)sin()(

    Not: Her iki durumda da b0 katsay

    s

    olmad

    iin bk iin kn

    n 1den, ak iin s

    f

    rdan balad na dikkat ediniz.

    1. Aama: Fourier katsay lar n n hesaplanmas

    t =1s, N=10 olduuna gre temel frekans f 0=1/Nt=1/10=0.1Hz dir. Nokta say s ift olduundan N=2M=10 M=5 olarak bulunur.

    a katsay lar

    k=0 iin;

    ))1901.02cos()9( )1801.02cos()8()1701.02cos()7()1601.02cos()6( )1501.02cos()5()1401.02cos()4()1301.02cos()3(

    )1201.02cos()2()1101.02cos()1()1001.02cos()0((102

    0

    +++++++

    ++=

    f

    f f f

    f f f

    f f f a

    0500100 01050000203020120a

    0))cos(.)cos()cos(

    )cos()cos(.)cos()cos()cos()cos()cos((.+++

    ++++=

    cos(0)=1 olduundan

    600150101500232120a0 .)..(. =+++++++=

    k=1 iin;

    ))9*1*2.0cos(5.0)8*1*2.0cos(1 )7*1*2.0cos(0)6*1*2.0cos(1)5*1*2.0cos(5.0)4*1*2.0cos(0

    )3*1*2.0cos(2)2*1*2.0cos(3)1*1*2.0cos(2)0*1*2.0cos(1(2.01

    ++++

    +++=a

    a1=0.990

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    52/62

    58

    k=2 iin;

    ))9*2*2.0cos(5.0)8*2*2.0cos(1

    )7*2*2.0cos(0)6*2*2.0cos(1)5*2*2.0cos(5.0)4*2*2.0cos(0 )3*2*2.0cos(2)2*2*2.0cos(3)1*2*2.0cos(2)0*2*2.0cos(1(2.02

    ++

    +++++=a

    a2=-0.778

    benzer ekilde;

    a3=-0.240 a4= 0.228 a5= 0.000

    hesaplan r.

    b katsay lar

    k=1 iin;

    ))9*1*2.0sin(5.0)8*1*2.0sin(1 )7*1*2.0sin(0)6*1*2.0sin(1)5*1*2.0sin(5.0)4*1*2.0sin(0

    )3*1*2.0sin(2)2*1*2.0sin(3)1*1*2.0sin(2)0*1*2.0sin(1(2.01

    ++++

    +++=b

    b1=1.055 b2=0.095 b3=0.005 b4=0.059

    seriye a l m ba nt s nda bu deerleri yerine koyarsak;

    ( ) )cos(sincos)( trMf 22atrk f 2 btkr f 2aa21tr f f 0M

    1M

    1k 0k 0k 0r +++==

    =

    )*.cos(

    .sin..cos..sin..cos.

    .sin..cos..sin..cos..)(

    52020

    4r 2005904r 2022803r 2000503r 202400

    2r 209502r 207780r 200551r 209900261r f f r

    +

    +++

    +++==

    burada rye 0dan 10a kadar deerler verildiinde fr fonksiyonunun deerleri elde edilir.

    rnin deeri art

    r

    ld

    nda fonksiyonun kendisini tekrarlad

    grlecektir. Bu da ayr

    k fonksiyonunaral nda peryodik olduu varsay m ndan kaynaklanmaktad r.

    Harmonik genlikleri;

    ( )212k 2k k bac /+= ba nt s ndan

    c0=1.600 c1=1.447 c2=0.784 c3=0.240 c4=0.236

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    53/62

    59

    Harmonik faz a lar ;

    =

    k

    k 1n a

    btan

    ba nt s ndan

    0= 0.000 1= -0.817 2= 0.122 3= 0.022 4= -0.252

    Harmonik genlik ve fazlar n n frekans n fonksiyonu olarak izilmesi ile genlik ve faz

    spektrumlar elde edilir.

    Hesaplamalar T/2

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    54/62

    60

    -0 .5 -0 .4 -0 .3 -0 .2 -0 .1 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5

    -1

    0

    2

    -0 .5 0 0 .00 0 .5 0

    -3.14

    0.00

    3.14

    frekans (Hz)

    frekans (Hz)

    ekil 13: 0.5

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    55/62

    61

    0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0fre kan s(Hz )

    0

    1

    2

    g e n

    l i k

    0 .0 0 0 .50 1 .0 0 1 .50 2 .0 0

    -3.14

    0 .00

    3 .14

    f a z

    ekil 15: 0

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    56/62

    62

    do 15 k=0,MMak=0.do 10 i=0,N

    10 ak=ak+x(i)*cos(2.*pi*f0*i*k)a(k)=2.0*ak/(NN*dt)

    15 write(*,*) a(k)write(*,*) 'b katsayilari'do 25 k=1,MMbk=0.do 20 i=0,N

    20 bk=bk+x(i)*sin(2.*pi*f0*i*k)b(k)=2.0*bk/(NN*dt)

    25 write(*,*) b(k)C spektrum hesaplan yor.

    do 30 i=0,MMamp(i)=sqrt(a(i)**2+b(i)**2)phase(i)=atan(-b(i)/A(I))

    30 CONTINUEDO 45 I=0,NYY=0.LL=Mif(2*M.eq.NN)LL=m-1DO 40 K=1,LLYY=YY+A(K)*COS((2.0*pi*f0*K*I))+B(K)*SIN(2.0*pi*f0*K*I)

    40 CONTINUEY(I)=(A(0)/2.0)+yyif(2*M.eq.NN)y(i)=y(i)+(a(m)/2.0)*cos(2.0*pi*f0*M*i)

    45 CONTINUEWRITE(*,*)'FOURIER ACILIMI'WRITE(*,36)(Y(I),I=0,N)

    36 FORMAT(F8.3)DO 50 I=0,MMC1=IC2=NN

    50 F(I)=C1/C2write(6,35)(F(I),a(i),b(i), amp(i),phase(i), i=0,MM)

    35 format(5f8.3)stopend

    Ayr k Fourier Dnm

    t=1.0s ve N=10 olanf(nt)=(1, 2, 3, 2, 0, -0.5, -1, 0, 1, 0.5)olan ayr k zaman fonksiyonun Fourier ve

    ters Fourier dnmlerini hesaplay n z.

    f =1/N=1/10=0.1Hzf N=1/2t=0.5Hz dir. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    Zaman(ndt)

    G e n

    l i k ( c )

    -1

    0

    1

    2

    3

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    57/62

    63

    A klamaAyr k Fourier dnmleri

    )f kr 2iexp(f N1

    f

    1 N

    0r r k =

    = Fourier dnm

    )f kr 2iexp(f N1f

    1 N

    0k k r =

    =Ters Fourier dnm

    ba nt lar ile hesaplan r.

    r=0 iin;

    ))1.0092iexp(5.0 )1.0082iexp(1)1.0072iexp(0)1.0062iexp(1

    )1.0052iexp(5.0)1.0042iexp(0)1.0032iexp(2

    )1.0022iexp(3)1.0012iexp(2)1.0002iexp(1(1.0f 0

    +++

    ++

    ++=

    ))0exp(5.0)0exp(1)0exp(0 )0exp(1)0exp(5.0)0exp(0)0exp(2)0exp(3)0exp(2)0exp(1(1.0f 0

    +++++++=

    exp(0)=1 olduundan

    80501010500232110f 0 .)..(. =++++++++=

    f 1,f 2,f 3,f 4,f 5 benzer ekilde hesaplan r. Aa daki tabloda 0

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    58/62

    64

    0.0 0 .5 1 .0fre kan s(Hz)

    0

    1

    g e n

    l i k

    0 .0 0 0 .5 0 1 .00

    0.00

    3.14

    6.28

    f a z

    ekil 16:0

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    59/62

    65

    AMP(i)=CABS(Y(I))phase(i)=atan2(-AIMAG(Y(I)),REAL(Y(I)))write (*,*) AMP(i),phase(i)

    30 CONTINUEdo 35 i=0,NN

    35 if(phase(i).lt.0)phase(i)=phase(i)+2*piWRITE(6,*)NNDO 25 I=0,NNR=REAL(Y(I))AIM=AIMAG(Y(I))

    25 WRITE(6,15)FRQ(I),R,AIM,AMP(I),PHASE(I)15 FORMAT(5F10.3)

    stopend

    Ayr k Ters Fourier Dn m

    nceki rnekte bir f(t) fonksiyonunun ayr k Fourier dnm hesaplanm t r. imdi

    hesaplanan Fourier dnmnn tersini, yani ters Fourier dnmn hesaplayal m.

    Ayr k ters Fourier dnm ba nt s aa daki gibidir.

    )exp( f rk 2if N1f

    1 N

    0k k r =

    =

    Bu ba nt dan da grlecei gibi yap lacak ilem AFD ile ok benzerdir, yaln zca stel

    ifadenin iareti deimitir.C Bu program Ters Fourier Dn m hesaplarC y(i)=giri verisi(spektral veri)(karma k)C df=frekans art m C dt= zaman rneklemesiC y(i)= k (zaman fonksiyonu)C

    COMPLEX Y(0:100),XX,XCdimension x(0:100)DATA PI/3.1415927/open(5,file='fourier.DAT',status='old')

    open(6,file='Tfourier.dat')read(5,*) NNN=NN-1DO 12 I=0,NNread(5,13)FRQ,XR,XI,AX,PXWRITE(*,13)FRQ,XR,XI,AX,PX

    12 Y(I)=CMPLX(XR,XI)13 FORMAT(5F10.3)

    DF=1./NNDT=1.DO 10 I=0,NXX=0.

    DO 11 K=0,NXC=CMPLX(0,2.*PI*K*DF*I*DT)

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    60/62

    66

    11 X(I)=X(I)+Y(K)*CEXP(XC)WRITE(*,18)X(I)WRITE(6,18)X(I)

    18 FORMAT(F8.4)10 CONTINUE

    stopend

    C ************************ CXFOUR.FOR *****************************C JFZ VER - LEM II DERS N YAZILMI TIRC Bu program ayr k Fourier dn m ifadesini kullanarakC Fourier spekrtumu hesaplarC x(i)=giri verisi(fk-ayr k zaman fonksiyonu)C frq(i)=frekansC amp(i)=genlik spektrumuC phase(i)= faz spektrumu(0-2pi aras nda tan mlanm t r)C y(i)= ik (fr-spektral de er)C xsp(i)=fourier katsay lar ndan hesaplanan spektrumC df=freakns (art m ) rneklemesiC dt=rnekleme aral C ******************** MAYIS-2000 MF *********************

    COMPLEX Y(0:100),YCdimension x(0:100),AMP(0:100),phase(0:100),FRQ(0:100)DATA PI/3.1415927/open(5,file='CXFOUR.VER',status='old')open(6,file='CXFOUR.SON')read(5,*) NNN=NN-1read(5,*)(x(i),i=0,N)write(*,9)(I,x(i),i=0,N)

    9 FORMAT(I3,F8.3)DF=1./nnDT=1.0DO 10 K=0,NNDO 11 I=0,NYC=CMPLX(0,-2*PI*K*DF*I)

    11 Y(K)=Y(K)+X(I)*EXP(YC)Y(K)=Y(K)/NNWRITE(*,*)Y(K)

    10 CONTINUEC spektrum hesaplan yor.

    do 30 i=0,NNFRQ(I)=I*DFAMP(i)=CABS(Y(I))phase(i)=atan2(-AIMAG(Y(I)),REAL(Y(I)))write (*,*) AMP(i),phase(i)

    30 CONTINUEWRITE(6,24)do 35 i=0,NN

    35 if(phase(i).lt.0)phase(i)=phase(i)+2*piDO 25 I=0,NNR=REAL(Y(I))AIM=AIMAG(Y(I))

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    61/62

    67

    25 WRITE(6,15)FRQ(I),R,AIM,AMP(I),PHASE(I)24 FORMAT(5x,'FREKANS',2x,'GEREL B L',2x,'SANAL B L',2x,'GENL K',3x,

    & 'FAZ')15 FORMAT(5F10.3)

    stopend

    CXFOUR.VER (VER DOSYASI)4

    1 2 3 2

    CXFOUR.SON (SONU DOSYASI)

    FREKANS GEREL B LEEN SANAL B LEEN GENL K FAZ.000 2.000 .000 2.000 .000.250 -.500 .000 .500 3.142.500 .000 .000 .000 1.571.750 -.500 .000 .500 3.142

    1.000 2.000 .000 2.000 .000

    C ************************* FOURIER.FOR ****************************C JFZ-VER - LEM-II DERS N YAZILMI TIR.CC

    Bu program Fourier katsay lar n trigonometrik ba nt lardanhesaplar,

    C bu katsay lardan Fourier spekrtumu hesaplar.C Bu program nokta say s n n tek ve itf olmas durumlar al r.C x(i)=giri verisiC a(i)= a katsay lar C b(i)= b katsay lar

    C dt= ornekleme aral g C f0= temel frekansC y(i)= fouerier serisiC amp(i)=fourier katsay lar ndan hesaplanan genlik spektrumuC phase(i)=fourier katsay lar ndan hesaplanan faz spektrumuC (N.CANITAZ,)-JFZ VER LEM-I,C (H.ZDEM R,)-JFZ VER LEM-II,C (M.F. ZER,2000)-JFZ VER LEM-II,C (M. BATH,1974) SPECTRAL ANALYSIS IN GEOPHYSICSC mfo-may s/2000C *****************************************************************

    dimension x(0:100),a(0:100),b(0:100),y(0:100),

    & amp(0:100),phase(0:100),F(0:100)open(unit=5,file='fourier.ver',status='old')open(unit=6,file='fourier.SON')data pi,dt/3.1415927,1.0/read(5,*) NNN=NN-1read(5,*)(x(i),i=0,N)write(*,9)(I,x(i),i=0,N)

    9 FORMAT(I3,F8.3)M=NN/2MM=MWRITE(*,*)'M=',M

    f0=1./(NN*dt)C fourier katsay lar hesaplan yor

  • 7/30/2019 2. FOURIER DNM

    62/62

    write(*,*) 'a katsayilari'do 15 k=0,MMak=0.do 10 i=0,N

    10 ak=ak+x(i)*cos(2.*pi*f0*i*k)a(k)=2.0*ak/(NN*dt)

    15 write(*,*) a(k)write(*,*) 'b katsayilari'do 25 k=1,MMbk=0.do 20 i=0,N

    20 bk=bk+x(i)*sin(2.*pi*f0*i*k)b(k)=2.0*bk/(NN*dt)

    25 write(*,*) b(k)C spektrum hesaplan yor.

    do 30 i=0,MMamp(i)=sqrt(a(i)**2+b(i)**2)phase(i)=atan(-b(i)/A(I))

    30 CONTINUEDO 45 I=0,NYY=0.LL=Mif(2*M.eq.NN)LL=m-1DO 40 K=1,LLYY=YY+A(K)*COS((2.0*pi*f0*K*I))+B(K)*SIN(2.0*pi*f0*K*I)

    40 CONTINUEY(I)=(A(0)/2.0)+yyif(2*M.eq.NN)y(i)=y(i)+(a(m)/2.0)*cos(2.0*pi*f0*M*i)

    45 CONTINUEWRITE(*,*)'FOURIER ACILIMI'WRITE(*,36)(Y(I),I=0,N)

    36 FORMAT(F8.3)DO 50 I=0,MMC1=IC2=NN

    50 F(I)=C1/C2write(6,34)

    34 format(2x,'Frekans',1x,'a-katsay',1x,'b-katsay',1x,'genlik',3x,'fa& z')

    write(6,35)(F(I),a(i),b(i), amp(i),phase(i), i=0,MM)35 format(5f8.3)

    stopend

    FOURIER.VER (VERI DOSYASI)4

    1 2 3 2

    FOURIER.SON (SONU DOSYASI)