da bölüm 12 laplace

DEVRE ANALİZİ

LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ

EE410 1Ertuğrul Eriş

LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ

NİYE DÖNÜŞÜM FAYDA/BEDEL

DEVRE/MATEMATİK MODEL DEVRE ÇÖZÜMÜ/DENKLEM ÇÖZÜMÜ İNTEGRO DİF DENK/DİF DENK/ CEBİRSEL

DENKLEM BAŞKA DÖNÜŞÜMLERE ÖRNEK

LOGARİTMA FREKANS DOMENİ

EE410 Ertuğrul Eriş 2

DEVRELERDE KAŞILAŞILAN İŞARETLER/FONKSİYONLAR

Elektriksel işaretler: Analog, sayısal Ses, görüntü, ışık, radyasyon, ultrason, Dönüştürücüler Fourier Dönüşümü Sinüsoidal işaretler

Kaynaklar DC kaynak + anahtar (Birim basamak), Süreksizlik noktası Süreksizlik noktasında türev

Dirac Delta fonksiyonu (Impulse)

Süreksizlik noktasında integral Bir boyutu sıfır olan alan (0)

AC

Lineer Devrelere görülen işaretler Doğru gerilim/akım AC gerilim/akım (Sönümlü) Üstel gerilim akım


LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ(TRANSFORM) TANIM-1


Öyle bir dönüşüm olsun ki Differensiyel denklemin tam çözümünü versin Tanım, Çevre ve Düğüm denklemleri Cebirsel olsun

L {f(t)}=F(s)=L {f(t)}f(t)= L -1 {F(s)}

)(

0dtetf st

LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ TANIM-2 İntegrasyon limitleri

Üst limit ∞bazı fonksiyonların Laplace’ı yok

Sınır - ∞ ile + ∞ arasında olmadığından, fiziksel gerçeğe uygun

One-sided/unileteral

Alt limit t=0 da süreklilik/süreksizlik t = 0- alt limit alınır t<0- ilk koşulların oluşumu t = 0- ile t=0+ aralığında integral: (0)

İstisna: Impulse function (Dirac Delta)

Functional/Operational Dönüşümler

L {f(t)}=

)(

0dtetf st

SÜREKLİ/SÜREKSİZ BAŞLANGIÇ


Alt limit t=0 da süreklilik/süreksizlikt = 0- alt limit alınırt<0- ilk koşulların oluşumut = 0- ile t=0+ aralığında integral: (0)İstisna: Impulse function (Dirac Delta)

BASAMAK (STEP) FONKSİYONU


Basamak fonksiyonu(matematik model).devrelerde Anahtarlamanın karşılığı:doğru gerilim kaynağının(DC) bir anahtarla devreye uygulanması.

. K, tKu(t)

tKu

0

0

0,t ,)(

K=1Birim basamak fonksiyonuUnit step function

BASAMAK FONKSİYONU SÜREKSİZLİĞİ


K.)Ku(

. K, tKu(t)

tKu

500

0

0, t,0)(

Teori*uygulama uyumluluğu

BASAMAK FONKSİYONUN ÖTELENMESİ


.

,0)(

a K, ta)Ku(t

a, tatKu

. 0

,)(

at, t)Ku(a

a, tKtaKu

Darbe (pulse)fonksiyonunu nasıl ifade edebiliriz?

KESİKLİ LİNEER(PIECEWISE LINEER) FONKSİYONLARIN BASAMAK FONKSİYONLARIYLA İFADESİ


)()()(

)()()(

)()(

)(

4382

3142

12

tutut

tutut

tutut

tf

SÜREKSİZLİK NOKTASINDA TÜREV: DEĞİŞKEN PARAMETRELİ FONKSİYON OLARAK IMPULSE

(DIRAC DELTA) FONKSİYONU


Değişken parametreli fonksiyon δ(t):Değişken parametre 0 a giderken;Fonksiyon, t=0 da sonsuza gider,Foksiyonun değişim aralığı, 0 a gider,Fonksiyon altındaki alan (1) dir.

0. )()0(' tf

BİR BAŞKA DEĞİŞKEN PARAMETRELİ FONKSİYON OLARAK DİRAK DELTA

FONKSİYONU δ(t)


Değişken parametreli fonksiyon δ(t):Değişken parametre 0 a giderken;Fonksiyon, t=0 da sonsuza gider,Foksiyonun değişim aralığı 0 a gider,Fonksiyon altındaki alan (1) dir.K: Strenght

.

//

)(

//

//

/

KKK

eKeK

dteK

dteK

Alan

eK

tf

tt

tt

t

22

1212

22

2

0

0

0

0

)()(, tKtf 0

DIRAC DELTA (IMPULSE) FONKSİYONUN MATEMATİKSEL TANIMI δ(t)

VE SIFTING (AYIRMA) ÖZELLİĞİ


strenghtK

t

KdttK

0 t,0)(

)(

.)()()(

ise, sürekli da

afdtattf

a tf(t)

Dirac delta fonksiyonunun ayırma özelliği (Shifting property):

DIRAC DELTA FONKSİYONU δ(t)’NİN LAPLACE’I


.)()()(

afdtattf

L {δ(t)}= 11)()(00

.dt.tdtet st

Sifting özelliği:

L {δ(t)}= 1

L {f(t)}=

)(

0dtetf st

DIRAC DELTA FONKSİYONUNUN TÜREVİNİN δ’(t) NİN LAPLACE’I


L {δ’(t)}= s

Genelleştirilmişi:L {δ(n)(t)}= sn

Detaylar için kitaba bakılabilirL {f(t)}=

)(

0dtetf st

BİRİM BASAMAK FONKSİYONU İLE DIRAC DELTA δ(t) FONKSİYONU

İLİŞKİSİ VE


f(t)→u(t) ε →0

f’(t) →δ(t) ε →0

δ(t)= du(t)/d(t)

BİRİM BASAMAK FONKSİYONU U(t) NİN LAPLACE’I


L {u(t)}= 1/s

sse

sdtetu stst 1

1011

00

)()(

L {f(t)}=

)(

0dtetf st

F(s) Rasyonel fonksiyon!

e-at NİN LAPLACE’I


L {e - at}= 1/(s+a)

L {f(t)}=

)(

0dtetf st


SİNÜS’ÜN LAPLACE’I


)(sin

)(cos

sincos

sincos

tjtj

tjtj

tj

tj

eej

t

eet

tjte

tjte

2

12

1

L {f(t)}=

)(

0dtetf st


)cos()cos(coscos

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

2

L {sin ωt }= ω/(s2+ω2)

L {cosωt }= s/(s2+ω2)Cos(ωt+φ) nin laplasını Nasıl hesaplarız?

RAMPA FONKSİYONUNUN LAPLACE’I


2

0

0

00

0

0

1

1

100

sdtte

sdttes

sdtetedtste

dtdvtv

dtsedueu

dtte

st

st

ststst

stst

st

)(

?

udvuvvdu

L {f(t)}=

)(

0dtetf st


DEVRELERDE KARŞILAŞILAN FONKSİYONLARIN LAPLACE-I


İmpuse δ(t) 1

Step u(t) 1/s

Ramp t 1/(s2)

Exponential e-at 1/(s+a)

Sine sinωt ω/(s2+ω2)

Cosine cosωt s/(s2+ω2)

Damped Ramp te-at 1/(s+a)2

Damped sine e-at sinωt ω/((s+a)2+ω2)

Damped cosine e-at cosωt (s+a)/((s+a)2+ω2)

L {f(t)}=

)(

0dtetf st

F(s)’ler Rasyonel fonksiyonlar!

OPERASYONEL DÖNÜŞÜMLER


Kf(t) KF(s)

f1(t)+f2(t)-f3(t) F1(s)+F2(s)-F3(s)

df(t)/dt sF(s)-f(0-)

d2f(t)/dt2 s2F(s)-sf(0-)-df(0-)/dt

dnf(t)/dtn snF(s)- sn-1f(0-)-sn-2 df(0-)/dt -dfn-1(0-)/dtn-1

F(s)/s

f(t-a)u(t-a), a>0 e-asF(s)

e-atf(t) F(s+a)

f(at), a>0 (1/a)F(s/a)

tf(t) -dF(s)/ds

tnf(t) (-1)n dnF(s)/dsn

f(t)/t

t

dxxf0

)(

t

duuF0

)(

Yorum: Laplace dönüşümüİntegro differansiyel denklem(leri) rasyonel fonksiyonlara dönüştürür.

L {f(t)}=

)(

0dtetf st

udvuvvdu

LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN DEVRELERE UYGULAMASI


)/()/(

/)(

LCsRCs

CIsv dc

112

)()(

)()(

)()(

:ise (0)koşoşulla ilk

)(

)(

sRIsV

ssCVsI

ssLIsV

Is

sI

tuIi

RR

cc

LL

dcdc

dcdc

1

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ-1 Devre çözümleri s-domeninde rasyonel

fonksiyonlar

Proper rational n<m Improper rational m<n

Rasyonel fonksiyonlar basit kesirler (Partial fraction expansion) toplamı biçiminde yazılabilir.

Bu basit kesitlerden de Laplace dönüşümünün lineerliğinden yararlanarak t domenine geçilebilir


01

11

1

01

11

1

....

....

)(

)()(

bsbsbsb

asasasa

sD

sNsF

mm

mm

nn

nn


0

22

KK

tutetjs

K

js

K

tutejs

K

js

K

tuKte

tuKe

t

t

at

at

)() cos(K2 )(

*

)( kök kompleks Katlı

)() cos(K2 *

kökKomplex

)( a)(s

K kök reel Katlı

)( as

K Reelkök

2

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ-2

Rasyonel fonksiyonun kutupları • reel ise ters laplace eksponansiyel• Kompleks ise eksponansiyel sönümlü sinüsoidal• İmajiner ise sinüsoidal sinsincoscos)cos(

K’nın s = -α+jβ köküne ait olduğu unutulmamalıdır!!!

u(t) 1/se-at 1/(s+a)sinωt ω/(s2+ω2)cosωt s/(s2+ω2)te-at 1/(s+a)2

e-at sinωt ω/((s+a)2+ω2)e-at cosωt (s+a)/((s+a)2+ω2)


)()())((

))((

))((

))(()(

tueesss

ss

s

K

s

K

s

K

sss

sssF

tt 68

321

487212068

12596

6868

12596

1-L

TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜMERİK ÖRNEK-1

ate

as

11-L

Katsız reel köklü bir rasyonel fonksiyon için ters Laplace örneği:

Bu fonksiyon bir devreye ilişkin olsa, yanar mı?



2

42

3212

13

6

11313

6

))((

)()()())((

sss

s

s

K

s

K

s

K

s

K

sss

s

L )()( ))((

)()())((

tueKteKeKKsss

s

s

K

s

K

s

K

s

K

sss

s

ttt

433

212

42

3212

13

6

11313

6

L

at

at

teas

eas

2

1

1

1-

1-

L

L

Katsız /katlı reel köklü bir rasyonel fonksiyon için ters Laplace örneği:



)()(

)(

)()()(

)(

tueetetss

s

K

K

K

K

s

K

s

K

s

K

s

K

ss

s

ttt 55523

4

3

2

1

42

33

213

20100200205

25100

20

100

400

20

5555

25100

at

n

n

at

en

t

as

teas

!1

1

1

1

2

1-

1-

L

L


Katsız /katlı reel köklü bir rasyonel fonksiyon için ters Laplace örneği:



TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ-4

Yorum: Eşlenik komplex köklerden –α+jβ ait K katsayısını bulmak yeter, K* bulmaya gerek yok; bu veri ile ters laplace doğrudan yazılabilir.Kökler yalnız imajiner olursa sonuç?

j

tr

rr

rr

t

eKK

tuter

tK

js

K

js

K

js

K

js

K

tuteKjs

K

js

K

js

K

js

K

)() cos()!()()(

)()(

)() cos()()(

)()(

*

*

*

*

1

2

2

11-

1-

L

L

Katsız eşlenik komplex kök

Katlı eşlenik komplex kök

Eşlenik Kompleks kutupları olan rasyonel fonksiyonların ters laplace’ına örnek


)( )cos())((

)(

)()()())()((

)()(

))((

))((

)()(

*

tuteesss

s

KejK

ejK

K

js

K

js

K

s

K

jsjss

ssF

jsjsss

sss

ssF

tt

j

j

0362

253

3

532

1

321

2

2

53420122566

3100

1086

1086

12

4343643436

3100

4343256

2566

3100

0

0

1-L 0

KK

tute

eKKe

js

K

js

K

t

tjtj

)()cos(K2

laplace Ters

*

kökKomplex

)(*)(

ateas

11-L



KATLI KOMPLEKS KUTBU OLAN RASYONEL FONKSİYONLARIN TERS LAPLACE’INI ALMAYA ÖRNEK


)( )cos(cos)(

)()(

)()(

)()(

)()(

*

*

**

tutettetf

ejK

K

ejK

K

js

K

js

K

js

K

js

K

jsjs

sssF

tt

j

j

033

902

1

902

1

22

1

22

1

22

22

9046424

33

12

33

12

4343

4343

4343

768

256

768


0

1

1

KK

tuter

t

js

K

js

K

tr

rr

)( ) cos( )!(

K2 laplace Ters

)(

*

)( kökKomplex Katlı


IMPROPER RATIONEL FUNCTION

Payın derecesi paydanınkinden büyük Bölme işlemi yapılarak

polinom+proper rasyonel functiona dönüştürülür

Polinomun ters dönüşümünden Dirac delta fonksiyonun türevleri ve/veya kendisi gelir

Proper rasyonel fonksiyonun ters dönüşümü ise önce yapıldığı gibidir



IMPROPER RATIONEL FUNCTION ÖRNEK

)t(u)ee()t(dt

)t(d

dt

)t(d)t(f

ssss

ss

sss)s(F

ss

ssss)s(F

tt 542

2

2

22

2

234

5020104

5

50

4

20104

209

1030104

209

3002006613

S-DÜZLEMİNDE KUTUP VE SIFIRLAR (POLES/ZEROS)


)js)(js)(s(s

)js)(js)(s()s(F

)ps)....(ps)(ps(

)zs)....(zs)(zs(K)s(F

n

n

868610

4343510

21

21

INITIAL AND FINAL VALUE TEOREMLERİ


)()(

)()(

limlim

limlim

0

0

ssFtf

ssFtf

st

st

Bulunan sonuçları test etmekte kullanabiliriz

ÖRNEK-1


ÖRNEK-2


ÖRNEK-3


ÖRNEK-4


ÖRNEK-5


ÖRNEK-6


ÖRNEK-7


ÖRNEK-8


ÖRNEK-9


ÖRNEK-10


PROGRAM ÇIKTILARI

ÖĞRENİM PROGRAMI OLUŞTURULMASI

?ÖĞRENİM PROGRAMI?

?ÖĞRENİM PROGRAMI?

öğ anket

Öğ.anket

Ders öğ.

anket

Öğrenci Profili

BÖLÜM, PROGRAM

ÖĞRENCİ

YENİ ÖĞRENCİ

İyileştirme araçları

DIŞ PAYDAŞLAR

Öğ. elem

Yönetim,idare

İç Paydaşlar

ÖĞRENCİ, ÜRÜN

DEVLET, ÖZEL SEKTÖR

MEZUNLAR, AİLELER

MESLEK OD, NGO

SONUÇ: ULUSAL/ULUSLARARASI AKREDİTASYON

A

B/V

E U

LUS

AL

YETER

LİK

LER

AB/ULUASAL

MEZUN ÖĞRENCİ

Çıktılar için veri top ve değerlendirme

ALAN YETERLİLİKLERİ

BİLGİKnowledge

BECERİSkills

KİŞİSEL/ MESLEKİ YETKİNLİKLERCompetences

DIŞ PAYDAŞ GEREKSİNİMLERİ

ORYANTASYON

ORYANTASYON

PROGRAM ÇIKTILARIPROGRAM

ÇIKTILARI

PROGRAM

ÇIKTILARI

ALAN yETERLİKLERİ

BLOOM’S TAXONOMYANDERSON AND KRATHWOHL (2001)

http://www.learningandteaching.info/learning/bloomtax.htm

!!Listening !!

48

TÜRKİYE YÜKSEKÖĞRETİM ULUSAL YETERLİKLER ÇERÇEVESİ (TYUYÇ)

TYUYÇDÜZEYİ

BİLGİ- Kuramsal- Uygulamalı

BECERİLER- Kavramsal/Bilişsel- Uygulamalı

KİŞİSEL VE MESLEKİ YETKİNLİKLER

Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk

Alabilme Yetkinliği

Öğrenme Yetkinliği

İletişim ve Sosyal Yetkinlik

Alana Özgü ve Mesleki Yetkinlik

6LİSANS

_____

EQF-LLL:6. Düzey

_____

QF-EHEA:1. Düzey

- Ortaöğretimde kazanılan yeterliklere dayalı olarak alanındaki güncel bilgileri içeren ders kitapları, uygulama araç –gereçleri ve diğer bilimsel kaynaklarla desteklenen ileri düzeydeki kuramsal ve uygulamalı bilgilere sahip olmak

- Alanında edindiği ileri düzeydeki kuramsal ve uygulamalı bilgileri kullanabilmek,

- Alanındaki kavram ve düşünceleri bilimsel yöntemlerle inceleyebilmek, verileri yorumlayabilmek ve değerlendirebilmek, sorunları tanımlayabilmek, analiz edebilmek, kanıtlara ve araştırmalara dayalı çözüm önerileri geliştirebilmek.

- Uygulamada karşılaşılan ve öngörülemeyen karmaşık sorunları çözmek için bireysel ve ekip üyesi olarak sorumluluk alabilmek,

- Sorumluluğu altında çalışanların mesleki gelişimine yönelik etkinlikleri planlayabilmek ve yönetebilmek

- Edindiği bilgi ve becerileri eleştirel bir yaklaşımla değerlendirebilmek, öğrenme gereksinimlerini belirleyebilmek ve öğrenmesini yönlendirebilmek.

- Alanıyla ilgili konularda ilgili kişi ve kurumları bilgilendirebilmek; düşüncelerini ve sorunlara ilişkin çözüm önerilerini yazılı ve sözlü olarak aktarabilmek,

- Düşüncelerini ve sorunlara ilişkin çözüm önerilerini nicel ve nitel verilerle destekleyerek uzman olan ve olmayan kişilerle paylaşabilmek,

- Bir yabancı dili kullanarak alanındaki bilgileri izleyebilmek ve meslektaşları ile iletişim kurabilmek (“European Language Portfolio Global Scale”, Level B1)

- Alanının gerektirdiği düzeyde bilgisayar yazılımı ile birlikte bilişim ve iletişim teknolojilerini kullanabilmek (“European Computer Driving Licence”, Advanced Level).

- Alanı ile ilgili verilerin toplanması, yorumlanması, duyurulması ve uygulanması aşamalarında toplumsal, bilimsel ve etik değerlere sahip olmak,

- Sosyal hakların evrenselliğine değer veren, sosyal adalet bilincini kazanmış, kalite yönetimi ve süreçleri ile çevre koruma ve iş güvenliği konularında yeterli bilince sahip olmak.

ULUSAL LİSANS YETERLİLİKLER ÇERÇEVESİ

BLOOMS TAXONOMY

DEVRE ANALİZİ DEĞERLENDİRME MATRİSİ

ALAN YETERLİLİKLERİ(ABET) a b c d e f g h i j kLineer elektrik devreleri, frekans -domanlarinde ‘çevre akımları’ ve ‘düğüm gerilimleri’ yöntemleriyle çözebilecekler.

3 3 3 1 2

Lineer elektrik devreleri, s -domanlarinde ‘çevre akımları’ ve ‘düğüm gerilimleri’ yöntemleriyle çözebilecekler.

3 3 3 1 2

Devre çözümlerini yorumlayabileceklerdir. 3 3 3 1 2

Frekans domeni çözümlerinin sınırları ve faydalarını açıklayabilecekler, t-domani çözümleriyle karşılaştırabileceklerdir.

3 3 3 1 2

s-domeni çözümlerinin sınırları ve faydalarını açıklayabilecekler, t-domani çözümleriyle karşılaştırabileceklerdir.

3 3 1 2

Lineer devreleri ‘Transfer fonksiyon’ları ile modelleyip analiz edebileceklerdir.

3 3 3 1 1

Çeşitli filtreleri RLC ve/veya işlemsel kuvvetlendirircilerle tasarlayabileceklerdir. (Sentez)

3 3 3 1 1

Lineer İki kapılı devreleri kullanarak devre analizi yapabileceklerdir.

3 3 3 1 1

Ertuğrul Eriş Devre Analizi İlk Ders 49

ÖĞ

RE

NİM

ÇIK

TIL

AR

I

da bölüm 12 laplace

Documents