b2. geometría en el espacio

8/17/2019 b2. Geometría en El Espacio

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GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

APLICACIONES DE LOS VECTORES

EJEMPLO: Representa el punto: A(2 ! "#$ B(% ! &$ ' C (& & #$

EJEMPLO: Daos los puntos A()*!$ +(")!&$ C(! "#))$a) ,alla las -oorenaas e los .e-toresb) ,alla el punto /e0o el se1/entoc) Co/pruea s0 los tres puntos se en-uentran al0neaos3d) ,alla el s0/4tr0-o e A respe-to e +3e) ,alla las -oorenaas el punto 5ue 0.0en el se1/ento en tres partes 01uales

EJERCICIO ): Cal-ula el .alor e a para el -ual los s01u0entes puntos est6n al0neaos: A(2 a &$ B(7 % 2$ C (8 * !$

EJERCICIO 2: Dos e los .4rt0-es e un paralelo1ra/o son los puntos A(! & ")$ ' B(2"2 !$3 El-entro el paralelo1ra/o est6 en el punto M () 2 ")$3 ,alla los otros os .4rt0-es3

EJERCICIO !: ,alla el s0/4tr0-o P 9 el punto P (2 )"!$ respe-to e Q(! % )$3

EJERCICIO #: ,alla las -oorenaas e los puntos P ' Q 5ue 0.0en al se1/ento e etre/os A(!") 2$ ' B("2 2 #$ en tres partes 01uales3

EC;ACIONES DE RECTAS

EJEMPLOS: a$ Ot4n las e-ua-0ones para/4tr0-as -ont0nua e 0/pl


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EJEMPLOS: Estu0a las pos0-0ones relat0.as e los pares e re-tas 5ue apare-en en estosapartaos3 Cuano se -orten -al-ula el punto one lo =a-en3

a)

b)

EJEMPLO: Estu0a se1>n los .alores el par6/etro a la pos0-0?n relat0.a e las re-tas r ' s3 @ot4n s0 uese pos0le sus puntos e -orte3

EJERCICIO 7: Estu0a la pos0-0?n relat0.a e estas re-tas3


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EJERCICIO * : Cal-ula el .alor e a para 5ue las re-tas r ' s se -orten en un punto ' ot4n 0-=o-orte3

EJERCICIO 83 Cal-ula el .alor e m para 5ue las s01u0entes re-tas sean -oplanar0as:

a) BCu6l ser6 la pos0-0?n relat0.a e r ' s para ese .alor e m

EC;ACIONES DE PLANOS

EJEMPLO:

A) ,alla las e-ua-0ones para/4tr0-as e 0/pl


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EJERCICIO )2 : ,alla la e-ua-0?n el plano 5ue -ont0ene a la re-ta r ' es orto1onal al plano 3

POSICIHN RELATIVA DE PLANOSA) DE DOS PLANOS3

EJEMPLOa$ ,alla la pos0-0?n relat0.a e p): 2 x " y z " % & ' p2: 3x % y 2 z ! &$ ,alla los .alores e m ' n para 5ue los s01u0entes planos sean paralelos:

p): 2 x " y z " % & ' p2: mx ny 2 z ! &-$ Ot4n la e-ua-0?n e un plano paralelo a p) 5ue pase por el punto A(! "2 )$3

EJERCICIO )!: Daos los planos: p: # x my mz 7 ' s: mx y ! & estu0a su pos0-0?nrelat0.a se1>n los .alores e m3

EJERCICIO )#: ,alla la pos0-0?n relat0.a e los s01u0entes planos se1>n el .alor el par6/etro a:

B) DE TRES PLANOS3


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EJEMPLO: Dao los s01u0entes planos estu0a su pos0-0?n relat0.a:

EJERCICIO )%: Estu0a la pos0-0?n relat0.a e los planos:

EJERCICIO )7: Deter/0na en un-0?n e a la pos0-0?n relat0.a e los s01u0entes planos:

POSICIHN RELATIVA DE RECTA @ PLANOS

EJEMPLO: Estu0a la pos0-0?n relat0.a e los s01u0entes planos ' re-tas:


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EJERCICIO )*: Daas las re-tas r s ' el plano 3 ,alla la pos0-0?n relat0.a entre a$ r ' s $ r ' 3

VECTOR NORMAL A ;N PLANO

A- Si de un plano cualquiera conocemos un punto (x0,y0,z0), y un vector perpendicular al mismo (a, b,

c), podemos escribir su ecuación que será: a(x-x0)b(y-y0)c(z-z0)d !0

EJEMPLO: ,alla la e-ua-0?n 0/pl


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EJERCICIO 2&: ,alla la e-ua-0?n el plano 5ue pasa por los puntos A()!2$ ' +("2%&$ ' esparalelo a la re-ta:

EJERCICIO 2): Co/pruea 5ue las re-tas r ' s son paralelas ' =alla la e-ua-0?n el plano 5ue las

-ont0ene:

&- &uando la recta ven%a dada como intersección de dos planos: 'n vector director de r se obtiene como

el producto vectorial de n x n$ (que son los vectores normales), por tanto ya podemos obtener la

ecuación de la recta donde coinciden

EKe/plo: ,alla las e-ua-0ones para/4tr0-as e la re-ta paralela a r 5ue pasa por el punto P(&")"!$

s0eno r:

EJERCICIO 22: ,alla las e-ua-0ones e los s01u0entes planos:

EJERCICIO 2!: Sean la re-ta r ' el plano :

EJERCICIO 2#:


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NG;LOS ENTRE RECTAS @ PLANOS

An%ulo entre dos rectas de

vectores de dirección d, d$An%ulo entre dos planos y $

de vectores normales n, n$

An%ulo entre una recta, de

vector de dirección d y u n

plano ,de vector normal n

EJEMPLO: Cal-ula el 6n1ulo 5ue or/a la re-ta -on el plano !'")&

EJEMPLO: Daos los planos : ') ' :"'&3

a) Cal-ula el 6n1ulo a1uo 5ue or/an ' 3b) Deter/0na las e-ua-0ones para/4tr0-as e la re-ta 5ue pasa por P()2!$ ' es perpen0-ularal plano 3

EJERCICIO 2%: Daas las re-tas r s ' el plano 3 Cal-ula el 6n1ulo 5ue or/an a$ r ' s $ s ' 3

EJERCICIO 27: Cons0era los planos p: 2 x ay # z " ) & ' s: ax 2 y # z " ! &3a$ Cal-ula el 6n1ulo 5ue or/an p ' s -uano a )3$ ,alla a para 5ue p ' s sean paralelos3-$ Deter/0na el .alor e a para 5ue s ' s sean perpen0-ulares3

EJERCICIO 2*: Daos las re-tas r ' s ' el punto P () & %)3 Cal-ula el 6n1ulo 5ue or/a la re-ta r -on el plano p perpen0-ular a s 5ue pasa por P 3

DISTANCIAS

A" DISTANCIA ENTRE DOS P;NTOS:

EJEMPLO: Cal-ula la 0stan-0a entre los puntos (2")*$ ' (!%")$

EJERCICIO 28 : ,alla el lu1ar 1eo/4tr0-o e los puntos P tales 5ue la 0stan-0a e P a A sea 01ualal tr0ple e la 0stan-0a e P a B s0eno A (") & &$ ' B () & &$3

+" DISTANCIA ENTRE ;N P;NTO @ ;NA RECTA:


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EJEMPLO: ,alla raonaa/ente la 0stan-0a e P(%77$ a la re-ta r: (% 2" $

EJERCICIO 2F : Cal-ula la 0stan-0a el punto P (! ) 2$ a la re-ta:

C" DISTANCIA DE ;N P;NTO A ;N PLANO:

EJEMPLO: Las -oorenaas e los puntos P R S son (#)")$(!!%$()&2-$())2$

respe-t0.a/ente:a$ ,alle el .alor e - para 5ue los .e-tores sean orto1onales3

A part0r e a=ora ' para too el resto e pre1untas use el .alor en-ontrao e - -o/o -oorenaael punto R

$ Cal-ule

-$ ,alle la e-ua-0?n e la re-ta l 5ue pasa por el punto ' es paralela al .e-tor

$ ,alle la e-ua-0?n el plano 5ue -ont0ene a la re-ta l ' pasa por el punto S3

e$ ,alle la 0stan-0a /6s -orta entre el punto P ' el plano

EJERCICIO !& : Dao el punto P( 2 & "!$ la re-tas r ' el plano 3 Cal-ula las 0stan-0as entre a$P' $P ' r

EJERCICIO !) : Ot4n el lu1ar 1eo/4tr0-o e los puntos 5ue e5u00stan e los planos p: ! x " 2 y # z " ) & ' s: # x 2 y " ! z 2 &3

D" DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

Se cortan Si son paralelas Se cruzan

istancia cero &alcularemos la distancia de

cualquier punto de una de ellas a

la recta

#uscaremos un vector que se

apoye en las dos rectas y sea

perpendicular a ambas *l

modulo de ese vector será la

distancia buscada

EJEMPLO: Cal-ula la 0stan-0a entre las os re-tas aas3

EJERCICIO !2 : Cal-ula la 0stan-0a entre las re-tas:


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EJERCICIO !! : Cal-ula la 0stan-0a entre las re-tas

E" DISTANCIA DE ;NA RECTA A ;N PLANO:

Se cortan &ontenida en el plano +aralela

istancia cero istancia cero a distancia será la de cualquiera

de los puntos de la recta al plano

EJEMPLO: Cal-ula la 0stan-0a entre la re-ta r: ()"! 2 )"$ ' el plano : !'&

EJERCICIO !# : ,alla la 0stan-0a e la re-ta r al plano

" DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS3

Se cortan o se cortan! .isma dirección!+aralelos

istancia será cero istancia será la de un punto de uno de los

planos al otro plano

EJEMPLO: Cal-ula la 0stan-0a entre los planos :' "%#& ' :2'")&&

EJERCICIO !% : ,alla la 0stan-0a el plano):# ")&' 2") al plano

REPASOEJERCICIO !7 : ,alla la pos0-0?n relat0.a e las s01u0entes re-tas ' es-r0e la e-ua-0?n el plano5ue las -ont0ene:

EJERCICIO !*3 a$ Es-r0e la e-ua-0?n el plano perpen0-ular a la re-ta r 5ue pase por P () 2")$3


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b) Cal-ula la 0stan-0a el punto P a la re-ta r 3

EJERCICIO !8a$ Cal-ula el .alor e m para 5ue los puntos P () 2 ")$ Q(& ") 2$ R(! ) ")$ ' S (m 2 )$ sean-oplanar0os ' es-r0e la e-ua-0?n el plano 5ue los -ont0ene3$ Ot4n un punto s0/4tr0-o e A() ") )$ respe-to el plano anter0or3

EJERCICIO !F : ,alla la e-ua-0?n e la perpen0-ular -o/>n a las re-tas:

EJERCICIO #& : A.er01ua las -oorenaas el punto s0/4tr0-o e P (! # ")$ respe-to e la re-ta r' -al-ula la 0stan-0a e P a r3

EJERCICIO #) :a$ ,alla la e-ua-0?n el plano 5ue -ont0ene a la re-ta r ' es perpen0-ular al plano

p: 2 x y z " 2 &3

$ Cal-ula el 6n1ulo 5ue or/an la re-ta r ' el plano p3

EJERCICIO #2 : Deter/0na la pos0-0?n relat0.a e las re-tas r ' s ' -al-ula la /


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EJERCICIO #* : Ot4n el punto s0/4tr0-o e P (2 ") !$ respe-to al plano p: ! x 2 y z " % &3

EJERCICIO #8 : Daos el punto P (! ) ")$ ' el plano p: ! x " y " z 2 -al-ula:a$ La e-ua-0?n e la re-ta 5ue pasa por P ' es perpen0-ular a p3$ El punto s0/4tr0-o e P respe-to a p3-$ E-ua-0?n el plano 5ue pasa por P ' es paralelo a p3

EJERCICIO #F : Daas las re-tas r ' s -al-ula a ' b para 5ue sean orto1onales ' -oplanar0as3

EJERCICIO %& : ;n -uarao t0ene uno e sus laos sore la re-ta r ' otro sore s3 Cal-ula el 6reael -uarao3

EJERCICIO %) : ,alla la e-ua-0?n e la re-ta s 5ue pasa por P (2 & )$ ' -orta perpen0-ular/ente

a la re-ta r3

EJERCICIO %2 : Deter/0na la e-ua-0?n e un plano p paralelo al plano e e-ua-0?n 2 x " y z # & ' 5ue 0sta )& un0aes el punto P (2 & )$3

EJERCICIO %! : ,alla la e-ua-0?n e la pro'e--0?n orto1onal r9 e la re-ta r sore el plano


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