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Geometría: Vectores en el espacio Matemáticas 2

- 1/22 - A.G.Onandía

Geometría: Vectores en el espacio

1. Concepto de vector

Sabemos que el conjunto de matrices Mmxn con las operaciones suma y producto por números

reales es un espacio vectorial sobre R. Por tanto, si consideramos el subconjunto de las matrices

M1xn es también un espacio vectorial.

2. Conjunto R3

Si creamos el producto cartesiano de RxRxR, que designaremos por R3, como:

realesnúmerosporformadasordenadasternaslastodasRxRxRR3

...,5,1,2,8,5,

2

1,7,2,3,1,0,0....,,,..,, RzRyRxqtzyx

x = primera coordenada, y = segunda coordenada, z = tercera coordenada

Hay que tener en cuenta que son ternas ordenadas, la (3,4,1) es distinta de la (4,3,1).

Todo el mundo debe saber asociar una terna con un punto en el espacio real.

Es evidente que el conjunto así definido coincide con el subconjunto de matrices M1x3 que por

tanto, con las correspondientes operaciones suma y producto por un escalar, le dotan de estructura

de espacio vectorial.

De esta identidad con M1x3 podemos deducir que:

“Para que dos ternas de números sean iguales deben de ser iguales sus primeras, sus segundas y

sus terceras coordenadas”

Ejemplo 1: Calcular “a”, “b” y “c” para que se verifique la siguiente igualdad: (2a,b,6)=(-1,1,3c)

Veamos como quedan definidas las operaciones en R3.



3. Operaciones básicas en R3

Vamos a definir dos operaciones en R3.

3.1 Suma en R3 :

Definición: 3,, Rzyx , 3',',' Rzyx (x,y,z)+(x’,y’,z’)=(x+x’,y+y’,z+z’)

Propiedades:

1.- Es una operación interna: al sumar dos ternas reales obtenemos otra terna real.

2.- Asociativa: 3,, Rzyx , 3',',' Rzyx , 3'','','' Rzyx

(x,y,z)+[(x’,y’,z’)+(x’’,y’’,z’’)]=[(x,y,z)+(x’,y’,z’)]+(x’’,y’’,z’’)

3.- Conmutativa: 3,, Rzyx , 3',',' Rzyx (x,y,z)+(x’,y’,z’)=(x’,y’,z’)+(x,y,z)

4.- Existencia de elemento neutro. 3,, Rzyx 3,, Rcba tq (a,b,c)+(x,y,z)=(x,y,z)

0

0

0

ccyc

bbyb

axxa

(a,b,c)=(0,0,0)

5.- Existencia de elemento simétrico . El elemento simétrico para la suma se denomina elemento

opuesto. 3,, Rzyx 3',',' Rcba tq (x,y,z)+(a’,b’,c’)=(0,0,0)

zccz

ybby

xaax

'0'

'0'

'0'

(a’,b’,c’)=(-x,-y,-z)

Recordar que: todo conjunto con una operación interna que verifica estas propiedades se dice

que es un grupo conmutativo.



3.2 Producto de un número real por una terna de R3 :

Definición: 3,, Rzyx , R (x,y,z)=(x, y, z)

Propiedades:

1.- Es una operación (o ley) externa, ya que a cada número real “” y a cada terna (x,y,z) de R3

le asociamos una nueva terna de R3 (x,y,z)

2.- Distributiva de la ley externa respecto de la interna .

Sea R, (x,y,z)R3, (x’,y’,z’)R

3 [(x,y,z)+(x’,y’,z’)]=(x,y,z)+(x’,y’,z’)

3.- Distributiva de la ley externa respecto a la suma de números reales:

Sea R, µR, (x,y,z)R3 (+µ)(x,y,z)=(x,y,z)+µ(x,y,z)

4.- Existencia de elemento neutro

1,,,,..,, 3

zz

yy

xx

zyxzyxqtRRzyx

5.- Asociativa mixta

R , , 3,, Rzyx [µ(x,y,z)]=µ(x,y,z) (µx,µy,µz)=(µx,µy,µz)=µ(x,y,z)

Recordar que: Todo conjunto que tiene dos operaciones, una interna y otra externa, que además

para la operación interna es un grupo conmutativo y que para la operación externa verifica las 5

propiedades anteriores, se dice que tiene una estructura de ESPACIO VECTORIAL.

Luego (R3,+,.) es un espacio vectorial, por ello a los elementos de R

3 les llamamos VECTORES

NUMÉRICOS y los denotamos por vu

, , … p. ej. 7,5,3u

Ejemplo 2: a) -7(5,-1,3)+3(2,5,-1)=

b) [2(1,-2,-4)+5(-2,3,0)]-(1/2)(4,6,7)+6(-1,8,3)=



A

B

4. Vectores libres en el espacio.

4.1 Introducción. Vectores fijos.

Hay magnitudes que no quedan bien definidas únicamente con un número p.ej. velocidad,

fuerza, … de ellas se necesita conocer su dirección y sentido. A estas magnitudes se les denominan

vectoriales y se representan por lo que denominamos vectores fijos.

Definición: Un vector fijo es un segmento orientado que tiene su origen en A y extremo en B y se

denota por AB .

Al conjunto de todos los vectores fijos del espacio se le denota por F3.

El punto A del vector fijo AB se denomina origen y B extremo

Para determinar un vector fijo hemos de conocer su módulo, dirección, sentido y origen:

MÓDULO de un vector AB es la longitud del segmento que une los puntos A y B. Se

representa por AB .

DIRECCIÓN de un vector AB es la recta que pasa por A y B y todas sus paralelas. Dos

vectores no nulos tienen la misma dirección si se encuentran en rectas paralelas

SENTIDO de un vector AB es el recorrido de la recta cuando vamos de A a B. Cada

dirección tiene dos sentidos.

ORIGEN de un vector AB es el punto A

Un caso particular de vector es el vector nulo, que tiene su origen y extremo en el mismo punto:

....,, BBAA



A

B

C

D

B C D

E F

A

A

B

C

D

4.1.1 Componentes cartesianas de un vector fijo

Si consideramos en el espacio el sistema cartesiano de coordenadas cualquier punto A queda

determinado por sus tres coordenadas cartesianas.

Definición: Sean A(x, y,z) y B(x’, y’,z’) dos puntos del espacio las componentes del vector AB

son zzyyxxAB ',',' se representa por zzyyxxAB ',',' y gráficamente son sus

proyecciones sobre el eje OX, el eje OY y el eje OZ, respectivamente.

Ejemplo 3: Dados los puntos A(2,5,7) y B(3,1,9), calcular:

a) Las componentes del vector fijo AB

b) Un vector fijo con las mismas componentes que AB cuyo origen esté en C(-3,-1,7).

4.1.2 Equipolencia de vectores fijos

Entre los vectores fijos vamos a establecer una relación que llamaremos relación de

equipolencia. Definición: Dos vectores fijos AB y CD son equipolentes si tienen las mismas

componentes i.e. fcyebydaCDABfedCDycbaAB ),,(,,

Hay otras tres formas semejantes de definirlas:

1.- CDAB si cumplen una de las siguientes condiciones:

Si son dos vectores no nulos y no contenidos en la misma recta

ABDC tiene que formar un paralelogramo (Regla del paralelogramo)

Si los dos vectores son no nulos y están contenidos en la

misma recta, debe de existir un tercer vector EF de modo que

ABFE y CDFE son paralelogramos.

AB y CD son nulos

2.- CDAB si los puntos medios de BCyAD coinciden

3.- CDAB si tienen la misma dirección, módulo y sentido. Ésta es intuitivamente la más

fácil de manejar.



D

E

A

C A B

C

D E F H

G

F

B

Ejemplo 4: Determinar que vectores son equipolentes en el hexágono y ortoedro adjuntos

Ejemplo 5: Las componentes del vector fijo AB son (3,2,5), calcular el punto A si B(1,-1,8)

Ejemplo 6: Dados los puntos A(1,-3,5) y B(-2,-1,6), calcular:


b) Un vector fijo equipolente a AB cuyo origen sea el punto C(4,-1,0)

c) Un vector fijo equipolente a AB cuyo extremo sea el punto F(1,3,7)

Ejemplo 7: Dados los puntos A(5,2,-1) y B(1,-2,3) calcular:


b) Un vector fijo equipolente a AB cuyo origen sea el punto C(-1,0,-1)

c) Idem. con extremo en el punto F(2,2,2)

4.2 Vectores libres

Definición : Llamaremos vector libre AB al conjunto constituido por un vector fijo AB y todos

sus equipolentes: ABXYtqXYAB

Un vector libre contiene todos los vectores de igual módulo, dirección y sentido.

Los vectores libres se denotan con letras minúsculas ...,,, wvu

Al conjunto de todos los vectores libres del espacio le denotamos por V3.

Se llama dirección, módulo y sentido de un vector libre no nulo a la dirección, módulo y sentido

de cualquiera de sus representantes. Se entiende por representante cualquier vector fijo contenido en

el vector libre.

Una propiedad de los vectores libres llamada propiedad fundamental es:

Teorema: “Cualquier vector libre u

tiene un único representante con origen en un punto O

arbitrario del espacio”



A

B

O

P

Demostración: Sea u

un vector libre cuyo representante es AB i.e. ABu

1.- si O no pertenece a la recta que pasa por A y B, construimos el

paralelogramo ABPO como intersección de una recta paralela a la que pasa

por A y B pasando por el punto O, de la recta que pasa por A y O y por la

recta por la recta paralela a la que pasa por A y O pasando por B, entonces:

OPuuOPOPAByuAB

i.e. OP es un representante de u

.

La unicidad viene dada de por la unicidad de la existencia del punto P, como intersección de dos

rectas no paralelas.

2.- Si el punto O pertenece a la recta que pasa por A y B. Elegimos un punto arbitrario C que no

está en la recta que pasa por A y B. Como C no está en la mencionada recta, por el apartado 1,

existe un único representante que pase por C.

Ahora nos quedamos con este representante y nos fijamos que el punto O no está en la recta que

contiene a este representante, por el apartado 1, existe un único representante que pasa por O.

CDuCDAB

ABu

OPuCDOP

CDu

La importancia de este teorema lo veremos cuando realicemos las operaciones con vectores

libres.

Ejemplo 8: Dados los puntos A(3,-4,5) y B(2,0,-4), calcular:

a) las componentes del vector libre u

uno de cuyos representantes es AB

b) el origen y el extremo de otro vector fijo que también sea representante de u

4.2.1 Vector posición de un punto

Definición: Dado un punto cualquiera 3RP , llamamos vector de posición del punto P, al vector

que tiene por origen el origen de coordenadas y por extremo el punto P, es decir al vector OP , que

lo denotaremos por p

.

A

B

C

D O

P



Se verifica que las componentes del vector p

coinciden con las coordenadas del punto P.

Sea P(x,y,z) zyxzyxOPp ,,0,0,0

Luego aplicando la propiedad fundamental de los vectores libres, cualquier vector libre AB ,

tiene un representante en el origen de coordenadas qOQ

, y las componentes de este vector

coinciden con las coordenadas cartesianas de su extremo Q.

Así, a cada vector libre le puedo asociar un punto y viceversa.

Ahora, teniendo en cuenta que tener un vector libre es equivalente a tener un punto y esto es

exactamente igual a tener un vector numérico, podemos deducir que los vectores libres se pueden

manejar igual que los vectores numéricos y por tanto tienen sus mismas propiedades. Esto es

interesante a la hora de plantear y resolver ejercicios.

4.2.2 Operaciones con vectores libres

Definición: Dos vectores libres son iguales cuando sus representantes son equipolentes i.e cuando

tienen las mismas componentes CDvyABusiendoCDABvu

Es una definición similar a la que hemos dado para igualdad de vectores numéricos.

4.2.2.1 Adición

Definición: Para sumar dos vectores u

y v

se representa uno de ellos u

, y con

origen en el extremo de u

, se representa el otro vector v

. El vector suma de

ambos, es el que tiene el origen de u

y el extremo de v

.

También se pude sumar aplicando la ley del paralelogramo:

“Se representan los vectores u

y v

con el mismo origen. El vector suma

es la diagonal del paralelogramo formado con u

y v

.”

Propiedades:

1.- Asociativa: wvuwvu

2.- Conmutativa: u

+ v

= v

+u

3.- Existencia de elemento neutro: o

+ u

=u

con AAo

u

v

vu

vu

u

v



4.- Existencia de elemento opuesto: u

+(- u

)= o

con BAu

El opuesto de un vector libre es otro vector libre de igual módulo, dirección y sentido contrario,

que nos permite definir la diferencia como vuvu

El conjunto de todos los vectores libres del espacio lo denotaremos por V3.

Así (V3,+) es un grupo conmutativo.

Ejemplo 9: Dados los vectores libres u

(2,-1,9) y v

(-3,4,3) calcular s

=u

+ v

Ejemplo 10: Si AB es un representante del vector libre u

y CD de v

siendo A(0,1,8), B(3,-2,-1),

C(1,0,1) y D(4,7,-1), calcular:

a) s

=u

+ v

b) Un representante de s

con origen en el punto E(2,1,1)

4.2.2.2 Producto de un número real por un vector

Definición: Al multiplicar un vector u

por un número real k, obtenemos un nuevo vector libre ku

que tiene:

- igual módulo al del vector u

por el valor absoluto del número k | ku |=|k||u

|

- igual dirección que la del vector u

- el mismo sentido que u

si k es positivo ó contrario si k es negativo.

- si k=0 le hacemos corresponder el vector nulo

Ejemplo 11: 2u

y -3 u

Propiedades:

1.- Distributiva del producto respecto de la suma vkukvuk

2.- Distributiva del producto respecto a la suma de números reales utuktku

3.- Asociativa mixta uktutk

4.- Elemento neutro para el producto 1. u

=u

u

u

u

2

u

3



Luego el conjunto de los vectores libres con la suma y el producto por un escalar es un espacio

vectorial que se denota por (V3,+,.).

4.2.3 Combinación lineal de vectores en V3

Definición: Dado un vector en el espacio 3Vv

, se dice que es combinación lineal de un conjunto

de vectores del espacio nuuu

...,,, 21 , si es posible encontrar unos números reales 1, 2,…,n, no

todos nulos, tales que nnuuuv

...2211

Se dice que un conjunto de vectores son linealmente dependientes o que forman un sistema

ligado, si uno cualquiera de ellos puede expresarse como combinación lineal de los demás. En caso

contrario diremos que son linealmente independientes o forman un sistema libre.

Esta definición de dependencia lineal es poco operativa la que se utiliza:

Definición: Se dice que un conjunto de vectores 3

21 ...,,, Vuuu n

son linealmente independientes

si la única combinación lineal de ellos es la trivial es decir: si 0...2211

nnuuu entonces

nii ,...,10

Gráficamente tres vectores (no nulos) son L.I. si tienen distinta dirección i.e .no son coplanarios

Nosotros utilizaremos otra herramienta que ya conocemos y que nos da información sobre la

independencia lineal de vectores como es el rango de las matrices que construimos con los vectores.

Ejemplo 12: Comprobar si los vectores 1,0,0)0,1,0();0,0,1( kyji

son L.I.

Aplicando directamente la definición operativa:

00,0,001,00,1,00,0,1 321321

Esto también se puede comprobar calculando el rango de la matriz

100

010

001

M hacemos su

determinante |M|=1≠0 luego RgM=3 i.e los vectores filas (columnas) son L.I.

Ejemplo 13: Indicar cuantos vectores L.I. del siguiente conjunto de vectores:

4,12,4,2,6,2,2,0,1,0,2,1 .



Se trata de hallar el rango de

4124

262

201

021

M fijarse que el rango máximo de M es 3 al ser

vectores de V3 por tanto el número máximo de vectores de V

3 L.I. es 3.

Orlando el menor de orden 2:

20

4124

201

021

262

201

021

001

21RgMtieneseorlando dos vectores L.I.

Definición: Un conjunto de vectores constituye un sistema generador si cualquier vector del

espacio se puede expresar como C.L. de ellos i.e.

nnnn vvvwqtRVwgeneradorsistemaVvvv

.....,...,,...,, 22111

33

21

Definición: Una base de un espacio vectorial es un sistema generador formado por vectores L.I.

Una base del plano V3 está formada por tres vectores de V

3 L.I.

Teniendo en cuenta lo que hemos visto antes, podemos decir que gráficamente tres vectores no

nulos y no coplanarios forman una base de V3.

En el espacio, al igual que ocurría en el plano, existen infinitas bases, es decir, infinitos

conjuntos de tres vectores L.I. en función de los cuales pueden expresarse todos los vectores del

espacio.

De todas las bases que podemos elegir de V3 la más sencilla es la formada por los vectores

1,0,0),0,1,0();0,0,1(;; kji

por ello se la denomina BASE CANÓNICA de V3. Estos tres

vectores tienen la propiedad de ser perpendiculares y tener módulo 1.

Si 321 ,, uuu

es una base de V3 llamamos componentes del vector w

a los 321 ,, tal que

332211 uuuw

i.e. 321 ,, w

en .

Ejemplo 14: Demostrar si los vectores )1,0,3(,0,1,2;1,0,0 321 uuu

forman una base de V3.

Hallar las componentes del vector (-11,-1,1) en dicha base. Sol: (2,1,3)

Ejemplo 15: Hallar la condición que deben verificar los valores a y b para que el vector (a,-2,b) sea

linealmente dependiente con los vectores. (1,2,4) y (-1,0,3). Sol: 3a+b+7=0



5. Aplicaciones geométricas de los vectores

5.1 Coordenadas del punto medio de un segmento

Sea el segmento AB con A(x1, y1,z1) y B(x2, y2,z2) y M(xm, ym,zm) el punto medio.

)ba(2

1)ab(

2

1aAB

2

1aAMam

Pasando esta ecuación vectorial a componentes tenemos:

212121222111 ,,2

1,,,,

2

1,, zzyyxxzyxzyxzyx mmm

2

2

2

21

21

21

zzz

yyy

xxx

m

m

m

Ecuación analítica

Segunda demostración:

mmmmmm zzyyxxzzyyxxMBAM 222111 ,,,, igualando las componentes

obtenemos

22

22

22

212121

212121

212121

zzzzzzzzzz

yyyyyyyyyy

xxxxxxxxxx

mmmm

mmmm

mmmm

Como generalización podemos hallar los puntos que dividen un segmento en un determinado

número de partes. Dividir el segmento AB en n+1 partes iguales. Tenemos que hallar los n

números ( k1, k2, , kn) que lo dividen en n+1 partes. Para ellos partiremos de que:

1n

ABAk1

,

1n

AB2Ak2

,

1n

AB3Ak3

, ,

1n

ABnAkn

O

A

B

M

a

m

b



Ejemplo 16: Hallar los puntos P y Q que dividen ala segmento AB en tres partes iguales con

A(3,2,7) y B(5,10,-2).

4,

3

14,

3

11

3

1ABap

1,

3

22,

3

13

3

2ABaq

5.2 Puntos alineados

Tres o más puntos A1, A2, …,An están alineados (i.e. son colineales) si están en la misma recta.

Vectorialmente esto quiere decir que 21AA , 31AA , … , nAA1 tienen la misma dirección, por lo

que se deben de ser proporcionales, es decir existen n-2 escalares k1, … ,kn-2 tal que

21AA =k1 31AA = … =kn-2 nAA1 . Utilizando rangos Rg(21AA , 31AA , … , nAA1 )=1

Ejemplo 17: Comprobar si están alineados los siguientes puntos:

a) A(2,3,4), B(1,3,-2), C(3,3,10) Si

b) P(2,4,4), Q(-3,2,1), R(7,4,9) No

Ejemplo 18: Hallar “p” sabiendo que los puntos A(2,5,-1), B(4,3,3) y C(0,p,-5) están alineados.

Sol p=3 2 2 4 2 2

, 1 0 2 14 0 32 5 4 2 5

Rg AB AC Rg p pp p

.

5.3 Puntos coplanarios

Cuatro o más puntos A1, A2, …,An son coplanarios si están en el mismo plano.

Esto quiere decir que entre los vectores 21AA , 31AA , … , nAA1 hay a lo sumo dos linealmente

independientes y por tanto Rg(21AA , 31AA , … , nAA1 )≤2

Ejemplo 19: Calcular el valor de “a” para que los cuatro puntos estén en el mismo plano (a,0,1),

(0,1,2), (1,2,3), (7,2,1).

Sol:

1 1

1 2 2 0 1

7 2 0

a

a a

a

O

A

B

P

a

p

b

Q

q



5.4 Baricentro de un triángulo

Se trata de hallar las coordenadas del baricentro de un triángulo conociendo las de sus vértices.

Recordemos que el baricentro de un triángulo es el punto donde

se cruzan las medianas. Y tiene la propiedad de que divide a

cualquiera de las medianas en dos segmentos tales que la longitud de

uno de ellos es el doble del otro.

2GP

CG

GN

BG

GM

AG

podemos escribir GM2AG

como M es el punto medio de BC

A(xa, ya, za) , B(xb, yb, zb) , C(xc, yc, zc) , G(xg, yg, zg) M

2,

2,

2

cbcbcb zzyyxx y por

tanto

GM2AG

g

abg

abg

cbagagag z

zzy

yyx

xxzzyyxx

2,

2,

22,,

32

32

32

cbaggcbag

cbaggcbag

cbaggcbag

zzzzzzzzz

yyyyyyyyy

xxxxxxxxx

Ejercicios.

G

A

B

C

N

M

P



6. Producto escalar

Definición: El producto escalar de dos vectores u

y v

es un número real que se obtiene del modo

siguiente: u

. v

=

nulovóusi0

nulosnovyusiv,ucosvu

De esta definición se desprende que si los vectores son perpendiculares (ortogonales) el

producto escalar es 0, es decir 0. vuvu

Ejemplo 19: Calcular (2 u

-3 v

)(3 u

+ v

) sabiendo que u

. v

=2,5, |u

|=1, | v

|=2. Sol. -47/2

6.1 Interpretación geométrica

=( u

, v

)=menor de los ángulos formados por

ambos vectores

vproyu

=proyección del vector v

sobre el vector

u

.

uproyv

=proyección del vector u

sobre el vector

v

.

Tenemos que u

. v

= cosvu

= vproyu u

= v

uproyv

“El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro

sobre el primero”

Ejemplo 20: Si |u

|=6 y u

. v

=-8; hallar razonadamente 18 vproyu

6.2 Propiedades del producto escalar

1.- u

. u

≥0 Demostración: 00cos.2 uuuuu

Corolario: Definición de módulo de un vector uuu

.

2.- Conmutativa: u

. v

= v

.u

Demostración: uvuvuvvuvuvu

.),cos(),cos(.

3.- Homogénea o asociativa del producto de un número real por el producto escalar de dos

vectores: vkuvukvukVvuRk

...,, 3

u

v

vproyu

u

v

uproyv

cosvvproyu

cosuuproyv



ku

u

v

ku

u

v

Demostración:

Si k=0 trivial

Si k>0 (k u

). v

=|k u

|.| v

|cos(k u

, v

)=|k||u

|| v

|cos( u

, v

)=

=k|u

|| v

|cos( u

, v

)=k( u

. v

)

Si k<0 (k u

). v

=|k u

|.| v

|cos(k u

, v

)=|k||u

|| v

|cos=

=-k|u

|| v

|cos(-)=-k|u

|| v

|(-cos(-))=

=k|u

|| v

| cos=k( u

. v

)

4.- Distributiva del producto escalar con respecto a la suma : u

.( v

+ w

)=u

. v

+u

. w

Ejemplo 21: Comprobar estas propiedades con los vectores )5,1,8()1,1,3(),1,6,2( wyvu

y k=-2

6.3 Expresión analítica del producto escalar en la base canónica

Sea 321 ,, eee

una base cualquiera del espacio y sean vyu

dos vectores que podrán

expresarse como C.L. de la base : 332211

332211

evevevv

eueueuu

el producto escalar será

)..(.)..(.)..(.

)..(.)..(.)..(.

)..(.)..(.).....

333323231313

323222221212

313121211111332211332211

eevueevueevu

eevueevueevu

eevueevueevueveveveueueuvu

matricialmente lo podemos expresar:

3

2

1

332313

322212

312111

321

...

...

...

.

v

v

v

eeeeee

eeeeee

eeeeee

uuuvu

(expresión 1)

Observación: la segunda matriz es simétrica, pues el p.e. es conmutativo.

Esta expresión se puede simplificar mucho si elegimos adecuadamente la base.

Definición: Un vector u

se dice que es unitario (normado) si 1u

.

Normalizar un vector es obtener otro vector a partir de él, que tenga la misma dirección y

sentido y de módulo 1, para ello lo único que hay que hacer es dividirlo por su módulo

u

uvVu

3



Demostración:

13 u

u

u

uv

u

uvVu

, luego ya tenemos la unicidad del módulo. La misma

dirección y sentido viene dado de que | u

| es un número positivo.

Definición: Tres vectores u

, v

, wV

3 se llaman ortogonales si lo son entre sí es decir vu

,

wu

, vw

y si además son de módulo 1 (|u

|=| v

|= w

=1) son ortonormales.

Definición: Una base cuyos vectores son perpendiculares y de módulo 1 recibe el nombre de base

ortonormal.

Expresión analítica del producto escalar en la base canónica

Un ejemplo de base ortonormal es la base canónica 1,0,0),0,1,0();0,0,1(;; kji

.

Utilizando esta base la 2ª matriz de la expresión 1 se convierte en la matriz identidad, pues

0..

0..

0..

jkkjkj

ikkiki

ijjiji

y 1...1 kkjjiikji

.

El producto escalar en una base ortonormal resulta:

expresión analítica del producto escalar

Mientras no se indique lo contrario emplearemos bases ortonormales

Como consecuencia de la expresión analítica del p.e. tenemos que 2

3

2

2

2

1. uuuuuu

6.4 Ángulo formado por dos vectores

De la propia definición u

. v

=|u

|.| v

|cos( u

, v

) cos( u

, v

)=vu

vu

.

Consecuencias:

- Dos vectores paralelos de igual sentido u

. v

=|u

|.| v

|

- Dos vectores paralelos de distinto sentido u

. v

=-|u

|.| v

|

Si tomamos una base ortonormal 2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211 ...,cos

vvvuuu

vuvuvuvu

332211 .... vuvuvuvu



6.5 Cosenos directores

Son los cosenos de los ángulos que forman el vector u

con cada uno de los vectores de la base

canónica

cosuu

u

u

1.u

001uuu

iu

i.u)i,ucos(cos 1

1321

del mismo modo

cosuu

u

u

1.u

010uuu

ju

j.u)j,ucos(cos 2

2321

cosuu

u

u

1.u

100uuu

ku

k.u)k,ucos(cos 3

3321

Con esto podemos expresar

kjiukujuiuu

coscoscoscoscoscos

Y además se verifica que 1coscoscos 222 pues

1coscoscos2

2

2

2

3

2

2

2

1222

u

u

u

uuu

Ejemplo 22: Dados los vectores 2,1,10,1,2 vyu

calcular:

a) El módulo de vyu

b) El producto escalar vu

.

c) el ángulo que forman

d) el valor de “m” para que el vector 3,2,mw

sea ortogonal con v

.

e) Hallar la proyección de vsobreu

y la de v

sobre u

Ejemplo 23: Comprobar que los vectores 3,1,01,3,1 vyu

son ortogonales y calcular sus

módulos

Ejemplo 24: Dados los vectores 3,,42,2, bvyau

hallar “a” y “b” para que sea perpendiculares

y además 13v

. Ejercicios



h

v

u

7. Producto vectorial.

Definición 19: El producto vectorial de dos vectores 3, Vvu

, se denota por vuóvu

, es

otro vector que tiene como:

1. módulo el producto de los módulos de vyu

por el seno del ángulo que forman i.e.

vusenvuvu

,

2. dirección una perpendicular a vyu

3. sentido, el que viene determinado por el avance del sacacorchos que gira de vau

por el camino más corto.

De esta definición puede deducirse que:

a) si 000

vuvóu

b) si vyu

tienen la misma dirección (i.e. son L.D.) entonces 0

vu

c) si queremos hallar un vector ortogonal a vyu

basta con hallar su producto vectorial.

Observación: los vectores cuyo producto escalar es cero son perpendiculares

Los vectores cuyo producto vectorial es cero son paralelos

7.1 Interpretación geométrica

El módulo del producto vectorial de vyu

representa geométricamente el área del paralelogramo que

determinan los vectores vyu

. .

Demostración:

ramologparaledeláreaalturaxbaseh.usenvuvu

h

Obsevación: a) v.u

vuv,utg

vu

v.uv,ucos

vu

vuv,usen

b) El área de un triángulo de vértices A, B y C es

vu

área del paralelogramo



ACABtriángulodelÁrea 2

1

7.2 Propiedades

1. Anticonmutativa: uvvuVvu

3,

2. Asociativa de la multiplicación de un escalar (homogénea).

vkuvukvukRkVvu

)(,, 3

3. Distributiva respecto a la adición: wuvuwvuVwvu

)(,, 3

Ejemplo 25: Comprobar estas propiedades con los vectores: 2)0,5,1(),1,4,3(),2,3,1( kywvu

7.3 Expresión analítica

Tomamos el sistema de referencia kji

,,,0 entonces:

expresión analítica

Demostración:

filalaporndodesarrolla

vvv

uuu

kji

vuVvu ª1,

321

321

3

….(Oxford pag268)

Ejemplo 26: Hallar vu

. con los vectores 1,2,2,0,1,2 vu

. Sol. (-1,-2,-6)

Ejemplo 27: Dar un vector ortonormal a 1,3,2,0,1,1 vu

y calcular el área del paralelogramo

que determinan. Sol 2u33Áreay9

35,

9

3,

9

3

vu

vu

Ejemplo 28: Hallar el área del triángulo determinado por los puntos: A(1,-2,3), B(3,-1,4) y C(6,-2,1)

Sol 2u

2

110

321321

321

321

3 ,,);,,(, vvvvuuuucon

vvv

uuu

kji

vuVvu



u

v

w

h

vu

8. Producto mixto

El producto mixto es una combinación del p.v. y el p.e..

Definición: Dados tres vectores 3,, Vwvu

se define su producto mixto como ).( wvu

, en

ocasiones se denota wvu

,, .

8.1 Expresión analítica

En un sistema de referencia kji

,,,0 podemos poner:

Expresión analítica

Comprobación:

321

321

321

21

21

3

31

31

2

32

32

1

21

21

31

31

32

32

321

www

vvv

uuu

ww

vvu

ww

vvu

ww

vvu

ww

vv,

ww

vv,

ww

vvu,u,u)wv.(u

Interpretación geométrica

Sean 3,, Vwvu

el módulo del producto mixto wvu

. es el volumen del paralelepípedo

construido sobre ellos.

Demostración:

Sea el ángulo formado por wvyu

i.e wvu

,

h

cosuwvwvu área de la base por la altura =

= área del paralelogramo de la base por la altura = volumen del

paralelepípedo

321321321

321

321

321

3 ,,;,,);,,().(,, wwwwvvvvuuuucon

www

vvv

uuu

wvuVwvu

pedoparalelepidelvolumenwvu

.



Observación: teniendo en cuenta que Vtetraedro = 1/3 Vprisma triangular

Vprisma triangular = 1/2 Vparalelepipedo

Podemos deducir que el volumen de un tetraedro es

Vtetraedro=1/3 Vprisma triangular=1/6 Vparalelepipedo= wvu

.6

1

Ejemplo 29: Dados los vectores 1,2,53,1,1,2,1,1 wyvu

calcular su producto mixto. Sol -17

Ejemplo 30: Determinar el volumen del paralelepípedo construido sobre los vectores

2,1,32,2,2,2,0,1 wyvu

. Sol 10u3.

Ejemplo 31: Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son: A(3,2,5), B(5,-1,4), C(3,-1,-1) y

D(4,-3,0). Sol 5/2

Ejercicios

geometría: vectores en el espacio - intef -...

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