puntos, rectas y planos en el espacio espacio afín vectores en el espacio vectores en el espacio...

Puntos, rectas y planos en el Puntos, rectas y planos en el espacioespacio

Espacio afínEspacio afín

Vectores en el espacioVectores en el espacio Espacio afínEspacio afín Ecuaciones de la rectaEcuaciones de la recta Ecuaciones del planoEcuaciones del plano Posiciones relativas de rectas y planosPosiciones relativas de rectas y planos Haz de rectas y planosHaz de rectas y planos Posiciones relativas de rectas y planos Posiciones relativas de rectas y planos

con esferacon esfera

Vectores en el espacioVectores en el espacio

Dados dos puntos en el espacio A y B, se define vector fijo AB al segmento

orientado de origen el punto A y de extremo B

El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos. El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos. La dirección de un vector es la recta que lo contiene.La dirección de un vector es la recta que lo contiene. El sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremoEl sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremo

Dos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen el Dos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen el

mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores

equipolentes se puede representar por un único vector u, llamado equipolentes se puede representar por un único vector u, llamado

VECTOR LIBRE.VECTOR LIBRE. El conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por VEl conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por V33

Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).figura de CABRI).

http://webs.ono.com/joaquinmateca1/VECTORES_LIBRES.htm

SUMA GRÁFICAS DE VECTORESSUMA GRÁFICAS DE VECTORES

VECTOR SUMA u + v de los VECTOR u= AB y v = CD. VECTOR SUMA u + v de los VECTOR u= AB y v = CD.

Si el vector BE es EQUIVALENTE al VECTOR CD.Si el vector BE es EQUIVALENTE al VECTOR CD.

El VECTOR SUMA será el VECTOR AE.El VECTOR SUMA será el VECTOR AE.

Ver SUMA DE VECTORES en el plano (Ver SUMA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).

AA E DE D

B CB C

O si el vector AF es EQUIVALENTE al VECTOR CD. Y E es el punto del O si el vector AF es EQUIVALENTE al VECTOR CD. Y E es el punto del

espacio, tal que los puntos A, B, F, E, son los vértices de un paralelogramoespacio, tal que los puntos A, B, F, E, son los vértices de un paralelogramo

El VECTOR SUMA será el VECTOR de la diagonal AE (El VECTOR SUMA será el VECTOR de la diagonal AE (regla del regla del

PARALELOGRAMOPARALELOGRAMO).).

FFAA E DE D

B CB C

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VECTOR OPUESTO. DIFERENCIA GRÁFICA DE VECTORESVECTOR OPUESTO. DIFERENCIA GRÁFICA DE VECTORES

El VECTOR OPUESTO – u al VECTOR u = AB es el VECTOR El VECTOR OPUESTO – u al VECTOR u = AB es el VECTOR

EQUIVALENTE al VECTOR BA. Denominado - u = - ABEQUIVALENTE al VECTOR BA. Denominado - u = - AB

Ver RESTA DE VECTORES en el plano (Ver RESTA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).

El VECTOR RESTA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR suma El VECTOR RESTA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR suma

de los VECTORES AB y – CD.de los VECTORES AB y – CD.

A CA C

B DB D

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PRODUCTO GRÁFICO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR.PRODUCTO GRÁFICO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR.

El VECTOR PRODUCTO r u de un número r por el VECTOR u = AB es el El VECTOR PRODUCTO r u de un número r por el VECTOR u = AB es el

VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de extremos VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de extremos

A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB.A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB.

Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).

E E

B B A A VECTOR AE = 5. AB = 5.uVECTOR AE = 5. AB = 5.u

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Así por ejemplo el vector u , es combinación lineal de uAsí por ejemplo el vector u , es combinación lineal de u11, u, u22 y u y u33, puesto que:, puesto que:

- 2 u- 2 u11 + 3 u + 3 u22 + u + u33 = u = u

Un conjunto de vectores, uUn conjunto de vectores, u11, u, u22 , … , u , … , unn, linealmente independientes, si la única , linealmente independientes, si la única

combinación lineal nula es la trivial, es decir Si kcombinación lineal nula es la trivial, es decir Si k11. u. u11 + k + k22 . u . u22 + … + k + … + knn . u . unn = 0 = 0

implica que kimplica que k11 = k = k22 = … = k = … = k nn = 0. En otro caso decimos que son dependientes = 0. En otro caso decimos que son dependientes

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.

Un VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se puede Un VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se puede

obtener utilizando la suma, resta o producto de un real por un vector, con dichos obtener utilizando la suma, resta o producto de un real por un vector, con dichos

vectores.vectores.

Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).

http://webs.ono.com/joaquinmateca1/COMBINACION_LINEAL_VECTORES.htm

BASES DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO. COORDENADAS DE VECTORES.BASES DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO. COORDENADAS DE VECTORES.

Dados tres vectores u, v y w no coplanarios ni nulos. Cualquier vector z, se Dados tres vectores u, v y w no coplanarios ni nulos. Cualquier vector z, se

puede poner como combinación lineal de los tres vectores u, v y w .puede poner como combinación lineal de los tres vectores u, v y w .

Una BASE { u , v, w } de los vectores del espacio está formada por tres Una BASE { u , v, w } de los vectores del espacio está formada por tres

vectores no coplanarias, ni nulos.vectores no coplanarias, ni nulos.

Si { u, v, w } es una BASE. Dado un vector z, si a, b, c son dos números Si { u, v, w } es una BASE. Dado un vector z, si a, b, c son dos números

reales, tales que: reales, tales que: z = a u + b v + c w. Decimos que (a, b, c) son las z = a u + b v + c w. Decimos que (a, b, c) son las

coordenadas de z, respecto de la BASE { u, v, w } coordenadas de z, respecto de la BASE { u, v, w }

Así por ejemplo el vector u , respecto de la base { uAsí por ejemplo el vector u , respecto de la base { u11, u, u22 y u y u3 3 } tiene de } tiene de

coordenadas: (-2,3,1)coordenadas: (-2,3,1)

Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).

http://webs.ono.com/joaquinmateca1/Coordenadas%20de%20un%20vector.fig

OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES.OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES.

Fijada una BASE ( u, v, w ). Supondremos ortonormales (Fijada una BASE ( u, v, w ). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y perpendiculares de y

norma 1norma 1).).

Entonces, si (a, b, c) y (d, e, f) son las coordenadas de los vectores p y q Entonces, si (a, b, c) y (d, e, f) son las coordenadas de los vectores p y q

respectivamente, es decir:respectivamente, es decir:

p = (a ,b, c)p = (a ,b, c) y y q = (d, e, f )q = (d, e, f )

Si r es un número real entonces:Si r es un número real entonces:

p + q = ( a + d , b + e, c + g )p + q = ( a + d , b + e, c + g )

p - q = ( a - d , b - e, c – g )p - q = ( a - d , b - e, c – g )

r. p = ( r.a , r.b, r.c )r. p = ( r.a , r.b, r.c )

r. q = ( r.d , r.e, r.f )r. q = ( r.d , r.e, r.f )

VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (excel)excel)

Operaciones con vectoresVector Coordenadas

u = ( 1,00 , 0,00 , 0,00 )

v = ( 0,00 , 1,00 , 0,00 )Operaciones

u + v = ( 1,00 , 1,00 , 0,00 )

u - v = ( 1,00 , -1,00 , 0,00 )

1,00 x v = ( 1,00 , 0,00 , 0,00 )

1,00 x v = ( 0,00 , 1,00 , 0,00 )

HAZ DOBLE CLIC

http://webs.ono.com/joaquinmateexc1/PUNTOS%20Y%20VECTORES.xls

Espacio AfínEspacio Afín

ESPACIO AFÍN.ESPACIO AFÍN.

SISTEMA DE REFERENCIA DEL PLANO CARTESIANO.SISTEMA DE REFERENCIA DEL PLANO CARTESIANO.

Fijada una BASE (u, v, w). Supondremos ortonormales (Fijada una BASE (u, v, w). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y perpendiculares de y

norma 1norma 1), y un punto en el plano O, al conjunto {O, u, v, w}, lo denominamos ), y un punto en el plano O, al conjunto {O, u, v, w}, lo denominamos

SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO.SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO.

Además, para cualquier punto P del plano, el vector r = OP, se denomina Además, para cualquier punto P del plano, el vector r = OP, se denomina

VECTOR DE POSICIÓN del punto P. Si P = (a, b, c) ) , OP = ( a , b, c) VECTOR DE POSICIÓN del punto P. Si P = (a, b, c) ) , OP = ( a , b, c)

Para cada punto P y cada vector r, existe un único punto Q, tal que r = PQ.Para cada punto P y cada vector r, existe un único punto Q, tal que r = PQ.

Si P = (a, b, c) y Q = (d, e, f). Se cumplirá:Si P = (a, b, c) y Q = (d, e, f). Se cumplirá:

PQ = OQ – OP = (d, e, f) – (a, b, c) = (d – a , e – b, f – c) )PQ = OQ – OP = (d, e, f) – (a, b, c) = (d – a , e – b, f – c) )

VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (figura de CABRI)figura de CABRI)

Coordenadas del Punto P

Coordenadas del Vector OP

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SISTEMA DE REFERENCIA DE UN ESPACIO AFÍN.SISTEMA DE REFERENCIA DE UN ESPACIO AFÍN.

COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO.COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO.

Rectas en el espacioRectas en el espacio

Una recta r en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y un

vector no nulo v =(v1,v2,v3) , denominado vector director de la recta r = r(A,v)

,OP OA AP OP OA v ��

La ecuación vectorial de r es

1 1 1 1 1

1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

, , , , , ,

x a v x a b a

x y z a a a v v v y a v y a b a

z a v z a b a

La ecuación paramétrica de r es

=(x,y,z)Si v = AB, la recta r = r(A,AB) viene determinado

por dos puntos A(a1,a2,a3) y B(a1,a2,a3)

3 31 2 1 2

1 2 3 1 1 2 2 3 3

z a z ax a y a x a y a

v v v b a b a b a

La ecuación continua de r es

2 1 1 2 2 1

3 2 2 3 3 2

0

0

v x v y a v a v

v y v z a v a v

La ecuación general de r es

ECUACIONES DE LA RECTA.ECUACIONES DE LA RECTA.


Ejemplo.- Dada la recta (x,y,z) = (-3,1,5) + .(2,-1,0), averigua si A=A(-5,2,5)

y B=B(1,-2,5) son puntos de la recta

(-5,2,5) = (-3,1,5) + .(2,-1,0) =0

(1,2,5) = (-3,1,5) + .(2,-1,0) no existe

Luego A si es un punto de la recta y B no lo es.

3 3

2 3

x

y

z

Ejemplo.- Dados los puntos A = A(0,3,2) y B = B(-1,0,5), escribir las

ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dichos puntos

Como un vector director de la recta es AB = (-1,-3,3) y pasa por A(0,3,2)

será


Ejemplo.- Determinar si los puntos A = A(1,1,-1), B = B(0,3,1) y C = C(2,-2,0)

están alineados

Como AB = (-1,2,2) y AC = (1,-3,1) y el rango (AB,AC) es =

1 1 2

2 3 1

x y z

Ejemplo.- Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por A(1,-1,2) y

que tiene dirección perpendicular a los vectores u = (0,1,3) y v = (1,1,1)

Dado que un vector perpendicular a u y a v es w = (-2,3,-1), la ecuación

es

1 1

2 3 2

2 1

Rango

Y Los puntos A, B y C no están alineados

El planoEl plano

Una plano en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y dos

vectores no nulos e independientes u = (u1,u2,u3) y v =(v1,v2,v3) , denominados

vectores directores del plano = (A, u, v )

=(x,y,z)

Si u = AB, v =AC, el plano = (A,AB,AC) viene determinado por tres puntos A(a1,a2,a3),

B(a1,a2,a3) y C(c1,c2,c3)

El planoEl plano

,OP OA AP OP OA u v ��

La ecuación vectorial de es

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

, , , , , , , ,

,

x y z a a a u u u v v v

x a u v x a b a c a

y a u v y a b a c a

z a u v z a b a c a

Las ecuaciones paramétrica de son

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0 0, , , ,

x a u v

y a u v A x B y C z D A B C D

z a u v

La ecuación general de es

ECUACIONES DEL PLANO.ECUACIONES DEL PLANO.

El planoEl plano

31 12 23 3

3 1 3 0 3 02 2

2 2 3

x

y x z

z

Dado un punto A(1/2,3,2) y la recta (x,y,z) = (2+,-,5+) con . Hallar la

ecuación general del plano que contiene a ambos.

Como podemos tomar como puntos del plano A(1/2,3,2) y B(2,0,5), y como vectores

directores u = (1,-1,1) y v = AB = (3/2,-3,3), la ecuación general será

1 5 3

Como R , , R 1 2 4 2 A, B y C son coplanarios

9 2 8

ango OA OB OC ango

��

Ejemplo.- Averiguar si los puntos O(0,0,0), A(1,-1,3), B(5,2,-2) y C(-3.-4,8) son

coplanarios

Tomando 0,0,0 , 1,0,0 , 0,0,1 , La ecuación del plano será

1 0

0 0 0 0 0, 0

0 1

O i j

x

y y y

z

Determinar la ecuación del plano coordenado OXZ

ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES. ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.

DETERMINACIÓN DE UN PLANO. DETERMINACIÓN DE UN PLANO.

PUNTOS COPLANARIOS. PUNTOS COPLANARIOS.

Posiciones relativas de dos rectas Dos rectas

r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) + . (u1,u2,u3)

s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) + . (v1,v2,v3);

en el espacio pueden ser:

COPLANARIAS PARALELAS ( o coincidentes)

COPLANARIAS SECANTES

NO COPLANARIAS (se cruzan)

Posiciones relativas de dos rectas Si las rectas

r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) + . (u1,u2,u3)

s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) + . (v1,v2,v3);

tienen vectores u y v no proporcionales (es decir no paralelos), entonces,

dependiendo de que r y s, sean coplanarios o no, serán coincidentes en un punto

o se cruzarán. Para ello, podemos tomar dos puntos cualesquiera Pr de la recta r

y Ps de la recta s, y se cumplirá

Si Rango (u,v,PrPs) = 3, las rectas r y s se cruzan

Si Rango (u,v,PrPs) = 2, las rectas r y s se cortan en un punto

Ejemplo.- Determinar la posición relativa de las rectas 2 4 5:

3 2 14 5

:2 4 1

x y zr

x y zs

Como u y v no son proporcionales, tomando

PrPs = (0-2,4-(-4),(-5)-5) = (-2,8,-10)

3 2 1

2 4 1 78 0

1 4 5

Los vectores no son coplanarios, y por tanto

se cruzan

Posiciones relativas de dos rectas. Dadas dos rectas r y s, determinada por la intersección de planos, es decir

: A x + B y + C z + D = 0 ’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0

r : s :

’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 ’’’ : A’’’ x + B’’’ y + C’’’ z + D’’’ =

0

Denominando

*' ' ' ' ' ' ';

'' '' '' '' '' '' ''

''' ''' ''' ''' ''' ''' '''

A B C A B C D

A B C A B C DM M

A B C A B C D

A B C A B C D

Pueden representarse las siguientes posibilidades que se recogen en la

siguiente tabla

Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3 Rango (M*) = 4

NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR

NO SE PUEDE CUMPLIRCompatible determinado:RECTAS COINCIDENTES

Incompatible:RECTAS PARALELAS

NO SE PUEDE CUMPLIR

NO SE PUEDE CUMPLIRNO SE PUEDE CUMPLIR Compatible determinado:

RECTAS SECANTES

Incompatible:LAS RECTAS SE

CRUZAN

NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR

Ran

go

(M

) =

1R

ang

o (

M)

= 2

Ran

go

(M

) =

3R

ang

o (

M)

= 4

Posiciones relativas de dos rectas. Ejemplo.

Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas

3 2 4 3 4 3 5 3 0: :

5 1 2 3 5 9

x y z x y zr s

x y z x y z

Las rectas r y s son coincidentes.

Como se cumple

3 2 4 3 2 4 3

1 1 1 1 1 1 62

4 3 5 4 3 5 3

2 1 3 2 1 3 9

Rango Rango

Posiciones relativas de recta y plano Dada un plano y una recta r

: A x + B y + C z = D

A’ x + B’ y + C’ z = D’

r :

A’’ x + B’’ y + C’’ z = D’’

Pueden ser

SECANTES

PARALELOS

LA RECTA CONTENIDA EN EL PLANO

Posiciones relativas de una recta y un plano

Para estudiar las soluciones del sistema de un plano y una recta

: A x + B y + C z + D = 0

r : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0

: A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0

Denominando:

Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de

acuerdo con la siguiente tabla resumen

*' ' ' y ' ' ' '

'' '' '' '' '' '' ''

A B C A B C D

M A B C M A B C D

A B C A B C D

Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3

NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR

NO SE PUEDE CUMPLIRCompatible indeterminado;RECTA CONTENIDA EN EL

PLANO

Incompatible:RECTA PARALELA AL PLANO

NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR

Sistema compatible determinado:

RECTA Y PLANO INCIDENTES

Ran

go

(M

) =

1R

ang

o (

M)

= 2

Ran

go

(M

) =

3

Posiciones relativas una recta y un plano. Ejemplo.

Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de la recta y el plano

r : 3 x + 2 y – 7 z – 6 = 0

: x + y – z – 4 = 0

: 3 x – y + z – 8 = 0

Como se cumple

3 2 7 3 2 7 6

1 1 1 3 1 1 1 4

3 1 1 3 1 1 8

Rango Rango

El sistema es compatible, y la recta y el plano son incidentes.

Resolviendo el sistema, se obtiene el punto de corte P(3,2,1)

Posiciones relativas de una recta y un plano. Si la recta viene dada en forma paramétrica o continua, se puede expresar

previamente como dos planos o bien puede procederse sustituyendo.

Es decir, sea la recta y el plano

1 1

2 2

3 3

: : 0

x a u

r y a u Ax By Cz D

z a u

Se sustituye 1 1 2 2 3 3 0A a u B a u C a u D

Si de la ecuación, se obtiene un valor , son incidentes y el punto de

intersección se obtiene sustituyendo el valor en las ecuaciones

paramétricas de la recta.

Si de la ecuación se obtiene una identidad falsa, la recta y el plano son

paralelas.

si de la ecuación se obtiene la identidad trivial (0. =0), la recta está

contenida en el plano

Posiciones relativas de una recta y un plano.

Ejemplo.- Sea la recta y el plano.

1

2

3

2 7

: 4 2 : 3 3 5 12 0

3 3

x u

r y u x y z

z u

Sustituyendo

3 2 7 3 4 2 5 5 3 12 0 0 15

Luego la recta y el plano son paralelos

Posición relativa de una recta y un planoPosición relativa de una recta y un plano

Posiciones relativas de dos planos

Dos planos

: A x + B y + C z + D = 0

’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0

en el espacio pueden ser PARALELOS, SECANTES o COINCIDENTES.

Posiciones relativas de dos planos

Para estudiar las soluciones del sistema de planos

: A x + B y + C z + D = 0

’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0

Denominando:



* y ' ' ' ' ' ' '

A B C A B C DM M

A B C A B C D

Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2

Sistema compatible indeterminado:

PLANOS COINCIDENTES

Sistema incompatible:PLANOS PARALELOS

NO SE PUEDE CUMPLIRSistema compatible determinado:

PLANOS SECANTES(se cortan en una recta)

Ran

go

(M

) =

1R

ang

o (

M)

= 2

Posiciones relativas de dos planos. Ejemplo.

Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos

: 3 x - 2 y + 4 z - 1 = 0

’ : - 6 x + 4 y -8 z + 7 = 0

Como se cumple

3 2 4 3 2 4 11 2

6 4 8 6 4 8 7Rango Rango

Los planos son paralelos

Posiciones relativas de tres planos Tres planos

: A x + B y + C z + D = 0

’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0

’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0

en el espacio pueden ser:

Los tres PARALELOS (o coincidentes)

Dos PARALELOS y el tercero COINCIDENTE a ambos (en dos

rectas paralelas)

COINCIDENTES dos a dos (en tres rectas)

COINCIDENTES en una recta.

COINCIDENTES en un punto

Posiciones relativas de tres planos

Para estudiar las soluciones del sistema de planos

: A x + B y + C z + D = 0

’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0

’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0

Denominando:



*' ' ' y ' ' ' '

'' '' '' '' '' '' ''

A B C A B C D

M A B C M A B C D

A B C A B C D

Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3

Sistema compatible indeterminado:

PLANOS COINCIDENTES

Incompatible:PLANOS PARALELOS DISTINTOS ó PLANOS PARALELOS CON DOS

COINCIDENTES

NO SE PUEDE CUMPLIR

NO SE PUEDE CUMPLIRCompatible indeterminado;

PLANOS COINCIDENTES EN UNA RECTA

Incompatible:PANOS SECANTES DOS A DOS

ó DOS PARALELOS Y EL TERCERO SECANTE

NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR

Sistema compatible determinado:

PLANOS SECANTES EN UN PUNTO

Ran

go

(M

) =

1R

ang

o (

M)

= 2

Ran

go

(M

) =

3

Posiciones relativas de tres planos. Ejemplo.

Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos

: x + y + z = 2

’ : 3 x + 2 y – z = 2

’’ : 4 x + 3 y = 2

Como se cumple

1 1 1 1 1 1 2

3 2 1 2 3 2 1 2 3

4 3 0 4 3 0 2

Rango Rango

El sistema es incompatible, y los planos pueden ser dos paralelos y el

tercero secante o coincidentes dos a dos (forma prismática). Que

observando, que no son proporcionales los coeficientes de los planos, se

deduce que se cortan en forma prismática.

Haz de rectas en el planoHaz de rectas en el plano

EJEMPLO DE HACES DE RECTAS EN UN PLANO. EJEMPLO DE HACES DE RECTAS EN UN PLANO.

Radiación de tres rectasRadiación de tres rectas

Haz de planosHaz de planos

Posiciones relativas de rectas y planos con la esferaPosiciones relativas de rectas y planos con la esfera

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