GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIORECTAS Y PLANOS

TEMAS 5, 6 y 7 Recta: pág 112-113, pág 141, pág 168

Plano: pág 114-115

Elementos geométricosDimensión y grados de libertad

• Elementos geométricos fundamentales en el espacio: punto, recta, curva, plano y superficie

• Pueden determinarse por ecuaciones paramétricas (tantas como dimensión tenga el espacio) o ecuaciones implícitas.

• La dimensión o grado de libertad es el nº de parámetros de sus ecuaciones paramétricas.

- Las rectas tienen dimensión 1 (1 grado de libertad)

- Los planos tienen dimensión 2 (2 grados de libertad)

• El número de ecuaciones implícitas de un objeto es la dimensión del espacio menos la del objeto.

- Las rectas se definen mediante 2 ecuaciones implícitas (polinomios de 1º grado)

- Los planos se definen mediante 1 ecuación implícita (polinomios de 1º grado)

Ecuación de la recta

Es la expresión analítica que nos permite conocer qué puntos del espacio pertenecen a ella; esto es, los puntos del espacio que satisfacen su ecuación

• Una recta queda determinada por un punto A y un vector que lleva su misma direcciónu

• Una recta también está determinada por dos puntos A y B

Ecuaciones de la recta

Vectorial:

Paramétricas: igualando

las coordenedas. (Observa que tiene un grado de libertad)

Continua: despejando el parámetro t e igualando

Implícita o general: cogiendo las igualdades Ax + By + D = 0

de dos en dos, y operando A’x+C’z+D’ = 0

hasta igualarlas a 0. Basta con tomar dos igualdades. El resultado es la intersección de dos planos. (Observa que consta de dos ecuaciones implícitas). En este caso, la recta está determinada por dos planos que se cortan.

Ejemplos:

- Recta que pasa por un punto y lleva una dirección: pág 113:1

- Recta que pasa por dos puntos: pág 113:2

- Recta que pasa por un punto y es paralela a otra: pág 126: 10

• Desde la forma vectorial a la general ya está explicado en la diapositiva anterior

• Desde la forma paramétrica o continua a las anteriores es inmediato

• Desde la forma general a cualquiera de las anteriores: aunque hay varias formas, una de las más sencillas (por ser un tema tratado en la parte de Álgebra) es convertir la intersección de dos planos en la recta que generan; para ello se llama t a una de las variables y se despejan las otras en función de t.

PASAR DE UNA FORMA A OTRA

Es importante saber obtener puntos y vectores de una recta

Ejemplos:

- Obtener puntos y vectores de una recta en cualquiera de sus formas

- Transformar una ecuación en otra: pág 113:3

• Una recta también está determinada por dos planos que se cortan

Ejemplos:

1- Calcula la recta intersección de los planos x – y + z =1, 2x + y - 3z = 0

2- Recta perpendicular común a otras dos que se cruzan: pág 169: 12

3- Recta que pasa por un punto y se apoya en dos que se cruzan: pág 141: 12

4- Recta que es paralela a otra y se apoya en dos que se cruzan: pág 152: 30

Los tres últimos aún no los podemos hacer (necesitamos saber como se determina un plano).

2- Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan

Si dos rectas r y s se cruzan, hay una recta que es simultáneamente perpendicular a ambas. Enlace

Para calcular dicha recta procedemos así: Sabemos que el vector resultante del producto vectorial de los vectores directores de r y s es perpendicular a ambas.

•Hallamos un plano que contenga a una de las rectas y al vector anterior

•Hallamos otro plano que contenga a la otra recta y al vector anterior

• La recta donde se cortan estos planos corta perpendicularmente a r y s

• Calculamos el plano π1 que contiene a r1 y al punto P.

• Calculamos el plano π2 que contiene a r2 y al punto P.

• La recta s que sale de cortar ambos planos es la solución buscada.

3- Recta que se apoya en dos y pasa por un punto dado

Tenemos dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que pasa por un punto P y toca a las otras dos. Enlace

Procedemos así:

Procedemos así:

• Calculamos el plano π1 que contiene a r1 y es paralelo a la recta s.

• Calculamos el plano π2 que contiene a r2 y es paralelo a la recta s.

• La recta que sale de cortar ambos planos es la solución buscada

4- Recta que se apoya en dos y es paralela a una tercera

Tenemos dos rectas r1 y r2 y queremos calcular otra que es paralela a una tercera recta s y toca a las otras dos.

El procedimiento es exactamente igual que el anterior, cambiando la condición de que contiene al punto P a que los planos han de contener al vector director de la tercera recta.

PUNTOS ALINEADOS

• Dos puntos A y B siempre están alineados; es decir, por dos puntos pasa una recta

• Para que tres puntos A, B y C estén alineados tienen que estar en la misma recta. Se puede comprobar de dos formas:– Hallar la ecuación de la recta que pasa por dos de ellos y comprobar si el tercer

punto pertenece a la misma (basta con comprobar si satisface su ecuación)– Calcular dos vectores que comiencen en uno de los puntos y terminen en cada

uno de los otros dos (por ejemplo: AB y AC). Si los tres puntos están alineados, AB y AC serán proporcionales.

Ejemplos:

- Determina si los puntos A(0,0,0), B(-1,2,0), C(2,1,0) están alineados

INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS

La forma de proceder para calcular el punto donde se cortan dos rectas dependerá de las ecuaciones de las mismas.

– Si están en paramétricas, se igualan las variables y se despejan los parámetros– Si una está en paramétricas y la otra en continua, se sustituye la primera en la

segunda. – Si una está en paramétricas y la otra en general se sustituye la primera en la

segunda.

Por ejemplo: punto de corte entre r: x + y – 1 = 0, 3x + z – 2 = 0 y s: x = 1+t, y = 2+t, z = -1+2t

ECUACIONES DE LOS EJES DE COORDENADAS

Ejercicios:

Pág 126: 6, 7, 8, 9

Ecuación del plano

Es la expresión analítica que nos permite conocer qué puntos del espacio pertenecen a él; esto es, los puntos del espacio que satisfacen su ecuación

• Un plano queda determinada por un punto A y dos vectores independientes y (llevan distinta dirección)

v w

• Un plano también está determinada por tres puntos A, B y C no alineados

Vectorial:

Paramétricas: igualando

las coordenadas. (Observa que tiene dos grados de libertad)

Implícita o general:

es decir:

desarrollando e igualando a 0, se tiene: AX + By + Cz + D = 0

(Observa que consta de una ecuación implícitas).

Ecuaciones del plano

En particular, si los puntos que conocemos son los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas, se puede escribir otra ecuación del plano llamada SEGMENTARIA

Ejemplos:

- Plano determinado por un punto y dos vectores: pág 115: 4- Plano que pasa por tres puntos: pág 115: 5- Plano que contiene dos puntos y tiene por vector director:

pág 115: 6- Plano que pasa por un punto y contiene recta: pág 127: 14- Plano que contiene dos rectas: pág 127: 15b

- Plano que corta a los ejes de coordenadas en los puntos (2,0,0),

(0,-3,0) y (0,0,5)

• Desde la forma vectorial a la general ya está explicado

• Desde la forma paramétrica a la anterior es inmediato

• Desde la forma general a las paramétricas: basta con llamar a una de las incógnitas t, a otra s, y poner la tercera en función de

éstas.

PASAR DE UNA FORMA A OTRA

Es importante saber obtener puntos y vectores de un plano

Ejemplos:

- Obtener puntos y vectores de un plano en cualquiera de sus formas: pág 115: 7

- Transformar una ecuación en otra: pág 126: 12, 13

• Un punto M del plano y un vector n perpendicular al plano también lo determinan

nn

n

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

• Entre dos rectas r y s:

sr

sr

vvsr

vvsr

.||

0.

• Entre dos planos α y β:

nn

nn

.||

0.

• Entre una recta r y un plano α:

nvr

nvr

r

r

.

0.||

Ejemplos:

- Plano determinado por un punto y un vector normal. Pág 135: 5

- Recta perpendicular a dos vectores: pág 161: 4, pág 127: 17, pág 152: 31

- Plano P, y dos vectores: pág 150: 10 a, b

• Tres puntos A, B y C siempre son coplanarios (están en el mismo plano). Determinan un plano si no están alineados.

• Para que cuatro puntos A, B, C y D sean coplanarios tienen que estar en el mismo plano. Dos formas de comprobarlo: – Hallar la ecuación del plano que determinan tres de los puntos y comprobar si

el cuarto punto pertenece a la misma (basta con comprobar si satisface su ecuación)

– Calcular los vectores que determina uno de los puntos con cada uno de los otros (por ejemplo: AB, AC, AD). Si los cuatro puntos están en el mismo plano, estos tres vectores serán dependientes; es decir, su determinante será cero.

PUNTOS COPLANARIOS

Ejemplos:

- Cuatro puntos coplanarios: pág 124: 4

INTERSECCIÓN ENTRE RECTA y PLANO

La forma de proceder para calcular el punto donde se cortan dependerá de las ecuaciones de las mismas.

– Si la recta está en paramétricas y el plano en general, se sustituye la primera en la segunda.

– Si ambas están en general, hay que resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (ya conocemos métodos para hacerlo: Gauss, Crámer, Matriz inversa).

Ejemplos:

- Punto de corte entre recta y plano: pág 128: 24,

pág 161: 3

INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS

La forma de proceder para calcular la recta donde se cortan dos planos dados en forma paramétrica es llamar a una incógnita t y despejar las otras dos en función de ésta.

Por ejemplo: calcula la recta, en forma paramétrica, que determinan los planos: 3x – y + z = 0, x + 2y - z = 2

ECUACIONES DE LOS PLANOS CARTESIANOS

Ejercicios: - pág 126: 11 c, - pág 127: 15 a, b, c, - pág 128: 25, 26, 29, 33, - pág 150: 10 c, d - pág 152: 28 a, c- pág 153: 37, 39- pág 167: 9,- pág 176: 4 - pág 180: 34

Rectas determinadas por dos planos que se cortan

Ejercicios: recta determinada por dos planos

Pág 179: 17

Pág 152: 29Pág 153: 36

Página interesante- http://www.tizavirtual.com/varios/geometria_resumen/index.html

Ejercicios resueltos:  - TEMAS 6 Y 7 – GEOMETRÍA EN EL ESPACIO-http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/2bach/naturaleza/actividadescomplementarias/ejerciciosresueltosdegeometriadelespacio.pdf-

http://www.manolomat.com/atenea/images/stories/pdf/ejercicios_resueltos/Ejercicios_geometria_afin_espacio.pdf- http://matematicas.iesramonolleros.es/2bcn/pdf/ejerre/geoesp.pdf

PÁGINAS INTERESANTES