Geometraanaltica MODE R NA PEARSON MarcoAntonioValenciaArvizu MartnGildardoGarcaAlvarado Geomet r aanalt ica MODERNA ImpresoenMxico. PrintedinMexico. ISBN:978-607-32-2131-3 ISBNUNTSON:978-607-518-034-2 Elprstamo,alquiler o cualquierotra formade oesi6n de usode este ejemplarrequerirtambinla autoril'.acindelaseduoreso de 8\1$ representantes. O.maraNacionalde la. IndustriaEditorialMexicana.Reg.nm.1031R"""'8d08todaslasderechos,Nilatotalidadni partodoestapublicacinpu-Ocien reproducirse,registrarseotransmitirse,porunsistemaderoouperacindeinfor- macin,enningunaformani por nlngnmedio, seo electrnico,mecnico,fotoqumco, magnticoo elcctroptico,porfotocopia,grabscino cualquierotro,sin permisoprevio por escritodelas editores. D.R.. 2013por PearsonEduca.cindeMxico,S.A.deC.V. Atlscomulco500-5Piso Industria.!Atoto 53519Naucalpende.J urez, EetadodoMxico D.R. 2013porUnlversdaddeSonora. Av.RosalesyBlvd.Encinass/n CoL Centro 83000,Hermosillo,Sonora. www.uson.mx &litara.:MaraElenaZaharArellano ma.ritL zahar@peazson.com Marianna.L yuba.rets(Universide.ddeSonora] Editora.de desa.n-ollo:Claudia.RomeroMercado PRIMER.A EDTCT.'l, 2013 Todoslos derechosreserva.dos pgina,; 288 Datosdecatalogacinbibliogrfica MarcoAntonioValencia.Arvlzu MartnGilde.rdoGarcaAlvarsdo Ceometrlaana.lltice. moderna. Primera PearsonEduce.cin,Mxico2013 ISBN:978-607-32-2131-3 rea.:Matemtice.s fbrmato18.5x23.5 cm 5 69 69 75 7782 83 4Rectasenelplano 4.1Formas dela ecuacinde la rectaen elplano. 4.2Forma normalde la ecuacin dela recta... 4.3Distanciadeunpunto a unarecta en el plano 4.4Familias de rectasen elplano..... 4.5Rectasypuntosnotablesdel tringulo 45 45 46 5153 56 58 60 63 65 3Mtododecoordenadas 3.1Mtodo de Descartes. 3.2L ocalizacindepuntos en la rectay en el plano 3.3L ocalizacin de puntos enel espacio..... 3.4Distanciaentrepuntos............ 3.5Divisin de un segmentoen unarazn dada 3.6Inclinacin y pendientederectasen el plano 3. 7 ngulo entredos rectasen el plano..... 3.8Direccin de rectasenelespacio....... 3.9 ngulo formadopordos rectasy pordos planos 25 25 272933 3742 2L ascnicassincoordenadas 2.1Descubrimiento de las cnicas 2.2L as cnicas de Apolonio... 2.3L as cnicascomo lugares geomtricos 2.4Construccin de lascnicas 2.5Propiedades delas cnicas 2. 6Excentricidadde las cnicas 1 3 13 1 5 1923 1L ageometraeuclidiana 1.1Nacimiento dela geometra 1.2L a escuela pitagrica.... 1. 3L os ElementosdeEucUdes . 1.4El mtodosintticode la geometra 9 Introduccin 5Planosyrectasenelespacio101 5.1Formas dela ecuacindelplano101 5.2Distanciade unpuntoa unplano105 5.3Posiciones relativasde planos. . 108 5.4Formas delasecuaciones delarecta.110 5. 5Posicionesrelativasderectasy planos.114 5.6Distanciade unpuntoa una rectay entredosrectas116 6Vectoresenelespacio1196.1Definicin e interpretacingeomtrica.. . . . . 1196.2Sumay multiplicacinporun escalar.120 6.3Basecannica......121 6.4Norma deun vector distancia entrevectores.123 6.5Definicindeproductopunto. . . . . . . . . 125 6.6ngulo entredosvectores. . . . . . . . . . . 126 6.7 Relacionesentrela normay elproductopunto128 6.8Proyeccin deun vector sobre otro. . . . 1296.9 Definicin y propiedadesdelproductocruz130 6.10Ecuacinvectorial derectasy planos. . 135 6.11Uso de vectores paracalcular distancias..136 7 Seccionescnicas:circunferenciayparbola1397.1J .sometras enel plano.......1397.2Ecuacinde la circunferencia. . 1477.3Propiedades de la circunferencia.148 7.4Tangentes a una circunferencia .153 7.5Ecuacinde laparbola. . . 156 7.6Descripcin deunaparbola.1597.7 Propiedadesde laparbola..162 8Seccionescnicas:elipseehiprbola165 8.1Descripcindeuna elipse.165 8.2Ecuacindela elipse. . . . . 166 8.3Propiedadesde la elipse. . . 171 8.4Descripcin deuna hiprbola174 8.5Ecuacinde la hiprbola...174 8.6Propiedades de lahiprbola1796 4.6Mtodo grfico de laprogramacin lineal.........88 4. 7 L osdos problemasfundamentalesdela geometra analtica92 ndiceonomstico284 ndicealfabtico279Referencias277Solucionesy sugerencias255 Apndices251 ApndiceA:Resumen sobre lascrneas ........252 Apndice B:Resumen dela ecuacingeneralde segundo grado.253 ApndiceC:Alfabetogriego.......253 Apndice O:ldentidadestrigonomtricas.............254 11Otrossistemasdecoordenadas233 11.1Sistemadecoordenadaspolares233 11.2Conversin decoordenadas....235 11.3Grficas encoordenadaspolares.238 11.4L as crneasen coordenadaspolares241 11.5Ms curvas de grado superior...245 11. 6Sistemadecoordenadascilndricas24 711. 7 Sistemadecoordenadasesfricas24910Curvas21910.1Representacinde curvas.21910.2Cilindros proyectantes..222 10.3Curvas planasde grado superior.225 9 Superficies1879.1Qu esuna superficie?.1879.2Representacinde superficies .1899.3Grficas de superficies.191 9.4Superficies derevolucin196 9.5Superficiescuadrticas.200 9.6Superficies regladas...205 9.7 L a ecuacin general de segundo grado.213 1818.7 L a ecuacin generalde segundo grado.. 7El libro que ponemos ahora a su disposicin es productode una experienciade ms de 40 aosde ctedrauniversitariaen diversasinstituciones,peroprinci- palmente en el Departamentode Matemticas, Divisin de Ciencias Exactas y Naturales, dela Universidad de Sonora,Mxico. Contiene algunos rasgos que lo distinguen de otrostextos y pretende ser una respuestaal empobrecimiento de los cursos de Geometraanalticaobservado enltimos lustros. Estamosconvencidos dequetodoslosestudiantesorientadosalreade ciencias e ingeniera deberanllevaruncursodegeometraanalticaplanaa nivel preuniverstario,que comprendieraprincipalmenteel manejo de rectas y secciones cnicas, y otro curso a nivel universitario de geometraanalticaen el espacio,con el tratamientode planos,rectasen el espacio,superficies y curvas alabeadas.Sinembargo,seestomitiendocadavez conmayorfrecuencia esecursopreuniversitarioylos cursosdelicenciatura sereducenalestudio delageometraanalticaplana,enelmejordelos casos,pues enelpeor, handesaparecidoal"integrarse"algunos desuscontenidosaloscursosde clculo.Con la omisindelos cursos deGeometra analtica o surestriccin ala geometraplana,seprivaalosestudiantesdecienciaseingeniera de una herramientaclave parala comprensin,el desarrolloy el uso de modelos matemticos,indispensablesparael buen desempeo desuprofesin. Por otra parte,la Geometraanalticatieneun poder formativo queno se puedesustituir;tantopor loqueserefiere alametodologadetransformar un problema para resolverlo yluego convertirestasolucin en sentidoinverso peraobtenerlarespuestaalproblemaoriginal,comoporsuaportacinal desarrollo dela capacidadpara imaginarobjetosespaciales yrepresentaren el planofigurastridimensionales.Una imagenvale ms que milpalabras, dice el refrn,y la Geometra analticanos ayudaa construir grficas y analizarlas para comprenderlosfenmenos yprocesos denuestroentornoy losmodelos matemticosquelosdescriben. El presentetextoestdisea.do especficamente paracubrirun semestrede Geometraanalticaanivel universitarioenlas reasde ciencias e ingeniera; antesdeentrarendetallessobre sucontenido,cabesealarquefueescrito pensandoentodoslosestudiantes,inclusoenaquellosgustososdeenfrentar retosy quedemandanunaeducacinms moderna,racional,autocontenida y motivante.No presuponeuncurso previodeGeometraanaltica ene1se abordatanto la parteplana como la espacial.Est diseado para un semestre completo,conflexibilidad para queelprofesorpuedaoptarporomitirtodo o parte delos captulos1,2,6y11,segnla disponibilidaddetiempoylas necesidades delgrupo. Parala mejor comprensindel mtododecoordenadas, decidimos iniciar con la presentacin de las secciones onicas sin el uso de coordenadas, tal como ocurri histricamente, y recurrira mltiples referencias histricaspara ubicar losdescubrimientosen el tiempo.Muchos cursos deGeometraanaltica,por faltadereflexin,seconviertenencursosdelgebra.L aidea central yfun- damentalde estetextoes que laGeometraanalticaesun estudiodela geo medianteunatcnica especial:eluso decoordenadas.Para enfatizar el carctergeomtrico de los problemas de la Geometraanaltica, dedicamos el captulo1 a plantearel surgimientodela geometraentrelos griegos yco- mentarel mtodoqueutilizabanpara resolverlos problemas geomtricos,el llamadomtodosinttico, para compararlocon el mtodoanaltico. Enel captulo 2, usandoel mtodo sintticoy un descubrimento del siglo XIX, el de las esferas de Dandelin y Quetelet, describimos y estudiamosalgunas de las propiedades de las secciones crneas: circunferencia, parbola,elipse e hiprbola,ypasamosdeladefinicin delassecciones crneascomo curvas obtenidasalcortaruncono,aunadefinicin comolugargeomtrico,que serelpuntodearranqueparasuestudioconelmtododecoordenadaso mtodo analtico.Estos dos primeros captulospueden considerarsecomo una introduccin al curso y puede omitirse suevaluacin. E nelcaptulo3iniciamospropiamenteconlaGeometraanalticaalin troducirelmtodo decoordenadas.A diferencia deotrostextos,pasamosdi- rectamentede la localzacinde puntos, divisinde un segmento enuna razn dada,distanciaentre puntos,direccin deuna rectay ngulo entrerectasen el plano, alas mismaslocalzaciones y mediciones en el espacio. Elcaptulo4 trata de la rectaenel plano.Demanerarpidase da cuenta de las diversas manerasderepresentarla ecuacin deunarecta en elplano, se estudiala distancia deunpuntoaunarectayse aplicatodoestoalestudio de las rectasy puntosnotables deun tringulo.U na aplicacinnovedosa es el mtodo grfico de laprogramacinlinealpara el casode dos variables, que se incluye. Elcaptulo5lodedicamosalestudiodeplanosyrectasenelespacio, exponiendo lasdiversasmanerasdepresentarla ecuacindeunplano ylas ecuaciones deunarectaenel espacio,as como laformadecalcularngulos y distanciasentreellos.Elcontenidodeestecaptulomaterialusual,la diferencia est en el hecho de que se presenta antesdel estudiode las secciones 10 cnicas conundoblepropsito:porunladocontinuarconlaideadetratar unconceptoenelplanoyenseguidallevarloalespacio,ypor otro,darla oportunidad al desarrollo del captulo siguiente,elsexto. Enelcaptulo6hacemosunapresentacindeltemadevectoresenel espacio,lo cualesunanovedad enestetipodelibros.Existen libros donde la Geometraanalticase estudia con vectores,pero al entrar al estudio de las secciones cnicas,las cosas se complican;adems,con este enfoque vectorial se oscurece eluso del mtodo de coordenadas.Aqu procedemos al revs:usamos la geometra analtica de rectas y planos desarrollada en los captulos anteriores para presentaruna exposicin breve de los principales conceptos, operaciones y propiedades de los vectores, y luego utilizamos stos para resolver problemas de geometra analticadeplanos yrectas,principalmenteel clculo de distancias, donde elenfoque vectorialsimplificaelplanteamientodelosproblemas yel clculo de sus soluciones. El captulo 7es una exposicin estndar sobre la circunferencia y lapar- bola la parte novedosa se encuentra al iniciodel captulo,donde tratamoslas sometras del plano, de las que las translaciones,las rotaciones y las reflexiones soncasosespeciales, ydemostramosquetodaisometraenelplanoesuna composicin de,a lo ms,tres reflexiones. E lcaptulo8estdedicadoalaelipseylahiprbola,ytermina conel estudio de la ecuacin general de segundo grado en el plano.Eneste captulo destacamosla semejanzaenel comportamiento matemticodeambas curvas a pesar dela gran diferencia que muestran en su aspectogeomtrico;tambin incluimosunprocedimiento paralalocalizacin delasdirectrices,cosaque usualmente no sehace,sobre todo tratndose de la elipse. E nel captulo 9,referentea superficies,presentamos muchos ejemplos de superficies pertenecientesatresfamilias:superficies derevolucin,superfi- cies cuadrticasy superficiesregladas.Para evitar dar una lista inconexade ejemplos de superficies,utilizamoslas superficiesderevolucinparagenerar lassuperficiescuadrticas,conlaventaja dequeestonospermitemanejar simultneamentesurepresentacincartesianayparamtrica.Concluimos el captuloanalizandola ecuacingeneral de segundo gradoentresvariables. E l captulo10 estdedicadoalestudiodelas curvasenel espacio.Aqu tambin desarrollamos sus representaciones cartesianay paramtrica.Es usual que se enfatice la representacin cartesiana,pero es la representacinparam- trcalaque permite el uso del clculopara el estudiodela geometra,deah su granutilidadparalasaplicaciones.Enestecaptulomostramoscmo los cilindrosproyectantespermitenvisualizarmejorlaformadelacurvaenel espacio tridimensional,lo que nos lleva a comprender lanecesidad del estudio de curvas degrado superior, que es el temacon elque concluye el captulo. ll Marco AntonioValencia Arvizu MartnGildardo GarcaAlvarado Hermosillo,Mxico;juniode2013. Elcaptulo11,el ltimodellibro,muestraquehay diversasformasde escoger un sistema de coordenadas,segn senecesite,y desarrollabrevemente tres deellos: el sistemade coordenadaspolares,paraelplano,ylos sistemas decoordenadascilndricasydecoordenadasesfricas,paraelespacio.L as coordenadaspolarespermitenplantearalgunos ejemplosinteresantesms de curvas planasde gradosuperior. Comoapoyotecnolgicoparaeldesarrollodelcursorecomendamosel usodelsoftwarematemticointeractivolibrefcildedescargar desde la red,ligero,amigabley verstil.Suuso contribuye a mejorarla com- prensin de los problemas yhace amena. la. bsqueda de su solucinel carcter dinmicoque seobtieneconlaopcin de deslizarpuntos,rectasyfiguras,y devariarparmetros,ayudaa tenerunavisin msamplia. delas conforma- ciones geomtricas,lo que convierteaen unaexcelente herramienta de investigacin y experimentacin. Eh loqueserefiere al estiloderedaccin deestetrabajo,para alejarnos del esquema tradicional deteoremas y demostraciones, quisimos presentarlos resultadosde manerams coloquial, sin renunciar a la precisin en el lenguaje, con el nimo deque as fuera ms sencilla y atractiva su lectura.Tambinpro- curarnos proporcionar muchos ejemplos, escribir notasparadestacaraspectos importantes,yproponermuchos ejercicios.Elenfoquegeneraldelaobra ~debeprincipalmenteaMarcoAntonioValencia Arvizu laformacindel texto y las ilustraciones fueron procesadas en m:t;)Cpor MartnGildardo Garca Alvarado,pero ambos compartimoslaresponsabilidad total de este libro. Agradecemos al doctorRubn Flores Espinoza y aldoctorJ orge Ruperto VargasCastrolalectura deltextooriginalysusvaliosos comentarios.Asi mismo agradecernosaRalO.Leyvaporlaconversin delformatoPDFde este texto al formatoInDesign para suimpresin aEditorialGarabatospor laedicininicialdeesta obra,endiciembrede2010;aPearsonEducacin deMxico,porinteresarseenpublicaresta nuevaversincorregida,yala Universidadde Sonora, porsuinvaluable apoyo enambas ocasiones. 12 13 Elnombreesdeorigengriegoysignifica "medicin delaTierra";proviene delaspalabras ("Y e~),Tierra,ymetrn(J.lETpov), medida.Segn HerdotodeHalicarnaso(c.484-c.423a. C.),conocido como"Elpadredelahistoria",laGeometranacien Egipto,como consecuencia delasinundacionesanuales quesufranporlascrecientesdelroNilo,locuallos obligabaamedirconfrecuencia sustierraspara suco- rrectadelimitacinyelpago deimpuestos.Esposible queyadesdeinicios delcuartomilenioantesde laeraHri!o,o cristiana,observaran y utilizaran propiedades de lasrec-de R alwnMO tas,los ngulos, los crculos y algunos polgonos. Esunhecho notorio quelosmesopotmicos,habitantesdel territorioac- tualmenteocupado por Irak,desarrollaron mslos aspectosnumricos gracias alsistemadenumeracinposicionalqueadoptaron,entantoquelos egip- cios tuvieronmayorinclinacin hacia la geometra.Y a hacia1850 antes dela eracristiana,los egipcios posean conocimientos geomtricosno elementales; porejemplo,saban calcularelvolumendeuna pirmidetruncada,comolo muestraelpapirodeMosc,yesmuyposiblequedichos conocimientosse remontaranamuchos siglos atrs,dadala lentaevolucin delamatemtica egipcia yla costumbrede copiarde documentosantiguos. Sinembargo,esteconocimientoselimitabaaunaseriedereglaspara obtenerresultadosdeterminados,comoreas,volmenes,partesdeuntodo enunareparticin,entreotros.Fuelacivilizacin griegalaquedescubri 11.1Nacimiento de la geometra 1.2L a escuelapitagrica 1.3L os Elementosde Euclides 1.4El mtodo sintticodela geometra 1.1.1Demuestrequecuandodosrectasse ntersectan,los ngulos opuestosporel vrtice soniguales. Ejercicios yproblemas Actualmente,se conoce comoalasiguiente proposicin:si dos rectas son cortadasporrectasparalelas,los segmentos que estasparalelas determinanendosrectassonproporcionales,talcomosemuestraenla figura1.1. Figura1.1Teorema de Tales = =(o invent,segn elpuntodevistaqueseadopte)la geometratalcomola conocemos hoy en da,L osgriegos secomponande varios pueblos que se es tablecieron alrededordel siglo xm antes de la eracristianaen el Mediterrneo Orientalyfueronprogresandoatravsdelcomerciohastaconvertirseenel siglo VIa. C.en una grancivilizacin,cuyos logros annos maravillan. L osgriegos iniciaronla tarea decomprender elmundo que los rodeaba a travs de la razn.Asnaci la filosofa ynacieronlas matemticascomo ciencia deductiva,es decir,los griegos trataron de deducir los acontecimientos y propiedadesqueobservaban,medianteelrazonamientoya partirde unos cuantosprincipios. Elprimerfilsofo ymatemticodequiensetienenoti- cia es Tales deMileto(c.624-c.547a.C.),quientrat dede- mostrar quetodaslas cosas surgendel agua,y aquno esel egua lo importante,sino el tratar de explicar todo lo existente a partir de un solo principio,enlugar deatriburselotodoa los diferentesdioses;secuentade lquepredijouneclipse de sol en 585 a.C. y quemidila alturade laspirmidespor lalongituddesu sombra. A Tales deMileteseleatribuyela demostracindelosTal..de Mileto teoremassiguientes:( i)Elcrculoesbisecadoporcualquierdimetro.( L osngulos dela basedeuntringuloissceles soniguales.(iii) L os ngulos opuestos por elvrtice entredos rectasque se intersectanson iguales.(iv)Dos tringulosson congruentessi tienendos ngulos yunlado iguales,colocados de manerasemejante.(v)Los ngulos inscritosenun semicrculo sonrectos. 14 Casi contemporneo de Tales fue Pitgoras de Samas (c.569-c.475a. C.),qu.ien formenCrotona,alsurdelapennsulaitlica,unaescuelaotradicinfi losfica yreligiosaqueejerciunaenormeinfluenciaeneldesarrollodela ciencia griega y,en particular,de lasmatemticas. Paralosgriegos de esapoca,elceroeradesconocidoyelunoeracon- sideradocomo la unidad,as quelos''nmeros" eranlos querepresentabanla 1.1.12Cmo medirala alturadeunapil'.mide pormediodelalongituddesu sombra? 1.1.11Demuestrequecualquierdimetrodivideal crculoen dos partesiguales. 1.1.10Demuestrequelos ngulosseminscritosenuna circunferencia,osea,con unodesusladostangenteala circunferencia,tambinmidenla mitaddelarcode circunferenciaque comprendensuslados. 1.1.9 Demuestrequelos ngulosinscritos enun crculo miden la mitaddel arco de circunferenciaque comprendensus lados. 1.1.8Demuestrequelostringulosinscritosenuncrculo quetienenundimetro como uno desusledos,sonrectngulos. 1.1.1Demuestrequelos ngulosinscritosenunacircunferenciaconundimetro comounodo sus lados,miden la mitad delarcodecircunferenciaquestosdeter- minan.1.1.0DemuestreelteoremadeTales:siunafamiliaderectesparalelescortana dosrectastransversales,los segmentosque detetmina.nen ellas sonproporcionales. i.i.sDemuestrequelosngulosqueformanlosladosigualesdeuntringulo issceles con eltercerledo soniguales. 1.lADemuestre que dos tringulosson congruentessi tienendos ngulos y un lado iguales,colocados demanerasemejante. 1.1.sDemuestrequelos ngulosinternosdeuntringulosuman180". 1.1.2Demuestreque cuandodos rectasparalelesson cortadasporuna transversal, losnguloscorrespondientes,losngulosalternosinternosylosngulosalternos externossoniguales. 1 5 Figura1.2Teorema de Pitgoras E ldelo- dosconocido,establecequeenun tringulorectngulolasumadelas reasdeloscuadradosconstruidos sobreloscatetosesigualalrea delcuadradoconstruidosobrela hipotenusa.Algebraicamente, el teo- remadePi tgorasseexpresaas:si enuntringulorectnguloloscate- tostienenlongitudesyb, yla hipotenusaes de longitudentonces + Ir=Posiblemente lospitagricos fueron los primerosen darunade- rrostracinde esta propiedad,perola afirmacin del teorema ya se conoca en anay enMesopotamiaen la pocadePitgoras. Muy relacionado con elteorema de Pitgorasun descubrimiento hecho en lapropia escuela pitagrica y que cimbr los cimientosde su filosofa.Una consecuencia dela doctrina pitagricade que"todo es nmero", es que dados dossegmentosderectacualesquieraexiste unaunidaddemedidacomna Pit6gor ..de s.,.,.. Msan,lapalabraesdeorigenpitagricoyprovienede lapalabra(aOra), quesealaunconocimientomuyimportante, algo que realmentevale lapenaaprender;recordemos queelprefijo(a) tambinapareceenmadre,maestro,majestadeindicagrandeza.As,las (t1C 10 rara)eranlasmatemticas:aritmtica,geometrayastro- noma,alasqueseagreglamsica.Finalmente,alosestudiososdelas se les llam(aOraTu.oi), es decir,matemticos. multiplicidaddeunidades:2,3,4,5,...El lema dela escuelapitagricaera "todo es nmero", lo que significabaquetodoen el universo se puede explicar orepresentarconnmerosyrelacionesentreellos,especialmentecocientes, tambinllamados"razones" enotraspalabras,paralospitagricos,eluni- versonoerauncaos,sinouncosmos endondeelordenexistentesepuede representarpormedio de las matemticas. 1 6 Figura 1.4Diagonal y lado del cuadrado l~1 Demanerasemejante,sepuede demostrarqueelladoyladiago- naldeuncuadradosoninconmen- surables.Susamosnuestroscono- cimientosmodernosdelosnmeros y los proced.i.m.ientosalgebraicos, por elteorema dePitgorasencontramos que en un cuadradode lado unitario, ladiagonalmidev2;siambosseg- mentos son inconmensurables,J2 no sepuedeescribircomo el cocienteoraznde dosnmeros enteros,puesen talcaso,ellado yla diagonalseranconmensurables enotraspalabras,J2 no esunnmeroracional,sinoimJcional.Recprocamente, sidemostramos quev2 esun nmero irracional,estaremosdemostrandoqueenuncuadrado cualquierala diagonalyel ladosoninconmensurables;esta demostracines fcilderealizar,como veremos a continuacin,siguiendo la demostracinin dicadaporAristteles (384-322 a. C.). ParademostrarqueJ2esirracional,supongamoslocontrario:quese puede escribir en la forma J2 = dondepyson enteros y primos relativos, o sea,que lafraccin yafue simplificadaparaque pyqno tenganfactores comunes.Entonces,2=y setiene que=porloquetiene queserunnmero par,lomismo que p.Podemos entoncesescribirp=2r ambos,esdecir,quecabeunnmero exactodeveces enambossegmentos; en estecaso,decimos que105segmentos sonpues sepueden medir exactamentecon unamisma unidadde medida. Seatribuye aHipaso deMetaponto el descubrimientode que enel smbolo representativo de 105pitagricos, que esun pentgonoregular conuna estrella de cinco puntasinscritaen e1,la diagonaly el ladoson inconmensurables; lomsprobablees queHipasohaya obtenidosudemostracin medianteuna reduccinal absurdo,suponiendoquedichossegmentossfueranconmensu- rables y llegandoa unacontradiccin. Figura1.3Diagonal y lado del pentgono pitagrico 1 7 1.2.sConsidereelpentgonomsticodePitgorasconunsegundopentgono pitagricoinserto,comosemuestraenlafigura1.5.Sealetodoslostringulos issceles existentesenlos dos primerospentgonosmsticos dela figura.Seanlo y d olaslongitudesdelladoydela diagonaldelprimerpentgono,11 ylaslon- gitudesdellado yla diagonaldel segundopentgono;usandotringulosissceles, 1.2.4Demuestre quesidossegmentosderectasonconmensurables,entoncesel cociente de sus longitudeses unnmeroracional,y recprocamente,si el cociente de suslongitudesesunnmeroracional,entonceslos segmentosson conmensurables. 1.2.sElreciprocodelteoremadePtgorastambinesvlido:sia2 + b2 =c2, entonces,eltringulodeladosb, esrectngulo.Cmousanlos albaileseste resultadopara trazar esquinasde 90? 1.2.2'Ires nmerosformanuna= Porejemplo, 3, 4 y5.D dos ejemplosms deternaspitagricasqueno sean mltiplos desta.1.2.1Existenmsde300 demostracionesdelteorema. dePitgoras;loce.liceyre-- produzca. dos demostracionesdiferentes. Ejerciciosyproblemas paraalgn enteroy sustituyendoen ?=2q2,obtenemos 4r2= 2q2,o sea, < f = 2r2,por lo que < f y qtienen que serpares.Como ptambin es par,py q tienena2como factor comn,J oquecontradicela suposicin inicial,lacual necesariamenteesfalsa y entonces./2 no es racional. Lospitagricos,ylosgriegos engeneral,porelhechodenocontar con unsistemade numeracin posicional ypor surechazo atratarcon segmentos inconmensurables o equivalentementecon nmeros irracionales (insistimos:en estecaso,lapalabraroz6nserefiereauncociente,noa.la.capacidadde razonamiento),no pudierondesarrollarlastcnicasydemcstraciones aritm- ticas.Encambio,desarrollaronplenamentelageometra,agradotalque todassusdemostraciones sondeltipogeomtrico,aunentemasqueahora consideremos del dominio de laaritmtica y del lgebra, comola. solucin deecuaciones de primero y de segundo grados.Estofue posible gracias aque Eudoxo de Crudo ( 408-355a. C.)logr justificar la comparacin de segmen- tosinconmensurables a.travsdesuteoradelaspro- porciones.Alcuerpodeconocimientosdelgebraque fuerondemostradosporlosgriegosmediantemtodos geomtricos se leconoce comolgebra geomtri< :a.&odoxodeCrudo 18 Aritlleles de Aristtelesde&tagira(384-322 a.C.)esunpersonaje clave en eldesarrollo de las matemticasy de la ciencia en general;seleconsidera eliniciador delas cienciascomo camposdel conocimientoindependientesdela filosofa. Aristteles desarroll laque permitiprofundizar elconocimientoacercadela validez del razonamientoy losmtodosdedemostracinyllevalaconstruccin desistemasaxiomticos,dondeapartirdeunnmero reducidode conceptosno definidos y depropiedadesno 1.2. 7 Usandolos resultadosde los dos ejercicios precedentes,demuestreque el lado yla diagonaldeunpentgononoson conmensurables.Para ello supongaquesi11 yd 1 son conmensurables,entonces12yd i son conmensurablescon la mismaunidad demedicinquel, ydi;prosiguiendosucesivamenteconla cadenadepentgonos inscritos,llegue aunacontradiccin. 1.2.6Enelmismopentgonodelejercicio anterior,demuestreque11 =lo - yquesepuedeestablecerunasucesin1=In-1,usandola cadenade pentgonos inscritos. Figura1. 5Cadenade pentgonospitagricos demuestreque lo =do- d 1.Colocandouna cadenadepentgonosinscritos,obtenga la sucesin1,,= dn+1 1 91.3LosElementosd eEuclid es IDpa"""de Quos demostradassevan demostrandonuevaspropiedades y sevanintroduciendo nuevos conceptosparaconformarun cuerpo de conocimientos. L ainfluenciadelalgicasobrelasmatemticas fuedeterminanteparasuconformacinfinal.Euclides deAlejandra( c.325-c.265a. C.)enseenelfamoso Museo de Alejandra y sintetiz,con fines didcticos,105 conocimientosdematemticas elementalesdesu poca, organizndolos segnlalgica deAristteles.Suobra msdestacada,tuvotantoxitoque borr de la memoriahstrica todoslos intentos anterio- res de resumirlasmatemticasde la poca, y result un trabajo tan slido y consistente que durantedos milenios, hastafinales del siglo xvm,fue elnicolibro de texto se- rio parala enseanza de la geometra.Por eso, a la geometra desarrolladapor losgriegos se leasociacon el nombre deEuclides y sele denomina constandetrecelibros:losprimerosd05tratandelas propiedadesbsicasde105trangulos ydelos cuadrilteros,aportacioneshe- chas por105 pltagrtcos.L os dos siguientesabordanlas propiedades del crculo y de lasfiguras en e1inscritasy circunscritas, cuyo origen se encuentraen RipcratesdeQuos(c.470-c.410a.C.). Elquintolibrotrabajalateoradelasproporciones de Eudoxo,y el sexto consiste en la aplicacin de las propor- ciones a la geometraplana,lo que parece una aportacin originaldelpropioEuclides.L oslibrosdelsptimoal noveno tienentambinun origen pitagrico yserefieren alateorabsicaylaspropiedadesdeloenmeros, progresiones geomtricasy mmeros primos.L os iltimos cuatrolibrosretomantrabajosrealizadosporEudoxo yTeeteto(c.417-c.369a. C.):eldcimotratadelos nmerosirracionalesosegmentosinconmensurables,elundcimodepris- mas ypirmides,el duodcimodeesferas,conos ycilindros, yel ltimo,de lospoliedrosregulares.No esextrao queculminencon eles tudiodelos poliedrosregulares.Teetetodemostrqueademsdeloscinco conocidos: tetraedro,cubo,octaedro,dodecaedro e icosaedro,no puedenexis- tirotros.Elnmerocinco resultaba sugerente,puescincoeranlosplanetas queentonceslos astrnomospodanobservarasupasoporelfirmamento: Mercurio,Venus, Marte,J piterySaturno. No es difcil demostrarque solamentepueden existiresos cinco poliedros re- gulares.Por definicin, loe poliedros regulares estn formados por caras iguales 20 Como los ngulos internos de un tringulo suman180, los ngulos internos de un polgono regulardenlados suman(n-2)180,cantidadque habraque divid r entreparadeterminarlo quemide cadangulo internodel polgono regular.As, enun tringulo equiltero,miden 60; en un cuadrado,900;en un pentgono,108, y enunhexgono,120.Ahora bien,paraformarun ngulo poliedro con elfinde construir poliedrosregulares,senecestanalmenos tres caras.Procederemos considerandolos tiposde caraposibles: Sipegamos trestringulos equilterosen cadavrtice,obtenemos el tetrae- dro.Sipegamoscuatro,seobtieneeloctaedro,ysipegamoscinco encada vrtice,llegamos al icosaedro.Siqueremos pegarseis tringulos,yanopode- mos formar el ngulo poliedro porque sumaran360y quedaranenunplano, y sitomamos ms de seis, los tringulosse traslaparanytampocopodramos formarngulos poliedros.Portanto,slo existentrespoliedrosregulares con carastriangulares. Pasemosahoraapegarcuadrados.Sipegamostresporvrtice,obtene- mos elcubo.Siqueremospegarcuatro,como susngulossumaran360, nopodranformarunngulopoliedro,ysiintentamospegarmsdecua- trosetraslaparan,porlo queelcuboeselnico poliedroregularconcaras cuadradas. Si pegamos tres pentgonos regulares, la suma de sus ngulos ser 324 , por lo que se forma un ngulo poliedro que permite construirel dodecaedro regular. Figural.7 Descomposicin deunpolgono convexo entringulos Sumade ngulosinternos: (n-2)180queson,alavez,polgonosregulares,ycadapolgonoregularlopodemos descomponer en2tringulos tomandoun vrtice del polgono como vrtice comn de lostringulos,como seobserva enla figural.7. Figural.6Los cinco poliedros regulares DodecaedroOctaedroCubo'Ietraedero 21 1.3.11Escriba las frmulas para obtener el rea yel volumen de:(a)cilindros, (b) conos y(e) esferas. 1.3.10Escriba las frmulas para obtener elvolumen de:(a) prismasy(b)pirmi- des. 1.3.9 Escribalasfrmulas para obtener (a) elreadeuncrculo y(b) lalongitud de una circunferencia. 1.3.8Encuentrela frmula para obtenerel rea de unpolgono regulardenlados. r.a.sDadoun rectngulo de ladosyconstruya un cuadradocon la mismarea. 1.3. 7 Demuestrelafrmula paraobtener elreadeuntringuloapartirdela frmula para obtenerel rea deunrectngulo. 1.3.5Si sobre los ladosde untringulorectnguloconstruimoselmismotipode polgono regular,como por ejemplo, tringuloso pentgonos,se siguecumpliendo queelrea delpolgonoconstruidosobre lahipotenusa es igualala suma de las reasdelos polgonos construidos sobre los catetos? 1.3.4Si sobre los lados do un tringulorectngulotrazamossemic!rculos que tienen al lado como dimetro, escl rea del semicrculo mayor igual a la suma de las reas de los dos menores? 1.3.3Existenvarias generalizaciones delteorema dePitgores,Enuncie laleyde los cosenos e interprtela oomo generalizacindelteoremadePitgoras. 1.3.2Enuncie y demuestre el reclprooo delteoremade Pitgoras (Proposicin48 del L ibro primero de 1.3.1Reproduzcala demostracindelteoremade Pitgoras dada por Euclides en la Proposicin 47 delL ibro primerode Ejercicios yproblemas Con cuatro pentgonos rebasamos los 360" y no se pueden cons- truir poliedros.De lamisma manera, tres hexgonos sumaran 360,porJ oquenopermitenformarngulospoliedros,ylo mismo pasar con polgonos con ms caras,pues tres de ellos re- basarnsiempre los 360".Thconsecuencia,los nicos poliedros regulares que se pueden construir son los cinco mencionados, lla- mados tambinporque Platn( 427-347a.C.)Plat..r ), que significaQue se pueda"aplicar"unafigurasobre otra quieredecir que tienen la misma rea porque una de ellas puede descomponerse en partes, reacomodarseyhacersecoincidirconlaotra.Enestecaso,elrectngulo formado por el lado recto y la abscisa"se aplica" sobre el cuadrado construido sobre la ordenada, como se muestraenla figura2.4. Apolonio 2.1.3 E s posiblecuadrar cualquier polgono regular? 2.1.2Dado un tringulo,construya un cuadrado de igual rea.. 2.1.1Ouad mruna figura consiste en construir el cuadrado que tenga la misma rea que la figura original. Dado un rectngulo de ladosy b, oonstruya el cuadredo de lado :i:que tienela misma rea.. Apoloruode P .r)significay de ella sederiv la palabra Figura 2.5Origendel nombre TA1 .eml/ n, )significa ley de ah surge la palabra Figura 2.4Origendel nombre A, =A,foco Iado recto :z:: abscisa 11 :ordenada T ll Figura 2.3L as secciones cnicas segn A polonio Hiprbola ' '.. . .. . .ParbolaElipse 28 Unelconjuntodetodoslospuntosdelplanoo delespacio quesatisfacenuna o variascondicionesgeomtricas.Por ejemplo,unacircun- ferenciaes ellugargeomtricodetodoslospuntosdeunplanoqueequidistan deunpuntofijo C .Alpunto fijo Cse lellamadela circunferenciaya la distancia6jarquehaydelospuntosdela circunferenciaal centro,sele llama delacircunferencia.De igualmanera,unaesferaesellugargeomtrico detodoslospuntosdelespacioqueequidistan,aunadistanciar,deunpunto fijoElpuntofijoelcentrodelaesferayla distanciafijasuradio. Vamosahoraa obtenerlaspropiedadesquedefinenalasseccionescnicas oomoJ ugaresgeomtricos.Paraellocortamosunconoconunplano,rpara obtenerunaelipsey colocamosenelinteriordelcono,de cadaladodelplano, unaesferatangenteaambos,comosemuestraenla figura2. 7.Estasesferas recibenelnombredeporelmatemticobelgaGerminal PierreDandelin( 1794-1847),quien junto consu compatriotaL ambertAdolphe J acquesQuetelet(1796-1874),lasdescubriy utilizen1822. 2.2.sQucurva. resultaalcortar conunple.no uncilindro circularrecto? 2.2.2Comparelos mtodospara. generarlas cnicas propuestosen el ejercicio 2.2.1 con elutilizadoporApolonio. 2.2.1Usandoun foco luminoso y un anillo delgado, genere las cnicas con la sombra delanillo:(a)moviendo elanillo ymoviendoel planodeproyeccin. Figura 2.6Origendelnombre Ejerciciosyproblemas f >F:foco r: ladorecto 11 :ordenada l 111 29 como += += =constante. porloque: cualquierpuntosobrela elipsese tieneque: y =Figura2.7 L a elipsecomolugargeomtrico 111\1'r --' -'1------..._-l.-_Del hechode quelaslongitudesde lasdostangentesquesepuedentrazar desdeunpuntoexterioraunacircunferenciasoniguales,sesiguequelas longitudesdelastangentestrazadasdesdeunpuntoexterioraunaesferason iguales.Esfcil entoncesobservarquelospuntosdetangenciadelasesferas deDandelinconelconosondoscircunferenciascuyoscentrosestnsobreel ejedelconoycuyospuntosequidistandelvrticedelcono,queladistancia entredospuntosyde lasdos circunferenciasde tangenciaqueestnsobre la mismageneratrizesconstante,yquecadaesferatocaenun solopunto1 oF alplano s ,comose muestraen lafigura2.7.De aqu se deducequepara L&mbatOanddmJ aauosQuetolet 30Lascnicassincoord enad as 'Tomemos cualquier puntosobre la parbolay consideremos 1r2,elplano que lo contiene y que es paralelo al plano1r1, elcualcontiene a la circunferencia de tangenciadela esfera con elcono.Entoncesesfcildemostrarque: PF' =PM=BA=PC ,dondeesparaleloaBA.Bitodemuestraque"laparbolaesellugar geomtricodetodoslospuntosdelplano que equidistanaunpuntofijoy e. unarectafije.". Elpuntofijoesely larectafijaesladela parabola;en estecaso,la directrizes le.interseccin delos planos 1ry 1r1Por ltimo,consideremos el caso de la hiprbola:aqu podemosajustardos esferas de Dandelin,unaen cadaramadel cono,quetocanalplano1renlos puntosPi ycomo se observa en la figura 2.9.Ntese que 1rno necesitaser PP=PM=AB= PCFigura2.8L aparbola como lugargeomtrico ' '' '' ' < ' ' ' "' Dicho con palabras,"la elipse es el lugargeomtrico de los puntos del plano cuya suma de distanciasa dos puntosfijos es una constante".Recprocamente, slo lospuntos dela elipsesatisfacenestacondicin,porlo quela condicin define ellugargeomtricollamadoelipse.A estospuntosfijos selesllama laNtese quelacircunferenciasepuedeconsideraruncaso especialdela elipse,cuandolos focos coinciden. Consideremoselcasodelaparbola:ahorasolamentepodemosajustar unaesferadeDandelin,quetocaal conoenunacircunferenciayalplano1r en unpuntoF, como semuestraenla figure. 2.8. 31 como 2.3.1Dadoun segmentoAB, su mediatrizes el lugargeomtricodelos puntosdel plano queequidistana susextremosA yB. Muestrequela mediatrizes una recta. Ejerciciosyproblemas L ospuntosfijosF1,F2sonlosdelahiprbola.Apoi ornotrabaj conlosfocos delaelipseydelahiprbola,aunqueelnombredefocose debeaJ ohannesKepler(1571-1630).FuePapode Alejandra(c.290..c.350) quientrabajconelfocodelaparbolayconsudirectriz,ascomocon las directricesdela elipsey delahiprbola.E nestosdosltimoscasos,las correspondenalasrectasdondeseintersectaelplanosecante1r con los planos1r1 y 1r2que contienena las circunferencias de tangencia. delas esferas deDandelinconelcono,situacinque seilustraenlafigura2.10,y que demostraremosenla.seccin 2.6. Figura2.9 L ahiprbola. como lugargeomtrico ',.. ' ~. . :~, . . . . . . . e_-- -,. . ..- - paralelo al eje del cono.Tomemosun puntocualquera sobre la hiprbolay consideremos la generatrizdel cono quepasaporla cual tocaaesferas deDandelinenlospuntosyrespectivamente.Entonces,=1= y setiene que: F1= == constante, conloquehemosdemostradoque"lahiprbolaesellugargeomtricode todoslos puntosdelplano cuya diferencia dedistanciasa dospuntosfijoses una. constante". 32 De todos es conocidocmo se puedetrazaruna circunferenciacon un pedazode cuerda.Basta.fijarunextremoy si conla. cuerdatensa.giramossta. alrededor deesepunto,el otroextremodescribirunacircunferenciacuyoradioser. el largodela cuerda. 2.S.7 Demuestrequelos segmentosdeterminadosporlainterseccinde dos planos paraleloscon dosrectastransversalesparalelas,son dela mismalongitud. 2.3.6Demuestre quelos puntosdonde lastangentestrazadasdesdounpuntofijo externoa una esfera tocan a~.formanunacircunferencia. 2.3.5Demuestrequelastangentestrasadesdesdeunpuntoexternoaunaesfera tienenla mismalongitud. 2.S.4Demuestrequelastangentestrazadasaunacircunferenciadesdeunpunto externotienen lamismalongitud. 2.S.3Demuestreque en un crculo la tangentees perpendicularal rado en el punto detangencia.. 2.s.2Dado unsegmento,construya sumediatriz usandoregla y comps. Figura.2.10L asdirectricesparala. elipsey la.hiprbola ...... '' '' ''' . . . -----~::-- ' 33 Ntese que sifija y movemos los focos,a medidaque stos se acerquen la elipseseirpareciendomsymsaunacircunferencia,yentremsse alejen, se har. ms y ms alargada.Pormedio del concepto de que definiremos posteriormente, se puede medir qu tan alargada es una elipse. Entre menos excntrica, ms se parece la elipse a una circunferencia; en el caso extremo deque los focos coincidan,diremosque la excentricidad es cero,y la elipse se convierte enuna circunferencia. Hay otramanera deconstruirlaelipseapartir de susfocosysu eje mayor2a:tomando unodelos focos como centro, digamosF trazamos una circunferenciaderadio2a;por elotrofoco,Fi, hacemospasaruna. Figura 2.12Descripcin de la elipse li' = eje mayor 8182=2b:eje menor F, F,=2c:dist8J lCiatnterfocal e:centro Por ejemplo, sicolocamos un anillo desli- zable sobrela cuerda y en l un lpiz,al mantener la.tensinsobre la cuerda. y deslizar elanilloa lo largo de ella,el lpiz dibujaruna elipse.Este mtodo se conoce como"mtodo del jardinero"paratrazarla elipse, y se ilustra enla figura 2.11. Lospuntosextremosdela elipse sellamanelsegmentoquelos une,elpuntomediodel ejemayor eseldelaelipseyse llamaal que esperpendicular al eje mayor y pasaporel centro;es fcil demostrarque lalongitudLes igual a ladistanciaentrelos vrtices.En la figura2.12semuestran algunasrelacionesentre estasdistancias. Figura. 2. u Construccin mecnica de unaelipse Deigualmanera,esposibletrazar mecnica.mente una. elipseconunpedazode cuerda delongitud fijaParaellofijamos dospuntosquedistenmenosqueSifi- jamos cadaextremo dela.cuerdaenunode E SOSpuntosfijos y,manteniendolacuerda. tensa,lavamos jalandoendistintasdirec- ciones,lospuntos dondesedobla.la.cuerda. describen una. elipse cuyos focos son losdos puntosfijos dados. 34 Para construiruna parbolapartimos de sufoco F' yde su directriz y, sa- biendo que lospuntosPde la parbola equidistande ambos,los localizamosde la manerasiguiente:primerobajamosla perpendiculardelfoco a la directriz; supuntomedioestenlaparbola.Enseguidatomamoscualquierrecta perpendiculara la directrizynos fijamosen elpuntodonde se intersectan ambas.ComolamediatrizdelsegmentoF'Gcontienetodoslospuntosque equidistandeF y de G,entonces el puntode interseccinP de esta mediatriz conser equidistantedelfocoF yde la directriz{y,portanto,pertenecer alaparbola.Procediendodeestaformapodemosobtenercualquierpunto de la parbola.Estasituacinse ilustra enlafigura 2.14. Paraconstruirmecnicamenteunaparbola,o almenosunarcodepar- bola,procedemos como seilustraen la figura2.15.Trazamoselfocoyla. Figura2.14Construccinde laparbola Figura2.13Construccin de la elipse \ \ ',\,. . . . . __.,."" . . . . _. . . . .radio de=2a PF'1 + PF2=PF'2 + PG =F G=2a circunferenciacualquiera que seatangenteael centrodesatisface la condicinPF'1+ P F'z=2a y,portanto,se encuentra sobrela elipse quese quera construir.Estecaso se ilustraenlafigura2.13.ParatrazarC 'se fija primero elpuntodetangencia. G; elcentroPestaren el segmentoF G yen lamediatrizdee. 352. 4C onstruccind elascnicas Con centro en uno de los focos,digamos P1, construimos una circunferencia. de radio 2a. Tomamos ahoracualquier radio decuya. prolongacin exterior a.C quede haciael ladodonde estel otrofoco y J o prolongamos as;seaG enel extremo deeseradio.Entonces,la mediatrizdeintersecta. a la prolongacin delradioenunpuntoP, que eselcentrodelacircunferencia. quepasa pory estangente aenluego,el centro deest sobre la hiprbolaque sebuscabaconstruir.Paraobtenerla otra rama,basta con intercambiar el papel de los focos.Estasituacin se muestra en la figura 2.16. Figura2.16Construccin dela hiprbola radio de= 2a P F1P F2=P Fi PG GF1=2a Figura 2.15 Construccin mecnica de unaparbola. F directrizy colocamos una escuadra consuladomscortosobre ladi- rectriz.Tomamosunpuntoenla orilla. de la.escuadra, de modo que la distanciaseamayorqueladis- tanciadondees la esquina. de laescuadra,ytomamosuna cuerda delongitudcuyosextremosfi- jamosenyenTensandola cuerda para que se man tenga. pegada a.laescuadra,obtenemos unpuntoPqueestsobrelaparbola,porque la distanciade Pa Fes igual a la distanciadePaSi deslizamosla.escuadra sobre la directriz,describir unarcodeparbola. Veremos ahorao6mo construir una. hiprbola cuandoconocemos susfocos F1, F2 y sus vrtices V., \f:i,que son los puntos de la hiprbola que se encuentran sobre la recta. queune susfocos. A la distanciaV. V :ise le llama ode lahiprbola,Obsrvese queen la elipsela distanciainterfocal es menor quela longitud del eje mayor, mientrasqueen la. hiprbola. la distancia. entre105 vrtices es menor quela. distanciainterfoca.l. Sabemos quetodos los puntosPde una rama. delahiprbola satisfacenla.propiedadde que P1 P2= V:!=2a. 36 Arqulmecksde Slr &C U . Sa 2.4.SDadaunaelipse,localice su centrousandosolamenteregla y comps. 2.4.2Dada una circunferencia, localice su centrousando solamente regla y comps. 2.4 .. 1Demuestreque si dos crculos son tangentes,larectade suscentrospasa por el punto detangencia.Considerelos dos casos posibles. Y a hemos mencionado cmo Menecmo,el descubridor de las cnicas,las utiliz pararesolver uno de los problemas clsicos griegos:la duplicacin del cubo.Uno delos ms grandes matemticosde la antigedadfue Arqumedes de Siracusa(282-212a. C.), quien estudi sus propiedadesy lasutiliz.Unapropiedad queconocamuybienesla siguiente:entodopuntoPdeunaparbola,la paralela al eje dela parbolay el segmento queloune al focoF formanngulos iguales con latangenteala parbola en En el captulo 7demostraremos estapropiedadusando lastcnicasdelageometraanaltica;aquloharemos utilizando el mtodo sinttico. 2.5 Figura2.17Construccin mecnica deunahiprbola ' ' ' ' ' ' ' Ejercicios yproblemas Tambinpodemosconstruirmecni- camenteunahiprbola,ounarcode hiprbola:fijamosunatachuelaencada foco,Fi, H; tomamosunacuerda,uni mos sus extremos y los tomamos con una mano;rodeamos una de las tachuelas con la cuerda y pasamos los dos extremospor unladodelaotratachuela;fijamosel lpiz enunpunto dela cuerdade modo que,altensarla,la diferenciade distan- ciasPi tenga el valor deseado,y luego la jalamosdesdelos extremosque, porestarunidos,mantendrnconstante la diferencia1F2 Por tanto,des- cribirunarcodehiprbola.Estacons- truccinseilustraen la figura 2.17. 37 ahoraunpuntoP sobrelaparbola ytracemos lalnea .>.'quepasapor P y esperpendicularala directrizen elpuntoQ.Finalmente,seaA"unarecta que pasapor Py forma un mismonguloconla recta.>.'y el segmentoP F. Queremos demostrar que.>."estangente a la parbola;paraelloprocede- remos porelmtodo dereduccinalabsurdo.As,supondremosqueA"no es tangenteala parbolayllegaremosa una contradiccin. Si.>."no estangente,entoncescortaalaparbolaenotropuntoPor ser opuestos porel vrtice,=y en consecuencia.esla bisectriz delngulopero como eltringuloes issceles,tambines la med.iatriz deporlo que= F;perocomoesttambinenla parbola,= es decir, sudistanciaala directriz eslamisma que su distanciaalfoco,y deestasdosigualdades se sigue que= Estaes una contradiccin,puesenel tringulorectngulola hipotenusa medira igualque el catetoConsecuentemente,la recta A"es tangentey queda as demostradala llamadala La propiedadfocal de laparabola tiene grandes consecuencias:sigiramos unaparbolaalrededordesueje,obtenemosunparaboloidederevolucin. Debidoa quecuandounrayo de luzincidesobreuna superficieel ngulo de incidencia coincide con el ngulo de refiexin, si elparaboloide se pone en lnea oon un haz luminoso tan lejano que los rayos lleguenparalelos,todos los rayos, alreflejarse,pasarnpor elfoco, comose ilustraen la figura2.19. Figura 2.18Demostracinde la propiedadfocal delaparbola ' ' ' Rt - ' - - 1 - t - : - ; - ~. , . . - ~~~~~ ConsideremosunaparboladedirectrizyfocoF;sea.> .elejedela parbola,queuneel focoFconelvrticeVycortaperpendicularmentea ladirectrizenelpuntooomo semuestraenlafigura2.18.Tomemos 38 1 +2 = +=180. Figura2.20Propiedadfocal de la elipse Sitomamosuna elipseylagiramossobresuejemayor,obtenemosun elipsoide de revolucin;con medio elipsoide podramosconstruir un techo que permitiraescuchar enuno delosfocos todolo quesedijeraenvozbajaen el otrofoco;estoes loquesellamaDurantelaedad media se hicieron muchas construcciones con esa caracterstica, principalmente religiosas. Es posible demostrarcon facilidadla propiedadfocal de la elipse utilizando las esferas de Dandelin,como se ilustraen la figura2.21.Siguiendo la notacin de estafigura,se tiene que==yes lado comn,porlo que los tringulos1 yA son iguales;de la misma manera,2==ycomn, por lo que los tringulosyson iguales. Por tanto, Figura2.19Propiedad focal de la parbola Arqumedesusestapropiedadparaconstruir grandes espejos parablicos con los que incendi bar- cosromanosduranteelsitioytomadeSiracusa, accinenlaque perdisuvida,enel 212antesde nuestraera.Elusomodernodeestapropiedadse daenlasantenasparablicas, quesirvenparacon- centrarycaptarlasondaselectromagnticas,oen la construccindeespejosparablicosmuygrandes para producir calor yenerga elctrica.Tambinal- gunaslentes sebasanenestapropiedad,as como la litotripsia,queconsiste enconcentrarondasultrasnicasenunpuntopara destruirclculos,sobre todorenales.Ensentidoinverso,losfaros delosau- tomviles,con suforma deparaboloide,envan haciael frentela luzubicada en el foco. L a elipsetambintieneuna propiedadfocal parecidaa ladela parbola: los segmentosqueunenalosfocos conunmismo punto delaelipseforman ngulos igualescon la tangentea la elipse en ese punto;esto implica que siun rayo de luz sale de unfoco y se refleja en laelipse,necesariamente pasarpor el otro,como seve en la figura2.20,y lo mismo pasarcon unaonda sonora. 39 los planetasgiranalrededordel Solsiguiendo rbitaselp- ticas enlas queste ocupauno delos focos. el radiovectorqueuneunplanetaconelSolbarrereas iguales en tiemposiguales. elcuadradodel periodo de revolucines directamentepro- porcionalal cubodel semieje mayor de la rbita. DespusdePapodeAlejandra,quiencomodijimosenelsigloIVdenuestraera,decayelestudiodelascnicas,hastaqueelastrnomoy matemticoalemnJ ohannesKepler(1571-1630),despus decuidadososes tudiosyobservaciones hechasenPraga,enelobservatoriodeldansTycho Brahe(1546-1601),plantesus Figura2.21Demostracinde la propiedad focal dela elipse ' ' '''_...'- .... .., ... _~'. , ' - ...- -...- Comotambin2+2=180,se sigue que1 =como se quera demostrar. 40 2.5.1Expliqueel funcionamientodelasantenas persbltces. Ejerciciosyproblemas A partir de las leyes descubiertasporNewton y usando tcnicas de clculo y ecuaciones diferenciales,fue posible demostrarla validez de las leyes de Kepler. Yno sloeso,sinoque sesiguequetodosloecuerposcelestessemuevena lolargode cnicas.Porejemplo,loecometaspueden seguirrbitaselpticas, aunquemucho ms excntricasquelas de loeplanetas;enretecaso,la visin del cometadesdelaTierraes peridica,como ocurreconelcometaHalley. Tambinpuedeun cometaseguirunatrayectoriaparablica o hiperblica,lo cualdependedesumasaydelavelocidadcon queseacerquealSol.Sila velocidadnoessuficientementegrande,laatraccingravitacionaldelSol J o atrapaenuna rbitaelptica. Usandotambintcnicasdelclculo,esposibledemostrarque,sinose tomanen cuentafactores como la resistencia del aire,latrayectoriaque sigue unproyectil,desdeunapiedrahastaunabaladecanouncohete,es parablica.Esta trayectoriaparablicasepuede modificarenel casode que la friccin del proyectil con el aire sea significativa. Paraconcluir esta seccin, comentaremos que lascnicas sonbsicaspara el estudiode curvas y superficies. uncuerpomantiene suestado dereposo o de movimiento rectilneo uniforme,a menos que actesobre luna fuerza externa. la aceleracinque experimentaun cuerpocomoconsecuen- cia de laaplicacindeunafuerza, multiplicadaporlamasadel cuerpo, e,iguala lafuerza aplicada,F =ma. a todafuerasdeaccin correspondeuna fuerza de reaccin de igual magnitud,pero de sentidocontrario.Estasfuerzas actansobre cuerpos distintos. la d edoscuerposseatraenenproporcin directaa sus masas y enproporcininversa al cuadradode su distancia. Estas leyes,obtenidasde la sola observacin del movimiento de los planetas, revelanuningenioyunacapacidaddesntesisasombrosos.Estosmismos calificativosse los podemos adjudicar al trabajode Isaac Newton(1642-1727), quien estableci la ley de la gravitacinuniversal y las tres leyes de la mecnica. 412.5Propied ad esd elascnicas 11/cosacosf 3 == = ==e 1/cos{J cosa esconstante,pueslosngulosay{)sonconstantes.Alacantidadela llamamosdelaelipse.ConF2y~podemoshacerunade- roostracin semejante,con el mismo resultado. Si analizamos la figura,observaremos que> y que,por tanto,e < l. Si dejamos fijo el cono, el ngulo o se mantendrfijo,y si aumentamos {J, la elipse separecer cadavez msauna circunferencia y e disminuir, aproximndose a O;enel lmite,{Jserde90,los planos1r1y 1r2sernparalelos,la curva serunacircunferencia,e=O,=y lasdirectricessehabrnidoal infinito.Por el contrario,si f 3disminuye, e aumentary enellmite en que f J Enunaparbola,la distanciadecadapuntoalfocoesguala sudis- tancia a la directrizsidenotamosconDalpie dela perpendicularbajada dea , entonces=1,es decir,el cocienteesconstante. Demostraremosqueesecocientetambinesconstanteparalaelipse,lolla- maremosy lodenotaremospore;as,resultaquee=1para laparbola,ysedemostrarqueO1parata hiprbola. Para la demostracin,seguiremos lanotacindelafigura2.22,endonde se muestrauna elipse como seccin deun cono,y susesferas deDandelin. Seaun punto sobre la elipse yF, uno de susfocos,y sea "'f la generatriz del cono que pasaporDenotamosconal pie de la perpendicular bajada deP al plano 1r2,conBal punto de 'Y que se encuentra en el plano 1r2y con D alpie de la perpendicularbajada del puntoa la directriz61que es la recta de interseccin de los planos1r y 1r2;entonces se forman los tringulos rectngulos ymostradosenlafigura2.22,enlosquecosa= y cos f J=ComoF1 =porserambastangentesdesdea la esferaE1,entonces, 2.5.4Explique cmosepuedenutilizar ESpejos paraproducir energa elctricay calor. 2.5.3Explique lamanera enque unalupapuede concentrar losrayosdelsol y encender un fuego. 2.5. 2Explique elfuncionamient.o de IBs"cmarasde murmullos". 42 2.6.sTomendounpuntocualquieracomo foco yunarectacualquieracomo direc- triz,tracea partirdeellos una elipse deexcentricidad1/2. 2.a.2Tomandounpuntocualquieracomo foco yunarectacualquieracomo direc- triz,traceapartirdeellos unahiprboladeexcentricidad2. 2.0.1Dadosunpuntoyunarectacue.J esquiera comofocoydirectriz,tracela parbola. Ejercicios yproblemas Figura2.22Excentricidadde la elipse alcance a1rser paralelo a la generatrizdel cono,la curva seruna parbola y setendre =l. Si continuamosdisminuyendolaexcentricidadseguir aumentando,ylacurvaser unahiprbola. Enresumen,e=; ~,osea,elcocientedela distanciadel puntodela crnea al foco sobre la. distanciadel puntoa la directrizes constante y se llama. de la crnea.Parauna circunferencia,e =O;para una.elipse, O.2y.>.! ; entonces,porlas ecuaciones (3.3),los cosenos directoressern: XZ cos o1 = di,cosfJ 1 = di,cos-n= di' X2Y 2 cos o2=d2'cosfJ 2 =d2'cos-r2 =d2. Sisustituimosestosvalores en(3.6),obtenemos coslJ=coso1 coso~+cosfJ 1 cosfJ 2+COS')':iCOS')'2.(3.7) (3.6) despejandocos () y simplificando,obtenemos I) _+ !/IY 2 + C0S-d1d2. ' Figura3. 26Angulo entredos rectasen elespacio . X ,Mtod od eroord enad as66 S.9.5Sielplano 1rtiene una normaloon nmeros directores(2,-1,2],encuentreel nguloagudoqueformacon unarecta.>. denmerosdirectores(O, 3,-3]. 3.9.4Sielplano1r1 tieneuna normaloonnmerosdirectores(2, -1,2]yelplano 1r2 tieneunanormalconnmerosdirectores[ -1,2,2],encuentreelnguloagudo formadoporlosdosplanos. 3.9.sEncuentreloengulosagudosdeltringulo delproblema3.9.1. 3.9.2Encuentreelnguloagudodelparalelogramodelproblema3.8.4. 3.9.1(a)Demuestrequeloe puntosA{2,-1,3),1, 5)yC(O,2,1)son loe vr- ticesdeuntringulorectngulo,y(b)encuentresurea. Ejerciciosyproblemas De aqu se sigue que78.46, o101.54.Obsrvese quelos ngulos son suplementarios,pues correspondena los dosngulos queformanlasrectas.OpOpOy hacia la partenegativa de ste cuando Oyhaciasuparte negativacuando olaverticales Utilizando el mismo procedimiento que seguimos paraobtener la ecuacin de la elipse,llegamos a la ecuacin 2y2=Esta ecuacin sepuede escribir en la forma :, , 3=1(8.4) b2 y se llama Jonnacan6nicaparalaecuaci6nd eunahiprbolahorizontal. Despejandoladeestaecuacin,tenemos que=de dondese siguequecuandose alejandesucentro,lospuntos delahiprbola seaproximan a lasrectas= lo quedemuestra que stassonasntotas de la hiprbola. Tambin podemos calcularelancho focal deesta hiprbolasustituyendo =e enlaecuacin (8.4)para obtenerque es2b2[a, como enel casodela elipse.Con estevalor,calculamos suexcentricidada partir delvrtice Viy del extremodel lado rectoR1 : d(Vi,P1)c-ad(R1,P1) e==--e==--d(Vi,1)d(Ri,1) despejandode ambas ecuaciones e igualando,obtenemos c-a-ae=--ce; usandoahoraelhechodeque+=c2,simplificando ydespejandoe, obtenemos quee/a,ecpresnigualala queobtuvimose. n el casodela elipse. Por otra parte,como e=e-d =~. despejando obtenemos quela distancia del centro delahiprbola alasdirectrices esd = e,tambin como enel casode la elipse. Cuando se tieneuna hiprbola verticalcentrada en el origen,los focos son Fa(O,e) y A(O,porlo que + (yc)2= 2a. 1 758.5Ecuaci6nd elahiprbola Figura 8.6L ahiprbola 25x2 -4y2-50x -16y-91=O y losvrtices, V1(h +k) =(3,-2), Vi(hk)=(1,2); laexcentricidad,=e/a=./29/2 el ancho focal,=21? /=25;lalongituddelejetransverso,=4;lalongi- tuddeleje conjugado,2b=10.Porotraparte,la distanciadelcentroalas directriceses d=a24/ ,/29, as,las ecuaciones de lasdirectrices son: Solucin:primero factorizamosycom- pletamoscuadradosenlaecuacinpara ponerlaenlaforma ordinaria (x1)2(y+2)2 4-25= l.Por tanto,tratadeunahiprbolaho- rizontalconcentroenC(l,2),=2, =5ye=,/a2+=,/29.Entonces, losfocos son F,(h+e, k)=(1+,/29, 2), Fi(he, k)=(1,/29, 2); Ejemplo8.3Encuentrelosfocos, losvrtices,lasdirectrices,laexcentrici- dad,las longitudesdelooejes,elancho focal y lasasntotasde lahiprbola 25x2-4y 50 x1.6y -91=O. h)2k)2k)2 h)2(8.6) a2-Ir=1 ya2-Ir=1 yrespectivamente. Sidesarrollamoslasecuaciones ordinariasdelahiprbola,llegamosala d e A:c2 ++++= O, donde=Oytienesigno contrarioaldededondeconcluyeque =B2 ->O. Partiendode unaecuacingeneralcon estascaractersticas,si la podemos factorzar,ellugargeomtrico consistirde dos rectasque se cortan.Cuando lahiprbolaestinclinadanosecumplenestaspropiedadesdelaecuacin, pero elindicadorseguir siendopositivo;porejemplo,xy=1representauna hiprbolacon centroen el origen y eje focal inclinadoa45,y suindicadores == 1>O. Sicolocamoselcentrodelahiprbolaenelpunto(h, k ), tendremoslas Seccionescnicas:elipseehiprbola1 76 8.5.4Pe.re. cada una delashiprbolas siguientes, encuentre los focos,J e. excentri- cidad, el ancho focal ylas directricesytraceunbosquejode la grfica. (a)4x2 -9 2-16.:z:+ 29=O;(b} 9:r:2 2+36.:z:+18=O; (e)3:r:2 -2y2 -18:c-l=O;(d}2:r:2 -5y2 -20.:z:+ 18 =O; (e)y2-34= O;(f}4y2-++ 16y-1 = O; (g)248=O;(h}.:z:2 -O. 8.5.2Encuentrelosfocos,laexcentricidad,elanchofocal,lasdirectricesylas asntotas de cada. una de las hiprbolas siguientes.Haga un bosquejo de cada. grfica. (e.) 4.:z:2 -2Sy2 = 100;(b)9.:z:2 -4 2=36 (c) 4x2 -9y = 36(d) .:z:2 2= 64 (e).:z:2 -2= -64;(f} -4 2= -4. 8.5.3Encuentrelaecuacindele.hiprboladeejesparalelose.losdecoorde- nadasque satisfacelas condiciones dadas encada caso.Dbujeuna grfica de cada hiprbola.(Dossoluciones en(e).) (e.)Sus focos son (4,O) y (10,O}yuno de susvrtices es(6,0); (h}tienefocos en(3, 5} y (13, 5) y la excentricidad es 13/4; (c)tienesusvrtices en (-1,-6) y(-1,8)y su excentricidad es./2; (d)susdirectrices son z=-2 y .:z:=4 yuno de susfocos es F(16/3,6); (e)su centroes (4,1),su excentricidad es,/f3/2 ypasaporelpunto(8,4). 8.5.lEn cada. ca.so,encuentre J e. ecuacin dele. hiprbole. con centroenel origen quetienesusejes paralelosalos ejescoordenados yque satisface lascondiciones indicadas.Dibuje lafigura en cada caso.(Dos soluciones en(e),(h), (i).) (a)Tiene unvrticeen(4, O)yunfoco en(5, O)(b}tieneunvrtice en(0, 8} y su excentricidad es 2; ( c)unaasntotaes= 3yy unfoco es (13, O)(d}pasa porel punto(4,J 3) yuno de susvrtices es (2,O)(e)pasaporlos puntos(4, 6)y(1,1); (f)una de susasntotases 3.:z:-4y =Oy uno de sus vrtices es (O, 10}; (g)es(es decir,b) y uno de susfocaes(0,8}; (h)unvrtice bisectala distancia del centroalfoco y el ancho focal es 18; (i)elancho focal es igualal eje transversoy una de susdroctioes es= 4; O)unode susfocos es(5, O)y= 11/3,dondees unpuntosobrelacurva con abscisaO,~> >OO,eotoooes x21121:,;~Y!1 =1 eslaecuacincartesianadeunahiprbolaquepasaporlospuntosQ(:,;1,1)y R(z2,1l2), 8.5.12Demuestreque para cualquier puntosobreuna hiprbolael producto de sus distanciasa las asntotasse mantiene constante cuando elpuntose mueve sobrela hiprbola. 8.5.lSDemuestrequesiladistancia queseparaalfooo deunahprboladela directrzcorrespondienteesentonces sueje transversomide 4pe/(e2 -1). 8.5.14Si Oes el nguloentre lasasntotas deunahiprbola,demuestreque 2J r-T tan= .2-.,.. Consecuentemente, elnguloqueformanlasasntotases elmismoparatodaslas hiprbolascon la mismaexcentricidad. 8.5.15Demuestrequelaelipse+ 2y2=10ylahiprbola4y2 -=4son (es decir,tienenlos mismos focos) yse cortanortogonalmente. 8.5.16Demuestrequeparalahiprbola= 1laslongitudesdelos radiosfocales deunpuntosobrelaelipse sonlex 8.5.17 Demuestrequetodaslas hiprbolas conla mismaexcentricidad sonseme- jantes. Seccionescnicas:elipseehiprbola1 78 8.6. 7 Encuentrelospuntosdetangenciadelasrectastangentesalahiprbola 4:i:2-3y2=36 yparalelasa la recta=s.e.sDos hiprbolasson amjugo.d assi tienenlas mismas asntotasy sus ejes focales son ortogonales.Demuestrequeninguna tangenteaunahiprbolaes tangentea su hiprbolaconjugada. 8.6.6Halle las ecuaciones delas rectastangentesa la hiprbolaI6x2 -25 2 = 400 yparalelas a la recta 2x2y=7. 8.6.4S> noexistentangentesalahiprbola'll=1quesean perpendicularesentres. 8.6.2Calculedenuevolasecuacionesdelastangentesdelejercicio8.6.1usando el procedimientosiguiente:primerotrasladelos ejesde coordenadasalpuntodado para quelatangentesea delaforma= calculelatangenteyJ uegohagala translacin inversapara expresarlastangentesrespectoalsistemade coordenadas original. 8.6.3Demuestrequeno existentangentesalahiprbola/o2- /=1que tengan pendientemenor quey mayorque 8.6.1 E ncadauno delos casossiguientes,verifiquequeelpuntoPestsobrela hiprboladada,encuentrelas ecuacionesdelasrectastangente ynormalen (a) 4:t2 2=64,P(S,6);(b)9y2=25,P(-13,4); (c)=16,P(3,5);(d) 2:i:2-32=50,P(7,-4). Figura 8.7Propiedadfocal delahiprbola:a=f 3 p Ejerciciosyproblemas Usandoelmismoprocedimientoqueuti- lizamosparalaelipse,podemosdemostrar x2 quela tangente a lahiprbolaIr=len unodesus puntos(x,,y,)es= TCon Y1resultado, es fcil demostrar la Encadaunodelospuntosdeun a hiprbola,sutangente esbisectrizdelngulo formado porlosradios focales deese punto, comosemuestraenlafigura8. 7. 8.6 1 798.6Propied ad esd elahiprbola 8.6.14Diseeunprocedimientopara construiruna tangenteyunanormalauna hiprbolacualquieraenunpuntocualquiera. 8.6.15(Demostrarquela ecuacindela tangentea la hiprbola02712 =en cualquierpunto111)es b 0211111 = b2, y(b)que la ecuacin dela normales+a2Xt!/l-x1111=O. 8.6.16Demostrarqueeltringuloformadoporunatangentecualquiera auna hiprbola y sus asntotastieneunreaconstante. 8.6.1TEncuentrela condicinparaquela recta1+ 11/ b1= 1seatangentea la hiprbola/a2 -2 /b2 = l.8.6.18Encuentrelaecuacindelarectatangentealahiprbolax2 -=4 quedeterminaunsegmentodelongitud./IS entrelos ejes coordenados.(Cuatro eoluconcs.) 8.6.19 DemuestrequeSlarecta+ kes tangenteala hiprboladadapor laecuacin, , 2/ 1?= I,entoncesk=J a2m2- 8.6. 20Sidesde unpunto exterior se trazantangentesa una hiprbola, el segmento que unelos puntosde contacto se llamaruerdapara la hiprbola, Si111)es unpuntoexterioralahiprbolao.211 =a 1?, demuestreque laecuacin dela cuerda de contactoes2 1 =21?. 8.6. 21Encuentrelaecuacindelacuerdadecontactodelpunto(-2,4)parala hiprbola3x2 -211 =3. 8.6.8EncuentreY !/lde tal manera que la tangentealabiprbola5x2-2 r= 18 en el punto(x1,111)pase porel punto(-1,4). 8.6.9 Encuentrela pendientedela recta tangentealahiprbolax2-= 9que pasaporel punto(3, 9).(Dossoluciones.) 8.6.10Demuestrequedesdeunpuntoarbitrariodelplanosepuedentrazardos, unao ningunatangenteaunahiprboladada. 8.6.11Demuestreque siyson las excentricidades de dos hiprbolas conjugadas, 11 entoncese2+ l=l.8.6.12Si el punto(xi,11,)estsobre lahiprbola112=7,encuentrex1y111 paraquelanormalalahiprbolaenesepuntopasetambinporelpunto(O, 6). (Dossoluciones.) 8.6.13Unarectatangenteala hiprbola4112=16enunpuntotiene interseccionesidnticasconlos ejes de coordenadas.Encuentre las coordenadasdel punto(Cuatrosoluciones.) Seccionescnicas:elipseehiprbola180 En106captulos7 y8hemos vistocmotodaslascnicasn06 llevana ecuaciones de laforma(8.7);lomismo ocurreconlos que seconocen como de las oncas:d06 rectas,que pueden ser concurrentes,paralelas o coincidentes,n06llevan a una ecuacin de la forma (8. 7)factorizable;tambin puede darseelcasodequelaecuacin(8. 7)representeunsolopuntoono representelugargeomtrico alguno,es decir,puede suceder que ningnpunto del plano tengacoordenadas que satisfaganla ecuacin. Tambin observamos que si les oncastienen su eje focal paraleloa uno de 106ejes de coordenadas, entoncesB=O,y quesisteeselcaso,paraunaparbolasetieneque f = =O;paraunaelipse,f = O.Lo anteriornos lleva a preguntamos:existen otrospos de lugares geom- trices cuya ecuacinseadelaforma (8.7)?Si la cnica estinclinada,cmo se comportael indicadorf=82 - L arespuestaalaprimerapreguntaesenelsentidonegativo;paraello demostraremos que mediante una rotacin de ejes de coordenadas podemos eli minar eltrmino en :cy de la ecuacin, obteniendouna ecuacin que representa algunadelesopcionesyaanalizadasymencionadasenelprrafoanterior; como las rotaciones sonisometras,no alteranlaforma dellugargeomtrico, yentonceslaecuacin(8. 7)slopuederepresentar106lugaresgeomtricos sealados. Para respondera la segundapregunta, demostraremos queel indicador de laecuacin,J=esuninvarianteantetranslaciones,rotaciones y reflexiones,J o que n06 permitiridentificardirectamente delaecuacinel tipodelugargeomtricoquerepresenta.SiJ=B2-=O,decimos (8.7) L a ecuacin general de segundo gradoen el plano es Ax2+O. 8.6.24Conbase en el ejercicio 8.6.23,encuentreun mtodoparalocalizargrca- menteel oentrodeuna hiprboladada. 8.6.23Demuestre que ellugar geomtrico de los puntosmedios de cualquier sistema de cuerdasparalelasdependientedelahiprbolab2r a2y2=a2b2es la recta 8.6.22Demuestrequeel productodelas interseccionescon el ejedelatangente y la normal enunpunto(x1, y1)de la elipse x2 /a2 + y2/b2 =1es constantee igual aa2+b2. 181 (8.9)= A)sen20 +=O. Sepresentandos casos: 1)Si AC , podemos escribir (8.9)en la forma B tan20=AC2)Si=la.ecuacin (8.9)sereduce a=O,ycomoO, entonces=45. sen 20 =2 senros 28 =cos2 sen2 y entonceshacemos ParaanulareltrminoenxrJ, usamoslasfrmulastrigonomtricasparael ngulo doble: donde -2 senOcosO+ Csen20, -2(C -senrosB(cos2sen2 IJ ), - (8.8) D'-+sen -DsenO, F' -F. X=:, !sen X1sen Si sustituimos estas expresiones paraz,enlaecuacin (8.7),obtenemos una nueva ecuacin de laforma A':, !2+ B'x1/+12+ D'x++ F'= o, que L a ecuacin es delgneropard bola, y puede representarunaparbola, una recta,dos rectasparalelaso ningnlugargeomtrico;si= < O,la ecuacin es del gneroelipse y puede representar una elpse,una circunferencia, un punto o ningnlugargeomtrico; si= >O,la ecuacin es del gnerohiprbola,y puede representar una hiprbola o dos rectas que se cortan. Parareferencia,enelApndice Ahacemosunresumen delascnicas,y en elApndiceB,unresumende laecuacin general de segundo gradoenel plano. Pasemos ahoraademostrarquepodemoseliminareltrmino enme- dianteunarotacinadecuada, loqueimplica quelaecuacin(8. 7)nopuede representarlugaresgeomtricos distintosa lascnicasyaloscasoslmiteya conocidos.Por la seccin7.1,sabemos que las ecuaciones de transformacin de las coordenadas cuando hacemos una rotacin de los ejes coordenados mediante un nguloson Seccionescnicas:elipseehiprbola182 NOTAlMPO!trANTE.tan=onial: 11= As.lnr.ot.&a: . . . Ejeloct.l ,utical: "-" v e-0Fstas ccueccnessere.6oreoala par'1>olasoon,'trlioc ooelori.gmyd.rcunfcrenc:ias,elipsese bipl:rbolaa oooccotroenelorigen;paraobtenerla ccuadndelacnicacoo,tlcc. oomtroen (h1k)1 soroonplauzpor 2: -yyporlo mismo sehace para obtenersusdira::tricesysus Mintotas. }UprbolaE tipecC'm:unfcrcnda Resumen sobre lascnicas ApndiceA Apnd ices252 P,ro E sigma tau T v (psilon cf>t/ > , fi Xji '1psi nomega Liota K " kapa A> .lambda Mmu Vnu - (ksi micron T I'Irpi Aalfa Bbeta r 'Ygamma delta {, Epsilon (dsete. }[ 1/eta aO, theta Alfabetogriego E nmatemticascomn usar las letras del alfabeto griego para represen- tar variables,objetos y magnitudes geomtricas. En la tabla siguiente aparecen las letrasgriegas (maysculas y minsculas) con susnombres. Indicador: