geometrÍa analÍtica espacio posiciones relativas de rectas y planos tema 5 pág: 116-119
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GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIO
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS
TEMA 5 Pág: 116-119
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POSICIONES RELATIVAS DOS PLANOS
Las posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres:
• SECANTES: tienen en común los puntos de una recta. • PARALELOS: no tienen ningún punto en común. • COINCIDENTES: tienen todos sus puntos en común.
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Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada
Dados dos planos
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Ejemplos:
- Pág 116: 8
- Calcular “a” para que los planos x-y+3z=0 y 2x-ay+6z =3 sean paralelos
- Calcula “m” para que los planos x+4y =2 y mx+3y-4z =4 sean perpendiculares.
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POSICIONES RELATIVAS TRES PLANOS
Las posiciones relativas de tres planos en el espacio son ocho, agrupadas en cinco casos:
• Secantes en común un punto. • Se cortan dos a dos o uno a los otros dos que son paralelos.• Se cortan en una recta en forma de haz o porque dos son iguales.• Son paralelos, o dos son iguales y el tercero paralelo.• Coincidentes: tienen todos sus puntos en común.
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Dados tres planos
Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada
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Ejemplos:
- Pág 125: 2
- Posición relativa de tres planos en función de un parámetro: Pág 125: 3 a, b
- Calcula “m” para que los planos :
x +y – z + 2 = 0, 2x – y + mz + 5 = 0 y
3x + 2z + 7 = 0 se corten en una recta. Escribe la recta en forma paramétrica.
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POSICIONES RELATIVAS RECTA y PLANO
Las posiciones relativas que pueden tener una recta y un plano en el espacio son las siguientes:
• Secantes: tienen un punto en común. • Paralelos: no tienen ningún punto en común. • Recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta pertenecen al plano.
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Dados la recta y el plano:
Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada
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Dados la recta y el plano:
Sustituimos los valores de x, y, z de la recta en el plano y despejamos t
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Ejemplos:
- Pág 118: 9
- Pág 127: 22 (parámetro)
- Determina el valor de “a” para que la recta r:
y el plano π: x + y – z + 3 = 0
sean paralelos.
- Determina el valor de “m” para que la recta. r: x – y + z = 2,
x + z = 1 y el plano 3x - mz = 1 sean perpendiculares
tz
aty
tx
2
1
4
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POSICIONES RELATIVAS DOS RECTAS
Dos rectas en el espacio pueden tener las siguientes posiciones entre sí:
• SE CRUZAN: no tienen ningún punto en común (no están situadas en el mismo plano).
• SECANTES: tienen un punto común • PARALELAS: no tienen ningún punto en común
COINCIDENTES: tienen todos los puntos en común.
En los tres últimos casos, las rectas están en el mismo plano
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0''''
0
DzCyBxA
DCzByAx
0''''''''''''
0''''''''
DzCyBxA
DzCyBxADadas las rectas r : s :
Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada
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tucz
tuby
tuax
3
2
1
33
22
11
vaz
vay
vax
Dadas las rectas r : s :
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Ejemplos:
- Pág 119: 10
- Pág 127: 21 (parámetro)
- Determina el valor de “a” para que las rectas
r: y s: estén situadas en
el mismo plano
- Halla “k” para que las rectas r:
y s: sean perpendiculares
15
31
z
y
k
x
22
3
zyx
zyx
.
zyx
22
taz
tay
tx
32
42
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PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
• Entre dos rectas r y s:
sr
sr
vvsr
vvsr
.||
0.
• Entre dos planos α y β:
nn
nn
.||
0.
• Entre una recta r y un plano α:
nvr
nvr
r
r
.
0.||
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Ejercicios:
- Pág 127: 18 a, 19 a, 20
- Pág 128: 30, 32 a, 34
- Sea “a” un número real, y las rectas r:
y s: . Para el valor de “a” para el que r y s
son paralelas, halla el plano que las contiene.
a
zy
x
2
tz
ty
tx
23
2
41