Matemática II

Profesor:Profesor: Jaime Valdivia Palomino

pjavaldi

H

N

A

R

O

Z

D

E

TeoremaTeorema de Pitágoras

Cateto ‘a”

Cateto ‘b”

Hipotenusa ‘c”

C2= a2 + b2a2= c2 - b2

b2= c2 - a2

Distancia entre dos Puntos

(0,12) A

(5,0) B

dAB = √ 52 + 122

A (2, 4 )

B (6,1)

dAB = √ ( - )2 + ( - )2

Distancia entre dos Puntos

dAB = √ ( - ( ))2 + ( - ( ))2 dAB =

A (-2, 4 ) A (X1, Y1 )

B (3, -1 ) B (X2, Y2 )

Ecuaciones de la RectaEcuaciones de la RectaLogro de Sesión: Calcular la ecuación de una

recta en diferentes tipos de ejercicios.

¿Qué significan estas señales de tránsito?

L1

L2

0 x

y

Pendiente de una recta l

¿Cuál de las rectas está más inclinada?

¿Cómo medimos esa inclinación?

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 ),

(x2 , y2)

(x1 , y1)

y2 – y1

x2 – x1

m = y 2 – y 1x2 – x1

•La pendiente queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenada y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir:

Ejemplo 1

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)

Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2

x1 y1 x2y2

Reemplazamos estos valores en

la fórmula

m = y 2 – y 1 =x2 – x1

14 – 2

9 – 7 =

122 = 6

Ejemplo 2

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)

Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2

x1 y1 x2 y2

Reemplazamos estos valores en

la fórmula

m = y 2 – y 1 =x2 – x1

-3 – 1

9 – (-5) =

-414 = -2

7

m1 = m2

Rectas paralelas

Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma pendiente.

Es decir:

m1 . m2 = -1

Dos rectas no verticales l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 ⊥l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

Es decir:

Rectas perpendiculares

Conclusiones

Si m>0 la recta l es creciente Si m<0 la recta l es decreciente Toda recta horizontal tiene m = 0 Las rectas verticales no tienen

pendiente definida.

Ángulo entre dos rectas

Si L1 y l2 son dos rectas que se cortan con pendientes

m1 y m2 , y si θ es el ángulo entre L1 y l2

θ

α1α2

Tg (θ ) = m2 - m1

1 + m1 . m2

Ecuación de Recta (Dados 2 puntos )

P (x,y)

P1 (x1, y1)

P2 (x2 , y2 )

Dado :

Punto : P1 (x1, y1 )

P2 (x2, y2 )

Pto genérico: P(x, y )

Ec:y – y1 = m(x – x1)

Ec:y – y1 = Y2 -Y1 (x – x1)

X2 - X1

m = Y2 -Y1

X2 - X1

Ecuación de Recta (Punto - Pendiente )

Dado :

Pendiente: m

Punto : P1 (x1, y1 )

Pto genérico: P(x, y )

Ec:

y – y1 = m(x – x1)

m

1

P (x,y)

P1 (x1, y2 )

Ecuación de Recta (Pendiente e intercepto con el eje de Ordenadas)

(0,b)bm

1

P (x,y)

Dado :

Pendiente: m

Intercepto: b

Pto genérico: P(x, y )

Ec: y = mx + b

0: =++ CByAxL

d

( )11; yxP

22

11),(BA

CByAxLPd

+

++=

0: 11 =++ CByAxL0: 22 =++ CByAxL

d

22

21

BA

CCd

+

−=

Ejercicios

Determine la pendiente e intersección con y de las siguientes rectas:

2. 4x + 6y +5 = 0

3. 2y = 6 + 3x

4. 3y = 8 – 2x

5. 3y – 2x = 10