asignatura: matematica basica docente:ing. rafael sandino
TRANSCRIPT
Asignatura: Matematica Basica
Docente:Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Semestre: Primero
2 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
G U I A D E E S T U D I O S
I. DATOS INFORMATIVOS
CARRERA: Técnico Superior en Gestión De Producción y
Servicios
NIVEL: Técnico
TIPO DE CARRERA: Tradicional
NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática Básica
CÓD. ASIGNATURA: GE-S1-MABA
PRE – REQUISITO: Ninguna
CO – REQUISITO: Ninguna
TOTAL DE HORAS: 112
Componente docencia 64
Componentes prácticas de aprendizaje: 0
Componente aprendizaje autónomo: 48
SEMESTRE: Primero
PARALELOS: A
PERIODO ACADÉMICO: Junio – Noviembre 2020
MODALIDAD: Presencial
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz.
Copyright©2020 Instituto Superior Tecnológico Ismael Pérez Pazmiño. All rights reserved.
Matemática Básica
3
Índice PRESENTACION ...................................................................................................................................... 7
Sistema General de conocimientos .................................................................................................... 7
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA ............................................................................................................... 8
II. FUNDAMENTACIÓN............................................................................................................................ 8
III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................................................................................................... 9
IV. CONTENIDOS ..................................................................................................................................... 9
V. PLAN TEMÁTICO ............................................................................................................................... 10
VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS ................................................................. 10
Unidad I: ALGEBRA ........................................................................................................................... 10
Unidad II: ECUACIONES. ................................................................................................................... 11
Unidad III: DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES ......................................................................... 11
Unidad IV: LÍNEAS RECTAS ............................................................................................................. 11
Unidad V: PROGRAMACIÓN LINEAL .................................................................................................. 12
VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE LA ASIGNATURA. ............................ 13
VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS ................................................................................................................. 14
IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA ............................................................................... 15
X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA .................................................................................... 17
DESARROLLO DE ACTIVIDADES............................................................................................................. 21
Unidad Didáctica I. ALGEBRA ............................................................................................................ 21
INTRODUCCION. ............................................................................................................................... 21
Objetivo de la unidad didáctica I ...................................................................................................... 21
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica I. ............................................................................ 21
Desarrollo de contenidos: ................................................................................................................ 21
Fracciones ........................................................................................................................................ 21
Signos de una fracción...................................................................................................................... 22
Simplificación de Fracciones ............................................................................................................ 22
Simplificación de Fracciones cuyos términos sean monomios ......................................................... 22
Simplificación De Fracciones Cuyos Términos Sean Polinomios ....................................................... 23
Reducir Una Expresión Mixta A Fraccionaria .................................................................................... 23
Reducir Fracciones Al Mínimo Común Denominador ....................................................................... 23
Operaciones con Fracciones ................................................................................................... 24
Suma Y Resta Combinadas De Fracciones ........................................................................................ 24
Multiplicación De Fracciones............................................................................................................ 25
4 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
División De Fracciones ...................................................................................................................... 26
Potencia............................................................................................................................................ 26
Base .................................................................................................................................................. 26
Exponente ........................................................................................................................................ 26
Exponente Fraccionario .................................................................................................................... 27
Factorización .................................................................................................................................... 28
Unidad Didáctica II. Ecuaciones ......................................................................................................... 31
Introducción. .................................................................................................................................... 31
Objetivo de la unidad didáctica II ..................................................................................................... 31
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica II. ........................................................................... 31
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica II. ...................................................................... 31
Igualdad ............................................................................................................................................ 31
Ecuación ........................................................................................................................................... 31
Identidad. ......................................................................................................................................... 32
Miembros de una Ecuación .............................................................................................................. 32
Transposición de términos ............................................................................................................... 32
Resolución de Ecuaciones................................................................................................................. 32
Ecuaciones De Primer Grado Con Signos De Agrupación ................................................................. 33
Ecuaciones Fraccionarias De Primer Grado............................................................................. 33
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO ................................................ 35
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS ........................................ 36
Introducción: .................................................................................................................................... 36
Ecuaciones Simultaneas ................................................................................................................... 36
Ecuaciones Equivalentes .................................................................................................................. 36
Ecuaciones Independientes .................................................................................................... 36
Ecuaciones Incompatibles ................................................................................................................ 36
Sistemas de Ecuaciones .................................................................................................................... 37
Sistema de dos Ecuaciones con dos Incógnitas ................................................................................ 37
Método de Igualación ...................................................................................................................... 37
Método de Sustitución ..................................................................................................................... 38
Método de Determinantes ............................................................................................................... 39
Método Grafico ................................................................................................................................ 40
Punto de Intersección....................................................................................................................... 40
DESARROLLO DE ACTIVIDADES ............................................................................................................. 43
Matemática Básica
5
Unidad Didáctica III. DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES ............................................................ 43
Objetivo de la unidad didáctica III .................................................................................................... 43
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica III. .......................................................................... 43
Propiedades de las desigualdades .................................................................................................... 44
Desigualdad lineal con una variable ................................................................................................. 44
Aplicación de la Desigualdad lineal .................................................................................................. 45
Valor Absoluto ........................................................................................................................ 47
Ecuaciones de Valor ......................................................................................................................... 47
Desigualdades de Valor Absoluto ..................................................................................................... 47
Solución de las Desigualdades Cuadráticas: ........................................................................... 48
Actividad de Auto Evaluación de la Unidad III .................................................................................. 48
EVALUACION DEL PRIMER PARCIAL.................................................................................................. 49
DESARROLLO DE ACTIVIDADES............................................................................................................. 50
Unidad Didáctica IV. La Recta. ........................................................................................................... 50
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica IV. .......................................................................... 50
Distancia entre dos puntos ............................................................................................................... 51
Representación gráfica de la línea recta .......................................................................................... 52
Pendiente de la Recta....................................................................................................................... 52
Pendiente de la recta que pasa por dos puntos cualquiera.............................................................. 52
La Pendiente De La Recta Cuando Se Tiene Una Ecuación. .............................................................. 53
Ecuación de la línea Recta ................................................................................................................ 55
Formas de la Ecuación de la Recta. .................................................................................................. 55
Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos cualquiera ............................................................... 55
Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente .......................................................................... 56
Ecuación de la recta de la forma con intersecciones ........................................................................ 57
Ecuación de la recta de la forma pendiente intersección ................................................................. 57
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV. ................................................................ 60
Actividad Final Unidad IV. ................................................................................................................ 61
DESARROLLO DE ACTIVIDADES............................................................................................................. 62
Unidad Didáctica V. Programación Lineal.......................................................................................... 62
Introducción: .................................................................................................................................... 62
Objetivo de la unidad didáctica V ..................................................................................................... 62
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica V. ........................................................................... 63
Objetivos y Aplicaciones ................................................................................................................... 63
6 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
El Problema General de la Programación Lineal ..................................................................... 63
1.- Función Objetivo................................................................................................................ 64
Foro. ....................................................................................................................................... 64
2.- Limitaciones y Restricciones ........................................................................................................ 64
Orientación Tarea. ................................................................................................................... 65
3.- No Negatividad ............................................................................................................................ 65
4.- Condiciones de Optimización ...................................................................................................... 65
Solución Factible .............................................................................................................................. 65
Solución Básica Factible .................................................................................................................... 65
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL. ............................................................ 65
PROBLEMA DE MAXIMIZACION ........................................................................................................ 66
FORMULACION DEL PROBLEMA. ...................................................................................................... 66
FUNCION OBJETIVO. ......................................................................................................................... 66
RESTRICCIONES. ............................................................................................................................... 66
ABSTRACCIONES: .............................................................................................................................. 66
SOLUCION GRAFICA. ......................................................................................................................... 67
Problema De Minimización ..................................................................................................... 71
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V. ........................................................................... 74
EVALUACION DEL SEGUNDO PARCIAL .............................................................................................. 74
Bibliografía. .......................................................................................................................................... 75
Matemática Básica
7
PRESENTACION
Señores estudiantes, de parte del INSTIPP reciban nuestro saludo y
deseándoles de antemano se sientan a gusto en nuestra institución. El
preparar este material, es para poder contribuir en alguna manera a la mejora
del proceso enseñanza aprendizaje, consta de elementos básicos que lo
orientaran en este proceso, como son principios básicos de Algebra, un
recorrido por las ecuaciones de primer grado y las desigualdades y sus
aplicaciones, la línea recta y la programación lineal, problemas y aplicaciones
en el área.
La guía plantea lecturas, trabajos prácticos y el respaldo conceptual de los
autores que se citen.
Tratamos de hacer más fácil el proceso de enseñanza – aprendizaje, pero es
necesario interactuar. Para esto estamos Considerando cinco unidades
didácticas:
Sistema General de conocimientos
Unidad I: Algebra.
Unidad II: Ecuaciones.
Unidad III: Desigualdades y sus aplicaciones.
Unidad IV: Líneas Rectas.
Unidad V: Programación Lineal
8 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“ISMAEL PÉREZ PAZMIÑO
SYLLABUS DE LA ASIGNATURA
I. DATOS INFORMATIVOS
NOMBRE DE LA CARRERA: Técnico Superior en Gestión De Producción Y
Servicios
ESTADO DE LA CARRERA: Vigente _X_ No vigente solo para registro de títulos _
NIVEL: Técnico
TIPO DE CARRERA: Tradicional
NOMBRE DE LA SIGNATURA: Matemática Básica
CÓD. ASIGNATURA: GE-S1-MABA
PRE – REQUISITO: Ninguno
CO – REQUISITO: Matemática Financiera
TOTAL HORAS: 112
Componente docencia: 64
Componente de prácticas de aprendizaje: 0
Componente de aprendizaje autónomo: 48
SEMESTRE: Primero PARALELO: “A”
PERIODO ACADÉMICO: Junio – Noviembre 2020
MODALIDAD: Presencial
DOCENTE RESPONSABLE: Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz.
II. FUNDAMENTACIÓN
La Matemática Básica es una asignatura Teórica- Práctica, que busca que el
estudiante use el razonamiento lógico y crítico en soluciones de problemas de Gestión
De Producción Y Servicios en la vida cotidiana.
En cuanto a la importancia de esta disciplina para el Técnico Superior De Gestión De
Producción Y Servicios juega un papel muy significativo pues constituye una
herramienta fundamental para el análisis y toma de decisiones de las actividades que
realiza el futuro profesional en esta área.
Con este acercamiento surge la necesidad de comprender la teoría Matemática,
realizar problemas de algebra, ecuaciones, desigualdades y sus aplicaciones, la línea
recta y problemas de programación lineal, que permiten procesos del pensamiento
creativo y abstracto.
El objeto de estudio de la asignatura es el razonamiento lógico matemático que
estudia la habilidad y capacidad relacionada con la forma abstracta de ver los números
o cantidades, para el desarrollo de destrezas que permitan el cálculo, análisis e
interpretación de situaciones problémicas, que hagan al futuro profesional tomar una
decisión e implementar un modelo matemático con respaldo científico.
Matemática Básica
9
El Objetivo General es evaluar problemas de razonamiento lógico, ecuaciones, y
programación lineal a nivel superior, mediante la aplicación de procesos matemáticos
que permita la resolución de situaciones cotidianas en el contexto empresarial.
III. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Aplicar la teoría básica de algebra a través de sus diferentes propiedades para
la solución de problemas con responsabilidad.
Resolver Ecuaciones, aplicando los constructos teóricos para aplicarlos en
problemas de oferta, demanda y equilibrio de mercado con honestidad.
Resolver desigualdades, utilizando las diferentes reglas matemáticas para las
aplicaciones en el área administrativa de la empresa con responsabilidad.
Resolver problemas de la línea recta por medio de las diferentes formas de la
ecuación de la recta para su aplicación en problemas del diario vivir actuando
con responsabilidad.
Evaluar la resolución problemas de programación lineal aplicando la
formulación correcta para la búsqueda de la solución óptima que permita la
maximización de utilidades y minimización de costos en las empresas con honestidad.
IV. CONTENIDOS
Sistema General de conocimientos
Unidad I: Algebra
Unidad II: Ecuaciones
Unidad III: Desigualdades y sus aplicaciones
Unidad IV: Líneas Rectas
Unidad V: Programación lineal
Sistema General de Habilidades
Unidad I: Aplicar la teoría básica de algebra
Unidad II: Resolver Ecuaciones
Unidad III: Resolver desigualdades
Unidad IV: Resolver problemas de la línea recta.
Unidad V: Evaluar la resolución de problemas de programación lineal
Sistema General de Valores
Unidad I: Responsabilidad en la resolución de problemas de algebra.
Unidad II: Honestidad en la resolución de ecuaciones.
Unidad III: Responsabilidad al resolver problemas de desigualdades.
Unidad IV: Responsabilidad al resolver problemas de la línea recta.
Unidad V: Honestidad al resolver problemas de programación lineal.
10 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
V. PLAN TEMÁTICO
DESARROLLO DEL PROCESO CON TIEMPO EN
HORAS
Temas De La Asignatura C CP S CE T L E THP TI THA
Algebra 1 9 - 1 - 1 12 9 21
Ecuaciones 1 9 - 1 - 1 12 9 21
Desigualdades y sus aplicaciones 1 7 - 1 - 1 10 9 19
Líneas Rectas 1 10 - 2 - 1 14 12 26
Programación lineal 1 9 - 1 - 1 12 9 21
EXAMENES PARCIALES 4 4 - 4
Total de horas 5 44 - 6 - 9 64 48 112
Leyenda:
C Conferencias.
S Seminarios.
CP Clases prácticas.
CE Clase encuentro.
T Taller.
L Laboratorio.
E Evaluación.
THP Total de horas presenciales.
TI Trabajo independiente.
THA Total de horas de la asignatura.
VI. SISTEMA DE CONTENIDOS POR UNIDADES DIDÁCTICAS
Unidad I: ALGEBRA
Objetivo: Aplicar la teoría básica de algebra a través de sus diferentes propiedades
para la solución de problemas con responsabilidad.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Fracciones
Exponentes
Exponentes fraccionarios
Productos notables
Factorización
Resolver diferentes tipos de
fracciones.
Conceptualizar la teoría de los
exponentes.
Resolver ejercicios con
exponentes fraccionarios.
Aplicar correctamente las
reglas de los productos
notables.
Resolver los casos de
factorización
Responsabilidad en la
resolución de
problemas de algebra
Matemática Básica
11
Unidad II: ECUACIONES.
Objetivo: Resolver Ecuaciones, aplicando los constructos teóricos para aplicarlos
en problemas de oferta, demanda y equilibrio de mercado con
honestidad
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Ecuaciones Lineales
Aplicación de ecuaciones
lineales.
Ecuaciones de primer grado con
una incógnita.
Sistema de ecuaciones
Conceptualizar la teoría
básica de ecuaciones
lineales.
Resolver ecuaciones lineales.
Resolver ecuaciones de
primer grado con una
incógnita.
Resolver sistemas de
ecuaciones
Honestidad en la
resolución de
ecuaciones
Unidad III: DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES
Objetivo: Resolver desigualdades, utilizando las diferentes reglas matemáticas
para las aplicaciones en el área administrativa de la empresa con
responsabilidad.
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Desigualdades lineales de una
variable
Aplicación de la desigualdad
lineal.
Valor absoluto
Resolver ejercicios de
desigualdades lineales.
Aplicar técnicas de cálculo de
desigualdad lineal.
Resolver ejercicios de valor
absoluto.
Responsabilidad al
resolver problemas de
desigualdades
Unidad IV: LÍNEAS RECTAS
Objetivo: Resolver problemas de la línea recta por medio de las diferentes formas
de la ecuación de la recta para su aplicación en problemas del diario vivir
actuando con responsabilidad.
12 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
Determinación y significado de la
pendiente de la recta entre dos
puntos.
Determinación y significado de la
pendiente de la recta.
Método abreviado.
Cuatro casos para obtener la
ecuación de la recta.
Ecuación de la recta que pasa por
dos puntos cualesquiera.
Ecuación de la recta que pasa por
un punto cualquiera y tiene una
pendiente dada.
Ecuación de la recta con
intersecciones (ejes: x e y)
Ecuación de la recta con
intercepción en eje Y, y tiene
una pendiente dada
Aplicaciones de las ecuaciones
de la recta
Conceptualizar con tus
propias palabras que es una
recta, que es pendiente.
Calcular la pendiente de la
recta con el método
abreviado
Aplicar acertadamente las
fórmulas y el método
adecuado.
Aplicar las diferentes formas
de encontrar las ecuaciones
de la recta.
Resolver acertadamente
ejercicios relacionados.
Graficar las condiciones de
este tipo de recta
Resolver ejercicios de la
recta de esta forma
Resolver ejercicios de la
recta de esta forma
Aplicar correctamente los
tipos de ecuaciones de la
recta
Responsabilidad al
resolver problemas de
la línea recta
Unidad V: PROGRAMACIÓN LINEAL
Objetivo: Evaluar la resolución problemas de programación lineal aplicando la
formulación correcta para la búsqueda de la solución óptima que permita
la maximización de utilidades y minimización de costos en las empresas
con honestidad.
Matemática Básica
13
Sistema de conocimientos Sistema de habilidades Sistema de Valores
PROGRAMACIÓN LINEAL
Definición.
Características
Aplicaciones de la
programación lineal.
Pasos para formulación de
problemas.
Problemas de aplicación.
Problema de maximización
Problema de minimización.
Modelo de PL con 2 variables.
Solución gráfica de la PL.
Solución de un modelo de
maximización.
Solución de un modelo de
minimización.
Aplicar los conceptos de
Programación lineal.
Conceptualizar la definición
de programación lineal
Identificar las características
de la programación lineal.
Reconocer las diferentes
aplicaciones de la PL.
Aplicar adecuadamente los
pasos para la formulación de
problemas.
Resolver problemas de
programación lineal.
Resolver problemas de
maximización con destreza
Resolver problemas de
minimización.
Identificar la resolución de
problemas de PL dos
variables.
Resolver de forma gráfica
problemas de PL.
Analizar los resultados de la
solución de modelos de
maximización.
Analizar las soluciones de un
modelo de minimización.
Honestidad al resolver
problemas de
programación lineal.
VII. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Y DE ORGANIZACIÓN DE
LA ASIGNATURA.
Esta asignatura será desarrollada aplicando del método problémico apoyado en la
conversación heurística, lo que permitirá al docente utilizar o ejecutar tareas que
14 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
conduzca al estudiante a la búsqueda de vías de solución, favoreciendo a la
adquisición del conocimiento nuevo, así el método deductivo, que le permite introducir
conocimientos nuevos en el estudiante; esto ocasionará aprendizajes significativos,
pues podrá construir su propio conocimiento partiendo de otros ya adquiridos.
La asignatura de Matemática Básica será desarrollada durante el primer semestre de
la carrera de Técnico de gestión de producción y servicio abarcando tres horas
semanales, en cada sesión de clase se hará visible el tema y el objetivo planteado,
con el fin de desarrollar las respectivas habilidades en los estudiantes, quienes podrán
revisar con anticipación los temas propuestos para cada una de las unidades, con las
que se podrá establecer un intercambio de ideas al inicio de la nueva clase.
Para evidenciar el desarrollo de las clases impartidas en el aula, el estudiante
documentará todas las actividades de aprendizaje plasmándolas en un portafolio y
diarios de campo, lo mismo hará con los respectivos talleres (trabajo en equipo)
realizados en clase, los cuales tendrán una puntuación que contribuirá con la nota total
de la asignatura, proceso que repetirá con las tareas extra clase.
Como material de apoyo se hará llegar al estudiante por medios electrónicos, el
respectivo syllabus de asignatura, así como los contenidos de todos los temas. Los
trabajos extra clase serán recibidos a través de la plataforma Amauta, para lo cual el
docente deberá subir al sistema la nueva tarea con sus respectivas orientaciones, con
fecha de apertura y fecha máxima de entrega.
Los estudiantes tendrán una participación activa en los diferentes foros y tareas que
se subirán en la plataforma virtual Amauta de un tema determinado, el que tendrá una
puntuación respectiva. Con respecto al desarrollo de los temas, es su primera sesión,
se aplicará la conferencia para el desarrollo de conceptos básicos, luego se apoyará
en las clases prácticas, para la aplicación del conocimiento, también se ejecutarán
talleres en cada unidad para fortalecer los conocimientos adquiridos mediante
ejercicios de aplicación.
La puntualidad a las sesiones de clases es de vital importancia, es por ello que se
pasará lista al inicio y al final de cada sesión, además, se evaluará cada una de las
unidades académicas desarrolladas con el fin de verificar la asimilación de los
contenidos propuestos.
VIII. RECURSOS DIDÁCTICOS
Básicos: marcadores, borrador, pizarra de tiza líquida.
Audiovisuales: Computador, retroproyector.
Técnicos: Documentos de apoyo, Separatas, texto básico, libros digitales,
plataforma Amauta, Geogebra.
Matemática Básica
15
IX. SISTEMA DE EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA
El sistema de evaluación será sistemático y participativo, con el objetivo de adquirir
habilidades y destrezas cognitivas e investigativas que garanticen la calidad e
integridad de la formación profesional.
Para la respectiva evaluación se valorará la gestión de aprendizaje propuestos por el
docente, la gestión de la práctica y experimentación de los estudiantes, y la gestión
de aprendizaje que los estudiantes propondrán mediante la investigación.
Se tomó como referencia el Reglamento del Sistema Interno de Evaluación Estudiantil
para proceder a evaluar la asignatura, de esta manera se toma como criterio de
evaluación la valoración de conocimientos adquiridos y destrezas evidenciadas dentro
del aula de clases en relación a la labor que un auditor de sistemas realiza.
Cada alumno deberá demostrar lo aprendido en cada una de las unidades
académicas, y de esta manera esté apto para desenvolvimiento profesional.
Por ello desde el primer día de clases, se presentará las unidades didácticas y los
criterios de evaluación del proyecto final. Se determinará el objeto de estudio, que en
este caso es la administración de base de datos y todos los puntos que ésta conlleva
para su aprobación.
Se explica a los estudiantes que el semestre se compone de dos parciales con una
duración de diez semanas de clases cada una, en cada parcial se evaluará sobre
cinco puntos las actividades diarias de las clases, trabajos autónomos, trabajos de
investigación, actuaciones en clases y talleres; sobre dos puntos un examen de parcial
que se tomará en la semana diez y semana veinte. De esta manera cada parcial tendrá
una nota total de siete puntos como máximo.
El examen final se llevará a cabo mediante la ejecución de un proyecto integrador de
asignaturas y tiene una valoración de tres puntos. Por consiguiente, el alumno podrá
obtener una nota total de diez puntos.
El proyecto integrador del presente semestre corresponde a el: Diseño de estrategias
para mejorar la gestión de calidad en el departamento de producción en las empresas
públicas y privadas.
Por tal motivo, la asignatura Matemática Básica contribuirá en el proyecto integrador
en el diseño de un modelo de optimización para la gestión de calidad de la empresa.
Los parámetros de evaluación del presente proyecto o actividad de vinculación de la
asignatura, se clasifican en parámetros generales que serán los mismos en todas las
asignaturas y en parámetros específicos que corresponde únicamente a la asignatura;
la cual se detallan a continuación:
16 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Aporte de la asignatura al proyecto 1,50
- Veracidad en la recolección de datos 0,40
- Precisión en los cálculos matemáticos 0,40
- Correcta graficación del modelo matemático 0.30
- Implementación del modelo matemático 0,40
Parámetros Generales 1,50
Dominio del Tema 0,50
Redacción, coherencia y desarrollo del proyecto integrador 1,00
TOTAL 3,00
Una vez que el estudiante exponga su proyecto integrador y defienda las preguntas
propuestas por el tribunal, será notificado en ese momento la nota obtenida y se
procederá a la respectiva firma de constancia.
Dentro de las equivalencias de notas se clasifican de la siguiente manera:
10,00 a 9,50: Excelente
9,49 a 8,50: Muy Bueno
8,49 a 8,00: Bueno
7,99 a 7,00: Regular
6,99 a Menos: Deficiente
Los estudiantes deberán alcanzar un puntaje mínimo de 7,00 puntos para aprobar la
asignatura, siendo de carácter obligatorio la presentación del proyecto integrador.
Si el estudiante no alcance los 7,00 puntos necesarios para aprobar la asignatura,
deberá presentarse a un examen de recuperación en la cual será evaluado sobre diez
puntos y equivaldrá el 60% de su nota final, el 40% restante corresponde a la nota
obtenida en acta final ordinaria de calificaciones.
Aquellos estudiantes que no podrán presentarse al examen de recuperación son
quienes hubiesen reprobado por faltas del 25% o más en la asignatura impartida
cursando la asignatura por tercera ocasión, y aquellos que no hayan alcanzado la nota
mínima de 2,50/10 en la nota final.
El estudiante no conforme con la nota del proyecto integrador podrá solicitar mediante
oficio una recalificación y obtendrá respuesta del mismo en un plazo no mayor a tres
días hábiles
El docente tendrá un plazo de 48 horas para socializar las calificaciones obtenidas,
luego se asentará en las actas finales y se procederá a recoger la firma de los
estudiantes.
Los proyectos presentados serán sometidos a mejoras o corrección si el caso lo
amerita con la finalidad de ser presentadas en la feria de proyectos científicos que el
Instituto Tecnológico Superior Ismael Pérez Pazmiño lanzará cada año.
Matemática Básica
17
X. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Y COMPLEMENTARIA
ARMAS, W., Baquerizo, G., Ramos, M. y Noboa, D. Fundamentos de Matemáticas.
Segunda Edición. ICM Espol. 2006.
ARREOLA, J. y ARREALA, A. Programación lineal: una introducción a la toma de
decisiones cuantitativas. Editor Thomson. 2003. 502 pp
ARYA, J. y LARDNER, R. “Matemáticas aplicadas a la administración y a la
economía”. México. Quinta Edición. Pearson educación. 2009. 8 32pp.
BALDOR AURELIO. Algebra. 2da edición. México. Grupo Editorial Patria. 2007.
576 p.
BALDOR AURELIO. Geometría y Trigonometría. 2da edición. México. Grupo
Editorial Patria. 2007. 624p.
CHARLES H LEHMANN. Geometría Analítica. 5ta edición, México Editorial Limusa.
2012. 512p.
DAVID C. LAY. Algebra lineal y sus aplicaciones. Segunda edición. México.
Editorial Pearson Prentice Hall. Addison Wesley Longman., 1999. 750p.
ERNEST F. HAEUSSLER, JR. / RICHARD S. PAUL. Matemáticas para
Administración y Economía. Décima Edición. México. Editorial Pearson Prentice
Hall., 2003. 915p.
GONZÁLEZ, M y MANCILL, J. Algebra elemental y moderna. Editorial Kapelusz.
HANDY, T. “Investigación de operaciones”. México, Novena edición. Pearson
Educación. 2012. 824 pp.
HERNANDEZ, M. Introducción a la programación lineal. UNAM. México. 2007. 215
pp.
HILLIER, F. y LIEBERMAN, G. “Introducción a la Investigación de Operaciones”.
México. Quinta Edición. Mc Graw Hill. 2010. 978pp.
LEHMANN CHARLES H. ALGEBRA. México. Primera edición. Editorial Limusa –
Wiley. S. A. 1964. 473p
LEHMANN, Ch. Algebra. Editorial Limusa – Wiley. S. A. primera edición 1964.
LOUIS LEITHOLD. Calculo para ciencias administrativas, biológicas y sociales. 2da
edición. México. Editorial Alfaomega. 2006. 672p.
MOROCHO, B. Guía de estudio de Matemática Básica. 2018
MURRAY R. SPIEGEL-SEYMOUR LIPSCHUTZ-DENNIS SPELLMAN. Análisis
Vectorial. México. 2da edición. Editorial McGraw-Hill. 2011. 253p.
SOO T. TAN. Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la
vida. 5ta edición. México. Editorial Cengage Learning, inc. 2011. 925p.
SWOKOWSKI, E. y COLE, J. “Álgebra y trigonometría con geometría analítica”.
México. 12ª. Edición. Edamsa Impresiones. 2009. 902 pp.
WEBER JEAN E. Matemáticas para Administración y Economía. 4ta edición.
México. Editorial Mexicana, 2003. 836 pág.
WILLIAM ANTHONY GRANVILLE. Cálculo Diferencial e Integral. 11va edición.
México. Editorial Limusa S.A. 2009. 704p.
18 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Machala, 29 de octubre del 2019
Elaborado por: Revisado por: Aprobado por:
____________________
Ing. Rafael S Salcedo M.
Docente
__________________
Ing. Carolina Quevedo
Coordinadora de
Tecnología Superior en
Gestión de Producción y
Servicios
____________________
Dra. María Isabel Jaramillo
Vicerrectora – INSTIPP
Matemática Básica
19
ORIENTACIONES PARA EL USO DE LA GUÍA DE ESTUDIOS
Antes de empezar con nuestro estudio, debes tomar en cuenta lo siguiente:
1. Todos los contenidos que se desarrollen en la asignatura contribuyen a tu
desarrollo profesional, ética investigativa y aplicación en la sociedad.
2. El trabajo final de la asignatura será con la aplicación de la metodología de
investigación científica.
3. En todo el proceso educativo debes cultivar el valor de la constancia porque no
sirve de nada tener una excelente planificación y un horario, si no eres persistente.
4. Para aprender esta asignatura no memorices los conceptos, relaciónalos con la
realidad y tu contexto, así aplicarás los temas significativos en tu vida personal y
profesional.
5. Debes leer el texto básico y la bibliografía que está en el syllabus sugerida por el
docente, para aprender los temas objeto de estudio.
6. En cada tema debes realizar ejercicios, para ello debes leer el texto indicado para
después desarrollar individual o grupalmente las actividades.
7. A continuación te detallo las imágenes que relacionadas a cada una de las
actividades:
SUGERENCIA
TALLERES
REFLEXIÓN
20 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
TAREAS
APUNTE CLAVE
FORO
RESUMEN
EVALUACIÓN
8. Ánimo, te damos la bienvenida a este nuevo periodo académico.
Ing. Rafael Salcedo Muñoz.
Docente.
Matemática Básica
21
DESARROLLO DE ACTIVIDADES
Unidad Didáctica I. ALGEBRA
INTRODUCCION.
En esta etapa matemática, ocurre una transición de conocimientos ya que ahora
manejaremos cantidades numéricas y cantidades que son representadas por letras
en las diferentes expresiones algebraicas, por lo que el estudiante tendrá que hacer
uso ya de un conocimiento abstracto, realizar con agilidad operaciones aritméticas,
tanto con números naturales y enteros, manejar operaciones con fracciones,
potencias y sus propiedades, productos notables y factorización, y el valor numérico,
harán que se genere la capacidad de realizar operaciones y problemas más complejos
y con sus respectivas aplicaciones a la vida cotidiana y profesional.
Objetivo de la unidad didáctica I
Aplicar la teoría básica de algebra a través de sus diferentes propiedades para la
solución de problemas con responsabilidad.
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica I.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica I.
Desarrollo de contenidos:
Fracciones
Los primeros números que aparecieron fueron los números
naturales, se los simboliza con la letra N (1,2,3,4,5,6,) mayúscula,
se los usaba para contar y para realizar operaciones de suma y
multiplicación.
Para resolver operaciones con fracciones, debemos observar los
siguientes teoremas o propiedades :
Algebra
Fracciones
simplificacion operaciones
exponentes
reglas operaciones
Factorizacion
casosProductos notables
22 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Signos de una fracción
Una fracción tiene tres signos:
Del numerador.
De la raya de fracción y
Del denominador.
𝒏𝒖𝒎𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓
𝒅𝒆𝒏𝒐𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒓𝒓𝒂𝒚𝒂 𝒅𝒆 𝒇𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏
Foro.
Fracciones Algebraicas.
Simplificación de Fracciones
es convertirla en una fracción equivalente cuyos términos sean primos entre sí .
Simplificación de Fracciones cuyos términos sean monomios
se puede convertir las cantidades numéricas en factores y proceder a simplificar o
comprobar si el numerador y denominador tienen: mitad, tercera, quinta etc., por
ejemplo:
68𝑎5𝑏4𝑥7𝑦3
32𝑎3𝑏5𝑥4𝑦6=
22 ∗ 17𝑎5𝑏4𝑥7𝑦3
25𝑎3𝑏5𝑥4𝑦6=
17𝑎5−3𝑥7−4
25−2𝑏5−4𝑦6−3=
17𝑎2𝑥3
23𝑏𝑦3=
17𝑎2𝑥3
8𝑏𝑦3
En este ejercicio hemos:
1.- Descompuesto las cantidades numéricas en factores.
2.- Reducimos términos de la misma base, identificando el exponente mayor para
restar el exponente menor y así evitar que el resultado nos dé exponentes negativos,
que es lo que debemos evitar.
La otra forma es que empecemos a simplificar la parte numérica, sacando la mitad
tanto al 68 y al 32, quedándonos 34 y 16, volvemos a sacar la mitad y tenemos: 17 y
8, como observamos que las cantidades ya no se las puede seguir dividiendo para
factores comunes ahí paramos, de igual manera se procede con las cantidades
literales, pero manejando la teoría de los exponentes.
Matemática Básica
23
Orientaciones tarea:
Resolver los ejercicios del 12 al 16 del ejercicio 118 del algebra
de Baldor
Simplificación De Fracciones Cuyos Términos Sean Polinomios
Para estos casos se procede a descomponer en factores cada expresión y luego
proceder a simplificar, así:
𝑥2+4𝑥+4
(2𝑥2+4𝑥)=
(𝑥+2)2
2𝑥(𝑥+2)=
𝑥+2
2𝑥.
Como observamos se realizó lo siguiente:
1.- Se factorizo en este caso numerador y denominador y.
2.- Se simplifica.
Cabe recalcar que todas las expresiones no tienen el mismo trato.
Orientaciones tarea :
Resolver los ejercicios del 30 al 34 del ejercicio 125 del algebra
de Baldor
Reducir Una Expresión Mixta A Fraccionaria
En este caso tenemos una o varias partes enteras y fraccionarias, por lo que
primeramente encontramos un: m.c.m (un denominador común), y luego la reducción
y simplificación. Por ejemplo: 𝑥 − 2 +𝑥2−10𝑥+25
𝑥−5=
(𝑥 − 2)(𝑥 − 5) + 𝑥2 − 10𝑥 + 25
𝑥 − 5=
𝑥2 − 7𝑥 + 10 + 𝑥2 − 10𝑥 + 25
𝑥 − 5
=2𝑥2 − 17𝑥 + 35
𝑥 − 5=
(𝑥 − 5)(2𝑥 − 7)
𝑥 − 5= 2𝑥 − 7
Orientaciones tarea :
Resolver los ejercicios del 11 al 15 del ejercicio 124 del algebra
de Baldor
Reducir Fracciones Al Mínimo Común Denominador
Se trata de convertir en fracciones equivalentes ósea que tengan el mismo
denominador, así:
2𝑥 − 3
𝑥2 − 36;
4𝑥
𝑥2 + 12𝑥 + 36;
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 24
Se procede a encontrar el m.c.m, factorizando los denominadores, así:
𝑥2 − 36 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 6)
24 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
𝑥2 + 12𝑥 + 36 = (𝑥 + 6)2
𝑥2 − 2𝑥 − 24 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 4)
por lo que el m.c.m. de estas tres expresiones seria: (𝑥 + 4)(𝑥 − 6)(𝑥 + 6)2
Ahora dividimos el m.c.m para cada denominador y lo multiplicamos por el respectivo
numerador:
2𝑥 − 3
𝑥2 − 36=
(2𝑥 − 3)(𝑥 + 4)(𝑥 + 6)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 6)(𝑥 + 6)2
4𝑥
𝑥2 + 12𝑥 + 36=
4𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 6)
(𝑥 + 4)(𝑥 − 6)(𝑥 + 6)2
5𝑥 − 3
𝑥2 − 2𝑥 − 24=
(5𝑥 − 3)(𝑥 + 6)2
(𝑥 + 4)(𝑥 − 6)(𝑥 + 6)2
Orientaciones tarea :
Resolver los ejercicios del 30 al 34 del ejercicio 125 del algebra de
Baldor
Operaciones con Fracciones
Para operar fracciones se debe tener en cuenta lo siguiente:
1) Se simplifican las fracciones dadas si es posible.
2) Se reducen las fracciones dadas al mínimo común
denominador, si son de distinto denominador.
3) Se efectúan las multiplicaciones indicadas.
4) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por
el denominador común.
5) Se reducen términos semejantes en el numerador.
6) Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
Suma Y Resta Combinadas De Fracciones
Resolver la siguiente suma y resta de fracciones:
5
𝑥2 − 16+
5
𝑥2 + 4𝑥 + 4−
7
𝑥 − 4=
5
(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)+
5
(𝑥 + 2)2−
7
𝑥 − 4
5(𝑥 + 2)2 + 5(𝑥 + 4)(𝑥 − 4) − 7(𝑥 + 4)(𝑥 + 2)2
(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)(𝑥 + 2)2
=5𝑥2 + 20𝑥 + 20 + 5𝑥2 − 80 − 7𝑥3 − 56𝑥2 − 140𝑥 − 112
(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)(𝑥 + 2)2
=−7𝑥3 − 46𝑥2 − 120𝑥 − 172
(𝑥 + 4)(𝑥 − 4)(𝑥 + 2)2
Matemática Básica
25
Resolver la siguiente suma y resta de fracciones:
𝑥 + 2
𝑥2 + 5𝑥 + 6−
4
𝑥 − 3+
𝑥 + 4
𝑥2 − 𝑥 − 6=
𝑥 + 2
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)−
4
𝑥 − 3+
𝑥 + 4
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)=
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) − 4(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) + (𝑥 + 3)(𝑥 + 4)
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
𝑥2 − 𝑥 − 6 − 4𝑥2 − 20𝑥 − 24 + 𝑥2 + 7𝑥 + 12
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)=
−2𝑥2 − 14𝑥 − 18
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
=−2(𝑥2 + 7𝑥 + 9)
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)
Taller.
Resolver los ejercicios del 29 al 35 del ejercicio 0.8, página
32 del libro de Matemáticas Para Administración y
Economía de: Ernest F. Haeussler, Jr. • Richard S. Paul
Multiplicación De Fracciones
Se procede de la siguiente manera:
1. Se descompone en factores, tanto el numerador como el denominador.
2. Se simplifica, eliminando factores comunes del numerador y denominador.
3. Se multiplica lo que queda en el numerador y el denominador queda en
factores.
Por ejemplo, multiplicar:
𝑥3 − 1
4𝑥 − 12∗𝑥2 + 2𝑥 − 15
𝑥2 + 𝑥 + 1∗
𝑥2 − 9
𝑥2 + 4𝑥 − 5
=(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
4(𝑥 − 3)∗
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
𝑥2 + 𝑥 + 1∗
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
(𝑥 + 5)(𝑥 − 1)
Como observamos se elimina un factor del numerador con otro del denominador, lo
que queda en el numerador se multiplica, mientras lo del denominador queda
expresado en factores, así:
𝑥3 + 3𝑥2 − 9𝑥 − 27
4(𝑥 + 5)
Orientaciones tarea:
Resolver los ejercicios del 7 al 10 del ejercicio 0.8, página 31 del libro
de Matemáticas Para Administración y Economía de: Ernest F.
Haeussler, Jr. • Richard S. Paul
26 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
División De Fracciones
Se procede igual que la multiplicación, con la diferencia de que a la expresión afectada
por la operación de división se la invierte, convirtiendo la división en multiplicación,
así:
𝑥3 − 1
4𝑥 − 12÷
𝑥2 + 𝑥 + 1
𝑥2 + 2𝑥 − 15=
𝑥3 − 1
4𝑥 − 12∗
𝑥2 + 2𝑥 − 15
𝑥2 + 𝑥 + 1
=(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
4(𝑥 − 3)∗
(𝑥 + 5)(𝑥 − 3)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
= 𝑥2+4𝑥−5
4
Orientaciones tarea:
Resolver los ejercicios del 10 AL 15, del Algebra de Baldor, del
ejercicio 136
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica I.
Potencia
Es el resultado de elevar una cantidad llamada base a un
exponente
Base
Es la cantidad que se multiplica por si misma las veces que
indique el exponente.
Exponente
indica cuantas veces se multiplica por sí misma la base
EXPONENTE
52 = 25 POTENCIA
BASE 𝟓𝟐 = 𝟓 ∗ 𝟓 = 𝟐𝟓
Orientaciones tarea :
Para la resolución correcta del trabajo extra clase, debemos partir
de las propiedades de los exponentes.
Resolver el ejercicio: 1-3, página 22 del libro de Matemáticas
Aplicadas a la Administración y Economía. Quinta edición de: Arya
– Lardner – Ibarra
Matemática Básica
27
A continuación, se detallan las propiedades que se deben seguir
para la resolución de operaciones con exponentes.
Exponente Fraccionario
El exponente fraccionario se forma al expresar una cantidad afectada por una raíz en
forma de potencia
28 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Taller.
Resolver el ejercicio 05 del texto guía, pagina 16 y 17 los
siguientes problemas:
del 1 al 8 los pares. Del 5 al 28 los impares.
Del 29 al 40 los 5 últimos. Del 41 al 52. los 5 primeros
Del 53 al 58 todos del 59 al 68. 4 a su elección.
Del 69 al 90 7 a su elección
Foro.
Aplicación de los exponentes, en la vida profesional
Actividad De Aprendizaje III De La Unidad Didáctica I.
Factorización
Cuando se realiza la multiplicación de dos números, éstos se llaman factores de un
producto. El proceso de plasmar una expresión dada como el resultado del producto
de sus factores, se denomina factorización
A continuación, se detallan las propiedades que se deben seguir
para la factorización de términos algebraicos.
Factor común Diferencia de cubos
ax + ay + az = a(x + y + z) a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)
Trinomio cuadrado perfecto Trinomio de la forma
x2 - 2ax + x2 = (x – a)2 x2 + bx + c = (x + a)(x - b)
Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma
a2 – b2 = (a + b) (a – b) 6x2 + 7x + 2 = (2x + 1)(3x + 2)
Suma de cubos Factor común por agrupación
a3 + b3 = (a +b) (a2 – ab + b2) ax + bx + ay + by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)
a) Factorizar
Formando grupos con términos que tengan factores comunes:
Aplicando Factor Común a cada grupo:
Formando dos factores (comunes y no comunes):
Solución.
Matemática Básica
29
4a2b2 - 9x2y4
Raíz cuadrada 4a2b2 = 2ab
Raíz cuadrada 9x2y4 = 3xy2
Entonces
4a2b2 - 9x2y4 = (2ab + 3xy2)(2ab - 3xy2)
Taller:
Resolver los siguientes ejercicios:
Del Algebra de Baldor.
Ejercicio N° 127, paginas 212, 213, los ejercicios: 12 y 25.
Ejercicio N° 128, paginas 215, los ejercicios: 9.
Ejercicio N° 130, paginas 218, los ejercicios: 8 y 26.
Ejercicio N° 136, paginas 225, los ejercicios: 9 y 14.
Del libro de Matemáticas aplicadas a la administración y
economía de: Arya, Ladner, Ibarra, del ejercicio: 1-6,
página 46 los siguientes: 13 y 37
Los términos algebraicos se encuentran formados por números y
letras, debiendo realizar al inicio de su resolución una agrupación
de términos para simplificar la factorización.
Para desarrollar la factorización de términos algebraicos, se debe
considerar todos los casos de factorización existentes, poner
mucha atención a los signos de cada término.
Las fracciones se componen por un numerador, ubicado en la
parte superior, un denominador, ubicado en la parte inferior y la
raya de fracción, que divide a ambos.
Para resolver operaciones de fracciones se debe partir de los
teoremas o propiedades anteriormente indicadas, pues
consideran todas las posibles situaciones a presentarse.
30 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
El proceso de operar fracciones, es muy frecuente en la vida
cotidiana y profesional de toda área.
Toda base elevada al exponente cero es igual a uno.
Por ejemplo: 70 = 1.
A excepción de cero elevado a la cero no es igual a uno:
00 ≠ 1
Toda base elevada al exponente 1 es igual a la misma cantidad,
así: 71 = 7
Para la resolución de ejercicios de exponentes fraccionari0os,
también se debe acudir, a las propiedades de las fracciones y de
ser necesario, a las propiedades de los exponentes, estudiados
en el apartado anterior.
Actividad de Auto Evaluación de la Unidad I
Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad I de
los estudiantes.
Actividad final de la Unidad I
Resolver cinco ejercicios de cada caso del texto guía:
Fracciones: página 17 y 18
Exponentes: página 23 y 24
Exponentes fraccionarios: página 28 y 29
Factorización; los pares de la página 46
Matemática Básica
31
Unidad Didáctica II. Ecuaciones
Introducción.
En esta guía manejaremos algunas partes importantes de las ecuaciones, recordando
que hace muchos años que surge el desarrollo de esta disciplina de las ciencias
exactas, y se define a la ecuación como una igualdad en la que hay una o varias
cantidades conocidas y otras desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica
o es verdadera para determinados valores de las incógnitas, las cuales generalmente
se representan por las últimas letras del alfabeto x, y, z.
Por esto en este contenido del presente trabajo sobre las ecuaciones vamos a ver el
término ecuación sus diferentes definiciones, clasificación, su importancia y su
aplicación en la vida diaria.
Objetivo de la unidad didáctica II
Resolver Ecuaciones, aplicando los constructos teóricos para aplicarlos en problemas
de oferta, demanda y equilibrio de mercado con honestidad
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica II.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica II.
Igualdad
Se produce cuando en una expresión algebraica, ambos miembros tienen el mismo
valor y están ligados por el signo igual. Por ej.: 13x + 15 = 17
2p + 3q = 70
Ecuación
Es toda igualdad donde hay cantidades llamadas incógnitas, que se las representa
por las últimas letras del alfabeto y por cantidades constantes o conocidas.
Ecuaciones
Ecuaciones de Primer Grado con
una Incognita
Definiciones Basicas
Tipos de Ecuaciones
ejercicios
sistema de dos Ecuaciones con dos Incognitas
Metodos Ejercicios
32 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Por ejemplo: 5x – 16 = 34
Entonces: x = 10
Si reemplazamos este valor de (x) en la ecuación original tenemos lo siguiente:
5(10) – 16 = 34 ósea: 34 = 34
Por lo tanto, es una ecuación porque tiene una incógnita (x), y es una igualdad por
que se comprueba que: 34 = 34.
Identidad.
Es una igualdad y es verdadera para todo valor de las
variables, por ejemplo:
(2𝑥 + 3𝑦)2 = 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
cómo es una identidad se la escribe así:
(2𝑥 + 3𝑦)2 ≡ 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
Que se lee: (2𝑥 + 3𝑦)2
idéntico a: 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2.
Miembros de una Ecuación
Una ecuación t iene dos miembros, uno a la izquierda del signo igual,
donde van las incógnitas y el ot ro miembro a la derecha del s igno igual,
donde van las constantes o valores conocidos.
Por ejemplo: 5x – 7 = 3 - 2x.
En donde: 5x - 7, es el primer miembro,
y: 3 - 2x es el segundo miembro.
Transposición de términos
Un término o un factor puede ir de un miembro a otro cambiando de
operación, teniendo en cuenta de que si se trata de una ecuación todas
las incógnitas quedaran en el pr imer miembro.
Resolución de Ecuaciones
Recuerda.
En forma general se considera que las incógnitas son
las últ imas letras del alfabeto.
En una ecuación el objetivo es encontrar el valor de la
incógnita o variable.
Le puedes cambiar el signo a toda la ecuación y esta no se altera
Proceso Para La Resolución De Ecuaciones Enteras De Primer
Grado Con Una Incógnita:
Real izar operaciones algebraicas si hubiera.
Real izamos la transposición de términos.
Reducimos los términos semejantes.
Matemática Básica
33
Se encuentra el valor de la incógnita.
la transposición de términos: 11x - 3x - 2x - 7x = - 1 – 4 - 2
Reducimos términos semejantes: - x = - 7
Cambiamos de signo a los dos miembros y
Encontramos el valor de la incógnita x = 7.
Foro:
Que aplicaciones tienen las ecuaciones en las diferentes áreas de
nuestro entorno laboral
Orientaciones tarea:
Resolver las siguientes ecuaciones:
1.- 6x - 8x + 3 = 8 - 5x + 1
2.- 11x – 1 = 3x + 7
3.- 1 – x + 16x + 35 = 16x + 35
4.- 19x - 3x + 34 = 11 - 13
5.- 2 - x - 25 - 11x + 4 = 1 + 2x - 65
6.- 15x - 36x + 54x – 18 + 7x = 6 + 19x - 3
7.- 25-10x+15+9x-25= - 17 + 47x - 16
8.- 112x-58+54x-16x-34+36x-111=42x+87-x
Ecuaciones De Primer Grado Con Signos De Agrupación
Debemos eliminar los signos de agrupación iniciando desde el centro hacia afuera.
Importante respetar la ley de los signos
Resolver la ecuación:
3𝑥 − {−2 + [5𝑥 − 4 − (𝑥 − 1 + 𝑥 − 1 − 7) + 4𝑥 − 9] − 11𝑥 + 3} = 2 − 4𝑥
Iniciamos destruyendo el paréntesis:
3𝑥—2 + [5𝑥 − 4 − 𝑥 + 1 − 𝑥 + 1 + 7 + 4𝑥 − 9] − 11𝑥 + 3 = 2 - 4x
Ahora el corchete: 3𝑥—2 + 5𝑥 − 4 − 𝑥 + 1 − 𝑥 + 1 + 7 + 4𝑥 − 9 − 11𝑥 + 3=2-4x
Y por último la llave: 3x + 2 - 5x + 4 + x – 1 + x – 1 – 7 - 4x + 9 + 11x – 3 = 2 - 4x
Ahora ubicamos las incógnitas en el primer miembro reduciendo términos semejantes:
7x + 4x = - 3 + 2 11x = - 1 𝑥 = −1
11
Realizamos la transposición de términos: 16x + 3x + x - 5x - 9x = 2 + 6 + 7 + 15.
Reducimos términos semejantes: 6x = 30.
Despejamos la incógnita: x = 5
Ecuaciones Fraccionarias De Primer Grado
Para resolver estas ecuaciones seguimos el siguiente procedimiento
1. La transformamos en entera, para ello debemos sacar el: mcm,
que es el que nos permite eliminar todos los denominadores de la
ecuación.
34 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
2. Luego procedemos en los mismos términos que las ecuaciones anteriores. Por
ejemplo:
2𝑥 − 3
5+
7 − 5𝑥
15−
12𝑥 + 5
25= 6 −
𝑥 + 2
20
En este caso para sacar el m.cm. entre: 5, 15, 25 y 20. Descomponemos en factores
así: 5 15 25 20 2
5 15 25 10 2
5 15 25 5 3 Por lo tanto el m.c.m
5 5 25 5 5 es el producto de:
1 1 5 1 5 2*2*3*5*5 = 300.
1 m.c.m = 300.
Ahora procedemos a dividir el m.c.m para cada denominador de la ecuación, y el
resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador, respetando signos,
quedándonos lo siguiente:
60(2𝑥 − 3) + 20(7 − 5𝑥) − 12(12𝑥 + 5) = 300 ∗ 6 − 15(𝑥 + 2)
Efectuamos los productos indicados y tenemos:
120𝑥 − 180 + 140 − 100𝑥 − 144𝑥 − 60 = 1800 − 15𝑥 − 30
Realizando la transposición de términos queda:
120𝑥 − 100𝑥 − 144𝑥 + 15𝑥 = 1800 − 30 + 180 − 140 + 60
Reduciendo términos semejantes: −109𝑥 = 1870
Despejando la variable y cambiando de signo: 𝑥 = −1870
109.
Que es el valor que satisface a la ecuación.
Otro ejemplo: 3
𝑥−4=
2
𝑥−3+
8
𝑥2−7𝑥+12
En esta ecuación identificamos un trinomio en el denominador, se observa que si es
factorable quedando la ecuación de la siguiente manera:
3
𝑥 − 4=
2
𝑥 − 3+
8
(𝑥 − 4)(𝑥 − 3)
Sacamos el m.c.m, en este caso estará formado por todos los factores comunes y no
comunes, quedando así: 𝑚. 𝑐.𝑚 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 3).
Ahora dividimos el m.c.m para cada denominador y lo multiplicamos por su respectivo
numerador, quedando así:
3(𝑥 − 3) = 2(𝑥 − 4) + 8
Efectuando los productos tenemos:
3𝑥 − 9 = 2𝑥 − 8 + 8
Transponiendo términos queda: 3𝑥 − 2𝑥 = −8 + 8 + 9
Reduciendo nos da: 𝑥 = 9
Matemática Básica
35
ORIENTACIONES TAREA:
Resolver 3 ecuaciones de cada uno de los siguientes ejercicios del
Algebra de Baldor. Ejercicios N°: 79; 82 y 142
No te olvides hacerlo paso a paso
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Para resolver un problema mediante ecuaciones de primer grado con
una incógnita debemos Considerar lo siguiente:
-Leer y comprender el enunciado
-Designar la incógnita
-Plantear la ecuación
-Resolver la ecuación
-Discusión e interpretación de los resultados
Marta tiene 15 años, que es la tercera parte de la edad de su madre. ¿Qué edad
tiene la madre de Marta?
Llamamos x a la edad de la madre.
La tercera parte de la edad de la madre es la misma que la de Marta, es decir, 15.
Escrito matemáticamente:
x/3 = 15
Por tanto, la edad de la madre es: x = 45.
ORIENTACIONES TAREA:
Resolver el ejercicio N° 82 del Algebra de Baldor.
No te olvides hacerlo paso a paso
Taller:
Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado:
1. 2x – 14 + 17x – 40 = 5x + 11.
2. 𝟑 − {−𝟒𝒙 + [𝟓 − (𝒙 + 𝟕) + 𝟐𝒙] − 𝟏𝟒} = 𝟐𝒙 − 𝟓.
3. 𝟕(𝒙 − 𝟑)𝟐 − 𝟓(𝒙 + 𝟒)(𝒙 − 𝟒) = 𝟐𝒙(𝒙 + 𝟕).
4. 𝑥−3
𝑥−4−
𝑥−2
𝑥−3=
𝑥+2
𝑥+1−
𝑥+3
𝑥+2
5. La diferencia entre dos números es 17 y el doble del
menor de estos es 26. ¿Qué números son? Y si 26 es
el doble del mayor, ¿Qué números son?
36 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica II.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS
Introducción: Revisaremos los cinco métodos conocidos para resolver sistemas de
dos ecuaciones con dos incógnitas, y son: De Igualación, De Sustitución, De
Reducción, De Determinantes, y Grafico.
Ecuaciones Simultaneas
Toman este nombre cuando las ecuaciones del sistema se satisfacen para los valores
de las incógnitas.
Por ej.: 3x + 5y = 11
2x + 3y = 7
Las dos ecuaciones se satisfacen para: x = 2 e y = 1, por lo tanto, son ecuaciones
simultaneas.
Ecuaciones Equivalentes
Son ecuaciones que si a una de ellas le sumamos o le restamos una cantidad o la
multiplicamos o dividimos para una determinada cantidad, se obtiene la otra ecuación.
Estas ecuaciones tienen infinitas soluciones comunes.
Por ejemplo:
3x + 5y = 11
15x + 25y = 55
Nos damos cuenta que la segunda ecuación se la obtuvo multiplicando la primera por
5
Ecuaciones Independientes
Estas ecuaciones no se obtienen la una de la otra, y
cuando t ienen una solución común son simultáneas. Por
ej. :
x + 5y = 6
5x + 2y = 7
Estas ecuaciones son independientes ya que ninguna de las dos se ha generado de
la otra, y además son simultaneas por que el valor de “x = 1” e “y = 1”, son los únicos
que satisfacen el sistema.
Ecuaciones Incompatibles
Estas ecuaciones son independientes y no t ienen una solución común y
son incompatibles porque no hay valor que compruebe o verif ique a las
dos ecuaciones.
Por ejemplo: 3x + 5y = 8
9x + 15y = 2
Matemática Básica
37
No t ienen soluciones comunes, por lo tanto, son incompatibles.
Sistemas de Ecuaciones
Es el conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más
incógnitas.
En nuestro caso trataremos sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Sistema de dos Ecuaciones con dos Incógnitas
Los métodos para resolver este t ipo de sistemas son los siguientes:
Método de igualación
Método de reducción.
Método de sustitución.
Método de determinantes.
Método gráfico.
Método de Igualación
Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una
incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes,
con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las
siguientes:
Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación.
Lineal de una incógnita que resulta.
Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las
ecuaciones despejadas de primer paso.
Por ejemplo:
Resolver El Siguiente Sistema De Dos Ecuaciones Con Dos Incógnitas Por El
Método De Igualación.
1 despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda
ecuación.
2 igualamos ambas expresiones:
38 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
3 resolvemos los productos indicados:
4 sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las
que tenemos despejada la x:
5 solución:
Orientaciones Tarea:
Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor.
No te olvides hacerlo paso a paso
Foro.
Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones
Método de Sustitución
1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación,
obteniendo una ecuación con una sola incógnita.
3. Se resuelve la ecuación.
4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía
la incógnita despejada.
5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Resolver el siguiente sistema por el método de sustitución
1. despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.
Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo
2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:
3. Resolvemos la ecuación obtenida:
4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.
5. Solución: x=2 e y=3
Matemática Básica
39
ORIENTACIONES TAREA: Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor.
No te olvides hacerlo paso a paso
Método de Determinantes
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único
número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el
determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por (las barras
no significan valor absoluto).
Resuelve el sistema utilizando los determinantes.
SOLUCIÓN CALCULAMOS primero el determinante del sistema.
Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos
entre el determinante del sistema
Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del
determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos
entre el determinante del sistema.
COMPROBACIÓN
Sustituimos los valores: x = - 8 y y = 5 en las
ecuaciones
Primera ecuación: 5x + 6y = 5(-8) + 6(5) = -10
Segunda ecuación 2x + 3y = 2(-8) + 3(5) = -1
Orientaciones Tarea: Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor. Página 327 del 14
al 18.
40 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Método Grafico
Este método tiene como objetivo encontrar la solución a un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas, y esta solución se da en la intersección de las dos rectas, este
punto de intersección lo proyectamos al eje de las abscisas y encontramos el valor de
x, y hacemos también la proyección al eje de las ordenadas y así encontramos el valor
de y, este par de valores constituye el conjunto solución del sistema de ecuaciones.
Punto de Intersección
El punto de intersección de dos rectas y viene dado por la solución del sistema
de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma:
𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1 = 0 RECTA 1
𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2 = 0 RECTA 2
En donde las rectas de la forma: deben transformarse a expresiones
que cumplan con: . Esto es:
PUNTO DE INTERSECCION
Matemática Básica
41
Resolver el siguiente sistema por el método gráfico: {2𝑥 + 𝑦 = 72𝑥 − 1 = 𝑦
Observamos en la gráfica que el punto de intersección es: x = 2 y y=3, que
es la solución al sistema propuesto.
ORIENTACIONES TAREA:
Resolver el ejercicio N° 180 del Algebra de Baldor. Página 327,
del 4al 9
Las escalas deben estar bien definidas
Taller:
1.- Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas por los cinco métodos
{3𝑥 − 4𝑦 = −62𝑥 + 4𝑦 = 16
2.- Resolver las siguientes ecuaciones:
.
3.- La edad de Alberto es 14 y la de su primo es 22. ¿Cuántos años
deben pasar para que las mitades de sus edades sumen 30?
4.- Resolver el siguiente sistema por los diferentes métodos.
Ecuación 1
x y
0 7
3,5 0
Ecuación 2
x y
0 -1
1,5 0
PUNTO DE INTERSECCION
42 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Una ecuación te ayuda a resolver problemas de la vida diaria y de
tu profesión.
Lo importante es trabajar detalladamente.
Identifica cada término y ubícalo en su respectivo miembro,
respetando la ley de los signos.
La transposición de términos de un miembro a otro hace que pase
un término que este sumando o restando a efectuar la operación
contraria en el otro miembro.
Y un factor o divisor pasara al otro miembro a multiplicar o dividir
según sea el caso.
Cada método de resolución de un sistema de ecuaciones te lleva
a los mismos resultados.
Siempre trabajar ordenadamente.
Y buscar la aplicación adecuada en nuestro diario vivir
Actividad de Auto Evaluación de la Unidad I
Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad I de los estudiantes. Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas por todos los métodos.
{5𝑥 − 2𝑦 = 41
−2𝑥 + 7𝑦 = −35
Actividad Final de la Unidad II
Resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas por todos los métodos.
{4𝑥 + 3𝑦 = 212𝑥 + 𝑦 = 13
Matemática Básica
43
DESARROLLO DE ACTIVIDADES
Unidad Didáctica III. DESIGUALDADES Y SUS APLICACIONES
INTRODUCCION.
Se Dice que las inecuaciones son desigualdades algebraicas porque no aparece el
signo igual " = " entre sus miembros, sino que sus expresiones matemáticas suelen
estar separadas por los signos > (mayor que), < (menor que), mayor o igual que y
menor o igual que. Para tu tranquilidad, tienes que saber que se resuelven de manera
casi idéntica a las ecuaciones que has visto hasta ahora. Sólo tienes que tener en
cuenta que:
"Si multiplicamos o dividimos los 2 miembros de una inecuación por un número
negativo, la desigualdad cambia de sentido"
Objetivo de la unidad didáctica III
Resolver desigualdades, utilizando las diferentes reglas matemáticas para las
aplicaciones en el área administrativa de la empresa con responsabilidad.
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica III.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica III.
una desigualdad nos permite establecer que un número es menor
que otro.
Recordemos que si: a > 0, el número es positivo.
a < 0, el número es negativo.
Si a y b son dos números reales distintos,
Desigualdades
Aplicaciones
Valor Absoluto
EJERCICIOS
44 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Escribimos: a > b si la diferencia: a - b es positiva y
a < b si: a - b es negativa.
Por ejemplo:
9 > 6 porque: 9 – 6 es positivo y 6 < 9 dado que: 6 – 9 es negativo.
Propiedades de las desigualdades
1.- si: a > b, entonces: a + c > b + c y a - c > b - c.
Por ejemplo: 8 > 5, entonces: 8 + 3 > 5 + 3 y 8 – 3 > 5 - 3
Por lo que se cumple que, si a una desigualdad le sumamos o le restamos una
cantidad igual en ambos lados, la desigualdad se mantiene y tendrá el mismo sentido.
Otro ejemplo:
12 < 15, al sumarle la misma cantidad en ambos miembros
tenemos: 12 + 7 < 15 + 7 y 12 – 7 < 15 - 7
2. Si: a > b y b > c entonces: a > c.
por ejemplo:
8 > 6 y 6 > 4 entonces: 8 > 4
5. Si: a > b y c > 0 entonces: ac >bc y 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐
6.
8 > 5 y 3 > 0 entonces: 8.3 > 5.3 y 8
3>
5
3
4. Si:a > b y c < 0 entonces: ac < bc y 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐.
Por ejemplo:
6 > 5 y -2 < 0 entonces: 6(-2) < 5(-2) y 6
−2<
5
−2
Desigualdad lineal con una variable
el procedimiento es igual como si se tratara de una ecuación lineal, despejamos
primeramente la variable y de ahí se aplican las propiedades de las desigualdades.
Vamos a practicar.
Resolver las siguientes desigualdades.
7x - 4 > 2x + 7 como: x > 11
5, tiene la forma: x > a, el conjunto
solución seria:
7x – 2x > 7 + 4 (11
5,∞) y la grafica quedaría:
5x > 11
5𝑥
5>
11
5
x > 11
5
11
5 ∞
Matemática Básica
45
12x + 11 < 6x – 7 el conjunto solución sería: ( - ∞, - 3)
12x – 6x < -7 – 11
6x < -18
X < -3
Orientaciones Tarea:
Del algebra de Conamat de Pearson, resolver del ejercicio 133,
los impares del 1 al 13
Aplicación de la Desigualdad lineal
El costo total de producción de (x) unidades de un determinado producto está dado
por: C(x) = 2800 + 22x, si cada unidad se vende a $ 35, cuantas unidades se deberían
producir y vender para obtener una utilidad de al menos $ 2500.
Entonces: P(x) = R(x) – C(x) Utilidad total.
R(x) = 35x Ingreso Total
C(x) = 2800 + 22x costo total de producción
Por lo que: P(x) = 35x – (2800 + 22x) = 35x – 2800 – 22x = 13x – 2800.
Y si se desea obtener una utilidad de al menos $ 2500, tendríamos que:
P(x) ≥ 2500, o: 13x – 2800 ≥ 2500 13x ≥ 2500 + 2800 13x ≥ 5300 x ≥ 5300
13
Observamos que para obtener al menos $2500 de utilidad se deberán producir y
vender al menos 407,69 unidades
Orientaciones tarea:
Del libro de matemáticas aplicadas a la administración y
economía de Arya, resolver el ejercicio 3-2, página 104, del 27 al
32.
Existen desigualdades cuadráticas.
Ahora estudiaremos un poco de ellas.
Son desigualdades en las que la variable esta al cuadrado y
generalmente tienen la siguiente forma:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
O también: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 o 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≤ 0
Pero: a, b y c son constantes determinadas y: a ≠ 0
Para resolver este tipo de desigualdades procedemos idéntico a la resolución de
ecuaciones de segundo grado, iniciamos igualando la desigualdad y encontrando las
raíces de la ecuación. Estas raíces dividen a la recta en intervalos, en cada intervalo
46 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
escogemos un punto y se prueba si la desigualdad es cierta o falsa en dicho punto, si
es cierta en ese punto será cierta para todos los puntos del intervalo y si llegare a ser
falsa será para todos los puntos del intervalo.
Ejemplo.
1.- Resolver la siguiente desigualdad: 𝑥2 + 𝑥 < 2.
Ahora escribimos la desigualdad con todos los términos en el primer miembro.
𝑥2 + 𝑥 − 2 < 0
Luego la igualamos a cero, transformándola en una ecuación de segundo grado, así:
𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
Factorizando tendríamos: (x + 2)(x - 1) = 0
Cada factor lo igualamos a cero y luego despejamos la variable, así:
X + 2 = 0 de donde se tiene que: x = - 2
X – 1 = 0 de donde se tiene que: x = 1.
La grafica quedaría:
-2 0 1
Por lo tanto, el conjunto solución es el intervalo: (-2,1)
2.- Resolver la siguiente desigualdad: 5𝑥 ≤ 3(𝑥2 − 4)
Resolvemos el producto notable indicado 5𝑥 ≤ 3𝑥2 − 12
Transponemos todos los términos al primer miembro: 5𝑥 − 3𝑥2 + 12 ≤ 0
Ordenamos la desigualdad: −3𝑥2 + 5𝑥 + 12 ≤ 0
Es preferible que el primer término sea positivo 3𝑥2 − 5𝑥 − 12 ≥ 0
Factorizamos: (x - 3)(3x + 4) = 0
Igualamos los factores a cero y despejamos las variables:
Primer factor: x – 3 = 0 x = 3 segundo factor: 3x + 4 = 0 𝑥 = −4
3
−𝟒
𝟑 0 3
Conjunto solución de la desigualdad es: (−4
3, 3)
Foro:
Que aplicaciones tienen las desigualdades en la vida profesional
Matemática Básica
47
Valor Absoluto
Ecuaciones de Valor, en la recta numérica, la distancia desde x
hasta un valor se le llama valor absoluto de equis, se lo
representa: |𝑥| por ejemplo: |4| es 4 y el de: |−4| es 4
también, ya que tanto el 4 y el -4, están a 4 unidades del cero
4 unidades 4 unidades
-4 0 4
Por ejemplo: |𝑥 − 4| =3, lo que nos dice que: 𝑥 − 4, esta a 3 unidades del cero. Por
lo tanto: 𝑥 − 4 = 3 ; 𝑥 = 7 𝑜 𝑥 = 1
Desigualdades de Valor Absoluto
Cumple la misma regla anterior, pero con los signos mayor que o menor que, la
presenta tabla nos ayuda en las soluciones:
|𝒙 − 𝟑| < 𝟓 por lo que: −5 < 𝑥 − 3 < 5
−5 + 3 < 𝑥 < 5 + 3
−2 < 𝑥 < 8
Por lo tanto, la solución es el intervalo: (-2,8), lo que significa que todos los números
entre -2 y 8, satisfacen la desigualdad original.
−2 < 𝑥 < 8
Orientaciones Tarea:
Del algebra de Conamat de Pearson, resolver del ejercicio 133,
los impares del 1 al 10
48 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Solución de las Desigualdades Cuadráticas:
1. Escribir la desigualdad en la forma estándar.
2. Reemplazar el signo de desigualdad por un signo y resolver la
ecuación cuadrática resultante.
Las raíces dividen la recta numérica en intervalos.
3. En cada intervalo elegir un punto y probar la desigualdad dada
en ese punto.
Si es verdadera (falsa) en ese punto, entonces es verdadera
(falsa) en todos los puntos de ese intervalo.
4. Para una desigualdad estricta, en el conjunto solución no se
incluyen los puntos extremos de los intervalos. Para una
desigualdad no estricta sí se incluyen esos puntos extremos.
Taller
Resolver:
1. 2𝑥 + 3 > 𝑥 − 4
2. 7 + 4𝑥 < 10 + 3𝑥.
3. 3(2𝑥 − 3) < 5(𝑥 − 1)
4. La compañía Davis fabrica un producto que tiene un
precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de
$15.Si los costos fijos son de $600,000, determine el
número mínimo de unidades que deben venderse para
que la compañía tenga utilidades.
5. Un fabricante de cartuchos para juegos de vídeo, vende
cada cartucho en $19.95. El costo de fabricación de
cada cartucho es de $12.92. Los costos fijos mensuales
son de $8000.Durante el primer mes de ventas de un
nuevo juego, ¿cuántos cartuchos debe vender el
fabricante para llegar al punto de equilibrio (esto es,
para que el ingreso total se igual al costo total)?
Actividad de Auto Evaluación de la Unidad III
Se elabora reactivos para evaluar el rendimiento en la unidad III de los
estudiantes.
1. Resolver la siguiente desigualdad:12x - 14 > 8x + 10 2. El costo total de producción de (x) unidades de un determinado
producto está dado por: C(x) = 3754 + 18,50x, si cada unidad se vende a $ 22,45, cuantas unidades se deberían producir y vender para obtener una utilidad de al menos $ 2125.
3. Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas:
3𝑥2 + 2𝑥 < 15.
9𝑥 ≤ 2(𝑥2 − 16)
Matemática Básica
49
4. Resolver la siguiente desigualdad de valor absoluto: |𝑥 − 12| < 7
5. Un fabricante de routers, vende cada uno en $35. El costo de fabricación de cada routers es de $12.92. Los costos fijos mensuales son de $3500.¿cuántos routers debe vender el fabricante para llegar al punto de equilibrio (esto es, para que el ingreso total sea igual al costo total)?
Actividad Final Unidad III.
Resolver la siguiente desigualdad:17x - 24 > 18x - 10
6. El costo total de producción de (x) unidades de un determinado producto está dado por: C(x) = 1542 + 7,30x, si cada unidad se vende a $ 2,45, cuantas unidades se deberían producir y vender para obtener una utilidad de al menos $ 754.
7. Resolver las siguientes desigualdades cuadráticas:
5𝑥2 + 4𝑥 < 25.
2𝑥 ≤ 5(𝑥2 − 36) 8. Resolver la siguiente desigualdad de valor absoluto:
|2𝑥 − 7| < 17 9. Un fabricante de un determinado producto, vende cada uno en
$3,50. El costo de fabricación de cada producto es de $1,20. Los costos fijos mensuales son de $350. ¿cuántos productos debe vender el fabricante para llegar al punto de equilibrio (esto es, para que el ingreso total sea igual al costo total)?
EVALUACION DEL PRIMER PARCIAL
50 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
DESARROLLO DE ACTIVIDADES.
Unidad Didáctica IV. La Recta.
Introducción:
Bien, una recta es aquello que entendemos como el ente ideal que se extiende en
una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está
compuesta de infinitos segmentos. De forma más sencilla, podemos describir la recta
como: la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, no posee
principio ni fin.
Teniendo en cuenta que los puntos están alineados, podemos encontrar la recta
mediante dos puntos, considerando esta idea de lo que es una recta, plantearemos
cuatro formas de encontrar la ecuación de la recta y su pendiente.
Objetivo: Resolver problemas de la recta, a través de las diferentes formas para su
aplicación en problemas del diario vivir actuando con responsabilidad.
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica IV.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica IV.
El sistema de ejes coordenados está formado por dos rectas
numéricas, una horizontal y otra vertical llamadas ejes. El eje
horizontal (eje x) se denomina eje de las abscisas y el eje
vertical (eje y) se denomina eje de las ordenadas.
Sobre el sistema de ejes coordenados se pueden
La Recta
Pendiente de la recta.
Que pasa por dos puntos
Cuando se tiene una Ecuacion
Ejercicios
Ecuaciones de la Recta
Formas de la Ecuacion de la Recta
Paralelismo Perpendicularidad
Ejercicios.
Matemática Básica
51
ubicar todos los pares ordenados de la forma (a, b),
como lo muestra la figura.
Tarea:
Graficar en un sistema de coordenadas rectangulares los
siguientes puntos:
(-2,-4) (3,4) (-2,5) (4,-6) (9,-1) (3,-4) (5,-7) (2,5)
Distancia entre dos puntos
Supongamos que:
P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
Son dos puntos del plano tal como se observa en la figura.
La distancia entre P1 y P2 se puede determinar, por ejemplo, mediante el teorema de
Pitágoras, de la siguiente manera:
) y - (y ) x - (x PP 212
212
2
21
Así la distancia de P1 a P2 es: 𝑃1𝑃2̅̅ ̅̅ ̅̅ = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Foro.
La pendiente de la recta, aplicaciones
Ejemplo: Calcular La distancia entre los puntos A(-4, 7) y B(3, -5) es:
) 7 - (-5 ) (-4) - (3 AB 22
144 49
193 AB = 13,89
x x
y
y
x2 –
x
y
P
P
52 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Orientaciones Tarea:
Encontrar la distancia entre los puntos dados a continuación. Y
graficarlos
(-2,-3) y (-7,-8) (5,8) y (3,4) (-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6)
(9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7) (2,5) y (7,-5)
Representación gráfica de la línea recta
En toda igualdad de la forma: ax + by = c , donde a,b,c R, representa una ecuación
lineal con dos incógnitas, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y).
Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano.
Ejemplo: Graficar la ecuación: x + y = 4
A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas
Le corresponde gráficamente una recta.
Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las
coordenadas de un punto que es solución de la ecuación
dada, es decir satisface esta ecuación .
Los puntos que cada par ordenado representa pertenecen a La recta correspondiente.
Pendiente de la Recta
Pendiente de la recta que pasa por dos puntos cualquiera
Se denomina pendiente “m” de una recta al ángulo
de inclinación “” que tiene respecto Del eje de las
abscisas (eje x)-
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Recuerda que la pendiente nos indica si la
recta es creciente o decreciente.
x y (x, y)
2 2 (2, 2)
1 3 (1, 3)
0 4 (0, 4)
-1 5 (-1, 5)
Matemática Básica
53
La pendiente positiva indica que la recta es creciente.
La pendiente negativa nos indica que la recta es decreciente.
Si la pendiente es cero, la recta es horizontal.
Si la pendiente es infinita, es una recta vertical paralela a “y”
Ejemplo: calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos: (2,5) y (3,2); e
indicar si la recta es creciente o decreciente y por qué?
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1=
2 − 5
3 − 2=
−3
1= −3
Es una recta decreciente ya que la
Pendiente es negativa.
Encontrar la pendiente de la recta que pasa por los puntos, dados a
continuación, graficar e indicar si la recta es creciente o decreciente
y por qué.
(-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6) (9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7)
La Pendiente De La Recta Cuando Se Tiene Una Ecuación.
Cuando se tiene una ecuación y se desea encontrar la pendiente debemos aplicar la
siguiente formula: 𝑚 = −𝐴
𝐵
Donde:
A es el coeficiente de equis (x).
B es el coeficiente de ye (y).
Calcular la pendiente de la recta si tenemos la siguiente ecuación: 2x + 3y = 5.
Aquí: A = 2; B=3, entonces: 𝑚 = −𝐴
𝐵= −
2
3= −0,67.
Como observamos la pendiente salió negativa por lo tanto la recta es decreciente.
Para este caso se presenta un pequeño problema al graficar sin embargo se puede
aplicar la graficacion por condiciones o por el método tradicional darle cualquier valor
a las variables.
54 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Entonces en la ecuación: 2x + 3 y = 5, planteamos las condiciones:
Cuando: x = 0; nos queda: 2(0) + 3y = 5; despejamos y, en este caso: 𝑦 =5
3= 1,67
Cuando: y = 0; tendríamos: 2x + 3(0) = 5; despejamos x, y se tiene: 𝑥 =5
2= 2,50
Y si lo hacemos por el método tradicional, debemos despegar (y).
𝑦 =5 − 2𝑥
3
Elaboramos la tabla tradicional, damos valores a (x) para encontrar los de (y), así:
𝑦 =5−2𝑥
3=
5−2(−2)
3=
5+4
3=
9
3= 3
𝑦 =5 − 2𝑥
3=
5 − 2(−1)
3=
5 + 2
3=
7
3= 2,33
𝑦 =5−2𝑥
3=
5−2(1)
3=
5−2
3=
3
3= 1
𝑦 =5−2𝑥
3=
5−2(2)
3=
5−4
3=
1
3= 0,33
Encontrar la pendiente de la recta de las siguientes
ecuaciones, indicar si son crecientes o decrecientes y
porque, además realice el respectivo gráfico.
3x – 2y = 4, 5x – 3y = 2, x + y = 0,
-2x + y = 7, 9x – 3y = 15, -2x – 3y = 4
x y
-2 3,00
-1 2.33
1 1,00
2 0,33
Matemática Básica
55
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica IV.
Ecuación de la línea Recta
Toda igualdad de la forma: ax + by = c , donde a,b,c R, también se puede escribir
en la forma: y = mx + b , es decir como una función, donde m es la pendiente o
coeficiente de dirección y b es la intersección de la recta con el eje y , llamada también
coeficiente de posición.
Formas de la Ecuación de la Recta.
Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos cualquiera
Los puntos tienen cualquier valor, pueden ser positivos o negativos, la fórmula que
permite encontrar esta ecuación es:
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)
Dónde:
𝑥1 y 𝑥2 son las abscisas de los puntos dados.
𝑦1 y 𝑦2 son las ordenadas de los puntos dados.
x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.
Con los mismos puntos dados al inicio encontrar la ecuación de la recta.
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos a (-2,-3) y
b (-5,-6), ¿indicar si la recta es creciente o decreciente y por qué?
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−3) =−6 − (−3)
−5 − (−2)[𝑥 − (−2)]
𝑦 + 3 =−6 + 3
−5 + 2(𝑥 + 2)
𝑦 + 3 =−3
−3(𝑥 + 2)
𝑦 + 3 = 𝑥 + 2
x – y = 1
Que es la ecuación de la recta
y es creciente por que la pendiente
es positiva
56 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Orientación Tarea:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados a
continuación e indicar si es creciente o decreciente y por qué?
(-2,-3) y (-7,-8) (5,8) y (3,4) (-2,5) y (-3,8) (5,-1) y (4,-6)
(9,-1) y (6,-3) (3,-4) y (5,-7) (2,5) y (7,-5)
Ecuación de la recta de la forma punto-pendiente
Tiene una relación con el primer caso, la diferencia está en que se nos da el punto y
la pendiente. La fórmula que permite encontrar esta ecuación es:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Dónde:
𝑥1 La abscisa del punto dado.
𝑦1 La ordenada del punto dado.
x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.
m es la pendiente dada
Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5), y cuya
pendiente m=4.
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 5 = 4(𝑥 − 2)
𝑦 − 5 = 4𝑥 − 8
4𝑥 − 𝑦 = 3
Para realizar el grafico encontramos un punto más por lo menos para poder graficar
Taller:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos
dados a continuación e indicar si es creciente o decreciente
y por qué?
(2,-8); m=4 (5,5) m=2 (-5,8) m=1
(-7,-6) m=8 (6,-3) m=-2 (2,-7) m=-3 (4,-5) m=-7
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
Matemática Básica
57
Ecuación de la recta de la forma con intersecciones
Esta recta se caracteriza por que tiene un punto interceptando el eje de las “x” y otro
punto interceptando el eje de las “y”.
Sus puntos tienen la forma: (a,0) y (0,b).
Dónde:
a.- es el valor diferente de cero que corresponde a “x” de los puntos dados.
b.- es el valor diferente de cero que corresponde a “y” de los puntos dados.
La fórmula para encontrar dicha ecuación es: 𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1
Ejemplo: ¿encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,0) y (0,2) e
indicar si es creciente o decreciente y por qué?
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1
𝑥
4+
𝑦
2= 1
Como podemos observar un punto esta sobre
cada eje
Calculamos la pendiente para determinar si es
creciente o decreciente:
𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1=
2−0
0−4=
2
−4= −
1
2
Por lo tanto, determinamos que la recta es
decreciente por que la pendiente es negativa.
Tarea:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados
a continuación e indicar si es creciente o decreciente y por qué?
(-2,0) y (0,-8) (2,0) y (0,5) (-2,0) y (0,8)
(5,0) y (0,-6) (9,0) y (0,-3) (3,-0) y (0,-7)
(2,0) y (0,-5)
Ecuación de la recta de la forma pendiente intersección
Se caracteriza por que el punto dado esta sobre el eje de las “y” y
tiene una determinada dirección dada por la pendiente, sin
embargo, es necesario encontrar el otro punto para poder graficar.
La fórmula que permite encontrar esta ecuación es: y = mx + b y el punto dado
tiene la forma: (0,b)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
58 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Dónde:
x e y son las incógnitas o variables de la ecuación a encontrar.
b es el valor diferente de cero que corresponde a “y” de los puntos
dados.
m es la pendiente dada
Ejemplo: encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto: (0,4) y cuya
pendiente m=5.
y = mx + b
y = 5x + 4 esta es la ecuación.
Para graficar encontramos el otro punto,
Por ej. cuando x=1 y=9
Tarea:
¿Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados
a continuación e indicar si es creciente o decreciente y por qué?
(0,-8); m=4 (0,5) m=2 (0,8) m=1 (0,-6) m=8
(0,-3) m=-2 (0,-7) m=-3 (0,-5) m=-7
Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente o si
ambas son verticales u horizontales.
O sea se cumple que: 𝑚1 = 𝑚2.
Por ejemplo, si tenemos la recta: 2x – 3y = 1, esta recta tiene como pendiente: 𝑚 =2
3,
si queremos encontrar una recta paralela a ella debera tener la misma pendiente.
Entonces yo quiero encontrar la recta paralela a: 2x – 3y = 1, con otra recta que pasa
por el punto (4,-1), para que sea paralela la pendiente es la misma de la ecuación
ósea: 𝑚 =2
3; aplicamos la formula punto pendiente y encontramos dicha ecuacion:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−1) =2
3(𝑥 − 4)
𝑦 + 1 =2
3(𝑥 − 4)
3𝑦 + 3 = 2𝑥 − 8)
Quedándonos: 2x - 3y = 11. Como observamos analíticamente esta recta es
paralela a la recta: 2x – 3y = 1.
Gráficamente tenemos lo siguiente:
0
2
4
6
8
10
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Matemática Básica
59
Rectas Perpendiculares. Para que dos rectas sean perpendiculares se debe cumplir
la siguiente condición: 𝒎𝟏 = −𝟏
𝒎𝟐. o 𝒎𝟐 = −
𝟏
𝒎𝟏.
Si lo aplicamos al ejemplo anterior, se tiene la ecuación: 2x – 3y = 1 y 𝒎 =𝟐
𝟑, si
necesitamos encontrar la recta perpendicular que pasa por el punto: (4,-1), primero
calculamos: . 𝒎𝟐 = −𝟏
𝒎𝟏= −
𝟏𝟐
𝟑
= −𝟑
𝟐.
Al multiplicar: 𝑚1. 𝑚2 = −1 condicion de perpendicularidad.
Entonces: 2
3(−
3
2) = −1, vemos que se cumple.
Entonces la ecuación perpendicular a: 2x – 3 y = 1 será:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − (−1) = −3
2(𝑥 − 4)
2𝑦 + 2 = −3𝑥 + 12
3𝑥 + 2𝑦 = 10
Gráficamente.
60 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Encontrar las rectas paralelas y perpendiculares de la siguiente información:
tarea
1) 3x – 4y = - 4; (-2,6) 4) 4x – y = 5; (3,-1).
2) x – 3y = 1; (1,-2) 5) 7x + 2y = 9 (-4,3).
3) - 2x + 3y = -4 (1, 8) 6) 9x + 5y = 10 (2,0)
Apoyándose en GeoGebra realizar cada gráfico.
Entonces la pendiente de la recta nos indica si tenemos una
recta creciente o decreciente.
Hay que aplicar la forma correcta para encontrar la ecuación de
la recta
La condición de paralelismo es que: 𝑚1 = 𝑚2
La condición de perpendicularidad es: 𝑚1𝑚2 = −1
Si no se cumple que: 𝑚1 = 𝑚2 y que: 𝑚1𝑚2 = −1, entonces
esas rectas no son ni paralelas ni perpendiculares.
Además, siempre que se intercepten una recta horizontal y una
vertical, cumplen la condición de ser perpendiculares.
Foro:
La Recta, aplicaciones.
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad IV.
Encontrar la ecuación y la pendiente de la recta que tiene la
siguiente información, realice el respectivo grafico e indique si es
creciente o decreciente y porque, según sea el caso.
1. que pasa por los puntos: (2,-7) y (5,2).
2. que pasa por el punto: (-3,5) y cuya pendiente es: m = - 4.
3. por los puntos: (2,0) y (0,-8).
4. que pasa por el punto: (0,-4) y m = - 5.
Matemática Básica
61
Actividad Final Unidad IV.
Encontrar la ecuación y la pendiente de la recta que tiene la
siguiente información, realice el respectivo grafico e indique si es
creciente o decreciente y porque, según sea el caso.
1) que pasa por los puntos: (8,-9) y (-4,-7). 2) que pasa por el punto: (-8,6) y cuya pendiente es: m = 7. 3) por los puntos: (5,0) y (0,8).
4) que pasa por el punto: (0,-9) y m = 5.
62 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
DESARROLLO DE ACTIVIDADES
Unidad Didáctica V. Programación Lineal
Introducción:
Programación lineal es una técnica matemática que permite asignar recursos
limitados. La programación lineal es una técnica matemática empleada durante la
segunda guerra mundial. Su valía para la administración de la producción radica en
que a menudo se puede operar para resolver problemas de asignación complicados
que incluye una gran cantidad de variables.
Antes del desarrollo de la programación lineal solo se conseguía solucionar mediante
modelos gráficos y esquemáticos. Las soluciones se hallaban por medio de
aproximaciones sucesivas y ninguno estaba seguro de haber logrado la mejor
solución.
El problema de programación al que se enfrenta es: “¿Cómo consigo el mayor
importe por los productos y servicios que obtengo con el dinero que poseo?” Si todas
las relaciones son lineales (ejemplo: 2 unidades son 2 veces más buenas o cuestan
el doble que una) puede aplicar la técnica de programación lineal para solucionar el
problema.
La programación lineal es un método de optimización matemática que se aprovecha
ampliamente en áreas como la determinación de rutas de vuelo, mezclas de
ingredientes y planificación de distribución
Objetivo de la unidad didáctica V
Evaluar la resolución problemas de programación lineal aplicando la formulación
correcta para la búsqueda de la solución óptima que permita la maximización de
utilidades y minimización de costos en las empresas con honestidad.
Programacion Lineal
Conceptos Basicos.
Resolucion de
Problemas
Maximizacion
Ejercicios
Minimizacion
Ejercicios.
Matemática Básica
63
Actividades de aprendizaje de la unidad didáctica V.
Actividad De Aprendizaje I De La Unidad Didáctica V.
La Programación lineal es una clase de modelos de programación matemática, cuyo
propósito es asignar de manera eficiente los recursos limitados en actividades
conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas o sea maximizar utilidades
y minimizar costos de producción.
Los modelos de programación Lineal son lineales que representan el objetivo y
restricciones ya sea a través de inecuaciones o ecuaciones de primer grado.
Tuvo su origen a raíz de la segunda guerra mundial, donde se inicia sus aplicaciones
en casos militares.
Objetivos y Aplicaciones
Entre los principales esta encontrar soluciones mediante métodos matemáticos,
usando sistemas lineales, a problemas de carácter técnico-económico que tienen
limitados recursos.
Por medio de la Programación Lineal se pueden resolver situaciones como:
combinación optima de mezclas de producción, disposición interna de procesos,
maximización de utilidades, localización, asignación de recursos, minimización de
costos, transporte, etc., etc.
Entre las áreas de aplicación están la industria en general, la industria química, hierro,
acero, papel, cartón, petróleo, farmacéuticos, alimenticios y textil, además de
aplicaciones en la agricultura, construcción, aviación, sistemas hidroeléctricos,
transporte, etc.
En la programación lineal se debe tener presente lo siguiente:
Linealidad, divisibilidad, finitud, algoritmos o iteraciones.
El Problema General de la Programación Lineal
Se presentan por la limitación de recursos que se tratan de
distribuir adecuadamente, los recursos a la vez que son limitados
en términos “per se” (por sí mismo), pueden ser distribuidos en
tantas formas como combinaciones matemáticas permitan
relacionarlos a un mismo objetivo, de allí que es necesario
distribuirlos adecuadamente en forma equilibrada y armónica
entre los factores que intervienen en el problema, a fin de
encontrar las mejores alternativas de uso, cumpliendo con el
propósito fijado.
64 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Un problema de Programación Lineal, trae implícitamente el sentido de función,
propósito o meta, recursos disponibles y habilidad o forma para seleccionar, comparar
y decidir la mejor alternativa.
Los problemas de Programación Lineal, planteados y resueltos por cualquier método
debe cumplir cuatro condiciones necesarias y suficientes:
1.- Función Objetivo
Es la ecuación que expresa la cantidad que va a ser maximizada
o minimizada según el objetivo planteado y es de la forma:
𝑍 = 𝐶1𝑋1 + 𝐶2𝑋2 + 𝐶3𝑋3+.………… .+𝐶𝑛𝑋𝑛
Para maximización: 𝑍𝑚𝑎𝑥
Para Minimización: 𝑍𝑚𝑖𝑛
Donde:
𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 ………………… …… . . 𝐶𝑛
Son los coeficientes de la función objetivo y estos pueden ser: márgenes de
utilidades, precios, costos unitarios,etc.
𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 ………………… …… . . 𝑋𝑛
Son las variables del problema, ósea es lo que queremos encontrar.
Foro.
Problemas que resuelve la programación lineal
2.- Limitaciones y Restricciones
Son todas las inecuaciones o ecuaciones que manifiestan las condiciones finitas del
problema, se las conoce también como COEFICIENTES TECNICOS de producción,
tecnológicos, de transporte, etc., según sea el caso de estudio.
𝐴11𝑋1 + 𝐴12𝑋2 + 𝐴13𝑋3 + ⋯…………… .𝐴1𝑛𝑋𝑛𝑇1𝑏1
𝐴21𝑋1 + 𝐴22𝑋2 + 𝐴23𝑋3 + ⋯…………… .𝐴2𝑛𝑋𝑛𝑇2𝑏2
𝐴31𝑋1 + 𝐴32𝑋2 + 𝐴33𝑋3 + ⋯…………… .𝐴3𝑛𝑋𝑛𝑇3𝑏3
………………………………………………………..
…………………………………………………………
𝐴𝑚1𝑋1 + 𝐴𝑚2𝑋2 + 𝐴𝑚3𝑋3 + ⋯… ………… .𝐴𝑚𝑛𝑋𝑛𝑇𝑛𝑏𝑛
En donde:
[
𝐴11 𝐴12 𝐴13 ……… ……… .𝐴1𝑛
𝐴21 𝐴22 𝐴23 ……… ……… .𝐴2𝑛
𝐴31 𝐴32 𝐴33 ……… ……… .𝐴3𝑛
… …………………… …………… .… …………………… …………… .
𝐴𝑚1 𝐴𝑚2 𝐴𝑚3 …… ………… .𝐴𝑚𝑛]
Coeficientes técnicos
Matemática Básica
65
𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 ………………… …… . . 𝑋𝑛 Son las variables del problema.
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 …… ………………… . . 𝑇𝑛 Signos o limites del sistema.
≤ 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒.
≥ 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒.
= 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙.
Orientación Tarea.
Plantearse un problema que puede darse en una empresa, mencione los recursos necesarios para su solución y las limitaciones que se puedan presentar
3.- No Negatividad
Esta condición nos indica que no podemos aceptar valores negativos, ya que como
es lógico no existen producción, gastos, negativos, lo mínimo que podemos tener es
igual a cero.
𝑋𝑛 ≥ 0
4.- Condiciones de Optimización
Se obtienen por aproximaciones sucesivas. Y pueden darse estas situaciones:
Solución Factible.- es la que satisface las limitaciones y restricciones del problema.
Solución Básica Factible.- es la que satisface tanto las limitaciones o restricciones,
así como la función objetivo del problema.
Taller.
Elaborar un organizador grafico o cuadro donde describa cada una de
los cuatro condiciones o necesarias de la Programación Lineal
Actividad De Aprendizaje II De La Unidad Didáctica V.
RESOLUCION DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION
LINEAL.
Esta parte de la Programación Lineal, se encarga del tratamiento de problemas mediante una modelización matemática del problema. Se trata de optimizar sistemas partiendo de unas premisas. En todo sistema existirá un conjunto de variables y las relaciones entre dichas variables.
66 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
PROBLEMA DE MAXIMIZACION
Una compañía fabrica dos productos, A y B. Cada uno de estos productos requiere
cierto tiempo en la línea de ensamblado y otro tiempo más en el departamento de
acabado. Cada artículo del tipo A necesita 5 horas de ensamblado y 2 horas de
acabado; mientras que cada artículo del tipo B requiere 3 horas en ensamblado y 4
de acabado. En cualquier semana, la empresa dispone de 105 horas en la línea de
ensamblado y 70 horas en el departamento de acabado. La empresa puede vender
todos los artículos que produce y obtener una utilidad de $200 por cada artículo de A
y $160 por cada artículo de B. Calcule el número de artículo de cada tipo que deberían
fabricarse a la semana con el objetivo de maximizar la utilidad total.
FORMULACION DEL PROBLEMA.
A B
𝑋1 𝑋2
200 160
RECURSOS CONSUMO DISPONIBILIDAD
ENSAMBLADO 5 3 105
ACABADO 2 4 70
NO NEGATIVIDAD 1 1 0
FUNCION OBJETIVO.
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 200𝑋1 + 160𝑋2
RESTRICCIONES.
5𝑋1 + 3𝑋2 ≤ 105 Consumo De Ensamblado
2𝑋1 + 4𝑋2 ≤ 70 Comsumo De Acabado
𝑋1 ∧ 𝑋2 ≥ 0 Condicion De No Negatividad
ABSTRACCIONES:
5𝑋1 + 3𝑋2 = 105
2𝑋1 + 4𝑋2 = 70
Matemática Básica
67
SOLUCION GRAFICA.
Como podemos observar fuera de los ejes se forma una figura donde se identifica el
punto B que es el punto de intersección y en este caso es el único que se intercepta
fuera de los ejes y que esta en la zona libre de otras intercepciones, ósea está en la
región factible, y ahí se interceptan las rectas 1 y 2. Un punto fuera de esta región no
satisface los requerimientos técnicos y nos interpretara que estamos utilizando
recursos por encima de los existentes, y eso no es cierto, no podemos.
Ahora procedemos a resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta 1 y 2,
si hubiera más ecuaciones posiblemente se darían más intercepciones y se tendría
que hacer más combinaciones.
Para los puntos que interceptan los ejes, no se los resuelve para maximización por
que no hay cantidad cero de producción ni costo cero.
5𝑋1 + 3𝑋2 = 105 multiplicando la ecuacion1 por 2 se tiene: 10𝑋1 + 6𝑋2 = 210
2𝑋1 + 4𝑋2 = 70 multiplicando la ecuacion 2 por (-5): −10𝑋1 − 20𝑋2 = −350
Sumando ambas ecuaciones se tiene: −14𝑋2 = −140
De donde obtenemos que: 𝑋2 = 10
Reemplazando este valor en la ecuación 1: 2𝑋1 + 4(10) = 70 2𝑋1 = 70 − 40
𝑋1 = 15
Estos valores los reemplazamos en la función objetivo, ya que son la única alternativa
que maximiza las utilidades.
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 200𝑋1 + 160𝑋2 = 200(15) + 160(10) = 3000 + 1600 = 4600
Entonces la máxima utilidad se obtiene cuando se producen 15 artículos tipo A y 10
artículos tipo B.
REGION BASICA
FACTIBLE
PARA GRAFICAR:
5𝑋1 + 3𝑋2 = 105, hacemos cuando: 𝑋1 = 0; cuanto
vale 𝑋2, obteniendo que: 𝑋2 = 35, y cuando: 𝑋2 = 0;
𝑋1 = 21.
2𝑋1 + 4𝑋2 = 70, para esta ecuacion seguimos el
mismo procedimiento logrando:
𝑋1 = 0; 𝑋2 = 17,50
𝑋2 = 0; 𝑋1 = 35
Que son los puntos graficados
68 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
OTRO EJEMPLO.
La empresa MACONDOC (Mantenimiento y Construcción de Obras Civiles), elabora
elementos estructurales de dos tipos, para elaborar el elemento tipo A requiere: 13
horas de un albañil,15 horas de un fierrero, 25 horas de un oficial y 19 horas de un
carpintero, mientras que para el elemento tipo B requiere: 40 horas de un albañil, 22
horas de un fierrero, 15 horas de un oficial y 17 horas de un carpintero. La empresa
dispone de 5500 horas de un albañil, 3300 horas de un fierrero, 3800 horas de un
oficial y 3200 horas de un carpintero. Si por cada elemento tipo A la empresa espera
obtener una utilidad de 2000 dólares y por cada elemento tipo B 2500 dólares, cuantos
elementos de cada tipo deberá producir y vender para obtener la máxima utilidad.
FORMULACION DEL PROBLEMA.
A B
𝑋1 𝑋2
2000 2500
RECURSOS CONSUMO DISPONIBILIDAD
ALBAÑIL 13 40 5500
FIERRERO 15 22 3300
OFICIAL 25 15 3800
CARPINTERO 19 17 3200
NO NEGATIVIDAD 1 1 0
FUNCION OBJETIVO: 𝑍𝑚𝑎𝑥 = 2000𝑋1 + 2500𝑋2
RESTRICCIONES:
13𝑋1 + 40𝑋2 ≤ 5500
15𝑋1 + 22𝑋2 ≤ 3300
25𝑋1 + 15𝑋2 ≤ 3800
19𝑋1 + 17𝑋2 ≤ 3200
𝑿𝟏 ∧ 𝑿𝟐 ≥ 𝟎
ABSTRACCIONES:
13𝑋1 + 40𝑋2 = 5500
15𝑋1 + 22𝑋2 = 3300
25𝑋1 + 15𝑋2 = 3800
19𝑋1 + 17𝑋2 = 3200
SOLUCION GRAFICA.
Matemática Básica
69
En este caso observamos el numero de recta que se intercepta en cada punto de la
región factible, lo que nos indica las combinaciones de los subsistemas de
ecuaciones que se forman, por ej. (1,2), nos indica que debemos formar un sistema
entre la ecuación 1 y ecuación 2.
Luego cada uno de los valores calculados los reemplazaremos en la función objetivo
y veremos que valores maximizan la utilidad. Entonces formamos los subsistemas y
resolvemos:
1 13𝑋1 + 40𝑋2 = 5500 multiplicando por 11 143𝑋1 + 440𝑋2 = 60500
2 15𝑋1 + 22𝑋2 = 3300 multiplicando por (-20) −300𝑋1 − 440𝑋2 = −66000
Sumando: −157𝑋1 = −5500
de donde obtenemos que: 𝑋1 = 35,03; este valor se lo reemplaza en cualquiera de
las dos ecuaciones y se tiene lo siguiente si la reemplazo en 1:
13𝑋1 + 40𝑋2 = 5500 13(35,03)+40 𝑋2=5500
𝑋2 =5500 − 455.39
40=
5044,61
40= 126,12
Por lo tanto, el subsistema (1,2) se satisface para: 𝑋1 = 35,03 y 𝑋2 = 126,12
2 15𝑋1 + 22𝑋2 = 3300 multiplicando por 17 255𝑋1 + 374𝑋2 = 56100
4 19𝑋1 + 17𝑋2 = 3200 multiplicando por (-22) −418𝑋1 − 374𝑋2 = −70400
Sumando: −163𝑋1 = −14300
𝑋1 = 87,73
PARA GRAFICAR:
13𝑋1 + 40𝑋2 = 5500, hacemos cuando: 𝑋1 = 0;
cuanto vale 𝑋2, obteniendo que: 𝑋2 = 137,50 y
cuando: 𝑋2 = 0; 𝑋1 = 423,08.
15𝑋1 + 22𝑋2 = 3300, para esta ecuacion seguimos
el mismo procedimiento logrando:
𝑋1 = 0; 𝑋2 = 150
𝑋 = 0; 𝑋 = 220
70 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Reemplazando en (4): 19𝑋1 + 17𝑋2 = 3200 19(87,73) + 17𝑋2 = 3200
𝑋2 =3200−1666,87
17=
1533,13
17= 90,18 .
Por lo tanto, este subsistema se satisface para: 𝑋1 = 87,73 y 𝑋2 = 90,18
3 25𝑋1 + 15𝑋2 = 3800 multiplicando por 17 425𝑋1 + 255𝑋2 = 64600
4 19𝑋1 + 17𝑋2 = 3200 multiplicando por (-15) −285𝑋1 − 255𝑋2 = −48000
Sumando se tiene: 140𝑋1 = 16600
𝑋1 =16600
140= 118,57
Reemplazando en (4) 19𝑋1 + 17𝑋2 = 3200 19(118,57) + 17𝑋2 = 3200
𝑋2 =3200 − 2256,86
17=
947,14
17= 57,71
Por lo tanto, este subsistema se satisface para: 𝑋1 = 118,57 y 𝑋2 = 57,71
Estos pares de valores calculados los reemplazamos en la función objetivo y se tiene:
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 2000𝑋1 + 2500𝑋2 = 2000 ∗ 35,03 + 2500 ∗ 126,12 = 315300 + 70060
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 385360
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 2000𝑋1 + 2500𝑋2 = 2000 ∗ 87,73 + 2500 ∗ 90,18 = 175460 + 225450
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 400910
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 2000𝑋1 + 2500𝑋2 = 2000 ∗ 118,57 + 2500 ∗ 57,71 = 237140 + 144275
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 381415
Observamos que la máxima utilidad se da cuando se producen y venden: 87,73
unidades de elementos tipo A y 90,18 unidades tipo B, esta sería la utilidad optima.
La utilidad esperada se da cuando se producen y se venden: 35,03 unidades de
elementos tipo A y126,12 tipo B.
La utilidad pésima se da cuando se producen 118,57 unidades de A y 57,71 tipo B.
Hay que aclarar que las unidades de producción siempre son cantidades enteras si
observan, en este ejemplo por ser analítico se han considerado valores decimales.
Matemática Básica
71
Problema De Minimización
Se procede de la misma forma que en los de maximización con la
diferencia que en las restricciones se usa el mayor o igual que, y
en este caso se encuentran las unidades de producción y ventas
que minimizan los costos de producción, el área o región factible
también cambia, en este caso se toma el espejo exterior.
Por ejemplo:
Una compañía química esta diseñando una planta para producir dos tipos de
minerales M y N. la planta debe de ser capaz de producir al menos 100 unidades de
M y 420 unidades de N cada día. Existen dos posibles diseños para las cámaras
principales de reacción que vienen incluidas en la planta. Cada cámara de tipo A
cuesta 600000 dólares y es capaz de producir 10 unidades de M y 20 unidades de N
por día; el tipo B es un diseño más económico, cuesta 300000 y es capaz de producir
4 unidades de M y 30 unidades de N por día. A causa de los costos de operación, es
necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de
cada tipo deben ser incluidas para minimizar el costo de construcción y satisfacer el
programa de producción requerido?
Foro.
La programación lineal qué papel juega en la toma de decisiones.
Formulación Del Problema.
A B
𝑋1 𝑋2
600 300
RECURSOS CONSUMO DISPONIBILIDAD
CAMARA TIPO A 1 0 4
CAMARA TIPO B 0 1 4
PRODUCCION MINERAL M 10 4 100
PRODUCCION MINERAL N 20 30 420
NO NEGATIVIDAD 1 1 0
FUNCION OBJETIVO: 𝒁𝒎𝒊𝒏 = 𝟔𝟎𝟎𝑿𝟏 + 𝟑𝟎𝟎𝑿𝟐
RESTRICCIONES: ABSTRACCIONES:
𝑋1 ≥ 4 𝑋1 = 4
𝑋2 ≥ 4 𝑋2 = 4
10𝑋1 + 4𝑋2 ≥ 100 10𝑋1 + 4𝑋2 = 100
20𝑋1 + 30𝑋2 ≥ 420 20𝑋1 + 30𝑋2 = 420
𝑋1 ∧ 𝑋2 ≥ 0
72 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
GRAFICACION:
Los subsistemas se forman entre las ecuaciones (1,3); (3,4); (2,4).
1) 𝑋1 = 4 y 3) 10𝑋1 + 4𝑋2 = 100; por lo tanto: 𝑋2 =100−10(4)
4=
60
4= 15.
Entonces para este subsistema: 𝑋1 = 4 𝑋2 = 15
3) 10𝑋1 + 4𝑋2 = 100 por (-2): −20𝑋1 − 8𝑋2 = −200
4) 20𝑋1 + 30𝑋2 = 420 20𝑋1 + 30𝑋2 = 420
22 𝑋2 = 220
de donde: 𝑋2 = 10
Reemplazando en 3 se tiene: 𝑋1 =100−4(10)
10=
60
10= 6. Por lo tanto: 𝑋1 = 6 y 𝑋2 = 10
2) 𝑋2 = 4 y 4) 20𝑋1 + 30𝑋2 = 420, por lo tanto: 𝑋1 =420−30(4)
20=
300
20= 15. Por
lo tanto, este subsistema se satisface para: 𝑋1 = 15 𝑦 𝑋2 = 4
Estos valores los reemplazamos en la función objetivo:
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 600𝑋1 + 300𝑋2 = 600(4) + 300(15) = 2400 + 4500 = 6900
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 600𝑋1 + 300𝑋2 = 600(6) + 300(10) = 3600 + 3000 = 6600 OPTIMO
𝑍𝑚𝑖𝑛 = 600𝑋1 + 300𝑋2 = 600(15) + 300(4) = 9000 + 1200 = 10200
Para minimizar los costos se deben producir 6 cámaras tipo A y 10 cámaras tipo B
Orientaciones para la tarea.
Del grupo de ejercicios 10 – 2, página 416 y 417, del Libro de
Matemáticas aplicadas a la administración y economía, 5ta edición, de:
Arya, Lardner, Ibarra. Resolver los ejercicios del 17 al 21.
PARA GRAFICAR:
𝑋1 = 4, es una recta vertical directa. 𝑋2 = 4, es una recta horizontal directa.
10𝑋1 + 4𝑋2 = 100, para esta ecuacion seguimos el mismo procedimiento logrando:
𝑋1 = 0; 𝑋2 = 25 y 𝑋2 = 0; 𝑋1 = 10 20𝑋1 + 30𝑋2 = 420; en esta cuando:
𝑋1 = 0; 𝑋2 = 14, y 𝑋2 = 0; 𝑋1 = 21
Matemática Básica
73
Taller
Un granjero tiene 100 acres en los cuales sembrar dos cultivos. El costo
de plantar el primer cultivo es de $20 por acre y el del segundo es de
$40 por acre y dispone de a lo más $3000 para cubrir el costo del
sembrado. La recolección de cada acre del primer cultivo demanda de
5 horas-hombre y cada acre del segundo cultivo 20 horas-hombre. El
granjero puede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinadas a
la recolección de los dos cultivos. Si la utilidad es de $100 por acre en
el caso del primer cultivo y de $300 por acre para el segundo, determine
la porción del terreno que deberá plantarse con cada cultivo para
maximizar la utilidad total.
Una empresa de productos químicos produce dos tipos de fertilizantes.
Su marca regular contiene nitratos, fosfatos y potasio en la razón 3 : 6 :
1 (en peso) y su marca super contiene estos tres ingredientes en la
razón 4 : 3 : 3. Cada mes la empresa puede confiar en un suministro de
9 toneladas de nitratos, 13.5 toneladas de fosfatos y 6 toneladas de
potasio. Su planta productora puede elaborar a lo más 25 toneladas de
fertilizantes al mes. Si la empresa obtiene una utilidad de $300 por cada
tonelada de fertilizante regular y $480 por cada tonelada del super, ¿qué
cantidades de cada tipo deberá producir para obtener la máxima
utilidad?
Un área de las matemáticas aplicadas se denomina programación lineal. Se determina que, a través de la programación lineal, las empresas (inclusivo pequeñas) pueden decidir la forma de combinación de su producción, ya sea para maximizar sus utilidades, o minimizar sus costos.
El proceso de toma de decisiones debe focalizarse en las soluciones de manera flexible y alentar las contribuciones para fortalecer el proceso empresarial, impulsando la búsqueda de soluciones a través del pensamiento creativo, utilizando herramientas fundamentales como la programación lineal.
El uso de software online y gratuito como PHP simplex, permite aplicar el método gráfico para resolución de problemas de programación lineal.
74 Ing. Rafael Sandino Salcedo Muñoz
Actividades de Auto - Evaluación De La Unidad V.
1. Escriba un breve resumen del objetivo de la programación lineal.
2. Una compañía destiladora tiene dos grados de whisky en bruto (sin mezclar), I y II, de los cuales produce dos marcas diferentes. La marca regular contiene 50% de cada uno de los grados I y II; mientras que la marca super consta de dos terceras partes del grado I y una tercera parte del grado II. La compañía dispone de 3000 galones del grado I y 2000 del grado II para mezcla. Cada galón de la marca regular produce una utilidad de $5; mientras que cada galón del super produce una utilidad de $6. ¿Cuántos galones de cada marca debería producir la compañía a fin de maximizar sus utilidades?
3. Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y al menos 20 de proteínas. Cada unidad de alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; mientras que cada unidad de alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el alimento B cuesta $0.80 por unidad, ¿cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?
Actividad Final de la Unidad V
1) Qué rol desempeña la Programación Lineal en la Toma de decisiones de la empresa.
2) Una compañía produce dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas en una máquina y 5 en una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4 horas en la primera máquina y 3 en la segunda máquina. Se dispone de 100 a la semana en la primera máquina y de 110 en la segunda. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B, ¿cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total?
3) Una compañía extrae minerales de una mina. En la tabla siguiente se indica el número de libras de los minerales A y B que pueden obtenerse de cada tonelada de la mina I y II, junto con los costos por tonelada:
Mina I Mina II
Mineral A 100 lbs 200 lbs
Mineral B 200 lbs 50 lbs
Costo por tonelada $ 50 $ 60
Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿cuántas toneladas de cada mena deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?
EVALUACION DEL SEGUNDO PARCIAL
Matemática Básica
75
Bibliografía.
AGUILAR, M, ARTURO. BRAVO, V, FABIAN,V. GALLEGOS, R, HERMAN,
A. CERON, V, MIGUEL. REYES, F, RICARDO. Algebra. Editorial Pearson
Prentice Hall. Primera Edición, 2009.
ARYA, J y LARDNER, R. Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la
Economía. Editorial Pearson Prentice Hall. Cuarta Edición, 2002.
BALDOR, A. Algebra. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.
BALDOR, A. Aritmética. Grupo Editorial Patria. Segunda edición, 2007.
BALDOR, A. Geometría y Trigonometría. Grupo Editorial Patria. Segunda
edición, 2007.
GONZÁLEZ, M y MANCILL, J. Algebra elemental y moderna. Editorial
Kapelusz.
LEHMANN, Ch. Algebra. Editorial Limusa – Wiley. S. A. primera edición
1964.
MORA ZAMBRANO, A. Matemáticas Financieras. Editorial Alfaomega.
Tercera Edición, 2009.
Ing. Rafael Salcedo Muñoz.
Autor