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Appendice - Processi stocastici, rnoto browniano e calcolo stocastico Incidente a Monte Carlo Un moto browniano con un tempo normale finl contro un albero binomiale e non fu possibile stabilire durante il seguente processo di Wiener se era davvero regolare non aver allacciato Ie martingale Questa Appendice vuole essere una sintesi significativa, sebbene non rigorosa, dei principali risultati della probabilita, dei processi stocastici e del calcolo stocastico, utili per la teoria e le applicazioni di Finanza matematica affronta- ti nel testo. Nel seguito, saranno fatti rimandi specifici alla letteratura rna fin d'ora si possono citare alcuni testi ormai classici, dai pili semplici ai pili com- plessi cui si rivia illettore interessato: Malliaris e Brock (1982), Arnold (1974), Wong (1983), Wong e Hajek (1985), Cox e Miller (1965), Shreve (2004a,b), Oksendal (2003), Karatzas e Shreve (1998), Doob (1953), Feller (1966), Chung e Williams (1983), Liptser e Shiryaev (1974), Friedman (1975), Williams (1991), Gihman e Skorohod (1968), Ikeda e Watanabe (1989), McKean (1969), Stroock e Varadhan (1979). Un testo recente e Pascucci (2008).

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Appendice - Processi stocastici, rnotobrowniano e calcolo stocastico

Incidente a Monte Carlo

Un moto brownianocon un tempo normalefinl contro un alberobinomialee non fu possibilestabiliredurante il seguenteprocesso di Wienerse era davveroregolarenon aver allacciatoIe martingale

Questa Appendice vuole essere una sintesi significativa, sebbene non rigorosa,dei principali risultati della probabilita, dei processi stocastici e del calcolostocastico, utili per la teoria e le applicazioni di Finanza matematica affronta-ti nel testo. Nel seguito, saranno fatti rimandi specifici alla letteratura rna find'ora si possono citare alcuni testi ormai classici, dai pili semplici ai pili com-plessi cui si rivia illettore interessato: Malliaris e Brock (1982), Arnold (1974),Wong (1983), Wong e Hajek (1985), Cox e Miller (1965), Shreve (2004a,b),Oksendal (2003), Karatzas e Shreve (1998), Doob (1953), Feller (1966), Chunge Williams (1983), Liptser e Shiryaev (1974), Friedman (1975), Williams(1991), Gihman e Skorohod (1968), Ikeda e Watanabe (1989), McKean (1969),Stroock e Varadhan (1979). Un testo recente ePascucci (2008).

VA E ~

V Ai n A j == 0 i:f- j

408 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

A.I Set-up standard

Dato un insieme rl, una classe ~ di sottoinsiemi di rl e un'algebra di rl se~ e chiuso rispetto alle operazioni di unione e complementazione. Ne segueche ~ e chiuso rispetto a tutte lc operazioni booliane finite su sottinsiemi dirl. Si dice che ~ e una a-algebra di rl se e chiuso anche rispetto a unione ecomplementazione infinita numerabile e (rl,~) si dice spazio misurabile.

Se C e un sottoinsieme di rl, la a-algebra genererata da C, ~c 0 anchea(C), e l'intersezione di tutte le a-algebre di rl contenenti C. Se rl == R(insieme dei numeri reali) e Bela a-algebra (detta di Borel) generata dagliintervalli aperti di R, (R,B) si dice spazio di Borel e gli elementi di B si diconoinsiemi di Borel.

Una misura a-additiva di probabilita p e una funzione a valori reali nonnegativi tale che:

p(A) E [0,1]

p(l)Aj ) == 2;7p(Aj )J J

p(rl) == 1

La tripla (rl,~, p) si dice spazio probabilistico, in cui rl e 10 spazio degli eventielementari, w E rl, ~ e una a-algebra di rl contenente sottoinsiemi A di rldetti eventi e p e la misura di probabilita detta probabilita naturale.

Un'affermazione e 'quasi sicura', e si scrive p - a.s., se l'insieme G in cuiefalsa ha probabilita nulla: p(G) == O.

Due 0 pili eventi Ai sono (stocasticamente) indipendenti se:

g:J ( ~Ai) = II g:J( Ai)i

Una variabile aleatoria (v.a.) X 0 semplicemente X e una funzione da rl inR tale che per ogni a E R, l'insieme {w E rl : X(w) < a} E ~, vale a dire e unevento.

La funzione Fx(a) == p(w E rl : X(w) < a) da R in [0,1] si dicedistribuzione di probabilita di X.

La misura pX (A) == p(w E rl : X(w) E A) per ogni A E Bela probabilitaindotta da X sullo spazio di Borel (R, B).

Per la definizione e le proprieta di media E(X), di momento di ordinesuperiore di X (ovvero della distribuzione Fx ) e di altri concetti base si vedal' Appendice in Cesari e Susini (2005b).

La v.a. X e ~-misurabile se l'immagine inversa degli intervalli aperti di Rappartiene a ~ vale a dire se {w E [) : X (w) E I} E ~ per ogni I E B, spaziodi Borel.

La v.a. X e integrabile (rispettivamente, integrabile al quadrato 0 squareintegrable) se E(I X I) < 00 (se E(I X 12 ) < 00).

Una v.a. ha media finita se e solo se e integrabile.

A.I Set-up standard 409

La a-algebra generata da X, a(X), ela pili piccola a-algebra di n tale cheX ea(X)-misurabile. Essa rappresenta tutta l'informazione contenuta in X.

In particolare, se Y ea(X)-misurabile allora esiste una funzione f per cui:Y == f(X).

Due v.a. X e Y, definite sullo stesso spazio probabilistico, sono indipen-denti se a(X) e a(Y) sono indipendenti

Date due v.a. X eYe un evento H == {w En: Y(w) E D} a probabilitanon nulla, si definisce la probabilita condizionata di X dato H come:

p(X(W) E A IY(w) ED) == p({w ED: ~~? E A} nH)

Chiaramente, se X eY sono indipendenti p(X(w) E A I Y(w) E D) ==p(X(w) E A).

Un processo stocastico (p.s.) (X(w, t), t E T), scritto anche Xt(w) e unafamiglia di v.a. indicizzate a un parametro reale t E T, in genere interpretatocome il tempo, con T insieme discreto (to, tl, ....tn , ... ) 0 continuo, finito [0,T]o infinito [0, +00[.

In particolare, si noti che un p.s. efunzione di due variabili, X(w, t), l'even-to elementare e il tempo, per cui X(., t) per dato t euna v.a. mentre X(w,.)per dato w euna funzione del tempo t detta traiettoria 0 sentiero campionario.

II p.s. e spesso indicato semplicemente con (Xi) se l'indice e discreto e(Xt ) 0 (X(t)) se l'indice e il tempo continuo.

Un p.s. si dice di classe M h , L h , rispettivamente se:

Un p.s. (Xt) e misurabile se X(w, t) e (Br 0 ~)-misurabile, essendo B; laa-algebra di Borel generata da T.

Un p.s. (Xt) e progressivamente misurabile se X(w, t) e (Bt 0 SSt)-misurabile, essendo e, la a-algebra di Borel generata da [0, t].

Un p.s. (X t ) eseparabile se operazioni su insiemi non numerabili di eventio v.a. si ottengono come limiti di successioni numerabili di insiemi densi in T.

La sequenz a (SSt, t E T) di sotto-a-algebre di SS:

1. crescente: SSt C SSs per ogni t < s;2. completa: per ogni evento a probabilita nulla (evento impossibile) A E SS,

p(A) == si ha A E ~o;3. continua da destra: ~t == n ~s

s>t

si dice filtrazione (standard) e si indica anche con (~t).In termini intuitivi, SSt rappresenta tutta l'informazione disponibile in t e

crescente al passare del tempo.Considerando la minima a-algebra ~f rispetto a cui Xu e misurabile per

ogni u ::; t, vale a dire ~f == a(Xu ; u ::; t), si ottiene la filtrazione (~f)generata dal processo (Xt ) .

410 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

Si noti se (~t) e la filtrazione generata dal BM, allora la proprieta 3. dicontinuita da destra (nonchc da sinistra) si ricava dalla continuita del BM(Liptser e Shiryaev, 1974, vol I, teorema 4.3 p. 91).

II p.s. (Xt ) e adattato (adapted) alla filtrazione (~t) se, per ogni t, X;(come v.a.) e ~t-misurabile. Se (X t ) e adattato e continuo da sinistra il p.s.si dice predictable.

Un p.s. misurabile, separabile e adattato a una filtrazione (quindi pro-gressivamente misurabile), si dice non anticipativo rispetto alla medesimafiltrazione.

Dato il set-up standard ([2,~, (~t), p), si possono definire la misura con-dizionata, la distribuzione condizionata e i momenti condizionati: p( G I ~t),Fxs(a I ~t), E(Xs I ~t) etc.

In particolare, la misura condizionata p(G I ~t), G E ~ equella funzione~t-misurabile tale che, per ogni A E ~t:

l p(G I 'St)p(dw) = l Xdw)p(dw)essendo 'xc (w) la funzione indicatore delI'insieme G e J l'integrale di Lebesguerispetto alla misura p.

Si noti che spesso si scrive anche E; (X s).Per definizione, Eo(Xs ) == E(Xs ) e vale la proprieta di concatenazione dei

valori medi condizionati:

Se (Xt) e adattato vale E(Xt I ~t) == X, mentre se e anche predictableE(Xt I ~t-) ==Xt.

A.2 Martingale e processi di Markov

Un p.s. (X t ) e una p-martingala (rispetto alla data filtrazione ~t) se eadattato, integrabile e per ogni s > t:

E(Xs I ~t) == x,i.e.

Cia significa che per una martingala, la migliore previsione (aspettativa) delvalore futuro X; eil valore corrente Xt.

Con tempo continuo cia equivale a:

essendo d.X, == Xt+dt - X; l'incremento in avanti (forward) infinitesimo.

A.2 Martingale e proeessi di Markov 411

Si dice anche che un p.s. (X t ) euna p-martingala se e solo se ha incrementia media condizionata nulla.

Un p.s. (Xt ) e una sub-martingala se, per ogni s > t, E(Xs I ~t) 2: X,(super-martingala se E(Xs I ~t) :S Xt). In termini intuitivi si scrive E(dXt I~t-) 2: 0 (:S 0). Pertanto una sub- (super-) martingala tende a crescere(decrescere) nel tern po.

Esercizio 52. Dimostrare, dalla proprieta di eondizionamento a catena, ehe:

1. la media di una martingala eeostante;2. se W e una v.a., il p.s. X, == E(W I ~t) e una martingala; in partieolare la

probabilita eondizionata p( G I ~t) == E(Xc I ~t) euna martingala;3. se X, euna martingala e W una v.a., il proeesso }It == X, +W euna martingala

e vale:

4. trasformazioni affini di martingale sono martingale:

5. una martingala ha inerementi non eorrelati 0 "ortogonali" (quindi indipendentise hanno distribuzione normale):

E ((Xs - Xt)(Xv - Xu) I ~t) == 0 per t < s < u < v.

Teorema 22. di convergenza delle martingale. Be (Xt ) euna martingaleallora esiste una v. a. X oo square integrable, tale ehe:

lim X, == X oot---:roox, == E(Xoo I ~t)

lim E(X;) == E(X~)t--+oo

Un processo (X t ) e di Markov 0 markoviano se per ogni n-pla di elementicrescenti in T, (tl, t2, ..., tn) si ha:

vale a dire, intuitivamente, se, noto il valore corrente, Xn-l, il valore futuroX tn e indipendente dal passato, ovvero se tutta l'informazione rilevante suX tn e contenuta nell'ultimo valore disponibile Xn-l e i valori passati nonaggiungono nulla che non sia gia in Xn-l'

Si noti che si usano spesso lettere maiuscole X per indicare una v.a. elettere minuscole x per indicare un valore specifico (realizzazione) assunto dauna v.a.

Inoltre l'espressione p(Xtn :S x., I X tn- 1 == Xn-l) andrebbe intesa comep({w En: Xtn(w) :S X n} I {W En: X tn_1 (W) == Xn-l}).

412 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

La funzione P(s, t, x, B) == gJ(Xt EB I X; == x) si dice probabilita ditransizione del processo di Markov, con densita di transizione p(s, t, x, y) taleche:

P(s, t, x, B) = 1p(s, t, x, y)dyUn processo (Xt) ha incrementi disgiunti indipendenti se le v.a. Xti - Xti- I ,i == 2, ... , n sono indipendenti.

Un processo (Xt ) e stazionario se la distribuzione congiunta di X t l +h,X t 2+h , .... , X t n+h eindipendente da h per ogni hen.

Un processo (Xt) e stazionario in senso deb ole se la media E(Xt) == jl; efinita, indipendente da t e l'autocorrelazione E((Xt - jl;)(Xs - jl;)) e al pilifunzione di t - s.

Esercizio 53. Dimostrare che:

1. se (X t ) ha incrementi indipendenti e X o == 0 (gJ - a.s.) allora edi Markov;2. se (Xt) ha incrementi indi pendenti a media nulla allora euna martingala.

Esempio 47. Processo di Poisson. Un processo (X t ) a valori interi n 2: 0,X o == 0 (p - a.s.) e incrementi indipendenti con distribuzione:

(X -X _ )_(s-t)nAn -(s-t)Ap s t- n - e

n!s > t

eun processo di Poisson con media e varianza E(Xt ) == Var(Xt ) == At. Si notiche X, - At euna martingala.

A.3 Moto browniano

II botanico inglese Robert Brown osservo per la prima volta, nel 1827, i mo-vimenti irregolari di particelle microscopiche immerse in un fluido, causatidall'impatto "termico" con Ie molecole del fluido.

Albert Einstein (1905) elaboro una teoria di tali "moti browniani", se-condo cui, in prima approssimazione, ciascuna coordinata Zt della posizionedi una particella al tempo t e rappresentabile come un processo stocastico aincrementi indipendenti normali a media nulla, con varianza in funzione dellamassa della particella e della viscosita del liquido.

In termini formali, un moto browniano standard (BM) 0 processo diWiener (Zt) eun p.s. tale che:

a) Zo == 0 (p - a.s.);b) Z; rv N(O, t) i.e, normale a media nulla e varianza t;c) E(ZtZs) == min(t, s).

Efacile dimostrare che un BM ha incrementi indipendenti (omogeneita nellospazio), a media nulla, stazionari (omogeneita nel tempo), normali 0 gaussiani.E quindi un processo di Markov e una martingala.

A.3 Moto browniano 413

Ad esempio, l'indipendenza degli incrementi si ricava dalla normalita pilila lora non correlazione:

E ((Zs - Zt)(Zu - Zv)) == E(ZsZu) - E(ZsZv) - E(ZtZu) + E(ZtZv)== min(s, u) - min(s, v) - min(t, u) + min(t, v)==s-s-t+t==O

La definizione adottata edi Wong (1983). Pili spesso, il BM edefinito, equi-valentemente, da a) e dalla proprieta di incrementi (non sovrapposti) Z; - Ztindipendenti e gaussiani N (0, s - t), ricavando b) e c) come conseguenze.

Nielsen (1999, cap. 1) fa una sottile distinzione tra BM e processo di Wie-ner nel senso che quest'ultimo eun BM con riferimento a una data filtrazione(~t) mentre il primo eun processo di Wiener rispetto alla filtrazione (~f) chegenera.

Teorema 23. di Levy di caratterizzazione del BM. Be z, e una mar-tingala con traiettorie continue e valgono le proprieta a) e c) allora Z; e unEM. In altre parole, la proprieta di martingala a traiettorie continue assiemea a) e c) comporta la normalita b) del processo.

Un BM standard ha, di conseguenza, numerose altre proprieta:

1. Z, - Z; rv N(O, s - t) indipendente da Zu \;j u :S t e aiZ; - Zt; t :S s)indipendente da ~t \;j t 2:: 0;

2. per ogni partizione di (0, t), 0 == to < t : < .... < t == t con tk == kh,si puo scrivere Zt == L:~:~ (Ztk+l - Ztk) per cui il BM e una somma div.a. (gli incrementi) indipendenti ed equidistribuite (i.i.d.) ed e quindi'infinitamente divisibile';

3. continuita spaziale in probabilita (dalla diseguaglianza di Chebyshev): p( IZt+h - Z, I> E) ::; I~I --t 0 e quindi separabilita:

C h-+O

4. di pili: continuita in media quadratica: E ((Zt+h - Zt)2) ==1 h I -t 0;h-+O

5. di pili: continuita uniforme delle traiettorie quindi continuita p - a.s. inogni punto t, per cui ogni traiettoria e una funzione continua nel sensousuale del termine.

Sia CT 10 spazio delle funzioni continue: c(t): T -t R e sia BT la a-algebragenerata dagli insiemi {t E T : c(t) E I}, I insieme di Borel.

Ogni funzione continua si puo considerare la traiettoria di un processostocastico: X(w,.) == c(.).

II teorema di Wiener dimostra che sullo spazio misurabile (CT ,BT) esi-ste un'unica misura di probabilita Pw (detta misura di Wiener) per cui unprocesso a traiettorie continue eun BM.

Viceversa, se (Xt ) e un processo a traiettorie continue su (f2,~, (~t), p),esso induce su (CT ,BT) una misura di probabilita pX definita, per ogni H inBT, da:

pX (H) == p(w En: X(w,.) E H)

414 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

In tal modo, ogni processo a traiettorie continue edefinito dalla probabilitaindotta p X su (CT ,BT ).

Esercizio 54. Dalla definizione di BM, dimostrare che per ogni h, k > 0 sono BManche i processi:

Si noti che i primi due hanno un cambio della variabile temporale, essendo t sostituitodal tempo ristretto t' == kt2 e dal tempo invertito t f == t rispettivamente. Si parla intal caso di cambiamento del tempo (deterministic time change). Inoltre, yt ==Zt+h - Zh, t ~ 0 e indipendente da Zs, s :::; h

Osservazione 104. II BM non standard si ricava dalla generalizzazione Z, r-;N(J1t, a2t ). Modelli alternativi alIa dinamica del BM proposta da Einstein(1905) sono stati analizzati in letteratura. Ornstein e Uhlenbeck (1930) han-no modellato la velocita invece che la posizione di una particella in un fluido.Quest'ultima risulta cost un p.s. markoviano normale rna con incrementi di-pendenti, II BM rappresenta il caso gaussiano nella pili ampia famiglia deip.s. a incrementi indipendenti (quindi markoviani) e stazionari detti processidi Levy. Un esempio non gaussiano eil processo di Poisson a salti (jump). Perun'introduzione ai processi di Levy si veda Cont e Tankov, 2004.

II BM eanche interpretabile come somma di v.a. (gli incrementi) indipendentied equidistribuite (LLd.) e quindi e un p.s. infinitamente divisibile e vale lalegge forte dei grandi numeri:

. Zthm- == 0 gJ - a.s.ttoo t

ove gJ - a.s. (almost surely) indica che l'insieme degli eventi w in cui laproposizione e falsa ha probabilita nulla.

Per continuita, il BM raggiunge un massimo su ogni intervallo finito ditempo:

u, == max Zs 2: 0O~s~t

con densita (su R+):2 rn 2

fM,(m) = J21fie- 2t

mentre, in tutta la sua storia t > 0, gJ(supZt ::; h) == 0 Vh.t>O

Inoltre il BM infrange tutte le barriere h > 0 == Zo e la data del primopassaggio Th == inf( t > 0 : Z, > h) e una variabile aleatoria (random time)con densita di distribuzione (Cox e Miller, 1965, ch.5):

A.3 Moto browniano 415

L' ordine di grandezza della traiettoria limite e dato dalla legge del loga-ritmo iterato:

Ztlim sup ==+1 ~-a.s.

ttoo V2t ln(ln (t ))con -1 per lim info Poiche il denominatore diverge con t, ne segue che il BMassume qualunque valore tra t e 00 'infinitamente spesso' cioe con un tempomedio di assorbimento infinito.Lo stesso vale per il BM Zsls tra 0 e s == litcioe su un intervallo di tempo comunque piccolo.

Ne segue che, nonostante la sua continuita, il BM e un p.s. fortementeoscillatorio: le stesse traiettorie, sebbene ~ - a.s. continue dappertutto sono~ - a.s. non derivabili dappertutto e a variazione illimitata, essendo lavariazione di Zt su (0,t) definita da:

n-l

sup(L 1 Ztk+l - Ztk I)k=O

ove il supremo esu tutte le partizioni di (0, t), 0 == to < tl < .... < tn == t .Si noti che una funzione a variazione limitata e derivabile quasi dapper-

tutto (l'insieme dei punti di non derivabilita ha misura di Borel nulla) mentreuna martingala a variazione limitata euna costante.

Non e facile immaginare e tanto meno disegnare traiettorie continue inogni punto e non derivabili in ogni punto.

La derivata in media quadratica di un p.s. Xt, se esiste, eun p.s., indicatoda d~t, tale che:

limE ((Xt+h - X t _ dXt?) == 0h~O h dt

Analogamente si definisce la derivata in probabilita, Ma nel caso del BM siha:

Zt+h - Zt rv N(O .!.)h 'h

e quindi

lim (Zt+h - Zt E A) == 0h~O ~ h

con A insieme di Borellimitato. A parole, la probabilita che il rapporto incre-mentale stia in un intervallo limitato tende a 0 al calare di h e quindi il BMnon ederivabile in probabilita (e quindi neppure in media quadratica): e"nonabbastanza continuo" (Holder-continuita di ordine !) da pater essere deri-vabile (Holder-continuita di ordine 1 0 Lipschitz-continuita). Di pili, in ognipunto non emai crescente e mai decrescente, con derivata inf -00 e derivatasup +00 (tale risultato si deve a Dvoretzky, Erdos e Kakutani, 1961).

Teorema 24. di scomposizione di Doob-Meyer (1962). Data una sub-martingala (Xt ) esiste un'unica scomposizione:

p- a.s

416 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

ove M; euna martingala e C; eun processo integrabile, crescente, predictabledetto compensator.

In particolare, data una martingala continua, square integrable [Mi}, M? euna sub-martingala e quindi esiste un'unica scomposizione di M? nella som-ma di una martingala continua N, e di un processo continuo, integrabile,crescenie, predictable a variazione limitata e nullo in t == detto variazionequadratica di M, < M, M >:

Mt2 == s,+ < M, M ,

In termini operativi, la variazione quadratica di M, si ottiene considerandosuccessive partizioni m dell'intervallo (0, t) sempre pili fini::

Per il BM su ha < Z, Z >t== t (p - a.s.) e il BM e anche l'unica martingalaa traiettorie continue con variazione quadratica pari a t (teorema di Levy).Pertanto, si puo scrivere, per ogni incremento infinitesimo:

per cui, intuitivamente, d.Z; ha la dimensione di Vdi mentre per la derivabilitadovrebbe essere di dimensione pili piccola, dt.

Ne segue che Z;- t e una martingala.

A.4 Integrale stocastico e processi diffusivi

Pur non esistendo la derivata del BM, e comunque possibile definire ildifferenziale stocastico del BM:

dZt == Zt+dt - Z; rv N(O, dt)

come processo normale, a media nulla e varianza dt.Analogamente, l'operatore inverso, l'integrale stocastico:

Jg(s)dZsrichiede una definizione specifica dato che Z; ea variazione illimitata e l'in-tegrale non e interpretabile come integrale di Stieltjes (valido per funzioni avariazione limitata).

Una tale definizione e stata fornita da Kiyosi Ito (1944) per la classe deiprocessi stocastici g(w,s) continui non anticipativi e di classe M2 (per cuiE (J I g(s) 12 ds) < 00):

A.4 Integrale stocastico e processi diffusivi 417

Teorema 25. di Ito (1944) dell'integrale stocastico. La successione del-le somme parziali di Ito converge in media quadratica sull'insieme dellepartizioni dell'intervallo (0,t) a un processo detto integrale stocastico (di Ito):

Come l'integrale deterministico, anche l'operatore integrale stocastico elinea-re: f (ag(s) + bf(s))dZs = af g(s)dZs + bf f(s)dZsInoltre, l'integrale, come il BM, e una martingala a media nulla, e un pro-cesso di Markov, ha traiettorie continue rna non derivabili ed eanch'esso nonanticipativo.

In particolare:

1. E(Is I ~t) == E(I; g(v)dZv I ~t) == I~ g(v)dZv == It per ogni t S s;2. E(I~ g(v)dZv ) == 0 per ogni t 2: 0;3. E(IA g(v)dZv . IB f(v)dZv ) == E(IAnB g(v)f(v)dv) (isometria);

4. se g(t) e una funzione deterministica E [(I; g(s)dZs ) 2] = J; g2(s)ds evale It rv N(O, I; g2(s)ds) per cui It e un BM con un cambiamento divariabile nella dimensione temporale: t -+ T(t) == I~ g2(s)ds.

Si dice anche, equivalentemente, che l'integrale stocastico It == I~ g(s )dZs esoluzione dell'equazione differenziale stocastica (SDE):

d.I, == g(t )dZt

e per il teorema di Clark, ogni p-martingala e rappresentabile come integralestocastico.

Teorema 26. di Clark (1970) 0 di rappresentazione delle martingale.Be Z, e un BM e (SSt) e la filtrazione generata da Z, ogni martingala M;rispetto a SSt ha la rappresentazione:

con g(t) processo non anticipativo di classe lv.f2, unico se la martingala einte-grabile. Be g(t) ea.s. non nullo, ogni altra martingala N; si pUG rappresentarecome:

Nt = No +l t h(s)dMscon h(t) processo non anticipativo di classe lv.f2, unico se la martingala N; eintegrabile.

418 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

Osservazione 105. L'integrale di Stratonovich. Un diverso integrale sto-castico, privo della proprieta di rnartingala rna con le usuali regole del calcoloordinario, si ottiene dalla definizione di Stratonovich (1966):

Si veda Sethi e Lehoczky (1981) per un confronto tra i due integrali.

Pili in generale, se X; esoluzione della SDE:

d.X; == a(w, t)dt + g(w, t)dZtX o == Xo

con a(t), g(t) processi non anticipativi di classe M1 e M2 rispettivarnente,ovvero, equivalenternente, se X, esoluzione dell'equazione integrale stocasticadi Ito (SIE):

x, = Xo +it a(w, s)ds +it g(w, s)dZssi dice che X; e un processo di Ito.

Se a(t), g(t) sono anche SSf-rnisurabili si puo scrivere a(x, t) e g(x, t) e lasoluzione Xt, se esiste, si chiarna processo diffusivo. A fini pratici, proces-si diffusivi e processi di Ito rappresentano essenzialrnente la stessa classe diprocessi stocastici.

II teorema di Ito (1951) contiene le condizioni di esistenza e unicita dellasoluzione della SDE.

Teorema 27. di Ito (1951) della soluzione di una SDE. Se a(x, t) eg(x, t) sono processi non anticipativi, di classe M1 e M2, non esplosivi eLipschitz-continui in x; vale a dire:

Ia(x, t) I+ Ig(x, t) I:S kVl + x 2 (condizione di crescita)Ia(x, t)-a(y, t) I+ Ig(x, t)-g(y, t) I:s k Ix-y I (condizione di cotuinuita}

allora esiste un processo X, non anticipativo, di classe M2, markoviano, atraiettorie continue che risolve (strong solution) la SIE:

(A.l)

ovvero, equivalentemente, la SDE:

(A.2)

Inoltre, grazie alla condizione di Lipschitz, la soluzione eunica nel senso delletraiettorie (pathwise unique) poiche se yt e un'altra soluzione, X, == ytVt p - a.s.L 'uniciia forte implica l'uniciui in distribuzione nello spazio dellefunzioni continue 0 traiettorie (eT,ET ).

A.5 SDE e probabilita di transizione 419

II coefficiente a(x, t) si dice drift della SDE mentre il coefficiente g(x, t)si dice volatilita istantanea 0 coefficiente di diffusione della SDE. Attraversoquest'ultima componente, I'aleatorieta entra nella dinamica del processo chealtrimenti sarebbe puramente deterministico (g == 0), guidato da un'equazionedifferenziale ordinaria (ODE).

Se a(x) e g(x) non dipendono direttamente dal tempo la SDE si diceautonoma 0 omogenea e la soluzione X; e un p.s. di Markov e stazionario(omogeneita nel tempo).

Pur non essendo una martingala, la soluzione X, eun processo di Markov,non anticipativo con traiettorie continue non derivabili (semimartingala).

Corollario 4. Un processo diffusivo e una martingala se e solo se ha driftnullo a(Xt , t) == O.

Esempio 48.

1. BM aritmetico 0 non standard:

(A.3)

2. BM geometrico olognormale:

3. processo di Ornstein-Uhlenbeck (OU):

4. processo di Langevin (BM elastico):

b> 0;

5. processo di Feller 0 square-root:

6. processo a parametri deterministici:

d.X; == jl;(t)dt+ a(t)dZt .

A.5 SDE e probabilita di transizione

Date le probabilita di transizione di un processo diffusivo p(s, t, x, y), sottocondizioni di regolarita si possono ricavare le funzioni di drift e di diffusioneche caratterizzano la dinamica del processo:

420 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

lim-1- r (y - x)p(s, t, x, y)dy = a(s, x)

tts t - s JIY-XI~c

lim_1_ r (y - X)2p(S, t, x, y)dy = g(s, x)

tts t - s JIY-XI~c

Viceversa, dato un processo diffusivo X, soluzione della SDE (A.2), epossibiledeterminare, sotto condizioni di regolarita dei coefficienti a, g, Ie probabilitadi transizione. Infatti, sia Ui, (x) una funzione con derivate prima e secondacontinue e sia la trasformata:

U(s, x) = Es,x(Uo(Xt )) = l Uo(y)p(s, t, x, y)dy (A.4)Allora U(s,x) soddisfa la PDE del second'ordine parabolica (detta equazionebackward di Kolmogorov):

1 a2u 2 au au2" ax2 9 (x, s) + ax a(x, s) + {); == 0

limU(s, x) == Uo(Xt )stt

Dalla soluzione U(s, x), dalla funzione finale Uo e da (A.4) si ottiene laprobabilita di transizione P. In particolare si puo considerare la funzionecaratteristica:

Uo (x) == ei AX

U(s, x) == Es,x(eiAXt)

che determina univocamente la distribuzione di probabilita condizionata diX. Per la densita di probabilita p si ha:

1 a2p 2 ap ap2" ax2g (x, s) + ax a(x, s) + as == 0

limp(s, t, x, y) == 8(x - y)stt

con 8(x) funzione di Dirac (nulla dappertutto rna con integrale unitario suR).

Ad esempio nel caso del BM, l'equazione di Kolmogorov e:

1 a2p ap--+-==02 ax2 as

con soluzione omogenea (funzione solo di t - s):

1 (y_x)2p(s, t, x, y) == e- 2(t-s)

y'27r(t-s)

II termine processi diffusivi deriva dal fatto che la PDE soddisfatta dalle pro-babilita di transizione del processo e formalmente identica all'equazione didiffusione del calore in un corpo (heat diffusion equation).

==0Ix=r

A.5 SDE e probabilita di transizione 421

La condizione ulteriore:

p(s, t, a, y) == 0

indica una barriera assorbente in X, == a (es. fallimento). La condizione:

ap(s, t, x, y)ax

indica in r una barriera riflettente (es. garanzia).Nel caso del BM elastico (i.e. un BM sottoposto a una forza elastica, 0

pendolo, verso l'origine, di ampiezza bx proporzionale alla distanza), si ha laseguente equazione backward di Kolmogorov:

~ fj2p (Y2 _ 8p bx + 8p = 02 ax2 ax as

con soluzione:.Jb _b(y_xe-b(t-s) )2

p(S,t,x,y) == e 0-2(1_e- 2b(t-s))V7ra 2 (1 - e-2b(t - s ) )

Dane probabilita del BM si ricava il seguente risultato.

Teorema 28. Distribuzioni del minimo e massimo del BM. Dato ilBM aritmetico (A.3) sia MT == max Xu il massimo tra t e T e sia mT ==

t~u~T

min Xu il minimo del BM. Valgono i seguenti risultati per y 2:: x., x :S y,t~u~T

il primo dei quali enoto come principio di rifiessione:2J-L(Y-Xt )

Prob(XT :S x, MT 2:: y) == e 0-2 Prob(XT 2:: 2y - x - X, + 2J1(T - t))2J-L(y- X d x - 2y + X t - J1(T - t)== e 0-2 N( )

aJT-t

x - X t - J-l(T - t)Prob(XT:::; X,MT:::; y) = N( ~ )-

a T-t2J-L(y- X d x - 2y + X t - J-l(T - t)-e 0-2 N( )

avT-ty - X t - J-l(T - t) 2J-L(y- X d -y + X t - J-l(T - t)

Prob(MT < y) = N( ~ ) - e ,,2 N( ~ )a T-t a T-t

Per y :S x; y :S x si hanno i risultati per il minima:-x + X t + J1(T - t)

Prob(XT ~ x,mT ~ y) = N( ~ )-a T-t

2J-L(Y-Xt ) 2y - x - X t + J-l(T - t)-e 0-2 N( )avT- t

-y + X t + J1(T - t) 2J-L(Y-X t ) Y - X t + J1(T - t)Prob(mT ~ y) = N( ~ ) - e ,,2 N( ~ )

a T-t a T-t

422 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

A.6 Calcolo stocastico di Ito

La teoria di Ito ha consentito di impostare un vero e proprio calcolo stocastico,con le proprie regole di derivazione e integrazione.

Al riguardo vale illemma di Ito (1951)-Doeblin (1940) 0 formula del cam-biamento di variabile, che mostra che la classe dei processi non anticipativi echiusa per trasformazioni regolari.

Lemma 2. di Ito (1951)-Doeblin (1940) 0 formula del cambiamentodi variabile. Nelle ipotesi del teorema di Ito, se X, eun processo diffusivosoluzione di:

dXt == a(Xt , t)dt + g(Xt , t)dZt

e se f (x, t) euna funzione continua con derivate parziali ~{, ~~, ~:{ continue,allora il p.s. yt == f(Xt , t) eancora un processo diffusivo, soluzione della SDE:

Si noti che, a differenza del calcolo ordinario, il differenziale df include untermine quadratico (dXt )2 non trascurabile.

In particolare si ha:

per cui, essendo, banalmente:

ne discendono le regole moltiplicative del calcolo di Ito:

1. (dt)2 == 02. dt dZt == 03. (dZ t )2 == dt

Si noti che in termini integrali, si ottiene la variazione quadratica:

Osservazione 106. La formula del cambiamento di variabile era nota comeformula di Ito fino al maggio 2000 quando fu scoperto un documento inviatoall'Accademia Nazionale delle Scienze nel febbraio 1940 dal soldato franceseWolfgang Doeblin, ucciso poco dopo al fronte, contenente una definizione diintegrale stocastico e la formula del cambiamento di variabile (ri)scoperta poida Ito. Al riguardo si veda Bru e Yor (2002).

A.6 Calcolo stocastico di Ito 423

Esercizio 55. Si calcoli la dinamica di yt == it quando il p.s. X, e un BMgeometrico con SDE:

dXt == J-lXtdt+ aXtdZtSoluzione:

Esercizio 56. Si calcoli la dinamica di yt == In(Xt ) , logaritmo del processo BMgeometrico x., con SDE:

d.X; == J-lXtdt+ aXtdZte si ricavi la soluzione (X t) in forma chiusa.

Soluzione:Si ha:

Pertanto:

1 1 1 2dln(Xt ) == -dXt - --2 (dXt)x, 2 x,

1 2== (J-l - -a )dt +adZt2

e quindi In(Xt ) e un BM aritmetico. La soluzione per X, si ottiene integrando trato e t la SDE:

Calcolando l' esponenziale:

Chiaramente In(Xt ) e (condizionatamente) normale e X, log-normale:

Per la lognorrnalita (v. esercizio seguente):

(A.5)

424 Appendice - Processi stocastici, mota browniano e calcolo sto cast ico

f(x) 0 .5

0.375

0.25

0 .125

15105o-l--- - ----j- - - -+-=====::::=t:====""'l

o 20

Figura A .I. Densit a della distribuzione lognormale LN(O, 1)

e in particolare:

E (X) - EtO(ln X,) +~VartO(ln Xtl - X IJ. (t -to)t o t - e - toe

La moda e la mediana sono:

Moda = Xto e ( IJ. - ~ (7 2 )(t - to )

M edi ana = Xtoe(lJ. - ~(72)(t -tO)

Osservazione 107. Se J.L = 0 si ha che X; euna mar tingala e quindi :E to(Xt) = X to

Eto(e-~ f tto (72 ds+t; (7 dZ s ) = 1

Esempio 49. Per il processo di au:tiX, = (a + bXt)dt + (JdZt

la soluzione e la sua varianza sono dat e da (Arnold, 1974 p. 129):

x, = X toeb(t -to) + ~ [eb(t- t O) - 1] + (J r eb(t -v)d Z vi.V ar (X) = (J2 [e 2b(t- to) ~ 1]

to t 2b .

A.6 Calcolo stocastico di Ito 425

Esercizio 57. Valori medi troncati della normale. Per una variabile X norma-Ie, per cui X f"'V N(m, S2), con densita:

1 (x-m)2f(x) == --e- 28 2

J21rs2

si calcoli I'integrale:

i.B xf(x)dxe i valori medi E(max(O, X - K)) e E(max(O, K - X)).

Soluzione:

l" [ , B - m , A - m ]JA xf(x)dx = -s N (-s-) - N (-s-) +

[ B-m A-m]+m N(-s-) - N(-s-)m-K m-K

E(max(O, X - K)) == sN'(--) + (m - K)N(--)s s

K-m K-mE(max(O, K - X)) == sN'(--) + (K - m)N(--)

s s

x 2

ove N'(x) == N'(-x) == vke-T ,N'(oo) == == N(-oo), N(+oo) == 1, N(-x) ==1- N(x).

Esercizio 58. Valori medi troncati della log-normale. Per una variabile Xlog-normale, per cui In(X) f"'V N(m, S2), con densita log-normale:

1 _ (In(x)-m)2f(x) = y'2;iie 28 2

x 21rs2

si calcolino gli integrali:

i.B x a f(x)dx, LB f(x)dxe i valori medi E(X a ) , E(max(O, X a - K)), E(max(O, K - X a ) ) .

Soluzione:

i.B xaf(x)dx=eam+a2s2j2 [N Cn(B) - ~m +QS2)) _ NCn(A) - ~m +QS2))]

i.B f(x)dx = N Cn(B~ - m) _N Cn(A~ - m)

426 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

E(max(O, X'" - K)) = t: (z" - K) f(x)dx = E(X"')N (d"'l) - K N (d"'2)JK1/a

K 1 / a

E(max(O, K - X"')) =1 (K - x"') f(x)dx = K N (-d"'2) - E(X"')N (-d"'l)In( E(~a)) + a 2~

da. 1 ~ ----=-=------=-as

In( E(~a)) _ a 2~da.2 ~ ~ da.l - as

as

In particolare:

E(max(O, X - K)) = em +s 2 / 2N (m -lnSK) + 82) _ KN (m -~n(K))E(max(O, K - X)) = KN Cn(K~ - m) _em +s 2 /2 N Cn(K) ~m- 8 2)

Esempio 50. BM generalizzato. Un BM (non standard) generalizzato hacoefficienti deterministici 0 time-dependent, funzione (solo) del tempo. Efacilemostrare che continua ad essere un processo normale. Risolviamo la SDE:

d.X; == {L(t)dt + a(t)dZt

Integrando:

per cui:

Analogamente, un BM geometrico generalizzato elog-normale se i coefficientisono deterministici.

Esempio 51. Processo di OU generalizzato. Si consideri il processo ditipo au a parametri time-dependent:

d.X, == (a(t) + b(t)Xt)dt + a(t)dZt

La soluzione, dato Xt, e (Arnold, 1974 p. 129 e Nielsen, 1999 par. 3.4):

x, = H(s)H~l(t)Xt + H(s) 18 H- 1(v)a(v)dv + H(s) 18 H- 1(v)a-(v)dZ(v)H(s) == eJ~ b(v)dv

per cui:

A.6 Calcolo stocastico di Ito 427

X s Ix, rv N(H(s)H-1(t)Xt + H(s) IS H-1(v)a(v)dv,

,H2(s) IS H-2(v)a2(v)dv)

Inoltre, per t :::; s :::; u si ha:

La distribuzione non condizionata e, per X o r"'V N(E(Xo), Var(Xo)):

x, rv N(H(s)E(Xo)+ H(s) is H- 1(v)a(v)dv,,H2(s) [var(xo)+ is H- 2(V)a2(v)dv]

Cov(XS ' Xu) = H(s)H(u) [var(xo) + is H- 2(V)a2(v)dv]Esercizio 59. Date Ie SDE:

d.S, == J-lsStdt + O"sStdZtdB t == rBtdt

si calcoli la SDE per ~~ e quella per ~:. Si mostri che per J-l s == r il rapporto t euna martingala.

Esercizio 60. (Doleans Dade, 1970) Si ricavi la soluzione della SDE:

dXt == Xtg(t)dZtX o == 1

che in forma integrale e:x, = 1 + It Xsg(s)dZs

con Eu(Xt ) == 1 per ogni u < t e per ogni processo g(t) non anticipativo di classeM 2 , non esplosivo e Lipschitz-continuo.

428 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

Soluzione:Calcoliamo la SDE per In(Xt ) :

da cui, integrando e facendo l'esponenziale si ricava la soluzione cercata:

X - -!JJg2(s)ds+JJg(s)dZ

st - e

Si noti che X; euna martingala con valore iniziale 1 e dunque ha media 1:

Dalla proprieta di martingala:

Per g(t) == 1 si ha:

dXt == XtdZt

Xo == 1X; == e-!t+Zt

Nel calcolo ordinario dX == XdZ ha invece soluzione X == eZ .

Teorema 29. di integrazione per partie

1S f(v)g'(v)dv = f(s)g(s) - f(t)g(t) -1s f '(v)g(v)dv1s Xvdv = x, - Xtt - 1s v ax,

Ad esempio:

Teorema 30. di Fubini sull'ordine di integrazione deterministica estocastica.

it is g(s, u)duds = it (is g(s, U)dU) ds= l t (it g(s,U)dS) du = l t it g(s, u)ds du

A.7 La soluzione di una PDE come valor media 429

1t18 g(s, u)dZuds = 1t (18 g(s, U)dZu) ds= 1t([t g(s,U)dS) dZu = 1t[t g(s,u)ds az;

1t 18 g(s, u)dZudZ8 =1t (18 g(s, U)dZu) dZ8= 1t([t g(S,U)dZ8) dZu = 1t[t g(S,U)dZ8 dZu

Ad esempio:

1tZ8ds = 1t18 dZuds = 1t[t ds az; = 1t(t - u)dZuiT iU a(v)dvdu = iT a(v) iT dudv = iT a(v)(T - v)dv

Cfr. Heath, Jarrowe Morton (1992), Musiela e Rutkowski (2005, p. 391).

A.7 La soluzione di una PDE come valor medio

Teorema 31. di Feynman (1948)-Kac (1951) di soluzione di unaPDE. L'equazione alle derivate parziali lineare parabolica (PDE) della fun-zione V(Xt , t):

1 a2v 2 av av2 ax2 9 (Xt , t) + ax a(Xt , t) + at - R(Xt , t)V + D(Xt , t) == 0 (A.6)V(XT, T) == tf/(T)

ove X, eun p.s. descritto dalla SDE:

d.X; == a(Xt , t)dt + g(Xt , t)dZt

ha soluzione rappresentata dal valor medio:

Viceversa, la soluzione (A.7) soddisfa il problema PDE (A.6).

Osservazione 108. Per D(Xt , t) == 0 si ha la semplificazione:

/

+00V(Xt , t) = e, (e-Ut R(Xso8)d8- 1n W(T l) ) = -00 e~Yf(Y)dY =.2 [f(Y)] (1)

430 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

essendo Y = ftT R(Xs , s)ds - In!li(T), f(Y) la sua densita di probabilita e~ [f(Y)] (v) = f~: e-v Y f(Y)dY la trasformata di Laplace (1749-1827) dif(Y): v. Minenna (2006) cap. 9. Vale il viceversa, per cui la trasformata diLaplace ~ [f(Y)] (v) soddisfa il problema PDE:

1a2~ 2 a~ a~2" ax2 g (Xt , t) + ax a(Xt , t) + at - vRi X,t)!t' = 0

[XT , T] (v) == !li(T)V

A.8 Probabilita equivalenti e teorema di Girsanov

Due misure di probabilita, peN, sullo stesso spazio misurabile ([2,~) si diconoequivalenti se, per ogni A E ~:

p(A) == 0 {:} N(A) == 0

vale a dire se condividono gli stessi eventi a probabilita nulla e a probabilitapositiva.Vale il teorema di Radon-Nikodym.

Teorema 32. di Radon-Nikodym Bulla derivata di probabiliia equi-valentia) Be peN sono equivalenti, esiste una v.a. non negativa A(w) = ~~(w) taleehe, per ogni A E ~:

~(A) = i ~~ (w)dp(w)Tale v.a. si diee derivata di Radon-Nikodym di N rispetto a p.

Il suo valor medio in p eunitario:

Bi noti ehe A- 1 = ~~.b) In generale vale:

e) Ponendo:

si ha ehe At euna martingala:

e dal teorema delle probabilito. eondizionate:

A.8 Probabilita equivalenti e teorema di Girsanov 431

d~ A

d~ It At

e quindi:d~

E(- I ~t) == 1d~ It

per cui d~ euna ~-martingala a media condizionata unitaria.d~ It

d) In generale X, euna ~-martingala se e solo se XtAt una ~-martingala.

E~(Xs I ~t) == E(Xs ddN I 'St) = E(Xs AA l'St)~ It t

= E(XsE( ~t I 'Ss) I 'St) = E(Xs~: I 'St)

Corollario 5. Be C(t) e D(t) sono ~-martingale a valori positivi il rapporto

gi~j e una v"-martingala essendo v" la misura definita dalla derivata diR d N 'k d A - D(T) .a on- Z 0 ym - D(O) , i.e.

D ! D(T)p (A) = A D(O) dp

Esempio 52. La v.a. definita da:

d~* _ AT e- ftT r(u)du- --dfJ It - At Et (e- ftT r(U)du)

euna g3-martingala a media condizionata unitaria e rappresenta la derivata diRadon-Nikodym di una nuova misura ~* rispetto alla data misura g3 e si ha:

Equivalentemente, essendo:

il prezzo di un titolo che non paga dividendi si ha:

432 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

II teorema di Girsanov (noto anche come formula di Cameron-Martin)consente di trasformare SDE e processi definiti in uno spazio di probabilita inSDE e processi diversi, definiti in spazi di probabilita equivalenti, che danno1uogo agli stessi sentieri cam pionari.

Teorema 33. di Girsanov (1960) 0 di Cameron-Martin (1944) 0 delcambiamento di drift. Dato il set-up (a,. (~f), p), se CPt eun processonon antieipativo eke soddisfa la eondizione di Novikov E (e! g 1'Ps 12 dS) < 00allora si ha che:

a) il processo M, definito da:

(A.8)

euna martingala a media unitaria, E(MT) == 1;diJb) la misura p, definita dalla derivata di Radon-Nikodym d~

equivalente a p;

c) il processo z, definito da:

ovvero dalla SDE:(A.9)

eun BM rispetto alia misura p.Viceversa, se pe una misura equivalente a p, la derivata di Radon-Nikodym

definisce una martingala M, == ~: a media unitaria rappresentabile come in(A. 8) mediante un processo non anticipativo CPt che rappresenta il drift delp-BM z, rispetto alla misura p come rappresentato in (A. 9).

Corollario 6. Dato il set-up (D,~, (~f), p), il processo diffusivo X t soluzio-ne della SDE:

d.X, == a(Xt, t)dt + g(Xt, t)dZtpUG essere rappresentato come soluzione della SDE:

sul nuovo set-up (fl,~, (~!), p), in cui z, eun BM, mentre nel vecchio set-upera un processo diffusivo:

e p e la nuova misura di probabilitd, equivalente alla precedente e definitadalla derivata di Radon-Nikodym:

A.8 Probabilita equivalenti e teorema di Girsanov 433

dp(X t) == e-! J~lb(X,s)12ds-J~ b(X,s)dZsdp t,

essendob(X t , t) un p.s. non antieipativo ehe soddisfa la eondizione di N ovikov.In partieolare, per b(X t , t) == a((~t '~)) la diffusione X; euna martingala rispetto9 t,al nuovo set-up e quindi:

E(Xs I ~t) == x,

Osservazione 109. Definendo a(Xt , t) == a(Xt , t) - g(Xt , t)b(Xt , t) si ha chele seguenti SDE:

d.X, == a(Xt , t)dt + g(Xt , t)dZtdXt == a(Xt , t)dt + g(Xt , t)dZt

definiscono due processi diversi, con diversi drift ed eguali BM (stesso spazio),X(a, Z) # X(a, Z). Viceversa, i due processi:

d.X, == a(Xt , t)dt + g(Xt , t)dZtd.X; == a(Xt , t)dt + g(Xt , t)dZt

via teorema di Girsanov, pur avendo diversi drift e diversi BM, rappresentano10 stesso processo (nel senso delle traiettorie e delle distribuzioni) su due spazidiversi, X(a, Z) == X(a, Z). Infine i due processi:

dXt == a(Xt , t)dt + g(Xt , t)dZtd.X; == a(Xt , t)dt + g(Xt , t)dZt

sono diversi in quanto hanno 10 stesso drift rna diversi BM (spazi diversi),X(a, Z) # X(a, Z).

Osservazione 110. Si noti che il teorema di Girsanov, oltre alle applicazioninel pricing dei derivati, e utile anche nella stima dei parametri di drift, {j,delle SDE:

d.X; == a(Xt , t; {j)dt + g(Xt , t)dZtSi tratta infatti di considerare il vero valore r{}o nella dinamica del veroprocesso:

d.Y, == a(Yt, t; r{}o )dt + g(Yt, t )dZte di calcolare 10 stimatore di massima verosimiglianza (MLE), :0, che massi-mizza il rapporto di verosimiglianza:

A dP{)r{} == arg max dP

{) {)o

ove p{) e p{)o sono misure equivalenti, indotte rispettivamente da X, e da Ytsullo spazio misurabile delle funzioni continue, (CT , BT ) mentre il rapportodi verosimiglianza (e 10 score vector) e una martingala rispetto a entrambele misure. Per approfondimenti e rinvii alla letteratura si veda Cesari (1989),Cesari (1992a, parte II), Bianchi, Cesari e Panattoni (1994).

434 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

Teorema 34. del cambiamento del tempo. Ogni processo diffusivo rispet-to alla filtrazione (C;St, 0 :S t :S T) eun BM con un cambiamento del tempo (0della filtrazione).

In particolare, sia:

dXt == g(t)dZt

T(i) == It g2(s)dsAllora X; == ZT(t) dove Z; e un BM rispetto alla filtrazione tv == C;ST- 1 (v),o :S v :S r(T). Gfr. Nielsen (1999, p. 94)

A.9 Processi stocastici multidimensionali

I risultati precedenti si possono estendere al caso multivariato, sebbene conalcune complicazioni: infatti, come notato da Breiman (1968, p. 390), "la pro-prieta essenziale del caso unidimensionale che non si generalizza e che se unprocesso a traiettorie continue va da x a y allora deve passare attraverso tuttii punti tra x e y". Cia non vale per un processo multivariato, rappresentatodal vettore colonna Nx1, X(t) == (Xl (t), X 2(t), ....., XN(t))' in cui Xi(t) so-no processi stocastici univariati. Di qui l'immagine di Kakutani: "un uomoubriaco trova sempre la sua casa, un uccello ubriaco eperso per sempre" .

A.9.l Processi diffusivi con BM indipendenti

Nel caso dei processi diffusivi si perviene alla SDE multidimensionale, vetto-riale:

dX(t) == A(X, t)dt + G(X, t)dZ(t)ove:

A(X, t) ==

e un vettore N xl di drift, mentre:

ai(X, t)

glK(X, t)g2K(X, t)

giK(X, t)G(X, t) ==

gll (X, t) g12(X,t) glj(X, t)g21 (X, t) g22(X,t) g2j(X, t)

gil (X, t) gi2(X, t) gij(X, t)

gN1(X, t) gN2(X, t) gNj(X, t) .... gNK(X, t)

A.9 Processi stocastici mul tidimensionali 435

euna matrice N xK di coefficienti di diffusione, con K dimensione del vettoreZ(t) che rappresenta un moto browniano multidimensionale standard,

Z(t) ==

1 0 0o 1 .. 0

o 0 .... 1

essendo IK la matrice identita di dimensione K.In questo caso, i BM unidimensionali sono tra loro non correlati e quindi

indipendenti:

La SDE multidimensionale con BM indipendenti si scrive anche, per riga:

dXi(t) == ai(X, t)dt + g~(X, t)dZ(t) i==l, ... ,N

con g~ (X, t) == (gi,l(X, t), .....,gi,k(X, t), ....,gi,K(X, t)) vettore riga 1xK diG(X, t).

A.9.2 Processi diffusivi con BM correlati

Se i BM sono correlati si ha la SDE:

dXi(t) == ai(X, t)dt + ai(X, t)dWi(t)dW(t) rv N(O, Rdt)

ove i BM Wi sono tra loro correlati:

i === 1, ... , N

con R == [Pij(t)] matrice delle correlazioni (simmetrica e definita positiva) ePij E] - 1, 1[ per i "I- j e Pii == 1 per ogni i.

In tal caso si puo trasformare la SDE in modo da ottenere BM indipen-denti.

Si tratta di fattorizzare la matrice R, ad esempio con la diagonalizzazione:

ove T ela matrice ortonormale degli autovettori (ortogonali tra loro e norma-lizzati a 1) e D). e la matrice diagonale dei corrispondenti autovalori. In talmodo si ottiene:

436 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

dX(t) == A(X, t)dt + Da(X, t)ry'f);dZ(t)

con Da(X, t) == diag(al(X, t), ..., aN(X, t)) e Z(t) BM N-dimensionale stan-dard.

In alternativa, vale la scomposizione di Cholesky (1905) secondo cuiogni matrice simmetrica definita positiva R puo essere fattorizzata medianteun'unica matrice triangolare inferiore L in modo che:

R == L L'

con L == [Li j ] e:

In tal modo la SDE diventa:

j == i + 1, i + 2, .... , N

dXi(t) == ai(X, t)dt + ai(X, t)LdZ(t)dZ(t) rv N(O, IKdt)

Esempio 53. Per N == 2 si ha:

dXi(t) == ai(X, t)dt + ai(X, t)dWi(t)dW1dW2 == pdt

Con la diagonalizzazione:

i==l, ... ,N

i == 1, 2

r == [1/0 1/0 ]1/0 -1/0

D==[l+ P 0]A 0 1-p

e quindi, trascurando le dipendenze funzionali:

ove dZ1 e dZ2 sono BM indipendenti.Con la triangolarizzazione di Cholesky:

L_[l 0 ]-p~

A.9 Processi stocastici multidimensionali 437

e quindi, per dZ1 == dW1 e dZ1dZ2 == 0:

dX1(t) == a1dt + 0"1 [dZ1(t) + O dZ2(t)]dX2(t) = a2dt+ 0"2 [pdZ1(t) + ~dZ2(t)]

Si noti che pZ1 (t) +~Z2(t) eun BM per il teorema di caratterizzazionedi Levy.

Lemma 3. di Ito (1951)-Doeblin (1940) multidimensionale. Nelle ipo-tesi del teorema di Ito, se X( t) e un processo diffusivo N -dimensionale,soluzione di:

dXi(t) == ai(X, t)dt + g~(X, t)dZ(t) i==l, ... ,N

e se f(X1, X2, ... , XN, t) e una funzione continua con derivate parziali ~{,af a

2fa

2fti II 'l "\7 f(X t) , dff .-a., -a2, -a.a . con uiue, a ora z p.s . .It == , e un processo i usiuo

X1, Xi X1, X J

unidimensionale, soluzione della SDE:

Esercizio 61. Siano Xl (t), X 2 (t) due processi con dinamica (a coefficienti stocasti-ci):

dXl == J.11Xldt + O"lXldWldX2 == J.12X2dt + 0"2X2dW2

dWl dW2 == P12 dt

Calcoliamo la dinamica di Y (t) == ~~ ~ ~ ~ .

Svolgimento.

ay ay 1 a2y 2 1 a2y 2 a2ydY(t) = oX1ax, + oX2dX

2+2oX? (dX1 ) +2 oX? (dX2) + OX10X2 dX1dX2

1 Xl 1 X 12X2 2 1== -dXl - -dX2 + --- (dX2) - -dXldX2X 2 X~ 2 Xi X~

== ydXl _ ydX2 + Y (dX2)2 _ ydXl dX2Xl X 2 X 2 Xl X 2

== Y(J.11 - J.12 + O"~ - 0"10"2P12)dt + YO"ldWl - Y0"2dW2

(A.I0)

438 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

Esempio 54. Si supponga che Xl (t), X 2 (t ) siano due processi lognormali conBM correlati:

dX1 == J-l1 X1dt + 0"1 X1dW1dX2 == J-l2 X 2dt + 0"2 X2dW2

dW1dW2 == P12dt

Allora anche Y(t) == Xl (t)X2(t) elog-normale con dinamica:dY == X 2dX1+ X 1dX2 + dX1dX2

== Y (J-l1 + J-l2 + P120"10"2) dt + Y (0"1 dW1 + 0"2 dW2)

== Y (/-ll + /-l2 + P12 lT1O"2) dt + Y JlTI +d + 2P12lTIlT2dWdWdW == 0"1 + P120"2 dt

1 . / 2 2V 0"1 + 0"2 + 2P120"10"2

dWdW == 0"2 + P120"1 dt2 . / 2 2

V 0"1 + 0"2 + 2P120"10"2ove, dal teorema di Levy, W eun BM standard in modo che 0"W ha la stessadistribuzione di probabilita di 0"1WI + 0"2W2 vale a dire O"dW g 0"1dW1 +0"2dW2 da cui 0"2 == O"i + O" + 2P120"10"2.

In particolare, il valor medio di YQ si calcola come:

Eta(YQ(t)) == Y Q(to)eQ(J.ll+J.l2- !(ai+a;))(t-ta)+Q2 (ai+a;+2P12a1a2 )(t-ta)/2

Teorema 35. di Feynman (1948)-Kac (1951) multidimensionale. L'e-quazione alle derivate parziali lineare parabolica (PDE) della funzione V (Xt , t) :

1 N N a2v N av"2 L L 8Xi8xj lTi(X, t)lTj(X, t)Pij(t) + L 8Xi ai(X, t)+

2 J 2

av+at - R(X, t)V + D(X, t) == 0V(X, T) == tf/(T)

ove X(t) eun p,s. N-dimensionale descritto dal sistema di SDE:dXi(t) == ai(X, t)dt + O"i(X, t)dWi(t)

dWi(t)dWj(t) == pij(t)dt

i==I, ... ,N

ha soluzione rappresentata dal valor medio:

V(X, t) = e, (W(T)e- Jt R(X,s)ds + [T D(X, s)e- t: R(X,U)dUdS) (A.ll)

Vale anche il viceversa per cui la soluzione (A.ii) soddisfa il problema PDE(A.l0).

A.IO La formula stocastica di Taylor e la discretizzazione di una SDE 439

Teorema 36. di Girsanov multidimensionale. Dato il set-up ([2,~,(~~), p), se

440 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

Se f(X, t) euna funzione reale con derivate parziali continue, dal Lemmadi Ito si ha, usando il pedice per le derivate parziali e trascurando gli argomentidelle funzioni:

f(X(t),t) = f(X(to),to) + 1: [ft + fxa+ ~fxx(J2] du+ 1: fx(JdW(u)Per f(x) == x si ottiene (A.12); per f(x, s) == a(x, s) e f(x, s) == a(x, s) siottiene:

a(X(s),s) = a(X(to),to) + 1: [at +axa+ ~axx(J2] du+ 1: ax(JdW(u)(J (X(s), s) = (J(X (to), to) + 108 [(J t + (Jxa + ~ (Jxx(J2] ds +1: (Jx(JdW (u)

che sostituiti nella SIE (A.12) danno la formula di Taylor stocastica (Kloedene Platen, 1992, cap. 5, Kloeden, Platen e Schurz, 1994, cap. 2, Glasserman,2004, cap. 6):

X(t) == X(to) + a(to)1t ds +to

+1t18 [at(u) + ax(u)a(u) + !axx(uk 2(u)] du ds +to to 2

+it i8

ax(u)(J(u)dW(u)ds + dto) it dW(s) +to to to

+it i8

[(Jt(U) + (Jx(u)a(u) + !(Jxx(U)(J2(U)] du dW(s) +to to 2

+it

i8

(Jx(u)(J(u)dW(u)dW(s)to to

Raccogliendo gli integrali doppi in un resto R1 e trascurandolo si ha l'appros-simazione di Euler:

X(t) ~ X(to) + a(X(to), to)(t - to) + a(X(to), to)(W(t) - W(to))== X(to) + Euler

ove il termine stocastico di Euler eu(t) rv N(O, t - to).Viceversa, sostituendo negli integrali doppi le corrispondenti formule di

Taylor e raccogliendo in R2 gli integrali tripli si ha:

A.I0 La formula stocastica di Taylor e la discretizzazione di una SDE 441

X(t) == X(to) + a(to)it ds + +a(to) it dW(s) + (A.13)to to

+ax(to)a(to) r l' dW(u)dW(s) +Jto i

+ [at (to) + ax(to)a(to)+ ~axx(to)a2(to)] it is du ds +2 to to

+ax(to)a(to) r t dW(u)ds +i; i;+ [at(to) + ax(to)a(to) + ~axx(to)a2(to)] it is du dW(s) + R2

2 to to

Ma vale, usando il Lemma di Ito per W 2(t) e per tW(t):

ltls 1du ds == -(t - to)2to to 2i

t is dW(u)dW(s) = it(W(s) ~ W(to)dW(s)to to to

= W(t)2 - W(tO)2 - (t - to) ~ W(to)(W(t) _ W(to))2

(W(t) - W(tO))2 - (t - to)2

it is dW(u)ds = (t - to)(W(t) - W(to)) - tis du dW(s)

to to Jto toSi ricava cosi, da (A.13), considerandone solo le prime due righe, l'approssi-mazione di Milstein:

X(t) ~ X(to) + Euler + ax(to)a(to) it is dW(u)dW(s)to to

== X(to) + Milstein

ove il termine stocastico, oltre quello di Euler, e anche u(t)2-;(t-tO)(t-;to)X2(1,1) (chi quadro non centrale).

Inoltre si ha:

442 Appendice - Processi stocastici, moto browniano e calcolo stocastico

Per cui anche l'altro integrale doppio ha la stessa media, varianza ecovarianza con gli incrementi del EM:

Eta (1: 1: dW(U)dS) = 0Varta (rt t dW(U)dS) = ~(t - to)3

Jta Jta 3

COVta ( rdW(s), r t dW(U)dS) = ~(t - to)2t; Jta t; 2

Pertanto, sempre da (A.13), trascurando il resto R2 e sfruttando l'equidistri-buzione degli integrali doppi appena visti si ottiene l'approssimazione diTalay:

X(t) ~ X(to) + Milstein +

[1 2] 1 2+ at(to) + ax(to)a(to)+ 2axx(to)a (to) 2(t - to) +

+ [ax(to)a(to)+at(to)+ax(to)a(to)+~axx(to)a2(to)] r r~u dW(s)2 t; t;

in cui, oltre ai termini stocastici di Euler e di Milstein, ne entra un altroesprimibile come ~(t - to)(u(t) + ~v(t)), ove u e v sono indipendenti e N(O,t - to). Si veda Kloeden, Platen e Schurz (1994) p. 181, Glasserman (2004),cap. 6 e Bianchi, Cesari e Panattoni (1994) per un'applicazione.

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