variabili casuali processi stocastici moto browniano...

Click here to load reader

Post on 17-Jul-2018

213 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilit

    Uno spazio di probabilit una terna (,A, P), dove uninsieme qualunque (in genere pensato come linsieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A detta-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipu calcolare una probabilit,e P() appunto una misura diprobabilit su (P : 7 [0, 1]).

    Per la precisione, una -algebra una famiglia di insiemi taliche

    A;se A A allora anche il suo complementare A in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilit

    Uno spazio di probabilit una terna (,A, P), dove uninsieme qualunque (in genere pensato come linsieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A detta-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipu calcolare una probabilit,e P() appunto una misura diprobabilit su (P : 7 [0, 1]).

    Per la precisione, una -algebra una famiglia di insiemi taliche

    A;se A A allora anche il suo complementare A in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilit

    Uno spazio di probabilit una terna (,A, P), dove uninsieme qualunque (in genere pensato come linsieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A detta-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipu calcolare una probabilit,e P() appunto una misura diprobabilit su (P : 7 [0, 1]).

    Per la precisione, una -algebra una famiglia di insiemi taliche

    A;se A A allora anche il suo complementare A in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilit

    Uno spazio di probabilit una terna (,A, P), dove uninsieme qualunque (in genere pensato come linsieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A detta-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipu calcolare una probabilit,e P() appunto una misura diprobabilit su (P : 7 [0, 1]).

    Per la precisione, una -algebra una famiglia di insiemi taliche

    A;se A A allora anche il suo complementare A in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilit

    Uno spazio di probabilit una terna (,A, P), dove uninsieme qualunque (in genere pensato come linsieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A detta-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipu calcolare una probabilit,e P() appunto una misura diprobabilit su (P : 7 [0, 1]).

    Per la precisione, una -algebra una famiglia di insiemi taliche

    A;se A A allora anche il suo complementare A in A;unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilit

    Ad esempio: nellesperimento lancio di un dado, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A la -algebra generata dagli eventielementari di , cio di fatto, quelli per i quali possibilecalcolare una probabilit.

    Ad esempio E = numero pari = {2, 4, 6}, F = numeromaggiore di 4 = {5, 6}. G = numero 7 appartiene a A?

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilit

    Ad esempio: nellesperimento lancio di un dado, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A la -algebra generata dagli eventielementari di , cio di fatto, quelli per i quali possibilecalcolare una probabilit.

    Ad esempio E = numero pari = {2, 4, 6}, F = numeromaggiore di 4 = {5, 6}. G = numero 7 appartiene a A?

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Spazio di probabilit

    Ad esempio: nellesperimento lancio di un dado, = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A la -algebra generata dagli eventielementari di , cio di fatto, quelli per i quali possibilecalcolare una probabilit.

    Ad esempio E = numero pari = {2, 4, 6}, F = numeromaggiore di 4 = {5, 6}. G = numero 7 appartiene a A?

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Esempio di misura di probabilit

    Se il dado non truccato, cio gli eventi elementari sonoequiprobabili, allora

    P(E) =#casi favorevoli a E#casi possibili di

    cio, negli esempi di sopra

    P(E) =#{2, 4, 6}

    #{1, 2, 3, 4, 5, 6}=

    36

    =12

    P(F ) =#{5, 6}

    #{1, 2, 3, 4, 5, 6}=

    26

    =13

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Outline

    1 Richiami di calcolo delle probabilitVariabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilit (,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da in R(X : 7 R),ovvero

    A B(R),B A : X1(A) = B

    cio tale per cui sempre possibile misurare attraverso Plinsieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilit P sullo spazio di partenza:

    P(X A) = P({ : X1(A)}) = P(B), A R, B A

    Nella notazione di sopra B(R) detta -algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B unaparticolare -algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilit (,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da in R(X : 7 R),ovvero

    A B(R),B A : X1(A) = B

    cio tale per cui sempre possibile misurare attraverso Plinsieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilit P sullo spazio di partenza:

    P(X A) = P({ : X1(A)}) = P(B), A R, B A

    Nella notazione di sopra B(R) detta -algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B unaparticolare -algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilit (,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da in R(X : 7 R),ovvero

    A B(R),B A : X1(A) = B

    cio tale per cui sempre possibile misurare attraverso Plinsieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilit P sullo spazio di partenza:

    P(X A) = P({ : X1(A)}) = P(B), A R, B A

    Nella notazione di sopra B(R) detta -algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B unaparticolare -algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilit (,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da in R(X : 7 R),ovvero

    A B(R),B A : X1(A) = B

    cio tale per cui sempre possibile misurare attraverso Plinsieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilit P sullo spazio di partenza:

    P(X A) = P({ : X1(A)}) = P(B), A R, B A

    Nella notazione di sopra B(R) detta -algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B unaparticolare -algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali

    Dato un spazio di probabilit (,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da in R(X : 7 R),ovvero

    A B(R),B A : X1(A) = B

    cio tale per cui sempre possibile misurare attraverso Plinsieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilit P sullo spazio di partenza:

    P(X A) = P({ : X1(A)}) = P(B), A R, B A

    Nella notazione di sopra B(R) detta -algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B unaparticolare -algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali: misurabilit

    Ad esempio, sia lo spazio campionario relativoallesperimento lancio di un dado. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X () = -1, per = 1 o 2, X () = 0, per = 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X 0) si devericorrere agli eventi su , ovvero

    P(X 0) = P(X {0,+1})= P({ : X () = 0} ({ : X () = +1})= P({ : X1({0,+1})})

    = P({3, 4, 5, 6}) = 46

    come si vede, X1({0,+1}) = B deve essere un insieme della-algebra A per poterne calcolare la probabilit e quindiottenere P(X 0).

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali: misurabilit

    Ad esempio, sia lo spazio campionario relativoallesperimento lancio di un dado. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X () = -1, per = 1 o 2, X () = 0, per = 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X 0) si devericorrere agli eventi su , ovvero

    P(X 0) = P(X {0,+1})= P({ : X () = 0} ({ : X () = +1})= P({ : X1({0,+1})})

    = P({3, 4, 5, 6}) = 46

    come si vede, X1({0,+1}) = B deve essere un insieme della-algebra A per poterne calcolare la probabilit e quindiottenere P(X 0).

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali: misurabilit

    Ad esempio, sia lo spazio campionario relativoallesperimento lancio di un dado. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X () = -1, per = 1 o 2, X () = 0, per = 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X 0) si devericorrere agli eventi su , ovvero

    P(X 0) = P(X {0,+1})= P({ : X () = 0} ({ : X () = +1})= P({ : X1({0,+1})})

    = P({3, 4, 5, 6}) = 46

    come si vede, X1({0,+1}) = B deve essere un insieme della-algebra A per poterne calcolare la probabilit e quindiottenere P(X 0).

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali: distribuzione

    Nella prassi comune di costruisce una tantum la funzione diripartizione di X :

    F (x) = P(X (, x ]), x R

    e da questa si derivano tutte le altre probabilit di interessesenza dover ricorrere alla misura di probabilit sullo spazio dipartenza.

    La questione della misurabilit delle variabili aleatorie rilevante, e lo sar soprattutto nello studio dei processi, poichalle -algebre legata la nozione di informazione di unesperimento (soprattutto in ambito finanziario).

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variabili casuali: indipendenza

    Due variabili casuali X ed Y si dicono indipendenti se

    P(X A, Y B) = P(X A)P(Y B)

    ci vuol dire che la probabilit con cui X assume i suoi valorinon influenzata da quella con cui Y assume i suoi.Ovviamente A e B sono due sottoinsiemi di R.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Outline

    1 Richiami di calcolo delle probabilitVariabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi stocastici

    Un processo stocastico una famiglia di variabili casuali {X , } definita su a valori in R. Quindi le variabilialeatorie (misurabili per ogni ) che costituiscono ilprocesso sono funzioni del tipo X (, ) 7 R.

    Per un fissato valore di , diciamo , X (, ), vista comefunzione di rappresenta levoluzione del processo elinsieme dei valori

    {X (, ), }

    viene chiamato traiettoria del processo.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi stocastici

    Un processo stocastico una famiglia di variabili casuali {X , } definita su a valori in R. Quindi le variabilialeatorie (misurabili per ogni ) che costituiscono ilprocesso sono funzioni del tipo X (, ) 7 R.

    Per un fissato valore di , diciamo , X (, ), vista comefunzione di rappresenta levoluzione del processo elinsieme dei valori

    {X (, ), }

    viene chiamato traiettoria del processo.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Traiettorie dei processi

    Ad esempio, se = N, e le Xn, n N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che un processo in tempodiscreto, a volte chiamato campione bernoulliano ed allabase delle pi utilizzate procedure statistiche.

    Se invece come prendiamo lasse dei tempi [0,), allora (Xt ,t 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta levoluzione temporale del processoX .

    Quindi, ogni valore di genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie una possibilerealizzazione del processo.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Traiettorie dei processi

    Ad esempio, se = N, e le Xn, n N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che un processo in tempodiscreto, a volte chiamato campione bernoulliano ed allabase delle pi utilizzate procedure statistiche.

    Se invece come prendiamo lasse dei tempi [0,), allora (Xt ,t 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta levoluzione temporale del processoX .

    Quindi, ogni valore di genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie una possibilerealizzazione del processo.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Traiettorie dei processi

    Ad esempio, se = N, e le Xn, n N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che un processo in tempodiscreto, a volte chiamato campione bernoulliano ed allabase delle pi utilizzate procedure statistiche.

    Se invece come prendiamo lasse dei tempi [0,), allora (Xt ,t 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta levoluzione temporale del processoX .

    Quindi, ogni valore di genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie una possibilerealizzazione del processo.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi stocastici e finanza

    In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)attraverso processi stocastici. Losservazione empirica di unasuccessione di quotazioni/prezzi/etc sar losservazione di una(e una sola) particolare traiettoria del processo.

    Fissato invece un istante t = t , se facciamo variare ,allora X (t , ) fornisce la distribuzione del processo al tempo t .In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti neltempo (h > 0), quali saranno i valori pi probabili (quotazioni) diun particolare prodotto finanziario alla luce dellinformazioneraccolta sul fenomeno sino al tempo t .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi stocastici e finanza

    In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)attraverso processi stocastici. Losservazione empirica di unasuccessione di quotazioni/prezzi/etc sar losservazione di una(e una sola) particolare traiettoria del processo.

    Fissato invece un istante t = t , se facciamo variare ,allora X (t , ) fornisce la distribuzione del processo al tempo t .In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti neltempo (h > 0), quali saranno i valori pi probabili (quotazioni) diun particolare prodotto finanziario alla luce dellinformazioneraccolta sul fenomeno sino al tempo t .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni

    Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t 0), si pu associare,per ogni t una -algebra che indichiamo conFt = (X (s); 0 s t) (la -algebra generata da X (t)), cio lapi piccola -algebra di A che rende X (s, ) misurabile perogni 0 s t . Questa -algebra (che deve contenere anchegli insiemi di misura nulla di A) linsieme pi piccolo disottoinsiemi di che ci permette di calcolare tutte le probabilitrelative ad eventi che riguardano X (t).

    La famiglia di -algebre (Ft , t 0) viene chiamata filtrazionenaturale del processo ed tale per cui Fs Ft , per s < t .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni

    Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t 0), si pu associare,per ogni t una -algebra che indichiamo conFt = (X (s); 0 s t) (la -algebra generata da X (t)), cio lapi piccola -algebra di A che rende X (s, ) misurabile perogni 0 s t . Questa -algebra (che deve contenere anchegli insiemi di misura nulla di A) linsieme pi piccolo disottoinsiemi di che ci permette di calcolare tutte le probabilitrelative ad eventi che riguardano X (t).

    La famiglia di -algebre (Ft , t 0) viene chiamata filtrazionenaturale del processo ed tale per cui Fs Ft , per s < t .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni: esempio

    Le filtrazioni sono dunque successioni di -algebre crescenti.Vediamo un esempio. Pensiamo al lancio di una moneta. Irisultati sono T o C con uguale probabilit. Possiamo associarea questo esperimento la -algebra costruita su [0, 1] nelseguente modo: associamo al risultato T lintervallo [0, 1/2) e aC lintervallo [1/2, 1] e le relative probabilit alle lunghezzedegli intervalli corrispondenti (mis. Lebesgue), ovveroP(T ) = P([0, 1/2)) = 1/2, P(C) = P([1/2, 1]) = 1/2. quindi

    F1 = {, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1]}

    una -algebra.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni: esempio

    Supponiamo ora che lesperimento continui con un lanciosuccessivo della moneta. Se uscita T al primo lancio, puancora uscire T o C. Associamo [0, 1/4) allevento = T alsecondo lancio e al primo, e [1/4, 1/2) allevento = C alsecondo lancio e T al primo. Analogamente per [1/2, 3/4) e[3/4, 1]. Quindi

    F2 ={, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1/4), [1/4, 1/2),[1/2, 3/4), [3/4, 1], [0, 1], . . .}

    ancora una -algebra (con . . . s intende linsieme di tutte lepossibili unioni degli intervalli elencati) e F1 F2.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni: esempio

    Pensando alln-esimo lancio della moneta si arriver asuddividere [0, 1] in intervalli di ampiezza 1/2n e alla -algebraFn che include tutte le precedenti.

    Indichiamo con Xi il risultato del lancio della moneta allai-esima prova. Allora, X1 F1 misurabile, X2 F2 misurabile,ecc.

    Ovvero (Fi , i 1) una filtrazione per il processo {Xi , i n}.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Filtrazioni: esempio

    utile per un processo essere misurabile rispetto ad unfiltrazione?

    Se al secondo lancio abbiamo X2 = T e X2 1(T ) lintervallo

    [1/4, 1/2), sappiamo esattamente cosa successo anche nellancio precedente X1, ovvero uscita T . Viceversa, nonsappiamo nulla su cosa accadr per X3, ecc.

    Le filtrazioni sono dunque un modo per descrivere laumento diinformazione che si ha col trascorrere del tempo.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi adattati

    Dato un processo (Xt , t 0) e una filtrazione (Ft , t 0), si diceche X adattato ad (Ft , t 0) se per ogni t 0, X (t) Ft -misurabile.

    In finanza la filtrazione rappresenta tutta linformazione raccoltasul processo fino al tempo t . Richiedere che il processo siaadattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare lecaratteristiche.

    Lidea di -algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) da intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare conle variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilit(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilit), la -algebraFt costruita in modo tale da contenere tutta linformazionerilevante sul processo con il minimo ingombro.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Processi adattati

    Dato un processo (Xt , t 0) e una filtrazione (Ft , t 0), si diceche X adattato ad (Ft , t 0) se per ogni t 0, X (t) Ft -misurabile.

    In finanza la filtrazione rappresenta tutta linformazione raccoltasul processo fino al tempo t . Richiedere che il processo siaadattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare lecaratteristiche.

    Lidea di -algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) da intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare conle variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilit(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilit), la -algebraFt costruita in modo tale da contenere tutta linformazionerilevante sul processo con il minimo ingombro.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Outline

    1 Richiami di calcolo delle probabilitVariabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Caratteristiche dei processi

    In genere lintroduzione dei processi serve a modellare unaqualche struttura di dipendenza. Se pensiamo allandamento diun indice azionario, impensabile immaginare che laquotazione precedente non influenzi la successiva in unaqualche misura, cio non si pu assumere lindipendenza. Iprocessi di uso corrente nelle applicazioni sono costruiti apartire dalle propriet che si vogliono modellare. Ci sono quindidiversi approcci, tra questi la modellazione degli incrementi edella funzione di covarianza del processo.

    Xt Xs : incremento del processo tra s e t , s < tCov(Xs, Xt) : la covarianza del processo

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti propriet:

    (i) un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t) B(s) indipendente da B(u) B(v) pert > s u > v 0;

    (ii) un processo a incrementi stazionari: cio la distribuzionedi B(t) B(s) per t > s 0 dipende solo dalla distanzat s e non da t e/o s separatamente;

    (iii) un processo ad incrementi Gaussiani: cioB(t) B(s) N (0, t s)

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti propriet:

    (i) un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t) B(s) indipendente da B(u) B(v) pert > s u > v 0;

    (ii) un processo a incrementi stazionari: cio la distribuzionedi B(t) B(s) per t > s 0 dipende solo dalla distanzat s e non da t e/o s separatamente;

    (iii) un processo ad incrementi Gaussiani: cioB(t) B(s) N (0, t s)

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti propriet:

    (i) un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t) B(s) indipendente da B(u) B(v) pert > s u > v 0;

    (ii) un processo a incrementi stazionari: cio la distribuzionedi B(t) B(s) per t > s 0 dipende solo dalla distanzat s e non da t e/o s separatamente;

    (iii) un processo ad incrementi Gaussiani: cioB(t) B(s) N (0, t s)

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti propriet:

    (i) un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t) B(s) indipendente da B(u) B(v) pert > s u > v 0;

    (ii) un processo a incrementi stazionari: cio la distribuzionedi B(t) B(s) per t > s 0 dipende solo dalla distanzat s e non da t e/o s separatamente;

    (iii) un processo ad incrementi Gaussiani: cioB(t) B(s) N (0, t s)

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Altra caratterizzazione: sia X1, X2, . . . , Xn una successionei.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 conprobabilit 12 . Sia

    Sn = X1 + X2 + + Xn

    allora (S[nt]

    n, t 0

    ) (B(t), t 0)

    dove la convergenza in distribuzione.

    Il moto Browniano il limite di una passeggiata aleatoria [ ].

    Si noti che il teorema del limite centrale garantisce gi che Sn/

    n N (0, 1), qui laconvergenza, per ogni t > 0 ad una Gaussiana centrata di varianza t .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Altra caratterizzazione: sia X1, X2, . . . , Xn una successionei.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 conprobabilit 12 . Sia

    Sn = X1 + X2 + + Xn

    allora (S[nt]

    n, t 0

    ) (B(t), t 0)

    dove la convergenza in distribuzione.

    Il moto Browniano il limite di una passeggiata aleatoria [ ].

    Si noti che il teorema del limite centrale garantisce gi che Sn/

    n N (0, 1), qui laconvergenza, per ogni t > 0 ad una Gaussiana centrata di varianza t .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Moto Browniano

    Altra caratterizzazione: sia X1, X2, . . . , Xn una successionei.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 conprobabilit 12 . Sia

    Sn = X1 + X2 + + Xn

    allora (S[nt]

    n, t 0

    ) (B(t), t 0)

    dove la convergenza in distribuzione.

    Il moto Browniano il limite di una passeggiata aleatoria [ ].

    Si noti che il teorema del limite centrale garantisce gi che Sn/

    n N (0, 1), qui laconvergenza, per ogni t > 0 ad una Gaussiana centrata di varianza t .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Variazioni del moto browniano

    La nozione di variazione semplice di un processo FV (X ) legata alla differenziabilit delle sue traiettorie ed definitacome segue

    FVt(X ) = t

    0|X (t)|dt

    e per il moto browniano non esiste in quanto B(t) non esiste.

    Si indica con [X , X ](t) la variazione quadratica di un processoX calcolata allistante t e la sua espressione

    [X , X ](t) limn

    |X (si+1) X (si)|

    con 0 < s1 < < si < < sn < t . Per il moto browniano[B, B](t) = t .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Outline

    1 Richiami di calcolo delle probabilitVariabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Dinamiche dei prezzi

    Si supponga di avere un processo (S(t), t 0) cherappresenta il valore di unazione allistante t .

    Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimale dt dopo ilquale il prezzo variato da S a S + dS (indicando con dS lavariazione di S nellintervallo di tempo dt , ciodS = S(t + dt) S(t)). Il rendimento dellazione viene valutatoattraverso il rapporto dS/S.

    Possiamo pensare di modellare questo rendimento comesomma di due contributi: uno deterministico ed uno stocastico.

    dSS

    = contributo deterministico + contributo stocastico

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Dinamiche dei prezzi: input deterministico

    Il contributo della parte deterministica legato ai tassi diinteresse o ai rendimenti costanti legati ad operazionifinanziarie senza rischio (cio il trend o drift = deriva).Indicando con il rendimento medio, allora il contributo sarproporzionale a rispetto al tempo intercorso

    contributo deterministico = dt

    In modelli pi generali, si pu anche assumere che siafunzione di S, di t o tutti e due.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Dinamiche dei prezzi: input stocastico

    Il contributo stocastico quello dovuto a fattori esogeni comenotizie inattese o altri shock esterni al mercato. Si puimmaginare che questo contributo sia la realizzazione di unavariabile casuale Gaussiana di media nulla (shock gaussiani).

    Chiamiamo questo contributo dX , e scriviamo

    contributo stocastico = dX

    La costante > 0, chiamata volatilit rappresenta la variabilitintrinseca dei rendimenti (anche si pu assumere funzione diS, di t o tutti e due) e sostanzialmente fa si che la variabilitdegli shock sia proporzionale a quella dei rendimenti, ciodX N (0, c2) dove c la varianza di dX .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Dinamiche dei prezziequazioni differenziali stocastiche (eds)

    Mettendo assieme i due contributi arriviamo alla seguenteequazione

    dSS

    = dt + dX

    chiamata equazione differenziale stocastica che, seppurmeramente una rappresentazione matematica formale, cipermette di descrivere un semplice modello per la variazionedei rendimenti.

    Si noti che dX non ancora chiaro che cosa rappresenti.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Supponiamo che non vi sia la parte stocastica, ovvero poniamo = 0, allora si pu scrivere qualche cosa di pi preciso

    dS(t)S(t)

    = dt

    ovverodS(t)

    dt= S(t)

    passando al limite per dt 0 otteniamo

    S(t) = S(t)

    meglioS(t)S(t)

    =ddt

    ln S(t) =

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Risolvendo lequazione differenziale ordinaria

    ddt

    ln S(t) =

    come

    ln S(t) ln S(t0) =t

    t0

    ds = (t t0)

    (ovvero integrando) e passando alla forma esponenzialeabbiamo

    S(t) = S(t0)e(tt0)

    ovvero, il prezzo al tempo t > t0 calcolabiledeterministicamente a partire dal prezzo di partenza S(t0) e dalvalore del rendimento medio costante .

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Il passaggio successivo quello di scrivere pi adeguatamentela parte stocastica. Abbiamo detto che dX solo una notazioneper indicare una particolare variabile gaussiana di media nullae varianza assegnata. ragionevole assumere che la varianzadi dX non sia costante ma dipendenda anchessa dallintervallodi tempo considerato dt . Poniamo dunque

    dX N (0, dt)

    il che, come prima, equivale a scrivere che dX = Z

    dt conZ N (0, 1). Se pensiamo a due intervalli di tempo distinti dt edu, le rispettive versioni di dX possono considerarsiindipendenti quando gli intervalli non sono sovrapposti, maallora tutto ci ci conduce naturalmente ad associare dX agliincrementi di un moto Browniano.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Infatti, gli incrementi del moto Browniano nellintervallo [t , t + dt)hanno la seguente propriet

    B(t + dt) B(t) N (0, dt)

    Perch si riscala la varianza di dX a dt? Uno dei motivi chenoi siamo interessati al limite per dt 0 dellequazionedifferenziale stocastica. Se la varianza di dX non fosseproporzionale a dt allora, la varianza di S sarebbe pari a 0 o a+! Un altro motivo ovviamente la relazione con il motobrowniano: cio si associa la parte di variabilit stocastica alletraiettorie del moto browniano.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    propriet di dS = SdX + Sdt

    Ricordando che per ipotesi EdX = 0 e Var(dX ) = dt , si ottiene

    EdS = E(SdX + Sdt) = Sdt

    e

    Var(dS) = EdS2 (EdS)2

    = E(2S2dX 2 + (Sdt)2 + 2(Sdt)(SdX )) (Sdt)2

    = E(2S2dX 2) = 2S2dt

    Si evince che valore atteso e varianza dei rendimentidipendono direttamente da e . Quindi, identificato il modellofunzionale, per poter prevedere il comportamento di S necessario stimare e sui dati di mercato [ ].

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Le due ipotesi su cui stiamo tacitamente lavorando e cheuseremo anche in futuro sono le seguenti

    la storia passata viene interamente riflessa nel valoreattuale dellasset e non contiene informazioni sul futuro;

    i mercati rispondono immediatamente ad ogni nuovainformazione si abbia sullasset.

    Quindi ci che andremo a modellare sempre leffettodellarrivo di nuove informazioni sul prezzo dellasset, cio gliincrementi del processo. I processi che descrivono una taledinamica dei prezzi sono anche detti Markoviani.

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Ricordiamo che la derivazione di dS = SdX + Sdt del tuttointuitiva ma molti dettagli tecnici non sono stati affrontati.

    Inoltre la scrittura in forma differenziale solo una scrittura chedal punto di vista matematico vuol dire poco.

    Per dt piccolo, ma positivo, corretto dire che dX si comportacome gli incrementi di un moto browniano, ma se dt 0, ciolo interpretiamo come variazione infinitesima della traiettoriadel moto browniano, allora cade lanalogia in quanto talitraiettorie sono ovunque non differenziabili.

    Per capire meglio di cosa stiamo parlando, vediamo le cosesotto un altro punto di vista...

  • Richiami di calcolo delle probabilit

    Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

    Se riscriviamo in modo esplicito leds dS = SdX + Sdtusando il moto browniano per modellare la variazione dXabbiamo

    dS = SdB + Sdt

    S(t + dt) S(t) = S(t)(B(t + dt) B(t)) + S(t)dt

    S(t + dt) S(t)dt

    = S(t)B(t + dt) B(t)

    dt+ S(t)

    passando al limite per dt 0, otterremo la scrittura formale

    S(t) = S(t)B(t) + S(t)

    dove compare la derivata della funzione B(t), ovvero dellatraiettoria del moto browniano

    Richiami di calcolo delle probabilitVariabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche