variabili casuali processi stocastici moto browniano...

Richiami di calcolo delle probabilità

Variabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

Spazio di probabilità

Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).

Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche

∅ ∈ A;

se A ∈ A allora anche il suo complementare A è in A;

unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.

∅ ∈ A;

Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, A è la σ-algebra generata dagli eventielementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibilecalcolare una probabilità.

Ad esempio E = “numero pari” = 2, 4, 6, F = “numeromaggiore di 4” = 5, 6. G = “numero 7” appartiene a A?

Esempio di misura di probabilità

Se il dado non è truccato, cioè gli eventi elementari sonoequiprobabili, allora

P(E) =#casi favorevoli a E#casi possibili di Ω

cioè, negli esempi di sopra

P(E) =#2, 4, 6

#1, 2, 3, 4, 5, 6=

P(F ) =#5, 6

#1, 2, 3, 4, 5, 6=

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1 Richiami di calcolo delle probabilitàVariabili casualiProcessi stocasticiMoto BrownianoEquazioni Differenziali Stocastiche

Variabili casuali

Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero

∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:

P(X ∈ A) = P(ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A

Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.

Variabili casuali

∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

Variabili casuali

∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

Variabili casuali

∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

Variabili casuali

∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B

Variabili casuali: misurabilità

Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativoall’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si devericorrere agli eventi su Ω, ovvero

P(X ≥ 0) = P(X ∈ 0,+1)= P(ω ∈ Ω : X (ω) = 0 ∪ (ω ∈ Ω : X (ω) = +1)= P(ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(0,+1))

= P(3, 4, 5, 6) =46

come si vede, X−1(0,+1) = B deve essere un insieme dellaσ-algebra A per poterne calcolare la probabilità e quindiottenere P(X ≥ 0).

= P(3, 4, 5, 6) =46

Variabili casuali: distribuzione

Nella prassi comune di costruisce una tantum la funzione diripartizione di X :

F (x) = P(X ∈ (−∞, x ]), x ∈ R

e da questa si derivano tutte le altre probabilità di interessesenza dover ricorrere alla misura di probabilità sullo spazio dipartenza.

La questione della misurabilità delle variabili aleatorie èrilevante, e lo sarà soprattutto nello studio dei processi, poichéalle σ-algebre è legata la nozione di informazione di unesperimento (soprattutto in ambito finanziario).

Variabili casuali: indipendenza

Due variabili casuali X ed Y si dicono indipendenti se

P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)

ciò vuol dire che la probabilità con cui X assume i suoi valorinon è influenzata da quella con cui Y assume i suoi.Ovviamente A e B sono due sottoinsiemi di R.

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Processi stocastici

Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali Xγ ,γ ∈ Γ definita su Ω× Γ a valori in R. Quindi le variabilialeatorie (misurabili per ogni γ ∈ Γ) che costituiscono ilprocesso sono funzioni del tipo X (γ, ω) 7→ R.

Per un fissato valore di ω, diciamo ω, X (γ, ω), vista comefunzione di γ ∈ Γ rappresenta l’evoluzione del processo el’insieme dei valori

X (γ, ω), γ ∈ Γ

viene chiamato traiettoria del processo .

Processi stocastici

Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali Xγ ,γ ∈ Γ definita su Ω× Γ a valori in R. Quindi le variabilialeatorie (misurabili per ogni γ ∈ Γ) che costituiscono ilprocesso sono funzioni del tipo X (γ, ω) 7→ R.

Per un fissato valore di ω, diciamo ω, X (γ, ω), vista comefunzione di γ ∈ Γ rappresenta l’evoluzione del processo el’insieme dei valori

X (γ, ω), γ ∈ Γ

viene chiamato traiettoria del processo .

Traiettorie dei processi

Ad esempio, se Γ = N, e le Xn, n ∈ N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempodiscreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è allabase delle più utilizzate procedure statistiche.

Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0,∞), allora (Xt ,t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta l’evoluzione temporale del processoX .

Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie è una possibilerealizzazione del processo.

Processi stocastici e finanza

In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)attraverso processi stocastici. L’osservazione empirica di unasuccessione di quotazioni/prezzi/etc sarà l’osservazione di una(e una sola) particolare traiettoria del processo.

Fissato invece un istante t = t , se facciamo variare ω ∈ Ω,allora X (t , ω) fornisce la distribuzione del processo al tempo t .In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti neltempo (h > 0), quali saranno i valori più probabili (quotazioni) diun particolare prodotto finanziario alla luce dell’informazioneraccolta sul fenomeno sino al tempo t .

Processi stocastici e finanza

In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)attraverso processi stocastici. L’osservazione empirica di unasuccessione di quotazioni/prezzi/etc sarà l’osservazione di una(e una sola) particolare traiettoria del processo.

Fissato invece un istante t = t , se facciamo variare ω ∈ Ω,allora X (t , ω) fornisce la distribuzione del processo al tempo t .In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti neltempo (h > 0), quali saranno i valori più probabili (quotazioni) diun particolare prodotto finanziario alla luce dell’informazioneraccolta sul fenomeno sino al tempo t .

Filtrazioni

Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t ≥ 0), si può associare,per ogni t una σ-algebra che indichiamo conFt = σ(X (s); 0 ≤ s ≤ t) (la σ-algebra generata da X (t)), cioè lapiù piccola σ-algebra di A che rende X (s, ω) misurabile perogni 0 ≤ s ≤ t . Questa σ-algebra (che deve contenere anchegli insiemi di misura nulla di A) è l’insieme più piccolo disottoinsiemi di Ω che ci permette di calcolare tutte le probabilitàrelative ad eventi che riguardano X (t).

La famiglia di σ-algebre (Ft , t ≥ 0) viene chiamata filtrazionenaturale del processo ed è tale per cui Fs ⊂ Ft , per s < t .

Filtrazioni

Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t ≥ 0), si può associare,per ogni t una σ-algebra che indichiamo conFt = σ(X (s); 0 ≤ s ≤ t) (la σ-algebra generata da X (t)), cioè lapiù piccola σ-algebra di A che rende X (s, ω) misurabile perogni 0 ≤ s ≤ t . Questa σ-algebra (che deve contenere anchegli insiemi di misura nulla di A) è l’insieme più piccolo disottoinsiemi di Ω che ci permette di calcolare tutte le probabilitàrelative ad eventi che riguardano X (t).

La famiglia di σ-algebre (Ft , t ≥ 0) viene chiamata filtrazionenaturale del processo ed è tale per cui Fs ⊂ Ft , per s < t .

Filtrazioni: esempio

Le filtrazioni sono dunque successioni di σ-algebre crescenti.Vediamo un esempio. Pensiamo al lancio di una moneta. Irisultati sono T o C con uguale probabilità. Possiamo associarea questo esperimento la σ-algebra costruita su [0, 1] nelseguente modo: associamo al risultato T l’intervallo [0, 1/2) e aC l’intervallo [1/2, 1] e le relative probabilità alle lunghezzedegli intervalli corrispondenti (mis. Lebesgue), ovveroP(T ) = P([0, 1/2)) = 1/2, P(C) = P([1/2, 1]) = 1/2. quindi

F1 = ∅, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1]

è una σ-algebra.

Supponiamo ora che l’esperimento continui con un lanciosuccessivo della moneta. Se è uscita T al primo lancio, puòancora uscire T o C. Associamo [0, 1/4) all’evento = “T alsecondo lancio e al primo”, e [1/4, 1/2) all’evento = “C alsecondo lancio e T al primo”. Analogamente per [1/2, 3/4) e[3/4, 1]. Quindi

F2 =∅, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1/4), [1/4, 1/2),

[1/2, 3/4), [3/4, 1], [0, 1], . . .

è ancora una σ-algebra (con . . . s intende l’insieme di tutte lepossibili unioni degli intervalli elencati) e F1 ⊂ F2.

Pensando all’n-esimo lancio della moneta si arriverà asuddividere [0, 1] in intervalli di ampiezza 1/2n e alla σ-algebraFn che include tutte le precedenti.

Indichiamo con Xi il risultato del lancio della moneta allai-esima prova. Allora, X1 è F1 misurabile, X2 è F2 misurabile,ecc.

Ovvero (Fi , i ≥ 1) è una filtrazione per il processo Xi , i ≥ n.

È utile per un processo essere misurabile rispetto ad unfiltrazione?

Se al secondo lancio abbiamo X2 = T e X−2 1(T ) è l’intervallo[1/4, 1/2), sappiamo esattamente cosa è successo anche nellancio precedente X1, ovvero è uscita T . Viceversa, nonsappiamo nulla su cosa accadrà per X3, ecc.

Le filtrazioni sono dunque un modo per descrivere l’aumento diinformazione che si ha col trascorrere del tempo.

Processi adattati

Dato un processo (Xt , t ≥ 0) e una filtrazione (Ft , t ≥ 0), si diceche X è adattato ad (Ft , t ≥ 0) se per ogni t ≥ 0, X (t) èFt -misurabile.

In finanza la filtrazione rappresenta tutta l’informazione raccoltasul processo fino al tempo t . Richiedere che il processo siaadattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare lecaratteristiche.

L’idea di σ-algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) èda intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare conle variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilità(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilità), la σ-algebraFt è costruita in modo tale da contenere “tutta l’informazionerilevante” sul processo con il minimo “ingombro”.

Processi adattati

Dato un processo (Xt , t ≥ 0) e una filtrazione (Ft , t ≥ 0), si diceche X è adattato ad (Ft , t ≥ 0) se per ogni t ≥ 0, X (t) èFt -misurabile.

In finanza la filtrazione rappresenta tutta l’informazione raccoltasul processo fino al tempo t . Richiedere che il processo siaadattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare lecaratteristiche.

L’idea di σ-algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) èda intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare conle variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilità(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilità), la σ-algebraFt è costruita in modo tale da contenere “tutta l’informazionerilevante” sul processo con il minimo “ingombro”.

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Caratteristiche dei processi

In genere l’introduzione dei processi serve a modellare unaqualche struttura di dipendenza. Se pensiamo all’andamento diun indice azionario, è impensabile immaginare che laquotazione precedente non influenzi la successiva in unaqualche misura, cioè non si può assumere l’indipendenza. Iprocessi di uso corrente nelle applicazioni sono costruiti apartire dalle proprietà che si vogliono modellare. Ci sono quindidiversi approcci, tra questi la modellazione degli incrementi edella funzione di covarianza del processo.

Xt − Xs : incremento del processo tra s e t , s < t

Cov(Xs, Xt) : la covarianza del processo

Moto Browniano

Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti proprietà:

(i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t)− B(s) è indipendente da B(u)− B(v) pert > s ≥ u > v ≥ 0;

(ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzionedi B(t)− B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanzat − s e non da t e/o s separatamente;

(iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioèB(t)− B(s) ∼ N (0, t − s)

Moto Browniano

Altra caratterizzazione: sia X1, X2, . . . , Xn una successionei.i.d. di variabili aleatorie che assumono solo i valori -1 e +1 conprobabilità 1

2 . Sia

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

allora (S[nt]√

n, t ≥ 0

)→ (B(t), t ≥ 0)

dove la convergenza è in distribuzione.

Il moto Browniano è il limite di una passeggiata aleatoria [ ].

Si noti che il teorema del limite centrale garantisce già che Sn/√

n → N (0, 1), qui la

convergenza, per ogni t > 0 è ad una Gaussiana centrata di varianza t .

Moto Browniano

2 . Sia

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

allora (S[nt]√

n, t ≥ 0

)→ (B(t), t ≥ 0)

n → N (0, 1), qui la

Moto Browniano

2 . Sia

Sn = X1 + X2 + · · ·+ Xn

allora (S[nt]√

n, t ≥ 0

)→ (B(t), t ≥ 0)

n → N (0, 1), qui la

Variazioni del moto browniano

La nozione di variazione semplice di un processo FV (X ) èlegata alla differenziabilità delle sue traiettorie ed è definitacome segue

FVt(X ) =

0|X ′(t)|dt

e per il moto browniano non esiste in quanto B′(t) non esiste.

Si indica con [X , X ](t) la variazione quadratica di un processoX calcolata all’istante t e la sua espressione è

[X , X ](t) limn→∞

|X (si+1)− X (si)|

con 0 < s1 < · · · < si < · · · < sn < t . Per il moto browniano[B, B](t) = t .

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Dinamiche dei prezzi

Si supponga di avere un processo (S(t), t ≥ 0) cherappresenta il valore di un’azione all’istante t .

Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimale dt dopo ilquale il prezzo è variato da S a S + dS (indicando con dS lavariazione di S nell’intervallo di tempo dt , cioèdS = S(t + dt)− S(t)). Il rendimento dell’azione viene valutatoattraverso il rapporto dS/S.

Possiamo pensare di modellare questo rendimento comesomma di due contributi: uno deterministico ed uno stocastico.

= contributo deterministico + contributo stocastico

Dinamiche dei prezzi: input deterministico

Il contributo della parte deterministica è legato ai tassi diinteresse o ai rendimenti costanti legati ad operazionifinanziarie senza rischio (cioè il trend o drift = “deriva”).Indicando con µ il rendimento medio, allora il contributo saràproporzionale a µ rispetto al tempo intercorso

contributo deterministico = µdt

In modelli più generali, si può anche assumere che µ siafunzione di S, di t o tutti e due.

Dinamiche dei prezzi: input stocastico

Il contributo stocastico è quello dovuto a fattori esogeni comenotizie inattese o altri shock esterni al mercato. Si puòimmaginare che questo contributo sia la realizzazione di unavariabile casuale Gaussiana di media nulla (shock gaussiani).

Chiamiamo questo contributo dX , e scriviamo

contributo stocastico = σdX

La costante σ > 0, chiamata volatilità rappresenta la variabilitàintrinseca dei rendimenti (anche σ si può assumere funzione diS, di t o tutti e due) e sostanzialmente fa si che la variabilitàdegli shock sia proporzionale a quella dei rendimenti, cioèσdX ∼ N (0, cσ2) dove c è la varianza di dX .

Dinamiche dei prezziequazioni differenziali stocastiche (eds)

Mettendo assieme i due contributi arriviamo alla seguenteequazione

= µdt + σdX

chiamata equazione differenziale stocastica che, seppurmeramente una rappresentazione matematica formale, cipermette di descrivere un semplice modello per la variazionedei rendimenti.

Si noti che dX non è ancora chiaro che cosa rappresenti.

Supponiamo che non vi sia la parte stocastica, ovvero poniamoσ = 0, allora si può scrivere qualche cosa di più preciso

dS(t)S(t)

= µdt

ovverodS(t)

dt= µS(t)

passando al limite per dt → 0 otteniamo

S′(t) = µS(t)

meglioS′(t)S(t)

ln S(t) = µ

Risolvendo l’equazione differenziale ordinaria

ln S(t) = µ

ln S(t)− ln S(t0) =

t∫t0

µds = µ(t − t0)

(ovvero integrando) e passando alla forma esponenzialeabbiamo

S(t) = S(t0)eµ(t−t0)

ovvero, il prezzo al tempo t > t0 è calcolabiledeterministicamente a partire dal prezzo di partenza S(t0) e dalvalore del rendimento medio costante µ.

Il passaggio successivo è quello di scrivere più adeguatamentela parte stocastica. Abbiamo detto che dX è solo una notazioneper indicare una particolare variabile gaussiana di media nullae varianza assegnata. È ragionevole assumere che la varianzadi dX non sia costante ma dipendenda anch’essa dall’intervallodi tempo considerato dt . Poniamo dunque

dX ∼ N (0, dt)

il che, come prima, equivale a scrivere che dX = Z√

dt conZ ∼ N (0, 1). Se pensiamo a due intervalli di tempo distinti dt edu, le rispettive versioni di dX possono considerarsiindipendenti quando gli intervalli non sono sovrapposti, maallora tutto ciò ci conduce naturalmente ad associare dX agliincrementi di un moto Browniano.

Infatti, gli incrementi del moto Browniano nell’intervallo [t , t + dt)hanno la seguente proprietà

B(t + dt)− B(t) ∼ N (0, dt)

Perché si riscala la varianza di dX a dt? Uno dei motivi è chenoi siamo interessati al limite per dt → 0 dell’equazionedifferenziale stocastica. Se la varianza di dX non fosseproporzionale a dt allora, la varianza di S sarebbe pari a 0 o a+∞! Un altro motivo è ovviamente la relazione con il motobrowniano: cioè si associa la parte di variabilità stocastica alletraiettorie del moto browniano.

proprietà di dS = σSdX + µSdt

Ricordando che per ipotesi EdX = 0 e Var(dX ) = dt , si ottiene

EdS = E(σSdX + µSdt) = µSdt

Var(dS) = EdS2 − (EdS)2

= E(σ2S2dX 2 + (µSdt)2 + 2(µSdt)(σSdX ))− (µSdt)2

= E(σ2S2dX 2) = σ2S2dt

Si evince che valore atteso e varianza dei rendimentidipendono direttamente da µ e σ. Quindi, identificato il modellofunzionale, per poter prevedere il comportamento di S ènecessario stimare µ e σ sui dati di mercato [ ].

Le due ipotesi su cui stiamo tacitamente lavorando e cheuseremo anche in futuro sono le seguenti

la storia passata viene interamente riflessa nel valoreattuale dell’asset e non contiene informazioni sul futuro;

i mercati rispondono immediatamente ad ogni nuovainformazione si abbia sull’asset.

Quindi ciò che andremo a modellare è sempre l’effettodell’arrivo di nuove informazioni sul prezzo dell’asset, cioè gliincrementi del processo. I processi che descrivono una taledinamica dei prezzi sono anche detti Markoviani .

Ricordiamo che la derivazione di dS = σSdX + µSdt è del tuttointuitiva ma molti dettagli tecnici non sono stati affrontati.

Inoltre la scrittura in forma differenziale è solo una scrittura chedal punto di vista matematico vuol dire poco.

Per dt piccolo, ma positivo, è corretto dire che dX si comportacome gli incrementi di un moto browniano, ma se dt → 0, cioèlo interpretiamo come variazione infinitesima della traiettoriadel moto browniano, allora cade l’analogia in quanto talitraiettorie sono ovunque non differenziabili.

Per capire meglio di cosa stiamo parlando, vediamo le cosesotto un altro punto di vista...

Se riscriviamo in modo esplicito l’eds dS = σSdX + µSdtusando il moto browniano per modellare la variazione dXabbiamo

dS = σSdB + µSdt

S(t + dt)− S(t) = σS(t)(B(t + dt)− B(t)) + µS(t)dt

S(t + dt)− S(t)dt

= σS(t)B(t + dt)− B(t)

dt+ µS(t)

passando al limite per dt → 0, otterremo la scrittura formale

S′(t) = σS(t)B′(t) + µS(t)

dove compare la derivata della funzione B(t), ovvero dellatraiettoria del moto browniano

variabili casuali processi stocastici moto browniano...

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