rumore neutronico e processi stocastici: ruolo della

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Comitato Nazionale Energia Nucleare Rumore neutronico e processi stocastici: ruolo della funzione generatricc V. M.Jorio, N. Pacilìo RT/FI (71)21

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V. M.Jorio, N. Pacilìo
V.M. Jorio, N. Pacilio (CNEN, Laboratorio Fisica e Calcolo Reattori)
RUMORE NEUTRONICO E PROCESSI STOCASTICI: RUOLO DELLA FUNZIONE GENERATRICE
RIASSUNTO - H^presfjnte articolo riguarda lo studio de! ruolo e del significato delle
funzioni generataci delle distribuzioni dì probabilità e dei momenti ad esse corrispon-
denti. In particolare, vengono analizzate le distribuzioni di Poisson, di Bernoulli, dei
neutroni di fissione, dei neutroni ir un reattore in equilibrio. Vengono inoltre eseguiti
confronti tra dati sperimentali e distireazioni aspettate in ciascuno dei quattro casi.
CNEN - RT/FK71 )21
V.M. Jorio, N. Pacilio (CNEN, Laboratorio Fisica e Calcolo Reattori)
NEUTRON NOISE AND STOCHASTIC PROCESSES: ROLE OF THE GENERATING FUNCTION
SUMMARY • This article contains « study of the role and the meaning of the generating
functions of probability distributions and their corresponding moments. In particular,
Poisaon distribution, Bernoulli distribution, fission neutron distribution and steady-state
reactor neutron distribution are analyzed. Furthermore, comparisons are outlined
betwi'tn experimental data and expected distributions for each of the four cases.
Comitato Nazionale Energia Nucleare
V.MJorio, N. Pacilh
Stampato in formato UNI presso il Comitato Nazionale per l'Energia Nucleare, Divisione Affari Internazionali e Studi Economici, Ufficio Edizioni Scientifiche, Laboratorio Tecnografico
Roma. Viale Regina Margherita 125 (tei. 8528)
"If anyone needs a definition of noise, here are two : (l) noise is the piano next door while I am trying to type; (2) noise is the typewriter next door while I am playing the piano. In short, noise is what you call any sound you find distracting or annoying. To someone else it may not be noise at all .For example jazz rock and beat music are noise to almost anyone over 25, while to the youn, ger set it is the greatest music ever." ( EUGENE RASKIN, Noise, The Collier's Year Book, 1968 )
"Neutron noise is more properly the field of studies of neutron multiplet densities other than the singlet density in nuclear reactor systems." ( R.K.OSBORN and S. YIP, Physical Theory of Neutron Noise in Reactors and Reactorlike Systems, 1963 )
"In stochastic processes the future is never uniquely determined, "but v?s have at least probability relations enabling us to make predictions." ( WILLIAM FELLER, An Introduction to Froba- bllity Theory and its Applications, John Wiley and Sons, I967 )
INDICE
* Definizione della funzione generatrice pg. 9
* La distribuzione di Poisson pg*13
* La distribuzione di Bernoulli pg*21
* La distribuzione dei neutroni emessi nella
fissione nucleare PS*29
* La distribuzione dei neutroni in un'assemblea moltiplieante all'equilibrio pg***9
* Prospettive future pg-53
ETIMOLOGIE E PREMESSE
Rumare, neutronico - II termine "rumore" e' comunemente usato in molte di- scipline scientifiche e tecnologiche, ma non sempre esso e* riferito allo stesso tipo di fenomeno. Infatti in ciascun settore esso può' indicare cirqg s*u nze e fenomeni di differente natura.
L'antenato comune di tutti i significati ad esso attribuiti e' quello adottato in acustica, dove la denominazione viene usata per descrivere la categoria dei suoni che mancano di qualità' musicale. E' infatti definita musica una pulsazione acustica la quale, anche se articolata e complessa, sia riconducibile ad un?, sovrapposizione di un numero finito di componenti regolari o periodiche. In contrasto con questa definizione, il rumore acu- stico e' quindi una pulsazione irregolare o casuale.
Da un punto di vista operativo il termine rumore diventa quindi sinonimo di casualità' e/o disturbo alla regolarità' o alla periodicità'. La denomina, zione diventa immediatamente applicabile ed estensibile ad un qualsiasi flm so di informazione.
Spesso sotto l'etichetta di rumore sono inquadrati fenomeni di fluttuazìg ni, di deviazioni statistiche e di non-riproducibilita' delle misure: gli eventi suddetti sono presenti nell'osservazione sperimentale di grandezze fisiche. Infatti una grandezza fisica macroscopica e' formata da un elevato numero di repliche del medesimo microsistema. Le inevitabili variazioni del numero di queste componenti microscopiche sono responsabili delle fluttua- zioni della grandezza macroscopica risultante.
Allo scopo di confrontare quantltativaaente l'informazione utile con la entità' delle fluttuazioni e' stato introdotto un apposito indice, il rappcg to segnale/runore, il cui reciproco e' appunto una misura relativa del livej, lo di disturbo. La denominazione e' derivativa dall'elettronica e dalla teo- ria dell'informazione.
Un elevato numero di applicazioni - nelle varie discipline scientifiche - possiede come fine il raggiungimento di un ottimo economico, quando un certo ammontare di informazione deve essere trasmesso e ricevuto in presenza inevì tabile di rumore. Si e' cosi' via via formato un certo numero di procedimen- ti e di algoritmi matematici atto ad elaborare messaggi "rumorosi", dai qua- li l'informazione fondamentale debba essere separata dal disturbo ad essa 30. vrapposto. Il ccrvjlesso dei procedimenti e' raggnippato sotto l'etichetta di analisi del rumore.
I metodi relativi sono adottabili anche in altre circostanze: quelle in cui il rumore, generato dal sistema sotto osservazione e dalle sue componen- ti, e' la grandezza da analizzare e misurare invece che il disturbo, del qua, le ci si voglia disfare. Il rumore contiene infatti, e riflette, le caratte- ristiche del sistema dal quale e' stato generato.
L'analisi del rumore di un sistema viene generalmente praticata senza, ap- portare alcun segnale di ingresso al sistema stesso ma osservandone ugualmeg te l'uscita. Un approccio di questo tipo ha il notevole vantaggio di non conportare ne' perturbazioni al sistema in osservazione ne' la necessita' di r!averne interrompere il comportamento abituale.
Come precisa L.G.Kemeny in in suo articolo del 196^ #1# t il pria© rich! amo alla natura essenzialmente statistica della diffusione neutronica sembra essere contenuto in alcuni lavori di E.Fermi #2# . Il rumore neutronico nel- l'ambito di un reattore nucleare e1 il fenomeno connesso con la natura stes- sa del livello di potenza generato dal sistema e quindi con la densità1 dei neutroni all'interno del reattore. Se il reattore e' in condizioni di poten- za stazionaria, cioè1 se tale livello e' costante Ifl mediaT e la potenza stea sa e' sufficientemente bassa ( in condizioni convenzionalmente definite di "potenza zero" ), le fluttuazioni attorno al valore medio diventano assai sensibili e significativamente osservabili.
Processi stocastici - H termine processo stocastico , sinonimo di proces so casuale, in inglese "random process", e1 etichetta ricorrente nella pras- si sperimentale della teoria delle probabilità', dal getto della monetina fi no all'analisi armonica. La denominazione "processo stocastico" e* usata principalmente quando si e' introdotto un parametro temporale.
Variabile stocastica, in inglese "random variable", e' definita una varia bile cui e1 associata una funzione di distribuzione di probabilità'. Contra- riamente ad un comunemente diffuso, ed erroneo, punto di vista una variabile casuale non e' una variabile che possa equiprobabilmente assumere uno qualuja que dei valori costituenti il suo insieme di definizione, ma piuttosto una variabile che assume valori in accordo con la sua funzione di distribuzione di probabilità1,
Casuale ed aleatorio ( derivati dal latino ), l'anglosassone random e sta chaftico ( dal greco © T O V O S : caso, casualità' ) sono quindi termini to- talmente equivalenti.
Concettualmente un processo stocastico' e1 l'analogo probabilistico di un precesso della meccanica classica, dove lo sviluppo del sistema e1 completa- mente determinato dallo stato iniziale ed e1 indipendente dal modo in cui tale stato e1 stato raggiunto. L'analogia sta nel fatto che, mentre nella meccanica classica un sistema di equazioni differenziali,accoppiato ad alcu- ne condizioni iniziali, e1 sufficiente per descrivere il moto del sistema in studio, la trattazione dei processi stocastici si basa su un paritetico insieme di equazioni differenziali nelle probabilità' elementari relative al fenomeno in studio ed ai valori iniziali delle stesse.
I processi meccanici e stocastici sono in contrasto con i cosiddetti prjj cessi ereditar! ( per es. vedi teoria della plasticità' ) dove l'intera sto. ria passata del sistema influenza l'evoluzione successiva.
Un processo stocastico viene definito s zion/tr3,o quando le sue caratte- ristiche statistiche non variano nel tempo. L'assunzione della stazionarie- tà' e' generalmente giustificata per quei sistemi in cui i meccanismi fun- zionali che danno origine alle fluttuazioni sono invarianti lungo periodi ragionevolmente lunghi di tempo.
Un processo stocastico stazionario viene definito erj?odi,cro quando tutte le sue proprietà1 possano essere determinate dall'osservazione del processo stesso durante un intervallo di tempo finito e "breve". Ciò' corrisponde a sostenere che l'ergodicità1 e» soddisfatta se le caratteristiche statisti- che misurate non differiscono da osservazione ad osservazióne*
Da questo punto in poi si postula che il rumore neutronico di uh reatto, re nucleare in equilibrio sia un fenomeno fisico.di natura ergodica.
La natura essenzialmente stocastica dei processi che coinvolgono i ni di un reattore nucleare ha ricevuto nel passato scarsa attenzione. Uno dei motivi di questa situazione e1 1*argomento che, a causa della elevata denéita1 della popolazione neutronica e delle vite medie relativamente lun- ghe dai neutroni soprattutto nei sistemi a media/alta moderazione, equazio- ni di tipo deterministico risultino assai valide nel descrìvere un gran nu- mero di reattori nucleari.
Scriveva in proposito H.Soodak nel 1961 che H l1approccio di tipo stoca- stico nello studio del reattori non appare di primaria importanza a causa dell'elevato numero dei neutroni nei sistemi di potenza n #3# . Appare più' evidente oggi come esistano molte fasi di operazione del reattori e molte situazioni sperimentali per le quali l'approccio statistico sia il solo me& zo adeguato per circostanziare il comportamento di un reattore ed interpre- tare le osservazioni di misura su esso realizzate.
Il rumore neutronico e1 attualmente oggetto di numerosi ed approfonditi studi teorici dato che l'analisi dello stesso conduce alla conoscenza di im- portanti parametri del reattore in esame. Questi ultimi permettono la descri zione dei fenomeni temporali ( *» cinetica nucleare ) che hanno luogo, op- pure potenzialmente avrebbero luogo, nel sistema nucleare e sono quindi di fondamentale importanza per la sicurezza, il controllo e l'operazione del reattore. Inoltre la conoscenza dei parametri cinetici permette una vasta gamma di confronti tra teoria ed esperienza ed e' quindi indispensabile per la messa-a-punto di codici nucleari, delle costanti adottate negli stessi ed, in definitiva, della bontà1 intrinseca dei calcoli di progetto.
I metodi di analisi del rumore neutronico in un reattore nucleare pos- sono essere divisi in due categorie:
(1) I metodi di analisi temporale diretta, in cui i neutroni, rivelati tramite opportuno strumento, vengono localizzati su di un asse dei tempi all'istante corrispondente alla loro rivelazione;
(2) I metodi demografici o di campionamento, in cui l'osserva zione spa rimentale consiste nel contare il numero di neutroni, rivelati in un intervallo temporale di campionsriento di durata fissata. (*)
Entrambi i metodi hanno impostazione di tipi statistico, dato che la me- desima osservazione sperimentale viene ripetuta un numero elevato di volte ( •> IO"*) ed i dati raccolti sono opportunamente sovrapposti al fine di au- mentare la loro attendibilità1 e la loro precisione relativa.
II presente articolo intende offrire uno studio introduttivc delle rela, zìoni che intercorrono tra rumore neutronico e processi stocastici, quando l'impostazione ed il formalismo della teoria delle probabilità1 vengono ap- plicati alla descrizione ed alla interpretazione dei fenomeni caratteristi ci delle popolazioni neutroniche in un reattore nucleare.
L'impostazione teorica del problema e1 assai diretta ed esplicita e può* essere riassunta nella formulazione della domanda che segue: ponendo un il- velatore in un reattore, quale e1 la probabilità' di contare un neutrone ad un determinato istante ? Oppure, quale e1 la probabilità' di contare ze.
<•) Vedi Nota di pg. 18
rot uno, due, tre, quattro o più 1 neutroni In un dato Intervallo di tempoY
Appare Immediato come il rispondere a questi interrogativi sia equiva- lente,noi linguaggio della metodologia statistica, alla conoscenza della funzione di distribuzione della probabilità1 di un fenomeno cene quello sopra descritto ( rivelazione di neutroni in un reattore nucleare ) ovvero alla conoscenza dei acuenti della distribuzione stessa»
Se la maggior parte di coloro che si sono occupati, anche alla lontana, di statistica elementare e* sostanzialmente familiare con i concetti di probabilità* e momenti, nono noti sono l'importanza ed 11 ruolo della fra- ziona generatrlce di una distribuzione, la quale rappresenta la grandezza nucleo e sinteticamente più* completa per la descrizione del fenomeno in oggetto. Come definito operativamente dalla sua denominazione, la funzl£ ne suddetta e le sue derivate, calcolate per opportuni valori del loro ax gomento, generano probabilità* e momenti della distribuzione in esame.
Risulta quindi utile focalizzare la prima parte di questo lavoro sul» lo studio del ruolo e del significato delle funzioni generatrici, parten, do da alcuni casi semplici, per es. distribuzioni di Poisson, di Bernoulli, dei neutroni emessi dalla fissione nucleare e distribuzione binomiale ne- gativa. Questi esempi permettono di capire come debba essere trattata la funzione generatrice e quali conseguenze comporti l'approssimarla In un modo qualslasl. In ciascuno degli esempi presi In considerazione, vengo- no inoltre eseguiti confronti tra dati sperimentali e distribuzioni aspe£ tate.
Nella seconda parte del lavoro vengono esaminati 1 legami più1 diretti tra processi stocastici e rumore neutronico, proprio avvalendosi delle funzioni generatrici come elementi risolutori di alcuni problemi fondsmen, tali di fisica dei reattori.
DEFINIZIONE DELIA FUNZIONE GENERATRICE
Come già1 accennato In precedenza, la presente trattazione si riferisce a processi stocastici stazionarl ed ergodici, i quali coinvolgono variabili discrete» Esse possono assumere soltanto valori interi naturali, per es» numero di particelle rivelate.
Introduciamo a questo ponto la probabilità1 t>K che la variabile in og- getto possa assumere il valore k = 0,1,2,... co . Questa probabilità1 sod- disfa, per sua definizione operativa, alla disuguaglianza 0 j°i<- < 1 ed alla condizione integrale
ao
Introduciamo successivamente il momento di ordine k. della variabile in oggetto, definito come
co
(0)
notando come il caso H.=eO esprima la condizione di normalizzazione già1
stabilita in precedenza. Deve inoltre essere sottolineato come '*n1 rappre- senti il valore medio della variabile, m ^ rappresenti il suo valore quadra- tico medio, secondo la ben nota nomenclatura.
Appare chiaro, da quanto esposto finora, come le grandezze caratteristiche della distribuzione in studio siano la probabilità' p k ed i momenti m^. senza .alcuna priorità1 reciproca.
H significato ontologico ed i] ruolo operativo della funzione generatri cet per il momento ancora da costruire, devono proprio offrire la disponibi lita' di un'unica funzione la quale contenga tutta 1*informazione relativa alla distribuzione e sia quindi in grado di generarne tqtte le grandezze statistiche caratteristiche.
A questo punto vale la pena dì sottolineare come la funziono generatrice non possa contener? nulla che non sia già1 esistente nella distribuzione di partenza na costituisca un agile strumento matematico, in quanto essa con- sente una trattazione assai sintetizzata di alcuni problemi. Il suo ruolo operativo può1 essere confrontato con quello della trasformata di una fun- zione incognita, in quelle circostanze in cui il problema e1 assai compli- cato nella versione diretta, ms si semplifica notevolmente nella versione trasformata *
Nei problemi relativi a distribuzioni di probabilità1, la funzione gene- ratrice diventa l'incognita unica che si sostituisce alle incognite plurime costituite dalle probabilità1 e dai momenti della distribuzione.
Infine, per essere strumento di calcolo effettivamente utile, uno dei requisiti fondamentali per la fum.ione generatrice e1 quello di avere un legame sufficientemente semplice con le grandezze caratteristiche della di- stribuzione, nota o incognita, in studio.
10
H concetto di funzione generatrice di una distribuzione e1 stato per la prima volta introdotto da Pierre Simon Laplace nel suo fondamentale lavoro "Theorie Analytique des Probabilites" ( Courcier, Paris, 1812 ). In esso la funzione generatrice e1 presentata come soddisfacente la seguente defini zione. '
Sia f«^} una successione di numeri reali. Se
converge in un certo intervallo-Xo<*< X o , allora G(x) e' detta la ne generatrice della successione <3*} . Se la successione £<3K} e
1 limitata, allora si ha convergenza per|x|<1 .
La variabile x , che compare come argomento della Q , non ha alcun significato nell'ambito del processo stocastico in studio ma figura come qua, lunque altro parametro "dummy" o variabile ausiliaria di una trasformazione, E1 interessante notare come, qualora la successione{.t3K}- venga identificata con quella delle probabilità' |(3KJ sopra definite, la <q(x> diventa la fun- zione generatrice della distribuzione di probabilità' assegnata. Si ha cioè1
c**e oc
O<x< 1
Nel procedimento sopra mostrato si e' risolto un primo tipo di problema: cioè1, date le probabilità' ìpk si costruisca la funzione generatrice delle stesse. La soluzione, come visto, e* immediata.
Un secondo tipo di problema e' quello seguente: data la funzione genera- trice ricavata come soluzione analìtica di un certo problema fisico-matemati co, si deduca il profilo di probabilità'{f>*.$ della distribuzione. Data la definizione strutturale della funzione generatrice, e' chiaro come la gene- rica probabilità' sia data dalla espressione
(2)
Un terzo tipo di problema e1 quello di trovare la relazione esistente tra la funzione generatrice definita nella Eq.(l) ed i momenti della distribuzi^ ne cui si riferisce il profilo ffv} di probabilità'. Introduciamo allo scopo una nuova variabile ausiliaria z legata alla precedente dalla relazione
*-x-1 (3)
può1 essere riscritta come
che appare formalmente identica alla Eq.(l). In effetti essa e1 del tutto differente a causa dell1 Eq.(3) e delle conseguenze che quest'ultima compox ta. Dall1 Eq.(3) emergono infatti due punti:(a) il campo di definizione dei la variabile z e' compreso tra -1 e 0 , mentre quello della variabile x e1 compreso tra 0 e 1 (b) i coefficienti c K sono legati alla probabi- lità1 pfc dalle relazioni univoche
(5)
Sviluppando ed esplicitando le Eq«(5) tramite richiamo dell1 Eq.(C)t si ottiene la dipendenza dei coefficienti C K dai momenti m ^ . Eccola per 0 $• K « 8 :
mo
1 / \
c 7 =-=r( »»7 -2lm 6 +175ms -735nu. +162^13 - 1 7 6 ^ 2 +72010,)
c 8 = - ^ ( m6 -28m7 +322% -l960m5 +67691H4 -13132rag +13O68ma -5040m,!
Se- r;i. introduce I:1 definizione di no.irrito fattoriale d'ordine h. come
si nota come, data l'eguaglianza M^sklc^ , esista un locarne immediato tra la funzione generatrice, le sue derivate ed i momenti fattoriali. Esso e' d£ to dalla relazione
07;
Inoltre, moltiplicando ambo i membri delle F.q.(6) per k! si ottengono le
12
espressioni esplicite dei momenti fattoriali in funzione dei momenti ordina ri. Infine, richiamando l1 Eq.(3)t si deduce che
(3)
che e1 la relazione fondamentale che si cercava. Riassumendo, la .funzione generatrice contiene tutta l'informazione relati
va alla distribuzione ed e1 quindi in grado di generare, tramite le relazio- ni fornite dalle Eq,(2) e (8), tutte le grandezze statistiche caratteristi- che- di una distribuzione nota od incognita.
Unanota, a chiusura del presente capitolo* Si e1 qui fatto esteso uso del momenti htj,, della distribuzione, i cosiddetti momenti non centrali, cioè1 non calcolati rispetto alla media /wii f ma rispetto all'origine. La ragione risia de nella caratteristica di intero naturale della variabile k. e nella conse- guente maggiorata flessibilità1 e disinvoltura del calcolo con numeri inte- ri. Infatti se K e' intero, non e* detto che lo sia ut, : generalmente non lo e1. Ne deriva che non e1 intero neppure K-w, e tutte le sue potenze Cx-1Jtt' con conseguenti complicazioni nei calcoli di taluni coefficienti. Avere ignorato i momenti centrali ha completamente eliminato questi inconve- nienti.
13
LA DISTRIBUZIONE DI POISSON
La distribuzione di Poisson e1 tra 1 più1 noti profili probabilistici ed e1 caratterizzata da un solo parametro statistico: il valore medio w-t . Dato quest •ultimo, e1 immediato costruire la distribuzione della probabili- tà che ujna variabile assuma il valore k essendo il suo valore aspettato pari ad m< . La suddetta probabilità1 e1 fornita dalla seguente relazione:
PK=Jid"C ' (9)
oppure, in formula ricorrente assai utile per il calcolo numerico,
^ fc> = è"< (9')
La funzione generatrice della distribuzione di Poisson può1 essere lata secondo l'indicazione dell1 Sq.(l) con la sostituzione delle p K In conformità* ali* Eq,(9). Se ne deduce
(io) = e
Per il calcolo dei momenti fattoriali, facciamo uso della Eq.(8) richiamali do per la funzione generatrice l1 Eq.(lO). Se ne deduce la semplice relazione
Successivamente, dalle I2q.(6) che forniscono espressioni generali - valj, de per qualslasi tipo di distribuzione - dei momenti fattoriali in funzione dei momenti ordinarl, si possono ricavare le espressioni esplicito per gli ittfc, , senza dover ricorrere alla complessa elaborazione derivante dall'ap- plicazione diretta della definizione data dall1 Eq.(O). Esse sono
14
134 - m*
ms « mf m 6 *= mt +15n? +65n£ -^Ctó} +3 Irai? + m-,
m 8 = mf +28mJ +266mt +105Qm* + 1701m* -t966r£, +12?m* + m.
Vale la pena di notare come, nel caso particolare delia distribuzione di Poisson, i momenti di ordine qualsìasi siano esprimibili come polinomi inm 1 ( proprio perche* esso e* l'unico parametro statistico della distribuzione, come detto appunto in apertura di capitolo•.
Nel caso della distribuzione di Poisson, il confronto con l'evidenza spa rimentale e' stato realizzato contando le particelle # emesse con frequenza sostanzialmente costante da una opportuna sorgente radioattiva. Si sono adoi tate condizioni specifiche di misura in modo da ottenere tre profili distri- butivi con valori medi m 1- 1, m.,~2 ed m1'v3 rispettivamente. I confronti tra dati sperimentali e distribuzioni aspettate, a parità1 di valore medio e di numero totale di campioni, e1 fornito in tav. 1,2 e 3»
Questo tipo di approccio sperimentale corrisponde all'adozione del tipo di procedura "demografica o di c.-'inpionpjnento" presentata in apertura del la- voro a proposito r!ei metodi rii *n;.">Asi cìel rumore.
E 1 ovvio come - sempre nel e?, so r'i una distribuzione di Poisson - sia pojB sibile attuare anche la procedura di "analisi temporale diretta". In questo caso il problema fisico può1 essere formulato come segue. Si vuole descrive- re la distribuzione degli intervalli temporali tra eventi consecutivi di con tepgìo. Essa corrisponde alla formulizione della probabilità* che, dato un evento al tempo t « 0, l'evento successivo si presenti tra t e t+dt .
In generale, questa probabilità1 e' data dal prodotto di due probabilità1
elementari: (l) la probabilità' che nessun evento si presenti tra 0 e t t (2) la probabilità' che un evento di conteggio abbia luogo tra t e t-Kit . Nel caso particolare di una distribuzione di Poisson, se A e1 la frequenza di ripetizione media degli eventi di conteggio, la probabilità» in questio- ne avrà1 la seguente formula:
-Afc = e Adfc
Nell", realta' sperimentale l'intervallo di tempo da misurare e1 d3scretiz- zato in un numero finito di canali temporali di ampiezza singola pari a At. Se ne deduce che il contenuto del canale n-esimo, cioè* il numero di volte in
15
1 023 206
0 - 1 . 2 . 3 - i t . 5 - 6 . 7 - 8 - 9 -
369 168 375 703 192 470 65 332 16 383 3 430
613 91 9 7
368 853 376 268 191 916 65 258 16 643 3 395
577 84 11 1
-

Momenti sperimentali
a1 • 1.0201 ma - 2.0615 m3 » 5.2100 a* • 15.8166 a s * 55.6297 »«,* 221.3130 a 7 « 930.6180 a 6 « 4788.17*3
V a r l a m a ^ r e w B e d i A
varian»a«8U-inedia
+.0004 +.0012 +.0038 +.OO96 +.0203 +.0382 +.O656
"tavola 1 - Confronto tra una distribuzione sperimentale $N*} ed una distribuzione $Np*f di Poisson ed i loro rispetti vi momenti, a parità* di valore medio e di numero to- tale di campioni. La deviazione relativa {£K} tra le due distribuzioni e* confrontata con la standard devia, tìon 16*} della distribuzione aspettata.
16
0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 -
10 - 11 -
96 962 39 867 13 431 4 143 1 073
210 66 18
1 023 051*
131 665 269 952 276 739 189 131 96 9*3 39 752 13 584 3 979 1 020
232 48
.0028
.0019
.0019
.0023
.0032
.0050
.0086
.0158
.0313
.0657
. 1 * -
-
Manenti sperimentali
» , - 2.0503 ma * 6.2597 ma * 23.3436 m . * 101.4324 ms « 498.4885 m6 * 2717.7857 m-r * 16214.9492 me * IO4763.38I4
Vardartaa—su-iaedla Varianza-su-media
«. +.0009 +.OO27 +.0057 +.0094 +.0162 +.0243 +.0342
tavola 2 - Confronto tra una distribuzione sperimentale {N*} ed una distribuzione C^Pkl di Poisson ed i loro rispetti vi noraenti, a parità* di valor medio e di numero tot& le di campioni. La deviazione relativa $ S K $ tra le due distribuzioni e1 confrontata con la standard devia tion \<5k} della distribuzione aspettata.
17
0 . 1 . 2 . 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 -
10 - 11 - 12 - 13 -
56 59»+ I63 339 237 198 229 049 165 205 95 551 46 253 19 278 7 167 2 438
852 257 113
1 023 303
56 282 163 240 236 733 228 876 165 960 96 271 46 538 19 283 6 991 2 253
653 172 42
-
• -
Varianza-su-media sperimentale : 1.00071 Varianza-su-asdia aspettata : 1.00000
tavola 3 - Confronto tra una distribuzione sperimentale {^K} ed una distribuzione {Npfc} di Poisson ed 1 loro rispettivi momenti, a parità1 di valor medio e numero totale di campioni. La deviazione relativa \SK} tra le due di- stribuzioni e* confrontata con la standard deviation
} della distribuzione aspettata.
18
cui la distanza temporale tra eventi consecutivi era compresa tra e n A t t
e' data dall'espressione integrale 4fc
dove T e1 il numero totale di prove in cui l'analisi temporale e' stata ini- ziata. (
La distribuzione temporale sperimentale t^Wj può* essere paragonata con quella aspettata {T^J t a parità* di frequenza media di ripetizione e di nu- mero totale di prove. I dettagli del confronto sono riportati in tav. h .
- La circostanza che l'asse dei teripi sri.a, allatto pratico, discreti^ zato foealìzza da un punto ci vista operativo la differenza concettila, le tra i due metodi, di analisi di runore. L'effettiva distinzione tra i due approcci sta nel valore dell'intervallo At rispetto alle costan, ti di tempo caratteristiche rlel reattore. I metodi di "analisi tempo- rale diretta" sono basati sulla scelta di un br.sso valore per At in modo tale che la probabilità1 dì contare più' di un evento nell'inter- va.llo At sia praticamente nulla. I metodi "demografici o di campiona- mento" sono basati sulla scelta di un elevato valore per A t in modo tale che la probabilità' di contare più' di un evento nell'intervallo A t sia confrontabile con l'unita'. Si può* concludere che operativa- mente i due metodi siano definibili come procedimenti di misura del (a) numero di canali, tra evento ed evento e (b) il numero di eventi per canale, nell'ordine. Bisogna infine aggiungere che l'analisi temporale tra eventi consecu- tivi, comunemente note come metodo PP ( Pulse-to-Pulse time interval method ), e' soltanto _uno. dei metodi di "analisi temporale diretta"»
totale
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
e
T ;
493 799 464 495 446 565 422 018 401 059 379 717 361 293 342 974 325 931 310 459 294 971 280 450 266 958 253 565 241 168 228 466
4 Zj-04 934
9 918 822
492 290 466 555 443 402 421 397 400 485 380 610 36I 722 343 771 326 711 310 497 295 089 280 444 266 527 ?53 300 ?40 730 228 78.3
4 406 509
9 918 822
.0014
.C015
.0015
.0015
.0016
.0016
.0CI7
.0017
.0018
.0018
.0018
.0010
.0019
.0020
.0020
.0021
.0005

4.0016 +.0010 +.C018 -.0014 -.0004
tavola 4 - Intervalli temporali tra eventi consecutivi: con- fronto tra la distribuzione sperimentale {TVi}e la distribuzione aspettata fT«.} a parità' di frequen, za di ripetizione media e disumerò totale di pro. ve. La deviaaione relativa %&<*} tra le due distri buzioni e' confrontata con la standard deviation£ della distribuzione aspettata. L'intero n e' il numerale dei canali di tempo.
21
LA DISTRIBUZIONE DI BERNOULLI
La distribuzione di Bernoulli e', anch'essa, assai nota come profilo di probabilità' e si riferisce alle cosiddette prove a duplice esito, in ingle- se "Bernoulli trials*, cioè' a quelle prove che possono dare luogo soltanto a due risultati, un successo o un fsn^pM^whn, la probabilità' di ciascuno dei quali rimane costante di prova in prova.
La distribuzione e' caratterizzata da due parametri statistici. Essi so- no (1) la probabilità' b che si verifichi un successo ovvero la probabili- tà q=1-(? che si verifichi un fallimento; (2) il numero N di estrazioni programmate o effettuate. Dati questi due parametri, e' immediato costruire la distribuzione di probabilità' che, programmando o avendo effettuato N estrazioni, si ottengano k successi ed N-k fallimenti ( O ^ K ^ M ) . La suddetta probabilità' e' fornita dalla seguente relazione
oppure, in formula ricorrente assai utile per il calcolo numerico
E* interessante notare come la distribuzione di Poisson possa essere ot- tenuta dalla distribuzione dì Bernoulli al limite per p—»• 0 ed N — • « p u r rimanendo il loro prodotto finito e pari al valore medio
m< (13)
La funzione generatrice della distribuzione di Bernoulli può1 essere cal- colata secondo l'indicazione dell1 Eq.(l), tramite sostituzione delle \pK in conformità1 ali1 Eq.(l2). Se ne deduce
Per il calcolo dei momenti fattoriali, facciamo uso dell*Eq.(6) richiaman- do la funzione generatrice espressa nell* Eq.(l3)« Si deriva cosi1
22
M
COIEC già* notato in precedenza, passando al limite per p-frO si ottiene l 1 insieme dei mollanti fattorial i , relativi alla distribuzione di Poisson, contenuti nell1 Eq. ( l l ) .
Successivamente, dalle Eq.(6) che forniscono espressioni generali - va. lide per qtialsiasi tipo di distribuzione - dei manenti fattoriali in fqn. zione dei nomanti ordinari, s i possono ricavare l e espressioni esplicite degli m , senza dover ricorrere al la complessa elaborazione derivante dall'applicazione diretta della definizione data dall' Eq.(O). Esse sono
« i
m2
+6n1(i-p
a?
-322(mfe
) -13068(a2
-6769(0+
23
Vale la pena di notare come, nel caso particolare della distribuzione di Bernoulli» i momenti d'ordine qualsiasi siano esprimibili come polinomi in m1 e p , proprio perche
1 questi sono 1 due parametri statistici della di- stribuzione, come detto appunto in apertura di capitolo.
Nel caso della distribuzione di Bernoulli, il confronto con l'evidenza sperimentale e' stato realizzato utilizzando un codice generatore #*<•# di njj meri pseudocasuali che simulasse appunto l'estrazione di una prova a dupli- ce esito* Prefissato cosi1 un valore per la probabilità1 p t la prova era interpretata come un successo qualora il numero estratto fosse inferiore o uguale a p , come fallimento nel caso contrario*
Si sono adottate condizioni specifiche di misura tali da fornire tre pr.a fili distributivi con valori medi m^Z , m^b e m1«6 rispettivamente. I confronti tra i dati sperimentali e le distribuzioni aspettate, a parità1
di valor medio m1 di numero parziale di estrazioni N e di numero totale di campioni, sono riportati in tav. 5|6 e 7*
Prendiamo in considerazione - anche noi caso della distribuzione di Bejc noulli - una delle possibili procedure di analisi temporale diretta e cioè1
il metodo PP, già1 introdotto in precedenza» II problema fisico ad esso re. lativo viene leggermente modificato e risulta formulato come segue: dato un successo in una prova di riferimento, quale e1 la probabilità1 di un secon- do successo alla N-esima estrazione?
Questa grandezza e1 formata dal prodotto di due probabilità1 elementari: (i) la probabilità' che si verifichino *•'-! fnlliwenti <ìopo il primo succes- so ovvero che non si verifichi alcun successo su K-l estrazioni; (?) 1? pro. babilita' che si abbia un successo alla K-esSjua ostruzione. TV-p por.o ris- pettivamente
( i - p )
PN « p ( 1 - P ) N " 1
che può1 anche essere scritta come
(N-l)log(l-p) % = P e
oppure, in formula ricorrente assai utile per il calcolo numerico,
La distribuzione sperimentale Tjif del numero di estrazioni tra successi
24
0 - 1 - 2 - 3 - 4 . 5 - 6 - 7 - 8 - 9 -
10 -
26 890 1*9 620 *5 159 27 298 11 984 k 127 1 218
299 58 11
2
26 737 U9 680 J+5 388 27 175 11 993 4 160 1 181
282 58 10
.0061 •o<*5 .00^7 .0061 .0091 .0155 .0291 .0594
. .13 .32
-
+.0056 - . 0 0 1 2 —OO5O +.0045 -.0007 -.0075 +.0313 +.0603
- +.10
Momenti sperimentali
ni, « 1.8023 » a « 5.0050 a 3 « 17.0170 m* - 67.5704 Di,- e 303.2600 mfc « I5O8.7957 B., » 819^.5058 m8 «= 4802%55*O
Variemaa-su-aedia Varlanza-stumedia
Homenti aspettati
Deviaziona relativa
+.0017 +.0038 +.0068 +.0103 +.0140 +.0171 +.0188
tavola 5 - Confronto tra una distribuzione sperimentale £N*$ ed una distribuzione di Bernoulli fcJPjplc} ed 1 loro rispetti vi momenti, a parità1 di valor medio nti t di numero parziale N di estrazioni e di numero totale cV9 di campioni. La deviazione relativa \Sk} tra le due diatri buzionl e 1 confrontata con la standard deviation fG*? della distribuzione aspettata.
25
Mi
0 - 1 - 2 . 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 -
10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 -
3 802 16 367 35 562 49 890 51 795 iti 201 26 550 11* 229 6 666 2 636
93^ S87 65 13
2 1
3 699 16 435 35 600 50 092 51 471 hi 168 26 677 14 394 6 595 2 605
897 272 73 17
if 1
-
-
Momenti sperimentali
»< • 3.9992 ma • 19.5993 nt3 * 110.1144 ai* * 688.7854 ms « 4708.359** mfe » 3^725.**601 mT « 273512.8015 a 6 * 2282957.U35
Varianza-su-nedia sperimentale Varianza-su-media aspettata
+.0003 +.0008 +.0015 +.0019 +.0020 +.0008 -.0022
tavola 6 - Confronto tra una distribuzione sperimentale £Nfcl ed una distribuzione { d ^ l di Bernoulli ed i loro rispei tivi ffloaenti, a parità* di valor medio m1 , di numero parziale M di estrazioni e di numero totale dP di caa pioni. La deviazione relativa f<5fc| tra le due distri- buzioni e1 confrontata con la standard deviation {0*} della distribuzione aspettata.
26
0 - 1 . 2 . 3 • 4 . 5 • 6 . 7 • 8 . 9 -
10 . 11 . 12 - 13 •
436 3 490
13 893 35 723 65 473 89 192 96 021 81 996 57 392 32 580 15 285 5 947 1 944
499 107
20 2
500 000
Momenti sperimentali
mfe « m7 « ms>
5.9973 « 40.1658 « 292.6885
I66550.8513 = 1527309.8465 = 14605207.2845
400 3 431
13 958 35 870 65 294 89 489 95 820 82 079 57 126 32 623 15 369 5 984 1 922
507 108
19 2
500 000
Momenti aspettati
5.9973 40.1668
292.9389 2291.9713
19042.1530 166729.9300
1529534.0249 14632434.7632
.0500
.0171
.0085
.0053
.0039
.0033
.0032
.0035
.0042
.0055
.0081
.0129
.0228
.0444
.0962
.23 —
-
„ -•0001 -.0002 -.0004 -.0007 -.0011 -.0015 -.0019
tavola 7 - Confronto tra una distribuzione sperimentale | N K | ed una distribuzione ^dPpK} di Bernoulli ed i loro rispejfc tlvi momenti, a parità1 di valor medio a-, , di numero parziale N di estrazioni e di numero totale dP di cam- pioni. La deviazione relativa {£*$ tra le due distri- buzioni e* confrontata con la standard deviation della distribuzione aspettata.
27
contigui poo1 essere paragonata con quella aspettata {.TP } » a parità1 di probabilità1 p di un successo e di numero totale T di successi. Se ne de- duce che 11 valore di TJJ f ossia 11 contenuto del canale N-esimo della di- stribuzione, indica il numero di volte in cui il numero di estrazioni tra due successi contigui e1 stato pari ad E» I dettagli del confronto sono ri- portati in tav. 8 .
28
N 6H
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - li* - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 - 20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 - 30 - 31 - 32 - 33 - 34- 35 - 36 - 37 - 38 -
89 982 63 201 43 894 30 948 21 662 15 114 10 564 7 323 5 213 3 639 2 576 1 767 1 207 899 624 437 275 206 130 HO 69 55 35 25 24 13 8 10 9 1 3 2 1 1 0 1 0 1
90 63 44 30 21 15 10 7 5 3 2 1 1
006 006 104 874 612 129 590 413 189 632 543 780 246 872 611 427 299 209 147 103 72 50 35 25 17 12 8 6 4 3 2 1 1 1 0 0 0 0
.0033
.0040
.0048
.0057
.0068
.0081
.OO92
.0116
.0139
.0166
.0198
.0237
.0283
.0339
.14 • 17 .20 • 24 • 29 •35 — — - - - - - - - — - -
-.0003 +.0031 -.0048 +.0024 +.0023 -.0010 -.0025 -.0121 +.0046 +.0019 +.0130 -.OO73 -.0313 +.0310 +,0213 +.O234 -.O8O3 —0144 -.II56 +.0680 -.01*17 +.0100 .0000 .0000
+.41 +.O833 .0000 - -
300 029 300 029
tavola 8 - Numero di estrazioni tra successi contìgui: confronto tra una distribuzione sperimentale CTM? ed- una distribuzione f TPN}- derivata da quella di Bernoulli, a parità1 eli probabilità1 p di un successo e di numero totale T di successi* I«a deviazio- ne relativa $5*} tra le due distribuzioni e1 confrontata con la standard deviation £6 K} della e31stri"buzione aspettata,
29
LA DISTRIBUZIONE DEI NEUTRONI EMESSI NELLA FISSIONE NUCLEARE
Fino dal primi esperimenti, riguardanti la fissione termica dell1 H-235, si era notato come il numero medio dei neutroni emessi per evento fosse dei l'ordine di 2.5 • La circostanza che tale valore fosse quasi sicuramente non intero ( la locuzione "quasi" deriva dal fatto che inizialmente gli er- rori sperimentali relativi alla misura del suddetto parametro fossero dei l'ordir» di 0,5 ) conduceva all'ipotesi di una distribuzione dei neutroni emessi e quindi alla formulazione della probabilità' che l'evento di fis- sione comportasse l'emissione di differenti numeri, tutti interi pero', di neutroni»
Nei primi giorni di Los Alamos, E. Fermi R.P. Feynman ed F. de Hoffmann misurarono il momento del secondo ordine del numero di neutroni emessi nel suddetto evento di fissione. Riportiamo in questa sede le conclusioni di quel lavoro, apparso in letteratura e quindi come materiale non classifi- cato soltanto una decina di anni dopo #5#. La nomenclatura dell'articolo originale e' stata parzialmente modificata per omogeneizzarla con quella del presente lavoro.
"Our experiment, performed in 19^, has determined the second moment in the distribution of the number of neutrons in the thermal fission of U-235 a s being 7,8 * 0.6 . To familiarize ourselves with the meaning of this number, we might note that if k were always 2.5 , a physical inpos- sìbility, then m2 = 6.25 • If k were to divide equally between ? and -3 t then ma = 6.5 • It can be seen that if k divided say between 2f
3 and h in such a way as to give m, = 2,5 • the quantity m a would va- ry between about 6»6 and 6,9 • A Poisson distribution of k would lead to a value of ma = 8.75 .
Più' tardi, nel 1954, K.W. Geiger e D.C. Rose hanno affermato,dalla evidenzia #6# dei loro dati sperimentali, come la distribuzione dei neu- troni di fissione potesse essere ben approssimata da una distribuzione di Foisson anche se quest'ultima non fosse il colo profilo teorico a fox nire sùbito una soddisfacente interpol?zione dei dati di misura.
Infatti, l'anno seguente D. Hicks J. Ise o R. Pyle mostravano cene, sia nei fenomeni, di fissione indotta come in rjuelUl di fissione sponta- nea #7,8,9#t 1* distribuzione sperimentale dei neutroni emessi fosse so,si disfatta da un profilo teorico derivato da una scelta opportuna dei para metri di une. distribusione di Bernoulli.
Ma la misura più* nota e più' classica,nella letteratura riguardante il settore specifico, e' quella in cui il profilo delle probabilità' re- lative, ossia delle frequenze sperimentali normalizzate, alla emissione di 0,1,2,3•••neutroni per fissione e1 stato osservato con notevole accu-
30
ratezza da B.C. Diven et al. a Los Alamos nel 1956 #10#, II suddetto filo e1 riportato in tav. 9 insieme ad i momenti, calcolati in base ai dati sperimentali fino all'ottavo ordine, e alla varianza-su-niedla. Gli errori sperimentali di misura sulle p^ sono intenzionalmente omessi in questa tavola perche' utili soltanto nel seguito della presente tratta- zione ( cfr. tav. 10 ).
Qualche tempo dopo, nel 1957,J« Terrell notava in un suo lavoro #11# come la probabilità1 di osservare un numero intero di neutroni nella fia sione nucleare potessero essere approssimate,in forma cumulativa, da una distribuzione di Gauss centrata sul valore medio m1 cioè' tale che la variabile stocastica in oggetto fosse costituita dalla differenza k - nu, invece che da k .
E' abbastanza immediato, dopo aver osservato i dati sperimentali di 3. ?• D3.ven et al., chiedersi ancor oggi che tipo di distribuzione sia quel- la r?lotiva ai neutroni di fissione. Facendo riferimento al contenuto di Lav. 9 , si può1 senz1altro concludere come il profilo non sia assoluta- mente assimilabile ad una distribuzione di Poisson dato il valore della varianza«su-medìa molto lontano dall'unita1.
Effettivamente più' adatta ad interpolare i dati sperimentali appare una distribuzione di Bernoulli costruita sul seguente modello: se N e1
il massimo numero ( intero ) di estrazioni, cioè1 di successi, cioè' di neutroni rivelabili in un evento di fissione (*), la probabilità1 elemen, tare p di un successo, cioè1 delle rivelazione di un neutrone, e1 tale che moltiplicata per N fornisca il valore medio, ossia
N p = m-,
Se ne deduce che la probabilità' p^ di contare k neutroni per even, to di fissione e' data dalla seguente relazione
Por il confronto con i dati sperimentali, bisogna ricordare come la dj, stribuzione di Bernoulli sia caratterizzata da due parametri statistici, nel nostro caso mi ed N secondo quanto e' evidente hell1 Eq. (16). Imponendo in quest'ultima i valori numerici K = 5 ed m,= ?.*?73 , si oi tiene la distribuzione riportata in t?.v. 10 con i relativi momenti. In riferimento a quest'ultima tavola, deve essere notato il differente nume~ ro di cifre decimali adottate per riportare i valori di probabilità' e momenti della distribuzione sperimentali nel confronti delle medesime gran, dezze per la distribuzione interpolante. Per i valori delle probabilità1,
(*) Nota - Dai dati riportati in tav. 9 appare come il parametro N debba essere necessariamente pari a 5» In effetti possono essere con siderate le eventualità' N = 6 ed N = 7 , con immediato rife. rimonto ali1articolo originale di B.C. Diven et al. #10#.
31
tavola 9 -
2.4-73 7.337 2^.367 88.O85 34-0.063 1382.717 5858.1*07 256U8.O85
Varianza-su-medla
.49384-
Numero di neutroni emessi nella fissione termica dell' tJ-235 ^ 0 # : profilo sperimentale di pro- babilità1 con relativi momenti e varianza-su-roe. dia.
k
Distribuzione Distribuzione sperimentale
Momenti della distribuzione sperimentale
m< = 2.4-73 m a = 7.337 ra3 = 2^^367 ra* = 88,085 ns ss 3^0.063 m 6 « 1382.717 m T * 5858.i«)7 m e = 256^8.085
Varianza-su-media della Varianza-su-raedla della
332.7070 1327.5216 5506.3W2 23580.55^
Incertezza Deviazione sperimentale assoluta
distribuzione sperimentale : distribuzione interro'lante :
Deviazione relativa mutua
.4-9381*
.5054-1
tavola 10 - Numero di neutroni emessi nella fissione termica dell1 U-235* confronto tra la distribuzione sperimentale ed una distribu- zione di Bernoulli ed 1 loro rispettivi momenti, a parità1 di valore medio m 1 e di numero massimo N di neutroni emessi*
32
la scelta e1 dovuta all'esigenza di far coincidere il valore medio m^ delle due distribuzioni, cioè1 di ottenere dal profilo interpolante un valore medio m1 uguale a quello usato nell
1 Eq. (16) per generare le probabilità*. Il numero di cifre decìin?.li relativo ai valori dei moinej. ti e1 un'immediata conseguenza della situazione sopra descritta.. Ulte- riormente, in tav.l^si riporta il medesimo confronto relativo ai memefl ti fattoriali.
Malgrado la distribuzione di Bernoulli fornisca un1 interpol?.zione as- sai brillante dei dati sperimentali di B.C.Diven et al*, essa non riesce ad offrire una formulazione analitica esatta del profilo in oggetto. In- fatti sia le probabilità' generate dall1 Eq.(l6) che i momenti calcolati dalle probabilità1 medesime non coincidono con le corrispondenti grande^ ze sperimentali.
Ne consegue che, passando alla ricerca dell'espressione della funzione generatrice della distribuzione dei neutroni emessi nella fissione nucleo re. le strade possibili sono due: (i) adottare la funzione generatrice della distribuzione di Bernoulli, fornita dall1 Eq.(lk), introducendo i valori sperimentali per m ed N, cioè1 usando la formulazione
N G(x) = ( 1 - JSkL + « i x )
N NI
(2) costruire una funzione seneratrice ad hoc, partendo dalla definizione generale data dall1 Eq.(l), che fornisca i valori sperimentali e,s,att per le probabilità1 p . , per i momenti m^' e per i momenti fattoriali M^ ( e' evidente come, in'questa pede, si prescinda dagli errori sperimentali di misura ) .
Per ottenere un? funsàoro r^ennr?trice secondo le indicazioni e le fina- lità1 specificate al punto (2), e1 sufficiente scrivere la stessa come
G(x) = Zo = Po +Pi x + Pa** + P.j*1 + P*x<* + P sx
S (17)
Verifichiamo OVP o.ome la G(x) cosi1 ottenuta soddisfi le esigenze di identità1 con il profilo sperimentale per le tre categorie di parametri statistici sopra in?ìc??tl.
Probabilità'
Richiamando 1' Eq.(2) si hs che
la quale e1 soddisfatta identicamente se come coefficienti p^ dell1 Eq.(l7)
Momenti fattoriali della Momenti fattoriali della Deviazione distribuzione sperimentale distribuzione interpolante relativa
M-i = 2.473 VÌA « 2.4730 M,as 4.864 M 2 « 4.8926 -.0059 Ma'5 7.302 M3« 7.2594 +.0059
• 7.752 M+= 7.I8O8 +.0795 w • 4.560 Kff= 3.5520 +.28 "
M7= 0. M7« 0, M s s 0. MA= 0.
tavola 11 - Numero di neutroni smessi nella fissione termica dell'U-235 : confronto tra 1 momenti fattoriali della distribuzione speri» mentale e della distribuzione dì Bernoulli interpolante, a pà rita1 di momento fattoriale Mte numero massiao H di neutroni emessi.
34
Richiamando lf Eq.(7) si ha che
la quale, in forma esplicita assai utile per visualizzare il procedimento di calcolo numerico, fornisce
M o = p o +p., +p2 +p3
M-, = pi +2pa +3p3 +%t* +5T?S
M* = 2p2 +6p3 + I2p4 +20ps
M 3 = 6p3 +2^p«. +éOps
ìl+ - 2^p4 +120p5
Y.b = M, = M e - 0
Le suddette relazioni sono soddisfatte per il profilo sperimentale se cfl me coefficienti p^ si adottano i valori, osservati del profilo di proba bilita».
Richiamando l1 Eq,(6) e le sopra scritte formulazioni dei momenti fatto- riali, si hanno per i momenti le seguenti relazioni
mo =
a, =
nia =
ra3 =
le quali rispettano in pieno le definizioni date in Bq.(O).
La particolare espressione della funzione generatrice fornita dalla Eq. (17) si presta in maniera opportuna a continuare ed estendere il discorso iniziato nel capitolo dedicato alla definizione della funzione suddetta* Dato che essa non e1 riducibile ad vana, espressione più1 compatta,come nei casi delle distribuzioni di Poisson e di Bernoulli presentati in preceden. za, la funzione generatrice in'oggetto deve essere presentata in forma se. riale limitata.
In alcuni problemi ricorrenti di fisica matematica connessi con proce^ si stocastici, la funzione generatrice di una certa distribuzione compare (a) come incognita del problema, (b) nell'ambito di un'equazione differen. ziale. Il primo ruolo e l'importanza dello stesso verranno discussi nel capitolo conclusivo del presente lavoro. H secondo carattere apre l'acce^ so ad immediate difficolta1 per l'ovvio scarso gradimento nei confronti di funzioni troppo complicate oppure di polinomi di grado elevato nelle equa- zioni in gioco. Ne deriva la comune tendenza a sviluppare in serie le fun- zione generatrici ed a troncarle dopo un numero esiguo di termini.
Dato che, come già1 sottolineato in precedenza, la funzione generatrice non e' una grandezza fisica e la sua variabile indipendente x non ha ri- scontro fisico osservabile, la troncatura non e' numericamente giustifica- bile ed ha comunque riflessi e conseguenze di vario tipo sul profilo di probabilità's sui momenti e sui momenti fattoriali*
Nel seguito vengono discussi in dettaglio 1 vari casi di troncatura, prendendo come funzione generatrice esemplificativa l'espressione fornita dall1 Sq.(i7) e partendo dalle situazioni più' estreme e degeneri della tronc?t\ira stessa.
Se come forma troncata di ordine n della funzione generatrice G(x) si intende l'espressione
l'impostazione generale della trattazione che segue e1 quella di adottare la forma troncata di n-esimo ordine ( per i singoli casi nsl,2,3,4 ) coste funzione generatrice della distribuzione dei neutroni emessi nella fissio- ne nucleare e di calcolarne probabilità', momenti fattoriali e momenti. Il confronto con le corrispondenti grandezze relative al profilo sperimentale, originario della funzione generatrice stessa, viene riportato per esteso in tav.ll e conduce ad alcune conclusioni generali.
Se la funzione generatrice G(x) e1 sostituita con la sua forma troncata Gn(x) di ordine n ,
(a) il profilo delle probabilità' p^ e' preserrato dal termine p o fi no al termine Pn incluso; i termini successivi ( k>n ) sono iden- ticamente nulli. Ne consegue che la somma delle probabilità* non e1
più1 normalizzata all'unita';
1* ordine 2* ordine 3* ordine 4* ordine Nessuna troncatura
Po= 0.027 P i = 0.158 pa= 0. P3= 0. P4= 0. Ps= 0.
0.027 0.158 0.339 0. 0. 0.
0.027 0.158 0.339 0.305 0. 0.
0,027 0.158 0.339 0.305 0.133 o.
0,027 0.158 0.339 0.305 0.133 0.038
Mo = 0.185 M, = 0.158 M2 - 0. Ma- 0, M4 m o. M5 = 0. M6= 0.
0.524 0.836 0.678 0. 0. 0. 0.
0.829 1.751 2.508 1.830 0. 0. 0.
0.962 2.283 4.104 5.022 3.192 0. 0.
1.000 2.473 4.864 7.302 7.752 4.560 0.
mc = 0.185 mi • 0*158 m2 = O.I58 m3 - 0.158 m* • 0.158 ms • 0.158
•: 0.158 > 0.158 ' 0.158
0.524 O.836 1.514 2.870 5.582 11.006 21.854 43.550 86.942
0.829 1.751 4.259 11.105 30.287 85.121 244.199 710.585 2088.047
0.962 2.283 6.387 19.617 64.335 221.313 788.967 2889.657 10804.335
1.000 2.473 7.337 24.367 88.085 340.063 1382.717 5858.407 25648.085
tarola 11 - Distribuzione dei neutroni emessi nella fissione nucleare: esempi degli effetti sui valori di probabilità1, momenti fattoriali e momenti domiti alla troncatura progre.2 sira della funzione generatrice data in Eq. (17) .
37
(b) i valori dei manenti fattoriali sono diversi da zero fino al ne Mn ma non coincidenti con i momenti fattoriali della distribji zione originaria; i termini successiri ( h> n ) sono identicamente rollii. Al crescere dell'ordine n di troncatura, i valori mai ne- gativi del momenti fattoriali tendono a quelli della distribuzione originaria;
(e) i Talorl del momenti sono tutti dirersi da zero ma non coincidenti con 1 momenti della distribuzione originaria. A crescere dell'ordì ne n di troncatura i ralori sempre positivi dei momenti tendono a quelli, della distribuzione originarla.
Come si può1 immediatamente notare, l'uso della forma troncata, in lu£ go della funzione generatrice, garantisce la preserrazione di assai poco della distribuzione originaria: soltanto i valori delle prime n+1 probabi lita1 ( dalla p0 alla pn ) del profilo In analisi risultano coincidenti con i corrispondenti valori sperimentali. L'informazione relativa al mo- menti fattoriali ed ai momenti e1 inesistente oppure, se presente, totaì mente distorta.
Se la funzione generatrice data in Eq.(i?) e1 stata derivata dalla fox mulazione suggerita dall' Eq.(l), la medesima grandezza può1 essere co- struita a partire dall1 Eq.(^'). In questo caso si ottiene l'espressione
G(z) = HXk^ =Z-^zh = (18) O K! on-!
= Mo +K,z +(M2/2)z 9 +(M3/6)z
3 +(M4/2^)z4 +(Ms/l20)z S
Esplicitando in funzione delle probabilità' e facendo uso delle relazi£ ni intercorrenti tra 1 momenti fattoriali e le medesime, si ottiene
G(z) = 1 + ( Pi +2pa +3p3
+ ( Pa +3Pa +6P4. +i0p5) z + ( p3 +**P4. +i0ps) Z +
+ ( P4 + 5 P S ) z + P5 z
E' anche opportuno richiamare come per la funzione generatrice defini ta in Eq.(18) siano valide le seguenti posizioni
Esse permettono di derivare le probabilità' in funzione dei momenti fai torlall :
1* ordine 2* ordine 3* ordine 4* ordine Nessuna troncatura
Mo = 1.000 1.000 1.000 1,000 1.000 Mi - 2.473 2.473 2.473 2.473 2.473 M2= 0. 4.864 4.864 4.864 4.864 M3= 0. 0. 7.302 7.302 7.302 M4= 0. 0. 0. 7.752 7.752 M5= 0. 0. 0. 0. 4.560 M 6 s 0. 0. 0. 0. 0.
mo • 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 m, = 2.473 2.473 2.473 2.473 2.473 m 2
a ! 2.473 7.337 7.337 7.337 7.337 ns~ 2.473 17.065 24.367 24.367 24.367 nw= 2.473 36.521 80.333 88.085 88.O85 m 5= 2.473 75.433 257.983 335.503 340.063
2.473 153.257 810.437 131^.317 1382.717 w
2.473 308.905 2506.807 5220.007 5858.407 °° 2.473 620.201 7673.933 20860.085 25648.085
Po • - I .473 0.959 -0.258 O.O65 0.027 P i - 2.473 -2.391 I.26O -0.032 0.158 P a = 0 . 2.432 - I .219 0.719 0.339 P a = 0 , 0 . 1.217 -O.O75 O.3O5 P 4 = 0 . 0 . 0 . 0.323 0.133 p 5 « 0 . 0 . 0 . 0 . 0.038
tavola 12 - Distribuzione dei neutroni emessi nella fissione nucleare: esempi degli effetti sui valori di momenti fattoriali, momenti e probabilità1 dovuti alla troncatura progressiva della funzione generatrice data in Eq.(18) .
39
P i = M1 -M2 +Ms/2 -1U/6
p2 = (M2 -M3
p^ e (M4
p s = M5/12O
Se con» forma troncata d'ordine n della funzione generatrlce G(z) s i Intende 1*espressione
Gn(2) « = | A z h (18f)
un confronto ( vedi tav»12 } analogo a quello visto In precedenza per le fonie troncate Gn(%) può
1 essere svolto anche a partire dall'espressione dell* Eq.(18») p e r n » 1,2,3,4- .
Se ne conclude che, qualora la funzione generatrlce G(z) sia sostituì ta dalla forma troncata &n(z) di ordine n ,
(a) i valori del momenti fattoriali sono preservati dal termine MQ fi no al termine incluso; 1 termini successivi ( h > n ) sono tui ti Identicamente nulll;
(b) 1 valori dei momenti sono preservati dal termine Dio fino al ter- mine u^ incluso ; i termini successivi ( h> n ) non sono mai nuli! ma differiscono dai momenti della distribuzione originaria. Al crescere dell'ordine n della troncatura, i valori sempre po- sitivi dei momenti tendono verso quelli della distribuzione origi- narla;
(e) 11 profilo di probabilità' e1 totalmente sconvolto, essendo nulll 1 termini da p^+j Incluso in poi, e presentando per 1 termini eoa presi tra p 0 e p» valori talvolta negativi e/o maggiori ( in mp. dulo ) rispetto qflj,"'inlfr*' - La sola proprietà* conservata e1 quel- la che la somma delle probabilità* e' normalizzata all'unita». Al crescere dell'ordine n della troncatura, 1 valori delle probabi- lità* non mostrano apprezzabile convergenza verso il valore assun- to nella distribuzione originarla* Nel nostro caso particolare, es- si addirittura cambiano di segno se si eleva od abbassa di una uni- ta» l'ordine di troncatura.
40
Cone si poo1 notare,anche In questo caso l'uso della fonia troncata In luogo della funzione generatriee garantisce la preservazione di assai poco della distribuzione originaria: soltanto i valori dei momenti fattoriali e dei momenti di ordine h £ n sono coincidenti con i loro corrispondenti sperimentali. L'informazione relativa al profilo di probabilità1 e* total- mente distorta.
4.
IA DISTRIBUZIONE BINOMIAIE NEGATIVA
La distribuzione di Bernoulli, nota anche con la denominazione di dlstii buzione binomlale, presenta un'interessante variante, se viene annessa la ipotesi che la probabilità1 p che si verlflchi un successo ( oppure la probabilità1 q che si verlfichi un fallimento ) ed il numero totale H'.di estrazioni possano assumere valori formalmente latrativi. Vedremo nel segui to 11 vero significato fisico implicito in questa posizione matematica.
La distribuzione binomlale "negativa" cosi* derivata si riferisce anca ra a prove a duplice esito ed e1 anch'essa caratterizzata da due parametri statistici fondamentali. Essi sono (1) la probabilità' p che si verlfl- chi un successo ovvero la probabilità' q = 1-p che si verifichi un fai. llmento; (2) il numero k di successi ovvero il numero N-k di fallimen, ti accumulati ali* N-esima estrazione. Da questi due parametri e* lmnedi£ tamente possibile costruire la distribuzione di probabilità1 che U k-esimo successo sia ottenuto alla N-esima estrazione ( k£N ).
La probabilità* in oggetto e* data dal prodotto di tre probabilità1 com- ponenti: (1) la probabilità* che si siano vèriflcati k~l successi nelle N-l estrazioni precedenti, (2) la probabilità' che si siano verificati N-k fallimenti nelle precedenti N-l estrazioni, (3) la probabilità' che si verifichi un successo alla N-esima estrazione. Essa valgono nell'ordine
pk-l qN-k p
Per ottenere la probabilità1 cercata, bisogna ancora moltipllcare 11 prodotto delle tre probabilità1 componenti per il fattore
/N-l\
11 quale indica in quanti modi e' possibile avere disposti k-1 successi in N-l estrazioni. Si ha in definitiva che la probabilità' di avere il k-esimo successo ali* N-esima estrazione e' data dall'espressione
PH-OP" «** (19)
La distribuzione, sporadicamente attribuita a B. Pascal, compare per la prima volta in letteratura grazie a P.R. de IJontmort #12# nel 1713. Essa e' stata poi adottata per confronti con dati statistici da G.U. Tuie #13# nel 1910 e da "Student" #14# nel 1919- La stessa distribuzione e' anche nota come profilo dell'urna di G. Polya, introdotto in un suo lavoro del 1923 #l5#t o come distribuzione delle attese.
Confrontandola con la distribuzione di Bernoulli si può1 notare come, rcsntre in quel caso la variabile della distribuzione era costituita folla quantità1 k che indicava il numero di successi dopo N estrazioni, in que-
42
sto caso 12 ruolo della variabile e1 invece quello della quantità* N eh» indica 11 numero di estrazioni da effettuare per raggiungere il prefissa to numero k di successi*
Richiamando l'analogia con i metodi di. analisi temporale diretta cita ti in apertura del presente lavoro, il problema fisico risulta cosi* fox mulato: data una prova di riferimento, corrispondente all'inizio delle estrazioni, quale e1 la probabilità' del k-esimo successo alla N-esima estrazione ? E* ovvio che 11 numero di estrazioni sarà1 perlomeno uguale a k. Per questo motivo, Invece di cominciare a contare le estrazioni dal- la prima, appare opportuno iniziare 11 conteggio stesso a partire dalla k-esima, introducetelo la nuova variabile . r = N - k che indica 11 numero addizionala di estrazioni, oltre la k-esima, da compiere per raggiungere il k-esimo successo«II problema fisico e* quindi modificato come segue: quale e* la probabilità* di avere 11 k-esimo successo alla r-esima estra. zione dopo le prime k ?
Introducendo alcune proprietà' dei coefficienti binomial!, cioè1
x"' %N-k '
oppure, in formula ricorrente assai utile per il calcolo numerico,
L n _nk £ P r - 1 Po = P
Confrontandola con la distribuzione dì Bernoulli data in Eq.(12), si comprende il motivo della denominazione "negativa1* attribuita alla distri buzìone in oggetto.
La funzione gèneratrice della distribuzione binomiale negativa può1 es sere calcolata secondo l'indicazione dell1 Eq.(l), tramite sostituzione delle pj, in conformità' ali» Eq.(i9«). Se ne deduce
(20)
Per il calcolo dei momenti factorial!, facciamo uso dell' Eq.(8) .richla mando la funzione generatrice espressa nell1 Eq.(i3) . Si deriva cosi*
M k(k+i)(k+2)...[k+(h-l)] qh . %
«h = g (21)
43
In apertura di capitolo e1 stato precisato che la distribuzione binomi^, le negativa e* caratterizzata da due parametri, k e p .L'espressione dei momenti fattoriali, data dall1 Eq.(2l) e1 pero' maggiormente slntetizzabi- let specie in forma esplicita., se i parametri scelti sono k ed m1 dato che per quest'ultimo vale la relazione
L' Eq.(2i) diventa allora
Mh = " ( 1 + k~1)( 1 + 2k"1)-'« C 1 + (h-1) k - 13
In forma esplicita, per 0^h*8 , i momenti fattoriali valgono
Ma = mj( 1+k-1)
M5 = mf( l+l0k"1+35k"2+50W*3+?Ak""4')
M6 =
M a = m*(
Si può* notare come, passando al limite per k—*»a3 ( ma con q—»0 in modo tale che m, rimanga finito ), si ottiene l'insieme dei momenti fatto, rìali relativi alla distribuzione di Poisson e contenuti nelle Eq. (il). Successivamente, dalle Eq. (6) che forniscono espressioni generali - valide per qualsiasi tipo di distribuzione - dei momenti fattoriali in funzione dei momenti ordlnari, si possano ricavare le espressioni esplicite per gli 1% t senza dover ricorrere alla complessa elaborazione derivante dall' ap- plicazione diretta della definizione data dall' Eq.(O). Esse sono
44
in,
+2k
n.4 = m* ( i+6k"1 + l ik +6k" ) +61113 - i i m 2
m«j = mf ( 1+lOk1 +35k2+50k3+2^k4) +10»^ -35»3
m6 - m? ( l+l5k"1465k"2+225kS+27^k4+l20kS) +15% -85% +225n3 -
4720k"6
= mf ( i+28k"1+322k2+l960k3+6769k4+i3l32kS+l3068k*+50^0k"7) +28m7
+196Cta5 -6769111+ +131321113 -13O68ina
Vale la pena di notar© come, nel caso particolare della distribuzione binomiale negativa, i momenti d'ordine qualsiasi siano esprimibili come polinomi in k ed m^ t proprio perche
1 questi sono i duo parametri sta- tistici della distribuzione, come detto appunto in apertura di capitolo.
Nel caso della distribuzione binomiale negativa, il confronto con l'è. videnza sperimentale e' stato realizzato utilizzando i risultati di alcu. ne misure della distribuzione di un campione della popolazione neutronica prelevato da un mezzo moltipllcante in condizioni di equilibrio. H siste. ma nucleare in questione era il reattore prototipo ad acqua del Progetto di Propulsione Navale Nucleare, situato al C.S.N. della Casaccia. Esso si trovava in condizioni di criticità1 #16#.
E1 infatti noto come, verificate alcune particolari ipotesi #17#» la distribuzione di un campione della popolazione neutronica può1 essere as- similata ad una distribuzione binomiale negativa con identico valore me- dio e varianzaT'Il dettaglio del confronto tra il profilo sperimentale e quello interpolante e1 fornito in tav.13»1^,15 •
Nota - Vale la pena di ricordare a questo punto come la conoscenza di mi e della varianza-su-media relativi alla distribuzione spe- rimentale consenta l'immediata derivazione dei parametri p e k e quindi la costruzione della distribuzione binomiale n& gativa interpolante. Infatti si ha che
varianza-su-media = — i — = 1 + J2l_
Distribuzione sperimentale
81* 238 176 322 27 835 3 99* 517 86 12
Distribuzione interpolante
.Momenti della distribuzione speriwsntale
a. *•* .2*100 3
Momenti della distribuzione interpolante
112.57963
: 1.1156 : I.II56
tavola 13 - Campionamento della popolazione neutronica di un reattore nucleare in condizioni stazionarie: confronto tra la dia. tribuzione sperlnentale non-normalizzata ed una distribu- zione bdnomiale negativa ed i loro rispettivi momenti, a parità1 di valore medio ^ e d l valore quadratico nedìo
46
r
0 . 1 . 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 -
Distribuzione sperimentai»
607 *m 289 923 92 863 24 778 6 176 1 **33
333 73 12 7
Distribuzione interpolante
607 792 289 185 92 983 25 116 6 139 1 406
307 65 13 3
- -
Momenti della distribuzione sperimentale
«1 - .571** m2 « 1.0126 m3 - 2.3308 ni** 6.8048 ms « 24.1521 me» 100.6584 a , " 480.4357 mB= 2574.6967
Varianxa-su-media Varianaa-su-aedia
Deviazione relativa mutua
I.2OO7 1.2007
tavola 14 - Campionamento della popolazione neutronica di un reattore nucleare in condizioni stazionarie: confronto tra la dis- tribuzione sperimentale non-normalizzata ed una distribu- zione binomiale negativa ed 1 loro rispettivi momenti, a parità1 di valore medio m^ e di valore quadratico medio 1&2 •
47
r
0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 -
10 - 11 .
Distributions sperimentale
575 13& 298 030 105 730 31 922 8 952 2 338
611 172 48 9 5 1
1 022 952
8 964- 2 349
- - -
172.560^ 917.791^
553^.5922
3 1,2168 3.0171 9.^839 36.1235 5 9 ^2.6525 ^5.2267
Deviazione relativa mutua
Varlanza-su-medla della distriv ione sperimentale : 1.2478 Varianza-sn-aedia della disurlbiulone interpolante : 1.2478
tavola 15 m, Caaplonanento della popolazione neutronica di un reattore nucleare In condizioni stazionarie: confronto tra la dis- tribuzione sperimentale non-normallzzata ed una distribu- zione binomial© negativa ed i loro rispettivi momenti, a parità* di valore rn dlo mj, e di valore quadratico medio «2 •
49
LA DISTRIBUZIONE DEI NEUTRONI IN UN'ASSEMBLEA MOLTIPLICANTE ALL'EQUILIBRIO
Nel capitolo precedente sono stati riportati tre esempi di come la d^ stribuzione di un campione della popolazione neutronica in tin reattore nucleare possa essere interpolata da una distribuzione binomiale negati- va. La motivazione dei tre confronti era basata sulla volontà1 di forni- re dati statistici altamente significativi ( ordine di grandezza del nu- mero di campioni <v IO6 ) dell'esistenza reale di distribuzioni assai vi- cine alla distribuzione binomiale negativa.
La verità1 e* invece che la distribuzione della popolazione neutroni- ca,in un'assemblea moltipllcante in condizioni di equilibrio, e1 incogni ta. Anzi, essa e* l'incognita fondamentale del problema inquadrato nel presente articolo il quale suggerisce come , al di la' dei diversi approfi ci più1 o meno euristici usati nell1interpretazione di esperienze specif! che, sia necessaria un'impostazione più1 generale includa il maggior nume, ro possibile di circostanze sperimentali di misura.
Lo stato d'avanzamento attuale delle conoscenze a proposito del cerca- to profilo distributivo, o meglio della funzione generatrice dello stesso, e' il seguente :
(1) Sotto particolari ipotesi #17# non univocamente determinate, la distri buzione binomiale negativa costituisce una soddisfacente interpolazi^ ne. Le ragioni di questa identificazione non sono mai state fornite in forma esauriente e fenomenologica ( cfr. #18# ): cioè1 non e1 mai stato tisicamente dimostrato come un sistema moltipllcante in condizio. ni stazionarie costituisca un dispositivo probabilistico analogo a quel, lo descritto, o descrivibile, quando si genera la distribuzione bino- miale negativa.
(2) Non valendo le condizioni particolari di cui si e1 accennato nel pun. to (1), la distribuzione della popolazione neutronica diventa l'incp. gnita del problema in oggetto. Essa può1 ,in linea di principio, esse, re ottenuta risolvendo le equazioni della cinetica di un reattore nu, clears ( si postula - in prima istanza - la schematizzazione di un sistema moltipllcante zerodimensionale e monoenergetico ) formulate secondo un approccio stocastico e non deterministico, come abitualraen, te d'uso.
(3) Nell'ambito della cinetica dei neutroni pronti e trascurando alcuni processi di "branching" assai poco probabili, il problema e' stato ri solto, con un certo grado di approssimazione ( vedi seguito di questo medesimo punto ), indipendentemente da Pai #19# e da Mogilner e Zolo. tukhin #20#, 1 quali sono giunti al medesimo risultato, cioè1 alla formulazione della identica funzione generatrice della distribuzione cercata. Lo stesso profilo di probabilità" e' stato derivato da Bell #21#, il quale ha esteso il problema anche al neutroni ritardati.Pren, dendo spunto dall1 equazione di Chapman-Kolmogorov, il medesimo quasi
50
to e* stato affrontato da Babala #22# con il conseguimento dello idea tico esito finale. Per queste ragioni, la funzione generatrice della distribuzione della popolazione neutronica in un'assemblea moltipli- ca nte all'equilibrio e1 attribuita indistintamente a tutti e cinque gli autori citati. Oltre alla formula finale, le quattro trattazioni hanno in comune una particolare manipolazione della funzione generatrice della dlstribuzi& ne dei neutroni emessi dalla fissione nucleare. Essa compare come ter- mine di sorgente nell'equazione di bilancio relativa alle funzioni ge- neratrici, la quale, opportunamente derivata e calcolata per un parti- colare valore della variabile ausiliaria, fornisce il comportamento ci netico medio ovvero deterministico del sistema in analisi. La manipola zione sopra accennata consiste nello sviluppare in serie la funzione generatrice dei momenti £ vedi Eq.(l8) del presente lavoro] e troncar- la dopo il termine del secondo ordine, in analogia a quanto illustrato nella seconda colonna di tav. 12. Le conseguenze di questa troncatura sono state descritte e commentate con notevole dettaglio, quindi non e' il caso di riportarle ancora in questa sede. Vale la pena di sottolineare soltanto un fatto: una trojQ catura del secondo ordine azzera totalmente il profilo della distribu, zione dalla probabilità p? inclusa in poi» Nel caso della fissione termica dell' U-235 si ha dunque un valore medio m^ *v 2.5 P0*" essen, do nulla la probabilità1 che vengano emessi sia1 di due neutroni..»
CO Alcuni autori hanno mostrato come una forma troncata del secondo ordi ne della funzione generatriee di P&l-Mogilner-Zolotukhin-3ell-Babala corrisponda alla funzione generatrice di una distribuzione binomiale negativa. Le giustificazioni della troncatura sono differenti e non in mutua consistenza. Pai #23# sostiene come la troncatura sia signi- ficativa soltanto se il valore temporalmente saturato della parte cor. relata della varianza-su-media sia trascurabile rispetto all'unita1, circostanza già' genericamente postulata da Mogilner e Zolotukhin #20#. PaclUo #2^# sottolinea come considerazioni di carattere quantitativo e numerico sia fuori luogo e come la distribuzione originaria e la fog ma troncata del secondo ordine abbiano in comune soltanto i momenti del primo e secondo ordine. Dragt e Tttrkcan #25# insistono su come debba essere molto inferiore rispetto all'unita' il valore attuale della parte correlata della varianza-su-media cosi' come pure sostie- ne Szeless #26#.
(5) La funzione generatrice di Pal-Mogilner-ZolotuWiin-Bell-Babala e' una espressione analiticamente complessa ed e1 di conseguenza scarsamente maneggevole per il confronto con i profili sperimentali. Infatti le distribuzioni sperimentali, che hanno un valore medio 5 & ""l ~ 10, presentano valori non trascurabili delle prcMbiUta1 p^ anche per kf20 . n calcolo della derivata di ordine ZO-esimo, in forma anali- tica, della funzione generatrice di Pal-Mogilner-Zolotukhin-Bell-Babala
51
non e* un risultato ottenibile Immediatamente. Questa e1 una delle ra- gioni per cui spesso 1 dati sperimentali sono confrontati con una di- stribuzione bindolale negativa, caratterizzata da suggestive proprie- tà1 di ricorrenza che rendono le probabilità* p. facilmente calcola bili. K
(6) Più1 recentemente la complessità' del calcolo delle probabilità1 p^ e* stata aggirata da Tfirkcan e Dragt #27$, i quali hanno sviluppato un procedimento per ottenere numericamente la distribuzione di probabili- tà' dalla funzione generatriee: il loro metodo si basa su calcoli a ricorrenza multipla. Un procedimento originale e assai più* rigoroso e* stato sviluppato da Routti e Szeless #28# ed e1 basato sulla possi- bilità' di fornire l'espressione in forma chiusa della derivata n-esima di una funzione composta di grado m . Bisogna pero1 notare come il nu- mero dei termini coinvolti tenda a crescere notevolmente con l'ordine di derivazione ed il grado di composizione : per esempio, la derivata di ordine 20 di una funzione di grado 1 contiene 6?7 termini. E la funzione generatriee di Pal-Mogilner-Zolotukhin-Bell-Babala e' una funzione composta di grado 2 ...
53
PROSPETTIVE FUTURE
La revisione critica del materiale contenuto nel presente articolo sti mola la necessita' di impostare il problema fisico in senso più' genera- le e cioè' : e' possibile formulare una. descrizione completa dei fenomeni di rumore neutronico in un sistema moltiplicante e quindi stabilire una base comune per tutte le tecniche di analisi del rumore di un reattore np cleare ? Similarmente a quanto avviene per altri problemi di fisica dei reattori, e' possibile scrivere un'equazione progenitrice di partenza di tipo stocastico, cioè' espressa in funzione di alcune probabilità' o del- le funzioni generatrici di queste probabilità', cui - analogamente alla equazione del trasporto, all'equazione della diffusione, alle equazioni della cinetica - possa esser fatto immediato riferimento per la trattazia ne di tutti i fenomeni di natura statistica di un reattore nucleare ?
55
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