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UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PAVIA

FACOLTA DI SCIENZE MM. FF. NN.

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE FISICHE

CARATTERIZZAZIONE DEL FLUSSONEUTRONICO NEL COMPLESSO

MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICO SM1DELL’UNIVERSITA DI PAVIA

Relatore:

Dott. Ing. Andrea Borio di Tigliole

Correlatori:

Dott. Daniele Alloni

Dott. Michele Prata

Tesi di laurea di

Andrea Cazzola

anno accademico 2009/10

Indice

Introduzione i

1 Elementi di Fisica dei reattori nucleari 1

1.1 La fissione nucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Energia rilasciata nella fissione . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Equazione di bilancio dei neutroni . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Calcolo del coefficiente di moltiplicazione . . . . . . . 9

1.4 Sezioni d’urto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Assorbimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.2 Scattering elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Scattering anelastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.4 Libero cammino medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Accelerator Driven Systems e la Struttura Moltiplicante

sottocritica “SM1”dell’Universita di Pavia 19

2.1 Struttura degli ADS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Trattamento delle scorie nucleari con gli ADS . . . . . 27

2.2 Geometria della Struttura Moltiplicante SM1 . . . . . . . . . 31

2.2.1 Il contenitore e il coperchio . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 Le griglie distanziatrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.3 Elementi di combustibile . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.4 Acqua di moderazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.5 La sorgente di neutroni . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Simulazione mediante codice Monte Carlo MCNP 39

3.1 Procedimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Configurazione del reticolo di elementi di combustibile 39

3.1.2 Sorgenti utilizzate nelle simulazioni . . . . . . . . . . . 40

i

INDICE

3.1.3 Simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Misure di flusso nella struttura moltiplicante sottocritica

“SM1” 79

4.1 Svolgimento delle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.1 Irraggiamento e Conteggio . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.2 Calcolo dell’attivita specifica a saturazione . . . . . . 87

4.1.3 Ricostruzione del flusso neutronico mediante

SAND II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Conclusioni 95

A Teoria del trasporto 105

A.0.4 Densita e flusso neutronico . . . . . . . . . . . . . . . 105

A.0.5 L’equazione del trasporto dei neutroni in forma inte-

gro - differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.0.6 Sistemi moltiplicanti e condizione di criticita . . . . . 111

A.0.7 Rappresentazione integrale dell’equazione del trasporto 112

B Teoria della diffusione 115

B.0.8 Legge di Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

C Il codice MCNP 119

C.0.9 Il metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

C.0.10 Introduzione alla caratteristiche di MCNP . . . . . . . 122

C.0.11 Utilizzo del codice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

C.0.12 Tipo di simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

C.0.13 Caratteristiche della sorgente . . . . . . . . . . . . . . 130

D Il codice SAND II 131

D.0.14 Descrizione dell’algoritmo di SAND II . . . . . . . . . 132

Bibliografia 137

ii

Introduzione

Il combustibile esausto, prelevato dalle centrali nucleari, costituisce il

componente principale delle scorie nucleari. La parte piu pericolosa di queste

scorie e limitata a pochi elementi (Plutonio, Nettunio, Americio, Curio) e

alcuni prodotti di fissione a lunga vita media come lo Iodio-129 e il Tecnezio-

99, in concentrazioni di alcuni grammi per tonnellata.

Ad oggi nell’Unione Europea vengono prodotte approssimativamente 2500

tonnellate di combustibile esaurito all’anno, contenenti circa 25 tonnellate

di Plutonio, 3.5 tonnellate di attinidi minori (Nettunio, Americio e Curio) e

3 tonnellate di prodotti di fissione.

Queste elementi radioattivi, anche se presenti in piccole quantita, possono

costituire un grande pericolo per l’ambiente, se non adeguatamente gestiti.

Percio il loro stoccaggio richiede che siano convenientemente isolate e poste

per lunghi periodi di tempo in siti profondi e geologicamente stabili.

Una misura del rischio di questi elementi e fornita dalla tossicita e in par-

ticolare dalla radiotossicita. Come livello di riferimento normalmente viene

considerata la radiotossicita associata alla quantita di materiale grezzo (os-

sia il minerale di Uranio in miniera) necessaria a produrre 1 tonnellata di

Uranio arricchito, considerando non solo gli isotopi dell’Uranio, ma anche le

loro famiglie radioattive.

La radiotossicita dei prodotti di fissione domina durante i primi 100 anni di

stoccaggio del combustibile esaurito, poi diminuisce e raggiunge il livello di

riferimento dopo circa 300 anni. La radiotossicita a lungo termine e domi-

nata solamente dagli attinidi, principalmente isotopi di Plutonio e Americio.

Per il combustibile esausto non riprocessato il livello di riferimento e rag-

giunto dopo periodi superiori a 105 anni.

Queste sono le basi delle motivazioni che hanno portato alla nascita, in tut-

to il mondo, di programmi chiamati di Partizione e Trasmutazione (P&T)

e allo sviluppo di impianti dedicati allo smaltimento delle scorie, come gli

i

CAPITOLO 0. INTRODUZIONE

Accelerator Driven Systems.

Le tecniche di P&T potrebbero ridurre drasticamente (di un fattore 100 o

superiore) sia la massa, sia la radiotossicita delle scorie nucleari che dovranno

poi essere immagazzinate nei depositi definitivi, riducendo quindi il tempo

di confinamento necessario affinche la loro radiotossicita raggiunga il livello

di riferimento.

Questo sara possibile perche tali tecnologie potranno permettere la separa-

zione (partizione) degli elementi piu pericolosi, ossia il Plutonio (Pu), gli at-

tinidi minori (MA: Nettunio, Americio, Curio) e alcuni prodotti di fissione a

lunga vita media (LLFP)- dalle scorie nucleari e trasmutarli (trasmutazione)

in elementi stabili o a vita media piu breve. La trasmutazione degli elementi

a lunga emivita risulta essere particolarmente efficiente se vengono impiegati

impianti nucleari a spettro veloce.

In questo lavoro di tesi, dopo aver introdotto e spiegato in generale la re-

alizzazione e il funzionamento di un Accelerator Driven Systems, vengono

descritti gli studi e i risultati preliminari effettuati sulla struttura moltipli-

cante sottocritica SM1 dell’Universita degli Studi di Pavia, al fine di utiliz-

zarla come impianto di ricerca sulla trasmutazione degli elementi a lunga

emivita contenuti nelle scorie nucleari.

In modo particolare verranno descritte le misure realizzate presso l’impianto

SM1 ai fini della caratterizzazione del suo flusso neutronico e le simu-

lazioni dell’impianto svolte mediante codice Monte Carlo MCNP. I risultati

delle misure sono stati susseguentemente utilizzati per la validazione delle

simulazioni.

ii

Capitolo 1

Elementi di Fisica dei

reattori nucleari

In questo capitolo vengono trattati alcuni argomenti basilari della fisica

di un reattore nucleare, come la fissione nucleare, l’equazione di bilancio

dei neutroni, le sezioni d’urto e l’energia rilasciata nel processo di fissione.

Altri argomenti, come la teoria del trasporto e la teoria della diffusione dei

neutroni, di cui e stata redatta una trattazione sintetica, sono riportate in

Appendice A.

1.1 La fissione nucleare

Il processo di fissione

La fissione nucleare e una particolare reazione, nella quale un nucleo si

frammenta in due nuclei piu leggeri, detti prodotti di fissione, liberando un

numero variabile di neutroni. Il processo di fissione puo essere spontaneo

oppure indotto: nel primo caso il nucleo genitore si scinde autonomamente;

nel secondo caso, invece, la fissione del nucleo e indotta, in generale, dal

bombardamente con neutroni. I prodotti di fissione solitamente non sono

mai nuclei dello stesso elemento, ma di due elementi distinti, la cui som-

ma delle masse non puo comunque essere maggiore di quella del nucleo di

partenza. In Figura 1.1 sono mostrate le distribuzioni di massa dei prodotti

di fissione di 235U , 233U e 239Pu. Si puo anche notare che nel caso di fissione

indotta i prodotti variano a seconda dell’energia del neutrone incidente.

1

CAPITOLO 1. ELEMENTI DI FISICA DEI REATTORINUCLEARI

Figura 1.1

Curve di probabilita di creazione di un elemento nel processo di fissione in

funzione nel numero di massa atomica. Sono considerate fissioni di 233U , 235U e239Pu. Si puo notare anche la diversita delle curve a seconda che il neutrone

incidente sia termico o con un’energia di 14 MeV.

I neutroni emessi dalla reazione di fissione possono essere distinti in due

gruppi:

Piu del 99% dei neutroni vengono emessi istantaneamente e sono

chiamati neutroni pronti;

Meno del’ 1% dei neutroni vengono emessi con certo ritardo tempo-

rale (dovuto all’emissione di neutroni per decadimento dei prodotti di

fissione) e sono chiamati neutroni ritardati.

Tali neutroni vengono emessi con uno spettro energetico continuo, il cui

andamento e mostrato in Figura 1.3, e possono essere suddivisi in tre gruppi

a seconda della loro energia:

Neutroni termici o lenti : con energia inferiore a circa 0.5 eV;

2

1.1. LA FISSIONE NUCLEARE

Neutroni epitermici : con energia compresa nel range 0.5 ÷ 105 eV;

Neutroni veloci : con energia superiore a 105 eV.

Bilancio energetico

Il bilancio energetico della reazione di fissione e definito sostanzialmente

dal confronto fra l’energia di legame media per nucleone del nucleo di parten-

za e quella dei prodotti finali. L’andamento di questa energia con il numero

di massa del nucleo e mostrato in Figura 1.2.

Figura 1.2

Energia di legame per nucleone, in funzione del numero di massa.

Si puo osservare come l’energia di legame aumenti all’aumentare del nu-

mero di massa fino al valore massimo, pari a circa 9 MeV, in corrispondenza

del nucleo di Ferro (A = 56), per poi decrescere fino a circa 8 MeV per

elementi come l’Uranio o il Plutonio. Questo andamento spiega il fatto che

la fissione avvenga per elementi con numero di massa elevato, in modo che

il processo sia energeticamente favorevole.

3


Perche la reazione sia esotermica, infatti, si deve passare da un nucleo meno

stabile a un nucleo piu stabile, ovvero da un’energia di legame minore a una

maggiore. L’energia liberata nel processo di fissione e percio quella derivante

da questa differenza nelle energie di legame del nucleo fissile rispetto a quelle

dei prodotti.

Se ad esempio consideriamo un atomo di 235U che subisce una fissione in-

dotta da un neutrone incidente e produce un atomo di 137Ba e uno di 97Kr

piu 2 ÷ 3 neutroni:

235U + n→137 Ba+97 Kr + (2÷ 3)n, (1.1)

dalla reazione si liberano circa 210 MeV di energia. Questa energia viene

rilasciata come indicato in Tabella 1.1.

Energia pronta

Energia cinetica dei prodotti di fissione 167 MeV

Energia cinetica dei neutroni di fissione 5 MeV

Energia radiazioni γ prodotti dalla fissione 5 MeV

Energia radiazioni γ prodotti dalla cattura 10 MeV

Totale Energia pronta 187 MeV

Energia ritardata

Energia dal decadimento γ dei prodotti di fissione 6 MeV

Energia dal decadimento β dei prodotti di fissione 7 MeV

Energia dei neutrini 10 MeV

Totale Energia ritardata 23 MeV

Totale 210 MeV

Tabella 1.1

Ripartizione dell’energia liberata in una reazione di fissione di 235U .

4

1.1. LA FISSIONE NUCLEARE

Energia e massa critica

L’energia critica rappresenta l’energia che e necessario fornire al nucleo

per poter avviare il processo di fissione, se questa non puo avvenire in modo

spontaneo. Questa energia e necessaria al nucleo per rompere i legami che

mantengono uniti i nucleoni, le cui sole oscillazioni e vibrazioni non sono in

grado di permettere l’avvio della reazione.

La soglia di criticita della reazione decresce all’aumentare del rapporto Z2/A,

cioe del rapporto tra la forza repulsiva elettrostatica, proporzionale al qua-

drato della carica, e l’interazione forte tra i nucleoni, proporzionale al nu-

mero di massa. Questa soglia determina l’energia cinetica minima che deve

assumere il neutrone incidente perche si abbia fissione. Deve infatti essere

almeno pari alla differenza tra l’energia critica e l’energia di legame di un

nucleone nel livello piu esterno. Nel 235U questa differenza e negativa. In

questo caso anche un neutrone con energia nulla puo far avvenire fissione,

la sola energia di rottura del legame, infatti, e sufficiente all’innesco della

reazione. E comunque bene sottolineare che non tutti i neutroni generano

fissione perche alcuni di essi possono essere catturati per generare un nucleo

di massa maggiore, anch’esso instabile.

I valori di energia critica e dell’energia di legame dell’ultimo nucleone per

alcuni nuclei sono riportati in Tabella 1.2.

Isotopo Ec (eV) En (eV) Ec - En (eV)

232Th 7.5 5.4 + 2.1233U 6.0 7.0 - 1.0235U 6.5 6.8 - 0.3238U 7.0 5.5 + 1.5

239Pu 5.0 6.6 - 1.6

Tabella 1.2

Energie critiche (Ec) ed energie di legame dei neutroni piu esterni (En) per alcuni

isotopi dei piu comuni elementi fissili.

Per massa critica si intende la quantita minima di un certo materiale

fissile affinche possano instaurarsi fissioni nucleari a catena in grado di auto-

5


sostenersi. In questa condizione, detta di criticita, il naturale decadimento

radioattivo del materiale e sufficiente a determinare l’avvio della reazione.

La massa critica di un materiale fissile dipende naturalmente dalle proprie-

ta nucleari (per esempio la sezione d’urto per la fissione), e dalle proprieta

fisiche (in particolare la densita), la forma, e la purezza (materiali impuri

possono contenere assorbitori neutronici). Circondare del materiale fissile

con un riflettore di neutroni riduce la massa critica necessaria, mentre mi-

scelare al fissile un assorbitore neutronico la fa aumentare: infatti il riflettore

diminuisce le fughe di neutroni verso l’esterno, mentre l’assorbitore riduce il

numero di neutroni disponibili per la reazione a catena.

Un reattore nucleare in cui la reazione a catena puo manifestarsi in con-

dizioni stazionarie e chiamato critico, ovvero che ha ottenuto la criticita. In

un tale complesso, senza un apporto esterno di neutroni, la reazione e in gra-

do di sostenersi da sola, e nel caso nel sistema vengano introdotti neutroni

da una sorgente esterna, il tasso di reazione (fissioni per unita di tempo)

aumenta linearmente.

Neutroni di fissione

I neutroni emessi da una fissione hanno un’energia media di 2 MeV,

con un massimo che puo arrivare a 15 MeV. Il numero medio ν di neu-

troni liberati per ogni fissione varia con il tipo di nucleo fissile ed aumenta

linearmente con l’energia dei neutroni incidenti En secondo la relazione:

ν(En) = ν0 + αEn (1.2)

dove ν0 e il numero medio di neutroni emessi in fissioni indotte da

neutroni termici (circa 2.45) e α e una costante che dipende dall’isotopo

fissile.

1.2 Energia rilasciata nella fissione

Indichiamo con ν(E) il numero medio di neutroni emessi (dato da

Eq. (1.1)), per singola fissione indotta da un neutrone di energia E. E utile

esprimere il termine η(E), che indica il numero medio di neutroni emessi

per neutrone assorbito dal combustibile:

6

1.3. EQUAZIONE DI BILANCIO DEI NEUTRONI

η(E) = ν(E)σfσa

= ν(E)σf

σFγ + σf(1.3)

con σf la sezione d’urto microscopica di fissione. σa indica invece la

sezione d’urto microscopica di assorbimento, data dalla somma di quella di

cattura radiativa (σFγ ), dove l’apice F indica fuel, e di quella di fissione (che

fornisce il contributo dei neutroni assorbiti dal materiale non per cattura, ma

per generare fissioni). Dato che spesso si ha a che fare con insiemi composti

da diversi nuclidi, e utile osservare che in questo caso:

η(E) =∑i

νi(E)Σfi

ΣFai

(1.4)

dove ΣFai e la sezione d’urto macroscopica di assorbimento, Σfi e la

sezione d’urto macroscopica di fissione e νi(E) e il numero medio di neu-

troni prodotti in una fissione, tutto per l’i-esimo nuclide.

Sperimentalmente si osserva che i neutroni pronti vengono emessi con uno

spettro continuo χ(E), dato dall’espressione:

χ(E) = 0.770E0.5 exp (−0.776E) (1.5)

dove E rappresenta l’energia espressa in MeV. In Figura 1.3 e mostrato

lo spettro energetico descritto dalla funzione χ(E).

Possiamo ora calcolare l’energia media dei neutroni di fissione:∫ ∞0

E χ(E) dE ≈ 1.98 MeV (1.6)

mentre l’energia piu probabile e circa 0.73 MeV.

1.3 Equazione di bilancio dei neutroni

Consideriamo ora l’equazione di bilancio dei neutroni, che assume una

rilevante importanza pratica nei reattori nucleari.

Essendo n il numero di neutroni e Ce il ciclo neutronico all’equilibrio ( l’in-

tervallo di tempo che intercorre tra la nascita di una generazione di neutroni

e quella successiva quando il sistema e in equilibrio), la variazione della

popolazione neutronica tra due generazioni immediatamente successive puo

essere descritta dalla seguente relazione:

7


Figura 1.3

Spettro energetico dei neutroni pronti emessi nel processo di fissione.

n(t+ Ce) = kn(t) (1.7)

dove k e il coefficiente di moltiplicazione effettiva e rappresenta il rap-

porto tra i neutroni prodotti ad una data generazione e quelli prodotti nella

generazione immediatamente precedente.

A seconda del valore di k si distinguono tre casi:

Se k = 1 e costante nel tempo, allora la reazione si autosostiene ed il

sistema si dice critico;

Se k < 1 la reazione a catena tende a spegnersi e il reattore e

sottocritico;

Se k > 1 la reazione a catena tende progressivamente a divergere e il

reattore e sovracritico.

8

1.3. EQUAZIONE DI BILANCIO DEI NEUTRONI

1.3.1 Calcolo del coefficiente di moltiplicazione

Nel caso particolare di struttura moltiplicante di dimensioni infinite il

coefficiente di moltiplicazione viene indicato come k∞ ed e rappresentato

come il prodotto di quattro fattori (“Formula del quattro fattori di Fermi”)

:

k∞ = η f ε p (1.8)

dove:

η rappresenta la resa di fissione termica;

f rappresenta il fattore di utilizzazione del combustibile;

ε rappresenta la resa di fissione veloce;

p rappresenta la probabilita di fuga dei neutroni dalle catture di

risonanza del 238U durante il rallentamento.

Il coefficiente di moltiplicazione e utilizzato per caratterizzare la strut-

tura e la disposizione degli elementi (barre di combustibile, barre di controllo,

riflettore..) contenuti nel nocciolo:

k =k∞

1 + L2B2m

, (1.9)

(1 + L2B2m) > 1 (1.10)

dove:

k rappresenta il coefficiente di moltiplicazione per sistemi moltiplicanti

di dimensioni finite;

L rappresenta la lunghezza (in centimetri) di diffusione dei neutroni

all’interno di un dato materiale;

Bm e definito come Buckling materiale e rappresenta il legame

funzionale tra proprieta dei materiali e geometria della struttura.

9


La lunghezza di diffusione L viene definita dalla relazione:

L2 ≡ D

Σa(1.11)

Il termine D indica il coefficiente di diffusione, mentre Σa e la sezione

d’urto macroscopica di assorbimento del materiale (in cm−1).

Mediante il coefficiente di moltiplicazione puo essere definita la reattivita ρ

di un rettore:

ρ ≡ k − 1

k(1.12)

Si possono avere tre casi a seconda del valore assunto da ρ:

ρ > 0→ si ha un incremento di potenza;

ρ < 0→ si ha un decremento della potenza;

ρ = 0→ la potenza rimane costante.

A regime si ha quindi che perche la potenza sia stazionaria, la reattivita ρ

deve essere nulla. Infine si puo ancora osservare che durante il funzionamento

del reattore, possono presentarsi delle variazioni di ρ per effetto di alcuni

fattori, tra cui:

accumulo di prodotti di fissione che fanno aumentare le catture

parassite dei neutroni e quindi k decresce;

progressiva sparizione dei nuclei fissili presenti all’interno del combu-

stibile, che comporta una riduzione di k;

progressiva produzione di nuclei fissili per trasmutazione dei nuclei

fertili, che comporta un incremento di k.

1.4 Sezioni d’urto

La descrizione dell’interazione dei neutroni con i nuclei atomici e data

attraverso le sezioni d’urto, grandezze fisiche legate alle proprieta nucleari

dei materiali.

Se consideriamo un materiale esposto ad un flusso neutronico, il numero di

interazioni al secondo dipende da:

10

1.4. SEZIONI D’URTO

flusso ed energia dei neutroni del fascio incidente;

densita e natura del materiale costituente il bersaglio;

tipo di reazione considerata.

La sezione d’urto di un nucleo bersaglio vista dal neutrone incidente, per

un dato tipo di reazione nucleare, e una misura della probabilita di accadi-

mento delle reazioni di interazione neutrone - nucleo.

Si consideri un fascio parallelo di neutroni monoenergetici di intensita I0

(neutroni/cm2) che incide perpendicolarmente, nell’unita di tempo, su una

superficie S (cm2) di materiale noto, con spessore δx (cm) e densita di

nuclei N (nuclei/cm3). La riduzione I, dell’intensita del fascio a seguito

dell’interazione con il bersaglio si lega alla sezione d’urto tramite la relazione:

σ =I

I0Nδx(1.13)

Le sezioni d’urto dunque rappresentano un’area. L’ordine di grandezza

dei valori e di 1024 cm2 e per maggior praticita si introduce il barn (b) che

equivale appunto a 1024 cm2.

Introduciamo ora il concetto di sezione d’urto macroscopica Σ, definita

semplicemente dal prodotto tra la sezione d’urto microscopica e la densita

nucleare N del materiale.

Σ = σN (1.14)

Si possono definire sezioni d’urto per singoli processi come assorbimento,

scattering, fissione o cattura. La sezione d’urto microscopica totale sara poi

la somma delle sezioni d’urto microscopiche per i singoli processi.

L’andamento globale della σ totale per neutroni e caratterizzato in generale

da tre regioni energetiche distinte (come mostrato in Figura 1.4, Figura 1.7,

Figura 1.8 e Figura 1.9), in funzione dell’energia del neutrone incidente.

1.4.1 Assorbimento

Per isotopi aventi numero di massa A superiore a 100, l’andamento delle

sezione d’urto di assorbimento σa riproduce sostanzialmente quello della

sezione d’urto totale, infatti anche in questo caso e possibile suddividere lo

spettro in tre regioni energetiche, analogamente a quanto mostrato in Figu-

ra 1.7, Figura 1.8 e Figura 1.9. A seconda del comportamento della sezione

11


Figura 1.4

Andamento della sezione d’urto totale microscopica per 197Au. Il range energetico

si estende da 10−5 a 107 eV.

d’urto, le tre zone energetiche sono anche indicate come zona di tipo 1/v per

la parte termica, zona delle risonanze per quella epitermica e zona veloce

per l’ultima.

Le sezioni d’urto di elementi a basso numero atomico (Z < 40) non pre-

sentano la regione intermedia delle risonanze e la loro sezione d’urto totale

e generalmente piccola (nell’ordine di alcuni barn) sull’intero spettro ener-

getico. Fanno eccezione a questo comportamento due isotopi impiegati nei

sistemi di rivelazione dei neutroni, 6Li e 10B. Essi interagiscono con neu-

troni di bassa e media energia secondo la reazione (n, α), seguendo una

dipendenza del tipo 1/v fino a circa 10 keV, senza presentare la regione

delle risonanze, ma con valori di sezione d’urto confrontabili con quelli di

elementi molto piu pesanti.

In Figura 1.5 e Figura 1.6 sono mostrate le sezioni d’urto microscopiche dei

due elementi.

12


Figura 1.5

Andamento della sezione d’urto di assorbimento microscopica per 6Li.

Figura 1.6

Andamento della sezione d’urto di assorbimento microscopica per 10B.

13


Regione 1/v

Figura 1.7

Particolare della sezione d’urto totale microscopica per 197Au nella regione

termica, da 10−5 a 1 eV.

In questa regione, caratterizzata da neutroni che hanno energia termica,

la sezione d’urto σa varia approssimativamente con l’inverso della radice qua-

drata dell’energia cinetica E, risultando quindi inversamente proporzionale

alla velocita v secondo la legge:

σa ∝1√E

=1√

12mnv2

∝ 1

v(1.15)

dove mn e la massa del neutrone. In questa regione energetica, due

sezioni d’urto σa1 e σa2, a due diverse energie cinetiche dei neutroni E1 ed

E2 , sono legate dalla seguente equazione:

σa1

σa2≈ v2

v1=

(E2

E1

)2

(1.16)

14


Regione delle risonanze

Figura 1.8

Particolare della sezione d’urto totale microscopica per 197Au nella regione

epitermica, da 1 a 104 eV.

Questa regione e caratterizzata da elevati valori di σa, detti picchi di

risonanza. In corrispondenza di essi, il cui numero varia a seconda del-

l’isotopo considerato, le sezioni d’urto di assorbimento crescono fortemente

per un ristretto intervallo di energia e decrescono immediatamente superato

quest’ultimo. Nei punti di massimo si possono ottenere valori anche 100 o

1000 volte maggiori rispetto a quelli nell’intorno del picco, come si vede in

Figura 1.8.

Regione dei neutroni veloci

In questa regione i valori delle sezioni d’urto per i neutroni sono gene-

ralmente inferiori ai 10 barn per valori di energia di qualche decina di keV,

e diventano ancora piu bassi per energie cinetiche dei neutroni superiori ad

1 MeV. Quando le energie nei neutroni raggiungono valori di 10 ÷ 100 MeV

la sezione d’urto totale tende al valore della sezione trasversale del nucleo

σtr, che rappresenta la sezione geometrica del nucleo bersaglio e tipicamente

15


Figura 1.9

Particolare della sezione d’urto totale microscopica per 197Au nella regione veloce,

da 104 a 107 eV. Da notare il cambiamento di scala rispetto ai grafici precedenti.

assume valori compresi tra 2 e 5 barn. Quest’ultima e una funzione di A2/3.

Infatti esprimendo il raggio del nucleo R tramite la relazione:

R = r0A13 (1.17)

dove r0 e una funzione costante del nucleo, il cui valore medio vale 1.4 ·1013 cm. Nell’ipotesi di un nucleo di forma sferica, la sua area equivale circa

al valore di σtr:

σtr = 2πR2 = 2π(r0a13 )2 = 2πr2

0A23 ≈ 0.125A

23 (1.18)

1.4.2 Scattering elastico

Le sezioni d’urto di scattering elastico vengono convenientemente trat-

tate suddividendo la dipendenza dall’energia cinetica del neutrone in due

intervalli, la soglia di separazione e il valore di energia di 1 eV.

16


Intervallo energetico inferiore ad 1 eV

Nella regione energetica inferiore ad 1 eV, lo scattering e praticamente di

tipo da potenziale. Per energie minori di 0.01 eV i neutroni manifestano an-

che un comportamento di natura ondulatoria; in tali condizioni si osservano

fenomeni di interferenza nel caso di irraggiamento di lamine mediante fas-

ci neutronici. La diffrazione a direzione preferenziale dovuta alla struttura

cristallina e detta scattering di Bragg.

Intervallo energetico superiore a 1 eV

Per energie superiori a 1 eV la sezione d’urto di scattering elastico σ(e)s

e approssimativamente indipendente dall’energia dei neutroni (a meno di

fenomeni di risonanza) fino ad qualche keV e successivamente decresce con

E. Fa eccezione il nucleo dell’idrogeno, la cui σ(e)s e pressoche costante e

possiede valori generalmente compresi fra 2 e 10 barn.

1.4.3 Scattering anelastico

In questo tipo di interazione, che avviene ad energie maggiori di 1 MeV,

si ha inizialmente la formazione di un nucleo composto e successivamente

l’emissione di un neutrone di energia cinetica inferiore a quelle del neutrone

incidente, lasciando il nucleo bersaglio in uno stato eccitato. Lo scattering

anelastico e un fenomeno cosiddetto a soglia: l’energia cinetica dei neutroni

incidenti deve essere almeno uguale alla differenza di energia tra il primo

stato eccitato e quello fondamentale del nucleo bersaglio.

1.4.4 Libero cammino medio

Il libero cammino medio λ rappresenta la media delle distanze percorse

dai neutroni tra due interazioni di scattering o assorbimento (ovviamente

non si possono avere due assorbimenti per un neutrone, per cui nel caso

di assorbimento si indica la distanza percorsa dopo uno scattering fino a

quando avviene la cattura) ed e definito come l’inverso della sezione d’urto

totale macroscopica del materiale considerato:

λ ≡ 1

Σt(1.19)

Il libero cammino medio e legato anche all’attenuazione dell’intensita del

flusso neutronico all’interno della materia.

17


Sia I(x) l’intensita del fascio alla profondita x di un generico spessore di

materiale. Nell’attraversare lo spessore successivo dx (quindi alla profon-

dita x + dx ) l’intensita del flusso neutronico diminuisce a causa delle col-

lisioni e assorbimenti con i nuclei del materiale attraversato. La variazione

dell’intensita del flusso neutronico e data da:

dI(x) = −NσtI(x)dx (1.20)

dove σt indica la sezione d’urto totale microscopica, N la densita atomica

del materiale e Σt e la sezione d’urto totale macroscopica. Da Eq. (1.20),

integrando sullo spessore dx del materiale e grazie a Eq. (1.14) e Eq. (1.19),

otteniamo:

I(x) = I0 exp (−Σtx) = I0 exp (− 1

λx) (1.21)

dove I0 e l’intensita per x = 0.

18

Capitolo 2

Accelerator Driven Systems

e la Struttura Moltiplicante

sottocritica

“SM1”dell’Universita di

Pavia

Gli Accelerator Driven Systems (ADS) sono una delle soluzioni possibili

al problema della trasmutazione degli elementi piu pericolosi che vengono

separati dalle scorie nucleari. L’idea dell’utilizzo degli ADS nasce dal fatto

che tutti questi materiali mostrano risonanze nelle sezioni d’urto per cattura

neutronica, mediante cui si trasformerebbero in elementi a vita media molto

piu breve o stabili.

Il primo progetto dettagliato di una struttura per la trasmutazione utiliz-

zando neutroni termici venne pubblicata nel 1991 dal gruppo di Bowman a

Los Alamos. Negli anni successivi in tutto il mondo sorsero programmi e

collaborazioni internazionali di ricerca in questo campo.

Ad oggi si e ancora nella fase di ricerca e sviluppo e numerosi progetti sono in

corso d’opera in laboratori di tutto il mondo. Nel 2009 al Kyoto University

Research Reactor Institute (KURRI) e iniziato quello che viene considerato

come il primo vero esperimento di un ADS, mentre in India e in Belgio due

esperimenti sono in fase di sviluppo e progettazione.

Il primo riguarda la realizzazione di una struttura di potenza, per la produ-

19

CAPITOLO 2. ACCELERATOR DRIVEN SYSTEMS E LASTRUTTURA MOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA

“SM1”DELL’UNIVERSITA DI PAVIA

zione di energia, alimentata a Uranio naturale e Torio. Al Belgian Nuclear

Research Centre (SCK.CEN) di Mol in Belgio, invece e prevista la realizza-

zione, a partire dal 2015 per arrivare a piena operativita nel 2023, del Mul-

tipurpose Hybrid Research Reactor for High-tech Applications (MYRRHA),

come primo ADS sperimentale in Europa.

Figura 2.1

Rappresentazione schematica della struttura dell’ADS dell’esperimento MYRRHA.

Per quanto riguarda l’Italia sono in corso esperimenti per lo studio di al-

cune parti o soluzioni da utilizzare nella realizzazione degli ADS. Al Centro

Ricerche Brasimone (ENEA) e in corso l’esperimento di Circolazione Eu-

tettico (CIRCE) per lo studio di una lega eutettica di Piombo e Bismuto,

20

2.1. STRUTTURA DEGLI ADS

liquida, utilizzata sia per la produzione di neutroni di spallazione, sia come

scambiatore di calore per il raffreddamento del nocciolo dell’ADS.

La Struttura Moltiplicante “SM1” dell’Universita degli studi di Pavia, puo

essere ritenuta una sorta di ADS su scala ridotta, in quanto si tratta di un

complesso sottocritico, senza i problemi legati all’utilizzo di un acceleratore

di protoni, del bersaglio di spallazione e non necessita di un sistema di raf-

freddamento differente dall’acqua di moderazione. Gia questo fatto rende

SM1 molto interessante e potenzialmente utile per svolgere ricerche sulla

trasmutazione di elementi, ad esempio studi sull’efficienza del processo e sul

tipo di spettro di neutroni da utilizzare. Il lavoro svolto su SM1, che sara

descritto nei capitoli successivi di questa relazione, e sostanzialmente uno

studio preliminare del complesso e del suo funzionamento con una caratter-

izzazione del flusso neutronico prodotto. I risultati di tale lavoro preliminare

potranno poi essere utilizzati per la progettazione di esperimenti e ricerche

che prevedono l’impiego della Struttura Moltiplicante.

2.1 Struttura degli ADS

Gli ADS sono sostanzialmente dei reattori nucleari sottocritici in cui

gli elementi provenienti dalle scorie nucleari vengono trasmutati mediante

cattura neutronica, con la possibilita di un utilizzo dell’energia termica

sviluppata per produrre energia elettrica, anche se come fine secondario.

Lo schema di costruzione di una ADS secondo i progetti attuali

comprende quattro parti principali:

il nocciolo;

il sistema di alimentazione;

il bersaglio per la spallazione;

il sistema di raffreddamento.

Il Nocciolo

Il nocciolo e la parte dove alloggiano le barre di combustibile contenenti

le miscele di elementi che devono essere trasmutati.

Come detto precedentemente, questa parte viene realizzata con regime sot-

tocritico, ovvero il disegno e la quantita di materiale fissile e tale da non

21



Figura 2.2

Rappresentazione schematica della struttura di un ADS.

permettere che si sostenga la reazione a catena delle fissioni. Per questo il

sistema necessita di una “alimentazione” per fare in modo che le reazioni

possano avvenire.

La scelta di non raggiungere il livello di criticita e dettata principalmente

da questioni di sicurezza. Infatti, in reattori di questo tipo, il controllo delle

reazioni e la loro eventuale interruzione in casi di emergenza avviene in mo-

do piu semplice rispetto ai reattori critici. Infatti non sono necessarie barre

di controllo, ma e sufficiente agire sulla sorgente neutronica che alimenta il

sistema, in quanto, in assenza di essa, le reazioni si arrestano automatica-

mente.

La condizione di sottocriticita risulta anche essere un margine di sicurezza

nel caso di oscillazioni di reattivita del reattore. Se ad esempio nella mis-

cela di combustibile sono presenti gli attinidi minori, si possono verificare

22


Figura 2.3

Rappresentazione schematica delle parti che compongono un ADS.

instabilita nelle reazioni del nocciolo, con effetto di far variare il valore di

k. Percio se il valore di design del k e sufficientemente distante da uno, tali

variazioni non risultano essere troppo pericolose.

Il Sistema di alimentazione

In precedenza e stato accennato come a causa delle scelte fatte sul livello

di criticita del nocciolo, si renda necessaria la presenza di un sistema di ali-

mentazione, che fornisca i neutroni necessari al sostenimento delle reazioni

di fissione al suo interno.

Per la realizzazione di complessi di tipo industriale, che quindi possano fun-

zionare in regimi di produzione elevati, si necessita di flussi di neutroni in-

tensi (1017-1018 neutroni/cm2 s), che possono essere ottenuti con l’utilizzo

di acceleratori di protoni, accoppiati a bersagli che producono neutroni per

23



spallazione. Per ora ci limitiamo a discutere della parte che riguarda l’ac-

celerazione dei protoni, mentre nella sezione successiva verranno discusse le

caratteristiche del bersaglio.

L’energia e l’intensita del fascio devono essere scelte tenendo conto di alcu-

ni fattori. La prima deve essere un buon compromesso tra la produzione di

neutroni per protone incidente, che raggiunge valori dai 20 ai 35 neutroni per

collisione ad energie dell’ordine o maggiori di 1 GeV, e la frazione di energia

depositata dal fascio all’ingresso della finestra del bersaglio, la quale, alle

energie di interesse, e una funzione rapidamente decrescente all’aumentare

dell’energia. Per bilanciare questi due comportamenti l’energia prevista di

utilizzo dovrebbe essere dell’ordine di 1 GeV.

Riguardo invece all’intensita i valori dipendono dalla potenza desiderata del-

l’impianto, dal valore del coefficiente di criticita del nocciolo e dall’energia

del fascio. Ad esempio per impianti di potenza compresa tra i 500 e 1500

MW termici, con un keff = 0.95 e protoni da 1 GeV sono previsti valori di

10 ÷ 15 mA di intensita del fascio di protoni nella fase di sperimentazione,

per poi arrivare a 25 ÷ 40 mA nella fase di produzione industriale.

Per le intensita necessarie, soprattutto nel periodo di produzione, vengono

privilegiati gli acceleratori lineari, in quanto sono gli unici al momento che

presentano possibilita di sviluppo fino al raggiungimento delle caratteristi-

che richieste.

Il Bersaglio per la spallazione

Come ogni altro elemento del progetto di un ADS, anche la scelta del

materiale da utilizzare per la produzione di neutroni di spallazione e l’assetto

da realizzare dipendono da numerosi fattori. La decisione deve bilanciare le

richieste di una elevata efficienza di produzione di neutroni, una buona re-

sistenza chimico-fisica del materiale e di buone prestazioni termo-idrauliche

imposte da condizioni di sicurezza e realizzabilita.

L’importanza di queste proprieta viene dal fatto che il materiale dovra sop-

portare i danni provocati dal fascio di particelle di alta energia e intensita

molto elevata, rimanendo confinato in un volume piuttosto ridotto.

Si e percio diretti verso l’utilizzo di leghe di metalli pesanti allo stato liquido

(HLM), come Piombo-Bismuto (LBE), che forniscono una buona resa riguar-

do alla produzione di neutroni (i valori espressi nella sezione precedente si

24


riferiscono appunto a questo caso) ed inoltre permettono lo smaltimento del

calore in modo efficiente grazie ai moti convettivi. L’LBE possiede vantaggi

anche nella quasi totale compatibilita con gli altri materiali strutturali di

tipo ingegneristico, anche se devono essere verificati alcuni aspetti di cor-

rosione ed ossidazione importanti per capire le prestazioni e la durata delle

componenti meccaniche del bersaglio.

Proprio di questi studi si occupa l’esperimento CIRCE dell’ENEA, e la sua

fase preliminare ICE, il cui obiettivo e sviluppare la tecnologia di utilizzo

degli HLM negli impianti nucleari a fissione.

Una ulteriore ed importante questione da considerare, riguardo al bersaglio,

e il deterioramento dei materiali a causa dell’incisione del fascio di alta ener-

gia. Per questo, infatti, esistono due tipologie di realizzazione del bersaglio:

con finestra o senza finestra (windowless).

La prima e di tipo classico, in cui il condotto del fascio e il liquido bersaglio

sono separati mediante una finestra, appunto, di materiale opportuno che

dovra soddisfare requisiti come elevata trasparenza al fascio, per ridurre al

minimo la riduzione di intensita del fascio, e elevata resistenza, in modo da

non costringere a frequenti e dispendiosi interventi di manutenzione.

La seconda tipologia prevede l’assenza di materiale di separazione, il liquido

viene iniettato direttamente nel condotto in cui arriva il fascio. In questo

caso pero il problema da superare e il vuoto, che deve essere mantenuto a

livelli sufficientemente alti da essere compatibile con quello della linea del

fascio. Inoltre un’adeguata capacita di pompaggio del LBE e necessaria per

evitare il degassamento e l’evaporazione del liquido. La presenza di vapore

del composto provocherebbe infatti la formazione di prodotti di spallazione

volatili con annessi problemi di contenimento di tali prodotti.

Il Sistema di raffreddamento

Per il sistema di raffreddamento primario la scelta ricade ancora sul-

l’utilizzo della lega eutettica di Piombo-Bismuto liquida (LBE). Questo in

quanto ad oggi e la soluzione piu realizzabile per soddisfare le richieste degli

ADS e che meglio bilancia pregi e difetti.

Se si vuole avere uno spettro di neutroni veloci nel nocciolo, necessario

affinche si possano sfruttare le risonanze di cattura neutronica degli attinidi

minori, si hanno due sole possibilita: i metalli pesanti liquidi (HLM) e le

soluzioni di sali fusi. Il secondo tipo di materiale e tuttavia ancora ad uno

25



Figura 2.4

Rappresentazione schematica del bersaglio di spallazione per l’esperimento

Myrrha. In questo caso si ha una struttura di tipo windowless.

stato iniziale di sviluppo e quindi, per il periodo previsto di inizio sperimen-

tazione degli ADS (circa dal 2020), il suo utilizzo non sara ancora possibile.

Si lasciano percio eventuali possibilita di impiego dei sali fusi nelle fasi suc-

cessive a quelle della prima sperimentazione.

Tra gli HLM, la lega LBE viene preferita perche puo essere utilizzata anche

come bersaglio per la spallazione, come visto in precedenza, evitando cosı

problemi di separazione del refrigerante dal bersaglio. Inoltre l’LBE rende

possibile operare a pressioni vicine a quella atmosferica e possiede propieta

termiche vantaggiose, come il punto di ebollizione molto alto (superiore a

1700 °C), che permette una buon raffreddamento anche in eventi accidentali

quali la completa assenza di rimozione del calore nel circuito primario.

26


Un’ulteriore caratteristica dell’LBE e il punto di fusione, che pur essendo

inferiore rispetto ad esempio a quello del solo Piombo (330 °C circa), obbli-

ga a mantenere il sistema ad una temperatura nel range 200-400 °C anche

nelle fasi di spegnimento e rifornimento per evitare la solidificazione del

refrigerante. Esistono alcuni svantaggi di questa soluzione, come l’opacita

del mezzo, che rende molto complicate ispezioni e riparazioni del nocciolo

durante il funzionamento; la facilita di corrosione e anche la difficolta di

reperimento del Bismuto. Proprio i problemi legati alla corrosione hanno

portato gruppi di ricerca russi ad abbandonare questo tipo di refrigerante a

favore delle soluzioni di Sodio fuso. In Italia comunque la sperimentazione

sul LBE prosegue provando anche l’utilizzo di Allumina, un ossido di Allu-

minio, come protettore.

Praticamente la totalita degli studi inerenti agli ADS sono ancora in corso

d’opera, percio non si possono avere ancora risposte certe e vi e una grande

possibilita che molti degli aspetti descritti nelle sezioni precedenti vengano

modificati in parte o totalmente nelle prossime fasi di sperimentazione e

successiva realizzazione di questi impianti.

2.1.1 Trattamento delle scorie nucleari con gli ADS

Bruciamento delle scorie nucleari: TRU (Transuranic elements)

Il concetto generale consiste nell’usare come combustibile 232Th arricchi-

to con 233U , 235U o 239Pu e miscelato con TRU. I TRU possono essere elim-

inati solo grazie alla fissione, ma la loro sezione d’urto per questa reazione e

rilevante solo per neutroni ad alta energia.

In Figura 2.5 e mostrata la probabilita di fissione per neutrone assorbito

sia nel caso di flusso termico, sia nel caso di flusso veloce.

In uno studio proposto dal governo spagnolo, basato su dati sperimentali, e

stato mostrato che un complesso ADS da 1500 MWth potrebbe distruggere

una quantita di TRU pari a 298 kg per GW · anno di energia prodotta.

Come paragone un reattore PWR (Pressurized Water Reactor, utilizzato in

molte centrali nucleari attuali) produce 123 kg di TRU per GW · anno.

27



Figura 2.5

Rapporto tra la probabilita di fissione e quella di cattura di un neutrone per

differenti nuclei. In nero e mostrato l’incremento della probabilita di fissione nel

caso di neutroni veloci, come per gli ADS (qui indicati come Energy Amplifier,

EA.

Distruzione delle scorie nucleari : LLFF (Long Life Fission

Fragments)

In un sistema ADS, una volta trattati i TRU, la maggior parte della

radiotossicita a lungo termine e data da prodotti di fissione a vita lunga.

Questo residuo di radioattivita potrebbe in ogni caso essere tollerato in

quanto paragonabile alla radiotossicita contenuta nelle ceneri prodotte da

una centrale a carbone per ottenere lo stesso ammontare di energia, come

mostrato in Figura 2.6.

Vista comunque la proprieta dei principali frammenti di fissione di essere

solubili in acqua, la preoccupazione principale e quella che, se non stoccati

in modo appropriato, essi potrebbero contaminare falde acquifere per milioni

di anni. Per eliminare anche questo problema e stato proposto di utilizzare

28


Figura 2.6

Evoluzione negli anni della radiotossicita delle scorie nucleari per un PWR e per

un EA (Energy amplifier) o ADS. La linea tratteggiata superiore indica il livello di

radiotossicita delle ceneri prodotte da una centrale a carbone, a parita di energia

prodotta.

un metodo chiamato Adiabatic Resonance Crossing (ACR), che faciliterebbe

la cattura di neutroni da parte dei frammenti di fissione, portando, ad es-

empio, l’emivita del 99Tc da 2.1 · 1015 anni a 15.8 s. Questo trasformando

il 99Tc in 100Tc, che decade in 100Ru, stabile, con tempo di dimezzamento.

appunto, di 15.8 s.

In Figura 2.7 si puo notare come prima cosa che l’energia piu probabile a

29



Figura 2.7

Andamento, in funzione dell’energia, della sezione d’urto di cattura del 99Tc

(99Tc Capture Cross section), dello stopping power dei neutroni nel Piombo

(Typical Neutron Fluence), e di un tipico spettro energetico di neutroni di

spallazione (Source Neutrons).

cui possono essere prodotti dei neutroni di spallazione (dell’ordine del MeV)

e piuttosto distante dal range energetico in cui si trovano i picchi di risonanza

della sezione d’urto di cattura neutronica del 99Tc. Questo inconveniente

puo essere superato utilizzando il Piombo come moderatore. Infatti la terza

curva presente in Figura 2.7 mostra che l’andamento della perdita di energia

dei neutroni nel Piombo e circa lineare in corrispondenza dell’intervallo delle

risonanze. Cio rende questo materiale ottimo per rallentare i neutroni emessi

dalla sorgente di spallazione e portarli con buona precisione all’energia di

qualche picco della sezione d’urto, in modo da massimizzare l’efficienza del

processo di cattura.

30

2.2. GEOMETRIA DELLA STRUTTURA MOLTIPLICANTESM1

Il procedimento e stato utilizzato, per 99Tc e per 129I, in esperimenti condotti

al CERN di Ginevra dal 1996 al 1999.

2.2 Geometria della Struttura Moltiplicante SM1

La Struttura Moltiplicante sottocritica SM-1 dell’Universita degli Studi

di Pavia e un reattore nucleare progettato ed utilizzato per produrre reazioni

a catena, incapace di sostenere la reazione a catena delle fissioni, in assenza

di una sorgente di neutroni, sia in condizioni normali, sia accidentali.

La struttura, originariamente proprieta della ditta SITEN di Milano, e stata

installata presso l’Universita di Cagliari nel 1958, trasferita presso l’Univer-

sita di Pavia nel 1960 e riassemblata nella collocazione attuale nel 1961. Suc-

cessivamente e stata oggetto di donazione all’Universita di Pavia da parte

della SITEN. La Struttura e situata nell’edificio del dipartimento di Chimica

Organica.

Le pareti nelle vicinanze della struttura sono rinforzate da uno strato di

calcestruzzo baritico, di spessore 20 cm, altezza 1.80 m e lunghezza 2 m. La

protezione prosegue all’interno del locale, delimitando l’area del complesso,

sempre con uno spessore di 20 cm e un’altezza di 75 cm. L’accesso alla strut-

tura e consentito da una soglia di altezza di 22 cm sul piano di calpestio.

La sede e una fossa cilindrica di diametro 120 cm e profondita 42 cm rispetto

al piano circostante.

Il complesso sottocritico e costituito da:

contenitore con il coperchio,

griglie distanziatrici che determinano il reticolo esagonale,

elementi di combustibile,

acqua di moderazione,

sorgente di neutroni.

2.2.1 Il contenitore e il coperchio

Il contenitore e costituito da un cilindro di alluminio, 114 cm di diametro,

135 cm di altezza e 1 cm di spessore, composto da una lastra piegata e sal-

data verticalmente. Il fondo e realizzato con una lastra, ancora in alluminio

31



Pavimento

RivestimentoinParaffina

Supportosuperiore

Griglie distanziatrici

0.83

0.180.06

0.25

1.02

1.44

1.36

Figura 2.8

Schema della Struttura Moltiplicante in sezione verticale. Le parti in nero

rappresentano quelle in Alluminio, mentre in giallo sono evidenziate le parti

contenenti la Paraffina. Le misure delle quotature sono in metri.

e medesimo spessore, saldata alla precedente.

La parte del contenitore che fuoriesce dalla fossa (di altezza 92 cm) e rivesti-

ta da uno strato di paraffina borata dello spessore di 10 cm.

Il coperchio e formato da un cilindro cavo di alluminio, di altezza 10 cm,

riempito di paraffina. Nella parte centrale e ricavata un’apertura a forma

tronco-conica invertita, che consente l’accesso alla parte centrale del reti-

colo senza dover rimuovere l’intero coperchio. Questa apertura e dotata di

apposito tappo, con identica composizione del coperchio appena descritto.

2.2.2 Le griglie distanziatrici

All’interno del contenitore sono inserite due lastre di alluminio, di forma

circolare (113 cm di diametro e 1 cm di spessore). Le griglie sono posizion-

ate e rese solidali mediante aste verticali di alluminio, che consentono di

posizionarle ad una distanza di 6 e 24 cm dal fondo del contenitore.

32


Al centro di ciascuna griglia sono stati praticati dei fori, diametro 3 cm e

passo 4.4 cm, fino a determinare un reticolo esagonale costituito da nove

anelli concentrici, piu il foro centrale.

Nella parte alta del contenitore (109 cm dal fondo) e inoltre inserita una

fascia triangolare, ancora in alluminio e 1 cm di spessore, che impedisce la

perdita di verticalita agli elementi di combustibile inseriti nel reticolo. La

fascia possiede fori identici a quelli delle griglie in corrispondenza dell’anello

esagonale piu esterno.

Supporto Superiore

1.12

1.36

Figura 2.9

Schema della Struttura Moltiplicante vista dall’alto. In azzurro viene

rappresentato il supporto superiore, in giallo invece e raffigurato lo strato esterno

di Paraffina, mentre in verde il reticolo degli elementi di combustibile e in grigio la

sorgente. Le dimensioni riportate sono in metri.

2.2.3 Elementi di combustibile

Gli elementi di combustibile sono contenuti in guaine cilindriche di allu-

minio (diametro interno 2.8 cm, spessore 0.1 cm, altezza 132 cm), chiuse sul

fondo.

Ciascuna guaina contiene 5 lingotti cilindrici di uranio naturale metallico,

rivestito di alluminio. Ogni lingotto ha un diametro di 2.74 cm ed una

lunghezza di 21.5 cm. La lunghezza attiva di ciascun elemento di combusti-

bile risulta essere 107.5 cm. La parte superiore della guaina e occupata da

33



un tappo cavo di alluminio riempito con politene e paraffina.

La struttura moltiplicante sottocritica e dotata di 206 elementi di combusti-

bile, per un totale di 1030 lingotti, contenenti complessivamente circa 2000

kg di uranio naturale metallico.

Dalla differenza tra il peso totale degli elementi (uranio + alluminio) ed il

peso dell’Uranio dichiarato, si puo ricavare che lo spessore dell’alluminio di

rivestimento dei lingotti e di circa 0.10 ÷ 0.15 cm.

Ciascun elemento di combustibile e collocato, mediante inserimento dall’al-

to, nel reticolo esagonale, con esclusione della posizione centrale riservata

alla sorgente di neutroni. Nel corso dello svolgimento di questo lavoro di

tesi sono state utilizzate tre differenti configurazioni di elementi all’interno

del reticolo, indicate come iniziale, finale e di misura. Nella Sezione 3.1

del Capitolo 3 verranno descritti in dettaglio i tre tipi di configurazione. In

Figura 2.10 viene invece mostrato lo schema generale del reticolo esagonale

con i nove anelli evidenziati da differenti colori.

1.12

0.03

0.044

Figura 2.10

Schema del reticolo esagonale composto dagli elementi di combustibile, visto

dall’alto. I diversi colori indicano i diversi anelli del reticolo. Le dimensioni

riportate sono in metri.

34


2.2.4 Acqua di moderazione

Il contenitore, con posizionati all’interno gli elementi di combustibile, e

riempito di acqua demineralizzata, sino a 5 cm dal bordo superiore. La tem-

peratura dell’acqua non subisce rilevanti escursioni termiche durante l’anno,

variando tra 17 e 20 °C. Anche il pH si mantiene pressoche costante con

valori leggermente alcalini intorno a 7.5 ÷ 7.6.

Un sensore galleggiante avverte quando il livello dell’acqua si abbassa di

qualche cm sotto il livello di pieno e si procede quindi a reintegrare l’acqua

persa con altra di analoghe caratteristiche.

L’acqua svolge la funzione di moderatore e riflettore sia nei confronti dei

neutroni emessi dalla sorgente, sia di quelli prodotti nelle fissioni dell’U-

ranio presente negli elementi di combustibile. Inoltre l’acqua funge anche

da schermo nei confronti dell’area circostante la struttura.

2.2.5 La sorgente di neutroni

I neutroni necessari al funzionamento della struttura moltiplicante sot-

tocritica sono forniti da una sorgente di Pu-Be da 5 Ci (80 g di 239Pu pari a

1.85 x 1011 Bq), ottenuti mediante reazione nucleare (α,n) secondo lo schema

seguente:

α+9 Be→12 C + n (2.1)

All’energia delle particelle α emesse dal 239Pu l’efficienza di produzione

di neutroni nel Berillio e di circa 62 neutroni per 106 particelle α. Per cui

la produzione sarebbe di 1.15 · 107 neutroni al secondo. Questo valore non

rappresenta pero l’effettiva intensita della sorgente, poiche a causa dell’au-

toassorbimento di neutroni da parte del 239Pu e al tipo di geometria della

sorgente si ha una intensita, valore fornito dalla ditta produttrice, di 7 · 106

neutroni al secondo.

Come mostrato in [2], le sorgenti di Plutonio sono soggette ad un aumento

di intensita dovuto alla presenza in piccole percentuali (minori di 1%) di241Pu, che decade in 241Am, il quale possiede una efficienza di produzione

di neutroni piu elevata.

Tale aumento prosegue fino a circa 70 anni dopo la realizzazione della sor-

gente e puo raggiungere anche circa il 30% del valore iniziale. Quella presente

in SM1 e una sorgente realizzata nel 1961, quindi ancora nel pieno di questo

35



processo. Purtroppo la composizione esatta non e nota e quindi non si puo

calcolare l’aumento effettivo di intensita. Per questo si e deciso di utilizzare

nel proseguo del lavoro il valore di intensita di 7 · 106 neutroni/s, tenendo

presente il fatto che potrebbe essere una sottostima dell’intensita vera.

1.994 5.245

4.964

Figura 2.11

Schema della sorgente di Plutonio-Berillio. Le misure sono in centimetri.

La sorgente ha forma cilindrica anulare, avente un diametro esterno di

52.45 mm ed una altezza di 49.64 mm. Il diametro della cavita interna

misura 19.94 mm.

Per l’inserimento della sorgente nella struttura ci si avvale di un’apposita

guaina che viene inserita nel foro centrale delle griglie che determinano la

configurazione esagonale. Tale guaina, in alluminio, per i primi 72 cm a

partire dal basso, e del tutto identica a quelle che contengono i lingotti di

Uranio. Sopra questa quota, pur mantenendo forma cilindrica, essa aumenta

di diametro (esterno 54.45 mm) per poter ospitare la sorgente di neutroni.

Questa sezione ha una lunghezza di 61 cm ed e chiusa da un tappo costituito

da un cilindro cavo di alluminio, profondo 55.4 cm. A sorgente inserita nel

complesso, la parte cava viene riempita con acqua demineralizzata e infine

chiusa anch’essa con un tappo.

Uno schema del supporto per la sorgente e fornito in Figura 2.12.

36


Guaina porta sorgente0.

5540

0

0.61

000

0.72

000

0.05445

0.03000

Sorgente

Acqua

Figura 2.12

Schema della guaina per l’inserimento della sorgente. Le misure sono in metri.

37



38

Capitolo 3

Simulazione mediante codice

Monte Carlo MCNP

Per il lavoro di simulazione e stato utilizzato il codice MCNP (Monte

Carlo Neutral Particle transport code system) sviluppato dal Los Alamos

National Laboratory in Los Alamos, New Mexico. In Appendice C e fornita

una breve descrizione del programma e del suo utilizzo, mentre di seguito

sara esposta in dettaglio tutta la parte di simulazione svolta sul complesso

sottocritico “SM1”.

3.1 Procedimento

Dopo aver descritto il funzionamento del programma MCNP, verra ora

descritta la parte di simulazione vera e propria. Per prima cosa saranno

illustrate alcune caratteristiche comuni a piu simulazioni, le configurazioni

del reticolo e della sorgente utilizzate, in modo da rendere piu chiara la

descrizione.

3.1.1 Configurazione del reticolo di elementi di combustibile

Come gia accennato nella Sezione 2.2.3, durante il lavoro di simulazione

sono state utilizzate tre configurazioni differenti per gli elementi di combu-

stibile all’interno del complesso sottocritico, indicate come iniziale, finale e

di misura.

Per configurazione iniziale viene intesa la disposizione degli elemen-

ti come sono stati trovati all’inizio di questo lavoro di studio. In

39

CAPITOLO 3. SIMULAZIONE MEDIANTE CODICE MONTECARLO MCNP

questo caso il primo anello era lasciato vuoto, per permettere una

migliore manovrabilita della guaina sorgente nel caso di estrazione

della sorgente, come mostrato in Figura 3.1.

Figura 3.1

Schema del reticolo esagonale, visto dall’alto, in configurazione iniziale. I diversi

colori indicano i diversi anelli del reticolo.

Per ottenere un flusso leggermente maggiore, e quindi una migliore

statistica, ed eliminare l’asimmetria nella distribuzione di flusso, al-

cuni elementi sono stati cambiati di posizione, ottenendo cosı la

configurazione finale, mostrata in Figura 3.2.

Infine per poter effettuare gli irraggiamenti tre elementi di combu-

stibile, posti nel secondo, quarto e sesto anello, sono stati spostati

nell’ottavo anello, ottenendo la configurazione di misura. Tre guaine

vuote sono state inserite nelle posizioni lasciate libere. Ancora una vol-

ta in Figura 3.3 viene mostrata la configurazione. In Figura 3.3 sono

inoltre indicate in nero le posizioni delle guaine vuote utilizzate per gli

irraggiamenti. Mentre in Tabella 3.1 e indicato il numero di elementi

di combustibile per ciascun anello, nelle differenti configurazioni.

3.1.2 Sorgenti utilizzate nelle simulazioni

Nelle simulazioni effettuate e stata utilizzata una sorgente di Pu-Be, con

spettro mostrato in Figura 3.4, che riproduce quella fisicamente presente

all’interno del complesso sottocritico.

40

3.1. PROCEDIMENTO

Figura 3.2

Schema del reticolo esagonale, visto dall’alto, in configurazione finale. I diversi

colori indicano i diversi anelli del reticolo.

Figura 3.3

Schema del reticolo esagonale, visto dall’alto, in configurazione di misura. I

diversi colori indicano i diversi anelli del reticolo, mentre in nero sono indicate le

posizioni in cui sono stati effettuati gli irraggiamenti.

In Tabella 3.2 sono mostrati gli estremi superiori e i valori di probabilita

di ciascun bin che compone lo spettro mostrato in Figura 3.4.

Come gia accennato in Sezione C.0.13, l’esatta intensita della sorgente

di Pu-Be della struttura non e nota. Si e percio deciso di utilizzare il valore

nominale al momento della produzione, 7 · 106 neutroni/s. Si ricorda inoltre

41


Anello Conf. Iniziale Conf. Finale Conf. misura

Elementi Elementi Elementi

1 0 6 6

2 12 12 11

3 18 18 18

4 24 24 23

5 30 30 30

6 36 36 35

7 42 42 42

8 38 38 41

9 6 0 0

Tabella 3.1

Numero di elementi presenti in ciascun anello del reticolo esagonale, per le

differenti configurazioni.

Pu-BeEntries 38Integral 1

Energy (MeV)0 2 4 6 8 10

Pro

bab

ility

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

Pu-BeEntries 38Integral 1

Spettro sorgente

Figura 3.4

Spettro energetico normalizzato, utilizzato per la generazione della sorgente

che tale valore va moltiplicato per i valori della fluenza ottenuti mediante le

simulazioni con MCNP, per ottenere il flusso neutronico (Fattore di norma-

lizzazione). Va quindi tenuto conto del fatto che il valore di intensita della

sorgente e presente in tutti i calcoli che coinvolgono il flusso neutronico.

In alcune simulazioni la geometria della sorgente e stata modificata.

42

3.1. PROCEDIMENTO

Energia (MeV) Probabilita Energia (MeV) Probabilita

0.94 0 4.51 0.042221

1.06 0.031898 4.79 0.043988

1.17 0.030503 5.09 0.042965

1.26 0.026132 5.38 0.037943

1.36 0.025109 5.68 0.031805

1.43 0.025295 5.94 0.027248

1.55 0.024644 6.26 0.024365

1.66 0.024365 6.55 0.022970

1.87 0.023993 6.87 0.022598

1.96 0.024923 7.21 0.022691

2.15 0.027806 7.77 0.023063

2.53 0.031061 8.25 0.020459

2.74 0.033479 8.77 0.015159

2.96 0.040361 9.26 0.01023

3.17 0.045755 9.75 0.007440

3.57 0.048917 10.30 0.005394

3.77 0.046592 10.79 0.003255

3.98 0.042593 11.21 0.001302

4.23 0.041198 11.81 0.000279

Tabella 3.2

Estremi superiori degli intervalli energetici e valori della probabilita corrispondenti

per lo spettro normalizzato utilizzato nella generazione della sorgente di PU-Be,

Figura 3.4.

In Figura 3.5 sono mostrati i differenti tipi di sorgente utilizzate nelle

simulazioni.

Il motivo di queste modifiche sta nel fatto che gli spettri energetici utiliz-

zati sono spettri di emissione. Per evitare che i neutroni generati interagis-

sero col materiale della sorgente stessa e quindi, in pratica, che si modificasse

lo spettro effettivo con cui essi venivano emessi, si e deciso di tenere il volume

sorgente vuoto. Per simulazioni a sorgente fissa il fatto di genererare neu-

troni all’interno di un volume vuoto non costituisce alcun problema, mentre

con l’utilizzo di kcode o ksrc e invece necessario che la sorgente sia posta in

una cella di materiale fissile. Percio nelle simulazioni non a sorgente fissa si

43


cm10 2 3 4 5 cm10 2 3 4 5 cm10 2 3 4 5

Sorgente reale Sorgente nps Sorgente kcode

Pu-Be No Pu-Be Pu-Be

Figura 3.5

Schema della sorgente reale e di quelle utilizzate nelle simulazioni con nps e

kcode. In grigio e indicata la parte composta da Pu-Be, che nel caso di nps e

assente, mentre per kcode e solo la superficie esterna.

e utilizzato il terzo tipo mostrato in Figura 3.5, in cui il materiale fissile e

presente solo in un guscio cilindrico esterno, di spessore 5 µm, guscio in cui

sono generati i neutroni. Va detto che questa decisione di avere il volume

sorgente vuoto, modifica leggermente il valore di keff del sistema, in quanto

viene eliminato del materiale fissile, la variazione e comunque di poca rile-

vanza e in ogni caso ne verra tenuto conto in fase di discussione.

3.1.3 Simulazioni

Ora passiamo a descrivere il lavoro vero e proprio di simulazione realiz-

zato sul complesso sottocritico. Le simulazioni saranno spiegate in dettaglio,

corredate di risultati e di considerazioni.

44

3.1. PROCEDIMENTO

Prove preliminari

La fase iniziale del lavoro e composta da simulazioni quasi di prova, atte

ad una verifica generale dell’implementazione della geometria del sistema

e ad una serie di riscontri per avere indicazioni su come svolgere il lavoro

seguente.

1. Per iniziare sono state effettuate tre simulazioni con:

struttura completa;

sorgente piena, con spettro di Pu-Be;

opzione kcode con 250 cicli, di cui i primi 50 saltati;

5 · 103, 104 e 105 neutroni al ciclo per, rispettivamente, prima,

seconda e terza simulazione;

nessun calcolo di flusso neutronico.

Queste tre simulazioni hanno fornito come risultato numerico solo il

valore del keff del sistema, riportato in Tabella 3.3.

Simulazione Neutroni per ciclo keff

1 5 · 103 0.82274± 0.00051

2 104 0.82380± 0.00033

3 105 0.82343± 0.00010

Tabella 3.3

keff calcolato per le prime tre simulazioni effettuate. L’errore e fornito come

incertezza standard. I valori sono forniti con cinque cifre decimali in quanto per

convenzione il keff e usualmente riportato in “parti su centomila”.

Le tre simulazioni hanno dato un esito positivo in quanto i tre valori

di keff sono minori di uno, come ci si attendeva. Da queste prove non

era stato preteso nulla di altro, pero si puo notare che, giustamente, al-

l’aumentare del numero di neutroni per ciclo, e quindi della statistica,

l’errore si riduce. Inoltre se si considerano gli intervalli di confiden-

za delle tre misure si vede che i valori sono compatibili e nessuno si

discosta in modo notevole, il che fornisce una prova della bonta delle

45


simulazioni.

Un altro controllo effettuato su queste simulazioni e stato quello di

controllare nel file di output che tutte le celle fossero corrette, che

venissero lette nel modo corretto, che ciascuna cella con materiale fis-

sile fosse considerata nei calcoli e che il reticolo fosse stato inserito

correttamente. Anche in questo caso vi e stato esito positivo e quindi

e stato possibile continuare con il lavoro.

2. A seguire e stata svolta una simulazione per la verifica dello spettro

sorgente. Le caratteristiche della prova sono:

geometria totalmente vuota. Tutte le celle presenti erano vuote,

non e stato inserito alcun materiale;

sorgente vuota, con spettro di Pu-Be;

opzione nps con produzione di 108 neutroni;

conteggio della fluenza attraverso cinque sferette, raggio 0.5 cm,

poste a distanza 5, 10, 15, 20 cm dal centro della sorgente.

cm0 10 20 30 40 50 60

Figura 3.6

Schema della disposizione delle sferette, in azzurro, per le misure di fluenza. In

grigio e indicata la sorgente, mentre in giallo lo strato esterno di paraffina. I

cerchi bianchi sono le posizioni del reticolo di elementi di combustibile.

In Figura 3.6 e mostrata la disposizione delle sferette all’interno

della struttura, sono indicate anche le posizioni degli elementi del

reticolo e lo strato esterno di paraffina per una migliore compren-

sione delle distanze. Lo spettro del fluenza e stato suddiviso negli

46

3.1. PROCEDIMENTO

stessi bin utilizzati per lo spettro inserito nell’input file, in modo

che il confronto tra i due risultasse piu chiaro.

Come si puo vedere da Figura 3.7-Figura 3.10, all’interno degli errori

statistici, i due spettri mostrano un ottimo accordo.

Energy (MeV)

0 2 4 6 8 10

Pro

bab

ilit

y

0

10

20

30

40

50

-310×

Source check, 5 cmIntegral 3.405e-03Integral 1.000e+00

measuredreference

Figura 3.7

Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.10.

Energy (MeV)

0 2 4 6 8 10

Pro

bab

ilit

y

0

10

20

30

40

50

-310×


measuredreference

Figura 3.8


Inoltre se si guarda la Tabella 3.4 si puo vedere che il prodotto tra il

quadrato della distanza e la fluenza totale all’interno delle sferette si

mantiene pressoche costante. Cio indica l’esistenza di una proporzio-

nalita inversa tra le due grandezze, come ci si attendeva, in quanto nel

47


Energy (MeV)

0 2 4 6 8 10

Pro

bab

ilit

y

0

10

20

30

40

50

-310×


measuredreference

Figura 3.9


Energy (MeV)

0 2 4 6 8 10

Pro

bab

ilit

y

0

10

20

30

40

50

-310×


measuredreference

Figura 3.10

Distanza 20 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro utilizzato per la creazione

della sorgente e quello risultato dal tally di fluenza della simulazione Monte Carlo,

a 5 (Figura 3.7), 10 (Figura 3.8), 15 (Figura 3.9) e 20 cm (Figura 3.10) dal

centro della sorgente. Gli spettri sono normalizzati per permettere la

sovrapposizione. La linea rossa indica lo spettro utilizzato nell’implementazione,

mentre i punti neri con le barre blu indicano il risultato del tally. Gli errori sul

conteggio possono essere nascosti dagli indicatori.

vuoto l’unica attenuazione della fluenza e data dalla dispersione delle

particelle, che varia come il quadrato della distanza.

Tale andamento puo essere meglio apprezzato da Figura 3.11, che

mostra il fit sui valori di Tabella 3.4.

48

3.1. PROCEDIMENTO

Distanza (cm) Fluenza totale (1/cm2) Distanza2 per Fluenza

5 (3.405± 0.007) · 10−3 0.0851± 0.0002

10 (8.11± 0.03) · 10−4 0.0811± 0.0003

15 (3.58± 0.02) · 10−4 0.0805± 0.0005

20 (2.02± 0.02) · 10−4 0.0809± 0.0008

Tabella 3.4

Fluenza totale nel vuoto a differenti distanze dalla sorgente. Il prodotto del

quadrato della distanza per il valore della fluenza rimane pressoche costante,

confermando la proporzionalita inversa tra le due grandezze.

Figura 3.11

Fit con andamento 1/R2 per i valori di fluenza riportati in Tabella 3.4. Come si

nota anche dal coefficiente R di correlazione, i punti si accordano molto bene con

un tale andamento. Gli errori sono nascosti dagli indicatori.

3. Successivamente e stata svolta una simulazione con:

49


struttura svuotata al suo interno, mentre all’esterno sono simulati

il pavimento in cemento, il contenitore in alluminio, il rivestimen-

to di paraffina e il coperchio. All’interno del contenitore vi era il

vuoto, non aria;

sorgente vuota, con spettro di Pu-Be;


conteggio della fluenza attraverso tre sferette, raggio 0.5 cm, poste

a distanza 5, 20, 40 cm dal centro della sorgente. Lo spettro del

fluenza e stato suddiviso in trenta bin, utilizzati solitamente negli

studi di flusso sui reattori.

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Spettro fluenza a 5 cmIntegral 3.469e-03Integral 3.405e-03

nps,paraffinnps,empty

Figura 3.12

Distanza 5 cm dalla sorgente. Vedi Figura 3.14

Come si puo vedere da Figura 3.12-Figura 3.14, in presenza del solo

rivestimento esterno di paraffina, nei pressi della sorgente lo spettro

rimane sostanzialmente quello emesso, mentre avvicinandosi alla parte

esterna si ha un aumento dei neutroni nella regione termica dovuto alla

riflessione e conseguente rallentamento prodotto dallo strato di paraf-

fina. Questo rivestimento ha infatti il ruolo di riflettore di neutroni,

evitando cosı che essi fuoriescano dalla struttura.

Il fatto che l’integrale della fluenza nella simulazione con paraffina sia

piu alto di quello senza paraffina, deriva quindi dalla minore frazione

di neutroni che sfuggono dal volume della struttura.

50

3.1. PROCEDIMENTO

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35



Figura 3.13


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35



Figura 3.14

Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra gli spettri della fluenza misurati con

la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con il vuoto

all’interno, ma geometria completa all’esterno (indicato con paraffin). Entrambe

le simulazioni sono state effettuate con nps e i due spettri sono normalizzati per

permettere un miglior confronto.

4. In seguito per controllare l’effetto dell’acqua e stata effettuata una

simulazione con:

51


la struttura all’esterno del contenitore e stata considerata comple-

tamente, quindi rivestimento di paraffina, coperchio e pavimento

erano presenti. All’interno, invece, era presente solo acqua;

anche il volume della sorgente era riempito di acqua. Spettro di

Pu-Be;


conteggio della fluenza attraverso tre sferette, raggio 0.5 cm, poste

a distanza 5, 20, 40 cm dal centro della sorgente. Lo spettro del

fluenza e stato suddiviso in trenta bin, utilizzati solitamente negli

studi di flusso sui reattori.

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


nps,waternps,empty

Figura 3.15


In Figura 3.15-Figura 3.17 sono mostrati i risultati della simulazione

confrontati ancora con lo spettro emesso dalla sorgente. Gia a soli 5

cm dalla sorgente si nota fortemente l’effetto dell’acqua che riduce la

velocita dei neutroni, riducendo di conseguenza la componente veloce

dello spettro e aumentando quella termica. Infatti l’effetto dell’acqua

e proprio quello di moderatore di neutroni, in modo da farli termaliz-

zare e quindi aumentare la probabilita che inducano fissione nell’235U .

Con l’aumentare della distanza questo effetto rimane e si nota che il

valore totale della fluenza diminuisce piu rapidamente rispetto al caso

nel vuoto, a causa degli assorbimenti dovuti all’acqua stessa.

52

3.1. PROCEDIMENTO

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4


nps,waternps,empty

Figura 3.16


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


nps,waternps,empty

Figura 3.17

Distanza 40 cm dalla sorgente. Confronto tra lo spettro della fluenza misurato con

la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con solo acqua

all’interno e geometria completa all’esterno (indicato con water). Entrambe le

simulazioni sono state effettuate con nps e i due spettri sono normalizzati per


Si nota anche che nei primi due grafici la fluenza ottenuta con la pre-

senza dell’acqua e maggiore rispetto a quella con la struttura vuota.

Questo potrebbe sembrare strano visto che non sono presenti materiali

53


fissili, che quindi potrebbero generare ulteriori neutroni. Il fatto e da

imputare, similmente a quanto accade per la paraffina, ad un effetto

di diffusione dei neutroni da parte dell’acqua e in particolare da parte

degli atomi di Idrogeno. Infatti un neutrone, che ha attraversato la

sferetta, potrebbe essere riflesso e pertanto contribuire due volte alla

fluenza calcolata all’interno della sferetta. Infine alla distanza di 40 cm

il valore della fluenza calcolata nel vuoto e circa cinque volte quello

in acqua perche la maggior parte dei neutroni sono stati assorbiti da

quest’ultima e anche il contributo di riflessione della paraffina e pres-

soche trascurabile in quanto una frazione minima di neutroni riesce a

raggiungere il volume del riflettore.

5. Il passo successivo e stato quello di controllare l’effetto del combusti-

bile, realizzato mediante due simulazioni con:

Per entrambe la struttura all’esterno del contenitore era comple-

ta, quindi rivestimento di paraffina, coperchio e pavimento er-

ano presenti. L’interno riempito solamente dalla guaina porta-

sorgente e dagli elementi di combustibile, posizionati in configu-

razione iniziale. Lo spazio interno rimanente era riempito di aria

(assenza di moderatore);

Entrambe le simulazioni con spettro sorgente di Pu-Be;

Una simulazione con opzione nps, sorgente vuota e produzione di

107 neutroni;

L’altra effettuata con kcode, con generazione di 5 · 104 neutroni

al ciclo, per 250 cicli, di cui i primi 50 non considerati nel calcolo

del keff . La sorgente e stata presa con il solo guscio esterno di

Pu-Be, come mostrato dall’immagine in Figura 3.5, indicata come

sorgente kcode.

In entrambe si e misurata la fluenza attraverso tre sferette, raggio

0.5 cm, poste a distanza 5, 20, 40 cm dal centro della sorgente.

Lo spettro del fluenza e stato suddiviso in trenta bin, utilizzati

solitamente negli studi di flusso sui reattori.

Figura 3.18-Figura 3.20 mostrano i risultati della simulazione svolta

con opzione nps, ancora a confronto con la sola sorgente. Si evidenzia

un aumento della percentuale di neutroni nella regione attorno ad 0.7

54

3.1. PROCEDIMENTO

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


nps,fuelnps,empty

Figura 3.18


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


nps,fuelnps,empty

Figura 3.19


MeV. Infatti come si puo notare dallo spettro in Figura 1.3, questo

valore di energia e quello piu probabile per neutroni emessi nella fis-

sione. Si puo vedere anche che a 5 cm l’effetto della sorgente domina

ancora rispetto alle fissioni, mentre gia a 20 cm lo spettro coincide

praticamente con quello di fissione. A 40 cm si nota bene l’effetto

del rivestimento di paraffina che aumenta notevolmente la frazione di

55


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


nps,fuelnps,empty

Figura 3.20


la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con il solo

combustibile all’interno (in configurazione iniziale) e geometria completa

all’esterno (indicato con fuel). Entrambe le simulazioni sono state effettuate con

nps e i due spettri sono normalizzati per permettere un miglior confronto.

neutroni termici.

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


kcode,fuelnps,empty

Figura 3.21


Nella simulazione effettuata con opzione kcode, mostrata in Figu-

56

3.1. PROCEDIMENTO

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


kcode,fuelnps,empty

Figura 3.22


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


kcode,fuelnps,empty

Figura 3.23


la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con il solo

combustibile all’interno (in configurazione iniziale) e geometria completa

all’esterno (indicato con kfuel). Quest’ultima simulazione e stata effettuata con

opzione kcode. I due spettri sono normalizzati per permettere un miglior

confronto.

ra 3.21-Figura 3.23, e riconoscibile lo stesso effetto presente in quella a

sorgente fissa, ovvero l’aumento della frazione di neutroni con energia

57


attorno ad 0.7 MeV. Il fatto importante e che gia a 5 cm dal centro

l’effetto della sorgente e assente. Come gia spiegato in Sezione C.0.12,

la totale assenza dell’effetto della sorgente e dovuta al modo in cui il

programma MCNP conduce le simulazioni con calcoli di criticita. In

questi casi infatti solo al primo ciclo si considera la sorgente indicata

nel file di input, mentre nei restanti sono solo le fissioni nel combustibi-

le ad avere importanza. Questo fatto puo essere anche notato andando

a confrontare i valori totali della fluenza, mostrati in Tabella 3.5

Distanza Fluenza totale (1/cm2) Fluenza totale (1/cm2) Fluenza totale (1/cm2)

(cm) nps, sorgente nps, fuel kcode, fuel

5 (3.4050± 0.0007) · 10−3 (4.7120± 0.0003) · 10−3 (1.1± 0.3) · 10−3

20 (2.023± 0.002) · 10−4 (7.9± 0.1) · 10−4 (9.7± 0.2) · 10−4

40 (4.851± 0.008) · 10−5 (2.28± 0.05) · 10−4 (5.6± 0.3) · 10−4

Tabella 3.5

Fluenza totale nel vuoto e nel caso di solo combustibile, sia con opzione nps sia

con kcode, a differenti distanze dalla sorgente. Il valore ottenuto con kcode e

stato moltiplicato per il numero di neutroni prodotti da fissione per neutrone

sorgente e diviso per il numero medio di neutroni prodotti per fissione, per rendere

confrontabili i due risultati.

Si nota infatti che utilizzando l’opzione kcode il valore della fluen-

za diminuisce lentamente in funzione della distanza, dirigendosi dal

centro alla periferia della struttura, segno che e totalmente dominata

dall’effetto di moltiplicazione del combustibile. Con l’utilizzo di nps si

ha invece una decrescita rapida con l’aumentare della distanza (effet-

to sorgente), anche se l’effetto moltiplicante del combustibile smorza

l’attenuazione.

Nel caso nps i neutroni sorgente sono emessi sempre dal centro del

reticolo, contribuendo ad elevare il valore della fluenza in prossimita

della sorgente, che quindi risulta superiore al caso kcode. Al contrario,

allontanandosi dal centro del reticolo, l’effetto moltiplicante del com-

bustibile determina un valore di fluenza superiore per il caso kcode,

rispetto ad nps.

In Figura 3.24-Figura 3.24 si trovano anche i confronti tra gli spettri

58

3.1. PROCEDIMENTO

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25


kcode,fuelnps,fuel

Figura 3.24


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18


kcode,fuelnps,fuel

Figura 3.25


con combustibile dei due tipi differenti di simulazione. E evidente dai

grafici che i due spettri tendono a coincidere con l’aumentare della

distanza dal centro, per il fatto che allontanandosi dalla zona centrale

l’effetto moltiplicante delle fissioni cresce fino a dominare quello di dif-

fusione della sorgente.

Ulteriori considerazioni su queste due simulazioni possono essere fat-

59


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12


kcode,fuelnps,fuel

Figura 3.26


la struttura con il solo combustibile (in configurazione iniziale per simulazioni

realizzate con comando nps e kcode. I due spettri sono normalizzati per


te ponendo l’attenzione sui valori del keff risultanti, riportati in

Tabella 3.6.

Tipo di simulazione keff Valore di Gox

kcode 0.42131± 0.00013 0.0026

nps 0.55179± 0.00017

Tabella 3.6

Valori del keff per le simulazioni con kcode e nps, nel caso di solo combustibile,

in configurazione iniziale. Nel secondo caso il valore e stato ricavato mediante

Eq. C.6 e viene anche riportato il valore di Gox che serve da stima per la

verosimiglianza del valore ottenuto con opzione nps. Analogamente a quanto fatto

in Tabella 3.3, anche in questo caso i valori sono espressi con cinque cifre

decimali.

Se come riferimento si prendono i valori di Tabella 3.3, si vede che

l’assenza dell’acqua riduce circa della meta il valore del keff . Questo

60

3.1. PROCEDIMENTO

perche senza la moderazione dell’acqua la frazione di neutroni termici

e molto inferiore e quindi la probabilita che avvengano fissioni si riduce

sensibilmente.

Si puo notare che il valore ottenuto dalla simulazione a sorgente fis-

sa e di circa il 30% maggiore rispetto a quello calcolato utilizzando

kcode. Una differenza cosı grande si puo spiegare considerando quanto

gia detto in Sezione C.0.12, ovvero che nel caso del opzione kcode il

programma svolge i calcoli come se il sistema fosse critico. Questo

ovviamente consiste in una approssimazione, che e legittima tanto

piu il valor vero di keff si avvicina ad 1. In questo caso il valore e

notevolmente inferiore, percio e da ritenersi piu affidabile il risultato

ottenuto con opzione nps, anche a fronte del valore ottenuto di Gox

(l’approssimazione in Eq. C.6 e valida se Gox 1).

6. Infine sono state svolte due simulazioni, le cui caratteristiche sono:

Per entrambe la struttura era completa di tutte le sue parti,

sia all’interno sia all’esterno. Il combustibile nel reticolo era

posizionato in configurazione iniziale;

Entrambe con spettro sorgente di Pu-Be;

Una simulazione con opzione nps, sorgente vuota e produzione di

107 neutroni;

L’altra effettuata con kcode, con generazione di 5 · 104 neutroni

al ciclo, per 250 cicli, di cui i primi 50 non considerati nel calcolo

del keff . La sorgente e stata presa con il solo guscio esterno di

Pu-Be, come mostrato dall’immagine in Figura 3.5, indicata come

sorgente kcode.

In entrambe si e misurata la fluenza attraverso tre sferette, raggio

0.5 cm, poste a distanza 5, 20, 40 cm dal centro della sorgente.

Lo spettro del fluenza e stato suddiviso in trenta bin, utilizzati

solitamente negli studi di flusso sui reattori.

In Figura 3.27-Figura 3.29 sono mostrati gli spettri della simulazione

a sorgente fissa, con geometria completa. In questo caso si possono

notare tutti gli effetti discussi fino ad ora per i vari elementi che cos-

tituiscono la struttura. Sono visibili infatti i neutroni prodotti da fis-

sione con energia piu probabile a 0.7 MeV e tutta la componente dello

61


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


nps,fullnps,empty

Figura 3.27


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


nps,fullnps,empty

Figura 3.28


spettro di termalizzazione termici dovuta alla presenza dell’acqua. Val-

gono considerazioni analoghe al caso del solo combustibile per quanto

riguarda effetti della sorgente o delle fissioni, se non che in questo caso

la fluenza totale e ancora maggiore, grazie alla moderazione dell’acqua

che permette un maggior numero di fissioni.

Se si osservano gli spettri ottenuti della simulazione con opzione kcode,

62

3.1. PROCEDIMENTO

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


nps,fullnps,empty

Figura 3.29


la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con la struttura al

completo (in configurazione iniziale e indicata con full). Entrambe le simulazioni

sono state realizzate con opzione nps. I due spettri sono normalizzati per


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


kcode,fullnps,empty

Figura 3.30


mostrati in Figura 3.30-Figura 3.32, rispetto a Figura 3.27-Figura 3.27,

si possono fare le medesime considerazioni, gia fatte in precedenza, nel

caso delle due simulazioni con il solo combustibile. L’unica differenza

63


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


kcode,fullnps,empty

Figura 3.31


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.1

0.2

0.3

0.4


kcode,fullnps,empty

Figura 3.32


la geometria completamente vuota (indicato con empty) e quello con la struttura al

completo (in configurazione iniziale e indicata con full). Quest’ultima simulazione

e stata realizzata con opzione kcode. I due spettri sono normalizzati per


tra i due tipi di simulazione sta sempre nell’effetto della sorgente, che

per la seconda e assente e lo si nota nella regione finale dello spettro,

attorno a qualche MeV di energia.

64

3.1. PROCEDIMENTO

Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


kcode,fullnps,full

Figura 3.33


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16


kcode,fullnps,full

Figura 3.34


Dal confronto diretto tra i risultati ottenuti dai due tipi di simulazio-

ne, vedi Figura 3.33-Figura 3.35, la presenza o meno dell’effetto della

sorgente e ancora piu visibile.

Qualche considerazione ulteriore puo essere fatta se si prendono i due

valori di keff ottenuti dalle prove, riportati in Tabella 3.7.

65


Energy (MeV)

-810

-710

-610

-510

-410

-310

-210

-110 1 10

21

/cm

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45


kcode,fullnps,full

Figura 3.35


la struttura al completo (in configurazione iniziale per le simulazioni realizzate con

comando nps e kcode. I due spettri sono normalizzati per permettere un miglior

confronto.

Tipo di simulazione keff Valore di Gox

kcode 0.81774± 0.00016 0.002

nps 0.84644± 0.00042

Tabella 3.7

Valori del keff per le simulazioni con kcode e nps, nel caso di geometria

completa, combustibile in configurazione iniziale. Nel secondo caso il valore e stato

ricavato mediante Eq. C.6 e viene anche riportato il valore di Gox che serve da

stima per la verosimiglianza del valore ottenuto con opzione nps. Si e sempre

utilizzata la convenzione di cinque decimali per il keff . L’errore e indicato come

incertezza standard.

Osservando i due risultati si nota subito che questa volta il valore for-

nito dalla simulazione con opzione kcode e inferiore di circa il 3.5%

rispetto a quello ottenuto con nps (considerato piu attendibile anche

a fronte del valore di Gox), a riprova del discorso fatto in precedenza,

66

3.1. PROCEDIMENTO

ovvero che piu il valore reale di keff si avvicina ad uno piu la simula-

zione con kcode restituisce un valore vicino al vero.

Va fatta un’altra considerazione in merito al keff . In questo caso le

simulazioni sono state effettuate con la sorgente svuotata del suo mate-

riale costitutivo, per le ragioni gia discusse in Sezione 3.1.2, e come gia

accennato questo ovviamente comporta una riduzione del coefficiente

di moltiplicazione. Discuteremo ora di tale variazione, in Tabella 3.8

sono riportati i valori del coefficiente per i due tipi di simulazione nei

casi di sorgente vuota e piena.

Tipo di keff con keff con Rapporto

simulazione sorgente piena sorgente vuota

kcode 0.82330± 0.00036 0.81774± 0.00016 0.68%

nps 0.87729± 0.00044 0.84644± 0.00042 3.52%

Tabella 3.8

Variazioni del keff a seconda dell’utilizzo di sorgente vuota o piena. Il primo

valore nel caso di kcode e stato preso da Tabella 3.3, mentre per nps e stata

svolta una simulazione apposta per lo scopo di ricavare tale valore. La variazione

e riferita al valore con sorgente piena. Valgono considerazioni analoghe a tabella

precedente, per numero di decimali nei valori.

Come si puo vedere da Tabella 3.8 la differenza tra i valori del coef-

ficiente k a sorgente vuota e piena e al massimo di qualche percento

nel caso di nps (inferiore all’1% nel caso di kcode). In letteratura e

noto lo spettro di emissione delle sorgenti di Pu-Be e tale spettro risul-

terebbe distorto dalle reazioni nucleari che avverrebbero all’interno del

volume della sorgente piena. Si e percio deciso di utilizzare nelle simu-

lazioni la sorgente vuota con spettro di emissione come da letteratura,

e intensita di emissione dichiarata nella documentazione tecnica della

sorgente stessa. Questa scelta potrebbe comportare una sottostima

del coefficiente di moltiplicazione del complesso di difficile valutazione

(comunque non superiore al 3.5%), ma e l’unico modo per poter avere

un fattore di normalizzazione delle simulazioni noto con ragionevole

certezza.

67


7. Come ultima prova sono state svolte due simulazioni con:

struttura completa sia all’esterno, sia all’interno del contenitore,

combustibile in configurazione iniziale;

una con opzione nps e generazione di 107 neutroni;

una con opzione kcode, generazione di 105 neutroni al ciclo, per

250 cicli, con i primi 50 non utilizzati per i conteggi;

misura della fluenza di neutroni all’interno dei lingotti di Uranio.

Lo spettro della fluenza e stato suddiviso nei consueti trenta bin,

come nelle precedenti simulazioni.

X

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Y

-6-4

-20

24

680

0.51

1.52

2.53

3.54

-310×

Terzo livelloMean x -0.2645Mean y -0.1954

Integral 0.9758


Integral 0.9758

Flusso (neutroni/cm^2 s), nps

Figura 3.36

Distribuzione di fluenza a livello sorgente (con combustibile in configurazione

iniziale) risultante da una simulazione con opzione nps.

Come si puo vedere in Figura 3.36, relativa alla simulazione con nps,

la distribuzione della fluenza, diminuisce rapidamente all’aumentare

68

3.1. PROCEDIMENTO

X

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6

Y

-6-4

-20

24

680

0.020.040.060.08

0.10.120.140.160.18

0.2-310×


Integral 0.1015


Integral 0.1015

Flusso (neutroni/cm^2 s), kcode

Figura 3.37

Distribuzione di fluenza a livello sorgente (con combustibile in configurazione

iniziale) risultante da una simulazione con opzione kcode.

della distanza dalla sorgente. Mentre in Figura 3.37, relativa alla si-

mulazione con opzione kcode, la fluenza diminuisce piu gradualmente.

Questo conferma quanto illustrato nella Sezione C.0.12.

Si fa notare che la zona al centro del reticolo risulta avere una fluenza

nulla, in quanto in tale regione non sono presenti lingotti di combustibi-

le. Si puo anche osservare una certa asimmetria della distribuzione del-

la fluenza (molto piu evidente nei risultati ottenuti con kcode), dovu-

ta alla disposizione non perfettamente simmetrica degli elementi di

combustibile nel reticolo.

Sulla base dei risultati delle simulazioni fin qui svolte, si e deciso di

utilizzare in quelle successive solamente l’opzione nps, con la sorgente vuota,

in quanto descrive in modo piu realistico il complesso moltiplicante. Inoltre,

anche in previsione della realizzazione delle misure, e stata modificata la

69


disposizione degli elementi di combustibile, disponendoli in configurazione

finale, in modo da ottenere un flusso maggiore nella zona centrale e ridurre

l’asimmetria della loro disposizione.

Simulazione del complesso moltiplicante in configurazione finale

A questo punto e stato possibile iniziare a svolgere le simulazioni per la

caratterizzazione del flusso neutronico del complesso sottocritico SM1.

Come prova e stata svolta una simulazione con:

struttura completa sia all’esterno, sia all’interno del contenitore, e

combustibile in configurazione finale;

opzione nps con generazione di 107 neutroni;

misura della fluenza di neutroni e della densita di fissioni all’interno

dei lingotti di Uranio.

In Figura 3.38 e rappresentata la fluenza in ciascun lingotto all’interno

della struttura al livello della sorgente (equatore del reticolo). Si puo notare

che nella zona centrale si ha il picco dovuto alla sorgente, mentre allon-

tanandosi da essa il valore della fluenza decresce rapidamente e si evidenzia

il contributo della moltiplicazione.

Spostandosi verticalmente dalla quota equatoriale verso gli estremi del

reticolo, il picco al centro tende a diminuire e la distribuzione risulta sempre

piu piatta. Questo comportamento e giustificato dal fatto che, allontanan-

dosi verticalmente dalla sorgente il contributo diretto diminuisce rispetto

all’effetto moltiplicante del reticolo. In Tabella 3.9 viene riportato il valore

di flusso (fluenza moltiplicata per l’intensita della sorgente) medio in ciascun

anello, all’equatore del reticolo.

Utilizzando invece i valori ottenuti per la densita di fissioni, si e potuto

ricavare la potenza termica prodotta in ciascun lingotto e quindi quella totale

generata dalla struttura moltiplicante. Per il calcolo sono stati utilizzati i

seguenti valori:

volume di un singolo lingotto di Uranio: 103.5 cm3;

energia media liberata in una fissione: 202.5MeV = 3.24 · 10−11 J ;

intensita della sorgente: 7 · 106 neutroni/s.

70

3.1. PROCEDIMENTO

X

-15 -10 -5 0 5 10 15

Y

-15-10

-50

510

150

1

2

3

4

5

6

7

-310×

Terzo livelloMean x -0.04747

Mean y -0.02194

Integral 1.446

Terzo livelloMean x -0.04747

Mean y -0.02194

Integral 1.446


Figura 3.38

Valori del flusso in ciascun lingotto a livello della sorgente. Il grafico e simile a

quello in Figura 3.36 se non per la disposizione degli elementi di combustibile.

Infatti Figura 3.36 si trovano in configurazione iniziale, mentre in questo caso

sono in configurazione finale.

Moltiplicando i fattori sopraelencati per la densita di fissioni ottenuta

dalla simulazione si e ottenuto il valore della potenza sviluppata in ciascun

lingotto. In Tabella 3.10 sono mostrate la potenza media sviluppata da una

singola barra nei diversi anelli e quella prodotta da ciascun anello.

La potenza totale invece risulta essere:

Potenza = (7.3237± 0.0007) · 10−4 W (3.1)

dove l’errore e indicato come incertezza standard.

71


X

-15 -10 -5 0 5 10 15

Y

-15-10

-50

510

150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8-310×

Quinto livelloMean x -0.06235

Mean y -0.05431

Integral 0.3072

Quinto livelloMean x -0.06235

Mean y -0.05431

Integral 0.3072


Figura 3.39

Valori del flusso in ciascun lingotto alla sommita del reticolo (circa 35 cm al di

sopra dell’equatore del reticolo). Si nota, confrontando con Figura 3.38, che i

valori della fluenza decrescono piu lentamente spostandosi dal centro del reticolo,

segno che prevale l’effetto della moltiplicazione (si noti come varia la scala

sull’asse z).

Dalla simulazione in configurazione finale e stato anche ricavato il valore

del keff del complesso moltiplicante sottocritico SM1, in tale configurazione:

keff = 0.88699± 0.00044 (3.2)

dove e stata utilizzata di nuovo la notazione a cinque cifre decimali per

il valore del k.

Dal valore di keff trovato, si puo ricavare il fattore di moltiplicazione del

complesso moltiplicante sottocritico:

72

3.1. PROCEDIMENTO

X

-15 -10 -5 0 5 10 15

Y

-15-10

-50

510

150

0.020.040.060.08

0.10.120.140.160.18

0.20.220.24

-310×

Primo livelloMean x -0.07114

Mean y -0.06557

Integral 0.1002

Primo livelloMean x -0.07114

Mean y -0.06557

Integral 0.1002


Figura 3.40

Valori del flusso in ciascun lingotto al livello piu vicino al fondo del contenitore

(circa 50 cm al di sotto dell’equatore del reticolo. Si nota, confrontando con

Figura 3.38, che i valori della fluenza decrescono molto piu lentamente

spostandosi dal centro del reticolo, segno che prevale l’effetto della moltiplicazione

(si noti come varia la scala sull’asse z).

M =1

1− keff= 8.849± 0.004 (3.3)

Se si considera il fatto che il valore di keff appena calcolato risulta da

una simulazione a sorgente vuota e percio si tiene conto di un aumento pari

a circa il 3.5% nel caso di sorgente piena, si ricavano i valori:

keff = 0.91803± 0.00046 ; M = 12.200± 0.006 (3.4)

73


Anello Flusso (neutroni/cm2 s)

1 (4.913± 0.002) · 104

2 (3.2801± 0.0009) · 104

3 (2.3204± 0.0006) · 104

4 (1.6575± 0.0004) · 104

5 (1.1793± 0.0003) · 104

6 (8.244± 0.002) · 103

7 (5.579± 0.002) · 103

8 (3.758± 0.001) · 103

Tabella 3.9

Valori medi del flusso nei lingotti per ciascun anello, al livello della sorgente. I

valori della fluenza sono stati moltiplicati per l’intensita della sorgente,

7 · 106 neutroni/s. L’errore e fornito come incertezza standard.

Anello Elementi Potenza barra (W) Potenza anello (W)

1 6 (1.0876± 0.0003) · 10−5 (6.526± 0.002) · 10−5

2 12 (8.125± 0.002) · 10−6 (9.750± 0.003) · 10−5

3 18 (6.318± 0.002) · 10−6 (1.1373± 0.0003) · 10−4

4 24 (4.824± 0.001) · 10−6 (1.1577± 0.0003) · 10−4

5 30 (3.6029± 0.0009) · 10−6 (1.0809± 0.0003) · 10−4

6 36 (2.6154± 0.0007) · 10−6 (9.415± 0.002) · 10−5

7 42 (1.8993± 0.0005) · 10−6 (7.977± 0.002) · 10−5

8 38 (1.5292± 0.0005) · 10−6 (5.811± 0.002) · 10−5

Tabella 3.10

Potenza media sviluppata da una singola barra di combustibile nei differenti anelli

e quella prodotta da ciascun anello. L’errore e fornito come incertezza standard.

Simulazione del complesso moltiplicante in configurazione di misura

A seguire e stata svolta la simulazione del complesso con la quale ottenere

i risultati da confrontare con le misure di flusso:

74

3.1. PROCEDIMENTO

geometria completa, combustibile in configurazione di misura;

opzione nps, generazione di 107;

misura della fluenza attraverso tre point detector, posizionati all’inter-

no dei canali lasciati vuoti, alle stesse altezze a cui sono state inserite

le targhette per l’irraggiamento.

lo spettro di output delle misure e stato suddiviso in un maggior nu-

mero di bin, rispetto alle precedenti simulazioni, nella zona superiore

a circa 1 MeV, in modo da ottenere una migliore visualizzazione del-

la distribuzione della sorgente, come si puo notare in Figura 3.41,

Figura 3.42 e Figura 3.43.

La scelta dei point detector rispetto alle sferette e dovuta al fatto che

i primi possiedono una statistica migliore e consentono quindi di ridurre

l’errore sulle misure.

Dalla simulazione si sono ottenuti i valori del flusso integrale, nei tre canali

considerati, mostrati in Tabella 3.11

Anello Canale Intensita flusso neutroni/cm2 s

2 A (4.494± 0.005) · 104

4 B (2.024± 0.003) · 104

6 C (8.39± 0.02) · 103

Tabella 3.11

Flusso integrale nei tre canali di misura, ottenuto dalla simulazione con il codice

MCNP. L’errore e fornito ad una deviazione standard.

75


MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 4.494e+04

Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s / c

m^2

s)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000


Flusso integrale, anello 2

Figura 3.41

Spettro ottenuto con la simulazione con point detector e bin energetici modificati

nella regione veloce, misurato nel canale di irraggiamento A (anello 2). Si

distinguono bene la regione termica, la regione di rallentamento, la distribuzione

dei neutroni di fissione con energia piu probabile attorno a 0.7 MeV e la

distribuzione della sorgente di Pu-Be ad energie di qualche MeV.

76

3.1. PROCEDIMENTO


Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s / c

m^2

s)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000



Figura 3.42


nella regione veloce, misurato nel canale di irraggiamento B (anello 4). Si




77


MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 8389

Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s/ c

m^2

s)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800



Figura 3.43


nella regione veloce, misurato nel canale di irraggiamento C (anello 6). Si




78

Capitolo 4

Misure di flusso nella

struttura moltiplicante

sottocritica “SM1”

Nonostante il risultato di ciascuna simulazione venisse analizzato e si

cercasse di riscontrare ogni possibile discrepanza di cio che si otteneva dalla

realta, il metodo migliore per validare tutto il lavoro svolto tramite il pro-

gramma MCNP resta quello di confrontare i risultati delle simulazioni con

quelli delle misure.

Per ottenere tali dati sono state irraggiate targhette di materiali differenti,

in tre posizioni del reticolo (canali A,B,C). Successivamente e stata misurata

l’attivita indotta mediante un rivelatore gamma a basso fondo. Conoscendo

i tempi di irraggiamento, di attesa prima del conteggio e di conteggio si e po-

tuto risalire all’attivita a fine irraggiamento e calcolare l’attivita specifica a

saturazione. Utilizzando il programma di deconvoluzione SAND II, fornen-

do i valori di attivita specifica a saturazione, si e calcolata la distribuzione

in energia e l’intensita dei flussi neutronici nelle varie posizioni di irraggia-

mento, i quali sono poi stati confrontati con i risultati delle simulazioni.

In Appendice D sono descritte brevemente le caratteristiche principali e il

metodo di svolgimento dell’algoritmo di SAND II.

79

CAPITOLO 4. MISURE DI FLUSSO NELLA STRUTTURAMOLTIPLICANTE SOTTOCRITICA “SM1”

4.1 Svolgimento delle misure

4.1.1 Irraggiamento e Conteggio

Per la misura sono state irraggiate targhette sottili di Oro, Rame e

Indio in ciascun canale di irraggiamento (A,B,C; si veda Figura 3.3). La

Tabella 4.1 riassume le loro caratteristiche.

Elemento Contrassegno Massa (mg)

Au 2 8.25± 0.02

Au 4 9.71± 0.02

Au J 11.92± 0.02

Cu 1 158.13± 0.02

Cu 2 159.67± 0.02

Cu 3 158.63± 0.02

In 1 248.63± 0.02

In 2 264.56± 0.02

In 3 86.93± 0.02

Tabella 4.1

Elemento, massa e contrassegno di ciascuna targhetta. L’errore e fornito come

incertezza massima.

Per l’inserimento dei campioni all’interno della struttura e stata utiliz-

zata un’asta di Plexiglass dotata ad una estremita di un bossolo portacam-

pioni, mentre all’altra di un anello metallico la cui posizione lungo la stessa

puo essere regolata e fissata mediante una vite (Figura 3.3). L’anello di

metallo funge da stopper, appoggiandosi alla sommita della guaina vuota,

in modo che sia possibile decidere la profondita alla quale calare l’asta e il

portacampioni.

In Tabella 4.2 vengono riassunti posizione, altezza dal fondo del conteni-

tore e tempo di irraggiamento per ciascuna targhetta.

In Tabella 4.2 si nota che la targhetta In-3 e stata irraggiata sia nella

posizione dell’anello 4, sia in quella dell’anello 2. Questo perche, come si puo

vedere da Eq. (4.1), per l’Indio vengono considerate due reazioni. La prima

80

4.1. SVOLGIMENTO DELLE MISURE

Anello metallico Portacampioni

Figura 4.1

Rappresentazione dell’asta di Plexiglass utilizzata per le misure. Una volta inserite

il portacampioni si trova all’estremita inferiore, mentre la parte alla sinistra

dell’anello metallico fuoriesce al di sopra della guaina di Alluminio.

Targhetta Anello Altezza dal Tempo

fondo (cm) Irragg. (s)

Au 4 2 68.5 1040520± 35

Au J 4 71.5 1040520± 35

Au 2 6 68.5 1293720± 35

Cu 2 2 68.5 1040520± 35

Cu 1 4 71.5 1040520± 35

Cu 3 6 68.5 1293720± 35

In 1 2 71.5 863220± 35

In 3 4 71.5 430080± 35

In 2 6 68.5 598980± 35

In 3 2 68.5 605040± 35

Tabella 4.2

Riassunto dei dati relativi all’irraggiamento delle targhette. L’errore e fornito

come deviazione standard.

delle due, avendo un tempo di dimezzamento molto breve, rende difficile

l’individuazione del picco della seconda. Per questo si e reso necessario

ripetere la misura per l’Indio. Piu avanti sara spiegato meglio lo svolgimento

e il conteggio di questa seconda misura.

Le reazioni di attivazione considerate per i tre materiali sono:

81


(1) 197Au+ n→ 198Auβ− 2.7d−−−−−−→ 198Hg + e− + γ

(2) 63Cu+ n→ 64Cuβ+ 12.7h−−−−−−−→ 64Ni+ 2γ

(3) 115In+ n→ 116mInγ 54.3m−−−−−−→ 116In+ γ

(4) 115In+ n→ 115mIn+ n′γ 4.5h−−−−−→ 115In+ γ

(4.1)

dove sopra le frecce nel secondo passaggio sono indicati modo di decadi-

mento e tempo di dimezzamento.

In Tabella 4.3 vengono invece riassunti i tempi di dimezzamento e le energie

dei fotoni gamma emessi con maggiore probabilita nelle differenti reazioni

considerate.

Reazione Tempo di Energia fotone

dimezzamento (s) (keV)

197Au(n, γ)198Au 2.33 · 105 411.80 (95.53%)

675.88 (1.06 %)63Cu(n, γ)64Cu 4.57 · 104 511.00 (35.20 %)

1345.50 (0.47 %)115In(n, γ)116mIn 3.26 · 103 1293.50 (84.50 %)

1097.20 (55.35 %)

417.00 (27.80 %)115In(n, n′)115mIn 1.61 · 104 336.25 (46.10 %)

Tabella 4.3

Tempo di dimezzamento ed energia in keV dei fotoni gamma emessi per le

reazioni considerate.

Mediante un rivelatore gamma a basso fondo, sono stati misurati gli

spettri di emissione gamma di ciascuna targhetta. Sono state realizzate piu

misure per ciascuna targhetta, compatibilmente con il tempo di dimezza-

mento e l’intensita dell’emissione, per ridurre l’errore della misura relativo

al posizionamento della targhetta sul cristallo. Dagli spettri misurati si e

potuto ricavare il valore dell’attivita delle targhette. In Tabella 4.4 vengono

riassunti i dati relativi alle operazioni di conteggio.

82


Targhetta Tempo di Tempo di Attivita

attesa (s) conteggio (s) Misurata (Bq)

Au-4 (1.7277± 0.0003) · 105 3606.0± 0.1 63.3± 0.5

Au-4 (1.8606± 0.0003) · 105 3603.7± 0.1 60.4± 0.5

Au-4 (3.3804± 0.0003) · 105 3603.0± 0.1 35.6± 0.4

Au-J (1.6716± 0.0003) · 105 3603.1± 0.1 38.3± 0.4

Au-J (1.7940± 0.0003) · 105 3603.0± 0.1 37.7± 0.4

Au-J (1.9842± 0.0003) · 105 3602.8± 0.1 35.2± 0.4

Au-2 (9.030± 0.003) · 104 15010.8± 0.1 14.9± 0.1

Cu-2 (8.19± 0.03) · 103 3602.9± 0.1 95± 1

Cu-2 (1.872± 0.003) · 104 3602.5± 0.1 80± 1

Cu-1 (2.43± 0.03) · 103 3602.4± 0.1 53.2± 0.9

Cu-1 (1.417± 0.003) · 104 3602.3± 0.1 43.7± 0.8

Cu-3 (4.26± 0.03) · 103 15011.8± 0.1 17.6± 0.3

In-1 (8.7± 0.3) · 102 1042.7± 0.1 2940± 20

In-1 (1.98± 0.03) · 103 1033.8± 0.1 2360± 20

In-1 (3.11± 0.03) · 103 1026.6± 0.1 1860± 20

In-3 (8.1± 0.3) · 102 1009.4± 0.1 642± 5

In-3 (1.94± 0.03) · 103 302.3± 0.1 539± 4

In-3 (2.61± 0.03) · 103 302.1± 0.1 459± 4

In-2 (2.20± 0.03) · 103 1006.0± 0.1 411± 3

In-2 (3.25± 0.03) · 103 1004.9± 0.1 324± 3

In-2 (4.34± 0.03) · 103 1004.0± 0.1 259± 2

In-3 (1.541± 0.003) · 104 3604.2± 0.1 0.7± 0.3

Tabella 4.4

Riassunto dei dati relativi alla misura dell’attivita delle targhette. Viene riportata

anche la durata del conteggio e il tempo trascorso tra la fine dell’irraggiamento e

l’inizio del conteggio (Tempo di Attesa). L’errore e riportato come deviazione

standard e si riferisce al solo errore statistico.

Prendiamo ora in considerazione il secondo irraggiamento effettuato sulla

targhetta In-3. Per prima cosa va detto che e stato svolto a distanza di circa

otto giorni dalla fine della prima esposizione e quindi, come si puo vedere

dai tempi di dimezzamento indicati nelle reazioni in Eq. (4.1), al momento

83


del secondo irraggiamento l’attivita indotta dal primo era trascurabile. In

secondo luogo tale misura e stata realizzata per ottenere una migliore statis-

tica per la quarta reazione di Eq. (4.1), in quanto nei primi spettri ottenuti

i gamma emessi dal 115mIn erano sommersi dal fondo dovuto a quelli emessi

dal 116mIn, di intensita molto maggiore. Si e deciso percio di irraggiare per

la seconda volta la targhetta di Indio e attendere qualche ora tra la fine

dell’irraggiamento e l’inizio del conteggio, in modo da ridurre notevolmente

la componente di gamma emessi dal 116mIn.

Una misura dell’attivita del 115mIn e importante poiche, mentre l’Oro, il

Rame e l’Indio per la reazione di cattura, possiedono sezioni d’urto senza

soglia che risultano essere elevate nell’intervallo energetico termico ed epiter-

mico, la formazione dello stato metastabile 115mIn e una reazione a soglia

(En > 1.65 MeV), che avviene solamente con neutroni veloci. Questo fatto

significa che l’informazione sull’attivita del 115mIn, permette all’algoritmo

di SAND di operare sullo spettro energetico anche nella regione veloce, re-

gione nella quale e presente il contributo dovuto alla sorgente di Pu-Be.

Il calcolo dell’attivita per la reazione 115In(n, n′)115mIn e stato fatto solo

per l’anello 2, poiche negli altri la frazione di neutroni veloci sarebbe troppo

bassa per ottenere una misura accettabile.

Stima dell’errore sul posizionamento e calcolo dei valori medi di

attivita

Per eseguire una stima dell’errore derivante dal posizionamento della

targhetta sul cristallo di Germanio del rivelatore a basso fondo sono stati

eseguiti dieci conteggi di attivita da 300 s sulla targhetta di Indio che era

stata irraggiata per la seconda volta. Di queste dieci misure si e calcolata,

in modo analogo a quanto fatto per le precedenti targhette, l’attivita a fine

irraggiamento al fine di rendere confrontabili i risultati. La reazione consi-

derata per il calcolo dell’attivita e 115In(n, γ)116mIn.

In Tabella 4.5 sono riportati i valori ottenuti dalle dieci misure.

Sono state quindi calcolate media e varianza della distribuzione dei valori

ottenuti. Tale varianza, σ2 e la somma della media, µ e della varianza dovuta

al posizionamento, σ2p:

σ2 = µ+ σ2p (4.2)

84


Misura Tempo di Tempo di Attivita

attesa (s) conteggio (s) Misurata (Bq)

1 (1.10± 0.03) · 103 305.5± 0.1 (1.3176± 0.0007) · 103

2 (1.58± 0.03) · 103 305.0± 0.1 (1.3480± 0.0007) · 103

3 (1.93± 0.03) · 103 304.7± 0.1 (1.0872± 0.0007) · 103

4 (2.27± 0.03) · 103 304.3± 0.1 (1.0058± 0.0007) · 103

5 (2.63± 0.03) · 103 304.1± 0.1 (9.384± 0.007) · 102

6 (2.98± 0.03) · 103 303.7± 0.1 (8.762± 0.007) · 102

7 (3.33± 0.03) · 103 303.5± 0.1 (8.236± 0.007) · 102

8 (3.87± 0.03) · 103 303.1± 0.1 (7.300± 0.007) · 102

9 (4.20± 0.03) · 103 302.9± 0.1 (6.790± 0.007) · 102

10 (4.53± 0.03) · 103 302.8± 0.1 (6.278± 0.007) · 102

Tabella 4.5

Riassunto dei dati relativi alla misura dell’attivita delle targhette per la stima

dell’errore sul posizionamento. Gli errori sono forniti come deviazione standard.

Si puo quindi ricavare l’incertezza standard dovuta al posizionamento

come:

σp =√µ− σ2 (4.3)

Va ricordato che tale formula sarebbe corretta nel caso di misure effet-

tuate con una sorgente di attivita costante, mentre in questo caso la reazione

considerata ha un tempo di dimezzamento confrontabile con il tempo di

misura. Pertanto, per poterla utilizzare, e stato necessario correggere la

misura per il decadimento della sorgente durante il conteggio. questa cor-

rezione introduce un errore nell’applicazione della formula, che, percio risulta

essere solamente una stima.

Dalle misure effettuate, il valore per l’incertezza standard sul posizionamento

e risultato essere:

σp ≈ 4 % (4.4)

85


Tale errore e stato sommato a quello statistico, riportato in Tabella 4.4,

delle singole misure, in quanto si tratta di un effetto sistematico di possibile

scostamento della misura dal valore vero. Come gia accennato in preceden-

za dove e stato possibile sono state svolte piu misure della stessa targhetta,

ogni volta riposizionandola sul rivelatore, in modo da ridurre tale effetto nel

successivo calcolo del valore medio.

Targhetta Attivita (Bq) Targhetta Attivita (Bq)

Au 4 63± 3 Cu 3 18± 1

Au 4 60± 3 In 1 2900± 100

Au 4 36± 2 In 1 2360± 90

Au J 38± 2 In 1 1860± 70

Au J 38± 2 In 3 640± 30

Au J 35± 2 In 3 540± 20

Au 2 14.9± 0.7 In 3 460± 20

Cu 2 95± 5 In 2 410± 20

Cu 2 80± 4 In 2 320± 10

Cu 1 53± 3 In 2 260± 10

Cu 1 44± 2 In 3 0.7± 0.4

Tabella 4.6

Riassunto dei dati relativi alla misura dell’attivita delle targhette per la stima

dell’errore sul posizionamento. Gli errori sono forniti come deviazione standard.

Tabella 4.6 mostra i valori di attivita misurate nelle prove di conteggio

insieme al relativo errore stimato come somma di quello statistico e quello

di posizionamento appena calcolato.

Una volta ottenuto l’errore complessivo di ciascuna misura, e stato calcolato

il valor medio dell’attivita a fine irraggiamento per ciascuna targhetta, uti-

lizzando il “metodo dei minimi quadrati ” ([5]). La relazione per il calcolo

del valor medio e:

86


xm =

∑ixiσ2i∑

i1σ2i

(4.5)

dove xm rappresenta la miglior stima del valore vero di attivita, xi sono

i risultati dei singoli conteggi e σ2i sono le varianze dei conteggi.

E stata quindi calcolata la varianza del campione di misure, relative a

ciascuna targhetta, mediante la relazione:

σ2C =

∑i(xi − xm)2

N − 1(4.6)

dove N rappresenta il numero di misure considerate per il calcolo del

valor medio. Dalla varianza del campione si ricava la deviazione standard

di xm:

σm =

√σ2C√N

(4.7)

Con i valori cosı ottenuti si e proceduto con il calcolo dell’attivita

specifica.

4.1.2 Calcolo dell’attivita specifica a saturazione

Poiche il programma di deconvoluzione SAND II richiede come input i

valori di attivita specifica a saturazione delle targhette irraggiate, di seguito

viene spiegato come e stato calcolato tale valore. Per prima cosa il valo-

re di attivita misurato deve essere corretto per un fattore che tiene conto

del decadimento durante il conteggio. In questo tempo, infatti, l’elemento

radioattivo decade e quindi cambia la sua attivita. Il risultato e che il valo-

re misurato e inferiore a quello reale all’inizio del conteggio. Il fattore che

permette questa correzione e dato da:

Fcont =λTcont

1− exp(−λTcont)(4.8)

dove Tcont indica il tempo di durata del conteggio espresso in secondi e

λ = ln(2)/T1/2 e la costante di decadimento della reazione considerata.

Moltiplicando quindi l’attivita misurata per il fattore Fcont, si ottiene

l’attivita all’inizio del conteggio, Ain:

Ain = Amis Fcont (4.9)

87


Il secondo passo e quello di risalire all’attivita della targhetta a fine

irraggiamento, in modo, anche, da poter confrontare le varie misure fatte

su una singola targhetta. Per ottenere questo si moltiplica l’attivita a inizio

conteggio per il fattore:

Fatt =1

exp(−λTatt)(4.10)

dove Tatt e il tempo di attesa, trascorso tra la fine dell’irraggiamento e

l’inizio del conteggio, in secondi.

Ottenuta l’attivita a fine irraggiamento si puo risalire a quella specifica,

dividendo per il numero di atomi presenti nella targhetta:

Aspec =Afine−irrmatom

mNA(4.11)

dove Afine−irr e l’attivita a fine irraggiamento, matom e la massa atomica

dell’elemento considerato, m e la massa della targhetta e NA e il numero di

Avogadro.

Infine moltiplicando per il fattore di saturazione si ottiene l’attivita specifica

a saturazione:

As−sat = Aspec · Fsat =Aspec

1− exp(−λTirr)(4.12)

dove Tirr e il tempo di irraggiamento della targhetta in secondi.

Coefficiente di attenuazione

Per gli elementi con una sezione d’urto di cattura neutronica molto el-

evata, come l’Oro, l’intensita del flusso all’interno della targhetta non e

costante, ma diminuisce all’aumentare dello spessore attraversato, a causa

dell’elevato numero di catture da parte del materiale. In questi casi l’at-

tivita che risulta e inferiore a quella che si avrebbe se il flusso che investe

la targhetta rimanesse costante per tutto lo spessore. Al fine di evitare di

sottostimare il flusso incidente, si rende percio necessaria una correzione per

questo effetto.

Per ottenere un valore del coefficiente di attenuazione sono state svolte due

simulazione con MCNP con:

una cella coincidente con il volume della targhetta e riempita di

Oro, contenuta in una sfera di raggio molto maggiore rispetto alle

dimensioni della targhetta, e col vuoto all’interno;

88


una simulazione con densita dell’Oro all’interno della targhetta uguale

a quella dell’Oro metallico e l’altra simulazione con densita diminuita

di un fattore 104;

comando nps con generazione di 108 neutroni;

generazione di un flusso di neutroni uniforme all’interno della sfera,

con spettro uguale a quello previsto dalle simulazioni nella posizione

di irraggiamento;

misura della densita di catture in entrambe le simulazioni.

Dal rapporto fra la densita di catture per l’Oro metallico e quella per

l’Oro diluito si ottiene il coefficiente di attenuazione. Il risultato fornito dalle

simulazioni e:

Catten = 0.88 (4.13)

Il valore di attivita specifica a saturazione per l’Oro, va quindi ulteri-

ormente diviso per il coefficiente Catten per ottenere il valore corretto di

attivita da inserire nel file di input per SAND II. In Tabella 4.7 vengono

riassunti i valori di attivita specifiche a saturazione ottenuti per le differenti

targhette.

4.1.3 Ricostruzione del flusso neutronico mediante

SAND II

Una volta calcolate le attivita specifiche a saturazione per ciascuna

targhetta, tali valori sono stati utilizzati come input, insieme al flusso dif-

ferenziale (valore del flusso integrale di gruppo diviso per la larghezza del

gruppo), calcolato con MCNP in ciascun canale di irraggiamento, per la

ricostruzione dello spettro del flusso mediante l’utilizzo del programma di

deconvoluzione SAND II.

Per il primo canale di irraggiamento (A) sono state considerate le attiv-

ita calcolate per le targhette Au-4, Cu-2 e In-3. Per quest’ultima e sta-

ta presa l’attivita risultante dal secondo irraggiamento (quello appunto nel

canale 2) corrispondente alla reazione 115In(n, n′)115mIn. Il valore ottenu-

to per la targhetta In-1 non e stato utilizzato per il flusso dell’anello 2

perche, a causa delle risonanze presenti nella sezione d’urto della reazione

89


Targhetta Attivita specifica a saturazione (Bq)

Au 4 (4.12± 0.08) · 10−18

Au J (2.08± 0.01) · 10−18

Au 2 (9.2± 0.4) · 10−19

Cu 2 (7.25± 0.04) · 10−20

Cu 1 (3.75± 0.04) · 10−20

Cu 3 (1.42± 0.08) · 10−20

In 1 (3.06± 0.01) · 10−18

115In(n, γ)116mIn

In 3 (1.84± 0.01) · 10−18

115In(n, γ)116mIn

In 2 (5.22± 0.02) · 10−19

115In(n, γ)116mIn

In 3 (3± 1) · 10−21

115In(n, n′)115mIn

Tabella 4.7

Attivita specifiche a saturazione per le differenti targhette. Gli errori sono forniti

come deviazione standard.

115In(n, γ)116mIn, si producevano delle distorsioni nello spettro. Inoltre l’at-

tivita di tale reazione fornisce informazioni ridondanti sulla parte di spettro

gia caratterizzato dall’Oro e dal Rame. Percio si e deciso di non utilizzare i

valori della targhetta In-1 come input.

In modo analogo si e fatto per le misure del secondo e terzo canale (B, C).

Anche se in questi due casi, non essendo a disposizione di misure di attivita

relative alla reazione 115In(n, n′)115mIn, il flusso e stato ricostruito a partire

dai soli valori delle targhette di Oro e Rame. Anche in questo caso, infatti,

la sezione d’urto per la reazione 115In(n, γ)116mIn, presente nel database di

SAND II, produceva forti distorsioni dello spettro di output.

In Tabella 4.8 vengono riassunti i valori totali del flusso nei tre canali di

irraggiamento ottenuti dall’algoritmo di SAND II, mentre in Figura 4.2 e

mostrato lo spettro nel secondo anello, anch’esso ottenuto da SAND II.

90


Canale Flusso totale (neutroni/cm2 s)

A (5.9± 0.2) · 104

B (2.59± 0.08) · 104

C (9.9± 0.7) · 103

Tabella 4.8

Valori dei flussi totali ottenuti dal programma SAND II. Gli errori sono forniti

come deviazione standard e sono calcolati come deviazione tra i valori di attivita

misurati e calcolati da SAND II con lo spettro mostrato.

91


SANDEntries 69Mean 0.7659RMS 1.592Integral 5.858e+04

Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s / c

m^2

s)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000



Figura 4.2

Spettro ottenuto con il programma SAND II per il canale di irraggiamento A

(anello 2). Gli errori di ciascun bin sono stati considerati in percentuale uguali a

quello indicato in Tabella 4.8 per il primo valore.

92



Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s / c

m^2

s)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500



Figura 4.3

Spettro ottenuto con il programma SAND II per il canale di irraggiamento B



93


SANDEntries 69Mean 0.4031RMS 1.034Integral 9851

Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s / c

m^2

s)

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600



Figura 4.4

Spettro ottenuto con il programma SAND II per il canale di irraggiamento C



94

Capitolo 5

Conclusioni

Confrontando gli spettri ottenuti dalle simulazioni con MCNP con quelli

risultanti dalla ricostruzione effettuata con SAND II, sulla base delle misure

svolte, Figura 5.1, Figura 5.2 e Figura 5.3, si puo vedere che questi ultimi

sono sistematicamente piu alti rispetto ai risultati del Monte Carlo.

Canale Flusso totale MCNP Flusso totale SAND Rapporto

(neutroni/cm2 s) (neutroni/cm2 s)

A (4.496± 0.003) · 104 (5.9± 0.2) · 104 0.77± 0.03

B (2.024± 0.002) · 104 (2.59± 0.08) · 104 0.78± 0.03

C (8.39± 0.03) · 103 (9.9± 0.7) · 103 0.85± 0.06

Tabella 5.1

Confronto dei risultati di flusso totale ottenuti con MCNP e SAND II.

Riferendoci ai valori di flusso totali, vedi Tabella 5.1, e facendone il rap-

porto, si nota che per il primo e secondo canale il rapporto tra i due risultati

e circa il medesimo, mentre per il terzo, il valore e di poco superiore. Ricor-

dando quanto detto in Sezione C.0.13 a proposito dell’aumento di intensita

nel tempo a cui sono soggette le sorgenti di Plutonio-Berillio, possiamo ipo-

tizzare che questo scostamento sia dovuto ad una sottostima dell’intensita

della sorgente, con conseguente sottostima del fattore di normalizzazione

del Monte Carlo. Un aumento pari a circa il 20% dell’intensita dei neutroni

95

CAPITOLO 5. CONCLUSIONI

Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s/cm

^2 s

)

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000





Flusso integrale, anello 2 MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 4.494e+04


SANDMCNP

Figura 5.1

Confronto tra lo spettro del flusso ottenuto con SAND II e quello ottenuto con

MCNP per il primo canale (A, anello 2.

prodotti e congruente con quanto riportato il letteratura, [2], e con il fatto

che l’eta della sorgente e di circa cinquanta anni.

Riassumendo, a fronte dei risultati sperimentali, si assume il fatto che la

sorgente sia contaminata, in percentuali inferiori all’1%, con 241Pu, il che

ha provocato, nei cinquanta anni di eta della sorgente, un aumento dell’in-

tensita di produzione di neutroni.

Utilizzando il “metodo dei minimi quadrati ” e stato calcolato il valor medio

del rapporto dei flussi integrali per i tre canali di irraggiamento, che e

risultato essere:

R = 0.78± 0.03 (5.1)

96

Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s/cm

^2 s

)

0

1000

2000

3000

4000





Flusso integrale, anello 4 MCNPEntries 69Mean 0.4826RMS 1.168Integral 2.024e+04


SANDMCNP

Figura 5.2


MCNP per il secondo canale (B, anello 4) .

Rinormalizzata a questo valore, l’intensita reale della sorgente risul-

terebbe essere:

I =7 · 106

0.78= (8.9± 0.2) · 106 neutroni/cm2 s (5.2)

Se ora si utilizza il nuovo valore di intensita della sorgente cosı calcolato

come fattore di normalizzazione delle simulazioni di MCNP, si ottengono i

valori dei flussi totali nei tre canali di irraggiamento, riportati in Tabella 5.2,

in Tabella 5.3 e Tabella 5.4.

Dopo aver riscalato il flusso per la nuova intensita della sorgente si puo

ripetere il confronto tra gli spettri ottenuti utilizzando i programmi MCNP

e SAND II.

97


Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s/cm

^2 s

)

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800





Flusso integrale, anello 6 MCNPEntries 69Mean 0.438RMS 1.075Integral 8389


SANDMCNP

Figura 5.3


MCNP per il terzo canale (C, anello 6).

Anello Canale Intensita flusso neutroni/cm2 s

2 A (5.716± 0.004) · 104

4 B (2.573± 0.003) · 104

6 C (1.067± 0.003) · 104

Tabella 5.2

Flusso integrale nei tre canali di misura, ottenuto dalla simulazione con il codice

MCNP e riscalato per la nuova intensita della sorgente. L’errore e fornito ad una

deviazione standard.

Come si puo vedere in Figura 5.4, Figura 5.5 e Figura 5.6, lo spettro fornito

dall’algoritmo di SAND II risulta avere una componente termica piu bassa

rispetto al corrispondente calcolato dal Monte Carlo.

98

Anello Flusso (neutroni/cm2 s)

1 (6.247± 0.002) · 104

2 (4.170± 0.001) · 104

3 (2.9502± 0.0008) · 104

4 (2.1074± 0.0006) · 104

5 (1.4995± 0.0004) · 104

6 (1.0482± 0.0003) · 104

7 (7.093± 0.002) · 103

8 (4.778± 0.002) · 103

Tabella 5.3

Valori medi del flusso nei lingotti per ciascun anello, al livello della sorgente. I

valori della fluenza sono stati moltiplicati per l’intensita della sorgente,

8.9 · 106 neutroni/s. L’errore e fornito come incertezza standard.

Un tale effetto puo essere spiegato se si considera che in MCNP i ma-

teriali inseriti sono puri, essendo ideali, mentre nella struttura sono pre-

senti materiali con impurezze che potrebbero contenere assorbitori di neu-

troni termici. Inoltre va aggiunto che il combustibile presente nella strut-

tura possiede al suo attivo un certo numero di anni di funzionamento, il

che provoca inevitabilmente un avvelenamento dello stesso. Ovvero molti

prodotti di fissione dell’235U , che si generano durante il funzionamento del

reattore, hanno sezioni d’urto di cattura elevate per neutroni termici e sicu-

ramente contribuiscono a diminuirne la percentuale rispetto al flusso totale.

Nelle simulazioni con MCNP non si e tenuto conto di tale avvelenamento

in quanto non si conosce il reale burn-out del combustibile e cio, insieme

alle impurezze presenti nei materiali, potrebbero spiegare la discrepanza tra

i risultati delle misure e delle simulazioni nella regione termica.

Per quanto riguarda lo scostamento inverso rispetto al precedente, ovvero

dove i risultati di SAND II sono sistematicamente maggiori rispetto a quelli

di MCNP, nella zona attorno a qualche eV, la spiegazione richiede analisi

ulteriori in quanto non si e riusciti a capire l’effetto che lo provoca.

99


Anello Potenza barra (W) Potenza anello (W)

1 (1.3828± 0.0004) · 10−5 (8.297± 0.003) · 10−5

2 (1.0330± 0.0003) · 10−5 (1.2396± 0.0003) · 10−4

3 (8.033± 0.002) · 10−6 (1.4460± 0.0004) · 10−4

4 (6.133± 0.001) · 10−6 (1.4719± 0.0004) · 10−4

5 (4.581± 0.001) · 10−6 (1.3742± 0.0003) · 10−4

6 (3.3253± 0.0009) · 10−6 (1.1971± 0.0003) · 10−4

7 (2.4148± 0.0007) · 10−6 (1.0142± 0.0003) · 10−4

8 (1.9442± 0.0007) · 10−6 (7.388± 0.002) · 10−5

Potenza totale (W) (9.3115± 0.0009) · 10−4

Tabella 5.4

Potenza media sviluppata da una singola barra di combustibile nei differenti anelli

e quella prodotta da ciascun anello, calcolati con la nuova intensita della sorgente.

In ultima riga viene indicata anche il nuovo totale della potenza prodotta dal

complesso. L’errore e fornito come incertezza standard.

100

Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s/cm

^2 s

)

0

2000

4000

6000

8000

10000





Flusso riscalato, anello 2 MCNPEntries 69Mean 0.7674RMS 1.595Integral 5.714e+04


SANDMCNP

Figura 5.4


MCNP, riscalato per la nuova intensita della sorgente, per il primo canale.

101


Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s/cm

^2 s

)

0

1000

2000

3000

4000

5000







SANDMCNP

Figura 5.5


MCNP, riscalato per la nuova intensita della sorgente, per il secondo canale.

102

Energy (MeV)-810 -710 -610 -510 -410 -310 -210 -110 1 10

Flu

x (n

eutr

on

s/cm

^2 s

)

0

500

1000

1500

2000







SANDMCNP

Figura 5.6


MCNP, riscalato per la nuova intensita della sorgente, per il terzo canale.

103


104

Appendice A

Teoria del trasporto

A.0.4 Densita e flusso neutronico

La popolazione dei neutroni viene descritta attraverso la densita neutro-

nica angolare N(r, ΩΩΩ, E, t). Essa rappresenta un certo numero di neutroni

che si trovano, all’istante t, entro un volume elementare dr attorno ad r, che

hanno una direzione di volo orientata entro l’angolo solido infinitesimo dΩΩΩ

attorno ad ΩΩΩ, con energia compresa tra E ed E + dE, si veda Figura A.1.

N(rrr,ΩΩΩ, E, t)drrrdΩΩΩdE (A.1)

Dalla definizione di N(r, ΩΩΩ, E, t) si arriva alla densita per unita di energia

n(r, E, t), integrando sull’angolo solido dΩΩΩ.

dn(rrr, E, t)

drrrdE=

∫ 4π

0N(rrr,ΩΩΩ, E, t) dΩΩΩ (A.2)

n(r, E, t) rappresenta quindi una densita per unita di energia a pre-

scindere dalla direzione.

Si introduce ora il flusso direzionale φ(r, ΩΩΩ, E, t) come prodotto del numero

dei neutroni che si trovano nella posizione spaziale r, con una direzione di

volo ΩΩΩ, con energia E, al tempo t, per il modulo della loro velocita:

dφ(rrr,ΩΩΩ, E, t) = v N(rrr,ΩΩΩ, E, t)drrrdΩΩΩdE (A.3)

Si esprime il flusso scalare dei neutroni o flusso neutronico come

l’integrale sull’angolo solido dΩΩΩ del flusso angolare:

dφ(rrr, E, t)

drrrdE=

∫ 4π

0φ(rrr,ΩΩΩ, E, t) dΩΩΩ = v

∫ 4π

0N(rrr,ΩΩΩ, E, t) dΩΩΩ (A.4)

105

APPENDICE A. TEORIA DEL TRASPORTO

Figura A.1

Riferimento spaziale di definizione della densita neutronica angolare.

Un’altra grandezza molto importante nella teoria del trasporto e la cor-

rente neutronica J. Essa esprime il numero di neutroni, con energia E, che

attraversano un elemento di superficie dA perpendicolare a ΩΩΩ, centrato in r,

nell’unita di tempo t.

dJJJ(rrr, E, t)

drrrdE= v

∫ 4π

0ΩΩΩN(rrr,ΩΩΩ, E, t) dΩΩΩ (A.5)

E possibile anche esprimere la corrente neutronica come corrente neu-

tronica angolare o flusso vettoriale v N :

JJJ(rrr,ΩΩΩ, E, t) = vΩΩΩN(rrr,ΩΩΩ, E, t) (A.6)

106

A.0.5 L’equazione del trasporto dei neutroni in forma inte-

gro - differenziale

Affinche si possa descrivere in modo corretto il moto dei neutroni all’in-

terno di un volume arbitrario V, cominciamo a prendere in considerazione

un volume infinitesimo dr ⊂ V, come indicato in Figura A.1. Si assume

inoltre che:

1. Il neutrone risenta solo dell’azione di forze nucleari; nella fisica dei

reattori a fissione si prendono solo in considerazione le reazioni di tipo

nucleare tra neutroni e nuclei (reazioni di cattura, fissione e scattering)

e non neutrone - neutrone, in quanto la densita dei “gas neutronici” e

circa 1011 ÷ 1014 n/cm3, molto piu bassa rispetto alle densita atomiche

dei solidi o dei fluidi (circa 1023 atomi/cm3);

2. Le reazioni nucleari neutrone - nucleo sono perfettamente localizzate

nello spazio - tempo, a causa del cortissimo range di azione delle forze

nucleari (dell’ordine di 10−15m) e del brevissimo intervallo di tempo

in cui avvengono (circa 10−20 s);

3. Tra un urto e quello successivo il neutrone obbedisce alle leggi di inerzia

muovendosi con moto rettilineo e uniforme;

4. Per un neutrone con moto uniforme attraverso un materiale omogeneo

la probabilita di collisione per unita di percorso con i nuclei del mezzo

e una costante definita da Σt;

5. Le sezioni d’urto microscopiche per ogni evento verranno considerate

sempre dipendenti dalla coordinata spaziale r e dall’energia E, ma non

dalla direzione di volo del neutrone uscente (isotropia).

Con riferimento a Figura A.1 si consideri dunque il volume infinitesimo

dr ⊂ V all’interno del quale sono presenti n neutroni di energia dE che si

muovono con direzione ΩΩΩ all’interno dell’angolo solido dΩΩΩ. Consideriamo

ora il bilancio (equazione di continuita) dei neutroni nel volume dr tra due

istanti di tempo definiti da t e t+dt.

N(t+dt) = Nt +N int −Nout

t −N tott +N sc

t +N extt (A.7)

dove:

107


N(t+dt) e il numero di neutroni al tempo (t+dt);

Nt e il numero di neutroni al tempo (t);

N int e il numero di neutroni che entrano in dr al tempo (t);

Noutt e il numero di neutroni che escono da dr al tempo (t);

N tott e il numero di totale di neutroni rimossi al tempo (t);

N sct e il numero di neutroni scatterati in dr (t);

N extt e la sorgente esterna al tempo (t).

Chiariamo ora il significato dei termini relativi alla Eq. (A.7):

La variazione di neutroni all’interno del volume infinitesimo dr con

energia compresa in dE attorno ad E, con direzione di volo nell’angolo

dΩΩΩ attorno ad ΩΩΩ, nel tempo compreso tra t e t+dt, e espressa attraverso

la seguente relazione:

[N(rrr,ΩΩΩ, E, t+ dt)−N(rrr,ΩΩΩ, E, t)]drrr

dt

dΩΩΩdE (A.8)

La variazione della popolazione neutronica all’interno del volume dr

e esprimibile sotto forma di derivata, ovvero valutando il limite per

dt→ 0 della differenza descritta da Eq. (A.8):

limdt→0

[N(rrr,ΩΩΩ, E, t+ dt)−N(rrr,ΩΩΩ, E, t)]drrr

dt

dΩΩΩdE =[

∂N(rrr,ΩΩΩ, E, t)

∂tdrrr

]dΩΩΩdE

(A.9)

Il termine sorgente rappresenta la produzione di neutroni attraverso

la fissione di nuclei all’interno del volume dr, con direzione di volo in

dΩΩΩ ed energia in dE. Integrando su tutto il volume V, si ha:

∫VS(rrr,ΩΩΩ, E, t)drrr dΩΩΩdE (A.10)

108

Il flusso neutronico che attraversa la superficie dA del volume dr rap-

presenta la differenza tra i neutroni che entrano ed escono dal volume

di riferimento dr, attraverso la superficie dA:

vΩΩΩN(rrr,ΩΩΩ, E, t) · dAAAdΩΩΩdE (A.11)

dove dAAA = nnndA, con n vettore normale alla superficie dA. Integrando

ora sulla superficie ∂V del volume V, e possibile, attraverso il teorema

di Gauss, passare all’integrale su V:

∫∂VvΩΩΩN(rrr,ΩΩΩ, E, t) dAAAdΩΩΩdE =

∫VvΩΩΩ∇N(rrr,ΩΩΩ, E, t) drrr dΩΩΩdE

(A.12)

Il fenomeno di scattering nell’equazione del trasporto e definito dalla

funzione di trasferimento per collisione f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E) che

descrive la probabilita che un neutrone in un punto r, avente velocita

v, direzione Ω′Ω′Ω′ ed energia E′ subisca una collisione e cambi la sua

energia in E e la sua direzione di volo in ΩΩΩ. Possiamo quindi scrivere

su tutto V la relazione:

∫dΩ′Ω′Ω′

∫dE′

∫V

Σs(r, E′) v′N(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t)×

× f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E) drrr dΩΩΩdE

(A.13)

Lo scattering all’interno del volume V che porta alla perdita di neu-

troni attraverso le reazioni di assorbimento radiativo e di cattura di

risonanza e dato dal termine:

−∫V

Σt(rrr, E) vN(rrr,ΩΩΩ, E, t) drrr dΩΩΩdE (A.14)

Riscrivendo tutti i termini di Eq. (A.7) utilizzando le relazioni di

Eq. (A.9), Eq. (A.10), Eq. (A.12), Eq. (A.13) ed Eq. (A.14), si ottiene

l’equazione integro - differenziale del trasporto sul volume V:

109


∫V

[∂N(rrr,ΩΩΩ, E, t)

∂t+ vΩΩΩ∇N(rrr,ΩΩΩ, E, t)] drrr dΩΩΩdE+∫

VΣt(rrr, E) vN(rrr,ΩΩΩ, E, t) drrr dΩΩΩdE −

∫4πdΩ′Ω′Ω′

∫ ∞0

dE′×

×∫V

Σs(r, E′) v′N(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E)×

× drrr dΩΩΩdE −∫VS(rrr,ΩΩΩ, E, t) drrr dΩΩΩdE = 0

(A.15)

Eq. (A.15) afferma che l’integrale della funzione di trasporto, su un volu-

me arbitrario V, e pari a zero. Se l’integrale di una funzione su un dominio

arbitrario e uguale a zero, allora anche la funzione integranda deve essere

pari a zero a prescindere dal range di integrazione. Si puo quindi riscrivere

Eq. (A.15) nel modo seguente:

∂N(rrr,ΩΩΩ, E, t)

∂t+ vΩΩΩ∇N(rrr,ΩΩΩ, E, t) + Σt(rrr, E) vN(rrr,ΩΩΩ, E, t)−

− [

∫ ∞0

dE′∫

4πΣs(r, E

′) v′N(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E)×

× dΩ′Ω′Ω′]− S(rrr,ΩΩΩ, E, t) = 0

(A.16)

e per il flusso neutronico φ(r,ΩΩΩ, E, t), dato da Eq. (A.3):

1

v

∂φ(rrr,ΩΩΩ, E, t)

∂t+ ΩΩΩ∇φ(rrr,ΩΩΩ, E, t) + Σt(rrr, E)φ(rrr,ΩΩΩ, E, t)−∫ ∞

0dE′

∫4π

Σs(r, E′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E)×

× dΩ′Ω′Ω′ dΩΩΩdE − S(rrr,ΩΩΩ, E, t) = 0

(A.17)

Eq. (A.16) e una equazione lineare integro - differenziale nell’incognita

N(r, ΩΩΩ, E, t) a sette variabili. La soluzione richiede di fissare condizioni

iniziali e al contorno:

t = 0; condizione iniziale per il tempo:

φ(rrr,ΩΩΩ, E, t) = φ0(rrr,ΩΩΩ, E, t) (A.18)

r = rs; condizione al contorno per lo spazio. Le condizioni al contorno

dipendono dal problema specifico. Poniamoci quindi nella situazione in

110

cui il sistema sia dotato di superficie esterna senza concavita (ΩΩΩ·nnn < 0),

al di la della quale c’e il vuoto. La condizione al contorno sul flusso

angolare impone che nessun neutrone rientri nel sistema una volta

fuoriuscito:

φ(rsrsrs,ΩΩΩ, E, t) = 0 (A.19)

A.0.6 Sistemi moltiplicanti e condizione di criticita

Fino ad ora sono stati considerati sistemi non moltiplicanti, nei quali

i neutroni interagiscono con i nuclei dei materiali attraversati con le sole

reazioni di scattering e di cattura radiativa. Se ora consideriamo un sistema

moltiplicante, definito come sistema in grado di produrre neutroni attraverso

l’interazione di un fascio neutronico con un materiale, e necessario aggiun-

gere all’equazione di trasporto il termine di produzione di neutroni attraver-

so la reazione di fissione. La nascita di nuovi neutroni di energia compresa

nell’intervallo E + dE, con direzione di volo dΩΩΩ attorno ad ΩΩΩ, all’inter-

no del volume dr, al tempo t, e descritta attraverso la seguente relazione

(considerando che l’emissione sia isotropa):

χ(E)

4π


∫ ∞0

v(E′)Σf (rrr, E′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) dE′ (A.20)

E bene sottolineare che in Eq. (A.20) si considera solo il contributo dei

neutroni pronti.

I neutroni emessi quasi istantaneamente al processo di fissione, possiedono

uno spettro di fissione χ(E), dato dalla relazione Eq. (1.5). A causa dei

decadimenti beta di alcuni prodotti di fissione, sono generati altri neutroni

in intervalli di tempo assai piu lunghi (fino a decine di secondi), che sebbene

costituiscano una piccola frazione del numero totale dei neutroni di fissione,

danno un contributo fondamentale per il controllo dei sistemi moltiplica-

tori di neutroni. Si puo riscrivere ora l’equazione del trasporto integro -

differenziale considerando anche il contributo delle fissioni:

111


1

v

∂φ(rrr,ΩΩΩ, E, t)

∂t+ ΩΩΩ∇φ(rrr,ΩΩΩ, E, t) + Σt(rrr, E)φ(rrr,ΩΩΩ, E, t)−∫ ∞

0dE′

∫4π

Σs(r, E′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E)×

× dΩ′Ω′Ω′ dΩΩΩdE − χ(E)

4π


∫ ∞0

v(E′)Σf (rrr, E′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) dE′ = 0

(A.21)

In Eq. (A.21), nell’ipotesi che il sistema sia critico (k = 1), si e sostituito

il termine sorgente con quello di fissione.

A.0.7 Rappresentazione integrale dell’equazione del trasporto

Nel paragrafo precedente e stata ricavata l’equazione di trasporto per i

neutroni in forma integro - differenziale, attraverso un bilancio di neutroni,

con energia compresa nell’intervallo [E, E + dE] e direzione di volo com-

presa tra ΩΩΩ e ΩΩΩ + dΩΩΩ, all’interno del volumetto dr, nel tempo dt. Viene

data ora una formulazione integrale dell’equazione di trasporto nella forma

data da Eq. (A.17), basata sul bilancio globale di neutroni aventi energia E

e direzione di volo ΩΩΩ.

Definiamo in un generico punto r, la funzione scalare Q di campo, detta “in-

tensita direzionale di emissione ”: Q(r, ΩΩΩ, E, t). Essa rappresenta il numero

di neutroni che nell’istante dt vengono emessi entro dr, con caratteristiche

cinetiche date da dΩΩΩ e dE, da sorgenti esterne o come esito di collisioni.

Q(rrr,ΩΩΩ, E, t) =

∫ ∞0

dE′∫

4πΣs(rrr, E

′)φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t)×

×f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E) dΩ′Ω′Ω′ + S(rrr,ΩΩΩ, E, t)

(A.22)

La derivazione dell’equazione del trasporto in forma integrale implica

l’accettazione di ipotesi semplificative del modello matematico:

Tutte le sorgenti esterne sono isotrope:

S(rrr,ΩΩΩ, E, t) =1

4πS(rrr, E, t) (A.23)

Tutte le collisioni hanno effetto di rendere isotrope le direzioni di tutti

i neutroni. Si assume percio che l’angolo di scattering sia costante:

112

f(rrr,Ω′Ω′Ω′ → ΩΩΩ, E′ → E) =1

4πf(rrr, E′ → E) (A.24)

Tutti i neutroni hanno la stessa velocita e energia:

∫ ∞0

f(rrr, E′ → E) dE′ = 1 (A.25)

Σs(rrr, E′) = Σs(rrr) (A.26)

1

4πS(rrr, E, t) =

1

4πS(rrr, t) (A.27)

φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, E′, t) = φ(rrr,Ω′Ω′Ω′, t) (A.28)

L’integrale dello scattering viene risolto attraverso l’integrazione sul-

l’angolo solido:

Σs(rrr)

4π

∫4πφ(rrr,Ω′Ω′Ω′, t) dΩ′Ω′Ω′ (A.29)

Tutti i corpi hanno una forma convessa.

Attraverso le semplificazioni apportate da Eq. (A.23) - Eq. (A.29), la

funzione scalare Q (Eq. (A.22)) e riscritta in forma:

Q(rrr, t) =Σs(rrr)

4π

∫4πφ(rrr,Ω′Ω′Ω′, t) dΩ′Ω′Ω′ +

1

4πS(rrr, t) (A.30)

Non vi e piu dipendenza angolare da ΩΩΩ, data l’ipotesi che tutte le

collisioni e sorgenti siano isotrope.

113


114

Appendice B

Teoria della diffusione

Riprendiamo ora l’equazione di continuita per i neutroni, Eq. (A.7), che

puo essere riscritta nel seguente modo:

∂

∂t

∫Vn(rrr, t) drrr = Nprod

t −Nasst −Nout

t (B.1)

dove:

Nprodt e il numero di neutroni prodotti in V al tempo t;

Nasst e il numero di neutroni assorbiti in V al tempo t;

Noutt e il numero di neutroni che sfuggono attraverso la superficie del

volume V.

La produzione di neutroni e rappresentata dalla funzione di distribuzione

di sorgente S(r, t), che definisce il numero di neutroni emessi al secondo, in

un cm3 di materiale. La produzione totale di neutroni nel volume V e:

Rprod =

∫VS(rrr, t) drrr (B.2)

dove Rprod indica il numero di neutroni prodotti nell’unita di tempo

(rate).

Il tasso di assorbimento nel volume dr e definito dal prodotto della sezione

d’urto di assorbimento per il flusso neutronico integrato sul volume V:

Rass =

∫V

Σa(rrr)φ(rrr, t) drrr (B.3)

115

APPENDICE B. TEORIA DELLA DIFFUSIONE

La perdita di neutroni, che escono dal volume V, e espressa attraverso

la corrente neutronica JJJ(rrr, t) · nnndA e rappresenta il flusso netto di neutroni

che attraversa la superficie dA nel verso specificato dal versore normale n:

Rout =

∫∂VJJJ(rrr, t)nnndA (B.4)

dove ∂V e la superficie del volume V.

L’integrale di superficie in Eq. (B.4) viene ricondotto ad un integrale di

volume per mezzo del teorema della divergenza:∫∂VJJJ(rrr, t)nnndA =

∫V∇ · JJJ(rrr, t) drrr (B.5)

Si puo riscrivere ora l’equazione di bilancio dei neutroni Eq. (B.1), espli-

citando tutti i termini definiti dalle relazioni in Eq. (B.2), Eq. (B.3) ed

Eq. (B.5):

∂

∂t

∫Vn(rrr, t) drrr =

∫VS(rrr, t) drrr−

∫V

Σa(rrr)φ(rrr, t) drrr−∫V∇·JJJ(rrr, t) drrr (B.6)

che puo essere riscritta:

∫V

[∂n(rrr, t)

∂t− S(rrr, t) + Σa(rrr)φ(rrr, t) +∇ · JJJ(rrr, t)

]drrr = 0 (B.7)

Analogamente a quanto fatto per Eq. (A.15), possiamo eliminare l’inte-

grale e ridurci alla sola funzione integranda uguagliata a zero. Riorganiz-

zando i termini si ottiene infine:

∂n(rrr, t)

∂t= S(rrr, t)− Σa(rrr)φ(rrr, t)−∇ · JJJ(rrr, t) (B.8)

Allo scopo di definire completamente l’equazione della diffusione e ora

necessario introdurre il significato della legge di Fick.

B.0.8 Legge di Fick

L’Eq. (B.8), che abbiamo visto essere stata ricavata dalla teoria del

trasporto, puo essere riscritta nel seguente modo:

1

v

∂φ(rrr, t)

∂t= S(rrr, t)− Σa(rrr)φ(rrr, t)−∇ · JJJ(rrr, t) (B.9)

116

dove si e tenuto conto della relazione φ(rrr, t) = v n(rrr, t). Tuttavia

Eq. (B.9) presenta ancora delle difficolta di risoluzione per la presenza delle

due grandezze incognite φ e JJJ . La teoria della diffusione e una semplifi-

cazione e un’approssimazione di Eq. (B.9), basata sulla legge di Fick, che

esprime il legame esistente tra flusso neutronico e corrente neutronica. Per

ricavare tale legame e necessario ipotizzare che:

il fascio neutronico sia monoenergetico;

dopo la reazione di scattering il neutrone possa assumere qualsiasi

direzione con uguale probabilita;

le sezioni d’urto siano dipendenti solo dalle coordinate spaziali.

In tali ipotesi si puo esprimere la corrente neutronica J(r,t) in termini

di flusso, mediante la Legge di Fick ([10]):

JJJ(rrr, t) = − Σs(rrr)

3Σ2t (rrr)∇φ(rrr, t) = −D(rrr)∇φ(rrr, t) (B.10)

ove D(rrr) e il coefficiente di diffusione.

Mediante Eq. (B.10), Eq. (B.8) puo essere ora riscritta utilizzando :

1

v

∂φ(rrr, t)

∂t= s(rrr, t)− Σa(rrr)φ(rrr, t) +∇ ·D∇φ(rrr, t) (B.11)

Se si ipotizza ora che il valore del coefficiente di diffusione sia indipen-

dente dalle coordinate spaziali (D(rrr) ≡ D) e che il sistema sia stazionario,

cioe eliminando la dipendenza temporale, Eq. (B.11) viene riscritta:

S(rrr)− Σa(rrr)φ(rrr) +D∇2φ(rrr) = 0 (B.12)

L’Eq. (B.12), detta equazione di diffusione, consente, nelle ipotesi so-

prascritte, di studiare qualitativamente l’andamento spaziale del flusso ne-

utronico, in generale, per geometrie semplici. [?] Solitamente l’equazione

di diffusione per i neutroni e un’equazione differenziale che coinvolge sia

derivate spaziali sia temporali. E necessario quindi imporre opportune con-

dizioni iniziali e al contorno sul flusso neutronico φ(rrr, t) [10].

Il discorso fatto finora, nato a partire dalla teoria del trasporto, se ci si limita

a considerare modelli semplificati, porta ad una descrizione qualitativa del

comportamento di un reattore nucleare, in cui e possibile studiare i princi-

pali parametri fisici che stanno alla base del suo funzionamento. Tuttavia

117

APPENDICE B. TEORIA DELLA DIFFUSIONE

per comprendere piu in dettaglio la struttura complessa di un reattore nu-

cleare e necessario approfondire ulteriormente la teoria, utilizzando modelli

piu vicini alla realta e sempre piu complessi e di difficile soluzione, il che

esula dallo scopo di questa tesi 1.

1Per ulteriori approfondimenti si fa riferimento a [3] e [10]

118

Appendice C

Il codice MCNP

Il codice Monte Carlo MCNP e in grado di simulare il trasporto di neu-

troni, fotoni, elettroni, considerati singolarmente oppure accoppiati in qual-

siasi combinazione possibile; e inoltre in grado di calcolare autovalori per

sistemi critici. Il codice tratta una configurazione arbitraria tridimensionale

di materiali contenuti all’interno di celle geometriche delimitate da superfici.

Durante un calcolo, le reazioni neutroniche considerate dipendono dalla par-

ticolare sezione d’urto utilizzata per quel processo, ma in ogni caso ognuna

delle reazioni contenute nella sezione d’urto viene tenuta in considerazione.

Per i neutroni termici sono possibili due tipi di descrizioni: quella mediante

modelli di gas libero e quella con funzioni S(α, β). Per i fotoni, il codice com-

prende reazioni come scattering incoerente e coerente, la possibilita di emis-

sione di fluorescenza dopo l’assorbimento fotoelettrico e l’assorbimento per

produzione di coppie elettrone-positrone. Il trasporto di elettroni/positroni

tiene conto di processi di deformazione angolare attraverso scattering mul-

tipli di Coulomb, perdita di energia collisionale con possibilita di straggling,

e la produzione di particelle secondarie, tra cui raggi-x da shell K, elettroni

di knock-on e Auger, bremsstrahlung, e raggi gamma da annichilazione di

positrone a riposo. Il trasporto degli elettroni non include gli effetti dei

campi elettromagnetici esterni o auto-indotti.

Il regime di energia all’interno del quale e possibile effettuare calcoli medi-

ante le sezioni d’urto dei neutroni si estende da 10−11 MeV a 20 MeV per

tutti gli isotopi, anche se per alcuni si arriva fino a 150 MeV. Per il fotone

il regime e da 1 keV a 100 GeV, mentre per gli elettroni da 1 keV a 1 GeV.

119

APPENDICE C. IL CODICE MCNP

C.0.9 Il metodo Monte Carlo

I metodi Monte Carlo sono molto diversi dai metodi di trasporto deter-

ministici. Questi ultimi, il piu comune dei quali e il metodo delle ordinate

discrete, risolvono l’equazione di trasporto, per il comportamento delle par-

ticelle, in media. Al contrario, il Monte Carlo ottiene risposte simulando

singole particelle e la registrazione di alcuni aspetti (tally) del loro compor-

tamento medio. La media del comportamento delle particelle nella fisica

del sistema e quindi dedotto (utilizzando il teorema del limite centrale) dal

comportamento medio delle particelle simulate.

Non solo il Monte Carlo e il deterministico sono metodi molto diversi di

risoluzione di un problema, ma anche cio che costituisce una soluzione puo

essere differente. I metodi deterministici in genere forniscono informazioni

piuttosto complete (per esempio di flusso) per tutto lo spazio delle fasi del

problema, mentre i Monte Carlo forniscono informazioni solo su specifici tal-

ly richiesti dall’utente.

Il metodo Monte Carlo e particolarmente adatto a risolvere complicati prob-

lemi tridimensionali e dipendenti dal tempo, inoltre puo essere usato per du-

plicare teoricamente un processo statistico (come ad esempio l’interazione di

particelle nucleari con materiali) ed e molto utile per i problemi complessi

che non possono essere modellati da codici di calcolo che utilizzano metodi

deterministici.

I singoli eventi probabilistici che compongono un processo nel Monte Car-

lo sono simulati in modo sequenziale. Le distribuzioni di probabilita che

disciplinano tali eventi sono statisticamente campionate per descrivere il

fenomeno in maniera completa. In generale, la simulazione e eseguita su

un computer digitale, perche il numero di prove necessarie a descrivere

adeguatamente il fenomeno e di solito abbastanza grande.

Il processo statistico di campionamento si basa sulla selezione di numeri ca-

suali, analoghi a dadi gettati in un gioco d’azzardo, da cui il nome “Monte

Carlo”. Nel trasporto delle particelle, la tecnica Monte Carlo e prevalente-

mente realistica (simile ad un esperimento numerico). Si tratta di seguire

realmente ciascuna delle molte particelle, prodotte da una sorgente, per tut-

ta la sua vita, fino alla sua morte per opera di qualche processo terminale

(assorbimento, fuga, ecc.). Distribuzioni di probabilita sono campionate ca-

sualmente utilizzando dati di trasporto per determinare il risultato ad ogni

passo della sua vita.

120

Lista eventi

1. Scattering di neutrone,

produzione di un fotone

2. Fissione,

produzione di un fotone

3. Cattura neutronica

4. Perdita di un neutrone

5. Scattering di fotone

6. Perdita di un fotone

7. Cattura di un fotone

Materiale fissileVuoto

NeutroneIncidente

1

2

3 4

5 6

7

Figura C.1

Esempio di interazioni possibili, considerate da MCNP durante la storia di un

neutrone.

In Figura C.1 e rappresentata la storia casuale di un neutrone incidente

su una lastra di materiale che puo subire la fissione. Numeri compresi tra 0

e 1 sono scelti a caso per determinare quale (se esiste), e dove, l’interazione

avra luogo, in base alle regole (fisiche) e le probabilita (dati di trasporto)

che disciplinano i processi ed i materiali interessati.

Nell’esempio mostrato in Figura C.1, un evento di collisione per il neutrone

si verifica in 1. Il neutrone e deviato nella direzione indicata, che e stata

selezionata in modo casuale dalla distribuzione fisica di scattering. Il fotone

che e stato prodotto nella collisione viene immagazzinato temporaneamente

per un’analisi successiva. Al punto 2 si verifica una fissione, con conseguente

cessazione del neutrone in arrivo e la nascita di due neutroni in uscita e un

fotone. Un neutrone e il fotone sono depositati in memoria per una successiva

analisi. Il primo neutrone di fissione e catturato nell’evento 3 e termina la

sua vita. Il neutrone che era stato memorizzato viene recuperato e, dopo un

campionamento casuale, fuoriesce dalla lastra all’evento 4. il fotone prodotto

121


nella fissione subisce una collisione all’evento 5 e fuoriesce nel punto 6. Il

fotone residuo generato nel caso 1 e ora seguito e produce un evento di

cattura al 7 (le particelle che MCNP memorizza, sono immagazzinate in

modo che l’ultima particella depositata e la prima ad essere recuperata).

La storia di questo neutrone e ora completa. Piu aumenta il numero di tali

storie seguite, piu migliora la conoscenza delle distribuzioni di neutroni e

fotoni. Le quantita di interesse (cio che l’utente richiede) sono conteggiate,

insieme a stime della precisione statistica (incertezza) dei risultati.

C.0.10 Introduzione alla caratteristiche di MCNP

Reazioni e dati nucleari

MCNP fa uso di librerie di dati atomici e nucleari ad energia continua.

Esistono tabelle di dati per le interazioni nucleari dei neutroni, dei fotoni

indotti da neutroni, per interazioni di fotoni, per dosimetria o attivazione

neutronica e scattering di particelle termiche (S(α, β)). La maggior parte

dei dati di fotoni e elettroni sono di natura atomica, piuttosto che nucleare;

nelle librerie sono inclusi inoltre i dati fotonucleari. Ogni tabella di dati a

disposizione di MCNP e elencata su un file, XSDIR. L’utente puo selezionare

i dati specifici di una tabella attraverso identificatori univoci per ciascuna

tabella, denominati ZAID. Questi identificatori contengono generalmente il

numero atomico Z, numero di massa A, dell’isotopo che si vuole considerare

e l’identificatore di libreria ID.

Piu di 836 tavole di interazione dei neutroni sono disponibili per circa 100

differenti isotopi ed elementi. Vengono fornite piu di una tabella per un

unico isotopo perche i dati sono stati derivati da valutazioni diverse, e anche

per differenti regimi di temperatura e tolleranze di lavoro.

Le sezioni d’urto per quasi 2000 reazioni dosimetriche o che coinvolgono

l’attivazione di oltre 400 nuclei bersaglio in stato fondamentale e stati ecci-

tati sono parte del pacchetto dati MCNP. Tali sezioni d’urto possono essere

utilizzate come funzioni di risposta dipendenti dall’energia in MCNP per de-

terminare i tassi di reazione, ma non possono essere utilizzate come sezioni

d’urto di trasporto.

Le tabelle di dati termici sono appropriate per l’utilizzo con il trattamen-

to dello scattering delle funzioni S(α, β) in MCNP. I dati includono effetti

di legami chimici (molecolari) e cristallini che diventano importanti quando

l’energia dei neutroni diventa sufficientemente bassa. I dati a varie temper-

122

ature sono disponibili per acqua leggera e pesante, Berillio metallico, ossido

di Berillio, benzene, grafite, polietilene, Zirconio e idrogeno contenuto in

idruri di Zirconio.

Specifiche della sorgente

La funzionalita di MCNP di accettare dall’input generiche sorgenti cre-

ate dall’utente, consente di specificare una vasta gamma di condizioni alle

sorgenti senza dover effettuare modifiche al codice. Distribuzioni di proba-

bilita indipendenti possono essere specificate per le variabili quali energia,

tempo, posizione e direzione, e per altri parametri come la cella (celle) o

superficie (superfici) di partenza. Possono essere fornite anche informazioni

circa l’estensione geometrica della sorgente. Inoltre, variabili della sorgente

possono dipendere da altre variabili, anch’esse della sorgente (per esempio,

l’energia in funzione dell’angolo).

Oltre alle distribuzioni di probabilita per le variabili di input, sono disponi-

bili alcune funzioni built-in. Queste includono varie funzioni analitiche per

spettri di energia di fissione e fusione, quali quelli di Watt, Maxwell, gaus-

siano, gaussiano nel tempo, isotropo, coseno e monodirezionale.

La creazione di sorgenti di superficie permette alle particelle che attraversano

una data superficie in un problema, di essere utilizzate come sorgenti per un

problema successivo. Il disaccoppiamento di un problema in piu parti per-

mette una dettagliata progettazione o analisi di alcune regioni geometriche,

senza dover eseguire nuovamente l’intero problema dall’inizio ogni volta.

Conteggi e risultati

L’utente puo incaricare MCNP di compiere vari conteggi (tally) relativi

alla corrente di particelle, flusso di particelle, e deposizione di energia. I

tally di MCNP sono normalizzati in modo da essere per particella sorgente,

ad eccezione di qualche caso speciale con le sorgenti di criticita. Le correnti

possono essere misurate in funzione della direzione attraverso qualsiasi in-

sieme di superfici, segmenti di superficie, o somma di superfici del problema.

E inoltre possibile misurare flussi di particelle attraverso un qualsiasi insieme

di superfici, segmenti di superficie, somma di superfici e celle, parti di celle, o

somma di celle. Allo stesso modo, sono consentite misure di flussi attraver-

so rivelatori designati (puntiformi o anelli). I flussi possono anche essere

123


conteggiati su una griglia sovrapposta alla geometria del problema (Mesh

Tally). Tally di calore e fissione forniscono la deposizione di energia in celle

specificate. Un conteggio di altezze di impulso restituisce la distribuzione di

energia degli impulsi creati in un rivelatore dalle radiazioni. Conteggi come

il numero di fissioni, il numero degli assorbimenti, la produzione totale di

elio, o qualsiasi prodotto del flusso per le circa 100 reazioni standard ENDF,

piu altre non standard, possono essere calcolati con uno qualsiasi dei con-

teggi MCNP.

Tutti i conteggi sono funzioni del tempo e dell’energia nel modo specificato

dall’utente.

In aggiunta alle informazioni del tally, il file di output contiene tabelle di in-

formazioni standard sintetiche per dare all’utente una migliore idea di come

si svolge il problema. Queste informazioni possono fornire un’analisi della

fisica del problema e l’adeguatezza della simulazione Monte Carlo. Se si ve-

rificano errori durante l’esecuzione di un problema, vengono forniti risultati

dettagliati di diagnostica per il debug. Insieme a ciascun conteggio e stam-

pato anche il suo errore statistico relativo, corrispondente a una deviazione

standard.

Tutti i risultati dei tally, fatta eccezione per i mesh tally, possono essere visu-

alizzati graficamente, sia mentre il codice viene eseguito, sia in una modalita

di post-elaborazione separata.

Stima dell’errore della simulazione Monte Carlo

I conteggi di MCNP sono normalizzati in maniera da essere per particella

di partenza e sono stampati in uscita accompagnati da un secondo numero

R, che e l’errore relativo stimato, definito per essere una deviazione standard

stimata della media Sx divisa per la media stimata x. In MCNP, i valori

richiesti per questa stima dell’errore sono calcolati al termine di ogni storia

Monte Carlo completa, in modo da tenere conto del fatto che i vari contributi

di un conteggio forniti in una stessa storia sono correlati.

Le linee guida per l’interpretazione della qualita dell’intervallo di confidenza

sono riportate in Tabella C.1.

Per tutti i conteggi, tranne stimatori di evento successivo, o point de-

tectors, il valore di R dovrebbe essere inferiore a 0.10 per la produzione di

intervalli di confidenza generalmente affidabili. Per quanto riguarda i point

detectors tale valore dovrebbe essere minore di 0.05.

124

Range di R Qualita del conteggio

da 0.5 a 1.0 Non significativo

da 0.2 a 0.5 Poca statistica

da 0.1 a 0.2 Discutibile

< 0.10 Generalmente affidabile

< 0.05 Generalmente affidabile per point detector

Tabella C.1

Linee guida per l’interpretazione dell’Errore Relativo R. R = Sx/x e rappresenta

la stima dell’errore relativo a livello di 1σ. Queste interpretazioni assumono che

ogni porzione dello spazio delle fasi del problema siano state campionate in modo

corretto nel calcolo Monte Carlo.

C.0.11 Utilizzo del codice

Il programma necessita di un file di input, in cui vengono inserite tutte

le informazioni necessarie, per poter avviare la simulazione. Si tratta di un

semplice file di testo diviso in tre parti separate da una riga vuota:

la prima contiene l’elenco delle celle che compongono la geometria del

sistema. Nella rappresentazione di un sistema tutto lo spazio deve

essere racchiuso all’interno di celle, le quali hanno forme di solidi geo-

metrici o combinazioni di essi e possono essere composte da un solo

materiale per cella. Nel caso della Struttura Moltiplicante ad esempio

il contenitore in alluminio avra una sua cella, il rivestimento di paraf-

fina un’altra, e cosı via fino a comporre tutto il sistema. Per realizzare

una cella nel file di input devono essere inseriti il numero della cella,

il materiale di cui essa e composta e la sua densita, la combinazione

di superfici che la delimitano e l’importanza (tra 0 e 1) che avra nella

simulazione al passaggio di neutroni o fotoni.

nella seconda parte si trovano le superfici che compongono le varie

celle. Esse possono essere semplici piani o superfici di solidi geome-

trici e tramite operazioni di intersezione, unione, complementare si

delimitano le regioni di spazio che costituiscono le varie celle.

125


infine nella terza vengono inserite le caratteristiche della sorgente, il

tipo si simulazione, le composizioni dei diversi materiali presenti nelle

celle e anche eventuali tally, ovvero conteggi o misure, che si vogliono

fare.

Le prime due parti del file di input non richiedono particolari approfondi-

menti in quanto contengono solamente una riproduzione geometrica, il piu

possibile fedele, della struttura che si vuole riprodurre e dei materiali pre-

senti. Mentre la parte che piu ha necessitato di attenzione e stata la scelta

del tipo di simulazione e delle caratteristiche della sorgente di neutroni, che

quindi meritano un adeguato approfondimento.

C.0.12 Tipo di simulazione

In MCNP e possibile ricondurre sostanzialmente tutte le simulazioni a

due soli tipi, il primo comprende quelle che utilizzano il comando kcode

e vengono dette simulazioni per calcoli di criticita, mentre l’altro fa uso

del comando nps e viene definito a sorgente fissa. Le differenze tra le due

tipologie verranno ora spiegate in dettaglio in quanto sono state oggetto di

discussione durante questo lavoro, poiche la scelta tra l’uno o l’altro tipo e

un punto fondamentale della parte di simulazione.

Calcoli di criticita (KCODE)

La caratteristica principale del comando kcode e quella di fornire nel file

di output un calcolo preciso e dettagliato del fattore di criticita keff del sis-

tema in esame e per questo normalmente viene utilizzato per la simulazione

di sistemi come i reattori nucleari o comunque complessi all’interno dei quali

si hanno reazioni di fissione. Da cio il fatto che questo tipo di simulazioni

venga detto calcolo di criticita.

Il comando kcode necessita di quattro parametri che devono essere forniti

nel file di input:

il primo parametro e il numero di neutroni di cui il programma deve

seguire la storia per ogni ciclo della simulazione;

il secondo e un valore indicativo del fattore keff , che serve ad MCNP

per calcolare il numero di fissioni solo per il secondo ciclo;

un numero di cicli iniziali nei quali non effettuare il calcolo di keff ;

126

il numero totale dei cicli di cui deve essere composta la simulazione.

Come si puo intuire da questi parametri la simulazione realizzata con

kcode procede per cicli, e ora si vedra meglio come.

Nel primo ciclo MCNP genera i neutroni utilizzando le caratteristiche della

sorgente inserite nel file di input, ne produce un numero pari a quello inse-

rito come primo parametro del comando. Segue ciascun neutrone, uno alla

volta, registrando le fissioni che puo provocare e la traiettoria seguita. Al

secondo ciclo viene utilizzato il valore indicativo di keff , fornito come secon-

do parametro, per creare una nuova distribuzione di neutroni, a partire dalle

fissioni prodotte nel primo ciclo, di cui ne vengono presi, ancora una volta,

il numero deciso dall’utente e le cui storie sono seguite una alla volta. Per i

cicli successivi viene utilizzato il valore di keff calcolato dal programma ad

ogni ciclo, e le nuove distribuzioni di neutroni vengono calcolate a partire

dalle sole fissioni del ciclo precedente.

Questo avviene fino a completare un numero di cicli uguale a quello indicato

come terzo parametro. A questo punto la distribuzione di neutroni dovrebbe

aver raggiunto una certa stabilita nei diversi cicli (piu le caratteristiche della

sorgente e il valore indicativo di keff sono realistici, minore sara il numero

di cicli necessari alla distribuzione per stabilizzarsi). In ogni caso, superati

i cicli indicati, MCNP procede nella simulazione esattamente come prima,

pero da questo punto in avanti il valore di keff calcolato contribuira al cal-

colo finale del coefficiente. La simulazione finisce quando viene raggiunto il

numero totale dei cicli indicato nel quarto parametro.

Sembrerebbe ovvio l’utilizzo di questo tipo di simulazione anche nel caso che

stiamo trattando, essendo infatti un complesso sottocritico, all’interno del

quale si innescano reazioni di fissione e il cui valore di keff e un parametro

essenziale ai fini della trattazione, sia come verifica della bonta della simu-

lazione, sia per ricavare il coefficiente di moltiplicazione del sistema.

In realta il comando kcode procede in una maniera che poco si adatta al reale

funzionamento di un sistema sottocritico. Nella struttura moltiplicante si

ha infatti una sorgente di neutroni sempre presente all’interno della strut-

tura, il cui effetto si somma a quello delle fissioni che si innescano all’interno

degli elementi di combustibile. Mentre nella simulazione con comando kcode,

come si e visto, la sorgente viene considerata solo al primo ciclo e nei suc-

cessivi si tiene conto solamente dei neutroni provenienti da fissione.

Un altro aspetto che ne deriva e una certa uniformita della distribuzione del

127


flusso di neutroni con questo tipo di simulazione su tutta la superficie del

reticolo, se si considera un piano orizzontale, parallelo al fondo del conteni-

tore in alluminio. Invece nel caso reale il flusso dovrebbe presentare un picco

nella zona centrale per effetto della sorgente.

Infine bisogna anche dire che il metodo con cui si svolgono le simulazioni con

comando kcode, consiste praticamente nel trattare il sistema in qualunque

caso come se fosse critico, in una sorta di approssimazione. Percio tutta la

simulazione e quindi anche il calcolo del keff risentono di questa approssi-

mazione e saranno piu realistici piu il fattore di criticita reale del sistema

sara vicino ad 1.

Sorgente fissa (NPS)

Utilizzando il comando nps si realizzano simulazioni che normalmente

non prevedono la presenza di fissioni o calcoli di criticita, poiche non for-

niscono un valore esplicito del keff .

Questo comando infatti genera un certo numero di neutroni, le cui caratteri-

stiche (energia, direzione) vengono specificate insieme al tipo di sorgente nel

file di input, numero che viene fornito dall’utente come unico parametro del

comando nps. Ciascun neutrone prodotto viene seguito lungo la sua traietto-

ria e vengono registrate eventuali interazioni che producono nuovi neutroni

come fissioni o reazioni moltiplicative non di fissione del tipo (n,2n). Una

volta terminate le storie dei neutroni sorgente la simulazione e completa.

Questo tipo di simulazione si svolge in modo che prodotto un neutrone dalla

sorgente ed esaurita la sua storia e quella degli altri eventualmente prodot-

ti dalle reazioni sopracitate, ne viene generato un secondo dalla sorgente,

sempre con le caratteristiche inserite nel file di input. E cosı a ripetere fi-

no ad avere generato il numero indicato di neutroni dalla sorgente. Questa

esecuzione rispecchia molto bene il funzionamento del sistema sottocritico,

in cui la sorgente di neutroni e sempre presente e alimenta le fissioni nel

combustibile. Fissioni che comunque vengono considerate e registrate dalla

simulazione.

Proprio da questi conteggi e infatti possibile risalire ad un valore di keff

anche nel caso di simulazioni con comando nps. Nel file di output e pre-

sente una tabella in cui viene riportato il numero di neutroni prodotti dalla

sorgente, di quelli prodotti dalle fissioni e da reazioni di tipo (n,2n), il to-

tale complessivo dei neutroni generati e anche quelli che sono stati assorbiti

128

nel processo di fissione. Da questi valori e da un coefficiente di Net Multi-

plication calcolato dal programma MCNP, sotto alcune ipotesi, e possibile

calcolare il keff del sistema.

Il fattore di Net Multiplication, N, in una simulazione a sorgente fissa (con

comando nps) viene definito come l’unita sommata al guadagno Gf in neu-

troni provenienti da fissione e al guadagno Gx in neutroni provenienti da

reazioni moltiplicative non di fissione. Utilizzando il bilancio pesato dei

neutroni:

N = 1 +Gf +Gx = We +Wc, (C.1)

dove We e il “peso” dei neutroni sfuggiti per neutrone sorgente e Wc e il

“peso” dei neutroni catturati per neutrone sorgente. Nei calcoli di criticita

(simulazioni che utilizzano kcode) la fissione e trattata come un processo di

assorbimento e la corrispondente relazione per il fattore N e quindi:

No = 1 +Gox = W oe +W o

c +W of , (C.2)

dove l’apice o denota risultati ottenuti dai calcoli di criticita e Wof e il

“peso”dei neutroni che provocano fissione per neutrone sorgente. Poiche keff

e il numero di neutroni di fissione prodotti in una generazione per neutrone

sorgente, si puo anche scrivere:

keff = ν ·W of , (C.3)

dove ν e il numero medio di neutroni emessi per fissione in tutta la

simulazione. Con le stesse assunzioni anche per simulazioni a sorgente fissa

e utilizzando Eq. (C.1), Eq. (C.2) e Eq. (C.3), si ottiene:

N = We +Wc =W oe ·W o

c

1− keff=No ·W o

f

1− keff, (C.4)

oppure, utilizzando Eq. (C.2) e Eq. (C.3):

N =No − keff

ν

1− keff=

1− keffν +Gox

1− keff. (C.5)

Spesso si ha che per il guadagno da reazioni (n,2n) valga: Gox 1.

Cio implica che il keff puo essere approssimato da kFSeff (derivato da una

adeguata simulazione a sorgente fissa):

129


keff ≈ kFSeff =N − 1

N − 1ν

. (C.6)

quando le due distribuzioni sorgente di neutroni di fissione siano circa le

medesime. Il valore medio ν in un problema puo essere calcolato dividendo

il numero di neutroni prodotti da fissione per il numero di neutroni persi

nelle fissioni, entrambi i quali vengono forniti nel file di output insieme ai

pesi che compaiono nelle relazioni precedenti.

C.0.13 Caratteristiche della sorgente

Per generare una sorgente in MCNP il modo principale e quello di uti-

lizzare il comando sdef, che grazie alla sua flessibilita permette all’utente di

riprodurre sorgenti di geometrie complicate, con spettri energetici qualsiasi

e che emettono particelle in direzioni privilegiate rispetto ad altre.

Esso di default produce una sorgente puntiforme, posta alle coordinate

(0,0,0), che emette particelle con distribuzione isotropa ed energia di 14

MeV, al tempo 0. In riga al comando si possono inserire parametri per

modificare quelli di default e ottenere cosı la sorgente desiderata. I valori

possono essere forniti in modo esplicito oppure essere definiti mediante una

distribuzione o ancora utilizzando una funzione di un altro parametro. Con

il comando sdef e possibile anche creare sorgenti estese, con caratteristiche

desiderate.

Nel caso di simulazioni con calcoli di criticita, in cui la sorgente viene con-

siderata solo al primo ciclo e l’obbiettivo e quello di raggiungere una dis-

tribuzione stabile di fissioni nel minor tempo possibile, normalmente viene

utilizzato il comando ksrc. Esso considera i punti forniti in input, le cui coor-

dinate vengono immesse di seguito al comando, come luoghi dove e avvenuta

una fissione e ivi fa partire un neutrone con energia data dallo spettro di

fissione del materiale in cui si trova il punto. Per questo motivo e necessario

che almeno uno dei punti sorgente si trovi in una cella con materiale fissile,

altrimenti la simulazione non puo iniziare. Per avere una distribuzione sta-

bile di fissioni e nel minor numero di cicli possibili, e comunque preferibile

posizionare almeno un punto sorgente in ciascuna cella di materiale fissile.

130

Appendice D

Il codice SAND II

Il programma di deconvoluzione SAND II e stato sviluppato per deter-

minare il flusso e lo spettro neutronico di un generico sistema moltiplicante.

Il codice di calcolo adotta un processo iterativo che utilizza i valori delle

sezioni d’urto di specifiche reazioni nucleari dei target presenti nel database

del programma, dai valori di attivazione delle targhette irraggiate e da uno

spettro neutronico di guess, che puo essere scelto all’interno del database

di SAND II, oppure definito manualmente dall’utente. Ad ogni iterazione

il codice calcola una soluzione e la confronta con il valore di quella all’it-

erazione precedente, generando per ogni intervallo energetico un parametro

di correzione sull’energia. I valori di correzione sono poi inseriti all’interno

di un vettore chiamato funzione peso, il quale sara applicato allo spettro

neutronico di guess per produrre un nuovo spettro iniziale, che verra poi

utilizzato per il calcolo dell’iterazione successiva. Quando la differenza dei

valori della soluzione tra la k-esima iterazione e quella precedente risulta

essere inferiore al parametro di controllo, inserito come dato nel file di input

di SAND II, si arresta il processo iterativo. A questo punto il codice SAND

II fornisce la soluzione come distribuzione del flusso neutronico e del suo

spettro energetico compreso fra le energie 1010 MeV e 18 MeV tabulato in

621 punti.

Il codice SAND II compie un operazione di discretizzazione di tutte le

grandezze che dipendono dall’energia, suddividendole in 621 punti energetici

all’interno dell’intervallo di energia compreso tra 1010 MeV e 18 MeV.

Per ogni intervallo energetico il programma SAND II compie un’operazione

di media dei valori delle grandezze che appartengono ad esso, producendo

poi una rappresentazione tabulata dei punti di campionamento.

131

APPENDICE D. IL CODICE SAND II

D.0.14 Descrizione dell’algoritmo di SAND II

I dati iniziali e le specifiche delle operazioni da svolgere sono inseriti al-

l’interno di un file di testo chiamato INPUT.DAT. Questo file e composto da

15 linee di comando che definiscono i valori iniziali e i parametri di controllo.

In input devono essere forniti al programma:

1. Tipo di calcolo da effettuare

Il codice di calcolo ha la possibilita di calcolare lo spettro neutronico

del generico sistema moltiplicante partendo dai valori di attivazione

specifici a saturazione delle targhette irraggiate, scrivendo nel file di

input il comando ITERATION, oppure di calcolare l’attivita a sat-

urazione delle targhette utilizzando come dato iniziale uno spettro

neutronico, scrivendo il comando ACTIVITY.

2. Numero di targhette utilizzate

In questa riga di comando bisogna specificare il numero di targhette

utilizzate nell’irraggiamento scrivendo il comando n FOILS (numero

di targhette utilizzate).

Bisogna poi elencare le targhette utilizzate e le reazioni nucleari di atti-

vazione neutronica di interesse attraverso delle sigle che le identificano.

I prodotti delle reazioni nucleari di attivazione sono rappresentati da

una singola lettera posta alla fine della sigla che identifica l’elemento:

(n, γ) = G; (n, α) = A; (n, p) = P ; (n, n′) = N ; (n, 2n) = 2.

(D.1)

I caratteri che precedono la sigla della reazione di attivazione identifi-

cano l’elemento, ad esempio:

23Na(n, γ)24Na = NA23G (D.2)

Nel caso in cui uno o piu target siano ricoperti da uno strato di ma-

teriale assorbente quali il Cadmio, l’Oro o il Boro, il codice e in gra-

do di calcolare l’attenuazione dovuta agli elementi assorbitori, se si

specifica il loro spessore. Le sezioni d’urto utilizzate per il calcolo

dell’attenuazione sono:

132

per il Cadmio, la sezione d’urto totale per 109Cd;

per il Boro, la sezione d’urto per la reazione 10B(n, α)7Li;

per l’Oro, la sezione d’urto per la reazione 197Au(n, γ)198Au.

Per ogni reazione considerata il programma attribuisce un foglio, quin-

di l’attivita del foglio sara solo il contributo della singola reazione.

Qualora si vogliano considerare piu reazioni appartenenti ad un dato

target irraggiato bisogna inserire all’interno di SAND II un numero di

fogli pari al numero di reazioni e l’attivita del singolo foglio e data dal

contributo della singola reazione.

3. Attivita dei campioni

Attraverso il comando ACTS si definisce la stringa dei valori di at-

tivazione specifica a saturazione dei target irraggiati. I valori delle

attivita devono essere espressi in Bq/numero di nuclei.

4. Spettro di guess Lo spettro di guess puo essere inserito in tre diversi

modi:

Richiamando uno spettro presente all’interno del database di

SAND II;

Richiamando una funzione di spettro presente all’interno del

database di SAND II;

inserito manualmente in forma tabulata definendo il numero di in-

tervalli di campionamento e i rispettivi valori di energia e di flusso

per ogni intervallo. I valori del flusso non devono essere riportati

come spettro integrale, ma come spettro differenziale, ovvero i

valori di ciascun intervallo deve essere diviso per la larghezza in

energia dell’intervallo stesso.

5. Parametri di controllo

Sono parametri introdotti al fine di gestire l’accuratezza della soluzione

e il tempo di elaborazione richiesto dal programma per arrivare a

convergenza. I parametri di controllo sono 3: LIMIT, DISCARD e

DEVIATION.

LIMIT specifica il numero massimo di iterazioni che puo svolgere

il programma;

133


DEVIATION definisce l’intervallo percentuale a cui le differen-

ze calcolate sui 621 punti energetici del flusso neutronico (tra

l’iterazione successiva e quella precedente) devono appartenere;

DISCARD rappresenta la deviazione standard del rapporto tra

l’attivita misurata e calcolata.

Quando vengono soddisfatte le condizioni di DISCARD e di DEVI-

ATION il programma termina le iterazioni. Il programma termina

comunque le iterazioni anche nel caso in cui si raggiunga il numero

massimo di iterazioni, anche se non sono soddisfatti i parametri di

DISCARD e di DEVIATION.

6. Approssimazione e normalizzazione dell’energia

E descritta dai comandi LOW END THERMAL, che rappresenta la

distribuzione Maxwelliana a 20 °C, e HIGH END FUSION, rappresen-

tata dallo spettro di fissione. La normalizzazione dell’energia e data

in MeV.

7. Rappresentazione gratifica della soluzione a diverse iterazioni.

8. Funzione SMOOTH

Inserendo numeri differenti da 1 dopo il comando di SMOOTH si va-

riano i parametri delle funzioni peso utilizzate per il calcolo dei dati

in ingresso di ogni iterazione.

Introduciamo ora brevemente la procedura iterativa di calcolo del

programma SAND II:

Per ogni reazione (foglio) considerata, e calcolata l’attivita basata sul-

lo spettro neutronico all’iterazione corrente e sulla valutazione della

sezione d’urto tabulata in 621 gruppi energetici presente nel database

del codice;

Le attivita calcolate vengono confrontate con quelle misurate per

ottenere un fattore di correzione per ogni reazione considerata;

Per ogni reazione riferita al k-esimo processo iterativo, si genera una

funzione peso dipendente dall’energia basata sulla funzione di sensibi-

lita (definita dal prodotto della sezione d’urto differenziale e del flusso

differenziale) calcolata per quella reazione e alla iterazione corrente;

134

Sulle funzioni peso viene eseguito un calcolo di media, per ottenere un

fattore medio di correzione per ogni energia, basato sul confronto tra

l’attivita calcolata e quella misurata per ogni reazione e sul contributo

relativo del flusso, ad una data energia, all’attivita di quella reazione;

I fattori medi di correzione sono poi applicati al valore del flusso ite-

rativo corrente a qualsiasi energia per ottenere il flusso dell’iterazione

successiva.

135


136

Bibliografia

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Plutonium - Beryllium Source, Nuclear Physics; vol. 43, 1963;

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[18] T. Goorley, Criticality Calculations with MCNP5: A Primer,

Los Alamos National Laboratory, X-5.

138

Ringraziamenti

Vorrei ringraziare innanzitutto il mio relatore Andrea Borio di Tigliole

per la sapiente guida di tutto questo immenso, in termini di energia e tempo

speso, lavoro di tesi.

Sicuramente non posso non ringraziare Daniele, che mi ha seguito sempre e

dispensato di consigli e aiuti, impiegando buona parte anche del suo tempo

libero potermi seguire nell’avanzare del lavoro.

Michele, con cui si accendevano sempre proficui dibattiti per trovare spie-

gazioni a ogni questione che si poneva.

Devo poi porgere i miei ringraziamenti al Prof. Massimo Oddone, Andrea

Salvini e Sergio Manera per il tempo dedicato alle operazioni necessarie a

svolgere le misure ad SM1, nonche per i consigli e gli aiuti forniti.

Infine non posso dimenticare di ricordare l’aiuto del Prof. Alberto Rotondi

e del Prof. Andrea Fontana nel risolvere alcune questioni presentatesi nel

corso del lavoro svolto.

Per ultimo, ma non per importanza, devo ringraziare nel modo piu senti-

to, Sara per aver sopportato tutto il periodo che mi ha visto duramente

impegnato nella preparazione di questa tesi.

139

caratterizzazione del flusso neutronico nel … universita degli studi di pavia facolta di scienze...

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