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1 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Metodi Probabilistici, Statistici e Processi Stocastici Università Carlo Cattaneo Emanuele Borgonovo

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  • 1 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Metodi Probabilistici, Statistici e Processi Stocastici Universit Carlo Cattaneo Emanuele Borgonovo
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  • 2 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Capitolo I
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  • 3 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Introduzione Processo Stocastico: un processo stocastico un processo che costituito da eventi la cui realizzazione non deterministica, ma caratterizzata da incertezza Esempio: i tempi di arrivo dei clienti in un grande centro commerciale o il numero di clienti che arriva al centro commerciale nellintervallo dt attorno al tempo t.
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  • 4 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Elementi introduttivi di Teoria della Probabilit
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  • 5 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilit E possibile definire la Probabilit? S, ma ci sono due scuole La prima dice che la probabilt una porpriet oggettiva degli eventi (Scuola Frequentista) La seconda dice che la Probabilit una misura soggettivadella verosimiglianza degli eventi (De Finetti)
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  • 6 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Gli Assiomi di Kolmogorov U B A
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  • 7 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Supponete di saltare dentro U a caso. Chiamate P(A) la probabilit di saltare in A. Quanto vale? Sar larea di A diviso larea di U: P(A)=A/U In questo caso P(U)=P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D)+ P(E) Aree e rettangoli? U C ABDE
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  • 8 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Legge della somma delle probabilit Dati n eventi non mutuamente esclusivi, in generale la probabilit dellunione di detti n eventi sar la somma delle probabilit degli eventi singoli, cui si sottrarr la somma delle probabilit delle doppie intersezioni, si sommeranno le probabilit delle triple intersezioni e cos via. In termini di aree
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  • 9 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Legge della somma delle probbilit in termini di aree 2 eventi 3 eventi U B A AB U B A C
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  • 10 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici In formule Dimostrazione. Introduciamo un insieme di n eventi, A 1, A 2,, A n e consideriamo un esperimento casuale su di essi. Indichiamo con I i la variabile indicatrice dellevento Ai. La definiamo come segue: Sia N il numero di eventi che si verificano. Varr:
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  • 11 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilt Unione: prova (2) N una variabile casuale. Ci chiediamo: qual il valore atteso di N, E[N]? Prima di rispondere, vediamo un trucco di calcolo combinatorio che ci torner utile: Ora, notiamo che Quindi, se introduciamo la variabile indicatrice di N cos definita: Otteniamo:
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  • 12 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilt Unione: prova (3) Quindi vale per I N il seguente sviluppo in termini di binomio di Newton: Il k+1 deriva dal fatto che davanti alla somma c un segno - Ora, calcoliamo il valore atteso di I N Il passaggio allinterno della somma deriva dal fatto che il valore atteso un operatore Lineare Esplicitiamo i termini:
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  • 13 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilt Unione: prova (4) Calcoliamo i termini: E cos via. Ora notiamo che: Quindi: q.e.d.
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  • 14 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilit Condizionale Supponete ora che B avvenuto. Quindi siete saltati dentro larea B. B A AB Ora non protrete che concordare che: P(A|B)=P(AB)/P(B) Quindi: P(AB)=P(A|B) *P(B)
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  • 15 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio Nel gioco del lotto, si vince con il 6. Qual la probabilit, in sei estrazioni senza rimpiazzo, su 90 numeri di ottenere 6? Giochiamo 1 colonna e calcoliamo la probabilit di vincere. La probabilit che la prima cifra estratta sia una delle nostre 6, la seconda sia una delle rimanenti 5 e cos via. Indichiamo con I levento la prima cifra estratta una di quelle giocate da noi, con II levento la seconda cifra esatta dato che la prima una delle nostre 6,, con III levento la terza cifra una delle rimanenti 4, dato che le prime due sono delle nostre 6, etc. Dobbiamo calcolare: P(I,II,III,IV,IV,VI). Utilizziamo la probabilit condizionale: P(I,II,III,IV,V,VI)= P(VI | I,II,III,IV,IV)*P(V,IV,III,II,I)= P(VI | I,II,III,IV,IV)*P(V | IV,III,II,I)* P(IV,III,II,I)= =P(VI | I,II,III,IV,IV)*P(V | IV,III,II,I)* *P(II |I)*P(I) La probailit che la prima sia una delle nostre data da 6/90. La probabilit che la seconda sia una delle cifre giocate dato che la prima una delle 6 5/89. Cos via per le altre. Dunque:
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  • 16 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici U IL teorema della probabilit Totale Teorema probabilit totale: dati N eventi mutuamente esclusivi (A 1, A 2,,A N ) e esaustivi, la probabilit di un altro evento E in U data da: A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 E
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  • 17 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio Ad una lotteria, si gioca con una scatola che contiene cappelli eleganti e sportivi in egual proporzione. Il gioco il seguente. Si estrae un cappello. Se elegante si ha diritto a tirare una moneta. Se esce testa, si estrae un altro cappello. Non si ha diritto ad altre estrazioni. Qual la probabilit di vincere due cappelli eleganti? Soluzione: Applichiamo il teorema della probabilit totale a P(2 cappelli eleganti): P(2 cappelli eleganti)=P(II cap. el.|1 estrazione)*P(1estrazione)+P(II cap. el.|II estrazione)*P(II estrazioni). Chiaramente P(2 cappelli|1 estrazione)=0, quindi: P(II cappelli elegante)=P(II cap. el.|II estrazione)*P(IIestrazione). P(II estrazione)= P(II estrazioni|I sprt)*P(I sprt)+P(II estrazione|I eleg)*P(I eleg) Ora: se il primo sportivo non si ha diritto a seconda estrazione. Osserviamo poi che: P(II estrazione| I eleg)= P(testa) =1/2 Quindi: P(II estrazione)=1/21/2=0.25 Inoltre: P(II cap. el.)=P(II cap. el.|II estrazione)*P(II estrazione)=1/2*0.25=0.125 Per esercizio calcolare: La probabilt di uscire con un cappello La probabilit di uscire con un cappello elegante e con uno sportivo Ripetere gli stessi calcoli se I cappelli sono in proporzione 2/3 sportivi/eleganti
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  • 18 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Variabile Casuale Sia S lo spazio degli stati. Per stato si pu intendere il risultato di un esperimento statistico, ovvero un evento casuale. Scriviamo: s S per denotare che lesito s appartiene ad S. Ora, s un evento casuale. Introduciamo una funzione matematica che lega il risultato dellesperimento, s, ad un numero reale, x. Scriviamo: X: S
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  • 19 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio Teniamo in considerazione gli arrivi di clienti al vostro negozio. Siete soggetti ad un mercato perfettamente concorrenziale, per cui il numero di clienti che arriva nel tempo dt non deterministico ma casuale. Supponiamo che il break-even del vostro negozio sia 50 clienti al giorno. Quindi la giornata in profitto se il numero di clienti (s) >50, in perdita se s
  • 20 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilit di una variabile casuale Riprendendo il nostro esempio, la probabilit che X sia pari ad 1 la probabilit che s abbia pi di 50 clienti, ovvero P(X=1)=P(S>50). Detto s 1 linsieme di tutti gli eventi per cui X=1, s 1 la contro-immagine di 1, ovvero: X -1 (1)=s 1. Pi in generale: P(X A)=P[s X -1 (A)] cio la probabilit che il valore della variabile casuale X sia nellintervallo A pari alla probabilit che gli eventi casuali s cadano nella controimmagine di A
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  • 21 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Funzione di Partizione La funzione di partizione (cumulative distribution) di una variabile casuale risponde alla definizione di essere la probabilit che il valore della variabile casuale sia inferiore ad un valore di riefrimento. Scriviamo: F X (x)=P(X=0 distribuito secondo la distribuzione (1,1,0). Disegnare la distribuzione di X. Mediante la formula del cambio di variabile calcolare la distribuzione di Y. Disegnare la distribuzione di Y. Calcolare il valore atteso e la varianza di Y. Calcolare il valore atteso e la varianza di Y con lo sviluppo di Taylor al I ordine. Che errore commettete? Utilizzate lo sviluppo in serie del II ordine. Che errore commettete? 3 Siano X e Y due variabili casuali, con Y=arcsin(x), -1