Comitato Nazionale Energia Nucleare
Rumore neutronico e processi stocastici:ruolo della funzione generatricc
V. M.Jorio, N. Pacilìo
RT/FI (71)21
CNEN - RT/V1C71 )21
V.M. Jorio, N. Pacilio (CNEN, Laboratorio Fisica e Calcolo Reattori)
RUMORE NEUTRONICO E PROCESSI STOCASTICI: RUOLO DELLA FUNZIONEGENERATRICE
RIASSUNTO - H^presfjnte articolo riguarda lo studio de! ruolo e del significato delle
funzioni generataci delle distribuzioni dì probabilità e dei momenti ad esse corrispon-
denti. In particolare, vengono analizzate le distribuzioni di Poisson, di Bernoulli, dei
neutroni di fissione, dei neutroni ir un reattore in equilibrio. Vengono inoltre eseguiti
confronti tra dati sperimentali e distireazioni aspettate in ciascuno dei quattro casi.
CNEN - RT/FK71 )21
V.M. Jorio, N. Pacilio (CNEN, Laboratorio Fisica e Calcolo Reattori)
NEUTRON NOISE AND STOCHASTIC PROCESSES: ROLE OF THE GENERATINGFUNCTION
SUMMARY • This article contains « study of the role and the meaning of the generating
functions of probability distributions and their corresponding moments. In particular,
Poisaon distribution, Bernoulli distribution, fission neutron distribution and steady-state
reactor neutron distribution are analyzed. Furthermore, comparisons are outlined
betwi'tn experimental data and expected distributions for each of the four cases.
Comitato Nazionale Energia Nucleare
Rumore neutronico e processi stocastici:ruolo della funzione generatrice
V.MJorio, N. Pacilh
RT/FI(71)21
Testo pervenuto il 12 luglio 1971
Stampato in formato UNI presso il Comitato Nazionale per l'Energia Nucleare, Divisione AffariInternazionali e Studi Economici, Ufficio Edizioni Scientifiche, Laboratorio Tecnografico
Roma. Viale Regina Margherita 125 (tei. 8528)
"If anyone needs a definition of noise, hereare two : (l) noise is the piano next doorwhile I am trying to type; (2) noise is thetypewriter next door while I am playing thepiano. In short, noise is what you call anysound you find distracting or annoying. Tosomeone else it may not be noise at all .Forexample jazz rock and beat music are noiseto almost anyone over 25, while to the youn,ger set it is the greatest music ever."( EUGENE RASKIN, Noise, The Collier's YearBook, 1968 )
"Neutron noise is more properly the field ofstudies of neutron multiplet densities otherthan the singlet density in nuclear reactorsystems."( R.K.OSBORN and S. YIP, Physical Theory ofNeutron Noise in Reactors and ReactorlikeSystems, 1963 )
"In stochastic processes the future is neveruniquely determined, "but v?s have at leastprobability relations enabling us to makepredictions."( WILLIAM FELLER, An Introduction to Froba-bllity Theory and its Applications, JohnWiley and Sons, I967 )
INDICE
* Eimologie e premesse pg. 3
* Definizione della funzione generatrice pg. 9
* La distribuzione di Poisson pg*13
* La distribuzione di Bernoulli pg*21
* La distribuzione dei neutroni emessi nella
fissione nucleare PS*29
* La distribuzione binomiale negativa pg*4l
* La distribuzione dei neutroni in un'assembleamoltiplieante all'equilibrio pg***9
* Prospettive future pg-53
ETIMOLOGIE E PREMESSE
Rumare, neutronico - II termine "rumore" e' comunemente usato in molte di-scipline scientifiche e tecnologiche, ma non sempre esso e* riferito allostesso tipo di fenomeno. Infatti in ciascun settore esso può' indicare cirqgs*u nze e fenomeni di differente natura.
L'antenato comune di tutti i significati ad esso attribuiti e' quelloadottato in acustica, dove la denominazione viene usata per descrivere lacategoria dei suoni che mancano di qualità' musicale. E' infatti definitamusica una pulsazione acustica la quale, anche se articolata e complessa,sia riconducibile ad un?, sovrapposizione di un numero finito di componentiregolari o periodiche. In contrasto con questa definizione, il rumore acu-stico e' quindi una pulsazione irregolare o casuale.
Da un punto di vista operativo il termine rumore diventa quindi sinonimodi casualità' e/o disturbo alla regolarità' o alla periodicità'. La denomina,zione diventa immediatamente applicabile ed estensibile ad un qualsiasi flmso di informazione.
Spesso sotto l'etichetta di rumore sono inquadrati fenomeni di fluttuazìgni, di deviazioni statistiche e di non-riproducibilita' delle misure: glieventi suddetti sono presenti nell'osservazione sperimentale di grandezzefisiche. Infatti una grandezza fisica macroscopica e' formata da un elevatonumero di repliche del medesimo microsistema. Le inevitabili variazioni delnumero di queste componenti microscopiche sono responsabili delle fluttua-zioni della grandezza macroscopica risultante.
Allo scopo di confrontare quantltativaaente l'informazione utile con laentità' delle fluttuazioni e' stato introdotto un apposito indice, il rappcgto segnale/runore, il cui reciproco e' appunto una misura relativa del livej,lo di disturbo. La denominazione e' derivativa dall'elettronica e dalla teo-ria dell'informazione.
Un elevato numero di applicazioni - nelle varie discipline scientifiche -possiede come fine il raggiungimento di un ottimo economico, quando un certoammontare di informazione deve essere trasmesso e ricevuto in presenza inevìtabile di rumore. Si e' cosi' via via formato un certo numero di procedimen-ti e di algoritmi matematici atto ad elaborare messaggi "rumorosi", dai qua-li l'informazione fondamentale debba essere separata dal disturbo ad essa 30.vrapposto. Il ccrvjlesso dei procedimenti e' raggnippato sotto l'etichetta dianalisi del rumore.
I metodi relativi sono adottabili anche in altre circostanze: quelle incui il rumore, generato dal sistema sotto osservazione e dalle sue componen-ti, e' la grandezza da analizzare e misurare invece che il disturbo, del qua,le ci si voglia disfare. Il rumore contiene infatti, e riflette, le caratte-ristiche del sistema dal quale e' stato generato.
L'analisi del rumore di un sistema viene generalmente praticata senza, ap-portare alcun segnale di ingresso al sistema stesso ma osservandone ugualmegte l'uscita. Un approccio di questo tipo ha il notevole vantaggio di nonconportare ne' perturbazioni al sistema in osservazione ne' la necessita' dir!averne interrompere il comportamento abituale.
Come precisa L.G.Kemeny in in suo articolo del 196^ #1# t il pria© rich!amo alla natura essenzialmente statistica della diffusione neutronica sembraessere contenuto in alcuni lavori di E.Fermi #2# . Il rumore neutronico nel-l'ambito di un reattore nucleare e1 il fenomeno connesso con la natura stes-sa del livello di potenza generato dal sistema e quindi con la densità1 deineutroni all'interno del reattore. Se il reattore e' in condizioni di poten-za stazionaria, cioè1 se tale livello e' costante Ifl mediaT e la potenza steasa e' sufficientemente bassa ( in condizioni convenzionalmente definite di"potenza zero" ), le fluttuazioni attorno al valore medio diventano assaisensibili e significativamente osservabili.
Processi stocastici - H termine processo stocastico , sinonimo di processo casuale, in inglese "random process", e1 etichetta ricorrente nella pras-si sperimentale della teoria delle probabilità', dal getto della monetina fino all'analisi armonica. La denominazione "processo stocastico" e* usataprincipalmente quando si e' introdotto un parametro temporale.
Variabile stocastica, in inglese "random variable", e' definita una variabile cui e1 associata una funzione di distribuzione di probabilità'. Contra-riamente ad un comunemente diffuso, ed erroneo, punto di vista una variabilecasuale non e' una variabile che possa equiprobabilmente assumere uno qualujaque dei valori costituenti il suo insieme di definizione, ma piuttosto unavariabile che assume valori in accordo con la sua funzione di distribuzionedi probabilità1,
Casuale ed aleatorio ( derivati dal latino ), l'anglosassone random e stachaftico ( dal greco © T O V O S : caso, casualità' ) sono quindi termini to-talmente equivalenti.
Concettualmente un processo stocastico' e1 l'analogo probabilistico di unprecesso della meccanica classica, dove lo sviluppo del sistema e1 completa-mente determinato dallo stato iniziale ed e1 indipendente dal modo in cuitale stato e1 stato raggiunto. L'analogia sta nel fatto che, mentre nellameccanica classica un sistema di equazioni differenziali,accoppiato ad alcu-ne condizioni iniziali, e1 sufficiente per descrivere il moto del sistemain studio, la trattazione dei processi stocastici si basa su un pariteticoinsieme di equazioni differenziali nelle probabilità' elementari relativeal fenomeno in studio ed ai valori iniziali delle stesse.
I processi meccanici e stocastici sono in contrasto con i cosiddetti prjjcessi ereditar! ( per es. vedi teoria della plasticità' ) dove l'intera sto.ria passata del sistema influenza l'evoluzione successiva.
Un processo stocastico viene definito s zion/tr3,o quando le sue caratte-ristiche statistiche non variano nel tempo. L'assunzione della stazionarie-tà' e' generalmente giustificata per quei sistemi in cui i meccanismi fun-zionali che danno origine alle fluttuazioni sono invarianti lungo periodiragionevolmente lunghi di tempo.
Un processo stocastico stazionario viene definito erj?odi,cro quando tuttele sue proprietà1 possano essere determinate dall'osservazione del processostesso durante un intervallo di tempo finito e "breve". Ciò' corrisponde asostenere che l'ergodicità1 e» soddisfatta se le caratteristiche statisti-che misurate non differiscono da osservazione ad osservazióne*
Da questo punto in poi si postula che il rumore neutronico di uh reatto,re nucleare in equilibrio sia un fenomeno fisico.di natura ergodica.
La natura essenzialmente stocastica dei processi che coinvolgono ini di un reattore nucleare ha ricevuto nel passato scarsa attenzione. Unodei motivi di questa situazione e1 1*argomento che, a causa della elevatadenéita1 della popolazione neutronica e delle vite medie relativamente lun-ghe dai neutroni soprattutto nei sistemi a media/alta moderazione, equazio-ni di tipo deterministico risultino assai valide nel descrìvere un gran nu-mero di reattori nucleari.
Scriveva in proposito H.Soodak nel 1961 che H l1approccio di tipo stoca-stico nello studio del reattori non appare di primaria importanza a causadell'elevato numero dei neutroni nei sistemi di potenza n #3# . Appare più'evidente oggi come esistano molte fasi di operazione del reattori e moltesituazioni sperimentali per le quali l'approccio statistico sia il solo me&zo adeguato per circostanziare il comportamento di un reattore ed interpre-tare le osservazioni di misura su esso realizzate.
Il rumore neutronico e1 attualmente oggetto di numerosi ed approfonditistudi teorici dato che l'analisi dello stesso conduce alla conoscenza di im-portanti parametri del reattore in esame. Questi ultimi permettono la descrizione dei fenomeni temporali ( *» cinetica nucleare ) che hanno luogo, op-pure potenzialmente avrebbero luogo, nel sistema nucleare e sono quindi difondamentale importanza per la sicurezza, il controllo e l'operazione delreattore. Inoltre la conoscenza dei parametri cinetici permette una vastagamma di confronti tra teoria ed esperienza ed e' quindi indispensabile perla messa-a-punto di codici nucleari, delle costanti adottate negli stessied, in definitiva, della bontà1 intrinseca dei calcoli di progetto.
I metodi di analisi del rumore neutronico in un reattore nucleare pos-sono essere divisi in due categorie:
(1) I metodi di analisi temporale diretta, in cui i neutroni, rivelatitramite opportuno strumento, vengono localizzati su di un asse deitempi all'istante corrispondente alla loro rivelazione;
(2) I metodi demografici o di campionamento, in cui l'osserva zione sparimentale consiste nel contare il numero di neutroni, rivelati inun intervallo temporale di campionsriento di durata fissata. (*)
Entrambi i metodi hanno impostazione di tipi statistico, dato che la me-desima osservazione sperimentale viene ripetuta un numero elevato di volte( •> IO"*) ed i dati raccolti sono opportunamente sovrapposti al fine di au-mentare la loro attendibilità1 e la loro precisione relativa.
II presente articolo intende offrire uno studio introduttivc delle rela,zìoni che intercorrono tra rumore neutronico e processi stocastici, quandol'impostazione ed il formalismo della teoria delle probabilità1 vengono ap-plicati alla descrizione ed alla interpretazione dei fenomeni caratteristici delle popolazioni neutroniche in un reattore nucleare.
L'impostazione teorica del problema e1 assai diretta ed esplicita e può*essere riassunta nella formulazione della domanda che segue: ponendo un il-velatore in un reattore, quale e1 la probabilità' di contare un neutronead un determinato istante ? Oppure, quale e1 la probabilità' di contare ze.
<•) Vedi Nota di pg. 18
rot uno, due, tre, quattro o più1 neutroni In un dato Intervallo di tempoY
Appare Immediato come il rispondere a questi interrogativi sia equiva-lente,noi linguaggio della metodologia statistica, alla conoscenza dellafunzione di distribuzione della probabilità1 di un fenomeno cene quellosopra descritto ( rivelazione di neutroni in un reattore nucleare ) ovveroalla conoscenza dei acuenti della distribuzione stessa»
Se la maggior parte di coloro che si sono occupati, anche alla lontana,di statistica elementare e* sostanzialmente familiare con i concetti diprobabilità* e momenti, nono noti sono l'importanza ed 11 ruolo della fra-ziona generatrlce di una distribuzione, la quale rappresenta la grandezzanucleo e sinteticamente più* completa per la descrizione del fenomeno inoggetto. Come definito operativamente dalla sua denominazione, la funzl£ne suddetta e le sue derivate, calcolate per opportuni valori del loro axgomento, generano probabilità* e momenti della distribuzione in esame.
Risulta quindi utile focalizzare la prima parte di questo lavoro sul»lo studio del ruolo e del significato delle funzioni generatrici, parten,do da alcuni casi semplici, per es. distribuzioni di Poisson, di Bernoulli,dei neutroni emessi dalla fissione nucleare e distribuzione binomiale ne-gativa. Questi esempi permettono di capire come debba essere trattata lafunzione generatrice e quali conseguenze comporti l'approssimarla In unmodo qualslasl. In ciascuno degli esempi presi In considerazione, vengo-no inoltre eseguiti confronti tra dati sperimentali e distribuzioni aspe£tate.
Nella seconda parte del lavoro vengono esaminati 1 legami più1 direttitra processi stocastici e rumore neutronico, proprio avvalendosi dellefunzioni generatrici come elementi risolutori di alcuni problemi fondsmen,tali di fisica dei reattori.
DEFINIZIONE DELIA FUNZIONE GENERATRICE
Come già1 accennato In precedenza, la presente trattazione si riferiscea processi stocastici stazionarl ed ergodici, i quali coinvolgono variabilidiscrete» Esse possono assumere soltanto valori interi naturali, per es»numero di particelle rivelate.
Introduciamo a questo ponto la probabilità1 t>K che la variabile in og-getto possa assumere il valore k = 0,1,2,... co . Questa probabilità1 sod-disfa, per sua definizione operativa, alla disuguaglianza 0 j°i<- < 1ed alla condizione integrale
ao
Introduciamo successivamente il momento di ordine k. della variabile inoggetto, definito come
co
(0)
notando come il caso H.=eO esprima la condizione di normalizzazione già1
stabilita in precedenza. Deve inoltre essere sottolineato come '*n1 rappre-senti il valore medio della variabile, m ^ rappresenti il suo valore quadra-tico medio, secondo la ben nota nomenclatura.
Appare chiaro, da quanto esposto finora, come le grandezze caratteristichedella distribuzione in studio siano la probabilità' p k ed i momenti m^.senza .alcuna priorità1 reciproca.
H significato ontologico ed i] ruolo operativo della funzione generatricet per il momento ancora da costruire, devono proprio offrire la disponibilita' di un'unica funzione la quale contenga tutta 1*informazione relativaalla distribuzione e sia quindi in grado di generarne tqtte le grandezzestatistiche caratteristiche.
A questo punto vale la pena dì sottolineare come la funziono generatricenon possa contener? nulla che non sia già1 esistente nella distribuzione dipartenza na costituisca un agile strumento matematico, in quanto essa con-sente una trattazione assai sintetizzata di alcuni problemi. Il suo ruolooperativo può1 essere confrontato con quello della trasformata di una fun-zione incognita, in quelle circostanze in cui il problema e1 assai compli-cato nella versione diretta, ms si semplifica notevolmente nella versionetrasformata *
Nei problemi relativi a distribuzioni di probabilità1, la funzione gene-ratrice diventa l'incognita unica che si sostituisce alle incognite plurimecostituite dalle probabilità1 e dai momenti della distribuzione.
Infine, per essere strumento di calcolo effettivamente utile, uno deirequisiti fondamentali per la fum.ione generatrice e1 quello di avere unlegame sufficientemente semplice con le grandezze caratteristiche della di-stribuzione, nota o incognita, in studio.
10
H concetto di funzione generatrice di una distribuzione e1 stato per laprima volta introdotto da Pierre Simon Laplace nel suo fondamentale lavoro"Theorie Analytique des Probabilites" ( Courcier, Paris, 1812 ). In essola funzione generatrice e1 presentata come soddisfacente la seguente definizione. '
Sia f«^} una successione di numeri reali. Se
converge in un certo intervallo-Xo<*< X o , allora G(x) e' detta lane generatrice della successione <3*} . Se la successione £<3K} e
1 limitata,allora si ha convergenza per|x|<1 .
La variabile x , che compare come argomento della Q , non ha alcunsignificato nell'ambito del processo stocastico in studio ma figura come qua,lunque altro parametro "dummy" o variabile ausiliaria di una trasformazione,E1 interessante notare come, qualora la successione{.t3K}- venga identificatacon quella delle probabilità' |(3KJ sopra definite, la <q(x> diventa la fun-zione generatrice della distribuzione di probabilità' assegnata. Si ha cioè1
c**e oc
O<x< 1
Nel procedimento sopra mostrato si e' risolto un primo tipo di problema:cioè1, date le probabilità' ìpk si costruisca la funzione generatrice dellestesse. La soluzione, come visto, e* immediata.
Un secondo tipo di problema e' quello seguente: data la funzione genera-trice ricavata come soluzione analìtica di un certo problema fisico-matematico, si deduca il profilo di probabilità'{f>*.$ della distribuzione. Data ladefinizione strutturale della funzione generatrice, e' chiaro come la gene-rica probabilità' sia data dalla espressione
(2)
Un terzo tipo di problema e1 quello di trovare la relazione esistente trala funzione generatrice definita nella Eq.(l) ed i momenti della distribuzi^ne cui si riferisce il profilo ffv} di probabilità'. Introduciamo allo scopouna nuova variabile ausiliaria z legata alla precedente dalla relazione
*-x-1 (3)
Se ne deriva che
«-• . . »*j
(4)
11
Tramite opportuna elaborazione, laco
può1 essere riscritta come
che appare formalmente identica alla Eq.(l). In effetti essa e1 del tuttodifferente a causa dell1 Eq.(3) e delle conseguenze che quest'ultima compoxta. Dall1 Eq.(3) emergono infatti due punti:(a) il campo di definizione deila variabile z e' compreso tra -1 e 0 , mentre quello della variabile xe1 compreso tra 0 e 1 (b) i coefficienti c K sono legati alla probabi-lità1 pfc dalle relazioni univoche
(5)
Sviluppando ed esplicitando le Eq«(5) tramite richiamo dell1 Eq.(C)t siottiene la dipendenza dei coefficienti C K dai momenti m ^ . Eccola per0 $• K « 8 :
mo
~ ( m2 - m,
£1 », -;_ 1
1 / \
c 7 =-=r( »»7 -2lm 6 +175ms -735nu. +162^13 - 1 7 6 ^ 2 +72010,)
c 8 = - ^ ( m6 -28m7 +322% -l960m5 +67691H4 -13132rag +13O68ma -5040m,!
Se- r;i. introduce I:1 definizione di no.irrito fattoriale d'ordine h. come
si nota come, data l'eguaglianza M^sklc^ , esista un locarne immediato trala funzione generatrice, le sue derivate ed i momenti fattoriali. Esso e' d£to dalla relazione
07;
Inoltre, moltiplicando ambo i membri delle F.q.(6) per k! si ottengono le
12
espressioni esplicite dei momenti fattoriali in funzione dei momenti ordinari. Infine, richiamando l1 Eq.(3)t si deduce che
(3)
che e1 la relazione fondamentale che si cercava.Riassumendo, la .funzione generatrice contiene tutta l'informazione relati
va alla distribuzione ed e1 quindi in grado di generare, tramite le relazio-ni fornite dalle Eq,(2) e (8), tutte le grandezze statistiche caratteristi-che- di una distribuzione nota od incognita.
Unanota, a chiusura del presente capitolo* Si e1 qui fatto esteso uso delmomenti htj,, della distribuzione, i cosiddetti momenti non centrali, cioè1 noncalcolati rispetto alla media /wii f ma rispetto all'origine. La ragione risiade nella caratteristica di intero naturale della variabile k. e nella conse-guente maggiorata flessibilità1 e disinvoltura del calcolo con numeri inte-ri. Infatti se K e' intero, non e* detto che lo sia ut, : generalmente nonlo e1. Ne deriva che non e1 intero neppure K-w, e tutte le sue potenzeCx-1Jtt' con conseguenti complicazioni nei calcoli di taluni coefficienti.Avere ignorato i momenti centrali ha completamente eliminato questi inconve-nienti.
13
LA DISTRIBUZIONE DI POISSON
La distribuzione di Poisson e1 tra 1 più1 noti profili probabilistici ede1 caratterizzata da un solo parametro statistico: il valore medio w-t .Dato quest •ultimo, e1 immediato costruire la distribuzione della probabili-tà che ujna variabile assuma il valore k essendo il suo valore aspettatopari ad m< . La suddetta probabilità1 e1 fornita dalla seguente relazione:
PK=Jid"C ' (9)
oppure, in formula ricorrente assai utile per il calcolo numerico,
^ fc> = è"< (9')
La funzione generatrice della distribuzione di Poisson può1 esserelata secondo l'indicazione dell1 Sq.(l) con la sostituzione delle p K Inconformità* ali* Eq,(9). Se ne deduce
(io)= e
Per il calcolo dei momenti fattoriali, facciamo uso della Eq.(8) richiamalido per la funzione generatrice l1 Eq.(lO). Se ne deduce la semplice relazione
Successivamente, dalle I2q.(6) che forniscono espressioni generali - valj,de per qualslasi tipo di distribuzione - dei momenti fattoriali in funzionedei momenti ordinarl, si possono ricavare le espressioni esplicito per gliittfc, , senza dover ricorrere alla complessa elaborazione derivante dall'ap-plicazione diretta della definizione data dall1 Eq.(O). Esse sono
14
134 - m*
ms « mfm 6 *= mt +15n? +65n£ -^Ctó} +3 Irai? + m-,
m 8 = mf +28mJ +266mt +105Qm* + 1701m* -t966r£, +12?m* + m.
Vale la pena di notare come, nel caso particolare delia distribuzione diPoisson, i momenti di ordine qualsìasi siano esprimibili come polinomi inm 1 (proprio perche* esso e* l'unico parametro statistico della distribuzione,come detto appunto in apertura di capitolo•.
Nel caso della distribuzione di Poisson, il confronto con l'evidenza sparimentale e' stato realizzato contando le particelle # emesse con frequenzasostanzialmente costante da una opportuna sorgente radioattiva. Si sono adoitate condizioni specifiche di misura in modo da ottenere tre profili distri-butivi con valori medi m 1- 1, m.,~2 ed m1'v3 rispettivamente. I confrontitra dati sperimentali e distribuzioni aspettate, a parità1 di valore medio edi numero totale di campioni, e1 fornito in tav. 1,2 e 3»
Questo tipo di approccio sperimentale corrisponde all'adozione del tipodi procedura "demografica o di c.-'inpionpjnento" presentata in apertura del la-voro a proposito r!ei metodi rii *n;.">Asi cìel rumore.
E 1 ovvio come - sempre nel e?, so r'i una distribuzione di Poisson - sia pojBsibile attuare anche la procedura di "analisi temporale diretta". In questocaso il problema fisico può1 essere formulato come segue. Si vuole descrive-re la distribuzione degli intervalli temporali tra eventi consecutivi di contepgìo. Essa corrisponde alla formulizione della probabilità* che, dato unevento al tempo t « 0, l'evento successivo si presenti tra t e t+dt .
In generale, questa probabilità1 e' data dal prodotto di due probabilità1
elementari: (l) la probabilità' che nessun evento si presenti tra 0 e t t(2) la probabilità' che un evento di conteggio abbia luogo tra t e t-Kit .Nel caso particolare di una distribuzione di Poisson, se A e1 la frequenzadi ripetizione media degli eventi di conteggio, la probabilità» in questio-ne avrà1 la seguente formula:
-Afc= e Adfc
Nell", realta' sperimentale l'intervallo di tempo da misurare e1 d3scretiz-zato in un numero finito di canali temporali di ampiezza singola pari a At.Se ne deduce che il contenuto del canale n-esimo, cioè* il numero di volte in
15
1 023 206
0 -1 .2 .3 -i t .5 -6 .7 -8 -9 -
369 168375 703192 47065 33216 3833 430
6139197
368 853376 268191 91665 25816 6433 395
57784111
•0016.0016•0023.0039•0077.0171•0416•109.30
-
+.0008-.0020+c0029+.0011-.0156+.0103+.0624+.0833-.18
—
l 023 oo6
Momentisperimentali
a1 • 1.0201ma - 2.0615m3 » 5.2100a* • 15.8166a s * 55.6297»«,* 221.3130a 7 « 930.6180a 6 « 4788.17*3
V a r l a m a ^ r e w B e d i A
varian»a«8U-inedia
Momentiaspettati
1.02012.06075.2035
15.756455.1007
216.8992944.5640
4493.5358
sperimentale : 1.00077aspettata : 1.00000
Deviazionerelativa
+.0004+.0012+.0038+.OO96+.0203+.0382+.O656
"tavola 1 - Confronto tra una distribuzione sperimentale $N*} eduna distribuzione $Np*f di Poisson ed i loro rispettivi momenti, a parità* di valore medio e di numero to-tale di campioni. La deviazione relativa {£K} tra ledue distribuzioni e* confrontata con la standard devia,tìon 16*} della distribuzione aspettata.
16
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -
10 -11 -
131 912269 992276 682188 698
96 96239 86713 4314 1431 073
2106618
1 023 051*
131 665269 952276 739189 13196 9*339 75213 5843 9791 020
23248
9
1 023 05k
.0028
.0019
.0019
.0023
.0032
.0050
.0086
.0158
.0313
.0657
. 1 *-
+,0019+.0001-«0002-.0023+.0002+•0029-.0113+.0412+.0519-.09*8+.37
-
Manentisperimentali
» , - 2.0503ma * 6.2597ma * 23.3436m . * 101.4324ms « 498.4885m6 * 2717.7857m-r * 16214.9492me * IO4763.38I4
Vardartaa—su-iaedlaVarianza-su-media
Momentiaspettati
2.05036.2540
23.2800100.8590493.5114
2674.386I15830.3521
101297.0681
sperimentale : 1.00282aspettata : 1.00000
Deviazionerelativa
«.+.0009+.OO27+.0057+.0094+.0162+.0243+.0342
tavola 2 - Confronto tra una distribuzione sperimentale {N*} eduna distribuzione C^Pkl di Poisson ed i loro rispettivi noraenti, a parità* di valor medio e di numero tot&le di campioni. La deviazione relativa $ S K $ tra ledue distribuzioni e1 confrontata con la standard deviation \<5k} della distribuzione aspettata.
17
0 .1 .2 .3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -
10 -11 -12 -13 -
56 59»+I63 339237 198229 049165 20595 55146 25319 2787 1672 438
852257113
9
1 023 303
56 282163 240236 733228 876165 96096 27146 53819 2836 9912 253
65317242
9
1 023 303
.0042
.0025
.0020
.0021
.0025
.0032
.00U6
.0072•0119.0211•0391.0762
-
+.0055+.0006+.0019+.OOO7-.0045-.0075-.0061-.0003+.0252+.0821+.31+.49
•-
Momentisperimentali
2.900411.341352.9864
284.3617I7H.8I5I
11375-489582438.9971
644913.8698
Momentiaspettati
2.900411.312952.5378278.9570
1652.048210734.0333756I2.845I
572270.1572
Deviazionerelativa
+.0025+.0085+.0194+.0362+.0598+.09^3+•1269
Varianza-su-media sperimentale : 1.00071Varianza-su-asdia aspettata : 1.00000
tavola 3 - Confronto tra una distribuzione sperimentale {^K} eduna distribuzione {Npfc} di Poisson ed 1 loro rispettivimomenti, a parità1 di valor medio e numero totale dicampioni. La deviazione relativa \SK} tra le due di-stribuzioni e* confrontata con la standard deviation
} della distribuzione aspettata.
18
cui la distanza temporale tra eventi consecutivi era compresa trae n A t t
e' data dall'espressione integrale4fc
dove T e1 il numero totale di prove in cui l'analisi temporale e' stata ini-ziata. (
La distribuzione temporale sperimentale t^Wj può* essere paragonata conquella aspettata {T^J t a parità* di frequenza media di ripetizione e di nu-mero totale di prove. I dettagli del confronto sono riportati in tav. h .
- La circostanza che l'asse dei teripi sri.a, allatto pratico, discreti^zato foealìzza da un punto ci vista operativo la differenza concettila,le tra i due metodi, di analisi di runore. L'effettiva distinzione trai due approcci sta nel valore dell'intervallo At rispetto alle costan,ti di tempo caratteristiche rlel reattore. I metodi di "analisi tempo-rale diretta" sono basati sulla scelta di un br.sso valore per At inmodo tale che la probabilità1 dì contare più' di un evento nell'inter-va.llo At sia praticamente nulla. I metodi "demografici o di campiona-mento" sono basati sulla scelta di un elevato valore per A t in modotale che la probabilità' di contare più' di un evento nell'intervalloA t sia confrontabile con l'unita'. Si può* concludere che operativa-mente i due metodi siano definibili come procedimenti di misura del(a) numero di canali, tra evento ed evento e (b) il numero di eventiper canale, nell'ordine.Bisogna infine aggiungere che l'analisi temporale tra eventi consecu-tivi, comunemente note come metodo PP ( Pulse-to-Pulse time intervalmethod ), e' soltanto _uno. dei metodi di "analisi temporale diretta"»
totale
1234567891011121314151617
e
T ;
493 799464 495446 565422 018401 059379 717361 293342 974325 931310 459294 971280 450266 958253 565241 168228 466
4 Zj-04 934
9 918 822
492 290466 555443 402421 397400 485380 61036I 722343 771326 711310 497295 089280 444266 527?53 300?40 730228 78.3
4 406 509
9 918 822
.0014
.C015
.0015
.0015
.0016
.0016
.0CI7
.0017
.0018
.0018
.0018
.0010
.0019
.0020
.0020
.0021
.0005
+.0031-.0044+.0071+.0015+.0014-.0023-.0012-.0023-.0024-.0001-.0004
—
4.0016+.0010+.C018-.0014-.0004
tavola 4 - Intervalli temporali tra eventi consecutivi: con-fronto tra la distribuzione sperimentale {TVi}e ladistribuzione aspettata fT«.} a parità' di frequen,za di ripetizione media e disumerò totale di pro.ve. La deviaaione relativa %&<*} tra le due distribuzioni e' confrontata con la standard deviation£della distribuzione aspettata. L'intero n e' ilnumerale dei canali di tempo.
21
LA DISTRIBUZIONE DI BERNOULLI
La distribuzione di Bernoulli e', anch'essa, assai nota come profilo diprobabilità' e si riferisce alle cosiddette prove a duplice esito, in ingle-se "Bernoulli trials*, cioè' a quelle prove che possono dare luogo soltantoa due risultati, un successo o un fsn^pM^whn, la probabilità' di ciascunodei quali rimane costante di prova in prova.
La distribuzione e' caratterizzata da due parametri statistici. Essi so-no (1) la probabilità' b che si verifichi un successo ovvero la probabili-tà q=1-(? che si verifichi un fallimento; (2) il numero N di estrazioniprogrammate o effettuate. Dati questi due parametri, e' immediato costruirela distribuzione di probabilità' che, programmando o avendo effettuato Nestrazioni, si ottengano k successi ed N-k fallimenti ( O ^ K ^ M ) . Lasuddetta probabilità' e' fornita dalla seguente relazione
oppure, in formula ricorrente assai utile per il calcolo numerico
E* interessante notare come la distribuzione di Poisson possa essere ot-tenuta dalla distribuzione dì Bernoulli al limite per p—»• 0 ed N — • « p u rrimanendo il loro prodotto finito e pari al valore medio
m< (13)
La funzione generatrice della distribuzione di Bernoulli può1 essere cal-colata secondo l'indicazione dell1 Eq.(l), tramite sostituzione delle \pK inconformità1 ali1 Eq.(l2). Se ne deduce
Per il calcolo dei momenti fattoriali, facciamo uso dell*Eq.(6) richiaman-do la funzione generatrice espressa nell* Eq.(l3)« Si deriva cosi1
22
In forma esplicita, par
Z4-1 « SI,
•3
f'2 « a , -
^8 , i menanti fattoriali valgono
M
COIEC già* notato in precedenza, passando al limite per p-frO si ottienel 1 insieme dei mollanti fattorial i , relativi alla distribuzione di Poisson,contenuti nell1 Eq. ( l l ) .
Successivamente, dalle Eq.(6) che forniscono espressioni generali - va.lide per qtialsiasi tipo di distribuzione - dei manenti fattoriali in fqn.zione dei nomanti ordinari, s i possono ricavare l e espressioni esplicitedegli m , senza dover ricorrere al la complessa elaborazione derivantedall'applicazione diretta della definizione data dall' Eq.(O). Esse sono
« i
m2
m3 «= a, +3(o2 - mfp) +2mi(i-.pa)
+6n1(i-p
a?
a?+13i32(m3
-322(mfe
) -13068(a2
-6769(0+
23
Vale la pena di notare come, nel caso particolare della distribuzione diBernoulli» i momenti d'ordine qualsiasi siano esprimibili come polinomi inm1 e p , proprio perche
1 questi sono 1 due parametri statistici della di-stribuzione, come detto appunto in apertura di capitolo.
Nel caso della distribuzione di Bernoulli, il confronto con l'evidenzasperimentale e' stato realizzato utilizzando un codice generatore #*<•# di njjmeri pseudocasuali che simulasse appunto l'estrazione di una prova a dupli-ce esito* Prefissato cosi1 un valore per la probabilità1 p t la prova erainterpretata come un successo qualora il numero estratto fosse inferiore ouguale a p , come fallimento nel caso contrario*
Si sono adottate condizioni specifiche di misura tali da fornire tre pr.afili distributivi con valori medi m^Z , m^b e m1«6 rispettivamente. Iconfronti tra i dati sperimentali e le distribuzioni aspettate, a parità1
di valor medio m1 di numero parziale di estrazioni N e di numero totaledi campioni, sono riportati in tav. 5|6 e 7*
Prendiamo in considerazione - anche noi caso della distribuzione di Bejcnoulli - una delle possibili procedure di analisi temporale diretta e cioè1
il metodo PP, già1 introdotto in precedenza» II problema fisico ad esso re.lativo viene leggermente modificato e risulta formulato come segue: dato unsuccesso in una prova di riferimento, quale e1 la probabilità1 di un secon-do successo alla N-esima estrazione?
Questa grandezza e1 formata dal prodotto di due probabilità1 elementari:(i) la probabilità' che si verifichino *•'-! fnlliwenti <ìopo il primo succes-so ovvero che non si verifichi alcun successo su K-l estrazioni; (?) 1? pro.babilita' che si abbia un successo alla K-esSjua ostruzione. TV-p por.o ris-pettivamente
( i - p )
La probabilità1 cercata e1 quindi
PN « p ( 1 - P ) N " 1
che può1 anche essere scritta come
(N-l)log(l-p)% = P e
oppure, in formula ricorrente assai utile per il calcolo numerico,
La distribuzione sperimentale Tjif del numero di estrazioni tra successi
24
0 -1 -2 -3 -4 .5 -6 -7 -8 -9 -
10 -
26 8901*9 620*5 15927 29811 984k 1271 218
2995811
2
26 737U9 680J+5 38827 17511 9934 1601 181
2825810
2
.0061•o<*5.00^7.0061.0091.0155.0291.0594
. .13.32
-
+.0056- . 0 0 1 2—OO5O+.0045-.0007-.0075+.0313+.0603
-+.10
-
166 666 166 666
Momentisperimentali
ni, « 1.8023» a « 5.0050a 3 « 17.0170m* - 67.5704Di,- e 303.2600mfc « I5O8.7957B., » 819^.5058m8 «= 4802%55*O
Variemaa-su-aediaVarlanza-stumedia
Homentiaspettati
1.8023i^.9966
16.950267.0820
300.162611*87.98008056.3875
^7137.8613
sperimentale : .97^5aspettata : «96996
Deviazionarelativa
+.0017+.0038+.0068+.0103+.0140+.0171+.0188
tavola 5 - Confronto tra una distribuzione sperimentale £N*$ eduna distribuzione di Bernoulli fcJPjplc} ed 1 loro rispettivi momenti, a parità1 di valor medio nti t di numeroparziale N di estrazioni e di numero totale cV9 dicampioni. La deviazione relativa \Sk} tra le due diatribuzionl e 1 confrontata con la standard deviation fG*?della distribuzione aspettata.
25
Mi
0 -1 -2 .3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -
10 -11 -12 -13 -14 -15 -
3 80216 36735 56249 89051 795iti 20126 55011* 2296 6662 636
93^S876513
21
3 69916 43535 60050 09251 471hi 16826 67714 3946 5952 605
8972727317
if1
•0164.0078.0053.0045.0044.00*19.0061.0083.0123.0196.033^.0606.12.24
-
+.0279-.0041-•0011-.0040+.0063+.0008-.001)8—0115+.0108+.0119+.0412+.0551-.11-.24
-
250 000 250 000
Momentisperimentali
»< • 3.9992ma • 19.5993nt3 * 110.1144ai* * 688.7854ms « 4708.359**mfe » 3^725.**601mT « 273512.8015a 6 * 2282957.U35
Varianza-su-nedia sperimentaleVarianza-su-media aspettata
Momentiaspettati
3.999219.5926
110.0221687.7608
4699.26383^55.9^77
273296.45632288076.1944
t .90170: .90002
Deviazionerelativa
—
+.0003+.0008+.0015+.0019+.0020+.0008-.0022
tavola 6 - Confronto tra una distribuzione sperimentale £Nfcl eduna distribuzione { d ^ l di Bernoulli ed i loro rispeitivi ffloaenti, a parità* di valor medio m1 , di numeroparziale M di estrazioni e di numero totale dP di caapioni. La deviazione relativa f<5fc| tra le due distri-buzioni e1 confrontata con la standard deviation {0*}della distribuzione aspettata.
26
0 -1 .2 .3 •4 .5 •6 .7 •8 .9 -
10 .11 .12 -13 •
15^16 .
4363 490
13 89335 72365 47389 19296 02181 99657 39232 58015 2855 9471 944
499107
202
500 000
Momentisperimentali
m1 •
m 3 *m 4 «mtj i
mfe «m7 «ms>
5.9973« 40.1658« 292.6885
2291.022819028.3853
I66550.8513= 1527309.8465= 14605207.2845
4003 431
13 95835 87065 29489 48995 82082 07957 12632 62315 3695 9841 922
507108
192
500 000
Momentiaspettati
5.997340.1668
292.93892291.9713
19042.1530166729.9300
1529534.024914632434.7632
Variansa-su-media sperimentale : .70001Varianza-stwnedia aspet tata : .70013
.0500
.0171
.0085
.0053
.0039
.0033
.0032
.0035
.0042
.0055
.0081
.0129
.0228
.0444
.0962
.23—
+.0900+.0172-.0047-.0041+.OO27-.0033+.0021-.0795+.0046-.0013-.0055-.0062+.0114—0158-.0093+.0526
-
Deviazionerelativa
„-•0001-.0002-.0004-.0007-.0011-.0015-.0019
tavola 7 - Confronto tra una distribuzione sperimentale | N K | eduna distribuzione ^dPpK} di Bernoulli ed i loro rispejfctlvi momenti, a parità1 di valor medio a-, , di numeroparziale N di estrazioni e di numero totale dP di cam-pioni. La deviazione relativa {£*$ tra le due distri-buzioni e* confrontata con la standard deviationdella distribuzione aspettata.
27
contigui poo1 essere paragonata con quella aspettata {.TP } » a parità1 diprobabilità1 p di un successo e di numero totale T di successi. Se ne de-duce che 11 valore di TJJ f ossia 11 contenuto del canale N-esimo della di-stribuzione, indica il numero di volte in cui il numero di estrazioni tradue successi contigui e1 stato pari ad E» I dettagli del confronto sono ri-portati in tav. 8 .
28
N 6H
1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13 -li* -15 -16 -17 -18 -19 -20 -21 -22 -23 -24 -25 -26 -27 -28 -29 -30 -31 -32 -33 -34-35 -36 -37 -38 -
89 98263 20143 89430 94821 66215 11410 5647 3235 2133 6392 5761 7671 207899624437275206130HO6955352524138109132110101
90634430211510753211
006006104874612129590413189632543780246872611427299209147103725035251712864321110000
.0033
.0040
.0048
.0057
.0068
.0081
.OO92
.0116
.0139
.0166
.0198
.0237
.0283
.0339
.040**• .0484
.0578
.O692
.0825
.0985
.12
.14• 17.20• 24• 29•35——- ------—--
-.0003+.0031-.0048+.0024+.0023-.0010-.0025-.0121+.0046+.0019+.0130-.OO73-.0313+.0310+,0213+.O234-.O8O3—0144-.II56+.0680-.01*17+.0100.0000.0000
+.41+.O833.0000--
-----
——
300 029 300 029
tavola 8 - Numero di estrazioni tra successi contìgui: confronto trauna distribuzione sperimentale CTM? ed- una distribuzione f TPN}-derivata da quella di Bernoulli, a parità1 eli probabilità1 pdi un successo e di numero totale T di successi* I«a deviazio-ne relativa $5*} tra le due distribuzioni e1 confrontata conla standard deviation £6 K} della e31stri"buzione aspettata,
29
LA DISTRIBUZIONE DEI NEUTRONI EMESSI NELLA FISSIONE NUCLEARE
Fino dal primi esperimenti, riguardanti la fissione termica dell1 H-235,si era notato come il numero medio dei neutroni emessi per evento fosse deil'ordine di 2.5 • La circostanza che tale valore fosse quasi sicuramentenon intero ( la locuzione "quasi" deriva dal fatto che inizialmente gli er-rori sperimentali relativi alla misura del suddetto parametro fossero deil'ordir» di 0,5 ) conduceva all'ipotesi di una distribuzione dei neutroniemessi e quindi alla formulazione della probabilità' che l'evento di fis-sione comportasse l'emissione di differenti numeri, tutti interi pero', dineutroni»
Nei primi giorni di Los Alamos, E. Fermi R.P. Feynman ed F. de Hoffmannmisurarono il momento del secondo ordine del numero di neutroni emessi nelsuddetto evento di fissione. Riportiamo in questa sede le conclusioni diquel lavoro, apparso in letteratura e quindi come materiale non classifi-cato soltanto una decina di anni dopo #5#. La nomenclatura dell'articolooriginale e' stata parzialmente modificata per omogeneizzarla con quelladel presente lavoro.
"Our experiment, performed in 19^, has determined the second momentin the distribution of the number of neutrons in the thermal fission ofU-235 a s being 7,8 * 0.6 . To familiarize ourselves with the meaning ofthis number, we might note that if k were always 2.5 , a physical inpos-sìbility, then m2 = 6.25 • If k were to divide equally between ? and-3 t then ma = 6.5 • It can be seen that if k divided say between 2f
3 and h in such a way as to give m, = 2,5 • the quantity m a would va-ry between about 6»6 and 6,9 • A Poisson distribution of k would leadto a value of ma = 8.75 .
Più' tardi, nel 1954, K.W. Geiger e D.C. Rose hanno affermato,dallaevidenzia #6# dei loro dati sperimentali, come la distribuzione dei neu-troni di fissione potesse essere ben approssimata da una distribuzionedi Foisson anche se quest'ultima non fosse il colo profilo teorico a foxnire sùbito una soddisfacente interpol?zione dei dati di misura.
Infatti, l'anno seguente D. Hicks J. Ise o R. Pyle mostravano cene,sia nei fenomeni, di fissione indotta come in rjuelUl di fissione sponta-nea #7,8,9#t 1* distribuzione sperimentale dei neutroni emessi fosse so,sidisfatta da un profilo teorico derivato da una scelta opportuna dei parametri di une. distribusione di Bernoulli.
Ma la misura più* nota e più' classica,nella letteratura riguardanteil settore specifico, e' quella in cui il profilo delle probabilità' re-lative, ossia delle frequenze sperimentali normalizzate, alla emissionedi 0,1,2,3•••neutroni per fissione e1 stato osservato con notevole accu-
30
ratezza da B.C. Diven et al. a Los Alamos nel 1956 #10#, II suddettofilo e1 riportato in tav. 9 insieme ad i momenti, calcolati in base aidati sperimentali fino all'ottavo ordine, e alla varianza-su-niedla. Glierrori sperimentali di misura sulle p^ sono intenzionalmente omessi inquesta tavola perche' utili soltanto nel seguito della presente tratta-zione ( cfr. tav. 10 ).
Qualche tempo dopo, nel 1957,J« Terrell notava in un suo lavoro #11#come la probabilità1 di osservare un numero intero di neutroni nella fiasione nucleare potessero essere approssimate,in forma cumulativa, da unadistribuzione di Gauss centrata sul valore medio m1 cioè' tale che lavariabile stocastica in oggetto fosse costituita dalla differenza k - nu,invece che da k .
E' abbastanza immediato, dopo aver osservato i dati sperimentali di 3.?• D3.ven et al., chiedersi ancor oggi che tipo di distribuzione sia quel-la r?lotiva ai neutroni di fissione. Facendo riferimento al contenuto diLav. 9 , si può1 senz1altro concludere come il profilo non sia assoluta-mente assimilabile ad una distribuzione di Poisson dato il valore dellavarianza«su-medìa molto lontano dall'unita1.
Effettivamente più' adatta ad interpolare i dati sperimentali appareuna distribuzione di Bernoulli costruita sul seguente modello: se N e1
il massimo numero ( intero ) di estrazioni, cioè1 di successi, cioè' dineutroni rivelabili in un evento di fissione (*), la probabilità1 elemen,tare p di un successo, cioè1 delle rivelazione di un neutrone, e1 taleche moltiplicata per N fornisca il valore medio, ossia
N p = m-,
Se ne deduce che la probabilità' p^ di contare k neutroni per even,to di fissione e' data dalla seguente relazione
Por il confronto con i dati sperimentali, bisogna ricordare come la dj,stribuzione di Bernoulli sia caratterizzata da due parametri statistici,nel nostro caso mi ed N secondo quanto e' evidente hell1 Eq. (16).Imponendo in quest'ultima i valori numerici K = 5 ed m,= ?.*?73 , si oitiene la distribuzione riportata in t?.v. 10 con i relativi momenti. Inriferimento a quest'ultima tavola, deve essere notato il differente nume~ro di cifre decimali adottate per riportare i valori di probabilità' emomenti della distribuzione sperimentali nel confronti delle medesime gran,dezze per la distribuzione interpolante. Per i valori delle probabilità1,
(*) Nota - Dai dati riportati in tav. 9 appare come il parametro N debbaessere necessariamente pari a 5» In effetti possono essere considerate le eventualità' N = 6 ed N = 7 , con immediato rife.rimonto ali1articolo originale di B.C. Diven et al. #10#.
31
0 .1 -2 .3 -4* -5 -
tavola 9 -
.02?
.158
.339
.305
.133
.038
Numer
08
2.4-737.3372^.36788.O8534-0.0631382.7175858.1*07256U8.O85
Varianza-su-medla
.49384-
Numero di neutroni emessi nella fissione termicadell' tJ-235 ^ 0 # : profilo sperimentale di pro-babilità1 con relativi momenti e varianza-su-roe.dia.
k
0 -1 -2 -3 -k -5 -
Distribuzione Distribuzionesperimentale
.027
.158
.339
.305
.133
.038
Momenti delladistribuzionesperimentale
m< = 2.4-73m a = 7.337ra3 = 2^^367ra* = 88,085ns ss 3^0.063m 6 « 1382.717m T * 5858.i«)7m e = 256^8.085
Varianza-su-media dellaVarianza-su-raedla della
interpolante
.0330
.1613
.3158
.3091
.1512
.0296
Momenti delladistribuzioneinterpolante
2.1*7307.3656
2*l-.*H0287.^58^
332.70701327.52165506.3W223580.55^
Incertezza Deviazionesperimentale assoluta
*. 001*±,010*.0li+*.oi5*.oi3*.009
distribuzione sperimentale :distribuzione interro'lante :
-.006-.003+.023-.004--.028+.008
Deviazionerelativamutua
-.0039-.0018+.0072+.0221+.0W6+.0639+.0877
.4-9381*
.5054-1
tavola 10 - Numero di neutroni emessi nella fissione termica dell1 U-235*confronto tra la distribuzione sperimentale ed una distribu-zione di Bernoulli ed 1 loro rispettivi momenti, a parità1 divalore medio m 1 e di numero massimo N di neutroni emessi*
32
la scelta e1 dovuta all'esigenza di far coincidere il valore medio m^delle due distribuzioni, cioè1 di ottenere dal profilo interpolante unvalore medio m1 uguale a quello usato nell
1 Eq. (16) per generare leprobabilità*. Il numero di cifre decìin?.li relativo ai valori dei moinej.ti e1 un'immediata conseguenza della situazione sopra descritta.. Ulte-riormente, in tav.l^si riporta il medesimo confronto relativo ai memeflti fattoriali.
Malgrado la distribuzione di Bernoulli fornisca un1 interpol?.zione as-sai brillante dei dati sperimentali di B.C.Diven et al*, essa non riescead offrire una formulazione analitica esatta del profilo in oggetto. In-fatti sia le probabilità' generate dall1 Eq.(l6) che i momenti calcolatidalle probabilità1 medesime non coincidono con le corrispondenti grande^ze sperimentali.
Ne consegue che, passando alla ricerca dell'espressione della funzionegeneratrice della distribuzione dei neutroni emessi nella fissione nucleore. le strade possibili sono due: (i) adottare la funzione generatricedella distribuzione di Bernoulli, fornita dall1 Eq.(lk), introducendo ivalori sperimentali per m ed N, cioè1 usando la formulazione
NG(x) = ( 1 - JSkL + « i x )
N NI
(2) costruire una funzione seneratrice ad hoc, partendo dalla definizionegenerale data dall1 Eq.(l), che fornisca i valori sperimentali e,s,att perle probabilità1 p . , per i momenti m^' e per i momenti fattoriali M^ ( e'evidente come, in'questa pede, si prescinda dagli errori sperimentali dimisura ) .
Per ottenere un? funsàoro r^ennr?trice secondo le indicazioni e le fina-lità1 specificate al punto (2), e1 sufficiente scrivere la stessa come
G(x) = Zo= Po +Pi x + Pa** + P.j*1 + P*x<* + P sx
S (17)
Verifichiamo OVP o.ome la G(x) cosi1 ottenuta soddisfi le esigenze diidentità1 con il profilo sperimentale per le tre categorie di parametristatistici sopra in?ìc??tl.
Probabilità'
Richiamando 1' Eq.(2) si hs che
la quale e1 soddisfatta identicamente se come coefficienti p^ dell1 Eq.(l7)
Momenti fattoriali della Momenti fattoriali della Deviazionedistribuzione sperimentale distribuzione interpolante relativa
M-i = 2.473 VÌA « 2.4730M,as 4.864 M 2 « 4.8926 -.0059Ma'5 7.302 M3« 7.2594 +.0059
• 7.752 M+= 7.I8O8 +.0795 w• 4.560 Kff= 3.5520 +.28 "
M7= 0. M7« 0,M s s 0. MA= 0.
tavola 11 - Numero di neutroni smessi nella fissione termica dell'U-235 :confronto tra 1 momenti fattoriali della distribuzione speri»mentale e della distribuzione dì Bernoulli interpolante, a pàrita1 di momento fattoriale Mte numero massiao H di neutroniemessi.
34
si adottano i valori sperimentali del profilo di probabilità1
Richiamando lf Eq.(7) si ha che
la quale, in forma esplicita assai utile per visualizzare il procedimentodi calcolo numerico, fornisce
M o = p o +p., +p2 +p3
M-, = pi +2pa +3p3 +%t* +5T?S
M* = 2p2 +6p3 + I2p4 +20ps
M 3 = 6p3 +2^p«. +éOps
ìl+ - 2^p4 +120p5
Mg = 120pS
Y.b = M, = M e - 0
Le suddette relazioni sono soddisfatte per il profilo sperimentale se cflme coefficienti p^ si adottano i valori, osservati del profilo di probabilita».
Richiamando l1 Eq,(6) e le sopra scritte formulazioni dei momenti fatto-riali, si hanno per i momenti le seguenti relazioni
mo =
a, =
nia =
ra3 =
TU IK S
ra7 =
Po +Pi
P< +2p2
P, +^2
P, +8P 2
p, +I6p
Pi +32p
pt +64p
p t +12B
+pa +P3 +p^
+3p« +4p*
+9p3 +i6p-
+27p3 +6^i
a +81pa +2;
a +243P3 +J
•a +729P3 -^
p a +2187P3
I +P5 = *
+5ps
i. +25ps
H +l25ps
5éP4 -^25p s
L024p4. + 3125pj?
W96p4 +I5é25ps
+i638^p^ +78l25p5
35
+6553654
le quali rispettano in pieno le definizioni date in Bq.(O).
La particolare espressione della funzione generatrice fornita dalla Eq.(17) si presta in maniera opportuna a continuare ed estendere il discorsoiniziato nel capitolo dedicato alla definizione della funzione suddetta*Dato che essa non e1 riducibile ad vana, espressione più1 compatta,come neicasi delle distribuzioni di Poisson e di Bernoulli presentati in preceden.za, la funzione generatrice in'oggetto deve essere presentata in forma se.riale limitata.
In alcuni problemi ricorrenti di fisica matematica connessi con proce^si stocastici, la funzione generatrice di una certa distribuzione compare(a) come incognita del problema, (b) nell'ambito di un'equazione differen.ziale. Il primo ruolo e l'importanza dello stesso verranno discussi nelcapitolo conclusivo del presente lavoro. H secondo carattere apre l'acce^so ad immediate difficolta1 per l'ovvio scarso gradimento nei confronti difunzioni troppo complicate oppure di polinomi di grado elevato nelle equa-zioni in gioco. Ne deriva la comune tendenza a sviluppare in serie le fun-zione generatrici ed a troncarle dopo un numero esiguo di termini.
Dato che, come già1 sottolineato in precedenza, la funzione generatricenon e' una grandezza fisica e la sua variabile indipendente x non ha ri-scontro fisico osservabile, la troncatura non e' numericamente giustifica-bile ed ha comunque riflessi e conseguenze di vario tipo sul profilo diprobabilità's sui momenti e sui momenti fattoriali*
Nel seguito vengono discussi in dettaglio 1 vari casi di troncatura,prendendo come funzione generatrice esemplificativa l'espressione fornitadall1 Sq.(i7) e partendo dalle situazioni più' estreme e degeneri dellatronc?t\ira stessa.
Se come forma troncata di ordine n della funzione generatrice G(x)si intende l'espressione
l'impostazione generale della trattazione che segue e1 quella di adottarela forma troncata di n-esimo ordine ( per i singoli casi nsl,2,3,4 ) costefunzione generatrice della distribuzione dei neutroni emessi nella fissio-ne nucleare e di calcolarne probabilità', momenti fattoriali e momenti. Ilconfronto con le corrispondenti grandezze relative al profilo sperimentale,originario della funzione generatrice stessa, viene riportato per estesoin tav.ll e conduce ad alcune conclusioni generali.
Se la funzione generatrice G(x) e1 sostituita con la sua forma troncataGn(x) di ordine n ,
(a) il profilo delle probabilità' p^ e' preserrato dal termine p o fino al termine Pn incluso; i termini successivi ( k>n ) sono iden-ticamente nulli. Ne consegue che la somma delle probabilità* non e1
più1 normalizzata all'unita';
1* ordine 2* ordine 3* ordine 4* ordine Nessuna troncatura
Po= 0.027P i = 0.158pa= 0.P3= 0.P4= 0.Ps= 0.
0.0270.1580.3390.0.0.
0.0270.1580.3390.3050.0.
0,0270.1580.3390.3050.133o.
0,0270.1580.3390.3050.1330.038
Mo = 0.185M, = 0.158M2 - 0.Ma- 0,M4 m o.M5 = 0.M6= 0.
0.5240.8360.6780.0.0.0.
0.8291.7512.5081.8300.0.0.
0.9622.2834.1045.0223.1920.0.
1.0002.4734.8647.3027.7524.5600.
mc = 0.185mi • 0*158m2 = O.I58m3 - 0.158m* • 0.158ms • 0.158
•: 0.158> 0.158' 0.158
0.524O.8361.5142.8705.58211.00621.85443.55086.942
0.8291.7514.25911.10530.28785.121244.199710.5852088.047
0.9622.2836.38719.61764.335221.313788.9672889.65710804.335
1.0002.4737.33724.36788.085340.0631382.7175858.40725648.085
tarola 11 - Distribuzione dei neutroni emessi nella fissione nucleare: esempi degli effetti suivalori di probabilità1, momenti fattoriali e momenti domiti alla troncatura progre.2sira della funzione generatrice data in Eq. (17) .
37
(b) i valori dei manenti fattoriali sono diversi da zero fino alne Mn ma non coincidenti con i momenti fattoriali della distribjizione originaria; i termini successiri ( h> n ) sono identicamenterollii. Al crescere dell'ordine n di troncatura, i valori mai ne-gativi del momenti fattoriali tendono a quelli della distribuzioneoriginaria;
(e) i Talorl del momenti sono tutti dirersi da zero ma non coincidenticon 1 momenti della distribuzione originaria. A crescere dell'ordìne n di troncatura i ralori sempre positivi dei momenti tendonoa quelli, della distribuzione originarla.
Come si può1 immediatamente notare, l'uso della forma troncata, in lu£go della funzione generatrice, garantisce la preserrazione di assai pocodella distribuzione originaria: soltanto i valori delle prime n+1 probabilita1 ( dalla p0 alla pn ) del profilo In analisi risultano coincidenticon i corrispondenti valori sperimentali. L'informazione relativa al mo-menti fattoriali ed ai momenti e1 inesistente oppure, se presente, totaìmente distorta.
Se la funzione generatrice data in Eq.(i?) e1 stata derivata dalla foxmulazione suggerita dall' Eq.(l), la medesima grandezza può1 essere co-struita a partire dall1 Eq.(^'). In questo caso si ottiene l'espressione
G(z) = HXk^ =Z-^zh = (18)O K! on-!
= Mo +K,z +(M2/2)z9 +(M3/6)z
3 +(M4/2^)z4 +(Ms/l20)zS
Esplicitando in funzione delle probabilità' e facendo uso delle relazi£ni intercorrenti tra 1 momenti fattoriali e le medesime, si ottiene
G(z) = 1 + ( Pi +2pa +3p3
+ ( Pa +3Pa +6P4. +i0p5) z + ( p3 +**P4. +i0ps) Z +
+ ( P4 + 5 P S ) z + P5 z
E' anche opportuno richiamare come per la funzione generatrice definita in Eq.(18) siano valide le seguenti posizioni
Esse permettono di derivare le probabilità' in funzione dei momenti faitorlall :
1* ordine 2* ordine 3* ordine 4* ordine Nessuna troncatura
Mo = 1.000 1.000 1.000 1,000 1.000Mi - 2.473 2.473 2.473 2.473 2.473M2= 0. 4.864 4.864 4.864 4.864M3= 0. 0. 7.302 7.302 7.302M4= 0. 0. 0. 7.752 7.752M5= 0. 0. 0. 0. 4.560M 6 s 0. 0. 0. 0. 0.
mo • 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000m, = 2.473 2.473 2.473 2.473 2.473m 2
a ! 2.473 7.337 7.337 7.337 7.337ns~ 2.473 17.065 24.367 24.367 24.367nw= 2.473 36.521 80.333 88.085 88.O85m 5= 2.473 75.433 257.983 335.503 340.063
2.473 153.257 810.437 131^.317 1382.717 w
2.473 308.905 2506.807 5220.007 5858.407 °°2.473 620.201 7673.933 20860.085 25648.085
Po • - I .473 0.959 -0.258 O.O65 0.027P i - 2.473 -2.391 I.26O -0.032 0.158P a = 0 . 2.432 - I .219 0.719 0.339P a = 0 , 0 . 1.217 -O.O75 O.3O5P 4 = 0 . 0 . 0 . 0.323 0.133p 5 « 0 . 0 . 0 . 0 . 0.038
tavola 12 - Distribuzione dei neutroni emessi nella fissione nucleare: esempi degli effettisui valori di momenti fattoriali, momenti e probabilità1 dovuti alla troncaturaprogressiva della funzione generatrice data in Eq.(18) .
39
po = Mo JL, 4M«/2 -Ma/6 +H4/24 Jfe/120
P i = M1 -M2 +Ms/2 -1U/6
p2 = (M2 -M3
p3r= <MS
p^ e (M4
p s = M5/12O
Se con» forma troncata d'ordine n della funzione generatrlce G(z)s i Intende 1*espressione
Gn(2) « = | A zh (18f)
un confronto ( vedi tav»12 } analogo a quello visto In precedenza per lefonie troncate Gn(%) può
1 essere svolto anche a partire dall'espressionedell* Eq.(18») p e r n » 1,2,3,4- .
Se ne conclude che, qualora la funzione generatrlce G(z) sia sostituìta dalla forma troncata &n(z) di ordine n ,
(a) i valori del momenti fattoriali sono preservati dal termine MQ fino al termine incluso; 1 termini successivi ( h > n ) sono tuiti Identicamente nulll;
(b) 1 valori dei momenti sono preservati dal termine Dio fino al ter-mine u^ incluso ; i termini successivi ( h> n ) non sono mainuli! ma differiscono dai momenti della distribuzione originaria.Al crescere dell'ordine n della troncatura, i valori sempre po-sitivi dei momenti tendono verso quelli della distribuzione origi-narla;
(e) 11 profilo di probabilità' e1 totalmente sconvolto, essendo nulll1 termini da p^+j Incluso in poi, e presentando per 1 termini eoapresi tra p 0 e p» valori talvolta negativi e/o maggiori ( in mp.dulo ) rispetto qflj,"'inlfr*' - La sola proprietà* conservata e1 quel-la che la somma delle probabilità* e' normalizzata all'unita». Alcrescere dell'ordine n della troncatura, 1 valori delle probabi-lità* non mostrano apprezzabile convergenza verso il valore assun-to nella distribuzione originarla* Nel nostro caso particolare, es-si addirittura cambiano di segno se si eleva od abbassa di una uni-ta» l'ordine di troncatura.
40
Cone si poo1 notare,anche In questo caso l'uso della fonia troncata Inluogo della funzione generatriee garantisce la preservazione di assai pocodella distribuzione originaria: soltanto i valori dei momenti fattorialie dei momenti di ordine h £ n sono coincidenti con i loro corrispondentisperimentali. L'informazione relativa al profilo di probabilità1 e* total-mente distorta.
4.
IA DISTRIBUZIONE BINOMIAIE NEGATIVA
La distribuzione di Bernoulli, nota anche con la denominazione di dlstiibuzione binomlale, presenta un'interessante variante, se viene annessa laipotesi che la probabilità1 p che si verlflchi un successo ( oppure laprobabilità1 q che si verlfichi un fallimento ) ed il numero totale H'.diestrazioni possano assumere valori formalmente latrativi. Vedremo nel seguito 11 vero significato fisico implicito in questa posizione matematica.
La distribuzione binomlale "negativa" cosi* derivata si riferisce ancara a prove a duplice esito ed e1 anch'essa caratterizzata da due parametristatistici fondamentali. Essi sono (1) la probabilità' p che si verlfl-chi un successo ovvero la probabilità' q = 1-p che si verifichi un fai.llmento; (2) il numero k di successi ovvero il numero N-k di fallimen,ti accumulati ali* N-esima estrazione. Da questi due parametri e* lmnedi£tamente possibile costruire la distribuzione di probabilità1 che U k-esimosuccesso sia ottenuto alla N-esima estrazione ( k£N ).
La probabilità* in oggetto e* data dal prodotto di tre probabilità1 com-ponenti: (1) la probabilità* che si siano vèriflcati k~l successi nelleN-l estrazioni precedenti, (2) la probabilità' che si siano verificatiN-k fallimenti nelle precedenti N-l estrazioni, (3) la probabilità' chesi verifichi un successo alla N-esima estrazione. Essa valgono nell'ordine
pk-l qN-k p
Per ottenere la probabilità1 cercata, bisogna ancora moltipllcare 11prodotto delle tre probabilità1 componenti per il fattore
/N-l\
11 quale indica in quanti modi e' possibile avere disposti k-1 successiin N-l estrazioni. Si ha in definitiva che la probabilità' di avere ilk-esimo successo ali* N-esima estrazione e' data dall'espressione
PH-OP" «** (19)
La distribuzione, sporadicamente attribuita a B. Pascal, compare per laprima volta in letteratura grazie a P.R. de IJontmort #12# nel 1713. Essae' stata poi adottata per confronti con dati statistici da G.U. Tuie #13# nel1910 e da "Student" #14# nel 1919- La stessa distribuzione e' anche notacome profilo dell'urna di G. Polya, introdotto in un suo lavoro del 1923#l5#t o come distribuzione delle attese.
Confrontandola con la distribuzione di Bernoulli si può1 notare come,rcsntre in quel caso la variabile della distribuzione era costituita follaquantità1 k che indicava il numero di successi dopo N estrazioni, in que-
42
sto caso 12 ruolo della variabile e1 invece quello della quantità* N eh»indica 11 numero di estrazioni da effettuare per raggiungere il prefissato numero k di successi*
Richiamando l'analogia con i metodi di. analisi temporale diretta citati in apertura del presente lavoro, il problema fisico risulta cosi* foxmulato: data una prova di riferimento, corrispondente all'inizio delleestrazioni, quale e1 la probabilità' del k-esimo successo alla N-esimaestrazione ? E* ovvio che 11 numero di estrazioni sarà1 perlomeno ugualea k. Per questo motivo, Invece di cominciare a contare le estrazioni dal-la prima, appare opportuno iniziare 11 conteggio stesso a partire dallak-esima, introducetelo la nuova variabile . r = N - k che indica 11 numeroaddizionala di estrazioni, oltre la k-esima, da compiere per raggiungereil k-esimo successo«II problema fisico e* quindi modificato come segue:quale e* la probabilità* di avere 11 k-esimo successo alla r-esima estra.zione dopo le prime k ?
Introducendo alcune proprietà' dei coefficienti binomial!, cioè1
x"' %N-k '
la probabilità1 cercata diventa
(19»)
oppure, in formula ricorrente assai utile per il calcolo numerico,
L n _nk£ P r - 1 Po = P
Confrontandola con la distribuzione dì Bernoulli data in Eq.(12), sicomprende il motivo della denominazione "negativa1* attribuita alla distribuzìone in oggetto.
La funzione gèneratrice della distribuzione binomiale negativa può1 essere calcolata secondo l'indicazione dell1 Eq.(l), tramite sostituzionedelle pj, in conformità' ali» Eq.(i9«). Se ne deduce
(20)
Per il calcolo dei momenti factorial!, facciamo uso dell' Eq.(8) .richlamando la funzione generatrice espressa nell1 Eq.(i3) . Si deriva cosi*
M k(k+i)(k+2)...[k+(h-l)] qh . %
«h = g (21)
43
In apertura di capitolo e1 stato precisato che la distribuzione binomi^,le negativa e* caratterizzata da due parametri, k e p .L'espressione deimomenti fattoriali, data dall1 Eq.(2l) e1 pero' maggiormente slntetizzabi-let specie in forma esplicita., se i parametri scelti sono k ed m1 datoche per quest'ultimo vale la relazione
L' Eq.(2i) diventa allora
Mh = " ( 1 + k~1)( 1 + 2k"1)-'« C 1 + (h-1) k - 13
In forma esplicita, per 0^h*8 , i momenti fattoriali valgono
Ma = mj( 1+k-1)
M3 = mf(
KA= m^( l+6k~1+lik"2+ék"3)
M5 = mf( l+l0k"1+35k"2+50W*3+?Ak""4')
M6 =
+720k" 6
M a = m*(
Si può* notare come, passando al limite per k—*»a3 ( ma con q—»0 inmodo tale che m, rimanga finito ), si ottiene l'insieme dei momenti fatto,rìali relativi alla distribuzione di Poisson e contenuti nelle Eq. (il).Successivamente, dalle Eq. (6) che forniscono espressioni generali - valideper qualsiasi tipo di distribuzione - dei momenti fattoriali in funzionedei momenti ordlnari, si possano ricavare le espressioni esplicite per gli1% t senza dover ricorrere alla complessa elaborazione derivante dall' ap-plicazione diretta della definizione data dall' Eq.(O). Esse sono
44
in,
+2k
n.4 = m* ( i+6k"1 + l ik +6k" ) +61113 - i i m 2
m«j = mf ( 1+lOk1 +35k2+50k3+2^k4) +10»^ -35»3
m6 - m? ( l+l5k"1465k"2+225kS+27^k4+l20kS) +15% -85% +225n3 -
4720k"6
= mf ( i+28k"1+322k2+l960k3+6769k4+i3l32kS+l3068k*+50^0k"7) +28m7
+196Cta5 -6769111+ +131321113 -13O68ina
Vale la pena di notar© come, nel caso particolare della distribuzionebinomiale negativa, i momenti d'ordine qualsiasi siano esprimibili comepolinomi in k ed m^ t proprio perche
1 questi sono i duo parametri sta-tistici della distribuzione, come detto appunto in apertura di capitolo.
Nel caso della distribuzione binomiale negativa, il confronto con l'è.videnza sperimentale e' stato realizzato utilizzando i risultati di alcu.ne misure della distribuzione di un campione della popolazione neutronicaprelevato da un mezzo moltipllcante in condizioni di equilibrio. H siste.ma nucleare in questione era il reattore prototipo ad acqua del Progettodi Propulsione Navale Nucleare, situato al C.S.N. della Casaccia. Esso sitrovava in condizioni di criticità1 #16#.
E1 infatti noto come, verificate alcune particolari ipotesi #17#» ladistribuzione di un campione della popolazione neutronica può1 essere as-similata ad una distribuzione binomiale negativa con identico valore me-dio e varianzaT'Il dettaglio del confronto tra il profilo sperimentale equello interpolante e1 fornito in tav.13»1^,15 •
Nota - Vale la pena di ricordare a questo punto come la conoscenza dimi e della varianza-su-media relativi alla distribuzione spe-rimentale consenta l'immediata derivazione dei parametri pe k e quindi la costruzione della distribuzione binomiale n&gativa interpolante. Infatti si ha che
varianza-su-media = — i — = 1 + J2l_
45
r
0 -1 -2 -3-* -5 -6 -
Distribuzionesperimentale
81* 238176 32227 8353 99*5178612
Distribuzioneinterpolante
1 023 00*
391175 931
28 1183 967
523668
1 023 00*
relativa-.0002+.0022-.0115+.0068-.017*
.Momenti delladistribuzionesperiwsntale
a. *•* .2*1003
.5*0831.121062.863198.6907230.32*99H8.*1397
Momenti delladistribuzioneinterpolante
.2*100
.3269*•539*01.109932.799978.373*628.86976
112.57963
mzione sperimentalesuzione interpolante
Deviazionerelativamutua
_+.0026+.0110+.0226+.0379+.050*+.0518
: 1.1156: I.II56
tavola 13 - Campionamento della popolazione neutronica di un reattorenucleare in condizioni stazionarie: confronto tra la dia.tribuzione sperlnentale non-normalizzata ed una distribu-zione bdnomiale negativa ed i loro rispettivi momenti, aparità1 di valore medio ^ e d l valore quadratico nedìo
46
r
0 .1 .2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -
Distribuzionesperimentai»
607 *m289 92392 86324 7786 1761 **33
33373127
1 023 009
Distribuzioneinterpolante
607 792289 18592 98325 1166 1391 406
30765133
1 023 009
Deviazionerelativa
-•OOO6+.0026-.0013—0136+.0060+.0192+.0847+.12
--
Momenti delladistribuzionesperimentale
«1 - .571**m2 « 1.0126m3 - 2.3308ni** 6.8048ms « 24.1521me» 100.6584a , " 480.4357mB= 2574.6967
Varianxa-su-mediaVarianaa-su-aedia
Momenti delladistribuzioneinterpolante
.571^1.01262.32456.7405
23.659097.1511
^55.96562405.3367
della distribuzione sperimentale :della distribuzione interpolante :
Deviazionerelativamutua
+.OO27+•0095+.0208+.0361+.0537+.0704
I.2OO71.2007
tavola 14 - Campionamento della popolazione neutronica di un reattorenucleare in condizioni stazionarie: confronto tra la dis-tribuzione sperimentale non-normalizzata ed una distribu-zione binomiale negativa ed 1 loro rispettivi momenti, aparità1 di valore medio m^ e di valore quadratico medio1&2 •
47
r
0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -
10 -11 .
Distributionssperimentale
575 13&298 030105 73031 9228 9522 338
61117248951
1 022 952
Distribuzioneinterpolante
575 760296 837106 00532 258
8 964-2 349
591144-
3^-820
1 022 952
Deviazionerelativa
—0011+.0040-.0026-•01Q5-.0013-•0047+.0338+•19
---
Montarti delladistribuzionesperimentale
ma«3
31.21683.02989.63^37.^590
172.560^917.791^
553^.5922
Momenti delladistribuzioneinterpolante
31,21683.01719.^83936.12355 9^2.6525^5.2267
Deviazionerelativamutua
+.0042+.0157+.0370+.O7O8+.116+.17
Varlanza-su-medla della distriv ione sperimentale : 1.2478Varianza-sn-aedia della disurlbiulone interpolante : 1.2478
tavola 15 m, Caaplonanento della popolazione neutronica di un reattorenucleare In condizioni stazionarie: confronto tra la dis-tribuzione sperimentale non-normallzzata ed una distribu-zione binomial© negativa ed i loro rispettivi momenti, aparità* di valore rn dlo mj, e di valore quadratico medio«2 •
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LA DISTRIBUZIONE DEI NEUTRONI IN UN'ASSEMBLEA MOLTIPLICANTE ALL'EQUILIBRIO
Nel capitolo precedente sono stati riportati tre esempi di come la d^stribuzione di un campione della popolazione neutronica in tin reattorenucleare possa essere interpolata da una distribuzione binomiale negati-va. La motivazione dei tre confronti era basata sulla volontà1 di forni-re dati statistici altamente significativi ( ordine di grandezza del nu-mero di campioni <v IO6 ) dell'esistenza reale di distribuzioni assai vi-cine alla distribuzione binomiale negativa.
La verità1 e* invece che la distribuzione della popolazione neutroni-ca,in un'assemblea moltipllcante in condizioni di equilibrio, e1 incognita. Anzi, essa e* l'incognita fondamentale del problema inquadrato nelpresente articolo il quale suggerisce come , al di la' dei diversi approfici più1 o meno euristici usati nell1interpretazione di esperienze specif!che, sia necessaria un'impostazione più1 generale includa il maggior nume,ro possibile di circostanze sperimentali di misura.
Lo stato d'avanzamento attuale delle conoscenze a proposito del cerca-to profilo distributivo, o meglio della funzione generatrice dello stesso,e' il seguente :
(1) Sotto particolari ipotesi #17# non univocamente determinate, la distribuzione binomiale negativa costituisce una soddisfacente interpolazi^ne. Le ragioni di questa identificazione non sono mai state fornitein forma esauriente e fenomenologica ( cfr. #18# ): cioè1 non e1 maistato tisicamente dimostrato come un sistema moltipllcante in condizio.ni stazionarie costituisca un dispositivo probabilistico analogo a quel,lo descritto, o descrivibile, quando si genera la distribuzione bino-miale negativa.
(2) Non valendo le condizioni particolari di cui si e1 accennato nel pun.to (1), la distribuzione della popolazione neutronica diventa l'incp.gnita del problema in oggetto. Essa può1 ,in linea di principio, esse,re ottenuta risolvendo le equazioni della cinetica di un reattore nu,clears ( si postula - in prima istanza - la schematizzazione di unsistema moltipllcante zerodimensionale e monoenergetico ) formulatesecondo un approccio stocastico e non deterministico, come abitualraen,te d'uso.
(3) Nell'ambito della cinetica dei neutroni pronti e trascurando alcuniprocessi di "branching" assai poco probabili, il problema e' stato risolto, con un certo grado di approssimazione ( vedi seguito di questomedesimo punto ), indipendentemente da Pai #19# e da Mogilner e Zolo.tukhin #20#, 1 quali sono giunti al medesimo risultato, cioè1 allaformulazione della identica funzione generatrice della distribuzionecercata. Lo stesso profilo di probabilità" e' stato derivato da Bell#21#, il quale ha esteso il problema anche al neutroni ritardati.Pren,dendo spunto dall1 equazione di Chapman-Kolmogorov, il medesimo quasi
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to e* stato affrontato da Babala #22# con il conseguimento dello ideatico esito finale. Per queste ragioni, la funzione generatrice delladistribuzione della popolazione neutronica in un'assemblea moltipli-ca nte all'equilibrio e1 attribuita indistintamente a tutti e cinquegli autori citati.Oltre alla formula finale, le quattro trattazioni hanno in comune unaparticolare manipolazione della funzione generatrice della dlstribuzi&ne dei neutroni emessi dalla fissione nucleare. Essa compare come ter-mine di sorgente nell'equazione di bilancio relativa alle funzioni ge-neratrici, la quale, opportunamente derivata e calcolata per un parti-colare valore della variabile ausiliaria, fornisce il comportamento cinetico medio ovvero deterministico del sistema in analisi. La manipolazione sopra accennata consiste nello sviluppare in serie la funzionegeneratrice dei momenti £ vedi Eq.(l8) del presente lavoro] e troncar-la dopo il termine del secondo ordine, in analogia a quanto illustratonella seconda colonna di tav. 12.Le conseguenze di questa troncatura sono state descritte e commentatecon notevole dettaglio, quindi non e' il caso di riportarle ancora inquesta sede. Vale la pena di sottolineare soltanto un fatto: una trojQcatura del secondo ordine azzera totalmente il profilo della distribu,zione dalla probabilità p? inclusa in poi» Nel caso della fissionetermica dell' U-235 si ha dunque un valore medio m^ *v 2.5 P0*" essen,do nulla la probabilità1 che vengano emessi sia1 di due neutroni..»
CO Alcuni autori hanno mostrato come una forma troncata del secondo ordine della funzione generatriee di P&l-Mogilner-Zolotukhin-3ell-Babalacorrisponda alla funzione generatrice di una distribuzione binomialenegativa. Le giustificazioni della troncatura sono differenti e nonin mutua consistenza. Pai #23# sostiene come la troncatura sia signi-ficativa soltanto se il valore temporalmente saturato della parte cor.relata della varianza-su-media sia trascurabile rispetto all'unita1,circostanza già' genericamente postulata da Mogilner e Zolotukhin #20#.PaclUo #2^# sottolinea come considerazioni di carattere quantitativoe numerico sia fuori luogo e come la distribuzione originaria e la fogma troncata del secondo ordine abbiano in comune soltanto i momentidel primo e secondo ordine. Dragt e Tttrkcan #25# insistono su comedebba essere molto inferiore rispetto all'unita' il valore attualedella parte correlata della varianza-su-media cosi' come pure sostie-ne Szeless #26#.
(5) La funzione generatrice di Pal-Mogilner-ZolotuWiin-Bell-Babala e' unaespressione analiticamente complessa ed e1 di conseguenza scarsamentemaneggevole per il confronto con i profili sperimentali. Infatti ledistribuzioni sperimentali, che hanno un valore medio 5 & ""l ~ 10,presentano valori non trascurabili delle prcMbiUta1 p^ anche perkf20 . n calcolo della derivata di ordine ZO-esimo, in forma anali-tica, della funzione generatrice di Pal-Mogilner-Zolotukhin-Bell-Babala
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non e* un risultato ottenibile Immediatamente. Questa e1 una delle ra-gioni per cui spesso 1 dati sperimentali sono confrontati con una di-stribuzione bindolale negativa, caratterizzata da suggestive proprie-tà1 di ricorrenza che rendono le probabilità* p. facilmente calcolabili. K
(6) Più1 recentemente la complessità' del calcolo delle probabilità1 p^e* stata aggirata da Tfirkcan e Dragt #27$, i quali hanno sviluppato unprocedimento per ottenere numericamente la distribuzione di probabili-tà' dalla funzione generatriee: il loro metodo si basa su calcoli aricorrenza multipla. Un procedimento originale e assai più* rigorosoe* stato sviluppato da Routti e Szeless #28# ed e1 basato sulla possi-bilità' di fornire l'espressione in forma chiusa della derivata n-esimadi una funzione composta di grado m . Bisogna pero1 notare come il nu-mero dei termini coinvolti tenda a crescere notevolmente con l'ordinedi derivazione ed il grado di composizione : per esempio, la derivatadi ordine 20 di una funzione di grado 1 contiene 6?7 termini.E la funzione generatriee di Pal-Mogilner-Zolotukhin-Bell-Babala e' unafunzione composta di grado 2 ...
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PROSPETTIVE FUTURE
La revisione critica del materiale contenuto nel presente articolo stimola la necessita' di impostare il problema fisico in senso più' genera-le e cioè' : e' possibile formulare una. descrizione completa dei fenomenidi rumore neutronico in un sistema moltiplicante e quindi stabilire unabase comune per tutte le tecniche di analisi del rumore di un reattore npcleare ? Similarmente a quanto avviene per altri problemi di fisica deireattori, e' possibile scrivere un'equazione progenitrice di partenza ditipo stocastico, cioè' espressa in funzione di alcune probabilità' o del-le funzioni generatrici di queste probabilità', cui - analogamente allaequazione del trasporto, all'equazione della diffusione, alle equazionidella cinetica - possa esser fatto immediato riferimento per la trattaziane di tutti i fenomeni di natura statistica di un reattore nucleare ?
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