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1 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Analisi dei Dati Università Carlo Cattaneo Emanuele Borgonovo

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  • 1 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Analisi dei Dati Universit Carlo Cattaneo Emanuele Borgonovo
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  • 2 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Capitolo I
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  • 3 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Introduzione Processo Stocastico: un processo stocastico un processo che costituito da eventi la cui realizzazione non deterministica, ma caratterizzata da incertezza Esempio: i tempi di arrivo dei clienti in un grande centro commerciale o il numero di clienti che arriva al centro commerciale nellintervallo dt attorno al tempo t.
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  • 4 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Elementi introduttivi di Teoria della Probabilit
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  • 5 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilit E possibile definire la Probabilit? S, ma ci sono due scuole La prima dice che la probabilt una porpriet oggettiva degli eventi (Scuola Frequentista) La seconda dice che la Probabilit una misura soggettivadella verosimiglianza degli eventi (De Finetti)
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  • 6 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Gli Assiomi di Kolmogorov U B A
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  • 7 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Supponete di saltare dentro U a caso. Chiamate P(A) la probabilit di saltare in A. Quanto vale? Sar larea di A diviso larea di U: P(A)=A/U In questo caso P(U)=P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D)+ P(E) Aree e rettangoli? U C ABDE
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  • 8 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Legge della somma delle probabilit Dati n eventi non mutuamente esclusivi, in generale la probabilit dellunione di detti n eventi sar la somma delle probabilit degli eventi singoli, cui si sottrarr la somma delle probabilit delle doppie intersezioni, si sommeranno le probabilit delle triple intersezioni e cos via. In termini di aree
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  • 9 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Legge della somma delle probbilit in termini di aree 2 eventi 3 eventi U B A AB U B A C
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  • 10 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici U IL teorema della probabilit Totale Teorema probabilit totale: dati N eventi mutuamente esclusivi (A 1, A 2,,A N ) e esaustivi, la probabilit di un altro evento E in U data da: A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 E
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  • 11 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio Ad una lotteria, si gioca con una scatola che contiene cappelli eleganti e sportivi in egual proporzione. Il gioco il seguente. Si estrae un cappello. Se elegante si ha diritto a tirare una moneta. Se esce testa, si estrae un altro cappello. Non si ha diritto ad altre estrazioni. Qual la probabilit di vincere due cappelli eleganti? Soluzione: Applichiamo il teorema della probabilit totale a P(2 cappelli eleganti): P(2 cappelli eleganti)=P(II cap. el.|1 estrazione)*P(1estrazione)+P(II cap. el.|II estrazione)*P(II estrazioni). Chiaramente P(2 cappelli|1 estrazione)=0, quindi: P(II cappelli elegante)=P(II cap. el.|II estrazione)*P(IIestrazione). P(II estrazione)= P(II estrazioni|I sprt)*P(I sprt)+P(II estrazione|I eleg)*P(I eleg) Ora: se il primo sportivo non si ha diritto a seconda estrazione. Osserviamo poi che: P(II estrazione| I eleg)= P(testa) =1/2 Quindi: P(II estrazione)=1/21/2=0.25 Inoltre: P(II cap. el.)=P(II cap. el.|II estrazione)*P(II estrazione)=1/2*0.25=0.125 Per esercizio calcolare: La probabilt di uscire con un cappello La probabilit di uscire con un cappello elegante e con uno sportivo Ripetere gli stessi calcoli se I cappelli sono in proporzione 2/3 sportivi/eleganti
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  • 12 Esercizio Entrare. Dato che entra (Entra) dice entra 0,95. Dato non entra, dice non entra 0,90. P(E)=0,7. P(DiceE)=P(DiceE|E)*P(E)+P(DiceE|NE)*P(N E)=0,95*0,7+0,1*0,3=0,695 P(DiceE|NE)=1-P(DiceNE|NE)=1-0,9=0,1 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici
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  • 13 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Funzione di Partizione La funzione di partizione (cumulative distribution) di una variabile casuale risponde alla definizione di essere la probabilit che il valore della variabile casuale sia inferiore ad un valore di riefrimento. Scriviamo: F X (x)=P(Xt] Si dimostra che T n ~ (n, ) Ricordiamo che I tempi di arrivo sono iid esponenziali. Utilizziamo la funzione generatrice dei momenti:
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  • 39 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio Gli arrivi orari ad un supermercato sono distribuiti secondo una Poisson di media 100[1/ore]. Qual il tempo di attesa perch arrivino 500 clenti? Risposta: 5 ore
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  • 40 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Processi di Poisson con selezione Consideriamo un processo di Poisson con arrivi di tasso. Ad ogni arrivo associamo un tasso di successo p. Per esempio successo se un cliente compera pi di tre tipi di prodotto diverso. Indichiamo con M(t) il numero di successi ottenuti fino al tempo t. M(t) viene detto processo di Poisson con selezione. Si dimostra che: M(t) e un processo di Poisson di intensit p.
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  • 41 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Applicazione Supponiamo che se un cliente compera pi di tre prodotti il guadagno sia G. Se compera meno di tre prodotti si ha una perdita L. Quali sono i valori del tasso di arrivo dei clienti e della probabilit p per avere il break-even, se gli arrivi orari seguono un processo di poisson di tasso e la probabilit che comperino pi di tre prodotti p? Sol. Poissimo dividere il processo in due sottoprocessi di tassi p e (1-p) rispettivamente. Il valore atteso degli acquisti in unora dato rispettivamente da: p e (1-p). Affinch vi sia break even occorre che pG= (1-p)L p/(1-p)=L/G
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  • 42 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Processi di Poisson composti Consideriamo un processo in cui gli eventi costituiscono un processo di poisson di tasso. Ogni volta che un evento si realizza, si ha una conseguenza X i. Per esempio I clienti giungono al supermercato nei tempi t i ed ognuno spende un ammontare X i. Quanto spendono in totale i clienti, e, dunque, quanto incassa il supermercato? Il processo X(t) detto processo di Poisson composto. In generale lo caratterizzeranno due distribuzioni, quella di Poisson e quella degli X i. La distribuzione degli Xi potr essere continua o discreta.
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  • 43 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Valori Attesi I processi che coinvolgono la somma di variabili casuali sono pi facilmente trattabili in termini della funzione generatrice dei momenti. Nel nostro caso dobbiamo calcolare:
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  • 44 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Valori Attesi (cont.) Da cui, derivando la funzione generatrice dei momenti, facile verificare che:
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  • 45 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Applicazione I clienti che arrivano al supermercato spendono secondo la seguente tabella: Arrivano in media 100 clienti allora. Nellarco di una giornata (8 ore), quanto incassa il supermercato? Risposta: 100*8*E[euro spesi]=100*8*91.6=73280 EUR Incertezza (vedi esempio Excel) EUR p i p i 252%955% 303%1005% 353%1054% 403%1104% 453%1154% 504%1204% 554%1254% 604%1303% 654%1353% 704%1403% 755%1453% 805%1503% 853%1553% 903%1602%
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  • 46 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici La rovina dellassicuratore The compound Poisson process is very important in insurance, as a model for the arrival of claims at an insurance office. The standard model assumes that premiums arrive at a constant rate c and looks to find the probability that the surplus S(t) = S(0) + ct - X(t) ever hits 0 (ruin occurs).
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  • 47 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Capitolo IX: Processi di Markov Discreti e Omogenei
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  • 48 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Gestione di Magazzino Siete i gestori di un concessionario di automobili di lusso. Avete posto per 7 auto. Il tempo di consegna delle automobili di due giorni, per cui se ordinate lauto al Venerd, per il Luned mattina sono in vetrina. Se al Venerd della n-esima settimana avete 2 auto o meno di 2 in vetrina, ne ordinate altre in modo da riportavi a 7. Le vendite arrivano secondo una distribuzione di Poisson con media 4 e sono pronta consegna. Chiamiamo X n il numero di auto in vetrina allinizio della n- esima settimana. X n una variabile aleatoria. Infatti, dipendendo dal numero di vendite, potremmo avere 7,6,5,4,3 auto in vetrina ogni Luned mattina. Analizziamo come si pi descrivere il comportamento di X Per il nostro problema, notiamo che se mettiamo sullasse orizzontale il numero della settimana e su quello verticale le auto vendute, abbiamo un risultato del tipo:
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  • 49 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Evoluzione temporale: Processi Discreti Notiamo che il sistema procede a scatti nel tempo, ovvero ogni settimana il sistema si evolve. Tale tipo di processo detto discreto (ovviamente dal punto di vista temporale) X 7 6 5 4 3 2 1 0123... n-1nn+1...t X n.....
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  • 50 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Stati del sistema ed Evoluzione temporale Chiamiamo stati del sistema (S) i valori che la variabile aleatoria X pu assumere. Nella figura della pagina precedente, si tratta dellasse verticale. Nel nostro caso sono 3,4,5,6,7. Abbiamo quindi 5 stati possibili. In generale useremo la notazione S={1,2,,N} per indicare gli stati del sistema Dato il sistema in un determinato stato alla n-esima settimana, alla n+1-esima il sistema pu rimanere ancora nello stesso stato o passare ad un altro stato la settimana successiva Per esempio, se abbiamo 4 auto in vetrina alla 30-esima settimana (X 30 ), e se non si presentano clienti, avremo ancora 4 auto il luned della n+1-esima settimana. Se vendiamo 2 auto, X 31 =7.
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  • 51 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Diagramma degli stati E una rappresentazione grafica degli stati del sistema e delle transizioni che il sistema pu compiere 11 2 3 p 12 p 23 p 33 p 31 p 22
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  • 52 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilit di transizione e Processi di Markov Il sistema si muove da uno stato allaltro con della probabilit, che vengono dette probabilit di transizione. Le probabilit di transizione rispondono alla domanda: qual la probabilit che il sistema si muova nello stato j ad n+1 dato che al tempo n era nello stato i e nei tempi precedenti in X n-1,X 0 ? In notazione probablistica, la probabilit cercata : Ora, un processo viene detto Markoviano se la probabilit che il sistema passi allo stato j al tempo n+1, dato che nello stato i al tempo n, dipende solo dal fatto che il sistema nello stato I al tempo n e non dipende dagli stati nei quali il sistema si trovava prima di i. Ovvero, indipendente dal modo in cui il sistema arrivato in i. In formule:
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  • 53 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici La matrice di Markov Si definisce matrice di Markov una matrice: i cui elementi sono le probabilit di transizione di un sistema markoviano. La i-esima riga descrive lo stato di partenza, la j-esima colonna lo stato di arrivo. Si dimostra che gli elementi della matrice soddisfano le seguenti propriet: La seconda proprit dice che, se il sistema in i al tempo n, allora con probabilit 1 al tempo n+1 sar in uno degli stati del sistema
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  • 54 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici E un magazzino Markoviano? Studiamo se il processo che abbiamo a disposizione nella nostra gesione di magazzino un processo di Markov. Innazitutto scriviamo X n+1 in forma matematica: Dove V n rappresenta le vendite della n-esima settimana. Ricaviamo poi la probabilit di X n. P(V n )=s dipende solo da vendite in settimana n-esima e non dalle vedntie delle settimane precedenti. Quindi possiamo scrivere: Si tratta quindi di un processo di Markov. In pi notiamo che la probabilit non dipende dal fatto di essere nella settimana n-esima. Si tratta quindi di un processo di Markov omogeneo.
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  • 55 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Definizione di Processo di Markov Omogeneo Un processo stocastico sullo spazio degli stati S, si dice di Markov discreto se n: E omogeneo se verifica ovvero la matrice di Markov non dipende dal tempo n.
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  • 56 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici La matrice di Markov nel nostro esempio La matrice sar della forma: dove abbiamo catalogato gli stati come X 1 =3,X 2 =4,,X 5 =7 Si ha:
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  • 57 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Matrice di Markov dellesempio Lultimo passo prima di riempire la matrice quello di calcolare le pij mediante la distribuzione di Poisson. Infine: k0123456 =4 0.0180.0730.1460.195 0.1560.104
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  • 58 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Evoluzione temporale della matrice di transizione Indichiamo con a i le probabilit iniziali del sistema: a i =P(X 0 =i) (non condizionale!!!) Qual la probabilit che al tempo k, X k =j dato X 0 =i? Definiamo la matrice delle probabilit di transizione a k-passi come: Dove Indichiamo la probabilit incondizionale di X k =j con a (k) Che differenza c tra a (k) e P (k) ?
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  • 59 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Evoluzione temporale della matrice di transizione Calcoliamo P (0) e P (1). Per P (0) notiamo che p ij =P(X 0 =j|X 0 =i)=1 se i=j, altrimenti=0. Per P (1), notiamo che: p ij (1) =P(X 1 =j|X 0 =i)=p ij. Quindi P (1) =P
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  • 60 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici La distribuzione non condizionale Definiamo: a (k) la distribuzione (discreta) della probabilit che il sistema si trovi in un determinato stato per t=k. Infatti, per definizione a(k) un vettore il cui elemento s-esimo dato da:
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  • 61 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Teorema: relazione tra P (k) e P Per un processo markoviano discreto e omogeneo vale: che in forma matriciale equivale a scrivere: Quindi per k=2, si vede che ; per k=3, Per k=s vale:
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  • 62 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Un esempio Consideriamo il seguente gioco. Una pallina pu trovarsi sulla met superiore o inferiore del flipper, rimbalzare da una met allaltra ed uscire. Rappresentiamo il problema con i seguenti stati: j=1: la pallina sulla met superire j=2:la pallina sulla met inferiore j=3: la pallina uscita Determiniamo gli stati del sistema: Lo stato 3 detto assorbente, perch il sistema pu solo entrare in 3 e non uscire 11 2 3 p 12 p 23 11 2 3 0.2 0.8 0.5 0.3
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  • 63 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Equazione di Chapman-Kolmogorv Il teorema di C-K stabilisce che le probabilit di transizione a n passi soddisfano la seguente equazione: E quindi, in forma matriciale:
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  • 64 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Evoluzione Temporale per lesempio k k 20 30 40 30 20
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  • 65 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esiste una distribuzione di probabilit limite? Dettagliamo la domanda nel titolo in tre punti: Per n che tende linfinito, la distribuzione di X n tende ad una distribuzione limite? Se esiste tale distribuzione limite, unica? Se esiste ed unica, come si calcola? Notazione: indichiamo con Se il limite esiste, detta distribuzione limite del processo
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  • 66 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Calcolo della distribuzione limite Teorema 1: se esiste una distribuzione limite, allora soddisfa le seguenti propriet: Dimostriamo la prima. In forma matriciale:
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  • 67 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esistenza della distribuzione limite Notiamo che dal punto di vista dellalgebra lineare la distribuzione limite deve soddisfare il sistema lineare: Ricordiamo che la condizione necessaria affinch il sistema non possegga la sola soluzione nulla : Quindi non garantita lesistenza della distribuzione limite
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  • 68 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Unicit della distribuzione limite Anche lunicit della distribuzione limite non in genere garantita. Per un esempio vedi Kulkarni, p.129.
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  • 69 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Periodicit, Irriducibilit e Esistenza Un processo di Markov discreto e omogeneo detto periodico di periodo d se >1 d lintero pi grande per cui vale: Con n multiplo di d. Se d=1 il processo detto aperiodico. In pratica il concetto di periodicit risponde alla domanda: possibile tornare ad i dopo essere partiti da i? Se il processo periodico di periodo d allora possibile tornare ad I solo ai tempi d,2d,kd. Non possibile in tempi intermedi. Il periodo pu essere calcolato per via grafica dai diagrammi di transizione. Si deve definire un ciclo diretto nel diagramma come il ciclo da un nodo a se stesso. Se tutti I cicli diretti nel diagramma sono multipli di d allora il periodo d.
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  • 70 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Periodicit, Irriducibilit e Esistenza Un processo di Markov discreto e omogeneo detto irriducibile se, i,j esiste k>0 tale che La precedente propriet dice che possibile muoversi dallo stato i allo stato j in uno o pi passi per tutti gli stati i e j. Condizione sufficiente di esistenza e unicit: un processo di Markov irriducibile e aperiodico ammette ununica distribuzione limite.
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  • 71 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Distribuzione Stazionaria Una distribuzione * detta stazionaria se: per tutti gli stati ( i) e per tutti i tempi n0. Anche la distribuzione stazionaria, se esiste soddisfer: Ne segue che se esiste una distribuzione limite essa anche una distribuzione stazionaria
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  • 72 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Costi o ricavi associati agli stati Spesso il fatto che il sistema sia in un determinato stato comporta allazienda un costo/ricavo gestionale (es. costo di magazzino delle parti di ricambio o ricavo da vendite) Per sapere quanto il costo totale atteso, occorre sapere quanto tempo il sistema sta in un determinato stato. Ora notiamo che per modelli markoviani discreti il sistema scatta da uno stato allaltro ogni n. Quindi il tempo totale che il sistema trascorre in uno stato non altro che la somma del numero di volte che, passa dallo stato di interesse. Denotiamo con j lo stato di interesse e con X k =j levento: il sistema nello stato j al tempo k. Leghiamo ad X k la variabile Z j (k) definita come segue: Il numero di volte in cui il sistema passa per lo stato j proprio la somma delle variabili Z j (k). Quindi: Saremo interessati al valore atteso di N j (k)
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  • 73 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Tempi di occupazione Il sistema patir dallo stato X 0 =i. Definiamo con m ij (k) il numero di volte in cui il sistema passa per lo stato j partendo dallo stato i al tempo 0. In forma matriciale: Si dimostra che: In forma matriciale:
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  • 74 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio Esempio. Se k=10, scrivere la matrice di occupazione dellesempio Pallina da flipper. Utilizziamo la formula precedente Notiamo il risultato. Se partiamo da 3, stiamo in 3 per 11 voltesempre!
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  • 75 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Costi condizionali Costi da associare agli stati: C(X j ) il costo associato al fatto che il sistema nello stato j. Il costo totale generato nel periodo 0..k, : Il valore atteso : Vettore dei costi condizionale allo stato del sistema a k=0: Possiamo quindi ricavare il valore atteso del costo come: Forma matriciale Forma vettoriale
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  • 76 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio Nellesempio del gioco, ogni volta che la pallina finisce nello stato 3 si perdono 2EUR, ogni volta che siete nello stato 1 o 2 vincete 1 EUR. In 10 partite, quanti soldi si perdono se si parte dallo stato 1? E dallo stato 2? E da 3? E se aveste a=[0.5 0.5 0], vi convene giocare?
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  • 77 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici La distribuzione delloccupazione Sia N j (k) il numero di volte in cui il sistema visita lo stato j nel tempo 0k. Loccupazione dello stato j viene definita da: Interpretazione: la frazione di tempo che il sistema spende nello stato j. La distribuzione di occupazione ( ^), se esiste, soddisfa le seguenti equazioni: Un processo markoviano irriducibile ammette ununica distribuzione di occupazione che uguale alla distribuzione stazionaria.
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  • 78 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Costo per unit di tempo Il costo per unit di tempo definito come: Dove i denota lo stato di partenza. Si dimostra che soddisfa la seguente eguaglianza per un processo di Markov irriducibile ed indipendente da i:
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  • 79 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio 1 Consideriamo un processo di Markov S={1,2,3,4}, discreto e irriducibile che sia caratterizzato dalla seguente distribuzione di occupazione degli stati: ^=[0.27 0.45 0.2 0.08] e costi per stato: c=[400 500 600 700]. Il sistema si muove su base settimanale. Quanto vi costa, nel lungo periodo, il sistema alla settimana? Sol.: 509EUR per settimana
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  • 80 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Problemi Consideriamo un gioco in cui il sistema ha tre stati e pu passare da uno stato allaltro con le seguenti probabilit, k=0,1,: E un processo irriducibile? Se lo stato 1 d un profitto di +10, lo stato 2 una vincita di +15 e lo stato 3 una perdita di -20, vi conviene giocare fino a k=10 se le probabilit di partenza sono [0.3 0.3 0.4]? (Ans. 1.15, s) E allinfinito? (0.1667)
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  • 81 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Capitolo X: Processi di Markov Continui nel Tempo
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  • 82 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Introduzione Nel caso dei processi di Markov discreti, si individuavano una serie di istanti k=0,1,,n n cui lo stato del sistema veniva osservato. Supponiamo ora che il sistema sia osservato con continuit. Un esempio pu essere quello di un satellite che gira nello spazio e pu essere in 2 stati, funzionante o rotto. Ci chiediamo se al tempo T il satellite sia funzionante o rotto.
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  • 83 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Definizione: Markov continuo Processo di Markov continuo nel tempo: Un processo stocastico detto di Markov, continuo del tempo se vale: dove X(s+t) indica lo stato del sistema al tempo t+s. Notiamo che s+t sostituisce k al pedice nella noazione precedente. Interpr.: la probabilit che il sistema passi dallo stato I che occupava in s allo stato j dopo un tempo t dipende solo dallo stato in cui il sistema si trovava in s e da s. Matrice delle probabilit di transizione
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  • 84 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Definizione: Markov continuo omogeneo Processo di Markov continuo nel tempo omogeneo se vale: Interpr.: la probabilit che il sistema passi dallo stato i che occupava in s allo stato j dopo un tempo t dipende solo di due stati e non dal tempo s. Matrice delle probabilit di transizione:
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  • 85 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Propriet della matrice prob. transizione La matrice delle probailit di transizione soddisfa le seguenti propriet: Dimostriamo la 3
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  • 86 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Equazioni di Chapman Kolmogorov Valgono i due seguenti lemma: I =tasso istantaneo di uscita dallo stato i, q ij tasso di transizione dallo stato i allo stato j. Sono le probabilit condizionale che il sistema compia la transizione dallo stato I allo stato j nellintervallo di tempo dt, dato che nello stato i a t. Si dimostra che le probabilit di transizione soddisfano le seguenti equazioni: se si condiziona su h. Se si condiziona su t.
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  • 87 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Equazioni di C-K (2) Poniamo: ij detto rateo di transizione ed la probabilit che nel tempo dt il sistema passi allo stato j dato che nello stato i. Le equazioni di C-K si possono quindi riscrivere come:
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  • 88 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Equazioni di C-K (3) Dove A e la matrice dei ratei di transizione del sistema, P e il vettore delle probabilita degli stati del sistema.
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  • 89 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Costruzione della matrice di transizione Esempio: componente soggetto a rottura e riparazione. 2 stati: in funzione o in riparazione, con tassi di guasto e riparazione. Chi sono P 12 e P 21 ? Sono le probabilita di transizione in dt. Quindi: P 12 = e P 21 = La matrice di transizione e costruita con le seguenti regole: (+) se il salto e in entrata allo stato, (-) se il salto e in uscita Prendiamo lo stato 1: si entra in 1 da due con tasso (+), si esce con tasso (-). Quindi: 12 P 21 P 12 12
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  • 90 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici La matrice di transizione La matrice di transizione e:
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  • 91 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Equazione delle P i (t) Definiamo le probabilit incondizionali che il sistema si trovi nello stato i al tempo t come: Si dimostra (vedi seguito) che le equazioni soddisfatte dalle probabilit incondizionali sono:
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  • 92 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Differenza Che differenza c tra: e
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  • 93 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Soluzione delle equazioni E la probabilita che a t il componente sia nello stato 1. Occorre risolvere il sistema di equazioni differenziali lineari precedente. Modo piu usato in affidabilita e mediante trasformata di Laplace. Con trasf. Laplace, le equazioni da differenziali diventano algebriche. Dopo aver lavorato con equazioni algebriche, occorre poi antitrasformare. Si ottiene dunque la disponibilita come funzione del tempo. Il risultato per un componente singolo soggetto a riparazioni e rotture e il seguente:
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  • 94 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Risultato Probabilit che il sistema sia nello stato 1=Disponibilita istantanea: Disponibilita asintotica: Interpretazione: tempo che occorre in media alla riparazione diviso il tempo totale
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  • 95 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Probabilit limite Per t che tende ad infinito, se il processo Markoviano irriducibile, le probabilit limite esistono e soddisfano le seguenti equazioni: ovvero, j: Tale relazione esprime il bilancio tra le entrate e le uscite dallo stato
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  • 96 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Esempio Si consideri un sistema con due componenti, con la possibilit di riparare un solo componente alla volta, nel caso si rompa. I due componenti sono identici e si rompono con tasso costante. Il tasso di riparazione . Rappresentare il sistema come processo di Markov, scrivere le equazioni di C-K per il processo e trovare le probabilit limite. 12 3 2 2
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  • 97 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Distribuzione stazionaria Per un processo di Markov continuo,irriducibile, la distribuzione limite anche la distribuzione stazionaria.
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  • 98 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Distribuzione di occupazione Sia T un tempo su cui osserviamo il sistema. Sia m ij (T) il tempo speso dal sistema nello stato j dato che partito da I al tempo 0. Se il processo irriducible, vale allora che: la frazione di tempo che il sistema passa nello stato j al tendere di t allinfinito non dipende da i La frazione di tempo spesa da sistema nello stato j : Quindi le probabilit limite si possono interpretare come frazione del tempo che il sistema spende in un determonato stato
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  • 99 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Modellazione dei Costi/Ricavo Il modello dei costi il seguente. Sia c(X(t)) dt il costo istantaneo (tasso di costo) associato al fatto che il sistema nello stato j al tempo t. Il costo/ricavo totale che il sistema sosterr/produrr nel tempo 0-T sar:
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  • 100 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Tasso di costo istantaneo limite Per un processo continuo, Markoviano, irriducibile vale: Esempio: supponiamo che se la macchina produce incassiamo 1000. Se si rompe spendiamo costa - 5000. Calcoliamo se, a regime, conviene investire nella macchina quando =10 -4 e =10 -2. c lim =+940, quindi conviene.
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  • 101 Metodi Probailistici, Statistici e Processi Stocastici Capitolo IX: Problemi, dimostrazioni etc.