INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS DA AMAZÔNIA

COORDENAÇÃO DE PESQUISAS EM SILVICULTURA TROPICAL LABORATÓRIO DE MANEJO FLORESTAL - LMF

BIOMETRIA FLORESTAL

Niro Higuchi Joaquim dos Santos

Adriano José Nogueira Lima

Manaus – AM Março, 2008

PARTE 1

Capítulo 1

Introdução - Conceitos gerais A estatística é uma ferramenta importante para o manejo florestal, seja pra quem está

interessado em trabalhar em pesquisas ou pra quem tem a responsabilidade de planejar, executar e acompanhar um projeto. Difícil é separar a estatística pra essas duas frentes. O objetivo desta Parte da apostila é aprofundar em conceitos dos indicadores estatísticos mais freqüentemente utilizados pelos florestais e ajudar na interpretação dos resultados.

Estatística é um ramo do conhecimento científico que consta de conjunto de processos que têm por objeto a observação, a classificação formal e a análise dos fenômenos coletivos ou de massa (finalidade descritiva) e, por fim, investigar a possibilidade de fazer inferências indutivas válidas a partir dos dados observados e buscar métodos capazes de permitir esta inferência (finalidade indutiva). Durante uma defesa de tese no CENA-USP, surgiu um novo conceito para estatística que, segundo Edgard, é "a arte de torturar os números até que eles confessem aquilo que você quer ouvir."

Em inventário florestal, produto sem estatística não é produto. Em inventários, o principal produto é o intervalo de confiança para a média estimada. Na pesquisa científica, a estatística pode ser vista como um instrumento de comunicação e, embora o seu uso seja absolutamente opcional, ela fornece os modelos que são necessários para estudar as situações que envolvem incertezas, mas a palavra final é sua.

O exercício, a análise e a interpretação do pensamento científico normalmente são feitos por meio da linguagem operacional dos conceitos e hipóteses científicas. Isso implica na formulação de hipóteses estatísticas e estabelecimento dos procedimentos de observações diretas ou de medições.

Linguagem teórica: “quanto mais grossa é a árvore, mais madeira será oferecida à indústria de transformação.” Neste caso, dois conceitos são envolvidos: espessura e madeira. Com definir esses dois conceitos? Espessura pode ser o diâmetro de uma árvore. Madeira pode ser a quantidade de material lenhoso disponível para a indústria.

E daí? Que fazemos agora? Temos que operacionalizar as observações e medições de espessura e madeira. Espessura pode ser traduzida operacionalmente, por exemplo, em centímetros de diâmetro à altura do peito (DAP), medido a 1,3 m do solo. E a madeira, por sua vez, pode ser traduzida como volume cúbico da árvore.

Agora, a hipótese científica pode ser enunciada, em termos de hipótese estatística, da seguinte maneira: “Quanto maior o DAP, maior será o volume da árvore.” Dessa forma, o “pica-pau” fica mais à vontade.

Depois de formulada a hipótese, o passo seguinte consiste em testá-la. Para se testar as hipóteses serão precisos: planejar a coleta de dados, coletar os dados, tratar os dados, processar os dados, analisar os resultados e, finalmente, tomar decisões para rejeitar ou não a hipótese estatística formulada (Ver figura 1.1).

O papel da estatística na pesquisa científica é ajudar o pesquisador “pica-pau” a formular as hipóteses e a fixar as regras de decisão.

Um pouco de filosofia. - Aristóteles escreveu: “A verdade é um alvo tão grande que dificilmente alguém deixará de tocá-lo, mas, ao mesmo tempo, ninguém será capaz de acertá-lo em cheio, num só tiro.”

- A meta da ciência é a organização sistemática do conhecimento sobre o universo, baseado nos princípios explanatórios que são genuinamente testáveis.

- O pesquisador tem os dons da instituição e criatividade para saber que o problema é importante e quais questões devem ser levantadas; a estatística, por sua vez, o assistirá por meio da maximização de output não ambíguos enquanto minimiza os inputs.

- O pesquisador tem que ter em mente que a pesquisa freqüentemente levanta mais questões do que respostas. Os resultados quase sempre são meramente uma demonstração de nossa ignorância e uma declaração mais clara do que não sabemos.

- O pesquisador tem que manter os olhos abertos, sua mente flexível e estar preparado para surpresas.

- A pesquisa está na cabeça do pesquisador; o laboratório ou o campo meramente confirma ou rejeita o que a sua mente concebeu. A sabedoria consiste em conhecer mais as questões certas para fazer e não nas certas respostas.

- A aplicação indiscriminada dos métodos quantitativos sobre inesgotáveis quantidades de dados não significa que o entendimento científico vai emergir só por causa disso.

1.1. A Natureza da Estatística: Basicamente, são dois tipos de estatística: descritiva e de inferência.

A ciência da estatística inclui ambas, descritiva e de inferência. A estatística descritiva apareceu primeiro, nos censos feitos na época do império romano. A de Inferência é mais recente e é baseada na teoria da probabilidade que, por sua vez, não se estabeleceu antes da metade do século XVII.

a) Estatística descritiva => consiste de métodos para organizar e sumarizar as informações.

O propósito da organização e sumarização é te ajudar na interpretação de um monte de informações. Os métodos descritivos incluem a construção de gráficos, figuras e tabelas, como também, o cálculo de vários tipos de médias e índices. Exemplos: resultado final de uma eleição apresentado pelo Tribunal Superior Eleitoral (TSE) – Quadro 1.1, desmatamento na Amazônia – Figura 1.2., áreas desmatadas com autorização e sem autorização – Figura 1.3 e as origens da madeira amazônica – Figura 1.4.

b) Estatística de inferência => consiste de métodos para inferir sobre uma população baseada na informação de uma amostra da população.

A estatística de inferência moderna praticamente surgiu após as publicações científicas de Karl Pearson e Ronald Fisher, no início do século passado (XX). Depois disso, houve uma evolução fantástica dessa ciência, tornando-se aplicável a várias áreas de conhecimento, tais como: Eng. Florestal, Agronomia, Biologia, História, Física, Química, Psicologia etc.

Exemplo 1: Pesquisas de opinião realizadas pelas empresas (DATAFOLHA, IBOPE, VOX POPULI etc), pouco antes de eleições. A Figura 1.5 mostra a dinâmica de opinião de eleitores brasileiros na eleição para presidente de 2002 com base em pesquisas de opinião realizadas pelo IBOPE. O resultado do 1º turno é apresentado na última coluna como TSE,

tirado do Quadro 1.1. Os resultados do IBOPE, do último dia de pesquisa (com margem de erro igual a 1,8%), são praticamente iguais aos oficiais do TSE. A informação do TSE é sobre votos válidos enquanto que os da pesquisa de opinião são de intenção de votos. Na pesquisa de opinião do 1º turno é difícil identificar o voto “nulo”.

Exemplo 2: Pesquisas de opinião sobre o 2º turno da eleição presidencial 2002, realizadas pelo Datafolha. Neste caso, foi possível estimar os percentuais sobre os votos válidos. No último dia da pesquisa (26/10/02), o Datafolha estimou 64% dos votos válidos para o Lula e 36% para o Serra. A Figura 1.6 mostra a dinâmica de opinião de eleitores para o2º turno da eleição de 2002. O resultado do TSE (oficial) foi de 61,2% para o Lula e 38,7% para o Serra – Quadro 1.1. Considerando a margem de erro de 2% (para mais e para menos), as estimativas do último dia seriam 62% (para menos) para o Lula e 38% (para mais) para o Serra.

Esta parte da estatística de inferência evoluiu muito no Brasil. A prova disso são os resultados finais do primeiro e do segundo turno da eleição presidencial de 2002 que tem muito a ver com as previsões feitas pelas pesquisas de opinião dos vários institutos. O sucesso tem que ser creditado principalmente pela escolha correta do tipo de amostragem, coleta de dados e processamento & análise dos resultados A evolução da informática também contribuiu muito para o sucesso das pesquisas; o rápido processamento e, conseqüente, análise dos resultados, permitiu a repetição em intervalos de tempo menores – isso é fundamental para a validação dos métodos utilizados que, por sua vez, dá a robustez necessária para a pesquisa e a sociedade ganha com a maior precisão e confiabilidade das pesquisas de opinião.

Exemplo 3: Previsão da área desmatada para 2006 (agosto 2005 a julho 2006) com base no intervalo de confiança (95%) da série histórica de 1978 a 2005 – Figura 1.7. Apesar da confusão das estatísticas e de sua interpretação, com boa vontade e profissionalismo, as causas do desmatamento poderiam ser identificadas. O desafio é entender a direção que o desmatamento pode tomar no futuro. Sem entender as causas, a direção só pode ser estocástica. A Figura 1.7 ilustra o uso do intervalo de confiança – IC (nível de probabilidade de 95%) para a média do período 1978-2005. De acordo com dinâmica do desmatamento até 2005, as chances do desmatamento durante 2005-2006 (agosto 2005 a julho 2006) são: 29% de ficar acima da estimativa máxima provável (maior do que 20.983 km2), 29% abaixo da estimativa mínima provável (menor do que 16.296 km2) e 42 % de ficar dentro do intervalo de confiança (entre 16.296 a 20.983 km2) – com 95% de chance de acertar.

Exemplo 4: Todos os trabalhos de equações de volume que utilizam os modelos destrutivos (na maioria das vezes) para ajustar os dados de volume real observado em modelos matemáticos que serão utilizados, posteriormente, para estimar o volume da árvore em pé.

Para concluir a discussão, em torno da natureza da estatística, é importante não perder de vista que a opção por uma das duas estatísticas pode ser pessoal. Entretanto, se a escolha recair sobre a de inferência, o pesquisador deve se sujeitar as suas regras e condicionantes. A estatística de inferência, por sua vez, deve ficar sob as condicionantes da teoria da probabilidade, da normalidade e da independência; a violação de uma dessas condicionantes implica em um comprometimento muito sério de todo o seu trabalho.

1.2. Conceitos Básicos: Talvez, os conceitos mais importantes para os florestais são erros amostrais e não

amostrais. Se você conseguir distinguir esses dois conceitos, você sempre fará um trabalho confiável e, por conseguinte, a estatística será uma ferramenta útil na execução de seus

trabalhos de pesquisa, encurtando caminhos para a produção de ciência e de resultados de inventário florestal.

(i) Erro Amostral => é o erro que você comete por não medir toda a população. Este parâmetro é mensurável e, dependendo da escolha dos métodos, você tem condições de aumentar ou diminuir este erro. De qualquer modo, trata-se de um parâmetro que pode ser controlado e avaliado por você. É o desvio padrão da média ou, simplesmente, erro padrão e tem fórmula para o seu cálculo. É a única medida de precisão, por mais paradoxal que possa parecer, em qualquer trabalho de pesquisa ou de inventário florestal.

(ii) Erro não-amostral => é o erro humano, que pode ser cometido acidental ou deliberadamente. É o tipo de erro que você comete ao alocar uma amostra no lugar errado – ex.: no escritório você faz a opção pela amostragem inteiramente aleatória e sorteia as unidades amostrais e distribui em sua área estudo; no campo, entretanto, você não consegue alocá-las de acordo com as coordenadas pré-estabelecidas e alocá-as em outro lugar. Você também comete erro não-amostral quando utiliza um equipamento defeituoso ou, por preguiça, você “chuta” as medidas de uma determinada variável. O problema desse erro é que você não consegue dimensioná-lo e, neste caso, não há estatística que dê jeito para consertar o mal-feito. A estatística e o computador só são úteis na interpretação de fenômenos observados quando os dados são de absoluta confiança e sem erros não-amostrais.

Moral: Busque sempre a melhor metodologia para conseguir a maior precisão de seu trabalho sem, contudo, aumentar a possibilidade de cometer erros não-amostrais. BOM PESQUISADOR é aquele que não entrega sua coleta de dados para qualquer “PEÃO”.

(iii) Populações, Parâmetros e Estimativas A noção central em qualquer problema de amostragem é a existência de uma população. Pense em uma população como um agregado de valores unitários, onde a “unidade” é a coisa sobre a qual a observação é feita e o “valor” é a propriedade observada sobre aquela coisa. População é então o conjunto de todos os indivíduos ou itens sob consideração. Ou ainda: população é o universo de seu interesse.

Ilustrando:

- se você está interessado em estudar o potencial quantitativo da floresta da Reserva Ducke, a POPULAÇÃO é o conjunto de todas as árvores acima de um determinado DAP, existentes naquela área de 10.000 hectares.

- se para você potencial quantitativo significa volume cúbico obtido de equações simples (DAP como variável independente), o volume médio (por hectare, por ex.) de todas as árvores da Reserva Ducke é o PARÂMETRO.

- se você, no entanto, decidir pela avaliação por amostragem e lançar naquela área algumas amostras (ex.: 10 amostras de 1000 m2, aleatoriamente distribuídas), o volume médio dessas amostras é a ESTIMATIVA.

AMOSTRA é aquela parte da população da qual a informação é coletada.

(iv) Tendência (bias), Exatidão e Precisão TENDÊNCIA ou VIÉS (bias, em inglês) é uma distorção sistemática. Ela pode ser devido a alguma falha na medição, ou no método de selecionar a amostra, ou na técnica de estimar o parâmetro.

Se você medir o DAP com uma fita diamétrica faltando um pedaço na ponta (2 cm), você medirá todas as árvores com 2 cm a mais, ou seja, você superestimará esta variável. Uma maneira prática de minimizar as tendências em medições é por meio de checagens periódicas

dos instrumentos, treinamento adequado para o pessoal que usa os instrumentos e cuidado com eles.

Tendência devido o método de amostragem ocorre quando certas unidades ganham maior ou menor representação na amostra do que na população. Ex.: se você excluir 20 metros de bordadura do lado oeste da Reserva Ducke por causa de um igarapé. Neste caso, você está introduzindo tendência em sua avaliação simplesmente porque você não deu a mesma oportunidade, para as árvores que ocorrem naquela faixa, em aparecer no seu trabalho. Outro exemplo: quando a equipe econômica faz uma pesquisa nos supermercados do centro- sul e extrapola o custo de vida para todo o Brasil; isso é uma medida tendenciosa que não reflete o que se passa em Manaus.

Tendência na forma de estimar determinado parâmetro pode ser introduzida quando você, por exemplo, toma o volume médio da Reserva Ducke e junta com o volume médio do Distrito Agropecuário da SUFRAMA (600.000 hectares), para avaliar o potencial madeireiro da região de Manaus. Um volume médio não tendencioso seria uma média ponderada considerando os diferentes tamanhos de cada área, em vez de usar a média aritmética simples (tendenciosa, neste caso).

Importante: A tendência é a mãe do erro não-amostral, por esta razão, evitá-la é sinal de prudência e sensatez.

PRECISÃO E EXATIDÃO – uma estimativa tendenciosa pode ser PRECISA, mas nunca EXATA. Ainda que o Aurélio (dicionário) pense diferente, para os estatísticos, EXATIDÃO refere-se ao sucesso em estimar o valor verdadeiro de uma quantidade; PRECISÃO refere-se à distribuição dos valores amostrais em torno de sua própria média que, se for tendenciosa, não pode ser o valor verdadeiro – Ver figura 1.8. Exatidão ou estreiteza ao valor verdadeiro pode estar ausente por causa da tendência, falta de precisão ou por causa de ambas.

PENSAMENTO

rejeita ?

planejar tratarcoletar processar analisar

HIPOTETIZAR

OPERACIONALIZAR

não, concluir!

sim, concluir!

rejeit

PENSAMENTO

a ?

planejar tratarco processarletar analisar

HIPOTETIZAR

OPERACIONALIZAR

não, concluir!

sim, concluir!

Figura 1.1: Pesquisa científica – do pensamento à inferência.

Quadro 1.1: Resultados das eleições para presidente de 2002.

002

RESULTADOS DAS ELEIÇÕES DE 2

Total de eleitores = 115.254.113

Resultado do 1º turno: nº de votantes = 94.804.126

ordem Número Candidato total votos % válidos 1 13 Lula 39.454.692 46,44 2 45 José Serra 19.705.061 23,20 3 40 Garotinho 15.179.879 17,87 4 23 Ciro Gomes 10.170.666 11,97 5 16 Zé Maria 402.232 0,47 6 29 Rui Pimenta 38.619 0,05

Resultado do 2º turno: nº de votantes = 91.664.259

ordem Número Candidato total votos % válidos 1 13 Lula 52.793.364 61,27 2 45 José Serra 33.370.739 38,73

fonte: www.tse.gov.br => consultas: 1º turno em 21/10/02 e 2º turno em 29/10/02

21.05017.770

13.73011.030

13.78614.896

29.05918.161

13.22717.38317.269

18.22618.165

23.26624597

27.20018.900

78/87

87-89

89/90

90/91

91/92

92/94

94/95

95/96

96/97

97/98

98/99

99/00

00/01

01/02

02/03

03/04

04/05

ano

ou p

erío

do

área desmatada em km2

fonte: www.inpe.br Figura 1.2: Desmatamento anual (km2) na Amazônia.

0

500

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

m2)

45

1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

ano

área

des

mat

ada

(k

0510152025303540

rela

ção

A:D

(%)

A D A:D (%)

Fonte: www.ibama.gov.br – sisprof. A = área desmatada com autorização; D = área desmatada total e A:D relação entre autorizado e não autorizado. Figura 1.3: Relação entre áreas (em km2) desmatadas com autorização e sem autorização na

mazônia. A

d autorizado20%

PMFS17%

sem origem63%

Fonte: www.ibama.gov.br – sisprof Figura 1.4: Origem da madeira da Amazônia – planos de manejo florestal sustentável (PMFS), desmatamento autorizado e sem origem definida.

3941

3941

4345 46

19 19 19 18 19 2023,2

12 13 14 15 16 1517,9

1512

1412 11

912

05

10152025303540

oto

(%)

4550

6 a 9/9 14 a 16/9 17 a 19/9 21 a 24/9 28 a 30/9 4 e 5/10 TSE

período da pesquisa

inte

nção

de

v

Lula Serra Garotinho Ciro

Figura 1.5: Pesquisas de opinião realizadas pelo IBOPE para o 1º turno da eleição residencial de 2002.

p

5861 59 58

32 32 31 32

6 4 6 7

4 3 4 30

10

20

30

40

50

60

70

11 out 18/out 23/out 26/out

data

inte

nção

de

voto

s (%

)

Lula Serra indecisos nulos/brancos

Figura 1.6: Pesquisas de opinião realizadas pelo Datafolha para o 2º turno da eleição presidencial de 2002.

26.000

28.000

30.000

)

10.000

12.000

78/8

7 89

89/9

0

90/9

1

91/9

2

92/9

4

94/9

5

95/9

6

96/9

7

97/9

8

98/9

9

99/0

0

00/0

1

01/0

2

02/0

3

03/0

4

04/0

5

05/0

6

14.000

16.000

ár

18.000

20.000

22.000

24.000

mat

ada

(k

87-

ea d

esm

2

ano ou período

área média mínima máxima

IC(95%) = 18.689 ± 2.372

21.060

18.689

16.317Acima = 29%

2005/06? Dentro = 42%

Abaixo = 29%

Figura 1.7: Previsão da área desmatada para 2006 (agosto 2005 a julho 2006) com base no intervalo de confiança (95%) da série histórica de 1978 a 2005.

impreciso precisopreciso

exatoimpreciso precisopreciso

exato

Figura 1.8: Diferença entre precisã

o e exatidão.

Capítulo 2 Organização dos dados

2.1. Dados: A informação coletada e analisada pelo estatístico é chamada de DADOS. Há vários

etodologia, pelo estatístico é, parcialmente, determinada pelo m mãos.

tipos de dados e a escolha da mtipo de dados que ele tem e

Exemplo 1: No exame de seleção para turma 90/91 do Manejo Florestal, tivemos 15 candidatos, 13 homens e 2 mulheres. Do total, apenas 7 fizeram o exame. Foram aprovados 6 candid

ankeados”. No exemplo, as classificações de João e Joaquim são dados ordinai

se refere aos dados mensuráveis e não deve ser confun

éricas ou atributos, tais tal, cor de alguma coisa etc.

Dados ordinais: dados sobre classificação, ordem ou “rank”, tais como: classificação de toras, orde heg

Dados métricos: dados obtidos de medições de c quanti com po, altu DAP, v e, peso etc.

Um outro importante tipo de d é o cha o DADOS CONTÁVEIS. A contagem do numero de indivíduos ou itens que caem em rias c ias, ta mo “h ” e “mulher” fornece os dados contáveis. Por exemp a infor dada exemplo anterior que foram apr s 5 ho s e 1 m são da contáv

DADO NTÁ S são dados sobre o número ivíduo itens aem em certas categorias ou classes, que podem ser obtidos de quaisquer tipos de dados (qualitativo, ordinal ou métrico).

Os dados QUALITATIVO e ORDINAL são referidos pelos estatísticos como dados ISCRETOS

atos, 5 homens e 1 mulher. João da Silva tirou o primeiro lugar com nota 6,7 e Joaquim Moreira tirou o último lugar com a nota 5,0.

No exemplo acima, nós podemos destacar os seguintes tipos de dados:

QUALITATIVO – o tipo mais simples de dados, é a informação que coloca cada candidato em uma das duas categorias “homem ou mulher” ou “tipo florestal I ou tipo II” ou “estocada ou não estocada” etc. Esses dados dão informações sobre um indivíduo ou um item.

ORDINAL – A informação sobre classificação, dados que colocam os indivíduos ou objetos em ordem, “r

s.

MÉTRICO – O termo métricodido com os dados em unidades métricas. No exemplo, as notas dos candidatos (6,7 e

5,0 e outras notas) são dados métricos.

Resumindo:

Dados qualitativos: dados que se referem à qualidade não numcomo: tipo florestal, gênero ou espécie flores

m de c ada etc.

ertas dades o: temra, olum

ados mad vá ategor is co omem

lo, mação no ovado men ulher, dos eis.

S CO VEI de ind s ou que c

D porque eles classificam coisas em classes separadas e discretas. Na lassificação dos candidatos ao mestrado não há como colocar ninguém entre o primeiro lugar o segundo. Também não há como classificar ninguém entre “homem” e “mulher.” São xemplos típicos de dados discretos, porque não há como dizer que alguém ficou em primeiro lugar e meio” ou o que fulano é “homem e meio”. No caso de ordem de chegada ou rank” há possibilidade de empate, mas isso é outra coisa e será discutido na estatística não-aramétrica.

cee““p

Por outro lado, a maioria dos dados métricos é considerada DADOS CONTÍNUOS orque eles envolvem medições sobre uma escala contínua. A escala fica por conta da recisão do aparel na fita á mo que podemos hegar é décimo d AP demos ter DAP’s om 20.1, 20.2, ... , 2 cronô rmula 1, no entanto, o nível de precisão é

pensável para os no ios d

.2. Dados grupadoA quantidade de dados que pode ser coletada do “mundo-real” é simplesmente

ntástica.

pp ho de medição:

e cen , ousuta ou na

ntre os D diamétrica, o m’s 20 e 21 cm nós

xic tímetros seja, e poc 0.9; nos metros da Fó

o. im ssos relóg e puls

2 s:

fa

Exemplo 1: O censo brasileiro. Você já imaginou a trabalheira que dá para cadastrar aproximadamente 180 milhões de pessoas, anotando o nome, sexo, idade, ocupação, escolaridade etc. Apenas para ilustrar, se você usar qualquer software (Excel ou Word) para listar toda essa gente, você gastará mais de 600 quilômetros de papel apenas para imprimir as informações básicas, é Manaus-Itacoatiara-Manaus. Com todo esse papel, dificilmente você teria uma boa fotografia da população brasileira. Então, o que fazem os especialistas do

Eles nos proporcionamIBGE? variadas informações: quantidades de hom(X1); X1 por classe idade (X2); X2 por estado e por região; X1 po

ens e de mulheres r nível de escolaridade;

os dados.

Exemp

população ativa etc.

Isso é um exemplo típico da aplicação da estatística DESCRITIVA, por meio da organização e simplificação d

lo 2: Dados sobre DAP das árvores da parcela-testemunha do bloco 2 (apenas

s” normalmente pensam no DAP em classes de 10, 20, 30, 40 cm etc.

as 40 primeiras árvores).

Os “pica-pauPara ver quantos DAPs há em cada classe você faz o seguinte:

Quadro 2.1. Dados de DAPs de 40 árvores.

árv. nº DAP Árv. nº DAP árv. Nº DAP árv. nº DAP 1 25.0 11 33.0 21 32.0 31 37.0 2 27.0 12 38.5 22 63.0 32 41.0 3 45.0 13 31.8 23 34.0 33 40.0 4 36.0 14 52.0 24 30.0 34 32.0 5 39.0 15 37.0 25 29.0 35 58.0 6 36.0 16 27.7 26 32.0 36 28.0 7 33.0 17 35.0 27 27.0 37 77.0 8 47.0 18 33.0 28 28.0 38 58.0 9 34.0 19 47.0 29 27.0 39 43.0 10 53.0 20 33.0 30 40.0 40 30.0

Quadro 2.2. Cálculo de freqüência de cada classe de diâmetro.

árvores (f) classes de DAP Contagem nº de

20 < 30 IIIII III 8 30 < 40 IIIII IIIII IIIII IIII 19 40 < 50 IIIII II 7 50 < 60 IIII 4 60 < 70 I 1 70 < 80 I 1 total 40

O número de indivíduos (árvores) em cada categoria ou de DAP é chFREQUÊNCIA daquela classe. O quadro 2.2 é uma tabela de distribuição de freqüê

amada de ncia. Não

alha com quantidade tão pequena de indivíduos (n = 40, neste

er distribuições de freqüência:

metro.” Outra forma é

e tem que ter a mesma dimensão. Do quadro 2.2, as dimensões são: 20 a

eria continuar, mas isso seria artificial. O propósito de grupar dados é

confundir distribuição de freqüência em estatística com o termo freqüência da Ecologia Vegetal. Nem sempre você trabcaso). Com n maiores é mais seguro montar a distribuição de freqüência utilizando a “tabela dinâmica” do Excel – aplicação no Capítulo 17 (Cadeia de Markov).

Algumas “dicas” para estabelec

- o número de classes não deve ser nem muito pequeno e nem muito grande, ao contrário, no meio. Sugere-se um número entre 5 e 12 – regra do “olhôatravés da seguinte fórmula:

n classes ≅ 1 + 3,33 log N (N = número de dados)

- cada class29.9, 30 a 39.9 etc.

- cada pedaço de dados tem que pertencer a apenas a uma única classe.

Essa lista poddistribuí-los em um número razoável de classes de igual tamanho para facilitar a interpretação dos mesmos. Se possível, os intervalos que tem uma interpretação natural, devem ser utilizados, como por exemplo: dados em DAP que são normalmente divididos em múltiplos de 10.

02468

101214161820

Freq

freq

üênc

ia a

bsol

uta

Figura 2.1: Histograma de freqüência para os mesmos dados do quadro 2.1.

A freqüência pode ser também porcentagem ou decimal, conhecida como FREQUÊNCIA RELATIV r a freqüência relativa de cada classe, bastou dividir a freqüê (número total de indivíduos contad

apresentada emA. No quadro 2.3 para obte

ncia de cada classe por 40os). Se multiplicarmos essas frações por 100, teremos a freqüência em %, caso

contrário, em decimais.

Quadro 2.3. - Distribuição de Freqüência relativa do quadro 2.1.

classes DAP pt médio Freq freq rel freq acum 20 < 30 25 8 0,200 8 30 < 40 35 19 0,475 27 40 < 50 45 7 0,175 34 50 < 60 55 4 0,100 38 60 < 70 65 1 0,025 39 70 < 80 75 1 0,025 40

Algumas terminologias: Classe – uma categoria para o grupamento de dados.

Freqüência – o número de indivíduos ou objetos numa classe. Por exemplo, a

ite inferior é 20.

. No nosso exemplo, o intervalo é 10, ou seja, 30 – 20 =10.

os.

TIVA. Há muitas outras formas de representação gráfica de seus ados. Hoje em dia, uma forma muito usada é a PIE (torta). De qualquer modo, fique a ontade e use de sua imaginação para dar a representação mais conveniente dos seus dados.

freqüência da classe 30-39.9 é 19.

Freqüência relativa – a porcentagem, expressa como um decimal, do número total de indivíduos de uma determinada classe. A freqüência relativa da classe 50-59.9 é 0.1 ou 10%.

Freqüência acumulada – é a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais a valor dado.

Distribuição de Freqüência – a listagem das classes com suas freqüências.

Limite inferior da classe – o menor valor que pode ir dentro de uma classe. Na classe 20-29.9 o lim

Limite superior da classe – o maior valor que pode ir dentro de uma classe. Na classe 20-29.9 o limite superior é 29.9. Se a precisão fosse de duas casas decimais, o limite superior poderia ser 29.99 e assim por diante.

Intervalo de classe – é a diferença entre o limite superior e o limite inferior de uma dada classe

Ponto médio da classe – é a média aritmética entre o limite superior e limite inferior da classe. Assim, se a classe for: (20+30)/2 = 25. Da classe 30-40 o ponto médio é 35 e assim por diante.

2.3. Gráficos e figuras: Uma outra maneira de dar sentido a um conjunto de dados é por meio da representação gráfica dos mesm

O gráfico mais simples dos dados é o HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA. A altura de cada barra é igual a freqüência que ela representa. Tem também o HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA RELAdv

Capítulo 3

çados, para a descrição sucinta dos fenômenos sticas usadas na estatística, para descrever as

variáveis aleatórias, em populações particulares, caem em uma das três categorias: (1) medidas da tendência central (alocação de um valor ordinário); (2) medidas de dispersão (distância relativa de valores extremos de um valor central); (3) medidas de relacionamento entre a variávei imilaridade ou dissimilaridade em magnitude).

de gráficos grupamento de dados são úteis no manuseio de um grande conjunto de dados. Uma outra rma de sumarizar os dados é por meio da computação de um número, tal como a média, a

qual su

3.1 Medidas de tendência central: mediana. Menos harmônica.

ente usada de todas as medidas estatísticas.

idade) dividida pelo nú de amostra para amostr ais desejáveis em onexão com as distribuições de probabilidade.

crescente ou decresc m amostras com número lores que estão “rankeados” no meio. Estimativas da mediana de pequenas amostras não são muito

classe com a maior

imento pense na mediana como o 50-ésimo til.

a raiz de um produto de n valores, ou antilog da média ritmét a dos to de valores e é sempre tão pequeno ou menor que a média o mes o con

Medidas descritivas Há muitos critérios, por sinal, bem avan

naturais. Apesar disso, a maioria das caracterí

s s (grau de s

Em geral, o volume de dados de uma pesquisa é muito grande. Os métodos efo

bstitui um grande volume de dados por um simples número.

As medidas de alocação mais comumente utilizadas são média aritmética e a freqüentemente usadas são: moda, percentil, média geométrica e média

A média comum ou média aritmética ou simplesmente média, é a mais freqüentem

Média – é simplesmente a soma de todas observações (DAP, altura,mero total de observações. É a medida que tem a menor variabilidade

a, é fácil de ser manuseada matematicamente e tem as propriedades mc

Mediana – é o valor de uma variável aleatória que, em ordemente, está “rankeado” no meio, entre os valores maiores e menores. E par de observações, a mediana é a média aritmética dos 2 va

confiáveis.

Moda – é o valor mais freqüente, ou seja, é a categoria oufreqüência. É uma medida fácil e rápida de ser obtida, mas, por outro lado, fica sempre sujeita a variação extrema de uma amostra para outra, ao menos que a amostra seja bem grande.

Percentil – para um melhor entendpercen

Média geométrica – é a n-ésima ic logs de um conjund m junto de dados.

Média harmônica – é a recíproca da média de um conjunto de dados recíprocos e é tão pequena ou menor que a média geométrica para um mesmo conjunto de dados.

Para dados ordinais, é preferível utilizar-se da mediana, apesar de que a média é, as vezes, utilizada.

Para dados métricos pode ser usada a média ou a mediana. Como com dados ordinais, a mediana é preferida para propósitos descritivos. A maioria das teorias estatísticas para dados métricos usa a média.

Computação de Média, Mediana e Moda

Média – a estimativa da média, x_

ou ӯ, do parâmetro µ, é obtida da seguinte maneira:

Dos dados do quadro 2.1, a média será:

40) x .... x x( 4021 x

+++=

x_

= 38,225 Mediana – do qua é preciso ordem crescente,

(1ª) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

25 27 27 27 27.7 28 28 29 30 30

(11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20)

36 36 37 37 38.5 39 40 40 41

vações, n, é par, a mediana será a média aritmética dos vigésimo e ig es, ou seja, (34 + 35)/2 = 34.5.

Moda édio da classe que tem a maior freqüência, que no nosso caso, quadro 2.2, é 35, que tem a freqüência = 19.

= 35,0

Interpretação:

dro 2.1, primeiro ordenar em

31.8 32 32 32 33 33 33 33 34 34

(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30)

35

(31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40ª)

43 45 47 47 52 53 58 58 63 77

Neste caso, o número total de obser v ésimo-primeiro valor

– é simplesmente o ponto m

Resumo das estimativas das medidas:

Média = 38,225

Mediana = 34,5

Moda

um conjunto de dados pode ter mais de uma moda, mas sempre terá somente uma média ou mediana. Como você pode ver, de um mesmo conjunto de dados, você tem diferentes medidas de tendência central. Qual delas é a melhor? A decisão vai depender, principalmente, do objetivo de sua informação. Quando a gente vende madeira em volume, normalmente truncada a um determinado diâmetro mínimo, a média deve prevalecer tendo em vista a maior facilidade para os cálculos posteriores. Se a árvore é vendida em pé, a moda pode ser mais interessante, porque ela dá uma noção também da distribuição de freqüência. A utilização da mediana é mais prática na tomada de decisões quanto a tratamentos silviculturais, desbastes etc., quando você precisa priorizar o tamanho que precisa sofrer intervenções.

3.2. M

nu

edidas de dispersão: Uma medida de dispersão é um número usado para mostrar quanto de variação existe

m conjunto de dados.

Até agora discutimos somente as medidas de tendência central. Entretanto, 2 conjuntos de dados podem ter a mesma média ou a mesma mediana e, mesmo assim, ser bastante diferente.

Exemplo 1: Dois conjuntos de dados (turmas de Manejo e Ecologia), no quadro 3.1

Quadro 3.1. Idades de alunos dos cursos de manejo e ecologia do INPA

Manejo ) Ecologia (CFT de aluno idade aluno ida 1 1 22 25 2 28 2 30 3 30 3 28 4 29 4 21 5 28 5 39 média 28 média 28

As médias dos dois grupos são iguais. No edois grupos diferentes em idade. Dá para pe

ntanto, é claro que estamos nos referindo a ais uniforme

em term o que há dentro de cada conjunto de dados, podemos usar a amplitude total ou o desvio padrão, as duas medidas de dispersão mais comuns.

tre o aior e o maior e

o men Além d do uma medida que depende apenas dos valores externos, é instável, não sendo afetada pela dispersão dos valores internos.

Do quadro 3.1, as amplitudes são:

ação é freqüentemente simbolizado pela letra grega minúscula (σ). Dificilmente a gente trabalha com o parâmetro. Entretanto, dado uma amostra de valores

a população, podemos fazer uma estimativa de σ que é comumente mbol

rceber que o grupo do Manejo é mos de idade. Neste caso, para ver a variaçã

AMPLITUDE TOTAL – é a medida da variação olhando apenas a diferença enm o menor valor. Esta medida é de fácil computação porque depende apenas dd or valor, mas, em compensação ela não diz o que acontece entre esses dois valores.

isso, é considerada muito limita, sen

- Manejo: 30 – 25 = 5

- Ecologia: 39 – 21 = 18

DESVIO PADRÃO – nos dá a dispersão dos indivíduos em relação à média. Ele nos dá uma idéia se os dados estão próximos da média ou muito longe. O desvio padrão dos indivíduos de uma popul

individuais de umsi izada por s.

1 -n

)x - (x s :Fórmula

n

1i

2i∑

±= =

1 -n s :simples ais 1 1i

n / )) x (( - xn

2i

2i∑ ∑

n

m , = =ou ±= i

x_

Por que o denominador é (n-1) em vez (n)? Porque os n desvios, (xi – ), são

ente conectados pela relação linear ∑ ( xi – x_

) = 0. Se você especifica o valor da necessariam

x_

e os ( n-1 ) valores de xi, então o valor do último xi é fixo; isto é, é uma informação

édia amostral x_

redundante. Por esta razão, ao usar a m em vez da média da população µ s, você perde um grau de liberdade (gl) e a estimativa de

é dita ter ( n – 1 ) gl associados com ela. O uso de (n – 1) em vez de (n) no cálculo de s bém fornece uma estimativa não-tendenciosa; isto é, em uma série infinita de amostras

édio do estimador é igual a σ.

como um ponto central no cálculo de σtamaleatórias, o valor m

Os desvios padrões dos dados do quadro 3.1 são:

Manejo: s = ± 1.87

Ecologia: s = ± 7.25

-

-

Resumindo: quanto maior a variação den oos agora, que apesar dos dois terem

tr de um conjunto de dados, maior será o desvio padrão. Do exemplo 1 nós constatam as mesmas

edida ana, as medidas de dispersão são totalmente nejo é mais homogêneo em idade, comprovada

ela m

Cálculo da média e desvio dos dados grupados: eguinte maneira:

m s de tendência central, média e medidiferentes. Isto quer dizer que o grupo de Map enor variação encontrada.

A média é calculada da s

x_

= ( ∑ xi * fi ) / n

onde: xi = ponto médio da classe, fi = freqüência de cada classe e n = número de classes

E o desvio padrão segue o mesmo princípio da média em relação às classes.

Do quadro 2.2, essas medidas serão:

x_

= 38,5 e s = ± 11,45

3.3. M

mais) variáveis aleatórias, independente das s serão vistas, em detalhe,

um ca

s já vimos um exemplo de percentil. A mediana divide um conjunto de dados em

quarto da área total.

edidas de relacionamento: As medidas mais comumente utilizadas para relacionamento são correlação e regressão. Vários tipos de correlação podem ser usados para medir o grau de associação (similaridade ou dissimilaridade) entre 2 (ouunidades de medida e mudanças lineares em escala. Estas medidan pítulo específico.

3.4 Percentil: Nóduas partes, 50% de um lado e 50% de outro, depois de colocá-los em ordem crescente. Por esta razão ela se refere ao qüinquagésimo percentil de um conjunto de dados. Além dos percentils, que pode dividir os dados de acordo com qualquer valor percentual, o pesquisador pode também querer encontrar o quartil e o decil.

Quartil é a separatriz que divide a área de uma distribuição de freqüência em domínios de área igual a múltiplos inteiros de um

Decil é a separatriz correspondente ao valor do argumento que divide a distribuição numa razão decimal.

Exemplo: dados do quadro 2.1 em ordem crescente.

Primeiro quarto 2 27 27 27 Segundo quarto 3 32 32 32 33 33

Terceiro quarto

Computações:

Primeiro quartil = (30 + 31.8) / 2 = 30.9

Segundo quartil = (34 + 35) / 2 = 34.5

Terceiro quartil = (41 + 43) / 2 = 42.0

3.5. Considerações finais: Neste capítulo não poderíamos deixar de mencionar três outros conceitos muito

importantes na nossa área de conhecimento, coeficiente de variação, variância e covariância.

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO – é a razão entre o desvio padrão e a média. Ele nos dá uma idéia de variação relativa de nossa população, permitindo a comparação de 2 populações diferentes independentes das unidades de medida.

Do quadro 3.1, estimamos as médias (28 para manejo e 28 para Ecologia) e os desvios padrões (1.87 e 7.25). Agora temos os coeficientes de variação (CV):

CV = 1.87/28 = 0.0668 ou 6.68 % - Manejo

CV = 7.25/28 = 0.2589 ou 25.89 % - Ecologia

Do nosso exemplo do quadro 2.1, temos uma população de árvores, com as seguintes estimativas: média = 38,225 e desvio = 11,28

CV = 11,28/38,225 = 0.2951 ou 29,51 % - floresta ZF-2 Mesmo se tratando de populações diferentes podemos concluir com base nos CVs: A população Manejo é mais homogênea e a mais heterogênea é a floresta da ZF-2. Isto é possível porque o CV é uma medida relativa, que independente da unidade de medida utilizada.

VARIÂNCIA - Variância é uma medida da dispersão dos valores unitários individuais em torno de sua média. A variância não só parece com o desvio padrão, como é o próprio, apenas “ao quadrado” . Se você tirar da fórmula do desvio, a raiz quadrada, você tem a fórmula da variância. Por que “ao quadrado”? Simplesmente porque a soma de todos os desvios tem que se anular, tendendo a zero e, daí, você não teria condições de ver a amplitude de variação dos seus dados em relação à média.

5 27.7 28 28 29 30 30

1.8 33 33 34 34

39 40 40 41

3 45 47 47 52 53 58 58 63 77

35 36 36 37 37 38.5 Quarto quarto 4

COVARIÂNCIA - é umrelacionamento (covariabilid

a medida de como 2 variáveis variam juntas, em ade). Suponha duas variáveis x e y. Se os maiores valores de x

nde a ser associados com os maiores valores y, nós dizemos que a covariância é positiva. ando os maiores se associam com os menores, ou vice-versa, a covariância é negativa.

a zero.

Variância, s2 = SQCx /(n-1)

Covariância, s SPC / (n-1)

SPC = Soma dos Produtos Corrigidos

teQuQuando não há uma associação particular de x e y, a covariância tende

As fórmulas são:

xy = xy

S

SQC = Soma dos Quadrados Corrigidos

endo:

Fórmulas úteis Média Aritmética Variância

n

xx i

i∑n

== 1

)(

112

−

−=∑

2

=

n

n

xxs i

i

Desvio padrão Erro padrão

2ss ±= nss /=x

2 2

∑ −= ix nx

∑ ⎟⎞

⎜⎛

n

n

x2

=

= ⎠⎝i

ii

SQC1

1

nySQC i

iy12 −=∑

yn

⎟⎞

⎜⎛∑ in

i 1

⎠⎝ =

=

( )( )n

yxSPCi

iixy

yx iin ∑∑−=∑=1

Coeficiente de correlação

YX

xy

SQCSQC

SPCr

×=

Capítulo 4 Probabilidade

a população baseada em uma amostra da população.

Desde que a estatística de inferência envolve predições (educadas), é sempre possível zer uma inferência incorreta. É preciso saber o quanto a nossa inferência está correta. Para edir a chance de estar certo na nossa inferência estatística, precisamos entender a teoria de

clássicos de “cara & coroa”, dos dados e do jogo de baralho. A propósito, a teoria foi desenvolvida por causa de jogos de azar. O objetivo deste capítulo é dar uma base geral para facilitar o entendimento da aplicação de testes de hipóteses, paramétrica e não-paramétrica.

O processo de computação (cálculo) de probabilidades depende de sua capacidade de contar, “1, 2, 3 e assim por diante.” A seguir vamos discutir alguns métodos de contagem.

4.1. Contagem:

testes (tentativas); se a moeda é jogada uma vez, ou imento deve ser considerado um experimento.

teste, vários testes ou de todo o exp im

RE

No capítulo 1 nós distinguimos dois tipos de estatísticas: descritiva e de inferência. A estatística descritiva envolve a organização e a sumarização dos dados. A estatística de inferência lida com inferências (predições educadas) sobre um

famprobabilidade, que é a fundamentação matemática para a estatística de inferência.

Para entender os princípios da teoria de probabilidade não há como fugir dos exemplos

Primeiro vamos estabelecer as seguintes definições dentro da teoria de probabilidade.

Resultado - no caso de “cara ou coroa”, 2 resultados são possíveis e no caso do jogo de dados, 6 resultados.

Teste - (ou tentativa) - é a ação de jogar a moeda e ver se ela cai com a cara ou coroa.

Experimento - é o conjunto deduas, ou n vezes, não interessa – o proced

Eventos - são os possíveis resultados de umer ento. Exemplo de evento: “uma coroa em 4 jogadas” ou “pelo menos um é cara”.

GRA 1: Se um experimento consiste de n testes, onde cada teste pode resultar em um dos k p sí o.

os veis resultados, afirmamos que há k possíveis resultados de todo o experimentn

Exemplo 1: no jogo da moeda você tem dois resultados, cara (C) ou coroa (c), k=2. Se você jogar apenas uma vez, n=1, você terá 21 = 2 possíveis resultados, C ou c. Se você jogar duas vezes, n = 2, você terá 22 = 4 possíveis resultados, CC cc Cc cC.

REGRA 2: Há n! (fatorial) maneiras de arranjar n objetos distinguíveis em uma seqüência.

Exemplo 2: considere o número de maneiras de arranjar as letras A, B e C numa seqüência. A primeira letra pode ser qualquer uma das três, a segunda pode ser escolhida de duas maneiras diferentes uma vez que a primeira já foi escolhida, e a letra remanescente se torna a última letra escolhida, para um total (3) (2) (1) = 6 ou 3! Arranjos diferentes. Os 6 possíveis arranjos são: ABC ACB BAC BCA CAB e CBA.

Exemplo 3: suponha uma corrida de cavalos com 8 cavalos. Há 8 maneiras de qualqu outro. Se você q

er um deles chegar em primeiro lugar, tendo nas outras colocações qualquer uiser saber quantos arranjos são possíveis tendo, no primeiro e segundo lugar, qualquer

um deles e, as demais colocações, de qualquer jeito, você fará (8) (7) = 56 arranjos. Se você,

no entanto, quiser saber todos os possíveis arranjos do primeiro ao oitavo lugar você fará 8! = 40320 arranjos.

REGRA 3: se um grupo de n objetos é composto de k objetos idênticos de um tipo e o restante (n-k) são objetos idênticos de um segundo tipo, o número de arranjos distinguíveis dos n objetos numa seqüência, denotado por meio de

Ou: se

k)! -(n k!n!

kn

por dado é kn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

um grupo de n objetos é composto de n1 objetos idênticos do tipo 1, n2 objetos

idênticos do tipo 2, ..., nr objetos idênticos do tipo r, o número de arranjos distintos numa seqüência será:

nr! ... n2! n1!n!

nin

por dado é nin

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

3 (1) )1( )2((1) (2) (3)

1! 2!3!

23

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Exemplo 4: no exemplo 2 listamos as 6 maneiras de arranjar as letras A, B e C numa üên

4.2. D

seq cia. Suponha agora que as letras A e B são idênticas e chame-as de X. Assim, os arranjos ABC e BAC se tornam indistintos, XXC para os dois. Também ACB e BCA se tornam XCX. O arranjo original é reduzido para arranjos distintos, que são XXC, XCX e CXX.

efinições de probabilidade: Primeiro vamos ver algumas definições:

(i) Espaço amostral - é a coleção de todos os possíveis resultados de um experimento.

(ii) Ponto no espaço amostral - é um resultado possível de um experim ento.

ostral, que consiste essencialmente de ento. O espaço é subdividido e

esultado é representado por um ponto e somente m pon

Cada experimento tem o seu próprio espaço amde um experimuma lista de diferentes resultados possíveis

cada subdivisão é um ponto. Cada possível ru to.

Exemplo 1: se um experimento consiste em jogar duas vezes a moeda, o espaço amostral consiste de 4 pontos CC cc Cc cC.

Exemplo 2: uma prova consistindo de 10 questões “falsa” ou “verdadeira” é passada um aluno como um experimento. Há 210 = 1024 pontos no espaço amostral, onde cada ponto

consiste da seqüência das possíveis respostas para as 10 questões sucessivas, tais como: FFFFVVFFVV.

gora, então, é possível definir evento, em termos dos pontos do espaço amostral.

tral.

caras”, estamos nos referindo a um CC; o evento “uma cara” consiste de dois pontos Cc e cC; o evento “pelo a” consiste de três pontos CC, Cc e cC.

a

A

(iii) Evento - um evento é qualquer conjunto de pontos no espaço amos

No exemplo 1 ao falarmos do evento “duassimples ponto menos uma car

Dois diferentes eventos podem ter pontos comuns e ambos. Os eventos “pelo menos uma cara” e “pelo menos uma coroa” tem os pontos Cc e cC em comum. Se dois eventos não têm pontos em comuns eles são chamados de eventos mutuamente exclusivos porque a ocorrência de um evento automaticamente exclui a possibilidade de ocorrer outro evento ao mesmo tempo.

Para cada ponto no rrespondente chamado de probabilidades podem ser

evento inclui a definição

associadas com um particular espaço e acordo com as

espaço amostral há um número coprobabilidade do ponto ou probabilidade do resultado. Estas quaisquer números entre 0 a 1. A definição da probabilidade de umda probabilidade de um resultado como um caso especial, desde que o evento possa ser considerado como que se consistisse de um resultado simples.

Na prática, o conjunto de probabilidades amostral é raramente conhecido, mas as probabilidades são atribuídas dnoções pré-concebidas do pesquisador, isto é, o pesquisador formula um modelo como uma versão ideal do experimento. Então, o espaço amostral do modelo experimental é examinado e as probabilidades são atribuídas aos vários pontos do espaço amostral de alguma maneira que o pesquisador sinta que pode ser justificada.

Exemplo 3: Num experimento consistindo de uma única jogada de uma moeda “não viciada”, é razoável assumir que o resultado cara (C) tem metade da chance de ocorrer. Assim, podemos atribuir a probabilidade de ½ para o resultado C e o mes

aneira: P (C) =1/2 e P (c) = 1/2 . mo para c. Isso pode

ser escrito da seguinte m

Exemplo 4: Num experimento consistindo de 3 jogadas (testes), é razoável assumir que cada um dos 23 = 8 resultados CCC CCc CcC Ccc cCC ccC cCc ccc tem a mesma chance de ocorrer. Assim, a probabilidade de cada resultado é 1/8. Também P (3 caras) = 1/8, P (pelo menos 1 cara) = 7/8, P (pelo menos 2 caras) = 4/8 = ½.

(iv) Função de Probabilidade: é uma função que atribui probabilidades aos vários eventos no espaço amostral.

Várias propriedades dessas funções são aparentes. Considere S como espaço amostral e A, B

onde P (B) > 0, caso contrário, é indefinido.

Exemplo 5:

ou C como qualquer evento em S. Então, se P é a função de probabilidade, P(S) = 1, P(A) > 0 e P(a) = 1 – P(A), onde a é o evento “o evento não ocorre”.

(v) Probabilidade Condicional: é a probabilidade de ocorrer A dado B.

P (A | B) = [ P (AB) ] / [ P (B) ]

Considere o jogo de dados, tal que cada um dos 6 possíveis resultados tem a probabilidade de 1/6 de ocorrer. Como antes, deixe A ser o evento “a ocorrência de 4, 5 ou 6” e B o evento “a ocorrência de um número par” . Então P (AB) = P (4 ou 6) = 2/6 = 1/3.

robabilidade condicional P (A|B) é dada por

) P (B)

Também, P (B) = 3/6 = ½. Então, a p

3 / 2 2/ 13 / 1 B) |(A P ==

(vi) Eventos independentes: Dois eventos A e B são independentes se

(1) P (AB) = P (A

Exemplo 6: Num experimento consistindo de 2 jogadas de moeda, os 4 pontos no espaço amostral assumem ter a mesma probabilidade. Deixe A ser o evento “uma cara ocorre na primeira jogad e corre segund tão A tem os pontos CC e C o em o os CC ) = 2/4, P (B) = 2/4 e P (AB) = 1/4.

P (AB) = (2/4) (2/4) = 4/16 = 1/4

satisfaz a condição (1 , por esta razão, A e B são independentes.

(vii) Experim tos Mutuamen ndepende ão mutu independentes se dos os conjuntos de eventos formados tiverem a seguinte equação com verdadeira:

nde A

a” e B ser o evc. B tem os pont

nto “uma cara os CC e . AB t

na a jogada.” En. Ta P (A cC s pont mbém

) e

enn

te I ntes: s amenteoto

P ( A1, A2, ..An) = P (A1) P(A2) ...P (An)

o i representa um resultado do i-ésimo experimento para i = 1, 2, ....n.

Exemplo 7: Considere um experimento com 1 jogada da moeda, onde o evento C tem a probabilidade p e o evento c tem a probabilidade q = 1 – p. Considere 3 repetições

c2 C3) = P (C1) P (c2) P (C3) = pqp

ade de obter “exatamente k caras” , então, é igual ao rmo

independentes do experimento, onde o subscrito será usado para diferenciar o experimento com o qual o resultado está associado. Dessa maneira, C1 c2 C3 significa que o primeiro experimento resultou em C, o segundo em c e o terceiro em C. Por causa de nossa hipótese de independência,

P (C1

Se considerarmos o evento “exatamente 2 caras” associado aos experimentos combinados, o seguinte pode ocorrer

ementeconseqüent e maneiras 3 26

23

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

q3p caras) 2 exatamente ( P 2=

Obviamente o anterior pode ser descrito simplesmente como um experimento com 3 tentativas independentes. Por extensão, podemos considerar um experimento consistindo de n jogadas independentes. A probabilidte pkqn - k vezes o número de vezes que o termo pode aparecer. Por esta razão, em n jogadas independentes de uma moeda

onde p = P(C) em qualquer jogada.

Outras considerações: Conceito de probabilidade usando distribuições de freqüências relativas.

Exemplo 8: Um diretor de e

⎠⎝k -n k qp

kn

caras)k e(exatament P ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=

scola numa pequena cidade de 40 famílias classificou cada família de acordo com o número de crianças (menores que 18 anos). As informações obtidas são sumarizadas no quadro 4.1.

Quad

nº de famílias % freq. relativa

ro 4.1: Distribuição de número de crianças por família.

nº de crianças

0 18 45,0 0,450 1 8 20,0 0,200 2 7 17,5 0,175 3 4 10,0 0,100 4 3 7,5 0,075 40 100,0 1,000

O quadro 4.1 mostra, por ex., que 17,5% (0.175) das 40 famílias possuem 2 crianças.

e acordo com o número de crianças na família. Desde que “o número de crianças” varia de mília de variável. Quando selecionamos uma família

uma variável aleatória desde que o seu valor (um

Definição 1:

Agora, suponha que uma das famílias tenha sido selecionada aleatoriamente, ou seja, cada família teve igual chance de ser escolhida. Qual é a probabilidade que a família selecionada tenha 3 crianças? A resposta é 4/40, que é a mesma frequência relativa.

Suponha que há N resultados possíveis num experimento. A probabilidade que um evento ocorra é o número de vezes, f, que o evento pode ocorrer, dividido pelo número total, N, de possíveis resultados.

4.3. Variáveis aleatórias: No exemplo 8 nós vimos um levantamento que classificou cada uma das 40 famílias dfa para família, ela é chamada

ente o “núaleatoriam , mero de crianças” énúmero real) depende de uma chance.

Uma variável aleatória é uma função que atribui números reais aos pontos num espaço amostral.

As variáveis aleatórias são normalmente representadas pelas letras maiúsculas X, W, úmeros reais atribuídos pelas variáveis aleatórias serão

represe

Exemplo 1:

Y ou Z com ou sem subscritos. Os n

ntados por letras minúsculas.

Num experimento onde ao consumidor é dada a chance de escolher 3 produtos, sabonete, detergente ou marca A, o espaço amostral consiste dos 3 pontos representando as 3 possíveis escolhas. Deixe a variável aleatória atribuir o número 1 para a scolha “marca A” e o número 0 (zero) para os outros 2 possíveis resultados. Então, P(X = 1)

or escolher a marca A.

Exemplo 2:

eé igual a probabilidade do consumid

Para 6 meninas e 8 meninos é perguntado se eles se comunicam mais facilmente com suas mães ou com seus pais. Deixe X ser o número de meninas que pensam que se comunicam melhor com suas mães e deixe Y ser o número total de crianças que pensam que se comunicam melhor com suas mães. Se X = 3, nós sabemos que ocorreu o evento “3 meninas pensam que se comunicam melhor com suas mães.” Se, ao mesmo tempo, Y = 7, nós sabemos que ocorreu o evento “3 meninas e 7 – 3 = 4 meninos pensam que se comunicam melhor com suas mães.”

Se X é uma variável aleatória, “X = x” é uma notação simplificada que usamos para corresponder ao mesmo evento no espaço amostral, especificamente o evento que consiste do conjunto de todos os pontos para os quais à variável X foi atribuído o valor “x”.

Exemplo 3: Num experimento consistindo de 2 jogadas de moeda, deixe X ser o número de caras. Então, X = 1 corresponde ao evento contendo os pontos Cc e cC.

Dessa maneira, “X = x” é, às vezes, referida como o “evento X = x,” quando, na realidade, pretendeu-se dizer “o evento consistindo de todos os resultados atribuídos o número x pela variável aleatória X.”

Por causa desta estreita correspondência entre variáveis aleatórias e eventos, as definições de probabilidade condicional e independência se aplicam igualmente bem às variáveis aleatórias.

Definição 2: A probabilidade condicional de X dado Y, P (X = x | Y = y), é a probabilidade que a variável aleatória X assume o valor x, dado que a variável aleatória Y já assumiu o valor y.

0 y) P(Y se y)P(Y

y) Y x, (X P y) Y | x P(X (1) >==

=====

Exemplo 4: Deixe X ser o número de meninas que se comunicam bem com suas mães, das 6 meninas entrevistadas, como no exemplo 2 e deixe Y ser o número total de crianças que se comunicam bem com suas mães. Por conveniência, deixe Z=Y-X, tal que Z é igual ao de meninos, dos 8 entrevistados, que se comunicam bem com suas mães. Assuma que as respostas dadas pelas crianças são independentes de cada outra e que cada criança tem a mesma probabilidade p (desconhecida) de dizer que se comunica bem com a sua mãe. Encontre a probabilidade condicional P ( X=3 | Y=7).

Primeiro, pelas suposições anteriores, X=3 e Z=4 são eventos independentes. Desde que o evento (X=3, Y=7) é o mesmo que o evento (X=3, Z=4), temos a probabilidade

P(X=3, Y=7) = P(X=3, Z=4) = P(X=3) P(Z=4)

or c

4433 p) - (1p 4

p) - (1p 3

(2) ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=86 ⎞⎛⎞⎛

p ausa do exemplo 7 do item 4.2.

Pelo mesmo exemplo, concluímos que

tal que a probabilidade condicional

77 p) - (1p 7

14 7) P(Y (3) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

v

Como os pontos no espaço amostral são mutuamente exclusivos, os valores que uma ariável aleatória pode assumir são também mutuamente exclusivos. Para um simples

junto de valores que uma variável aleatória pode assumir tem as mesmas res individuais assumidos pela variável aleatória tral, um conjunto de valores corresponde a um

evento e a probabilidade da variável aleatória assumir qualquer valor dentro de um conjunto de valores é igual a soma das probabilidades associadas com todos os valores dentro do conjunto. Por exemplo:

eros a e b,

onde o som x que são pares. Por causa dessa similaridade entre o conjunto de valores possíveis de X e um espaço amostral, a descrição do conjunto de

es associadas com os vários valores que X pode assumir, é freqüentemente hamado de função de probabilidade da variável aleatória X, assim como um espaço amostral

a variável

espaço amostral, as robab res de X são conhecidas e a função de

resultado de um experimento, a variável aleatória é definida por apenas um número. Assim, todo o conpropriedades do espaço amostral. Os valocorrespondem aos pontos no espaço amos

onde o somatório se estende a todos os valores de x entre, não incluindo os núm

atório se aplica a todos os valores de

probabilidadctem uma função de probabilidade. Entretanto, a função de probabilidade de umaleatória não é uma atribuição arbitrária de probabilidades, como é a função de probabilidade para um espaço amostral. Isto porque uma vez que as probabilidades são atribuídas aos pontos num espaço amostral e uma vez que a variável aleatória X é definida nop ilidades associadas com os vários valoprobabilidade de X é, dessa maneira, já determinada.

Definição 3: A função de probabilidade da variável aleatória X, usualmente

u

representada por f(x) ou de outra maneira qualquer, é a função que dá a probabilidade de X assumir o valor x, para qualquer número real x, ou seja,

x) P(X f(x) (5)

Vimos até aqui que a distribuição de probabilidades associadas com uma variável aleatória pode ser descrita por uma função de probabilidade. Uma outra maneira de dizer a

esma coisa é através de uma função de distribuição que descreve as probabilidades macum ladas.

==

0.408 14!

4)! - (8 4!

3)! - (6 3! =

⎞⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝=

7)! - (14 7!

7 14

7)

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

48

36

Y | 3 P(X )4(⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

8!6! ⎞⎛⎞⎛

x) P(X b) X (a Pbxa

∑ ==<<<<

∑ ===parx

x) (X P par) número (X P

Definição 4: A função de distribuição de uma variável aleatória, usualmente representada por F(x), é a função que dá a probabilidade de X ser menor ou igual a qualquer número real x, ou seja,

onde o somatório se estende a todos os valores de t que não forem superiores a x.

Definição 5: Deixe X ser uma variável aleatória. A distribuição binominal é a distribuição de probabilidade representada pela função de probabilidade

A função de distribuição será então

onde: n é número inteiro positivo, 0 ≤ p ≤ 1 e q = 1 – p. Note que usaremos a convenção usualque 0! = 1.

onde o somatório se estende a todos os possíveis valores de i menor ou igual a x. Há tabelas prontas para alguns valores selecionados dos parâmetros n e p.

Exemplo 5: Um experimento com n testes independentes, onde cada teste pode e P e q,

spect tão, como ostra e

para x neira, o experimento tem a distribuição binominal.

resultar em um dos dois resultados “sucesso” ou “insucesso,” com probabilidadivamente. Deixe X ser igual ao número total de “sucessos” nos n testes. Enre

m do na quação (7),

∑≤xt

n .., 0,1, x para qp xn

x)P(X f(x) )7( x-nx =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

i-ni

xiqp

in

x) P(X F(x) )8( ∑≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤=

x ⎠⎝

=≤= f(t) x) (X P F(x) )6(

x-nxqp n

x) (X P ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

==

inteiro de 0 a n. Desta ma

Definição 6: Deixe X ser uma variável aleatória. A distribuição discreta uniforme é a distribuição de probabilidade representada pela função de probabilidade.

(9) f(x) = 1/N para x = 1,2, ... , N

esta maneira, X pode assumir qualquer valor inteiro de 1 a N com igual

plo 6:

Dprobabilidade, se X tem a função de probabilidade discreta uniforme.

Exem Há em um saco N papeletas numeradas de 1 a N. O experimento consiste

apeletas que podem ser tiradas. Deixe X ser igual o número da papeleta tirada. Então X tem a distribuição uniforme discreta.

de tirar uma papeleta do saco, onde cada papeleta tem a mesma chance de ser tirada. O espaço amostral tem N pontos, representando as N pa

Definição 7: A função de probabilidade conjunta f (x1, x2, .. xn ) das variáveis de X1 = x1, X2 = x2, ... , Xn = xn.

(10) f(x1, x2, .. xn ) = P (X1 = x1, X2 = x2, ... , Xn = xn )

aleatórias x , x , .. x é a probabilidade da ocorrência conjunta1 2 n

Definição 8: A função de distribuição conjunta F(x1, x2, .. xn ) das variáveis

aleatórias x1, x2, .. xn é a probabilidade da ocorrência junta de X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ... , Xn ≤ xn .

xn )

Exemplo 7:

(11) F(x1, x2, .. xn ) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ... , Xn ≤

Considere as variáveis aleatórias X e Y como definidas no exemplo 2.

onde

onde o somatório na equação (13) se estende a todos os valores de x e y tal que x ≤ 3 e y ≤

ser avaliadas sem conhecer o valor de p.

Considere f(x,y) e F(x,y) como as funções de probabilidade conjunta e de distribuição, respectivamente.

77 p) - (1p 48

36

7) Y 3, (X P 7) f(3, )12( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛====

e

e7, com a usual restrição de que x e y – x são inteiros não negativos. Note que as equações (12) e (13) não podem

Definição 9: A função de probabilidade condicional de X dado Y, f(x | y) é

(14) f(x | y) = P(X = x | Y = y) Da equação 1 vemos que

ta de X e Y e f(y) é a função de probabilidade de Y e

∑≤≤≤≤

=≤≤=

7yx3x0

y) f(x, 7) Y 3, (X P 7) F(3, )13(

x)-(y - 8x-y x- 6x p) - (1p x-y

8 p) - (1p

x6

y) f(x, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

onde f(x, y) é a função de probabilidade conjunm si.

Exemplo 8: Como uma continuação do exemplo 7, considere f(x | y) como a função de probabilidade condicional de X dado Y.

F(3 | 7) = P(X = 3 | Y = 7) = 0.408 da equação (4)

f(y)y) f(x, =

y)y) Y x, P(X y) Y | x P(X y) |f(x )15( ==

====P(Y =

Para encontrar a fórmula geral para f(x | y) (isto é, para qualquer valor de x e y), rimeiro deixe f(x, y) ser a função de probabilidade conjunta de X e Y. Isto é dado no xemplo 7 como

que originalmente era uma forma geral da equação (2). Também, deixe f(y) ser a função de probabilidade de Y. Do exemplo 4, novamente, podemos generalizar da seguinte maneira

Pela definição 9 podemos agora escrever a função de probabilidade condicional de X dado Y

y

ente

Definição 10:

pe

x)-(y - 8x-y x- 6x p) - (1p x-y

8 p) - (1p

x6

y) f(x, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

y- 14y p) - (1p y14

y) P(Y f(y) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

=

onde todos os termos que envolvem o parâmecancelados.

tro desconhecido p foram convenientem

Considere X1, X2, ... , Xn como variáveis aleatórias com as respectivas funções de probabilidade f1 (x1), f2 (x2), ... , fn (xn) e com a função de probabilidade conjunta f (x1, x2, ... , xn ). Então X1, X2, ... , Xn são mutuamente independentes

(17) se: f(x1, x2, ... , xn ) = f1 (x1) f2 (x2) ... fn (xn)

para todas as combinações dos valores de x1, x2, ... , xn.

Exemplo 9: Considere o experimento descrito no exemplo 8. Então, a função de probabilidade de X é dada por

e a função de probabilidade de Y é dada por

∫ ≤≤≤≤

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==8 x -y 0

6 x 0 para

y14

x-y 8

x6

f(y)

y) f(x, y)f(x )16(

y - 14y2 p) - (1p

y14

y) (Y P (y)f (19) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

x- 6x1 ) p - (1p

x6

x) (X P (x) f (18) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

Desde que:

f(x, y) = P(X = x, Y = y) = y)

vemo e, por esta razão, X e Y não são independentes.

P(X = x | Y = y) P(y =

O uso das equações (16) e (19) resulta na função de probabilidade conjunta de X e Y, sendo dada por

desde que:

s que:

f(x, y) é diferente de f1(x) f2(y)

y - 14y p) - (1p x-y

8

x6

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎠⎝

y x - 20y x 21 p) - (1p

y14

x6

(y)f (x)f ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

y - 14y p) - (1p y14

y14

x-y 8

x6

y) f(x, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

CAPÍTULO 5 DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Uma função de distribuição mostra, para uma população, a freqüência relativa (números reais) de uma variável aleatória

urais que são con r) ou distribuição com a forma de s

(probabilidade) com que diferentes valores ocorrem. Em geral, cada população tende a ter a sua própria distribuição. No entanto, a distribuição normal é a mais popular de todas por causa de sua grande aplicabilidade na aproximação do comportamento de um grande número de variáveis aleatórias nat

tínuas. Ela é conhecida como distribuição de Gauss (difusoino – V. Figura 5.1. abaixo.

Função:

( )( )( )

σµ

πσσµ

25.0

21,;

−−

=x

exn

Para: +∞<<∞− x

µ

σ

-3 -2 -1 1 2 3z

68,27%95,45%99,73%

- ∞ + ∞

Figura 5.1: Curva normal pad

rão

Propriedades:

A curva normal padrão (CNP) tem µ = 0 e σ = 1

A CNP é simétrica em torno de zero

ibuição normal. Se você usar os testes desenvolvidos com base na distribuição normal, sem atender a condicionante da normalidade, o teste perde a robustez e a consistência e os

Área sob a CNP é igual a 1 A CNP se estende indefinidamente em ambas direções

A maior parte (99,73%) da CNP fica entre -3 σ e +3 σ

Toda a estatística paramétrica foi desenvolvida com base nos pressupostos da distr

seus re o

da normalidade.

ativa da média verdadeira da população, µ. Por exemplo, podemos estar interessados em saber:

ter a idade m a tarefa muito fácil. Não há necessidade de fazer r por 18. Entretanto, em nossa área de “muito grandes” com tendência ao

infinito

sultad s podem perder toda a confiabilidade. Entretanto, nem sempre as variáveis aleatórias distribuem-se na forma perfeita de um sino (µ = 0 e σ = 1). Há várias maneiras de superar este tipo de obstáculo, como aumentar o número de amostras e fazer transformações. Só não pode ignorar o detalhe

5.1. Estimando a média da população: Na estatística de inferência tudo gira em torno da obtenção da estim

o volume médio, µ, de uma determinada área florestal

a idade média, µ, dos estudantes da turma-2006 do CFT

Se a população é pequena, µ é calculada sem problemas; no caso de populações maiores, a média tem que ser estimada usando amostragem de parte da população. No caso do CFT, 18 estudantes, ob édia é umamostragem, basta somar a idade de cada um e dividiconhecimento, a gente só trabalha com populações

. Neste caso, fica muito difícil e caro, senão impossível, obter a média verdadeira da população, µ. Levando em conta os princípios e as condicionantes da amostragem, é possível obter informação suficientemente precisa (e confiável) sobre µ tomando apenas parte da

população para estimar a média amostral x_

.

Exemplo 1: queremos saber a idade média dos estudantes da pós-graduação do INPA, que tem uma população igual a 200. Para isso, selecionamos, aleatoriamente, 10 estudantes e anotamos a idade de cada um. Portanto, temos uma amostragem de 10 estudantes de uma população de 200 - hipoteticamente.

Quadro 5.1. idades de 10 estudantes de pós-graduação do INPA

estudante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

idade 23 25 26 28 26 24 25 27 30 26

A idade média (amostral) será:

x_

= ( ∑ xi ) / n

para: n = 10 e i = 1, 2, ... n

x_

= 26 anos Se você utilizou uma amostra representativa da população, você estará afirmando que

a média s, µ, deve ser em torno de 26 anos. verdadeira da população dos 200 estudante

Diante disso, surgem algumas questões:

(i) Qual é a justificativa para utilizar a média amostral x_

para estimar a média da população µ ?

(ii) Qual é a confiança sobre a precisão envolvida ao usar x_

para estimar µ ? No exempl , ual é a probabilidade da idade o 1 se uma amostragem com 10 estudantes é utilizada, q

x_

média a ostral, m , estar dentro de um intervalo (vamos dizer, 1 ano) da média da população, µ ?

) amostragem para assegurar uma certa precisã o

(iii Qual é a necessária intensidade deo c m grande confiança? No exemplo 1, quão grande deveria ser uma amostragem

(10? 20 estudantes?) para assegurar que 95% de todos os possíveis x_

caíssem dentro de um interva

er todas estas questões nesta apostila. A primeira será respondida, parcialm

lo de 1 ano da média da população, µ ?

Vamos respondente, neste capítulo e completada no capítulo 6. As outras duas (ii e iii) serão

respondidas nos capítulos 6 e 7, respectivamente.

Ao amostrar uma população, a média amostral, x_

, é uma variável aleatória. No capítulo média da população. A ince ce sobre qual a amostra foi selecionada. Apesar disso, a incerteza dimsentenç

6, vamos ver, em detalhes, como este valor é “parecido” com arteza da estimativa depende de uma chan a

inui com o aumento da intensidade de amostragem. Isto é uma a de um teorema matemático chamado “a lei dos grandes números” e é a nossa

justificativa para usar x_

para estimar µ.

5.2. Curva normal padrão (CNP) ou curva-z:

A “lei dos grandes números” é a nossa justificativa matemática para usar x_

para sma forma, ela não é particularmente útil para isão de tais estimativas. Esta lei, por exemplo,

estimar µ ...justifica, mas não explica. Da meresponder questões práticas envolvendo a prec

não informa sobre a probabilidade de x_

estar dentro do intervalo de 1 ano de µ. As

probabilidades para x_

podem ser obtidas “aproximadamente” usando áreas sob certas curvas forma de “sino”.

H

em

á várias curvas normais, que variam de acordo com a média e desvio padrão, µ e σ.

a, usar a CNP para obtenção

em todas as probabilidades (áreas sob a CNP) calculadas com precisão de dois

No entanto, a curva que norteia todas as outras curvas, é a curva normal padrão (Figura 5.1). Tanto a forma como as propriedades da CNP podem ser vistas nesta figura. Só existe uma única curva normal padrão, com µ = 0 e σ = 1. Quando você tem pela frente situações com médias e desvios diferentes de 0 e 1, respectivamente ... não entre em pânico! Tudo que tem que ser feito é “padronizar” a sua variável aleatória e, em seguiddas probabilidades (ou áreas).

A curva apresentada na Figura 5.1. foi desenhada depois de integrar a função de distribuição, de z = 0 a z = 3,9 para a primeira metade da curva à direita de 0. Como a parte da curva à esquerda de 0 é espelho da parte à direita, as probabilidades da esquerda foram calculadas de z = -3,9 a z = 0. Portanto, o trabalho braçal já está feito. A Tabela 1 (anexo da apostila) tdígitos.

Vamos ver como funciona a Tabela 1 (anexo da apostila) usando alguns exemplos. As figuras que ilustram o uso da Tabela 1 estão no anexo deste capítulo.

Exemplo 2: Achar a área sob a curva normal padrão (CNP) à esquerda de z = -0,97.

A solução gráfica está na Figura 5.2-a.

Você vai direto à tabela 1 e procure z = -0,9 (sentido vertical), depois o centésimo (7) (sentido horizontal) e no encontro dos dois números (0,97), você tem a área (que é a probabilidade) sob a CNP.

Neste caso, a área é igual a 0,1660. Isto quer dizer que 16,6% da área está à esquerd

P é igual a 1.

a de z = -0,97 ou que 83,4% está à direita de z = -0,97.

Não esquecer que a área total sob a CN

Exemplo 3: Achar a área sob a CNP à direita de z = 2,5.

Veja a solução gráfica na Figura 5.2-b.

De novo, você vai à tabela 1 e procure z = 2,5, depois o centésimo 0 e no encontro dos dois números (2,50), você tem a área (que é a probabilidade) sob a CNP.

Neste caso, você está calculando a área sob a CNP de - ∞ até 2,5, que dá 0,9938 ... à esque

ubtrair de 1 (área total da á 1 – 0,9938 eita da CNP.

rda de z = 2,5.

Como você quer saber a área à direita de z = 2,5, você tem que s CNP) e aí sim você terá a área à direita de z = 2,5. Assim, a área à direita ser

= 0,0062, ou seja, 0,62% da área está à dir

Exemplo 4: Achar a área sob a CNP entre z = -1,04 e z = 2,06.

Veja a solução gráfica na Figura 5.2-c.

Neste caso, são necessários os seguintes passos: (1) achar a área à esquerda de z = -1,04, que é igual a 0,1492; (2) achar a área à direita de z = 2,06, que é igual a 0,9803; (3) calcular a área entre z = -1,04 e z = 2,06, que é dada pela diferença (0,9803 – 0,1492), que é igual a 0,8311.

5.3. Á ntrar as áreas sob a curva normal padrão (CNP). riações da média µ e do desvio padrão ostral

Portanto, a resposta é: a área sob a CNP entre z = -1,04 e z = 2,06 é 0,8311, ou seja, 83,11% da área da CNP está entre os dois pontos de “z”.

reas sob outras curvas normais: Na seção anterior mostramos como enco No entanto, há várias curvas normais, que variam de acordo as va

σ. Para calcular as probabilidades (áreas sob a CNP) para a média am

x_

(o princip

são usualmente representados por média µ e desvio padrão σ. O parâmetro µ nos diz

No entanto, no mundo real esta condição de µ = 0 e σ = 1 é praticamente impossível Igual à CNP, a

ou assimétrica. A assimétrica pode ser negativa (maior freqüência dos dados tendendo à direita

al objetivo), precisamos ser capazes de encontrar as áreas sob qualquer curva normal.

Cada curva normal pode ser identificada por 2 números chamados parâmetros. Estes dois parâmetros

onde a curva está centrada e σ indica a dispersão da curva normal. Como vimos na Figura 5.1, quando µ = 0 e σ = 1, temos a curva normal padrão.

de ser verificada. Os parâmetros µ e σ variam entre populações diferentes. curva normal (ou curvas normais) é centrada na µ e quanto maior for σ, mais dispersa (achatada ou esparramada) será a curva. A curva normal tem as mesmas propriedades da CNP. A única diferença é que o eixo horizontal da CNP é z e das outras curvas normais, o eixo é x.

As curvas normais podem assumir diferentes formas. As figuras 5.3-a, 5.3-b e 5.3-c ilustram as diferentes formas, as quais podem ser consideradas, respectivamente, como platicúrtica, mesocúrtica e leptocúrtica. É óbvio que existe um limite de achatamento para que a curva seja considerada normal. Este limite pode ser determinado usando o teste de achatamento ou curtose. Da mesma maneira, a curva normal pode ser simétrica

do eixo horizontal) e positiva (maior freqüência tendendo à esquerda do eixo) – V. Figura 5.4. Também neste caso, há limite para a assimetria, que pode ser definido usando o teste de

assimetria.

Exemplo 5: Achar área sob a rv rm = σ ) x = 1 e x = -1.

ção gráfica na r -a

: z = 3,0 (para x = 1) e z = 1 (para x = -1).

tanto, a resposta é: a área sob a curva normal entre x = -1,0 e x = 1,0 é 0,1574,

cu a no al (µ -2 e = 1 entre

Veja a solu Figu a 5.5 .

Primeiro de tudo é preciso padronizar a variável aleatória “x”.

Os resultados da padronização são

Agora, você vai a Tabela 1 (anexo da apostila) para: (1) achar a área à direita de z = 3,0, que é igual a 0,9987; (2) achar a área à direita de z = 1, que é igual a 0,8413; (3) calcular a área entre z = 3,0 e z = 1,0, que é dada pela diferença (0,9987 – 0,8413), que é igual a 0,1574.

Porou seja, 15,74% da área sob a curva normal está entre os dois pontos de “x”.

Exemplo 6: Achar a área sob a curva normal (µ = 3 e σ = 2) entre x = 2 e x = 7.

Veja a solução gráfica na Figura 5.5-b.

Primeiro de tudo é preciso padronizar a variável aleatória “x”.

2,0 e x = 7,0 é 0,6687, ou

Os resultados da padronização são: z = -0,5 (para x = 2) e z = 2,0 (para x = 7).

Agora, você vai a Tabela 1 (anexo da apostila) para: (1) achar a área à esquerda de z = - 0,5, que é igual a 0,3085; (2) achar a área à direita de z = 2, que é igual a 0,9772; (3) calcular a área entre z = -0,5 e z = 2,0, que é dada pela diferença (0,9772 – 0,3085), que é igual a 0,6687.

Portanto, a resposta é: a área sob a curva normal entre x =seja, 66,87 % da área sob a curva normal está entre os dois pontos de “x”.

Exemplo 7: Achar área sob a curva normal (µ = 6 e σ = 3) entre x = 0 e x = 12.

Veja a solução gráfica na Figura 5.5-c.

Primeiro de tudo é preciso padronizar a variável aleatória “x”.

Os resultados da padronização são: z = -2,0 (para x = 0) e z = 2 (para x = 12).

Agora, você vai à Tabela 1 (anexo da apostila) para: (1) achar a área à direita de z = 2,0, que é igual a 0,9772; (2) achar a área à esquerda de z = -2, que é igual a 0,0228; (3) calcular a área entre z = 2,0 e z = -2,0, que é dada pela diferença (0,9772 – 0,0228), que é

ual aig 0,9544.

Portanto, a resposta é: a área sob a curva normal entre x = 0 e x = 12 é 0,9544, ou seja, 95,44 % da área sob a curva normal está entre os dois pontos de “x”.

5.4. Populações normalmente distribuídas e variáveis aleatórias: Agora chegou a vez de ver como se usa as áreas sob as curvas normais para encontrar

as probabilidades para x_

(aproximadamente). Antes, porém, vamos fazer algumas considerações sobre populações e variáveis aleatórias normalmente distribuídas.

A grande maioria (não todas) das populações e variáveis aleatórias que são representadas por quantidades como peso, volume, área basal, DAP etc. tem distribuição de probabilidade que pode ser representada, pelo menos aproximadamente, por meio de curvas normais. Em outras palavras, as probabilidades para tais quantidades podem ser encontradas

s normais. Vamos ver isso com exemplos. por meio da interpretação das áreas sob as curva

Exemplo 8: Uma população consistindo do peso (em kg) de um grupo de 100 estudantes de mestrado. Os dados da população estão sumarizados no quadro abaixo.

Quadro 5.2: distribuição de pesos de uma população em intervalos de 1 kg.

Peso (x) 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

freqüência (f) 1 2 6 13 17 20 18 12 7 3 1

f relativa (prob) ,01 ,02 ,06 ,13 ,17 ,20 ,18 ,12 ,07 ,03 ,01

O histograma e o polígono de freqüências (absoluta e relativa) dos dados contidos no .

Como em qualquer população, podemos associar a esta população de pesos, uma

plesmente as freqüências relativas. Exemplo: qual é probabilidade de pegar um estudante com peso ig % ou 0,13 (freqüência relativa do quadro 5.2).

rmos das

s parâmetros µ e σ, onde µ é a média da

Do quadro 5.2, a média (µpadrão (σ) é igual a 1,95. Estes dois parâmtrabalhar com uma curva normal 1,95. Podemos querer saber, por

.2, temos a probabilidade exata disto acontecer, olhando apenas para a freqüência

iferente. Nem sempre você tem uma população tão r µ e σ e as freqüências relativas. Vamos

quadro 5.2 são apresentados na Figura 5.6

variável aleatória x, como o peso de um estudante selecionado ao acaso. Neste caso, as probabilidades de x são sim

ual a 72 kg? Resposta: 13

O ponto importante deste exemplo é que o histograma de freqüência (Figura 5.6) tem uma quase perfeita forma de sino. Por causa disto, seremos capazes de aproximaprobabilidades para x usando as áreas sob uma curva normal. Como você pode notar, a curva normal apropriada é simplesmente aquela com opopulação (ou da variável aleatória x) e σ é o seu desvio padrão.

) da variável aleatória x é igual a 70,06 kg e o seu desvio etros podem ser sobrepostos à Figura 5.6 para

com µ = 74,06 e σ = exemplo, qual é a probabilidade (área) de pegar, aleatoriamente, um estudante com 72 kg. Do quadro 5relativa desta classe (72), que é 0,13 ou 13%. A propósito, a classe 72 vai de 71,5 a 72,5. Desta forma, podemos escrever assim: P (71,5 < x < 72,5) = 0,13.

No entanto, o mundo real é dpequena e tão bem organizada que permite tetrabalhar, agora, sem as freqüências relativas. Você tem uma população com µ = 74,06 e σ = 1,95 e quer saber qual é a probabilidade (área) de pegar, aleatoriamente, um estudante com 72 kg.

Passos necessários: (1) desenhar a curva normal com µ = 74,06 e σ = 1,95; (2) definir o quê você está procurando, que é a probabilidade P (71,5 < x < 72,5); (3) padronizar as variáveis aleatórias, x = 71,5 e x = 72,5; (4) achar as áreas para os respectivos “z” sob a CNP

exo da apostila).

Solução

(Tabela 1 do an

: a padronização das variáveis aleatórias x = 71,5 e x = 72,5 resulta em z = -1,31 e vai à Tabela 1 para encontrar as áreas sob a CNP para z = -1,31 e z = -0,80, obtendo as áreas 0,0951 e 0,2119, respectivamente. O

0,0951 = 0,1168, ou seja, a probabilidade de selecionar, com peso igual a 72 kg (71,5 a 72,5) é de 11,68%.

z = -0,80, respectivamente. Agora, você

resultado é então: 0,2119 - aleatoriamente, um estudante

Sumarizando: a probabilidade exata de selecionar, aleatoriamente, um estudante com peso igual a 72 kg é de 13% e a estimada é de 11,68%.

Um importante ponto do exemplo 8 é que, para certas populações e certas variáveis

são aproximadamente

.5. P variável aleatória: va normal com parâmetros diferentes de µ = 0 e onverter os valores de x para valores de z por m

aleatórias, podemos usar as áreas sob a curva normal para determinar as probabilidades. Neste caso, podemos dizer que a população ou a variável aleatória é normalmente distribuída. Dizer que uma população ou variável aleatória é normalmente distribuída (aproximadamente) significa que as probabilidades para a população ou variável aleatóriaiguais às áreas sob a curva normal.

5 adronizando a Já vimos que para encontrar as áreas sob a cur σ = 1 é preciso usar a padronização, ou seja, ceio da seguinte fórmula:

σµ−

=xz

antes mos ver o significado de z e seus desdob

xemplo 9

de usar a curva normal padrão (CNP). Varamentos com exemplos.

E : Considere o DAP de uma árvore selecionada ao acaso. Então, DAP é uma variáve édia µ = 100 cm e desvio padrão σ = 10. Por meio da padronização da variável

l aleatória x com mos x terem

x 100−

=z10

ente, uma árvore qualquer da ZF-2, com 120 cm de DAP, por exemplo, o que acontece?

e a árvore selecionada, a população.

O processo pode ser também invertido, ou seja, temos o z e queremos encontrar o valor da variável aleatória x. Vamos ao exemplo.

Exemplo 10

e se pegarmos, aleatoriam

z = (120 – 100) / 10 = 2 Qual é o significado deste número, z = 2? Isto significa qu

aleatoriamente, com DAP = 120 cm está a dois desvios (σ) da média d

: temos z = 1,5; isto é, a variável x está 1,5 vez σ da média. Qual é x?

1,5 = (x – 100) / 10 = ?

x = 100 + 10(1,5) = 115

ou seja, nesta população, uma árvore para estar 1,5 vez do desvio, tem que ter DAP igual a 115 cm.

Agora, vamos ao principal ponto desta seção. Considere x uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e desvio padrão σ. Então, a variável aleatória, que pode ser padronizada da seguinte maneira:

σµ−

=xz

tem a distribuição normal padronizada. Desta maneira, nós calculamos as probabilidades para a variável x por meio da interpretação das áreas sob a CNP. Daqui para frente, este fato será usado como guia.

Exemplo 11: pense na floresta adulta (DAP ≥ 25 cm) do Distrito Agropecuário da Suframa, onde todos os DAPs são normalmente distribuídos com µ = 35 cm e σ = 5.

Sabemos que a var

iável x padronizada

535−

=−

=xxz

σµ

tem a distribuição normal pa m as propriedades da CNP mos

drão. Isto quer dizer que, de acordo cote

( )( ) 9545,022 =<<−( ) 6827,011

9973,03

=<<−

3 =<<−

zP

zP

Considerando que z é simplesmente o número de desvios padrões que x se afasta de sua média, podemos dizer que as probabilidades para intervalos contendo ± 1 desvio, ± 2 desvios e ± 3 desvios são, respectivamente, 0,6827, 0,9545 e 0,9973.

No caso da floresta do Distrito, isto quer dizer, com base nos parâmetros de média µ = 35 cm e desvio σ = 5, temos o seguinte:

(i) P (-1 < z < 1)

35 – 1 (5) = 30

35 + 1 (5) = 40 => limite superior do intervalo

(ii) P (-2 < z < 2)

35 – 2 (5) = 25 => limite inferior do intervalo

35 + 2 (5) = 45 => limite superior do intervalo

(iii) P (-3 < z < 3)

35 – 3 (5) = 20 => limite inferior do intervalo

35 + 3 (5) = 50 => l

Sumarizando:

a) 68,26% das árvores do Distrito têm DAPs entre 30 e 40 cm

b) 95,44% das árvores do Distrito têm DAPs entre 25 e 45 cm

c) 99,74% das árvores do Distrito têm DAPs entre 20 e 50 cm

zP

=> limite inferior do intervalo

imite superior do intervalo

-3 -2 -1 1 2 30

σ

µ = 0

z

Z = -0,97

Área = 0,1660

Figura 5.2-a: área à esquerda de z = -0,97

-3 -2 -1 1 2 30

σ

µ = 0

z

Z = 2,5

Área = 0,9938

Figura 5.2-b: área à direita de z = 2,5

Passo 1: área para z = -1,04 Passo 2: área para z = 2,06

-3 -2 -1 1 2 30

σ

µ = 0

z

Z = -1,04

Área = 0,1492

-3 -2 -1 1 2 30

σ

µ = 0

z

Z = 2,06

Área = 0,9803

Final: Área entre z = - 1,04 e z = 2,06

-3 -2 -1 1 2 30

σ

µ = 0

z

Z = 2,06Z = -1,04

Área = 0,9803 – 0,1492 = 0,8311

Figura 5.2-c: entre z = - 1,04 e z = 2,06

µ = -2 σ = 1

Figura 5.3-a: curva normal com

µ = 3 σ = 2

Figura 5.3-b: curva normal com µ = 6 σ = 3

Figura 5.3-c: curva normal

630-3 9 12 15

-2-3-4-5 -1 0 1x

31-1-3 5 7 9x

POSITIVA NEGATIVA

ASSIMETRIA

Figura 5 ormais

.4: Assimetria das curvas n

-2-3-4-5 -1 0 1

0-2-3 1 2 3-1

Padronizando “x”x - µ

z = ------------σ

1 – (-2)z = ------------ = 3,0

1

-1 - (-2)z = ------------ = 1,0

1

x

z

Área sob a curva normal (µ = -2 e σ = 1) entre x = 1 e x = -1)

z = 3z = 1

Figura 5.5-a: Exemplo 5

31-1-3 5 7 9

0-1-2-3 1 2 3

x

z

Padronizando “x”x - µ

z = ------------σ

Área sob a curva normal (µ = 3 e σ = 2) entre x = 2 e x = 7)

2 – (3)z = ------------ = -0,5

2

7 - (3)z = ------------ = 2,0

2

z = 2z = - 0,5

Figura 5.5-b: Exemplo 6

630-3 9 12 15

0-1-2-3 1 2 3

x

z

Padronizando “x”x - µ

z = ------------σ

Área sob a curva normal (µ = 6 e σ = 3) entre x = 0 e x = 12)

0 – (6)z = ------------ = -2,0

3

12 - (6)z = ------------ = 2,0

3

z = -2,0 z = 2,0

Figura 5.5-c: Exemplo 7

0

25

5

10

15

20

freq

abs

olut

a

0,05

0,1

0,15

0,2

freq

rela

tiva

(pro

b)

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

peso (kg)

0

0,25

Figura 5.6: Histograma e polígono de freqüência (absoluta e relativa).

x_

Capítulo 6 – Distribuição amostral da média ( )

anejo,

Por analogia, média (volume) de uma floresta é o mesmo que a “média” usada para definir café-com-leite em muitos bares do sul e sudeste do Brasil. Em um copo de 100 ml, uma média deveria ter 50 ml de café e 50 de leite. Certo? Errado ... porque se fosse assim, o balconista não teria na ponta da língua aquela pergunta: “mais café ou mais leite?” Mais leite ou mais café vai depender do gosto do freguês e da mão do balconista. Você tem que confiar

por causa dos custos de coletas de

em é o número total de amostras ( n ) dividido pelo número

500 m2 cada (¼ hectare) para realizar o inventário florestal; neste aso n = 100 e N = 4.000 (nº total de possíveis amostras de, ¼ ha, ou seja, 20x125m).

Do ponto de vista teórico, vamos mostrar como calcular as probabilidades de

Todo eng florestal sabe que o inventário florestal é o primeiro passo para planejar o m sentido lato de uma floresta, nativa ou artificial. O inventário, por sua vez, consiste em obter uma média representativa da população de interesse seja em termos de volume, área basal ou outra variável de interesse.

O que é uma média representativa?

ou parar de tomar aquela “média” naquele bar. De qualquer modo, o total do copo não passará de 100 ml, ou seja, o excedente de café (+) será anulado pelo que falta de leite (-) ou vice-versa.

Vamos mostrar neste capítulo que a estimativa de uma média tende sempre a ser parecida com a média verdadeira da população. O que muda é o desvio padrão, que é base de cálculo da incerteza. A tendência é diminuir a incerteza (que é bom) com o aumento da intensidade de amostragem. Portanto, média representativa é aquela que proporciona confiança (incerteza sob controle) e conforto ($) para quem vai usá-la.

6.1. Amostras aleatórias Amostra pode ser um único indivíduo ou um conjunto deles. No caso de pesquisas de opinião, cada eleitor é uma amostra. No caso de inventário florestal, um conjunto de árvores corresponde a uma amostra. Na Amazônia, vários estudos apontam que parcela de 2.500 m2 é suficiente para cobrir as variações (volume) de uma determinada área florestal com DAP ≥ 20 cm, ou seja, um conjunto com aproximadamente 50 árvores.

Em geral, as amostras têm que ser tomadas de forma aleatória, pois foi assim que a estatística de inferência foi concebida. No entanto, a amostragem aleatória pode ser desdobrada em: inteiramente aleatória e aleatória restrita. Tanto nos inventários, como em pesquisas de opinião, a aleatória restrita é a mais utilizadadados e tem produzido bons resultados. No caso de eleições presidenciais, a população de eleitores brasileiros é estratificada por sexo, idade e, principalmente, por densidade eleitoral. Em inventários na Amazônia, a maioria utiliza a amostragem em dois estágios, ou seja, seleciona aleatoriamente a unidade primária e distribui as unidades secundárias de forma sistemática.

Intensidade de amostragtotal de possíveis amostras em uma população ( N ). Por exemplo: os institutos de pesquisas (Ibope, Datafolha etc.) ao realizar uma pesquisa de opinião sobre eleições presidenciais no Brasil, têm utilizado em torno de 4.000 eleitores de um total de 115 milhões; neste caso, n = 4.000 e N = 115 milhões. No nosso caso, se você tem uma área de 1.000 hectares e quer instalar 100 amostras de 2.c

x_

usando as áreas sob as curvas normais. Isso quer dizer que temos que determinar a

distribuição da probabilidade da variável aleatória x_

. A distribuição de probabilidade de x_

é chamada de distribuição amostral da média.

6.2. A média da média ( x_

) e o desvio padrão de ӯ (σ x_

)

O primeiro passo para descrever a distribuição amostral da média é saber como

encontrar a média e o desvio padrão da variável aleatória x_

. Isto é necessário para usar os

métodos da curva normal para encontrar as probabilidades para x_

.

As fórmulas para calcular essas duas variáveis são:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −− ∑

−

ixi

xpxµ

e

( )⎟⎞

⎜⎛×

−= ∑ ixi p

x 2µσ

⎠⎝−−−

=

ostragem. No entanto, se você entender o significado da estimativa da média erro padrão da média conforme se aumenta intensidade

ariáve

2 e 3. A situação 1 se refere a uma amostragem considerando n = 2, ou seja,

ixix n1 1

Vamos ver isso por meio de um exemplo meio irreal. Vamos considerar as idades (congelada em 2003) de cada membro de minha família (eu, mulher e 3 filhos) como uma população, ou seja, N = 5. Esta situação nunca será encontrada na vida real porque para saber a idade média dessa família basta somar as 5 idades e dividir por 5 ... ninguém vai utilizar os recursos da amda população e o comportamento do

ostragemde am , para uma pequena população (N = 5), fica mais fácil entender essas duas v is aleatórias quando for trabalhar com uma população grande ou infinita (número de eleitores do Brasil, N = 115 milhões, floresta da ZF-2 etc.).

Temos 3 situações ilustrando a utilização de 3 intensidades diferentes de amostragem – anexos 1,escolha aleatória de 2 pessoas para estimar a média da população. Primeiro você tem que saber quantas combinações são possíveis ao sortear 2 (n) de um conjunto de 5 (N) pessoas. Só para lembrar: fatorial de zero (0!) é igual a 1 e fatorial de números negativos ou não inteiros não existe. Isto é mostrado na página que ilustra a situação 1. Depois disso, você tem que

estimar a média de cada combinação possível. Aplicando a fórmula de µ x_

você vai encontrar a média da média de todas as possíveis combinações. Você vai notar que a média da média é exatamente igual à média verdadeira da população.

Repetindo as mesmas operações para as situações 2 e 3, respectivamente, amostragens de n = 3 e n = 4, você vai notar que a média da média será sempre igual à média da população, mudando apenas o desvio padrão da média. Resumindo: a média da amostra será se muito parecida com a da população e conforme você aumenta o n, o desvio padrão da média (ou erro ou incerteza) d inui. Você se convenceu desta afirmativa? Se não, é melhor tentar a vida em outra praia.

Se sim, vamos pensar agora em termos de população de verdade. Vamos falar de eleitores brasileiros. Em geral, os institutos utilizam aproximadamente 4.000 eleitores para in erir

mpreim

f sobre a população de 115 milhões de eleitores brasileiros. Quantas possíveis mbinco ações são possíveis quando a gente utiliza n = 4000 de N = 115 milhões? É só fazer as

contas ... mas não as faça.

115.000.000 115.000.000 != ------------------------------------- possíveis combinações

4.000 4.000 ! (115.000.000-4.000) !

115.000.000 115.000.000 != ------------------------------------- possíveis combinações

4.000 4.000 ! (115.000.000-4.000) !

É óbvio que ninguém vai fazer todas as possíveis combinações. Se fizesse, a média da média seria exatamente igual à média da população. Então, o que é feito? As empresas tomam apenas uma única combinação de 4000 eleitores para in

ferir sobre a população de eleitores pressupondo que a média estimada na pesquisa será igual à da população e que n = 4000 produzirá uma incerteza (erro) menor que n = 3.999.

Em uma floresta de porte médio como a da ZF-2, por exemplo, com 21.000 hectares, temos N = 84.000 (21000 x 4) amostras possíveis de ¼ ha cada. Se a gente usar n = 50, quantas possíveis combinações seriam possíveis? Várias. Quantas combinações a gente faria no caso de um inventário florestal? Certamente, apenas uma. A nossa expectativa é ter uma média (volume ou outra variável) representativa da população com uma margem de erro aceitável.

A média é importante porque sem ela não há planejamento. No entanto, mais importante mesmo é saber com que margem de erro (incerteza) a gente está trabalhando. É importante também não perder de vista que a intensidade de amostragem está diretamente relacionada com os custos. No caso de inventários, você tem duas alternativas: (1) fixa a incerteza e libera os custos ou (2) fixa os custos e libera a incerteza. Em geral, a segunda alternativa é a mais freqüente. Há meios para se prevenir de incertezas indesejadas.

Em inventários florestais, você pode se prevenir utilizando boas imagens, bons mapas, bons equipamentos e métodos adequados de amostragem, em combinação com planejamento de coleta e processamento dos dados. Estamos falando de erros de amostragem (o erro que você comete por medir apenas parte da população). Não confundir com erros não-amostrais (humanos, principalmente), que não são tratados aqui. Não esquecer também que n é denominador.

6.3. Teorema do limite central Vimos até aqui que a confiança na média passa pela confiança nas probabilidades que a gente trabalha. No próximo capítulo vamos ver como calcula a incerteza de uma estimativa. Aqui, vamos nos concentrar nas probabilidades obtidas usando as áreas sob as curvas normais.

Temos a curva normal padrão com µ = 0 e σ = 1. Com a integração da função que descreve esta curva, a gente obtém as probabilidades. Estas áreas já foram calculadas por vários autores e estão disponíveis em apêndices de livros de estatística, tabela-z. No mundo real, a curva normal com estas características não existe. Por esta razão, a gente tem que padronizar as possíveis curvas normais para utilizar a tabela-z. As curvas normais podem ser, dentro de limites bem definidos, assimétricas ou achatadas, diferentes da forma de sino. Para isso, há testes para saber se as suas variáveis de interesse estão dentro desses limites.

Difícil mesmo é fazer a nossa variável ficar dentro dos limites da distribuição normal. Não entre em pânico ainda! O remédio para essa situação é o “teorema do limite central”. O que diz este teorema?

“Quando uma amostragem aleatória de tamanho n (onde n é pelo menos igual a 30) é

tomada de uma população, a x_

é aproximadamente normalmente distribuída com µ x_

= µ e

desvio padrão da média σ x_

= σ/ n . Nestas condições, as probabilidades para x_

podem ser

encontradas, aproximadamente, utilizando as áreas sob a curva normal com os parâmetros µ e

σ x_

.”

Isto q ua variável aleatória assumir, você pode tabela-z, desde que n ≥ 30. Significa também que para as amostras aleat ias de qualquer distribuição com média µ e

desvio padrão σ

uer dizer que: independentemente da forma que a distribuição de s calcular as probabilidades usando a

ór

x_

, a média amostral dessas unidades de tamanho n é aproximadamente normal e esta aproximação melhora conforme aumenta o n. Para se chegar a este “número mágico” igual a 30, foram feitas inúmeras sim lações até constatar que acima deste número

b a curva normal e de outras funções.

Tanto em t abalhos u ários orestais, o ide u ma a agem m, enos 0 unid s amo is. S ê f ass inc que

con , é nsistente; caso contrário, você terá que compro no dad s de p sit uma amostragem com n < 30 é considerada “pequena” e a curva- que

t se iza a para a obt ção da babi es.

se u

não se percebe diferenças entre as áreas so

r de pesq isas ou de invent fl al é tilizar umostr co pelo m , 3 ade stra e voc izer im, a erteza

evocê enin . A

trar co var a rmali anteferir ropó o, t é a

em que r util d en s pro lidad

Anexo 1 Situação 1

Tomando om N = 5 uma amostragem com n = 2 de uma população c

Quantas combinações são possíveis?

( ) ( ) 10120!2

!5!!

!=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

nNnNN

n combinações

12!25==

−

População Amostragem nome idade comb. idade1 idade2 x

_ x

_p * p Desvio

NH 51 1 51 46 4 4,85 38,5 0,1 3,49MIGH 46 2 51 22 36,5 3,65 0,1 3,97IGH 22 3 51 20 35,5 3,55 2,810,1 FGH 20 4 51 12 3 3,15 1,5 0,1 0,17GGH 12 5 46 22 3 3,40 4,0 0,1 1,44média 30,2 33,0 3,30 0,78 6 46 20 0,1 desvio 17,21 7 46 12 29,0 2,90 0,1 0,14 2 2 8 22 20 1,0 0,1 ,10 8,46

1 1 19 22 12 7,0 0,1 ,70 7,42 1 1 210 20 12 6,0 0,1 ,60 0,16

µ x_

3 88,860,2

σ x_

9,43

µ = 30,2

µ x_

= 30,2

Coincidência? Não!

Anexo 2 Situação 2

Amostragem de n = 3 da população com N = 5

Quantas combinações são possíveis?

( ) ( ) 101203

!5!!

!=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

nNnNN

n combinações

idade3

12!35!==

−

População Amostragem

nome idade comb. idade1 idade2 x_

x_

* p Desvio

NH 51 31 51 46 22 9,67 3,97 8,96

MIGH 46 32 51 46 20 9,00 3,90 7,74

IGH 22 33 51 46 12 6,33 3 ,63 3,76

FGH 20 4 51 22 20 31,00 3,10 0,06

GGH 12 5 51 22 12 28,33 0,35 2,83

média 30,2 6 51 20 12 27,67 0,642,77

desvio 7,21 7 46 22 20 0,081 29,33 2,93

8 46 22 12 26,67 2,67 1,25

9 46 20 12 26,00 2,60 1,76

10 22 20 12 18,00 1,80 14,88

µ x_

30,20 39,49

σ x_

6,28

µ

µ

= 30,2

x_

=

oincidência de novo? Não!

30,2

C

Anexo 3

Situação 3

Amostragem de n = 4 da população de N = 5

Quantas combinações são possíveis?

( ) ( ) 524

120!45!4

!5!!

!==

−=

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

nNnNN

n combinações

População Amostragem

x_

p x_

n idade idadome e1 idade2 idade3 idade4 * p desvio

NH 4,141 51 51 46 22 20 34,75 0,2 6,95 MIGH 46 51 46 22 12 32,75 0,2 6,55 1,301 IGH 22 51 46 20 12 32,25 0,2 6,45 0,841 FGH 20 51 22 20 12 26,25 0,2 5,25 3,121 GGH 12 46 22 20 12 25 0,2 5 5,408

média 30,2 µ x_

14,81230,2

desvio 17,21 σ x_

3,85

µ = 30,2

µ x_

= 30,2

Coincidência? Não! Por que não?

1) Se você usar todas as possíveis combinações, a média da média µ x_

será sempre igual

a média da população µ, independentem te do tamanho da amostragem.

é o desvio padrão da média ou erro padrão, ou seja, conforme aumenta a

intensidade de am e diminui a incerteza

en

2) O que muda

ostragem, diminui o erro, aumenta a precisão

da sua estimativa.

CAPÍTULO 7 Estim ndo a média da populaça ão

7.1. Intervalos de confiança:

Vimos no capítulo 5 que é razoável usar uma média amostral x_

para estimar a média da população ( µ ). A Lei dos Grandes Números diz que: se uma “grande” amostragem

aleatória é tomada de uma população, a x_

“tende” a ser “parecida” com .

No capítulo 6 discutim que diz: se uma amostragem

µ

os o Teorema de Limite Central aleatória de tamanho n (n ≥ 30) é tomada de uma população com média µ e desvio padrão σ,

então x_

é (aproximadamente) normalmente distribuída e, por esta razão, podemos encontrar

as probabilidades para x_

usando as áreas sob a curva normal com parâmetros µ e σ/ n .

E AGORA??

x_

Qual é a confiança sobre a precisão envolvida ao usar para estimar µ ?

Estamos falando do Intervalo de Confiança (IC), que será definido com exemplos.

Exemplo 1: Um estatístico está interessado em obter informações sobre a média em altura de uma população, µ , de todos os adultos masculinos de uma grande cidade.

e que o σ é igual a 2,5”. Se ele tomar uma

mostr

Com base em experiência anterior ele sab

a agem aleatória de 30 adultos, qual é a probabilidade da altura média x_

estar dentro de 1” da altura média da população, µ ?

Solução: Queremos encontrar a probabilidade da x_

estar dentro de 1” de µ; que é, P

( < µ - 1 x_

< µ + 1 ). Como n ≥ 30, recorremos ao Teorema de Limite Central para

encontrar as probabilidades para x_

usando as áreas sob a curva normal com parâmetros µ (que não conhecemos) e σ / n = 2,5 / 30 = 0,46.

Então, para encontrar - 1 < P ( µ x_

< µ + 1 ), precisamos encontrar a área sob a arâmetros µ e ,46) entre µ - 1 e µ + 1. curva normal (com p 0

Desta vez não conhecemos µ - 1 e µ + 1, ao contrário de exemplos anteriores. Mas, mesmo assim, podemos resolver o problema pela padronização de nossa variável aleatória, da seguinte maneira:

46,0⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= µxz

O valor de z para x_

= µ - 1 é

z = [ (µ - 1) - µ ] / 0,46 = -1 / 0,46 = -2,17

E o valor de z para x_

= µ + 1 é

z = [ (µ + 1) - µ ] / 0,46 = 1 / 0,46 = 2,17

Da tabela 1, tiramos as áreas sob a curva para z = -2,17 e z = 2,17, que são respectivamente 0,0150 e 0,9850. A área, então, compreendida entre -2,17 e 2,17 é:

rea = 0,9850 - 0,0150 = 0,97 á

Conseqüentemente,

P ( µ - 1 < x_

< µ + 1 ) = 0,97

Quer dizer: a probabilidade da x_

estar entre 1” da µ é de 0,97.

x_

Vamos colocar a expressão anterior de outra maneira: que a deve estar 1” da µ,

que é o mesmo que dizer que “µ está entre 1” de x_

.” Isto pode ser re-escrito da seguinte

maneira:

P ( x_

x_

- 1 < µ < + 1) = 0,97

Em outras palavras, sabemo s que se uma amostragem aleatória de 30 adultos masculinos é

tomada, então a probabilidade do intervalo de x_

- 1 a x_

+ 1 conter µ é de 0,97. Suponha agora, por exemplo, que quando o pesquisador tomar uma amostragem

aleatória, ele consegue x_

= 67”, então

x_

- 1 = 66 e x_

+ 1 = 68

Ele sabe que, 97% destes intervalos conterão µ e, por esta razão, ele pode estar 97% certo de que a µ estará entre 66 e 68. Desta forma, o intervalo de 66 a 68 é chamado de IC 97% para µ.

.2. Especificando o nível de confiança: da população µ, com

7 Na seção anterior vimos como encontrar o IC para uma média

base na informação obtida de média amostral x_

. No exemplo anterior especificamos o tamanho da amostragem e a forma do IC e, com estas especificações, calculamos a confiança. Entretanto, freqüentemente é desejável especificar a confiança a priori.

Exemplo 2: A companhia de telefone está interessada em obter informações sobre o tempo médio, µ , de cada chamada. Um levantamento preliminar indicou que o desvio padrão

as chamadas é σ = 4,4 minutos. Ao monitorar (não grampear) aleatoriamente 100 chamadas,

= 100, chegou-se a um tempo médio

d

x_

= 5,8 minutos.

Sabendo que

n

x_

= 5,8, encontrar o IC 95% para µ

as previamente) a confiança é solução para este problema é o inverso do

roced que implica em usar a tabela 1 no sentido verso z.

Solução

Nesta questão (ao contrário das questões consideradespecificada a priori: queremos um IC a 95%. A

imento usado para resolver o exemplo 1, opin , ou seja, você tem a área sob a curva (área = 0,05) e precisa encontrar o valor de

: Encontrar o valor-z, para o qual a área sob a CNP (curva normal padrão) à direita deste z, é 0,025 (área/2) e à esquerda de

o [1 0,025 ] = 0,975 e 0,025. Dessa maneira, para z. Note que a área total sob a CNP é 1, então

estam s falando de uma área equivalente a -

resolver este problema precisamos encontrar o valor-z que tem uma área entre 0,975 e 0,025 à sua esquerda.

Na tabela 1, o valor-z que tem uma área de 0,975 à sua esquerda é 1,96 - no encontro

ela. Se o valor exato não for encontrado, faça interpolações. O valor-z que tem uma área de 0,025 à sua esquerda é -1,96.

da linha 1,9 com a coluna 6, você tem uma área de 0,9750. Neste caso, você tem o valor exato de 0,9750 (1 - 0,025) na tab

Agora, voltando à companhia telefônica: sabemos que n = 100 e, em função podemos

recorrer ao TLC (teorema de limite central) para assumir que x_

é aproximadamente

normalmente distribuída com µ x_

= µ (que não conhecemos) e o desvio padrão:

44,01004,4 ==n =−x

σσ

Assim, a variável aleatória z terá a seguinte fórmula

( ) 44,0µ−= xz

e terá aproximadamente uma distribuição normal

P ( -1,96 < z < 1,96 ) = 0,95

padrão.

Como queremos o IC 95% para µ , podemos colocá-lo da seguinte maneira:

[ x_

P ( -1,96 < - µ ] / 0,44 < 1,96 ) = 0,95

P ( x_

- 1,96*0,44 < < µ x_

+ 1,96*0,44 ) = 0 95,

P ( x_

- 0,86 < µ < x_

+ 0,86 ) = 0,95

substituindo o valor de x_

= 5,8, teremos os seguintes intervalos:

x_

- 0,86 = 5,8 - 0,86 = 4,94

e

x_

+ 0,86 = 5,8 + 0,86 = 6,66

Concluindo que o intervalo entre 4,94 e 6,66 minutos é o IC 95% para µ. A companhia pode ter 95% de confiança que a duração média de uma chamada, µ, da cidade está entre 4,94 e 6,66 minutos.

No exemplo anterior encontramos o IC 95%. O número 0,95 é conhecido como o nível e confiança ou coeficiente de confiança. Em estatística, costuma-se escrever 0,95 como 1 - ,05. E

7.3. Intervalos de confiança para médias: grandes amostras d0 ste número é subtraído de 1 para obter o nível de confiança que é representado pela letra grega α . Para IC 95%, α = 0,05; para IC 90%, o nível de confiança é α = 0,10 e assim por diante.

Procedimento para encontrar o IC para µ, baseado em x_

: Requisitos: (1) n ≥ 30 e (2) σ conhecido Passo 1: Se o nível de confiança desejado é 1 - α, use a tabela 1 para encontrar

z α/2

Passo 2: O IC desejado para µ é:

x_

- z α/2 * ( σ / n ) para x_

+ z α/2 * ( σ / n )

x_

onde z α/2 é obtido seguindo o passo 1, n é o tamanho da amostragem e é obtida dos dados da amostragem.

Exemplo 3: Uma empresa florestal está interessada em obter informações sobre o

iâmetro médio, µ , de sua floresta. Um estudo preliminar indicou que σ = 10 cm. O pres

dem ário decidiu verificar esta informação com base em uma amostragem de 30 árvores.

Ele encontrou uma média amostral das 30 árvores, x_

= 40 cm. Baseado nestas informações, vamos encontrar o IC 90% para a µ .

Solução: Checando primeiro: n ≥ 30 - OK!; e σ é conhecido. Podemos, então, aplicar os passos necessários:

1. O nível de confiança é 0,90 = 1 - 0,90; logo α = 0,10 e da tabela 1 tiramos

z α/2 = z 0,05 = 1,64

2. Desde que z α/2 = 1,64, n = 30, = 10 e σ x_

= 40, o IC 90% para será: µ

x_

- z α/2* σ/ n a x_

+ z α/2* σ/ n substituindo os valores conhecidos

30 a 40 + 1,64 * 10 / 30 40 - 1,64 * 10 /

37 a 43 nfiança que o diâmetro médio, µ , de sua

floresta está ent 7 a

Até agora ass na maioria dos casos, isto não é possível. a stimar o σ. Qu

Concluindo: o empresário pode ter 90% de core 3 43 cm.

umimos que o σ é conhecido. Entretanto, Um maneira de lidar com isto é fazer um levantamento piloto para e

er dizer: podemos usar o desvio padrão amostral s no lugar do σ. Isto é aceitáve, para grandes amostras ( n

l orque ≥ 30 ), o valor de sp é extremamente parecido a ser uma

boa aproximação de σ. A conseqüência matemática disso é a seguinte (recorre):

ndo também oTLCa

nsx µ−

em vez de nxσ

µ−

E os outros procedimentos são os mesmos apresentados no quadro anterior, substituindo apenas σ por s .

lo 4

Exemp : No Quadro 7.1 são apresentadas informações sobre área basal por hectare e 30 unidades amostrais (ua) selecionadas aleatoriamente de 2 transectos de 20 x 2.500 m,

e aixio. Os procedimentos são s mesm

ddistribuídos nas seguintes classes topográficas: platô, encosta b

os utilizados anteriormente e os resultados são: o

platô => IC (95%) = x_

± 2,5 = 31,2 ± 2,5 = 28,7 < µ < 33,6

encosta => IC (95%) = x_

± 2,3 = 28,5 ± 2,5 = 26,2 < µ < 30,8

baixio => IC (95%) = x_

± 2,1 = 2 5 ± 2,5 = 24,4 < µ < 28,6

O segundo termo após o sinal (±) pode ser considerado como “incerteza” ou “margem de erro”. Assim, as in s a a i , spectivamente: 0,0799, 0,0808 e 0,0785, ou seja a m e ,85%.

o encontrar o IC para µ, quando damos com grandes amostras ( n ≥ 30 ). Entretanto, em muitos casos, quando grandes mostr

6,

certeza para pl tô, encost e ba xio são re, s incertezas (e %) são d 7,99%, 8,08% e 7

7.4. A distribuição t (de student): Nas seções anteriores deste capítulo vimos comlia as não estão disponíveis, extremamente caras ou, por alguma razão, simplesmente indesejável, você tem que dar outro jeito porque a curva-z não se aplica nestas condições.

Neste caso, recorremos à curva-t em vez da curva-z.

Detalhe importante: para obter IC para a média da população, a partir de pequenas amostras ( n < 30 ), a população, por si só, tem que ser aproximadamente normalmente distribuída.

Se n < 30, não podemo CNP par ncontrar a ilidades para o IC. Entretanto, um pesquisador cham .S. Gosset desenvolveu podem ser usadas, em vez da CN curvas sã nhecidas c vas-t de student ou simplesmente curvas-t. A form a curva- pende do da amostra. Se a amostra é de tamanho n, nós ide os a curva-t em questão dizendo que é a curva-t com (n-1) graus de liberdade.

Se tomamo uma amostra aleatória de tamanho n população que é aproximadamente normalmente distribuída com mé µ, a variáv ria

s usar a a e s probabado W curvas de probabilidade que

P. Estas o co omo cura de um t de tamanho

ntificam

s de umadia el aleató

( ) ( )nsxt µ−=

tem a distribuição-t com (n - 1) graus de liberdade. As probabilidades para esta variável aleatória po ntrada usando as áreas sob a curvde ser encotabela 2.

a-t com (n - 1) graus de liberdade -

as seguintes propriedades:

As curvas-t variam conforme os graus de liberdade, como ilustrado na figura 7.1.

E as curvas-t têm

A área total sob qualquer curva-t é igual a 1. torno de zero.

ente em ambas as direções. Conforme aumenta raus de liberdade, as curvas-t ficam

mais parecidas com a CNP. A maneira de encontrar a área s a mesma usada na CNP.

confiança para médias - pequenas amostras:

Vam s s a em

As curvas-t são simétricas em As curvas-t se estendem indefinidam

o número de g

ob a curva-t é

7.5. Intervalos de

x_

, o ver agora o procedimentos para encontrar os IC para µ baseadquando o tama ento com um exemplo.

nho da amostra é menor que 30 ( n < 30 ). Vamos ilustrar o procedim

Procedimento para encontrar o IC para µ, baseado em x_

: Requisitos: População normal Passo 1: Se o nível de confiança desejado é 1 - α, use a tabela 2 para encontrar

t α/2

Passo 2: O IC desejado para µ é:

x_

- t α/2 * ( s / n ) para x_

+ t α/2 * ( s / n )

onde t α/2 é obtido seguindo o passo 1, n é o tamanho da amostragem e x_

e s são obtidas dos dados da amostragem.

Exemplo 4: Um vendedor de pneus está interessado em obter informações a respeito da durabilidade média ( µ ) de uma nova marca. O fabricante diz que a nova marca foi feita para aguentar 40.000 milhas, ou seja, µ = 40.000. O vendedor quer testar, por sua conta, a durabilidade dos pneus.

Para isto, ele decide tomar uma amostragem aleatória de 16 pneus e conferiu a milhagem de cada um.Os resultados deste teste é o seguinte:

Pneu milhagem Pneu Milhagem

1 43.725 9 39.783 2 40.652 10 44.652 3 37.732 11 38.740 4 41.868 12 39.385 5 44.473 13 39.686 6 43.097 14 44.019 7 37.396 15 40.220 8 42.200 16 40.742

Usando estes dados, vamos encontrar o IC 95% para µ, considerando que a durabilidade do pneu é normalmente distribuída.

Solução : Vamos usar o procediment inido rmente; neste caso com n = 16.

1. O nível de confiança desejado é 0.95, isto é, α ,05. Us a tabela 2 para (16-1) = 15 graus de liberdade.

t α/2 = 25 = 2,1

2. O IC 95% é:

o def anterio

= 0 ando

t 0,0 3

x_

n ) para x_

+ 2,13*( s / n - 2,13*( s / )

Dos dados deste exempl dos pne ) temoo ( us s:

x_

= 41.148,13

s = 2.360, 32

Conseqüentemente

e

x_

- 2,13*( s / n ) = 41.148,13 - 2,13 * (2.360,32/ 16 ) = 39.891,26

x_

+ 2,13*( s / n ) = 41.148,13 + 2,13 * (2.360,32/ 16 ) = 42.405,00

Isto quer dizer que o vendedor pode ter 95% de confiança que a µ (durabilidade média da nova marca) está ent 39.891 42.405 as. Desta forma, o fabricante está correto em afirmar que a nova marca tem µ = 40.000 m s.

re a milhilha

Qto

uadro 7.1: Dados de área basal (m2/ha) em dois transectos na ZF-2 distribuídos em classes pográficas (platô, encosta e baixio).

transecto ua platô encosta baixio

1 1 41,4 21,8 28,2 1 2 43,7 28,2 22,1 1 3 26,1 22,1 29,6 1 4 33,8 14,9 39,3 1 5 33,3 21,9 43,2 1 6 37,2 27,5 39,7 1 7 31,0 30,9 40,7 1 8 18,6 36,5 22,6 1 9 33,2 21,9 12,4 1 10 32,4 28,5 15,8 1 11 26,2 28,4 25,6 1 12 41,3 31,5 40,6 1 13 19,6 32,7 26,4 1 14 34,8 30,8 21,8 1 15 27,3 29,9 35,8 1 16 39,5 23,5 34,6 1 17 30,1 18,4 20,6 1 18 24,6 18,4 21,1 1 19 36,6 24,0 24,3 1 20 34,7 16,3 41,6 1 21 60,7 15,9 29,6 1 22 44,7 35,0 41,9 1 23 26,3 19,9 36,7 1 24 24,5 31,3 23,5 1 25 26,6 18,4 27,4 1 26 22,2 31,1 28,1 1 27 35,7 11,3 12,3 1 28 19,4 24,3 23,5 1 29 17,0 47,0 29,6 1 30 52,6 24,8 23,4 2 1 26,6 27,0 6,4 2 2 36,7 30,9 26,9 2 3 33,3 23,8 21,1 2 4 20,6 27,9 17,2 2 5 57,7 28,2 25,2 2 6 38,8 36,6 23,7 2 7 43,2 17,6 14,5 2 8 23,6 33,5 27,7 2 9 28,4 30,2 28,6 2 10 17,6 39,9 37,5 2 11 18,9 38,0 26,1 2 12 27,6 26,6 25,7 2 13 47,7 32,7 18,6 2 14 23,9 56,0 24,2 2 15 21,1 59,8 19,2 2 16 22,3 34,7 15,2 2 17 19,7 29,8 42,3 2 18 27,4 28,5 20,4 2 19 39,2 25,3 26,1 2 20 27,7 9,4 27,0 2 21 28,5 32,3 35,6 2 22 18,0 31,2 24,9 2 23 39,0 28,1 25,2 2 24 28,1 28,1 20,8 2 25 34,0 39,7 23,1 2 26 25,3 21,5 24,9 2 27 26,4 38,7 23,1 2 28 40,6 29,4 23,5 2 29 21,3 25,5 21,3 2 30 31,1 34,0 30,7

média 31,2 28,5 26,5 desvio 9,8 9,1 8,2 IC(95%) 2,5 2,3 2,1

Curva normal Curva-t com 12 gl Curva-t com 3 gl

-3 -2 -10 1 2 3 0 1 2 3-3 -2 -1 0 1 2 32 -1

Figura 7.1.: Diferentes curvas-t com diferentes graus de liberdade (gl).

-3 -

Capítulo 8

Testes de hipóteses para médias

8.1. Introdução: No Capítulo 7 aprendemos como fazer uma “predição educada”1 (inferência) sobre

uma média da população µ olhando a média amostral x_

de uma amostra aleatória da população. Neste capítulo, vamos fazer o inverso; vamos fazer uma “predição educada” ou

levantar uma hipótese sobre a µ e então vamos usar a x_

para fazer inferência concernente a

nossa hipótese. Em outras palavras, usaremos x_

para decidir se a nossa hipótese concernente à µ é correta.

Exemplo 1: O DAP médio da floresta do Distrito Agropecuário da SUFRAMA (área de 600.0 cm. Vamos ver neste cap dio tomado de

uma amostragem aleatória (por ex., n = 30, correspondente a 30 hectares),

00 ha) é µ = 38 ítulo como usar o DAP mé

x_

, para decidir se aquilo que hipotetizamos (µ = 38 cm) está correto ou não.

Dizemos então que µ = 38 cm é a hi 0), que pode ser escrita da seguinte maneira:

o agora é: como usar a

pótese nula (h

Hipótese nula: µ = 38

Que pode ser testada contra a hipótese de que a µ não é igual a 38 cm, conhecida como hipótese alternativa (h1), que pode ser escrita da seguinte maneira:

Hipótese alternativa: µ ≠ 38

(que pode ser também µ < 38 ou µ > 38)

A questã x_

para tomar a decisão? A idéia é simplesmente a

seguinte: sabemos que x_

deverá ser aproximadamente igual a µ, ou seja, se µ = 38

(assumindo que h0 é verdadeira), podemos esperar que a x_

(o DAP estimado) seja “mmenos” igual a 38 cm. E agora? O quão próximo de 38 precisa estar o DAP médio paconsiderado estatistica

ais ou ra ser

mente igual a µ? Se a gente olhar para h1, precisamos responder: o ara ser considerado diferente da µ? Ou então:

o quão maior – para testar as hipóteses alternativas (µ < 38 ou µ > 38)?

, precisamos encontrar um ponto para tomada de decisão, d,

quão distante de 38 precisa estar o DAP médio pmenor ou o quão

Matematicamente falando

tal que se x_

≠ d ou se x_

< d ou se x_

> d, então rejeitamos h0 (µ = 38). Geralmente os ites para d antes de rejeitar h0. Os números 0,01 (1%),

te e são geralmente

as hipóteses nula (h0) e alternativa (h1) é bastante subjetiva. Como regra básica podemos dizer que h0 leva sempre o sinal de ( = ); exemplos: µ = 38, µ1 = µ2 (média da população 1 é igual a média da população 2) e assim por diante.

estatísticos usam 1, 5 ou 10% como lim0,05 (5%) e 0,10(10%) são chamados de níveis de significância do tesdenotados como α.

Como escolher as hipóteses para serem testadas?? Em geral a escolha d

1 “predição educada” pode ser traduzida como um “chute certeiro” de um Romário por exemplo.

A h1 pode ser quebrada em duas situações:

- teste uni-caudal: neste caso, ou olhamos à direita de d quando temos h1: µ > 38, ou à esquerda de d quando temos h : µ < 38. Outra situação é µ1 < µ2 ou µ1 > µ2.

neamente à direita e à esquerda de d e o quê contecer primeiro transforma-se no argumento principal para rejeitar h0 e, neste caso, em vez

de que o nível de significância seja a probabilidade de rejeitar uma h0 será rejeitada quando ela for verdadeira. Conseqüentemente, e de hipótese, então podemos estar razoavelmente confiantes

e não podemos rejeitar h0, isto não prova que h0 seja ais.

hipótese que é verdadeira

1

- teste bi-caudal: olhamos simultaade α nós temos que usar α/2.

Observação: Desverdadeira, é improvável que h0se podemos rejeitar h0 num testque h1 é verdadeira. Por outro lado, sverdadeira, simplesmente quer dizer que ela é razoável, nada m

Há dois tipos de erros quando aceitamos a hipótese que não é verdadeira, Tipo I e Tipo II, que ilustramos no quadro abaixo:

hipótese que é

Aceita H0 h1

h 0 OK! erro Tipo II

h1 erro Tipo I OK!

8.2. Montando um Teste de Hipótese: Grandes Amostras Veremos agora o procedimento para montar um teste de hipótese referente à média de

tamanho da amostragem é considerado grande (n ≥ 30). Para curva normal padrão (distribuição), vista

ando tomamos uma amostra aleatória de n ≥ 30 de uma riável aleatória tem aproximadamente a distribuição

ormal

uma população, µ, quando o executar este teste podemos recorrer a anteriormente, que diz que qupopulação com média µ, então a van padrão.

( )ns

xz µ−=

8.2.1. Testes de Hipóteses para uma média simples: teste unicaudal para grandes amostras. (i) Olhando apenas o lado esquerdo da curva:

µ µ

Procedimentos:

1. Hipótese nula: = 0

2. Hipótese alternativa: µ < µ0

3. Condicionante: tamanho da amostragem n ≥ 30

4. Escolher o nível de significância2 α. Normalmente α = 0,01, 0,05 ou 0,10

5. O valor crítico é d = - zα. Usar Tabela 1 para encontrar o valor de z.

2 hoje em dia a maioria dos pacotes estatísticos já dão diretamente o valor exato de α.

6. Calcular o valor de

( )( )ns

x

z 0µ−=

7. Se z < d, rejeitar a hipótese nula.

(ii) Olhando apenas o lado direito da curva: Procedimentos:

1. Hipótese nula: µ = µ0

2. Hipótese alternativa: µ > µ0

3. Condicionante: tamanho da amostragem n ≥ 30

4. Escolher o nível de significância α. Normalmente α = 0,01, 0,05 ou 0,10

5. O valor crítico é d = zα. Usar Tabela 1 para encontrar o valor de z.

6. Calcular o valor de

( )( )ns

z = x 0µ

7. Se z > d, rejeitar a hipótese nula.

8.2.2. Testes de Hipóteses para uma média simples: teste bi-caudal para grandes amostras.

os dois

nho da amostragem n ≥ 30

4. Escolher o nível de significância α. Normalmente α = 0,01, 0,05 ou 0,10

5. Os valores críticos são d = - zα/2 e d = zα/2. Usar Tabela I para encontrar os valores de zα/2.

6. Calcular o valor de

−

Neste caso vamos olhar à esquerda e à direita da curva e, por esta razão, temníveis críticos ou pontos de decisão d.

Procedimentos:

1. Hipótese nula: µ = µ0

2. Hipótese alternativa: µ ≠ µ0

3. Condicionante: tama

( )( )nsx

z = 0µ−

ferença entre Médias de Amostras

de de comparar dois sítios diferentes. Queremos, por exemplo, comparar (querer saber) e o DAP médio da floresta do Distrito

7. Se z < - d ou z > d, rejeitar a hipótese nula.

8.2.3. Testes de Hipóteses para DiIndependentes – Grandes Amostras: Neste caso estamos considerando a possibilida

Agropecuário da SUFRAMA (município de Manaus) é igual ao DAP médio da FLONA (Floresta Nacional) do Tapajós (Santarém, Pará).

Estatisticamente podemos fazer isso da seguinte maneira:

Hipótese nula: µ1 = µ2

Hipótese alternativa: µ1 ≠ µ2 ou µ1 < µ2 ou µ1 > µ2

sendo: µ1 = média da população 1 (Manaus) e µ2 = média da população 2 (Santarém).

Agora, vamos usar a x_

de cada população para fazer inferência concernente a nossa

hipótese. Considere x_

1 a média amostral da população 1 tirada de uma amostra aleatória de

tamanho n1 de uma população com média µ1; e x_

2 a média amostral da população 2 tirada de uma amostra aleatória de tamanho n2 de uma população com média µ2. Assumindo também que as duas amostras são independentes e, se n1 e n2 são ambas maiores que 30, então a variável aleatória

( )

( ) ( )2221

21

2121 xxz

−−⎟⎠

⎜⎝

−=

µµ

nsns +

⎞⎛ −−

tem ap uição normal padrão. Aqui s1 e s2 são os desvios padrões

µ1 = µ2 ), então a fórmula de z fica assim

roximadamente a distribamostrais das respectivas populações.

Agora, se a hipótese nula é verdadeira (

( )

( ) ( )222

z ⎠⎝= 2121 xx −−⎟

⎞⎜⎛ −

−−

µµ

211 nsns +

e tem aproximadamente a distribuição normal padrão.

1 2

encontrar o valor de z.

Procedimentos:

1. Hipótese nula: µ1 = µ2

2. Hipótese alternativa: µ < µ

3. Condicionante: n1 e n2 ≥ 30

4. Escolher o nível de significância α. Normalmente α = 0,01, 0,05 ou 0,10

5. O valor crítico é d = - zα. Usar Tabela I para

6. Calcular o valor de

( ) ( )2221

21

21

nsns

xxz

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

−−

7. Se z < d, rejeitar a hipótese nula.

Para o teste uni-caudal com hipótese alternativa µ1 > µ2, o procedimento é o mesmo que o anterior, mudando apenas o valor crítico d que é d = zα e, conseqüentemente, a área de rejeição da h0 passa a ser z > d.

Para o teste bi-caudal com hipótese alternativa µ ≠ µ , o procedimento é o mesmo 1 2

ta , usando os dois valores críticos e, em vez de α, usamos α/2. A rejeição de h0 se dará mbémem função do quê ocorrer primeiro, ou z < d ou z > d.

8.3. Montando um Teste de Hipótese para Pequenas Amostras: Nem sempre é possível fazer um trabalho de pesquisa usando uma intensidade de

mostras, e o teste t é o contraparte para o teste z. A única e

as (n < 30), a variável aleatória não tem a distribuição normal padrão. Mas, se assumirmos que a população que estamos amostrando é aproximadamente normalmente distribuída, então a variável aleatória tem a distribuição t de Student com (n-1) graus de liberdade. Conseqüentemente, quando consideramos populações normalmente distribuídas, podemos fazer testes de hipóteses para

amostragem considerada grande (n ≥ 30), ou simplesmente não tem muitas amostras disponíveis, ou são extremamente caras, ou, por qualquer outra razão, são indesejáveis. Para isso, existe teste para pequenas aprincipal diferença é que, neste caso, temos que comprovar a normalidade de nossos dados.

Vimos em capítulos anteriores que para pequenas amostr

médias usando pequenas amostras, da mesma maneira como foi feito para grandes amostras.

nsxt µ−

=

8.3.1. Teste de Hipótese para uma Média Simples de Pequenas Amostras:

nativa: µ > µ0

tα. Usar Tabela II para encontrar o valor de t com (n-1) gl.

6. Calcular o valor de

Procedimentos:

1. Hipótese nula: µ = µ0

2. Hipótese alter

3. Pressuposto: população normal

4. Escolher o nível de significância α. Normalmente α = 0,01, 0,05 ou 0,10

5. O valor crítico é d =

nsxt 0µ−=

7. Se t > d, rejeitar a hipótese nula.

e alternativa µ1 < µ0, o procedimento é o mesmo Para o teste uni-caudal com hipótesque o anterior, mudando apenas o valor crítico d que é d = - tα e, conseqüentemente, a área de rejeição da h0 passa a ser t < d.

Para o teste bi-caudal com hipótese alternativa µ1 ≠ µ2, o procedimento é o mesmo também, usando os dois valores críticos e, em vez de α, usamos α/2. A rejeição de h se dará 0em função do quê ocorrer primeiro, ou t < d ou t > d.

.3.2.

ndo temos amostras independentes com n1 e n2 ≥ 30. Agora, vamos ver como lidar com este teste quando n1 e n2 são menores que 30. Assim como no caso de média simples, podemos usar a distribuição t de Student; a diferença aqui é que, além de assumir que as duas populações são aproximadamente normalmente distribuídas, temos também que (i) considerar quando as variâncias das populações ( σ1

2 e σ22

) são iguais e (ii) quando as variâncias não são iguais.

Neste capítulo vamos trabalhar apenas com a condição de variâncias iguais porque vamos ver como aplicar teste para saber se duas variâncias são iguais ou não, no próximo capítulo. As condicionantes serão as seguintes: (1) amostras aleatórias independentes tomadas de duas populações; (2) as duas populações são aproximadamente normalmente distribuídas; (3) as duas populações têm variâncias iguais.

Recapitulando: quando temos uma única população, usamos o desvio padrão amostral s como a estimativa do desvio padrão da população σ. Quando trabalhamos com amostras aleatórias independentes de duas populações com o mesmo desvio padrão da população (i.e., mesma variância), a melhor estimativa do desvio padrão comum (às duas populações) é

Considerando µ1 = µ2, então µ1 - µ2 = 0 e se a hipótese nula é verdadeira, então tem a distribuição t de Studente com (n1 + n2 – 2) graus de liberdade.

( )( ) ( )21

21

1 nnsxxt

p + 1−

=

Procedimentos:

1. Hipótese nula: µ1 = µ2

2, Hipótese alternativa: µ1 < µ2

3. Condicionantes: (i) amostras independentes; (ii) populações normais; (iii) variâncias das populações iguais.

4. Escolher o nível de significância α. Normalmente α = 0,01, 0,05 ou 0,10

5. O valor crítico é d = - tα. Usar Tabela II para encontrar o valor de t com (n1 + n2 -2) gl.

6. Calcular o valor de

( ) ( )2

11

21

222

211

−+−+−

=nn

snsns p

Onde s1 e s2 são desvios padrões amostrais obtidos de amostragem da população 1 e 2, respectivamente. O subscrito p em sp é para indicar que estamos referindo a um desvio combinado de duas populações.

Se as populações são normalmente distribuídas e σ12 = σ2

2, então a variável aleatória tem a distribuição t de Student com (n1 + n2

8 Teste de Hipótese para Diferenças entre Médias de Amostras Independentes (e Variância igual) de Pequenas Amostras: Vimos anteriormente como fazer este teste qua

– 2) graus de liberdade.

( ) (( )

)( )2

2

n1

121

11 nsxxt

p +−−−

=µµ

( )( ) ( )21

21

11 nnsxxt

p +−

=

sendo:

( ) ( )2

11

21ns 2

22

−−− sn

7. t < d itar a ótese .

Para o teste uni-caudal com hipótese alternativa µ1 > µ2, o procedimento é o mesmo

21

++n

1n

nula

s

hipSe , reje

=p

que o anterior, mudando o valor crít ue é d = tα e, conseqüentemente, a área de ico d apenas qrejeição p a da h0 assa ser t > d.

P bi-c pótese iva µ1 ≠ µ2, o procedimento é o mesmo ara o teste audal com hi alternattambém de α, usamos α/2. A rejeição de h0 se dará , usando os dois valores críticos e, em vez em funç co t < d d. ão do quê o rrer primeiro, ou ou t >

Sumá

ndicio

umá

ndicio

rio dos Procedimentos p

ntes h0

rio dos Procedimentos p

ntes h0

ara Testar as

h1

ara Testar as

h1

Hip

Hip

ó C

na

ó C

na

teses Discutidas neste

teste estatístico

teses Discutidas neste

teste estatístico

apítulo

áre

apítulo

áreTipoTipo CoCo a de rejeiçãa de rejeição o Média Sirandes am

mpleostr

s as) (g 0

n ≥ 3

µ = µ0

µ >µ <µ ≠

µ0 µ0 µ0

[ x_

- µ0 ] z = -------------

[s /

n ]

z > zα z < -zα

zα/2 ou z < -zz > α/2 Duas Mé

(grandes amostrasdias

) n2dep

(1) n(2) amos

1 ≥ 30,tras in

≥ 30 endentes

µ1 = µ2

µ1 >µ1 <µ1 ≠

µ2 µ2 µ2

[ x_

1 - x_

2 ] = ---------------------√ [ s1

z ---n2 zα/2 α/2

- ] z > 2 / n1 ] + [ s2

2 /

z > zα z < -zα ou z < -z

Média Si(PequeAmostr

mplenas as)

s çãoal

populanorm

µ = µ0

µ >µ <µ ≠

µ0 µ0 µ0

[ x_

- µ0] t = ------------

[s /

n ]

t > tα t < -tα ou t < -zαt > tα/2 /2

Duas Mé(PequeAmostr

dias nas

( deps n

as i µ2 µ2 as)

1) amos(2) po

(3) v

tras inpulaçõeariânci

endentesormais guais

µ1 = µ2

µ1 >µ1 <µ1 ≠

µ2 [ x_

1 - x_

2 ] = ----------------------

sp √ (1 t ----

n2 ) tα/2 /2

t > tα t < -tα ou t < -tα

- t > / n1) + (1 /

Capítulo 9 Inferências sobre as variâncias

9.1. I mos ver os métodos usados para os testes de hipóteses e intervalos de confiança para a variância. Não confundir com análise de variância (ANOVA), que é utilizada para teste (comparação) de médias e será vista no capítulo 11. Vamos apresentar o teste qui-quadrado (χ2) e o teste-F.

ê situação odemos estar interessados em controlar a variação? Já vimos que a média é muito mais

popular qu erências é feita com base nesta ariáve

mplo, temos um grande número de diferen ter um fornece de um fornecedor de parafuso. O encaixe da roda ao carro, não é justo certa margem de segurança tanto no comprimento como na espessura do parafuso. Aquele que fabrica o parafuso fornece para vários outros fabricantes e nem sempre consegue fazer os parafusos exatamente iguais. Neste caso, o controle de qualidade pode ser feito usando a inferência sobre a variância, seja do comprimento ou da espessu

9.2. Teste estatístico χ e a curva χ :

ntrodução: Neste capítulo va

Na área florestal, ainda não é comum fazer este tipo de inferência. Em qup

e a variância; por essa razão, a maioria das infv l.

No caso de uma indústria de carro, por exetes fornecedores (parafusos, porcas, rodas, espelhos etc.). Neste caso, podemosdor de rodas diferente e tem sempre uma

ra.

2 2

Exemplo 1: Um fabricante precisa produzir parafusos de aproximadamente 10 mm em iâmetro para ajustar em buracos de 10,4 mm. Em princípio, sabe-se que as linhas de

produ nha 1 é mais

O fabricante avisa que a margem de segurança é de 0,1 mm, ou seja, parafusos com diâmetros variando de 9,9 e 10,1 mm passa pelo controle de qualidade. Chama-se uma estatí que o diâme fora da espec de segurança). Sendo assim, é preciso testar as variâncias antes de apresentar o relatório de controle de qualid

o

Aqui, duas questões precisam ser respondidas: (1) qual é a variância apropriada? (2) se as duas linhas de produção têm a mesma variância, igualmente apropriada?

Margem de segurança igual a 0,1 mm é o mesm ± 0,1 mm e variância é de 0,01 mm. Então, para responder a questão 1, formulamos as seguintes

Para aplicar o teste, pr er

dção produzem parafusos com diâmetros que se distribuem normalmente, mas a libarata do que a linha 2.

mstica e ela faz uma amostragem aleatória nas duas linhas de produção concluindotro médio é em torno de 10 mm, mas alerta que um ou outro parafuso pode estar ificação (da margem

ade das linhas de produção. Foram coletados 20 parafusos de cada linha de produção e tomadas as medidas de diâmetro de cada um (Quadr9.1).

o que dizer que o desvio é de

hipóteses para a linha de produção 2:

Hipótese nula: σ2 = 0,01

Hipótese alternativa: σ2 > 0,01

imeiro é preciso estimar σ2 usando s2. Depois, é preciso escolho teste estatístico. Neste caso, vamos usar o χ2 (qui-dradrado). O χ2 é uma variável aleatória, isto é, o seu valor depende de uma chance para ocorrer. Tomando diferentes amostras, temos

diferentes valores de χ2. A maneira de encontrar as probabilidades para χ2 é a mesma usada para determinar as probabilidades para a variável aleatória z.

Se uma variável aleatória de tamanho n é tomada de uma população que é normalmente distribuída com variância σ2, então as probabilidades para a variável aleatória

( ) 22

1 snσ

2χ −=

podem ser encontradas usando as áreas sob curvas especiais conhecidas como curvas de χ2.

As princi aip s características das curvas χ2 são:

eça no ponto-zero sobre o eixo horizontal e se estende à direita;

m).

ente na Tabela III. A Figura 9.1 apresenta três d aus de liberdade (GL).

9.3. Testes de hipóteses para uma única variância:

ável aleatória de tamanho n é tomada de uma população

diferentes para diferentes graus de liberdade;

a curva com

não são simétricas;

a área total sob a curva é igual a 1 (u

2Os valores de χ podem ser obtidos diretam

iferentes curvas para diferentes gr

Voltando ao exemplo 1, temos o seguinte:

Suponha que uma varique é normalmente distribuída com variância σ2, então a variável aleatória

( ) 22

2 1 snσ

χ −=

tem a distribuição qui-quadrado com (n – 1) GL; ou seja, as probabilidades para a variável aleatória χ2 podem ser determinadas usando áreas sob a curva χ2 com (n – 1) GL.

p

O nosso exemplo consiste de 20 parafusos escolhidos aleatoriamente da linha de rodução 2. A variância estimada é s2 = 0,058. Para testar as hipóteses, temos que calcular o

valor de χ2:

( ) 22

0

2 1 snσ

χ −=

onde σ02 é o valor de σ2 hipotetizada (neste caso, σ0

2 = 0,01). Queremos saber se esta s2 está muito longe da σ0

2 hipotetizada ou não, ou seja, se 0,058 é igual a 0,01, do ponto de vista estatístico. Precisamos também escolher o nível de significância (α).

Para 19 (20 - 1) GL, χ20,05 = 30,14 (Tabela III)

Assim, se a hipótese nula é verdadeira, então a probabilidade que o nosso χ2 calculado ue 30,14 é de 0,05. Em símbolos matemáticos, podemos escrever P(χ2

tabelado > 30,14) = 0,05. Dessa m s valores χ2 podem ocorrer apena omo “muito grandes” (Figura 9.2). Como amar 30,14 como valor crítico do teste.

teste de hipótese:

Hipótese nula: σ2 = 0,01

Hipótese alternativa: σ2 > Como a amostragem de 20 parafusos da linha de produção 2 produziu s2 = 0,058,

os

seja maior do qaneira, se a hipótese nula é verdadeira, o

s em 5% das vezes. Classificaremos os χ2 > 30,14 c em capítulos anteriores, vamos ch

Podemos agora executar o

0,01

tem

( ) ( ) 20,110058,0

01,01201 2

20

2 =×−

=−

= snσ

χ

Desde χ2 > 30,14, temos que rejeitar a hipótese nula e concluir que σ2 > 0,01 para a

pro en al tar o teste de hipótese para uma única variância é o seguinte:

1. Definir as hipóteses:

linha de produção 2.

O cedim to ger para mon

- Hipótese nula: σ = σ02 2

- Hipótese alternativa: σ > σ02 2

2. Pressuposto: População normal

3. Definir o nível de significância (α)

4. O valor crítico é c = χ2α com (n-1) GL, obtido na Tabela III

5. Calcular o valor de

( ) 2

20

2 1 snσ

χ −=

onde σ02 é o valor hipotetizado na hipótese nula, n é o número de amostras (ou

observações) e s2 é a variância amostral (estimada).

6. Decisão: Se χ2 > c, rejeitar a hipótese nula.

9.4. Intervalos de Confiança para Variâncias: No capítulo 7 aprendemos como encontrar o intervalo de confiança (IC) para uma

média

da população, µ, baseado em uma média amostral, x_

. Neste seção vamos ver como encontrar o IC para a variância da população, σ2, baseado em uma variância amostral, s2. Para

montar o IC, vamos usar o fato que, se uma amostra aleatória de tamanho n é tomada de uma população que é normalmente distribuída com variância σ2, então a variável aleatória

( ) 22 s

σχ 2 1n −

0

=

te istribuição qui-quadrado com (n-1) GL. m a d

O r o IC é o seguinte:

procedimento geral para monta

1. Pressuposto: População normal

2. Se o nível de confiança desejado é 1 - α, usar a Tabela III para encontrar

χ2 e χ21-α α/2 com (n-1) GL

3. O IC desejado para σ2 é

( )2

2

21 sn −αχ para

( )21

2

21− sn

αχ −

Exercício 1: Voltando ao exempação, σ

lo 1, vamos determinar o IC para a variância da popul mada, s2. Vamos usar o nível de significância de 10% (α = om IC, temos que olhar 2 e, em vez de α, usamos α/2.

,14

5 = 10,12

90% :

30,14 10,12

0% de confiança, podemos afirmar que a variância da popula ão 2 está entre 0,037 a 0,109 mm.

mos comparar duas variâncias desconhecidas. Neste caso, melh

-F são:

as curvas são diferentes para diferentes GL;

e se estende à direita;

2, com base na variância esti0,10) e podemos escrever como 90% IC. Como estamos trabalhando cpara os dois lados (caudas) da curva-χ

Primeiro, vamos à Tabela III para encontrar χ2α/2 e χ2

1-α/2

χ2α/2 = χ2

0,05 = 30

χ21-α/2 = χ2

1-0,05 = χ20,9

O IC será então

19 x (0,058) 19 x (0,058)

----------------- a -------------------

0,037 a 0,109 ou IC (0,037<σ2<0,109) = 90% Em outras palavras: com 9ção de parafusos da linha de produç

9.5. O teste-F e as curvas-F: Nas seções anteriores discutimos as situações envolvendo somente uma variância desconhecida. Há ocasiões que quereo or recurso é usar o teste-F.

Os valores de F são encontrados usando as curvas-F. Essas curvas dependem dos graus de liberdade (GL). As características das curvas

cada curva começa no ponto-zero no eixo horizontal

não são simétricas;

a área total sob a curva-F é igual a 1.

As áreas sob as curvas-F são apresentadas nas Tabelas IV (α = 0,01) e VI (α = 0,05). Se for preciso usar outros α, é preciso recorrer aos livros especializados. Para cada α é preciso uma tabela diferente porque são necessários valores críticos específicos para cada ombinação de GL.

(i) Us as independentes de duas populações que são norm

tamanho da amostragem da população 1

iância da população 1

e n2, variável aleató

s12 / s2

2

tem a ja, as probabilidades para a variável aleatória F pod 2 - 1) GL.

O procedimento geral para montar um teste de hipótese usando o F é o seguinte:

1. Definir as hipóteses:

c

o do teste-F para comparação de duas variâncias: Imagine duas amostras aleatóri

almente distribuídas. Vamos considerar:

n1 =

s12 = variância amostral da população 1

σ12 = var

s22 e σ2

2 são os valores correspondentes para a população 2. Se σ12 = σ2

2, então, a ria

F = distribuição-F com (n1-1, n2 - 1) GL; ou see ser determinada usando as áreas sob a curva-F com (n1-1, n

- Hipótese nula, H0: σ12 = σ2

2

- Hipótese alternativa, H1: σ12 > σ2

2

2. Pressupostos: (1) amostras independentes e (2) populações normais

3. Escolher o nível de significância α

4. O valor crítico é c = Fα com (n1 - 1, n2 - 1) GL, onde n1 e n2 são os tamanhos das amostragens.

5. Calcular o valor de

F = s12 / s2

2;

onde s12 e s2

2 são as variâncias amostrais das populações 1 e 2.

6. Decisão: se F > c, rejeitar a hipótese nula.

Exercício 2: Vamos comparar as variâncias das linhas de produção 1 e 2.

Hipótese nula, H0: σ12 = σ2

2

Hipótese alternativa, H1: σ12 > σ2

2

A amostragem foi feita de forma independente e os dados são oriundos de uma população normalmente distribuída. Dessa maneira, podemos usar o procedimento dado anteriormente assumindo α = 0,05.

Para (19, 19) GL, o valor crítico F (ou c) é aproximadamente ecomenda-se a inversão da fórmula de F-estatístico, mantendo os

2,16. Quando s12 > s2

2 mesmos GL. E o F-

statístico é

F = s = 0,058 / 7,25

Como F > c, podemos rejeitar H anto, σ22 >

Como sempre, o procedimento para o uso das d das da curva-F é basicamente o esmo que para uma cauda, exceto que precisamos de dois valores críticos em vez de um só. este caso, precisamos olhar os dois lados da curva [α/2 α/2)]. No primeiro lado, vamos

ncontrar nas tabelas IV VI, para α = 0,02 e α = 0,10, respectivamente, ou seja, não temos enhum problema. No e anto, o outro a curva (1 ), não á como tirar das tabelas. or exemplo, se vamos finir α = 0,10, um lado da curva (α/2) será 0,05 (Tabela VI) e o utro será 1 - α/2 = 0,95. Neste caso, o cálculo do F0,95 pode ser feito da seguinte maneira:

1. Vamos considerar α = 0,1 seguinte s de iberdade (GL):

re

22 / s1

2 0,008 =

0, port σ 2. 1

uas caumN e (1 - e en nt lado d - α/2 hP deo

0 e os s grau lnumerador = 9 e minador = 8deno .

2. Calcular o lad reito da curv , F0,05, 9, 8 bela I, que é igual a o di a, α/2 na Ta V3,39.

3. Calcular, então, o lado esquerdo da curva, 1 F0,95 8, da seguinte - α/2, , 9,maneira:

- F0,95 para GL = (9,8) é a recípro valor F1-0, 05 com os GL trocados ca do 95 = F0,(8,9).

- Na Tabela V igual aI, F0,95, 8, 9 é 3,23

- O F0,95, 9, 8 é, então igual a 1 / 3,23 = 0,31

4. Os valores de F para as duas caudas são: 0,31 e 3,39

Quadro 9.1: Diâmetros (mm) de parafusos em duas linhas de produção. Parafuso Produção 1 Produção 2 1 9,91 10,48 2 9,97 10,07 3 9,84 9,89 4 9,97 10,38 5 10,18 9,5 6 10,08 9,95 7 10,03 9,81 8 10,02 9,87 9 9,88 10,13 10 10,03 10,03 11 10,05 10,26 12 10,18 9,73 13 10,06 10,29 14 9,98 9,97 15 9,91 10,38 16 10,07 9,94 17 9,98 10,14 18 10,1 10,17 19 9,99 10,17 20 9,97 10,09 Média 10,01 10,06 Variância 0,008 0,058

F0

Figura 9.1: Curva-F com (3,20) gl

χ2

0 5 10 15 20 25 30 Figura 9.2: Curva qui quadrado

Capítulo 10 Teste de Qui-quadrado ( χ 2 )

10.1. Introdução: Neste capítulo vamos ver um teste estatístico baseado na distribuição de Qui-quadrado χ 2 ), e qui-quadrado. Este teste pode ser usado tanto na estatística aramé

lo anterior (Capítulo 9). Aqui, vamos enfatizar a aplicação deste teste para:

sua verdade de campo – distribuição observada - com a distribuição erada.

etro: você usa a cadeia de transição probabilística ica da floresta de seu interesse. Você usa, por

anto, em 2003, você tem condições de Markov é confiável para este tipo de trabalho. Basta comparar a

a ou esperada) e confrontar com medições feitas em 2003 (observada). Se der não significante, significa que a projeção é, estatisticamente, igual à

3) e você pode confiar na Cadeia de Markov.

xemplos:

3) Ocorrência de cies nas difer s classes topo cas: im ine que você não be nada disso, então, vo ai hipotetizar que a distribuição a seguin e: 1/3 das espécies

correm no platô; 1/3 na encosta e 1/3 baixio. Faça levanta ento em algumas posseqüências e distrib s espécies de rdo com as classes topográficas. Compare os

alores observados – seu tamento – com os valores hipotetizados (1/3, 1/3 e 1/3). Se der não significante”, isso izer a distri o de espécies na sua área de trabalho ocorre dependentemente das classes topográficas.

(3): se você quiser comparar uma toposseqüência da ZF-2 com ma da Reserva Ducke pra saber se essas toposseqüências são homogêneas em relação a istribuição de número de espécies por classe topográfica. Imagine que na ZF-2, a

ja 30% o baixi ê fazn sc tribu ô, 32 a e 3 xio.

( conhecido como teste dp trica como na não paramétrica. O teste estatístico χ 2 e a curva χ 2 já foram descritos no capítu

(i) Ajuste de curvas ou de distribuições:

Exemplos:

1) Distribuição de diâmetro: você desenvolve uma função para descrever a relação entre classes de diâmetro e freqüência. Ao testar a confiabilidade dessa função em outra área,você deve coletar novos dados e produzir a nova distribuição de freqüência. O passo seguinte é confrontar ahipotetizada (desenvolvida em outro local, por outro pesquisador) – distribuição esp

2) Projeção da distribuição de diâmMarkov para fazer a projeção da dinâmexemplo, ano 2000 como hoje e 1997 como seu passado imediato – período de 3 anos – para fazer a projeção para um futuro imediato, 2003. Portavaliar se a Cadeia deprojeção feita (hipotetizad

verdade de campo (medições realizadas em 200

(ii) Independência:

E

espé ente gráfi agsa cê v seja to no um mto ua a acov levan“ quer d buiçãin

(iii) Homogeneidade:

Exemplos:

4) Usando o exemplouddistribuição se

a Du e de 40% no platô, obre a dis

na encosta e 30% niç lat

o. Aí, voc o levantamento 2% baicke que ão é 36% no p % na encost no

Aplica o teste qui-quadrado pra checa ção da Z a da Du Se der “não ificante”, isso quer dizer as to são homo

10.2. Procedimentos para aplicar os testes em diferentes situações: Valor esperado => E

cessários:

ação é grupada de acordo com uma determinada distribuição de probabilidade.

(i) E > 1 e (ii) máximo 20% de E < 5

r se a distribui F-2 é igual cke.sign posseqüências gêneas.

Valor observado => O

O valor crítico c é tirado da Tabela III => c = χ 2 α => descritos no Capítulo 9 (item 9.2).

10.2.1. Qui-quadrado (χ 2 ) para teste de ajuste:

Passos nePasso 1: formular as hipóteses científicas:

H0 => A popul

H1 => A população não é grupada de acordo com uma determinada distribuição de probabilidade.

Passo 2: lembrar das seguintes condições =>

Passo 3: Definir o α => 10%, 5% ou 1%.

Passo 4: Determinar o valor crítico c com (k – 1) graus de liberdade, na Tabela III => k = número de grupos ou número de classes de diâmetro.

Passo 5: Calcular o χ 2

( )− EO 2

∑=2χE

H0

Imagine uma população de árvores com 120 ro.

Passo 6: Decisão => Se χ 2 > c => rejeitar

Agora, vamos exemplificar com números. indivíduos tendo a seguinte distribuição de diâmet classes DAP freqüência probabilidade 25 24 0,2 35 48 0,4 45 24 0,2 55 12 0,1 > 65 12 0,1 Total 120 1

usando apenas parte da população (neste caso esentativa. A distribuição de diâmetro dessa

amostr

Em seguida, você faz um levantamento40 árvores) e quer saber se a amostra é repr

agem é apresentada abaixo incluindo a freqüência de acordo com a distribuição da população (n = 120) e o χ 2.

classes DAP bs. (O) Freq esperada (E) ( O – (O-E)2 / E Freq o E ) 25 8 50 x 0,2 = 10 (8-10) = -2 0,4 35 20 50 x 0,4 = 20 (20-20 0,0 ) = 0 45 13 50 x 0,2 = 10 (13-10) = 3 0,9 55 5 50 x 0,1 = 5 (5-5) = 0 0,0

>65 4 50 x 0,1 = 5 (4-5) = -1 0,2 50 1,5

k = 5 => 5 classes de DAP H0: A distribuição de probabilidades das classes DAP da amostragempopulação (n=120).

(n=50) é igual a da

ostragem (n=50) não é igual a da

2 é igual 1,5

ecisão => c (9,49) é maior do que χ lculad ,5) rtan não reje ar H0. Concluir que a istribuição d m é, estati m mostragem é representativa da população.

0.2.2. Qui-q o ( χ 2 ) para teste de independência ou tabela de contingência. Neste caso, vamos trabalhar com linhas (L) e colunas (C). O valor esperado de cada

E = ------------------------------------------

s:

H => As duas características são independentes.

de liberdade, na Tabela III.

H1: A distribuição de probabilidades das classes DAP da ampopulação (n=120).

α = 0,05

Valor crítico c (tabela III com GL = 4) é igual a 9,49

χ

D 2ca o (1 ; po to, it

d a amostrage stica ente, igual a da população e, por essa razão, aa

1 uadrad célula é calculado da seguinte maneira:

(total da linha) x (total da coluna)

total de observações

Passos necessários: Passo 1: formular as hipóteses científica

0

H1 => As duas características não são independentes

Passo 2: lembrar das seguintes condições => (i) E > 1 e (ii) máximo 20% de E < 5

Passo 3: Definir o α => 10%, 5% ou 1%.

Passo 4: Determinar o valor crítico c com (L-1) x (C-1) graus 2Passo 5: Calcular o χ

( )∑=χ −E

EO 22

Passo 6: Decisão => Se χ > c => rejeitar H0 2

Exemplificando com números: Pesquisa com acidentes em relação ao sexo das pessoas envolvidas. Veja quadro abaixo com 2 colunas e 3 linhas.

local acidente homem mulher total no trabalho 40 5 45 em casa 49 58 107 Outros 18 13 31 Total 107 76 183

H0: a circunstância de um acidente é independente do sexo da vítima.

H1: a circunstância de um acidente não é independente do sexo da vítima.

Calculando os valores esperados (E):

rimeira linh lu x 10 = 26

rimeira linha e segunda coluna => (45 x 76) / 183 = 18,7

gunda linh ra coluna 107 x 107 183 = 62,6

gunda linh unda coluna

rceira linha e primeira coluna => 31 x 107) / 183 = 18,1

o quadro c b esp o se

te homem mulh tot

p a e primeira co na => (45 7) / 183 ,3

p

se a e primei => ( ) /

se a e seg => (107 x 76) / 183 = 44,4

terceira linha e segunda coluna => (31 x 76) / 183 = 12,9

te

E om os valores o servados e erados é guinte: local aciden er al O E O E

no trabalho 40 26,3 5 18,7 45 em casa 49 62,6 58 44,4 107

outros 18 18,1 13 12,9 31 total 107 76 183 O = valor observado e E = valor esperado

Checando: nenhum E é menor do que 1 e não tem E < 5 => OK

L = 2 => (L-1)(C-1) = (3-1)(2-1) = 2

mos a H0.

10.2.3. Qui-quadrado ( χ 2 ) para teste de homogeneidade Como para o teste de independência, vamos trabalhar com linhas (L) e colunas (C). O valor esperado de cada célula é calculado da seguinte maneira:

(total da linha) x (total da coluna)

E = ------------------------------------------

total de observações

Passos necessários: Passo 1: formular as hipóteses científicas:

H0 => As duas características são homogêneas.

α = 0,01

Valor crítico c (tabela III com GL=2) é igual a 9,21. G

Calcular χ 2 = (40-26,3)2/26,3 + ...... + (13-12,9)2/12,9 = 24,30

Decisão: χ 2 > c; logo, rejeita

H1 => As duas características não são h

Passo 2: lembrar das seg % de E < 5

10%, 5% ou 1%.

valor crítico c com (L-1) x (C-1) graus de liberdade, na Tabela III.

omogêneas

uintes condições => (i) E > 1 e (ii) máximo 20

Passo 3: Definir o α =>

Passo 4: Determinar o

Passo 5: Calcular o χ 2

( )∑ −=

EEO 2

2χ

Passo 6: Decisão => Se χ 2 > c => rejeitar H0

Exemplificando: Comparando duas cidades estratificadas por cor da pele. Duas amostragens (n = 100 para as duas) são consideradas e o resultado é apresentado no quadro abaixo.

amostragem brancos negros Outros total

cidade 1 83 5 12 100

cidade 2 87 6 7 100

total 170 11 19 200

Calcula

ndo o valor esperado (E) para cada célula, o resultado é o seguinte:

amostragem brancos negros Outros total cidade 1 85 5,5 9,5 100 cidade 2 85 5,5 9,5 100 total 170 11 19 200 Hipóteses:

H0: Cid

GL=2) é igual a 5,99. GL = 2 => (L-1)(C-1) = (2-1)(3-1) = 2

)2/85 + ...... + 5)2/9,5 = 2 logo, não jeita os a 0, ou seja, cidade 1 e cidade 2 têm a mesma

de pele.

ade 1 e cidade 2 têm a mesma % para cada cor de pele

H1: Cidade 1 e cidade 2 não têm a mesma % para cada cor de pele

Checando: nenhum E é menor do que 1 e não tem E < 5 => OK

α = 0,05

alor crítico c (tabela III comV

Calcular χ 2 = (83-85 (7-9, 1,52

Decisão: χ < c;uição de cor

re m H distrib

Capítulo 11 álise de Variância – ANOVA

r do nome, a a e de variância (ANOVA) é usada para comparação de

imos, anteriormente, que há vários testes usados na comparação de média (teste t, , Bonferroni, Duncan e c). Por que usar a ANOVA? Usamos a ANOVA quando

ueremos compreender melhor a natureza da variação natural das diferentes fontes, além de compar

ntes tipos de

ente casualizados.

imentos blocos RESÍDUO (ou

ou múltiplas entradas => aplicação clássica em experimentos o fontes de variação.

aninhada (nested): aplicação em experimentos com parcelas subdivididas Plot (clássico) ou quando o adapta para análise de parcelas repetidas.

gressão: tanto para as regressões lineares (simples e múltiplas) e e múltiplas) => para explicar o quanto da variação dos dados

ente.

riação estabelecidas, s hipóteses é o teste-

m seguida, apresentamos os quadros auxiliares usados para

ples entrada:

GL SQ MQ F

An

11.1. Introdução: Apesa nálismédias. VTukey tq

ar as médias. No fundo, ANOVA é a partição (ou desdobramento) da variação total de acordo com as fontes de variação.

A ANOVA é aplicada para testar hipóteses quando a pesquisa envolve mais de duas médias. Trata-se de uma ferramenta estatística amplamente utilizada e com um grau de sofisticação muito alto. Podemos, de forma muito simplista, definir os seguiANOVA:

a) ANOVA de simples entrada => fontes de variação ou grupos classificados por um simples critério como ENTRE os transectos e DENTRO (ou resíduo ou erro) dos transectos => aplicado em experimentos inteiram

b) ANOVA de dupla entrada => aplicação clássica em expercasualizados => fontes de variação: BLOCO, TRATAMENTO eerro).

c) ANOVA de tripla fatoriais incluindo as interações com

d) ANOVA tipo Split

e) ANOVA para renão lineares (simplesé explicado pelo modelo utilizado.

f) MANOVA => análise de variância de várias variáveis, simultaneam

Na verdade, você arma a ANOVA de acordo com as fontes de vaou seja, desmembrando a variação total; o teste aplicado para testar as suaF (Capítulo 9, item 9.5). EANOVA de simples entrada e para ANOVA de dupla entrada.

ANOVA de sim Fontes de Variação Entre Dentro (Resíduo) Total GL = graus de liberdade SQ = soma dos quadrados MQ = média quadrática F = calculado

ANOVA de dupla entrada: Fontes de Variação GL SQ MQ F Blocos Tratamentos Resíduos Total

ina o valor de F dividindo MQentre pela MQ esmo, você pegava o Fcalculado e comparava com o NTRE e DENTRO e nível de significância α). Atualmente, os

ftwa r exato da probabilidade para inferência => então, em vez do , o i te fornecer a probabilidade.

ente, os efeitos dos blocos dos t s. Para isso, você aplica o teste-F para blocos e para os tratamentos, separad blocos pela MQresíduos e para os Qresíduos.

11.2. Procedimentos para aplicar a ANOVA de simples entrada: = número total de observações (g * k)

ações por grupo

os:

são iguais ou, pelo menos, uma é diferente.

) dados que você vai utilizar => dados mé

lações sã ormais com a m a variância.

inir o nível crítico α terminar o valor crítico c = c = Fα m (k-1) GL no numerador e (n-k) GL no

dor.

i) Calcular F

Qentre

o

F > c, rejeitar

Exemplo com aplicação s fórm cessárias para o preenchimento

) Fórmulas:

No primeiro caso (de simples entrada), você determ. Antigamente, muito antigamente mdentro

Ftabela (função dos GLs Eso res estatísticos vão te dar o valo

valor de F no quadro auxiliar software va

No segundo caso (de dupla entrada), você quer ver, separadame ratamentoamente. O valor de F para blocos você consegue dividindo MQ tratamentos dividindo MQtratamentos pela M

n

k = número de grupos

g = número de observ

Passos necessári

(i) Formular as hipóteses

H0 => µ1 = µ2 ...... = µn H1 => nem todas as µ

(ii Definir os tipos de tricos

(iii) Condições => as k popu o n esm

(iv) Def(v) De > codenomina

(v

M

F = --------------

MQdentr

(vii) Decisão => Se H0

11.3. da ulas nedo quadro de ANOVA: a

Variação entre os grupos: ados => SQentre ou SQE

∑

Soma dos Quadr

( )2 ( )

nx

1=−=

n

mediaxSQE ou i

g

xij

k

i

g

iij 2

2

1 1 ∑∑∑ ∑−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= =

tro dos os

> GL para SQE => (k – 1)

Média Quadrática => MQentre ou MQE

MQE = (SQE) / (k – 1)

Variação den grup : os Quadrados = Qdentro Soma d > S ou SQD

∑=

= = ⎠⎝−=n

i

i iij g

xSQD1

1 12

> GL para SQD => (n - k)

Média Quadrática => MQ ou MQD

∑ ∑ ⎟⎟⎜⎜k

ij

dentro

MQD = (SQD) / (n - k)

Teste Estatístico => teste-F

⎞⎛ g 2

x

F = (MQE)/(MQD)

b) Exemplo 1:

Estamos interessados em comparar a renda média anual de 4 companhias diferentes.Vamos às companhias e, aleatoriamente, pegamos a declaração de renda para o Imposto de Renda de 5 empregados de cada uma. O resultado é apresentado no quadro seguinte (em R$ 1.000,00): H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 empreg CIA1 CIA2 CIA3 CIA4 subtot H1: nem todas µ são iguais 1 46 65 37 11 159 n = 20 2 53 59 13 35 160 g = 5 3 54 17 65 57 193 k = 4 4 29 18 42 56 145 α = 0,05 5 27 37 33 40 137 subtot 209 196 190 199 794 Quadro auxiliar Fontes de Variação GL SQ MQ F Entre 3 37,8 12,6 0,04 Dentro (Resíduo) 16 5486,6 342,9 Total 19 5524,4

SQE = [ (2092 + 1962 + 1902 + ...56 + 40)2 ] / 20 = 37,8

2 2 .. 562 + 402 ] - [ (2092 + 1962 + 1902 + 1992) / 5 ] = 5.486,6

1992) / 5 ] – [ (46 + 53 + 54 + ..

SQD = [ 46 + 53 + . MQE = 37,8 / 3 = 12,6 MQD = 5.486,6 / 16 = 342,9 F = 12,6 / 342,9 = 0,04

Decisão => F0,05 = 3,24 para GL = 3, 16; logo, não rejeitar H0

c) Exemplo 2: Utilizando os dados do Quadro 7.1 vamos ver se há diferenças entre as estimativas de área basal das diferentes classes topográficas. Neste caso, vamos direto à saída (output) do Systat, que é a seguinte:

Fontes de Variação GL SQ MQ F p Entre classes 2 659,83 329,92 4,005 0,02 Dentro (Resíduo) 177 14582,04 82,38 Total 179

O resultado da ANOVA mostra p = 0,02. Se usássemos os níveis críticos tradicionais (α = 0,05 e α = 0,01), a conclusão poderia ser a seguinte: as diferenças em área basal entre as classes topográficas são significantes a 0,05, mas não a 0,01. Com esta facilidade o valor exato de α você deve concluir com aquilo que você está vendo, ou seja, 0,02.

Capítulo 12 Regressão e correlação

12.1 Introdução: O objetivo da regressão é obter uma expressão da dependência de uma variável Y sobre uma ou mais variáveis independentes X. Tal expressão é, matematicamente, conhecida como função, logo, Y é uma função de X. Função é um relacionamento matemático que nos capacita predizer quais valores de uma variável Y, para dados valores de uma variável X. Resumindo: Y = f (X).

A regressão define o relacionamento estatístico entre as variáveis tomadas e, a correlação, a estreiteza deste relacionamento. Na regressão estima-se o relacionamento de

termos de uma função linear (ou uma outra lise de correlação, às vezes, confundida com regressão,

tima-

comportamento de uma espécie ou

ra alguns estudos da estrutura da floresta (distribuição em diâmetro, por exemplo) etc.

a de m mo

12.2. Equações básicas das curvas de ajuste: Linear

uma variável com uma outra, expressando-se em mais complexa), enquanto que na anáes se o grau para o qual duas ou mais variáveis variam juntas.

Os métodos de regressão são de grande utilidade na derivação das relações empíricas entre vários fenômenos, sendo aplicáveis para: (i) encontrar uma função estatística que possa ser utilizada para descrever o relacionamento entre uma variável dependente e uma ou mais variáveis independentes e (ii) testar hipóteses sobre a relação entre uma variável dependente e uma ou mais variáveis independentes. No manejo florestal, o uso da regressão é fundamental na derivação de modelos matemáticos: (i) para explicar o povoamento submetido a um determinado tipo de intervenção; (ii) para desenvolver modelos de crescimento; (iii) desenvolvimento de equações de volume e de biomassa; (iv) desenvolvimento de relações hipsométricas; (v) pa

Ao olhar um povoamento florestal, você pode achar que quanto maiores forem o diâmetro e altura, maior será o volume ou peso da árvore. Entretanto, você não poderá afirmar nada além disso. Com o auxílio da regressão, você será capaz de expressar o relacionamento entre as variáveis independentes diâmetro e altura e o volume (ou peso) da árvore na formu delo estatístico. Desta maneira, você será capaz de predizer o volume (ou peso) de uma árvore em pé tendo apenas as medições de diâmetro e altura.

Dependendo do número de variáveis independentes, a regressão pode ser simples (uma variável) ou múltipla (mais de duas variáveis) e, dependendo da natureza da equação básica, a regressão pode ser linear ou não linear.

=> bXaY += => linha reta

tica => Y = Quadrá ++ => parábola

Cúb

Genéri

Hipérb

2cXbXa

ica => Y = 32 dXcXbXaY +++= => curva do 3º grau

ca => Y = nxXcXbXaY ++++= ...2 => curva do n-ésimo grau

ole => ( )bXaY +=1

Exp

Geomé

onencial => Y = bXaeY =

trica => Y = baXY =

Todas coeficientes de regressão podem ser obtidos usando procedimento tradicional de regressão

mento dos dados. Entretanto, quando tem ar com processos iterativos para

oeficientes de regressão e de correlação para a regressão linear simples. Sabendo como estimar os coeficientes de

nal e estimar os coeficientes de regressão e correlação utilizando um dos

o relacionamento entre os valores x e y, o primeiro passo é marcar os valores num sistema de coordenadas feito para dar uma evidência visual do relacionamento das duas variáveis. Se existir um relacionamento simples, os pontos marcados

o é fraco, os

as equações básicas podem ser linearizadas e, deste modo, as estimativas dos

linear. Este “truque” é utilizado para facilitar o processase recurso da informática que permite trabalhconvergência das estimativas dos coeficientes, o “truque” perde o sentido.

Neste capítulo, vamos demonstrar como são estimados os c

regressão e correlação da simples, você poderá, por analogia, estimar os coeficientes da regressão múltipla. No caso de regressão não linear, há duas alternativas: (i) linearizar a equação original e adotar os procedimentos das regressões simples ou múltipla e (ii) manter a equação origiseguintes métodos: Gauss-Newton, Quasi-Newton e Simplex – opções do software Systat.

12.3. Regressão linear simples: Para se ter uma idéia de regressão linear simples é necessário considerar uma população com n indivíduos, cada um com características xi e yi. Se a informação desejada é uma expressão numérica para

. Isto é

tenderão a formar um modelo (uma linha reta ou uma curva). Se o relacionamentpontos serão mais dispersos e, o modelo, menos definido.

Uma linha reta representa a regressão linear simples, a qual é geralmente definida pela equação

bXaY +=

sendo: a = coeficiente de interseção (onde o valor de X corta o valor de Y) e b = coeficiente angular ou de inclinação (estimativa de Y para cada unidade de X acrescentada) – Ver figura 12.1. Em regressão, um relacionamento funcional não significa que, dado um valor de X, o valor de Y tem que ser igual a a + b X, mas que o valor esperado de Y é igual a a + b X.

Em um exemplo real, as observações não permanecem perfeitamente ao longo da linha de regressão. Isto é devido ao erro aleatório (ε) e outros fatores não quantificáveis. A forma mais utilizada de ajuste dos dados à linha reta (regressão linear simples) é por meio do método dos mínimos quadrados (MMQ), que requer uma soma mínima dos desvios ao quadrado, entre os pontos observados e os estimados (sobre a reta).

(i) Condicionantes para o uso da regressão linear:

- Homogeneidade da variância => a variância de Y sobre a linha de regressão é a mesma para todos os valores de X. Isto pode ser resolvido aplicando o teste de Bartlett.

- Normalidade => o simples ajuste dos dados à regressão (ou a descrição do relacionamento entre as variáveis Y e X) não requer a distribuição normal de

preciso l

(Capítulo 6).

- Independência

Y, mas se a análise de variância for realizada (o que é óbvio), écomprovar a normalidade ou utilizar o expediente do teorema de limite centra

=> independência dos erros (afastamento da linha de regressão) das observações. A validade desta condicionante é melhor

eio de seleção das unidades de amostra de forma aleatória. No assegurada por m

caso de usar parcelas repetidas ou série temporal, o teste Durbin-Watson é a solução.

i) Método dos Mínimos Quadrados (MMQ):

(iAssume-se, tentativamente, que a linha de regressão de variável Y sobre a variável X

tem a forma a + b X, que assume a seguinte expressão matemática

iXY εββ ++= 10

o que quer dizer: para um dado X, um valor correspondente de Y consiste do valor β0 + β1 X mais uma quantidade εi, o incremento pelo qual algum indivíduo Y pode desviar-se da linha de regressão.

tes β0 e β1 são desconhecidos. O erro εi é muito difícil de ser encontrado porque ele varia para cada observação Y β0 e β1 permanecem fixos e, apesar de não poder encontrá-los exatamente sem das as possíveis ocorrências de Y e X,

utilizar as informações disponíveis para obter as estimativas a e b de β0 e β1, respectivamente. Desta maneira, pode o modelo acima, como um modelo

tico da seguinte maneira

nde Ye é o valor estimado de Y para um dado X, quando a e b são conhecidos.

terminar os coeficientes a e b. Como falamos anteriormente, será uti tes. Vamos fazer esta

nstração a partir da figura 12.1.:

Os coeficien. Entretanto,

o exame de topode-se

mos escrever estatís

bXaeY += ∧

o

A questão, agora, é saber como delizado o MMQ para a determinação dos coeficien

demo

Figura 12.1: Valores ados pela regressão.

observados versus valores estim

Vamos considerar

Yei = valor estimado

Nesta figura temos 6 valores de X. A equação da reta ajustada passa exatamente entre os pontos (X) observados. O desvio (ε) é a diferença entre o valor observado (Y) e o valor estimado (Ye) pela equação da reta para o mesmo valor de X

Vamos começar a demonstração adiantando que vamos chamar a soma dos desvios ao

εi = Yi - Yei

sendo:

Yei = a + b Xi

logo

εi = Yi – (a + b Xi)

Continuando o desenvolvimento do MMQ.

(ε1) + (ε2) + (ε3)2 + ... (εn)2 tem que ser mínimo

go

S = ∑ (ε )2 = ∑ (Y – Ye )2 tem que ser mínimo

O passo se rivar esta expressão S para a e b, da seguinte maneira:

Como S tem ualados a zero, tal que as estimativas sejam dadas da seguinte maneira:

-2 ∑ ( Yi – a – b Xi) = 0

∑ Yi – a ∑ – b ∑ Xi = 0

∑ Xi Yi – a ∑ Xi – b ∑ Xi2 = 0

e, finalmente, temos as seguintes equações norm is:

Yi = valor observado

.

quadrado de S e S tem que ser mínimo (zero), assim

∑ (εi)2 = S = 0 => i variando de 1 a n

sem esquecer que

2 2

lo

i i i

e

S = ∑ (Yi – (a + b Xi))2

guinte é de

δS/δa = 2 ∑ ( Yi – a – b Xi) (-1)

δS/δb = 2 ∑ ( Yi – a – b Xi) (-1Xi)

que ser mínimo, δS/δa e δS/δb podem ser ig

-2 ∑ Xi ( Yi – a – b Xi) = 0

e dividindo tudo por (-2) e completando as outras operações algébricas, as expressões ficam assim

a

a ∑ Xi + b ∑ Xi = ∑ XiYi

serão:

a n + b ∑ Xi = ∑ Yi

2

Pelo método de substituição, os coeficientes

( ) nXbYa ii∑ ∑−= −

e

( ) ( )xxy SQCSPCb =

stimar os coeficientes de regressão a e b, você tem que saber os seguintes facilitar os cálculos manuais, monte a seguinte o encontradas no Capítulo 3.

obs Y X Y X XY (Y-Ye)

Então, para esomatórios: ∑ Yi, ∑ Xi, ∑ XiYi e ∑ Xi

2. Para quadro auxiliar. As fórmulas de SPC e SQC sã

Quadro 12.1: Quadro auxiliar para estimar os coeficientes de regressão.

2 2 2

1 2 . . . N ∑ XY ∑ (Y-Ye)2∑ Y ∑ X ∑ Y2 ∑ X2

Comentários:

i) Com os coefi ondições de descrever o riável dependente Y e a independente X. Mais para e estima o coeficiente de correlação e a precisão da

equação.

isto é, quando X = Xmédio tem-

iii) oeficiente angular ou de inclinação, fornece a

12.4. C rificar o quão estreito é o relacionamento linear entre as variáveis Y e X. De uma amostragem aleatória (X e Y) de

manh

cientes de regressão estimados temos crelacionamento linear entre a vaa frente, vamos mostrar como s

ii) A reta dos MMQ passa pelo ponto (Xmédio, Ymédio), se Ye = Y médio

O coeficiente de regressão b, cvariação que ocorre em Y, por unidade de X.

orrelação linear: Depois da determinação dos coeficientes de regressão, vamos ve

ta o n de uma população normalmente distribuída, a estimativa do coeficiente de correlação, r, é obtida da seguinte maneira:

YX

xy

SQSQC × C

SPCr =

e de correlação tem o m nal do n dor e, conse ntemente, o iciente de são s r independe das unidades de medida das

el ar

aior res de o relacionad com os maiores valores de X enores de X.

linear. O passo

i i i i ӯ)]2

= ∑ [(Yi - ӯ)2 – (Yei - ӯ)2 – 2 (Yi - ӯ) i - ӯ)]

2

∑ ( Yi – Yei)2 = ∑ (Yi - ӯ)2 – ∑ (Yei - ӯ)2

tal que, o resultado final desta operação é

∑ (Yi - ӯ)2 = ∑ ( Yi – Yei)2 + ∑ (Yei - ӯ)2

SQCY = SQRES + SQREG

Qual é o significado de cada termo?

∑ (Yi - ӯ)2 => SQCY = soma dos quadrados corrigidos de Y

∑ ( Yi – Yei)2 => soma dos quadrados sobre a regressão = SQRES

∑ (Yei - ӯ)2 => soma dos quadrados devido a regressão = SQREG

O coeficient esmo si umera qüemesmo sinal do coefvariáveis Y e X.

regres b. E mai , o

O coeficiente de corr ação v ia de -1 a +1

r positivo => os m es valo Y estã osou os menores de Y estão relacionados com os m

r negativo => os maiores valores de Y estão relacionados com os menores valores de X ou vice-versa.

r = 0 => Y não tem relacionamento linear com X.

r = 1 => perfeito relacionamento linear entre a variável dependente (Y) e a independente (X).

12.5. Precisão da regressão estimada: Depois de estimar os coeficientes de regressão e de correlação, podemos descrever o relacionamento entre Y e X e sabemos o quão estreito é este relacionamentoseguinte é saber o quão precisa é a equação resultante. Primeiro, considere a seguinte identidade

Yi - Yei = ( Yi - ӯ ) - ( Yei - ӯ )

elevando ao quadrado os dois lados e somando de i = 1 até n, tem-se

∑ (Y - Ye )2 = ∑ [(Y - ӯ) – (Ye -

– (Ye

= ∑ (Yi - ӯ)2 – ∑ (Yei - ӯ) – 2 ∑ (Yi - ӯ) – (Yei - ӯ)

e re-escrevendo o 3º termo de modo a ter

Portanto, em análise de variância (ANOVA), a grande vantagem é a possibilidade de decompor a variação tota . Estes são os principais elementos para montar o qu ara regressão:

l (SQCY) em outras fontes de variaçãoadro de análise de variância (ANOVA) p

Quadro 12.2: Quadro de análise de variância (ANOVA)

Fontes de variação GL SQ MQ F

Devido à regressão c – 1 b * (SPCxy) SQREG/(c-1)

Sobre a regressão (resíduo) n – c por subtração SQRES/(n-c)

Total (corrigido) n - 1 SQCY

sendo: c = número de coeficientes de regressão.

a-F). Portanto, hoje você pode tomar decisões baseadas na sua

dual, baseada em (n-2)

o com a qual qualquer valor observado de Y poderia ser estimado de um dado valor de X, usando a equação ajustada.

r a variável que mede a precisão da equação ajustada que

O valor de F é dado pela razão entre MQREG e MQRES. Quanto maior for o numerador MQREG, maior será o valor de F. Quanto maior for o F, mais significante será o modelo testado. Antigamente, você pegava o F calculado e ia à tabela-F para comparar os dois valores; se o valor calculado fosse maior do que o tabelado (para os 3 principais níveis críticos de 10%, 5% e 1%), você concluía que o seu modelo era significante, caso contrário, não significante. Hoje, os programas de estatística já dão os valores exatos da probabilidade (ou a área sob a curvcapacidade de discernimento. Por exemplo: se p for igual a 0,03 (ou 3%), você pode dizer que é significante a 5% mas não a 1% ou, então, dizer qualquer coisa sobre o 0,03 da sua própria cabeça sem ficar no maniqueísmo do significante ou não significante.

A MQRES é igual a s2 e fornece uma estimativa da variância resigraus de liberdade (GL). Se a equação de regressão foi estimada de um número grande de observações, a variância residual representa uma medida do err

Por último, vamos apresentaé o erro padrão de estimativa (SY.X):

2. ss xy =

13 será visto como se trabalha com equações múltiplas. Um exemplo No Capítuloprático será visto no Capítulo 15 (biomassa florestal), que é o manuscrito de um artigo já publicado na Acta Amazonica.

Capítulo 13 Estatística não Paramétrica

atística paramétrica. Basicamente, a normal. No entanto, os

nôme rão (µ = 0 e σ2 = 1) e, ão – uso da padronização da

do os seus dados teimam em não seguir a distribuição normal, temos “teorema do limite central” para “driblar” a condição

aram os recursos estatísticos para analisar os seus resultados,

” violadas. Além disso, quando não dá para repetir a pesquisa de campo ou de

plicados às populações com qualquer distribuição.

preço é a mitação de sua comunicação. Não dá pra você ir muito longe com as decisões tomadas com

base nos teste tanto, a estatística não paramétrica requer poucos dados (portanto, a pesquisa é mais barata), os cálculos são s nsformações) com dados

rdinais e qualitativos.

A estat e não trabalha com parâmetros e σ2). Este

Hoje, quando vste similar na nã aração de médias.

Neste capítulo m paramétricos, principalmente aqueles que têm contrapartidas (correspondentes) na estatística paramétrica.

13.2. Distribuição nEste te

Sabem

n−

Numa pesquisa incluindo n

13.1. Introdução: Até o capítulo 12, vimos várias situações da estestatística paramétrica foi desenvolvida sob a teoria da distribuiçãofe nos naturais tendem a não seguir a distribuição normal padmuitas vezes, não há nem como normalizar os dados da populaçvariável aleatória. Quanainda o recurso do uso donorma“ lidade” da maioria dos testes estatísticos.

Se você achou que acabrestou o último e derradeiro recurso que é o uso da estatística não paramétrica. A estatística não paramétrica é usada quando as condições impostas ao uso da estatística paramétrica são “muitolaboratório e você tem que analisar o material que você em suas mãos. Para alívio de sua consciência, existe a estatística não paramétrica que é a estatística de distribuição “livre” e os seus testes podem ser a

Qual é o preço que você paga por usar a estatística não paramétrica? Oli

s não paramétricos, além do “significante” ou “não significante”. No en

imples e você pode trabalhar diretamente (sem trao

(µ

ística não paramétrica é assim conhecida porquconceito, no entanto, ganhou uma certa flexibilidade com o passar do tempo. iola as condições impostas pela estatística paramétrica, você corre atrás de um

o paramétrica e usa até para compte

va os ver alguns testes não

Bi omial: ste já foi visto no capítulo 4 (Probabilidade).

os, então, que:

( ) (k ppkxP −⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

== 1 ) pn

k ⎠⎝

experimentos independentes do tipo “sucesso e insucesso”, teremos:

p = pro

x = o núme

babilidade de sucesso

ro de sucessos

(1 - p) = probabilidade de insucesso

sala tem cartões numerados de 1 a 10. Ela pega m outra sala) tenta “adivinhar” o número que foi

P (x = 2) = ? => probabilidade de acertar 2 vezes

0,027

ou seja, a probabilidade de outra pessoa acertar 2 vezes em 3 tentativas é 0,027 ou 2,7%.

bilidades, desde que haja coincidência em termos de n

Exemplo 1 => Uma pessoa em umaum cartão ao acaso e uma outra pessoa (epego. Este experimento é repetido 3 vezes. A pergunta é: qual é a probabilidade de acertar 2 vezes.

Resolvendo => sabemos que:

n = 3

p = probabilidade de sucesso = 1/10 = 0,1

q = (1 – p) = probabilidade de insucesso = 9/10 = 0,9

Portanto: 3

P (x = 2) = (1/10) 2 (9/10)3-2 = 3 * 0,01 * 0,9 = 2

A Tabela VIII dá direto essas proba, k e p. Pra se garantir, é melhor saber como calcular a probabilidade exata da

distribu

Você obtém a probabilidade usando a Tabela VIII => n = 3, k = 2 e p = 0,1

na primeira coluna tem o n

ição binomial.

(número de tentativas ou experimentos)

na segunda coluna tem o k

(número de sucessos)

para n = 3, temos k = 0, k = 1, k = 2 e k =3

para cada k, temos uma probabilidade de acordo com a probabilidade de sucesso, p, pré-estabelecida =>

o pra k = 2 => p = 0,0270 > p = 0,0010

babilidades de sucessos (não incluindo k = 2), ou seja, 0,7290 + 0,2430 = 0,9720 => A

nenhuma vez é de 0,9720 ou

o pra k = 0 => p = 0,7290 o pra k = 1 => p = 0,2430

o pra k = 3 =

Respondendo, então, a pergunta: P (x = 2) = ? P (x = 2) é igual a 0,0270

E se eu quisesse saber: P (x < 2) e P (x ≥ 2)

P (x < 2) => fácil, basta somar as pro

probabilidade de acertar uma ou 97,2%.

P (x ≥ 2) => tenho que somar a probabilidade de k = 2 e k = 3, ou seja, 0,0270 + 0,0010 = 0,0280 => a probabilidade de acertar mais

13.3. Tes “ranke

miliar. F não a ipótes resultado

é o seg

de 2 vezes é de 2,8%.

te de sinal para medianas: Mediana é valor da variável aleatória que, em ordem crescente ou decrescente, está

ado” no meio. Vamos ilustrar a aplicação desse teste com um exemplo sobre renda ixo (arbitro) ou hipotetizo uma renda familiar e vou verificar se rejeito ou fa

h e. Pego, aleatoriamente, 12 famílias e registro a renda anual de cada uma e ouinte (em R$ 1.000,00):

60,0 25,7 22,4 20,1 17,3 16,1 15,3 14,8 14,3 14,1 10,4 6,2 > 14.000 < 14.000

o estamos trabalhando com a mediana, sabemos que: om

probabilidade de insucesso => q = (1-p) = 0,5 (menor do que a mediana)

VIII para calcular a probabilidade, considerando que:

aiores do que 14.000) => de acordo com H0, sucesso ignifica que a renda tem que ser menor que 14.000; renda > 14.000 significa

p = 0,5 e, conseqüentemente, q = 0,5

Neste caso, temos também que fixar (aproximadamente) o nível crítico α para

estabelecer a área de ossa hipó ula. Então, vamos a tabela VIII

temos que olhar na primeira coluna com n = 12 (temos 12 rendas familiares, gina, o k está na segunda coluna e como p = 0,5 (sucesso) temos que ver

as probabilidades de cada k na oitava coluna.

um processo inverso, a nossa área de rejeição e seu correspondente k que seria, então, o

nosso valor crítico a ser usado na tomada de decisão.

C

probabilidade de sucesso => p = 0,5 (acima da mediana)

Quais são as nossas hipóteses?

H0: Mediana (MD) = 14.000

H1: MD > 14.000

Podemos utilizar a Tabela

n = 12

k = 10 (são 10 rendas msinsucesso.

rejeição de n tese n

terceira pá

como o nosso α = 0,05 (aproximadamente), temos que, ndeterminar

pra k = 12 => p = 0,0002 e α = 0,0002 pra k = 11 => p = 0,0029 e α = 0,0002 + 0,0029 = 0,0031

ser k = 10 ou k = 9, ou seja, se o número de famílias que têm renda maior ou igual a R$

00,00 igual a 1 ê rejeita H ,019 ou 0 para α = 0,0729.

oltando ao lo, n = 12 e v s atribuir o sinal (+) para as rendas superiores (-) para as rendas inferiores a 14000.

25,7 22,4 17,3 16,1 14,8 14,3 ,1 10,4 6 + + + + + + + -

Quantos sinais (+) temos? Temo

erando α = 0,0192, temos que rejeitar H0 porque k ≥ 10. Como o k só pode o estaria entre 0,0192 e 0,0729.

3.4. T

ento” é feito a partir disso.

nho n

pra k = 10 => p = 0,0161 e α = 0,0031 + 0,0161 = 0,0192 pra k = 9 => p = 0,0537 e α = 0,0192 + 0,0537 = 0,0729

Se a opção for α = 0,05 (aproximadamente), o seu valor crítico pode

14.0 for maior ou 0 voc 0 para α = 0 2 e se for maiorigual a 9, você rejeita H

V exemp amo

ao valor hipotetizado (14.000) e o sinal

60,0 20,1 15,3 14 ,2 + + + -

s 10, ou seja, o nosso ponto de decisão é 10 =>Considser inteiro, o nosso valor crític

Conclusão: Rejeitamos H0, a nossa mediana não é igual a R$ 14.000,00 com α =

0,0192.

1 este de sinal-rankeado Wilcoxon: É um teste similar ao anterior, mas a operação é executada usando as diferenças entre o valor observado e o valor hipotetizado. E mais: as diferenças são expressas em valores absolutos e o “rankeam

Procedimentos:

Formular as hipóteses

H0: MD = M H1: MD < M (MD > M) Em uma amostra de tama , usar a Tabela IX para encontrar α e o valor crítico d.

ostra de tam n Tomar uma am anho e montar o seguinte quadro:

val o | D | rank de |D| rank c/ sinal R bs (x) dif (x – M)

x1

xn

Calcular:

1para H1: MD > M => R- = soma dos R com sinais negativos

para H : MD < M => R+ = soma dos R com sinais positivos

Decisões:

para H : MD < M =>1a H1: MD > M =>

R+ ≤ d => rejeitar H0 par R- ≤ d => rejeitar H0

Vam amos o DAP de 8 árvores (isso é uma coisa que você nunca vai fazer – entrar na floresta e medir apenas 8 árvores é um desperdício inaceitável a mediana é igual a 50 cm. O quadro seguinte apresenta os dados o

val o M) | D | rank de |D| rank c/ sinal R

os a um exemplo prático. Tom

) e queremos saber sebservados (x) e as demais colunas necessárias para a execução do teste.

bs (x) dif (x – 50,2 + 0,2 0,2 2 + 2 50,1 + 0 0,1 + 1 ,1 149,6 0,4 - 3 - 0,4 3 49,5 - 0,5 - 4 0,5 4 49,2 - 0,8 - 5 0,8 549,0 - 1,0 - 6 1,0 6 48,4 - 1,6 - 7 1,6 7 47,0 - 3,0 - 8 3,0 8

Solução:

Da tabela IX, para n = 8, tiramos que o α

mais próximo de 0,05 é 0,055; portanto o valor crítico d é igual a 6 para α = 0,055.

Calculamos, então, o R+ somando os “ranks” com sinais positivos (+) => na última s (+), que são 2 e 1, logo R+ = 2 + 1 = 3

Decisão: Como d = 6 e R+ = 3, rejeitamos H0

3.5. Teste de Mann-Whitney: comparação de duas medianas (ou médias de duas p Procedimentos:

coluna tem apenas 2 rank

1opulações):

Formular as hipóteses:

H0: As duas populações têm a mesma mediana => MD1 = MD2

H1: As duas populações não têm a mesma mediana => MD1 > MD2 (ou menor)

Considere n como o tamanho da amostra da população 1 e k como o tamanho da o

a alor crítico d

am stra da população 2.

Us r a Tabela 13.11 para encontrar o v para α = 0,05.

é a soma dos ranks da população 1.

Exe tratamentos diferenciados:

Pop 1: tempo de aprendizagem para todos os trabalhadores com experiência omprovada.

Coletar os dados, rankear e calcular S1 que

Calcular T = S1 – [ n (n+1) ] / 2

Decisão: Rejeitar H0 se T ≤ d

mplificando: Considere duas populações de escolas com

c

Pop 2: tempo de aprendizagem para todos os trabalhadores sem experiência comp vada

Hipóteses:

H0: MD1 = MD2

H1: MD1 < MD2

Tamanhos das amostras =>

n = 8 da população 1

k = 7 da população 2

Da tabela 13.11, para α = 0,05, n = 8 e k = 7, o valor crítico d

ro

é igual a 13.

Vamos aos cálculos: População 1 População 2 Tempo rank tempo rank 2,33 11 2,31 10 1,81 5 1,96 7 2,17 8 2,73 14 1,78 4 2,51 13 1,74 3 3,04 15 1,46 1 2,34 12 1,58 2 2,24 9 1,92 6

Prim

Calculamos, então, o T

T = 40 – [ 8 (8+1) ] / 2 = 4

Decisão

eiro, calculamos S1 = 11 + 5 + 8 + .....+ 6 = 40

: Como T < d; rejeitamos H0 e concluímos que MD1 < MD2

13.6. Considerações finais: Evidentemente, a estatística não paramétrica não se resume nos testes apresentados

neste capítulo. Isso foi apenas um aperitivo acrescentado a sua disciplina de Biometria Florestal. Estatística não paramétrica tem um vasto repertório de testes; por exemplo, do tipo Kolmogorov-Smirnov:

o Teste Kolmogorov para ajuste da distribuição

o Teste Lilliefors para normalidade

o Teste Shapiro-Wilk para normalidade

o Teste Smirnov para teste de 2 amostras independentes

o Teste Cramér-von Mises para teste de 2 amostras independentes

o Teste Birnbaum-Hall para teste de várias amostras independentes

PARTE 2

Capítulo 14

Algumas variáveis aleatórias utilizadas em manejo florestal

14.1 Diâmetro à altura do peito (DAP)

14.1.1 Notas preliminares Na engenharia florestal, o diâmetro da árvore é DAP e ponto final. DAP se mede a 1,3

m acima do nível do solo. O objetivo desta seção não é ensinar como medir o DAP porque isto está muito bem explicado nos livros de Machado & Figueiredo Filho (2003)3 e Campos & Leite (2002)4. Em plantios de eucalipto, o DAP tende a ser medido quase sempre a 1,3 m do solo. Na Amazônia, a situação é um pouco diferente porque há sapopemas e outras irregularidades no tronco que nem sempre a parte a 1,3 m do solo está disponível para medir.

ica ocasião, esta situação pode ser superada utilizando u a projeção do diâmetro à altura do DAP. Por compensação de

contínuos, a subjetividade na ediçã ão é bem-vinda. Neste caso, é

ura em relação ao solo) e aí o recurso é medir ste ponto da medição. Dessa forma, será possível

stimar ou mais ocasiões.

rreta desta variável tão importante para a engenharia florestal;

Em inventários em uma únequipamentos especiais oerros, o resultado final não será afetado. Em inventários m o de um mesmo indivíduo em ocasiões sucessivas, nnecessário medir sempre no mesmo local (altaonde é possível e marcar (com tinta) ee as mudanças ocorridas entre duas

Como é a pronúncia coD-A-P ou Dape ou Dapi? Segundo o Manual de Estilos da Abril, temos os seguintes conceitos:

Sigla é a reunião das iniciais de um nome próprio composto de várias palavras e deve ir, quase sempre, em caixa alta: CNBB, CPI, CPMF, IBGE, BNDS, CBF etc. Certas siglas silabáveis, mesmo estrangeira, são escritas em caixa alta e baixa: Vasp, Ibope, Inpa, Incra, Aids etc.

Diante disso, o nosso diâmetro à altura do peito tem que ser pronunciado como Dape ou Dapi. Certos estão os biólogos, ecólogos e outros não florestais e errados estão os engenh nta d de seção àqueles que pronunciam

nem ) àqueles que falam Dape ou api p s, mas continuem pronunciando D-A-P., que é uma tradição

floresta

eiros florestais. Por co isso, quero dicar esta em (e tripudiemerrado esta variável, D-A-P. Não critiqu

D orque eles estão certol de mais de 40 anos no Brasil.

Acrônimo é a reunião de elementos (iniciais, primeiras letras e sílabas) dos mpoco nentes de um nome, com a intenção de formar uma palavra silabável e, deve ir, sempre,

em caixa alta e baixa: Ibama, Cacex, Varig etc. Chichuá é um acrônimo.

14.1.2 DAP usado na estrutura da floresta A curva do tipo J-invertido é a que melhor descreve a estrutura diamétrica das

florestas da região amazônica. Os valores observados de DAP podem ser ajustados por funções matemáticas que produzem curvas que se assemelham ao tipo J-invertido. A mais popular na Amazônia é a função de Weibull. No anexo 4 está disponível uma revisão sobre as funções Weibull e exponencial.

3 Machado, S.A. e Figueiredo Filho, A. 2003. Dendrometria. 309p. 4 Campos, J.C.C. e Leite, H.G. 2002. Mensuração florestal. UFV. 407p.

Como o DAP é a principal variável independente para o setor florestal da Amazônia, uma função de distribuição bem ajustada pode facilitar o inventário florestal sem perder a precisão. Com uma boa função, que apresenta a distribuição de probabilidade de cada classe de DAP, o inventário usando a contagem de indivíduos por unidade de área é perfeitamente possível. Dessa forma, o tempo de coleta seria muito mais rápido e, conseqüentemente, o

me e DAP e ou H e biomassa e DAP e ou HT:

1)

inventário ficaria mais barato.

14.1.3 DAP como variável independente de equações de volume e de biomassa Tanto para volume e biomassa os seguintes modelos logarítmicos podem ser utilizados

para descrever a relação entre volu

( )DAPbaV lnln += ou ( )DAPbaPF lnln +=

2) ( ) ( )HcDAPbaV lnlnln ++= ou ( ) ( )HTcDAPbaPF lnlnln ++=

onde: V = volume do tronco em m3

D = DAP em cm

H = altura comercial ou comprimento do tronco em m

PF = peso fresco da parte aérea em kg

HT = altura total da árvore em m

natural

Todo o desenvolvimento desses modelos será detalhado na próxima seção. Aqui, querem

ln = logaritmo

os apenas mostrar os indicadores usados na escolha do melhor modelo, como erro padrão da estimativa syx, coeficiente de correlação (r) e coeficiente de determinação (r2), para advogar em favor do uso do DAP apenas. Vamos considerar modelo 1 como aquele que tem apenas o DAP como variável independente e modelo 2 o que tem DAP e altura (comercial ou total), separadamente para volume e biomassa.

Volume (n = 959):

Modelo 1: syx

Modelo 2: syx = 1,04% r = 0,988 r

= 1,46% r = 0,971 r2 = 0,943 2 = 0,977

Biomassa (n = 498):

Modelo 1: syx = 6,54% r = 0,984 r2 = 0,967

Modelo 2: syx = 5,32% r = 0,989 r2 = 0,978

Você vê alguma diferença entre os modelos 1 e 2, para volume e biomassa? Neste capítulo queremos enfatizar apenas essas diferenças, sem se preocupar com o significado de cada indicador (será explicado na próxima seção). No caso do volume, acrescentar a variável H significa um ganho muito pequeno na precisão. O mesmo acontece com a biomassa.

Entretanto, acrescentar a altura (H ou HT) ao modelo é uma outra coisa. Em um hectare de floresta amazônica primária podemos ter: (i) 600-700 indivíduos arbóreos com

idindo o espaço com lianas, epífitas e palmeiras; (ii) alta diversidade em uitetura de copa de múltiplas formas; (iv) dossel com vários estratos em

(comprimentos) com trena. Durante o inventário florestal, a situação é outra, ou seja, temos

DAP≥ 10 cm divespécies; (iii) arqaltura; (v) espécies com idades diferentes, que podem variar de 1 a 100 anos.

Como medir a altura desses indivíduos? Para o desenvolvimento dos modelos, o método destrutivo é empregado; portanto, temos as árvores no chão e medimos as alturas

que medir as alturas da árvore em pé. Mesmo com equipamentos sofisticados, é muito difícil, senão impossível, medir precisamente a altura total. A altura comercial pode até ser medida

com equipamentos, mas diferentes medidores podem apresentar diferentes a mesma árvore por causa da subjetividade em definir o que é "altura

merc

14.2. Á

aneira:

precisamente medidas paraco ial". Nunca, mas nunca mesmo, "chutar" a altura para utilizar o modelo 2.

Nos exemplos com equações de volume e de biomassa, temos o seguinte: (i) acrescentar a altura comercial (H) ao modelo 1, significa melhorar a precisão em 0,42% (1,46 – 1,04) e (ii) acrescentar altura total (HT) ao modelo, significa melhorar a precisão em 1,22% (6,54 – 5,32). Vale a pena acrescentar a altura? Pense nisso, sobretudo, nos custos de coleta de dados para o inventário florestal.

rea basal É a projeção dos DAPs ao solo, que indica a densidade da floresta. Do ponto de vista técnico, é a soma da área transversal de todos os indivíduos em um hectare. Área transversal é a área do círculo à altura do DAP. Isto é conseguido fazendo (imaginário) um corte transversal no DAP e medindo o raio ou o diâmetro do círculo. É a área de um plano sobre o tronco, disposto em ângulo reto ao eixo longitudinal. Portanto, a área transversal (classicamente representada pela letra "g") é obtida da seguinte m

( ) 42DAPgi π=

e a área basal, então:

( )∑ == nigAB i ,...2,1

Na área experimental de manejo florestal da ZF-2, a área basal média está em torno de 30 m2/

iva de área basal, de forma isolada, diz muito pouco sobre uma determinada floresta. Com esses poucos exemplos, é difícil afirmar que a floresta da ZF-2, por exemplo, é muito densa ou pouco ou médio, porque deve haver florestas mais densas

nventariada já

s anos 90), era comum ver inventários florestais com olume

forma utilizado era igual a 0,7 proposto por peritos da FAO (Food and Agriculture

No setor florestal, as decisões são tomadas baseadas no volume de madeira. Isto é tão forte que, muitas vezes, o engenheiro florestal até se esquece que numa floresta há muitas outras coisas além da madeira. Aqui, o objetivo é mostrar como se estima o volume de

ha. Isso quer dizer que se projetarmos todos os DAPs ≥ 10 cm sobre uma área de 10.000 m2 (um hectare), as árvores ocuparão 30 m2. Algumas estimativas (m2/ha) para diferentes sítios na Amazônia: UHE de Santa Izabel (região do Araguaia) = 15,2; Projeto Rio Arinos (norte de MT) = 1,6; Floresta Estadual do Antimary (Acre) = 15,2, Trombetas (Pará) = 24,8; PIC Altamira (Pará) = 22, Sul de Roraima = 20,9 e Alto Solimões (Fonte Boa e Jutaí no AM) = 27 m2/ha.

Com esses poucos exemplos, podemos dizer que a floresta da ZF-2 é mais densa do que as outras florestas. A estimat

do que esta. De qualquer modo, não custa nada estimar a área basal da área ique as medições de DAP são obrigatórias em inventários florestais.

Antigamente (até início dov s estimados a partir da área basal, ou seja, AB x altura x fator de forma. O fator de

Organization) que realizaram os primeiros inventários na Amazônia nas décadas de 50 e 60. A altura era, invariavelmente, "chutada". O engenheiro florestal deve utilizar-se de equações próprias para estimar o volume de madeira.

14.3. Volume

madeir precisa ter equações confiáveis e usá-las para es

strutivo. Antes de derrubar a árvore, o DAP é medido

(2002).

metria

a nos inventários florestais. Para isto, você timar o volume de árvores em pé medidas em parcelas fixas do inventário florestal.

Volume real Para desenvolver equações de volume, você precisa ter o volume real de vários indivíduos. Este volume pode ser obtido por meio do método destrutivo (aproveitando áreas exploradas ou desmatadas, autorizadas pelo Ibama) ou utilizando o relascópio de Bitterlich (por exemplo). O mais comum é o método de

. Com a árvore no chão, as alturas ou comprimentos (comercial e total) são determinados e o tronco é dividido em pequenas toras, tentando se aproximar à forma do cilindro.

Em geral, o tronco é dividido em 10 toras (ou seções) e duas medidas são tomadas em cada tora, na base e no topo. Com estas duas medidas, você tem condições de calcular as áreas transversais da base e do topo; aí, você estima a média (g da base + g do topo dividido por 2) e multiplica pelo comprimento da tora [lembrando que m2 de g vezes m do comprimento, você terá m3] para ter o volume da tora ou seção. A soma dos volumes das 10 toras é considerada "volume real" da árvore. Melhores explicações você vai encontrar nos livros de Machado & Figueiredo Filho (2003) e Campos & Leite

Quantas árvores são necessárias para desenvolver os modelos estatísticos para volume ou equações de volume ou modelos alométricos?

Alo => (do grego: allos é outra e metron é medida) => é o estudo das variações das for tem dois significados: (i) o crescimento de uma

ma amostra representativa

mas e dos processos dos organismos e parte do organismo em relação ao crescimento do organismo inteiro ou de parte dele e (ii) o estudo das conseqüências do tamanho sobre as formas e os processos.

Você pode usar uma função conhecida de distribuição em diâmetro (Weibull, por exemplo) e ver se os dados já coletados se ajustam a esta função. Teste simples como o qui-quadrado (confrontação entre freqüência esperada e freqüência observada) dá conta disso. Se o teste for significante, colete mais dados das classes que estão faltando e refaça o teste qui-quadrado. Se o resultado for não significante, você tem, em mãos, ude sua população de interesse. Há também a possibilidade de utilizar-se do recurso do inventário florestal quanto à intensidade de amostragem; neste caso, cada indivíduo é uma amostra. A fórmula é a seguinte:

( ) 222 εstn =

sendo: t = valor obtido na tabela-t ( p 2

= 0,05 ou outro e n-1 graus de liberdade)

2 al, o LE (limite de erro) é igual a

Observ

s = estimativa da variância 2ε = expectativa do erro = (LE x média) . Em ger

0,10 ou 10%.

ações: use z em vez de t. Como vimos anteriormente, os valores de z para os níveis críticos , α = 0,05 e α = 0,01 são, respectivamente, 1,64, 1,96 e 2,57. O ara populações finitas, ou seja, neste caso ao denom 1 – n/N ). A população é considerada finita q gundo Freese (1962)5.

mais freqüentes, α = 0,10utra coisa: há também o fator de correção p

inador da fórmula (ε2) deve ser acrescentado ( uando a fração n/N é menor do que 0,05, se

5 Freese, F. 1962. Elementary forest sampling. Agriculture Handbook nº 232. USDA-Forest Service. 91p.

Equações de volume ou modelo alométrico O os 70), o

grande desafio era encontrar o melho descrever a função V = f (DAP, H). Depois de várias dissertações e artigos ficou-se que qualquer modelo, seja de simples entrada (apenas DAP como v ente) ou de dupla entrada (DAP e H omo v

que apresenta r > 0,90, r2 > 0,90 e syx (%) < 10. Além disso, o modelo tem que ter a b

tama

passo seguinte é testar modelos matemáticos. Antigamente (fim dos anr modelo para científicos, veri

ariável independc ariáveis independentes, combinadas ou não) produzem bons ajustes. A decisão para escolher o melhor modelo ficou nos detalhes.

Hoje em dia, qualquer modelo que você venha a testar, utilizando DAP e H, você vai conseguir uma alta e significativa correlação, um modelo que explica mais de 75% da variação de seus dados (r2) e um erro padrão de estimativa aceitável. O padrão de hoje é o modeloum oa distribuição de resíduos, que é: as diferenças entre os valores estimados e observados, positivos e negativos, têm que se distribuir uniformemente ao longo da curva (ou reta) estimada, ou seja, estas diferenças não podem aumentar (ou diminuir) conforme aumenta o nho da árvore. Por exemplo: se o seu modelo produzir uma diferença de 0,5 m3 para uma árvore com DAP = 10 cm, esta mesma diferença (mais ou menos) tem que ser verificada para outra árvore com DAP = 70 cm ou DAP = 150 m.

Os modelos que apresentam as melhores distribuições de resíduos são os modelos logarítmicos. Os mais usados são os seguintes, do item 1.1.3:

1) ( )DAPbaV lnln +=

2) ( ) ( )HcDAPbaV lnlnln ++=

A abordagem para estimar os coeficientes de regressão é a do método dos mínimos

es de derivar a equação em relação a a e b, primeiro é preciso linearizar as

∑ X2 = ∑ X2 Y

quadráticos (MMQ) e depois da obtenção das equações normais, os coeficientes podem ser estimados usando o método da substituição ou por meio do cálculo matricial. As explicações sobre as operações necessárias para se chegar aos coeficientes podem ser encontradas em qualquer livro de estatística básica. No computador, basta entrar com as variáveis ln V, ln D e ln H e você terá, além dos coeficientes de regressão, erro padrão de estimativa, coeficiente de correlação, coeficiente de determinação e distribuição de resíduos.

Regressão => descreve apenas o relacionamento linear entre uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis independentes (X1 = DAP, X2 = altura etc.).

Antvariáveis aleatórias, da seguinte maneira: ln V = Y, ln D = X1 e ln H = X2. Para o modelo 1, as equações normais são:

a n + b ∑ X1 = ∑ Y

a ∑ X1 + b ∑ X12 = ∑ X1Y

Pelo método de substituição, os coeficientes serão:

a = [ ∑ Y - b ∑ X1 ] / n

b = [ SPC ] / [ SQC ] X1Y X1

Para o modelo 2, as equações normais são

a n + b ∑ X1 + c ∑ X2 = ∑ Y

a ∑ X1 + b ∑ X12 + c ∑ X1 X2 = ∑ X1 Y

a ∑ X2 + b ∑ X1 X2 + b 2

Neste caso, é melhor estimar os coeficientes apelando para o cálculo matricial.

matriz de Y (nx1) = matriz de X (nxp) x matriz de coeficientes "b" (px1)

(X ) b = X'Y 'X-1

ressão.

te de correlação => r => a regressão descreve o relacionamento e este

% é considerada aceitáv

que , ou seja,

No caso de equaçõ emporais. Portanto, não precisa se preocupar com isto. Estes dois testes são usados para verificar se os termos dos erros no modelo de regressão não são correlacionados e nem dependentes. Os termos dos erros correlacionados com o passar do tempo são conhecidos como "autocorrelacionados" ou "serialmente correlacionados".

b = (X'X) X'Y

Hoje, com o Excel ficou fácil inverter matrizes de qualquer tamanho e a multiplicação é mais fácil ainda. Mesmo assim, não há necessidade de trabalhar com matrizes para a obtenção dos coeficientes. Os programas de estatística, em geral, calculam automaticamente os coeficientes. Sei que para regressões simples (com dois coeficientes), o Excel dá conta do recado. Para regressões múltiplas e as não lineares, é melhor usar outro software (Systat, SAS etc.).

Vamos aproveitar as saídas (outputs) do Systat, por exemplo, para explicar os significados de alguns indicadores da reg

1) Coeficiencoeficiente mostra o grau de estreiteza que existe entre as variáveis Y e X1, X2 etc.. Este coeficiente varia de -1 a +1. Igual a -1 ou +1, há uma correlação perfeita, ou seja, a cada unidade acrescentada à X, haverá um aumento proporcional em Y (uma, duas, ou menos 2 unidades). Sinal (-) significa que os menores valores de Y tendem aos maiores valores de X ou vice-versa. Sinal (+) significa que os menores Y tendem aos menores X e os maiores Y tendem aos maiores X. O teste-t é geralmente utilizado para testar a significância de r.

2) Coeficiente de determinação => r2 => multiplicado por 100 mostra a percentagem da variação dos dados que é explicada pelo modelo testado. No caso de regressão múltipla, prefira sempre o coeficiente ajustado.

3) Erro padrão de estimativa => syx => é a raiz quadrada da média quadrática dos resíduos (MQR), logo é o desvio padrão da relação. Ao comparar duas equações, o uso deste indicador é direto, ou seja, aquela que apresentar o menor erro é a melhor. Isoladamente, é preciso ainda alguns cálculos. Dividindo syx pela raiz quadrada de n você terá o erro padrão da

édia e dividindo o mm esmo pela média da variável dependente Y, você terá o seu erro em percentagem. Melhor ainda é apresentar a incerteza de seu modelo. Neste caso, você tem estimar o intervalo de confiança (IC) e aquela porção (z * erro padrão) dividida pela média vai te fornecer a incerteza de seu modelo. Em geral, uma incerteza de 10

el.

4) Coeficientes de regressão => O Systat apresenta a constante ( a ) e os coeficientes associados às outras variáveis independentes (b, c, d etc.) => o Systat apresenta também a significância de cada coeficiente; se for não significante, você deve removê-lo do modelo.

5) Análise de variância (ANOVA) => a regressão descreve, a correlação mostra a estreiteza entre as variáveis e a ANOVA mostra a significância do seu modelo de regressão. O teste-F é o que determina se o modelo é significante ou não. No Systat, o valor p é o mesmo

α é o valor crítico para a tomada de decisão. Os valores clássicos de p são 0,01, 0,05 e 0,10; portanto quando o p < 0,01, o modelo testado é significante para os três níveis.

6) Durbin-Watson D Statistics e First Order Autocorrelation =>es de volume (e biomassa), não há envolvimento de séries t

7) Distribuição de resíduos => o gráfico pode ser interpretado diferentemente por diferentes eng florestais, mas ele é fundamental para a decisão final do melhor modelo – conforme foi explicado anteriormente.

Aplicação da equação de volume Com o melhor modelo

inventário na Amazônia, para áem mãos, você vai aplicá-lo em inventários florestais. Num rvores com DAP ≥ 10 cm, você deve utilizar uma parcela de,

o mín 5 m). Numa parcela deste tamanho, você deve re-se que, de acordo com o conceito de intervalo 0,05, por exemplo) a sua estimativa estará dentro

surpreenda e confie na tatíst

e avaliar o potencial de uma floresta para produção de energia. No manejo florestal sustentável na Amazônia, a biomassa é usada para estimar a quantidade de nutrientes que é exportada do sistema via exploração de madeira e que é devolvida via inputs atmosféricos. No entanto, depois da Rio-92, a biomassa ganhou uma nova dimensão. O carbono da vegetação passou a ser um elemento importante nas mudanças climáticas globais. O eng florestal sabe (ou deveria saber) que aproximadamente 50% da madeira secada (em estufa) é carbono e que os compostos de carbono são: celulose (45%), hemicelulose (28%) e lignina (25%).

De acordo com o IPCC (Painel Intergovernamental de Mudanças Climáticas), os componentes de biomassa e carbono da vegetação são: (i) biomassa ou C na matéria viva acima do nível do solo (tronco, galhos, folhas, frutos e flores); (ii) biomassa ou C na matéria viva abaixo do nível do solo (raízes) e (iii) biomassa ou C na matéria morta em pé ou no chão.

Quem foi treinado para estimar o volume de madeira tem todas as condições para estimar a biomassa também. O anexo 5 é um artigo (manuscrito) sobre biomassa que já foi publicado na Acta Amazonica6. Este artigo cobre o componente 1 do IPCC.

O componente 2 envolve raízes e isto está sendo realizado pelo LMF (laboratório de manejo florestal do INPA) e será incluído em uma tese de doutorado. O trabalho de campo para obtenção do peso de raízes é muito trabalhoso, mas nada que assuste o verdadeiro eng florestal. Como o solo da Amazônia é muito pobre em nutrientes, as árvores tendem a desenvolver raízes superficiais – raramente ultrapassam 50 cm de profundidade. Mesmo na Amazônia, em regiões que têm as estações do ano (chuvosa e seca) bem definidas, as árvores tendem a desenvolver raízes mais profundas para procurar água, o que não é o caso da Amazônia Central.

O componente 3 pode ser estimado com precisão combinando as taxas de mortalidade com os modelos usados no componente 1.

Coleta de dados => verdade de campo => método destrutivo

n imo, 2.500 m2 (10 x 250 m ou 20 x 12encontrar entre 100 e 150 indivíduos. Lembde confiança (IC), em 95 vezes (se o seu p =do seu IC e em 5 vezes, a estimativa estará fora do IC. Portanto, não se es ica (na incerteza que o seu modelo declarou). Não esquecer que os seus modelos são logarítmicos e, por esta razão, ao estimar o volume de madeira você tem que usar o inverso do logaritmo natural que é a exponencial.

14.4. Biomassa Estimar a biomassa é importante para compreender a produção primária de um ecossistema

6 Higuchi, N., Santos, J. dos, Ribeiro, R.J., Minette, L. e Biot, Y. 1998. Biomassa da parte aérea da vegetação da floresta tropical úmida de terra-firme da Amazônia brasileira. Acta Amazonica, 28(2):152-166.

Os procedimentos para o com esentados no Anexo 2. Ao incluir o compon separar as raízes ões dos

de água e carbono é a mesma utilizada na parte aérea. Aqui também, ção do que inspiração.

sa, cabem ainda as seguintes considerações: (i) você estima o peso fr

ponentes definidos pelo IP

ponente 1 são aprente 2 em coletas de biomassa, é preciso incluir as raízes. É preciso escavar, do tronco e pesá-las. A metodologia de coleta de amostras para as determinaç

teores (concentrações)exige-se mais transpira

Equações de biomassa Procedimentos iguais aos de volume.

Aplicação da equação de biomassa

O parágrafo apresentado para o volume deve ser repetido aqui.

Para o caso de biomasesco; portanto, você tem que transformá-lo em peso seco e depois em carbono – basta

multiplicar o peso pelas concentrações de água e carbono obtidas em laboratório; (ii) o carbono como commodity (mercadoria) em bolsas de mercadorias significa estoque e diferença de estoque; portanto, você precisa trabalhar com inventário florestal contínuo com, pelo menos, duas ocasiões; (iii) você precisa separar o peso nos três com

CC.

Capítulo 15 iâmetro: Weibull versus Exponencial

ção: er medida, com precisão, o diâmetro passa a ser a

a para estimar o volume e a biomassa de florestas nia. Além disso, o diâmetro consagrou-se como uma

portan tura florestal, como também na comercialização de es de diâmetro é fundamental para o

entend

uchi (1987) apresentam revisões ompre

A introdução da função de distribuição Weibull aos problemas relacionados com silvicultura e manejo florestal, é atribuída à Bailey e Dell em 1973 (Zarnoch et al., 1982;

lutter et al., 1983 e Zarnoch e Dell, 1985). Desde então, esta distribuição tem mente utilizada para descrever a distribuição de diâmetro, tanto em

povoam especialmente nos Estados Unidos.

as segundo Barros et al. (1979) e Hosokawa (1981), a distribuição mais popular é

ro: a metodologia proposta por

Zarnoch e Dell (1985), Cohen (1965) e Einsensmith (1985), respectivamente técnica dos percentis, da máxima verossimilhança e exponencial, para a obtenção estimadores (coeficientes) das funções.

(i) Weibull – Máxima Verossimilhança (WMV)

A distribuição Weibull, que tem a seguinte função de densidade probabilística:

Distribuição de d

15.1. IntroduComo a altura da árvore é difícil de s

variável mais importante e mais segurtropicais de uma região como a Amazôvariável im escrição da estrute na dmadeira. Assim, a quantificação de distribuiçõ

imento da estrutura da floresta e do estoque da floresta, que são pré-requisitos nas decisões do manejo florestal.

Bailey and Dell (1973), Clutter et al. (1983) e Higc ensivas sobre distribuições de diâmetro. De acordo com Clutter et al. (1983) e Lawrence e Shier (1981), entre as várias distribuições estatísticas, a distribuição Weibull tem sido a mais usada pelo setor florestal, depois da distribuição exponencial.

Little, 1983; Csido extensiva

entos equianos como multianos,

No Brasil, especialmente na floresta amazônica, a Weibull foi utilizada por Higuchi (1987), Umaña (1998), m

a exponencial.

15.2. As funções de distribuição de diâmet Nesta comparação entre Weibull e exponencial, usaremos

( ) ( ) ( )( )bxxbcxf cc /exp1 −= −; para x≥0, c>0 e b>0

mos

c/b) + Σ (c-1) ln xi – (1/b) Σ xic

or meio da diferenciação em relação a c e b e igualando a zero as derivadas, as seguintes equações serão obtidas:

= 0, em outras circunstâncias

tem a seguinte função de verossimilhança para uma amostragem de n observações

L (x , ....., x ; c, b) = n (c/b) x c-1 exp (-xic/b) (1) i n i

Tirando o logaritmo de (1), tere

ln L = Σ ln [(c/b)xic-1 exp (-xi

c/b)]

ln L = Σ [ln (c/b) + ln xic-1 – (xi

c/b)]

ln L = n ln (

P

d ln L/d c = n/c + Σ ln xi – (1/b) Σ xic ln xi = 0 (2)

Tirando b de (3), temos

/c) – (Σ xic ln xi) / Σ xi

c] = - Σ ln xi

Σ ic] –

, eio de qualquer processo uação (5). O coeficiente b

inada através da seguinte função de distribuição ue, por sua vez, pode ser encontrada integrando a sua função de

ensidade probabilística, f(x), do DAP mínimo até o máximo (Zarnoch et al., 1982)

d ln L/d b = -(n/b) + (1/b2) Σ xic = 0 (3)

b = (Σ xic ) / n (4)

e substituindo em (2), temos

n/c + Σ ln xi – [1/(Σxic/n)] Σxi

c ln xi = 0

n [(1

[(Σ xic ln xi) / x (1/c) = (1/n) Σ ln xi (5)

Dessa forma o coeficiente c pode ser estimado por miterativo ou via tentativa-e-erro para igualar os dois lados da eqpode ser estimado pela equação (4), depois de estimado o c.

A freqüência esperada pode ser determcumulativa de Weibul, F(x), qd

( ) ( ) ][ }{ cbaxxF −−−= exp1

ii. Weibull Percentis (PERC): A função de Weibull usando o método dos percentis, tem a seguinte função de densidade probabilística

f (x) = (c/b) [(x-a)/b)c-1 exp {-[(x-a)/b]c; para x≥a≥0, b>0 e c>0

f (x) = 0, em outras circunstâncias

Os parâmetros a, b e c são estimados da seguinte maneira:

( ) ( )21221 2xxxxxxa nn −+−=

( )nxab 63,0+−=

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )axax

ppc

npinpk

ik

−−−−

=ln

1ln1lnln

onde:

x i ( i = 1, 2, ... n) = é o i-ésimo DAP em ordem crescente

x 1 = é o menor DAP e x n = é o último DAP, ou seja, o maior DAP.

x (0,63n) = é o DAP rankeado em ( 0,63 * número total de DAP observados). Exemplo: num conjunto de dados de 100 DAPs, x (0,63n) é o 63° DAP.

p i = 0,16731 e p k = 0,97366

A freqüência esperada pode ser determinada por meio da seguinte função de distribuição cumulativa de Weibul, F(x), que, por sua vez, pode ser encontrada integrando a

sua função de de1982).

nsidade probabilística, f(x), do DAP mínimo até o máximo (Zarnoch et al.,

( ) ( ) ][ }{ cbaxxF −−−= exp1

(iii) Exponencial: As estimativas dos parâmetros da primeira ordem da função exponencial

os c .

rada): caso Weibull percentis para DAP≥10

P (x

c

P ( 3

etc …

bxaeY =

podem ser obtidos pela linearização (série de Taylor) ou por meio do método iterativo (Marquardt, por exemplo), segundo Draper e Smith (1981). O software Systat pode calcular

oeficientes pelos dois métodos

3. Cálculo das probabilidades (freqüência especm

< 10) = 1 – {exp – [(10 – a)/b]c}

P ( 10 ≤ x < 20 ) = {exp – [(10 – a)/b]c} - {exp – [(20 – a)/b]c} cP ( 20 ≤ x < 30 ) = {exp – [(20 – a)/b] } - {exp – [(30 – a)/b] }

0 ≤ x < 40 ) = {exp – [(30 – a)/b]c} - {exp – [(40 – a)/b]c}

até o último intervalo.

3. Bibliografia: Bail ull

Functio

Barros, P.L.C., S.A. Machado, D. Burger e J.D.P. Siqueira. 1979. Comparação de Modelos Descritivos da D (2):19-31.

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Zarnoch, Thinning Regimes on Diameter Distribution Fitterd to Weibull Function. MSU Agricultural Experiment Station East Lansing. RI-423. 11p.

Capítulo 16 Bi

is logarítmicos - para estimar a biomassa de árvores

P<20 cm e

omassa da Parte Aérea da Vegetação da Floresta Tropical Úmida de Terra-Firme da Amazônia Brasileira.

Niro Higuchi1 , Joaquim dos Santos1 , Ralfh João Ribeiro1,

Luciano Minette1 e Yvan Biot2

Resumo

Usando um banco de dados com 315 árvores, com DAP≥5 cm, foram testados quatro modelos estatísticos - linear, não linear e do

em pé. Os dados foram coletados, de forma destrutiva, na região de Manaus, Estado do Amazonas, em um sítio coberto por floresta de terra-firme sobre platôs de latossolo amarelo. Em diferentes simulações com diferentes intensidades de amostragem, os quatro modelos estimam precisamente a biomassa, sendo que o afastamento entre a média observada e a estimada, em nenhuma ocasião ultrapassou 5%. As equações para estimar a biomassa de árvores individuais em uma parcela fixa, distintamente para árvores com 5≤DAcom DAP≥20 cm, são mais consistentes do que o uso de uma única equação para estimar, genericamente, todas as árvores com DAP≥5 cm. O modelo logarítmico com apenas uma variável independente, o DAP, apresenta resultados tão consistentes e precisos quanto os modelos que se utilizam também da variável altura total da árvore. Além do modelo estatístico para estimar o peso da massa fresca total de uma árvore, outras informações são apresentadas, estratificadas nos diferentes compartimentos (tronco, galho grosso, galho fino, folhas e, eventualmente, flores e frutos) de uma árvore, como: concentração de água para estimar o peso da massa seca, concentração carbono e a contribuição do peso de cada compartimento no peso total.

palavras-chaves: Carbono, manejo florestal, modelo estatístico.

between observed and estimated biomass was

Aboveground Biomass of the Brazilian Amazon Rainforest

Abstract Data set with 315 trees with diameter at breast height (dbh) greater than 5 cm was used to test four statistical models - linear, non-linear and two logarithmics - to estimate aboveground biomass of standing trees. The data were collected destructively in Manaus region, Central Amazonia, in a site covered by a typical dense “terra-firme” moist forest on plateaus dominated by yellow latosols. The differencealways below 5%. The logarithmic model using a single independent variable (dbh) produced results as consistent and precise as those with double-entry (dbh and total height). Besides statistical models to estimate aboveground biomass, the following information are also presented in this paper: the contribution of each tree compartment (stem, branch, twigs, leaves and flowers or fruits) to the total weight of a standing tree, water concentration to estimate the dry weight and carbon concentration of each tree compartment.

Key words: Carbon, forest management, statistical model

1 Instituto Nacional de Pesquisas da Amazônia - Cx. Postal, 478 - Manaus - Am. 2 U. K. Overseas Development Administration (ODA). Victoria Street, 94 - London. SW1E5JL - England.

Introdução: O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de modelos estatísticos para estimar a

biomassa individual, de árvores em pé, de espécies da floresta densa de terra-firme, região de Manaus (AM), assim como a apresentação de informações necessárias para a conversão de massa fresca para massa seca e de biomassa para estoque de carbono. São testados quatro modelos, linear, não-linear e dois logarítmicos, tendo como variável dependente, o peso da

assa

osfera durante um processo de queimadas.

stal está associado ao uso sustentável dos recursos florestais existentes, andas da sociedade, por produtos madeireiros e não-madeireiros.

“inputs” atmosféricos e, com isto, inimi

m fresca (não seca) e, como variáveis independentes, diâmetro à altura do peito (DAP) e altura total, de árvores individuais. O principal atributo dos modelos testados é o tamanho da árvore e, por esta razão, têm que absorver a alta diversidade florística e as diferentes associações botânicas, distribuições espaciais e densidades da madeira (intra e interespecíficas), da vegetação de terra-firme.

As estimativas de biomassa florestal são informações imprescindíveis nas questões ligadas, entre outras, às áreas de manejo florestal e de clima. No primeiro caso, a biomassa está relacionada com os estoques de macro e micronutrientes da vegetação, que são obtidos pelo produto da massa pelas concentrações de cada mineral. No caso do clima, a biomassa é usada para estimar os estoques de Carbono, que, por sua vez, são utilizados para estimar a quantidade de CO2 que é liberada à atm

O manejo florepara atender às demTratando-se de Amazônia, os cuidados têm que ser redobrados porque estes recursos estão em ecossistemas heterogêneos, complexos e frágeis. Os solos da Amazônia são antigos e, em sua maioria, pobres em nutrientes (especialmente para a agropecuária) e ácidos. A contrastante exuberância de sua cobertura florestal está associada às estratégias de conservação e de ciclagem de nutrientes dentro do próprio sistema. É importante conhecer a distribuição de nutrientes nos diferentes compartimentos (tronco, galho, casca, folha), para controlar a exportação dos mesmos pela colheita florestal e entrada viam zar os impactos ambientais da produção madeireira.

Para as questões climáticas, há grande interesse em quantificar a biomassa que é convertida, principalmente em dióxido de carbono, pelas diferentes formas de uso do solo amazônico (Fearnside et al., 1993, Foster Brown et al., 1995, Higuchi & Carvalho Jr., 1994, Skole et al., 1994, Schroeder & Winjum, 1995 e Fearnside, 1996). Esta informação é necessária para uma correta avaliação da contribuição dos projetos de desenvolvimento da região, no processo de mudanças climáticas globais, no âmbito da Convenção do Clima, assinada pelo Governo Brasileiro durante a Conferência das Nações Unidas sobre Desenvolvimento e Meio Ambiente, Rio-92.

As estimativas de biomassa, atualmente disponíveis na literatura, dos diversos tipos florestais da Amazônia, vêm de estudos que se utilizam de métodos diretos e indiretos. O método direto consiste na derrubada e pesagem de todas as árvores que ocorrem em parcelas fixas, fornecendo estimativas, que segundo Brown et al. (1989), não são confiáveis porque baseiam-se em poucas parcelas, pequenas e tendenciosamente escolhidas. No método indireto, as estimativas têm sido produzidas a partir de dados de inventários florestais, que foram executados com a finalidade de planejar a exploração e o manejo florestal, sendo o volume da madeira, a principal variável. Neste método, a biomassa é estimada a partir do volume da madeira, usando-se a densidade média da madeira e um fator de correção para árvores com DAP < 25 cm.

Estes dois métodos ainda geram muita polêmica e controvérsias e produzem estimativas desencontradas, mesmo quando se usa o mesmo banco de dados (Fearnside et al., 1993, Brown et al., 1989 e Higuchi et al., 1994 e Foster Brown et al., 1995). A tabela 1 ilustra

o que foi posto anteriormente. Esta tabela foi parcialmente reproduzida de FEARNSIDE et al. (1993), considerando apenas a biomassa viva acima do nível do solo. São produzidas estimativas diferentes, com o passar do tempo, pelos mesmos autores e para o mesmo banco de dados (montado nos anos 70). Além disso, Foster Brown et al. (1995) criticam estes bancos

re, pelo método direto, ao

nia; um proposto por Sandra Brown e colaboradores e, outro, er Uhl e colaboradores. O primeiro requer o conhecimento da

ente

rimental de Silvicultura Tropical (EEST) te de Manaus, em áreas derrubadas para

dióxido de carbono, usando-se queimadas tradicionalmente praticadas por pequenos produtores da região, e em áreas especialmente designadas para esta pesquis escolhidas áreas de platôs sobre latossolo amarelo. Estes

e biomassa do INPA.

e pesadas 315 árvores-amostras com DAP≥5 cm. O peso strados foi compartimentado em tronco e copa (incluindo frutos). Além do peso da árvore, foram também medidos o

altura total, altura comercial, altura da copa e diâmetro da copa. A distribuição de

de dados, afirmando que as alturas das árvores foram obtidas sem aparelhos de medição e que, estes erros não amostrais não são mencionados.

O consenso existente entre os pesquisadores que trabalham com biomassa é de que é praticamente impossível determinar a biomassa de cada árvoexecutar um inventário florestal. Por esta razão, os recursos da análise de regressão para o desenvolvimento de modelos estatísticos, para estimar a biomassa de árvores em pé, devem ser empregados para superar este problema. Salomão et al. (1996) citam apenas dois modelos estatísticos utilizados na Amazôproposto por Christophdensidade da madeira de cada indivíduo, que é praticamente impossível obte-la durante o inventário; e o segundo, é recomendado para florestas secundárias. Além destes, há o modelo de Overman et al. (1994), para a floresta amazônica colombiana, desenvolvido principalmpara árvores de pequenos diâmetros.

Materiais e Métodos

(i) Coleta de Dados: Os dados foram coletados na Estação Expedo INPA, aproximadamente 90 km ao norexperimentos com liberação de

a. Nos dois casos foramdados constituem o banco de dados d

No total, foram derrubadastotal de todos os indivíduos amogalhos e folhas e, eventualmente, DAP, freqüência e a estatística descritiva dos dados observados encontram-se nas tabelas 2a e 2b). Na tabela 2c observam-se as estatísticas descritivas para as variáveis DAP, altura total e peso total, quando os dados são divididos em algumas classes de diâmetro. Nesta tabela fica evidente que a variável peso total tem uma variabilidade natural bem maior que as outras duas variáveis, mesmo em mais classes de diâmetro.

e nutrientes de cada compartimento da oram coletados diferentemente, baseando-se no

Jr. (1994) e Santos (1996). Foram retiradas mostras (discos) a 0% (base), 25, 50, 75 e 100% (topo) do tronco e do galho grosso iâme tronco foi retirado também um disco à altura do DAP. Todos

res foi compartimentado em tronco, casca, galho grosso, galho fino (diâmetro<10 cm), folha e, eventualmente, flores e frutos. Além

Para obtenção das concentrações de águaárvores, 38 indivíduos (dos 315 amostrados) fesquema apresentado por Higuchi & Carvalho a(d tro de base≥10 cm). Doos discos retirados foram imediatamente pesados e enviados ao laboratório para secagem em estufas calibradas a 105o C. O mesmo procedimento foi adotado para os galhos finos e folhas, mas que em vez de discos, foram retiradas, de várias partes da copa, amostras de 5 e 3 kg, respectivamente. A estimativa da concentração de carbono na vegetação das espécies mais abundantes, no sítio estudado, foi feita tendo ainda as amostras coletadas por Higuchi & Carvalho Jr. (1994).

O peso total de cada uma destas 38 árvo

destas concentrações, a coleta compartimentada permite ainda a determinação da contribuição de cada um dos compartimentos no peso total da árvore. A estatística descritiva destes dados e a contribuição de cada compartimento no peso total e a porcentagem do Peso da massa fresca que é transformado em Peso da massa seca, visualizam-se nas tabelas 3a e 3b.

Um desdobramento da pesquisa de Nutrientes é o estudo de densidade da madeira (g/cm3), nos sentidos base-topo e casca-medula da árvore (utilizando-se das amostras coletadas a 0, 25, 50, 75 e 100% da altura comercial e do DAP). Resultados preliminares

rvores analisadas.

foi dividido em dois, para árvores com 5≤DAP<20 cm e DAP≥20 m. Fo

et al., 1995, alomã

vas variações intra e s, Overman et al. (1994) descartam esta variável, apesar

.

deste estudo encontram-se na tabela 4, de 12 á

O banco de dados de biomassa do INPA vem sendo completado ao longo do tempo e já foi utilizado preliminarmente por Higuchi et al. (1994), Higuchi & Carvalho Jr. (1994), Araújo (1995) e Santos (1996).

(ii) Modelos Testados: Os modelos estatísticos foram selecionados a partir do trabalho de SANTOS (1996), que testou 34 diferentes modelos em diferentes combinações.

O banco de dadosc ram testados os seguintes modelos estatísticos, para todas as árvores com DAP≥5 cm, equação única, e para as duas classes de tamanho, (a) 5≤DAP<20 cm e (b) DAP≥20 cm:

1. ln Pi = β0 + β1 ln Di + ln εi

2. ln Pi = β0 + β1 ln Di + β2 ln Hi + ln εi

3. Pi = β0 + β1 Di2Hi + εi

4. Pi = β0 D β1 H β2 + εi

para i = 1, 2, ... 315 - equação única

i = 1, 2, ... 244 - equação (a)

i = 1, 2, ... 71 - equação (b)

onde:

Pi = peso da massa fresca de cada árvore, em quilograma (para modelos 1, 2 e 4) e em toneladas métricas (para o modelo 3).

Di= diâmetro à altura do peito de cada árvore, DAP, em centímetros (para modelos 1, 2 e 4) e em metros (para o modelo 3)

Hi = altura total de cada árvore, em metros

β0, β1 e β2 = coeficientes de regressão

εi = erro aleatório

ln = logarítimo natural

Os modelos estatísticos propostos por Brown e Lugo (Foster Brown S o et al., 1996) e aqueles que apresentaram os melhores resultados no trabalho de Saldarriaga et al. (1988), que incluem densidade da madeira, não foram testados porque esta variável é de difícil obtenção para cada indivíduo em pé. Além disso, segundo Higuchi & Carvalho Jr. (1994), a densidade da madeira (g/cm3) apresenta significatiinter-específicas. Pelas mesmas razõedo bom desempenho dos modelos que a contém

Na tabela 4, onde visualizam-se as densidades de 12 árvores, observa-se que: a menor sentido base-topo; el é sempre menor P é igual a 0,803,

a vez, é diferente de todas as estimativas fornecidas por Foster Brown et al. (1995) ldarriaga et al. (1988). As variações no sentido casca-medula também são

em pé da udo, foram adotados os procedimentos tradicionais da ciência florestal, que são: iente de determinação, menor erro padrão de estimativa e melhor distribuição dos

de diferentes da biomassa. Foram co de dados original;

0 amo n = 300.

e Discussão: es quantitativas

o sítio s e para

m ca distribui-se da seguinte aneir

inação e os erros padrões de estimativa de elos estatísticos testados (árvores com DAP≥5 cm), incluindo as

variaçõ

minação (r2), exceto para o modelo 3. Com relação ao (sy.x), o

mpenho é do modelo 3, seguido do modelo 4.

, apresenta um claro padrão, aumentando os desvios conforme aumentam os DAP’s.

As equações resultantes são:

Modelo 1:

densidade é de 0,480 e a maior é de 1,031; a densidade tende a diminuir no a densidade média, considerando base-topo, é de 0,756; e esta última variávque a densidade média obtida na altura do DAP. A densidade média do DAque, por sue a de Sasignificativas (Higuchi & Carvalho Jr., 1994).

(iii) Escolha do Melhor Modelo Estatístico: Para a escolha do melhor modelo estatístico visando-se estimar a biomassaárea em estmaior coeficresíduos (Santos, 1996). Além destes procedimentos, foram simuladas amostrasintensidades, para testar a consistência dos modelos na estimativa tomadas 15 amostras com 50 árvores selecionadas aleatoriamente do ban1 stras com n = 100; 5 amostras com n = 200; e 5 amostras com

Resultados Do trabalho de Higuchi & Carvalho Jr. (1994), as seguintes informaçõd estudado são importantes para uma melhor interpretação destes resultadofuturas comparações com outros sítios:

- Em uma parcela fixa de 2.000 2, o peso da biomassa fresm a, em relação ao peso total: a vegetação (exceto cipós) com DAP≥5 cm contribui com 86,9% do peso total; a vegetação com DAP<5 cm contribui com 2,4%; os cipós contribuem com 1,3% e a liteira (toda a vegetação morta sobre a superfície do solo) contribui com 9,4%.

- Os teores médios de carbono são os seguintes: tronco (48%), galhos grossos (48%), galhos finos (47%), folhas (39%), plântulas - até 50 cm de altura - (47%), mudas - altura>50 cm e DAP<5 cm - (49%), cipós (48%) e liteira (39%).

Os coeficientes de regressão e de determtodos os quatro mod

es (a) para árvores com 5≤DAP<20 cm e (b) DAP≥20 cm, verificam-se na tabela 5. De um modo geral, os quatro modelos (incluindo as variações a e b) estão aprovados nos quesitos coeficiente de determinação (r2) e erro padrão de estimativa (sy.x) e, por esta razão, poderiam ser utilizados para estimar a biomassa de árvores em pé da área em estudo.

Todos os modelos apresentam coeficientes de correlação (r) altamente significantes (α<0,01). De um modo geral, os modelos únicos para árvores com DAP ≥ 5 cm apresentam os maiores coeficientes de determodelo 4 é o que tem o melhor desempenho, apresentado os menores erros, seguido do modelo 2. Combinando as equações a e b, no mesmo banco de dados, os erros (em quilogramas) produzidos foram: 949, 693, 356 e 537, respectivamente para os modelos 1, 2, 3 e 4. Nesta situação, o melhor dese

O exame da distribuição dos resíduos mostra que os modelos 1, 2 e 3 não apresentam nenhum padrão, distribuindo-se aleatoriamente ao longo do eixo da biomassa observada e estimada, ordenada de forma crescente pela variável DAP. O modelo 4, no entanto

2,694 + 2,038 ln D + 0,902 ln H; para DAP≥5 cm

Modelo

a consistência de cada um dos modelos estatísticos para estimar a assa em pé, sobre am

em um desvio médio de +2,8%, que

os de -1,9% (1,6 e 2,3, menor e maior

stimar rvores com 5≤DAP<20 cm e DAP≥20 cm, separadamente.

- Equações a & b: (a) ln P = -1,754 + 2,665 ln D; para 5≤DAP<20 cm

(b) ln P = -0,151 + 2,170 ln D; para DAP≥20 cm

- Equação única: ln P = -1,497 + 2,548 ln D; para para DAP≥5 cm

Modelo2:

- Equações a & b: (a) ln P = -2,668 + 2,081 ln D + 0,852 ln H; para 5≤DAP<20

(b) ln P = -2,088 + 1,837 ln D + 0,939 ln H; para DAP≥20 cm

- Equação única: ln P = -

3:

- Equações a & b: (a) P = 0,0056 + 0,621 D2H; para 0,05≤DAP<0,20 m

(b) P = 0,393 + 0,473 D2H; para DAP≥0,20 m

- Equação única: P = 0,077 + 0,492 D2H; para DAP≥0,05 m

Modelo 4:

- Equações a & b: (a) P = 0,0336 * D2,171*H1,038; para 5≤DAP<20 cm

(b) P = 0,0009 * D1,585*H2,651; para DAP≥20 cm

- Equação única: P = 0,001 * D1,579*H2,621; para DAP≥5 cm

A verificação dbiom ostras simuladas (tiradas aleatoriamente do banco de dados original), encontram-se na tabela 6. Nesta tabela verificam-se as médias observadas e estimadas em cada simulação. A análise é feita sobre o afastamento da média estimada em relação à observada, em percentagem, utilizando-se equações distintas para estimar a biomassa de árvores com 5≤DAP<20 cm e DAP≥20 cm e uma única equação para todas as árvores contidas na amostra com DAP≥5 cm.

(i) Modelo 1: - Usando as equações a e b, para estimar a biomassa do banco de dados original, a

média estimada afasta-se -1,9% da média observada, ou seja, o desvio7 é de -1,9%. Quando utiliza-se uma só equação para estimar a biomassa das duas classes de diâmetro, o desempenho anterior não é repetido, apresentando um desvio de +16%. Excepcionalmente, na simulação com n = 50, o uso de uma só equação resulta poderia ser considerado bom se não fosse a amplitude de variação entre o menor e o maior desvio, que foi de 0,1 a 24,9%.

- Este modelo (equações a e b) demonstra a mesma consistência nas simulações com n = 300, n = 200 e n = 100, respectivamente, com desvidesvio, em valores absolutos), +0,5% (2,7 e 11,6) e +2,6% (3,7 e 22,1). A simulação com n = 50, o desvio médio é de -10,2%.

- A equação única para estimar a biomassa, usando este modelo estatístico, não é alternativa para as duas equações, ou seja, o uso deste modelo requer as duas equações para e a biomassa de á 7 Desvio

sempre o menor e, o segundo, o maior desvio.

é afastamento, em %, do peso médio estimado pelas diferentes equações, em relação ao peso médio observado. Entre parêntesis, os desvios aparecem em valores absolutos e o primeiro é

- Trata-se de um modelo com apenas o DAP como variável independente, que é uma variável fácil de ser medida no campo, sem erros não amostrais. O único problema deste modelo

do que o

% (5,2 e 6,7) e -1,1% (0,9 e 12,7). A simulação com n = –9,4%. O uso de uma só equação tem um desempenho razoável para

a.

rio do modelo 1.

(iii) Modelo 3- Usando as e de dados original, a

média estimada afasta-se +1,2% da média observada. Quando se utiliza uma só equação para estimar a biomassa das elhor do que o anterior, com desvio e u lar o dos resíduos, este modelo tem uma boa o o banco de dados,

as equações

00, n = 100 e n = 50, respectivamente, com desvios de +1,2% (0,4 e 1,6, menor e aior desvio, em

nativa para estimar a biomassa,

s classes de diâmetro. Para grandes inventários

é que o peso será sempre o mesmo, para um determinado diâmetro, independentemente da altura da árvore, da espécie e de outros atributos da árvore.

(ii) Modelo 2: - Usando as equações a e b, para estimar a biomassa do banco de dados original, a

média estimada afasta-se -3,6% da média observada. Quando utiliza-se uma só equação para estimar a biomassa das duas classes de diâmetro, o seu desempenho é melhoranterior, com desvio de +2,9%.

- Este modelo (equações a e b) demonstra a mesma consistência nas simulações com n = 300, n = 200 e n = 100, respectivamente, com desvios de -3,6% (3,2 e 4,3, menor e maior desvio, em valores absolutos), -1,850, o desvio médio é detodas as simulações, que exceto para n = 50, apresenta desvio menor do que quando se utilizam as equações a e b.

- Apesar do bom desempenho da equação única, em relação aos desvios médios, onde as diferenças são negligíveis, as amplitudes de variação dos mesmos nas equações a e b são menores, sendo, por esta razão, mais apropriadas para a estimativa da biomass

- A incorporação da altura total neste modelo permite estimar diferentes pesos para iguais DAP’s, ao contrá

: quações a e b, para estimar a biomassa do banco

duas classes de diâmetro, o seu desempenho é mde +0,1%. Apesar d m c o padrão na distribuiçãcapacidade de compensação quando se utiliza tod

tanto com a e b como com a equação única para as duas classes de diâmetro.

- Este modelo (equações a e b) demonstra a mesma consistência nas simulações com n = 300, n = 2m valores absolutos), +3,1% (1,1 e 1,7), +3,8% (0,8 e 20,3) e -4,8% (0,4 e 19,4). O uso de uma só equação tem um desempenho tão consistente quanto ao anterior, com desvios de +0,1% (0,2 e 0,9), +2,2% (0,6 e 11,5), +2,4% (0,7 e 17,6) e -6,8% (0,4 e 16,2), respectivamente para n = 300, n = 200, n = 100 e n = 50.

- A equação única para este modelo é a melhor alterprincipalmente considerando apenas a estimativa da biomassa média de uma parcela fixa, sem preocupar-se com as estimativas individuais. Em todos os tamanhos da amostragem, esta equação demonstrou-se bastante consistente e precisa.

- Sem preocupar-se com as estimativas individuais, prestando atenção apenas no total ou na média das parcelas fixas, este é o melhor modelo entre os testados. De um modo geral, este modelo superestima o peso das menorepara estimativa de biomassa, este modelo é o mais preciso.

(iv) Modelo 4: - Usando as equações a e b, para estimar a biomassa do banco de dados original, a

média estimada afasta-se -4,6% da média observada. Quando utiliza-se uma só equação para

estimar a biomassa das duas classes de diâmetro, o desempenho anterior não é repetido, com esvio de -7,3%.

çõe on c n = vamente, com de r e

maior desvio, em s absolu e 3,7), -4,0% (1,2 e 7,6) e -7,7% (4,2 e 16,1). O uso ação tem enho i r a to os e,

uas equações. Neste casa á ≤DAP<20 cm e

odelos te mod o qu udes de variação, demonstrando uma boa consistência na estim a biomassa. É um modelo basta e que oucas esas das diferentes classes de diâmetro.

Considerações finais: m estimativas confiáveis de

iomassa de árvore em pé, todos com desvios inferiores a 5% em relação à média.

20 cm e com DAP≥20 cm são AP≥5 cm.

odel dos, o elhores são os modelos 1 e 4, respectivamente com as s:

(a) ln P = -1,754 + 2,665 ln D; para 5≤DAP<20 cm

(b) ln P = -0,151 + 2,170 ln D; para DAP≥20 cm

e

(a) P = 0336 * 1,038; para 5≤DAP<20 cm

(b) P ,0009 * 5*H2,651; para DAP≥20 cm

O modelo 1 tem a vantagem de ser dependente de apenas uma variável, o DAP, que é uma variável f l de se ida no campo, com poucos riscos de erros não amost

odelo 4 tem a vantagem de ser muito consistente e de poder estimar mais realistica árvores ind is, com smos DAP’s e diferentes alturas. Além disso, este

odelo já foi preliminarmente utilizado por Araújo (1995), em Tomé-Açu (Pará), para onfrontar com os resultados obtidos pelo método direto. Em Tomé-Açu, a biomassa estimada

bservada.

4. A eficiência das equações está associada à utilização de parcelas fixas para o inv biomassa de um dete sítio, dimen imas adas

ntários fl s na Ama .

peso do seco co onde a 61% seu peso s da secag o da de a 5 seu pes

peso to uma ár ,6% é tronco e 34,4% é copa. A contribuição de timento da árvore em seu peso total é a seguinte: tronco (65,6%), galho grosso

alho fino (1 ), folhas (2,03%) e flores/f s (0,01%).

7. Os teores médios de carbono são os seguintes: tronco (48%), galhos grossos (48%), alhos finos (47%) e folhas (39%).

d

- Este modelo (equa= 300, n = 200, n = 100 e n

s a em50, respecti

e b) d stra a mesma onsistência na lações comsvios de -4,3% (3,4 e 5,1, meno

s simu

valore de uma só equ

tos), +0,3% (0,6 um desemp nferio dos os outros modelos testad

por esta razão, não é uma alternativa para as dpelas duas equações, 4

o, a opção tem que ser 4b para DAP≥20 cm. a par rvores com 5

- De todos os m testados, es elo é e apresenta as menores amplitativa d

nte conservador apresenta p surpr na estimativa da biomassa

1. Os quatro modelos estatísticos testados produzeb

2. As equações distintas para árvores com 5≤DAP<mais consistentes que a equação única para todas as árvores com D

3. Dentre os m segui uaçõe

os testa s mntes eq

0, D *H2,171

= 0 D1,58

- áci r med

rais;

- O mmente ividua me

mcpor este modelo ficou também a menos de 5% da o

entário de rminado com as sões mín recomend

para os inve orestai zônia

5. O tronco rresp de ante em; ecopa correspon 8% de o fresco.

6. Do tal de vore, 65cada compar(17,8%), g ,5% ruto

g

Tabela 1: Algumas estimativas de biomassa para a floresta densa da Amazônia brasileira*.

Tipo de florest loca biomassa foa l (t) nte Den MBRA ia 26 Br ug a)

fontesa (RADA SIL) Amazôn 8 own & L o (1992 ) – cf.

*

Densa (FAO) A nia 162 Brow Lug 2a) - fonte

Densa (RADAMBRASIL) A nia 289 Brow Lug 2b) -fonte

(FAO) A nia 227 Brow Lu b) -fonte

Densa (presente) Amazônia 12.3 Fearnside (1992a) - cf. fonte*

nside (unpub. 1993) - cf. fonte*

mazô n & o (199 cf. *

mazô n & o (199 cf. *

Densa mazô n &*

go (1992 cf.

Densa (presente) Amazônia 319.9 Fear

(*) Fonte: parcialmente reproduzida de Fearnside et al. (1993)

anco de D e Bioma INPA (n 5).

ão de Fr cia dos Dados Observados (n = 315).

lasse req.

Tabela 2: B ados d ssa, do = 31(a) Distribuiç eqüên

Limites de c F % 5 < 10 54 1 48,8910 < 20 90 28,5720< 30 28 89 8,30< 40 18 5,71 40< 50 9 2,86 50< 60 8 2,54 60< 70 3 0,95 70< 80 3 950, 80< 90 - 0 90< 1 32 00 1 0,100< 110 0 - 110< 120 0 - ≥120 1 0,32 tota 315 l 100

( stic escr Da rvad

v riável vio Mín má

b) Estatí a D itiva dos dos Obse os:

a média des CV(%) imo ximo D ) ,3 96 5, 12AP (cm 16,0 15 0 0,0 H-total (m) 45 5,6 4117,0 7,7 ,4 H-com (m) 10,7 5,2 49 2,4 26,1 P-tronco (kg) 476,3 1299,3 273 4,5 12736,5 P-copa (kg) 306,4 1031,5 337 0,6 12897,9 P-total (kg) 782,7 2271,1 290 9,1 25634,4 copa (%) 31 1 45 2 70

(c) Estatística Descritiva dos Dados Observados, Divididos em Algumas Classes de Diâmetro:

s d nú AP T Total

Classe e mero D altura otal Pesodiâmetr casos m C C CV(%) o édia V(%) média V(%) média 5 < 10 68 154 7,0 20 11,4 27 35,7 10 < 1 42 5 62 12,0 12 16,4 20 15,0 15 < 2 34 0 28 17,5 9 20,8 18 407,5 20 < 3 43 0 28 23,6 11 23,7 1 852,0 30 < 5 2 35 0 27 37,2 1 29,3 11 449,2 >= 50 8205,4 72 16 65,9 29 34,1 10

Tabela 3: D tiliz ara s de nte 8). (a) tísti riti Da serv

el m io CV mo máximo

ados U ados p estudo Nutrie s (n = 3

Esta ca Desc va dos dos Ob ados:

variáv édia desv (%) Míni D ) 3 ,3 98,0 AP (cm 9,9 20 51 9,5alt. total (m 2 0 4 41,4 ) 8,8 6, 56 11,alt. com (m) 17,3 3,7 22 7,5 25,0 P-tronco (kg) 217,4 2449,1 11 48,7 12736,5 P-copa (kg) 1595,3 2429,5 152 15,2 12898,3 P-total (kg) 3742,6 3005,4 128 63,9 25634,4 copa (%) 34 1 22 9 63 (b) Contribuição de cada compartim tronco, galho grosso, galho fino, folhas e flor/frutos) no pe otal de um e e % do cada um qu é transform m PS:

PESOS tronco g.grosso g.fino olhas frutos TOTAL

ento (so t a árvor PF de e ado e

f flor/ m 6 11 434,2 50,30 1,07 2,61217,3 09,68 4 374

VERDE s ,1 19 432,6 48,87 5,41 ,772449 85,66 5 4793 n 38(34) 38 38 38(8) 38 38 m 17,83 1,52 2,03 01 65,60 0,

% total s 1 7,21 1,28 03 1,19 ,43 0, n 38(34) 38 38 (8) 38 38 m 5 6 246,6 23,58 0,80 ,30101,6 65,63 4 2238

SECO s 1552,45 1243,55 253,6 23,01 4,60 3005,38 n 38 38(34) 38 38 38(8) 38 m 61,11 60,56 57,22 47,56 36,73 60,28

% PF s 8,27 7,98 5,75 7,21 20,62 7,41 n 38 34 38 38 8 38

m = média aritmética; s = desvio padrão amostral; n = número de observações.

ponde ao Peso Seco. % total = contribuição do peso de cada compartimento da árvore em relação ao seu peso total. % PF = é % do Peso Fresco da árvore ou do compartimento que corres

Tabela 4: Informações sobre Densidade da Madeira. Espécie 0% 25% 50% 75% 100% média DAP

1 0,856 0,790 0,757 0,753 0,718 824 0,775 0,2 83 0,650 82 0,696 0,697 0,6 0,684 0,6 0,706 3 0,879 0,903 0,866 0,741 0,724 0,823 0,91 4 0,536 0,521 0,499 507 0,509 0,471 0, 0,546 5 0,681 0,678 0,640 651 0,640 0,615 0, 0,700 6 8 0,807 0,653 758 0,81 0,806 0,704 0, 0,838 7 5 0,707 0,693 708 0,72 0,711 0,704 0, 0,717 8 1,027 0,990 0,946 0,929 0,961 0,971 1,015 9 0,891 0,870 0,862 0,862 0,846 0,866 0,896 10 0,571 0,533 0,445 480 0,485 0,36 ,7 0 0,528 11 1,033 0,987 031 1,077 1,000 1,056 1, 1,059 12 0,891 0,870 0,716 826 0,807 0,846 0, 0,896

média 0,804 0,783 0,756 0,71 756 0,725 0, 0,803 desvio 0,167 0,163 0,159 0,159 0,191 0,165 0,168 mín. 0,536 0,521 0,445 480 0,485 0,367 0, 0,528 máx. 1,077 1,033 0,987 031 1,000 1,056 1, 1,059

Tabela 5: Coeficientes de Regressão e de Determinação, Erro Padrão de Estimativa dos

ara Es massa (Pe ores em

b0 r2

Modelos Estatísticos p timar a Bio so total) de Árv pé.

Modelo b1 B2 sy.x 1 -1,497 0,97 2,548 1729

1 a -1,754 43 2,665 0,92 1 b -0,151 2,170 0,90 2035 2 -2,694 0,98 2,038 0,902 812

2 a -2,668 0,95 2,081 0,852 35 2 b -2,088 0,91 1,837 0,939 197 3 0,077 0,90 0,492 716

3 a 0,0056 0,621 0,94 34 3 b 0,393 0,473 0,86 1508 4 0,001 1,579 2,621 0,94 540

4 a 0,0336 2,171 1,038 0,94 31 4 b 0,0009 1,585 2,651 0,92 1159

b0, b1 e b2 = estimadores dos parâmetros β0, β1 e β2, respectivamente. r 2 = coeficiente de determinação ajustado ry.x = erro padrão de estimativa.

- modelo 1: ln Pi = b0 + b1 ln Di; sendo (1) para DAP≥5 cm e i = 1,..., 315; (1a) para 5≤DAP<20 cm e i = 1,..., 244; e (1b) para DAP≥20 cm e i = 1,..., 71.

- modelo 2: ln Pi = b0 + b1 ln Di + b2 ln Hi; sendo (2) para DAP≥5 cm e i = 1,..., 315; (2a) para 5≤DAP<20 cm e i = 1,..., 244; e (2b) para DAP≥20 cm e i = 1,..., 71.

- modelo 3: Pi = b0 + b1 Di2Hi; sendo (3) para DAP≥0,05 m e i = 1,..., 315; (3a) para

0,05≤DAP<0,20 m e i = 1,..., 244; e (3b) para DAP ≥ 0,20 m e i = 1,..., 71.

- modelo 4: Pi = b0 D b1 H b2; sendo (1) para DAP≥5 cm e i = 1,..., 315; (1a) para 5≤DAP<20 cm e i = 1,..., 244; e (1b) para DAP≥20 cm e i = 1,..., 71.

Tabela 6: Resumo das simulações utilizando diferentes intensidades de amostragem (tomadas aleatoriamente do banco de dados).

Biomassa Observada (observada e estimada) equações a & b equação única observada 782,7

b anco de dados modelo 1 768,2 [ -1,9 ] 907,7 [+16,0 ] modelo 2 754,6 [ -3,6 ] 805,2 [ +2,9 ]

(n = 315) modelo 3 792,1 [ +1,2 ] 783,3 [ +0,1 ] modelo 4 746,9 [ -4,6 ] 725,3 [ -7,3 ] observada 794,1

amostra com n = 300 modelo 1 779,1 [ -1,9 ] 924,1 [ +16,4 ] modelo 2 765,5 [ -3,6 ] 817,0 [ +2,9 ]

(5 repetições) modelo 3 803,3 [ +1,2 ] 794,7 [ +0,1 ] modelo 4 760,2 [ -4,3 ] 738,9 [ -7,0 ] observada 784,2

amostra com n = 200 modelo 1 788,3 [ +0,5 ] 944,2 [ +20,4 ] modelo 2 770,0 [ -1,8 ] 826,4 [ +5,4 ]

(5 repetições) modelo 3 808,1 [ +3,1 ] 801,3 [ +2,2 ] modelo 4 786,3 [ +0,3 ] 740,2 [ -5,6 ] observada 844,8

amostra com n = 100 modelo 1 866,9 [ +2,6 ] 1052,4 [ +24,6 ] modelo 2 835,4 [ -1,1 ] 900,5 [ +6,6 ]

(10 repetições) modelo 3 876,6 [+3,8 ] 865,1 [ +2,4 ] modelo 4 811,3 [ -4,0 ] 790,8 [ -6,4 ] observada 836,2

amostra com n = 50 modelo 1 750,8 [ -10,2 ] 859,3 [ +2,8 ] modelo 2 757,2 [ -9,4 ] 799,8 [ -4,4 ]

( 795,8 [ -4,8 ] 779,1 [ -6,8 ] 15 repetições) modelo 3 modelo 4 771,8 [ -7,7 ] 750,8 [ -10,2 ]

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Capítulo 17 Cadeia de Markov para predizer a dinâmica da floresta amazônica

r de inúmeras

s dificuldades, aproximadamente 1 milhão de hectares de floresta azôn

sição durante o intervalo de tempo (t e t+1) dependem apenas no estado

tempo” de cada uma das probabilidades de transição é uma i afinidade com o

atriz de transição é um modelo classificado em tamanho ou uma forma da m lie. A única exigência deste modelo é divisibilidade da população em grupo de existam probabilidades de movimento

rtância do entendimento dos ecossistemas

ples função matemática (linear, polinomial ou

17.1. Introdução: Estudar a dinâmica da floresta tropical úmida amazônica, manejada ou não, é um grande desafio para os florestais. Os modelos clássicos de produção florestal foram desenvolvidos para florestas temperadas e têm como principais variáveis, o índice de sítio e idade da árvore ou do povoamento (Sullivan e Clutter, 1972; Ferguson e Leech, 1978; Alder, 1980; Smith, 1983 e Clutter et al., 1983). Essas duas variáveis são limitantes para o desenvolvimento de modelos de produção para as florestas da Amazônia porque são praticamente indisponíveis para o setor florestal, num curto prazo. Apesatentativas, por meio da dendrocronologia ou da datação com 1C, a determinação das idades das inúmeras espécies que ocorrem numa determinada área, continua sendo um grande obstáculo para a ciência florestal.

Sem a idade da árvore ou do povoamento ou com muita dificuldade para obte-la, a alternativa é prognosticar a dinâmica da floresta com o uso de parcelas permanentes. Na Amazônia, entretanto, as parcelas instaladas e devidamente monitoradas são poucas, mal distribuídas e recentes (as mais antigas estão na Flona de Tapajós, desde 1978). Considerando que as idades de árvores com DAP > 50 cm, na região de Manaus, podem variar de 200 a 100 anos, segundo Chambers et al. (1998), 20-30 anos de observações podem parecer insuficientes para descrever, com confiança, a dinâmica de uma floresta da Amazônia.

Apesar de todas essaam ica são manejados, anualmente, para produção madeireira sob algum tipo de manejo em regime de rendimento sustentável. É difícil imaginar como os empresários florestais vão planejar os ciclos de corte subseqüentes, sem um modelo de produção. Se nada for feito, o manejo florestal tomará a mesma forma da agricultura itinerante. A melhor saída para esta situação é usar modelos de curto prazo que dependem exclusivamente da situação imediatamente anterior ao atual, tendo como objetivo a projeção apenas para uma situação imediatamente posterior. Dentre os vários modelos disponíveis, o que melhor se ajusta às características das florestas da Amazônia, é a cadeia de Markov.

17.2. Cadeia de Markov: A cadeia de Markov de primeira ordem é um processo estocástico no qual as probabilidades de trando indivíduo no tempo t ou no conhecimento do passado imediato no tempo t+1 e não em qualquer outro estado prévio (Horn, 1975; Chiang, 1980 e Bruner e Moser, 1973). Shugart (1984) enfatiza que a natureza “invariável em

mportante característica da cadeia de Markov, tendo muita comportamento dos ecossistemas florestais.

De acordo com Bierzychudek (1982), um modelo de matriz de Les

estados e quede um estado para outro, com o passar do tempo (Enright e Ogden, 1979).

Shugart e West (1981) apontam que a impoflorestais não é baseada nas idades, mas sim nas mudanças conhecidas no presente. Os modelos determinísticos consistindo de uma sim

exponencial) não demonstraram ainda que são comprovadamente adequados, quando séries de

s, o atributo tamanho pode ser ais i o ue o tamanho pode ser mais

colog ament inform vo que dade uando esta é difícil de ser obtida com precisão. iclos de vida em estágios de

futuro mais precisamente do ue a divisão em puras classes de idade. Usher (1966) usou o atributo tamanho no lugar da

que está na i-ésima classe no tempo t, pode permanecer na mesma classe, mudar

lacionados com a dinâmica da floresta

it em Nova York (Bierzychudek, 1982); dinâmica

resta montana temperada da Nova Zelândia (Enright e Ogden, 1979); sucessã r, 1979); sucessão florestal na Nova Jersey (Horn, 1975); aplicação d estudos de dinâmica florestal em florestas tropicais (Aceve

istas. Na região de Manaus, Higuchi (1987) usou Markov para estudar a dinâmica das par de manejo florestal (Projeto Bionte) e Rocha (2001) nos transec balhos citados anteriormente inclui revisões

m outras leituras úteis sobre o assunto, hiang (1980) e Anderson e Goodman (1957).

depender ap ente (Chiang, 1980).

de indivíduos na classe j no tempo t+1, dada a classe i no tempo t e n j = número

n estados

tempo são envolvidas (Morrison, 1976).

Segundo Enright e Ogden (1979), nas florestas tropi iportan e d a de. Uma razão pa sso q

cam m t que ida ra i é e ic e ati do a i , q

deAlém disso, segundo ainda os mesmos autores, a divisão cesenvolvimento pode permitir a predição do comportamentod

qidade para desenvolver um modelo para o manejo de recursos renováveis. Ele afirma que um organismopara a classe seguinte (mais de uma classe também) ou morrer, no tempo t+1.

Os modelos que usam matriz de transição são apropriados para análise de muitos problemas biológicos, principalmente em estudos re(Enright e Ogden, 1979). Esses modelos têm sido usados intensivamente em estudos de dinâmica de populações de plantas ou animais em várias regiões do mundo. Alguns exemplos são: a demografia do jack-in-the-pulpflorestal de uma população de Araucaria numa floresta tropical úmida de Papua Nova Guinea e Nothofagus em flo

o de térmitas em Gana (Ushe Markov ema Cadeia de

do, 1981) e a aplicação de Markov para predizer o desenvolvimento de um povoamento florestal (Usher, 1966; Usher, 1969, Bruner e Moser, 1973; Peden et al., 1973 e Buogiorno e Michie, 1980).

Alder (1980) também descreve a matriz de transição como uma possível ferramenta para análise de dados de crescimento e incremento de povoamentos multianos de florestas tropicais m

celas testemunhas do projeto tos do projeto Jacaranda. A maioria dos tra

tambérazoáveis da teoria do método de Markov. Há como Grossman e Turner (1974), C

3. Aplicação de Markov aos dados das parcelas permanentes da ZF-2:

Primeiro vamos considerar: (i) estados i e j = 1, 2, ..., m; (ii) tempos de observação t = 0, 1, .., T; (iii) p ij (t+1) (i, j = 1, 2, ..., m) = probabilidade do estado j no tempo t+1, dado o estado i no tempo t.

Um processo Markov é considerado homogêneo em relação ao tempo ou tempo homogêneo, se a probabilidade de transição

p ij (t, t+1) = Pr [x(t+1) = j | x(t) = i], para i, j = 1, 2, ...., m.

enas da diferença entre t e t+1, mas não de t e t+1 separadam

A montagem da matriz começa com o cálculo de

p ij = n ij / n j

onde: n ij = número total de indivíduos na classe i no tempo t.

A matriz de transição probabilística de uma cadeia de Markov para um processo de pode ser montada da seguinte maneira:

sendo q pim deve ser

pulação vai de um estado i de uma

Exemplo did

j=1 j=2 j=3 ...... j=m i=1 p11 p12 p1 ...... p1m i=2 p21 p22 p23 ...... p2mP = (p ij) = i =3 p31 p32 p33 ...... p3m . . . . . . . . . . . . i=m pm1 pm2 pm3 ...... pmm

ue as probabilidades p ij são não-negativos e a soma de pi1 + pi2 + ... +igual a 1.

A probabilidade de transição p ij pode ser de n passos, tomando a forma de p ij (n) onde n indica o número de tentativas, ou seja, a probabilidade que a po

tentativa para o estado j, n tentativas depois.

ático: Projeções da dinâmica de Parcelas Permanentes usando Markov ctos Leste-Oeste e Norte-Sul)

No caso dos (transe

dados da parcela permanente do exemplo, vamos considerar 17 estados (i, j = 1, 2, ...17),

estado

estados cm e vão de 10, passando pela classe truncada DAP movimecom DA ou DAP = 81), em 200 ,

Passos1. Matrdinâminenhum ia nas instruções contidas no Box por achar completamente obsoleta. Hoje, e pelos florestais, é um poderoso e prático strum nto p rabalha com parcelas permanentes, re-med as em várias ica serve também para conferir o arquivo lunas e 19 linhas.

.1. => total 1ª ocasião = (total, freqüência da linha 19 e coluna 19 ou f19,19 =6251) me 6) = 5623

51) menos mortas (M, f19,18 = 264) = 5987

2. MatrA matrPortanto B1 = B2.

e 3ª (20<25).

/396 e 4/396.

onde:

1 = recrutamento (R)

de 2 a 16 = classes de diâmetro. As classes de DAP são de 5-5≥ 75 até à classe “próxima” depois de DAP ≥ 75. A

ntação de uma classe para outra, no caso da classe DAP ≥ 75, pode ser uma árvore P = 78, em 2000, que passou para a classe seguinte (podendo ser DAP = 80

4 ou também uma com DAP = 119, em 2000, que passou para a classe seguinteem 2004.

estado 17 = mortalidade (M)

são considerados: t = 2000 e t+1 = 2004.

para o cálculo matricial: iz A (Quadro 1) => transição entre a 1ª ocasião (2000) e 2ª ocasião (2004) => tabelas cas do Excel (V. Box). Daqui uns 10 anos, é bem provável que alguém não veja a importâncm 2007, apesar deste recurso ser pouco conhecido in e ara organizar os dados. Quando se tid ocasiões sucessivas, a tabela dinâm de dados. A matriz A é simétrica; portanto, há 19 co

1nos recrutas (R, linha 3 e coluna 19 ou f3,19 = 39

1.2. => total 2ª ocasião = (total, f19,19 = 62

iz B1 e B2 (Quadro 2) => probabilidades de mudanças de um estado (i) para outro (j). iz de probabilidade é repetida pra facilitar a multiplicação de matrizes no Excel.

2.1. Recrutas (R) => das 396 árvores recrutadas em 2004 => 385, 7 e 4, respectivamente, foram recrutadas para a 1ª classe (10<15), 2ª (15<20)

2.2. Probabilidades de 2.1. => 385/396, 7

2.3. 1ª classe (10<15) => das 2167 árvores que estavam na 1ª classe na 1ª ocasião (2000) => na 2ª ocasião (2004), 1869 permaneceram na 1ª classe, 205 mudaram para a 2ª classe, 2 passaram para a 3ª classe e 91 morreram.

2.4. Probabilidades de 2.3. => 1869/2167, 205/2167, 2/2167 e 91/2167.

2.5. 2ª classe (15<20) => das 1319 árvores que estavam na 2ª classe na 1ª ocasião

3. Mat(Matrizadiante

espaço igual à matriz de linhas e mesmo número

ente a matriz B e OK;

- truque pra ver o resultado (matriz C) => segurar juntos Ctrl, Shift e Enter ção (fx) que fica acima da planilha.

atrizes (B1 e B2) não inclui a coluna TOTAL, portanto, é

95 * 396 = 332,05

D4*T4 = 0,7288 * 1319 = 961,24

e assim por diante para todas as classes.

4.3. O total da freqüência esperada por classe ou estado (que a projeção para 2008) é calculado da seguinte forma (dados da Matriz D):

- classe 10<15 => C2 + C3 = 332,05 + 1612 = 1944.

- classe 15<20 => D2 + D3 + D4 = 42,39 + 351,81 + 961,24 = 1355,5

e assim por diante para todas as classes.

(2000) => na 2ª ocasião (2004), 1126 permaneceram na 2ª classe, 144 mudaram para a 3ª classe, 1 passou para a 4ª classe e 48 morreram.

2.6. Probabilidades de 2.5. => 1126/1319, 144/1319, 1/1319 e 48/1319.

riz de probabilidade 2 passos adiante (até 2004) => matriz de transição probabilística B) elevada ao quadrado que resultará na Matriz C (Quadro 3). Se quiser 3 passos , a matriz de transição probabilística será elevada ao cubo.

3.1. Multiplicação de matrizes (B1*B2) => No Excel:

- blocar (passando o cursor em toda a sua extensão) umque será multiplicada (Matriz B), ou seja, mesmo númerode colunas;

- ir ao menu Inserir, selecionar a opção Função e escolher Matriz.Mult;

- definir matriz 1 (B1), blocando a matriz B;

- definir matriz 2 (B2), blocando novam

mantendo o cursor dentro da barra de fun

- Obs.: a matriz B não deve estar como fórmula e sim como Somente Valores.

4. Projeção para 2008 => Matriz D (Quadro 4) =>

4.1. A multiplicação de mnecessário copiá-la da Matriz A e colá-la na Matriz C para facilitar o cálculo da freqüência esperada por classe (Matriz D);

4.2. A Matriz D é calculada multiplicando a probabilidade de ocorrência de árvores em uma classe dois passos a diante (Matriz C) pelo número total de árvores daquela classe. Ex.:

- classe 10<15 => C2*T2 = 0,83

C3*T3 = 0,7439 * 2167 = 1612

- classe 15 < 20 => D2*T2 = 0,1071 * 396 = 42,39

D3*T3 = 0,1624 * 2167 = 351,81

4.4. Clárvores

asse “PRÓX.” => esta classe é criada apenas para descrever a dinâmica das truncadas ao DAP ≥ 75 cm. No quadro com as freqüências esperadas (E) (5b)

deve ser somada à da classe “PROX”:

possa ser incluída na projeção de 2008. Enquanto não tiver uma série histórica de

5a: (prob do nº de arv da 1ª classe –

– 47) + (396 * 0,0177) ≅ 1316

6. Se 3 ocasiões estão disponíve

7. Com ), para 2008, fornecida pela Cadeia de Markov

2

Usa o ponto de vista de estatística, pode-se

imed , para confirmar a eficiência de Markov. O exemplo foi usado para ma floresta

a freqüência da classe “PRÓX” deve ser acrescentada à classe DAP ≥ 75 cm. Portanto, a freqüência esperada da classe DAP ≥ 75 cm

- classe DAP ≥ 75 cm => Q19 + R19 = 11,56 + 4,407 = 15,963 (Quadro 5a)

5. Ajustes necessários => a cadeia de Markov não faz projeções do recrutamento. Portanto, há necessidade de fazer ajustes para que a probabilidade de recrutamento das árvores em 2004

recrutamento, o único recurso é usar o nº de indivíduos recrutados de uma ocasião para outra.

5.1. O ajuste é feito com os dados do Quadroprob da mortalidade da 1ª classe) + (Total de recrutas de 2004 * projeção da 1ª classe para 2008). Ex.:

- classe 10<15 => (1944 – 86) + (396 * 0,9722) ≅ 2242,3

- classe 15<20 => (1355,5

- classe 20<25 => (865,8 – 33) + (396 * 0,0101) ≅ 837

5.2. Para as classes onde não houve recrutamento em 2004, basta diminuir a prob do nº de arv da classe sem recrutamento – prob da mortalidade dessa mesma classe. Ex.:

- classe 25<30 => 543,4 – 24 ≅ 519

...

- classe DAP ≥ 75 cm => 15,96 - 3 ≅ 13

is, o certo é usar a média [ R = (R1+R2)/2 ], sendo que R1 é o nº indivíduos recrutados entre a 1ª e 2ª ocasião e R2 é o nº entre a 2ª e 3ª ocasião, ou seja, seriam necessários 3 inventários.

paração entre freqüências esperadas (Ee as freqüências observadas de fato em 2004 (Quadro 6) => teste qui-quadrado ( χ2 ).

Neste exemplo, como o χ tabelado com 13 graus de liberdade e p = 0,05 é igual a 22,36, isso significa dizer que há fracas evidências para afirmar que E seja diferente de O.

ndo p = 0,01, o valor de χ2 é igual a 27,69 e, dafirmar que o teste é não significante.

O certo seria usar um intervalo de tempo maior para fazer projeções para um período iatamente posterior

comprovar que Markov é eficiente para fazer projeções da dinâmica de umanejada. Essa comprovação já tinha sido realizada em florestas não perturbadas (Rocha, 2001).

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Box 1 Tabel âmica do Excel usando o mesmo arquivo de dados do T2-B2SB4. a din

Passos necessários:

1. Neste arquivo há as seguintes colunas: nome comum da espécie, DAP90, DAP97 e DAP04

2. Inserir três novas colunas entre DAP90 7 e DAP04 e depois de e DAP97, entre DAP9DAP04 e nomear como CD1, CD2 e CD3, respectivamente.

3. Clicar e para a transição entre m DADOS => FILTRAR => AUTO-FILTRO => apenas1990 e 1997. Para a transição entre 1997e 2004, o procedimento é o mesmo.

4. Identificar as recrutas ap “zero” na coluna do => são células que arecem em “branco” ouDAP90 e luna DAP97 => clicar em DAP90▼ e procurar “branco” e m DAPs registrados na co“zero” e nomear com R na própria coluna DAP90 e na coluna CD1 atribuir o código “1” => para todas as árvores nessas condições.

5. Calcu as freqüências das classes 10<15, 15<20 ... até ≥ 65 => continuar com o larFILTRAR nas colunas DAP90 e DAP97. Começar com 1990 clicando em DAP90▼ e ir para PERSONALIZAR. Lembrar que a primeira classe (10<15) é o segundo estado. Em PERSONALIZAR, a primeira condição é “maior ou igual a” “10” (digitando) e a segunda é “menor d ue” “15” (digitando). Depois de OK, digitar em CD1 o número da classe (2, neste o qcaso). Repetir isso até a última classe (≥ 65), que será a classe número 1.

6. Identi r as mortas => são c u s que aparecem emfica él la “branco” ou “zero” na coluna do DAP97 e tinham DAPs na coluna DAP90 => clicar em DAP97▼ e nomear com M na própria coluna DAP97 e na coluna CD2 atribuir o código “15” => para todas as árvores nessas condições.

7. Repetir passo 5 para DAP97. Em DAP97 tem que incluir a classe 1 (PRÓX). Neste caso, o trabalho que ser feito manualmente (no olho), ou seja, tem que olhar para as colunas temDAP90 e AP97 e verificar quais árvores que estavam na classe 1 em 1990 e mudaram de Dclasse em 1997.

8. Ir pra DADOS, clicar em FILTRAR e retirar o AUTO-FILTRO.

9. Em COS DINÂMICOS e DADOS, clicar em RELATÓRIOS DE TABELA E GRÁFIseguir as instruções lógicas.

10. Pra ter a tabela dinâmica:

- arrastar CD1 até a coluna onde está escrito “solte campos de linha aqui”

- arrastar C escrito “solte camD2 até a linha onde está pos de coluna aqui”

- star D P97 em cima de “solte itens de dados a i” arra A qu

Quadro 1: Matriz (A) => transição do estado i para o estado j durante o período de 2000 a 2004.

A B C I D E F G H J L M N O P Q R S T

1 estados R 10 < 15 15 < 20 20 < 25 25 < 30 30 < 35 35 < 40 40 < 45 45 < 50 50 < 55 55 < 60 60 < 65 65 < 70 70 < 75 >=75 PROX M Total

2 0 6 R 385 7 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 393 0 1869 205 0 0 0 91 2167 10 < 15 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 1319 15 < 20 0 1126 144 1 0 0 0 0 0 0 0 0 48

5 0 0 3 20 < 25 0 711 104 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 33 85

6 0 2 25 < 30 0 0 0 419 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24 50

7 0 1 30 < 35 0 0 0 0 276 59 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26 36

8 0 8 35 < 40 0 0 0 0 0 195 23 0 0 0 0 0 0 0 0 10 22

9 0 0 5 40 < 45 0 0 0 0 0 119 27 1 0 0 0 0 0 0 8 15

10 45 < 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 72 14 0 0 0 0 0 7 93

11 50 < 55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 36 7 0 0 0 3 46

12 55 < 60 0 41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 28 6 1 0 0 0 6

13 60 < 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19 8 0 0 0 1 28

14 65 < 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 4 0 0 1 17

15 70 < 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 2 0 1 18

16 0 >=75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 7 5 27

17 0 0 PROX 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

18 0 0 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 0 4 1 8 861 524 339 254 143 17 6251 Total 225 33 99 51 35 25 21 19 7 264

Quadro 2: Matriz B (B1 e B2) – transição probabilística do estado i para o estado j durante o período de 2000 a 2004.

B C D J L R S

A E F G H I M N O P Q T

1 estados R 15 20 5 40 < 45 4 50 55 60 5 < 0 < =75 OX al10 < 15 < 20 < 2 25 < 30 30 < 35 35 < 40 5 < 50 < 55 < 60 < 65 6 70 7 75 > PR M Tot

2 0 2 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0R 0,972 0,017 0,010 0 0 0 0 3 10 0 5 6 9 0 0 0 0 0 0 0 0 < 15 0,862 0,094 0,000 0 0 0 0 0

4 15 20 0 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 < 0 0,853 0,109 0,0008 0 0 0

5 20 25 0 0 0,8335 0,0047 0,0012 0 0 0 0 0 0 < 0 0,1219 0 0 0 0

6 25 < 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8347 0,1175 0 0

7 30 35 0 0 0 0 0 0,7645 0 0 0 0 0 0 0 0 < 0,1634 0 0,1

8 35 < 40 0 0 0 0 0 0,1009 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8553 0 0

9 40 < 45 0 0 0 0 0 0 0 0,7677 0,1742 0,0065 0 0 0 0 0 0 0,1

10 45 50 0 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 < 0 0 0 0 0,7742 1505 0 0,1

11 50 55 0 0 0 0 0 0, 0,1 0 0 0 0 1 < 0 0 0 0 7826 522 0 0,

12 55 60 0 0 0, 0,1 0, 0 0 0 < 0 0 0 0 0 0 0 0 6829 463 0244 0,1

13 60 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,6 0, 0 0 0 < 786 2857 0

14 65 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0 0 < 7059 0,2353 0,1

15 70 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 < 0,8333 0,11 0,1

16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >=75 0,56 0,259 0,2

17 PROX 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8

19 Total

e (até 2008)

F G J L S T

Quadro 3: Matriz C ou [B]2 - Matriz de transição probabilística dois passos adiant

A B C D E H I M N O P Q R

1 estados R 10<15 15<20 20<25 25<30 30<35 35<40 40<45 45<50 50 5 70 <75 >=75 PROX M Total <55 5<60 60<65 65< 70

2 0, 0, 5E 1E 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 396 R 0,0000 8385 1071 0,0112 0,0012 -05 0 -05 042

3 0, 0, 0, 0, 0, 4E- 1E- 0 0 0 0 0 0 0 0, 0,04 2167 10<15 0000 7439 1624 0119 0002 06 0 06 0000

4 <2 0, 7 ,18 , , 0, 0 0 0 0 0 0 0 0, 0,035 1319 15 0 0 0000 0, 288 0 42 0 0146 0 0006 0 0001 0000

5 <2 0 0, 6 20 , 8E- 0 0 0 0, 0, 853 20 5 0 0000 0, 948 0, 34 0 0218 0,0008 0,0019 0,0002 06 0 0 0000 038

6 0, 0 0 0 0 0 0, 0,048 502 25<30 0 0 0 0000 0,6967 0,188 0,0192 0 0 0 0000

7 0 0 0 0 0, 0,0165 0 0 0 0 0 0 0 0, 0,062 361 30<35 0000 0,5845 0,2647 0000

8 <4 0 0 0 0 0,0 7 0,1 0,017 0,00 0 0 0 0 0 0, 0,043 228 35 0 0 000 0, 315 637 6 07 0000

9 <4 0 0 0 0 0 0 0,0 5 0,2 0, 0, 0 0 0 0,0 0,053 155 40 5 000 0, 894 686 0362 001 0 000

10 0 0 0 0 0, 0, 0, 0229 0 0 0 0 0, 0,068 93 45<50 0 0 0 0000 5994 2344 0, 0000

11 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0, 223 0,0223 0 0 0, 0,073 46 50<55 0000 6125 0, 0,0037 0000

12 6 0 0 0 0 0, 7 0057 0,0 0,107 41 55< 0 0 0 0 0 0 0000 0,4664 0,1992 0,075 0, 0 000

13 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 672 0,0 0,041 28 60< 5 0 0,0000 0,4605 0,395 0,0 0 000

14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0, 0,055 17 65<70 0,0000 0,4983 0,3622 026 0000

15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0,067 18 70<75 0 0 0,0000 0,6944 0,154 0288

16 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 30 0,1 0,103 27 >= 5 0 0 0 0,00 0 0, 86 440

17 OX 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 PR 0 0 0 0 0 0

18 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M

19 tal To

ncias esperadas de cada classe ou estado

A B C D E F G H I J L N O P Q R S T

Quadro 4: Matriz D - Cálculo das freqüê

M

1 estados R 10 < 15 15 < 20 20 < 25 25 < 30 30 < 35 35 < 40 40 < 45 45 < 50 50 < 55

5 60 < 65

65 < 70

70 < 75 >=75 PROX M Total

5 < 60

2 R 0,000 332,056 42,397 4,454 0,493 0,019 0 0,005 0 0 0 0 0 0 0 16,577 0

3 10 < 15 0,000 1611,980 351,813 25,773 0,399 0,009 0 0,002 0 0 0 0 0 0 0,000 86,023 0

4 15 < 20 0 0,000 961,240 58 0 0 0 0 0,000 46,595 242,9 19,245 0,793 0 0,169 0 0 0

5 20 < 25 0 0 0,000 6 0 0 0 0 0,000 32,818 592,639 173,492 18,615 0,654 1,601 0,174 0,00 0

6 25 < 30 0 0 0 0 0 0 0 0,000 24,281 0,000 349,723 94,353 9,643 0 0 0 0

7 30 < 35 0 0 0 0 0,000 211,014 95,569 5,952 0 0 0 0 0 0 0,000 22,466 0

8 35 < 40 0 0 0 0 0 0,148 0 0,000 166,776 37,329 4,006 0 0 0 0 0,000 9,740

9 40 < 45 0 0 0 0 5,615 0, 0 0 0 0,000 91,361 41,632 152 0 0 0 0,000 8,239

10 45 < 50 0 0 0 0 0 0 0 0,000 55,7 21,795 2, 0 42 130 0 0 0 0,000 6,332

11 50 < 55 0 0 0 0 0 0 74 1 1,024 0,171 0 0 0,000 3, 0 0 0,000 28,1 0,259 372

12 55 < 60 0 0 0 0 1 8,160 0 0 0 0 0 0,00 9,122 9 3,103 0,235 0 0,000 4,371

13 60 < 65 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 12,80 0 000 93 11,076 1,882 0 0,000 1,149

14 65 < 70 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,000 8,471 6,157 0 0 0,444 0,000 0,928

15 70 < 75 0 0 0 0 0 0 0,000 12,500 2,778 0 0 0 0 0 0 0 ,519 1,204

16 >=75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,000 8,333 3,889 2,778

17 PROX 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

18 M 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

19 Total 1944,036 1355,450 65,823 543,352 324,803 272,641 136,419 101, 5,739 3 22,086 22,820 20,775 11,556 4,407 87 8 555 5 1,663 266, 4

Quadro 5a: Dados para calcular 2008 (E).

CD Prob Arv

Prob Mort proj

10 < 15 1944,04 86,02 0,97 15 < 20 1355,45 46,60 0,02 20 < 25 865,82 32,82 0,01 25 < 30 543,35 24,28 30 < 35 324,80 22,47 35 < 40 272,64 9,74 40 < 45 136,42 8,24 45 < 50 101,55 6,33 50 < 55 55,74 3,37 55 < 60 31,66 4,37 60 < 65 22,09 1,15 65 < 70 22,82 0,93 70 < 75 20,77 1,20 >=75 15,96 2,78

Quadro 5b: Freqüências esperadas (E) para 2008 incluindo ajustes feitos para o recrutamento (R)

Estado lidade Árvores Morta

CD 2000 2004 (O) 2008 (E) 2004 (O)

2008 (E)

10 < 15 2167 2254 2243,0 91 86,02 15 < 20 1319 1338 1315,9 48 46,60 20 < 25 853 861 837,0 33 32,82 25 < 30 502 524 519,1 24 24,28 30 < 35 361 339 302,3 26 22,47 35 < 40 228 254 262,9 10 9,74 40 < 45 155 143 128,2 8 8,24 45 < 50 93 99 95,2 7 6,33 50 < 55 46 51 52,4 3 3,37 55 < 60 41 35 27,3 6 4,37 60 < 65 28 25 20,9 1 1,15 65 < 70 17 21 21,9 1 0,93 70 < 75 18 19 19,6 1 1,20 >=75 27 17 13,2 5 2,78

Próxima 7 Total 5855 5987 5857,6 264 250

Quadro 6: Comparação entre freqüências observadas (O) e esperadas (E) em 2008.

estado O E χ P

2P

10 < 15 2254 2243 0,05 15 < 20 1338 1316 0,37 20 < 25 861 837 0,69 25 < 30 524 519 0,05 30 < 35 339 302 4,45 35 < 40 254 263 0,30 40 < 45 143 128 1,71 45 < 50 99 95 0,15 50 < 55 51 52 0,04 55 < 60 35 27 2,18 60 < 65 25 21 0,79 65 < 70 21 22 0,04 70 < 75 19 20 0,02 >=75 24 13 2,08 Total 5987 5859 20,13

χ P

2Ptab 0,05;13gl = 22,36

χ P

2Ptab 0,01;13gl = 27,69