apostila altimetria

Maria Ceclia Bonato Brandalize

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13. Levantamentos Altimtricos Ou, simplesmente, nivelamento, a operao que determina as diferenas de nvel ou distncias verticais entre pontos do terreno. O nivelamento destes pontos, porm, no termina com a determinao do desnvel entre eles mas, inclui tambm, o transporte da cota ou altitude de um ponto conhecido (RN Referncia de Nvel) para os pontos nivelados. Assim, segundo GARCIA e PIEDADE (1984): A altitude de um ponto da superfcie terrestre pode ser definida como a distncia vertical deste ponto superfcie mdia dos mares (denominada Geide). A cota de um ponto da superfcie terrestre, por sua vez, pode ser definida como a distncia vertical deste ponto uma superfcie qualquer de referncia (que fictcia e que, portanto, no o Geide). Esta superfcie de referncia pode estar situada abaixo ou acima da superfcie determinada pelo nvel mdio dos mares. Ento, segundo ESPARTEL (1987): altitude corresponde um nvel verdadeiro, que a superfcie de referncia para a obteno da DV ou DN e que coincide com a superfcie mdia dos mares, ou seja, o Geide. Altitude Nvel Verdadeiro cota corresponde um nvel aparente, que a superfcie de referncia para a obteno da DV ou DN e que paralela ao nvel verdadeiro. Cota Nvel Aparente A figura a seguir (GARCIA, 1984) ilustra a cota (c) e a altitude (h) tomados para um mesmo ponto da superfcie terrestre (A). Torna-se evidente que os valores de c e h no so iguais pois os nveis de referncia so distintos.

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Segundo ESPARTEL (1987), os mtodos de nivelamento utilizados na determinao das diferenas de nvel entre pontos e o posterior transporte da cota ou altitude so: 13.1. Nivelamento Baromtrico Baseia-se na diferena de presso com a altitude, tendo como princpio que, para um determinado ponto da superfcie terrestre, o valor da altitude inversamente proporcional ao valor da presso atmosfrica. Este mtodo, em funo dos equipamentos que utiliza, permite obter valores em campo que esto diretamente relacionados ao nvel verdadeiro. Atualmente, com os avanos da tecnologia GPS e dos nveis laser e digital, este mtodo no mais empregado. possvel, no entanto, utilizar-se dos seus equipamentos para trabalhos rotineiros de reconhecimento. Estes equipamentos so: a)Altmetro Analgico constitudo de uma cpsula metlica vedada a vcuo que com a variao da presso atmosfrica se deforma. Esta deformao, por sua vez, indicada por um ponteiro associado a uma escala de leitura da altitude que poder estar graduada em metros ou ps (figura abaixo); este tipo de altmetro dito compensado quando possui um dispositivo que indica a correo a ser feita no valor da altitude por efeito da temperatura.

b)Altmetro Digital seu funcionamento semelhante ao do altmetro analgico, porm, a escala de leitura foi substituda por um visor de LCD, tpico dos aparelhos eletrnicos (figura abaixo);Engenharia Civil 85


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as altitudes so fornecidas com preciso de at 0,04m (0,015").

13.2. Nivelamento Trigonomtrico Baseia-se na medida de distncias horizontais e ngulos de inclinao para a determinao da cota ou altitude de um ponto atravs de relaes trigonomtricas. Portanto, obtm valores que podem estar relacionados ao nvel verdadeiro ou ao nvel aparente, depende do levantamento. Segundo ESPARTEL (1987), divide-se em nivelamento trigonomtrico de pequeno alcance (com visadas 250m) e grande alcance (com visadas >250m), sendo que para este ltimo, deve-se considerar a influncia da curvatura da Terra e da refrao atmosfrica sobre as medidas. Os equipamentos utilizados so: a)Clinmetro Analgico ou Digital dispositivo capaz de informar a inclinao () entre pontos do terreno; indicado para a medida de ngulos de at 30 e lances inferiores a 150m; constitudo por luneta, arco vertical e vernier e bolha tubular; pode ser utilizado sobre trip com prumo de basto e duas miras verticais de 4m, para a determinao das distncias horizontais por estadimetria; a preciso na medida dos ngulos pode chegar a 40" e na das distncias, at 1cm em 50m (1:5000).

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Abaixo encontram-se as ilustraes de dois tipos de clinmetros, um analgico (com vernier) e outro digital (visor LCD).

A distncia vertical ou diferena de nvel entre dois pontos, por este mtodo, dada pela relao:DV = DN = DH.tg( ) = DH . cot g( Z )

b)Clismetro permite ler, em escala ampliada, declividades (d%) de at 40%, o que eqivale a ngulos de at 22. No aspecto, ele similar ao clinmetro; a preciso da leitura neste dispositivo pode chegar a 1/10%, ou seja, 4' de arco; indicado para lances inferiores a 150m. c)Teodolito: Topogrfico e de Preciso permite ler ngulos com preciso desde 1' (teodolito topogrfico) at 0,5" (teodolito de preciso ou geodsico); os topogrficos, por serem mecnicos, so indicados para lances inferiores a 250m; os de preciso, que podem ser prismticos ou eletrnicos, so indicados para lances superiores a 250m. 13.3. Nivelamento Geomtrico Este mtodo diferencia-se dos demais pois est baseado somente na leitura de rguas ou miras graduadas, no envolvendo ngulos. O aparelho utilizado deve estar estacionado a meia distncia entre os pontos (r e vante), dentro ou fora do alinhamento a medir. Assim como para o mtodo anterior, as medidas de DN ou DV podem estar relacionadas ao nvel verdadeiro ou ao nvel aparente, depende do levantamento.Engenharia Civil 87


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Os equipamentos utilizados so: a)Nvel tico Segundo ESPARTEL (1987), constitui-se de: um suporte munido de trs parafusos niveladores ou calantes; uma barra horizontal; uma luneta fixada ou apoiada sobre a barra horizontal; um nvel de bolha circular para o nivelamento da base (pode tambm conter um nvel de bolha tubular e/ou nvel de bolha bipartida); eixos principais: de rotao (vertical), tico ou de colimao (luneta) e do nvel ou tangente central; duas miras ou rguas graduadas: preferencialmente de metal nvar; para lances at 25m, a menor diviso da mira deve ser reduzida a 2mm, no podendo nunca exceder a 1cm (rgua de madeira). A figura a seguir ilustra um nvel tico e rgua graduada, ambos da marca BERGER.

b)Nvel Digital como descrito no item (8.6.e) um nvel para medio eletrnica e registro automtico de distncias horizontais e verticais; o seu funcionamento est baseado no processo digital de leitura, ou seja, num sistema eletrnico de varredura e interpretao de padres codificados; para a determinao das distncias o aparelho deve ser apontado e focalizado sobre uma rgua graduada cujas divises esto impressas em cdigo de barras (escala binria); este tipo de rgua, que pode ser de alumnio, metal nvar ou fibra de vidro, resistente umidade e bastante precisa quanto diviso da graduao; os valores medidos podem ser armazenados internamente pelo prprio equipamento ou em coletores de dados. Estes dados podem serEngenharia Civil 88


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transmitidos para um computador atravs de uma interface RS 232 padro; a rgua mantida na posio vertical, sobre o ponto a medir, com a ajuda de um nvel de bolha circular; o alcance deste aparelho depende do modelo utilizado, da rgua e das condies ambientais (luz, calor, vibraes, sombra, etc.). c)Nvel a Laser como descrito no item (8.6.f) um nvel automtico cujo funcionamento est baseado na tecnologia do infravermelho; assim como o nvel digital, utilizado na obteno de distncias verticais ou diferenas de nvel e tambm no mede ngulos; para a medida destas distncias necessrio o uso conjunto de um detetor laser que deve ser montado sobre uma rgua de alumnio, metal nvar ou fibra de vidro; um aparelho peculiar pois no apresenta luneta nem visor LCD; a leitura da altura da rgua (FM), utilizada no clculo das distncias por estadimetria, efetuada diretamente sobre a mesma, com o auxlio do detetor laser, pela pessoa encarregada de segur-la; os detetores so dotados de visor LCD que automaticamente se iluminam e soam uma campainha ao detectar o raio laser emitido pelo nvel; o alcance deste tipo de nvel depende do modelo e marca, enquanto a preciso, depende da sensibilidade do detetor e da rgua utilizada; assim como para o nvel digital, a rgua deve ser mantida na posio vertical, sobre o ponto a medir, com a ajuda de um nvel de bolha circular. O nivelamento geomtrico pode ser: 13.3.1. Simples Neste mtodo, indicado pela figura abaixo (DOMINGUES, 1979), instala-se o nvel uma nica vez em ponto estratgico, situado ou no sobre a linha a nivelar e eqidistante aos pontos de nivelamento.

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Deve-se tomar o cuidado para que o desnvel entre os pontos no exceda o comprimento da rgua (4m). Aps proceder a leitura dos fios estadimtricos (FS, FM e FI) nos pontos de r e vante, o desnvel pode ser determinado pela relao: DN = FM re FM vante Se DN+ ento o terreno est em aclive (de r para vante). Se DN- ento o terreno est em declive (de r para a vante). Este tipo de nivelamento pode ser longitudinal, transversal ou radiante e aplicado a terrenos relativamente planos. 13.3.2. Composto Este mtodo, ilustrado pela figura abaixo (GARCIA, 1984), exige que se instale o nvel mais de uma vez, por ser, o desnvel do terreno entre os pontos a nivelar, superior ao comprimento da rgua.

Instala-se o nvel eqidistante aos pontos de r e intermedirio (primeiro de uma srie de pontos necessrios ao levantamento dos extremos), evitando-se ao mximo lances muito curtos. Procede-se a leitura dos fios estadimtricos (FS, FM e FI) nos pontos em questo e o desnvel entre os dois primeiros pontos ser dado pela relao: DN P = FM re FM int erm. Se DN+ ento o terreno est em aclive. Se DN- ento o terreno est em declive. Assim, o desnvel total entre os pontos extremos ser dado pelo somatrio dos desnveis parciais.

DN = DN PEngenharia Civil 90


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13.4. Preciso do Nivelamento A preciso, tolerncia ou erro mdio de um nivelamento funo do permetro percorrido com o nvel (em km) e, segundo GARCIA e PIEDADE (1984), classifica-se em: alta ordem: o erro mdio admitido de 1,5mm/km percorrido. primeira ordem: o erro mdio admitido de 2,5mm/km percorrido. segunda ordem: o erro mdio admitido de 1,0cm/km percorrido. terceira ordem: o erro mdio admitido de 3,0cm/km percorrido. quarta ordem: o erro mdio admitido de 10,0cm/km percorrido. Onde o erro mdio avaliado da seguinte forma: para poligonais fechadas: a soma algbrica das diferenas de nvel parciais (entre todos os pontos). para poligonais abertas: a soma algbrica das diferenas de nvel parciais (entre todos os pontos) no nivelamento (ida) e no contranivelamento (volta). Este erro, ao ser processado, poder resultar em valores diferentes de zero, para mais ou para menos, e dever ser distribudo proporcionalmente entre as estaes da poligonal, caso esteja abaixo do erro mdio total temvel. Assim, segundo ESPARTEL (1987), o erro mdio total temvel em um nivelamento para um permetro P percorrido em quilmetros, dever ser:m = 5mm P

E o erro mximo admissvel, segundo o mesmo autor, dever ser:

= 2,5.m13.5. Exerccios

1.Qual o desnvel e a inclinao do terreno para um nivelamento composto onde foram obtidos os seguintes dados? FMr = 2.50, 2.80 e 3.00m FMvante = 1.00, 0.80 e 0.90m.

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2.Pela figura abaixo, determine a diferena de nvel entre os pontos. De onde devemos tirar e onde devemos colocar terra? A altura do ponto A deve ser tomada como referncia para o clculo dos desnveis, bem como, para a planificao do relevo.

OndeEstaca A 1 2 3 4 5 6 FM 1,20m (I) 1,60m 1,30m 1,25m 1,10m 0,90m 1,10m Estaca 7 8 9 10 11 12 FM 1,40m 1,55m 1,50m 1,22m 1,15m 1,12m

3.Dada a tabela de leituras abaixo, determine os desnveis do terreno entre os pontos e o erro de nivelamento. Classifique o levantamento segundo o erro encontrado, admitindo que o permetro percorrido tenha sido de 1Km.Ponto 1-2 2-3 3-4 4-5 5-1 FM (r) 1,283m 1,433m 0,987m 2,345m 1,986m FM (vante) 1,834m 2,202m 0,729m 1,588m 1,706m

4.Determine o desnvel entre dois pontos a partir de um nivelamento trigonomtrico onde foram obtidos os seguintes dados: I = 1.43m DH = 47.30m = 8 30' ascendente FM = 0.000 (visado o solo)

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5.Qual seria a tolerncia de um nivelamento de segunda ordem, se o permetro medido foi de 1,283 km? Se o erro encontrado para este nivelamento foi de 1,5cm, este poder ser aceito e distribudo normalmente? 6.Determine a altura aproximada de uma rvore sabendo-se que o ngulo de visada do topo da rvore de 1740 em relao ao solo e a distncia do observador rvore de 40,57m. 7.Determine a elevao de um ponto B, em relao a um ponto A, sabendo-se que: a elevao do ponto A de 410,260m; a leitura de FM para uma rgua estacionada em A de 3,710m; a leitura de FM para uma rgua estacionada em B de 2,820m. 8.Determine a distncia horizontal e vertical entre dois pontos sabendo-se que: o ngulo de visada do ponto inicial para o ponto final do alinhamento de 3022 descendente; a altura do aparelho estacionado no ponto inicial de 1,72m; a leitura da rgua estacionada no ponto final de 3,520m; a distncia inclinada entre os pontos de 182,18m. Determine a elevao do ponto final para uma elevao do ponto inicial de 361,29m. 9.Determine, para os valores de rgua da tabela abaixo, a cota de cada um dos pontos (1 ao 6). Obs.: os PT so pontos temporrios.Ponto 1 2 3 4 5 PT#1 PT#2 PT#3 6 R (m) 1,259 Vante (m) Cota (m) 366,012

2,650 1,832 3,017 2,307 1,884 2,342 0,855 1,549

14. Utilizao das Medidas de um Levantamento Altimtrico As medidas, clculos e transportes de um nivelamento podem ser utilizados na: 14.1. Construo de Perfis Segundo GARCIA e PIEDADE (1984), o perfil a representao grfica do nivelamento e a sua determinao tem por finalidade: O estudo do relevo ou do seu modelado, atravs das curvas de nvel; A locao de rampas de determinada declividade para projetos de engenharia e arquitetura: edificaes, escadas, linhas de eletrificao rural, canais e encanamentos, estradas etc.; O estudo dos servios de terraplanagem (volumes de corte e aterro).Engenharia Civil 93


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O perfil de uma linha do terreno pode ser de dois tipos: Longitudinal: determinado ao longo do permetro de uma poligonal (aberta ou fechada), ou, ao longo do seu maior afastamento (somente poligonal fechada). Transversal: determinado ao longo de uma faixa do terreno e perpendicularmente ao longitudinal.

O levantamento de um perfil, para poligonais abertas ou fechadas, feito da seguinte forma: Toma-se o maior afastamento (fechada) ou o permetro (aberta) de uma poligonal e determina-se a linha principal a ser levantada. Faz-se o estaqueamento desta linha em intervalos de 5m, 10m ou 20m, com a ajuda de balizas e trena ou de teodolito. importante que as estacas sejam numeradas. Faz-se o levantamento altimtrico desta linha e determinam-se todos os seus desnveis. Determinam-se tambm as linhas transversais s estacas da linha principal com a ajuda de um teodolito. Se a linha longitudinal escolhida for o permetro da poligonal, deve-se traar, em cada estaca, a linha transversal segundo a bissetriz do ngulo horizontal naquele ponto. Faz-se o estaqueamento das linhas transversais com a mesma preciso da linha principal, ou seja, em intervalos de 5m, 10m ou 20m. Faz-se o levantamento destas linhas transversais e determinam-se todos os seus desnveis. Representam-se os valores dos desnveis obtidos e das distncias horizontais entre as estacas em um sistema de eixos ortogonais da seguinte forma:

a)No eixo x so lanadas todas as distncias horizontais entre as estacas (permetro da linha levantada) em escala apropriada. Ex.: 1:750. b)No eixo y so lanados todos os valores de cota/altitude das estacas levantadas tambm em escala apropriada. Ex.: 1:75 (escala em y 10 vezes maior que a escala em x) perfil elevado. 1:750 (escala em y igual escala em x) perfil natural. 1:1500 (escala em y 2 vezes menor que a escala em x) perfil rebaixado. Uma vez representadas as estacas no eixo x, estas devem ser unidas, atravs de linhas ortogonais, s suas respectivas cotas j representadas no eixo y. Desta forma, cada interseo de duas linhas ortogonais (x e y) dar como resultado um ponto definidor do perfil. O desenho final do perfil dever compor uma linha que une todos os seus pontos definidores.Engenharia Civil 94


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14.2. Determinao da Declividade entre Pontos Segundo GARCIA e PIEDADE (1984), a declividade ou gradiente entre pontos do terreno a relao entre a distncia vertical e horizontal entre eles. Em porcentagem, a declividade dada por:d(%) = DN .100 DH

Em valores angulares, a declividade dada por: DN d = arc.tg DH Segundo os mesmos autores acima, as declividades classificam-se em:Classe A B C D E F Declividade % < 03 03 a 06 06 a 12 12 a 20 20 a 40 > 40 Declividade < 01.7 01.7 a 03.4 03.4 a 06.8 06.8 a 11.3 11.3 a 21.8 > 21.8 Interpretao Fraca Moderada Moderada a Forte Forte Muito Forte Extremamente Forte

14.3. Exerccios 1.Dados os valores abaixo, construir um perfil longitudinal com Ex = 1:1000 e Ey = 1:100, sabendo-se que as estacas foram cravadas de 20m em 20m.Estaca 0 1 2 2+8,60m Cota 100,00m 101,60m 102,30m 103,00m Estaca 3 4 4+12,4 5 Cota 103,50m 103,20m 102,50m 102,90m

2.Em relao ao exerccio anterior, determinar a declividade das rampas que ligam: a) a estaca 2 estaca 3; b) a estaca 4 estaca 5. 3.Em relao ao exerccio anterior, determine a cota de uma estaca situada a 15,80m da estaca 1.

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4.Determine a declividade entre dois pontos, em porcentagem e em valores angulares, sabendo-se que a cota do primeiro ponto 471,37m e a cota do segundo ponto 476,77m. A distncia horizontal entre eles de 337,25m. 5.Qual deve ser a cota de um ponto B, distante 150m de um ponto A, sabendo-se que o gradiente entre eles de 2,5%. 14.4. Gerao de Curvas de Nvel Como ilustrado na figura a seguir, as curvas de nvel ou isolinhas so linhas curvas fechadas formadas a partir da interseo de vrios planos horizontais com a superfcie do terreno. Cada uma destas linhas, pertencendo a um mesmo plano horizontal tem, evidentemente, todos os seus pontos situados na mesma cota altimtrica, ou seja, todos os pontos esto no mesmo nvel.

Os planos horizontais de interseo so sempre paralelos e eqidistantes e a distncia entre um plano e outro denomina-se Eqidistncia Vertical. Segundo DOMINGUES (1979), a eqidistncia vertical das curvas de nvel varia com a escala da planta e recomendam-se os valores da tabela abaixo.Escala 1:500 1:1000 1:2000 1:10000 1:25000 1:50000Engenharia Civil

Eqidistncia 0,5m 1,0m 2,0m 10,0m 10,0m 25,0m

Escala 1:100000 1:200000 1:250000 1:500000 1:1000000 1:10000000

Eqidistncia 50,0m 100,0m 100,0m 200,0m 200,0m 500,0m96


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14.4.1. Caractersticas das Curvas de Nvel As curvas de nvel, segundo o seu traado, so classificadas em:

mestras: todas as curvas mltiplas de 5 ou 10 metros. intermedirias: todas as curvas mltiplas da eqidistncia vertical, excluindo-se as mestras. meia-eqidistncia: utilizadas na densificao de terrenos muito planos. A figura a seguir (DOMINGUES, 1979) ilustra parte de uma planta altimtrica com curvas de nvel mestras e intermedirias.

Todas as curvas so representadas em tons de marrom ou spia (plantas coloridas) e preto (plantas monocromticas). As curvas mestras so representadas por traos mais espessos e so todas cotadas. Como mostra a figura a seguir (GARCIA, 1984), curvas muito afastadas representam terrenos planos.

Da mesma forma, a figura a seguir (GARCIA, 1984) mostra que curvas muito prximas representam terrenos acidentados.Engenharia Civil 97


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Como indicado na figura a seguir, a maior declividade (d%) do terreno ocorre no local onde as curvas de nvel so mais prximas e vice-versa.

Para o traado das curvas de nvel os pontos notveis do terreno (aqueles que melhor caracterizam o relevo) devem ser levantados altimetricamente. a partir destes pontos que se interpolam, grfica ou numericamente, os pontos definidores das curvas. Em terrenos naturais (no modificados pelo homem) as curvas tendem a um paralelismo e so isentas de ngulos vivos e quebras.

14.4.2. Normas para o Desenho das Curvas de Nvel

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Duas curvas de nvel jamais devem se cruzar. Figura de GARCIA e PIEDADE (1984).

Duas ou mais curvas de nvel jamais podero convergir para formar uma curva nica, com exceo das paredes verticais de rocha. Figura de GARCIA e PIEDADE (1984).

Uma curva de nvel inicia e termina no mesmo ponto, portanto, ela no pode surgir do nada e desaparecer repentinamente. Figura de GARCIA e PIEDADE (1984).

Uma curva pode compreender outra, mas nunca ela mesma. Nos cumes e nas depresses o relevo representado por pontos cotados.

14.4.3. O Modelado Terrestre Segundo ESPARTEL (1987), o modelado terrestre (superfcie do terreno), tal qual se apresenta atualmente, teve origem nos contnuos deslocamentos da crosta terrestre (devidos ao de causas internas) e na influncia dos diversos fenmenos externos (tais como chuvas, vento, calor solar, frio intenso) que com a sua ao mecnica e qumica, alteraram a superfcie estrutural original transformando-a em uma superfcie escultural. Para compreender melhor as feies (acidentes geogrficos) que o terreno apresenta e como as curvas de nvel se comportam em relao s mesmas, algumas definies geogrficas do terreno so necessrias. So elas:Engenharia Civil 99


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Colo: quebrada ou garganta, o ponto onde as linhas de talvegue (normalmente duas) e de divisores de guas (normalmente dois) se curvam fortemente mudando de sentido. Contraforte: so salincias do terreno que se destacam da serra principal (cordilheira) formando os vales secundrios ou laterais. Destes partem ramificaes ou salincias denominadas espiges e a eles correspondem os vales tercirios. Cume: cimo ou crista, a ponto mais elevado de uma montanha. Linha de Aguada: ou talvegue, a linha representativa do fundo dos rios, crregos ou cursos dgua. Linha de Crista: cumeada ou divisor de guas, a linha que une os pontos mais altos de uma elevao dividindo as guas da chuva. Serra: cadeia de montanhas de forma muito alongada donde partem os contrafortes. Vertente: flanco, encosta ou escarpa, a superfcie inclinada que vem do cimo at a base das montanhas. Pode ser esquerda ou direita de um vale, ou seja, a que fica mo esquerda e direita respectivamente do observador colocado de frente para a foz do curso dgua. As vertentes, por sua vez, no so superfcies planas, mas sulcadas de depresses que formam os vales secundrios.

14.4.4. As Curvas de Nvel e os Principais Acidentes Geogrficos Naturais Depresso e Elevao: como na figura a seguir (GARCIA, 1984), so superfcies nas quais as curvas de nvel de maior valor envolvem as de menor no caso das depresses e vice-versa para as elevaes.

Colina, Monte e Morro: segundo ESPARTEL (1987), a primeira uma elevao suave, alongada, coberta de vegetao e com altura entre 200 a 400m. A segunda uma elevao de forma varivel, abrupta, normalmente sem vegetao na parte superior e com altura entre 200 a 300m. A terceira uma elevao semelhante ao monte, porm, com altura entre 100 e 200m. Todas aparecem isoladas sobre o terreno.Engenharia Civil 100


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Espigo: constitui-se numa elevao alongada que tem sua origem em um contraforte. Figura de DOMINGUES (1979).

Corredor: faixa de terreno entre duas elevaes de grande extenso. Figura de GARCIA e PIEDADE (1984).

Talvegue: linha de encontro de duas vertentes opostas (pela base) e segundo a qual as guas tendem a se acumular formando os rios ou cursos dgua. Figura de DOMINGUES (1979).

Vale: superfcie cncava formada pela reunio de duas vertentes opostas (pela base). Segundo DOMINGUES (1979) e conforme figura abaixo, podem ser de fundo cncavo, de fundo de ravina ou de fundo chato. Neste, as curvas de nvel de maior valor envolvem as de menor.Engenharia Civil 101


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Divisor de guas: linha formada pelo encontro de duas vertentes opostas (pelos cumes) e segundo a qual as guas se dividem para uma e outra destas vertentes. Figura de DOMINGUES (1979).

Dorso: superfcie convexa formada pela reunio de duas vertentes opostas (pelos cumes). Segundo ESPARTEL (1987) e conforme figura abaixo, podem ser alongados, planos ou arredondados. Neste, as curvas de nvel de menor valor envolvem as de maior.

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O talvegue est associado ao vale enquanto o divisor de guas est associado ao dorso.

14.4.5. Leis do Modelado Terrestre Segundo ESPARTEL (1987), cincia que estuda as formas exteriores da superfcie da Terra e as leis que regem o seu modelado d-se o nome de Topologia. Por serem as guas (em qualquer estado: slido, lquido e gasoso) as grandes responsveis pela atual conformao da superfcie terrestre, necessrio que se conheam algumas das leis que regem a sua evoluo e dinmica, de forma a compreender melhor a sua estreita relao com o terreno e a maneira como este se apresenta. Leis:1a. Lei: Qualquer curso dgua est compreendido entre duas elevaes cujas linhas de crista vo se afastando medida que o declive da linha de aguada vai diminuindo. 2a. Lei: Quando dois cursos dgua se encontram, a linha de crista que os separa est sensivelmente orientada no prolongamento do curso dgua resultante. 3a. Lei: Se dois cursos dgua descem paralelamente uma encosta e tomam depois direes opostas, as linhas que separam os cotovelos indicam a depresso mais profunda entre as vertentes. 4a. Lei: Se alguns cursos dgua partem dos arredores de um mesmo ponto e seguem direes diversas, h, ordinariamente, na sua origem comum, um ponto culminante. 5a. Lei: Se duas nascentes ficam de um lado e de outro de uma elevao, existe um cume na parte correspondente da linha de crista que as separa. 6a. Lei: Em uma zona regularmente modelada, uma linha de crista se baixa quando dois cursos dgua se aproximam e vice-versa. Ao mximo afastamento corresponde um cume, ao mnimo, um colo. 7a. Lei: Em relao a dois cursos dgua que correm em nveis diferentes, pode-se afirmar que a linha de crista principal que os separa aproxima-se, sensivelmente, do mais elevado. 8a. Lei: Sempre que uma linha de crista muda de direo lana um contraforte na direo de sua bissetriz. Este contraforte pode ser pequeno, mas sempre existente. 9a. Lei: Quando dois cursos dgua vizinhos nascem do mesmo lado de uma encosta um contraforte ou uma garupa se lana entre os dois e os separa. Na

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interseo da linha de crista desse contraforte com a linha de crista principal existe um ponto culminante.10a. Lei: Se um curso dgua se divide em muitos ramos sinuosos e forma ilhas irregulares, pode-se concluir que o vale largo e a linha de aguada tem pouca inclinao. Se, ao contrrio, existe um nico canal, pode-se concluir que o vale estreito e profundo e a linha de aguada bastante inclinada.

14.4.6. Obteno das Curvas de Nvel Segundo GARCIA e PIEDADE (1984), aps o levantamento planimtrico do terreno pode-se empregar um dos trs mtodos abaixo para a obteno das curvas de nvel: a)Quadriculao o mais preciso dos mtodos. Tambm o mais demorado e dispendioso. Recomendado para pequenas reas. Consiste em quadricular o terreno (com piquetes) e nivel-lo. A quadriculao feita com a ajuda de um teodolito/estao (para marcar as direes perpendiculares) e da trena/estao (para marcar as distncias entre os piquetes). O valor do lado do quadriltero escolhido em funo: da sinuosidade da superfcie; das dimenses do terreno; da preciso requerida; e do comprimento da trena. No escritrio, as quadrculas so lanadas em escala apropriada, os pontos de cota inteira so interpolados e as curvas de nvel so traadas.

b)Irradiao Taqueomtrica Mtodo recomendado para reas grandes e relativamente planas. Consiste em levantar poligonais maiores (principais) e menores (secundrias) interligadas. Todas as poligonais devem ser niveladas. Das poligonais (principal e secundrias) irradiam-se os pontos notveis do terreno, nivelando-os e determinando a sua posio atravs de ngulos e de distncias horizontais. Esta irradiao feita com o auxlio de um teodolito e trena ou de estao total. No escritrio, as poligonais so calculadas e desenhadas, os pontos irradiados so locados e interpolados e as curvas de nvel so traadas.

c)Sees TransversaisEngenharia Civil 104


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Mtodo utilizado na obteno de curvas de nvel em faixas, ou seja, em terrenos estreitos e longos. Consiste em implantar e levantar planialtimetricamente os pontos definidores das linhas transversais linha longitudinal definida por uma poligonal aberta. No escritrio, a poligonal aberta e as linhas transversais so determinadas e desenhadas, os pontos de cada seo so interpolados e as curvas de nvel so traadas.

14.4.7. Interpolao Segundo BORGES (1992) a interpolao das curvas de nvel pode ser grfica ou numrica. a)Interpolao Grfica Consiste em determinar, entre dois pontos de cotas fracionrias, o ponto de cota cheia ou inteira e mltiplo da eqidistncia vertical. Sejam, portanto, dois pontos A e B de cotas conhecidas e cuja distncia horizontal tambm se conhece. O mtodo consiste em traar perpendiculares ao alinhamento AB, pelo ponto A e pelo ponto B respectivamente. Sobre estas perpendiculares lanam-se: o valor que excede a cota inteira (sentido positivo do eixo, pelo ponto A ou B, aquele de maior cota); e o valor que falta para completar a cota inteira (sentido negativo do eixo, pelo ponto A ou B, aquele de menor cota). Este lanamento pode ser feito em qualquer escala. Os valores lanados sobre as perpendiculares por A e B resultam nos pontos C e D, que determinam uma linha. A interseo desta linha (CD) com o alinhamento (AB) o ponto de cota inteira procurado. Ex.: seja c(A) = 12,6m, c(B) = 13,7m e DHAB = 20,0m. Determine o ponto de cota inteira entre A e B e sua localizao.

b)Interpolao Numrica O mtodo consiste em determinar os pontos de cota inteira e mltiplos da eqidistncia vertical por semelhana de tringulos: Pela figura abaixo (BORGES, 1992), pode-se deduzir que:

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AEAB assim como AC(AC + BD) portanto AE = AC. AB ( AC + BD)

Para o exemplo do mtodo anterior, AE calculado pela relao acima corresponde a 7,27m. Isto eqivale ao resultado obtido graficamente.

14.4.8. Classificao do Relevo De posse da planta planialtimtrica de um terreno ou regio possvel, segundo GARCIA e PIEDADE (1984), analisar e classificar o relevo da seguinte forma:Classificao Plano Ondulado Movimentado Acidentado Montuoso Montanhoso Relevo Com desnveis prximos de zero Com desnveis 20m Com elevaes entre 20 e 50m Com elevaes entre 50 e 100m Com elevaes entre 100 e 1000m Com elevaes superiores a 1000m

14.4.9. Tipos de Cartas As plantas planialtimtricas de uma regio, segundo ESPARTEL (1987) podem ser classificadas como: Hipsomtricas ou Geogrficas: constituindo todo o conjunto de plantas, cartas e mapas planialtimtricos. Batimtricas ou Nuticas: constituindo todas as plantas, cartas e mapas cuja finalidade representar o relevo marinho. Estes produtos no possuem curvas de nvel, apenas pontos e linhas de profundidade. A profundidade dos pontos e linhas representados obtida atravs de ecobatmetros, atualmente, interligados a GPS de preciso e, portanto, por processos diferenciados das curvas de nvel tradicionais.

14.5. Exerccios 1.Determine os pontos de cota inteira para o terreno da figura abaixo, levantado pelo mtodo da quadriculao. Interpole e desenhe as curvas de nvel com eqidistncia vertical de 1m. As estacas esto cravadas em intervalos regulares de 20m.

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2.Seja uma poro de terreno correspondente a uma vertente isolada de um vale da qual foram determinadas, por nivelamento trigonomtrico, as cotas dos pontos A (37,0m), B (28,5m), C (26,6m), D (6,0m) e E (17,5m). Sabendo-se que as distncias AC, AE, ED, AB, CD e DB correspondem a 75m, 40m, 35m, 70m, 37.5m e 37.5m; interpolar os pontos de cota inteira com eqidistncia vertical de 5m e traar as curvas de nvel correspondentes.

15. PlanialtimetriaEngenharia Civil 107


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a representao das informaes planimtricas e altimtricas, obtidas dos levantamentos j descritos anteriormente, em uma nica planta, carta ou mapa. A finalidade da planta planialtimtrica fornecer o maior nmero possvel de informaes da superfcie representada para efeitos de estudo, planejamento e viabilizao de projetos. Como j foi visto, a planimetria permite representar os acidentes geogrficos (naturais ou artificiais) do terreno em funo de suas coordenadas planas (x, y). A altimetria, por sua vez, fornece um elemento a mais, que a coordenada (z) de pontos isolados do terreno (pontos cotados) ou de planos horizontais de interseo com o terreno (curvas de nvel). Segundo GARCIA e PIEDADE (1984), a planta planialtimtrica utilizada para: x Escolha do melhor traado e locao de estradas (ferrovias ou rodovias) Atravs da planta pode-se determinar: Declividade mxima das rampas Mnimo de curvas necessrio Movimentao de terra (volumes de corte e aterro) Locais sujeitos a inundao Necessidade de obras especiais (pontes, viadutos, tneis...)

y Linhas de transmisso: energia Atravs da planta faz-se o estudo: Direo e largura da faixa de domnio da linha (perfis longitudinal e transversais) reas de desapropriao Melhores locais para instalao de torres, postes, centrais de distribuio, ... z Dutos em geral: leo, gs, gua, esgoto, produtos qumicos, etc. Atravs da planta possvel: Estudar o relevo para a idealizao do projeto (perfis, declividades, etc.) Determinar pontos onde necessria a utilizao de bombas para reconduo do escoamento { Servios de terraplanagem Atravs da planta possvel: Estudar o relevo para fins de planificao Determinar os volumes de corte e aterro necessrios construo de casas, edifcios, sedes de fazenda, silos, ... Retificar as curvas de nvel segundo os projetos idealizados

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| Construo de audes, barragens e usinas Atravs da planta possvel: Determinar a rea a ser ocupada pela gua e o volume que ser armazenado Projetar o desvio provisrio de cursos dgua ou rios Realizar o estudo de impactos ambientais (fauna e flora) } Planejamento do uso da terra Atravs da planta possvel: Estudar e classificar os tipos de solos Organizar o plantio por curvas de nvel Prevenir a eroso Realizar estudos e idealizar projetos de irrigao (a partir de fontes naturais) e em funo do tipo do terreno (plano, ondulado ...) Determinar a economia mais apropriada para a regio (criao de gado, plantio de arroz, cultura de caf, soja ou milho) Preservar reas de interesse ecolgico e ambiental

Planejamento urbano Atravs da planta possvel: Estudar e planejar a direo das vias (insolao, acesso, etc.) Estudar e planejar reas industriais (controle da poluio e de resduos) Estudar e planejar reas comerciais Estudar e planejar reas residenciais (altura das edificaes, afastamento das vias, insolao, etc.) Estudar e planejar reas de lazer e recreao (parques, jardins, praas, museus, centros histricos, etc.) Estudar e planejar a distribuio de escolas, hospitais, postos de sade, etc. Estudar e planejar o trfego Estudar e planejar o transporte coletivo e o recolhimento do lixo

Peritagem. Atravs da planta possvel, inclusive: Avaliar juridicamente a propriedade, estimando preo de venda e valores de tributao 16. Avaliao de reas de Figuras Planas Como descrito acima, de posse da planta, carta ou mapa, o engenheiro pode dar incio aos estudos que antecedem s fases de planejamento e viabilizao de diversos projetos.

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A avaliao de reas de figuras planas faz parte deste estudo preliminar e tem como objetivo informar ao engenheiro quais as reas aproximadas envolvidas por um determinado projeto. Os mtodos de avaliao de reas de figuras planas so muitos. A seguir, encontram-se os principais. 16.1. Mtodo de Equivalncias Grficas Segundo ESPARTEL (1987), so muitos os mtodos que permitem, atravs de equivalncias grficas, determinar a rea de uma figura plana. Os principais so: 16.1.1. Mtodo da Decomposio Este mtodo utilizado na determinao da rea aproximada de uma figura qualquer de lados retilneos, delimitada sobre o papel e em qualquer escala. O mtodo consiste em decompor a figura original em figuras geomtricas conhecidas (tringulos, retngulos, trapzios, quadrados) e, uma vez determinada a rea de todas as figuras decompostas separadamente (atravs de frmulas elementares), a rea da figura original ser dada pelo somatrio das reas parciais. A figura a seguir (DOMINGUES, 1979) ilustra a decomposio de uma figura irregular em quatro figuras geomtricas conhecidas (trs tringulos e um trapzio) cujas reas podem ser calculadas pelas seguintes frmulas elementares:S1 = ( AG . h1 ) ( BF. h 2 ) ( BF. h 3 ) S2 = S3 = 2 2 2S4 = ( CD + FE ) 2 . h4

16.1.2. Mtodo dos TrapziosEngenharia Civil 110


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O mtodo dos Trapzios ou de Bezout utilizado na avaliao de reas ditas extrapoligonais, ou seja, aquelas que representam figuras decompostas de lados irregulares ou curvos (delimitados por uma estrada, rio, lago, etc.). Como mostra a figura a seguir (DOMINGUES, 1979), o mtodo consiste em dividir a figura decomposta em vrios trapzios de alturas (h) iguais.

Para a referida figura, a rea ser dada pela relao:

b S = E + bI . h 2 onde,

bE = b1 + bn (soma das bases externas: trapzios extremos)e

bI = b2 + ... + bn-1 (soma das bases internas)Nestes casos, a preciso da rea obtida tanto maior quanto menor for o valor de (h). 16.1.3. Mtodo do Gabarito Para uma avaliao rpida e eficiente de reas de figuras quaisquer (irregulares ou no) costuma-se utilizar gabaritos. Os gabaritos so normalmente construdos sobre superfcies plsticas transparentes, vidro ou papel. Para a avaliao de reas, dois tipos de gabaritos podem ser utilizados. So eles: 16.1.3.1. Por Faixas

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Este um gabarito que consiste de linhas horizontais traadas a intervalos regulares, ou seja, espaadas entre si de um mesmo valor gerando vrias faixas consecutivas. Assim, para a determinao da rea de uma figura basta posicionar o gabarito sobre a mesma e, com o auxlio de uma mesa de luz e uma rgua, medir o comprimento das linhas que interceptam os seus limites. A figura a seguir ilustra os comprimentos medidos com rgua referentes s linhas do gabarito que interceptaram o permetro de uma determinada figura traada sobre um mapa.

A rea desta figura funo do espaamento entre as linhas (h) e do comprimento das mesmas ao interceptar os limites da figura (b). Assim, para um nmero n de linhas medido:

S = h.b ipara i = 1, 2, ... , n Como para o mtodo anterior, a preciso da rea obtida tanto maior quanto menor for o valor de (h). 16.1.3.2. Quadrculas Este um gabarito que consiste de linhas horizontais e verticais traadas a intervalos regulares gerando um conjunto de quadrculas. Assim como para o mtodo anterior, a medida da rea de uma figura determinada posicionando-se o gabarito sobre a figura e, com o auxlio de uma mesa de luz, contar o nmero de quadrculas contidas pela mesma.

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A figura a seguir ilustra o conjunto de quadrculas contidas em uma figura traada sobre um mapa.

A rea da figura funo da rea da quadrcula base (sQ) e do nmero de quadrculas envolvidas (Qn).

S =s Q .Q nA preciso da rea obtida por este mtodo tanto maior quanto menor for a rea da quadrcula. 16.2. Mtodo Mecnico ou Eletrnico O mtodo dito mecnico ou eletrnico quando, para a avaliao da rea, utilizam-se aparelhos mecnicos ou eletrnicos. 16.2.1. Planmetro Polar O planmetro um aparelho que consiste de duas hastes articuladas, um plo, um traador e um tambor. Pela figura a seguir possvel visualizar que:

Na extremidade da primeira haste encontra-se uma ponta seca presa a um peso, denominada plo, utilizada para a fixao da prpria haste. Na extremidade da segunda haste h uma lente cujo centro marcado por um ponto ou cruzeta, denominada traador. Na articulao das duas hastes encontra-se um tambor graduado conectado a um contador de voltas. A este conjunto denomina-se integrante.

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A diferena do aparelho mecnico para o eletrnico est justamente no integrante. Para o aparelho mecnico, h necessidade de ler o nmero de voltas que o aparelho deu ao percorrer o permetro de uma determinada figura e, em funo da escala da planta, calcular a rea atravs de uma relao matemtica. O aparelho eletrnico, por sua vez, permite a entrada da escala da planta (atravs de digitao) e a escolha da unidade a ser trabalhada. Assim, ao terminar de percorrer a figura, este exibe, automaticamente, o valor da rea num visor de LCD (cristal lquido). Como na figura a seguir (ESPARTEL, 1987), a utilizao do planmetro se faz: Sempre em superfcie plana. O plo deve ser fixado dentro ou fora da figura a medir, dependendo do seu tamanho. As hastes devem ser dispostas de maneira a formar um ngulo reto entre si, assim, possvel verificar se o traador contornar a figura facilmente. Escolhe-se um ponto de partida para as medies. O aparelho deve ser zerado neste ponto. Percorre-se o contorno da figura com o traador, no sentido horrio, voltando ao ponto de partida. Faz-se a leitura do tambor (aparelho mecnico), ou, a leitura no visor (aparelho eletrnico).Engenharia Civil 114


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Para a avaliao final da rea, toma-se sempre a mdia de (no mnimo) trs leituras com o planmetro.

16.2.2. Balana de Preciso Este mtodo avalia a rea de uma figura em funo do seu peso. Para tanto, necessrio que se tenha disposio uma balana de preciso (leitura entre o 0,01 e 0,001g). O mtodo consiste em tomar como amostra uma figura cuja rea seja conhecida e que esteja representada sobre papel cuja gramatura seja a mesma da figura que se quer avaliar. Assim, para a avaliao da rea de uma figura qualquer preciso:

Desenhar uma figura geomtrica conhecida (quadrado, retngulo, tringulo, trapzio) em determinado tipo de papel. Recortar esta figura de rea (sA) conhecida e pes-la (pA). Transcrever os limites da figura a ser avaliada para o mesmo tipo de papel (utilizando mesa de luz). Recortar esta figura de rea (S) desconhecida e pes-la (P).A rea da figura que ser quer avaliar poder, ento, ser facilmente obtida atravs de uma regra de trs simples, ou, atravs da seguinte relao:

s S = A .P pA

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16.3. Mtodo Analtico Segundo DOMINGUES (1979) a rea de uma superfcie plana limitada por uma poligonal fechada pode ser determinada analiticamente quando se conhecem as coordenadas ortogonais dos seus vrtices. Dos mtodos analticos conhecidos, sem dvida, o mais empregado para a avaliao de reas de figuras planas o de Gauss. 16.3.1. Mtodo de Gauss Como na figura abaixo, consiste em, dadas as coordenadas (X,Y) de pontos de uma figura fechada qualquer, determinar a rea desta figura seguindo os seguintes critrios:

As coordenadas do ponto de partida e de chegada devem ser as mesmas X1 = Xn e Y1 = Yn. Percorrendo a poligonal no sentido horrio, somam-se as ordenadas (Y) dos pontos, aos pares, ou seja, de duas em duas. Na seqncia, porm em sentido contrrio, subtraem-se as abcissas (X) dos pontos, tambm aos pares. Os resultados de cada soma e subtrao, para um mesmo ponto, so multiplicados entre si (Y.X). Somam-se, algebricamente, todos os produtos encontrados ((Y . X)). A rea final dada pela seguinte relao:

2S =

1 (Yi +1 + Yi )( Xi +1 Xi )

n

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16.4. Exerccios 1.Determine a rea total de uma figura qualquer, em cm, sabendo-se que esta foi dividida em duas figuras geomtricas conhecidas. So elas: trapzio base maior(b) = 23,5cm; base menor(a) = 15,7cm; altura(h) = 5,3cm tringulo qualquer lado(a) = 6,6cm; lado(b) = 5,3cm; lado(c) = 8,3cm 2.Determine a rea de uma figura, pelo mtodo de Gauss, sabendo que a mesma definida por seis pontos cujas coordenadas so:

Ponto 1 2 3 4 5 6

X 100mm 223mm 304mm 128mm 002mm -41mm

Y 100mm 167mm 017mm -79mm -56mm 023mm

Considerando que esta figura est delimitada sobre uma planta na escala 1:2.000, determine o valor da sua rea real (m). 3.Qual seria o valor da rea de uma figura de 1,83g de peso sabendo-se que uma amostra de 10cm x 15cm, no mesmo tipo de papel, tem peso igual a 0,76g? 4.Calcule a rea de uma poligonal triangular a partir dos dados relacionados abaixo. DH(AB) = 100,320m Hz(CAB) = 6610' Hz(CBA) = 4142'

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