Analiza Matematyczna[wersja z 14 X 2009]
2
Wstp
3
•
Newton i Gottfried
•
•
4
5 Obserwacja komety przez jaki
czas pozwala przewidzie
6
przewidywania zachowania globalnego z zachowania lokalnego (ruch planet, przeduenie analityczne)
•
brak cigoci, szorstko, brak moliwoci dokadnego przewidywania
•
•
•
do rozwizania!
Podstawowy wykad!
•
konwersatoriach •
•
•
W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1976 •
•
•
•
R. B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa, 2005 (logika)
•
filozofii)
•
(KK) K. Kaczkow, M. Kurczab, E. wida, Matematyka, podr. do liceów i techników, Oficyna Edukacyjna * K. Pazdro, Warszawa, 2002 –
samodzielna
10
Alfabet greckiΑ α
alfa Β β beta Γ γ gamma Δ δ delta Ε ε e epsilon Ζ ζ zeta Η η
eta
jota
Κ κ kappa Λ λ lambda Μ μ mi Ν ν ni Ξ ξ ksi
Ο ο omikron Π π ϖ pi Ρ ρ ro Σ σ ς sigma Τ τ
tau
-
–
z pomoc
rozumowania logicznego
punkt, prosta, paszczyzna (poj. pierwotne)
- Pity postulat: przez punkt lecy poza prost
p przechodzi dokadnie jedna prosta nie majca punktów wspólnych z p
- okrg to zbiór wszystkich punktów odlegych od punktu A (rodek) o promie
r > 0 (definicja)
- prosta przechodzca przez rodek okrgu dzieli go na dwie równe czci (twierdzenie) -
ten oczywisty fakt wymaga dowodu!
Gdzie
12
teorii od
przyjtych postulatów)
geometrie nieeuklidesowe
14
dowód
przeformuowanie
Przykad Przesanki: liczba 2 jest podzielna przez 2, 12 te, 92 te, ... Hipoteza: kada liczba koczca si
cyfr
cyfr
2 na posta 10*q+2=2(5q+1), co dzieli si
przez 2 (q.e.d.)
(hipoteza staje si
cyfr
Kontrprzykad: c=4 nie dzieli liczby 14
Logika
16
Rachunek zda Zdanie logiczne jest to zdanie gramatyczne, o którym mona (w zasadzie) powiedzie, e jest prawdziwe (warto
1 lub T -
sernik, 7 jest liczb
pierwsz, jestem kielczaninem, d/dx sin(x)=cos(x), 2=1, obecna temperatura powietrza na zewntrz jest midzy 20 a 22 st. C
Zdania, które nie s
zdaniami logicznymi: 1) id
deszcz, 3) Kreteczyk mówi, e tak, jak wszyscy
Kreteczycy, kamie
Funktory zdaniotwórcze
–
równowano
Albo jestem kielczaninem albo jestem krakowianinem (alternatywa wykluczajca) Jeli pada deszcz, to na niebie s
chmury (implikacja)
deszcz, jest zachmurzone niebo.
Warunkiem dostatecznym, aby stwierdzi, e na niebie s
chmury, jest padanie deszczu. Jestem penoletni wtedy i tylko wtedy, gdy mam ponad 18 lat
(równowano) Warunkiem koniecznym i dostatecznym
penoletnioci jest wiek 18 lat.
Zdanie odwrotne
(Jeli na niebie nie ma chmur, to nie pada deszcz)
Zdanie przeciwstawne jest równowane wyjciowej implikacji. Nie jest tak dla zdania odwrotnego!
18
Uwagi: Alternatywa jest prawdziwa, jeli zachodzi jeden z dwóch warunków, lub jeden i drugi warunek jednoczenie.
Implikacja jest prawdziwa w nastpujcych przypadkach: -
z prawdy wynika prawda (to jest oczywiste)
- z faszu wynika fasz (te
rozsdnie) - z faszu wynika prawda (co nie jest oczywiste)
W literaturze jest tu wiele mylcych stwierdze, wic uwaga! Sprawa jest bardzo prosta. Konstrukcja implikacji logicznej jest tak dobrana, e faszywe zaoenie nie rozstrzyga
o tym, co si
„bezuyteczne”. Moe ze
zdarzy. Przykad: „Jeli bdziesz grzeczny, ogldniesz dobranock”, co
oznacza, e jeli rzeczywicie bdziesz grzeczny, to ogldniesz, natomiast jeli nie bdziesz grzeczny, to ogldniesz, lub nie! Przyrzeczenie o niczym tu nie rozstrzyga. Oczywicie, jeli bdziesz grzeczny, a ja nie pozwol
Ci ogldn
implikacja jest faszywa!
i równowano
20
zdanie zoone, które jest zawsze prawdziwe, bez wzgldu na warto
logiczn
zda
skadowych
Przykad stosowania matryc logicznych: prawa
de Morgana, kontrapozycji, podwójnego przeczenia,
(RR, str. 14)
zdanie zawsze faszywe
(istnieje liczba rzeczywista x, dla której x > 2 i x < 1)
Prawa rachunku zda
posta
implikacji Twierdzenie: zaoenie teza Dowód polega na wykazaniu, e z zaoenia wynika w sposób logiczny teza. W rozumowaniu wykorzystuje si
dotychczasow
wiedz
(zdania
Przykady: 1. Tw. dowiedzione wprost
Z: Jeli liczna naturalna n jest podzielna przez 2, T: to n2 jest podzielne przez 2 D: Skoro n jest podzielne przez 2, to moemy je zapisa
jako 2m, gdzie m
jest liczb
naturaln, wobec czego n2 = 4 m2 = 2(2 m2), co w oczywisty sposób jest podzielne przez 2 (q.e.d.) [c.b.d.o, kwadracik , trzy kropki ]∴
26
2. Tw. odwrotne: Z: Jeli kwadrat liczby naturalnej jest podzielny przez 2 T: to ta liczba jest podzielna przez 2
D (wprost):
p2 ...pj
z pk
jest równa 2, a wic n jest podzielne przez 2 (q.e.d.) (n.p. 154=2 7 11, wic 1542=2272112. W tym przypadku p1
=2, p2
=7, p3
Zaómy, e n nie dzieli si
przez 2. Wówczas rozkad n nie zawiera czynnika 2, wobec czego n2
nie zawiera
przez 2, co jest sprzeczne z zaoeniem (q.e.d.)
D (nie wprost):
nieparzyst, to n2 jest liczb
nieparzyst. Rozkad n nie zawiera czynnika 2, wic n2 te
nie zawiera
czynnika 2.
Poniewa
zachodzi tw. i tw. odwrotne (tw. zachodzi w dwie strony) , zatem zdania n jest podzielne przez 2 i n2 jest podzielne przez 2 s
równowane.
27
wyrazi
w postaci uamka (czyli nie jest liczb wymiern) D (przez sprzeczno):
Zaómy, e , gdzie liczby naturalne m i n nie
maj
jest parzyste, a wic (poprzednie twierdzenie)
m jest parzyste, czyli m=2k, gdzie k jest pewn
liczb
naturaln. Mamy zatem 2n2=4k2, czyli n2=2k2, zatem n jest parzyste. Poniewa
m i n s
x = 2 x –
28
5. Inne czste faszywe rozumowanie: niesuszne zaoenie, czsto w bardzo zawoalowany sposób, tego, co chcemy udowodni.
Z: Poniewa
studenci siedz
na sali, T: to ten wykad jest ciekawy D: Poniewa
studenci przyszli na ten wykad, a studenci chodz
na wykad
wtedy i tylko wtedy, gdy wykad jest ciekawy, a wic ten wykad jest ciekawy.
Dowód równowanoci -
Wiles, 1993)
Dowody komputerowe:
ksiki telefonicznej!
Tw. Goedla:
zdania, których prawdziwoci bd
dowie
29Przykad rachunku formalnego (M)
- x naley do A
Diagramy Eulera (Venna) Zawieranie, równo
zbiorów
Zbiór pusty i zbiór peny (przestrze) Podzbiory, podzbiory waciwe Zbiory rozczne –
nie zawierajce wspólnych elementów
Operacje: suma, iloczyn (cz
wspólna, przecicie), rónica, rónica symetryczna, dopenienie Zbiory (rodziny) zbiorów, zbiór potgowy Prawa rachunku zbiorów, analogia do rachunku zda Nieskoczona (indeksowana) suma i iloczyn zbiorów, prawa de Morgana Aksjomaty teorii mnogoci, pewnik wyboru Analogia algebry zbiorów i logiki
31paradoks Russela
Funkcja zdaniowa f(x):
wyraenie zawierajce zmienne, które staje si zdaniem logicznym (T lub F), jeli za zmienne x podstawimy konkretne obiekty
Zbiór argumentów (dziedzina) Wykres funkcji zdaniowej
–
Przykad: Zwierz
(may): (Exists) istnieje x takie, e ...
Kolejno
kwantyfikatorów
duego i maego jest istotna
- (Dla kadego studenta w tej sali istnieje osoba, która jest jego matk, Istnieje osoba, która jest matk
dla kadego studenta w tej sali )
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów, rachunek kwantyfikatorów
( ) ( ) ( ) ( )
∀ ∈ ⇔ ∃ ∈
wg Kuratowskiego: (a,b)={{a},{a,b}}
–
Elementy bdce w relacji oznaczamy: xRy Dziedzina (X) i przeciwdziedzina
(Y) relacji
a u
b v
34
O relacjach na zbiorze X x X mówimy w skrócie „relacja na zbiorze X”
Przykad: X –
b
35
Relacja równoci, równowanoci (Z,S,P), porzdku (Z, AS, P), porzdku cisego (PZ,P).
Klasy abstrakcji
Klasy abstrakcji dziel
zbiór wszystkich prostych równolegych do prostej a (kierunek), liczby wymierne
36
B. wane wzory trygonometryczne: cos(α+β)=cos(a)cos(β)-sin(a)sin(β) sin(α+β)=sin(α)cos(β)+sin(β)cos(α)
Def: Niech relacja f okrelona na iloczynie kartezjaskim X x Y spenia warunek
Wtedy f nazywamy
(odwzorowaniem, przeksztaceniem), piszemy y=f(x) Innymi sowy, danemu x z dziedziny
funkcji, X=Df, przyporzdkowujemy jeden
element przeciwdziedziny, Y (jednoznaczno).
Zapis: f : X Y -
f ze zbioru X do Y, f przeprowadza X w Y
Przykad: Osobom przyporzdkowujemy ich rok urodzenia. Jest to funkcja, poniewa
jedna osoba moe mie
tylko jeden rok urodzenia.
zawiera si
w Y, ale nie musi mu by równy.
1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) x X y y Y y f x y f x y y∀ ∈ ∀ ∈ = ∧ = ⇒ =
37
Wykres
Jeli f(x1
injekcj
bijekcja
restrykcja
(obcicie) –
Dziaania na funkcjach: skadanie i odwracanie, równo
funkcji,
Funkcje liczbowe
przykady
na
1-1
38
lub
X
Y
f x x x
f y y y
x x y y
39
5ale dla x=2 mamy y= , 2
wic pozostaje pierwszy przypadek 1 5( ) 4 ; [2, ] 2 2 1 5( ) 4 ; [2, ] 2 2
f x x x
x x xy x
= + ∈
+ ⇒ − + = ⇒
= + −
∨ = − −
= + − ∈
= + − ∈
symetryczne wzgldem linii y=x)
Zbiór wartoci funkcji wyjciowej jest przeciwdziedzin
funkcji odwrotnej! W powyszym przykadzie f([1,2])=[2,3/2]=Df-1 (pokaz z kartk
papieru)
Koo trygonometryczne
Cyklometryczne
Gazie, ga
injekcj
kπ (k-niezerowa liczba cakowita), w wyniku czego otrzymujemy inne gazie
41
a
1
log
log
b
z z z
a b y b b b y yc a cx y x y a y y
c a
y a y a
1 2 1 2
2 2
y y y y
y yy a y a a y y y y
y a z R xz y y z y
+
−
= ⇒ + = ⇒
⇒ + =
= = = ⇒ − =
= ∈ ⇒ = ⇒ =
a=2, e, 10 (logarytm binarny, naturalny, dziesitny)
loge=ln=log
(w tym wykadzie)
Liczby naturalne, ={ ={1,2,3,4,5,6,7,...}
klasy zbiorów równolicznych
zdaniow
f(n).
domino)
0 0 0( ( ) n n : ( ) ( 1)) n n : ( )f n T f n f n f n T= ∧ ∀ ≥ ⇒ + ⇒ ∀ ≥ =
45
Tw. Dla zachodzi
D: Dla n=2 mamy (1+x)2=1+2x+x2>1+2x.
(1+x)n+1 = (1+x)n(1+x) > (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx2 > 1+(n+1)x
(schemat tego typu dowodów: piszemy lew
stron
= x xn
dla wszystkich naturalnych n
46
Symbol Newtona:
Dwumian Newtona:
= −
k −
(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
+b3
a b∀ ∃
Dziaanie dwuargumentowe
na zbiorze X to odwzorowanie f : X x X X (parze przyporzdkowany jest element zbioru)
Ciaem nazywamy zbiór X zawierajcy co najmniej 2 elementy, 0 i 1, w którym okrelone s
dziaania + (dodawanie) i * (mnoenie) speniajce warunki:
1.
dodawania)
2.
dodawania)
3.
(czno
mnoenia)
6.
(rozdzielno
48
Odejmowanie
Z wasnoci ciaa wynika, e nie moe by
wicej ni
jeden elementów 1
lub 1/a
49
o nastpujcych wasnociach:
1.
Zachodzi dokadnie jeden z warunków: a<b, a=b, b<a
2.
4.
Ciao z powyszymi wasnociami nazywamy ciaem uporzdkowanym
(ciao uporzdkowane liczb wymiernych, rzeczywistych)
50
punktów w przestrzeni, przektna kwadratu o boku 1 nie jest
liczb
jeli
jeli
Najwiksz
zbioru A (infimum, inf
zbioru A (supremum, sup
Aksjomat cigoci
dla zbioru X: kady niepusty i ograniczony od dou podzbiór A zbioru X ma kres dolny nalecy do X
Tw. Niepusty i ograniczony od góry A ma kres górny w X
Kres dolny moe nalee
: :
∃ ∈ ∀ ∈ ≥ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤
aksjomatu cigoci
: x > 0, x2 > 2}. A jest ograniczony od dou. Zaómy,
e p=inf
2
< 2,
czyli q ogranicza A od dou i jest wiksze od p, a wic p nie jest kresem dolnym A
2)
p2
> 2, czyli q
A i jest
∈ ∈
∈
1) 2)
Zatem w obu moliwych przypadkach doszlimy do sprzecznoci, wic A nie ma kresu w
, co koczy dowód
53
Liczba jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinicie dziesitne jest nieskoczone i nie zawiera powtarzajcych si
(okresowych) cigów cyfr
rzeczywiste = wymierne + niewymierne
niewymierne = algebraiczne + przestpne
przykady liczb przestpnych: e,
2, ...
Zasada Archimedesa:
dla kadej liczby rzeczywistej a istnieje liczba naturalna n taka, e n > a
Liczby wymierne –
z dziurami! Uszczelniamy dziury liczbami niewymiernymi. Midzy dwiema rónymi dowolnie bliskimi liczbami wymiernymi ley liczba niewymierna, a midzy dwiema rónymi dowolnie bliskimi liczbami niewymiernymi ley liczba wymierna. Jednak liczb niewymiernych jest wicej!
2 2
54
Liczebno
zbiorów Dla zbiorów skoczonych moc (kardynalno) |A| zbioru A jest równa liczbie elementów zbioru A. Dla zbiorów nieskoczonych liczba elementów jest nieskoczona, jednak mamy róne nieskoczonoci i moemy je klasyfikowa.
Zbiory A i B s
równoliczne, jeli istnieje bijekcja
Dla zbiorów rozcznych
Dla iloczynu kartezjaskiego
Zbiory ,
s
i przedzia
(0,1) s
Notacja: || = , || =
na
0ℵ
55
Przeliczalno
56
a1
a2
a3
a4
... .b0
b1
b2
b3
b4
... .c0
c1
c2
c3
c4
... ...
Zaómy, e wypisalimy (w przeliczalny sposób) wszystkie liczby z (0,1). Teraz konstruujemy liczb
x w nastpujcy sposób: n-t
cyfr
4, to zamieniamy na 3, jeli nie równa si
4, to zamieniamy na 4. Przykad:
.217853...
.642222... x = .4344...
.018800... x jest z konstrukcji róne od wszystkich wypisanych liczb (co
.987697... najmniej na jednym miejscu), zatem R jest nieprzeliczalny
...
równoliczne
58
poredniej midzy
i c
1c =ℵ 0ℵ
0 12 1 2|2 | 2 , |2 | 2 ,...ℵ ℵℵ = = ℵ = =
Kolejne liczby kardynalne
Hipoteza Cantora
jest niezalena od postulatów teorii mnogoci i nie mona jej udowodni
ani obali! Mona j
cz
–
elementy neutralne dodawania i mnoenia Inna, najpopularniejsza notacja: wprowadzamy i = (0,1) i piszemy (a,b) =a + i b. Wówczas algebr
moemy prowadzi
1.
ib. Inna notacja: z Wasnoci sprzenia:
2 2
2 2
(z)=z, z+z =2x, z-z =2iy, zz=x +y
z +z =z +z , az=az (a R)
z zz z =z z , = (z 0) z z
∈
≠

urojona:
Argument:
+ i sin φ)
Mnoenie: obroty na paszczynie zespolonej Wzór de Moivra: (cos φ
+ i sin φ)n
+ i sin φ)-n
+ i sin φ
modu
Pierwiastki zespolone wielomianów
Dalsze wasnoci liczb zespolonych 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
/ 2 /n
i i i k i i k i
i n k i n
z z z z
a a b b a b a b z z z z z z
e e i e i e e k
z re r e r e r e
r e k
π
/ 6 2 / 3 / 6 5 / 6 9 / 63 3
0,1,..., -1)
1 ,
n
π
+
+
=
= = = ∨ = −
− = −
= = =
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
/ 6 5 / 6 3 / 231 , , ,i i ii i i e e eπ π π− = − =
Analiza Matematycznacz 1
Prawa fizyki równania róniczkowe
Jak rozstrzyga o prawdzie?
Slide Number 42
Hipoteza continuum