Analiza matematyczna II.Pula jawnych zadaÒ na kolokwia.

Wydzia≥ MIiM UW, 2011/12

18 maja 2012ostatnie poprawki (literówka w zadaniu 53): 10 stycznia 2014

Szanowni PaÒstwo,

na koÒcu listy jest trochÍ nowych zadaÒ, obejmujπcych teoriÍ miary i ca≥ki. Nakolokwium co najmniej 3-4 zadania bÍdπ zbliøone treúciπ i poziomem trudnoúci doprzedstawionych na tej liúcie.

Ostatnie tegoroczne zadania mogπ pojawiÊ siÍ jeszcze do 23 maja w≥πcznie.

1 Struktura liniowa i topologiczna przestrzeni Rn

1. W R2 dana jest norma k · k; kula jednostkowa w tej normie, B = {(x, y) 2 R2:

k(x, y)k 1}, ma kszta≥t szeúciokπta foremnego o boku d≥ugoúci 1 i jednym z wierz-cho≥ków w punkcie (1, 0).

(a) UdowodniÊ, øe norma k · k nie pochodzi od iloczynu skalarnego.

(b) ObliczyÊ normy: k(5, 0)k, k(0, 5)k, k(3,p3)k, k(1,

p3)k.

2. W R2 dany jest pewien iloczyn skalarny h·, ·i. Definiujemy normÍ kxk =

phx , xi.

Wiadomo, øe

sup

x2R2

kxk2kxk = 3 , inf

x2R2

kxk2kxk = 1

oraz k(1, 2)k =

p5

3

i k(�2, 1)k =

p5 .

WyznaczyÊ wzór opisujπcy normÍ k(x, y)k.

1

2 Rachunek róøniczkowy

3. Czy funkcja

f(x, y) =

8<

:

1� cos((x+ y)2)

x2+ y2

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

jest ciπg≥a w punkcie (0, 0)? ProszÍ uzasadniÊ odpowiedü.

4. ObliczyÊ granicÍlim

(x,y)!(0,0)

ln(x+ ey)� x� ypx2

+ y2.

5. Niech f(x) = x/(1 + x2). Dla danych g, h : R2 ! R definiujemy F : R2 ! R wzorem

F (x, y) = h(x, y)f(g(x, y)) .

ZbadaÊ istnienie granicy lim(x,y)!(0,0) F (x, y) w nastÍpujπcych przypadkach:

(a) g(x, y) =

⇢x · y�2 dla y 6= 0

0 dla y = 0,h(x, y) =

⇢y · |x|�1/2 dla x 6= 0,0 dla x = 0,

tzn. F (x, y) =xp

|x|y3

|x|(y4 + x2)

dla (x, y) 6= (0, 0) i F (0, 0) = 0;

(b) g(x, y) =

⇢x/y dla y 6= 0

0 dla y = 0

oraz h(x, y) = x ,

tzn. F (x, y) =x2y

y2 + x2dla (x, y) 6= (0, 0) i (x, y) = (0, 0)

(c) g(x, y) = x� y oraz h(x, y) =

⇢1/(x� y) dla x 6= y0 dla x = y

,

tzn. F (x, y) =1

1 + (x� y)2dla x 6= y i F (x, x) = 0.

6. PodaÊ przyk≥ad funkcji f : R2 ! R, która ma pochodne czπstkowe w kaødympunkcie p≥aszczyzny, ale lim

t!0 f(t, t2) = 1.

7. PodaÊ przyk≥ad funkcji dwu zmiennych f(x, y) takiej, øe lim(x,y)!(0,0) f(x, y) = 0

oraz0 = lim

x!0lim

y!0f(x, y) 6= lim

y!0lim

x!0f(x, y).

2

8. Czy funkcjaf(x, y) = sin

⇡

1� (x2+ y2)

jest jednostajnie ciπg≥a na kole {(x, y) 2 R2: x2

+ y2 < 1}? ProszÍ uzasadniÊ odpo-wiedü.9. ZnaleüÊ wszystkie punkty ciπg≥oúci funkcji f : R2 ! Rdanej wzorem

f(x, y) =

(xy exp(�y/x2

) , x 6= 0,

0, x = 0.

10. Niech f bÍdzie funkcjπ ciπg≥π okreúlonπ na

A = {x 2 R2: kxk = 1} [ {x 2 R2

: kx � (2, 0)k1 1}

takπ, øe f(�1, 0) = �1 i f(3, 0) = 17. UdowodniÊ, øe istnieje a 2 A takie, øe f(a) = 0.Czy istnieje funkcja spe≥niajπca warunki zadania, dla której jest tylko jeden takipunkt?Uwaga: przyjmujemy kyk1 =

P|y

i

|.11. ObliczyÊ pochodne czπstkowe funkcji f : Rn ! R w otoczeniu punktu 0 i zbadaÊróøniczkowalnoúÊ f w punkcie 0 2 Rn, dla f danej wzorem

(a) f(x) = kxk2 cos(kxk�1) dla x 6= 0 oraz f(0) = 0,

(b) f(x) = (1� cos(kxk�1)) sin(kxk�1

) dla x 6= 0 oraz f(0) = 0.

(c) f(x) = (1� cos(kxk)) sin(kxk�1) dla x 6= 0 oraz f(0) = 0.

12. Niech

f(x, y) = x2sin(y/x) cos(1/x2

) ln(1 + y), (x, y) 2 R2, x 6= 0.

ProszÍ dookreúliÊ wartoúÊ f w (0, 0) tak, aby w tym punkcie istnia≥a pochodna kie-runkowa f wzglÍdem wektora (1, 1). ObliczyÊ tÍ pochodnπ.13. Czy funkcja

f(x, y) =

8<

:

sin(x4+ y4)

x2+ y2

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

jest róøniczkowalna w (0, 0)? ProszÍ uzasadniÊ odpowiedü.14. Niech f bÍdzie funkcjπ okreúlonπ na R3 wzorem

f(x, y, z) =

(x+ y � z2 gdy z 2 Q,x+ y + z4 gdy z 62 Q.

UdowodniÊ, øe f ma w punkcie a 2 R3 róøniczkÍ Df(a) wtedy i tylko wtedy, gdy fjest ciπg≥a w a .

3

15. WyznaczyÊ zbiór wszystkich punktów (x, y) p≥aszczyzny R2, w których funkcja

f(x, y) = |ex � ey| · (x+ y � 2)

jest róøniczkowalna.

16. Funkcja f : Rn ! R jest róøniczkowalna. ObliczyÊ pochodnπ funkcji jednej zmien-nej

F (t) =�f(t, t2, . . . , tn)

�2, t 2 R.

17. Niech f : R2 ! R bÍdzie dana wzorem

f(x, y) = �3x4 � y2 + 4yx2.

WykazaÊ, øe dla kaødego wektora v = (v1, v2) d≥ugoúci 1 funkcja

hv

(t) = f(tv1, tv2)

ma maksimum lokalne w punkcie t = 0. Czy moøna stπd wnioskowaÊ, øe f ma mak-simum lokalne w (0, 0)? Odpowiedü proszÍ uzasadniÊ.

18. WyznaczyÊ równanie p≥aszczyzny przechodzπcej przez punkt (1, 1, 3) i stycznej dopowierzchni z = 2x2

+ y2 w R3.

19. WykazaÊ, øe funkcja

f(x, y) =

8<

:

x3

x2+ y2

, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

jest ciπg≥a w (0, 0) i ma w tym punkcie pochodne kierunkowe we wszystkich kierun-kach, ale nie jest róøniczkowalna w (0, 0).

20. Funkcja f jest okreúlona na zbiorze A = {(x, y) 2 R2: xy > �1} wzorem

f(x, y) =

8<

:

p1 + xy � 1

ydla y 6= 0,

x/2 dla y = 0.

(a WykazaÊ róøniczkowalnoúÊ f w (0, 0). Czy róøniczka funkcji f jest ciπg≥a w tympunkcie?

(b Czy funkcja f jest róøniczkowalna w punkcie (1, 0)?

Odpowiedzi proszÍ uzasadniÊ.

4

21. Niechf↵

(x, y) =

((x2

+ y2)↵ sin�1/p

x2+ y2

�, (x, y) 6= 0,

0, (x, y) = 0.

(a) WykazaÊ, øe f1/2 jest ciπg≥a w (0, 0), ale nie jest róøniczkowalna w (0, 0).

(b) WykazaÊ, øe f1 jest róøniczkowalna w kaødym otoczeniu (0, 0), ale nie jest klasyC1 w øadnym otoczeniu zera.

(c) WykazaÊ, øe f3/2 jest klasy C1 na ca≥ej p≥aszczyünie R2

22. WyznaczyÊ wszystkie wartoúci p, q > 0, dla których funkcja f : Rn ! R danawzorem

f(x) =

✓nX

i=1

|xi

|p◆1/q

jest róøniczkowalna w 0 2 Rn.

23. ObliczyÊ kres górny funkcji f na zbiorze A:

f(x, y) =x ln(1 + y)

2x2+ y2

, A = {(x, y) : 0 < x y 1}.

24. ObliczyÊ kres górny funkcji f na zbiorze A:

f(x, y) = x(y � x� 1)e�y , A = {(x, y) : 0 x y} .

25. UdowodniÊ, øe funkcja f : Rn ! R, która jest klasy C1, spe≥nia warunek Lip-schitza na kaødym zbiorze zwartym K ⇢ Rn.

26. Zbiór ⌦ ✓ Rn jest otwarty i spójny. Wiadomo, øe dla wszystkich x , y 2 ⌦ istniejezawarta w ⌦ ≥amana d≥ugoúci co najwyøej kx � yk exp(kx � yk), ≥πczπca punkty x , y.

Funkcja f 2 C1(⌦,R) ma wszystkie pochodne czπstkowe ograniczone przez liczbÍ

M > 0. WykazaÊ, øe

|f(x)� f(y)| Mpn · kx � yk exp(kx � yk) , x , y 2 ⌦.

27. Niech A ⇢ Rn bÍdzie zbiorem zwartym, wypuk≥ym i niech f : A ! R bÍdzie funk-cjπ ciπg≥π na A, róøniczkowalnπ w punktach wewnÍtrznych zbioru A. Zak≥adamy po-nadto, øe istniejπ liczby a1, . . . , an, nie wszystkie równe zeru, takie, øe

nX

i=1

ai

· @f@x

i

(x) � 0 dla kaødego x 2 intA.

UdowodniÊ, øe funkcja f osiπga swojπ wartoúÊ maksymalnπ i wartoúÊ minimalnπw pewnych punktach brzegu zbioru A.

5

28. Niech f : R3+ ! R bÍdzie funkcjπ róøniczkowalnπ (R+ = (0,1)), spe≥niajπcπ w kaø-

dym punkcie równania x1�pfx

= y1�pfy

= z1�pfz

(p > 1 jest sta≥π). DowieúÊ, øe ist-nieje funkcja róøniczkowalna ' : R+ ! R taka, øe f(x, y, z) = '(xp

+ yp + zp).

29. Dana jest funkcja f 2 C2(R2

) taka, øe

lim

(x,y)!0

f(x, y)� tg(x) sin(y)

x2+ y2

= 0 .

ObliczyÊ fxy

(0, 0).

30. Niech f(x, y) = (x3 � x� y)(2x� y � 2) dla x, y 2 R.(a) WyznaczyÊ wszystkie punkty krytyczne funkcji f .(b) Dla kaødego z tych punktów rozpoznaÊ, czy f ma w tym punkcie lokalne

ekstremum.

31. Niech f(x, y) = x3y � 3x2y + y2 dla x, y 2 R.(a) WyznaczyÊ wszystkie punkty krytyczne funkcji f .(b) Dla kaødego z tych punktów rozpoznaÊ, czy f ma w tym punkcie lokalne

ekstremum.

32. Niech f(x, y, z) = x4+ y4 � 2x2

(1� y2) + z2 dla x, y, z 2 R.(a) WyznaczyÊ wszystkie punkty krytyczne funkcji f .(b) Dla kaødego z tych punktów rozpoznaÊ, czy f ma w tym punkcie lokalne

ekstremum.

33. Funkcja f : R2 ! R jest dwukrotnie róøniczkowalna i spe≥nia w kaødym punk-cie nierównoúÊ f

xx

+ fyy

� 0. PrzypuúÊmy, øe f ma tylko niezdegenerowane punktykrytyczne (tzn. w kaødym punkcie krytycznym macierz hesjanu f jest nieosobliwa).WykazaÊ, øe f nie moøe mieÊ maksimów lokalnych.

34. Niech ⌦ ⇢ Rn bÍdzie otwarty i wypuk≥y. Niech f : ⌦ ! R bÍdzie funkcjπ wypuk≥πklasy C2. WykazaÊ, øe

(a) f nie ma lokalnych maksimów w≥aúciwych w ⌦;(b) f moøe mieÊ co najwyøej jedno minimum lokalne w≥aúciwe;(c) jeúli f jest úciúle wypuk≥a, to f moøe mieÊ co najwyøej jeden punkt krytyczny.

35. Niech U = R2\((�1, 0]⇥{0}[{(x, y) : x2+y2 1}). Okreúlamy f : U ! R wzorem

f(x, y) =

8>>>><

>>>>:

arc tg

x

y, y > 0,

⇡ + arc tg

x

y, y < 0,

⇡

2

, y = 0.

WykazaÊ, øe d≥ugoúÊ gradientu funkcji f jest ograniczona z góry na ca≥ym zbiorze U ,ale mimo to f nie spe≥nia warunku Lipschitza na U .

6

36. Rozwaøamy odwzorowanie F : R2 ! R2 dane wzorami

F (x, y) = (u, v), u = 4xy � 2x2, v = 2x2+ xy � y2.

Punktem lokalnej odwracalnoúci F bÍdziemy nazywaÊ kaødy punkt (x0, y0) taki, øeodwzorowanie F , zawÍøone do pewnego otoczenia punktu (x0, y0), przekszta≥ca to oto-czenie bijektywnie na pewne otoczenie punktu (u0, v0) = F (x0, y0).

(a) WyznaczyÊ wszystkie punkty lokalnej odwracalnoúci odwzorowania F .(b) Jednym z takich punktów jest (1, 1); zatem w pewnym otoczeniu punktu

F (1, 1) = (2, 2) jest okreúlone odwzorowanie odwrotne x = x(u, v), y = y(u, v). Ob-liczyÊ @y

@u(2, 2).

37. (a) UzasadniÊ, øe równanie x lnw + w ln y = 0 wyznacza w otoczeniu punktu(x0, y0) = (1, 1) zmiennπ w jako funkcjÍ pozosta≥ych zmiennych: w = g(x, y) i øe jestto funkcja klasy C1.

(b) NapisaÊ wielomian Taylora stopnia 2 funkcji g w otoczeniu punktu (1, 1).

38. (a) UdowodniÊ, øe równanie xez = y(z + x) definiuje z jako funkcje (x, y) w oto-czeniu punktu (x0, y0, z0) = (2, 1, 0).

(b) NapisaÊ wielomian Taylora stopnia 2 funkcji z = z(x, y) w punkcie (2, 1).

39. DaÊ przyk≥ad przekszta≥cenia, bÍdπcego dyfeomorfizmem zbioru U na zbiór V :

U = {(x, y) : x > y > 0}, V = {(u, v) : u2+ 3v2 < 1, 2v > u+ |u|}.

Znalezione odwzorowanie naleøy wyraziÊ albo wprost wzorem, albo jako z≥oøenie (np.F = F3 � F2 � F1) kilku dyfeomorfizmów, z których kaødy jest wyraøony wzorem.

40. Niech ⌦ ⇢ R2 bÍdzie obszarem ograniczonym górnπ ga≥Íziπ hiperboli {xy = 1}, tj.⌦ = R2 \ {(x, y) : x > 0, xy � 1}. ZnaleüÊ jawny (tzn. wyraøony konkretnym wzorem)dyfeomorfizm zbiorów ⌦ i R⇥ R+.

41. W przestrzeni R3 rozwaøamy zbiory

P = {(x, y, z) : |z � x| =p

x+ y2}, M = {(x, y, z) 2 P : 0 < x < z}.

(a) UzasadniÊ, øe M jest rozmaitoúciπ dwuwymiarowπ.(b) NapisaÊ równanie p≥aszczyzny stycznej do M w punkcie (3,�1, 5).(c) WyjaúniÊ, czy zbiór P jest rozmaitoúciπ dwuwymiarowπ.

42. ZnaleüÊ funkcjÍ f 2 C1(R,R2

) takπ, øe

(4) f(R) =�(x, y) 2 R2

: |x|+ |y| = 1

.

UdowodniÊ, øe jeúli funkcja f 2 C1(R,R2

) spe≥nia warunek (4), to musi istnieÊ takiet 2 R, øe Df(t) = 0.

7

43. Dane sπ dwa równania:

x2 � y2 � u3+ v2 + 4 = 0 oraz 2xy + y2 � 2u2

+ 3v4 = 0.

Czy moøna wyznaczyÊ u i v jako funkcje róøniczkowalne zmiennych x i y w otoczeniupunktu (x, y, u, v) = (2, 1, 2, 1)? ProszÍ uzasadniÊ odpowiedü.

44. NaszkicowaÊ poziomice funkcji

f(x, y) = y2 � x2y � 2x4+ "x

dla ma≥ego " > 0.

45. Niech A = {z2 = x2+ y2 + 1, z > 0} . NaszkicowaÊ poziomice funkcji f(x, y, z) =

x+ 2y + 3z ograniczonej do A.

46. Niech

Mt

=

�(x, y, z) 2 R3

: x2+ y2 + z2 = 1, x2 � y2 + tz3 = 0

.

WyjaúniÊ, dla jakich t 2 R zbiór Mt

jest rozmaitoúciπ klasy C1.

47. Niech f : R2 � U ! R bedzie klasy C1 na zbiorze otwartym U . Za≥óømy, øe(x0, y0) 2 U i f

y

(x0, y0) 6= 0. WykazaÊ, øe istnieje dyfeomorfizm, powiedzmy (u, v, w) =�(x, y, z), zdefiniowany w pewnym otoczeniu U 0 ✓ R3 punktu (x0, y0, f(x0, y0)) 2 R3,który przeprowadza powierzchniÍ {z = f(x, y)}\U 0 na powierzchnie {w = v}\�(U 0

).

48. WykazaÊ, øe zbiór M = {(x, y, z) : x2+ 5y2 + z2 = 1, 2x2

+ 3y2 + 7z2 = 1} jestrozmaitoúciπ zanurzonπ klasy C1 w R3. Jaki jest wymiar M?

49. WyznaczyÊ kres górny i dolny funkcji f(x, y, z) = 15x + 6z na zbiorze M z Zada-nia 48.

50. UdowodniÊ, øe zbiór macierzy

SO(3) = {A 2 M3⇥3(R) : AAT

= Id, detA = 1}

jest rozmaitoúciπ g≥adkπ w M3⇥3(R) ⌘ R9. Jaki jest wymiar tej rozmaitoúci?

51. Niech n � 3 oraz

M =

⇢(x1, . . . , xn

) 2 Rn

:

nY

i=1

xi

= 1 ,nX

i=1

xi

= 0

�.

WykazaÊ, øe M jest rozmaitoúciπ zanurzonπ klasy C1. ObliczyÊ wymiar M .

8

52. Niech g : R ! R bÍdzie funkcjπ klasy C1. Zdefiniujmy funkcjÍ z(x, y) wzoremx2

+ y2 + z2 = g(ax+ by + cz),

gdzie a, b, c sπ sta≥ymi i sπ spe≥nione za≥oøenia twierdzenia o funkcjach uwik≥anych.WykazaÊ, øe

(cy � bz)@z

@x+ (az � cx)

@z

@y= bx� ay.

53. Rozwaømy równaniex3

+ y3 + z6 + xyz = 8

w otoczeniu punktu (1, 2,�1) .(a) ObliczyÊ pochodne czπstkowe rzÍdu 2 w (1, 2) funkcji z(x, y) zadanej tym

równaniem.(b) WyznaczyÊ przestrzeÒ stycznπ w (1, 2,�1) do powierzchni M , zadanej tym rów-

naniem.54. ZnaleüÊ kres dolny i górny funkcji f(x, y, z) = 10x+ 6z na zbiorze

A =

�(x, y, z) 2 R3

: x2+ 4y2 + z2 = 1, 3x2

+ 2y2 + 2z2 = 1

.

55. Niech K = {(x, y, z) : x+ y + z 4, xyz � 2; x, y, z > 0}. ObliczyÊ kres dolnyoraz kres górny odleg≥oúci punktu (0, 0, 0) od punktów zbioru K.56. Niech U ⇢ Rn, gdzie n � 2, bÍdzie zbiorem otwartym i spójnym i niech F : U ! Rn

bÍdzie odwzorowaniem klasy C1 takim, øe detDF (x) 6= 0 dla x 2 U. WykazaÊ, øe zbiórF (U) jest otwarty. Czy przekszta≥cenie F musi byÊ wzajemnie jednoznaczne?57. Niech K = {(x, y, z) :

px+

py +

pz = xyz = 4}. WyznaczyÊ zbiór wszystkich

wartoúci, przyjmowanych przez sumÍ x+ y + z na zbiorze K.58. Dana jest liczba naturalna n > 2 oraz dodatnie liczby rzeczywiste a, b takie, øea2 < nb. Niech x1, . . . , xn

bÍdπ liczbami rzeczywistymi, spe≥niajπcymi warunkix1 + · · ·+ x

n

= a, x21 + · · ·+ x2

n

= b.

Dla ustalonych wartoúci n, a, b wyznaczyÊ maksymalnπ moøliwπ wartoúÊ róønicy miÍ-dzy najwiÍkszπ a najmniejszπ z liczb x1, . . . , xn

.Wskazówka: f(x1, . . . , xn

) = x1 � x2; M = {(x1, . . . , xn

) :

Pxi

= a,P

x2i

= b}.59. ZnaleüÊ kres górny funkcji f(x, y, z) = z4(x2�xy+y2)+z2(x4

+y4) na czworoúcianieo wierzcho≥kach (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3) i (4, 4, 0).60. Funkcja entropii na (0, 1)n jest zdefiniowana wzorem

E(x1, .., xn

) =

nX

i=1

xi

ln(1/xi

).

WykazaÊ, øe E przed≥uøa siÍ do funkcji ciπg≥ej ˜E na kostce domkniÍtej [0, 1]n. ZnaleüÊkres górny funkcji ˜E na zbiorze

K = {x 2 [0, 1]n : x1 + x2 + · · ·+ xn

= 1} .

9

3 Teoria miary i ca≥ki

Uwaga. Symbol �n

oznacza n-wymiarowπ miarÍ Lebesgue’a na �-ciele L (Rn

) zbio-rów mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Wszystkie ca≥ki sπ wzglÍdem miary Lebes-gue’a (tzn. przyjmujemy konwencjÍ dx = d�1(x), dx dy = d�2(x, y) itp.)61. P jest przedzia≥em domkniÍtym w Rn, a zbiór A ⇢ P jest domkniÍty. UdowodniÊ,øe jeúli �

n

(A) = �n

(P ), to A = P .62. Niech A bÍdzie zbiorem tych liczb z przedzia≥u [0, 1], które majπ rozwiniÍcie dwój-kowe postaci 0, c1c2c3 . . . (cyfry c

i

2 {0, 1}), spe≥niajπce warunek: ci�1ci+1 = 0 dla i pa-

rzystych. DowieúÊ, øe A jest zbiorem miary zero.63. Dany jest zbiór A ⇢ Rn, dodatniej miary Lebesgue’a. WykazaÊ, øe w zbiorze Aistnieje punkt, leøπcy w odleg≥oúci niewymiernej od kaødego punktu przestrzeni Rn,majπcego wszystkie wspó≥rzÍdne wymierne.64. Niech A ⇢ Rk, �

k

(A) > 0 WykazaÊ, øe dla kaødego 0 < c < 1 istnieje przedzia≥k-wymiarowy P taki, øe �

k

(P ) > 0 oraz �k

(A \ P ) � c�k

(P ).65. Niech {f

n

}1n=1 bÍdzie ciπgiem funkcji ciπg≥ych na [0, 1]. UdowodniÊ, øe zbiór punk-

tów x 2 [0, 1] takich, øe ciπg liczbowy fn

(x) jest zbieøny, jest zbiorem mierzalnym wsensie Lebesgue’a.66. Niech f bÍdzie funkcjπ mierzalnπ na [1,1) i ograniczonπ na zbiorach ograniczo-nych. Po≥óømy

an

=

Zn+1

n

f(x) d�1(x), n = 1, 2, . . .

(a) Czy jest prawdπ, øe f jest ca≥kowalna na [1,1) wtedy i tylko wtedy, gdy szeregP1n=1 an jest zbieøny?

(b) Czy jest prawdπ, øe f jest ca≥kowalna na [1,1) wtedy i tylko wtedy, gdy szeregP1n=1 an jest bezwzglÍdnie zbieøny?

Odpowiedzi proszÍ uzasadniÊ.67. Dana jest przestrzeÒ z miarπ (X,F , µ) oraz funkcja f : X ! [0,1), ca≥kowalnawzglÍdem miary µ. Niech g(x) =

pf(x). Czy funkcja g musi byÊ ca≥kowalna: (a) przy

za≥oøeniu, øe µ(X) < 1; (b) bez tego za≥oøenia?W zadaniach 68–74 proszÍ dok≥adnie uzasadniÊ wszystkie elementy rozumowa-

nia (wolno powo≥ywaÊ siÍ na twierdzenia z wyk≥adu, sprawdziwszy uprzednio, øespe≥nione sπ ich za≥oøenia).68. ObliczyÊ

lim

n!1

Z

R+

(xn

+ 1) sin(x2e�x

2n+ x�1e�x

�2n)

xn+2+ x�1

dx .

10

69. ObliczyÊlim

n!1

Z 1

0

n sin(x/n)

x(1 + x2)

dx .

70. ObliczyÊlim

n!1

Z 1

0

xn

+ 2

xn

+ 1

e�xdx.

71. ObliczyÊ1X

m=0

1

m!

lim

n!1

Z

{(x,y) : 2x2+y

2<n

2}

✓1� 2x2

+ y2

n2

◆n

2

x2m dx dy .

72. ObliczyÊ

lim

n!1

Z

A

np

|x|(1� |x|)arc tg (ny)1 + x2

+ y2dx dy ,

gdzieA =

�w 2 R2

: |w | sin

�3 · ^(w , e1)

� oraz e1 = (0, 1) 2 R2 .

73. ObliczyÊ granice:a) lim

n!1R 2

0x

n

1+x

n dx

b) limn!1

Rn

0

�1 +

x

n

�n

e�2x dx

74. Rozwaømy funkcje zmiennej t > 0, okreúlone wzorami

f(t) =

Z pt

0

e�x

2dx

!2

oraz g(t) =

Z 1

0

e�t(1+x

2)

1 + x2dx.

(a) WykazaÊ, øe f, g sπ róøniczkowalne i f 0(t) + g0(t) = 0 dla wszystkich t > 0.

(b) WykazaÊ, øe f(t) + g(t) = ⇡/4 dla wszystkich t > 0.

(c) WywnioskowaÊ stπd, øeR10 e�x

2dx =

p⇡

2 .

ProszÍ starannie uzasadniÊ wszystkie obliczenia.

75. UdowodniÊ nastÍpujπcπ wersjÍ lematu Fatou: niech fn

: X ! R bÍdzie ciπgiemfunkcji mierzalnych nieujemnych, f

n

! f punktowo na X,RX

fn

dµ M dla pewnegoM > 0.

WówczasRX

f dµ M .

76. NiechA ⇢ Rd bÍdzie zbiorem wypuk≥ym i takim, øe jeúli a 2 A, to równieø�a 2 A.WykazaÊ, øe jeúli �

d

(A) > 2

d, to istnieje element b 2 A \ {0} taki, øe b 2 Zd.Uwaga: kaødy wypuk≥y podzbiór Rd

jest mierzalny.

11

77. Niech A ⇢ Rd bÍdzie zbiorem wypuk≥ym i takim, øe jeúli a 2 A, to równieø�a 2 A. WykazaÊ, øe jeúli N 2 N jest takπ liczbπ naturalnπ, øe �

d

(A) > N2

d, to#

⇥�A \ Zd

�\ {0}

⇤� 2N .

Uwaga: kaødy wypuk≥y podzbiór Rd

jest mierzalny.

78. Dana jest funkcja f : R ! R mierzalna i taka, øe f(12(x+ y)) 12(f(x) + f(y)) dla

dowolnych x, y 2 R. WykazaÊ, øe f jest wypuk≥a.

79. Niech S bÍdzie obszarem ograniczonym krzywymi

xy = 1, xy = 2, xy3/2 = 3 oraz xy3/2 = 4.

ObliczyÊ ZZ

S

py d�2(x, y).

80. Niech V = {(x, y) 2 R2: x2

+ y2 > 1,�1/2 < x < 1/2, y > 0}. ObliczyÊZZ

V

y�2 d�2(x, y) .

81. Niech A bÍdzie mierzalnym podzbiorem odcinka [0, 1], dodatniej miary Lebes-gue’a. Po≥óømy f(x) = �1(A \ [0, x]). ObliczyÊ

RA

f(x) d�1(x).

82. ObliczyÊ trójwymiarowπ miarÍ Lebesgue’a zbioru

D := {(x, y, z) 2 R3 | x2+ z2 < 2 , x > |z| > y > 0}.

83. ObliczyÊ ZZ

K

(x+ y)2 sin2(x� y) d�2(x, y),

gdzie K oznacza kwadrat o wierzcho≥kach (0, 1), (1, 2), (2, 1) i (1, 0).

84. ObiczyÊ ZZ

D

y2x d�2(x, y),

gdzie D jest obszarem ograniczonym, zawartym miÍdzy parabolami x = 1 � y2 ix = 3(1� y2).

85. ObliczyÊ ZZ

x

2<8y<8x2

,

y

2<x<8y2

✓x

y

◆3

d�2(x, y)

86. ObliczyÊ

lim

n!1

ZZZ

x

2+y

2+z

2<4,

z>0

z

nln

⇣�x2

+ y2�n

+

�x2

+ y2��n

⌘d�3(x, y, z)

12

87. WykazaÊ, øe Z 2

0

✓Z 1

y/2

e�x

2d�1(x)

◆d�1(y) = 1� e�1.

88. WykazaÊ, øe funkcja

f(x, y) = 2xy exp(�x2y) cos�log(2 + sin(arc tg (xy)))

��[0,1]

(y)

jest ca≥kowalna na R2.

89. Zbiór D otrzymujemy poprzez wyciÍcie z kuli jednostkowej (w R3) walca⇣x� 1

2

⌘2+ y2 <

1

4

.

ObliczyÊ �3(D).Wskazówka. OpisaÊ okrπg o úrodku (0, a) i promieniu a we wspó≥rzÍdnych bieguno-wych.

90. MiarÍ µ definiujemy nastÍpujπco: dla zbioru mierzalnego E ⇢ R3 niech

µ(E) =

Z

E\B(0,1)

px2

+ y2 + z2 d�3(x, y, z).

ObliczyÊ Z

B(0,2)

�xy2 + y2z

�dµ(x, y, z).

91. ObliczyÊ ZZZ

E

|xyz|qx

2

4 + y2 + z

2

25

d�3(x, y, z),

gdzie E oznacza obszar ograniczony elipsoidπ o równaniu x

2

4 + y2 + z

2

25 = 1.

92. ObliczyÊ granicÍlim

x!1e�x

Zx

0

Zx

0

eu � ev

u� vdudv.

Wskazówka: spróbowaÊ uøyÊ regu≥y de l’Hospitala.

93. Niech D oznacza zbiór {(x, y) 2 R2: x2

+ y2 < 1, x > 0, y > 0}. Funkcja f : R2 ! Rjest ciπg≥a, f(0, 0) = 1. Dla jakich ↵ 2 R ciπg

n↵

Z

D

(1� x� y)nf(x, y) d�2(x, y)

jest zbieøny? Odpowiedü proszÍ uzasadniÊ.

13

94. Niech A 2 Rn bÍdzie ograniczonym zbiorem otwartym takim, øe 0 2 A. Dla jakichparametrów ↵ funkcja f(x) = kxk↵ jest ca≥kowalna wzglÍdem miary Lebesgue’a �

n

na Rn \ A? Odpowiedü proszÍ uzasadniÊ.

95. Funkcje f, g, h sπ ca≥kowalne wzglÍdem n-wymiarowej miary Lebesgue’a na prze-strzeni Rn. WykazaÊ, øe (f ⇤ g) ⇤ h = f ⇤ (g ⇤ h).

96. Niech fn

: Rk ! R,

fn

(x) :=

�B(0,1)\B(0,1/n)

(x) · n ln

⇣1 + nkxk↵

nkxk↵⌘.

Dla jakich parametrów ↵ 2 R ciπg fn

jest zbieøny w przestrzeni L1(B(0, 1)) (z miarπ

Lebesgue’a)?

97. Niechf�

(x) :=�

2

e��|x|.

WykazaÊ, øe jeúli g 2 L1(R), to

lim

�!1kf

�

⇤ g � gkL1(R) = 0.

98. ObliczyÊ powierzchniÍ elipsoidy E = {(x, y, z) 2 R3: 9x2

+ 9y2 + z2 = 9}.

99. Na elipsoidzie E = {(x, y, z) 2 R3: x2

+ y2 + 4z2 = 4} rozwaøamy zbiór A =

E \ {(x, y, z) : y > x i y > 0}. ObliczyÊ ca≥kÍ wzglÍdem miary powierzchniowej �2 :

ZZ

A

xyp3z2 + 1

d�2 .

4 Formy róøniczkowe i okolice

Uwaga: forma ! 2 ⌦

k

(U) nazywa siÍ zamkniÍta wtedy i tylko wtedy, gdy d! = 0.Forma ! 2 ⌦

k

(U) nazywa siÍ dok≥adna wtedy i tylko wtedy, gdy ! = d⌘ dla pewnego⌘ 2 ⌦

k�1(U).

100. Niech � = {(x, y) : xy = 1, x � 12 , y � 1

2} ⇢ R2. ObliczyÊ ca≥kÍ z formy

(3x+ 4y) dx+ (x+ 2y) dy

(x+ y)3/2

wzd≥uø ≥uku �, zorientowanego w kierunku wzrastania zmiennej x.

101. WykazaÊ, øe zbiór {(x, y) 2 R2 | x > 0, y < 0, x4 � xy2 � y3 = 0} [ {(0, 0)} jestkrzywπ zamkniÍtπ; obliczyÊ pole obszaru ograniczonego przez tÍ krzywπ.Wskazówka: PodstawiÊ y = �tx i spróbowaÊ zastosowaÊ twierdzenie Greena.

14

102. Niech ! 2 ⌦

n�1(Rn \ {0}) bÍdzie dana wzorem

! =

�x21 + · · ·+ x2

n

��n/2 ·⇣x1 dx2 ^ dx3 ^ . . . ^ dx

n

+ (�1)

n�1x2 dx3 ^ dx4 ^ . . . ^ dxn

^ dx1

+ · · ·+ (�1)

(j�1)(n�1)xj

dxj+1 ^ . . . ^ dx

n

^ dx1 ^ . . . ^ dxj�1

+ · · ·+ (�1)

(n�1)2xn

dx1 ^ . . . ^ dxn�1

⌘.

Niech f : Rn \{0} ! R bÍdzie funkcjπ klasy C1. WykazaÊ, øe forma f! jest zamkniÍtawtedy i tylko wtedy, gdy f jest jednorodna stopnia 0 (tzn. f(rx) = f(x) dla wszystkichr > 0 i x 2 Rn \ {0}).

103. Niech ! = (�2y+x2y+x2) dx+(2x�xy2+y2) dy. ZnaleüÊ taki obszar ograniczony

⌦ ⇢ R2 o brzegu kawa≥kami g≥adkim, øeby ca≥kaZ

@⌦

!

by≥a moøliwie najwiÍksza. (Brzeg obszaru ma naturalnπ orientacjÍ).

104. Niech! =

(x� 1) dy � y dx

(x� 1)

2+ y2

� (x+ 1) dy � y dx

(x+ 1)

2+ y2

.

Niech ⌦ bÍdzie dowolnym obszarem ograniczonym z brzegiem klasy C1; za≥óømy, øepunkty (�1, 0) i (1, 0) nie naleøπ do @⌦ WykazaÊ, øe

R@⌦ ! jest (ca≥kowitπ) wielokrot-

noúciπ 2⇡.

105. Niech ! 2 ⌦

1(R3

) we wspó≥rzÍdnych (x, y, z) bÍdzie dana wzorem

! = dz � 2y dx+ 2x dy.

Wprowadümy operatory róøniczkowe X =

@

@x

+ 2y @

@z

oraz Y =

@

@y

� 2x @

@z

, tzn. niech

X' =

@'

@x+ 2y

@'

@z, Y ' =

@'

@y� 2x

@'

@z

dla funkcji ' 2 C1(R3,R).

(a) WykazaÊ, øe f = (f1, f2, f3) : R3 ! R3 spe≥nia warunek f ⇤! = �! wtedy i tylkowtedy, gdy

Xf3 � 2f2 Xf1 + 2f1 Xf2 = 0

Y f3 � 2f2 Y f1 + 2f1 Y f2 = 0

� =

@f3@z

� 2f2@f1@z

+ 2f1@f2@z

.

15

(b) WykazaÊ, øe gdy f ⇤! = �!, to

� = det

✓Xf1 Y f1Xf2 Y f2

◆.

Wskazówka: obliczyÊ d! ^ ! i skorzystaÊ ze wzoru f ⇤d! = df ⇤!.

106. UdowodniÊ, øe forma

! =

x dy � (y � 1) dx

x2+ (y � 1)

2� x dy � (y + 1) dx

x2+ (y + 1)

2.

jest zamkniÍta, nie jest dok≥adna w R2 \ {(0,�1), (0, 1)}, natomiast jest dok≥adna nazbiorze U = R2 \ {(0, t) : t 2 [�1, 1]}.

107. ObliczyÊ ca≥kÍ Z

⌦

x�3/4

4

p1� x1/2

d�2,

gdzie ⌦ jest obszarem ograniczonym krzywπ r = cos

3 �, � 2 [�⇡/2, ⇡/2].Wskazówka: przypomnieÊ sobie wzór na pochodnπ arcusa sinusa.

108. Niech v = (v1, . . . , v4) i w = (w1, . . . , w4) bÍdπ wektorami w R4. Wspó≥rzÍdnepunktu p 2 R4 oznaczamy (x, y, z, u). WykazaÊ, øe przyporzπdkowanie

R4 ⇥ R4 ⇥ R4 3 (p , v , w) 7�! det

0

BB@

v1 v2 v3 v4w1 w2 w3 w4

zu u2 x+ 1 y + x+ x2

zu+ 1 + u z2 + z y � 1 x+ 2

1

CCA 2 R

okreúla pewnπ 2-formÍ róøniczkowπ na R4. ProszÍ obliczyÊ ca≥kÍ z tej formy po zbiorzeM = {(x, y, z, u) : x2

+ y2 = 4x, z2 + u2= 1} (z dowolnie wybranπ orientacjπ).

109. Niech! =

4(x2+ y2 � 1)x dx+ 4(x2

+ y2 � 1)y dy + 2z dz

(x2+ y2 � 1)

2+ z2

.

WykazaÊ, øe forma ! jest zamkniÍta w R3 \ {x2+ y2 = 1, z = 0}. Czy ! jest dok≥adna?

110. Oblicz ca≥kÍ z formy ! = x3 dy ^ dz po po≥ówce torusa, zadanej za pomocπparametryzacji

x = (4 + cos�) cos ✓

y = (4 + cos�) sin ✓

z = sin�,

gdzie ✓ 2 [0, ⇡], zaú � 2 [0, 2⇡].

16

111. Niech � 2 ⌦

2(R3

) we wspó≥rzÍdnych (x, y, z) bÍdzie dana wzorem

� = (x� y2 + z3)(dy ^ dz + dx ^ dz + dx ^ dy).

ObliczyÊ ca≥kÍ z formy � po brzegu kostki Ca

= {(x, y, z) | 0 x, y, z a}.

112. Niech � 2 ⌦

n�1(Rn

),

� =

nX

i=1

�� x

i

�i+1

dx1 ^ . . . ^ dxi�1 ^ dx

i+1 ^ . . . ^ dxn

.

ObliczyÊ ca≥kÍ z formy � po brzegu kostki Ca

= {(x1, . . . , xn

) | 0 xi

a}.

113. W przestrzeni R3 dane sπ punkty A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1),D = (1, 1, 0), E = (1, 1, 1). Rozpatrzmy powierzchniÍ wieloúciennπ M – “rozmaitoúÊz kantami” – utworzonπ przez trójkπty ADE, DBE, BCE i CAE. Dane jest pole wek-torowe

v =

⇣xz,�yz,

xyzpx2

+ y2 + z2

⌘.

ObliczyÊ przep≥yw (strumieÒ) pola wektorowego rot v przez M , ze strony ujemnej –“widocznej” z punktu (

12 ,

12 ,

12) – na dodatniπ.

114. Za≥óømy, øe f : R2 ! R2 jest odwzorowaniem klasy C1 o zwartym noúniku (tzn.f ⌘ 0 poza pewnπ kulπ B(0, R) ⇢ R2). WykazaÊ, øe

Z

R2

detDf d�2 = 0.

Czy teza pozostanie prawdziwa, gdy liczbÍ 2 zastπpimy wszÍdzie innπ liczbπ natu-ralnπ n?

115. Za≥óømy, øe f : R2 ! R2 jest odwzorowaniem klasy C1 o zwartym noúniku (tzn.f ⌘ 0 poza pewnπ kulπ B(0, R) ⇢ R2). WykazaÊ, øe dla kaødej funkcji ciπg≥ej, ogra-niczonej h : R2 ! R zachodzi nierównoúÊ

Z

R2

h detDf d�2 inf

c2R

⇣sup

x2R2

|h(x)� c|⌘· k detDfk

L

1(R2)

116. Niech ! 2 ⌦

n

(Rn

) bÍdzie n-formπ róøniczkowπ o zwartym noúniku. WykazaÊ,øeRRn ! = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ! = d⌘ dla pewnej (n � 1)-formy ⌘ 2 ⌦

n�1(Rn

),majπcej zwarty noúnik.

17