analiza matematyczna ii - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/~witek/materialy/analizaii/amii.pdf ·...

Analiza matematyczna II

De�nicje, twierdzenia

6 maja 2013

� K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiówtechnicznych, cz. 2, HELPMATH, ×ódz 2007

� M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna II, O�cynaWydawnicza GiS, Wroc÷aw2000

� M. Gewert. Z. Skoczylas, Równania ró·zniczkowe zwyczajne, O�cyna Wydawnicz GiS,Wroc÷aw 2005

� W. ·Zakowski, W. Ko÷odziej, Matematyka II, WNT, Warszawa 1984

� W. ·Zakowski, W. Leksinski, Matematyka IV, WNT, Warszawa 1984

� F. Leja, Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy, PWN, Warszawa 1963

� W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1976

1 Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy funkcji wielu zmiennych

1.1 Przestrzenie metryczne. Rodzaje zbiorów w przestrzeniach me-trycznych

De�nicja 1.1 Niech X b ¾edzie niepustym zbiorem. Dowoln ¾a funkcj ¾e d : X �X ! R tak ¾a,·ze

1.V

p1;p22Xd (p1; p2) = 0, p1 = p2

2.V

p1;p22Xd(p1; p2) = d (p2; p1) (symetria)

3.V

p1;p2;p32Xd (p1; p3) � d (p1; p2) + d (p2; p3) (nierównosc trójk ¾ata)

nazywamy metryk ¾a w zbiorze X.Zbiór X wraz z ustalon ¾a metryk ¾a d nazywamy przestrzeni ¾a metryczn ¾a.

Mo·zna wykazac, ·ze nast¾epuj ¾ace funkcje s ¾a metrykami w zbiorze Rn:

�

de (p; q) =

vuut nXi=1

(xi � yi)2 (metryka euklidesowa)

1

1. RACHUNEK RÓ ·ZNICZKOWY I CA×KOWY FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH

�dt (p; q) =

nXi=1

jxi � yij (metryka miejska/taksówkowa)

�dm (p; q) = max

i=1;:::;njxi � yij (metryka maksimum)

gdzie p = (x1; :::; xn) i q = (y1; :::; yn).

W dalszym ci ¾agu przez przestrzen (metryczn ¾a) Rn b¾edziemy rozumiec zbiór Rn wraz zmetryk ¾a euklidesow ¾a.

Niech d b¾edzie ustalon ¾a metryk ¾a w zbiorze X.

De�nicja 1.2 Kul ¾a (otwart ¾a) o srodku w punkcie p i promieniu r > 0 nazywamy zbiór

K (p; r) = fq 2 X : d (p; q) < rg:

Przyk÷ad 1.3 Kule o srodku (0; 0) i promieniu 1 w R2 w metryce euklidesowej (a), miejskiej(b) i maksimum (c):

x

y

1 x

y

1 x

y

1

1 1 1

(a) (b) (c)

De�nicja 1.4 Mówimy, ·ze zbiór A � X jest ograniczony, je·zeli istnieje p 2 X i r > 0takie, ·ze A � K (p; r) (tzn. A zawiera si ¾e w pewnej kuli). Mówimy, ·ze A jest nieogranic-zony, gdy A nie jest ograniczony (tzn. A nie zawiera si ¾e w ·zadnej kuli).

De�nicja 1.5 Mówimy, ·ze zbiór U � X jest otwarty (w X), gdy dla dowolnego p 2 Uistnieje r > 0 takie, ·ze

K (p; r) � U:

Twierdzenie 1.6 Niech X b ¾edzie przestrzeni ¾a metryczn ¾a.

1. ;, X i kule otwarte s ¾a zbiorami otwartymi w X

2. Je·zeli U i V s ¾a otwarte w X, to U \ V jest zbiorem otwartym w X

3. Je·zeli fU�g�2I jest rodzin ¾a zbiorów otwartych w X, to sumaS�2I

U� jest zbiorem ot-

wartym w X

De�nicja 1.7 Otoczeniem punktu p 2 X nazywamy dowolny zbiór otwarty U � X taki,·ze p 2 U . S ¾asiedztwem punktu p nazywamy ka·zdy zbiór postaci U n fpg, gdzie U jestotoczeniem p.

2


De�nicja 1.8 Niech A � X. Punkt p 2 X nazywamy

� punktem wewn ¾etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ·ze K (p; r) � A

� punktem zewn ¾etrznym A, gdy istnieje r > 0 takie, ·ze K (p; r) � XnA

� punktem brzegowym A, gdy w dowolnej kuli K (p; r) istniej ¾a punkty nale·z ¾ace do Ai punkty nale·z ¾ace do XnA

� punktem skupienia zbioru A, je·zeli ka·zde s ¾asiedztwo punktu p zawiera jakis punktzbioru A; punkty nale·z ¾ace do zbioru A, które nie s ¾a jego punktami skupienia nazywamypunktami izolowanymi

Przyk÷ad 1.9 p � punkt wewn¾etrzny; q � punkt zewn¾etrzny; r; u � punkty brzegowezbioru A.

De�nicja 1.10 Mówimy, ·ze zbiór C � X jest domkni ¾ety (w X), gdy jego dope÷nienie XnCjest zbiorem otwartym. Je·zeli p 2 X i r > 0, to kul ¾a domkni ¾et ¾a o srodku p i promieniu rnazywamy zbiór

�K (p; r) = fq 2 X : d (p; q) � rg:

Twierdzenie 1.11 Niech X b ¾edzie przestrzeni ¾a metryczn ¾a.

1. ;, X i kule domkni ¾ete s ¾a domkni ¾etymi podzbiorami X:

2. Je·zeli C i D s ¾a zbiorami domkni ¾etymi w X, to C [D jest zbiorem domkni ¾etym w X.

3. Je·zeli fC�g�2I jest rodzin ¾a zbiorów domkni ¾etych w X, to iloczynT�2I

C� jest zbiorem

domkni ¾etym w X.

Twierdzenie 1.12 Zbiór jest domkni ¾ety wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swojepunkty skupienia.

De�nicja 1.13 Wn¾etrzem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów wewn ¾etrznych A.Wn ¾etrze A oznaczamy przez IntA.Domkni ¾eciem zbioru A nazywamy zbiór A w sumie ze wszystkimi punktami skupienia

zbioru A. Domkni ¾ecie A oznaczamy przez �A.Brzegiem zbioru A nazywamy zbiór wszystkich punktów brzegowych zbioru A; oznaczamy

go przez @A (bdA, FrA). Zachodzi przy tym

@A = �A n IntA:

De�nicja 1.14 Niech A � X. Mówimy, ·ze zbiór A jest spójny, je·zeli przy dowolnymrozk÷adzie A na sum ¾e dwóch roz÷¾acznych i niepustych zbiorów U i V , którys z nich zawierapunkty skupienia drugiego zbioru.

Krzyw ¾a ci ¾ag÷¾a w przestrzeni Rn nazywamy dowolne odwzorowanie ci ¾ag÷e : [0; 1] !Rn, tzn.

(t) = (x1 (t) ; x2 (t) ; :::; xn (t)) ; t 2 [0; 1] ;

gdzie funkcje xi : [0; 1] ! R s ¾a ci ¾ag÷e. Punkt p = (0) nazywamy pocz ¾atkiem krzywej ,zas q = (1) � koncem krzywej . Mówimy wtedy, ·ze jest krzyw ¾a ÷¾acz ¾ac ¾a punkty p i q.

3


Przyk÷ad 1.15 Odcinek [p; q] o pocz ¾atku p i koncu q, gdzie p; q 2 Rn

(t) = p+ t (q � p) ; t 2 [0; 1] :

Mo·zna wykazac, ·ze A � Rn jest zbiorem spójnym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnychpunktów p; q 2 A istnieje krzyw ¾a ci ¾ag÷a o pocz ¾atku p i koncu q taka, ·ze (t) 2 A dlaka·zdego t 2 [0; 1].

Przyk÷ad 1.16 Wyznaczyc wn¾etrzne, domkni¾ecie i brzeg zbioru. Okreslic, czy zbiór jestspójny.

1. A = f(x; y) 2 R2 : �2 � y < 1 ^ x > 0g

2. B = f(x; y) 2 R2 : 1 < jxj � 2 ^ 0 � y < 1g

3. C = f(x; y) 2 R2 : x = 1 + 1n ; n 2 Ng

De�nicja 1.17 Zbiór D nazywamy obszarem, je·zeli D jest otwarty i spójny. Powiemy, ·zeD jest obszarem domkni ¾etym, gdy jest domkni ¾eciem obszaru.

1.2 Powierzchnie stopnia II w R3

Powierzchni ¾a stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów (x; y; z) 2 R3 spe÷niaj ¾acych rów-nanie

Ax2 +By2 + Cz2 + axy + bxz + cyz + �x+ �y + z + � = 0;

przy czym A2 +B2 + C2 + a2 + b2 + c2 > 0:

1. Walce

(a) walec eliptyczny x2

a2 +y2

b2 = 1; z 2 R; a; b > 0; a 6= b

(b) walec ko÷owy x2 + y2 = r2; z 2 R; r > 0

(c) walec hiperboliczny x2

a2 �y2

b2 = 1; z 2 R(d) walec paraboliczny y = x2; z 2 R

2. Sfera (x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2 = r2

3. Elipsoida (x�x0)2a2 + (y�y0)2

b2 + (z�z0)2c2 = 1

4. Paraboloidy

(a) paraboloida eliptyczna x2

a2 +y2

b2 = z

(b) paraboloida obrotowa x2 + y2 = z

(c) paraboloida hiperboliczna x2

a2 �y2

b2 = z

5. Hiperboloidy

(a) h. jednopow÷okowa x2

a2 +y2

b2 = 1 +z2

c2

(b) h. dwupow÷okowa x2

a2 +y2

b2 = �1 +z2

c2

6. Sto·zek x2

a2 +y2

b2 = z2

4


1.3 Granica i ci ¾ag÷osc funkcji wielu zmiennychMówimy, ·ze ci ¾ag punktów pk =

�xk1 ; x

k2 ; :::; x

kn

�2 Rn jest zbie·zny do punktu p = (x1; x2; :::; xn),

je·zelilimk!1

d (pk; p) = 0

(gdzie zgodnie z przyj¾et ¾a umow ¾a d oznacza metryk¾e euklidesow ¾a).

Twierdzenie 1.18 Ci ¾ag (pk) punktów pk =�xk1 ; x

k2 ; :::; x

kn

�jest zbie·zny do p = (x1; x2; :::; xn)

wtedy i tylko wtedy, gdylimk!1

xki = xi; i = 1; 2; :::; n:

De�nicja 1.19 (Heinego) Niech f : D ! R, D � Rn i niech p0 =�x01; x

02; :::; x

0n

�b ¾edzie

punktem skupienia zbioru D. Mówimy, ·ze g jest granic ¾a funkcji f w punkcie p0 je·zeli

limk!1

f (pk) = g

dla ka·zdego ci ¾agu (pk) punktów zbioru D takiego, ·ze limk!1

pk = p0. Piszemy wtedy

limp!p0

f (p) = g

W przypadku, gdy g =1 (�1), to mówimy o granicy niew÷asciwej. g nazywamy te·z granic ¾an-krotn ¾a funkcji f w punkcie p0. Je·zeli n = 2, to mówimy o granicy podwójnej w punkciep0 i jesli p0 = (x0; y0), to oznaczamy j ¾a przez

lim(x;y)!(x0;y0)

f (x; y) :

Uwaga 1.20 Granica w punkcie p0 nie istnieje, gdy istniej ¾a ró·zne ci ¾agi (pk) i (qk) owyrazach w zbiorze D takie, ·ze lim

k!1pk = p0 = lim

k!1qk, ale

limk!1

f (pk) 6= limk!1

f (qk) :

De�nicja 1.21 (Cauchy�ego) Niech f : D ! R, D � Rn i niech p0 b ¾edzie punktemskupienia zbioru D. Mówimy, ·ze g jest granic ¾a (w÷asciw ¾a) funkcji f w punkcie p0, je·zeli^

">0

_�>0

^p2D

(0 < d (p; p0) < � ) jf (p)� gj < ") :

Zadanie 1 Podac de�nicj¾e Cauchy�ego granicy niew÷asciwej.

Twierdzenie 1.22 De�nicje granicy w sensie Heinego i Cauchy�ego s ¾a sobie równowa·zne.

Niech f : D ! R, D � R2 i niech p0 = (x0; y0) b¾edzie punktem skupienia dziedziny D.Je·zeli istnieje granica

limx!x0

�limy!y0

f (x; y)

�;

to nazywamy j ¾a granic ¾a iterowan ¾a gdy najpierw y ! y0, a nast¾epnie x! x0. Podobnie,gdy istnieje granica

limy!y0

�limx!x0

f (x; y)

�to nazywamy j ¾a granic ¾a iterowan ¾a gdy x! x0, a nast¾epnie y ! y0.

5


Uwaga 1.23 Istnienie granicy podwójnej jest niezale·zne od istnienia granic iterowanych.Co wi¾ecej, je·zeli granice iterowane istniej ¾a, to mog ¾a byc ró·zne.

Przyk÷ad 1.24

1. f (x; y) = xyx2+y2

limx!0

�limy!0

f (x; y)

�= 0 = lim

y!0

�limx!0

f (x; y)�;

ale lim(x;y)!(0;0)

f (x; y) nie istnieje.

2. f (x; y) = x2�y2x2+y2

limx!0

�limy!0

x2 � y2x2 + y2

�= 1; lim

y!0

�limx!0

x2 � y2x2 + y2

�= �1

i granica podwójna nie istnieje.

3. f (x; y) = x sin 1x sin

1y

limy!0

�limx!0

x sin1

xsin

1

y

�= 0

ale limx!0

�limy!0

x sin 1x sin

1y

�nie istnieje;

lim(x;y)!(0;0)

x sin1

xsin

1

y= 0:

Twierdzenie 1.25 Je·zeli istnieje granica podwója w punkcie (x0; y0) funkcji f i istniejejedna z granic iterowanych, to s ¾a sobie równe.

Wniosek 1.26 Je·zeli istniej ¾a ró·zne granice iterowane w punkcie (x0; y0), to nie istniejegranica podwójna w tym punkcie.

De�nicja 1.27 Niech f : D ! R, gdzie D � Rn i niech p0 2 D b ¾edzie punktem skupieniazbioru D. Mówimy, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a w punkcie p0, je·zeli

limp!p0

f (p) = f (p0) :

Je·zeli f jest ci ¾ag÷a w ka·zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ·ze jest ci ¾ag÷a

Twierdzenie 1.28 Je·zeli f; g : D ! R s ¾a ci ¾ag÷e, to

1. f � g

2. f � g

3. fg (o ile g 6= 0)

s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.

6


Twierdzenie 1.29 (o lokalnym zachowywaniu znaku) Je·zeli f : D ! R jest ci ¾ag÷a wp0 i f (p0) > 0 (f (p0) < 0), to istnieje otoczenie U punktu p0 takie, ·ze f (p) > 0 (f (p) < 0)dla ka·zdego p 2 U \D.

Twierdzenie 1.30 (Weierstrassa) Za÷ó·zmy, ·ze f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a okreslon ¾ana domkni ¾etym i ograniczonym zbiorze D. Wówczas funkcja f jest ograniczona, co wi ¾ecejistniej ¾a takie punkty p0,p00 2 D, ·ze

f (p0) = infp2D

f (p) = infff (p) : p 2 Dg;

f (p00) = supp2D

f (p) = supff (p) : p 2 Dg:

Twierdzenie 1.31 (Darboux) Za÷ó·zmy, ·ze f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a i D jest zbioremspójnym. Je·zeli f (p0) < � < f (p00), gdzie p0; p 2 D, to istnieje taki punkt q 2 D, ·ze� = f (q).

Twierdzenie 1.32 (Cantora) Je·zeli f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a okreslon ¾a na domkni ¾e-tym i ograniczonym zbiorze D, to f jest jednostajnie ci ¾ag÷a tzn.^

">0

_�>0

^p;q2D

(d (p; q) < � ) d (f (p) ; f (q)) < ") :

1.4 Pochodne kierunkowe i cz ¾astkowe. Ró·zniczkowalnoscNiech f : D ! R, D � Rn i niech p 2 D b¾edzie punktem wewn¾etrznym zbioru D.

De�nicja 1.33 Pochodn ¾a kierunkow ¾a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h 2 Rnnazywamy liczb ¾e

f 0h (p) = limt!0

f (p+ th)� f (p)t

;

o ile powy·zsza granica istnieje i jest skonczona.

Uwaga 1.34 Pochodna w kierunku wektora h jest równa pochodnej funkcji

' (t) = f (p+ th)

w punkcie t = 0.

De�nicja 1.35 Pochodn ¾a kierunkow ¾a w kierunku wektora

ei = [0; :::; 1i; :::; 0]

nazywamy pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a funkcji f w punkcie p wzgl ¾edem zmiennej xi. Oznaczamyj ¾a symbolem

@f

@xi(p) ;

a zatem@f

@xi(p) = f 0ei (p) = limt!0

f (p+ tei)� f (p)t

:

7


W szczególnym przypadku, gdy n = 2 i funkcja f jest funkcj ¾a zmiennych x i y, pochodnecz ¾astkowe oznaczamy odpowiednio przez @f

@x (dfdx , f

0x) i

@f@y (

dfdy , f

0y). Jesli p = (x0; y0), to

@f

@x(x0; y0) = lim

t!0

1

t(f (x0 + h; y0)� f (x0; y0)) ;

@f

@y(x0; y0) = lim

t!0

1

t(f (x0; y0 + t)� f (x0; y0)) :

De�nicja 1.36 Je·zeli funkcja f ma pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a wzgl ¾edem zmiennej xi dla ka·zdegopunktu p 2 D, to funkcj ¾e @f

@xi: D ! R

p 7! @f

@xi(p)

nazywamy pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a funkcji f wzgl ¾edem zmiennej xi.

Uwaga 1.37 Je·zeli 'i (t) = f (p+ tei), to

@f

@xi(p) = '0i (0) :

Wpraktyce oznacza to, ·ze obliczanie pochodnej cz ¾astkowej wzgl¾edem zmiennej xi to obliczanie�zwyk÷ej�pochodnej wzgl¾edem xi, traktuj ¾ac pozosta÷e zmienne jak sta÷e.

Uwaga 1.38 Istnienie pochodnych cz ¾astkowych w punkcie p, a nawet istnienie wszystkichpochodnych kierunkowych w punkcie p nie gwarantuje ci ¾ag÷osci funkcji w tym punkcie.

Twierdzenie 1.39 Je·zeli f; g : D ! R, D � Rn i istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe @f@xi

(p),@g@xi

(p) dla pewnego punktu p 2 D, to

1. @@xi

(f � g) (p) = @f@xi

(p)� @f@xi

(p)

2. @@xi

(f � g) (p) = @f@xi

(p) g (p) + f (p) @g@xi

(p)

3. @@xi

�fg

�(p) =

f 0xi(p)g(p)�f(p)g0xi (p)

(g(p))2; g (p) 6= 0

De�nicja 1.40 Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD,je·zeli istnieje otoczenie U punktu p, na którym istniej ¾a wszystkie pochodne cz ¾astkowe funkcjif i s ¾a one ci ¾ag÷e w punkcie p. Mówimy, ·ze funkcja jest ró·zniczkowalna (jest klasy C1) nazbiorze otwartym D, gdy ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe na D.

Twierdzenie 1.41 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to dladowolnego wektora h 2 Rn istnieje pochodna kierunkowa f 0h (p), przy czym

f 0h (p) =nXi=1

@f

@xi(p)hi;

gdzie h = [h1; :::; hn].

Wniosek 1.42 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to

8


1. f 0h+k (p) = f 0h (p) + f0k (p)

2. f 0�h (p) = �f 0h (p)

dla dowolnych wektorów h;k 2 Rn i � 2 R.

Przyk÷ad 1.43 Obliczyc f 0h (p), gdzie f (x; y) = x2y, p = (1; 2) i h = [a; b] jest dowolnymwektorem.

De�nicja 1.44 Za÷ó·zmy, ·ze f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p. Ró·zniczk ¾a(zupe÷n ¾a) funkcji f w punkcie p nazywamy odwzorowanie liniowe df (p) : Rn ! R okreslonewzorem

df (p) (h) =nXi=1

@f

@xi(p)hi:

Twierdzenie 1.45 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to istniejefunkcja ' okreslona w otoczeniu 0 2 Rn, ci ¾ag÷a w 0, ' (0) = 0 oraz

f (p+ h) = f (p) + df (p) (h) + ' (h) � jhj

(jhj oznacza d÷ugosc wektora h:).

Wniosek 1.46 Je·zeli f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p 2 IntD, to

1. f jest ci ¾ag÷a w p

2. dla ma÷ych jhj zachodzi przybli·zony wzór

f (p+ h) � f (p) + df (p) (h) :

Niech g : D ! R, D � Rn, f1; :::; fn : �! R, � � R, przy czym

f (t) = (f1 (t) ; f2 (t) ; :::; fn (t)) 2 D; t 2 �:

Wówczas jest sens mówic o z÷o·zeniu

(g � f) (t) = g (f1 (t) ; :::; fn (t)) :

Twierdzenie 1.47 Je·zeli funkcje fi s ¾a ró·zniczkowalne w punkcie t0 2 � (i = 1; :::; n) orazg jest ró·zniczkowalna w punkcie p0 = f (t0), to z÷o·zenie g � f jest ró·zniczkowalna w t0; przyczym

(g � f)0 (t0) =nXi=1

@g

@xi(f (t0)) � f 0i (t0)

= dg (f (t0)) ([f01 (t0) ; :::; f

0n (t0)]) :

Twierdzenie 1.48 Za÷ó·zmy, ·ze funkcje fi : � ! R (i = 1; :::; n), � � Rm maj ¾a pochodnecz ¾astkowe

@fi@tj

(t0)

9


dla pewnego t0 2 � oraz ustalonego j (1 � j � m). Wówczas przy za÷o·zeniu, ·ze g : D ! R,D � Rn,

f (t) = (f1 (t) ; :::; fn (t)) 2 D; t 2 �i ró·zniczkowalnosci funkcji g w punkcie f (t0) istnieje pochodna cz ¾atkowa @

@tj(g � f) (t0) przy

czym@

@tj(g � f) (t0) =

nXi=1

@g

@xi(f (t0)) �

@fi@tj

(t0) :

Twierdzenie 1.49 (o wartosci sredniej) Je·zeli f : D ! R, D � Rn jest zbiorem ot-wartym i f jest ró·zniczkowalna na zbiorze D, to dla dowolnego punktu p0 2 D i wektorah 2 Rn takiego, ·ze odcinek [p0; p0 + h] zawiera si ¾e w D, istnieje t 2 (0; 1), ·ze

f (p0 + h)� f (p0) = df (p0 + th) (h) :

De�nicja 1.50 Niech f : D ! R i p0 2 D. Poziomic ¾a funkcji f przechodz ¾ac ¾a przez punktp0 nazywamy zbiór

S (p0) = fp 2 D : f (p) = f (p0)g:

De�nicja 1.51 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f : D ! R jest ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 IntD.Gradientem f w punkcie p0 nazywamy wektor

rf (p0) =�@f

@x1(p0) ; :::;

@f

@xn(p0)

�:

Je·zeli rf (p0) = 0 (wektor zerowy!), to mówimy, ·ze p0 jest punktem stacjonarnym funkcjif .

Uwaga 1.52 1. Mo·zna wykazac, ·ze gradient funkcji f wskazuje kierunek najszybszegowzrostu wartosci tej funkcji. Ponadtorf (p0) jest wektorem prostopad÷ym do poziomicyfunkcji f przechodz ¾acej przez p0.

2.df (p0) (h) = rf (p0) � h

(� oznacza iloczyn skalarny wektorów).

1.5 Pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu drugiegoNiech f : D ! R, D � Rn b¾edzie zbiorem otwartym i za÷ó·zmy, ·ze istnieje pochodnacz ¾astkowa @f

@xi(p) dla ka·zdego p 2 D. Je·zeli istnieje pochodna cz ¾astkowa

@

@xj

�@

@xi

�(p0)

w punkcie p0 2 D, to nazywamy j ¾a drug ¾a pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a wzgl¾edem i-tej i j-tej zmien-nej. Oznaczamy j ¾a przez

@2f

@xj@xi(p0) lub f 00xixj (p0) :

Pochodn ¾a @2f@xi@xi

(p0) oznaczamy przez

@2f

@x2i(p0) :

10


De�nicja 1.53 Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R jest dwukrotnie ró·zniczkowalna w punkciep0, je·zeli istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu drugiego na pewnym otoczeniu p0 i s ¾a ci ¾ag÷e wtym punkcie. Mówimy, ·ze funkcja f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna (jest klasy C2 na zbiorzeD; f 2 C2 (D)), je·zeli ma ci ¾ag÷e pochodne cz ¾astkowe drugiego rz ¾edu na D.

Twierdzenie 1.54 (Schwarza o symetrii drugiej ró·zniczki) Je·zeli f : D ! R jestdwukrotnie ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 D, to

@2f

@xi@xj(p0) =

@2f

@xj@xi(p0) ; i; j = 1; :::; n:

De�nicja 1.55 Za÷ó·zmy, ·ze f jest dwrukrotnie ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 D. Drug ¾aró·zniczk ¾a f w punkcie p nazywamy odwzorowanie

d2f (p0) : Rn � Rn ! R

okreslone wzorem

d2f (p0) (h;k) =nX

i;j=1

@2f

@xi@xj(p0)hikj

gdzie h = [h1; :::; hn], k = [k1; :::; kn].

W szczególnym przypdaku dla n = 2

d2f (p0) (h;k) =@2f

@x2(p0)h1k1 +

@2f

@x@y(p0) (h1k2 + h2k1) +

@2f

@y2(p0)h2k2

i jesli h = k, to

d2f (p0) (h;h) =@2f

@x2(p0)h

21 + 2

@2f

@x@y(p0)h1h2 +

@2f

@y2(p0)h

22;

w skrócie b ¾edziemy pisac d2f (p0)h2:

1.6 Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennychDe�nicja 1.56 Mówimy, ·ze funkcja f : D ! R, D � Rn ma maksimum [minimum]lokalne w punkcie p0 2 D, je·zeli istnieje otoczenie U punktu p0 takie, ·ze

^p2U

f (p) � f (p0)

24^p2U

f (p) � f (p0)

35 :Je·zeli w powy·zszym warunku spe÷niona jest nierównosc ostra, to mówimy o maksimum [min-imum] lokalnym w÷asciwym.Je·zeli ^

p2Df (p) � f (p0)

24^p2D

f (p) � f (p0)

35 ;to mówimy, ·ze funkcja f ma w punkcie p0 maksimum [minimum] absolutne � oznaczamyje przez

maxp2D

f (p)

�minp2D

f (p)

�:

11


Twierdzenie 1.57 (warunek konieczny na istnienie ekstremum lokalnego) Je·zeli funkcjaf ma pochodne cz ¾astkowe w punkcie p0 2 IntD i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to

@f

@xi(p0) = 0; i = 1; :::; n:

Uwaga 1.58

1. Funkcja mo·ze miec ekstremum lokalne w punkcie, w którym nie posiada pochodnychcz ¾astkowych, np. f (x; y) =

px2 + y2.

2. Je·zeli f jest ró·zniczkowalna w p0 i ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to rf (p0) =0 (tzn. p0 jest punktem stacjonarnym).

3. Zerowanie si¾e pochodnych cz ¾astkowych nie wystarcza do tego, ·zeby istnia÷o ekstremumlokalne, np dla funkcji f (x; y) = x2� y2 mamy rf (0; 0) = [0; 0], ale funkcja f nie maekstremum lokalnego w punkcie (0; 0).

Twierdzenie 1.59 (warunek wystraczaj ¾acy na istnienie ekstremum lokalnego) Za÷ó·zmy,·ze f : D ! R, D � R2 jest zbiorem otwarym i f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna w punkciep0 2 D. Je·zeli

1. rf (p0) = 0

2. W (p0) =

�� f 00xx (p0) f 00xy (p0)f 00xy (p0) f 00yy (p0)

�� > 0to funkcja f ma w punkcie p0 ekstremum lokalne w÷asciwe, przy czym jest to

� maksimum lokalne, gdy f 00xx (p0) < 0

� minimum lokalne, gdy f 00xx (p0) > 0

Je·zeli W (p0) < 0, to f nie ma ekstremum w p0. Je·zeli W (p0) = 0, to jest to przypadekw ¾atpliwy, tzn. w zale·znosci od funkcji f mo·ze, ale nie musi byc ekstremum w tym punkcie.

De�nicja 1.60 Niech A 2 Mn;n (R) b ¾edzie macierz ¾a symetryczn ¾a (tzn. AT = A). Form ¾akwadratow ¾a o macierzy A nazywamy odwzorowanie ' : Rn ! R okreslone wzorem

' (h) = hAhT = [h1; :::; hn]

264 a11 ::: a1n...

...an1 ::: ann

375264 h1

...hn

375 = nXi;j=1

aijhihj ;

gdzie A =

264 a11 ::: a1n...

...an1 ::: ann

375 i h = [h1; :::; hn].Przyk÷ad 1.61 Gdy n = 2, A =

�a bb c

�, h = [h1; h2]

' (h) = [h1; h2]

�a bb c

� �h1h2

�= [h1; h2]

�ah1 + bh2bh1 + ch2

�= ah21 + bh1h2 + bh1h2 + ch

22 = ah21 + 2bh1h2 + ch

22:

12


W szczególnym przypadku, gdy f : D ! R, D � R2 jest zbiorem otwartym i f jest klasyC2 na D, to dla dowolnego punktu p 2 D otrzymujemy macierz symetryczn ¾a�

f 00xx (p) f 00xy (p)f 00xy (p) f 00yy (p)

�:

Form ¾a kwadratow ¾a wyznaczon ¾a przez t¾e macierz jest

' (h) = d2f (p)h2 = d2f (p) (h;h) = f 00xx (p)h21 + 2f

00xy (p)h1h2 + f

00yy (p)h

22:

De�nicja 1.62 Mówimy, ·ze forma kwadratowa ' jest dodatnio [ujemnie] okreslona,je·zeli ^

h2Rnnf0g

' (h) > 0

24 ^h2Rnnf0g

' (h) < 0

35 :Mówimy, ·ze ' jest form ¾a kwadratow ¾a nieujemn ¾a [niedodatni ¾a], je·zeli

^h2Rn

' (h) � 0" ^h2Rn

' (h) � 0#:

Przyk÷ad 1.63 Forma ' (h1; h2) = h21 jest form ¾a nieujemn ¾a, ale nie jest dodatnio okreslon ¾a.

De�nicja 1.64 Mówimy, ·ze forma kwadratowa ' jest pó÷okreslona dodatnio, je·zeli jestnieujemna, ale nie jest dodatnio okreslona. Mówimy, ·ze ' jest pó÷okreslona ujemnie,je·zeli jest niedodatnia, ale nie jest ujemnie okreslona. Mówimy, ·ze forma ' jest nieokreslona,gdy ' przyjmuje wartosci dodatnie i ujemne.

Przyk÷ad 1.65 Forma ' (h1; h2) = h21 � h22 jest nieokreslona.

De�nicja 1.66 Niech A 2Mn;n (R). Minorem g÷ównym stopnia k (1 � k � n) macierzyA nazywamy wyznacznik

�k = det

264 a11 ::: a1k...

...ak1 ::: akk

375 :Twierdzenie 1.67 Niech A = [aij ] b ¾edzie macierz ¾a formy kwadratowej ' : Rn ! R. Forma' jest

� dodatnio okreslona wtedy i tylko wtedy, gdyV

k2f1;:::;ng�k > 0;

� ujemnie okreslona wtedy i tylko wtedy,gdyV

k2f1;:::;ng(�1)k �k > 0:

Je·zeli f : D ! R, D � Rn jest zbiorem otwartym i f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna wpunkcie p0 2 D, to mo·zemy okreslic form¾e kwadratow ¾a

' (h) = d2f (p0) (h;h) =nX

i;j=1

f 00xixj (p0)hihj :

13


Macierz ¾a tej formy jest macierz drugich pochodnych f w punkcie p026664f 00x1x1 (p0) f 00x1x2 (p0) ::: f 00x1xn (p0)f 00x2x1 (p0) f 00x2x2 (p0) ::: f 00x2xn (p0)

......

...f 00xnx1 (p0) f 00xnx2 (p0) ::: f 00xnxn (p0)

37775 :Nazywamy j ¾a macierz ¾a Hessego, zas jej wyznacznik � hesjanem.

Twierdzenie 1.68 (warunek wystarczaj ¾acy na istnienie ekstremum lokalnego) Za÷ó·zmy,·ze f : D ! R, D � Rn jest zbiorem otwartym, f jest dwukrotnie ró·zniczkowalna w punkcie

p0 2 D i rf (p0) = 0. Je·zeli forma kwadratowa h 7! d2f (p0) (h;h) =nP

i;j=1

f 00xixj (p0)hihj

� jest dodatnio okreslona, to f ma minimum lokalne w p0;

� jest ujemnie okreslona, to f ma maksimum lokalne w p0;

� jest nieokreslona, to f nie ma ekstremum lokalnego w p0.

Je·zeli forma jest pó÷okreslona dodatnio [ujemnie], jest to przypadek w ¾atpliwy.

1.7 Funkcja uwik÷anaDe�nicja 1.69 Niech f : D ! R, D � R2. Za÷ó·zmy, ·ze ' : I ! R (I � R jest przedzia÷em)jest tak ¾a funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, ·ze

1.Vx2I

(x; ' (x)) 2 D;

2.Vx2I

f (x; ' (x)) = 0:

Wówczas funkcj ¾e ' nazywamy funkcj ¾a uwik÷an ¾a okreslon ¾a równaniem (przez rów-nanie) f (x; y) = 0. Oznacza to, ·ze jesli S = f(x; y) 2 D : f (x; y) = 0g, to pewna cz ¾esczbioru S jest wykresem funkcji '.

Twierdzenie 1.70 (o istnieniu funkcji uwi÷anej) Je·zeli f : D ! R jest klasy C1 nazbiorze otwartym D � R2, (x0; y0) 2 D oraz

f (x0; y0) = 0 i f 0y (x0; y0) 6= 0;

to istnieje dok÷adnie jedna funkcja y = ' (x) uwik÷ana przez równanie f (x; y) = 0 okreslonana pewnym przedziale (x0 � �; x0 + �) przy czym ' (x0) = y0, ' jest klasy C1 oraz

'0 (x) = �f0x (x; ' (x))

f 0y (x; ' (x)); x 2 (x0 � �; x0 + �) : (*)

Uwaga 1.71 Równosc (*) otrzymujemy przez zró·zniczkowanie stronami równosci f (x; ' (x)) =0 :

0 = f 0x (x; ' (x)) � x0 + f 0y (x; ' (x)) � '0 (x)= f 0x (x; ' (x)) + f

0y (x; ' (x)) � '0 (x) ;

14


w szczególnosci

'0 (x0) = �f 0x (x0; y0)

f 0y (x0;y0);

bo ' (x0) = y0.

Uwaga 1.72 Je·zeli f 0y (x0; y0) = 0, to mo·ze si¾e zdarzyc, ·ze nie zachodzi teza twierdzenia oistnieniu funkcji uwik÷anej.

1. (x0; y0) = (0; 0) i f (x; y) = x2 � y2

� istniej ¾a dwie ró·zne ró·zniczkowalne funkcje uwik÷ane '1 (x) = x oraz '2 (x) = �x;

2. (x0; y0) = (0; 0) i f (x; y) = x2 + y2

� nie istnieje funkcja uwik÷ana okreslona na otoczeniu x0 = 0, bo f(x; y) : f (x; y) =0g = f(0; 0)g;

3. (x0; y0) = (0; 0) i f (x; y) = 0

� w tym przypadku S = f(x; y) : f (x; y) = 0g = R2

Je·zeli funkcja f jest klasy C2, to funkcja uwik÷ana ' jest te·z klasy C2 przy czym namocy (*) mamy

0 = f 0x + f0y'

0:

Ponownie ró·zniczkuj ¾ac stronami otrzymamy

0 = f 00xxx0 + f 00xy'

0x +

�f 00yxx

0 + f 00yy'0�'0 + f 0y'00

0 = f 00xx + 2f00xy'

0 + f 00yy ('0)2+ f 0y'

00

st ¾ad

'00 (x) = � 1

f 0y (x; ' (x))

�f 00xx (x; ' (x)) + 2f

00xy (x; ' (x))'

0 (x) + f 00yy (x; ' (x))'0 (x)

2�:

W szczególnosci

'00 (x0) = �1

f 0 (x0; y0)

�f 00xx (x0; y0) + 2f

00xy (x0; y0)'

0 (x0) + f00 (x0; y0)'

0 (x0)2�

i jesli '0 (x0) = 0, to

'00 (x0) = �f 00xx (x0; y0)

f 0y (x0; y0):

Twierdzenie 1.73 (o ekstremach funkcji uwik÷anej) Niech f : D ! R b ¾edzie funkcj ¾aklasy C2 na zbiorze otwartym D � R2 i niech (x0; y0) 2 D. Je·zeli

1. f (x0; y0) = 0, f 0x (x0; y0) = 0 i f0y (x0; y0) 6= 0;

2. f 00xx (x0; y0) 6= 0;

to funkcja uwik÷ana y = ' (x) ma ekstremum lokalne w punkcie x0, przy czym jest to

� maksimum lokalne, gdy '00 (x0) < 0;

� minimum lokalne, gdy '00 (x0) > 0;

gdzie

'00 (x0) = �f 00xx (x0; y0)

f 0y (x0; y0): (**)

15


1.8 Pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu > 2. Wzór TayloraDe�nicja 1.74 Niech f : D ! R, D � Rn jest zbiorem otwartym i p0 2 D. Za÷ó·zmy, ·ze dlapewnej liczby naturalnej k w ka·zdym punkcie p 2 D istniej ¾a pochodne cz ¾astkowe rz ¾edu k�1.Pochodnymi cz ¾astkowymi rz ¾edu k w punkcie p0 nazywamy pochodne cz ¾astkowe pochodnychcz ¾astkowych rz ¾edu k � 1 w punkcie p0.

De�nicja 1.75 Mówimy, ·ze funkcja f jest k-krotnie ró·zniczkowalna w punkcie p0 2 D,je·zeli istniej ¾a wszystkie pochodne cz ¾astkowe w pewnym otoczeniu punktu p0 i s ¾a ci ¾ag÷e w tympunkcie. Mówimy, ·ze funkcja f jest klasy Ck na zbiorze otwartym D, je·zeli ma wszystkiepochodne cz ¾astkowe rz ¾edu k na D i s ¾a one ci ¾ag÷e.

De�nicja 1.76 Niech f : D ! R, gdzie D � Rn jest zbiorem otwartym, b ¾edzie funkcj ¾ak-krotnie ró·zniczkowaln ¾a w punkcie p0 2 D. Ró·zniczk ¾a rz ¾edu k funkcji f w punkcie p0nazywamy odwzorowanie

dkf (p0) : Rn � :::� Rn| {z }k razy

�! R

dkf (p0)�h1; :::;hk

�=

nXi1;:::;ik=1

@k

@xi1 :::@xikh1i1 � ::: � h

kik;

gdzie hi =�hi1; :::; h

in

�, i = 1; :::; k. Przyjmujemy nast ¾epuj ¾ac ¾a umow ¾e

dkf (p0)h(k) = dkf (p0) (h; :::;h) :

Twierdzenie 1.77 (Taylora) Je·zeli funkcja f : D ! R, gdzie D � Rn jest zbiorem ot-wartym, jest ró·zniczkowalna w ka·zdym punkcie odcinka [p0; p0 + h] � D, to istnieje takaliczba � 2 (0; 1), ·ze

f (p0 + h) = f (p0) + df (p0)h+1

2!d2f (p0)h

(2) + :::

+1

(k � 1)!dk�1f (p0)h

(k�1) +1

k!dkf (p0 + �h)h

(k):

Twierdzenie 1.78 (o ca÷ce zale·znej od parametru) Za÷ó·zmy, ·ze funkcja F : [a; b] �[�; �]! R jest ci ¾ag÷a. Wówczas funkcja

f : [�; �]! R

f (x) =

bZa

F (t; x) dt

jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a na przedziale [�; �]. Je·zeli F ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a cz ¾astkow ¾a @F@x , to wów-

czas f jest ró·zniczkowalna i

f 0 (x) =

bZa

@F

@x(t; x) dt:

Przyk÷ad 1.79 Niech f (x) =�2R0

ex sin tdt. Wówczas

f 0 (x) =

Z �2

0

sin tex sin tdt:

16


1.9 Ca÷ka podwójnaDe�nicja 1.80 Przedzia÷em 2-wymiarowym nazywamy zbiór P postaci

P = [a1; b1]� [a2; b2] ; ai < bi; i = 1; 2:

Obj ¾etosci ¾a 2-wymiarow ¾a przedzia÷u P nazywamy liczb ¾e jP j zde�niowan ¾a jako

jP j = (b1 � a1) � (b2 � a2) ;

zas srednic ¾a przedzia÷u P liczb ¾e

diam (P ) =

q(b1 � a1)2 + (b2 � a2)2:

De�nicja 1.81 Podzia÷em przedzia÷u P nazywamy ka·zd ¾a rodzin ¾e � = fP1; :::; Pmg (m 2N) przedzia÷ów 2-wymiarowych takich, ·ze

1. P = P1 [ ::: [ Pm;

2. IntPi \ IntPj = ;, i 6= j:

Srednic ¾a podzia÷u � nazywamy liczb ¾e

� (�) = maxi=1;:::;m

diam (Pi) :

Zbiór wszystkich podzia÷ów przedzia÷u P oznaczamy przez P (P ).

De�nicja 1.82 Wartosciowaniem podzia÷u � = fP1; :::; Pmg nazywamy zbiór T = fp1; :::; pmgtaki, ·ze pi 2 Pi, i = 1; :::;m. Zbiór wszystkich wartosciowan podzia÷u � oznaczamy przezT (�).

De�nicja 1.83 Niech f : P ! R, gdzie P jest przedzia÷em 2-wymiarowym, � = fP1; :::; Pmg 2P (P ), T 2 T (�). Sum ¾a Riemanna dla funkcji f , podzia÷u � i wartosciowania T nazy-wamy liczb ¾e

� (f; �; T ) =mXi=1

f (pi) jPij :

De�nicja 1.84 Liczb ¾e � (f) nazywamy ca÷k ¾a Riemanna funkcji f : P ! R na przedzialeP , je·zeli ^

">0

_�>0

^�2P(P )

0@� (�) < � )^

T2T (�)

j� (f; �; T )� � (f)j < "

1A :

Liczb ¾e � (f) b ¾edziemy dalej oznaczac przez

� (f) =

ZZP

f (x; y) dxdy

i nazywac ca÷k ¾a podwójn ¾a z funkcji f na przedziale P . Mówimy, ·ze funkcja f jest ca÷kowalnana przedziale P .

De�nicja 1.85 Ci ¾ag podzia÷ów (�k)k2N nazywamy normalnym, je·zeli limk!1

� (�k) = 0.

17


Twierdzenie 1.86 Funkcja f : P ! R jest ca÷kowalna na przedziale P iRRP

f jest ca÷k ¾a

Riemanna f na P wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego normalnego ci ¾agu podzia÷ów (�k)i ci ¾agu wartosciowan (Tk), Tk 2 T (�k),

limk!1

� (f; �k; Pk) =

ZZP

f:

Twierdzenie 1.87 (warunek wystarczaj ¾acy ca÷kowalnosci) Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a f :P ! R okreslona na przedziale P jest ca÷kowalna.

Interpretacja geometryczna ca÷ki podwójnej.Je·zeli f : P ! R jest funkcj ¾a nieujemn ¾a okreslon ¾a na przedziale P , to ca÷ka

RRP

f jest

równa obj¾etosci obszaru

V = f(x; y; z) 2 R3 : (x; y) 2 P ^ 0 � z � f (x; y)g:

Twierdzenie 1.88 (Fubiniego) Je·zeli P = [a; b] � [c; d], f : P ! R jest ca÷kowalna orazdla ka·zdego x 2 [a; b] istnieje ca÷ka oznaczona

f1 (x) =

dZc

f (x; y) dy

(dla ka·zdego y 2 [c; d] istnieje ca÷ka f2 (y) =bRa

f (x; y) dx), to

ZZf (x; y) dxdy =

bZa

0@ dZc

f (x; y) dy

1A dx

0@ZZP

f (x; y) dxdy =

dZc

0@ bZa

f (x; y) dx

1A dy

1A :

Uwaga 1.89 1. Za÷o·zenie ca÷kowalnosci funkcji f i istnienie ca÷ek f1 (x) (f2 (y)) s ¾a nieza-le·zne od siebie.

2. Je·zeli f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, to f jest ca÷kowalna oraz istniej ¾a ca÷ki f1 i f2 � za÷o·zeniatwierdzenia s ¾a wi¾ec automatycznie spe÷nione.

3. Je·zeli f (x) = g1 (x) � g2 (y) i funkcje g1, g2 s ¾a ci ¾ag÷e, toZZP

f (x; y) dxdy =

Z b

a

g1 (x) dx �Z d

c

g2 (y) dy

De�nicja 1.90 Niech D � R2 b ¾edzie zbiorem ograniczonym, f : D ! R. Mówimy, ·zefunkcja f jest ca÷kowalna (w sensie Riemanna) na zbiorze D, je·zeli istnieje przedzia÷P � Dtaki, ·ze funkcja

�f (x) =

�f (x) ; x 2 D0; x 2 P nD

18


jest ca÷kowalna na P . Przyjmujemy wtedyZZD

fdef=

ZZP

�f:

De�nicja 1.91 Niech D � R2, P b ¾edzie takim przedzia÷em, ·ze D � P oraz � 2 P (P ).Przyjmijmy

�Z = fQ 2 � : Q \D 6= ;g�W = fQ 2 � : Q � Dg

Liczb ¾eZ (D) = inff

XQ2�Z

jQj : � 2 P (P )g

nazywamy zewn ¾etrzn ¾a miar ¾a Jordana zbioru D, zas liczb ¾e

W (D) = supfXQ2�W

jQj : � 2 P (P )g

� wewn ¾etrzn ¾a miar ¾a Jordana zbioru D.Mówimy, ·ze zbiór D jest mierzalny w sensie Jordana, je·zeli Z (D) =W (D). Wówczas

liczb ¾ejDj = Z (D) =W (D)

nazywamy (2-wymiarow ¾a) miar ¾a Jordana zbioru D.

Mo·zna wykazac, ·ze przedzia÷y 2-wymiarowe s ¾a mierzalne w sensie Jordana; miara Jor-dana przedzia÷u P jest równa jP j (zwyk÷a"miara P ).

De�nicja 1.92 Mówimy, ·ze zbiór D � R2 ma 2-wymiarow ¾a miar ¾e Jordana równ ¾a zero,je·zeli Z (D) = 0.

Twierdzenie 1.93 Je·zeli funkcja f : [a; b]! R jest ci ¾ag÷a, to wykres funkcji f

f(x; f (x)) : x 2 [a; b]g

ma 2-wymiarow ¾a miar ¾e Jordana równ ¾a zero.

Twierdzenie 1.94 Ograniczony podzbiór D � R2 jest mierzalny w sensie Jordana, je·zelibrzeg zbioru D ma 2-wymiarow ¾a miar ¾e równ ¾a zero.

De�nicja 1.95 Ograniczony obszar D � R2 nazywamy regularnym, je·zeli jego brzeg jestsum ¾a skonczonej ilosci wykresów funkcji ci ¾ag÷ych.

Wniosek 1.96 Je·zeli D � R2 jest regularny, to jest mierzalny w sensie Jordana.

Twierdzenie 1.97 (warunek konieczny ca÷kowalnosci) Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalnana domkni ¾etym regularnym obszarze D, to jest ograniczona na D.

Twierdzenie 1.98 (warunek wystarczaj ¾acy ca÷kowalnosci) Je·zeli funkcja f

� jest ci ¾ag÷a na domkni ¾etym obszarze regularnym D;

19


lub

� jest ograniczona na domkni ¾etym obszarze regularnym D i jest ci ¾ag÷a poza skonczon ¾ailosci ¾a wykresów funkcji ci ¾ag÷ych,

to jest ca÷kowalna.

Twierdzenie 1.99 (w÷asnosci ca÷ki podwójnej) Za÷ó·zmy, ·ze D jest domkni ¾etym obszaremregularnym.

1. Je·zeli f; g : D ! R s ¾a ca÷kowalne na D, to funkcja �f + �g jest ca÷kowalna na D(�; � 2 R) oraz ZZ

D

(�f + �g) dxdy = �

ZZD

fdxdy + �

ZZD

gdxdy:

2. Je·zeli f; g : D ! R s ¾a ca÷kowalne na D orazV

(x;y)2Df (x; y) � g (x; y), to

ZZD

fdxdy �ZZD

gdxdy:

3. Je·zeli f : D ! R jest ca÷kowalna, to jf j jest te·z ca÷kowalna, przy czym��ZZD

fdxdy

�� ZZD

jf j dxdy:

4. Je·zeli f : D ! R jest ca÷kowalna orazV

(x;y)2Dm � f (x; y) �M , to

m jDj �ZZD

fdxdy �M jDj :

5. Je·zeli f; g : D ! R ró·zni ¾a si ¾e na zbiorze miary zero, to f jest ca÷kowalna wtedy i tylkowtedy, gdy g jest ca÷kowalna; wówczasZZ

D

fdxdy =

ZZD

gdxdy:

6. Je·zeli D = D1 [D2, IntD1 \ IntD2 = ;, zbiory D1 i D2 s ¾a domkni ¾etymi obszaramiregularnymi oraz f : D ! R jest ca÷kowalna, to f jest ca÷kowalna na D1 i D2 przyczym ZZ

D

fdxdy =

ZZD1

fdxdy +

ZZD2

fdxdy:

7. Je·zeli funkcja f : D ! R jest ci ¾ag÷a, to istnieje taki punkt (x0; y0) 2 D, ·zeZZD

fdxdy = f (x0; y0) jDj :

20


1.9.1 Zamiana ca÷ki podwójnej na ca÷k¾e iterowan ¾a

De�nicja 1.100 Obszar domkni ¾ety D nazywamy normalnym wzgl ¾edem osi OX, je·zeli

D = f(x; y) : a � x � b ^ g (x) � y � h (x)g;

gdzie g; h : [a; b] ! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi takimi, ·zeV

x2(a;b)g (x) < h (x). Mówimy, ·ze D

jest normalny wzgl ¾edem osi OY , je·zeli

D = f(x; y) : � � y � � ^^

y2[�;�]

' (y) � x � (y)g;

gdzie '; : [�; �]! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi takimi, ·zeV

y2(�;�)' (y) < (y) :

Uwaga 1.101 Obszary normalne s ¾a regularne.

Twierdzenie 1.102 (o zamianie ca÷ki podwójnej na iterowan ¾a) Za÷ó·zmy, ·ze f : D !R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a. Je·zeli D jest obszarem normalnym wzgl ¾edem osi OX

D = f(x; y) : a � x � b ^ g (x) � y � h (x)g;

to ZZD

f (x; y) dxdy =

bZa

0B@ h(x)Zg(x)

f (x; y) dy

1CA dx:

Je·zeli D jest obszarem normalnym wzgl ¾edem osi OY

D = f(x; y) : � � y � � ^ ' (y) � x � (y)g;

to ZZD

f (x; y) dxdy =

�Z�

0B@ (y)Z'(y)

f (x; y) dx

1CA dy:

1.9.2 Zamiana zmiennych w ca÷ce podwójnej

De�nicja 1.103 Za÷ó·zmy, ·ze dana jest funkcja F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)), gdzie x; y :D ! R s ¾a klasy C1 na zbiorze otwartym D � R2. Jakobianem przekszta÷cenia F wpunkcie (u; v) 2 D nazywamy liczb ¾e

J (u; v) =

�� @x@u (u; v)

@x@v (u; v)

@y@u (u; v)

@y@v (u; v)

�� :Przyk÷ad 1.104 1. F (u; v) = (au+ bv; cu+ dv), gdzie (u; v) 2 R2 i a; b; c; d s ¾a ustalonymi

liczbami rzeczywistymi. Wtedy

J (u; v) = ad� bc:

2. F (u; v) =�p

uv ;puv�, u; v 2 (1; 2). Wtedy

J (u; v) =1

2v:

21


3. F (r; ') = (r cos'; r sin'). Wtedy

J (r; ') = r:

Twierdzenie 1.105 (o zamianie zmiennych w ca÷ce podwójnej) Je·zeli

1. F (u; v) = (x (u; v) ; y (u; v)) przekszta÷ca wzajemnie jednoznacznie wn ¾etrze domkni ¾etegoobszaru regularnego � � R2 na wn ¾etrze domkni ¾etego obszaru regularnego D � R2;

2. funkcje x i y s ¾a klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym U takim, ·ze � � U

3. funkcja f : D ! R jest ci ¾ag÷a

4. jakobian J (u; v) odwzorowania F jest ró·zny od zera dla ka·zdego (u; v) 2 Int�,

to ZZD

f (x; y) dxdy =

ZZ�

f (x (u; v) ; y (u; v)) jJ (u; v)j dudv:

De�nicja 1.106 P÷atem powierzchniowym nazywamy zbiór

S = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ z = f (x; y)g;

gdzie D � R2 jest obszarem domkni ¾etym i f : D ! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a.

Twierdzenie 1.107 Je·zeli D jest domkni ¾etym obszarem regularnym i f jest klasy C1 nazbiorze D (tzn. jest klasy C1 na pewnym zbiorze otwartym U takim, ·ze D � U), to polepowierzchni p÷ata S jest równe

jSj =ZZD

q1 + (f 0x)

2+�f 0y�2dxdy:

Twierdzenie 1.108 Je·zeli

V = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ f1 (x; y) � z � f2 (x; y)g;

gdzie f1; f2 : D ! R s ¾a ci ¾ag÷e na domkni ¾etym obszarze regularnym D � R2 orazV

(x;y)2Df1 (x; y) �

f2 (x; y), to obj ¾etosc jV j zbioru V jest równa

jV j =ZZD

(f2 (x; y)� f1 (x; y)) dxdy:

1.10 Ca÷ka potrójnaPrzedzia÷em 3-wymiarowym nazwyamy zbiór

P = [a1; b1]� [a2; b2]� [a3; b3] ; ai < bi; i = 1; 2; 3;

obj¾etosci ¾a P nazywamy liczb¾e

jP j = (b1 � a1) � (b2 � a2) � (b3 � a3) ;

22


zas srednic ¾a � liczb¾e

diam (P ) =

q(a1 � b1)2 + (a2 � b2)2 + (a3 � b3)2:

Podobnie jak w pryzpadku 2-wymiarowym de�niujemy poj¾ecie podzia÷u przedzia÷u P , wartos-ciowania podzia÷u, sumy i ca÷ki Riemanna dla funkcji f : P ! R, ca÷ki z funkcji f : V ! P ,gdzie V jest zbiorem ograniczonym. Ca÷k¾e z f : V ! R, gdzie V � R3 jest zbiorem ogranic-zonym, nazywamy ca÷k ¾a potrójn ¾a z funkcji f na V i oznaczamy symbolemZZZ

V

f (x; y; z) dxdydz:

U·zywaj ¾ac poj¾ecia 3-wymiarowych przedzia÷ów de�niujemy 3-wymiarow ¾a miar¾e Jordanaograniczonego zbioru V � R3; oznaczamy j ¾a przez jV j.

De�nicja 1.109 Ograniczony obszar V � R3 nazywamy regularnym, je·zeli jego brzeg jestsum ¾a skonczonej ilosci p÷atów powierzchniowych.

Interpretacja ca÷ki potrójnej: je·zeli V jest obszarem regularnym, to

�RRRV

1dxdydz = jV j

� je·zeli � (x; y; z) jest g¾estosci ¾a w punkcie (x; y; z) 2 V , to masa V jest równa

m =

ZZZV

� (x; y; z) dxdydz:

De�nicja 1.110 Domkni ¾ety i ograniczony obszar V � R3 nazywamy normalnym wzgl ¾edemp÷aszczyzny OXY , je·zeli

V = f(x; y; z) : (x; y) 2 D ^ g (x; y) � z � h (x; y)g;

gdzie D � R2 jest domkni ¾etym obszarem regularnym oraz g; h : D ! R s ¾a funkcjamici ¾ag÷ymi, przy czym

V(x;y)2IntD

g (x; y) < h (x; y).

Twierdzenie 1.111 Je·zeli funkcja f : V ! R jest ci ¾ag÷a na domkni ¾etym obszarze V normalnymwzgl ¾edem p÷aszczyzny OXY , to przy powy·zszych oznaczeniach

ZZZV

f (x; y; z) dxdydz =

ZZD

0B@ h(x;y)Zg(x;y)

f (x; y; z) dz

1CA dxdy:

De�nicja 1.112 Niech F (u; v; w) = (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)), gdzie (u; v; w) 2 i jest zbiorem otwartym. Je·zeli funkcje x; y; z s ¾a ró·zniczkowalne na D, to jakobianem Fnazywamy funkcj ¾e

J (u; v; w) =

��x0u x0v x0wy0u y0v y0wz0u z0v z0w

�� :Przyk÷ad 1.113

23

2. RÓWNANIA RÓ ·ZNICZKOWE ZWYCZAJNE

� wspó÷rz¾edne walcowe 8<: x = r cos'y = r sin'z = h

wtedy

J (r; '; h) =

��cos' �r sin' 0sin' r cos' 00 0 1

�� = r cos2 '+ r sin2 ' = r;

� wspó÷rz¾edne sferyczne 8<: x = r cos' cos �y = r sin' cos �z = r sin �

wtedy

J (r; '; �) =

��cos' cos � �r sin' cos � �r cos' sin �sin' cos � r cos' cos � �r sin' sin �sin � 0 r cos �

�� = r2 cos �:

Twierdzenie 1.114 (o zamianie zmiennych w ca÷ce potrójnej) Je·zeli

F (u; v; w) = (x (u; v; w; ) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w))

1. przekszta÷ca wzajemnie jednoznacznie wn ¾etrze domkni ¾etego obszaru regularnego �R3 na wn ¾etrze domkni ¾etego obszaru regularnego V � R3

2. funkcje x; y; z s ¾a klasy C1 na

3. f jest ci ¾ag÷a na V

4. jakobian J (u; v; w) 6= 0 dla ka·zdego (u; v; w) 2 Int, toZZZV

f (x; y; z) dxdydz

=

ZZZ

f (x (u; v; w) ; y (u; v; w) ; z (u; v; w)) � jJ (u; v; w)j dudvdw

2 Równania ró·zniczkowe zwyczajne

2.1 Równania ró·zniczkowe zwyczajne rz ¾edu pierwszegoNiech � R�R� R b¾edzie zbiorem otwartym i F : ! R b¾edzie tak ¾a funkcj ¾a, ·ze pochodnaF wzgl¾edem ostatniej zmiennej nie jest to·zsamosciowo równa zero.

De�nicja 2.1 RównanieF (x; y; y0) = 0; (2.1)

w którym niewiadom ¾a jest pewna funkcja y zmiennej x okreslona na pewnym przedziale ot-wartym I � R, nazywamy równaniem ró·zniczkowym zwyczajnym rz ¾edu pierwszego.

24


De�nicja 2.2 Rozwi ¾azaniem szczególnym (ca÷k ¾a szczególn ¾a) równania (2.1) nazy-wamy ka·zd ¾a funkcj ¾e ' : I ! R okreslon ¾a na przedziale otwartym (ograniczonym lub nie)tak ¾a, ·ze

1. ' jest ró·zniczkowalna na I;

2. f(x; ' (x) ; '0 (x)) : x 2 Ig � ;

3.^x2I

F (x; ' (x) ; '0 (x)) = 0:

Wykres rozwi ¾azania ' nazywamy krzyw ¾a ca÷kow ¾a tego równania.

De�nicja 2.3 Zbiór wszystkich rozwi ¾azan szczególnym równania (2.1) nazywamy rozwi ¾azaniemogólnym (ca÷k ¾a ogóln ¾a) tego równania.

De�nicja 2.4 Niech ' : I ! R oraz : J ! R b ¾ed ¾a rozwi ¾azaniami równania (2.1) takimi,·ze I � J oraz

^x2I

' (x) = (x). Wówczas nazywamy przed÷u·zeniem rozwi ¾azania '

(' nazywamy zaw ¾e·zeniem ). Je·zeli I 6= J , to nazywamy przed÷u·zeniem w÷asciwym.Rozwi ¾azanie nazywamy globalnym, je·zeli nie istnieje jego w÷asciwe przed÷u·zenie.

De�nicja 2.5 Równanie ró·zniczkowe zapisane w postaci

y0 = f (x; y) ; (2.2)

gdzie f : D ! R, D � R2 jest znan ¾a funkcj ¾a dwóch zmiennych, nazywamy normalnym.Postac (2.2) nazywamy postaci ¾a normaln ¾a równania ró·zniczkowego zwyczajnego rz ¾edu I.

Funkcja ' : I ! R jest wi¾ec rozwi ¾azaniem równania (2.2), gdy

1. ' jest ró·zniczkowalna na I;

2. f(x; ' (x)) : x 2 Ig � D;

3.^x2I

'0 (x) = f (x; ' (x)) :

De�nicja 2.6 Niech (x0; y0) 2 D. Zadanie polegaj ¾ace na znalezieniu rozwi ¾azania szczegól-nego ' równania (2.2) spe÷niaj ¾acego warunek ' (x0) = y0 nazywamy zagadnieniem pocz ¾atkowymlub zagadnieniem Cauchy�ego dla równania (2.2).

Geometrycznie sprowadza si¾e do znalezienia krzywej ca÷kowej równania (2.2) przechodz ¾acejprzez z góry zadany punkt (x0; y0).

De�nicja 2.7 Rozwi ¾azanie szczególne równia (2.1) (lub (2.2)) nazywamy

� regularnym, je·zeli przez ·zaden punkt krzywej ca÷kowej wyznaczonej przez to rozwi ¾azanienie przechodzi ·zadna inna krzywa ca÷kowa tego równania

� osobliwym, je·zeli przez ka·zdy punkt krzywej ca÷kowej wyznaczonej przez to rozwi ¾azanieprzechodzi co najmniej jedna inna krzywa ca÷kowa

25


Twierdzenie 2.8 (Peano) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na obszarze D � R2, to przez ka·zdypunkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa ca÷kowa równania

y0 = f (x; y) :

Twierdzenie 2.9 (Cauchy�ego) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a i ma ci ¾ag÷¾a pochodn ¾a f 0y naobszarze D � R2, to przez ka·zdy punkt tego obszaru przechodzi dok÷adnie jedna krzywaca÷kowa równania y0 = f (x; y).

2.1.1 Równanie o zmiennych rozdzielonych

De�nicja 2.10 Równaniem ró·zniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy rów-nanie postaci

y0 = f (x) g (y) ; (2.3)

gdzie f : (a; b)! R i g : (c; d)! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi. Niech D = (a; b)� (c; d) :

Przypadek (i)^

y2(c;d)

g (y) 6= 0:

Twierdzenie 2.11 Ka·zde rozwi ¾azanie ' równania (2.3) w prostok ¾acie D jest okreslonewzorem

' (x) = ��1 (� (x) + C) ; x 2 (�; �) � (a; b) ; (2.4)

gdzie � jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji 1g , � jest funkcj ¾a pierwotn ¾a f . ��1 oznacza funkcj ¾e

odwrotn ¾a do � oraz C jest tak ¾a sta÷¾a, ·ze^

x2(�;�)

� (x) + C nale·zy do dziedziny funkcji ��1.

W tym przypadku zagadnienie Cauchy�ego y (x0) = y0 ma dok÷adnie jedno rozwi ¾azanie:

y0 = ��1 (� (x0) + C)

i st ¾ad' (x) = ��1 (� (x) + � (y0)� � (x0)) :

Przypadek (ii) Funkcja g posiada miejsca zerowe w przedziale (c; d).

Za÷ó·zmy, ·ze y1 2 (c; d) jest miejscem zerowym funkcji g : g (y1) = 0. Niech '1 (x) = y1(funkcja sta÷a). ×atwo widac, ·ze jest to rozwi ¾azanie szczególne równania (2.3).Je·zeli y1; :::; yk s ¾a miejscami zerowymi funkcji g, yi 2 (c; d), i = 1; :::; k, to dziel ¾ac zbiór

D na zbiory(a; b)� (c; y1) ; (a; b)� (y1; y2) ; :::; (a; b)� (yk; d)

mo·zemy na ka·zdym z nich znalezc rozwi ¾azanie równania (2.3) wyra·zone wzorem (2.4). Pon-adto funkcje sta÷e 'k (x) = yi, i = 1; :::; k s ¾a rozwi ¾azaniami szczególnymi równania (2.3).

De�nicja 2.12 Niech f : (a; b)! R b ¾edzie funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a. Równanie ró·zniczkowe postaci

y0 = f�yx

�(2.5)

nazywamy równaniem jednorodnym wzgl ¾edem x i y.

26


Niech

D1 = f(x; y) : a <y

x< b ^ x > 0g; D2 = f(x; y) : a <

y

x< b ^ x < 0g:

Poszukujemy krzywych ca÷kowych równania (2.5) w zbiorze D = D1 [D2.

Twierdzenie 2.13 Funkcja ' : (�; �)! R jest rozwi ¾azaniem równania (2.5) wtedy i tylkowtedy, gdy u (x) = '(x)

x jest rozwi ¾azaniem równania o zmiennych rozdzielonych

u0 =f (u)� u

x:

2.1.2 Równanie liniowe pierwszego rz ¾edu i równanie Bernoullego

Niech p; q : (a; b)! R b¾ed ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.

De�nicja 2.14 Równaniem liniowym pierwszego rz ¾edu nazywmy równanie postaci

y0 + p (x) y = q (x) : (2.6)

Równaniem jednorodnym odpowiadaj ¾acym równaniu (2.6) nazywamy równanie

y0 + p (x) y = 0: (2.7)

Równanie (2.6) nazywamy niejednorodnym.

Twierdzenie 2.15 Zbiór rozwi ¾azan równania jednorodnego (2.7) jest podprzestrzni ¾a lin-iow ¾a o wymiarze jeden przestrzeni C0 ((a; b)) (zbiór funkcji ci ¾ag÷ych na przedziale (a; b)).Je·zeli P : (a; b)! R jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji p, to funkcja

�' (x) = e�P (x); x (a; b)

jest baz ¾a tej przestrzeni.

Wniosek 2.16 Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania jednorodnego (2.7) jest zbiór funkcji '0 (x) = Ce�P (x),gdzie P jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji p i C jest dowoln ¾a sta÷¾a.

Uwaga 2.17 1. Je·zeli '1 i '2 s ¾a rozwi ¾azaniami równania niejednorodnego (2.6), to '1�'2 jest rozwi ¾azaniem równania jednorodnego (2.7).

2. Je·zeli 's jest rozwi ¾azaniem równani niejednorodnego (2.6) i '0 jest rozwi ¾azaniemrównania jednorodnego (2.7), to 's + '0 jest rozwi ¾azniem równania (2.6).

Wniosek 2.18 Rozwi ¾azaniem ogólnym równania liniowego (2.6) jest klasa funkcji

's + '0;

gdzie 's jest ca÷k ¾a szczególn ¾a równania (2.6) i '0 jest ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.7).

Metody poszukiwania ca÷ki szczególnej

27


� metoda Lagrange�a (uzmienniania/wariacji sta÷ej)Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.7) jest klasa funkcji '0 (x) = e�P (x), gdzie P jest jak ¾akolwiekfunkcj ¾a pierwotn ¾a f-cji p. Poszukujemy ca÷ki szczególnej w postaci

's (x) = C (x) e�P (x) (2.8)

(w miejscu sta÷ej C pojawi÷a si¾e nieznana funkcja zmiennej x). Skoro 's ma byc ca÷k ¾aszczególn ¾a równania niejednorodnego (2.6), to

C 0 (x) = q (x) eP (x)

i st ¾ad

C (x) =

Zq (x) eP (x)dx:

Przyk÷ad.y0 + y cosx = e� sin x:

� metoda przewidywanJe·zeli fukcja p jest sta÷a, p (x) = p 2 R, x 2 (a; b), to rozwi ¾azaniem ogólnym równaniajednorodnego (2.7) s ¾a funkcje postaci '0 (x) = Ce�px; C 2 R. Je·zeli dodatkowofunkcja q jest postaci

q (x) = e�x (Wn (x) cos�x+ Vm (x) sin�x) ;

gdzie

Wn, Vm s ¾a wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m

�; � � pewne sta÷e,

to istnieje rozwi ¾azanie szczególne równania (2.6) postaci

's (x) = xke�x (Rl (x) cos�x+ Sl (x) sin�x) ;

gdzie

Rl, Sl s ¾a wielomianami zmiennej x stopnia l = maxfm;ng

k =

�0; �+ i� 6= �p1; �+ i� = p

:

Twierdzenie 2.19 Je·zeli 'i : (a; b) ! R jest rozwi ¾azaniem równania y0 + p (x) y = qi (x),

i = 1; :::; n, to ' (x) =nPi=1

'i (x) jest rozwi ¾azaniem równania

y0 + p (x) y =

nXi=1

qi (x) :

De�nicja 2.20 Równaniem ró·zniczkowym Bernoullego nazywamy równanie postaci

y0 + p (x) y = q (x) yr; r 6= 0 ^ r 6= 1;

gdzie p; q : (a; b)! R s ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.

Równanie Bernoullego mo·zna sprowadzic do równania liniowego za pomoc ¾a podstawienia

u (x) = y1�r (x) :

28


2.2 Równania ró·zniczkowe zwyczajne rz ¾edu drugiegoDe�nicja 2.21 Równaniem ró·zniczkowym zwyczajnym rz ¾edu drugiego nazywamy równaniepostaci

F (x; y; y0; y00) = 0; (2.9)

gdzie F : ! R, � R jest zbiorem otwartym i pochodna F wzgl ¾edem ostatniej zmiennejnie jest to·zsamosciowo równa zero oraz y jest niewiadom ¾a funkcj ¾a zmiennej x okreslon ¾a napewnym przedziale otwartym.

De�nicja 2.22 Odwzorowanie ' : I ! R nazywamy rozwi ¾azaniem równania (2.9), je·zeli

1. ' jest funkcj ¾a dwukrotanie ró·zniczkowaln ¾a na I;

2.Vx2I

(x; ' (x) ; '0 (x) ; '00 (x)) 2 ;

3.Vx2I

F (x; ' (x) ; '0 (x) ; '00 (x)) = 0:

De�nicja 2.23 Postac równania ró·zniczkowego

y00 = f (x; y; y0) (2.10)

nazywamy postaci ¾a normaln ¾a.

De�nicja 2.24 Zagadnieniem Cauchy�ego (zagadnieniem pocz ¾atkowym) nazwyamy zadaniepolegaj ¾ace na znalezieniu rozwi ¾azania ' równania (2.9) lub (2.10) takiego, ·ze

' (x0) = y0 ^ '0 (x0) = y00:

Równania sprowadzalne do równan pierwszego rz¾edu

� F (x; y0; y00) = 0 � stosujemy podstawienie u (x) = y0 (x)

� F (y; y0; y00) = 0 � stosujemy podstawienie y0 = u (y)

2.2.1 Równanie ró·zniczkowe liniowe rz ¾edu II

Niech p; q; f : (a; b)! R b¾ed ¾a funkcjami ci ¾ag÷ymi.

De�nicja 2.25 Równaniem ró·zniczkowym liniowym rz ¾edu II nazywamy równanie postaci

y00 + p (x) y0 + q (x) y = f (x) : (2.11)

Równaniey00 + p (x) y0 + q (x) = 0 (2.12)

nazywamy równaniem jednorodnym odpowiadaj ¾acym równaniu (2.11).

Podobnie jak w przypadku równania liniowego rz¾edu pierwszego wykazuje si¾e, ·ze

� je·zeli '1 i '2 s ¾a rozwi ¾azaniami szczególnymi równania niejednorodnego (2.11), to '1�'2 jest rozwi ¾azaniem równania (2.12);

29


� je·zeli ' jest rozwi ¾azaniem szczególnym równania (2.12) i jest rozwi ¾azaniem równania(2.11), to '+ jest rozwi ¾azniem równania (2.11).

Wniosek 2.26 Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.11) jest rodzina funkcji postaci

'0 + 's;

gdzie '0 oznacza ca÷k ¾e ogóln ¾a równania jednorodnego (2.12) i 's � ca÷k ¾e szczególn ¾a równa-nia niejednorodnego (2.11).

De�nicja 2.27 Mówimy, ·ze funkcje '1; '2 : (a; b)! R s ¾a liniowo zale·zne, je·zeli istniej ¾asta÷e C1; C2 takie, ·ze C21 + C

22 6= 0 oraz C1'1 + C2'2 = 0, tzn.^x2(a;b)

C1'1 (x) + C2'2 (x) = 0:

Mówimy, ·ze '1 i '2 s ¾a liniowo niezale·zne, gdy nie s ¾a liniowo zale·zne.

Twierdzenie 2.28 Zbiór rozwi ¾azan równania jednorodnego (2.12) jest podprzestrzeni ¾a wymi-aru 2 przestrzeni C ((a; b)). Ka·zd ¾a baz ¾e tej przestrzeni nazywamy uk÷adem podstawowymca÷ek (fundamentalnym uk÷adem rozwi ¾azan). Rozwi ¾azania '1 i '2 tworz ¾a baz ¾e tejprzestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy s ¾a liniowo niezale·zne. Wtedy ka·zde rozwi ¾azanie ' mo·znazapisac w postaci

' = C1'1 + C2'2;

gdzie C1 i C2 s ¾a jednoznacznie wyznaczonymi sta÷ymi.

Twierdzenie 2.29 Ca÷ki '1 i '2 równania (2.12) s ¾a liniowo niezale·zne wtedy i tylko wtedy,gdy ^

x2(a;b)

W (x) =

�� '1 (x) '2 (x)'01 (x) '02 (x)

�� 6= 0:Wyznacznik W (x) nazywamy wronskianem (wyznacznikiem Wronskiego).

Wniosek 2.30 Ca÷k ¾a ogóln ¾a równania (2.11) jest zbiór funkcji postaci

' (x) = C1'1 (x) + C2'2 (x) + 's (x) ;

gdzie '1 i '2 jest uk÷adem podstawowym ca÷ek równania (2.12), C1; C2 s ¾a dowolnymi sta÷ymioraz 's jest dowoln ¾a ca÷k ¾a szczególn ¾a równania niejednorodnego (2.11).

Twierdzenie 2.31 Je·zeli '1 : (a; b) ! R jest rozwi ¾azaniem równania jednorodnego (2.12)i '1 (x) 6= 0 dla x 2 (a; b), to

'2 (x) = '1 (x)

Z1

'21 (x)e�P (x)dx;

gdzie P (x) jest dowoln ¾a funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji p na (a; b), jest rozwi ¾azaniem równaniajednorodnego (2.12), przy czym '1 i '2 s ¾a liniowo niezale·zne.

Metody poszukiwania ca÷ki szczególnej

30


� metoda Lagrange�a (uzmienniania sta÷ych)Za÷ó·zmy, ·ze '1 i '2 s ¾a liniowo niezale·znymi rozwi ¾azaniami równania jednorodnego(2.12). Poszukujemy rozwi ¾azania szczególnego równania (2.11) w postaci

's (x) = C1 (x)'1 (x) + C2 (x)'2 (x) ;

gdzie C1 i C2 s ¾a pewnymi funkcjami ró·zniczkowalnymi na przedziale (a; b). Te niewiadomefunkcje mo·zna wyznaczyc przez rozwi ¾azanie uk÷adu równan�

C 01 (x)'1 (x) + C02 (x)'2 (x) = 0

C 01 (x)'01 (x) + C

02 (x)'

02 (x) = f (x)

:

Zauwa·zmy, ·ze wyznacznikiem tego liniowego uk÷adu równan jest

W (x) =

�� '1 (x) '2 (x)'01 (x) '02 (x)

�� :� metoda przewidywanZa÷ó·zmy, ·ze funkcje p i q w równaniu (2.11) s ¾a sta÷e; otrzymujemy wtedy

y00 + py0 + qy = 0; p; q 2 R: (2.13)

Równaniem charakterystycznym odpowiadaj ¾acym równaniu (2.13) nazywamy równanie

r2 + pr + q = 0: (2.14)

Niech � = p2 � 4q. Mamy nast¾epuj ¾ace przypadki:

�� > 0 � wtedy równanie charakterystyczne ma dwa ró·zne pierwiastki r1, r2;niech

'1 (x) = er1x; '2 (x) = er2x;

�� = 0 � wtedy równanie (2.14) ma jeden podwójny pierwiastek r0; niech

'1 (x) = er0x; '2 (x) = xer0x;

�� < 0 � wtedy równanie (2.14) ma dwa pierwiastki zespolone sprz¾e·zone r =�� i�, �; � 2 R; niech

'1 (x) = e�x cos�x; '2 (x) = e�x sin�x:

W ka·zdym z tych trzech przypadków funkcje '1 i '2 tworz ¾a fundamentalny uk÷adrozwi ¾azan równania (2.13). Je·zeli w równaniu o sta÷ych wspó÷czynnikach

y00 + py0 + qy = f (x) (2.15)

funkcja f jest postaci

f (x) = e�x (Wn (x) cos�x+ Vn (x) sin�x) ;

gdzie �; � 2 R i Wn, Vm s ¾a wielomianami zmiennej x odpowiednio stopnia n i m, toistnieje rozwi ¾azanie szczególne równania (2.15) postaci

's (x) = xke�x (Rl (x) cos�x+ Sl (x) sin�x) ;

gdzieRl, Sl s ¾a wielomianami stopnia l = maxfm;ng oraz k 2 f0; 1; 2g oznacza krotnoscpierwiastka �+ i� równania charakterystycznego r2 + pr + q = 0:

31


2.3 Transformata Laplace�aDe�nicja 2.32 Funkcj ¾a zespolon ¾a zmiennej rzeczywistej nazywamy dowolne odwzorowanief : I ! C, gdzie I � R jest przedzia÷em.

Niechu (t) = Re (f (t)) ; v (t) = Im (f (t)) :

Wówczas u; v s ¾a funkcjami rzeczywistymi zmiennej rzeczywistej oraz

f (t) = u (t) + iv (t) :

Mówimy, ·ze f jest ci ¾ag÷a (ró·zniczkowalna) w punkcie t0, gdy funkcje u oraz v s ¾a ci ¾ag÷e(ró·zniczkowalne) w t0.

De�nicja 2.33 Funkcj ¾e zespolon ¾a f zmiennej rzeczywistej nazywamy orygina÷em, je·zelif spe÷nia warunki:

1. f i f 0 s ¾a przedzia÷ami ci ¾ag÷e dla t 2 [0;1) (tzn. f i f 0 maj ¾a skonczon ¾a ilosc punktównieci ¾ag÷osci pierwszego rodzaju)

2. f (t) = 0 dla t < 0

3. f jest funkcj ¾a rz ¾edu wyk÷adniczego o wskazniku �0, tzn. istniej ¾a sta÷e M > 0; �0 � 0takie, ·ze ^

t2Rjf (t)j < Me�0t:

De�nicja 2.34 Transformat ¾a (przekszta÷ceniem) Laplace�a nazywamy przekszta÷cenie L,które ka·zdemu orygina÷owi f przyporz ¾adkowuje pewn ¾a funkcj ¾e zespolon ¾a L [f ] zmiennej ze-spolonej i jest okreslone wzorem

L [f ] (s) =

Z 1

0

f (t) e�stdt; s 2 C

Je·zeli f jest orygina÷em o wskazniku wzrostu �0, to powy·zsza ca÷ka jest bezwzgl¾edniezbie·zna w pó÷p÷aszczyznie Re s > �0.

Twierdzenie 2.35 W÷asnosci transformaty Laplace�a.

1. L [a1f1 + a2f2] = a1L [f1] + a2L [f2], gdzie a1; a2 2 C s ¾a dowolnymi sta÷ymi.

2. L [f 0] (s) = sL [f ] (s)� f (0+), gdzie f (0+) = limt!0+

f (t) :

3. L�f (n)

�(s) = snL [f ] (s)� sn�1f (0+)� sn�2f 0 (0+)� :::� f (n�1) (0+) :

4. L [�tf (t)] (s) = L [f ]0(s) :

5. L [f (at)] (s) = 1aL [f ]

�sa

�:

6. L [f (t� a)] (s) = e�asL [f ] (s) ; a > 0:

7. L [e�tf (t)] (s) = L [f ] (s� �) :

32


Transformata L [f ] Orygina÷f1s 11s�a eat

ss2+a2 cos at1

s2+a21a sin at

1sn+1

tn

n! ; n 2 N1

(s�a)2+b21b eat sin bt

Transformata L [f ] Orygina÷fs�a

(s�a)2+b2 eat cos bt1

(s�a)n+1 eat tn

n! ; n 2 N1

s2�a21a sinh at

ss2�a2 cosh at2as

(s2+a2)2t sin at

s2�a2(s2+a2)2

t cos at

Przyk÷ad 2.36 Wyznaczyc transformat¾e Laplace�a funkcji

� f (t) = e2t � e�t

L�e2t � e�t

�= L

�e2t � 1

�� L

�e�t � 1

�= L [1] (s� 2)� L [1] (s+ 1)

=1

s� 2 �1

s+ 1

� f (t) = 1� e3t + cos t

L�1� e3t + cos t

�= L [1]� L

�e3t � 1

�+ L [cos t]

=1

s� 1

s� 3 +s

s2 + 1

� f (t) = 12 (sin t+ t cos t)

L [f ] =1

2(L [sin t] + L [t cos t])

=1

2

1

s2 + 1+

s2 � 1(s2 + 1)

2

!=1

2

s2 + 1 + s2 � 1(s2 + 1)

2 =s2

(s2 + 1)2

Przyk÷ad 2.37 Wyznaczyc orygina÷

1. � (s) = 1(s�1)(s�2)(s+3)

Rozk÷adamy � (s) na u÷amki proste

1

(s� 1) (s� 2) (s+ 3) =1

5 (s� 2) �1

4 (s� 1) +1

20 (s+ 3)

i st ¾ad orygina÷em jest

f (t) = L�1 [�] = L�1�

1

5 (s� 2) �1

4 (s� 1) +1

20 (s+ 3)

�=

1

5e2t � 1

4et +

1

20e�3t:

2. � (s) = 1(s2+4)s

1

(s2 + 4) s=1

4s� 14

s

s2 + 4

33


i st ¾ad

f (t) = L�1 [�] = L�1�1

4s� 14

s

s2 + 4

�=

1

4L�1

�1

s

�� 14L�1

�s

s2 + 4

�=

1

4� 14cos 2t:

3. � (s) = s+1(s�1)2+3

f (t) = L�1 [�] = L�1

"s+ 1

(s� 1)2 + 3

#

= L�1

"s� 1

(s� 1)2 + 3+

2

(s� 1)2 + 3

#

= L�1

"s� 1

(s� 1)2 + 3

#+ 2L�1

"1

(s� 1)2 + 3

#= et cos

p3t+ 2et sin

p3t:

De�nicja 2.38 Równaniem ró·zniczkowym liniowym stopnia n o sta÷ych wspó÷czynnikachnazywamy równanie postaci

y(n) + pn�1y(n�1) + :::+ p1y

0 + p0y = f (t) ; (2.16)

gdzie f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a na pewnym przedziale otwartym, pi 2 R, i = 0; :::; n� 1.

Zak÷adamy dalej, ·ze funkcja f oraz szukane rozwi ¾azanie y wraz z pochodnymi do rz¾edun s ¾a orygina÷ami. Poszukujemy takiego rozwi ¾azania szczególnego y, które spe÷nia warunkipocz ¾atkowe

y (0) = y0; y0 (0) = y1; :::y(n�1) (0) = yn�1:

W celu wyznaczenia rozwi ¾azania równania (2.16) przyk÷adamy stronami transformat¾e Laplace�a.

Przyk÷ad 2.39 Rozwi ¾azac równanie

y00 � 2y0 + y = t2et; y0 (0) = y (0) = 0:

Przyk÷admy stronami transformat¾e Laplace�a

L [y00 � 2y0 + y] = L�t2et

�czyli

L [y00]� 2L [y0] + L [y] = L�t2et

�:

Korzystaj ¾ac z odpowiednich w÷asnosci transformaty obliczamy

L [y00] = s2L [y]� sy�0+�� y0

�0+�= s2L [y]

L [y0] = sL [y]� y�0+�= sL [y]

L�t2et

�= 2L

�t2

2!et�=

2

(s� 1)3:

34


St ¾ad otrzymujemy

s2L [y]� 2sL [y] + L [y] = 2

(s� 1)3

L [y]�s2 � 2s+ 1

�=

2

(s� 1)3

L [y] (s� 1)2 = 2

(s� 1)3

L [y] =2

(s� 1)5:

Ostatecznie

y (t) = L�1

"2

(s� 1)5

#=2

4!ett4 =

1

12t4et:

Przyk÷ad 2.40 Rozwi ¾azac równanie

y000 + y0 = e2t y (0) = y0 (0) = y00 (0) = 0:

L [y000 + y0] = L�e2t�

s3L [y]� s2y�0+�� sy0

�0+�� y00

�0+�+ sL [y]� y

�0+�=

1

s� 2

s3L [y] + sL [y] =1

s� 2

L [y] s�s2 + 1

�=

1

s� 2

L [y] =1

(s� 2) s (s2 + 1) :

Wyznaczymy orygina÷funkcji � (s) = 1(s�2)s(s2+1) . Rozk÷adaj ¾ac na u÷amki proste mamy

1

(s� 2) s (s2 + 1) =1

10 (s� 2) �1

2s+

2s

5 (s2 + 1)� 1

5 (s2 + 1)

i st ¾ad

y (t) = L�1�

1

(s� 2) s (s2 + 1)

�= L�1

�1

10 (s� 2) �1

2s+

2s

5 (s2 + 1)� 1

5 (s2 + 1)

�=

1

10e2t � 1

2+2

5cos t� 1

5sin t:

35

analiza matematyczna ii - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/~witek/materialy/analizaii/amii.pdf ·...

Documents