analiza matematyczna

Analiza matematyczna

WYKŁAD 11

Zastosowanie całek oznaczonych

IV. Całki

Krzysztof Kucab Rzeszów, 2012

Plan wykładu

• zastosowanie całek oznaczonych w geometrii,

• zastosowanie całek oznaczonych w fizyce.

Zastosowanie całek w geometrii

Niech funkcje d i g będą ciągłe na przedziale [a,b] oraz niech dla każdegoWtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji d i g oraz prostymi x=a, x=b wyraża się wzorem:

xgxd .,bax

b

a

dxxdxgD


Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław

2004.


Niech funkcje d i g będą ciągłe na przedziale [p,q] oraz niech dla każdegoWtedy pole trapezu krzywoliniowego D ograniczonego wykresami funkcji d i g oraz prostymi y=p, y=q wyraża się wzorem:

ygyd .,qpy

q

p

dyydygD



2004.


Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b]. Wtedy długość krzywej wyraża się wzorem:

baxxfx ,:,

b

a

dxxf 21



2004.


Niech S(x), gdzie oznacza pole przekroju bryły V płaszczyzną prostopadłą do osi Ox w punkcie x oraz niech funkcja S będzie ciągła na przedziale [a,b]. Wtedy objętość bryły V wyraża się wzorem:

,bxa

b

a

dxxSV



2004.


Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale [a,b]. Ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f, osią Ox oraz prostymi x=a, x=b. Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi Ox wyraża się wzorem:

b

a

dxxfV 2



2004.


Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale [a,b]. Ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f, osią Ox oraz prostymi x=a, x=b. Wtedy objętość bryły V powstałej z obrotu trapezu krzywoliniowego T wokół osi Oy wyraża się wzorem:

b

a

dxxxfV 2



2004.


Niech funkcja nieujemna f ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b]. Wtedy pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Ox wyraża się wzorem:

b

a

dxxfxf 212



2004.


Niech funkcja f ma ciągłą pochodną na przedziale [a,b], gdzieWtedy pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji f wokół osi Oy wyraża się wzorem:

b

a

dxxfx 212

.0a



2004.

Zastosowanie całek w fizyce

Niech punkt materialny porusza się po płaszczyźnie lub w przestrzeni ze zmienną szybkością Wtedy droga przebyta przez ten punkt w przedziale czasowym [t1,t2] wyraża się wzorem:

2

1

t

t

dttvs

.ttv v



2004.

s

s


Załóżmy, że równolegle do osi Ox działa zmienna siła Wtedy praca wykonana przez tę siłę od punktu x=a do punktu x=b wyraża się wzorem:

b

a

dxxFW

.xxF F



2004.


Oraz wiele, wiele innych przykładów z każdego działu fizyki...

analiza matematyczna

Documents