1

Analiza Matematyczna cz

1

Konspekt wykadu dla studentw fizyki/informatykiUniwersytet Jana Kochanowskiego 2009/10Prof. dr hab. Wojciech Broniowski

[wersja z 14 X 2009]

2

Wstp

3

Co to jest analiza matematyczna?

Rachunek rniczkowy i cakowy, Isaak

Newton i Gottfried

Wilhelm Leibnitz, XVII w.

Analiza funkcjonalna, funkcje analityczne, geometria rniczkowa, rwnania rniczkowe, ...

Jeden z najbardziej praktycznych

dziaw matematyki: nauki cise, inynieria, inne dziay matematyki

Przykady, ktre powinny by

znane: badanie funkcji zmiennej rzeczywistej, rwnanie okrgu, obliczanie powierzchni, ruch jednostajnie przyspieszony ...

4

Prawa fizyki rwnania rniczkowe

Mechanika klasyczna

Elektrodynamika

Termodynamika

Mechanika kwantowa

Teoria pola

Grawitacja

Chemia

...

Inynieria

EkonomiaPodstawowe narzdzie badawcze dla fizyka !

5Obserwacja komety przez jaki

czas pozwala przewidzie

jej ruch za 100000 lat!

6

Pojcie cigoci

Intuicja: gadko, brak przerw, pkni, moliwo

przewidywania zachowania globalnego z zachowania lokalnego (ruch planet, przeduenie analityczne)

Nie zawsze tak jest! (ruchy Browna, kursy giedowe)

brak cigoci, szorstko, brak moliwoci dokadnego przewidywania

Czasoprzestrze

fizyczna jest ciga

7

Cel wykadu

Poznanie i opanowanie analizy matematycznej w niezbdnym dla fizyka/informatyka zakresie

Kultura matematyczna: metody rozumowania, dowodzenia twierdze, dochodzenia do wynikw

Rozwinicie rzemiosa matematycznego, oraz sprawnoci rachunkowej, multum zada

do rozwizania!

Wymagana bardzo dua praca i pilno

Podstawowy wykad!

8

Informacje praktyczne

Ten dokument: http://ujk.kielce.pl/~broniows

Wykad: r. 10:00-11:30

Konsultacje: wt., od 18:00, pok. 56

Zestawy zada: http://ujk.kielce.pl/~broniows do przerobienia w domu, trudniejsze na

konwersatoriach

Kolokwia/kartkwki (po kadym dziale, co 2-3 tyg.) Zaliczenie konwersatorium, semestralny egzamin pisemny z zada

i teorii

http://ujk.kielce.pl/~broniowshttp://ujk.kielce.pl/~broniows

9

Literatura

(RR) Ryszard Rudnicki, Wykady z analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 2002

Franciszek Leja, Rachunek rniczkowy i cakowy, PWN, Warszawa, 1973

G. M. Fichtenholtz, Rachunek rniczkowy i cakowy, PWN, Warszawa, 1972

W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa, 1976

W. Krysicki, L. Wodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I i II, PWN, Warszawa, 2003 (z rozwizaniami!)

Marcin Gewert, Zbigniew Skoczylas, Analiza matematyczna, cz, I i II, Ofic. Wyd. GiS, Wrocaw, 2003

D. McQuarrie, Matematyka dla przyrodnikw i inynierw, PWN, Warszawa 2005

(RW) Kenneth A. Ross, Charles

R. B. Wright, Matematyka dyskretna, PWN, Warszawa, 2005 (logika)

Rowan

Garnier

and

John Taylor, Discrete

Mathematics

for New Technology, IoP

Publishing, Bristol, 2002

(M) Philip

J. Davis, Reuben

Hersh, Elena

Anne

Marchisotto, wiat Matematyki, PWN, Warszawa, 2001 (eseje z pogranicza matematyki i

filozofii)

(KK) K. Kaczkow, M. Kurczab, E. wida, Matematyka, podr. do licew i technikw, Oficyna Edukacyjna * K. Pazdro, Warszawa, 2002

samodzielna

powtrka szkoy redniej

b. dobra ksika do powtrki!

10

Alfabet grecki

alfa beta gamma delta e epsilon zeta

eta

theta

jota

kappa lambda mi ni ksi

omikron pi ro sigma

tau

ipsilon

fi

chi

psi omega

11

Elementy teorii matematycznejPojcia pierwotne

-

nie definiowane

Aksjomaty

(pewniki)

oczywiste

prawdy dotyczce pojpierwotnych, zdania przyjte za prawdziwe bez dowodu (dowiadczenie, akt wiary!) Wymg niesprzecznociDefinicje

okrelenia zoone z poj

pierwotnych i innych definicji

Twierdzenia

zdania prawdziwe uzyskane z aksjomatw i innych twierdze

z pomoc

rozumowania logicznego

Przykad systemu formalnego: geometria euklidesowa, Elementy-

punkt, prosta, paszczyzna (poj. pierwotne)

- Pity postulat: przez punkt lecy poza prost

p przechodzi dokadnie jedna prosta nie majca punktw wsplnych z p

- okrg to zbir wszystkich punktw odlegych od punktu A (rodek)o promie

r > 0 (definicja)

- prosta przechodzca przez rodek okrgu dzieli go na dwie rwne czci (twierdzenie) -

ten oczywisty fakt wymaga dowodu!

Gdzie

trzeba zacz!Jajko czy kura

12

Geometria euklidesowai geometrie nieeuklidesowe(zaleno

teorii od

przyjtych postulatw)

geometrie nieeuklidesowe

13

Elementy logiki i teorii mnogoci

14

Jak rozstrzyga

o prawdzie?

Sd tak zdecydowa

Profesor tak powiedzia

Dowiadczenie tak mwi

Wewntrzne przekonanie, kobieca intuicja

Prbkowanie statystyczne

Logika matematyczna

15

Heurystyka, systemy formalneprzesanki

hipoteza

obalenie(kontrprzykad)

dowd

przeformuowanie

PrzykadPrzesanki: liczba 2 jest podzielna przez 2, 12 te, 92 te, ...Hipoteza: kada liczba koczca si

cyfr

2 jest podzielna przez 2

Dowd: zapis liczby koczcej si

cyfr

2 na posta10*q+2=2(5q+1), co dzieli si

przez 2 (q.e.d.)

(hipoteza staje si

twierdzeniem)Uoglnienie: kada liczba koczca si

cyfr

c jest podzielna przez c

Kontrprzykad: c=4 nie dzieli liczby 14

Logika

Aksjomaty, inne twierdzenia(dotychczasowa wiedza o teorii)

16

Rachunek zdaZdanie logiczne jest to zdanie gramatyczne, o ktrym mona (w zasadzie) powiedzie, e jest prawdziwe (warto

1 lub T -

true), bd

faszywe

(warto

0 lub F-

false)

Przykady: trawa jest zielona, lubi

sernik, 7 jest liczb

pierwsz, jestem kielczaninem, d/dx sin(x)=cos(x), 2=1, obecna temperatura powietrza na zewntrz jest midzy 20 a 22 st. C

Zdania, ktre nie s

zdaniami logicznymi: 1) id

do domu!, 2) chyba bdzie pada

deszcz, 3) Kreteczyk mwi, e tak, jak wszyscy

Kreteczycy, kamie

Funktory zdaniotwrcze

(spjniki logiczne): nie -

zaprzeczenie, i

-

koniunkcja, lub

alternatywa (uwaga na znaczenie potoczne), albo

alternatywa wykluczajca, jeeli ... to

-

implikacja, wtedy i tylko wtedy, gdy

rwnowano

(rne notacje, matryce/tabelki logiczne)

17

Zdania zoone

skadaj

si

ze zda

prostych poczonych funktorami zdaniowymiLubi

sernik lub jestem kielczaninem (alternatywa)

Albo jestem kielczaninem albo jestem krakowianinem (alternatywa wykluczajca)Jeli pada deszcz, to na niebie s

chmury (implikacja)

przyczyna skutekpoprzednik nastpnikwarunek dostateczny warunek koniecznyWarunkiem koniecznym, aby pada

deszcz, jest zachmurzone niebo.

Warunkiem dostatecznym, aby stwierdzi, e na niebie s

chmury, jest padanie deszczu.Jestem penoletni wtedy i tylko wtedy, gdy mam ponad 18 lat

(rwnowano)Warunkiem koniecznym i dostatecznym

penoletnioci jest wiek 18 lat.

Zdanie odwrotne

(Jeli na niebie s

chmury, to pada deszcz),i przeciwstawne

(Jeli na niebie nie ma chmur, to nie pada deszcz)

Zdanie przeciwstawne jest rwnowane wyjciowej implikacji. Nie jest tak dla zdania odwrotnego!

18

Uwagi:Alternatywa jest prawdziwa, jeli zachodzi jeden z dwch warunkw, lub jeden i drugi warunek jednoczenie.

Implikacja jest prawdziwa w nastpujcych przypadkach:-

z prawdy wynika prawda (to jest oczywiste)

- z faszu wynika fasz (te

rozsdnie)- z faszu wynika prawda (co nie jest oczywiste)

W literaturze jest tu wiele mylcych stwierdze, wic uwaga! Sprawa jest bardzo prosta. Konstrukcja implikacji logicznej jest tak dobrana, e faszywe zaoenie nie rozstrzyga

o tym, co si

stanie, wic faszywe zaoenie jest

bezuyteczne. Moe ze

wynika

prawda, moe fasz, czyli wszystko moe si

zdarzy. Przykad: Jeli bdziesz grzeczny, ogldniesz dobranock, co

oznacza, e jeli rzeczywicie bdziesz grzeczny, to ogldniesz, natomiast jeli nie bdziesz grzeczny, to ogldniesz, lub nie! Przyrzeczenie o niczym tu nie rozstrzyga. Oczywicie, jeli bdziesz grzeczny, a ja nie pozwol

Ci ogldn

dobranocki, to jestem kamc! Tylko w tej sytuacji

implikacja jest faszywa!

19

p q

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

Matryca logiczna definiujca koniunkcj, alternatyw, implikacj

i rwnowano

p qp q p q p q

20

Bramki logiczne, sieci logiczne

Bramki: OR AND NOT

L1_1.exeL1_3.exe L1_5.exe

21

Tautologia

(t)

zdanie zoone, ktre jest zawsze prawdziwe, bez wzgldu na warto

logiczn

zda

skadowych

Pada deszcz lub nie pada deszcz

Przykad stosowania matryc logicznych: prawa

de Morgana, kontrapozycji, podwjnego przeczenia,

(RR, str. 14)

Sprzeczno

(c)

zdanie zawsze faszywe

(istnieje liczba rzeczywista x, dla ktrej x > 2 i x < 1)

Prawa rachunku zda

22

Prawa

logiczne(RW)

23

24

Reguy wnioskowania (RW)

ponens

poprzez potwierdzenieponendo

do

potwierdzeniatollens

poprzez

zaprzeczenietollendo

do zaprzeczenia

regua odrywania

25

Reguy wnioskowania / dowodzenia

Twierdzenia matematyczne maj

posta

implikacjiTwierdzenie: zaoenie tezaDowd polega na wykazaniu, e z zaoenia wynika w sposb logiczny teza. W rozumowaniu wykorzystuje si

dotychczasow

wiedz

(zdania

prawdziwe) danej teorii, oraz formalizm logiki matematycznej, czyli reguy wnioskowania

Przykady:1. Tw. dowiedzione wprost

Z: Jeli liczna naturalna n jest podzielna przez 2, T: to n2 jest podzielne przez 2D: Skoro n jest podzielne przez 2, to moemy je zapisa

jako 2m, gdzie m

jest liczb

naturaln, wobec czego n2 = 4 m2 = 2(2 m2), co w oczywisty sposb jest podzielne przez 2 (q.e.d.) [c.b.d.o, kwadracik , trzy kropki ]

26

2. Tw. odwrotne:Z: Jeli kwadrat liczby naturalnej jest podzielny przez 2T: to ta liczba jest podzielna przez 2

D (wprost):

Liczb

naturaln

n mona rozoy

na czynniki pierwsze: n = p1

p2 ...pj

, zatem n2 = p1 p1

p2 p2 ... pj

pj

. Poniewa

n2 jest podzielne przez 2, ktra

z pk

jest rwna 2, a wic n jest podzielne przez 2 (q.e.d.)(n.p. 154=2 7 11, wic 1542=2272112. W tym przypadku p1

=2, p2

=7, p3

=11

D (sprowadzenie do sprzecznoci):

Zamy, e n nie dzieli si

przez 2. Wwczas rozkad n nie zawiera czynnika 2, wobec czego n2

nie zawiera

czynnika 2, zatem nie dzieli si

przez 2, co jest sprzeczne z zaoeniem (q.e.d.)

D (nie wprost):

Musimy dowie, e jeli n jest liczb

nieparzyst, to n2 jest liczb

nieparzyst. Rozkad n nie zawiera czynnika 2, wic n2 te

nie zawiera

czynnika 2.

Poniewa

zachodzi tw. i tw. odwrotne (tw. zachodzi w dwie strony) , zatem zdania n jest podzielne przez 2 i n2 jest podzielne przez 2 s

rwnowane.

27

3. Tw. Liczba nie daje si

wyrazi

w postaci uamka (czyli nie jest liczbwymiern)D (przez sprzeczno):

Zamy, e , gdzie liczby naturalne m i n nie

maj

wsplnych dzielnikw, a co za tym idzie, nie s

jednoczenie parzyste. Z tezy mamy 2n2=m2, wic m2

jest parzyste, a wic (poprzednie twierdzenie)

m jest parzyste, czyli m=2k, gdzie k jest pewn

liczb

naturaln. Mamy zatem 2n2=4k2, czyli n2=2k2, zatem n jest parzyste. Poniewa

m i n s

parzyste, mamy

sprzeczno

z zaoeniem (c.b.d.o.).

4. Jeli x=2 to x=1D (faszywy):

x = 2x

1 = 1

(x

1 )2

= 1 = x

1x2

2x + 1 = x

1

x2

2x = x

2x(x

2) = (x

2) | : (x

2)

x = 1czyli 2 = 1

2 mn

=

2

Fakt ten antyczni trzymali w tajemnicy!

28

5. Inne czste faszywe rozumowanie: niesuszne zaoenie, czsto w bardzo zawoalowany sposb, tego, co chcemy udowodni.

Z: Poniewa

studenci siedz

na sali,T: to ten wykad jest ciekawyD: Poniewa

studenci przyszli na ten wykad, a studenci chodz

na wykad

wtedy i tylko wtedy, gdy wykad jest ciekawy, a wic ten wykad jest ciekawy.

Dowd rwnowanoci -

dowd w dwie strony

Dowd Wielkiego Twierdzenia Fermata

zajo ponad 300 lat! (Andrew

Wiles, 1993)

Dowody komputerowe:

tw. o czterech kolorach dot. kolorowania map dugo

ksiki telefonicznej!

Tw. Goedla:

W obrbie kadej nie trywialnej teorii istniej

zdania, ktrych prawdziwoci bd

faszywoci nie mona rozstrzygn. Inaczej, nie mona

dowie

niesprzecznoci danej teorii w ramach tej teorii.

29Przykad rachunku formalnego (M)

30

Zbiory, elementy teorii mnogociPojcia pierwotne: zbir, element zbioru, przynaleno

- x naley do A

Przykady zbiorw, notacja dla zbiorw liczbowych:,naturalne , cakowite , wymierne , rzeczywiste , zespolone , przedziay l. rzeczywistych [a,b], (a,b)

Diagramy Eulera (Venna)Zawieranie, rwno

zbiorw

Zbir pusty i zbir peny (przestrze)Podzbiory, podzbiory waciweZbiory rozczne

nie zawierajce wsplnych elementw

Operacje: suma, iloczyn (cz

wsplna, przecicie), rnica, rnica symetryczna, dopenienieZbiory (rodziny) zbiorw, zbir potgowyPrawa rachunku zbiorw, analogia do rachunku zdaNieskoczona (indeksowana) suma i iloczyn zbiorw, prawa de MorganaAksjomaty teorii mnogoci, pewnik wyboruAnalogia algebry zbiorw i logiki

31paradoks Russela

(KK)

32

Funkcje zdaniowe, kwantyfikatory

: f ( )x x: f ( )x x

Funkcja zdaniowa f(x):

wyraenie zawierajce zmienne, ktre staje si zdaniem logicznym (T lub F), jeli za zmienne x podstawimy konkretne obiekty

Zbir argumentw (dziedzina)Wykres funkcji zdaniowej

zbir wszystkich x, dla ktrych f(x)=T

Przykad: Zwierz

ma 4 nogi. x

jakie

zwierz, zbir argumentw -

wszystkie zwierzta, wykres -

te zwierzta, ktre maj

4 nogi

Kwantyfikator oglny

(duy): (All) dla kadego x zachodzi ...Kwantyfikator szczeglny

(may): (Exists) istnieje x takie, e ...

Kolejno

kwantyfikatorw

duego i maego jest istotna

-(Dla kadego studenta w tej sali istnieje osoba, ktra jest jego matk,Istnieje osoba, ktra jest matk

dla kadego studenta w tej sali )

Prawa de Morgana dla kwantyfikatorw, rachunek kwantyfikatorw

(Nie ma ry bez kolcw Kada ra posiada kolce)Konwencja opuszczanie oglnego kwantyfikatora w sytuacjach oczywistych(Kot ma cztery apy Kady kot ma cztery apy)

( ) ( )( ) ( )

~ : f ( ) : ~ f ( )

~ : f ( ) : ~ f ( )

x A x x A x

x A x x A x

0x A M >

33

RelacjeNiech Para uporzdkowana

wg Kuratowskiego: (a,b)={{a},{a,b}}

Iloczyn kartezjaski zbiorw X i Y, oznaczany jako X x Y, to zbir wszystkich par uporzdkowanych (a,b)Relacja

dowolny podzbir X x Y

Elementy bdce w relacji oznaczamy: xRyDziedzina (X) i przeciwdziedzina

(Y) relacji

Wykresy i diagramy relacji.

X={a,b,c}, Y={u,v}, X x Y = {(a,u),(b,u),(c,u),(a,v),(b,v),(c,v)}R={(a,u),(b,v),(c,v)}, aRu, bRv, cRv

a u

b v

c

, a X b Y

34

O relacjach na zbiorze X x X mwimy w skrcie relacja na zbiorze X

Przykad: X

grupa osb, R

relacja znajomociaRb

zbir par osb, gdzie osoba a zna osob

b

Krysia Piotrek Bartek Ania Agnieszka Wojtek

Krysia Piotrek Bartek Ania Agnieszka Wojtek

35

Cechy niektrych relacji:

Zwrotno

(Z)

xRx

Przeciwzwrotno

(PZ)

~xRx

Symetryczno

(S)

xRy

implikuje yRx

Antysymetryczno

(saba)

(AS)

xRy

i yRx

implikuje x=y

Przechodnio

(P)

xRy

i yRz

implikuje xRz

Relacja rwnoci, rwnowanoci (Z,S,P), porzdku (Z, AS, P), porzdku cisego (PZ,P).

Klasy abstrakcji

relacji rwnowanoci: [x]

zbir y takich, e yRx

Klasy abstrakcji dziel

zbir na podzbiory rozczne

Przykad: X -

proste na paszczynie, R

relacja rwnolegoci, [a]

zbir wszystkich prostych rwnolegych do prostej a (kierunek), liczby wymierne

36

Funkcje[Funkcje elementarne

powtrka ze szkoy redniej samemu!]

B. wane wzory trygonometryczne: cos(+)=cos(a)cos()-sin(a)sin()sin(+)=sin()cos()+sin()cos()

Def: Niech relacja f okrelona na iloczynie kartezjaskim X x Y spenia warunek

Wtedy f nazywamy

funkcj

(odwzorowaniem, przeksztaceniem), piszemy y=f(x)Innymi sowy, danemu x z dziedziny

funkcji, X=Df, przyporzdkowujemy jeden

element przeciwdziedziny, Y (jednoznaczno).

Zapis: f : X Y -

f ze zbioru X do Y, f przeprowadza X w Y

Przykad: Osobom przyporzdkowujemy ich rok urodzenia. Jest to funkcja, poniewa

jedna osoba moe mie

tylko jeden rok urodzenia.

Zbir wartoci funkcji: Vf. Oczywicie Vf

zawiera si

w Y, ale nie musi mu by rwny.

1 2 1 2 1 2 , : ( ) ( ) x X y y Y y f x y f x y y = = =

37

Jeli Vf=Y, to f: X Y (surjekcja)

Wykres

funkcji to zbir {(x,f(x)) : x Df}

Jeli f(x1

) = f(x2

) implikuje x1

=x2

, to funkcja jest

injekcj

(rnowartociowa)

Inaczej: jeli , to funkcja jest

injekcj

bijekcja

= surjekcja+injekcja

(odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne,

jeden do jeden, f: X Y )

restrykcja

(obcicie)

ograniczenie dziedziny do jej podzbioru

Dziaania na funkcjach: skadanie i odwracanie, rwno

funkcji,

funkcja staa: f(x)=c, identyczno: f(x)=id(x)=x

Funkcje liczbowe

(niekoniecznie wzr, jakikolwiek przepis, funkcja Dirichleta,

dugi rachunek komputerowy), wykres funkcji liczbowej -

przykady

Parzysto, nieparzysto, okresowo

Obraz i przeciwobraz, twierdzenia RR, str. 30

na

1-1

1 2 1 2f ( ) f ( )x x x x

38

( )

1 -1

1 1

2

-1

22

( ( ))

( ( ))

np. ( ) jest odwracalna dla [0, ).

Funkcj odwrotna jest ( ) , [0, ), bo

lub

X

Y

f f x x f f id

f f y y f f id

f x x x

f y y y

x x y y

= =

= =

=

=

= =

Funkcja odwrotna (nie myli

z liczb

odwrotn!)

Analogicznie dla innych funkcji odwracalnych.

39

Odwracanie funkcji

( )( )

( )( )

2

2

2

-1 2

-1 2

1( ) ; x [1,2]

1y = 1 0

1 4 21 42

5ale dla x=2 mamy y= , 2

wic pozostaje pierwszy przypadek1 5( ) 4 ; [2, ] 2 21 5( ) 4 ; [2, ]2 2

f x xx

x x xyx

x y y

x y y

f y y y y

f x x x x

= +

+ + =

= +

=

= +

= +

(wykresy funkcji wyjciowej i odwrotnejs

symetryczne wzgldem linii y=x)

Zbir wartoci funkcji wyjciowej jest przeciwdziedzin

funkcji odwrotnej!W powyszym przykadzie f([1,2])=[2,3/2]=Df-1 (pokaz z kartk

papieru)

zbir wartoci f

dziedzina f-1

40

Funkcje cyklometryczne

arcsin, arccos, arctg, arcctg

arcus

sinus, itp.

Trygonometryczne

mierzce trjkt

(sin, cos, tg, ctg, sec, cosec)

Koo trygonometryczne

przypomnienie

(np. jeli kt wynosi 14o, to ile wynosi y/r?)

Cyklometryczne

mierzce koo

(np. jaka jest dugo

uku, jeli x/r = 1.7 ?)

[pokaz z programu Mathematica: cyklo.nb]

Gazie, ga

podstawowa

- zawanie dziedziny tak, aby funkcja odwracana staa si

injekcj

Do funkcji arcsin

i arccos

mona doda

liczb

2k, do arctg

i arcctg

liczb

k (k-niezerowa liczba cakowita), w wyniku czego otrzymujemy inne gazie

41

Funkcja wykadnicza i logarytm (kompendium)

a

1

log

1 2

, 0, 1, , 0log

log ln a

( 0, 1)log loglog , log log , log log log

log1log 1, log 1 0, log ( 0, 1)

log

,

x

az

ec cx

b bb b a b a b

b

z z za

x x

y a a a x R yx y

z z z

a b y b b by yc a cx y x y a y y

c a

z a z zz

y a y a

= > >=

= =

= = >

= = = = =

= = = >

= = ( )( )

2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 11 2 1 2

2 2

, log

log log log

, , log log log

, log log log

x xa

a a a

x x x xa a a

z xz z za a a

y y a x x y y

y y y y

y yy a y a a y yy y

y a z R xz y y z y

+

= + =

+ =

= = = =

= = =

- wykadnicza

-

odwrotna do wykadniczej

-

a

podstawa logarytmu

42

W fizyce, informatyce, inynierii zazwyczaj wystpuje sytuacja a>1:

a=2, e, 10 (logarytm binarny, naturalny, dziesitny)

loge=ln=log

(w tym wykadzie)

43

Liczby

44

Zbiory liczbowe

1 { }2 { ,{ }}3 { ,{ ,{.

}.

} }.

1 1A n A n A +

Liczby naturalne, ={={1,2,3,4,5,6,7,...}

klasy zbiorw rwnolicznych

Zasada indukcji (aksjomat): . Wtedy A= .Sformuowanie oglniejsze: rozwamy funkcj

zdaniow

f(n).

(zasada indukcji matematycznej -

domino)

0 0 0( ( ) n n : ( ) ( 1)) n n : ( )f n T f n f n f n T= + =

45

Przykad dowodu z pomoc

indukcji: nierwno

Bernoulliego

Tw. Dla zachodzi

D: Dla n=2 mamy (1+x)2=1+2x+x2>1+2x.

(1+x)n+1 = (1+x)n(1+x) > (1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx2 > 1+(n+1)x

(schemat tego typu dowodw: piszemy lew

stron

tezy, wykorzystujemy zaoenie + zasad

indukcji, przeksztacenia, dostajemy praw

stron

tezy)

Definicja indukcyjna (rekurencyjna)

Przykad: x1=x, xn+1

= x xn

W ten sposb definiujemy wasno

dla wszystkich naturalnych n

1, 0, 2x x n> (1 ) 1nx nx+ > +

46

Symbol Newtona

Silnia: n! = 1*2*3...*n

0!=1, (n+1)! = (n+1)n!

Symbol Newtona:

(liczba kombinacji n po k)

Dwumian Newtona:

Trjkt Pascala: wspczynniki:

symbole Newtona

!!( )!

n nk k n k

=

0

( )n

n n k k

k

na b a b

k

=

+ =

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

(a+b)0

(a+b)1

(a+b)2

= a2+2ab+b2

(a+b)3 = a3+3a2b +3ab2

+b3

(a+b)4 = ...

47

Ciao (* wykad algebry)

a b

Dziaanie dwuargumentowe

na zbiorze X to odwzorowanie f : X x X X (parze przyporzdkowany jest element zbioru)

Ciaem nazywamy zbir X zawierajcy co najmniej 2 elementy, 0 i 1, w ktrym okrelone s

dziaania + (dodawanie) i * (mnoenie) speniajce warunki:

1.

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (czno

dodawania)

2.

a + b = b + a (przemienno

dodawania)

3.

0 + a = a

(element neutralny dodawania)

4.

: a + b = 0

(element przeciwny dodawania)

5.

a * ( b * c ) = ( a * b ) * c

(czno

mnoenia)

6.

a * b = b * a

(przemienno

mnoenia)

7.

1 * a = a

(element neutralny mnoenia)

8.

: a * b = 1

(element odwrotny mnoenia)

9.

a * ( b + c ) = a * b + b * c

(rozdzielno

mnoenia wzgl. dodawania)a 0 b

48

Odejmowanie

dodawanie elementu przeciwnego

Dzielenie mnoenie przez element odwrotny

Z wasnoci ciaa wynika, e nie moe by

wicej ni

jeden elementw 0 oraz wicej ni

jeden elementw 1

Element przeciwny oznaczamy jako a, a odwrotny jako a-1

lub 1/a

Znak * czsto opuszczamy: a * b = a b

49

Ciao uporzdkowane

W ciele wprowadzamy relacje mniejszoci <

o nastpujcych wasnociach:

1.

Zachodzi dokadnie jeden z warunkw: a

50

Liczby rzeczywisteIntuicja: odlego

punktw w przestrzeni, przektna kwadratu o boku 1 nie jest

liczb

wymiern! Potrzebujemy wicej liczb

liczby niewymierne

Podzbir A zbioru X jest ograniczony od dou

jeli

Podzbir A zbioru X jest ograniczony od gry

jeli

Najwiksz

z liczb m nazywamy kresem dolnym

zbioru A (infimum, inf

A)

Najmniejsz

z liczb M nazywamy kresem grnym

zbioru A (supremum, sup

A)

Aksjomat cigoci

dla zbioru X: kady niepusty i ograniczony od dou podzbir A zbioru X ma kres dolny nalecy do X

Tw. Niepusty i ograniczony od gry A ma kres grny w X

Kres dolny moe nalee

lub nie nalee

do A

Przykad: przedzia

otwarty i domknity zbioru

: :

m X a A a mM X a A a M

52

Tw. Zbir liczb wymiernych nie spenia

aksjomatu cigoci

Rozwamy A={x

: x > 0, x2 > 2}. A jest ograniczony od dou. Zamy,

e p=inf

A, p . Rozwamy liczb

q tak, e (jest to swego rodzaju sztuczka)

2

22

2

22

2( 2)2( 2)

pq pp

pqp

=

+

= +

+

Moliwe 2 przypadki (p2

= 2 wykluczony wczeniej):

1)

p2

< 2, wtedy sprawdzamy, e q > p, oraz q2

< 2, czyli q ogranicza A od dou i jest wiksze od p, a wic p nie jest kresem dolnym A

2)

p2

> 2, wtedy q < p, oraz q2

> 2, czyli q

A i jest mniejsze od p, zatem wbrew zaoeniu p nie jest kresem dolnym A

1) 2)

Zatem w obu moliwych przypadkach doszlimy do sprzecznoci, wic A nie ma kresu w

, co koczy dowd

53

Liczba jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy jej rozwinicie dziesitne jest nieskoczone i nie zawiera powtarzajcych si

(okresowych) cigw cyfr

rzeczywiste = wymierne + niewymierne

niewymierne = algebraiczne + przestpne

algebraiczne: pierwiastki rwnania Wn

(x)=0 o wspczynnikach cakowitych

przykady liczb przestpnych: e,

, e, sin 1, ln

2, ...

Zasada Archimedesa:

dla kadej liczby rzeczywistej a istnieje liczba naturalna n taka, e n > a

Liczby wymierne

sito

z dziurami! Uszczelniamy dziury liczbami niewymiernymi.Midzy dwiema rnymi dowolnie bliskimi liczbami wymiernymi ley liczba niewymierna, a midzy dwiema rnymi dowolnie bliskimi liczbami niewymiernymi ley liczba wymierna. Jednak liczb niewymiernych jest wicej!

22

54

Liczebno

zbiorwDla zbiorw skoczonych moc (kardynalno) |A| zbioru A jest rwna liczbie elementw zbioru A. Dla zbiorw nieskoczonych liczba elementw jest nieskoczona, jednak mamy rne nieskoczonoci i moemy je klasyfikowa.

Zbiory A i B s

rwnoliczne, jeli istnieje bijekcja

A B.

Zbiory skoczone nazywamy przeliczalnymi, a zbiory rwnoliczne z nieskoczonymi przeliczalnymi

Dla zbiorw rozcznych

Dla iloczynu kartezjaskiego

Dla zbioru potgowego |2A| = 2|A|

Zbiory ,

s

rwnoliczne z , a wic przeliczalne Zbiory

i przedzia

(0,1) s

rwnoliczne

Kardynalno

zbioru potgowego zbioru A wynosi 2|A|

Notacja: || = , || =

na

0

| | | | | |A B A B = +| | | | | |A B A B =

55

Przeliczalno

zbioru liczb wymiernych (GT)

Zbir, ktry mona uszeregowa

w list

(choby nieskoczon) jest z definicji przeliczalny

56

Argument przektniowy CantoraZbiory

i

nie s

rwnoliczne, || < ||

Cantor: nie istnieje bijekcja

z

na (0,1)

D: Nieskoczona lista rozwini

dziesitnych liczb z przedziau (0,1) ma posta.a0

a1

a2

a3

a4

....b0

b1

b2

b3

b4

....c0

c1

c2

c3

c4

......

Zamy, e wypisalimy (w przeliczalny sposb) wszystkie liczby z (0,1).Teraz konstruujemy liczb

x w nastpujcy sposb: n-t

cyfr

bierzemy z n-tego

rzdu, modyfikujc j

nastpujcy sposb: jeli rwna si

4, to zamieniamy na 3, jeli nie rwna si

4, to zamieniamy na 4. Przykad:

.217853...

.642222... x = .4344...

.018800... x jest z konstrukcji rne od wszystkich wypisanych liczb (co

.987697... najmniej na jednym miejscu), zatem R jest nieprzeliczalny

...

57

Rwnoliczno

R i przedziau (0,1)

Istnieje bijekcja, wic R i (0,1) s

rwnoliczne

58

Hipoteza continuum Cantora:

nie ma zbioru o kardynaloci

poredniej midzy

i c

1c =0

0 121 2|2 | 2 , |2 | 2 ,...

= = = =Kolejne liczby kardynalne

otrzymywane przez potgowanie zbiorw:

Hipoteza Cantora

jest niezalena od postulatw teorii mnogoci i nie mona jej udowodni

ani obali! Mona j

przyj

lub odrzuci

Hipoteza continuum

59

Liczby zespolone (* algebra)Liczb

zespolon

z nazywamy par

liczb rzeczywistych (a,b).

a

cz

rzeczywista, b

cz

urojonaDodawanie: (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)Mnoenie: (a,b) (c,d) = (ac

bd, ad + bc)

Ta konstrukcja spenia aksjomaty ciaa: (0,0) ,(1,0)

elementy neutralne dodawania i mnoeniaInna, najpopularniejsza notacja: wprowadzamy i = (0,1) i piszemy (a,b) =a + i b. Wwczas algebr

moemy prowadzi

normalnie, korzystajc z faktu i2 =

1.

Sprzenie: (a,b)*=(a,b), lub (a + ib)* = a

ib. Inna notacja: z Wasnoci sprzenia:

2 2

1 2 1 2

1 11 2 1 2 2

2 2

(z)=z, z+z =2x, z-z =2iy, zz=x +y

z +z =z +z , az=az (a R)

z zz z =z z , = (z 0) z z

60

Cz

rzeczywista: Re(a+ib)=a, cz

urojona:

Im(a+ib)=bWarto

bezwzgldna (modu):

|a+ib| = (a2+b2)1/2 , z z*=|z|2

Argument:

Arg(a+ib) = arctg(b/a)Interpretacja trygonometryczna: z = r (cos

+ i sin )

Tw. z1

= r1

(cos 1

+ i sin 1

), z2

= r2

(cos 2

+ i sin 2

), to a) z1

z2

= r1

r2

[cos (1

+2

) + i sin (1

+2

) ]b) z1

/ z2

= r1

/ r2

[cos (1

-2

) + i sin (1

-2

) ]

Mnoenie: obroty na paszczynie zespolonej Wzr de Moivra: (cos

+ i sin )n

= cos n

+ i sin n

(przez indukcj)

Ponadto (cos(-n)

+ i sin(-n)) (cos n

+ i sin n) =1, wic (cos

+ i sin )-n

= cos(-n)

+ i sin(-n)

Definiujemy exp(i ) = cos

+ i sin

-

funkcja wykadnicza o argumencie zespolonym, z = r exp(i ) -

modu

r, faza

Wtedy z1

z2

= r1

r2

exp(i 1

) exp(i 2

)= r1

r2

exp(i 1

+i2

) Uyteczno

liczb zespolonych (fizyka, elektronika, funkcje zespolone)

Pierwiastki zespolone wielomianw

exp( ) ii e

61

Interpretacja geometryczna

liczby zespolonej:

r

modu

-

argument

62

Dalsze wasnoci liczb zespolonych1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2

/ 2 / 2 2

2 2n n n nn n n n

/ 2 /n

| | | | | |

bo ( ) ( )| ... | | | | | ... | |

1, , , ( )

(

n n

i i i i k i i

i i i k i i k i

i n k i n

z z z z

a a b b a b a bz z z z z z

e e i e i e e k

z re r e r e r e

r e k

+

+ +

+

+ +

+ + + + + +

+ + + + + +

= = = =

= = = = =

=0 / 2 2 / 22 2 2

/ 6 2 / 3 / 6 5 / 6 9 / 63 3

0,1,..., -1)

1 ( 0,1), czyli 1 1 1 1

1 ,

( 0,1,2), czyli , ,

i k i

i k i i i i

n

e k

i i

i e k i e e e

+

+

=

= = = =

=

= = =

Euler:

63

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

/ 6 5 / 6 3 / 231 , , ,i i ii i i e e e = =

Analiza Matematycznacz 1WstpCo to jest analiza matematyczna?Prawa fizyki rwnania rniczkoweSlide Number 5Pojcie cigociCel wykaduInformacje praktyczneLiteraturaAlfabet greckiElementy teorii matematycznejSlide Number 12Elementy logiki i teorii mnogociJak rozstrzyga o prawdzie?Heurystyka, systemy formalneRachunek zdaSlide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Bramki logiczne, sieci logicznePrawa rachunku zdaSlide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Reguy wnioskowania / dowodzeniaSlide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Zbiory, elementy teorii mnogociSlide Number 31Funkcje zdaniowe, kwantyfikatoryRelacjeSlide Number 34Slide Number 35FunkcjeSlide Number 37Slide Number 38Odwracanie funkcjiFunkcje cyklometryczneFunkcja wykadnicza i logarytm (kompendium)Slide Number 42LiczbyZbiory liczboweSlide Number 45Symbol NewtonaCiao (* wykad algebry)Slide Number 48Ciao uporzdkowaneLiczby rzeczywisteSlide Number 52Slide Number 53Liczebno zbiorwSlide Number 55Argument przektniowy CantoraRwnoliczno R i przedziau (0,1)Hipoteza continuumLiczby zespolone (* algebra)Slide Number 60Slide Number 61Dalsze wasnoci liczb zespolonychSlide Number 63