h álózatok a fizikában és a fizika oktatásában
Post on 08-Jan-2016
52 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Hálózatok a fizikában és a fizika oktatásában
Farkas IllésMTA-ELTE Statisztikus és Biológiai Fizika kutatócsoport Békéscsaba, 08. márc. 29.
• Bevezetés
• komplex rendszerek: fizika és fizikusok a biológiában, pénzügyekben, Internet forgalom elemzésében, szervezetfejlesztésben, …
• alkotóelemek – komplex rendszerek – hálózatok – modulok
• kísérletek (megfigyelések), modellezés, …
• Megfigyelések
• hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak
• szomszédaim gyakran ismerik egymást
• néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van
• Modellek
• Erdős-Rényi
• Kis világ
• Skálafüggetlen
• Érdekes példák
Komplex rendszer
A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól.
• Példák• Betű szó mondat bekezdés fejezet könyv• Tanuló csoport osztály iskola• Atom molekula sejt szövet szervezet … társadalom
Komplex rendszer
A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól.
Dékán
Intézetvezetők
Tanszékvezetők
• Példák• Betű szó mondat bekezdés fejezet könyv• Tanuló csoport osztály iskola• Atom molekula sejt szövet szervezet … társadalom
• Csoportok, hierarchia* Tartalmazási * Alárendelési
Komplex rendszer
A teljes rendszer mérhető tulajdonságait leíró szabályok minőségileg eltérnek a rendszer alkotóelemeit leíró szabályoktól.
Dékán
Intézetvezetők
Tanszékvezetők
Doktori Iskola vezetője
• Példák• Betű szó mondat bekezdés fejezet könyv• Tanuló csoport osztály iskola• Atom molekula sejt szövet szervezet … társadalom
• Csoportok, hierarchia* Tartalmazási * Alárendelési
Hálózatok (gráfok)
A komplex rendszerek vizsgálatára gyakran használt eszköz:
. Rendszer alkotóeleme – hálózat pontja
. Két elem (résztvevő) között kapcsolat v. hasonlóság – két pont összekötése a hálózatban
Előny:
. Szerkezetet jól megőrzi: csoportok (csoportosulások, modulok, klaszterek), hierarchikus szerveződés
Megjegyzés:
. Hálózatban általában nincsen tér (koordináták)
Utak részletes térképe
Hálózat• csúcspontok: utak• élek: kereszteződések
Csúcs csoportok a hálózatban• Települések• Megyék (régiók)• Országok• Kontinensek
szomszéd csúcs
N, E csúcsok és élek száma
ki i. csúcs fokszáma, átlagos érték: <k>
L átlagos legrövidebb úthossz
Ci i. csúcs klaszterezettsége
C átlagos csomósodás (clustering)
Hálózatok (gráfok)
Két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük. (legrövidebb összekötő útvonal hossza)
AB
d A B = 2
hurok fa
21
iii kk
Cszomszédok közötti élek száma
Ci = 1 / 3
Klaszterezettség (egy csúcspont)
• Megfigyelések
• hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak
• szomszédaim gyakran ismerik egymást
• néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van
Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)
• Definició, hálózaton két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük. (legrövidebb összekötő útvonal hossza)
AB
d A B = 2
Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)
• Definíció, hálózaton két pont közötti távolság: A legkisebb számú él, amelyet a hálózatból fel kell használnunk ahhoz, hogy a két pontot összekössük. (legrövidebb összekötő útvonal hossza)
AB
d A B = 2
• Stanley Milgram kísérlete (1967): levelezőlapok továbbítása
• Kiindulás: Omaha, Célpont: Boston• Továbbítás csak közvetlen ismeretségeken keresztül • Eredmény: célba ért képeslapok átlagos lépésszáma: 5.5 “hat lépésnyi világ”
Tessék egy akármilyen meghatározható egyént kijelölni a Föld másfél milliárd lakója közül, bármelyik pontján a Földnek -- ő fogadást ajánl, hogy legföljebb öt, más egyénen keresztül, kik közül az egyik neki személyes ismerőse, kapcsolatot tud létesíteni az illetővel, csupa személyes ismeretség alapon.
• Karinthy (1929), Minden másképpen van (Láncszemek)
Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)
„rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !!
teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi)
• PéldákLánc: N ~ L
• Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont)
• a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos
Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)
„rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !!
teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi)
• Példák
Filmszínészek hálózata
Erősáramú rendszer
C. elegans idegsejtek
N <k> L
225 226 61 3.65
4 941 2.67 18.7
282 14 2.65
Watts, Strogatz, 1998, Science
Lánc: N ~ L
• Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont)
• a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos
Megfigyelés: kis távolságok (kis világ)
„rövidzárak” okozhatnak rövid utakat !!
teljesen véletlenszerű hálózat (Erdős-Rényi)
• Példák
Filmszínészek hálózata
Erősáramú rendszer
C. elegans idegsejtek
N <k> L
225 226 61 3.65
4 941 2.67 18.7
282 14 2.65
Watts, Strogatz, 1998, Science
Lánc: N ~ L
WWW részhalmazokBarabási, Albert, 1999, Science
mérés N = 325,729 (nd.edu) : L = 11.2,
illesztés mérési pontokraL = 0.35 + 2.06 log N
jóslat teljes www-reN ≈ 8*108 (1999-ben) L ≈ 19
• Definíció: Kis világ tulajdonság (N csúcspont)
• a legrövidebb utak hossza N helyett log N-nel arányos
Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség)
él között van szomszédomkét 21
Pkk
nC
ii
ii
• Mark Granovetter (1973)
Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok magas C és alacsony L
Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség)
él között van szomszédomkét 21
Pkk
nC
ii
ii
• Példa hálózat és kérdések (szociometria):
Csúcspontok: diákok
Élek: A és B tudják egymás testvéreinek nevét, ha túl sűrű (ritka) a hálózat, módosított kérdés (pl. iwiw-en bejelölték egymást)
Kérdések:
N, E betöltési valószínűség (hálózat sűrűsége), p = 2 E / [ N ( N – 1 ) ]
Ci mekkora a mérésből és mekkora lenne véletlenszerű esetben
[ iwiw Bp (N=850k, E=110M), Sopron (N=27k, E=4.1M), Szarvas (N=5.5k, E=840k) ]
• Mark Granovetter (1973)
Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok magas C és alacsony L
Megfigyelés: hálózati szomszédaim ismerik egymást (magas klaszterezettség)
él között van szomszédomkét 21
Pkk
nC
ii
ii
• Mark Granovetter (1973)
Sűrű csoportok között gyenge kapcsolatok magas C és alacsony L
Filmszínészek hálózata
Erősáramú rendszer
C. elegans idegsejtek
N <k> L mért, rnd C mért, rnd
225 226 61 3.65 2.99 0.79 0.00027
4 941 2.67 18.7 12.4 0.080 0.005
282 14 2.65 2.25 0.28 0.05
Watts, Strogatz, 1998, Science
• Definíció: csúcs fokszáma
• Megjegyzés: melyik pontokon át vezet sok legrövidebb útvonal…
Megfigyelés: kiugróan magas fokszámok (hatványfüggvény szerinti fokszám eloszlás)
log p(k)
log k
Hatványfüggvény (az eloszlás vége hosszú)
Nincsen karaketerisztikus fokszám
p(k)
k<k>
Gyorsan lecsengő eloszlás
Van jellemző fokszám
Példa hálózatok
Fokszám eloszlás
• Modellek
• Erdős-Rényi gráf
• Kis világ modell
• Skálafüggetlen modell
bármely két csúcs összekötése p=const. valószínűséggel
5.1~
106
1
k
N
p
Fokszám eloszlás: binomiális … Poisson
Erdős-Rényi modell P. Erdős, A. Rényi, Publ. Math. 6, 290-297 (1959)
Kis világ modell (small world) D. J. Watts, S. H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998)
kiindulás: reguláris (szabályos) gráf
az élek p részének véletlen átkötése
közepes p értékek esetén:
magas C, alacsony L
a fokszám-eloszlás lecsengése exponenciális
Kis világ modell (small world) D. J. Watts, S. H. Strogatz, Nature 393, 440-442 (1998)
Megjegyzések:
1) a kis világ hálózat szerkezete
• rács (szabályos rész) magas klaszterezettség
• véletlen komponens (E-R) „rövidzárak” miatt rövid utak
2) Nagy fokszámok valószínűsége: exponenciálisan kicsi
1) Növekedés
2) Új csúcspont választ a régiek közül: fokszám szerint lineárisan növekedő eséllyel
N
1j j
ii
k
k 3~k kp
www erősáramú hálózat színészek
a fokszám eloszlás hatványfüggvény szerint csökken
Skálafüggetlen modell A.-L. Barabási, R. Albert, Science 286, 509-512 (1999)
• Bevezetés
• komplex rendszerek: fizika és fizikusok a biológiában, pénzügyekben, Internet forgalom elemzésében, szervezetfejlesztésben, …
• alkotóelemek – komplex rendszerek – hálózatok – modulok
• kísérletek (megfigyelések), modellezés, …
• Megfigyelések
• hálózatokban gyakran sok résztvevő, mégis rövid utak
• szomszédaim gyakran ismerik egymást
• néhány résztvevőnek kiugróan sok kapcsolata van
• Modellek
• Erdős-Rényi
• Kis világ
• Skálafüggetlen
• Érdekes példák
További példák
Albert et.al. (2000)
f
L
Jeong et.al. (2001)
Egymás után csúcsok törlése átlagos úthossz változik
Ha a nagy fokszámú csúcsoktól indulunk, akkor L gyorsan nő.
Sarjadzó élesztő (S. cerevisiae) fehérje-fehérje kölcsönhatási hálózatában nagy fokszámú csúcsok
3x nagyobb eséllyel esszenciálisak
Köszönöm a figyelmet !
Fizikai szemle, 2007/06 Mindentudás az iskolában: Hálózatok mindenütt.
http://www.CFinder.org
top related