aleksandar gakovic- seminarski rad - viša matematika

UNIVERZITET APEIRON

SEMINARSKI RAD

VIŠA MATEMATIKA

Aleksandar Gaković prof. dr Esad Jakupović

Banja Luka, jun 2012. god.

Sadržaj:

Aleksandar Gaković Viša matematika

Sadržaj:.......................................................................................................................................11. Pojam i vrste sistema linearnih jednačina...............................................................................22. Asimptote................................................................................................................................43. Ispitivanje funkcija sa konstrukcijom grafika.........................................................................64. Matematička logika...............................................................................................................11Literatura:..................................................................................................................................16

1


1. Pojam i vrste sistema linearnih jednačina

Formulu F(xi)=G(x,). i=1,2,…,n nazivamo jednakost, pri čemu su xi oznake za nepoznate (promjenljive) veličine. Provjeru tacnosti jednakosti vršimo tako što umjesto xi zamjenimo konstante, a zatim uporedimo brojne vrijednosti izraza F(xi) i G(xi) istinita formula za bilo koji skup vrijednosti promjenljivih xi (a to se može konstatovati i bez neposrednog uvrštavanja konstanti na mesto promjenljivih), onda se za F(xi)=G(xi) kaže da je identička ili bezuslovna jednakost, kraće rečeno identičnost (identitet).

Ovakve jednakosti se, bez zamjene konstanti umjesto promjenljivih,mogu svesti na oblik

2 2 2 2 2 20 0 . 0 0 0 .npr x y x y x y x y x xy y

Ako je jednakost F(xi)=G(xi) istinita samo za određene strukture vrijednosti nepoznatih (pa makar ih bilo i beskonačno mnogo), dakle ne za bilo koji odnos vrijednosti nepoznatih,onda za F(xi)=G(xi) odnosno za P(xi)=F(xi)-G(xi)=0 kažemo da je uslovna jednakost ili jednačma.

Jednačina se može svesti na oblik 0=0 tek nakon uvrštavanja vrijednosti nepoznatih za koje je istinita (zadovoljena).

Vrijednost promjenljivih za koje je tačna jednakost P(xi)=0 nazivamo rješenje jednačine. Ako je svako rješenje jednačine P(xi)=0 ujedno i rješenje jednačine Q(xi)=0, onda je za ove jednačine kaže da su ekvivalentne.

Jednačina u kojoj se nepoznate pojavljuju samo u obliku stepena sa eksponentom 1, razdvojene znacima + i — naziva se linearna jednačina. Opša oblik linearne jednačine sa n nepoznatih je:

a1,a2…ann su oznake za koeficijente nepoznatih x1 , x2 , …, xn b je oznaka za slobodni član.

Opšti oblik jednačine sa jednom nepoznatom je: ax + b = 0Rješenje ove linearne jednačine je: Xo = -b/a

S obzirom na vrijednosti a i b mogući su slijedeći slučajevi;1. Ako je a ≠ 0, jednačina ima jedno realno rješenje i to: x0=0 ako je b=0, a x0 ≠ 0 ako je

b ≠ 0.2. Ako je a=0 i b=0, onda je x0=0/0, a to znači da je rješenje jednačine bilo koji realan

broj.3. Ako je a=0 i b ≠ 0, onda je x0=-b/0, pa zbog nemogućnosti djeljenja broja koji nije

mila sa nulom zaključujemo da jednačina nema rješenje. Opšti oblik linearne jednačine sa dvije nepoznate je: ax + by + c = 0

Rješenja ove jednačine možemo dobiti tako što jednu od nepoznatih izrazimo u funkciji druge, npr. Ovako: y = (-a/b)x - c/b.

x je u ovom slučaju tzv. slobodna promjenljiva kojoj po volji možemo odrediti vnjednost,a vrijednost y zavisi od odabrane vrijednosti za x. dakle,jednačina ima bezbroj rješenja pa se kaže da je neodređena. Rješenja ovakve jednačine se mogu prikazan uopšteno parametarski preko nove nepoznate (parametra). Za posmatranu jednačinu će biti:

/ /x t y a b t c b Što znači da se rješenja jednačine mogu prikazati kao uređeni par:

(x,y) = (t.(-a/b) · t-c/b).

2


Odredimo li, po volji, vrijednost za t odredih smo i rješenje jednačine, a ima bezbroj mogućnosti za to.

Za linearnu jednačinu sa tri nepoznate: ax + by + cz + d = 0 rješenja ćemo dobin u vidu uređene trojke: (x,y,z) = (t1,t2,(-a/c) · t1 - (b/c) · t2 - d/c) pa zaključujemo da je jednačina dvostruko neodređena, tj. da po volji određujemo vrijednosti za dve promjenljive (nepoznate).

Dalje zaključujemo da je jedna linearna jednačina sa n nepoznatih (n-l)-struko neodređena.

Osim kada se jednačine posmatraju kao funkcije, pri rješavanju jednačina sa više nepoznatih susrećemo se sa skupom (sistemom) jednačina koje sadrže iste nepoznate.

Nadalje je, po pravilu, broj jednačina u sistemu jednak broju nepoznatih, ali može biti manji ih veći.

Opšti oblik sistema od m linearnih jednačina sa po n nepoznatih x1 , x2 ,..., xn može se prikazati ovako:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Pri čemu su: * aij oznake za koeficijente nepoznatih xj (i=1,2,…,m: j=1,2,...,n); * bi oznake za takozvane slobodne članove (konstante).

Ako je bar jedan od bi različit od nule za sistem S se kaže da je nehomogen, a ako su svi bi=0 onda se za sistem S kaže da je homogen.

Sistemu S se može pridružiti odgovarajući matrični oblik:

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n n

a a a x b

a a a x b

a a a x b

odnosno skraćeno; Ax = b pri čemu je A oznaka za matricu sistema (matrica koeficijenta sistema), x oznaka za vektor nepoznatih, a b vektor slobodnih članova.

N—torka (x10,x20 ,… xno) se naziva rješenje sistema ako se,zamjenom članova ove n—torke umjesto xj (j=1,2, ,...n) da tim redom u date jednačine, svaka jednačina transformiše u identičnost, tj. u oblik u kome je brojna vrijednost lijeve jednaka brojnoj vrijednosti desne strane jednačine. Rješenje sistema je, prema tome, presjek skupova rješenja svih njegovih jednačina.

Neki sistem S može biti saglasan, tj. da ima rešenja ili nesaglasan (protivrećan, kontradiktoran), tj. da nema rešenje. Ako je sistem saglasan može da ime jedno (jedinstveno) rješenje pa se kaže da je sistem određen, a može da ima više rješenja pa se kaže da je sistem neodređen. Ako ima više rješenja onda ih ima beskonačno mnogoPostoji više načina da se odredi da li i koliko rješenja ima posmatrani sistem.

Za pouzdano utvrđivanje saglasnosti odnosno nesaglasnosti sistema linearnih jednačina možemo se poslužiti poznatim Kroneker-Kapelijevim stavom koji, u slobodnoj integraciji (bez dokaza) glasi ovako:

3


proširenom matricom sistema, onda je sistem saglasan ako i samo ako je r(A,b)=r(A), a nesaglasan ako je r(A.b)>r(A). Inače, kada je r(A,b)>r(A) onda je r(A,b)-r(A)=1.Posljedice ovoga stava su:

1. Ako je r(A,b)=r(A)=n, onda je sistem određen. Ovo se može desiti u slučajevima m=n i m>n.

2. Ako je r(A,b)=r(A)<n, onda je sistem neodređen, bez obzira da li je m<n, m=n ili m>n. Ako je n-r=k kaže se da je sistem k—struko neodređen,tj. vrijednost n nepoznatih se iznalazi tako što se k nepoznatih tretiraju kao tzv. slobodne nepoznate kojima vrijednost dajemo po volji (proizvoljno), a za r tzv. baznih nepoznatih vrijednosti određujemo preko vrijednosti slobodnih nepoznatih.

3. 5) Ako je r(A,b)>r(A), onda je sistem kontradiktoran, bez obzira da li je m<n, m=n ih m>n, ali uz uslov da je m>1.

4. 4) Homogen sistem tj. sistem u kome je b=0, ne može biti kontradiktoran, jer je r(A,b)=r(A).

Homogeni sistem ima bar jedno rješenja, a to rješenje je n-torka (0,0,…,0). Riječ je o tzv. trivijalnom rješenju čije postojanje uočavamo jednostavno bez rješavanja sistema. Ako je r(A)=n, onda sistem osim trivijalnog, nema drugih rješenja, pa je sistem određen. Ako je r(A)<n, onda sistem osim trivijalnog ima i bezbroj drugih rješenja, pa je sistem neodređen.

2. Asimptote

Potpuno ispitivanje funkcija y=f(x) zahteva sistematično određivanje svih karakterističnih osobina date funkcija y=f(x). Prilikom konstrukcije grafika veličina slike je ograničena. Imamo mogućnost da skiciramo u konačnim dimenzijama, ali je neophodno da ispitujemo ponašanje funkcije kad x→±∞ ih u tačkama prekida, U tom cilju upoređuju se funkcija y=f(x) sa pogodno izabranom funkcijom φ(x) čije ponašanje je dobro poznato, funkcija φ(x) ili φ -1(y) se nazivi asmiptota funkcije y=f(x) ako je ispunjen uslov

U vezi inverznog preslikavanja vidi tačku 1.4 Geometrijski, gornje relacije znače da se grafici datih funkcija u bcskonačnosti neograničeno približavaju jedan drugome. Asimptote mogu da budu pravolinijske i krivolinijske. U nastavku govoriće se o pravolinijskim asimptotama, koje mogu biti: kose, horizontalne i vertikalne. Vidi sliku 3-8.

4


Potreban i dovoljan uslov znati egzistenciju kose asimptote sadrži slijedeća teorema: Funkcija y=f(x) ima kosu asimptotu ako i samo ako postoje konačne

granične vrijednosti

Jednačina kose asimptote je φ(x) = ax + b. Pokazaćemo najpre da je uslov (15) potreban, tj. ako postoji prava (φ(x)=ax+b koja je

asimptota funkcije y=f(x) tada prema definiciji asimprote uslov (13) je ispunjen.

Nakon dijeljenja sa x

Odakle se dobiju da je

Iz relacije (13) slijedi da je

Pokazaćemo da je uslov (15) dovoljan. Doista,ako je

tada je

Relacija (13) je ispunjena, tj. φ(x)=ax+b je po definiciji (13) asimptota funkcije y=t(x). U specijalnom slučaju za a=0 dobija se asimptota φ(x)=b koja se naziva

horizontalnom asimptotom. Horizontalna asimptota je definisana rclaciiom (13). U slučaju da je φ-1(y)=konst.

Relacija (14) definiše vertikalnu asimptotu. Prava x=a je vertikalna asimptota funkcije y=f(x) ako je

Kako je x=φ-1(y). relacija (16), je ekvivalentna s slijedećim

Potrebno je napomenuti da prilikom određivanja asimptota određujemo granične vrijednosti i za +∞i za -∞.

Primjer1. Odrediti asimptote funkcije Potražimo kose asimptote funkcije

5

( )lim lim ( )x x

f xa i f x ax b

x

lim ( ) ( ) 0x

f x ax b

( )lim 0x

f x ax b

x

( )lim 0x

f x ax b

x

limx

b f x ax

( )lim lim ( )x x

f xa i f x ax b

x

lim ( ) 0x

f x ax b

1lim ( ) .y

f y a

lim

lim ( )

y

x a

x a

f x

1( ) .

1

xf x

x

1 11( ) 11lim lim lim lim 0.

( 1) 1x x x x

xf x xx xa

x x x x x


Kad x → - ∞ dobijemo isto. S obzirom da je a = 0 kosa asimptota funkcije ne postoji. Međutim ispitivanje je potrebno nastaviti jer možda postoji horizontalna asimptota

Kad x → - ∞ dobijamo isto. Prema tome y=1 je jedina horizontala asimptota grafika funkcije

Za određivanje vertikalnih asimptota odmah vidimo da ako imenitelj racionalne funkcije izjednačimo sa nulom realna rješenja te jednačine predstavljaće one konačne vrijednosti promenljive x za koje funkcija f(x) postaje beskonačno velika.tj.

Prema tome, prava x=1 predstavlja vertikalnu asimptotu funkcije kad y→ ± ∞2. Odredite asimptote funkcije

Kad x → - ∞dobijamo isto.

Kriva ima kosu asimptotu y=x+2. Vertikalna asimptota ove krive je x = 2, jer je

3. Ispitivanje funkcija sa konstrukcijom grafika

Elementarni način ispitivanja funkcija (Vidi tačku 3.5.) može da pruža samo djelimične informacije o nekoj funkciji. Za formiranje kompletne predstave o jednoj konkretnoj fiunkciji potrebno je uključiti i diferencijalni račun kao što je to pokazano u prethodnim izlaganjima Na kraju ispitivanja postoji mogućnost za približno konsiruisanjc grafika funkcije. S obzirom na ono što je do sada izloženeo, ispitivanje funkcija treba da obuhvati slijedeće:

1. Određivanje oblasti definisanosti funkcijeNaći tačke prekida2. Ispitivanje parnosti ili neparnosti

2

( ) .2

xf x

x

2

( ) 2lim lim lim 1.2x x x

xf x xxa

x x x

6

1( )

1

xf x

x

1

11lim lim lim lim 1.

11 1x x x x

x xb f x ax f xx

x

1( )

1

xf x

x

1 0 1 0

1 1lim 1 lim

1 1x x

x x

x x

2 2

lim ( ) lim lim 2.2 2x x x

x xb f x ax x

x x

2 2

2 0 2 0lim lim .

2 2x x

x xi

x x


3. Ispitivanje ponašanje funkcije u okolini tačke prekida i na krajevima intervala definisanosti 4. Određivanje asimptota5. Određivanje prosječnih tačaka grafika funkcija sa koordmamim osama6. Određivanje znaka funkcije 7. Određivanje ekstremnih tačaka8. Određivanje intervala monotonosti 9. Određivanje prevojnih tačaka 10. Određivanje intervala konkavnosti i konveksnosu

Na osnovu ovih podataka slijedi konstrukcija grafika.

1) Ispitati funkciju i konstruisati njen grafik.

1° Funkcija je definisana za svako x za koje je x≠O. Prema tome, oblast definisanosti čine sve realne vrijednosti sem x=0, tj. x (-∞,0) (0,∞). Za x=0 funkcija ima prekida.2°

Funkcija je parna.3°

Ovim graničnim vrijednostima je utvrđeno ponašanje funkcije u tački prekida i na krajevima intervala definisanosti.4° Na osnovu prethodne tačke se zna da je:

tj funkcija nema horizontalnih asimptota

tj. x=0 je vertikalna asimptota funkcije.

Jedino još treba proveriti da li postoji kosa asimptota. Pošto je

funkcija nema kosu asimptotu.

5° Presječna tačka grafika funkcije sa x osom se dobija za y=0, ali jednačina

nema realni korjen, jer iz x4+1=0 slijedi da je x4=-1, a to je nemoguće u skupu realnih brojeva, io znači da grafik funkcije ne siječe x osu.

Presječna tačka grafika funkcije sa y osom se dobija za x=0, ali u toj tački funkcija ima prekida i zbog toga grafik funkcije ne siječe ni y osu.

6° Funkcija je stalno pozitivna.

7° Potreban uslov za egzistenciju ekstremnih vrijednosti da je

7

22

1f x x

x

2 22 2

1 1f x x x f x

xx

2 22 20 0

2 22 2

1 1lim lim

1 1lim lim

x x

x x

x xx x

x xx x

limx

f x

0

limx

f x

4

3

1lim limx x

f x x

x x

42

2 2

1 10

xx

x x

22

1f x x

x

4

3 3

2 12 2 0

xf x x

x x


Realni korjeni ove jednačine x=1 i x=-1 određuju stacionarne tačke funkcije

Pošto je f"(1)=8>0 i f" (-1)=8>0, dovoljan uslov za egzistenciju minimuma je ispunjen. Prema tome, tačke minimuma su (-1,2) i (1,2).

8° Interval monotonosti se određuje na osnovu već izračunatog prvog izvoda, koji ćemo rastavili na prošle faktore:

Tabela za određivanje znaka prvog izvoda, tj. rastenje i opadanje funkcije:

9° Prevojne tačke se određuju na osnovu drugog odnosno trećeg izvoda funkcije. Jednačina

nema realnih rješenja, odavde slijedi da funkcija nema prevojnih tačaka.

10° Pošto je drugi izvod pozitivan za svako x iz oblasti definisanosti. funkcija je svuda konkavna.

Na osnovu dobijenih rezultata konstruisan je grafik funkcije (vidi sliku 4-8)

SLIKA; 4-8

2) Ispitati funkciju i konstruisati njen grafik.

1°. Funkcija je definisana za svako x za koje je x2 -1≠0. Prema lome. oblast definisanosti funkcije je x (-∞,-1) (-1,1) (1, ∞) .Za x = ± 1 funkcija ima prekida.

2° , pa je funkcija neparna.

8

4

62f x

x

2

3

2 1 1 1x x xf x

x

4

4 4

2 362 0

xf x

x x

22

1f x x

x

2

2 1

xy

x

3 3

2 2 11

x xf x f x

xx


Ovim graničnim vrijednostima je utvrđeno ponašanje funkcije u tačkama prekida, i na krajevima definisanosti.4° Na osnovu prethodne tačke se zna da je , funkcija nema horizontalnih asimptota. , vertikalna asimptota funkcije. , je vertikalna asimptota funkcije.

Pošto je , prava y=x je kosa asimptota funkcije.

5° Presječna tačka grafika funkcije sa x osom se dobija za y=0, tj. rješavanjem jednačine

Jednačina ima realno rješenje i to za x=0, što znači da je koordinatni početak O (0,0) jednačina prosječna tačka sa koordinatnim osama.

6° Prvo se rastavlja funkcija na proste faktore , a zatim se određuje znak funkcije pomoću slijedeće tabele:

7° Potreban uslov za egzistenciju eksternih vrijednosti da je

Korjeni ove jednačine su

Pošto je , dovoljan uslov za egzistenciju maksimuma u tački je ispunjen . f"(0)=0, dovoljan uslov za egzistenciju ekstrema u tački x = 0 nije ispunjen. , , dovoljan uslov za egzistenciju minimuma u tački je ispunjen.

Prema tome. funkcija ima ekstremne vrijednosti u tačkama maksimum i

8° Intervali monotonosti se određuju na osnovu prvog izvoda. Tabela za određivanje znaka prvog izvoda, tj. rastenje i opadanje funkcije

9

limx

f x

1 0 1 0

lim lim ; 1x x

f x i f x x

1 0 1 0

lim lim ; 1x x

f x i f x x

2 2

2 2lim lim 1 lim lim 0

1 1x x x x

f x x xi f x x

x x x

3

20

1

x

x

3

,1 1

xf x

x x

22 2

2 22 2

3 330

1 1

x x xx xf x

x x

23 2 2 4 2 23

4 3 32 2 2

4 6 1 2 1 2 3 2 32 6

1 1 1

x x x x x x x x xx xf x

x x x

3 0f 3x

3 0f 3x

3 33,

2

3 33,

2


9° Potreban uslov za postojanje prevojne tačke da je

Realno rješenje gornje jednačine je x=0. Pošto je

dovoljan uslov za egzistenciju prevojne tačke je ispunjen. Tačka (0,0) je prevojna tačka funkcije.10° Intervali konkavnosti odnosno konveksnosti se određuju na osnovu drugog izvoda, koji se u tom cilju rastavlja na proste činioce, tj.

Tabela za određivanje znaka drugog izvoda, tj. konkavnosti i konveksnosti funkcije:

Na osnovu dobijenih rezultata konstruisan je (Vidi sliku 4-9)

SLIKA; 4-9

10

23

3 32 2

2 32 60

1 1

x xx xf x

x x

4 2

42

6 16 0 6 0.

1

x xf x i f

x

2

3 3

2 3.

1 1

x xf x

x x

3

2 1

xf x

x


4. Matematička logika

Osnovno sredstvo sporazumjevanja medu ljudima je jezik, Razlikujemo više vrsta jezika sporazumjevanja, kao što su npr, slikarski, muzički, obični (govorni) i književni jezik, Matematički jezik je najviši oblik naučnog jezika,

Za razliku od npr, slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomoću koga se izražavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorječenosti, Zadatak matematičke logike je proučavanje, istraživanje i stalna dogradnja takvog matematičkog jezika, tj, jezika simbola kao sredstva za razvijanje mišljenja, rasuđivanja, zaključivanja i komuniciranja u matematici.

Najsličniji maternatičkom jeziku su govorni i književni (pisani) jezik, Osnovu ovih jezika čini glas, slovo, riječ i rečenica, Nešto slično važi i za matematički jezik u kome osnovu čine matematički izrazi (riječi) ili termini, Najprostiji matematički izrazi su konstante i promjenljive.

Konstante su potpuno određeni matematički objekti, tj, veličine kojima se vrijednost ne mijenja, npr, -S; 0; 2; 2/3; 5; ; Π; e ...

Promjenljive su simboli (znaci i slova) koji mogu predstavljati bilo koji elemenat iz nekog datog skupa, Dati skup se naziva oblast definisanosti (domen) promjenljive, Konstante kojima se zamjenjuju promjenljive nazivaju se vrijednosti promjenljivih.

Primjer 1.) x,y,z,a,b,c,...,α,A su oznake za promjenljive 2.) n je oznaka za prirodan broj, Vrijednosti promjenljive n su konstante 1, 2, …

Složeni matematički izrazi se dobijaju kad se konstante I promjenljive povežu simbolima ( oznakama) za računske operacije, kao što su npr, +, -, ·, : , Pri formiranju slođenih izraza dozvoljena je I upotreba zagrada, s tim da izraz ima smisla.

Primjer 1,) izrazi su: 8+7, 3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y I sl, 2,) nisu izrazi: 2+, x(y+) I sl,

Dakle, izrazi su riječi ili sklopovi riječi koji ne čine rečenicu, Izrazi se sastoje od jedne promjenljive ili od jednog znaka konstante, ili od više promjenljivih ili znakova konstanti povezanih znacima operacija, uz upotrebu zagrada kao pomoćnih simbola,Viijednost matematičkog izrazi je konstanta koja se dobije nakon što se u izrazu svi simboli promjenljivih zamjene odgovarajućim vrijednostima (konstantama) i izvrše naznačene operacije.Matematičke formule su rečenice koje su: ili (1) istinite, ili (2) neistinite, ili (3) takve da se za njih ne može, nedvosmisleno i jednoznačno, utvrditi vrijednost istinitosti. Za prve važe ovi principi:

principi uključenja trećeg, što znači da ne postoji iskaz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit,

princip kontradikcije, što znači da nema iskaza koji je i istinit i neistinit.

Primjer

11


Iskazi su formule: 2+3=5, 4>1+2, 4<1+2, 2+3=7, x+x=2x, x+x=3x za x#0, x+2=5 za x=3, x+2=5 za x=8, x+y=y+x i si,

Nisu iskazi formule: x+2=5, x+y=z, x+x=3x i si, jer nisu definisane vrijednosti promjenljivih njima, pa se ne može nedvosmisleno i jednoznačno utvrditi da li su tačne ili netačne,

Iskazi su i ove rečenice: Južna i Zapadna Morava se spajaju i grade Moravu; Subotica je grad sa najviše stanovnika u Jugoslaviji, prema popisu od 1981, godine,

Nisu izkazi rečenice: Broj 2 je zelen; Ekononomija je slatka; Mis univerzum je najljepša žena na svetu, i si, Prve dve rečenice nemaju smisla, dok se za treću ne može pouzdano (nedvosmisleno) utvrditi vrijednost istinitosti, jer je ljepota stvar ukusa, tj, za nekoga je Mis univerzuma najljepša a za nekoga nije,

Matematičke formule koje sadrže promjenljive kojima vrijednost nije definisana i za koje se zbog toga ne može jednoznačno utvrditi vrijednost istinitosti, su neodređeni iskazi i nazivaju se iskazne forme, iskazne funkcije, ili predikati, Predikati postaju iskazi kada se u njima na mjesto promjenljivih uvrste konstante, tj, vrijednosti promjenljivih, Za predikate sa jednom, dve, tri, itd, promjenljivih se kaže da su dužine: jedan, dva, tri, itd.

Predikati su ove formule: x+2=5, x>5, x+y=z, x+x=3x i sl.

Svaki iskaz se može obilježiti slovom, Ova slova se nazivaju iskazna slova, npi, p, q, r, s, a, b,,,,

Ako je neki iskaz p tačan (istinit), onda se vrijednost njegove istinitosti označava ovako: τ p=T ili τ p=1 (čitaj: tau od p jednako te ili jedan; T kao prvo slovo engleske reci true=istina),

Ako je p netačan (neistinit, lažan) iskaz, onda se njegova istinitost vrednuje sa ili 0, tj, piše se ili τ p= ili τ p=0 (čitaj: tau od p jednako ne te ili nula),

U matematici se tačan iskaz naziva stav, Iskaz je prost ako sadrži samo jednu informaciju, Dva ili više prostih iskaza povezanih znacima logičkih operacija tvore složeni iskaz,

Osnovni medu njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije ┐, koja se odnosi na jedan iskaz, U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih složenih iskaza,

Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q (čitaj: p i q), istinit onda i samo onda ako su oba data iskaza istinita,

Tablica vrednosti istinitosti za konjukciju za sve moguće varijante vrijednosti istinitosti iskaza piq:

ili kraće Disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq (čitaj: p ili q), istinit onda i samo

onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su oba data iskaza neistinita, Ovako definisana disjunkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (uključiva) disjunkcija, jer je istinita i onda kada su oba data iskaza istinita.

Eksluzivna (isključiva) disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq (čitaj: ili p ili q), istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit.

12


Tablica vrijednosti istinitosti za disjunkciju:

Pod izrazom "disjunkcija" najčešće se podrazumjeva inkluzivna, pa je u slučaju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti,

Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz, p q se može čitati ovako:

p implicira q, iz p slijedi q, p je dovoljan uslov za q, q je potreban uslov za q, p je uzrok za q, a q je posljedica p, p je predpostavka, a q je tvrdnja,

Tabla istinitosti za implikaciju:

Ekvivalencija datih iskaza je iskaz u oznaci p q istinit onda i samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrednosri istinitosti, p q se može čitati ovako:

p je ekvivalentno sa q, iz p slijedi q i iz q slijedi p, ako je p onda q i obratno, p je dovoljan i potreban uslova za q i obratno, itd,

Tablica vrijednosti istinitosti za ekvivalenciju:

Ekvivalencija iskaza p i q se može definisati i kao konjunkcija implikacija p =>q i q=> p, tj, važi:

13


Negacija datog iskaza p je iskaz ┐ p (čitaj: ne p), koji je neistinit kada je p istinit i obratno, Tablica vrijednosti istinitosti za negaciju:

Napomena

1. ┐(┐ p)=p, tj, negacija negacije datog iskaza daje iskaz sa jednakom vrijednošću istinitosti kao što je ima dati iskaz,

2. ┐ ( p óq ) = p q i ┐ ( p q ) = p óq, tj, negacija ekvivalencije je ekskluzivna disjunkcija i obratno.

Dakle, vezivanjem prostih iskaza, označenih iskaznim slovima p, q,,,,, pomoću znakova logičkih operacija dobili smo složene iskaze, Vezujući ove složene iskaze pomoću znakova logičkih operacija dobijamo još složenije, Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logičke formule.

Uobičajeno je da se iskazne formule definišu ovako: Iskazna slova su iskazne formule, Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A Λ B), (AVB), (A =>B), (Aó B), ┐A

takođe iskazne formule, Iskazne formule mogu se obrazovati samo konačnim brojem primjena 1) i 2),

uz mogućnost korišćenja konvencije o brisanju zagrada. Vrijednost istinitosti iskazne formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskaznih

promjenljivih u njoj.

Iskazna formula koja je istinita za svaku moguću varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija, Ako je iskazna formula tautologija piše se: A=T ili A ≡ T ili A~T.

Dvije formule A i B su identički jednake ako i samo ako je formula Aó B tautologija. Ako se kvantitativno želi izraziti za koje vrijednosti promjenljivih je istinita iskazna

funkcija ili predikat, onda se mogu koristiti tzv, kvantifikatori ili kvantori (kolikovnici).

Ako iskaz počinje kvantifikacijom "za svako", onda se riječi "za svako" označavaju sa (obratno od prvog slova njemačke riječi Alle=svi), i nazivaju univerzalnim kvantifikator (kvantor).

Formula ( ó x A) P(x) znači: za svako x iz skupa A predikat P(x) je tačan. Ako iskaz počinje kvantifikacijom "za neko" ili "postoji bar jedan", onda se ove riječi

označavaju sa (obratno od prvog slova njemačke riječi Es gibt=postoji), i nazivaju egzistencijalni kvantifikator (kvantor).

Formula ( x A) P(X) znači: predikat P(x) je tačan za bar jedno x iz skupa A. U vezi s kvantorima, pored ostalih, značajne su ove formule kao zakoni predikatskog

(kvantifikatorskog) računa:

Kvantori, zajedno sa riječi i, ili, ako,,,onda, nije, predstavljaju potpun spisak

osnovnih riječi pomoću kojih se u matematici polazeći od izvjesnih rečenica, grade nove složene rečenice.

14


Na kraju ovog poglavlja dajemo objašnjenje nekih značajnijih pojmova u vezi s rasuđivanjima i dokazivanjima u matematici.

Definicija je rečenica, ili skup rečenica, kojom se određuju sadržina nekog pojma. Pojam je misaoni sadržaj termina ili simbola, Razlikujemo osnovne i izvedene

pojmove, Osnovni pojmovi su oni koje prihvatamo jasnim same po sebi bez potrebe da se objašnjavaju nekim drugim pojmovima (npr, broj, skup, tačka), Izvedeni pojmovi su oni koje objašnjavamo pomoću osnovnih i drugih izvedenih pojmova.

Pretpostavke (hipoteze) su rečenice (formule) od kojili se polazi, kao taćnih u nekom rasuđivanju.

Posljedice su rečenice (formule) koje su, iz pretpostavki, dobijene logičkim rasuđivanjem i zaključivanjem.

Aksiome su polazne rečenice (formule) koje se po dogovoru uzimaju kao tačne i čija se istinitost ne dokazuje.

Teoreme su izvedene (dokazane) rečenice (formule) zasnovane na aksiomima ili prethodno dokazanim tvrđenjima.

Dokaz je put logičkog rasuđivanja i zaključivanja od pretpostavki do posljedica tj, niz koraka od kojili je svaki korak ili aksioma ili već dokazana teorema.

15


Literatura: Viša matematika, prof. dr Esad Jakupović, 2008 god., izdavač: Panevropski Univerzitet Apeiron, 1. izdanje

16

aleksandar gakovic- seminarski rad - viša matematika

Documents