MATEMÁTICAS DE PENSIONES

PARA ACTUARIOS

Arthur W. Anderson

Primera Edición en Español

Traducción:

Act. Carlos Lozano Nathal

México, 2003

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Copyright @ 1992by ACTEX Publications, Inc.

1st printing – February 19852nd printing – September 19852nd edition – January 19902nd edition, 2nd printing – November 19912nd edition, 3rd printing – May 1992

Library of Congress Cataloging-in-Publication DataAnderson, Arthur W., 1941

Pension mathematics for actuaries

ISBN 0-936031-10-7

Copyrigth @ 2003Carlos Lozano Nathal

1ª edición en español – Julio, 2003 Todos los derechos reservadosNinguna porción de est libro puede ser copiada, reproducida o codificada electrónicamente para ningun propósito sin la autorización expresa por escrito del editor

Nota del traductor: Esta es una edición especial elaborada para efectos de un Diplomado en Actuaría

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CONTENIDO

Capítulo 1 Introducción

Capítulo 2 Métodos de Costeo Actuariales

2.1 El Cómo y el Por Qué2.2 Crédito Unitario2.3 Actuarial de Edad – de Entrada2.4 Más Acerca del Método de Costeo Actuarial de Edad – de Entrada2.5 Prima Individual Nivelada2.6 Método de edad – de Entrada con Pasivo Inicial Congelado2.7 Nuevos Participantes2.8 Más sobre el Método de edad – de Entrada con Pasivo Inicial Congelado2.9 Método de Costeo Agregado2.10 Pensionados2.11 El Costo de Pensión en Perspectiva

Capítulo 3 Planes de Contribución

3.1 Comentarios3.2 Crédito Unitario3.3 Actuarial de Edad – de Entrada3.4 Prima Individual Nivelada3.5 Método Actuarial de Edad – de Entrada con Escala Salarial3.6 Anualidad de Reembolso Modificado

Capítulo 4 Beneficios Adicionales

4.1 ¿Adicionales a Qué?4.2 Adquisición – Método de Crédito Unitario4.3 Una Aclaración Sobre la Teoría de Decrementos Múltiples

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4.4 Adquisición – Método Actuarial de Edad – de Entrada4.5 Retiro Anticipado4.6 Jubilación Diferida4.7 Retiro como un “Beneficio Adicional”4.8 Otros Beneficios Adicionales

Capítulo 5 Activos

5.1 ¿Qué son?5.2 Valor en el Mercado Ajustado5.3 Método de Dinero Fresco5.4 Contratos de Rentas Colectivas5.5 Pólizas de Seguro de Vida Individual5.6 Una Visión de Conjunto

Capítulo 6 Las Hipótesis

6.1 Ciencia Actuarial vs. Arte Actuarial6.2 Una Paradoja Actuarial6.3 Tabla de Servicios6.4 Decrementos Secundarios6.5 Interés, Inflación y Aumentos Salariales

Capítulo 7 De Nuevo, Métodos de Costeo

7.1 ¿Quién Debería Estar Incluido?7.2 Más Sobre Crédito Unitario7.3 Más Acerca de la Prima Individual Nivelada

Reconocimientos

Indice

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CAPITULO 1

INTRODUCCION

El estudiante entrenado en las matemáticas de contingencias sobre la vida podría preguntarse con justificación, si existe en las matemáticas de pensiones algo fundamentalmente nuevo, o si es simplemente una aplicación particular de lo que él aprendió. Por ejemplo, cuando encuentra la expresión “obligación acumulada”, él la asociará con la reserva de la prima neta nivelada para una póliza de seguro de vida. Un “costo normal” parecerá más, una prima neta. Estas similitudes son sólo superficiales: las matemáticas de pensiones son una especialidad actuarial precisa, diferente a las matemáticas de los seguros de vida en muchos aspectos.

Una de esas diferencias tiene que ver con el tamaño de los grupos con los que normalmente se trata. Cuando el actuario de seguros de vida tarifica el precio de un contrato de anualidades, trabaja sobre la hipótesis de que habrá el número suficiente de compradores de este tipo de póliza como para poder ignorar las fluctuaciones estadísticas. A menudo se da el lujo de permitir márgenes de error considerables. En contraste, en un plan de pensiones que cubre a cien empleados, las fluctuaciones estadísticas son más importantes que las leyes de los promedios; el actuario sabe que sus estimaciones serán inexactas, la pregunta es, ¿cómo tratar con las diferencias inevitables entre los resultados esperados y los reales?. Irónicamente, el actuario de pensiones debe planear con anticipación sus propios errores.

Una segunda diferencia surge por la falta de control de parte del actuario de pensiones sobre muchas variables críticas. Por ejemplo, un actuario de seguros de vida no podría sancionar un contrato individual de anualidades, cuyo monto de carátula variara con base en el salario del tenedor de la póliza, o que permitiera al contratante tomar la decisión sobre la fecha de inicio de la anualidad. Por otro lado, el actuario de pensiones trata con frecuencia con planes que permiten la elección de la fecha de retiro cuyos beneficios dependen de los últimos ingresos anteriores al retiro. Bajo el mismo plan, si el empleado deja el trabajo demasiado pronto , puede perder estos beneficios. Para el actuario, predecir lo impredecible es parte del trabajo diario.

También existe una diferencia en la actitud hacia el conservadurismo. En el caso del actuario de seguros de vida, conservadurismo significa errar a favor de la compañía de seguros. Equilibrar la balanza entre los asegurados o entre los asegurados y los accionistas es para él una tarea secundaria, la cual, por lo menos para las compañías mutualistas, puede manejarse por medio de la distribución cuidadosa de los excedentes. La misión del actuario de pensiones es establecer el costo de un plan particular en el cual errar hacia arriba o hacia abajo es igualmente indeseable. Un costo muy alto de pensiones puede provocar un aumento en los impuestos (si el patrón es el gobierno), o utilidades reducidas (si el patrón es la iniciativa privada). Un costo muy bajo, puede significar la ruina del plan mismo. En su intento de sopesar los conflictos de intereses de patrones, empleados, el público y la salud fiscal del plan en el largo plazo, el actuario de pensiones debe estar muy seguro de dónde está parado y por qué.

Por esto, en este libro nos ocuparemos no sólo de las matemáticas especializadas en pensiones, sino también del desarrollo del criterio actuarial. Para ser un actuario de pensiones competente, usted

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debe saber mucho más que, digamos, cómo hacer una tarificación usando el método de costeo actuarial de edad – de entrada, en un plan de pensiones típico. En este ejemplo, usted debe saber (a) por qué esta utilizando este método, lo que significa, (b) qué otros métodos existen y en qué difieren, y (c) debe saber cómo proceder en el establecimiento de las hipótesis tomando en cuenta (d) el tamaño del plan (¿cubre a un empleado?, ¿1000? ¿100 000?). También (e) tiene que saber cómo manejar otros beneficios que no sean de pensión, pero que sean parte del plan; debe fijarse en (f) el valor de los activos y el flujo futuro de efectivo; y (g) en la estabilidad del costo anual. También debe tener muy claro cómo pueden ser afectados sus resultados por (h) eventos futuros – despidos, mejoras al plan, o un viraje en la economía. En resumen, usted debe tener conocimientos y perspectiva. Lograr esto, no sucede de la noche a la mañana, pero el proceso es considerablemente más rápido si se empieza con una base sólida de la teoría detrás de la práctica. El propósito de este libro es ayudarle a construir esos fundamentos.

Cada vez que uno intenta enseñar una materia complicada a principiantes, surge la pregunta de por dónde y cómo empezar, ya que cada aspecto de la misma está relacionado con todos los demás. Una forma de proceder – que debemos evitar - es aquella del tratado formal de matemáticas, en el cual se define por completo cada término que se introduce y en el que alternan teorema y prueba, para formar una exposición puramente deductiva. Este enfoque es muy seguro, desde el punto de vista de la lógica y es particularmente satisfactorio para la persona que sabe a dónde conduce el sendero, pero para el principiante es difícil, en particular, si es un estudiante típico de actuaría que está tratando de aprender directamente de un libro.

En cambio, el planteamiento que usaremos es inductivo y progresivo. Primero, discutiremos de manera simplificada cada tema nuevo para que podamos movernos con rapidez a través de los puntos importantes, después, regresaremos a afinar las definiciones confusas y a agregar adornos. Así, conforme estudie este libro se encontrará siguiendo los mismos pasos que si estuviera aprendiendo la materia en el trabajo. En primer término, abordará problemas simples a nivel de aprendiz y después, comprenderá conceptos sofisticados a nivel de maestría.

El aprendizaje es un esfuerzo conjunto del estudiante (usted) y el maestro (el libro). Le pediremos que cumpla con la parte que le corresponde. Los amplios márgenes de cada página, se pensaron para que escriba sus propias notas conforme lee el libro. Ya que el autor considera al hilo de la lógica tan importante como los resultados alcanzados, usted deberá usar los márgenes para marcar los puntos concluyentes de cada discusión. Esto le permitirá regresar con rapidez, para ver el procedimiento lógico por medio del cual se llegó a cada resultado. Como verá, el autor hace comentarios anticipados sobre muchos de los puntos importantes.

Si su propósito al leer el presente libro, fuera el de pasar un examen en particular , encontrará que es poco adecuado como manual “completo”. Éste parte de la suposición, de que usted desea dominar plenamente el material y entender de verdad las matemáticas de pensiones. El texto se divide en seis capítulos (después de éste) y cada uno a su vez, se divide en secciones relativamente cortas. Al final de cada sección, encontrará ejercicios que le ayudarán a revisar y ampliar sus conocimientos. Conforme avance, encontrará referencias continuas a puntos discutidos con anterioridad, para reforzar la coherencia lógica de la materia.

Los ejercicios son de varios tipos. Algunos le piden completar o comprobar algún desarrollo matemático en el texto. Otros, son ejemplos numéricos que constituyen complementos indispensables para lo que, de otra manera, sería una discusión algebraica abstracta. Muchos, le piden desarrollar su propio material (dando pistas adecuadas), relacionado con alguno de los temas importantes que se cubren, usando el mismo procedimiento lógico que el texto. Finalmente, varios

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de los ejercicios sirven para ampliar sus horizontes intelectuales y dirigir su atención a problemas de mayor profundidad matemática o filosófica, mismos que están fuera del objetivo de este libro, o de la información existente en campos relacionados. La línea de acción más sensata es trabajar cada ejercicio en un cuaderno de notas permanente, porque los resultados de los ejercicios son ampliamente confiables y podría ser difícil para usted recordar el detalle de una solución, después que han pasado semanas o meses.

Conforme estudie el libro, destine el tiempo suficiente para sumergirse en el material. Se espera que lo estudie de manera secuencial – iniciando al principio - y si intenta pasar por alto los temas difíciles, más adelante se encontrará en problemas. Cuando le pidan que derive una fórmula en particular, no trabaje en ella dando por hecho que la fórmula es correcta. Existen datos sutiles que usted verá rápidamente si trata de hacerlo y que seguramente perderá de vista si no lo hace.

Como este libro está dirigido a principiantes en las matemáticas de pensiones, se diseñó para los estudiantes que tienen una formación firme en matemáticas actuariales básicas, en particular, en contingencias sobre la vida. La discusión presume también, que el estudiante tiene una preparación universitaria razonable a nivel de matemáticas generales (cálculo, probabilidad, estadística, etc.), así como familiaridad con la notación actuarial internacional.

Lo mismo que otros campos técnicos, las matemáticas de pensiones tienen su propia jerga, la cual ha crecido de manera desordenada a través de las décadas. Como resultado, existen con frecuencia varios términos para la misma cantidad o concepto. Por ejemplo, lo que nosotros llamamos en este libro “obligación acumulada”, se le ha llamado “obligación por servicios pasados”, “costo por servicios pasados”, “obligación suplementaria”, “costo por servicios anteriores”, “valor presente suplementario” , y así sucesivamente. Muchos de estos términos han sido utilizados principalmente por no actuarios, o se trata de intentos de actuarios para imponer nuevos términos no idiomáticos con el fin de lograr la uniformidad. En este caso, el autor usa el término, “obligación acumulada”, porque es uno de los que se encuentran con mayor frecuencia en la práctica.

El cambio más reciente para racionalizar la terminología de pensiones en Norteamérica, es el que los seis grupos actuariales principales adoptaron del informe del Comité Conjunto de Terminología de Pensiones (CPTP1), en julio de 1981. La terminología del CCTP, coincide en su mayor parte con la terminología tradicional de pensiones de los Estados Unidos - aunque se hayan introducido algunos términos nuevos. La esperanza de las organizaciones es que la nueva tecnología se arraigue, donde fallaron los intentos anteriores de estandarización. Sin embargo, al momento de escribir este libro, existen algunas diferencias entre el uso actuarial en la vida real y las recomendaciones del Comité Conjunto. Por ejemplo, al método de costeo actuarial generalmente conocido en Estados Unidos como “pasivo inicial congelado”, se le llamó en el Informe, “método de edad - de entrada con pasivo inicial congelado”. La mayor parte de este libro sigue las recomendaciones del Comité Conjunto y señala las pocas diferencias significativas.

Cada país tiene sus propias leyes, normas y costumbres que afectan a los planes de pensiones; para ejercer como actuario de pensiones en su lugar de origen, usted debe estar familiarizado con ellas. Por ejemplo, para ejercer en los Estados Unidos debe saber todo acerca de los “estándares contables de financiamiento”. En este libro sin embargo, evitaremos una discusión directa de cualquiera de estos aspectos que son de carácter puramente nacional, con el fin de concentrarnos en cómo determinar el costo de un plan de pensiones. Una vez que sepa esto, los detalles de leyes y normas que afectan su práctica actuarial, no representarán problema alguno. Aunque el texto refleja sin duda,

1 Joint Committee on Pension Terminology (JCPT) en ingles (N del T)

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el hecho de que el autor es ciudadano de los Estados Unidos y practica en ese país, el libro se ha dirigido a una audiencia internacional. Si el lector es tan amable de ver más allá de los anglicismos obvios (ortografía, terminología, etc.), descubrirá que el lenguaje subyacente del libro es el de la lógica y las matemáticas, y se puede traducir con facilidad a cualquier lengua o dialecto.

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CAPITULO 2

METODOS DE COSTEO ACTUARIAL

2.1 EL CÓMO Y EL POR QUÉ

Los métodos de costeo se aplican a los planes de pensiones, por ello, no podemos empezar a entender qué es un método de costeo o cómo funciona, o por qué necesitamos tener uno, sin hablar un poco de los planes de pensiones en general. Aunque el término “plan de pensiones” se aplica a una variedad sorprendente de esquemas de compensación diferida y de retiro, nosotros usaremos el término plan de pensiones en una forma muy restrictiva y lo definiremos como: cualquier arreglo que proporcione pagos mensuales de por vida a una persona, empezando en una fecha establecida, donde el monto del pago se determina por fórmula (en vez de, por ejemplo, por el monto de dinero acumulado en una cuenta). Así, un acuerdo mediante el cual todo empleado que alcance la edad de 65 años reciba $10 mensuales por cada año de servicio con un patrón, es un plan de pensiones, como lo es un arreglo mediante el cual se proporciona una pensión del 50% del salario final. En otras palabras, estamos tratando con planes de “ beneficio definido” que poco tienen que ver con la “compra de dinero”, o con los planes de “contribución definida”, que proveen un depósito de un cierto porcentaje de la paga en una cuenta individual de cada empleado cada año, y donde los beneficios se basan en el saldo de la cuenta de retiro.

A menudo, los planes de pensiones se adornan con beneficios adicionales: pensión para sobrevivientes, beneficios de pago único por muerte, beneficios por invalidez y otros que por el momento dejaremos de lado. Un plan de pensiones, como quiera que éste sea, siempre proporciona una anualidad vitalicia a cada empleado que se retira (y que ha satisfecho los requisitos de edad y servicios requeridos por este plan).

Un patrón que establece un plan de pensiones, se compromete a gastar ciertas sumas de dinero en años futuros. Si él decide simplemente pagar las pensiones conforme éstas van generando, es decir, si usa el método de pago-al-retiro (pay-as-you-go), entonces sus gastos anuales en los siguientes 40 ó 50 años, mostrarán un modelo como el de la siguiente figura, (2.1.1.):

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Figura 2.1.1Modelo Típico de Pago de Beneficios en un Plan de Pensiones

A B C

Tasa de pago anual (valor constante como % de la nomina anual del personal activo)

0 20 40 60 80 tiempo en años

En los primeros años (región A de la curva), sus gastos aumentarán sólo de manera moderada, ya que al principio nadie estará recibiendo pensión y muy probablemente, las que se paguen de forma anticipada serán menores que aquellas pagaderas a largo plazo, por el hecho de que las pensiones se basan en general en los años de servicio y con frecuencia también en la compensación. Durante este periodo inicial, el patrón goza de los años más placenteros en la responsabilidad del pago de pensiones. Obtiene el reconocimiento de los empleados por haber establecido un plan magnífico y nuevo, pero que en esta etapa consiste principalmente de promesas que hacen que su salida de efectivo sea mínima.

Con el paso del tiempo, el patrón pasa a la región B de la curva y el plan empieza a preocupar. Los empleados siguen retirándose con pensiones cada vez más grandes y aquellos que ya están retirados no mueren a una tasa suficientemente rápida como para compensar la creciente lista de pensionistas. Durante esta etapa del plan de pensiones, el número de salidas anuales comienza a aumentar de manera vertiginosa, rebasando la capacidad de cobertura de la nómina, aún cuando el patrón se mantenga en el negocio con niveles de empleo normales. También es la etapa de crecimiento más difícil para el plan de pensiones con el método de pago- al- retiro, que de hecho, es la de muchos de nuestros planes gubernamentales en los Estados Unidos – el de la Seguridad Social en particular. Durante esta etapa el plan no ha cambiado. No hay mejoras en la fórmula de beneficios, sin embargo el costo aumenta rápidamente y el patrón debe pagar cada año, sumas de dinero siempre en aumento, sin mejoras en el plan que lo muestren.

Al final, si el plan sobrevive el paso por la región B, el costo comienza a estabilizarse más o menos como se muestra en la región C de la curva en la Figura 2.1.1. El peligro es que el costo se estabilice a un nivel demasiado alto como para que el patrón pueda soportarlo. Un plan de pensiones de pago-al-retiro, depende del éxito que tenga el grupo de empleados activos para generar suficientes ingresos, ya sea por medio de impuestos, o a través de su esfuerzo para obtener beneficios. Para colmo de males, es frecuente que al periodo de estabilidad le siga un periodo de declive en la suerte del responsable del plan, que lleva a la disminución en el número de empleados activos y en este caso, da lugar a un periodo aún peor que sigue a la región C. El costo medido contra el número de empleados activos, o nómina total activa, aumenta de manera abrupta y el plan pronto se derrumba.

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La difícil lección que han aprendido los diversos tipos de patrones una y otra vez en el último siglo -primero los privados y más tarde los públicos- es que el costo de un plan de pensiones debe reconocerse durante la vida laboral de los empleados que al final van a recibir pensiones, de preferencia, por medio de fondos reales suficientes para cubrir por completo la anualidad vitalicia de cada empleado, en el momento de su retiro. Cuando los planes de pensiones se respaldan de esta manera, las pensiones que se están pagando a aquellos que ya se retiraron, se encuentran seguras y no corren peligro por las fluctuaciones en los niveles de empleo de los trabajadores activos, o por el derrumbe financiero del patrón mismo. Esta lección está tan bien aprendida, que en los Estados Unidos y Canadá, y por supuesto en casi cada país industrializado, en general no es legal que un patrón privado establezca un plan de pensiones que no esté respaldado adecuadamente. Por otro lado, los planes públicos a veces se financian sobre la base de pago-al-retiro, pero pocos creen que esta sea una situación sólida. (Sin embargo, se convierte en un problema político de grandes proporciones, cuando sus antecesores han gozado de un gran reconocimiento y un costo bajo en la región A, y le dejan a usted los costos altos y nada de gloria de la región B, y el saber que tiene la desagradable alternativa de ya sea, (a) elevar sus contribuciones enseguida hasta un nivel intermedio, entre su punto en la curva y el último nivel de la región C, o (b) simplemente dejar que las cosas fluyan y que el problema alcance a su sucesor.)

Aquí es donde los actuarios entran en escena, porque la salida de pagos de beneficios en el tiempo, está sujeta a la vida y a otras contingencias, además, porque la afluencia de contribuciones tiene lugar en diferentes momentos y sigue modelos diferentes, lo que hace importante considerar el valor del dinero en el tiempo. El actuario puede asignar a cada año fiscal, una porción del valor presente de los pagos de beneficios futuros, para que se acumulen costos a lo largo de la vida laboral de los empleados, haciendo estimaciones sobre las tasas de retorno en el fondo de pensión, edades de retiro, tasas de rotación y muerte. A cualquier plan para hacer esta asignación de costos, se le llama método de costeo actuarial – al cual nos referiremos de aquí en adelante simplemente como “método de costeo”. Muchos métodos de costeo semejantes son de uso común, y cada uno tiene un fundamento filosófico diferente. En las siguientes páginas analizaremos aquellos que predominan, comenzando siempre con su estructura filosófica para hacer después una descripción general.

La aplicación de un método de costeo a un plan en particular para determinar su costo, se conoce como valuación actuarial. El mismo término se aplica al proceso que utilizan las compañías de seguros para determinar las obligaciones. Sin embargo, la valuación de un plan de pensiones difiere de muchas maneras, de la que realizan las compañías de seguros, algunas son obvias y otras bastante sutiles, pero se manifestarán a medida que se desarrolle nuestra discusión. La valuación de pensiones puede involucrar el cálculo de las “obligaciones” y la valuación de activos, pero su principal propósito es determinar costos anuales.

2.2 CRÉDITO UNITARIO

Partiendo del hecho de que cada empleado tiene derecho a retirarse a la edad y, con una pensión anual (pagadera mensualmente) igual a , un plan financiado de manera adecuada debe haber acumulado para cada empleado que haya llegado a la edad y, una cantidad suficiente para pagar su

pensión, es decir , una cantidad igual a . Este requisito es la primera premisa lógica del

método de costeo llamado crédito unitario (así como de otros métodos que veremos).

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Ahora, el beneficio no surge de repente a la edad y, sino que se genera o “acumula” de una manera más o menos continua durante los años de servicio activo del empleado. Así, cuando se contrata al empleado, digamos a la edad w, su beneficio acumulado es exactamente igual a cero; cuando éste se retire a la edad y, será igual a su último valor ; y en cualquier punto intermedio, a la edad x, tendrá un valor intermedio que llamamos su beneficio acumulado.

A cualquier edad x, más temprana que la edad y, el valor presente del beneficio acumulado del

empleado j es igual a . Observe que el factor se calculó usando una tabla de qx

´s, que representa las probabilidades de terminación de empleo, anteriores a la edad y por cualquier causa – no sólo por muerte, sino también por renuncia, despido, invalidez, etc. A esta tabla de q´s se le llama tabla de servicios – término semejante, aunque más general, que el de “tabla de mortalidad”.

Por lo tanto, si en todo momento tuviéramos a la mano, activos iguales a

(de aquí en adelante omitiremos a j de los subíndices de edad, para evitar confusiones) , entonces no importa la distribución de edades dentro del grupo At de los empleados activos al tiempo t; debemos

asegurarnos de tener suficientes fondos para retirar , a medida que cada empleado llega

a la edad y – aún en el caso de que todos los empleados tengan la misma edad y se retiren al mismo tiempo. (En realidad, no vamos a retirar dinero para comprar una anualidad, pero la filosofía es la misma sin importar qué medios de financiamiento se usen. Nuestra discusión se facilitará, si suponemos que las personas retiradas se eliminan de las columnas de activos y pasivos de nuestro plan de pensiones. Después los volveremos a incluir en ellas, pero por ahora debemos enviarlos a retiro con el dinero suficiente para comprar una pensión vitalicia.).

Esta observación es la fuente de la segunda premisa del método de costeo de crédito unitario, que lo distingue de todos los demás. El equilibrio ideal del fondo o monto deseado de activos disponibles a

cualquier tiempo dado t, es igual a , en donde At representa el conjunto de

empleados activos al tiempo t (acuérdese que estamos suponiendo que no tenemos empleados retirados en nuestro plan). Este equilibrio ideal del fondo se conoce como obligación acumulada:

(Obligación acumulada)t = ALt =

(2.2.1.)

En otras palabras, bajo el método de costeo de crédito unitario, la obligación acumulada se define como el valor presente de beneficios acumulados. Esta definición lo distingue de todos los demás métodos de costeo y conlleva de forma indirecta, una definición completa del costo de pensión que deberá asignarse a cualquier año dado como veremos a continuación.

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Dejemos el tema por un momento para comentar sobre el uso peculiar que hacemos de la palabra “obligación” (o pasivo2), para denotar al nivel deseado de activos. Este uso tan singular, que ha causado un sinfín de confusiones entre contadores, surge de la terminología utilizada en seguros de vida. En la contabilidad financiera ordinaria, una compañía registra cada transacción dos veces – una a cada lado del balance- y por lo tanto sus “pasivos” son (aproximadamente), la suma de cantidades que en realidad se le deben a alguien más. Por el contrario, en la contabilidad de los seguros de vida, las primas recibidas no se registran en los dos lados del libro mayor, sino sólo como activos –los pasivos son determinados por un tipo de inventario (de obligaciones) llamado valuación actuarial anual. Para una compañía de seguros de vida, un “pasivo” es un monto actuarialmente determinado, que tiene derecho prioritario sobre los activos invertidos de la compañía. No es, estrictamente hablando, no es un monto que se deba a alguien -aunque lo será si las bases de la reserva prueban ser verdaderas- ese es el monto de los activos que se deben tener separados para cualquier reclamación que se pueda presentar. De la misma manera, la obligación acumulada en un plan de pensiones representa un derecho sobre los activos del plan.

Año con año, la obligación acumulada cambia no sólo porque las edades de los participantes activos aumentan, sino también porque la composición misma del grupo de activos cambia. Para facilitar las cosas, supondremos que por el momento no hay nuevos participantes en el plan, a estos los pondremos en un fondo de pensiones aparte y nos ocuparemos de ellos más adelante, cuando sea necesario. Así, el grupo activo no crecerá nunca, sino que sólo disminuirá durante el año. Sea T el conjunto de empleados que terminan de trabajar entre el tiempo t y t +1 y R el conjunto de empleados que llegan a la edad y (de retiro) durante el año, entonces podemos escribir:

At+1 = At - T - R (2.2.2.)

Ahora podemos construir el siguiente argumento puramente algebraico para mostrar la relación entre la obligación acumulada al tiempo t y la obligación acumulada al tiempo t+1 (utilizando los resultados del ejercicio 2.2.1):

(Obligación acumulada)t+1 =

=

=

...donde es el incremento en el j-ésimo beneficio acumulado durante el año. Esto significa que:

2 La palabra “liability” tiene el significado de Obligación o Pasivo por lo que se usa indistintamente en este texto

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ALt+1 =

(2.2.3)

No olvide que Dy / Dx se calculó usando una tabla de q’s, que representa la probabilidad de retiro del grupo activo en cada edad –y no sólo la probabilidad de morir. Es decir, las Dx´s se toman de nuestra tabla de servicios.

Veamos ahora el segundo término entre paréntesis de la ecuación (2.2.3). Si la experiencia real concuerda con la experiencia esperada, este término será igual a cero. Esto quiere decir que la liberación de pasivos esperada, debida a la terminación de empleo antes de la edad y por cualquier causa excepto retiro (segunda suma), compensará exactamente el monto actual de la obligación acumulada, liberada debido a los empleados que sí terminaron, es decir, los miembros del conjunto T. También, si la experiencia esperada y la real concuerdan, el saldo del fondo ideal, ALt , habrá

crecido a ALt(1+i) menos retirado para la compra de anualidades. Por lo

tanto, si las hipótesis se cumplen, se tendrá que agregar a principio de año un monto igual a:

(2.2.4)

para llevar al equilibrio del fondo al nivel adecuado al tiempo t+1. A este monto se le llama costo normal del plan, porque es el costo de mantener el fondo de pensiones al nivel deseado, si las hipótesis fueron correctas y si los activos del fondo igualan a la obligación acumulada – es decir, es el costo bajo circunstancias “normales”. Este costo normal es el valor presente del incremento de los beneficios acumulados entre el tiempo t y el tiempo t+1, y es una sola suma que se supone será pagada al tiempo t. (De hecho el costo normal nunca se paga al tiempo t, porque la valuación no está terminada para esa fecha, y para cuando usted tiene la información junta y los cálculos completos, ya se encontrará en el mejor de los casos, en las primeras semanas del siguiente año).

El costo normal no refleja apropiadamente el costo total del plan, excepto en el caso ideal, es decir, excepto cuando el equilibrio del fondo es exactamente igual a la obligación acumulada y donde las hipótesis se comportan exactamente como en la realidad. En la vida real, (a) la experiencia real no concuerda de manera exacta con las hipótesis en un año dado, y (b) el saldo del fondo no es igual a la obligación acumulada – ya sea porque cuando se estableció el plan se concedieron beneficios por servicios pasado y la obligación acumulada comenzó en algún valor diferente a cero, o porque el plan tuvo buena suerte (en relación con las hipótesis) a través de los años y existen en el fondo activos superiores a la obligación acumulada (o una mala experiencia provocó, que la obligación

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acumulada superara a los activos). Por lo tanto, aunque el componente central del costo de pensiones es el costo normal, se debe ajustar para tener en cuenta estas variaciones que se apartan del ideal.

Ahora, supongamos que el equilibrio del fondo es igual a F t al tiempo t, abandonando nuestra hipótesis anterior de que el fondo es igual a ALt . A lo largo del año, entre el tiempo t y t+1, el saldo del fondo aumentará en cierta cantidad (I) atribuible al retorno de inversiones y a las contribuciones al fondo (C) , y disminuirá por las sumas (P) retiradas para “comprar” pensiones:

Ft+1 = Ft + I + C - P (2.2.5)

La diferencia ALt – Ft entre la obligación acumulada y el saldo del fondo al tiempo t se llama obligación acumulada no financiada. Cuando esta diferencia es negativa, se conoce en general como superávit, pero nosotros usaremos el término “obligación acumulada no financiada” o simplemente el término “no financiado” para referirnos a esta cantidad, sea positiva o negativa.

Ahora restamos la ecuación (2.2.5) a la ecuación (2.2.3) para encontrar una relación entre la obligación acumulada no financiada al tiempo t y su valor al tiempo t +1:

(Obligación acumulada no financiada)

(2.2.6)

Nos gustaría poder decir que todos lo términos de la ecuación (2.2.6) excepto el primero, serían igual a cero si todas las hipótesis fueran correctas y si las contribuciones fueran realmente iguales al costo normal, pero es necesario hacer un pequeño ajuste para maniobrar la ecuación de manera adecuada. Sea Ic el interés de las contribuciones reales a la tasa esperada i , desde la fecha en que se hicieron, hasta el fin del año. Por ejemplo, si las contribuciones se hicieron en un sólo depósito a principio de año:

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Ic = iC ,

y si las contribuciones se hicieron en una sola exhibición a mitad del año:

.

etc. Defina un término semejante Ip para la compra de pensiones. Entonces podemos escribir:

(2.2.7)

Ahora vea la ecuación (2.2.7) y observe que si la tasa de interés real ganada durante el año fuera i, entonces el segundo término sería igual a cero; y si la obligación acumulada real, liberada por aquellos que salieron durante el año anterior a la edad y, resultó como se planeó, entonces el cuarto término sería exactamente igual a cero. Del mismo modo, el quinto término sería igual a cero si las cantidades tomadas para el retiro fueran las que anticipamos.

Lo “no financiado” mide la desviación del equilibrio del fondo real Ft de su valor ideal ALt ; y la suma del segundo, cuarto y quinto términos representa el cambio en el pasivo no financiado debido a la diferencia entre la experiencia real y la esperada (en vez de al monto de las contribuciones). A la suma de estos tres términos le llamamos ganancia actuarial y se define como sigue:

Ganancia

(2.2.8)

Desde luego que podríamos igualmente haber definido la ganancia como la suma de los términos segundo, cuarto y quinto de la ecuación (2.2.7), pero estos términos son más difíciles de calcular. Históricamente, la ganancia siempre se ha definido por la ecuación (2.2.8). (Sin embargo, el “análisis de pérdidas y ganancias” involucra el cálculo directo de los componentes de la ganancia utilizando términos similares al segundo, cuarto y quinto de la ecuación (2.2.7). Una “pérdida” es sólo una ganancia negativa.)

Finalmente, observe el tercer término de la ecuación (2.2.7) y verá que no se espera que lo “no financiado” disminuya, a menos que las contribuciones reales al fondo superen el costo normal con intereses, desde el principio del año hasta la fecha del depósito. Cualquier contribución adicional que supere al costo normal y al interés, amortizará a lo “no financiado”. Los estándares de fondos mínimos dictados por la ley de los Estados Unidos y Canadá, así como el límite máximo de las contribuciones deducibles en los Estados Unidos, establecen los límites máximos y mínimos respectivamente sobre la cantidad que se puede agregar al costo normal para amortizar a lo “no financiado” cada año.

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RESUMEN

Bajo el método, crédito unitario, el costo de pensión en el año t a t + 1 es igual a (1)el costo normal;

más (2) la amortización de la obligación acumulada no financiada;

menos (3) la amortización de la ganancia (excepto en el primer año de operaciones) donde

la obligación acumulada no financiada es igual al valor presente de los beneficios acumulados menos los activos;

el costo normal es igual al valor presente del incremento de los beneficios acumulados durante el año, y

la ganancia es igual a lo “no financiado” del año anterior más el costo normal con un año de intereses, menos las contribuciones con intereses, menos lo nuevo “no financiado”.

Observe que lo “no financiado” actual incluye ganancias anteriores, por lo que usted puede ya sea (a) continuar amortizando lo “no financiado” inicial a una tasa establecida desde el principio y amortizar las ganancias sucesivas en forma separada, o (b) cada año calcular de nuevo la amortización basada en lo “no financiado” actual.

EJERCICIOS

2.2.1 Demuestre que:

(2.2.9)

2.2.2 (a) Vea la ecuación (2.2.4) y observe que el costo normal es la suma de los costos normales individuales igual a:

Derive esta ecuación con respecto a x y obtiene:

17

(2.2.10) (b) Suponga que el plan de pensiones es tal, que se abona una unidad de pensión anual del 1% del salario de ese año y que los salarios aumentan anualmente a una tasa r. Demuestre que:

(2.2.11)

(c) Ahora considere que el cociente costo normal del empleado j expresado

como una fracción de su salario – y demuestre que:

(2.2.12)

(d) Concluya que si no hay decrementos por retiros anticipados excepto por muerte y si esta causa sigue la ley de Gompertz ( ), entonces

, lo cual implica que el costo normal individual aumenta

más que exponencialmente, como un porcentaje del pago.

2.2.3 Demuestre que la obligación acumulada de un individuo, es igual al valor presente actuarial, de los costos normales previos:

(2.2.13)

2.2.4 Observe que al derivar la ecuación (2.2.3), sólo necesitamos que la obligación acumulada iguale el valor presente de los beneficios acumulados al tiempo t y de nuevo al tiempo t+1, pero no necesariamente entre estos dos. Suponga que optamos por el criterio más estricto de que a cualquier edad z ( ) la obligación acumulada para el empleado j se defina como:

(2.2.14)

Entonces, a cualquier edad z y de manera arbitraria, para un pequeño incremento de tiempo

18

h, también requeriremos que:

(2.2.15)

Demuestre que esta línea de razonamiento lleva a la expresión:

(2.2.16) donde,

(2.2.17)

Dé una interpretación verbal a estas ecuaciones (2.2.16) y (2.2.17).

2.2.5 Demuestre de manera algebraica que si las hipótesis se cumplen exactamente y si es constante para cada empleado a lo largo de toda su vida laboral,

(2.2.18)

y

(2.2.19)

Observe que la ecuación (2.2.18) demuestra que la obligación acumulada puede verse como un equilibrio del fondo ideal.

19

2.3 METODO ACTUARIAL DE EDAD - DE ENTRADA

En los ejercicios 2.2.2 y 2.2.5, vimos que bajo el método de crédito unitario, los costos normales individuales tienden a aumentar más rápidamente que el salario, cuando éste es la base del beneficio. Esto significa que en general el costo normal del plan en su totalidad hará lo mismo, sólo hasta el punto en que los nuevos participantes del grupo disminuyan el costo normal promedio (porque son jóvenes y quizá tienen un salario bajo). De este modo, por medio del crédito unitario es posible mantener un costo que sea nivelado como un porcentaje de la nómina, lo que en general es una circunstancia inestable, en el aspecto de que si disminuyeran las nuevas contrataciones, el promedio de edad se elevaría y el costo normal se revertiría a su tendencia básica a aumentar más rápidamente que la nómina.

Recordará usted, que el método de crédito unitario se basa en la premisa de que la obligación acumulada debe ser igual al valor presente de los beneficios acumulados en todo momento, y durante la carrera del empleado hasta su retiro. Partiendo de esta premisa, las definiciones de costo normal y ganancia actuarial se siguen directamente como corolarios. El hecho de que el costo normal tuviera esta característica indeseable – la tendencia de aumentar más rápidamente que la paga – fue por lo tanto, el resultado de la manera como se construyó el método. Sin embargo, es posible eliminar este inconveniente definiendo el costo normal directamente y dejando que la obligación acumulada sea el corolario; y de esta manera construimos el método de costeo actuarial de edad – de entrada.

En el caso más simple, donde el beneficio se expresa en dólares que no tienen relación con el salario, el costo normal bajo el método de edad - de entrada se define como una contribución anual nivelada, tal que el valor presente de todos los costos normales futuros a edad w (edad de entrada que para los propósitos de este capítulo será la misma que la edad al momento de la contratación) es exactamente igual al valor presente de los beneficios futuros a la edad w , es decir:

...donde NC j es el costo normal del empleado j . Entonces,

(2.3.1)

donde, desde luego, el factor Dy / Nw – Ny se basa en la tabla de servicios. Por consiguiente, bajo el método actuarial de edad - de entrada como bajo el de crédito unitario, el costo normal total es simplemente la suma de muchos costos normales individuales.

Observe que esta definición supera el problema del aumento exponencial de los costos normales y que, en tanto B j(y) que es el beneficio proyectado no cambie, el costo normal permanece constante para cada individuo a lo largo de su carrera. (En la práctica real, B j (y) es re estimado cada año y en el grado que aumente, el costo normal aumentará –pero sólo en proporción al aumento en B j(y), porque el factor Dy / (Nw – Ny) no depende de la edad actual x).

20

Usted demostró en el ejercicio (2.2.3) que la obligación acumulada bajo el método de crédito unitario era el valor presente de los costos normales anteriores. Este resultado fue consecuencia de la definición de obligación acumulada, pero para el método actuarial de edad - de entrada, hacemos de esta la definición de obligación acumulada. Definimos la obligación acumulada para el empleado j, como el valor presente de sus costos normales anteriores:

(2.3.2)

Esto equivale (por el ejercicio 2.3.1) a:

(2.3.3)

o, en otras palabras: la obligación acumulada es igual al valor presente de los beneficios futuros, menos el valor presente de los costos normales futuros. Esta es la definición formal de obligación acumulada bajo el método actuarial de edad - de entrada . (Si intentáramos definir de manera formal a la obligación acumulada, como el valor presente de los costos normales anteriores, tendríamos que explicar a todo el mundo, por qué no pudimos tomar los costos normales reales, calculados a través de los años y reunirlos de alguna manera para llegar a la obligación acumulada. La definición prospectiva hace que todo se pueda explicar de manera más sencilla, pero los actuarios de pensiones deben conocer la equivalencia de estas dos definiciones).

Usemos el símbolo ALtj para representar la obligación acumulada a favor del empleado j al tiempo t

(edad x ), de tal manera que ALt = . Así, si recordamos la ecuación (2.2.2) podemos

escribir:

(2.3.4)

También podemos escribir:

(2.3.5)

donde agregamos el subíndice t + 1 a B(y) para acordarnos de que este beneficio proyectado puede no ser el mismo que al tiempo t, porque cada año estimamos el beneficio proyectado al retiro. De aquí en adelante también omitiremos el argumento (y) , porque bajo el método actuarial de edad - de entrada siempre estamos proyectando el beneficio a la edad y. También denotaremos como el

21

cambio en el beneficio proyectado para el empleado j entre el tiempo t y t+1 (es decir =Bjt+1(y)

- Bjt(y) ; (observe que esta no es la misma definición que se usó en 2.2.). Entonces:

o,

(2.3.6)

...donde henos hecho uso del resultado del ejercicio 2.3.2 y agregamos el subíndice t a NC j para acordarnos de que se calculó usando Bt(y). Ahora, si nosotros insertamos la ecuación (2.3.6) en la ecuación (2.3.4) y usamos la ecuación (2.3.5) en los conjuntos T y R , obtenemos:

(2.3.7)

Sin embargo, todavía hay algo raro con respecto a la ecuación (2.3.7) porque hemos usado el término en los conjuntos T y R , lo cual no es muy apropiado. Recuerde que definimos como la

diferencia de los beneficios proyectados entre los tiempos t y t+1. Empero, los miembros de los conjuntos T y R son aquellos que terminaron o se retiraron durante el año y para ellos no existen beneficios proyectados al tiempo t+1. No obstante, este hecho nos da la libertad de definir como convenga para estos conjuntos de empleados y nos hace más fácil fijar =0 para los conjuntos T y R. Esto significa que la segunda suma de la ecuación (2.3.7), en realidad se agrega al conjunto At – R – T = At+1, así:

(2.3.8)

22

˜

˜

˜

... donde , significa la obligación acumulada del empleado j al tiempo t +1 que se calculó

como si sus beneficios proyectados al tiempo t permanecieran sin cambio, es decir, como si fuera igual a cero.

Igual que con el método de crédito unitario, definimos a la obligación acumulada no fondeada como,. Entonces podemos relacionar dos años sucesivos no financiados, restando la ecuación

(2.2.5) de la ecuación (2.3.8) como sigue:

(2.3.9)

Como en la sección 2.2, debemos neutralizar el efecto de los tiempos en que se dan las contribuciones y los retiros de beneficios, introduciendo de nuevo los términos Ic (interés sobre las contribuciones desde la fecha de depósito hasta fin de año) e Ip (interés sobre las “compras” de pensiones desde la fecha de retiro hasta fin de año) - y así entender esta relación (2.3.9) en forma apropiada.

(2.3.10)

...que recuerda la ecuación (2.2.7).

Ahora vea la ecuación (2.3.10) y observe que si durante el año todo hubiera sucedido de acuerdo a lo planeado, el segundo término sería igual a cero porque I que es el interés real acreditado al fondo, sería igual al interés a la tasa i, del saldo del último año y de las contribuciones y pagos de beneficios. El cuarto término sería igual a cero, porque el beneficio proyectado del año pasado sería el mismo que el de este año. El quinto término sería cero, porque las liberaciones actuales de obligación acumulada a cuenta de las terminaciones serían las esperadas. Y el último término sería cero, porque los retiros reales para la compra de anualidades igualaría las reservas disponibles para ese propósito. Esto significa que todos estos términos reflejan sólo variaciones de lo real y lo esperado, por lo que podemos sumarlas y llamar a esta suma, ganancia actuarial, así (2.3.10) se convierte en:

23

˜˜ ˜

˜˜˜

(2.3.11)

o, de forma equivalente

Ganancia = (2.3.12)

¡Este es un resultado verdaderamente excepcional! Aunque hemos construido un método de costeo nuevo, bajo premisas totalmente diferentes a las del método de crédito unitario, hemos llegado, no obstante, a la misma expresión de la ganancia actuarial. Sin embargo, es importante recordar que las cantidades representadas son totalmente diferentes porque las “no financiadas” son diferentes, y los costos normales también.

Los actuarios de pensiones se refieren a la cantidad, como la obligación acumulada esperada no financiada, y explican que la ganancia es igual a lo no financiado esperado menos lo no financiado real – una forma fácil de recordar una fórmula. Resulta sensato llamar a estos términos lo “ no financiado esperado”, porque como vimos, si toda la experiencia estuviera de acuerdo con las hipótesis, los términos de la ganancia en la ecuación (2.3.10) serían todos igual a cero.

Ahora tenemos todos los ingredientes para preparar nuestra valuación del “costo” de nuestro plan de pensiones bajo el método de costeo actuarial de edad - de entrada.

RESUMEN

Bajo el método de costeo actuarial de edad - de entrada , el costo total del año es igual al costo normal más la amortización de lo no financiado, menos la amortización de la ganancia, donde:

el costo normal es la contribución anual nivelada, desde la edad de entrada hasta la supuesta edad de retiro, la cual es suficiente para financiar el beneficio proyectado al retiro;

la obligación acumulada no financiada es el valor presente de los beneficios futuros, menos el valor presente de los costos futuros normales, menos los activos; y

la ganancia, es la obligación acumulada no financiada esperada, menos la real.

EJERCICIOS

2.3.1 Demuestre que la definición retrospectiva de obligación acumulada, ecuación (2.3.2), es

idéntica a la prospectiva (2.3.3)

2.3.2 Compruebe que,

24

(2.3.13)

2.3.2 (a) Bajo cualquier método de costeo es costumbre definir el costo normal, como una cantidad pagadera en una sola exhibición anual al inicio de cada año. Sin embargo,

no es una definición tajante, podemos definirla también como una cantidad anual pagadera de forma continua; esto es, bajo el método actuarial de edad - de entrada:

Así, la obligación acumulada individual sería - ¿Cuál? (Use el mismo desarrollo lógico que en la sección 2.3).

(b) ¿Cuál es la derivada de esta obligación acumulada de costo normal continuo con respecto a la edad alcanzada x ?

[Respuesta: ]

(c) Compare su respuesta al inciso (b) con la ecuación (2.2.16). A la edad de entrada w, cuando el beneficio acumulado es igual a cero, ¿cuáles son las tasas de aumento en las obligaciones acumuladas bajo los métodos de crédito unitario y de edad - de entrada

respectivamente? Suponga que el beneficio B j(x) se acumula de manera uniforme a lo largo del periodo de servicio del empleado j; luego pruebe algebraicamente que la obligación acumulada bajo el método de edad - de entrada a edad w, aumenta más rápidamente que la del crédito unitario.

(d) Grafique la obligación acumulada en el eje vertical y la edad en el eje horizontal. Dibuje una curva para la obligación acumulada bajo el método de edad - de entrada y otra para la de el crédito unitario. ¿ En qué punto (s) se intersectan las curvas? Si una gran proporción de empleados terminó durante el año (superior a la esperada). ¿Bajo cuál método sería mayor la ganancia actuarial? ¿Bajo cuál método esperaría usted construir un fondo mayor?

2.4 MÁS DEL MÉTODO DE COSTEO ACTUARIAL DE EDAD DE ENTRADA

Cuando el beneficio de pensión se basa en el salario, en general se usa el método de costeo actuarial de edad - de entrada, junto con la hipótesis de un aumento en el salario. A menudo la hipótesis es simplemente que los salarios aumentarán a una tasa anual r ; aunque a veces se emplean hipótesis

25

más sofisticadas bajo las cuales las tasas de aumento en el salario, corresponden a diferentes edades o a diferentes periodos de empleo. En el caso general, tenemos un conjunto de índices salariales

tal que si Sxj es la tasa de pago de un empleado al tiempo t (edad x), entonces

es su salario hipotético a la edad x + g - donde g puede ser tanto positivo como negativo. Por ejemplo, si se supone que los salarios aumentan a una tasa constante r, entonces sx = (a una constante arbitraria) x ( 1+r )g y el salario a la edad x + g se supone que será

. Este conjunto de índices salariales se llama escala salarial.

Cuando se supone que los salarios aumentan, el método de costeo actuarial de edad – de entrada se define, no como un monto nivelado en dólares pagadero anualmente, sino como un porcentaje nivelado del salario como sigue: primero, observe que si St

j es el salario a la edad x (al tiempo t),

entonces el salario a la edad w es . Ahora queremos que el costo normal sea una fracción

constante del salario, Utj , por cada año de edad. Esto significa que cuando fijamos el valor presente

de los beneficios futuros a la edad w, igual al valor presente de los costos normales futuros a la edad w, obtenemos:

(2.4.1)

Partiendo de esto, vemos que el costeo actuarial individual a la edad x es simplemente igual al número de salarios presentes por la fracción Ut

j :

(2.4.2)

Observe que cada empleado tiene su propia y diferente tasa de costo normal Utj, y que esta tasa es

proporcional al beneficio proyectado Btj . .

Es conveniente definir algunas nuevas funciones conmutadas para incorporar los índices salariales:

y

(2.4.3)

Usando estas funciones ahora podemos escribir de nuevo la ecuación (2.4.1) como:

(2.4.4)

26

de lo cual se sigue:

costeo normal hipotético a la edad w (2.4.5)

Note que ahora el costo normal depende de la edad alcanzada x a diferencia del costo normal en la sección 2.3. El porcentaje Ut

j esta diseñado para ser constante, pero el salario al que se aplica se supone que aumenta e igualmente aumenta el costo normal.

Cuando se usa una hipótesis de un incremento salarial con el método de costeo actuarial de edad – de entrada, definimos la obligación acumulada igual que antes, es decir, como el valor presente de los beneficios futuros menos el valor presente de los costos normales futuros:

(2.4.6)

que corresponde a (2.3.2). De esto podemos derivar (usando el resultado del ejercicio 2.4.5):

(2.4.7)

Observe que los dos últimos términos en la ecuación (2.4.7) representan el cambio en el valor presente de los beneficios futuros y el valor presente de los costos nomales futuros, respectivamente, debido al cambio en el beneficio proyectado al retiro.

Ahora podemos sumar las obligaciones acumuladas individuales y los costos normales a la manera de la sección 2.3; luego seguir el procedimiento estándar de restar la ecuación (2.2.5), y concluir con la relación entre las obligaciones acumuladas no financiadas en dos años consecutivos:

27

˜

(2.4.8)

No es de sorprender que hayamos acomodado la ecuación de tal forma que los términos tercero al sexto sean igual a cero si la experiencia real y la esperada concuerdan,. En consecuencia, a la suma de todos ellos (precedidos por un signo negativo) la llamamos ganancia actuarial, misma que en este caso también puede definirse por la ecuación (2.3.12).

EJERCICIOS

2.4.1 Si suponemos que los salarios aumentan a una tasa r y el interés a una tasa i, demuestre

que es proporcional a calculada usando una tasa de interés igual a

2.4.2 Demuestre matemáticamente que si el beneficio planeado B(y) no depende del salario, entonces el costo normal (método de edad – de entrada) a la edad w se reduce, si introducimos la hipótesis de un incremento salarial.

2.4.3 Ahora suponga que el beneficio B(y) es proporcional a la tasa salarial a la edad y, y que los salarios aumentan a una tasa anual r > 0. Luego demuestre que para un empleado que acaba de ser contratado (es decir, para el cual x = w)

Donde es el costo normal a la edad w que incluye la hipótesis de aumento

salarial y NC j es el costo normal sin la hipótesis de aumento salarial. Dado que ambas series de costos normales son para financiar el mismo beneficio, ¿ pueden mantenerse las relaciones iniciales a lo largo de la carrera del empleado j ?

2.4.4 Suponga que financiamos el beneficio descrito en el ejercicio 2.4.3 sin la hipótesis de aumento salarial, pero el salario actual del empleado j se incrementa a una tasa anual p. ¿Qué sucederá al costo normal del empleado j a medida que llega a la edad y ? ¿Qué pasará a su obligación acumulada?

2.4.5 Compruebe que para x < y

28

˜ ˜ ˜

(2.4.9)

2.4.6 Siguiendo la línea de discusión de la sección 2.3, demuestre en detalle como fuimos de la ecuación (2.4.6) a la ecuación (2.4.8) y demuestre que la ganancia se puede definir por la ecuación (2.3.12).

2.4.7 ¿ Es la regla de que la obligación acumulada iguala al valor presente de los beneficios futuros menos el valor presente de los costos normales futuros, la que distingue los métodos de costeo actuarial y crédito unitario? Si no es así, ¿ qué los distingue? (Acuérdese de usar demostraciones matemáticas en lugar de meras impresiones verbales.)

2.4.8 ¿ Cuál es el significado del cuarto término al lado derecho de la ecuación (2.4.8)? o . Escriba de nuevo este término, usando .

2.5 PRIMA INDIVIDUAL NIVELADA

Tanto el método de costeo actuarial de crédito unitario, como el método de edad – de entrada, se construyeron bajo la premisa de que el monto de activos deseado a la edad y fuera igual al valor presente de la pensión a esa edad. Al nivel deseado de activos en cualquier etapa más temprana se le llamó obligación acumulada. Y ciertamente, si los activos reales del fondo son iguales a la obligación acumulada - es decir, si no existe obligación acumulada no financiada – el monto deseado de activos estará a la mano a medida que cada empleado se retire, sin tener en cuenta el patrón real en el momento de esos retiros (dando por hecho, claro está, que las hipótesis actuariales fueron correctas). Aún si existe una obligación acumulada no financiada, y siempre que sea amortizada en un periodo de tiempo razonable, no habrá problemas de solvencia, porque el valor presente de los beneficios futuros seguirá siendo igual al valor presente de las contribuciones futuras al fondo. Sin embargo, esto no dice nada acerca del corto plazo. Es posible tener el valor presente de los beneficios futuros igual al valor presente de las contribuciones futuras ¡ y aún así tener un fondo negativo por un cierto periodo de tiempo! Esta posibilidad debe enfrentarse cuando existe una parte no financiada.

En muchos planes, quizá en los planes de pensiones de la mayoría de los corporativos más grandes, el problema es menor al no tener que retirar una cantidad global al retiro para comprar una anualidad, porque el plan paga las pensiones mes a mes directamente del fondo. Esto facilita los requerimientos de liquidez de manera considerable, y en la mayoría de estas situaciones, nunca surge el problema de la solvencia aún cuando exista una obligación acumulada no financiada

Por otro lado, muchos planes permiten de manera rutinaria que las pensiones se conviertan en sumas globales, y otros se financian con contratos de seguros que requieren la compra a prima única al retiro de una anualidad. Lo que necesitamos para situaciones como éstas, donde la liquidez a corto plazo es un problema, es un método de costeo que no sólo acumule la cantidad apropiada al retiro, sino que garantice la solvencia en todo momento en virtud de no tener nunca una obligación

29

˜

acumulada no fondeada ( excepto quizá por incidentales pérdidas actuariales). Una manera de enfrentar el problema sería usar el método de costeo actuarial de edad – de entrada, definiendo la edad - de entrada no como la edad al momento de la contratación, sino la edad en la fecha en que el plan entra en vigencia ( usando la edad al momento de la contratación, sólo para aquellos contratados después de la fecha efectiva de inicio de vigencia del plan o simplemente fecha efectiva).

Así, no habría obligación acumulada no financiada al inicio; el problema es que si una parte sustancial de la obligación acumulada se atribuyera a un solo individuo ( como por ejemplo, en un plan que cubre solamente a un médico y a su enfermera), el plan podría tener pérdidas importantes debidas a un aumento en los salarios, superior al anticipado (vea el cuarto término de la ecuación (2.4.8)). Estas pérdidas que son causa del incremento de salarios, ascienden al valor acumulado de los costos normales anteriores, que han sido insuficientes por haber subestimado el beneficio al retiro, y pueden aumentar rápidamente a medida que el individuo principal esté próximo al retiro.

Un método de costeo que aborda estos dos aspectos, es el de la prima individual nivelada. Éste método financia el beneficio proyectado de cada persona con “primas niveladas” a lo largo de sus años de participación real en el plan, y comienza con una obligación no financiada igual a cero.

El método de, prima individual nivelada, en el primer año de operación del plan comienza con un costo normal calculado de la misma manera que el método actuarial de edad – de entrada , usando una edad de entrada x, que es la edad alcanzada en la fecha efectiva del plan. Esto es, que requiere que el costo normal sea un monto nivelado pagadero a partir de la edad alcanzada hasta la edad de retiro, lo que proveerá los fondos suficientes para “comprar” el beneficio:

(2.5.1)o,

(2.5.2)

Estas ecuaciones son las mismas que usamos en la sección 2.3 (ecuación (2.3.1)). La diferencia surge al año siguiente ( al tiempo 1, suponiendo que el plan se establece al tiempo 0). Cuando estimamos

de nuevo , no permitimos que el costo normal sea definido por:

(2.5.3)

como lo haríamos bajo el método actuarial de edad – de entrada. En lugar de ello, permitimos que el costo normal sea igual al costo normal calculado al tiempo 0, más un incremento calculado como un

nuevo pago nivelado, suficiente para financiar el aumento en el beneficio ( ) de la nueva edad

alcanzada:

30

(2.5.4)

Observe que el método de prima nivelada individual, tiene la misma primera premisa que el de

crédito unitario y el actuarial de edad – de entrada, es decir, que la cantidad será

acumulada para cada individuo al retiro. Bajo el método de crédito unitario, definimos la obligación acumulada y permitimos que el costo normal fuera consecuencia, pero aquí, como con el método de costeo actuarial de edad – de entrada, hemos definido el costo normal y queda por verse cuál es la obligación acumulada.

A la fecha efectiva del plan (tiempo 0), la obligación acumulada es igual a cero idénticamente, por definición de costo normal. Pero al tiempo t = 1, la obligación acumulada debe igualar el valor presente de los beneficios futuros, menos el valor presente de los costos normales futuros:

(2.5.5)

donde hemos eliminado el argumento (y) de Bt j para evitar confusiones y .

La ecuación (2.5.5) se reduce a:

(2.5.6)

Al tiempo t = 2, agregamos otro incremento al costo normal igual a:

y obtenemos:

(2.5.7)

De nuevo, la obligación acumulada se define como el valor presente de los beneficios futuros, menos el valor presente de los costos normales futuros:

31

(2.5.8)

Por lo tanto, resumiendo de manera inductiva, podemos ver que para cualquier tiempo t > 0:

(2.5.9)

La obligación acumulada correcta es entonces, la suma de las obligaciones acumuladas individuales, por lo que a cualquier tiempo t + 1 podemos escribir,

(2.5.10)

que se puede expresar como

(2.5.11)

de la cual podemos restar la ecuación (2.2.5) para obtener:

(2.5.12)

Usted no se sorprenderá de que sumemos los términos segundo, cuarto y quinto de la ecuación (2.5.12) y los llamemos “ganancia actuarial”. Una característica importante de esta ganancia es la ausencia de algún término que represente la pérdida debida al incremento del salario y/o al aumento en los beneficios superiores a lo esperado (compare esto con la ecuación (2.3.10) por ejemplo). La razón es que todas las pérdidas debidas al incremento salarial – en las cuales incluimos los aumentos en los beneficios proyectados por arriba de lo esperado, porque normalmente se deben a los incrementos salariales superiores a lo esperado – se han agregado al costo normal. Vemos entonces que la ganancia actuarial se puede expresar como:

32

Ganancia = (2.5.13)

que es la forma conocida. ¡ Sólo se cambiaron las definiciones de los costos no fondeados y los actuariales!

También se puede usar el método PNI con la hipótesis de incremento de salario en una manera similar a la descrita en la sección 2.4. En el primer año de operación (tiempo 0) calculamos el costo normal individual como:

(2.5.14)

Lo mismo que con el método actuarial de edad - de entrada, la ecuación (2.5.14) implica que el salario del empleado j aumenta cada año por el factor sx+1 / sx . Lo que significa que el incremento al costo normal calculado en el siguiente año, es debido y superior al aumento natural del costo normal por el uso de la escala salarial:

(2.5.15)

donde , igual que antes, es el cambio en la pensión proyectada. El costo normal al tiempo 1

es, por lo tanto:

(2.5.16)

La obligación acumulada al tiempo 1 para un individuo que está aún activo, puede entonces determinarse como el valor presente de los beneficios futuros, menos el valor presente de los costos normales futuros:

(2.5.17)

33

Esto lleva directamente a la relación expresada por la ecuación (2.5.9) – justo como si no existiera la hipótesis de un incremento salarial. Partiendo de este argumento, llegamos a la misma expresión de la ganancia (ecuación (2.5.13)).

Así, vemos que el método de la prima nivelada individual se parece al método actuarial de edad – de entrada, definiendo edad – de entrada como la edad al momento de la contratación, o la edad a la fecha de vigencia ( la que resulte mayor). La diferencia es que bajo PIN, normalmente tomamos un componente más grande de la ganancia actuarial – componente que en general es negativo - que sale de la obligación acumulada y se reparte en los costos normales futuros. Bajo el método actuarial de edad de entrada, esta porción de la ganancia simplemente se amortiza en la misma forma que otras ganancias – es decir, durante un periodo que puede o no ser más largo que la vida laboral futura de un individuo en particular.

RESUMEN

Bajo el método de costeo de prima individual nivelada, el costo del plan para cualquier año en particular es igual a:

el costo normal

menos la amortización de las ganancias de los años anteriores;

en donde el costo normal para un individuo se calcula como una “prima nivelada” de la edad alcanzada a la fecha de participación en el plan, complementada con costos normales de incremento, calculados a edades posteriormente alcanzadas, suficientes para financiar cualquier aumento en la pensión proyectada.

(Observe que puede haber una obligación acumulada no fondeada en cualquier momento después del primer año, pero es enteramente resultado de las pérdidas actuariales que se encuentran en proceso de ser amortizadas como se indicó arriba.)

EJERCICIOS

2.5.1 Demuestre que la ecuación (2.5.5) lleva a la ecuación (2.5.6).

2.5.2 Verifique la ecuación (2.5.10).

2.5.3 Verifique la ecuación (2.5.16).

2.5.4 Derive la siguiente fórmula general para el costo normal al tiempo t > 0 :

(2.5.18)

34

Explique por qué sería más fácil en la práctica usar esta ecuación, que las ecuaciones (2.5.14) y (2.5.15). ¿Qué significa cada uno de los términos?

2.6 PASIVO INICIAL CONGELADO

En las secciones anteriores hemos visto dos métodos de costeo: crédito unitario y actuarial de edad -de entrada, que generan un costo de pensión para un año dado, igual a la suma de los tres componentes: costo normal, amortización de lo no financiado inicialmente y amortización de ganancias. El tercer método, prima individual nivelada, elimina la amortización de lo no financiado y produce un costo igual a la suma de sólo dos componentes: costo normal y amortización de ganancias. Ahora entramos a la discusión de un cuarto método, edad de - entrada con pasivo inicial congelado*, que expresa el costo como la suma del costo normal y la amortización de lo no financiado inicialmente, pero que ¡se deshace de la ganancia actuarial! Sin embargo, recuerde que usamos el término “ganancia” para expresar la reducción no esperada de la obligación acumulada no financiada (ver, por ejemplo, la ecuación (2.3.12)). La gente habla a veces de “ganancias actuariales” en el vago sentido de la experiencia buena, no esperada. Obviamente, cualquier método de costeo debe tener algún mecanismo que refleje la desviación de la experiencia real, de aquella esperada, y el método de edad – de entrada con pasivo inicial congelado no es la excepción.

Vimos en el ejercicio 2.4.7 que bajo ambos métodos de costeo, actuarial de edad – de entrada y crédito unitario, la obligación acumulada era igual al valor presente de los beneficios futuros, menos el valor presente de los costos normales futuros, aunque bajo el método de crédito unitario nunca calculamos directamente el valor presente de los beneficios futuros. Bajo el método de edad – de entrada con pasivo inicial congelado, también definimos:

(2.6.1)

Para un plan y un conjunto de hipótesis dadas, el valor presente de los beneficios futuros es el mismo sin importar qué método de costeo se use. Así, somos libres de inventar un nuevo método de costeo definiendo la obligación acumulada y el costo normal como queramos, siempre que estas definiciones sean consistentes con la ecuación (2.6.1) – es decir, la obligación acumulada y el costo normal deben “girar” alrededor del valor presente de los beneficios futuros. Si tenemos una obligación acumulada más baja, debemos tener un costo normal más alto y viceversa.

Bajo los tres métodos de costeo estudiados ya en este capítulo, la obligación acumulada se calculó de manera separada para cada individuo y luego se sumó para producir la obligación acumulada total. Sin embargo, bajo el método de edad – de entrada con pasivo inicial congelado, no calculamos directamente la obligación acumulada de manera separada para cada individuo. Por el momento, para introducir el método de manera apropiada, no especificaremos como calcular la obligación acumulada al tiempo t – sólo supondremos que tenemos una, y que como de costumbre es un punto de referencia que representa el saldo deseado del fondo en cualquier momento dado. Entonces podemos escribir:

35

o,

(2.6.2)

donde PVFNCt representa el valor presente de los costos normales futuros al tiempo t.

La ecuación (2.6.2) no es particular del método de edad – de entrada con pasivo inicial congelado, sino que es una relación general que debe regir a todos los métodos de costeo. La tarea de cualquier método en particular es definir un costo normal de tal forma que cubra el pago del PVFNC. En los métodos que vimos anteriormente, esto se hizo definiendo un costo normal para cada individuo y así, por consecuencia, un valor presente de los costos normales futuros para cada individuo:

Entonces estos se sumaron para obtener:

Sin embargo, bajo el método edad – de entrada con pasivo inicial congelado, nuestro enfoque es completamente diferente. Suponemos que el costo normal es una cantidad nivelada en dólares y que es el mismo monto en dólares para cada empleado activo, por lo que si llamamos al costo normal

total definimos el costo normal para cualquier individuo como, donde nt

es el número de personas en At . Entonces, podemos expresar el valor presente de los costos normales futuros como:

(2.6.3)

o, de manera equivalente:

(2.6.4)

Observe que el término grande entre paréntesis de la ecuación (2.6.4) es el costo normal por empleado activo, al cual nos referiremos como Ut , ( que significa costo normal unitario). En otras

palabras, decimos que .

36

La ecuación (2.6.4) es una definición parcial del costo normal bajo el método de edad – de entrada con pasivo inicial congelado; no es una definición completa porque todavía no hemos dicho qué significa ALt . En realidad, sabemos que ALt significa obligación acumulada, sólo que todavía no hemos decidido como calcularla. No obstante, podemos suponer que la ecuación (2.2.8) y la ecuación (2.3.12) se aplican también a esta obligación acumulada, esto es, podemos afirmar que:

, (2.6.5)

donde “Ganancia” está todavía por definirse. Por ahora, sólo la consideraremos un término general para compensar cualquier inadecuación al exponer la ecuación (2.6.5).

Ahora procedemos a elaborar una expresión para Ut+1 a partir de las ecuaciones (2.6.4) y (2.6.5). Del ejercicio 2.6.1 obtenemos el siguiente resultado:

(2.6.6)

donde las tildes indican valores calculados, como si el aumento en el beneficio proyectado para el empleado j entre los tiempos t y t + 1 fuera igual a cero. También del ejercicio 2.6.2 obtenemos la relación:

(2.6.7)

Si ahora dividimos la ecuación (2.6.6) entre la ecuación (2.6.7), obtenemos una expresión de la siguiente forma:

37

(2.6.8)

Ahora observe que para cualquier número, y se puede establecer la siguiente igualdad algebraica (ejercicio 2.6.3):

(2.6.9)

Usando esta relación, podemos combinar las ecuaciones (2.6.6), (2.6.7) y (2.6.9) para obtener una relación entre Ut+1 y Ut (ejercicio 2.6.4):

(2.6.10)

Ahora, usted recordará que definimos Ut como el costo normal nivelado que se aplica a cada uno de los empleados activos (ecuación (2.6.3)), por lo que quisiéramos que Ut+1 fuera igual a Ut , si la experiencia real durante el año, concuerda con nuestras hipótesis. Vea la ecuación (2.6.10) y observe que si la experiencia real fuera la misma que la esperada, todos los términos que están entre llaves serían igual a cero, excepto quizá el término general “Ganancia” que todavía no hemos definido. Nótese también que “Ganancia” tiene signo negativo, lo cual se ve mal porque los otros términos de ganancia son positivos. Así, es fácil ver que debemos fijar la “Ganancia” para que sea exactamente igual a cero. Luego, podemos reformular la ecuación (2.6.5) como:

(2.6.11)

Esto nos dice cuál es la relación entre dos años sucesivos de no financiados, por lo que si conocemos el valor de lo no financiado al tiempo 0, lo podemos calcular para cualquier año subsecuente usando la ecuación (2.6.11), con el costo normal definido por la ecuación (2.6.4).

Por lo tanto, el costo normal de cualquier año, excepto el primero, se calcula por medio de los siguientes cuatro pasos:

(1) actualice lo no financiado usando la ecuación (2.6.11) para obtener UALt ;

(2) busque el saldo del fondo Ft ;

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(3) calcule y el valor presente

de los años de trabajo futuros ;

(4) calcule el costo normal por medio de la fórmula:

(2.6.12)

Ya hemos definido completamente el método de costeo, de edad – de entrada con pasivo inicial congelado, salvo el hecho de que no hemos dicho cómo iniciar lo no fondeado al tiempo t = 0 , el primer año de operación. Debemos hacerlo ahora. Bajo el método de edad – de entrada con pasivo inicial congelado, la obligación acumulada no financiada al tiempo 0, se calcula bajo el método de costeo actuarial de edad – de entrada.

La definición de la obligación acumulada inicial no financiada es muy arbitraria. Podríamos haberla fijado en cero o en cualquier otro valor numérico sin entorpecer el método de costeo, porque bajo este método, simplemente tomamos cualquier porción del valor presente de los beneficios futuros - valor que queda luego de restar la obligación acumulada (la no financiada más el equilibrio del fondo) - y lo distribuimos a lo largo del promedio de la vida laboral futura de los participantes activos. Esta cantidad que se distribuye incluye cualquier “ganancia” debida a la diferencia entre la experiencia real y la esperada.

A veces, este método de costeo se usa con lo inicial no financiado calculado bajo el método de crédito unitario, más que por el método actuarial de edad – de entrada. Cuando lo no financiado se inicia bajo el método de crédito unitario, el método de costeo se conoce como método actuarial de edad – alcanzada. *Nota: en el reporte JCPT esto ha sido re bautizado como método de edad alcanzada con pasivo congelado

RESUMEN

El costo de un plan de pensiones bajo el método de costeo actuarial de edad – de entrada con pasivo inicial congelado (o el método actuarial de edad – alcanzada) es la suma de:

(1) el costo normal, más

(2) la amortización de la obligación acumulada no financiada;

donde,

el costo normal se define por la ecuación (2.6.12)

y

39

el primer año, lo no financiado se define igual que bajo el método actuarial de edad – de entrada ( crédito unitario por actuarial de edad – alcanzada) y a partir de entonces se maneja por medio de la ecuación (2.6.11).

Cualquier diferencia entre la experiencia real y la esperada, provoca un cambio en el costo normal unitario (vea la ecuación (2.6.10)).

EJERCICIOS

2.6.1 Tomando y , derive la ecuación (2.6.6).

2.6.2 Derive la ecuación (2.6.7).

2.6.3 Compruebe la ecuación (2.6.9).

2.6.4 Combine la ecuación (2.6.6 ) con las ecuaciones (2.6.7) y (2.6.9) para obtener la ecuación (2.6.10). (Pista: para los miembros del conjunto R , x + 1 = y .) Observe el signo del término “Ganancia” en la ecuación (2.6.10); ¿ no debería ser “+” , en lugar de “ – ” ? ¿Hay aquí algún error lógico?

2.6.5 Bajo el método de edad de – entrada con pasivo inicial congelado, ¿ es el costo normal tal

que para cada persona se acumulará una cantidad igual a a la edad y?

( Respuesta: No. ¿Cuál es la razón ?)

2.6.6 En la ecuación (2.6.10), vimos algunos términos de la forma

, que podemos interpretar como “ obligaciones acumuladas”

individuales para cada persona. ¿ Podría ser negativa tal “obligación acumulada” para un empleado dado? Si es así, ¿ qué significaría?

2.6.7 Demuestre que para el método EEPIC, en lugar de la ecuación (2.2.18) tenemos:

(2.6.13)

¿ Por qué el término extra?

2.7 NUEVOS ENTRANTES

Hasta ahora, a lo largo de la discusión que comienza en la sección 2.2, hemos ignorado deliberadamente a los nuevos entrantes al grupo de empleados activos cubierto por nuestro plan de

40

pensiones ( por ejemplo, vea la ecuación (2.2.2)). Esta omisión no entorpeció nuestro entendimiento de los métodos de costeo actuarial de crédito unitario, de edad – de entrada y prima individual nivelada, porque bajo esos métodos las obligaciones acumuladas se calcularon de manera separada para cada individuo y fueron definidas como cero para las personas que apenas entraron en el plan. Esto significa que el monto de la ganancia en cualquier año en particular no habría sido afectado si hubiésemos incluido nuevos entrantes porque, del tiempo t al tiempo t + 1, no habrían habido nuevos participantes que provocaran obligaciones no financiadas adicionales. Por lo que respecta al costo normal bajo estos tres métodos, hemos estado suponiendo que los nuevos entrantes cada año, serían cubiertos bajo un plan separado; pero de nuevo esto no cambia la lógica de nuestra discusión porque los costos totales para todos estos planes – tanto el plan original que hemos estado viendo, como los planes nuevos diseñados para los participantes que se integran cada año – serían los mismos que si todos estuviesen incluidos bajo un solo plan. Los costos normales y las obligaciones acumuladas se calculan de manera separada para cada persona y luego se suman para obtener el resultado.

Sin embargo, no sucede lo mismo con el método de edad - de entrada con pasivo inicial congelado (ni con su primo el método actuarial de edad – alcanzada), porque bajo estos métodos el valor presente de los costos normales futuros, se distribuyó a lo largo del promedio del tiempo de trabajo futuro de todos los participantes activos, al tiempo t y de nuevo al tiempo t + 1. Este tiempo de

trabajo promedio fue al tiempo t , y al tiempo t + 1, de tal

manera que la composición del grupo – con su proporción de viejos participantes y su proporción de nuevos – afectó el valor del costo normal, porque afectó el periodo en el cual se distribuyó el valor presente de los costos normales futuros. Por lo tanto, en nuestra discusión de los métodos de costeo EEPIC y EA, no debemos ignorar a los nuevos participantes. En esta sección, es necesario comprometernos a generalizar nuestra discusión sobre todos los métodos de costeo, incluyendo a los nuevos entrantes.

Definamos como N al conjunto de nuevos entrantes en el periodo t a t + 1. Entonces, podemos escribir una versión más general de la ecuación (2.2.2):

At+1 = At – T – R + N (2.7.1)

Ahora veamos, cómo afecta esta modificación a las discusiones de cada uno de los métodos de costeo que hemos estudiado hasta ahora.

Bajo el método de crédito unitario, un nuevo entrante llegará al tiempo t + 1 con una obligación acumulada diferente de cero sólo en la medida que tenga un beneficio acumulado hasta ese momento – que dependerá de los términos precisos del plan ( cómo se acreditó el servicio, etc.). Sin embargo, aunque el beneficio acumulado sea cero al tiempo t + 1, debimos agregar un término

( tomando a x como la edad al tiempo t para los nuevos participantes)

a la ecuación (2.2.3) para relacionar ALt y ALt+1 . Ya que el conjunto N es distinto al conjunto At , el término NCt sigue siendo válido como se definió por la ecuación (2.2.4). El mismo término se debe agregar también al lado derecho de la ecuación (2.2.7) (que relaciona a UALt y a UALt+1 ) y podría tener el efecto de reducir la ganancia (ecuación 2.2.8) en una cantidad similar. Así, a medida

41

que las personas aparecen en el censo del plan al tiempo t + 1, con un beneficio acumulado diferente a cero, la ganancia se reducirá por el valor presente de tales beneficios acumulados. Por lo demás, la discusión de la sección 2.2 sigue siendo válida aún tomando en cuenta a los nuevos entrantes.

Bajo el método actuarial de edad – de entrada, la edad de entrada w es exactamente igual a x + 1, que es la edad al tiempo t + 1 , y la obligación acumulada es por lo tanto igualmente cero al tiempo t + 1 para los participantes nuevos ( vea por ejemplo la ecuación (2.3.5) con w igual a x + 1). Esto significa que la definición y el monto de la ganancia no se ven afectados, y el único impacto en el costo calculado al tiempo t + 1 es, agregar al total, el costo normal para los entrantes nuevos. Sin embargo, el cuarto término de la ecuación (2.3.10) (que relaciona a UALt y a UALt+1 ) debería mostrar la suma del conjunto At+1 – N , más que de todo el conjunto At+1 ( observe que At+1 – N = At At+1 ); lo mismo que la suma del término correspondiente de la ecuación (2.4.8) (que relaciona a UALt y a UALt+1 cuando se usa la escala salarial). Por lo demás, la operación del método de costeo actuarial de edad – de entrada no se ve afectado por los participantes nuevos.

Bajo el método de la prima individual nivelada, los participantes nuevos tampoco afectan la ganancia, porque lo mismo que con el método actuarial de edad – de entrada, la obligación acumulada de los participantes nuevos es siempre cero. No obstante, los entrantes sí aumentan el costo normal al tiempo t + 1 , en un monto igual a la suma de sus “primas individuales niveladas”.

Bajo el método de edad – de entrada con pasivo inicial congelado, el agregar participantes nuevos requiere de modificaciones más importantes al argumento:

(1) A la ecuación (2.6.6) ( para PVFNCt+1 ), debemos agregar el término

y cambiar el cuarto término por ( porque At+1 incluye a N).

(2) A la ecuación (2.6.7) debemos agregarle el término del lado derecho.

(3) La ecuación (2.6.10) ( que relaciona Ut con Ut+1 ) debe entonces modificarse para que incluya los cambios observados arriba y también se le debe agregar otro término entre llaves igual a

.Observe también que la suma del tercer término entre

paréntesis dentro de las llaves, la absorbe el conjunto en vez del .

Este último es un cambio importante. Establece que en la medida que el costo normal unitario Ut , calculado para el conjunto At de los participantes activos al tiempo t, no es suficiente para financiar los beneficios proyectados para los nuevos entrantes a sus respectivas edades alcanzadas al tiempo t + 1, el nuevo costo normal unitario Ut+1 se incrementará; y viceversa.

Como vimos en el ejercicio 2.6.5, el costo normal unitario Ut , es suficiente en el método agregado para financiar los beneficios proyectados a lo largo de la vida laboral promedio de todos los empleados en el conjunto At - pero no es suficiente, en general, para financiar cualquier beneficio individual particular. Ut será más que suficiente para empleados más jóvenes en términos generales, y menos que suficiente para los más viejos; así que en la medida que los nuevos contratados sean

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más jóvenes que el promedio, el término será negativo y

entonces Ut+1 será menor de lo que hubiera sido en ausencia de nuevos entrantes. Sin embargo, esto no siempre es verdad; dependiendo de la distribución de edades y montos de beneficios, los nuevos entrantes pueden tener un efecto positivo, negativo o cero sobre el cambio en Ut . Cualquiera que sea su efecto sobre Ut , el costo normal al tiempo t + 1 es igual a Ut+1 multiplicado por el número de empleados en el conjunto At+1 , que incluye a N, así que el monto del costo normal en general aumentará, únicamente debido al ingreso de nuevos entrantes. No obstante, a veces sucede que el costo normal unitario a cuenta de los nuevos entrantes, compensa de más el número de cabezas adicionales por las cuales se multiplica el costo normal unitario para obtener el costo normal total. Lo único que podemos decir con certeza, es que los nuevos entrantes tienen un efecto sobre el costo de un plan determinado bajo el método actuarial de edad – de entrada con pasivo inicial congelado que es diferente al efecto que tendrían si estuvieran bajo planes separados.

EJERCICIOS

2.7.1 Transcriba en su totalidad las siguientes ecuaciones y demuestre la adición de participantes nuevos: (2.2.3), (2.2.4), (2.2.7), (2.3.10), (2.4.8), (2.6.6), (2.6.7), (2.6.10).

2.7.2 Demuestre algebraicamente que bajo cualquier método de costeo que defina el costo normal y la obligación acumulada individualmente para cada participante activo, que defina la ganancia de la forma usual (por ejemplo, la ecuación (2.3.12):

(a) los nuevos entrantes entre los tiempos t y t + 1 no afectarán la ganancia a menos, y en la medida que, entren al plan con una obligación acumulada diferente a cero; y

(b) el costo normal al tiempo t + 1 se puede separar en dos componentes mutuamente independientes uno del otro: para los nuevos participantes y para el conjunto de los activos presentes.

2.7.3 Demuestre que el costo normal, bajo el método de edad – de entrada con pasivo inicial congelado, no se puede separar como en el ejercicio 2.7.2, y que mientras el costo se puede separar para los activos presentes y los nuevos entrantes, los dos componentes dependen entre sí.

2.8 MÁS SOBRE EL MÉTODO DE EDAD – DE ENTRADA CON PASIVO INICIAL CONGELADO

Como en los métodos de costeo de edad - de entrada y prima nivelada individual, el método de pasivo inicial congelado opera de manera diferente cuando los beneficios se basan en el salario y se usa la hipótesis de incremento salarial. En vez de expresar el costo normal como un monto nivelado en dólares para cada empleado, lo expresamos como un porcentaje nivelado del salario, Ut, , para cada empleado: NCt

j=Ut St j , donde St j es la tasa salarial anual del empleado j en el tiempo t.

Entonces, en lugar de la ecuación (2.6.3), tenemos:

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(2.8.1) Esto es,

(2.8.2)

que corresponde a la ecuación (2.6.12). El símbolo , representa el valor presente de los salarios futuros en el tiempo t. Como en la sección 2.6, UALt , se deriva del valor del año anterior por la ecuación (2.6.11).

Estas modificaciones significan que el equivalente de la ecuación (2.6.10) es:

(2.8.3)

donde de nuevo, , indica el valor presente de los beneficios futuros, calculados al tiempo

t + 1 como si el cambio en el beneficio proyectado fuera igual a cero y lo mismo,

44

y .

Aquí de nuevo, si usted examina con cuidado cada uno de los términos de la ecuación (2.8.3), verá claramente cómo la experiencia favorable tiende a disminuir el costo normal unitario, y la experiencia desfavorable tiende a elevarlo.

Aquí en la sección 2.6, la obligación acumulada no financiada, en el primer año de operación (que llamamos el tiempo cero), se calcula usando el método de costeo actuarial de edad – de entrada. Siguiendo los resultados obtenidos en la sección 2.4, esto significa que calculamos el costo normal como:

(2.8.4)

que se puede expresar:

(2.8.5)

donde,

y

Luego obtenemos la obligación acumulada por el método de edad – de entrada por:

(2.8.6)

donde hemos eliminado el exponente j y el subíndice 0 para evitar confusiones. Ahora, al tiempo cero no hay fondos ( i.e., F0 =0 , así que lo no financiado es la obligación acumulada total. Eso significa que cuando calculemos el costo normal bajo el método de edad – de entrada con pasivo inicial congelado, obtenemos (de la ecuación (2.6.12))

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(2.8.7)

Aquí enfrentamos un dilema. El costo normal calculado bajo el método actuarial de edad – de entrada ( ecuación (2.8.5)) produjo una obligación acumulada (2.8.6) la cual, al integrarse a la fórmula del costo normal EEPIC, dio un costo normal nuevo (2.8.7) que fue diferente al original (2.8.5). ¿Cuál es el verdadero costo normal al tiempo cero? La respuesta es: el costo definido por la ecuación (2.6.12), porque supusimos que la ecuación se mantendría cuando desarrolláramos la ecuación (2.6.10) y su equivalente la ecuación (2.8.3) – lo que demuestra que el método de costeo actuarial de edad – de entrada con pasivo inicial congelado, “funciona” (es decir, que se ajusta apropiadamente a la diferencia que existe entre la experiencia real y la esperada). Por otro lado, no existe mucha diferencia en dólares entre ambas y ciertamente, el mundo no se acabaría si usted usara la ecuación (2.8.5) en vez de la (2.6.12), o su equivalente en este caso, la (2.8.2).

Sin embargo, la mejor forma de resolver este dilema es, utilizando el llamado método de costeo actuarial de edad – de entrada agregado, para calcular la obligación acumulada inicial. Bajo este método, en lugar de la ecuación (2.8.5), usamos:

(2.8.8)

Las dos son similares, pero en la primera tomamos la suma de los cocientes, mientras que en la segunda tomamos el cociente de las sumas. Observe que:

donde

La obligación acumulada bajo este nuevo método de costeo es entonces:

(2.8.9)

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Resolviendo para U0 , obtenemos:

y, por lo tanto:

(2.8.10)

¡qué es lo mismo que lo obtenido bajo el método actuarial de edad – de entrada con pasivo inicial congelado!. Así, si usamos el método actuarial de edad – de entrada agregado junto con el método EEPIC, evitamos cualquier ambigüedad debida al cálculo de los dos costos normales en la misma fecha de valuación.

Deberá notarse que con el primo de EEPIC, el método actuarial de edad alcanzada, nunca tenemos el problema de dos costos normales, porque calculamos la obligación acumulada al tiempo cero simplemente como el valor presente de los beneficios acumulados en esa fecha. Con el método de crédito unitario, usted no tiene que calcular el costo normal para obtener la obligación acumulada como lo hace bajo el método actuarial de edad – de entrada.

EJERCICIOS

2.8.1 Al ir de la ecuación (2.6.10) a la ecuación (2.8.3), ¿qué sucedió con el término que involucra a ?

2.8.2 Comenzando con la definición de costo normal de EEPIC (ecuación (2.6.12)) y la relación fijada (ecuación (2.7.1)), compruebe que la ecuación (2.8.3) es correcta ( use la línea de argumentación análoga a la de la sección 2.6).

2.8.3 Si el método EEPIC se usa junto con el método de AEA agregado durante el primer año, y de la manera usual el año siguiente; y si el cálculo del AEA agregado también se repite en el segundo año; ¿cuál es la diferencia entre el costo normal unitario bajo los dos métodos al tiempo 1? Demuestre que si U0 =U1 , bajo EEPIC, la ganancia calculada bajo AEA agregado no es necesariamente cero. ¿ Se puede calcular la ganancia AEA agregada usando la ecuación (2.3.11)? ¿Qué sucede si no hay participantes nuevos? [ Sugerencia: proceda como sigue:

a. Exprese Ut en términos de U0 para ambos métodos.

b. Observe que los dos valores de U1 difieren de los valores de edad – de entrada al tiempo 1 bajo AEA, por un término que surge de los cálculos que se hicieron nuevamente;

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c. Observe que si U0 = U1 bajo EEPIC, entonces la ganancia bajo AEA global, no es necesariamente igual a cero;

d. Observe que si no hay participantes nuevos y siempre y cuando se cumplan las hipótesis, el término extra al que nos referimos en (b), arriba, es cero.]

2.8.4 Suponga que la contribución C para el año t a t +1 se hace al tiempo t +1.¿ Tiene el tamaño de C algún efecto sobre el tamaño de NCt+1 bajo el método EEPIC? Demuestre su respuesta de manera algebraica.

2.9. METODO DE COSTEO AGREGADO

Habiendo visto un método de costeo (PNI) que prescinde – por lo menos al principio – de la obligación acumulada no financiada, y otro (EEPIC) que prescinde de la ganancia, llegamos finalmente a lo último en simplicidad: un método de costeo que prescinde de ambos. Y este es el método de costeo agregado. Bajo este método, el costo del plan en cualquier año es exactamente igual al costo normal, sin componentes adicionales que representen la amortización de las ganancias o de lo inicial no financiado.

Recuerde que bajo el método actuarial de edad – de entrada con pasivo inicial congelado (y el método actuarial de edad – alcanzada), definimos que la obligación acumulada no financiada sería igual a la no financiada esperada, y por lo tanto que la ganancia sería cero. Bajo el método agregado, damos un audaz paso adelante y declaramos que lo no financiado será cero en todo momento. Ésta es sólo otra forma de decir que la obligación acumulada es siempre igual a los activos disponibles:

(2.9.1)

Como con EEPIC y AEA, bajo el método agregado determinamos que el costo normal es el mismo monto, Ut para cada empleado activo:

(2.9.2)donde representa el número de empleados en el conjunto At . Porque la obligación acumulada debe siempre ser igual al valor presente de los beneficios futuros, menos el valor presente de los costos normales futuros, tenemos entonces:

(2.9.3)

Esto significa que:

48

y

(2.9.4)

donde (valor presente de los años de trabajo futuros).

Desde luego que la discusión anterior, sólo es válida cuando no existe la hipótesis de un incremento salarial. En donde existe una escala de salarios, la expresión equivalente a (2.9.4) es:

y

(2.9.5)

donde (valor presente de los salarios futuros). La ecuación

( 2.9.5) es la definición general del costo normal, porque si no existe la hipótesis de un aumento salarial, puede simplemente fijarse sx = 1 para todas las edades, y St j = 1 para todos los empleados y obtener (2.9.4). Por lo tanto, en general Ut es un porcentaje uniforme nivelado de salario para todos los empleados activos.

Usando la ecuación (2.6.6) , como se modificó en la discusión de la sección 2.7, podemos derivar la relación entre PVFNCt+1 y PVFNCt , como sigue (ejercicio 2.9.1):

(2.9.6)Igualmente, del ejercicio 2.9.2 obtenemos el resultado:

49

(2.9.7)

Los actuarios de pensiones llaman a , la “nómina cubierta” al tiempo t. Ahora, recordando la

ecuación (2.6.9), podemos obtener la relación entre el costo normal unitario en dos años sucesivos (ejercicio 2.9.3):

(2.9.8)

donde y . .

Compare la ecuación (2.9.8) con la ecuación (2.8.3). La única diferencia es la adición del término

entre corchetes. Bajo el método EEPIC, lo no financiado absorbió cualquier

exceso en las contribuciones al costo normal, más los intereses requeridos, pero aquí hemos fijado a lo no financiado en cero para que las contribuciones excedentes entren al costo normal. Este resultado tiene consecuencias más importantes de lo que usted podría imaginar: el agregado es el único método de costeo, de los discutidos hasta ahora, cuyo costo normal es afectado por el monto de las contribuciones realizadas al fondo. Al costo normal del EEPIC, es afectado por la tasa de retorno de inversión sobre fondo, pero no las contribuciones al mismo (ejercicio 2.8.4).

Con el método agregado, así como con los métodos de costeo EEPIC y AEA, los términos entre llaves en la ecuación (2.9.8) pueden considerarse como “ganancias” ( aún cuando no necesitemos definir tal término para calcular el costo de un plan). Estas “ganancias”, se distribuirán a través del valor presente promedio de los salarios futuros, porque:

(2.9.9)

que sigue directamente de la ecuación (2.9.8)

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EJERCICIOS

2.9.1 Derive la ecuación (2.9.6).

2.9.2 Derive la ecuación (2.9.7), usando la definición:

2.9.3 Derive la ecuación (2.9.8).

2.9.4 Suponga que hemos estado usando el método de costeo EEPIC, y al tiempo t , lo no financiado es exactamente igual a cero.

a) ¿ Será el costo normal agregado, exactamente igual al costo normal EEPIC, al tiempo t ?

b) Si no se hace ninguna contribución en el periodo t a t + 1 , ¿cuál será la diferencia en el costo normal bajo los métodos EEPIC y agragado al tiempo t + 1?

c) Si al tiempo t a t + 1, el empleado decide contribuir ( bajo el método EEPIC) con una cantidad igual al costo normal, más - es decir, para amortizar lo no

financiado por un periodo n de años, ¿cuál será el valor de , para que esta contribución total de EEPIC sea igual al costo normal agregado al tiempo t + 1 ( suponiendo que lo no financiada es diferente a cero al tiempo t + 1 bajo el método EEPIC)?

2.9.5 Considere un plan de pensión simple de $ 1,000 al año, para todos los empleados a la edad

de 65 años. Sea = 10 y suponga que:

x

30 19 0.164 1 0.9

El plan cubre a dos empleados activos al tiempo cero: uno de 30 años y el otro de 64.

(a) ¿Cuál es el costo normal bajo el método de costeo agregado?(Respuesta: $ 1000.)

(b) ¿Cuál es el costo normal bajo el método de prima nivelada individual? (Respuesta: $ 9,053.)

51

(c) ¿Es apropiado el método acumulado para tal situación?

2.10 PENSIONADOS

Hasta este punto, en nuestra discusión hemos estado suponiendo que los pensionados se retiran a la edad y, y que una prima P se transfiere a un fondo separado que paga las anualidades vitalicias. Ahora es tiempo de echar un vistazo a ese fondo, para ver cómo funciona.

Si es el beneficio de pensión anual del pensionado j , entonces no hay duda de que el saldo del

fondo deseado u obligación acumulada para j al tiempo t es , de tal manera que la

obligación acumulada total será:

(2.10.1)donde Pt , es el conjunto de todos los pensionados al tiempo t . Recuerde que R es el conjunto de todos los empleados activos que alcanzan la edad y , y se retiran durante el año. Si ahora consideramos a D como el conjunto de pensionados que mueren durante el año, podemos escribir:

Pt+1 =Pt + R - D

(2.10.2)La aproximación:

(2.10.3)

es prácticamente universal en el mundo de las pensiones (vea el ejercicio 2.10.1), de tal manera que los valores de las anualidades en dos años sucesivos se relacionan por medio de la ecuación:

(2.10.4)

Observe que en este fondo de pensionados, a diferencia del fondo de activos que hemos estado viendo en las secciones anteriores, qx representa solamente la probabilidad de morir, porque no hay otra forma de abandonar el grupo de pensionados.

Si ahora combinamos las ecuaciones (2.10.1), (2.10.2) y (2.10.4), podemos ver cómo aumenta la obligación acumulada para pensionados, de un año a otro:

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(2.10.5)

El saldo del fondo para pensionados sigue la progresión: Ft+1 = Ft + I + P - Bo,

Ft+1 = Ft ( I + i ) + ( I - Ip + IB - iFt ) +( P + Ip ) – ( B + IB )

(2.10.6)

donde P es el monto transferido del fondo de vida activa a la “compra” de pensiones Bj

para los miembros del conjunto R, y B representa los pagos actuales de pensión realizados del fondo.

Si ahora restamos la ecuación (2.10.6) de la ecuación (2.10.5), podemos relacionar las obligaciones acumuladas no financiadas de un año a otro, como sigue:

(2.10.7)

Observe que el segundo término de la ecuación (2.10.7) es igual a cero si el fondo gana intereses a la tasa i . El tercer término es igual a cero si tanto la hipótesis de mortalidad como la de interés se cumplen, porque ( dentro de los límites de la aproximación ) el término bajo el signo de sumatoria, representa los beneficios pagados a los miembros del conjunto Pt . Observe también, que hemos dividido los beneficios totales B en dos componentes, Bold (pensiones pagadas a los miembros del conjunto Pt ), y Bnew (pensiones pagadas a los miembros del conjunto R, quienes en general, se habrán retirado en algún momento durante el año, y habrán recibido algunos pagos de pensión antes del final del año). Entonces, si las hipótesis se cumplen, el cuarto término es cero, porque P se calculó como igual a la reserva requerida para financiar cada pensión al momento de transferencia al fondo de pensionados – reserva que se calculó como igual a los beneficios, más el interés que se esperaba pagar antes del final del año, más la reserva al final del año, menos el interés sobre la

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prima. Finalmente, el quinto término es exactamente igual a cero si las hipótesis se cumplen, porque la reserva actual liberada será igual a la esperada. Por lo tanto, la suma de los términos entre llaves es la ganancia actuarial:

Ganancia = . (2.10.8)

Observe que si no hay costo normal en el cálculo de la ganancia para este grupo; y si no hubo obligación acumulada no financiada al tiempo cero y las hipótesis fueron correctas, entonces nunca habrá un no financiado (esto se sigue directamente de la ecuación (2.10.8)). Esto significa (ejercicio 2.10.2 y ejercicio 2.10.3) que podemos simplemente sumar la obligación acumulada para pensionados a aquella de los activos – o, equivalentemente, sumarla al valor presente de los beneficios futuros si estamos usando el método agregado o EEPIC – y, si también sumamos todos los fondos, de todas maneras lograremos que los métodos de costeo funcionen como antes.

Por otro lado, si mantenemos a los pensionados en un fondo aparte, debemos encontrar alguna forma, ya sea (a) de obtener fondos adicionales además de la “prima ” P, en caso de pérdidas actuariales, o (b) reponiendo cualquier ganancia actuarial al fondo de los activos. En el plan típico de pensión, los pensionados se incluyen en el mismo fondo con los activos, pero en acuerdos tales como contratos de seguros de “depósitos en administración”, las pensiones son realmente compradas y existen mecanismos de dividendos para ajustar el costo del plan por ganancias o pérdidas entre los pensionados. (Estos y otros contratos de seguros se describen en la sección 5.4).

EJERCICIOS

2.10.1 (a) Pruebe que:

(2.10.9)

(b) Compruebe que si Dx se interpola linealmente, es decir:

entonces la ecuación (2.10.4) sigue directamente de (2.10.9).

(c) Compruebe que si Dx se interpola geométricamente, es decir:

entonces la ecuación (2.10.9) se convierte en:

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(2.10.10)

donde la tasa de interés ficticia . ¿Puede usted expresar en

términos de usando esta aproximación? Compare la ecuación (2.10.10) con la ecuación (2.10.4).

2.10.2 Demuestre que la ecuación (2.3.12) todavía define apropiadamente, la ganancia de los métodos de costeo actuarial de: crédito unitario, de edad – de entrada y prima individual nivelada, si agregamos la obligación acumulada de los pensionados (junto con su saldo del fondo) a la de los empleados activos.

2.10.3 Demuestre que si se agregan los pensionados al fondo de activos, bajo los métodos agregado y EEPIC, el valor presente de los costos normales futuros se incrementa por la obligación acumulada no financiada de los pensionados – y que esto trae como consecuencia, que las ganancias generadas por la mortalidad e interés en el fondo de los pensionados se distribuyan a lo largo de los años futuros de trabajo de los empleados activos, de la misma manera que otras “ganancias” bajo estos métodos, es decir la ecuación (2.9.9) se mantiene.

2.10.4 (a) Explique por qué sólo existe un método de costeo apropiado para un fondo de pensión que cubre sólo a pensionados. ( El término “apropiado” , se define de manera implícita en la sección 1 de este capítulo.)

(b) ¿Cuál es el costo normal bajo este método de costeo?

(c) ¿Por qué en la expresión de la ganancia, ecuación (2.10.8), no existen términos que involucren las primas P, que corresponden a las contribuciones C en la ecuación (2.3.12)?

2.10.4 Dé argumentos para explicar, que si un plan cubre sólo a pensionados, no existe costo normal, y el costo del plan para cualquier año es igual al pago de amortización de lo no financiado (si existe alguno), menos la amortización de la ganancia.

2.11 EL COSTO DE PENSIÓN EN PERSPECTIVA

Todavía no hemos visto todos los métodos de costeo que usan los actuarios de pensiones. Ni siquiera hemos visto cómo aplicar los que ya vimos, mas que en las situaciones más elementales. Sin embargo, necesitamos hacer una pausa y respirar hondo para situarnos antes de proceder con temas más complicados.

Hemos visto que en general (pero no siempre en particular), un método de costeo produce un costo normal, una obligación acumulada no fondeada y una ganancia. No es porque hayamos decidido arbitrariamente y por anticipado tener estos componentes, sino porque dispusimos financiar las

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pensiones durante la vida laboral activa de los eventuales pensionados. Esa motivación nos llevó naturalmente al descubrimiento de los costos normales, las obligaciones acumuladas y las ganancias. También hemos visto que no hay un método de costeo universalmente “correcto”, sino que las diferentes formas lógicas de enfrentar un problema para financiar las pensiones durante la vida laboral, traen como resultado diferentes métodos de costeo. Por ejemplo, bajo el método de crédito unitario, primero definimos la obligación acumulada; mientras que bajo el método actuarial de edad – de entrada, empezamos definiendo el costo normal. Bajo los métodos agregados (incluyendo el pasivo inicial congelado y el actuarial de edad alcanzada), asignamos de manera arbitraria a cada individuo, el mismo costo normal – teniendo como resultado que bajo estos métodos de costeo, las pensiones se financian en su totalidad al retiro sólo si hay un gran número de participantes (vea por ejemplo el ejercicio 2.9.5). Todos los métodos de costeo “apropiados” se caracterizan y unifican por la proposición de que, las pensiones deben financiarse antes de comenzar. Cualquier forma de asignar los costos de pensión que no logre este resultado no es, estrictamente hablando, un método de costeo actuarial. Por ejemplo, la forma de pago- al- retiro, no es un “método de costeo” en el sentido que damos al término.

Con excepción del método agregado, el cálculo del costo normal, lo no financiado y la ganancia, no determina exactamente el costo de un plan para un año en particular, porque lo no financiado y las ganancias pueden amortizarse a lo largo de varios periodos y de diferentes maneras (tales como un monto en dólares nivelado, un porcentaje nivelado de nómina, etc.).

Con respecto a la obligación acumulada inicial no financiada – aquella establecida desde el origen del plan – si esta cantidad no se amortiza, esto es si el costo de pensión no incluye un monto superior a los intereses de esta cantidad, entonces no se está aplicando apropiadamente el método de costeo porque no se logrará el financiamiento total de las pensiones antes de que comiencen los pagos. Cuando no se logra la amortización de lo no financiado inicialmente, el plan puede ser solvente sólo en la medida que los costos normales de cada año, a causa de los nuevos participantes del plan, paguen directamente las pensiones de las personas ya retiradas. Para que cualquier método de costeo funcione de manera apropiada, lo no financiado debe reducirse a cero, dentro de un periodo de tiempo razonable. No puede haber una regla fija en cuanto al periodo de tiempo en el cual, lo no financiado inicial se deba amortizar; por ejemplo, no sería inteligente amortizarla en un periodo de 30 años, si todos los participantes tuvieran más de 50 años y la edad de retiro fuera a los 65.

Respecto a las ganancias actuariales, en teoría, el periodo de amortización no debería importar mucho, porque si las hipótesis se establecieron apropiadamente, las ganancias en un año se compensarán con pérdidas en otros años, de tal manera que la ganancia neta en un periodo de años, será cercana a cero. Si las hipótesis no se comprobaron, habrá un consistente patrón de ganancias o pérdidas, y en este caso las hipótesis deberán cambiarse – aunque ese es un asunto que está fuera del objetivo de este capítulo (lo trataremos en el Capítulo 6). Con un grupo pequeño de participantes, las fluctuaciones estadísticas serán mayores porque, por ejemplo, sólo puede morir una persona a la vez; y si las hipótesis actuariales esperan un octavo de muerte en un año dado, habrá entonces ya sea pérdida o ganancia – aún cuando al paso del tiempo la hipótesis resulte correcta. Los planes más grandes tendrán en general, una experiencia más predecible de un año a otro y podrían estar completamente en orden en un periodo de amortización tan corto como un año (es decir, que hay un ajuste inmediato de pérdidas o ganancias).

Comenzamos el capítulo señalando que la motivación principal del financiamiento “actuarial” del plan de pensiones, es evitar la insolvencia, pero ésta no es el único escollo. Recuerde que la tarea de un actuario de pensiones es determinar el costo de un plan particular que se asignará a cada año. Si su único objetivo fuera evitar la insolvencia, entonces tendría que recomendar que las hipótesis

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fueran extremadamente conservadoras; requerir de un año para amortizar lo no financiado inicial, un año para amortizar las pérdidas actuariales y no amortizar las ganancias – que traerían como resultado la tergiversación de los costos verdaderos del plan. Debe evitarse tanto un cálculo demasiado alto en el costo de pensión, como uno demasiado bajo. Por ejemplo, si una compañía va a recibir un reembolso por su trabajo bajo un contrato de costo mas gastos, el costo de pensión debe determinarse de manera justa, ni demasiado alto ni demasiado bajo. Del mismo modo, a las autoridades fiscales les interesa que no se reclame una cantidad grande del costo de pensión, como deducción del ingreso que es sujeto de impuestos en un año dado, mientras que los propietarios de cualquier negocio que genere ganancias, están interesados en cargar el gasto de pensión apropiado, que les evite exagerar o minimizar sus ingresos.

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