› sites › fmtu.lumens5plus.com › ... sveučilište u rijecisveučilište u rijeci fakultet za...
TRANSCRIPT
Sveučilište u Rijeci
Fakultet za menadžment u turizmu i ugostiteljstvu
PREGLED FORMULA iz
STATISTIKE
Prof. dr. sc. SUZANA MARKOVIĆ
2
P R E G L E D F O R M U L A
GRAFIČKO PRIKAZIVANJE
Strukturni krug
x0 = 0360
cjelina
dio
x0
dio
cjelina
– isječak (sektor kruga)
– parcijalna frekvencija pojave
– ukupna frekvencija
Pr
r
P
π
– polumjer kruga
– ukupna frekvencija koja se prikazuje
grafički
– Ludolfov broj (3,14)
Strukturni polukrug
00 180cjelina
diox
x0
dio
cjelina
– isječak (sektor kruga)
– parcijalna frekvencija pojave
– ukupna frekvencija
Pr
2
r
P
π
– polumjer kruga
– ukupna frekvencija koja se prikazuje
grafički
– Ludolfov broj (3,14)
RELATIVNI BROJEVI
Postoci
100cjelina
dioP
P
dio
cjelina
- postotak, relativna frekvencija
- parcijalna frekvencija pojve
- ukupna frekvencija
Relativni brojevi koordinacije (RBK)
2
1
f
fRBK
1
2
f
fRBK
f1
f2
- frekvencija jedne statističke pojave (mase)
- frekvencija druge statističke pojave
(mase)
3
Indeksi
1002
1 f
fI
I
f1
f2
- indeks
- jedna frekvencija statističke pojave
- druga frekvencija iste statističke pojave
(baza usporedbe)
NUMERIČKI NIZ
Srednje vrijednosti
Aritmetička sredina
Negrupirani podaci
N
x
x
N
i
i 1
x
fi
N
xi
- aritmetička sredina
- frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
- ukupan broj jedinica u nizu
- vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n
Grupirani podaci
n
i
i
n
i
ii
f
fx
x
1
1
Harmonijska sredina
Negrupirani podaci
N
i ix
NH
1
1
H
fi
N
xi
- harmonijska sredina
- frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
- ukupan broj jedinica u nizu
- vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n
Grupirani podaci
n
i i
i
n
i
i
x
f
f
H
1
1
4
Geometrijska sredina
Negrupirani podaci
N
i
ixN
G1
log1
log
ili
NN21 x...xxG
G
fi
N
xi
log
- geometrijska sredina
- frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
- ukupan broj jedinica u nizu
- vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n
- Logaritam
Grupirani podaci
n
i
iin
i
i
xf
f
G1
1
log1
log
ili
N kfk
2f2
1f1 x...xxG
Mod
Grupirani podaci (razredi):
i
cbab
abLMo
1
Mo
L1
b
a
c
i
- mod
- donja granica modalnog razreda
- najveća frekvencija u nizu (najveća
korigirana frekvencija kod nejednakih
razreda)
- frekvencija iznad b
- frekvencija ispod b
- veličina modalnog razreda
i
ff i
c
fc
fi
i
- korigirana frekvencija
- frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
- veličina razreda čija se frekvencija
korigira
Medijan
Negrupirani podaci
2
1
Nr
2
1
Nr
112 rr
2
21 rr xxMe
r
r1, r2
N
Me
xr1, xr2
L1
∑ f1
fmed
i
- redni broj podatka, koji predočuje
medijan u uređenom nizu s neparnim
brojem članova (jedinica)
- redni brojevi podataka u uređenom nizu s
parnim brojem članova (jedinica)
- ukupan broj članova (jedinica) u nizu
- medijan
- podatak s rednim brojem r1 tj. r2
- donja granica medijalnog razreda
- zbroj frekvencija do medijalnog razreda
- frekvencija medijalnog razreda
- veličina medijalnog razreda
5
Grupirani podaci (razredi)
if
fN
LMemed
1
12
Mjere disperzije
Raspon varijacije
minmax xxR
R
xmax
xmin
- raspon varijacije
- najveća vrijednost numeričkog obilježja
- najmanja vrijednost numeričkog obilježja
Kvartili
Donji kvartil
Negrupirani podaci
4
1
Nr
112 rr
2
211
rr xxQ
r1, r2
N
Q1
xr1, xr2
L1
∑ f1
fQ1
i
- redni brojevi podataka u uređenom nizu
kojima se određuje donji kvartil
- ukupan broj članova (jedinica) u nizu
- donji kvartil
- podatak s rednim brojem r1 tj. r2
- donja granica kvartilnog razreda
- zbroj frekvencija do kvartilnog razreda
- frekvencija kvartilnog razreda
- veličina kvartilnog razreda
Grupirani podaci (razredi)
if
fN
LQQ
1
1
114
Gornji kvartil
Negrupirani podaci
4
31
Nr
112 rr
2
213
rr xxQ
r1, r2
N
Q3
xr1, xr2
L1
∑ f1
fQ3
i
- redni brojevi podataka u uređenom nizu
kojima se određuje gornji kvartil
- ukupan broj članova (jedinica) u nizu
- gornji kvartil
- podatak s rednim brojem r1 tj. r2
- donja granica kvartilnog razreda
- zbroj frekvencija do kvartilnog razreda
- frekvencija kvartilnog razreda
- veličina kvartilnog razreda
6
Grupirani podaci (razredi)
if
fN
LQQ
3
1
134
3
Interkvartil
13 QQIQ
IQ
Q1
Q3
- interkvartil
- donji kvartil
- gornji kvartil
Koeficijent kvartilne devijacije
13
13
QQVQ
VQ
Q1
Q3
- koeficijent kvartilne devijacije
- donji kvartil
- gornji kvartil
Standardna devijacija
2 σ
μ2
- standardna devijacija
- varijanca ili drugi moment oko sredine
Koeficijent varijacije
100x
V
V
σ
x
- koeficijent varijacije
- standardna devijacija
- aritmetička sredina
7
Momenti
Momenti oko nule
Negrupirani podaci
N
x
m
N
i
k
i
k
1 ,
N
x
m
N
i
i 1
1 , N
x
m
N
i
i 1
2
2 ,
N
x
m
N
i
i 1
3
3 , N
x
m
N
i
i 1
4
4
mk
xi
N
fi
- k-ti moment oko nule, k=0,1,...
- vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n
- ukupan broj jedinica u nizu
- frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
n
i
i
n
i
ii
f
xf
m
1
1
3
3 ,
n
i
i
n
i
ii
f
xf
m
1
1
4
4
Grupirani podaci
n
i
i
n
i
k
ii
k
f
xf
m
1
1 ,
n
i
i
n
i
ii
f
xf
m
1
11 ,
n
i
i
n
i
k
ii
f
xf
m
1
1
2
2 ,
Momenti oko sredine
Negrupirani podaci
N
xx
kN
i
i
k
1 ,
N
xxN
i
i
2
1
2
,
N
xxN
i
i
3
1
3
,
N
xxN
i
i
4
1
4
μk
mk
xi
N
x
fi
- k-ti moment oko sredine, k=0,1,...
- k-ti moment oko nule, k=0,1,...
- vrijednost numeričkog obilježja, i=1,...,n
- ukupan broj jedinica u nizu
- aritmetička sredina
- frekvencija numeričkog niza, i=1,...,n
8
Grupirani podaci
n
i
i
kn
i
ii
k
f
xxf
1
1 ,
n
i
i
n
i
ii
f
xxf
1
2
1
2 ,
n
i
i
n
i
ii
f
xxf
1
3
1
3 ,
n
i
i
n
i
ii
f
xxf
1
4
14
10 , 01
Pomoću momenata oko nule 2
122 mm 3
12133 23 mmmm 4
12
2
13144 364 mmmmmm
9
Mjere asimetrije i mjere zaobljenosti
Koeficijent asimetrije
3
33
α3
μ3
σ
- koeficijent asimetrije
- treći moment oko sredine
- standardna devijacija
Pearsonove mjere asimetrije
MoxSk
1
)(32
MexSk
Sk
x
Mo
Me
σ
- Pearsonova mjera asimetrije
- aritmetička sredina
- mod
- medijan
- standardna devijacija
Bowleyjeva mjera asimetrije
13
31 2
MeQQSkQ
SkQ
Q1
Q3
Me
- Bowleyjeva mjera asimetrije
- donji kvartil
- gornji kvartil
- medijan
Koeficijent zaobljenosti
4
44
α4
μ4
σ
- koeficijent zaobljenosti
- četvrti moment oko sredine
- standardna devijacija
10
KOMBINATORIKA
Permutacije
Bez ponavljanja
!nP
P
P
- permutacije bez ponavljanja
- permutacije s ponavljanjem
S ponavljanjem
!!...!
!
21 krrr
nP
n
r - broj elemenata
- razred
Varijacije
Bez ponavljanja
)!(
!
rn
nV
V
V
n
r
- varijacije bez ponavljanja
- varijacije s ponavljanjem
- broj elemenata
- razred S ponavljanjem
rnV
Kombinacije
Bez ponavljanja
)!(!
!
rnr
n
r
nK
K
K n
r
- kombinacije bez ponavljanja
- kombinacije s ponavljanjem
- broj elemenata
- razred S ponavljanjem
r
rnK
1
11
VJEROJATNOST
Matematička vjerojatnost ili vjerojatnost a priori
n
mAP )(
P(A)
m
n
- vjerojatnost događaja A
- broj povoljnih mogućnosti
- broj svih mogućnosti
Statistička vjerojatnost ili vjerojatnost a posteriori
n
AfAP
)()(
P(A)
f(A)
n
- vjerojatnost događaja A
- frekvencija događaja A
- broj izvršenih pokusa
Suprotna vjerojatnost
)(1)( APAQ
Q(A)
- suprotna vjerojatnost
1)()( AQAP
P(A) - vjerojatnost događaja A
Zbrajanje vjerojatnosti – vjerojatnost „ili-ili“ u ekskluzivnom smislu
)()()( BPAPBAP
P(A)
P(B)
- vjerojatnost događaja A
- vjerojatnost događaja B
Množenje vjerojatnosti – vjerojatnost „i-i“
)()()( BPAPBAP
P(A)
P(B)
- vjerojatnost događaja A
- vjerojatnost događaja B
Vjerojatnost barem jedan – vjerojatnost „ili“ u inkluzivnom smislu
)()(1 BQAQP
)()()()()( BPAPBPAPBAP
P(A)
P(B)
Q(A)
Q(B)
- vjerojatnost događaja A
- vjerojatnost događaja B
- suprotna vjerojatnost događaja A
- suprotna vjerojatnost događaja B
12
Vjerojatnost samo jedan
)()()()( BPAQBQAPP
P(A)
P(B)
Q(A)
Q(B)
- vjerojatnost događaja A
- vjerojatnost događaja B
- suprotna vjerojatnost događaja A
- suprotna vjerojatnost događaja B
Vjerojatnost događaja koji se ponavljaju
npP 1 npQ )1(
npP )1(12
P1
Q
P2
p
n
- vjerojatnost da događaj nastupi n-puta
- vjerojatnost da događaj n-puta ne nastupi
- vjerojatnost da događaj u n pokusa nastupi
barem jedanput
- vjerojatnost da će se dogoditi neki događaj
- broj ponavljanja (pokusa)
Uvjetna vjerojatnost
)(
)()/(
BP
BAPBAP
)(
)()/(
AP
BAPABP
P(A/B)
P(B/A)
P(A)
P(B)
- vjerojatnost događaja A uz uvjet događaja
B
- vjerojatnost događaja B uz uvjet događaja
A
- vjerojatnost događaja A
- vjerojatnost događaja B
Totalna vjerojatnost
)/()(...)/()()/()()( 2211 ii BAPBPBAPBPBAPBPAP
P(A)
P(Bi)
- vjerojatnost događaja
A
- vjerojatnost događaja
Bi, i=1, 2,..
Bayesova formula
)/()(
)/()()/(
ii
iii
BAPBP
BAPBPABP
P(A)
P(Bi)
- vjerojatnost događaja A
- vjerojatnost događaja Bi, i=1, 2,..
13
TEORIJSKE DISTRIBUCIJE
Binomna distribucija
pnXxE )(
qpnxV )(
pn
qV
100
qpnσ
qpn
pq
3
qpn
qp
6134
ppnMoqpn
xnx qpx
n)x(P
E(x)
x
n
p
q
V(x)
V
σ
α3
α4
Mo
P(x)
- matematičko očekivanje
- broj nastupanja događaja A u n pokusa
- broj elemenata u uzorku ili broj pokusa
- vjerojatnost ostvarenja događaja A
- vjerojatnost nenastupanja događaja A
- varijanca
- koeficijent varijacije
- standardna devijacija
- koeficijent asimetrije
- koeficijent zaobljenosti
- mod
- vjerojatnost da slučajna varijabla ima
vrijednost x
Poissonova distribucija
XxE )(
)(xV
100V
13
134
Mo1
ex
xPx
!)(
eP )0(
E(x)
λ
V(x)
V
σ
α3
α4
Mo
P(x)
e
- matematičko očekivanje
- lamda
- varijanca
- koeficijent varijacije
- standardna devijacija
- koeficijent asimetrije
- koeficijent zaobljenosti
- mod
- vjerojatnost da slučajna varijabla ima
vrijednost x
- baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...
14
Normalna ili Gaussova distribucija
2
2
2
)(
2
1)(
xx
exf
2
2
2
1)(
z
ezf
;
xxz
03
34
f(x)
x
x
σ
e
π
α3
α4
- funkcija vjerojatnosti tj. gustoća razdiobe
- tekuća vrijednost slučajne varijable
- aritmetička sredina osnovnog skupa
- standardna devijacija
- baza prirodnog logaritma, e= 2,7182...
- Ludolfov broj (3,14)
- koeficijent asimetrije
- koeficijent zaobljenosti
METODA UZORAKA
Frakcija izbora
N
nf
f
n
N
- frakcija izbora
- uzorak
- populacija, osnovni skup
Metode procjene
Procjena aritmetičke sredine osnovnog skupa
Interval:
xx
stxXstx
X
x
t
xs
- aritmetička sredina osnovnog skupa
- aritmetička sredina uzorka
- koeficijent pouzdanosti
- standardna greška procjene aritmetičke
sredine
f<0,05
n>30 n
ss
x
n<30 1
n
ss
x
f>0,05
n>30 1
N
nN
n
ss
x
n<30 11
N
nN
n
ss
x
n>50 s
n<50 1
n
ns
s
σ
- procijenjena standardna devijacija
osnovnog skupa
- standardna devijacija
15
Procjena totala osnovnog skupa
Interval:
''''
xxstxXstx
∑X
∑x'
t
'xs
- total osnovnog skupa
- procijenjeni total
- koeficijent pouzdanosti
- standardna greška procjene totala
xNx'
xxsNs
'
xs
- standardna greška procjene aritmetičke
sredine
Procjena proporcije osnovnog skupa
Interval:
pp stpPstp
P
p
t
ps
- proporcija osnovnog skupa
- proporcija uzorka
- koeficijent pouzdanosti
- standardna greška procjene proporcije
f<0,05
1
n
qps p
f>0,05
11
N
nN
n
qps p
pq 1
16
Testiranje hipoteze (z-test)
Testiranje hipoteze o nepoznatoj sredini osnovnog skupa
00 : XXH
01 : XXH
H0
H1
X
0X
- nul-hipoteza
- alternativna hipoteza
- aritmetička sredina osnovnog skupa
- pretpostavljena aritmetička sredina
osnovnog skupa
xs
xXz
0
z
x
xs
- z-vrijednost
- aritmetička sredina uzorka
- standardna greška procjene aritmetičke
sredine osnovnog skupa
Testiranje hipoteze o nepoznatoj proporciji osnovnog skupa
00 : PPH
01 : PPH
H0
H1
P
P0
- nul-hipoteza
- alternativna hipoteza
- proporcija osnovnog skupa
- pretpostavljena proporcija osnovnog
skupa
ps
pPz
0
z
p
ps
- z-vrijednost
- proporcija uzorka
- standardna greška procjene proporcije
onovnog skupa
Testiranje hipoteze o jednakosti aritmetičkih sredina dvaju osnovnih skupova
210 : XXH
211 : XXH
H0
H1
1X
2X
- nul-hipoteza
- alternativna hipoteza
- aritmetička sredina prvog osnovnog skupa
- aritmetička sredina drugog osnovnog
skupa
21
21
xxs
xxz
z
1x
2x
21 xxs
- z-vrijednost
- aritmetička sredina uzorka iz prvog
osnovnog skupa
- aritmetička sredina uzorka iz drugog
osnovnog skupa
- standardna greška razlike aritmetičkih
sredina
17
n>30
2
2
2
1
2
1
21 n
s
n
ss
xx
n<30
21
21
11
nnss
xx
221
2
22
2
11
nn
snsns
Testiranje hipoteza o jednakosti proporcija dvaju osnovnih skupova
210 : PPH
211 : PPH
H0
H1
1P
2P
- nul-hipoteza
- alternativna hipoteza
- proporcija prvog osnovnog skupa
- proporcija drugog osnovnog skupa
21
21
pps
ppz
z
1p
2p
21 pps
- z-vrijednost
- proporcija uzorka iz prvog osnovnog
skupa
- proporcija uzorka iz drugog osnovnog
skupa
- standardna greška razlike proporcija
21
1121 nn
QPs pp
21
21
nn
mmP
PQ 1
P
Q
m1
m2
- prosječna proporcija
- prosječna suprotna proporcija
- broj jedinica iz prvog uzorka s nekim
odabranim svojstvom
- broj jedinica iz drugog uzorka s nekim
odabranim svojstvom
18
HI – KVADRAT TEST
)()(: 00 xFxFH
)()(: 01 xFxFH
H0
H1
F(x)
F0(x)
- nul-hipoteza
- alternativna hipoteza
- zadana empirijska razdioba
- pretpostavljena teorijska razdioba
n
i i
ii
f
ff
1'
2'
2 )(
2
fi
fi'
- hi-kvadrat test
- empirijske frekvencije, i=1,...,n
- teorijske frekvencije, i=1,...,n
)(' xPNf i
)(' zYiN
f i
N
P(x)
i
σ
Y(z)
- ukupan broj jedinica
- vjerojatnost odabrane teorijske distribucije
- veličina razreda (interval između dviju
vrijednosti numeričkog obilježja
- standardna devijacija
- ordinate gustoće jedinične normalne
distribucije
1 nk - uniformna distribucija
2 nk - binomna i Poissonova
3 nk - normalna distribucija
k
n
- stupnjevi slobode
- broj teorijskih frekvencija
19
KORELACIJSKA I REGRESIJSKA ANALIZA
Linearna korelacija
Jednadžbe pravaca regresije
Jednadžba prvog pravca regresije
xbaYc
XXX
YXXYb
2
XbYa
Yc
a, b
Xi
Yi
- vrijednost prvog pravca regresije
- parametri prvog pravca regresije
- frekvencije jedne pojave, i=1,...,n
- frekvencije druge pojave, i=1,...,n
N
XX
i ,
N
YY
i
X
Y
N
- aritmetička sredina (prosječna vrijednost)
prve pojave
- aritmetička sredina (prosječna vrijednost)
druge pojave
- broj frekvencija u pojavi X ili Y
Jednadžba drugog pravca regresije
ybaXc ''
YYY
XYXYb
2
'
YbXa ''
Xc
a', b
'
- vrijednost drugog pravca regresije
- parametri drugog pravca regresije
Pearsonov koeficijent korelacije
22 )()(
)()(
YYXX
YYXXr
ii
ii r
Xi
Yi
- koeficijent korelacije
- frekvencije jedne pojave, i=1,...,n
- frekvencije druge pojave, i=1,...,n
'bbr
b
b'
- parametar u prvoom pravcu regresije
- parametar u drugom pravcu regresije
20
Analiza varijance
Jednadžba analize varijance
N
YY
N
YY
N
YY cici
222 )()()(
222
npp
N
YYi
2
2)(
N
YYXYbYap
2
N
XYbYaYnp
2
2
σ2
σp2
σnp2
- ukupna varijanca
- protumačena varijanca
- neprotumačena varijanca
Korelacija ranga
Spearmanov koeficijent korelacije ranga
nn
d
r
n
i
i
s
3
1
26
1
rs
di
n
- koeficijent korelacije ranga
- razlika rangova
- broj frekvencija u pojavi X ili Y
yxi rrd
rx
ry
- rang od pojve X
- rang od pojave Y
21
VREMENSKI NIZ
Individualni indeksi
Verižni indeksi
1001
t
tt
Y
YV
Vt
Yt
Yt-1
- verižni indeks
- vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem
razdoblju, t=2,3,...,n
- vrijednost pojave (frekvencija) u
prethodnom razdoblju
Bazni indeksi
100b
tt
Y
YI
It
Yt
Yb
- bazni indeks
- vrijednost pojave (frekvencija) u tekućem
razdoblju, t=1,2,...,n
- vrijednost pojave (frekvencija) u baznom
razdoblju
Linearni trend
Ishodište na početku razdoblja
xbaYc
XXX
YXXYb
2
XbYa
Yc
a,b
- vrijednost trenda
- parametri trenda
N
XX
i ,
N
YY
i
N
- broj vremenskih jedinica
Ishodište u sredini razdoblja
xbaYc
2X
XYb
N
Ya
Yc
a,b
- vrijednost trenda
- parametri trenda
22