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A ABORDAGEM COM MANDALAS NA FORMAÇÃO DO
PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Thaís Regina Ueno Yamada UNESP, Departamento de Artes e Representação Gráfica
Resumo
Este trabalho relata uma experiência didática com estudantes de Licenciatura em Matemática na disciplina de Desenho Geométrico. Podemos perceber nestes estudantes, que pouco ou nada tiveram de geometria no ensino fundamental e médio, dificuldades de percepção visual e consequente representação gráfica de figuras geométricas. Com o objetivo de tornar a experiência com o desenho geométrico mais prático e concreto, foi proposta uma atividade de geração de mandalas, utilizando como princípio construtivo os pontos obtidos a partir da divisão da circunferência em partes iguais. Focou-se então na exploração de estruturas geométricas inscritas na circunferência e na geração de modelos de mandala, com diversos tipos de acabamento e de materiais. Em seguida foi aplicado um questionário com os estudantes para avaliar a atividade. Os resultados mostram que essa abordagem enriquece o aprendizado da geometria porque torna clara sua relação com objetos do cotidiano, desenvolve a percepção espacial, a criatividade, a capacidade de abstração e imaginação, além de inserir valores estéticos. Palavras-chave: mandala, desenho geométrico, ensino, divisão de
circunferência.
Abstract / resumen
This article reports a didactic experience with Graduate students in Mathematics during the discipline of Geometric Drawing. We can see that these students have difficulties in visual perception and graphical representation because they had a few contact with geometry during elementary and high school days. In order to turn the experience with geometric drawing more practical and concrete, it was proposed an activity of drawing mandalas using constructive points obtained from the equal division of a circumference. The main point was the exploration of geometrical structures inside the circumference and creation of mandala’s
models with various types of materials. Then a survey was applied with the students in order to evaluate the activity. The results show that this approach enhances geometry learning because it approaches the relationship between mathematics with everyday objects. It also develops spatial perception, creativity, abstraction and imagination capacity, as well as it inserts aesthetic values. Keywords: mandala, geometrical drawing, education, circumference
division.
1 Introdução
O ensino de desenho geométrico nos cursos de Licenciatura em Matemática ocorre
geralmente entre o primeiro e o segundo ano e contempla o estudo e desenho das
formas geométricas planas. Como docente dessa disciplina pude observar entre os
estudantes, pouco ou nenhum conhecimento geométrico adquirido durante o ensino
fundamental e médio, assim como pouca familiaridade com instrumentos de expressão
gráfica (compasso, jogo de esquadros), apresentando também limitada percepção
visual e traumas relacionados ao desenho. Esse cenário reflete o processo que
acarretou no adiamento ou até mesmo na exclusão do ensino da geometria pelas
escolas, evidenciando como essa disciplina passou a não ser considerada prioritária
(PAVANELLO, 1993).
Segundo Lorenzato (1995) e Fainguelernt (1999), existem várias causas para a
ausência da Geometria em sala de aula, entre elas a importância excessiva ao
material didático, que determina como os conteúdos devem ser tratados em sala de
aula, assim como a ultrapassada forma de ensinar conceitos geométricos. Porém, uma
das causas principais é que no processo de formação, a maioria dos professores de
Matemática não tem acesso ao conhecimento de Geometria e nem como trabalhá-la
na sua prática pedagógica. Dessa forma, como alguém pode ensinar aquilo que não
conhece?
E por que é importante ensinar Geometria?
Sherard (1993) enumera as contribuições dessa disciplina: na resolução de
problemas da vida real; na conexão com álgebra, aritmética e estatística; no
desenvolvimento da percepção espacial, da criatividade, da abstração e da
imaginação; e como meio de ensino de valores estéticos.
No entanto, para que a aprendizagem da geometria ocorra efetivamente, um dos
maiores desafios dos docentes dessa disciplina é elaborar metodologias e utilizar
abordagens diferentes das convencionais, a fim de estimular o estudo e a
compreensão da representação gráfica. Deve-se levar em consideração como o
conteúdo é percebido pelo aluno, utilizando o conhecimento matemático em outros
contextos, construindo relações e tornando o aprendizado mais excitante à medida
que é observado no cotidiano. Além disso, Kopke (2001) comenta que a visualização
espacial é uma habilidade mental que precisa da estimulação do lado direito do
cérebro e que, por isso, a aprendizagem da geometria pode ser feita de forma lúdica,
sendo mais rapidamente apreendida e assimilada.
Segundo Elam (2010), poucos educadores buscam inserir disciplinas como arte na
matemática, e os conteúdos acabam sendo tratados isoladamente, quando deveriam
ser conectados. Neves (1998) também defende a interdisciplinaridade entre Arte,
Ciência e Humanidades para que haja sucesso no processo educativo.
Paralelamente na educação matemática, segundo Micotti (1999), tem-se buscado
que o estudante seja capaz de aplicar o aprendizado em contextos diferentes dos que
foram adquiridos, indo além da solução mecânica de exercícios, tornando-o apto a ter
domínio de conceitos, flexibilidade de raciocínio, capacidade de análise e abstração.
Por isso, é necessário que sejam desenvolvidas competências e habilidades na
formação dos professores de Matemática “que favoreçam a criatividade, a autonomia
e a flexibilidade do pensamento matemático dos educandos, buscando trabalhar com
mais ênfase nos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e algoritmos” (BRASIL, 2001,
p. 4), pois eles precisam vivenciar outros contextos de ensino e aprendizagem para
atuar com segurança no ensino médio e fundamental.
Dentre os conteúdos inseridos nas disciplinas de desenho geométrico,
percebemos que a divisão de circunferência em partes iguais e o desenho de
polígonos estrelados e rosáceas vêm sendo comumente trabalhados através da
reprodução mecânica dos processos de divisão e da explanação dos modelos básicos.
Essa abordagem pode ser contextualizada através de uma das formas mais antigas de
aplicação de seu conceito: na elaboração de mandalas.
A mandala vem de uma palavra em sânscrito que significa “círculo, centro,
circunferência” e apresenta figuras inscritas criadas com base em uma estrutura
geométrica, constituída por retas e arcos que partem de pontos correspondentes à
divisão igualitária da circunferência, podendo apresentar características fortemente
simétricas. Consequentemente, apresenta um grande potencial na exploração de
conceitos de divisão geométrica de círculos, na criação de estruturas tomando como
base essas divisões e na fixação desses conteúdos. A criação de mandala pode se
constituir também como uma atividade lúdica, principalmente porque o lado místico e
misterioso das mandalas contribui para uma motivação mais espontânea por parte dos
estudantes.
Essa nova abordagem foi apresentada e discutida por Nascimento, Benutti e
Neves (2007) e aplicada por Sousa (2012) como uma alternativa eficiente para o
desenvolvimento da percepção e da criatividade, como um facilitador da apreensão de
conteúdos da disciplina.
No entanto, faltam estudos sobre essa abordagem na formação de professores de
matemática, que serão os responsáveis pela apresentação, discussão e
desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem de conteúdos relacionados ao
desenho geométrico no ensino fundamental e médio. Nesse sentido, buscou-se
através dessa experiência: apurar a receptividade dos estudantes envolvidos na
atividade com as mandalas; detectar se foram empregados critérios geométricos
objetivos no seu processo de construção; detectar se os estudantes qualificam a
atividade como útil para uma futura abordagem no contexto profissional como
educador.
Para essa experiência, a pesquisadora utilizou uma abordagem em que fosse
possível obter dados qualitativos da experiência, a fim de observar os significados
vivenciados pelos estudantes, dando especial atenção ao que eles têm a “fazer” e a
“dizer”.
2 A geometria das mandalas
A palavra “mandala” significa “círculo” em sânscrito, e em muitas religiões orientais,
tais como no budismo e no hinduísmo, acredita-se que seja um instrumento de
contemplação, ajudando na concentração, isolamento e orientação. A sua forma
básica essencial é a circunferência, e os elementos que estão compostos em seu
interior podem ser figuras orgânicas ou geométricas.
A forma da circunferência tem vários significados, como infinitude, calidez e
proteção, determinados por associação, por vinculação arbitrária ou por percepção
psicológica e fisiológica e sua forma direcional curva está associada à abrangência e à
repetição (DONDIS, 1991). A circunferência em si representa a totalidade, o infinito, e
a mandala capta em sua essência visual as mesmas características.
As mandalas estão presentes na arte rupestre, no símbolo chinês do Yin e Yang
(equilíbrio), nas rosáceas presentes na arquitetura oriental e ocidental, nas danças
circulares e na arte sacra. Segundo Jung (2000), o tema básico que rege a construção
de uma mandala é a volta ao centro da pessoa, buscando o interior da alma com a
qual tudo está relacionado e ordenado. Peychaux (2003) afirma, que, como o ser
humano nasce e vive em padrões de movimentos curvos (planetas, constelações,
átomos, estações do ano, ciclo diário), os círculos que constituem as mandalas
desejam canalizar a experiência do sagrado, estabelecendo um círculo divino.
Em função disso, em algumas religiões, o desenho da mandala é repleto de
misticismo e carregado de simbolismos. Os monges tibetanos preservam até hoje a
cerimônia do desenho da mandala como um ato poderoso de meditação e de cura,
pois acreditam que ela emana energia positiva ao ambiente e às pessoas que a
apreciam. As linhas estruturais da mandala desenhada com giz pelos monges limitam
os locais que devem ser preenchidos com milhares de grãos de areia de diversas
cores, enquanto se medita para a cura da humanidade através da sabedoria e da
compaixão. Após alguns dias, quando a mandala está concluída, ela é desmanchada
a fim de mostrar o desapego às coisas, e a areia é levada para um rio para a difusão
das bênçãos pelo mundo (figura 01).
Figura 01: Mandala tibetana. (Fotos: John Tsantes. Disponível em:
<http://www.asia.si.edu/exhibitions/online/mandala/pictures/default.htm>)
Atualmente a mandala pode ser produzida como um artesanato elaborado
individualmente (utilizando pedras, materiais rústicos, pintura em vidro e tecido etc) ou
como um produto industrial produzido através de modernos processos de fabricação e
com diferentes tipos de materiais.
O processo de construção de uma mandala pode proporcionar uma rica
experiência aos alunos na disciplina de desenho geométrico, à medida que se inserem
vários conceitos de geometria plana. O traçado inicial preciso de uma mandala requer
a aplicação dos princípios da divisão em partes iguais de uma circunferência, seja com
uso do transferidor, através do compasso e dos esquadros ou da computação gráfica.
Através da determinação desses pontos de divisão chega-se ao desenho de polígonos
regulares inscritos ou circunscritos, assim como de polígonos estrelados.
Segundo Giongo (1984, p.47), “o polígono estrelado é formado por uma linha
poligonal contínua e se obtém quando, partindo-se de um ponto de divisão qualquer,
volta-se ao mesmo ponto de partida após as uniões ‘p’ a ‘p’, isto é, pulando ‘p’
divisões.” Para que o polígono estrelado seja desenhado, deve-se remeter a outro
conceito matemático - o número primo -, como vemos na explicação de Yamada
(2007, p.128):
Para sabermos quando é possível obter polígonos estrelados de n pontas sem construí-lo, podemos aplicar a seguinte regra: a união de pontos p a p na divisão de circunferência em n partes congruentes será um polígono estrelado quando:
p ≠ 1
p < n/2
mdc (p,n) = 1 (p e n são números primos entre si). (YAMADA, 2007, p. 128)
Quando “n” e “p” não são números primos entre si, a linha poligonal não passa
por todos os pontos de divisão antes de chegar ao ponto de partida. Quando isso
ocorre, chega-se a uma falsa estrela, que “é obtida pela sobreposição de dois ou mais
polígonos” (YAMADA, 2007, p. 131).
Com a mesma divisão de circunferência e desenhando-se com linhas curvas,
podem ser obtidas as rosáceas, além de inserir outros conceitos geométricos como
simetrias de rotação, reflexão, concordâncias e outras relações internas à estrutura
que são observadas no processo de desenvolvimento de uma mandala.
Dessa forma, o desenho da mandala pode ser gerado através de processo de
experimentação que o próprio estudante faz, construindo relações geométricas a partir
da própria estrutura criada. Durante esse processo, ele também é capaz de distinguir
figuras presentes, organizar visualmente a sobreposição de linhas e formas, em busca
de resultados visuais interessantes, melhorando a percepção visual.
3 Desenvolvimento do trabalho
Este estudo se trata de um relato de experiência que teve enfoque qualitativo no qual
a fonte dos dados foi o ambiente natural da sala de aula e interessou-se
principalmente no processo no qual os estudantes construíram significados. Os dados
obtidos foram puramente descritivos, recolhidos pela pesquisadora através de um
questionário. Em seguida, descreveremos como se deu a experiência com a inserção
das mandalas na aprendizagem de desenho geométrico, assim como a descrição dos
resultados dessa atividade.
3.1 Estudo
O estudo foi aplicado durante a disciplina de Desenho Geométrico, oferecida no
segundo ano do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Estadual
Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – UNESP, com uma turma composta por 34 alunos,
dividida igualmente entre os sexos feminino e masculino. Primeiramente, foram
trabalhados os conteúdos básicos de morfologia geométrica e construções
fundamentais, principais lugares geométricos e desenho de polígonos regulares. Os
casos de tangência e concordância também foram trabalhados, assim como o
desenho das cônicas e os conceitos envolvidos na sua construção.
Para a obtenção da divisão da circunferência em partes iguais, os estudantes
identificaram a possibilidade de fazê-lo através da divisão do ângulo de 360º pelo
número de partes e marcar com o auxílio do transferidor. Em seguida também foi
apresentado o processo de divisão com o auxílio dos esquadros e do compasso, com
os métodos de divisão em cinco, sete e nove partes iguais, assim como pelo processo
geral.
Posteriormente, tomando como base as divisões obtidas, foram mostrados os
conceitos e as construções dos polígonos estrelados, dos falsos-estrelados e das
rosáceas. Os estudantes então se surpreenderam com a beleza das figuras obtidas e
fizeram várias experimentações, motivados pelos resultados que poderiam tomar
forma.
3.2 Mandala
Após estas construções básicas e experimentações, as mandalas foram introduzidas
como forma de aplicação dos conceitos geométricos que eles haviam acabado de
aprender. Foram apresentados vários exemplos de mandalas e identificados os
elementos que estavam presentes e explicados os significados implícitos no uso das
cores e das formas na mandala, as suas relações místicas e apresentados exemplos
de aplicações em objetos do cotidiano, como pingentes, adesivos, luminárias, entre
outros.
Em seguida, foi proposto o desenvolvimento de duas mandalas diferentes. Para
isso, os estudantes realizaram vários estudos tendo como base a divisão de
circunferência e explorando polígonos estrelados, rosáceas, simetrias, concordâncias
e outros conceitos geométricos que foram apresentados anteriormente à atividade
(figura 02). Nesta fase, o importante era a exploração de formas e de combinações
originais, indo além das figuras obtidas na primeira etapa da aula.
Figura 02: Estudos realizados por Mariana B. Fournier e Vagner A. de Lima.
Em seguida, o estudante deveria escolher com base em critérios geométricos e
estéticos os dois melhores resultados de sua exploração, desenhar com instrumentos
e dar o acabamento que considerasse mais conveniente às suas mandalas. Alguns
trabalharam as mandalas com lápis de cor, explorando o contraste de cores e
sombreados (figura 03).
Figura 03: Móbile/Pingente de mandalas de Larissa de M. Tavera.
Outros procuraram explorar materiais e técnicas diferentes, para inserir efeitos
de brilho à medida que a mandala se movimentava no ar (figuras 04, 05 e 06).
Figura 04: Mandalas com lantejoulas de Mariana B. Fournier
Figura 05 e 06: Mandala com gliter e miçangas de Jéssica de C. Ovile e com mosaico de
papeis de Vagner A. de Lima.
3.3 Aplicação do questionário
Após a construção das mandalas, foi aplicado um questionário de avaliação com
quatro questões abertas. A primeira questão, a qual pedia para que o estudante
descrevesse a construção das mandalas escolhidas, visava conhecer o processo que
o levou a chegar ao resultado final, a fim de detectar se ele foi construído através de
critérios objetivos. A segunda questão indagava sobre os conhecimentos adquiridos
e/ou trabalhados na construção geométrica da mandala e juntamente com a terceira
questão (a opinião do estudante sobre a atividade), poderia apurar a receptividade e
utilidade da proposta no contexto da disciplina. E por último, a quarta pergunta (“Você
utilizaria esta abordagem com seus alunos do ensino fundamental/médio? Por quê?”)
buscava detectar se o estudante percebeu se a atividade proposta poderia ser útil ou
não para sua vida profissional como educador. Algumas respostas são descritas a
seguir.
4 Descrição dos resultados
4.1. Opiniões dos estudantes – Pergunta 1
Em relação à primeira pergunta, foi possível observar que o processo exigiu um
exercício de experimentações e de percepção visual. Um dos estudantes respondeu
que havia escolhido de antemão trabalhar com duas circunferências divididas em doze
partes iguais, intercalando três quadrados em uma delas e na outra com dois
hexágonos, para ver qual seria o resultado final. Ele ainda experimentou inserir um
polígono estrelado de doze pontas e outras circunferências inscritas umas às outras,
trabalhando com outro conceito: o de tangências.
Outro aluno descreveu que após efetuar a técnica de divisão da circunferência
com compasso em cinco partes iguais, resolveu encontrar os pontos médios entre
cada um dos pontos obtidos, obtendo mais cinco referências. Experimentou também
desenhar uma nova circunferência inscrita, apagando algumas linhas e duplicando
outras para dar uma “impressão de continuidade” e para que a “sobreposição ficasse
mantida”.
As mandalas tibetanas e seu caráter efêmero inspiraram um aluno, que
“impressionado com toda a simbologia e misticidade”, resolveu “trabalhar com uma
mandala de maneira positiva”, fazendo um bolo e desenhando uma mandala na sua
cobertura. Dessa maneira, através da sua partilha em sala de aula entre seus colegas,
estaria, assim como os monges, distribuindo toda a energia positiva e dedicação.
4.2. Opiniões dos estudantes – Perguntas 2 e 3
Em relação a essas duas perguntas, muitos relataram as contribuições dessa
atividade para um aprimoramento no pensamento geométrico e na melhoria da
capacidade de visualização e percepção da geometria presente em diferentes lugares,
como nas comunicações das empresas e nos produtos do cotidiano.
“Permitiu um maior conhecimento geométrico, um despertar da criatividade e
um novo método de aprendizagem”.
“Agora começo a reparar em pequenos detalhes – desenhos, imagens, quadros-
tendo outra visão, uma visão mais geométrica”.
“Esse trabalho com mandalas me fez prestar mais atenção em logotipos,
símbolos e tentar entendê-los, ver a geometria por trás”.
“Com ela foi possível ampliar a visão geométrica e aprender a formar figuras que
possuem beleza e harmonia”.
“A construção da mandala também foi importante para ver como a matemática,
mais especificamente a geometria, pode ser usada na arte, formando figuras bonitas,
interessantes e até místicas.”
Outros relataram a dificuldade em realizar essa atividade ao mesmo tempo em
ficaram satisfeitos pelos resultados alcançados.
“No início achei que seria muito difícil... e foi! Porém depois, fiquei surpresa
comigo mesma! Foi uma experiência diferente e bacana.”
“Foi despertado um ar criativo que nunca tive antes, além das formas que nunca
soube como fazer”.
Um aluno se mostrou especialmente empolgado, pois percebeu que era possível
superar a dificuldade com a matemática através de abordagens como essa.
4.3. Opiniões dos estudantes – Pergunta 4
As respostas à última pergunta demonstram que a atividade alcançou seu objetivo de
trabalhar conceitos geométricos de uma forma mais lúdica, interdisciplinar, através da
inserção da arte das mandalas com a matemática presente em sua construção. Além
disso, os estudantes ficaram muito empolgados em levar essa experiência para a sala
de aula.
“Acredito que seja uma forma lúdica e dinâmica de tratar assuntos geométricos”.
“Sairia daquela monotonia do cotidiano, pois seria uma forma didática em
minhas mãos para mostrar os conceitos e definições matemáticas”.
“Com a construção da mandala, os alunos podem criar um maior interesse pela
matemática, principalmente a geometria e conhecer como vários artistas, povos
antigos, religiosos, místicos e outros utilizam essas figuras”.
“É um trabalho interdisciplinar que pode gerar resultados muito bons.”
Alguns relataram obstáculos para desenvolver a atividade em sala de aula como
a falta da disciplina no currículo escolar, de tempo e de material. Porém, todas essas
dificuldades podem ser superadas, segundo a opinião de um aluno, que afirmou que
essa abordagem incentiva a busca por mais conhecimento, por novas estratégias,
auxiliando na mudança de paradigmas em relação à matemática e a seus conteúdos.
Enfim, aprender efetivamente.
5 Considerações finais
Através das opiniões expressadas pelos participantes dessa experiência didática,
podemos considerar que esse estudo é muito importante para a formação e fixação de
conceitos geométricos através da interdisciplinaridade entre Arte e Ciência. A
elaboração da mandala é um aspecto motivacional para o estudo e exploração de
conceitos geométricos, e desenvolve as habilidades gráficas e a percepção visual dos
estudantes.
Além disso, o aspecto lúdico e dinâmico de aplicação da geometria nas mandalas
faz com que o trabalho seja aceito e tomado como um desafio para a busca de novos
resultados visuais, promovendo o desenvolvimento da capacidade de superação, de
abstração e de senso estético.
Quanto aos estudantes, percebe-se que a atividade foi apreciada e que poderá ser
aplicada por eles em sua atuação como futuro professor de matemática. Os
depoimentos destacam a importância do trabalho para a aprendizagem, pois
houveram ganhos significativos na percepção da relação entre geometria e arte, maior
motivação e engajamento, busca de novas técnicas e materiais, capacidade de
concentração e inovação. Essa atividade pode promover maior interesse pelo estudo
da geometria e, inserido no curso de Licenciatura em Matemática, pode ganhar muitos
adeptos dessa prática em curto prazo.
Agradecimentos
Aos estudantes de Licenciatura em Matemática da UNESP, que participaram dessa
pesquisa, elaborando com dedicação e criatividade as mandalas e respondendo ao
questionário com muita sinceridade e profissionalismo.
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