9.1 Uzayda Serbestlik Derecesi 259

9.2 Rijit Cismin Uzayda Dengesi 260

9.3 Bir Uzay Kuvvetin Bileşenleri 261

9.4 Bir Noktada Kesişen Uzay Kuvvetlerde Bileşke 265

9.5 Bir Eksene Göre Statik Moment 265

9.6 Kuvvetler Sistemini Bir Noktaya İndirgeme 267

Örnekler 268

9.7 İndirgemenin Değişmezleri (İnvaryantları) 270

9.8 Merkezsel Eksen ve Kuvvet Vidası 271

Örnekler 272

9.9 Uzayda Bağlar 274

Örnekler 278

9.10 Uzay Kafes Sistemler 284

9.11 Kendi İçinde ve Tek Başına Rijit Kafes Sistemler 285

9.12 Mesnetleri ile Tam Bağlı Kafes Sistemler 289

9.13 Çubuk Kuvvetleri İçin Özel Durumlar 291 Örnek 292 PROBLEMLER 292

İtalyan matematikçi, astronomi ve fizikle uğraşmış, deneysel mekaniğin kurucusu olarak ünlenmiştir. Teleskopla yaptığı incelemeler sonucunda, dünyanın arzın merkezi olmadı-ğını ve Güneş’in etrafında döndüğünü keşfederek, Newton’un birinci ve ikinci hareket yasalarının ilkelerini belirlemiştir. Tavanda asılı bir lambanın salınımlarını gözlemleyerek, bir tam salınım için gereken sürenin salınımın genliğinden bağımsız olarak sabit kaldığını bulmuş ve daha sonra bunu kullanarak mekanik saatlerin düzgün çalışması için sarkaç-tan yararlanılabileceğini keşfetmiştir. Astronomide kullanılabilecek teleskopu gelişirdi. Astronomi alanındaki buluşları Papa’lık tarafından rahatsız edici bulununca çalışmaları engellenmeye çalışıldı, daha sonra kısmi izin verildi, devamında yargılandı ve ömrünün son sekiz yılını ev hapsinde geçirmek zorunda kaldı. Bilime en ciddi katkısı, mekaniğin bir bilim dalı olarak kurulmasındaki payıdır. Kuvvet ile hareket arasındaki ilişkiyi fark etti fakat doğrudan ortaya koyamadı ama daha sonraki çalışmaların önünü açan ilkeleri yerleştirdi. Özellikle Newton’un mekanikteki büyük atılımının dayanağı oldu. Galileo GALILEI (1564-1642)

9.1 UZAYDA SERBESTLİK DERECESİ

Üç boyutlu uzayda serbestlik derecesinin tespiti, 5. Bölümde düzlem durum için anlatılanlara paralel olarak üçüncü boyutunda gözetilmesiyle yapılır. Şimdi uzayda serbestlik derecesini tanımlarken Şekil (9.1) deki gibi diğer cisimlerle uzayda hiç bir teması olmayan bir tam serbest cisim düşünelim. Bu cismi uzayda belli bir konuma getirebilmek için önce cis-min üstündeki bir A noktasına paralel ötelemeler verilerek cisim istenilen noktaya kadar kaydırılır ve daha sonra gene bu A noktası etrafında cisim istenildiği kadar döndürülerek ona arzu edilen son duruş verilir. A nokta-sının uzayda ötelenmesini ifade edecek konum vektörü,

( , , )A A A A Ax y z=r r (9.1)

üç sayı ile tespit edilir. A noktası etrafındaki dönme için, dönme vektörü,

( , , )A A x y z =θ θ (9.2)

uzayda üç sayı ile tanımlanır. Böylece toplam serbestliklerin üçü öteleme, üçü dönme büyüklüğü olduğu görülür. Eğer uzaydaki bir cisim belli bir konuma taşınacaksa, önce onun altı sayı ile tanımlanmış olan tüm serbest-likleri ortadan kaldırılmalıdır. Serbestlik derecesi kavramına başka bir biçimde de varılabilir. Örneğin Şekil (9.2) deki üç boyutlu cismi bir

),,(A AAA zyx noktasından sabitlersek, sadece bu nokta tespit edildiği için cismin diğer tüm noktaları mümkün olabilen başka konumlara geçe-bilir, çünkü A noktası bir küresel mafsal gibi davranır. Eğer cismin bir

),,(B BBB zyx noktası da sabitlenirse, cismin hareket alanı daha da dara-lır. Bu durumda A ve B noktalarının koordinat değerleri bakımından altı parametre söz konusudur. Ancak rijit cisimde A ile B noktaları arasındaki uzaklık sabit olduğu için, bu altı parametre arasında,

260 STATİK

( ) ( ) ( )2 2 2 2AB A B A B A BL x x y y z z= - + - + - (9.3)

koşulu sağlanmalıdır. O nedenle bağımsız parametre sayısı altı yerine beş olur. Fakat cismin hala tüm serbestlikleri ortadan kaldırılabilmiş değildir çünkü cisim AB hattı etrafında dönme hareketi yapabilir. O zaman bir

),,(C CCC zyx noktası da tespit edilecek olursa, cisim artık uzayda tama-men hareketsiz durabilir. Ama bu C noktasından da üç yeni parametre devreye girdi. Rijit cisimde A ile C ve C ile B noktaları arasındaki uzak-lık sabit olduğundan, sağlatılması gereken iki koşul,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

AC A C A C A C

CB C B C B C B

L x x y y z z

L x x y y z z

üï= - + - + - ïïýï= - + - + - ïïþ (9.4)

düşünülürse, serbest parametre sayısı gene altı olur. Bir cisimde bu altı sayı tanımlanmışsa, ona tam bağlı, hiç birisi verilmemişse ona tam serbest denir.

9.2 RİJİT CİSMİN UZAYDA DENGESİ

En genel halde, incelenecek cisimler üç boyutludur. Bu durumdaki bir problemin çözümünde izlenecek adımlar tamamen düzlem haldekine ben-zemekle birlikte, üçüncü boyutunda gözetilmesi nedeni ile sadece işlem hacmi bir miktar artar. Uzayda 1 2, ,..., nP P P tane kuvvetin etkidiği Şekil (9.3) deki rijit cisim eğer dengede ise, denge denklemleri,

( )

Ötelenmede denge :

Dönmede denge :i

i i

ü= = ïïýï= ´ = ïþ

R P 0

M r P 0 , ( 1,..., )i n= (9.5)

özdeş olarak sağlanır. (9.5) deki ilk denklem, cismin eksenler doğrultu-sunda ötelenmeyeceğini, ikincisi ise cismin eksenler etrafında dönmeye-ceğini ifade eder. Bu iki vektörel ifadenin ( , , )x y z eksenleri doğrultusun-

daki karşılığı üçerden altı skaler denklemdir. Bunlar,

0, 0

0, ve 0

0, 0

x x

y y

z z

F M

F M

F M

ü= = ïïïï= = ýïï= = ïïþ

(9.6)

biçimindedir. (9.6) den çıkan önemli sonuç; üç boyutlu uzayda bir cismin denge durumu incelenirken toplam altı adet denge denklemi yazılabilir. Şu halde uzayda tam bağlı bir statikçe belirli (izostatik) sistemde ancak uygun altı bağ koşulu çözülebilir. Çizelge (9.1) ile Çizelge (9.2) de çeşitli uzay bağ tipleri ve bunların serbestlik dereceleri gösterilmiştir.

9. RİJİT CİSMİN UZAYDA DENGESİ 263

ÇİZELGE (9.2): Çeşitli uzay bağlar ile bunların bağ kuvvetleri.

BAĞ ÇEŞİDİ BAĞ KUVVETİ

ANKASTRE (üç kuvvet ve üç kuvvet çifti)

PİM VE MENTEŞE (üç kuvvet ve iki kuvvet çifti)

ÜNİVERSAL MAFSAL (üç kuvvet ve bir kuvvet çifti)

RADYAL YÜK AKTARAN MAFSAL ve YATAKLAR (iki kuvvet ve iki kuvvet çifti)

270 STATİK

dir. Hesaplarda sadelik sağlamak amacıyla, Şekil (P3.2) den yararlanarak, kuvvetler sistemi O başlangıcına taşınınca, indirgeme momenti,

( ) ( ) ( ) ( )31 4 6 3 6 5iO i i Q== ´ = ´ + ´ + ´åM r F k j i k j i

( )24 18 5 kNmQ= - - -i j k (P3.2)

oluşur. Kuvvetler sisteminin, tek bir kuvvete indirgenebilmesi için,

O^R M ya da 0O⋅ =R M (P3.3)

olmalıdır. O halde (P3.3) de (P3.1) ile (P3.2) sonuçları yerleştirilirse:

( ) ( )6 6 24 18 5 0Q Q+ + ⋅ - - - =i j k i j k

54 108 0Q- - = ( )2 kN= -Q i

9.7 İNDİRGEMENİN DEĞİŞMEZLERİ (İNVARYANTLARI)

Eğer bir O noktasındaki kuvvet ve moment vektörleri R ile M Şekil (9.9a) da görüldüğü gibi birbirlerine dik değilse, o zaman aralarındaki açı

12

¹ olur. Şimdi keyfi bir A noktası seçelim ve bunun O noktasına

göre konum vektörü r olsun. Artık kuvvet vektörü R bu A noktasına taşı-nabilir. Bu durumda Şekil (9.9b) de görüldüğü gibi indirgeme momenti ( )- ´r R ile birlikte A noktasında toplam moment,

( )¢ = + - ´M M r R (9.30)

olur, ya da,

¢ = - ´M M r R (9.31)

dir. Sabit O noktasına göre A noktasının yeri değiştikçe r de değişeceğin-den, (9.31) deki ¢M momenti A noktasının konumuna bağlı bir vektör-dür.

İndirgemenin Değişmezleri (İnvaryantları): O ve A noktalarındaki iki kuvvetkuvvet çifti ( )O ,R M ve ( )A , ¢R M arasındaki ilişki, ¢¹M M

iken, R = sabittir. Şimdi (9.31) i soldan R ile skaler çarparsak,

RM¢⋅ = ⋅ =R M R M (9.32)

elde edilir. Bu ifade yazılırken vektörel ilişki ( ) ( )⋅ ´ º ⋅ ´R r R r R R den

yararlanılmıştır. (9.32) den çıkan önemli sonuç, Şekil (9.9) da görüldüğü gibi, ¢M ile M nin R üstündeki izdüşümleri RM = sabittir. Bu sonuç