6. OPTIKA FOURIER

6.1. ANALISIS FOURIER

• Dalam interferensi, difraksi, terjadi superposisidua buah gelombang bahkan lebih.

• Seringkali superposisi terjadi antara gelombangyang memiliki amplitudo, panjang gelombangyang berbeda, sehingga sulit untukmendeskripsikan gelombang hasil superposisi.

• Baron de Fourier (1768-1830) membuatTeorema untuk mengatasi masalah tersebut(TEOREMA FOURIER).

Superposisi dua gelombang harmonik dengan frekuensiberbeda menghasilkan gelombang tak-harmonik

• Teorema Fourier : suatu fungsi yang memilikiperioda ruang λ dapat dianalisis sebagai jumlahfungsi-fungsi harmonik, dimana panjanggelombangnya merupakan integral dari sub-perkalian dari λ (λ, λ/2, λ/3,…).

• Deret Fourier :

• C adalah konstanta dan f(x) menggambarkangelombang yang menjalar f (x - vt).

( )

( ) λπε

ελπ

ελ

πελπ

/2;cos

2cos

...2/

2cos

2cos 12110

=+=

+=

+

++

++=

kmkxC

xmC

xCxCCxf

mm

mm

( )

( ) ∑ ∑∞

=

∞

=

++=

−==

+=+

1 1

0 sincos2

:maka

sin

cos:dimana

sincoscos

mm

mm

mmm

mmm

mmmm

mkxBmkxAA

xf

CB

CA

mkxBmkxAmkxC

εε

ε

Proses penentuan koefisien-koefisien A0, Am, danBm untuk suatu fungsi periodik spesifik f(x) dikenaldengan ANALISIS FOURIER.

• Penentuan koefisien A0.

( )

( )dxxfA

AdxA

dxxf

dxmkxdxmkx

∫

∫∫

∫∫

=

==

==

λ

λλ

λλ

λ

λ

0

0

0

0

0

0

00

2

22

0cossin

• Penentuan koefisien Am dan Bm digunakanortogonalitas fungsi sinusoidal.

ab

ab

dxbkxakx

dxbkxakx

dxbkxakx

δλ

δλ

λ

λ

λ

2sinsin

2coscos

0cossin

0

0

0

∫

∫

∫

=

=

=

• a, b adalah bilangan bulat positif bukan 0. danδab = delta Kronecker

≠=

==

ba

ba

ab

;0

;1

δ

• Sekarang kalikan fungsi f(x) dengan cos mkxkemudian integralkan dari 0 sampai perioda λ :

( )

( )∫

∫ ∫

==

==

λ

λ λ

λ

λ

0

0

2

0

,...2,1,0;cos2

2coscos

mdxmkxxfA

AdxmkxAdxmkxxf

m

mm

• dengan cara yang sama diperoleh :

( )∫ ==λ

λ 0

,...2,1,0;sin2

mdxmkxxfBm

• Maka fungsi periodik f(x) dapat diungkapkandalam deret Fourier :

( )

( )

( )∫

∫

∑∑

=

=

++=∞

=

∞

=

λ

λ

λ

λ

0

0

11

0

sin2

cos2

sincos2

dxmkxxfB

dxmkxxfA

mkxBmkxAA

xf

m

m

mm

mm

Sifat-sifat fungsi f(x) dalam deret Fourier

1. Jika f(x) fungsi genap f(-x) = f(x), atausimetri di x = 0, maka hanya adakomponen cosinus saja atau Bm = 0.

2. Jika f(x) fungsi ganjil f(-x) = - f(x), makahanya ada fungsi sinus saja (Am = 0).

Contoh : Gelombang periodik persegi

Dengan menggunakan deret Fourier, cari bentukfungsi f(x) dan gambarkan bentuk gelombangnyasampai orde-5

0 λ/2 λ 3λ/2−λ/2λ

f(x)

x

+1

-1

• Bentuk matematik gelombang diatas adalah :

( )

<<−<<+

=λλ

λx

xxf

2/;1

2/0;1

• Karena fungsinya ganjil, maka Am = 0 :

( ) ( )

( ) λπππ

ππ

λλλλ

λ

λ

λ

λ

/2;cos12

cos1

cos1

sin)1(2

sin)1(2

2/

2/

0

2/

2/

0

=−=

+−=

−++= ∫∫

kmm

mkxm

mkxm

dxmkxdxmkxBm

• Maka koefisien-koefisien Bm :

( )

+++=

=====

...5sin5

13sin

3

1sin

4

:maka

...;5

4;0;

3

4;0;

454321

kxkxkxxf

BBBBB

π

πππ

Semakin besar orde m yang dihitung, makabentuk fungsi semakinmendekati gelombangpersegi, namun menjadifungsi kontinu.

Deret Fourier mengubahfungsi diskrit menjadi fungsi kontinu

Gelombang Tak-Periodik• Semua gelombang nyata berbentuk pulsa, sehingga

penting untuk menganalisis fungsi-fungsi tak-periodik

• Bentuk pulsa dapat diubah dari fungsi f(x) menjadi suatubentuk fungsi amplitudo sebagai fungsi dari bilangangelombang k.

• Perubahan tersebut menggunakan Transformasi Fourier (Fourier Transform, FT)

• Deret Fourier diubah menjadi integral Fourier.

( ) ( )kAxf m→

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∫

∫

∫∫

∞

∞−

∞

∞−

∞∞

=

=

+=

dxkxxfkB

dxkxxfkA

dxkxkBdxkxkAxf

sin

cos

sincos1

00π

PULSA DAN PAKET-PAKET GELOMBANG

1. Pulsa Persegi

( )xf

x

0E

-L/2 0 L/2

( )

>

<=

2/;0

2/;0

Lx

LxExf

Karena pulsa f(x) merupakan fungsi genap, maka B(k) = 0

( ) ( )

=

===

==

+

−

+

−

∞

∞−∫∫

2sinc

2/

2/sin2/sin

2sin

coscos

0

002/

2/0

2/

2/

0

kLLE

kL

kLLEkL

k

Ekx

k

E

dxkxEdxkxxfkA

L

L

L

L

( ) ( ) dxkxkLLExf cos2/sinc1

0

0∫∞

=π

2. Gelombang Cosinus

( )

>

≤≤−=

Lx

LxLxkExE

p

;0

;cos0

Karena E(x) merupakan fungsi genap, maka B(k) = 0

( )

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]LkkLkkLE

dxxkkxkkE

dxkxxkEkA

pp

pp

L

L

p

L

L

−++=

−++=

=

∫

∫+

−

+

−

sincsinc

coscos2

1

coscos

0

0

0

Jika terdiri dari banyak gelombang ( λ << L), maka kpL >> 2π

( )( ) aikan)kecil/diab(sinc

2

<<+

>>+

Lkk

Lkk

p

p π

( ) ( )LkkLEkA p −= sinc0

• Jika gelombang cosinus dalam domain waktu, makaditransformasi ke domain frekuensi ω.

( )

( )

( ) ( )TcTEA

fFTTransformFouriertf

Tt

TtTtEtE

p

p

ωωω

ω

ω

−=

→→

>

≤≤−=

sin

)()(

;0

;cos

0

0

FOURIER TRANSFORM DISKRIT (DFT)

• Suatu fungsi yang menggambarkan beberapa proses fisisdapat dianalisis dengan analisis Fourier, dan fungsitransformasinya dapat ditentukan secara analitik.

• Contoh : proses interferensi, difraksi dll.

• Namun untuk beberapa situasi tidak ada fungsi yang dapat menggambarkan data.

• Dalam beberapa kasus, fungsi/data dapat dgitalisasi.• Penentuan frekuensi dari data yang terkumpul

menggunakan teknik numerik yaitu transformasi Fourier Diskrit (Discrete Fourier Transform, DFT).

• Contoh :

(a). Pulsa persegi 1D , (b). Transformasi Foruier-nya

(c). Pulsa persegi 2D, (d). Trans. Fourier, (e). Intensitas

E. Hechts,”Optics”, Addison Wesley, 2002

Aplikasi : Filter frekuensi GambarGambar monalisa tidakdapat digambarkan denganfungsi tertentu.

Gambar discan, digitalisasidan dikomputasi denganDFT.

(a). Gambar Mona Lisa

(b). Spektrum Intensitashasil DFT

(c). Gambar setelahfrekuensi tinggi dibuang

(d). Gambar setalahfrekuensi rendahdihilangkan

E. Hechts,”Optics”, Addison Wesley, 2002

Tugas Individu/Mandiri

1. Dengan deret Fourier, cari fungsi f(x) dari sinyal dibawahini sampai orde ke-7 dan gambarkan fungsinya.

λ/2

−λ/2

−λ/2 +λ/2−λ +λ

f(x)

x+3λ/2

−3λ/2

2. Cari transformasiFourier dari sinyalsegitiga dibawah ini, dan gambarkan x

E (x)

-L +L

L