Moviment oscil.latori 1

5 Moviment oscil.latori

5.1 Introduccio

Un dels moviments mes importants observats a la natura es el moviment oscil.latori, o vibratori. Una partculaoscil.la quan es mou periodicament pel que fa a una posicio d’equilibri. El moviment d’un pendol, el d’un cos enl’extrem d’una molla, els electrons d’una antena radiant, son alguns exemples de moviments vibratoris. Dels movimentsvibratoris, el mes important i el qual te una descripcio matematica senzilla, es el moviment harmonic simple: M.H.S.Aquest tipus de moviment son una aproximacio molt propera a molts moviments que es donen a la natura. Estudiaremel moviment oscil.latori d’una partcula limitada a moure’s en una dimensi. Treballarem sota la hipotesi que per aaquesta partıcula existeix una posicio d’equilibri estable, que denominarem origen. Quan la partıcula es desplaadades de l’origen, apareix una forca que intenta dur-la de nou a la seva posicio d’equilibri. Aquesta fora pot dependre,en general, de la posicio, de la velocitat i fins i tot de derivades d’ordre superior de la posicio, pero ens restringirem al’estudi de forces que depenguin unicament del desplacament i que aquesta dependencia sigui lineal.

5.2 Dinamica del M.H.S.

En aquest apartat trobarem l’equacio diferencial del moviment d’un M.H.S. sota certes hipotesis sobre la forcaque actua sobre la partıcula. La forma general de l’equacio diferencial del moviment del MHS ens permetra identificarel moviment de diferents sistemes fısics com moviments harmonics simples.

5.2.1 Forca

Suposarem que la forca es recuperadora; que actua sobre una partıcula de massa m ; que depen unicamentde la posicio i que admet derivades contınues en l’origen de coordenades (punt d’equilibri), de manera que podemdesenvolupar aquesta forca en serie de Taylor (Mc Laurin):

F (x) = F0 + x

(

dF

dx

)

0

+x2

2!

(

d2F

dx2

)

0

+ . . .

on F0 es el valor de la forca en l’origen de coordenades i

(

dnF

dxn

)

0

es el valor de la derivada n-esima de la forca,

avaluada tambe en l’origen. Si estem interessats que l’origen de coordenades sigui un punt d’equilibri, haurıem de ferque la forca per a x = 0 sigui nul.la i, per tant, F (x = 0) = F0 = 0 .

Si a mes estem interessats a estudiar el moviment de la partıcula per a valors petits del desplacament ( x ≈ 0 ),podrem menysprear les potencies d’ordre superior a x1 en la relacio general de la forca, tenint una relaci lineal per ala mateixa:

F (x) = x

(

dF

dx

)

0

≡ −kx on k = −

(

dF

dx

)

0

Direm que els sistemes fısics que responguin a una relacio lineal d’aquest estilobeeixen a llei de Hooke (1676). Un fenomen mecanic tıpic que respon a la llei deHooke es la deformacio elastica. Si no se sobrepassa el lımit d’elasticitat, podenutilitzar-se forces recuperadores lineals per a tractar els problemes concernentsa bigues que flexionen, deformacions longitudinals en varetes i moviments demasses subjectes a molles, entre daltres.

Hem de tenir en compte, que en general, les forces recuperadores que apareixen a la natura son mes complicades,i que l’aproximacio lineal d’aquestes forces no es mes que aixo, una aproximacio. La forca d’interaccio entre dos atomsd’una molecula diatomica, pot expressar-se per la relacio de Morse F (r) = −2Da(1−ear)e−ar on D i a son constantscaracterıstiques de la molecula. Aquesta forca presenta un punt d’equilibri en l’origen, ja que F (0) = 0 . Per a valorspetits de r , podem aproximar l’expressio de la forca per F (r) = −2Da2r que representa una forca elastica.

2 Moviment oscil.latori

5.2.2 Equacio del moviment del M.H.S.

Si considerem el bloc subjecte a la molla i el deixem anar aleshores l’unica forca que actua es la forca elastica ipodem escriure la segona llei de Newton:

F = −kx ⇒ ma = −kx ⇒ −kx = md2x

dt2

Generalment s’utilitza la constant ω enlloc de la k definida com ω2 ≡ k

mi que s’anomena frequencia angular.

Introduint la constant ω a l’expressio anterior obtenim l’equacio general que ha de verificar un cos de massa m perseguir un m.h.s., es a dir,

d2x

dt2+ ω2x = 0

L’equacio anterior l’hem obtingut en el cas en que un bloc esta subjecte a una molla damunt d’un pla horitzontal isense fregament. Si hi ha fregament aleshores al terme −kx que es la forca que el bloc reb de la molla cal afegir-neun degut al fregament i que a mes va canviant de sentit segons el sentit del moviment. Aixo "complica" l’expressioanterior i el moviment ja no es un m.h.s.

Si la molla esta subjecte del sostre i d’ella penja un cos de massa m hem de veure si el moviment que seguiratambe es un m.h.s. aleshores tenim un movimenti de la qual penja un bloc de massa m . Considerem que la mollate una longitud natural que anomenem lo i quan li penjem el bloc obtenim una situacio d’equilibri xo per sota delnivell de referencia inicial.

En aquesta nova situacio d’equilibri les dues forces del pes i de la molla han d’esser iguals i tenim:

P − Fm = 0 ⇒ mg = kxo

Si desplacem el bloc cap avall una distancia x respecte al nivell de referencia aleshores l’equacio de la dinamica esconverteix en:

mg − kx = ma ⇒d2x

dt2+

k

mx− g = 0

Aquesta equacio no correspon a un m.h.s. pel que fa a la variable x , ja que no verifica el format anterior. Si utilitzemel desplacament x′ del cos respecte al punt nou d’equilibri, podem expressar:

d2x

dt2+

k

m(x− xo︸ ︷︷ ︸

x′

) = 0 →d2x

dt2+

k

mx′ = 0

que encara no te el mateix format del m.h.s. ja que hi han les dues variables x i x′ . Es pot veure que:

d2x′

dt2=

d2(x− xo)dt2

=d2x

dt2

i, per tant, l’equacio resultant si que verifica el format necessari per un m.h.s.:

d2x′

dt2+

k

mx′ = 0

Cal tenir en compte que si considerem la nova posicio d’equilibri en xo per sota de la longitud inicial sense estirarles oscil.lacions es realitzen respecte a aquest punt. No cal tenir en compte el pes, ja que esta incorporat de maneraimplıcita en el desplacament inicial xo .

Moviment oscil.latori 3

5.3 Cinematica del M.H.S.

5.3.1 Resolucio de l’equacio diferencial

La resolucio de l’equacio anterior comporta l’utilitzacio de les tecniques especıfiques propies de les equacionsdiferencials. Malgrat aixo seguirem el proces que ja hem vist a cinematica que consisteix en trobar la velocitat a partirde l’acceleracio i despres la posicio a partir de la velocitat.• Calcul de v a partir de a . En aquest cas l’acceleracio no depen del temps i en canvi depen de la posicio, es a

dir, tenim una funcio a(x) .

a(x) = −ω2x ⇒ −ω2x =dv

dt=

dv

dx

dx

dt︸︷︷︸

v

=dv

dxv ⇒ v dv = −ω2xdx

Ara podem integrar cada membre de la igualtat i obtenim

∫

v dv =

∫

−ω2xdx ⇒v2

2= −ω2 x

2

2+ C1 ⇒ v =

√

2C1 − ω2 x2

• Calcul de x a partir de v . Aqui tambe la velocitat no depen del temps pero en canvi ho fa de la posicio i comen el cas anterior es poden separar les variables.

v =dx

dt⇒ dx = vdt =

√

2C1 − ω2 x2dt ⇒dx

√

2C1 − ω2 x2= dt ⇒

dx√

√

√

√

(2C1/ω2)

︸ ︷︷ ︸

A2

−x2= ωdt

on hem "redefinit" la combinacio de la constant C1 i la ω per una nova constant A . Si integrem ambdosmembres obtenim:

∫

dx√

A2 − x2=

∫

ωdt ⇒ arc sin(x

A) = ωt+ φ ⇒

x

A= sin(ωt+ φ) ⇒ x(t) = A sin(ωt+ φ)

on A es l’amplitud, (ωt+ φ) es la fase i φ s’anomena constant de fase. Tant l’amplitud A com la constant defase phi es poden trobar a partir de les condicions inicials. La representacio grafica de la posicio ve donada peruna funcio harmonica (sinus) i d’aqui el nom del moviment. En algunes ocasions la solucio x(t) es pot expressaren funcio del cosinus, donat que sin(θ + π/2) = cos θ . Tot depen del que valgui la fase inicial φ .

5.3.2 Perıode i frequencia del m.h.s.

S’anomena perıode la distancia temporal entre dos estats succesius del moviment que tenen la mateixa posicioi porten la mateixa velocitat. Si considerem un instant en que el bloc subjectat per la molla s’esta movent cap a ladreta, haurem d’esperar a que arrivi al maxim allargament de la molla, torni enrrera la comprimeixi del tot i s’entorni altre cop cap a la dreta fins tornar a passar per la mateixa posicio tambe en sentit cap a la dreta. L’expressiode la velocitat de donada per:

v(t) =dx(t)

dt= Aω cos(ωt+ φ)

x(t1) = x(t2)

v(t1) = x(t2)

⇒

sin(ωt1 + φ) = sin(ωt2 + φ)

cos(ωt1 + φ) = cos(ωt2 + φ)

Perque les relacions siguin certes la diferencia de fase dels sinus i cosinus ha de valer 2π i, per tant,

(ωt1 + φ) + 2π = (ωt2 + φ) ⇒ 2π = ω (t2 − t1)︸ ︷︷ ︸

T

⇒ T =2π

ω

Es defineix la frequencia com el nombre d’oscil.lacions per unitat de temps que no es mes que la inversa del perıode,es a dir,

ν =1

T=

ω

2π⇒ ω = 2πν

4 Moviment oscil.latori

5.3.3 Posicio, velocitat i acceleracio del m.h.s

Les tres magintuds cinematiques del m.h.s. venen donades per

x(t) = A sin(ωt+ φ)

v(t) =dx

dt= Aω cos(ωt+ φ)

a(t) =dv

dt= −Aω2 sin(ωt+ φ) = −ω2x(t)

Es pot veure que quan la posicıo es maxima la velocitat esmınima i que els valors extrems de l’acceleracio tenen lloc tambeen els extrems de la posicio pero amb sentits contraris.

A partir de les expressions de la posicio i la velocitat podemcomprovar que es verifica la relacio seguent:

x2 +( v

ω

)2= A2 ⇒ v2 = ω2(A2 − x2)

que ens ratifica el fet de que tant la posicio com la velocitates van intercanviant els papers de manera que a mesura deque la partıcula augmenta la seva posicio respecte a l’origen vaperdent velocitat i al reves.

Exemple: A la figura tenim el desplacament d’un objecte qeu descriu un m.h.s en funcio del temps. Trobeu:la frequencia i l’amplitud del moviment

SOLUCIO

Per trobar el perıode i l’amplitud nomes cal analitzar la grafica i comptar lesunitats segons cada eix. Aixı, es veu com el perıode son 16 s i l’amplitud 10 cm .

Exemple: Un bloc de massa m = 1kg esta engantxat a una molla de constant k = 100N ·m i en repossobre un pla horitzontal sense fregament. Si desplacem el bloc una distancia de 20 cm i el deixem anar, trobeul’equacio que descriu la seva posicio x .

SOLUCIO

L’equacio general d’un m.h.s ve donada per l’expressio:

x(t) = A sin(ωt+ φ)

essent A l’amplitud i φ la fase inicial. Per determinar aquests dos parametres hem d’imposar les condicions inicialsque consisteixen en dir que per l’instant t = 0 la posicio x val 20 cm i que la seva velocitat es nul.la, es a dir,

x(0) = 0.2⇒ 0.2 = A sin(ω · 0 + φ)

v(0) = 0⇒ 0 = Aω cos(ω · 0 + φ)

⇒

0.2 = A sinφ

0 = Aω cosφ

⇒

A = 0.2

φ = π/2

⇒ x(t) = 0.2 sin(ωt+ π/2)

Si tenim en compte que sin(θ + π/2) = cos θ , i que ω =√

k/m , el resultat es pot expressar:

x(t) = 0.2 cos(10t)

Moviment oscil.latori 5

Exemple: Una peca d’una maquina descriu un m.h.s de frequencia 1Hz i amplitud 2m . Trobeu el temps quetriga la peca per anar desde x = 0.4m fins a x = −1.2m

SOLUCIO

Per les dades de l’enunciat podem dir que l’equacio del m.h.s. ve donada per:

x(t) = 2 sin(ωt+ φ) on ω = 2πν = 2π1 = 2π

Quan la peca pasa per la posicio x = 0 i es dirigeix cap a la dreta pasara dues vegades pel pun x = 0.4 , el primercop amb velocitat cap a la dreta i un segon cop quan "torni" cap a l’esquerra despres d’haver assolit l’amplitud delmoviment. Per trobar aquest temps tenim:

0.4 = 2 sin(2πt+ φ) ⇒ sin(2πt+ φ) = 0.2 ⇒

2πt1 + φ = 11.53 = 0.20 rad

2πt2 + φ = 168.47 = 2.94 rad

Si volem saber el temps que triga en pasar el primer cop per 0.4m cap a la dreta i a continuacio fer-ho de tornadaja en sentit cap a l’esquerra tenim:

t2 − t1 =2.94− 0.20

2π= 0.44 s

Quan la peca torna enrera busquem els temps en arrivar a la posicio x = 1.2m :

−1.2 = 2 sin(2πt+ φ) ⇒ sin(2πt+ φ) = −0.6 ⇒

2πt3 + φ = 216.87 = 3.78 rad

2πt4 + φ = 323.13 = 5.64 rad

Els resultats obtinguts per l’argument de la funcio sinus, que el cas de la posicio x = 0.2 son 11.53 (anada) i169.47 (tornada), no son unics ja que el m.h.s no s’atura. Hem d’afegir la quantitat de n · 360 o n · 2π rad ,essent n = 0, 1, 2, 3, . . . . Aixı, tindrem tots els temps per a cada perıode del moviment. Ara nomes queda avaluar lesdiferencies entre t1 o t2 i el primer valor t3 :

t3 − t1 =3.78− 0.20

2π= 0.57 s

t3 − t2 =3.78− 2.94

2π= 0.13 s

Cal fixar-se que les diferencies de temps no depenen de la fase inicial φ .

5.4 Energia en un m.h.s

5.4.1 Energia cinetica

L’energia cinetica del m.h.s. s’obte a partir de l’expressio de la velocitat:

K =1

2mv2 =

1

2mω2A2 cos2(ωt+ φ) =

1

2mω2(A2 − x2)

5.4.2 Energia potencial

La forca elastica que dona lloc al m.h.s. es una forca conservativa i te associada una energia potencial que vedonada per:

∆U =

∫

−F (x)dx =

∫

+kxdx ⇒ U2 − U1 =1

2kx22 −

1

2kx21

Si escollim l’origen d’energia potencial quan x = 0 i fem x1 ≡ 0 i x2 ≡ x , tenim

U(x) =1

2kx2 =

1

2mω2x2 =

1

2mω2A2 sin2(ωt+ φ)

6 Moviment oscil.latori

5.4.3 Energia total

L’energia total s’obte sumant les dues energies cinetica i potencial. Agafant els dos resultats anteriors per a cadaenergia obtenim:

E = K + U =1

2mω2(A2 − x2) +

1

2mω2x2 =

1

2mω2A2

que ens diu que l’energia total es una constant. Si escollim la constant de fase φ = 0 i representem les energies enfuncio del temps i de la posicio obtenim les grafiques seguents:

A la grafica de l’esquerra hi ha representades les energies en funcio del temps i a la grafica de la dreta estanrepresentades en funcio de la posicio.

5.4.4 Exemple: cos penjat d’una molla

Retornem a l’exemple vist a l’apartat 5.2.2, on un cos estava penjat d’una molla. Recordem que teniem duesvariables: la x total en que s’havia estirar la molla i la x′ que era la dist‘ancia que s’havia estirar la molla perorespecte a la nova posicio d’equilibri. Considerem que el cos de massa m fa el recorregut entre la posicio en que lamolla no esta estirada on x = 0 (la variable x′ val x′ = −xo ) i el punt de baix de tot on x = x′ + xo . La variaciod’energia potencial es pot avaluar de dues maneres:• Considerant tant la gravitatoria com l’elastica:

∆Ep =1

2kx2 − 0 + 0−mgx

• Considerant unicament l’elastica tenint en compte que la posicio d’equilibri de la molla esta xo per sota del puntde referencia ( lo ) i, per tant, tant el punt incial com el punt final tenen energia potencial elastica (escollim pelnou punt d’equilibri de repos de la molla el valor 0 per l’energia potencial elastica). Aixı en el punt inicial lamolla esta comprimida xo respecte al punt d’equilibri i en el punt final esta estirada x′ , es a dir,

∆Ep =1

2kx′2 −

1

2kx2o

Es pot comprovar com les dues variacions d’energia potencial son identiques:

1

2kx′

2 −1

2kx2o =

1

2k(x− xo)2 −

1

2kx2o =

1

2kx2 − kxo

︸︷︷︸

mg

x+1

2kx2o −

1

2kx2o =

1

2kx2 −mgx

Moviment oscil.latori 7

5.5 Exemples fısics

5.5.1 El pendol simple

Un pendol simple es defineix com una partıcula puntual de massa msuspesa d’un punt O per una corda de longitud L de massa menyspreable.La trajectoria de la massa puntual, enlloc de ser una recta, es l’arc de cercle deradi L . Malgrat aixo utilitzarem com a coordenada x (per tenir una similitudamb el cas del bloc i la molla) l’arc recorregut. Aixı la forca tangencial seraprecisament la nostra forca Fx i que s’expressa com:

Fx = −mg sin θ

Si escollim com origen de l’eix x la posicio mes baixa del pendol a la figura lax i l’angle θ son positius i la forca es negativa. A l’altra banda de l’arc passatot just al contrari: quan la x i l’angle θ son negatius aleshores la forca espositiva. Quan les oscil.lacions son petites l’angle θ i el sin θ son practicamentiguals. Fins i tot amb un angle maxim d’oscilacio de 10 que correspon aθ = 0.1745 rad tenim que sin θ = 0.1736 . Per tant l’aproximacio de quesin θ = θ esta ben justificada per angles petits. Amb aquesta aproximaciotenim:

Fx = −mgθ ⇒ mat = mdv

dt= m

d2x

dt2= −mgθ

i si tenim en compte que x = Lθ l’equacio anterior ens queda:

d2x

dt2+ ω2x = 0 on ω =

√

g

L

La solucio d’aquest moviment ve donada doncs per:

θ(t) = θo sin(ωt+ φ)

Cal indicar que ω es la frequencia angualr del moviment i no s’ha de confondre amb la velocitat angular del pendolque seria la derivada de l’angle θ respecte al temps. en tot cas hauriem d’introduir una nova variable Ω = dθ/dt perpoder parlar de la velocitat angular del pendol. El perıode del m.h.s. ve donat per:

T =2π

ω= 2π

√

L

g

Aquest perıode calculat es cert sobre la hipotesi d’oscil.lacions petites. En el cas en que l’angle no sigui petit l’expressiodel perıode ve donada per:

T = 2π

√

L

g

(

1 +12

22sin2

θ

2+

12 · 32

22 · 42sin4

θ

2+ . . .

)

Si volem construir un rellotge fent servir l’aproximacio del pendol simple i tenint en compte que el perıode sigui de 2 s(cal tenir present que quan la massa fa una oscil.lacio completa hauran transcorregut 2 s , malgrat nosaltres comptaremun segon quan el pendol oscil.li en un sentit i un segon quan oscil.li en l’altre sentit), la longitud ha de ser:

T = 2π

√

L

g⇒ L =

gT 2

4π2 '= 50 cm

8 Moviment oscil.latori

5.5.2 El pendol fısic

Entenem per pendol fısic qualsevol cos rıgid que pot girar al voltant d’un eixque no passi pel seu centre de masses. Si deixem el cos de la figura a la posicioindicada la forca del pes genera un moment de rotacio al voltant del punt fix O .Si escrivim l’equacio de la dinamica de rotacio al voltant del punt O (cal tenirpresent que en el punt O hi ha una forca aplicada degut a l’articulacio necessariaperque s’aguanti, pero aquesta forca –en realitat son dues components– no generacap moment al voltant del propi punt O ) tenim:

MO |z= Iα on α =d2θ

dt2

El moment del pes ve donat per MO |z= −mgd sin θ i, l’equacio de la dinamicaens queda:

d2θ

dt2+mgd

Isin θ = 0

Si fem l’aproximacio d’angles petits on sin θ ≈ θ obtenim una vegada mes una equacio que obeeix a un m.h.s.

d2θ

dt2+ ω2 sin θ = 0 on ω =

√

mgd

I

i el perıode d’aquest moviment ve donat per:

T =2π

ω= 2π

√

I

mgd