u.1 el moviment - iessantvicent.com · el moviment uniforme 5. concepte d'acceleració 6. el...
TRANSCRIPT
1.1
U.1 EL MOVIMENT
El primer problema físic que anem a estudiar és el moviment. Comencem per ací ja que es tracta d'un fenomen quotidià i que històricament fou un dels primers en ser abordat de manera sistemàtica. La part de la Física que estudia el moviment en els seus aspectes més simples -només a nivell descriptiu- sense buscar-ne les causes, s'anomena cinemàtica. La cinemàtica només pretén explicar com és el moviment d'un determinat objecte, però no es qüestiona per què aquest cos té un tipus de moviment o altre, d'això se n'ocuparà la dinàmica, que estudiarem al tema següent. Aquestes dues branques de les ciències físiques formen conjuntament la mecànica, que conté les primeres teories científiques per a l'estudi del comportament de la matèria amb l'aplicació de les regles pròpies del treball científic tot superant altres formes de pensar com la mitologia o la filosofia pura. En aquest primer contacte amb els problemes físics tractarem aquests punts:
1. Caràcter relatiu del moviment 2. Posició d'un cos. Trajectòria 3. Conceptes de rapidesa i velocitat 4. El moviment uniforme 5. Concepte d'acceleració 6. El moviment uniformement accelerat 7. El moviment de caiguda lliure 8. Els moviments curvilinis 9. Activitats complementàries
Applets de física de la universitat de Colorado que es poden descarregar d'aquest enllaç:
https://phet.colorado.edu/es/simulations/category/physics
U.1 EL MOVIMENT
1.2
1. CARÀCTER RELATIU DEL MOVIMENT
Què és el moviment? La primera cosa que se'ns planteja quan estudiem aquest fenomen és com podem saber si un cos determinat està en moviment o en repòs.
El moviment és un canvi de posició amb el temps.
Però dit això, cal definir ara què entenem per pos i c ió d'un cos. Com ho farem?
A.1 Indiqueu la manera d'establir si un cos està en moviment o en repòs, com ara la pissarra, un llibre que hi ha damunt la taula o un cotxe que passa pel carrer. Podem posar molts altres exemples on apareix la necessitat de buscar un punt de re-
ferència que suposem quiet. Si observem des de la platja a l'horitzó un vaixell que està en alta mar ¿com podem saber si es mou o està quiet? Si de nit mirem la Lluna, ¿per què no podem detectar a simple vista el seu moviment?
Aquests vaixells estan en moviment?
Com i cap a on es mouen?
Com ho podríem saber?
I els avions de la pàgina anterior?
En tots els casos necessitem un s i s t ema de re f erènc ia . Quan parlem del moviment o del repòs d'un cos sempre ens referim a d'altres objectes respecte als quals determinem la posició del cos en qüestió. Si la distància a aquests objectes de referència canvia, aleshores diem que el cos es mou en relació a ells. Així, un accident geogràfic a la costa, com ara un penya-segat pròxim, permet mesurar la distància al vaixell i saber si es mou o no. En el cas de la Lluna un telescopi seria útil, ja que el pas de l'astre pel visor permetria detectar el seu moviment, sense oblidar que la rotació de la Terra complicaria el problema si volíem fer una mesura acurada.
Una primera conclusió a què podem arribar és que sense un sistema de referència no hi ha descripció possible d'un moviment, ja que qualsevol objecte el podem considerar en repòs respec t e a e l l mate ix . Però ¿hi ha un s is tema de re f erènc ia absolut , és a dir, un objecte que estiga en repòs absolut respecte a tot l'Univers?
La física moderna no pot assignar a cap cos o sistema el privilegi d'estar en repòs absolut, per tant podem concloure que:
TOT MOVIMENT ÉS RELATIU
L'expressió es tar en repòs o en moviment és incompleta, cal afegir respec t e a l'objecte que prenem com a sistema de referència.
U.1 EL MOVIMENT
1.3
Per tant podem dir que e l moviment absolut no exis te ix . Com estudiarem en altres cursos, només hi ha un fenomen -la llum- que podem considerar en moviment absolut, segons la Teoria de la Relativitat d'Albert Einstein, però això és una altra història.
L'estudi del moviment també comporta la necessitat de considerar el temps durant el qual es produeixen els canvis de lloc. El temps es mesura fent servir cronòmetres que comencen a comptar a partir de cert instant en què els posem a zero i els engeguem. Aquest instant, que vindrà donat per algun succés, és l'origen de temps que, juntament amb el sistema de referència espacial, constitueix el s i s t ema de re f erènc ia espac io temporal (S.R.E.T.) .
2. POSICIÓ D'UN COS. TRAJECTÒRIA
Una volta triat el sistema de referència espaciotemporal, anem a detallar com es determina la posició d'un cos en aquest sistema, igual com la forma en què aquesta posició varia amb el temps.
A.2 Proposeu formes senzilles d'establir la posició d'un cos, per això considereu els casos següents: a) Un tren en un instant qualsevol del seu recorregut. b) Una alumna a classe. c) Un avió en ple vol. d) Un xiquet damunt d'un cavallet de fira. e) Una petita illa de la Mediterrània, com ara Tabarca.
La posició d'un cos a l'espai ve donada per la distància a un o més objectes. Quan tenim un objecte en un pla les distàncies són les coordenades cartesianes del punt on es troba el cos. Si unim el punt de referència del sistema, de coordenades (0,0), amb la posició (x,y) mitjançant un segment orientat o fletxa, obtenim l'anomenat vec tor de pos i c ió . En cursos superiors farem un tractament més detallat del moviment i usarem aquestes magnituds vectorials que ara només introduirem breument.
Exemple de vector de posició de dues dimensions (en el pla).
Es tracta d'un vector que va de l'origen (0,0) al punt de coordenades (4,3).
Això significa que l'objecte situat a l'extrem del vector (la punta de la fletxa) dista 4 unitats de l'eix OY i 3 unitats de l'eix OX.
El vector se sol representar com una lletra minúscula o majúscula (ací "v") amb una fletxeta damunt.
Trajec tòr ia i desp laçament
Durant el seu moviment un cos va passant per successives posicions. La línia que es forma en unir aquestes posicions és el que anomenem t ra j e c tòr ia del mòbil. Segons la trajectòria, els moviments poden ser, en general, rec t i l in is o curvi l inis . Entre els moviments curvilinis, segons la forma de la corba, destaquen els c i r culars , els parabòl i cs i els e l· l ípt i c s .
Però la descripció d'un moviment pot variar segons el sistema de referència que utilitzem, tal com veurem a l'activitat següent.
U.1 EL MOVIMENT
1.4
A.3 Dibuixeu de forma aproximada la trajectòria del moviment de la Lluna, si prenem com a sistema de referència: a) la Terra; b) el Sol; c) un satèl·lit artificial situat en la mateixa òrbita que la Lluna i amb la mateixa velocitat que ella duu al voltant de la Terra. Moltes voltes resultarà pràctic determinar la posició sobre la trajectòria, que repre-
sentarem per x en moviments unidimensionals i definirem com la distància a l'origen, però mesurada sobre la mateixa trajectòria. Vegem-ho en aquesta activitat:
A.4 Escolliu un sistema de referència adequat i determineu de forma senzilla la posició dels tres cossos A, B i C situats sobre l'eix OX que es descriuen tot seguit: a) A es troba a 10 metres cap a la dreta de l'origen de coordenades. b) B es troba en el punt de referència. c) C es troba a 6 metres cap a l'esquerra de l'origen de coordenades.
Tal com hem definit la posició, les variacions de la posició sobre la trajectòria vindran donades pel desplaçament , definit com la diferència entre les posicions final (x) i inicial (x0) del cos. D'aquesta manera el desplaçament sobre una trajectòria recta seria: Δx = x - x0 . Quan es fa un tractament vectorial complet cal definir el vec tor desplaçament (simbolitzat Δr) i diferenciar-lo de la distància recorreguda sobre la trajectòria que equival al que anomenem Δx. Compareu ambdós conceptes en aquesta figura:
Si la trajectòria és una línia recta es dóna la coincidència: ⏐Δr⏐= Δx .
Finalment, pel que fa al temps, anomenarem t un instant determinat en què ocorre un succés, és a dir el que marque el cronòmetre en aqueix moment, i el pas del temps el mesurarem amb l'interval de t emps que definirem així: Δt = t - t0 , és a dir la diferència entre dues lectures successives del cronòmetre.
Finalment afegirem que es consideren magnituds fonamentals per a l'estudi del moviment la long i tud (L), amb la que mesurem la posició d'un cos a l'espai, que té com a unitat del S.I. el metre, i el t emps (T), que té per unitat el segon.
Aquests applets ens poden ajudar a estudiar els moviments en 2D:
https://phet.colorado.edu/es/simulation/legacy/ladybug-motion-2d
https://phet.colorado.edu/es/simulation/legacy/motion-2d
U.1 EL MOVIMENT
1.5
3. CONCEPTES DE RAPIDESA I VELOCITAT
La descripció d'un moviment requereix introduir una magnitud per a conèixer la major o menor rapidesa amb què canvia la posició d'un mòbil. Es tracta d'allò que genèricament anomenem la velocitat.
A.5 Inventeu de forma raonada diferents magnituds que permeten saber si un mòbil canvia de posició molt o poc de presa.
Si els canvis de posició els havíem definit amb el desplaçament (Δx), una manera de mesurar la velocitat és fent el quocient entre el desplaçament experimentat i l' interval de temps (Δt) en què ocorre. Aquesta magnitud l'anomenarem ve loc i tat mit jana (vm).
vm = ΔxΔt
De vegades és més senzill mesurar només els canvis de posició sobre la trajectòria i també podem definir la magnitud rapidesa mit jana (cm), com el quocient entre la distànc ia
recorreguda sobre la tra jec tòr ia (⏐Δx⏐ ) i l' interval de temps (Δt) en què ocorre.
cm = ⏐ ΔxΔt⏐
A diferència de la velocitat mitjana, la rapidesa mitjana no és una magnitud vectorial sinó escalar i sempre és positiva. De fet la rapidesa és la magnitud que es pot llegir al velocímetre del cotxe quan anem conduint i ens indica únicament com anem de ràpids.
Ambdues magnituds es mesuren en S.I. en m/s, encara que en moltes situacions se solen emprar sovint unitats com els km/h. L'equivalència és fàcil de trobar i s'obté 1 m/s = 3,6 km/h.
A.6 Un ciclista va recórrer 35 km en una hora. Una moto va tardar 5 hores i mitja en fer 350 km, un avió va volar 513 km en 35 minuts i Usain Bolt va batre el rècord mundial de 4x100 m tanca a l'Estadi Olímpic de Londres fent 36,84 s en els Jocs Olímpics de 2012. Calcula la rapidesa mitjana en cada cas i ordena-les de menor a major.
Ja que la velocitat és una magnitud vectorial li posarem un s igne segons e l sent i t de l moviment . Com que no anem a fer un tractament totalment vectorial, aclarirem que e l s igne depèn de l s i s t ema de re f erènc ia i únicament indica si el mòbil es desplaça en un sentit (+) o en el contrari (-).
Pel que fa a la direcció del vec tor ve loc i tat , en cursos superiors demostrarem que es tracta d'un vec tor tangent a la tra jec tòr ia en cada punt i únicament és paral·lel a la trajectòria quan es tracta d'un moviment rectilini.
Veloc i tat mit jana i ve loc i tat ins tantània
A.7 Anem de viatge per l'autovia d'Algemesí fins a València (uns 33 km) i tardem 17 minuts. Uns dies després ens arriba una notificació de multa per excés de velocitat (límit en autovia 120 km/h). Podrem recórrer la multa per error? Amb la informació que ens donen només podem calcular una rapidesa mitjana durant el
viatge, però tot al llarg del viatge la rapidesa haurà anat canviant i pot haver superat en algun moment el límit permés. Cal plantejar-se la manera com determinar la rapidesa en cada instant, és a dir la rapidesa instantània . Ara veurem com es pot fer això.
U.1 EL MOVIMENT
1.6
A.8 Un atleta recorre 100 m en 10 s. Com es podria descriure el moviment de l'atleta per entendre millor com ha anat la cursa? Suposem que hem mesurat els temps de pas per diferents posicions i hem obtingut aquesta taula:
posicions (m) 0 20 40 60 80 100 instants (s) 0 2,5 4,5 6,2 8,5 10,0
Aclariu què caldria determinar i feu els càlculs corresponents.
Hi ha una manera millor de descriure el moviment d'un cos que simplement calculant la rapidesa mitjana que és una aproximació. Es tracta de determinar la rapidesa en cada instant. El càlcul de la rapidesa instantània i de la ve loc i tat instantània és un problema matemàtic que s'anomena càlcul de límits i que abordarem en cursos superiors.
4. EL MOVIMENT UNIFORME
L'estudi dels moviments es reduirà a establir les tres equacions bàsiques que relacionen la posició, la rapidesa i l'acceleració amb el temps. Aquestes equacions permeten determinar el valor de cadascuna de les magnituds en qualsevol instant. Concretament l'equació que relaciona la posició sobre la trajectòria amb el temps, s'anomena equac ió horàr ia o equac ió de l moviment , i té molt d'interès, ja que permet saber on es troba el mòbil en cada instant.
El moviment uni forme
El cas més senzill que estudiarem és el moviment uni forme (M.U.) que definirem com aquel l moviment que t é una rapidesa sobre la tra j e c tòr ia constant , per tant la rapidesa instantània també serà igual a la rapidesa mitjana.
L'equació de la rapidesa mitjana serà: vm = Δx/Δt = constant A partir de l'equació de la rapidesa mitjana es pot obtenir l'equació de la posició.
L'equació de la posició, anomenada equac ió de l moviment uni forme , serà:
x = x0 + vm (t - t0) (1)
A.9 A partir de la definició operativa de rapidesa mitjana, demostreu l'equació del
moviment uniforme (1).
A.10 Un mòbil que té un moviment uniforme ocupa sobre la trajectòria les posicions 8 i 14 m en els instants 2 i 4 s respectivament. Calculeu la velocitat mitjana i les posicions en els instants 0 i 3 s.
A.11 El moviment d'un cos ve definit per l'equació: x = 4 - 4·(t - 1) . a) Indiqueu el significat físic de tots els números que apareixen en l'equació. b) Calculeu en quin instant passa el mòbil pel punt de referència i en quina posició es troba als 4 segons de posar-se en marxa. En els moviments uniformes l'única magnitud que varia amb el temps és la posició sobre
la trajectòria (x), per això tots els càlculs referits a M.U. els resoldrem amb l'equació (1).
La solució sistemàtica de problemes numèrics referits a M.U. es pot fer si apliquem una sèrie de passos que en conjunt constitueixen un procediment o algor i tme , que fins i tot es pot convertir en un programa aplicable a un ordinador de forma que es puga resoldre més ràpi-dament i amb menor probabilitat d'equivocació en els càlculs matemàtics. Vegem ara l'aplicació a un problema concret ja resolt.
U.1 EL MOVIMENT
1.7
EXEMPLERESOLTI:Unciclistaesposaenmovimentsobreunacarreterarectaa10m/s.Dossegonsdesprés ix a perseguir-lo un motorista des d'una posició retardada 30mrespectealpuntdepartidadelprimermòbilivaa15m/s.Determineul'instantilaposicióonelmotoristatrobaràelciclista.
ESQUEMADERESOLUCIÓPERAPROBLEMESDEMOVIMENTS:
1) Confeccioneuunesquemagràficelmésdetallatpossible,onhihajalesposicionsdelsmòbils,lesvelocitats,etc.:
2) Trieuunsistemadereferènciaiassenyaleu-loal'esquemagràfic:
3) Determineulescaracterístiquesdecadascundelsmovimentsqueintervenen:
MòbilqueixdelpuntA:x0A=0m;t0A=0s;vA=10m/s
MòbilqueixdelpuntB:x0B=−30m;t0B=2s;vB=15m/s
4) Escriviulesequacionsdecadascundelsmoviments:
MòbilA:xA=vA·t=10t
MòbilB:xB=−30+vB·(t−2)=−30+15·(t−2)=15t−605) Calculeu les incògnites a partir de les equacions delsmoviments. Al problema
que hem posat com a exemple es tracta de saber en quin instant i posició estrobenelciclistaielmotorista,aixòvoldirqueocupenlamateixaposiciósobrelatrajectòria,pertant,matemàticamentescriurem:
x=xA=xB10t=15t−60
t=12sx=120m
(estrobena120md'onvaeixirelciclista)
A.12 Dos mòbils A i B estan separats inicialment 100 m, i comencen a moure's amb rapideses de 20 i 30 m/s respectivament, de manera que es trobaran en un punt intermedi. Determineu l'instant i la posició on es troben.
Un aspecte molt interessant de l'estudi d'un moviment és la representac ió grà f i ca de les seues equacions, cosa que ajuda a reconèixer els diferents tipus de moviments i a mesurar sobre les gràfiques magnituds com la velocitat o l'acceleració. Ho veurem tot seguit.
Aquest applet ens ajuda a simular les gràfiques d'un moviment real:
https://phet.colorado.edu/es/simulation/legacy/moving-man
U.1 EL MOVIMENT
1.8
A.13 Un moviment uniforme té per equació x = 5t + 3. Determineu els valors x (en m), v (en m/s) i a (en m/s2) per als instants t = 0, 1, 2, 3, 4 i 5 s. Dibuixeu la gràfica x-t corresponent i comenteu el resultat obtingut.
A.14 Amb la informació que proporciona la gràfica adjunta determineu: a) la posició inicial del mòbil; b) la posició a l'instant 2,5 s; c) la velocitat; d) l'equació del moviment.
A.15 Utilitzeu la gràfica següent per a determinar la velocitat del moviment. Escriviu
l'equació del moviment i dibuixeu al costat la gràfica v = f(t).
A.16 Descriviu el moviment representat en aquesta gràfica:
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
x(m)
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
x(m)
t(s)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7
x(m)
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
x(m)
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
x(m)
t(s)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7
x(m)
t(s)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
v(m/s)
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
x(m)
t(s)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
x(m)
t(s)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5 6 7
x(m)
t(s)
U.1 EL MOVIMENT
1.9
A.17 Utilitzeu el gràfic adjunt per a calcular la distància recorreguda pel mòbil entre els instants 2 i 5 s.
A.18 Dos automòbils circulen en sentits contraris i estan separats, en el moment
inicial, una distància de 600 m. El més ràpid duu una rapidesa constant de 72 km/h i l'altre de 54 km/h. Calculeu el temps que tardaran en creuar-se.
5. CONCEPTE D'ACCELERACIÓ
En casos on la velocitat no és constant, apareix la necessitat de disposar d'una magnitud per a mesurar com varia la velocitat.
A.19 Introduïu de forma raonada una magnitud que permeta avaluar si un mòbil experimenta canvis de velocitat molt o poc de presa.
La magnitud a què ens referim s'anomena acce l erac ió , que podem definir com el quocient entre la variació que experimenta la velocitat i l'interval de temps en què aquesta variació ocorre. Encara que l'acceleració és de fet una magnitud vectorial, en aquest nivell parlarem únicament de l' acce l erac ió mit jana mesurada sobre la tra j e c tòr ia (am). La definició operativa de l'acceleració mitjana s'expressa mitjançant la fórmula:
am = Δv/Δt
A.20 Proposeu les unitats per a mesurar l'acceleració i definiu de forma correcta la seua unitat internacional. Ja hem indicat que l'acceleració és un vector, però mesurada sobre la trajectòria
considerarem únicament el signe (+ o -) d'aquesta magnitud. El significat del signe és molt important per a entendre quin tipus de moviment té un cos i cal tenir en compte que aquest significat depèn també del signe que tinga la velocitat.
Per tant, respecte al signe de l'acceleració mesurada sobre la trajectòria es compleix que:
• quan els signes de v i a coincidesquen, sabrem que tenen el mateix sentit vec-torial, per tant augmentarà la rapidesa
• quan els signes de v i a siguen contraris, els sentits vectorials respectius també ho seran, per tant disminuirà la rapidesa
00,51
1,52
2,53
3,54
4,5
0 1 2 3 4 5 6
v(m/s)
t(s)
01234567
0 1 2 3 4 5 6
v(m/s)
t(s)
U.1 EL MOVIMENT
1.10
LAVELOCITATNOÉSL’ACCELERACIÓIVICEVERSA
ALGUNSVALORSCARACTERÍSTICSDEVELOCITATCompleteuelsvalorsenlesunitatsquemanquen:
Mòbils m/s km/h
Formigaanantalpas 0,01
Homecorrent 4
Campionsde100m 36
Guepardcorrent 29
Ocellenvol 158
Automòbilcomercial 62
Reactordepassatgers 961
So(enl’aire) 340
Reactordereconeixement 3300
TerraalvoltantdelSol 29600
Llum,onesderadio(enelbuit) 1,08·109
ALGUNSVALORSD’ACCELERACIÓ
Mòbils m/s2
Trenquearranca <0,5
Homequecomençaacórrer <2
Cotxequearranca <5
Cotxequefrena <8
Cosquecaulliurement 9,8
Avióaccelerantperaenlairar-se 12
Coetespacial 60
Balódefutbolenelmomentdelxut 100
Pilotadetenisquanlipegalaraqueta 1000
Pilotadegolfquanlipegaelpal 10000
U.1 EL MOVIMENT
1.11
No hem de caure en l'error habitual de pensar que "sempre" que l'acceleració és negativa significa que un cos frena. Això no és cert, un mòbil pot tenir acceleració negativa i estar augmentant la seua rapidesa, ja que es mou en el sentit negatiu (v<0).
A.21 Completeu la taula següent tot indicant si el mòdul del vector velocitat augmentarà/disminuirà, i si el sentit del moviment (o sentit del vector ve-locitat) és dreta/esquerra:
v0 a mòdul de v sentit de v
1 + -
2 + +
3 - +
4 - -
Components de l 'ac ce l erac ió
En estudiar les variacions del vector velocitat cal tenir en compte les variacions que experimenta el seu mòdul i també les que experimenta la seua direcció.
A.22 Com que la velocitat d'un mòbil és una magnitud vectorial pot canviar tant en mòdul com en direcció i sentit. Suposem que un cotxe va per una carretera recta tot augmentant constantment la seua velocitat. Justifiqueu cap a on aniria el vector acceleració. Feu el mateix per al cas que la velocitat del cotxe vaja disminuint.
A.23 Segons els resultats de l'activitat anterior, raoneu, a tall d'hipòtesi, quina direcció haurà de tenir el vector acceleració instantània per tal que només canvie la direcció de la velocitat, però sense modificar el seu mòdul.
Podem concloure de forma resumida que:
1. En el cas que la velocitat no varie en direcció sinó només en mòdul, l'acceleració associada a la variació del mòdul tindrà una direcció paral·lela a la velocitat, i per tant, com hem explicat abans, tangent a la trajectòria, per això l'anomenarem acce l erac ió tangenc ia l i el seu mòdul (⏐aT⏐) valdrà:
⏐aT⏐ = v− v0t − t0
2. En el cas que la velocitat només experimente variacions de direcció, tal com hem suggerit a l'activitat anterior, l'acceleració és un vector perpendicular al vector velocitat i, per tant, normal a la tangent a la trajectòria dirigida cap al centre de curvatura de la trajectòria.
Ara direm que existeix una acce l erac ió normal o c entr ípe ta (= que va cap al centre). Encara que en aquest nivell no podem demostrar-ho, aprendrem que el valor del mòdul de l'acceleració normal (⏐aN⏐) es pot calcular amb la fórmula:
⏐aN⏐ = v2
R
on R simbolitza el radi de curvatura de la trajectòria.
U.1 EL MOVIMENT
1.12
A.24 Quina acceleració tindrà un mòbil que recorre una corba i va augmentant el mòdul de la seua velocitat?
A.25 A partir del resultat de l'activitat anterior, resumiu la relació entre l'acceleració tangencial, l'acceleració normal i l'acceleració resultant o total. L'acceleració tangencial i l'acceleració normal, posat que són perpendiculars i sumades de
forma vectorial ens donen l'acceleració total del mòbil, s'anomenen sovint components intr ínseques de l ve c tor acce l erac ió , ja que són útils com a sistema de referència propi per a descriure moviments més complicats.
6. EL MOVIMENT UNIFORMEMENT ACCELERAT
Definirem el moviment uni formement acce l erat (M.U.A.) com aquell que té una acce l erac ió sobre la tra j e c tòr ia constant , per tant la component tangencial de l'acceleració també serà constant. Les equacions que descriuen el M.U.A. són:
L'acceleració mitjana sobre la trajectòria és constant: am = Δv/Δt = constant La velocitat varia uniformement amb el temps i la seua equació és:
v = v0 + am(t - t0) (2)
A.26 A partir de la definició operativa d'acceleració mitjana sobre la trajectòria, demostreu l'equació de la rapidesa en el M.U.A. (2).
L'equació de la posició (i del moviment) -que després demostrarem- és:
x = x0 + v0(t - t0) + 12 am(t - t0)
2 (3)
A.27 Calculeu la velocitat mitjana del moviment representat a la gràfica adjunta, durant l'interval de temps indicat.
Com hem demostrat a l'activitat anterior en un moviment uniformement accelerat la
velocitat mitjana es pot calcular fent la mitjana aritmètica de les velocitats inicial i final:
En un M.U.A. : vm = v0 + v2
(4)
00,51
1,52
2,53
3,54
4,5
0 1 2 3 4 5 6
v(m/s)
t(s)
01234567
0 1 2 3 4 5 6
v(m/s)
t(s)
U.1 EL MOVIMENT
1.13
A.28 Demostreu l'equació (3) si considerem que el M.U.A. es pot tractar com un M.U. on la velocitat constant fóra la velocitat mitjana entre els valors extrems v i v0.
A.29 Un mòbil posseeix una acceleració constant de -3 m/s2. Calculeu la seua velocitat a l'instant 5 s, si a l'instant 1 s val 20 m/s.
A.30 Un mòbil posseeix una velocitat inicial de 10 m/s i una acceleració de -2 m/s2. Calculeu els valors de la velocitat als instants t = 0, 2, 4, 6 i 8 s. Representeu la gràfica que correspon a l'equació v = f(t).
A.31 La velocitat d'un mòbil varia de manera regular des de 3 m/s fins a 7 m/s en un interval de temps de 4 s. Calculeu la distància recorreguda pel mòbil en aquest temps.
A.32 Un mòbil que duu una velocitat inicial de 20 m/s adquireix una acceleració de -4 m/s2. Calculeu el temps que tardarà en parar-se i la distància que haurà recorregut.
A.33 Descriviu els moviments representats per les gràfiques adjuntes:
A.34 Quina de les gràfiques de l'activitat anterior per a l'equació x = f(t) correspon
a un M.U.A. on l'acceleració és positiva i quina on és negativa? Quina paràbola és còncava i quina convexa?
A.35 A partir de les dades de la taula adjunta, indiqueu si el moviment representat és o no uniformement accelerat:
x (m) 0 7,5 30 67,5 120 t (s) 0 5 10 15 20
Una forma de reconèixer un moviment uniformement accelerat és representar els valors de x en front del quadrat del temps (t2), i veure si apareix una recta. D'aquesta manera podem calcular l'acceleració de forma senzilla si mesurem el pendent de la recta i el multipliquem per 2. Açò només es pot fer quan es verifica l'equació: x = k· t2 on la constant de proporcionalitat és la meitat de l'acceleració. Aquesta és la forma abreujada de l'equació (3) del M.U.A. vàlida només per al cas particular en què: x0 = v0 = t0 = 0.
A.36 Un automòbil que viatja per una carretera a 80 km/h frena uniformement de manera que als 10 s la seua rapidesa ha disminuït a 30 km/h. Quina distància ha recorregut el mòbil durant el temps de frenada?
02468101214
0 10 20 30 40 50 60
v(m/s)
t(s)
U.1 EL MOVIMENT
1.14
A.37 Quina acceleració hauria de tenir un mòbil per tal que arribe a 100 km/h en una distància de 200 m, si ha eixit del repòs?
A.38 A tall de resum ompliu el quadre fet per a l'estudi del moviment i poseu diferents moviments que podrien correspondre com a exemples de cada cas.
v a v = f(t) x = f(t) Representacions gràfiques
M.U.
M.U.A.
Aquest applet ens pot ajudar a dibuixar diferent representacions gràfiques:
https://phet.colorado.edu/es/simulation/legacy/calculus-grapher
7. EL MOVIMENT DE CAIGUDA LLIURE
Presentarem de forma esquemàtica el procés d'investigació del moviment de caiguda lliure dels cossos. Aquest és un dels problemes investigats pel físic italià Galileo Galilei (1564-1642), conegut entre nosaltres amb el nom de Galileu, que es considera un dels primers en la història de la ciència en aplicar una nova forma de procedir per a resoldre els problemes científics.
Cos de cone ixements
Galileu va partir del cos de coneixements molt ben estructurat que constituïa la física aristotèlica, d'on sorgiria la física moderna trencant amb aquest cos de coneixements. Les principals característiques de la física aristotèlica o escolàstica eren:
• Es basava en evidències del sentit comú. Com ara, va establir que els cossos cauen més de pressa com més pesen. És evident que una ploma cau més lentament que una pedra, però es tracta d'una observació superficial on l'aire juga un paper important que pot canviar radicalment en absència d'aire.
• Marcava una separació clara entre el món dels objectes terrestres (o món de les imperfeccions, com els moviments forçats) i el dels objectes celestes (o món inalterable, com el moviment continu dels astres).
De fet la física aristotèlica no resisteix una simple comprovació experimental, per això les seues hipòtesis de partida no arriben a assolir el rang de lleis.
Hipòtes i s de Gal i l eu re lat ives a la ca iguda de ls cossos
En primer lloc Galileu no accepta l'existència d'una proporcionalitat directa entre la rapidesa de caiguda i la massa del cos, perquè si deixem caure des de la mateixa altura dos cossos de massa distinta, podrem comprovar que el temps de caiguda és idèntic per a tots dos cossos. Amb l'observació de la caiguda dels cossos i l'augment de rapidesa que experimenten, Galileu va formular les següents hipòtesis:
1) Suposem que la caiguda dels cossos és un moviment uniformement accelerat.
2) Suposem que l'augment de rapidesa que experimenten és independent de la seua massa.
U.1 EL MOVIMENT
1.15
Comprovac ió exper imental de l e s h ipòtes i s de Gal i l eu
Calia demostrar que el moviment de caiguda lliure complia les equacions del M.U.A. i a més que era independent de la massa del cos. Per això, utilitzant cossos de massa diferent, va mesurar els espais recorreguts i els temps emprats.
• En el cas d'un sol cos que deixem caure sense rapidesa inicial (v0 = 0) l'equació del M.U.A. (3) queda simplificada a:
x = 12 at2 (5)
si a més prenem tant x0 com t0 igual a zero.
La realització de l'experiència consistiria a deixar caure un cos des de diferents altures i mesurar els temps de caiguda a terra, tot comprovat que ambdues magnituds compleixen l'equació (5). Ara, en la pràctica el temps de caiguda en vertical és excessivament curt per a permetre mesures suficientment precises, més encara a l'època de Galileu on els rellotges eren d'arena o d'aigua. Això Galileu ho solucionà retardant el temps de caiguda i per això deixava anar redolant esferes per un pla inclinat proveït d'un canal central per evitar desviacions en la caiguda. Així els temps de caiguda es fan més llargs i es poden mesurar amb més comoditat i precisió.
A.39 Realitzeu al laboratori l'experiència de Galileu fent servir un pla inclinat, dues esferes de massa diferent i un cronòmetre. Per a cada esfera prendrem com a mínim deu parelles de valors posició-temps i repetirem tres vegades cada mesura de temps. Per a la presentació i anàlisi de resultats caldria seguir aquestes instruccions: a) Construïu una taula amb les següents columnes:
Δx (m) t1 t2 t3 tm (s) (tm)2 (s2) b) Representeu: 1) x = f(t) ; 2) x = f(t2) . c) Interpreteu el resultat obtingut, tot indicant si el fenomen físic de la caiguda
lliure dels cossos és realment un M.U.A. d) Determineu el valor de l'acceleració de l'esfera (equació (5): a = 2·x/t2).
A.40 La taula adjunta l'hem obtinguda a partir del moviment de caiguda per un pla inclinat. Procediu al tractament adequat de les dades per a establir si l'acceleració és constant i trobeu-ne el valor:
x (m) 0 0,4 0,6 0,8 1 t (s) 0 1,2 1,5 1,8 2
El valor de l'acceleració de caiguda dels cossos en vertical és aproximadament 9,8 m/s2, oscil·lant lleugerament d'uns llocs a d'altres de la Terra, essent màxima als pols i mínima a l'equador, a banda de les fluctuacions lleugeres d'uns punts a d'altres i d'una variació amb l'altura sobre el nivell del mar. S'anomena acce l erac ió de la gravetat .
Vegeu aquest vídeo sobre la caiguda lliure dels cossos en el buit:
https://www.youtube.com/watch?v=s5QcJfMH-es
Els problemes de caiguda lliure els resoldrem, doncs, amb les equacions del M.U.A. igual com hem fet fins ara, només tenint les precaucions adequades en triar el S.R.E.T., ja que ací el moviment és vertical i no horitzontal com era més corrent. Per això farem servir la lletra "y" en comptes d' "x" per a les posicions i la lletra "g" en comptes d' "a" per a l'acceleració de la gravetat. Cal tenir cura amb el valor de g i el seu signe, ja que la gravetat sempre va cap al centre de la Terra. Si considerem el S.R.E.T. tal que els vectors que pugen siguen positius i els que baixen
U.1 EL MOVIMENT
1.16
negatius, llavors utilitzarem: g = −9,8 m/s2. Normalment, quan t0 val zero, les equacions (2) i (3) queden simplificades d'aquesta manera:
v = v0 + g· t = v0 − 9,8· t (2)
y = y0 + v0· t + 12 g· t2 = y0 + v0· t − 4,9· t2 (3)
A.41 Deixem caure una pedra des d'una altura de 30 m. Calculeu: a) la velocitat i posició quan ha passat 1 s; b) el temps que tardarà en arribar a terra i la seua velocitat en aquell instant.
A.42 Des del sostre d'una habitació cau una làmpada. Si l'alçària des d'on cau és de 2,5 m, calculeu quant de temps tardarà en arribar a terra.
A.43 Llancem un cos cap amunt amb una velocitat inicial de 40 m/s. Calculeu: a) la velocitat i la posició als 2 s; b) l'altura màxima a què arriba; c) el temps que tarda en tornar a terra i la velocitat final.
A.44 Raoneu com podríem saber la fondària d'un pou si hi deixem caure una pedra. Resoleu el problema suposant que tarda 2,5 s en escoltar-se l'impacte i discutiu com afectarà el resultat el fet de tenir en compte el temps que tarda el so en arribar des del fons fins a fora (velocitat del so en l'aire 340 m/s).
EXEMPLERESOLTII:Una pilota llançada cap amunt verticalment està en l'aire 3s. Calculeu lavelocitatambquèvaserllançadail'alturamàximaatesa.
Caladoptarunsistemadereferènciaperaferelproblema.
Suposem que el zero es situa en el punt de llançament i considerem els signesconvencionalscapamunt(+)icapavall(-).Llavorsjapodemescriurelesequacionsperalapilota:y=v0·t+½ gt2;v=v0+gt,ong=-9,8m/s2.
Amblesdadesquetenimlesequacionsseran:y=v0·t-4,9·t2icomt=3s,
y=v0·3-4,9·32on"y"valdrà0,jaqueeltempsqueestàlapilotaenl'airesignificaquepujaitornaabaixar,pertant:0=v0·3-19,6onaïllemv0=14,7m/s.
Peralcàlculde l'alturamàximatindremencomptequeel tempsperassolir-lahadesertalquelavelocitatfinalvalgazero.Peraixòl'equaciódelavelocitatlaigualema0iobtenim:0= 14,7 -9,8·t,d'on t= 1,5 s.Obtenim justament lameitatdel temps total(3s),perquèenabsènciadefregamentlapujadailabaixadadurenelmateix.
Finalmentambaquesttempsanemal'equaciódelaposició:y=14,7·t-4,9·t2icalculemelvalordel'alturamàximaaquèarribalapilota:ymax=14,7·1,5-4,9·1,52=11m.
U.1 EL MOVIMENT
1.17
8. ELS MOVIMENTS CURVILINIS
Encara que l'estudi del moviment que hem fet fins ací es pot aplicar a qualsevol moviment curvilini si ens fixem únicament en la trajectòria del mòbil, el tractament fet l'hem aplicat a molts exemples de moviments de trajectòria rectilínia.
Per acabar aquesta primera aproximació a l'estudi del moviment descriurem un cas particular de moviment curvilini, el moviment circular, és a dir, aquell que té com a trajectòria una circumferència (R = constant). Així apreciarem algunes particularitats que té aquest moviment. Per començar veurem només el moviment circular uniforme (M.C.U).
El moviment c i r cu lar uni forme
El moviment c i r cu lar uni forme (M.C.U) és aquell que t é una tra je c tòr ia c i r cu lar i la rapidesa de l mòbi l é s constant . No abordarem l'estudi vectorial, però únicament direm que el vector velocitat conserva el mòdul però varia contínuament de direcció, per la qual cosa aquest moviment no té acceleració tangencial (aT = 0) però si que té acceleració normal i té el mòdul constant (aN = constant).
El problema que presenta la descripció del moviment circular és que resulta més senzill usar una rapidesa mesurada a partir de l'angle descrit (anomenada rapidesa angular ω) que no la rapidesa d'un punt sobre la trajectòria (anomenada rapidesa lineal v).
A.45 Raoneu la manera més còmoda per a donar la posició d'un mòbil en qualsevol instant per a un moviment circular uniforme.
Per a determinar la posició angular d'un mòbil (ϕ) emprem la unitat amb què es mesuren els angles en el S.I., el radiant (rad) , que es defineix com el quocient entre la longitud de l'arc que abraça un cert angle recorregut (s) i el radi del gir (r).
A.46 Raoneu la manera de definir la rapidesa angular per a un moviment circular uniforme i en quines unitats caldrà mesurar-la.
La rapidesa angular (ω) és el quocient entre l'angle recorregut o descrit (Δϕ) i el temps emprat (Δt) i es mesura en radiants per segon (rad/s) :
ω = Δϕ /Δt
02468101214
0 10 20 30 40 50 60
v(m/s)
t(s)
U.1 EL MOVIMENT
1.18
A.47 Demostreu que l'equació que dóna la posició angular en qualsevol instant per a un moviment circular uniforme és : ϕ = ϕ0 + ω·(t - t0).
A.48 Determineu la rapidesa angular dels següents moviments: a) cadascuna de les busques del rellotge (l’horària, la minutera i la segonera); b) un disc que gira a 33 rpm; c) la rotació de la Terra; d) la translació de la Terra considerada aproximadament circular.
(R: Totes en rad/s: a) 1,45·10-4 ; 1,75·10-3 ; 0,105 ; b) 3,46 ; c) 7,27·10-5 ; d) 1,99·10-7)
A.49 Determineu la relació que existeix entre la rapidesa angular (ω) i la rapidesa lineal (v) en un moviment circular.
A.50 Les rodes d'un tractor tenen uns diàmetres de 0,6 i 1 m. Determineu quina rapidesa angular tindrà cada roda quan el tractor es desplaça a 30 km/h.
Moviments per iòdi cs : per íode i f r eqüènc ia
El moviment circular uniforme és un cas particular de moviment per iòdic , és a dir, s'hi van repetint les posicions del mòbil cada cert temps, per això la seua descripció implica l'ús de les magnituds que anomenem per íode i f r eqüència .
El per íode (T) és el temps que tarda el mòbil en tornar a passar per la mateixa posició. Cada repetició completa de les posicions és un c i c l e . Anomenem f r eqüènc ia (ν) el nombre de cicles que es repeteixen en la unitat de temps. Si el per íode el mesurem en segons, la f r eqüència anirà en c i c l es/s o hertz (Hz). Resulta senzill comprovar que: T = 1/ν i també ν = 1/T .
En un moviment c i r cu lar uni forme també es pot demostrar que la magnitud rapi-desa angular és directament proporcional a la freqüència i s'hi compleix:
ω = 2πT = 2π · ν (rad/s)
A.51 Un mòbil recorre una circumferència de 5 m de radi amb una rapidesa constant de 10 revolucions per minut (r.p.m.) Quin és el valor del període, de la freqüència i de les rapideses angular i lineal?
A.52 Un ventilador gira a un ritme constant de 650 rpm. Calculeu: a) la rapidesa angular en rad/s; b) el nombre de voltes que gira en 20 s; c) el període i la freqüència del moviment.
(R: a) 68,07 rad/s ; b) 216,67 voltes ; c) T = 0,09 s , ν = 10,83 cicles/s)
02468101214
0 10 20 30 40 50 60
v(m/s)
t(s)
U.1 EL MOVIMENT
1.19
9. ACTIVITATS COMPLEMENTÀRIES
ELS MOVIMENTS UNIFORME I UNIFORMEMENT ACCELERAT
A.53 Dues ciutats, A i B, es troben separades 30 km. Un cotxe ix amb moviment uniforme cap a la ciutat B des d’un punt situat entre les dues ciutats a 10 km d’A amb una rapidesa de 25 m/s. En el mateix instant ix de la ciutat B cap a la ciutat A una moto amb una rapidesa constant de 22 m/s. a) Dibuixeu un esquema que represente la situació i trieu un punt de referència. b) Escriviu, per a cada mòbil, una equació que represente el seu moviment. c) Calculeu en quin instant i en quin punt es trobaran.
(R: c) 426 s ; a 20638 m de la ciutat A)
A.54 Una moto passa per un punt de control amb una rapidesa de 54 km/h. Quan han transcorregut 6 s passa per un altre punt de control amb una rapidesa de 12 m/s. Suposem que el moviment ha estat uniformement accelerat: a) calculeu amb quina acceleració es mou; b) calculeu la distància que separa els dos punts de control; c) dibuixeu la gràfica rapidesa-temps del vehicle durant els 6 s en què l’hem observat.
(R: a) -0,5 m/s2 ; b) 81 m)
A.55 Un tren arranca des de l’estació amb una acceleració de 0,8 m/s2. a) Si considerem com a punt de referència l’estació d’origen, escriu les equacions velocitat-temps i posició-temps per al tren. b) Suposem que accelera durant un minut. Ompliu aquesta taula que correspon al moviment accelerat del tren:
x (m) v (m/s) t (s) 10 15 20 25 30 35 50 60
A.56 Un tren de gran velocitat (TGV) circula de París cap a Lyon amb una rapidesa punta de 280 km/h. En la mateixa línia circula un tren de rodalies en sentit contrari a 90 km/h. a) Considerem com a punt de referència una estació qualsevol i comencem a comptar el temps quan ambdós trens estan separats 10 km. Escriviu una equació posició-temps per a cada tren. b) Ompliu aquesta taula amb les posicions de cada mòbil:
Temps (s) 0 50 100 150 200 Posició TGV (m) Posició rodalies (m) c) Dibuixeu les gràfiques x-t corresponents a cada moviment i determineu
gràficament en quin instant i en quina posició es creuen els trens. (R: c) 97,3 s ; a 7568 m d'on estava el TGV al principi)
A.57 Un cotxe circula per una via recta a 100 km/h en una zona limitada a 50 km/h. Un cotxe de la policia que controla el trànsit, parat en aquella zona, arranca i el persegueix amb una acceleració d'1,2 m/s2. Calculeu: a) el temps que tarda en atrapar-lo; b) la distància recorreguda per la policia.
(R: a) 46,3 s ; b) 1286 m)
U.1 EL MOVIMENT
1.20
A.58 Un cavall corre amb una velocitat constant de 14 m/s. El cronòmetre es posa en marxa quan aplega a un tram recte de longitud 1200 m. L'arribada es troba 500 m abans del final d'aquest tram. a) Escriviu una equació que puga representar el moviment del cavall. b) Calculeu el temps que tarda el cavall en aplegar a l'arribada, si suposem que manté sempre la mateixa velocitat. c) ¿En quina posició estarà el cavall 1 minut després de començar a comptar el temps?
(R: b) 50 s ; c) 840 m)
A.59 Raoneu si aquestes afirmacions són vertaderes o falses: a) Quan major és l’acceleració major és la velocitat. b) Un cos que es mou amb un moviment uniforme es para quan se li acaba l’impuls que portava.
A.60 Expliqueu les característiques dels moviments els gràfics dels quals es mostren a continuació:
A.61 Dibuixeu la gràfica x-t d’aquest moviment: "El mòbil es troba inicialment en el
punt de referència i recorre una distància de 10 m amb un moviment uniforme cap a la part negativa. En aquest moviment tarda 4 s. Des de l’instant t = 4 s fins a l’instant t = 6 s està aturat. Després torna al punt de referència amb un moviment uniforme en un temps de 6 s". Indiqueu en quina etapa s’ha mogut més ràpidament.
A.62 L’equació x = 500 + 20·t (escrita per a unitats SI) representa el moviment d’un tren segons un cert punt de referència. Es demana: a) Indiqueu quina és la posició inicial del tren i la seua velocitat. b) Representeu les gràfiques posició-temps i velocitat-temps per als 30 primers segons del moviment. c) Raoneu si es tracta d’un moviment uniforme. ¿Serà un moviment curvilini?
A.63 Un avió s’acosta a la pista d’aterratge a una velocitat de 190 km/h, quan toca terra comença a frenar i tarda 40 s en aturar-se completament. Calculeu el valor de l’acceleració de frenada i la distància que recorre fins que es para.
(R: -1,32 m/s2 ; 1055 m)
U.1 EL MOVIMENT
1.21
A.64 Comenteu les característiques dels moviments representats en aquestes gràfiques i calculeu, en cada cas, la distància que recorre el mòbil:
A.65 Les dades de la taula corresponen a un moviment accelerat. Mitjançant càlculs
matemàtics o amb una gràfica, determineu si és o no uniformement accelerat:
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 x (m) 0 0,21 0,83 1,90 3,36 5,23 7,58
A.66 Dos automòbils es troben a la mateixa posició i circulen en el mateix sentit en una recta d'autopista. Les rapideses són 72 km/h i 90 km/h i es mantenen constants. a) Quina distància els separarà als 5 minuts? b) Representeu en una mateixa gràfica els espais recorreguts per tots dos en funció del temps. c) Mesureu a la gràfica l'espai que els separa als 5 minuts i compareu-ho amb el càlcul realitzat abans.
(R: a) 1500 m)
A.67 Dos automòbils ixen de dos punts separats 200 m, en la mateixa direcció i sentits oposats: el primer va a 10 m/s i el segon a 20 m/s. Sabem que el segon mòbil ix 2 s després que el primer. Demanem: a) escriviu les equacions del moviment per a cada mòbil; b) calculeu quan i on es creuen.
(R: b) 8 s ; a 80 m d'on ix el primer)
A.68 Un mòbil que duu una rapidesa de 6 m/s adquireix una acceleració de -2 m/s2. Determineu: a) l'instant en què el mòbil es deté; b) la distància recorreguda en aquest temps.
(R: a) 3 s ; b) 9 m)
A.69 Un mòbil arranca amb un moviment uniformement accelerat i als 10 s va a 25 m/s. Calculeu: a) l'acceleració; b) la distància recorreguda en els 10 s; c) representeu gràficament el moviment en els eixos x-t, v-t i a-t.
(R: a) 2,5 m/s2 ; b) 125 m)
U.1 EL MOVIMENT
1.22
A.70 Representeu qualitativament en els diagrames x-t i v-t el moviment d'una pilota que cau des de certa altura i rebota fins a la mateixa altura.
A.71 Hem estudiat experimentalment el moviment d'un cos i hem obtingut els resultats següents:
x(m) 0 7,5 30 76,5 120 t(s) 0 5 10 15 20
Indiqueu de forma raonada, mitjançant el tractament adequat dels resultats, de quin tipus de moviment es tracta.
EL MOVIMENT DE CAIGUDA LLIURE
A.72 Un grup d’alumnes realitza un experiment deixant caure des d’una terrassa de 50 m d’altura una pilota de tenis. Com que el temps de caiguda és molt curt, el mesuren cinc vegades i obtenen els valors següents amb un cronòmetre digital: 3,15 ; 3,22 ; 3,04 ; 4,15 ; 3,33 (en s). a) Indiqueu i raoneu si hi ha algun valor que haja de rebutjar-se. b) Calculeu el valor de l’acceleració de caiguda “g” a partir de l’equació de la posició del MUA.
(R: b) 9,86 m/s2 però si s'agafen tots els valors ix 8,78 m/s2, valor que té més imprecisió)
A.73 Un objecte es deixa caure des d’una altura de 60 m. a) Calculeu el temps que tardarà en arribar a terra. b) Amb quina velocitat arribarà a terra?
(R: a) 3,5 s ; b) -34,3 m/s)
A.74 Deixem caure una pedra des de la terrassa d’un edifici. Si la pedra arriba a terra amb una rapidesa de 18 m/s, calculeu: a) el temps que haurà tardat en caure; b) l’altura de l’edifici.
(R: a) 1,84 s ; b) 16,53 m)
A.75 Llancem una pilota verticalment cap amunt amb una velocitat de 30 m/s. Calculeu: a) el temps que tarda en arribar al punt més alt; b) l’altura màxima que assolirà; c) el temps que tardarà en arribar a terra després d'haver-la llançada; d) la velocitat amb què arribarà a terra.
(R: a) 3,06 s ; b) 45,96 m ; c) 6,12 s ; d) -30 m/s)
A.76 A la Lluna, un objecte que es deixa caure des d’una altura de 3,2 m tarda 2 s en arribar a terra. Calculeu el valor de l’acceleració de la gravetat a la Lluna.
(R: 1,6 m/s2)
A.77 Des de dalt d'una torre de 30 m d'alçària es llança cap amunt verticalment un objecte amb una rapidesa de 20 m/s. Calculeu: a) la posició i la rapidesa del mòbil als 5 s del llançament; b) el temps que tardarà en arribar a terra.
(R: a) 7,5 m, -29 m/s ; b) 5,25 s)
A.78 Calculeu quan i on es creuaran els cossos A, que deixem caure des d'una altura de 10 m, i B, llançat cap amunt en el mateix instant amb una rapidesa de 20 m/s.
(R: 0,5 s ; 8,78 m)
EL MOVIMENT CIRCULAR UNIFORME
A.79 L’arc descrit per un pèndol simple d’1 m de longitud és de 25 cm. Expresseu l’angle que ha descrit en radiants.
(R: 0,25 rad)
U.1 EL MOVIMENT
1.23
A.80 Feu les següents transformacions: a) 5 rad en revolucions. b) 300 revolucions en radiants. c) 720 rpm en rad/s.
(R: a) 0,796 voltes ; b) 1885 rad ; c) 75,4 rad/s)
A.81 Les rodes de davant i de darrere d’un tractor tenen diferent radi. Contesteu les següents qüestions: a) Quins punts de les rodes es mouen amb més rapidesa lineal? b) Quines roden giren amb més rapidesa angular?
A.82 Una roda de cavallets de la fira tarda 1,5 min en fer una volta completa. a) Calculeu la seua rapidesa angular en rad/s. b) Calculeu la rapidesa lineal d’un passatger A que va en un cavallet a 3 m de l’eix de rotació i la d’un passatger B que viatja en un altre cavallet situat 1 m més lluny del mateix eix. c) Raoneu quin passatger es mou més de presa.
(R: a) 0,0698 rad/s ; b) 0,209 m/s ; 0,279 m/s ; c) ambdós amb la mateixa ω per diferent v)
A.83 Determineu la rapidesa angular de la roda d'una bicicleta si sabem el seu radi
val 45 cm i es desplaça a 35 km/h. Quantes voltes haurà fet al cap d'una hora de circular a la mateixa rapidesa?
(R: 21,6 rad/s ; 12379 voltes)
A.84 El moviment de la Lluna al voltant de la Terra el podem considerar com un moviment uniforme de trajectòria circular centrat a la Terra. Es demana: a) Feu un esquema gràfic i dibuixeu per a tres posicions distintes de la Lluna sengles vectors representatius de la velocitat i de l'acceleració. b) Poseu exemples d'altres moviments que podem considerar uniformes i de trajectòria circular.
A.85 Determineu la rapidesa angular de la Lluna en la seua rotació i en la seua translació. Comenteu els resultats obtinguts. ¿Coneixeu alguna conseqüència pràctica d'aquests resultats? (La Lluna tarda 29 dies, 12 h i 44 min en fer una volta completa a la Terra).
(R: 2,46·10-6 rad/s ambdues, perquè té una rotació síncrona)
A.86 Una roda de bicicleta té una freqüència de 4,5 voltes/segon. a) Determineu el període i la rapidesa angular de la roda. b) Calculeu el radi si circula a 15 m/s.
(R: 0,22 s ; 28,27 rad/s ; 0,53 m)
A.87 Una roda gira a raó de 300 rpm. Calculeu: a) la rapidesa angular d’un punt qualsevol de la roda; b) la rapidesa lineal d’un punt situat a 2 m del centre; c) el nombre de voltes que gira en 20 s; d) el període i la freqüència del moviment.
(R: a) 31,42 rad/s ; b) 62,83 m/s ; c) 100 voltes ; d) T = 0,2 s, ν = 5 cicles/s)
U.1 EL MOVIMENT
1.24
UN TAST DE SEGURETAT VIÀRIA
A.88 Llegiu i comenteu aquest text amb l'ajut de les qüestions proposades.
Ladistànciadeseguretat Lasocietattecnològicaensabocaacuriosescontradiccions.Actualment,sitensdiners, et pots comprar un cotxe espectacular amb totamena de prestacions,moltaseguretat i comoditat i, sobretot, que córrega molt. Però, tot i que les carreteres iautopistes solen tenir una qualitat acceptable, la majoria de països d'Europaestableixenlímitsdevelocitatperraonsdeseguretatviària.Pertantnohipodremanaramésde,diguem-ne,120km/hounpocmésenelsavançaments.Iaixòperquè,enspreguntarem? Vegem-ho. La velocitat i la seguretat són factors contradictoris encarretera i amajorvelocitatmajor riscd'accidentmortal,permoltmodern i equipatquesigaelnostremodel.
On s'ha pogut fer la foto de l'esquerra?
Un cas ben freqüent d'accident és el colp per darrere, produït quan unconductors'acostaperillosamentaldedavantsenserespectarladistànciadeseguretat.Esconsideracomadistànciadeseguretataquellaque,encasdenecessitat,enspermetaturar-nos completament sense xocar amb cap vehicle que hi circule davant nostre.Aquesta magnitud depèn bàsicament de tres variables, la velocitat a què circulem,lògicament,itambélescondicionsfísiquesdelconductoridelacarretera.Ladistànciaquenecessitemperaturar-nosdepèndeladistàncianecessàriadefrenada,peròtambédeladistànciadereacciódelconductor.Enunadultencondicionsnormalseltempsdereacciópot ser entre 0,75 i 1 s, és adir, desque veiemunobstacleque ensobliga aaturar-nos i el fet d'iniciar lamaniobra real de frenar, passa una fracció de segon i,durantaquesttemps,elvehicleencaraesmoualavelocitatinicial.Ladistànciaqueesrecorreenaquesttempss'anomenadistànciadereacció.Pertantentotal:
Distànciadeseguretat=distànciadereacció+distànciadefrenadaLes autoritats han ideat alguns senyals orientatius per què els conductors
puguen estimar aquinadistància estandel vehicleméspròxim,però la clau està enmantenir-se commés llunymillor del vehicle de davant i,més encara, si anem a lamàximavelocitatpermesaalaviaperoncirculem.
U.1 EL MOVIMENT
1.25
Peracompletarla informaciódonadapodeuveureaquestvídeosobreladistànciadeseguretat:https://www.youtube.com/watch?v=ieTkESzAcNQ
Q1. Valoreu críticament per què és important respectar les regles de conducció i els senyals de circulació corresponents.
Q2. Creieu que els conductors respecten habitualment la distància de seguretat? Per quins motius?
Q3. Quins factors personals o climatològics poden contribuir a augmentar el temps de reacció?
Q4. Circulem per una autopista francesa a 130 km/h. Calculeu quina distància necessitem per a frenar i aturar-nos completament, sense tenir en compte la distància de reacció, si l'acceleració de frenada màxima del nostre cotxe a aquesta velocitat és de 7 m/s2. Calculeu la distància de seguretat amb un temps de reacció d'1s.
B