4to trabajo de matematica aplicada ii - series de fourier - untecs
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UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMA
INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
IV INFORME
DE MATEMATICA APLICADA II
-SERIES DE FOURIER-
Alumnos: CAHUANA GOMEZ GUSTAVO ANTONIO
CONCHA SANDOVAL MARVIN THOMAS
QUINTANA PENA EMERSON
PANTA VASQUEZ LUIS MIGUEL
POCCO TAYPE, JUAN ALBERTO
2011 – II
SERIES DE FOURIER
1) Hallar la serie de Fourier de las siguientes funciones:
( ) 2
Sol.
( ) ∑ ( ( ) ( ))
∫ ( )
∫ ∫
∫ ( ) ( )
∫ ( )
∫ ( )
(
( ))|
∫ ( ) ( )
∫ ( )
∫ ( )
(
( ))|
( ( ) )
( ( ))
{
* +
* +
( )
(
)
2) Hallar la serie de Fourier de la siguiente función:
Sol.
a)
∫ ( )
(∫
∫ ∫ )
.
/
b)
∫ ( )
(∫
∫ ∫ )
𝜋 𝜋
1--
-1--
( 0
1
0
1
)
(
*
(
*
{
c)
∫ ( )
(∫
∫ ∫ )
(0
1
0
1
)
(
* {(
)
( ) ∑( )
( )
( )
3) Sea la función :
Hallar la serie de Fourier:
Sol.
Calculamos:
∫ ( )
∫
( |
)
∫ ( ) ( )
∫ ( )
( ( ) |
)
( .
/)
∫ ( )
∫ ( )
( ( ) |
)
. .
/ /
( .
/)
Luego:
{
* +
* +
* +
{
* +
* +
* +
:
( )
(
)
4) Sea la función :
1
π
π
Sol.
Calculo de a0
a0 =
∫ ( )
=
( ∫ ∫ ∫
)
a0 =
(
.
/ ) =
=
∫ ( ) ( )
=
(∫ ( ) ( ) ∫ ( )
∫ ( ) ( )
)
=
( ( )
)
=
( .
/ (
))
Para n un número par: a n = 0
Para n sean los números impares se tiene:
=
; n = 1, 5, 9, 13
=
; n = 3, 7, 11, 15
Calculo de
=
∫ ( ) ( )
=
(∫ ( ) ( ) ∫ ( )
∫ ( ) ( )
)
=
( ( )
)
= 0
Reemplazando en la serie de Fourier los valores:
( ) ∑( ( ) ( ))
Rpta:
( )
(
)
5) Sea la función :
Sol.
∫ ( )
(∫
∫
+
.
/
∫ ( ) ( )
(∫ ( )
∫ ( )
+
( .
/ .
/)
∫ ( ) ( )
(∫ ( )
∫ ( )
+
( ( ) ( ))
( )
(
( )
( )
( ) *
6) Sea la función :
Sol.
a)
∫ ( )
(∫
∫ )
(, -
, - )
b)
∫ ( )
(∫
∫ )
( 0
1
0
1
*
1
-1
𝜋 𝜋
. 0
1
/
c)
∫ ( )
(∫
∫ )
(0
1
0
1
*
(
* {
(
)
( ) ∑
( )
(
)
7) Sea la función:
f(x) = π π
Sabemos que:
F(x) = , -π π
Donde:
{
* +
* +
Luego:
f(x) =
(
)
Hallamos:
π∫
π
(
)π
π π
π∫ ( )
π
(
π ( ) (
) ( )
π
π
(
π))
cos(n π)
π∫
( )
π(
( ) (
) ( ))
π
π
Luego:
Rpta: 0
8) Sea la función:
( ) 2
Calculo de a0
a0 =
∫ ( )
= a0 =
( ∫
∫
) =
a0 =
Calculo
=
∫ ( ) ( )
=
(∫ ( )
∫ ( )
)
=
(∫ ( )
) =
( ( )
( )
)
=
( ( ))
Si n es par: = 0
Si n es impar: =
Calculo de
=
∫ ( ) ( )
=
(∫ ( )
∫ ( )
) (I)
∫ ( )
= (
( )
( )
)
= ( ( )
)
∫ ( )
=
( )
(II)
∫ ( )
= (
( )
)
= ( ( )
)
) (III)
(III) y (II) en (I):
=
(
( )
( )
)
Si n es par:
=
(
) =
Si n es impar:
=
(
) =
Reemplazando en la serie de Fourier los valores:
( ) ∑( ( ) ( ))
( )
(
*
(
* (
* (
)
9) Encontrar la Serie de Fourier:
( ) {
π
π
Sol.
Hallamos:
π∫
π
∫
=
-
π( ∫ ( )
∫ ( ) )
π( ( )
π
( )
( )
π
π(
( )
*
Donde:
{
* +
* +
Luego:
Rpta: F(x) =
-
+
(Cosx +
)
10) Sea la función :
𝜋
𝜋
𝜋
-x
Sol.
a)
∫ ( )
(∫ ∫ )
(
, -
*
b)
∫ ( )
(∫
)
(
([
]
)+
( ) {
c)
∫ ( )
∫
([
]
)
{
( )
∑ )
( )
(
* (
*
11) Sea la función :
( ) ( ) 2
Sol.
Calculemos:
a0=
∫
∫
=
∫ ( )
∫ ( )
=
∫ ( )
∫ ( )
bn =
, ( ) -
Donde:
{
*
*
Luego:
( )
(
*
12) Sea la función:
( ) 2
Sol.
Calculo de
=
∫ ( )
=
(∫ ( )
∫
)
=
∫
= 0
Calculo de
=
∫ ( ) ( )
=
( ∫ ( ) ∫ ( )
)
=
∫ ( )
=
(∫ ( ) ∫ ( )
)
=
. ( )
( )
( )
/
=
( ) ( ( ) ) +
( ) ( ( ) )
Si n es un número par: = 0
Si n es un número impar:
=
( )
( ) =
( )( )
Calculo de
=
∫ ( ) ( )
=
(∫ ( )
∫ ( )
)
=
∫ ( )
=
(∫ ( ) ∫ ( ) )
= 0
Reemplazando en la serie de Fourier los valores:
( ) ∑( ( ) ( ))
( )
(
)
13) Sea la función:
( ) 2
Sol.
a0 =
∫
(
)
an =
∫ ( )
[ .
(( ) )
( ) (( ) )
( )/
]
an =
.
(( ) )
( ) (( ) )
( )
( )
( )/
( ( )π
( ) ( )π
( )*
Para
a1 =
( )
Hacemos lo mismo en bn:
( ( )π
( ) ( )π
( )*
Para n=1:
.
/
Luego:
( )
(
*
14) Sea la función :
Sol.
a)
∫
[
]
b)
∫ ( )
(∫ )
(
(
*[
]
c)
∫ ( )
∫
(
(
*[
]
( )0
( )1
( ),( )-
{
( )
1
-1
𝜋 𝜋
( ) ∑
( )
(
*
15) Sea la función:
( )
Sol.
∫
∫ ( )
( ( )
( )
)
( ( )
( )
)
∫ ( )
( ( )
( ) ( )
( ))
Por ORTOGONALIDAD, sabemos que si ‘n’ es diferente a ‘m’ entonces saldrá 0.
Pero no será así cuando n = m = 2. Donde al final sale 1.
Entonces al reemplazar en Fourier, sale: 1 · cos(2x) = cos2x
( ) ∑( ) ( )
16) Sea la función:
( ) π
Sol.
Se observa que no se toma:
El recorrido total π π
Por lo que vamos a duplicar los coeficientes de Fourier:
( ) ∑ ( ( ) ( ))
(I)
Calculo de
=
∫ ( )
=
∫
= 0
=
∫ ( ) ( )
Calculo de
=
∫ ( )
∫ ( ) ( )
Calculo de
=
∫ ( ) ( )
=
∫ ( )
(∫ ( ) ∫ ( ) )
(II)
∫ ( )
=
( )
(III)
∫ ( )
=
( )
(IV)
(III) y (IV) en (II):
=
(∫ (
( )
( )
))
Si n es un número par:
=
(∫ (
))
Si n es número impar:
=
(∫ (
))
(
( )( ))
Reemplazando los valores en la serie de Fourier en (I):
( ) ( ) ∑( ( ) ( )
(
( )( )) ( )*
Luego:
( )
(
)
17) Sea la función:
( )
Sol.
∫
∫
( ( ⁄ )
( ⁄ ) ( ⁄ )
( ⁄ )+
( (
)
(
)
)
∫ (
)
⌊ ( )
( ) ( )
( )⌋
( )
(
*
18) Sea la función:
( )
Sol:
a)
∫
∫ (
*
(∫ ∫ )
(, -
[
]
b)
∫
∫ (
*
(∫ ∫ *
(0
1
[
(
*(
]
,
( )(( ) ( ))
c)
∫
∫ (
*
(∫ ∫ *
(0
1
[
(
*(
]
,
Luego:
( )
19) Sea la función :
( ) 2
Sol.
(∫
∫
)
∫ ( )
∫ ( )
( )
( )
( )
( )
∫ ( )
∫ ( )
( ( ) )
Luego:
( )
(
*