2. Barisan  dan  Deret  Geometri    a. Barisan  Geometri  

 

     Berdasarkan  defenisi  di  atas  dapat  diturunkan    

!!!!!!!

!!!

× !!!!!!!!!

!!!

×⋯× !!!!!

!

× !!!!!

!

= 𝑟×𝑟×⋯×𝑟×𝑟!!!

𝑈!×!!!!!!!!

× !!!!!!!!

×⋯× !!!!

× !!!!

× !!!

= 𝑟!!!

!!!!

= 𝑟!!!

𝑈! = 𝑈!𝑟!!!

   

                     

Barisan  geometri  adalah  susunan  bilangan  yang  terurut  dimana  rasio  antara  dua  bilangan  atau  suku  yang  berurutan  adalah  sama    Bentuk  umum  barisan  geometri  adalah    

𝑈!  ,𝑈!  ,𝑈!  ,⋯ ,𝑈!!!  ,𝑈!!!  ,𝑈!      dimana  𝑈!  adalah  suku  ke− 𝑛  dan  𝑛  adalah  bilangan  bulat    Rasio  𝑟 = !!

!!!!= !!!!

!!!!= ⋯ = !!

!!= !!

!!  

 

𝑟 =𝑈!𝑈!!!

 

Suku  ke− 𝑛  suatu  barisan  geometri  dengan  rasio  𝑟  adalah    

𝑈! = 𝑈1𝑟𝑛−1  

 

Persamaan  yang  lebih  umum  adalah    !!!!

= !!!!!!

!!!!!!

!!!!

= !!!!

!!!!

!!!!

= 𝑟 !!! ! !!!

!!!!

= 𝑟!!!!!!!

       

!!!!

= 𝑟!!!!!!!

!!!!

= 𝑟!!!!!!!

!!!!

= 𝑟!!!

𝑈! = 𝑈!𝑟!!!

 

   

   Khusus  jika  jumlah  suku  𝑛  adalah  ganjil  maka  ada  suku  tengah  𝑡 = !!!

!  

dimana  𝑡  merupakan  bilangan  bulat  sehingga  berlaku      

𝑡 = !!!!

𝑡 − 1 = !!!!− 1

𝑡 − 1 = !!!!− !

!

𝑡 − 1 = !!!!!!

𝑡 − 1 = !!!!

         

𝑈! = 𝑈1𝑟𝑡−1

𝑈! = 𝑈1𝑟!!!!

𝑈!! = 𝑈1𝑟!!!!

!

𝑈!! = 𝑈12 𝑟!!!!

2

𝑈!! = 𝑈12𝑟!!!

𝑈!! = 𝑈1 𝑈1𝑟!!!

𝑈!! = 𝑈1𝑈𝑛𝑈! = 𝑈1𝑈𝑛

 

     

     

Suku  ke− 𝑛  suatu  deret  geometri  jika  diketahui  rasio  𝑟  dan  suku  ke− 𝑝  adalah    

𝑈! = 𝑈!𝑟!!!  

Suku  tengah  suatu  barisan  geometri  yang  jumlah  sukunya  𝑛  merupakan  bilangan  ganjil    

𝑈! = 𝑈1𝑈𝑛  

 

 b. Deret  Geometri  

             

   

Berdasarkan  defenisi  deret  geometri  bisa  diperoleh    

𝑆! = 𝑈! +  𝑈! +  𝑈! +  ⋯+ 𝑈!!!!!!!

+  𝑈!𝑆! = 𝑆!!! + 𝑈!𝑆! − 𝑆!!! = 𝑈!

   

   

   Terlihat  untuk  deret  geometri  dan  deret  aritmatika  bentuknya  sama  yang  membedakan  hanya  beda  yang  tetap  pada  deret  aritmatika  dan  rasio  yang  tetap  pada  deret  geometri      

Deret  geometri  adalah  jumlah  suku  suku  dari  barisan  geometri    Bentuk  umum  deret  geometri  adalah    

𝑆! = 𝑈! +  𝑈! +  𝑈! +  ⋯+ 𝑈!!! +  𝑈!  

Suku  ke− 𝑛  suatu  barisan  aritmatika  sama  dengan  selisih  antara  jumlah  𝑛  suku  pertama  dengan  jumlah  𝑛 − 1  suku  pertamanya    

𝑈! = 𝑆! − 𝑆!!!  

 

Berdasarkan  defenisi  deret  geometri  bisa  diperoleh    

𝑆! = 𝑈! +   𝑈! +   𝑈! +⋯+ 𝑈!!! + 𝑈!!! +   𝑈!𝑟𝑆! = 𝑈!𝑟 + 𝑈!𝑟 + 𝑈!𝑟 +⋯+ 𝑈!!!𝑟 +  𝑈!!!𝑟 +   𝑈!𝑟 −    

   𝑆! = 𝑈! +   𝑈! +   𝑈! +⋯+ 𝑈!!! + 𝑈!!! +   𝑈!𝑟𝑆! = 𝑈! + 𝑈! + 𝑈! +⋯+ 𝑈!!! +  𝑈! +   𝑈!!! −    

   Persamaan  di  atas  dapat    ditulis  dalam  bentuk  di  bawah    𝑆!                    = 𝑈! +   𝑈! +   𝑈! +⋯+ 𝑈!!! + 𝑈!!! +   𝑈!𝑟𝑆!                    = 𝑈! + 𝑈! +⋯+ 𝑈!!! +  𝑈!!! +   𝑈! + 𝑈!!! −    

𝑆! − 𝑟𝑆! = 𝑈!        − 𝑈!!!          Hasilnya  adalah    𝑆! − 𝑟𝑆! = 𝑈! − 𝑈!!!1− 𝑟 𝑆! = 𝑈! − 𝑈1𝑟 𝑛+1 −1

1− 𝑟 𝑆! = 𝑈! − 𝑈1𝑟𝑛

1− 𝑟 𝑆! = 𝑈! 1− 𝑟𝑛

𝑆! = !! !!𝑟𝑛

!!!

   

   

         

Jumlah  𝑛  suku  pertama  deret  geometri  dengan  rasio  𝑟  adalah    

𝑆! =𝑈! 1− 𝑟𝑛

1− 𝑟  

 

 c. Sisipan  Pada  Barisan  dan  Deret  Geometri  

 Sisipan  adalah  penambahan  sejumlah  𝑘  suku  baru  diantara  dua  suku  yang  berdekatan    Pada  sisipan  suku  awal  dan  suku  akhir  tetap  sama  yang  berubah  adalah  rasio.    Misalkan  antara  𝑈!  dan  𝑈!!!  disisipkan  𝑘  buah  suku  baru  dengan  rasio  awal  adalah  𝑟  dan  rasio  baru  adalah  𝑟′      Sebelum  disisipkan         Sesudah  disisipkan    𝑈!!! = 𝑈!𝑟

         

𝑈!!!!! = 𝑈!𝑟′ !!!!! !!

𝑈!!!!! = 𝑈!𝑟′!!!!!!!

𝑈!!!!! = 𝑈!𝑟′!!!!!!!

𝑈!!!!! = 𝑈!𝑟′!!!

 

 Karena  pada  sisipan  suku  awal  dan  suku  akhir  tetap  sama  maka    𝑈!!! = 𝑈!!!!!𝑈!𝑟 = 𝑈!𝑟′!!!!!!!𝑟 = 𝑟′!!!

𝑟 = 𝑟′!!!𝑟!!! = 𝑟′

   

 

         

Jika  antara  dua  suku  yang  berdekatan  dari  barisan  geometri  yang  rasionya  𝑟  disisipkan  𝑘  buah  suku  baru  maka  rasio  yang  baru  adalah    

𝑟! = 𝑟!!!