2fungsi konveks dan konkaf

Click here to load reader

Download 2Fungsi Konveks Dan Konkaf

Post on 26-Dec-2015

33 views

Category:

Documents

10 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Fungsi Konveks dan Konkaf

Fungsi Konveks dan Konkaf Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScFungsi konveks dan konkaf memegang peranan penting pada pemrograman non linierPada fungsi tersebut solusi optimal yang unik dijamin keberadaannyaFungsi tersebut mempunyai daerah asal yang merupakan himpunan konveksDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScDefinisi Himpunan KonveksHimpunan R konveks jika x, y , maka z= c x + (1-c) x , c [0, 1 ]

Himpunan titiktitik di , di mana sembarang pasangan titik di dalam himpunan dihubungkan oleh garis yang seluruh titik pada garis tersebut juga di

xzyDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc(a) dan (b) himpunan konveks

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc Sebuah fungsi f(x) konveks pada jika x, x : f(cx + (1-c) x) < cf(x) + (1-c)f(x), c [0,1]

f(x)Y*= cf(x) + (1-c)f(x)f(x)Y*Y**Y** =f(cx + (1-c) x) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScSebuah fungsi f(x) konveks pada jika x, x : f(cx+ (1-c) x) cf(x) + (1-c)f(x), c [0,1]

f(x)f(x)Y*Y**Y*= cf(x) + (1-c)f(x)Y** =f(cx + (1-c) x)

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScFungsi Konveks/Konkaf sehubungan dengan TEOREMA 1 Jika f(x) konveks pada maka lokaI minimum adalah global minimum, Jika f(x) konkaf pada maka lokaI maksimum adalah global maksimum.

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScSifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan KeduaTeorema 2:Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x) C1) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika:Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan KeduaTeorema 2 (lanjut):Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan satu kali (f(x) C1) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika:Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf berdasarkan Turunan Pertama dan KeduaTeorema 3:Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x) C2) adalah fungsi konveks pada , jika dan hanya jika:Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Suatu fungsi f(x) yang dapat diturunkan dua kali (f(x) C2) adalah fungsi konkaf pada , jika dan hanya jika:

Contoh: f(x) = ex dan f(x) = x2 adalah fungsi konveks

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScSifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X Rn Rn adalah himpunan konveks jikax, x z = cx +(1 - c)x , c [0,1] di mana x = (x1 ,,xn) dan x = (x1 ,,x")

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScTEOREMA: f : R adalah fungsi konveks jika x, y :f(cx +(1 - c)x ) cf(x )+(1 - c)f(x) , c [0,1] dan f(y) > f(x) + (y-x)' f(x)

f : R adalah fungsi konkaf jika x, y : f(cx +(1 - c)x ) cf(x )+(1 - c)f(x) , c [0,1] dan f(y) f(x) + (y-x)' f(x) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScSifat-sifat fungsi Konveks dan Konkaf untuk X Rn Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Scdi mana:

Adalah vektor gradien yang elemennya adalah turunan pertama secara parsial terhadap masing-masing xiSelain dari turunan pertama, sifat fungsi konveks dan konkaf dapat dianalisis dari turunan kedua fungsi - Matriks HessianMatriks Hessian suatu fungsiDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScMatriks Hessian dari fungsi f(x1, x2,, xn) adalah n x n matriks yang elemen ke ij nya adalah:

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScDefinisi: Minor utama ke-i dari matriks nn adalah determinan dari matriks ii yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut

Jika matriks berukuran nn maka akan terdapat n minor utama

Minor utama ke-1 adalah diagonal utama.Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScContoh perhitungan minor utama suatu matriksPada matriks berukuran 22 berikutDimiliki 2 minor utamaDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Minor utama ke-1 adalah determinan dari matriks setelah penghapusan 2 1 =1 baris dan kolom (baris I & kolom I dan baris II & kolom II):

Minor utama ke-2 adalah determinan dari penghapusan 2 2 = 0 baris dan kolom dari matriks tsb determinan dari matriks itu sendiriDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

det = (-2)(-4) (-1)(-1) = 7TEOREMA: Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh minor utama dari A bernilai >0 (non negatif)

Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor utama dari A bemilai >0 (positif)

Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n.

Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh minor utama dari A bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,nDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.ScSifat Konveks dan Konkaf Berdasarkan Sifat Matriks HessianDr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Contoh penggunaan Matriks Hessian untuk Penentuan Sifat Konveks/Konkaf suatu fungsiDiberikan fungsi berikut:Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Matriks Hessian bagi fungsi tersebut adalah:

=Matriks Hessian tersebut mempunyai 2 minor utamaMinor utama ke-1 adalah:Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Untuk x10 maka minor utama ke-1:2 >0 dan 6x1 0 Minor utama ke-2 adalah determinan dari:Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Yang bernilai 12x1 4 Hanya akan bernilai 0 untuk x1 1/3Fungsi pada contoh ini mempunyai matriks Hessian yang bersifat positif (semi) definit pada rentang x1 1/3Fungsi bersifat konveks untuk x1 1/3

LatihanCoba kerjakan hal yang sama untuk fungsi-fungsi berikut ini:Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

View more