sifat-sifat fungsi konveks dan aplikasinya dalam …
TRANSCRIPT
SIFAT-SIFAT FUNGSI KONVEKS DAN
APLIKASINYA DALAM OPTIMISASI
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana
Program Studi Matematika
Disusun oleh :
CICILIA RIRIN WAHYUNDARI
NIM : 043114011
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2008
THE PROPERTIES OF CONVEX FUNCTION AND
ITS APPLICATION IN OPTIMIZATION
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the SARJANA SAINS Degree
In Mathematics
by:
CICILIA RIRIN WAHYUNDARI
Student number : 043114011
STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SCIENCE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2008
ii
SKRIPSI
SIFAT-,SMAT FT]NGSI KOI\MEKS DAFI
APLIKASII\YA I}ALAM OPTIMISASI
Pembimbing
^0Lusia Krismiyati Budiasih, J.Si, M.Si tanggal: Juli 2008
111
Skripsi
SIF'AT=SN'AT FT]NGSI KOilTVEKS DAT\T
APLIKASITTYA DALAM OPTIMISASI
Dipersiapkan dan ditulis oleh:
Cicilia Ririn Wahyundari
NIM : 043114{fl1
Tangan
r - r (
Fakultas Sains dan Teknologi
lv
I
Yogyakarta, Juli 2008
iarko, SJ., S.S., BST., M.Sc., MA.
i
i
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
����
Serahkanlah hidupmu kepada TUHAN dan
percayalah kepada-Nya, dan Ia akan bertindak
Mazmur 37:5
Kupersembahkan skripsiku ini kepada :
Jesus Christ sumber Kekuatan dan harapanku
Bapak dan ibux atas cinta dan doa setiap waktu
Norbertus Deutz atas doa, dukungan, perhatian dan cinta.
serta Almamaterku tercinta
vi
vii
Orang yang menaruh kepercayaan kepada Allah
akan menemukan penghiburan dalam kekuatan-Nya
~nn~
Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apapun juga,
tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah
dalam doa dan permohonan dengan ucapan syukur.
Filipi 4:6
Segala yang kamu ingini akan terjadi jika kamu yakin
pada Allah dan kamu melakukannya dengan sungguh-
sungguh
~nn~
ABSTRAK
Fungsi konveks memegang peranan yang cukup penting di dalam
analisis real dan penerapannya. Untuk mengetahui bahwa suatu fungsi adalah konveks dapat menggunakan definisi atau sifat dari matriks Hessian. Suatu fungsi dikatakan konveks jika matriks Hessian fungsi tersebut semidefinit positif dan dikatakan konveks tegas jika matriks Hessian fungsi tersebut definit positif. Fungsi konveks mempunyai sifat kontinu dan diferensiabel.
Fungsi konveks berguna dalam masalah optimisasi. Jika suatu fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks mencapai minimum lokal pada suatu titik maka fungsi tersebut mencapai minimum pada titik tersebut. Suatu fungsi akan mempunyai nilai minimum jika fungsi tersebut konveks dan diferensiabel, dan nilai gradien fungsi tersebut sama dengan nol.
viii
ix
ABSTRACT
Convex function holds a significant role in the analysis real and its
application. To identify whether a function is convex or not, the definition or the characteristic of Hessian matrix can be used. A function is a said to be convex if the Hessian matrix of the function is positive semidefinite and called a strictly convex if the Hessian matrix of the function is positive definite. Convex function is continuous and differentiable.
Convex function is useful in the problem of optimization. If a convex function defined in a convex set attains a local minimum at a points then the function attains a minimum at that points. A function will have a minimum value if it is a convex, differentiable, and the gradient value of the function is zero.
xix
xix
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, atas berkat
dan kasih karunia yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi yang berjudul ”Sifat–sifat Fungsi Konveks dan Aplikasinya Dalam
Optimisasi”.
Dalam proses penulisan skripsi ini banyak hambatan yang dialami oleh
penulis. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi
ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si, M.Si selaku pembimbing dan ketua
program studi Matematika yang telah memberikan banyak saran dan telah
banyak meluangkan waktu, pikiran, tenaga, dan yang telah sabar membimbing
penulis sampai pada tahap penyusunan skripsi ini.
2. Ibu MV. Any Herawati dan Bapak Herry Pribawanto Suryawan selaku dosen
penguji dan telah memberi masukan.
3. Ir. Gregorius Heliarko, S.J., S.S., BST., M.A., M.Sc. selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma.
4. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan ilmu pengetahuan yang
sangat berguna bagi penulis.
5. Pak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan administrasi dan
urusan–urusan akademik kepada penulis selama masih kuliah.
xi
xii
6. Bapak dan Ibu Tercinta : Bapak Antonius Wahono dan Ibu CH. Sri Sudiyani
yang selalu mendampingi, mendoakan dan telah memberikan banyak kasih
sayang, perhatian dan dukungan dalam segala hal.
7. Norbertus Deutz Yunianta Tinitih yang telah memberikan banyak cinta,
perhatian, pengertian, kesabaran, waktu dan semangat. Terima kasih buat doa
dan kenangan indah yang telah diberikan kepada penulis.
8. Sahabat–sahabatku terkasih, Ipus, Mbak Liul, Dek Embix, Yayas, Toro.
Terima kasih atas persahabatan, kenangan, dukungan, doa dan perjalanan
hidup yang berarti banget untuk penulis.
9. Teman–teman Kost Sekar Ayu, Mbak Die, Mbak Lia, Mbak Wie, Watiex,
Mbak Ria, Sisca, terima kasih atas keceriaan yang kalian berikan kepada
penulis.
10. Teman–teman angkatan 2003 dan 2004, Septi, Dewi, Valent, Merry, Mekar,
Ridwan, Anin, Anggie, Koko, Eko, Nancy, Eni, Theo, Lili, Retno, Ratna,
Siska, dan Yo. Terima kasih telah mau berbagi pengetahuan dan memberikan
keceriaan dalam melewati kebersamaan selama di Matematika USD.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman dan sahabatku yang
tidak bisa disebutkan satu persatu serta semua pihak yang telah membantu penulis
dalam menyelesaikan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat
bermanfaat bagi semua pihak.
Yogyakarta, Juli 2008
penulis
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL……………………………………………… i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ………….. ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING………………… iii
HALAMAN PENGESAHAN……………………………………. iv
HALAMAN KEASLIAN KARYA ……………………………… v
PERNYATAAN PERSEMBAHAN …………………………….. vi
ABSTRAK………………………………………………………… viii
ABSTRACT………………………………………………………. ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA
ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS …………… x
KATA PENGANTAR …………………………………………… xi
DAFTAR ISI…………………………………………………….. xiii
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………. xv
BAB I PENDAHULUAN……………………………………. 1
A. Latar Belakang Masalah……………………….. 1
B. Perumusan Masalah…………………………….. 2
C. Pembatasan Masalah……………………………. 2
D. Tujuan Penulisan………………………………… 2
E. Metode Penulisan………………………………… 2
F. Manfaat Penulisan………………………………. 3
xiii
G. Sistematika Penulisan…………………………….. 3
BAB II TOPOLOGI METRIK DAN HIMPUNAN KONVEKS
DALAM n…………………………………………… 5
A. Ruang Vektor…………………………………….. 5
B. Topologi Metrik pada n………………………… 7
C. Kekompakkan…………………………………… 10
D. Peminimal fungsi………………………………… 13
E. Garis dan Hyperplane dalam n………………… 14
F. Sifat Himpunan Konveks dalam n…………….. 22
G. Supporting Hyperplane atau Bidang Hiper Penyangga
dan Titik Ekstrim……………………………… 28
BAB III SIFAT-SIFAT FUNGSI KONVEKS DALAM n… 31
A. Definisi dan Sifat Dasar………………………… 31
B. Fungsi Konveks yang Diferensiabel…………… 53
BAB IV OPTIMISASI FUNGSI KONVEKS………………. 71
BAB V PENUTUP…………………………………………… 81
A. Kesimpulan……………………………………… 81
B. Saran…………………………………………….. 82
DAFTAR PUSTAKA…………………………………………… 83
xiv
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.4.1 …………………………………………………… 15
Gambar 2.4.2 …………………………………………………… 19
Gambar 3.1.1 …………………………………………………… 32
Gambar 3.1.2 …………………………………………………… 35
Gambar 3.1.3 …………………………………………………… 41
Gambar 3.1.4 …………………………………………………… 50
Gambar 3.2.1 …………………………………………………… 54
Gambar 3.2.2 …………………………………………………… 56
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Fungsi–fungsi konveks membentuk kelas fungsi yang mempunyai peranan
penting dalam analisis real. Fungsi konveks berguna dalam masalah
optimisasi. Dalam masalah optimisasi kadang ada suatu fungsi yang sulit
untuk dincari penyelesaiannya. Sumber kesulitan dari masalah optimisasi
tersebut bergantung pada fungsi sasaran atau fungsi kendala, juga banyaknya
variabel dan kendala dari fungsi tersebut.
Jika suatu fungsi adalah fungsi konveks maka fungsi tersebut unimodal,
yaitu hanya mempunyai satu titik minimum saja. Fungsi konveks bersifat
kontinu dan mempunyai turunan atau diferensiabel.
Pada umumnya, masalah–masalah optimisasi berkaitan dengan
memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi sasaran dengan kendala
atau tanpa kendala. Salah satu cabang dari permasalahan optimisasi yang ada
adalah masalah optimisasi konveks, yaitu jika fungsi sasaran dan fungsi
kendalanya bersifat konveks. Jika suatu fungsi adalah konveks dan
diferensiabel maka fungsi tersebut mencapai minimum jika gradien fungsi
tersebut sama dengan nol.
Skripsi ini akan membahas mengenai sifat-sifat dasar fungsi konveks
dalam masalah optimisasi, khususnya masalah meminimumkan fungsi sasaran
tanpa kendala.
2
B. Perumusan Masalah
Masalah-masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:
1. Bagaimana sifat-sifat dasar fungsi konveks dalam n ?
2. Bagaimana terapan fungsi konveks dalam optimisasi?
C. Pembatasan Masalah
Pembahasan dari skripsi ini hanya dibatasi pada sifat-sifat fungsi konveks
dalam n dan masalah optimisasi dengan meminimumkan fungsi sasaran
tanpa kendala. Masalah meminimumkan dengan kendala tidak dibahas di
dalamnya.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah membahas:
1. Sifat-sifat dasar fungsi konveks dalam n.
2. Masalah optimisasi fungsi konveks dalam meminimumkan suatu fungsi
tanpa kendala.
E. Metode Penulisan
Metode yang digunakan dalam penulisan ini adalah metode studi pustaka,
yaitu dengan mempelajari dan memahami beberapa bagian dari buku acuan
yang digunakan.
3
F. Manfaat Penulisan
Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah dapat
memberikan kejelasan mengenai sifat-sifat fungsi konveks dan masalah
optimisasi dari fungsi konveks.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang masalah,
perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan,
metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.
BAB II TOPOLOGI METRIK DAN HIMPUNAN KONVEKS
DALAM n
Dalam bab II akan dibahas tentang topologi metrik pada n,
kekompakkan, peminimal fungsi, garis dan hyperplane dalam n,
sifat himpunan konveks, dan supporting hyperplane atau bidang
hiper penyangga dan titik ekstrim.
BAB III SIFAT-SIFAT FUNGSI KONVEKS DALAM n
Dalam bab III akan dibahas tentang definisi dan sifat dasar dari
fungsi konveks, dan fungsi konveks yang diferensiabel.
4
BAB IV OPTIMISASI FUNGSI KONVEKS
Dalam bab IV akan dibahas tentang optimisasi fungsi konveks
dengan meminimumkan fungsi sasaran tanpa kendala.
BAB V PENUTUP
Dalam bab V berisi kesimpulan dan saran.
BAB II
TOPOLOGI METRIK
DAN HIMPUNAN KONVEKS DALAM n
A. Ruang Vektor
Elemen–elemen dalam n- disebut sebagai vektor. Vektor ∈x n-
merupakan matriks berordo 1×n . Selanjutnya vektor x ditulis dengan
( )Tnxxx ,...,, 21=x atau ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
nx
xM1
x . Bilangan real nixi ,,2,1, K= disebut
komponen dari vektor x.
Definisi 2.1.1
Perkalian skalar dua vektor x dan y dalam n yang dinotasikan dengan yx,
didefinisikan sebagai : ∑=
=n
iii yx
1, yx
Definisi 2.1.2
Panjang vektor dalam n, dinotasikan dengan x didefinisikan sebagai :
21
1
221
, ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∑
=
n
iixxxx
6
Definisi 2.1.3
Dua vektor x dan y dalam n, dikatakan saling tegak lurus atau ortogonal jika
0, =yx .
Definisi 2.1.4
Misalkan adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V.
Kombinasi linear dari vektor-vektor adalah
nvvv ,...,, 21
nvvv ,...,, 21
nnvvv ααα +++ ...2211
dimana ∈nααα ,...,, 21 .
Himpunan semua kombinasi linear dari disebut rentang dari
, dan dilambangkan dengan
nvvv ,...,, 21
nvvv ,...,, 21 ( )nv,...,vv ,Rentang 21 .
Definisi 2.1.5
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika nvvv ,...,, 21
0vvv =+++ nnααα ...2211
mengakibatkan semua skalar-skalar nααα ,...,, 21 harus sama dengan 0.
Definisi 2.1.6
Vektor-vektor dalam ruang vektor V disebut bergantung linear
jika terdapat skalar-skalar
nvvv ,...,, 21
nααα ,...,, 21 yang tidak semuanya nol sehingga
0vvv =+++ nnααα ...2211
7
Definisi 2.1.7
Vektor-vektor membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan
hanya jika:
nvvv ,...,, 21
(i) nvv bebas linear, v ,...,, 21
(ii) nvv merentang V. v ,...,, 21
Definisi 2.1.8
Misalkan V adalah ruang vektor. Jika V mempunyai basis yang terdiri dari n
vektor, maka dikatakan bahwa V memiliki dimensi n. Ruang bagian { dari
V dikatakan memiliki dimensi 0. V dikatakan memiliki dimensi hingga jika
terdapat himpunan berhingga vektor yang merentang V, jika tidak demikian
halnya, maka V memiliki dimensi tak hingga.
}0
B. Topologi Metrik pada n
Definisi 2.2.1 (Kitar Terbuka dan Kitar Tertutup)
Kitar Terbuka dengan pusat x dan radius , yang diberi notasi
adalah himpunan titik-titik y yang jaraknya dari x kurang dari r, yang dapat
juga ditulis :
0>r ( )rB ,x
( )rB ,x = { }r<− xyy | .
Sedangkan Kitar Tertutup, ( )rB ,x dengan pusat x dan radius
didefinisikan dengan
0>r
( ) { }rrB ≤−= xyyx |, .
8
Definisi 2.2.2 (Titik Interior)
Misalkan n. Suatu titik x disebut titik interior dari S, jika ada
sedemikian sehingga .
⊆S 0>r
( ) SrB ⊂,x
Jika himpunan titik-titik interior S adalah tidak kosong, maka himpunan titik-
titik interior ini dapat disebut sebagai interior dari S yang dinotasikan dengan
. ( )Sint
Contoh 2.2.1
i). Perhatikan himpunan titik-titik pada 1, maka semua titik tersebut adalah
titik interior.
ii). Perhatikan himpunan titik-titik dalam bidang (2) dengan bentuk ( )0,1x
dengan 1. Interval 10 1 << x 0 1 << x terletak pada 1sumbu x− . Ambil
1=r , maka ada 0>r sedemikian sehingga ( ) { }1 bukan
subset S. Maka titik-titik pada 2 ini tidak mempunyai titik interior.
|, <−= xyyx rB
Definisi 2.2.3 (Himpunan Terbuka)
Suatu himpunan S dikatakan terbuka jika semua titik S adalah titik interior
yaitu untuk setiap titik S∈x , ada bilangan positif , yang bergantung pada
x, sedemikian sehingga kitar
0>r
( )rB ,x berada di S.
9
Definisi 2.2.4 (Titik Limit)
Titik x disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap 0>ε ada titik
sedemikian sehingga xx ≠ε ( )εε ,xx BS ∩∈ . Titik biasanya bergantung
pada
εx
ε .
Himpunan titik-titik limit dari himpunan S dinotasikan dengan . 'S
Suatu himpunan tidak harus mempunyai titik limit dan suatu titik limit tidak
harus berada dalam himpunan tersebut.
Contoh 2.2.2
Himpunan bilangan asli positif pada himpunan 1 merupakan salah satu
contoh himpunan yang tidak mempunyai titik limit.
Contoh titik limit yang anggotanya tidak berada dalam himpunan
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ == K,3,2,1,1| n
nxx di 1. Nol adalah titik limit dari himpunan S, tetapi nol
tidak berada dalam S.
Definisi 2.2.5 (Closure atau Pemampat)
Closure atau pemampat dari himpunan S, yang dinotasikan dengan S
didefinisikan sebagai S = , dengan adalah himpunan titik limit dari
S.
'SS ∪ 'S
10
Definisi 2.2.6 (Himpunan Tertutup)
Suatu himpunan S dikatakan tertutup jika S = S , yaitu bahwa S memuat
semua titik limitnya.
Teorema 2.2.1
Komplemen himpunan tertutup adalah terbuka. Komplemen himpunan
terbuka adalah tertutup.
Pembuktian dapat dilihat pada Berkovitz, L. D, 2002: 7. ∎
C. Kekompakkan
Definisi 2.3.1
Misalkan S adalah himpunan di n dan A sebarang himpunan. Kumpulan
himpunan terbuka { } dikatakan selimut terbuka S jika setiap AO ∈αα S∈x
berada di untuk suatu αO A∈α .
Definisi 2.3.2
Himpunan S⊂n dikatakan kompak jika untuk setiap selimut terbuka
dari S ada koleksi himpunan berhingga dari kumpulan
sedemikian sehingga kumpulan berhingga juga
merupakan selimut terbuka S.
{ } AO ∈αα
{ } AO ∈αα
mOOO ,,, 21 K
OO , 21 mO,,K
11
Teorema 2.3.1
Himpunan S n adalah kompak jika dan hanya jika S adalah tertutup dan
terbatas.
⊂
Pembuktian dapat dilihat pada Rudin, W, 1976: 40. ∎
Contoh 2.3.1
Himpunan S di 1 yang didefinisikan dengan ( ) { }10|1,0 <<== xxS adalah
tidak kompak, karena S tidak tertutup. Misalkan [ ] 0|1,01 { }1≤≤== xxS
adalah himpunan kompak karena S tertutup dan terbatas.
Teorema 2.3.2 (Teorema Bolzano-Weierstrass)
Himpunan S n adalah kompak jika dan hanya jika setiap barisan dari
titik-titik di S mempunyai subbarisan
⊂ { }kx
{ }jkx yang konvergen untuk titik di S.
Pembuktian dapat dilihat pada Rudin, W, 1976: 38. ∎
Definisi 2.3.3
Misalkan n, n, dan ⊆A →A:f Ac∈ . Fungsi f dikatakan kontinu pada
jika diberikan sebarang ( nc,,K )cc , 21=c 0>ε ada 0>δ sedemikian
sehingga jika x adalah sebarang titik di A yang memenuhi δ<− cx , maka
( ) ( ) ε<− cfxf .
12
Definisi 2.3.4
Misalkan n, n. Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada A
jika untuk setiap
⊆A →A:f
0>ε ada ( ) 0>εδ sedemikian sehingga jika
memenuhi
A∈ux,
( )εδ<−ux , maka ( ) ( ) ε<− ux ff .
Definisi 2.3.5
Suatu himpunan S∈n dikatakan terbatas jika ada bilangan positif M
sedemikian sehingga M≤x untuk semua S∈x .
Contoh 2.3.2
Himpunan S di 1 dikatakan terbatas jika untuk setiap Sx∈ , Mx ≤ atau
. MxM ≤≤−
Himpunan S di 1 dikatakan terbatas ke atas jika ada bilangan asli A
sedemikian sehingga SxAx ∈∀≤ , .
Himpunan S disebut terbatas ke bawah jika ada bilangan asli B sedemikian
sehingga . SxBx ∈∀≥ ,
Bilangan A disebut batas atas dari S, dan bilangan B adalah batas bawah dari
S.
Definisi 2.3.6
Suatu bilangan U dikatakan batas atas terkecil atau supremum dari
himpunan S yang dinotasikan dengan ( )SU sup= jika
13
(i). U adalah batas atas dari S, dan
(ii). 'U batas atas dari S maka UU ≥'
Suatu bilangan L dikatakan batas bawah terbesar atau infimum dari
himpunan S yang dinotasikan dengan ( )SL inf= jika
(i). L adalah batas bawah dari S, dan
(ii). 'L batas bawah dari S, maka LL ≤' .
D. Peminimal Fungsi
Masalah dasar dalam teori optimisasi adalah sebagai berikut: diberikan
himpunan S dan fungsi bernilai real f yang didefinisikan pada himpunan S,
apakah dapat ditemukan Ss ∈* sedemikian sehingga ( ) ( ) Sssfsf ∈∀≤ ,* .
Tiik dikatakan peminimal untuk f . Dapat juga dikatakan bahwa f mencapai
minimum pada S di . Masalah memaksimalkan f atas S atau menemukan
sedemikian sehingga
*s
S
*s
s ∈* ( ) ( )sfs ≥*
f
f untuk semua s, dapat diturunkan
dari masalah meminimalkan fungsi − atas S. Jika ( ) ( )sfsf −≤− * untuk
semua Ss ∈ , maka ( ) ( )sf≥sf * untuk semua Ss ∈ , dan sebaliknya.
14
Contoh 2.4.1
Sebagai contoh dalam 1 ini, apakah ada peminimal untuk f ?
(i). Misalkan }1| ≥ dan ( ){= xxSx
xf 1= . Disini jelas bahwa
} 01 , karena tidak ada nilai x yang membuat ( ){ |inf xxf =≥ ( )xf
minimum, maka tidak ada Sx ∈* sedemikian sehingga ( ) 0* =x . Jadi
tidak ada peminimal untuk fungsi tersebut atau f tidak mencapai
minimum pada S.
f
(ii). Misalkan [ ]2,1=S dan ( )x
xf 1= . Maka ( ){ } 221|inf =≤≤ xxf . Jadi
2* =x adalah peminimal untuk fungsi tersebut atau f mencapai minimal
di 2* =x .
E. Garis dan Hyperplane dalam n
Persamaan garis (vektor) dan persamaan bidang telah dibahas dalam
perkuliahan Geometri Analitik Ruang, oleh karena itu disini tidak akan
dibahas tentang bagaimana cara mendapatkan suatu persamaan garis dan
persamaan bidang.
Persamaan vektor yang melalui dua titik dan dalam 2 dan 3
dinyatakan dengan (lihat gambar 2.4.1):
1x 2x
( )121 xxxx −+= t , ∞<<∞− t (2.5.1)
15
1x
2x
x
0<t
10 << t
0>t
0
1x
2x
x
Gambar 2.5.1 Garis
Pada gambar 2.4.1, penggal garis yang berawal dari dan berakhir di
, berkorespondensi dengan nilai t dalam interval [0, 1] disebut dengan
segmen garis tertutup. Penggal garis yang berawal dari dan berakhir di
, tetapi tidak memuat dan , berkorespondensi dengan nilai t dalam
interval ( disebut segmen garis terbuka.
1x
1x
2x
2x 1x 2x
)1,0
Sinar garis positif berawal dari atau dari berkorespondensi dengan
nilai t 0, dan sinar garis negatif berawal dari atau dari
berkorespondensi dengan nilai t
1x 2x
≥ 1x 2x
≤ 0, sinar garis demikian disebut segmen
garis setengah terbuka.
Definisi 2.5.1
Garis pada n yang melewati dua titik dan didefinisikan menjadi
himpunan titik–titik x sedemikian sehingga
1x 2x
( )121 xx −xx += t dimana t
sebarang bilangan real, atau dalam notasi himpunan :
16
( ){ }∞<<∞−−+= tt ,| 121 xxxxx (2.5.2)
dapat juga ditulis sebagai
( ){ }∞<<∞−+−= ttt ,1| 21 xxxx . (2.5.3)
Dengan mengambil ( ) tt =−= βα dan1 diperoleh
{ }1,0,0,| 21 =+≥≥+= βαβαβα xxxx . (2.5.4)
Definisi 2.5.2
Segmen garis tertutup yang menghubungkan titik–titik dan dalam n
dinotasikan dengan [ dan didefinisikan sebagai :
1x 2x
]21 , xx
[ ] ( ){ }10,1|, 2121 ≤≤+−== ttt xxxxxx
Untuk ( )t−= 1α dan t=β , diperoleh :
[ ] { }1,0,0,|, 2121 =+≥≥+== βαβαβα xxxxxx .
Definisi 2.5.3
Segmen garis terbuka yang menghubungkan titik–titik dan dalam n
dinotasikan dengan ( dan didefinisikan sebagai :
1x 2x
)21,xx
( ) ( ){ }10,1|, 2121 <<+−== ttt xxxxxx
Untuk ( )t−= 1α dan t=β , diperoleh :
( ) { 1,0,0,|, 2121 = }+>>+== βαβαβα xxxxxx .
17
Definisi 2.5.4
Segmen garis setengah terbuka yang memuat titik tetapi tidak memuat titik
yang dinotasikan dengan
1x
2x [ )21 , xx dan dibatasi dengan 10 <≤ t
didefinisikan sebagai :
[ ) ( ){ }10,1|, 2121 <≤+−== ttt xxxxxx
Untuk ( )t−= 1α dan t=β , diperoleh :
[ ) { }1,0,0,|, 2121 =+≥>+== βαβαβα xxxxxx .
Segmen garis setengah terbuka yang memuat titik tetapi tidak memuat titik
yang dinotasikan dengan
2x
1x ( ]21 , xx dan dibatasi dengan 10 ≤< t
didefinisikan sebagai :
( ] ( ){ }10,1|, 2121 ≤<+−== ttt xxxxxx
Untuk ( )t−= 1α dan t=β , diperoleh
( ] { }1,0,0,|, 2121 =+>≥+== βαβαβα xxxxxx .
Lema 2.5.1
Misalkan y sebarang titik dalam segmen garis terbuka ( yang
didefinisikan dengan
)21 , xx
1,0,0,21 =+>>+= βαβαβα xxy , berlaku :
αβ
=−
−
2
1
xyxy
(2.5.5)
18
Bukti :
Ambil sebarang titik ( )21 , xxy∈ , maka 1,0,0,21 =+>>+= βαβαβα xxy .
1xy − = 121 xxx −+ βα
⇔ 1xy − = ( ) 211 xx βα +−
⇔ 1xy − = ( ) 12 1 xx αβ −−
⇔ 1xy − = 12 xx ββ −
⇔ 1xy − = ( )12 xx −β
⇔ 1xy − = ( )12 xx −β
⇔ 1xy − = 12 xx −β (2.5.6)
Dengan cara yang sama akan didapatkan :
2212 xxxxy −+=− βα
⇔ ( ) 212 1 xxxy −+=− βα
⇔ ( ) 212 1 xxxy βα −−=−
⇔ 212 xxxy αα −=− (karena 1=+ βα )
⇔ ( )212 xxxy −=− α
⇔ ( )212 xxxy −=− α
⇔ 212 xxxy −=− α (2.5.7)
Dari persamaan (2.5.6) dan (2.5.7) diperoleh :
21
12
2
1
xxxx
xyxy
−
−=
−
−
αβ
19
⇔ 21
21
2
1
xxxx
xyxy
−
−=
−
−
αβ
⇔ αβ
=−
−
2
1
xyxy
∎
Dalam 3 bidang yang melewati titik ( )0302010 ,, xxx=x dengan normal
yang terdiri atas semua titik x = ( 321 ,, aaa=a ) ( )321 ,, xxx sedemikian
sehingga tegak lurus terhadap a , sehingga memenuhi persamaan : 0xx−
( ) ( ) ( ) 0033302220111 =−+−+− xxaxxaxxa (2.5.8)
Atau
γ=++ 332211 xaxaxa (2.5.9)
dimana 033022011 xaxaxa ++=γ .
Bentuk ini merupakan bentuk umum persamaan bidang di 3.
x
0x
0xx −
a
Gambar 2.5.2 Bidang
20
Dalam persamaan vektor, persamaan (2.5.8) dan (2.5.9) dapat ditulis sebagai
γ==− xaxxa ,atau0, 0 (2.5.10)
dimana ., 0xa=γ Persamaan (2.5.10) adalah persamaan bidang dengan
normal a dalam 3 .
Persamaan (2.5.10) dapat digunakan untuk mendefinisikan hyperplane atau
bidang hiper dalam n.
Definisi 2.5.5 (Hyperplane atau Bidang Hiper)
Hyperplane atau bidang hiper di n didefinisikan sebagai himpunan dari
titik–titik yang memenuhi persamaan
αaH
α=xa, yang dapat ditulis sebagai
{ }αα == xaxa ,|H .
Vektor a dikatakan sebagai normal of hyperplane atau normal bidang hiper.
Persamaan bidang hiper { }αα == xaxa ,|H dapat ditulis sebagai :
{ }0,| 0 =− xxax .
Untuk sebarang memenuhi 0x α=0,xa atau ekuivalen untuk sebarang
dengan a adalah normalnya, selanjutnya persamaan bidang hiper
cukup ditulis dengan :
0x ∈ αaH
0, 0 =− xxa .
21
Contoh 2.5.1
Dalam 4 diketahui titik–titik ( )1,0,1,1A , ( )0 1, 1,-2,B , dan
. Bagaimana persamaan bidang hiper yang melalui titik A, B, C,
dan D?
( )0 1, 0, 2, C
( 0 1, 1,- 1, D )
Penyelesaian :
Misalkan Ddan,C,B A, 4321 ==== xxxx .
Misalkan , 12 xx −=p 23 xx −=q , 34 xx −=r , maka ( )TAB 1,1,2,1 −−==p ,
( )T0,0,1,0BC ==q dan ( )T0,0,1,1 −−CD==r , dengan normal bidang hiper
, sehingga dapat dicari dengan syarat sebagai berikut : ( Taa 43 ,, )aa 21 ,=a
i). pa⊥ ⇔ 0, =pa ⇔ ( ) ( ) 01,1,2,1,,, 4321 =−−⋅aaaa
⇔ 02 4321 =−+− aaaa (2.5.11)
ii). qa⊥ ⇔ 0, =qa ⇔ ( ) ( ) 00,0,1,0,,, 4321 =⋅aaaa
(2.5.12) ⇔ 02 =a
iii). ra ⊥ ⇔ 0, =ra ⇔ ( ) ( ) 00,0,1,1,,, 4321 =−−⋅aaaa
⇔ 021 =−− aa (2.5.13)
Untuk mendapatkan nilai–nilai skalar vektor a dari persamaan di atas
dapat diperoleh dengan cara substitusi dan eliminasi.
Substitusikan nilai ke persamaan (2.5.13) diperoleh: 02 =a
00 121 =⇒=−− aaa
22
Substitusikan nilai dan 02 =a 01 =a ke persamaan (2.5.11) diperoleh :
434321 02 aaaaaa =⇒=−+−
Untuk sebarang skalar α di mana α== 43 aa , normal . Jadi
persamaan bidang hiper yang melalui titik
( Tαα,,0,0=a )
( )1,0,1,1A dengan normal
adalah : ( Tαα,,0,0=a )
( ) ( )10 43 −+− xx αα = 0
⇔ ααα −+ 43 xx = 0
⇔ ( )43 xx +α = α
F. Sifat Himpunan Konveks dalam n
Suatu himpunan dikatakan konveks jika diberikan sebarang dua vektor
dan yang merupakan anggota himpunan tersebut, segmen garis yang
menghubungkan kedua vektor juga terdapat dalam himpunan tersebut.
1x 2x
Definisi 2.6.1
Himpunan C n disebut konveks jika untuk setiap pasangan titik–titik
dan di C, maka segmen garis
⊆ 1x
2x
[ ] { }1,0,0,|, 2121 =+≥≥+== βαβαβα xxxxxx
juga termuat di C.
23
Contoh 2.6.1
Dari himpunan–himpunan dalam 2, gambar berikut mengilustrasikan
himpuna e s atau himpunan tidak konveks.
(a).
beberapa n konv k
( ){ }1|, 22 ≤+ yxyx
Konveks
).
( ){ }10|, 22 ≤+< yxyx (b
Tidak Konveks
).
( ){ }2|, xyyx ≥ (c
Konveks
24
(d). ( ){ }1|, ≤+ yxyx
Konveks
(e). ( ) ( ){ }21/1|, xyyx +≥
Tidak Konveks
Untuk setiap bilangan bulat positif n, didefinisikan
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=≥== ∑=
n
iii
Tnn ppppP
11 1,0|,...,p
Jika , adalah titik 1. Jika 1=n 1P 2=n , adalah segmen garis tertutup yang
menghubungkan dan
2P
( 1,0 ) ( )0,1 . Jika 3=n , adalah segitiga tertutup
dengan titik-titik sudut
3P
( )0,0,1 , ( )0,1,0 , dan ( )1,0,0 . Mudah dipahami bahwa,
untuk setiap n, adalah himpunan konveks tertutup. nP
Definisi 2.6.2
Titik n disebut kombinasi konveks dari titik–titik jika ada
dimana adalah himpunan konveks tertutup sedemikian
sehingga
∈x
( ,,1 K
kxx ,,1 K
) kk Ppp ∈=p
p xx
kP
kkpp xx +++ L21= 1 2 .
25
Lema 2.6.1
Sebuah himpunan C∈n adalah konveks jika dan hanya jika setiap kombinasi
konveks dari titik–titik di C juga ada di dalam C.
Bukti :
(⇒) Jika C konveks maka akan ditunjukkan bahwa setiap kombinasi konveks
dari titik-titik C juga ada di dalam C. Pembuktian ini akan menggunakan
induksi matematika.
Untuk k = 1, jelas benar karena kombinasi konveksnya adalah titik itu sendiri.
Andaikan benar untuk k titik, yakni bahwa
C...2211 ∈+++= kklll xxxx dengan ( ) kk Pll ∈= ,...,1l
Akan ditunjukkan benar untuk k + 1 titik, yakni bahwa
Cppp kkkk ∈+++= ++ 1111 ... xxxx dengan ( ) 111 ,,..., ++ ∈= kkk Ppppp
Jika 11 =+kp
... == kp
, maka dari syarat , berakibat bahwa
, sehingga kombinasi konveksnya adalah titik itu sendiri.
∑+
=
=≥1
1
1dan0k
iii pp
01 =p
Jika 11 <+kp
0>ip
, maka dari syarat , berakibat bahwa
sehingga kombinasi konveksnya ditulis sebagai berikut:
∑+
=
=≥1
11dan0
k
iii pp
1∑=
k
i
x = 112211 ... ++++++ kkkk pppp xxxx
⇔ x = ( ) 112211 ... +++++ kkkk pppp xxxx
26
⇔ x = ( ) 112211
1
1 ... ++
=
= +++
∑
∑kkkkk
ii
k
ii
ppppp
pxxxx
⇔ x = 11
1
2
1
21
1
1
1... ++
===
=
+⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
∑∑∑∑ kkkk
ii
kk
ii
k
ii
k
ii p
p
p
p
p
p
pp xxxx (2.5.1)
Perhatikan bentuk dalam tanda kurung pada persamaan (2.5.1).
Misalkan ⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
∑∑∑===
k
ii
kk
ii
k
ii p
p
p
p
p
p
11
2
1
1 ,...,,q dengan . Maka 01
>∑=
k
iip
∑∑∑
∑===
=
+++= k
ii
kk
ii
k
ii
k
ii
p
p
p
p
p
pq
11
2
1
1
1
...
⇔ ∑
∑=
=
+++= k
ii
kk
ii
p
pppq
1
21
1
...
⇔ ∑
∑∑
=
=
=
= k
ii
k
iik
ii
p
pq
1
1
1
⇔ 11
=∑=
k
iiq
Sehingga bentuk dalam tanda kurung pada persamaan (2.5.1) adalah bentuk
kombinasi konveks dari k titik anggota C. Karena itu, x dapat dipandang
sebagai kombinasi konveks dari dua titik anggota C, dan karena C konveks,
maka . C∈x
27
(⇐) Jika setiap kombinasi konveks dari titik–titik di C juga ada di dalam C,
maka akan ditunjukkan bahwa konveks.
Ambil . Akan ditunjukkan C∈21 dan xx [ ] C⊆21 , xx .
Misalkan , maka [ 21,xxx∈ ] 21 xxx βα += dengan 1,0,0 =+≥≥ βαβα .
Nampak bahwa α dan β memenuhi definisi sehingga x merupakan suatu
kombinasi konveks dari x . Jadi
kP
2x1 dan [ ]⊆ C21 , xx . ∎
Untuk sebarang himpunan A, misalkan ( )AK dinotasikan sebagai
himpunan semua kombinasi konveks dari titik-titik dalam A. Maka menurut
Lema 2.6.1, adalah konveks dengan memandang sebagai C.
Untuk lebih jelasnya
( )AK ( )AK
( )AA K⊆ .
Definisi 2.6.3
Konveks hull dari himpunan A yang dinotasikan dengan adalah irisan
dari semua himpunan konveks yang memuat A.
( )Aco
Lema 2.6.2
Jika sebarang ⊂A n adalah kompak, maka A = ( )Aco .
Pembuktian dapat dilihat pada Berkovitz, L. D, 2002: 43. ∎
28
G. Supporting Hyperplane atau Bidang Hiper Penyangga dan Titik Ekstrim
Definisi 2.7.1 (Titik Batas)
Titik z dikatakan titik batas dari himpunan S jika untuk setiap 0>ε , kitar
( )ε,zB memuat titik dan titik S∈x S∉y .
Contoh 2.7.1
Dalam 2, misalkan ( ){ }10|, 21 <<== xxxS x , maka 0 adalah titik batas S
dan untuk setiap 10 <<ε , titik tersebut hanya di dalam ( )ε,0B . Jadi 0 tidak
berada di dalam S.
Definisi 2.7.2 (Bidang Hiper Penyangga)
Bidang hiper dikatakan supporting hyperplane atau bidang hiper
penyangga untuk himpunan S jika untuk setiap
αaH
S∈x , α≤xa, dan ada
sekurang-kurangnya satu titik S∈0x sedemikian sehingga α≤0, xa .
Teorema 2.7.1
Misalkan C adalah himpunan konveks dan misalkan C∉y , maka ada bidang
hiper sedemikian sehingga untuk semua αaH C∈x berlaku
α≤xa, dan α=ya,
Jika ( ) φ≠Cint , maka untuk semua ( )Cint∈x
α<xa,
29
Pembuktian dapat dilihat pada Berkovitz, L. D, 2002: 51. ∎
Teorema 2.7.2
Misalkan C adalah himpunan konveks dan z adalah titik batas dari C. Maka
ada bidang hiper penyangga untuk C sedemikian sehingga . Jika αaH α
az H∈
( ) φ≠Cint , bidang hiper penyangga adalah tak trivial.
Bukti :
Jika , maka menurut Teorema 2.7.1 dengan y = z, ada bidang hiper
sedemikian sehingga untuk semua
C∉z αaH
C∈x
αα =≤ zaxa ,dan, .
Karena C∉z dan z adalah titik batas dari C, maka C∈z . Jadi adalah
bidang hiper penyangga untuk C dengan .
αaH
α•∈ az H
Jika , menurut definisi dari titik batas maka ada barisan titik–titik { }
dengan sedemikian sehingga . Menurut Teorema 2.7.1 untuk
setiap bilangan bulat positif k ada vektor
C∈z
ky
ky
C∉ zy →k
0a ≠k sedemikian sehingga
Ckkk ∈∀≤ xyaxa ,,, . (2.7.1)
Jika pertidaksamaan (2.7.1) dibagi dengan 0≠ka , maka dapat diasumsikan
bahwa 1=ka . Karena ( )1,0S adalah kompak, maka ada subbarisan dari { }
dan vektor a dengan
ka
1=a sedemikian sehingga . Pada
pertidaksamaan (2.7.1) misalkan
aa →k
∞→k , maka diperoleh
30
C∈∀≤ xzaxa ,,, .
Jika diambil za,=α , dapat dilihat bahwa bidang hiper memuat z dan
merupakan bidang hiper penyangga untuk C. ∎
αaH
Definisi 2.7.3 (Titik Ekstrim)
Suatu titik x dalam himpunan konveks C dikatakan titik ekstrim dari C jika
ada dua titik berbeda C∈vu, sedemikian sehingga vux βα += untuk
1,0,0 =+>> βαβα .
Teorema 2.7.3
Misalkan C adalah himpunan konveks kompak. Misalkan dinotasikan
sebagai himpunan titik ekstrim C, maka
eC
( )eCC co= .
Pembuktian dapat dilihat pada Berkovitz, L. D, 2002: 60. ∎
BAB III
SIFAT-SIFAT FUNGSI KONVEKS DALAM n
A. Definisi dan Sifat Dasar
Definisi 3.1.1
Suatu fungsi bernilai real f yang didefinisikan pada himpunan konveks C di n
dikatakan konveks jika untuk setiap 1x dan 2x di C dan 1,0,0 =+≥≥ βαβα
maka
( ) ( ) ( )2121 xxxx fff βαβα +≤+ (3.1.1)
Fungsi f disebut konveks tegas jika
( ) ( ) ( )2121 xxxx fff βαβα +<+ (3.1.2)
untuk setiap 1x dan 2x di C dengan 21 xx ≠ .
Apabila diinterpretasikan secara geometris, fungsi konveks f adalah
fungsi sedemikian sehingga jika 21 dan zz sebarang dua titik di n+1 pada
grafik f, maka titik–titik segmen garis [ ]21 ,zz yang menghubungkan 21 dan zz
terletak pada atau di atas grafik f.
Gambar 3.1.1 berikut akan mengilustrasikan fungsi konveks pada
himpunan konveks di 2.
32
( )( )12,xT xf
213 xxx βα +=
( )(
)1
1,xfx
( )w,R 3x( )wS ,2x
1x 2x
Gambar 3.1.1 Fungsi konveks di 2
Misalkan dengan ( wx , R 3= ) 1,0,0,213 =+>>+= βαβαβα xxx
( )( )11 ,P xfx=
,
adalah titik pada segmen garis yang menghubungkan titik dan
( )( 22 ,Q xfx= ) pada grafik f, dan misalkan ( )wx ,S 2= dan ,
maka
( )( )12 ,T xfx=
( ) ( ) ( )12
12
12
2
xxxfxf
PTQT
RSQS
xxwxf
−−
===−−
α
Dari syarat–syarat di atas maka kita peroleh persamaan
( ) ( ) ( )21 1 xfxfw αα −+=
( ) ( )21 xfxf βα += .
Dengan demikian ( terletak di atas atau pada grafik jika dan hanya jika
persamaan (3.1.1) terpenuhi.
)wx ,3
33
Contoh 3.1.1
Misalkan dengan ( ) 21 zzf =z ( )21 , zz=z
{ }02 ≥z
. Apakah f konveks atau konveks
sempurna pada ? ,0| 1 ≥z=C z
Penyelesaian :
Misalkan, C dan [ ] ∈= Txx 21 ,x [ ] ∈= Tyy 21 ,y C. Maka
( ) ( )
( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−+−
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=−+
222
111
222
111
22
11
2
1
2
1
2
1 11
yyxyyx
yyxyyx
yyyy
xx
yy
xx
αα
αααα
αα
αα
αααα yx
Karena itu
( )( )yx αα −+ 1f = ( )( ) ( )( )222111 yyxyyx +−+− αα
= ( )( )222111 yyxyyx +−+− αααα
=
+−+−+− 21212
122
21212
212 yyyyyxyxyxxx αααααα
212112 yyyyyx +−αα
= ++−− 212
122
212
212 yyyxyxxx αααα
21211221 2 yyyyyxyx +−+ ααα
= ( ) ( )++−++−− 2221211221212 2 yyxyyyyxyxxx ααα
21 yxα
34
dan
( ) ( ) ( )yx ff αα −+ 1 = ( ) ( )( )2121 1 yyxx ∗−+∗ αα
= 212121 yyyyxx αα −+
= ( ) 212121 yyyyxx +−α
Karena [ 1,0 ]=α maka sehingga diperoleh : αα <2
( )( )yx αα −+ 1f
= ( ) ( )++−++−− 2221211221212 2 yyxyyyyxyxxx ααα 21 yxα
( ) ( ) 21222121122121 2 yxyyxyyyyxyxxx αααα ++−++−−<
2121211221122121 2 yxyyyyyxyyyxyxxx ααααααα ++−++−−<
212121 yyyyxx +−= αα
( ) 212121 yyyyxx +−= α = ( ) ( ) ( )yx ff αα −+ 1
Jadi, untuk sebarang α maka ( )( ) ( ) ( ) ( )yxyx fff αααα −+≤−+ 11 .
Karena ( )( ) ( ) ( ) ( )yxyx fff αααα −+≤−+ 11 untuk sebarang α , jadi f adalah
konveks.
Definisi 3.1.2
Suatu fungsi f yang didefinisikan pada himpunan konveks C disebut konkaf
jika – f adalah konveks.
Contoh 3.1.2
Misalkan dengan ( ) 21. zzf −=z ( )21 , zz=z . Apakah f konkaf pada
? { }0,0 2 ≥≥ z| 1= zC z
35
Penyelesaian :
Ya. Karena ( ) ( ) 2121 zzzzf =−−=− z konveks pada C menurut Contoh 3.1.1.
Definisi 3.1.3
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada suatu himpunan
A. Epigraph dari fungsi f, yang dinotasikan dengan ( )fepi adalah himpunan
( ) ( ){ ∈∈= yAyf ,|,epi xx , ( )}xfy≥
Epigraph dari suatu fungsi adalah himpunan titik–titik ( )y,x di n+1 yang
terletak pada atau di atas grafik f.
Gambar 3.1.2 Epigraph
Lema 3.1.1
Suatu fungsi f didefinisikan pada himpunan konveks C adalah konveks jika
dan hanya jika adalah konveks. ( )fepi
36
Bukti :
(⇐) Diketahui konveks. ( )fepi
Misalkan dan akan ditunjukkan f konveks. Fungsi f didefinisikan
pada himpunan konveks C, maka
C∈21 , xx
( )( )11 , xx f dan ( )( )22 , xx f dalam .
Karena konveks untuk sebarang
( )fepi
( )fepi ( ), 2P∈βα , dimana adalah segmen
garis tertutup yang menghubungkan
2P
( )1,0 dan ( )0,1 maka
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )22112211 ,,,, xxxxxxxx ffff ββααβα +=+
( ) ( )( )2121 , xxxx ff βαβα ++=
berada dalam . Menurut definisi( )fepi ( )fepi ,
( ) ( ) ( )2121 xxxx βαβα +≥+ fff .
Jadi f adalah konveks.
(⇒) Diketahui f adalah konveks.
Misalkan ( )11 , yx
) 2y
dan adalah sebarang dua titik dalam . Maka
dan . Untuk sebarang
( 22 , yx
( )2x
) ( )fepi
( 11 xfy ≥ f≥ ( ) 2, P∈βα , misalkan
( )y,3x = ( ) ( )2211 ,, yy xx βα +
= ( ) ( )2211 ,, yy ββαα xx +
= ( )2121 , yy βαβα ++ xx
Karena dan dalam ( 11 , yx ) )( 22 , yx ( )fepi dan karena f adalah konveks, maka
( ) ( ) ( ) ( 3212121 xxxxx ffffyyy = )+≥+≥+= βαβαβα
Jadi, ( ) , sehingga ( fy epi,3 ∈x ) ( )fepi konveks.
∎
37
Teorema 3.1.2 Pertidaksamaan Jensen
Misalkan adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan
konveks subset C n. Jika
( )xf
⊆ kλλλ ,,, 21 K
kx
adalah bilangan tak negatif dengan
dan jika adalah titik di C, maka 11
=∑=
k
iiλ x ,,2 Kx ,1
( )i
k
ii
k
iii ff xx ∑∑
==
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
11
λλ (3.1.3)
Bukti :
Teorema di atas akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematik
pada bilangan k.
i). Untuk k = 2, karena f konveks berlaku
( ) ( ) 22112211
2
1xfxfxxff
iii λλλλλ +≤+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑=
x ( )
= ( )ii
i f x∑=
2
1
λ
Jadi pertidaksamaan (3.1.3) benar untuk k = 2.
ii). Misalkan pertidaksamaan berlaku untuk k = n, maka
( )∑∑==
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ n
iii
n
iii ff
11xx λλ
iii). Akan dibuktikan pertidaksamaan benar untuk k = n + 1
Misalkan 121 ,,, +nλλλ K adalah bilangan tak negatif sehingga memenuhi
,0≥iλ untuk 1,,1 += ni K .
38
Misalkan maka ∑=
=Ωn
ii
1λ 1,0 1 =+Ω>Ω +nλ , 1
1=
Ω∑=
n
i
iλ sehingga
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∑+
=
1
1
n
iiif xλ = ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Ω
Ω ++=∑ 11
1nn
n
ii
if xx λλ
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛Ω
Ω∑=
++
n
inni
if1
11xx λλ
( )111
++=
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛Ω
Ω≤ ∑ nn
n
ii
i ff xx λλ
= ( ) ( )112211 ++++++ nnnn ff xxxx λλλλ L
( ) ( ) ( )112211 +++++≤ nn fff xxx λλλ L
= ( )i
n
ii f x∑
+
=
1
1λ
Jadi pertidaksamaan (3.1.3) benar untuk k = n + 1, ∈∀n .
Jadi benar untuk semua k( )i
k
ii
k
iii ff xx ∑∑
==
≤⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
11λλ ∈.
∎
Misalkan C adalah himpunan konveks. Untuk n,
didefinisikan
∈∈ vx dan C
{ ∈=Ω λλ | , }C∈+ vx λ .
Misalkan { }Ω∈= λλ |inf1l dan { }Ω∈= λλ |sup2l . Maka . Karena C
adalah konveks, jika
21 0 ll ≤≤
21 ll ≠ maka C∈+ vx λ untuk semua λ pada interval
39
terbuka . Bergantung pada struktur himpunan C, ( 21 , ll ) vx λ+ dapat berada di
C untuk semua λ di [ atau )21, ll [ ]21, ll atau ( ]21, ll .
Misalkan f adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan
konveks C. Maka dari pembahasan sebelumnya, untuk setiap x∈C dan v∈n
terdapat suatu interval yang bergantung pada x dan v sedemikian
sehingga fungsi
⊆I
( )vx, didefinisikan dengan ;⋅ϕ
( ) ( )vxvx λ= f (3.1.4) λϕ ; , +
memiliki domain I. Interval I selalu memuat titik asal.
Lema 3.1.3
Suatu fungsi f yang didefinisikan pada himpunan konveks C adalah konveks
jika dan hanya jika untuk setiap x∈ C dan v∈ n sedemikian sehingga
( vx,;⋅ )ϕ terdefinisi pada interval nondegenerate I, maka fungsi ( )vx,;⋅ϕ
adalah konveks pada I.
Bukti :
(⇒) Misalkan f adalah konveks. Akan ditunjukkan ( )vx,;⋅ϕ adalah konveks.
Untuk sebarang ( ) Ppada I dan maka 21, 2, ∈λλ βα
( )v,x;2 = ( )( )vx 21 λβ1 λβλαϕ + λα ++f
( ) ( )( )v2x = 1 λβλαβα ++f (karena 1=+ βα ) +
( ) ( )( )v2x1vx λβf = + + +α λ
≤ ( ) ( )vxvx 21 λβλα +++ ff (karena f konveks)
40
= ( ) ( )vxvx ,;,; 21 λβϕλαϕ +
Jadi terbukti ( vx,;⋅ )ϕ adalah konveks.
( )⇐ Diketahui untuk setiap x ∈ C dan v ∈ n sedemikian sehingga
{ } ( )vx,;,0 ⋅≠ ϕI
1 danx
adalah konveks. Akan dibuktikan f adalah konveks. Misalkan
2x ∈C dan ( ) 2, P∈βα , maka
( ) ( )( )2121 1 xxxx βββα +−=+ ff
( )211 xxx ββ +−= f
( )( )121 xxx −+= βf
( )121 ,; xxx −= βϕ
( .,;10 121 xxx )−⋅+⋅= βαϕ (3.1.5)
Karena
( ) ( )( )121121 ,; xxxxxx −+=− λλϕ f
dan C adalah konveks, maka ( )121 ,; xxx −λϕ terdefinisi untuk 10 ≤≤λ dan
( ) ( ))( ( )11 xx f21121 0,;0 xxxxx f =−+=−ϕ serta
( ) ( )( ) ( ) ( )2121121121 1,;1 xxxxxxxxxx fff =−+=−+=−ϕ (3.1.6)
Karena ( )vx,;⋅ϕ adalah konveks dan dari persamaan (3.1.6) maka diperoleh
( ) ( 12121 ,;10 xxxxx )−⋅+⋅=+ βαϕβαf
( ) ( ) ( ) ( 21121121 ,;1,;0 xxxxxxxx ff )βαβϕα +=−+−≤
Jadi terbukti bahwa f adalah konveks.
Dari pembuktian di atas dapat ditunjukkan bahwa f adalah konveks tegas jika
dan hanya jika untuk setiap x dan v, ( )vx,;⋅ϕ adalah konveks tegas. ∎
41
Teorema 3.1.4 Sifat Tiga Busur
Misalkan g adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada interval .
Maka untuk
⊂I
zyx << dengan Izyx ∈,, berlaku
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yz
ygzgxz
xgzgxy
xgyg−−
≤−−
≤−− (3.1.7)
Jika g adalah konveks sempurna maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yz
ygzgxz
xgzgxy
xgyg−−
<−−
<−−
Bukti :
Ilustrasi Teorema 3.1.4 dapat dilihat pada gambar 3.1.3 berikut
BC kemiringanACkemiringanAB Kemiringan ≤≤
Gambar 3.1.3 Sifat Three-chord
i). Akan dibuktikan ( ) ( ) ( ) ( )
xzxgzg
xyxgyg
−−
≤−− .
Karena zyx << ada 10 << t sedemikian sehingga ( xztxy −+ )= . Karena
g adalah konveks,
( ) ( ) ( )( ) ( )xgztxtgxgyg −+−=− 1
( ) ( ) ( ) ( )xgzgtxgt −+−≤ 1
42
( ) ( ) ( ) ( )xgzgtxgtxg −+−=
( ) ( )zgtxgt +−=
( ) ( )( )xgzgt −= (3.1.8)
Jika persamaan (3.1.8) dibagi dengan ( ) 0>− xzt dan maka
diperoleh
( xztxy −=− )
( ) ( ) ( ) ( )( )xy
xgzgtxy
xgyg−−
≤−−
( ) ( ) ( ) ( )( )( )xzt
xgzgtxy
xgyg−−
=−−
( ) ( ) ( ) ( )xz
xgzgxy
xgyg−−
≤−−
ii). Akan dibuktikan ( ) ( ) ( ) ( )yz
ygzgxz
xgzg−−
≤−− .
Karena g konveks berlaku
( )( ) ( ) ( ) ( )zgtxgtztxtg +−≤+− 11
maka
( )( ) ( ) ( ) ( )zgtxgtztxtg −−−≥+−− 11
dengan demikian
( ) ( ) ( ) ( )( )xztxgzgygzg −+−=−
( ) ( )txtzxgzg −+−=
( ) ( )( )ztxtgzg +−−= 1
( ) ( ) ( ) ( )zgtxgtzg −−−≥ 1
( ) ( ) ( ) ( )xgtzgt −−−≥ 11
43
( ) ( ) ( )[ ]xgzgt −−= 1
atau dapat ditulis ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ygzgxgzgt −≤−−1 (3.1.9)
Jika persamaan (3.1.9) dibagi dengan 0>− yz dan
maka diperoleh
( )( xztyz −−=− 1 )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )ygzgxgzgt −≤−−1
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )yz
ygzgyz
xgzgt−−
≤−
−−1
( ) ( ) ( )[ ]( )( )
( ) ( )yz
ygzgxzt
xgzgt−−
≤−−−−
11
( ) ( ) ( ) ( )yz
ygzgxz
xgzg−−
≤−−
Karena ( ) ( ) ( ) ( )xz
xgzgxy
xgyg−−
≤−− dan ( ) ( ) ( ) ( )
yzygzg
xzxgzg
−−
≤−− maka
untuk zyx << dalam I berlaku
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yz
ygzgxz
xgzgxy
xgyg−−
≤−−
≤−− . ∎
Akibat 3.1.5
Untuk setiap c∈I fungsi kemiringan ( )cs ,⋅ yang didefinisikan dengan
( ) ( ) ( ) Iwcwcw
cgwgcws ∈≠−−
= ,,;
adalah fungsi naik. Jika g adalah konveks tegas, maka ( )cs ,⋅ adalah naik tegas.
44
Bukti :
Misalkan Iww ∈21 ,
Akan ditunjukkan jika 21 ww < , maka ( ) ( )cwscws ;; 21 ≤
i). Untuk dua titik 1w dan 2w sedemikian sehingga 21 ww , maka
berdasarkan pertidaksamaan (3.1.7) dengan 2
c <<
1 dan wz =, wycx == , berlaku
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cwscw
cgwgcw
cgwgcws ;; 2
2
2
1
11 =
−−
≤−−
= .
ii). Untuk dua titik 1w dan 2w sedemikian sehingga cw , maka
berdasarkan pertidaksamaan (3.1.7) dengan 2
w << 21
dan wy=1, wxcz == , berlaku
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1
1
11 ,
wcwgcg
cwcgwg
cws−−
=−−
= .
( ) ( )2
2
wcwgcg
−−
≤( ) ( ) ( )cws
cwcgwg ;2
2
2 =−−
=
iii). Jika 2 maka berdasarkan pertidaksamaan (3.1.7) dengan
2 , berlaku
1 wcw <<
1 dan zwx=, wcy ==
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1
1
11 ,
wcwgcg
cwcgwg
cws−−
=−−
=
( ) ( )
2
2
wcwgcg
−−
≤( ) ( ) ( )cws
cwcgwg ;2
2
2 =−−
=
Jadi ( ) ( ) ( ) Iwcwcw
cgwgcws ∈≠−−
= ,,; adalah fungsi naik.
∎
45
Definisi 3.1.4
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval I. Jika
pada suatu titik c di dalam I
( ) ( )h
cfhcfh
−++→0
lim
ada, maka f mempunyai turunan kanan pada c yang dinotasikan ,
sedangkan turunan kiri yang dinotasikan dengan
( )cf '+
( )cf '− adalah
( ) ( )h
cfhcfh
−+−→0
lim
asalkan limitnya ada.
Akibat 3.1.6
Pada setiap titik , turunan kanan dan kiri yakni ada
dan . Selain itu adalah fungsi naik.
( )Ic int∈
)
( ) ( )cgcg '' dan −+
( ) (cgcg ''+− ≤ '' dan −+ gg
Bukti :
Dalam pertidaksamaan (3.1.7) ambil y = c. Maka untuk zcx << diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )cz
cgzgcx
cgxg−−
≤−− .
Maka menurut Akibat 3.1.5, ( ) ( )cgcg '' dan −+ ada dan ( ) (cgcg ''+− ≤ ) .
Misalkan adalah dua titik di dc< ( )Iint dan sedemikian sehingga
dan . Maka dengan Teorema 3.1.4
0>h
dhc <+ ch>d −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h
dghdgcd
cgdgh
cghcg−−−
≤−−
≤−+ .
46
Jika memisalkan diperoleh +→0h ( ) ( )dgcg ''−+ ≤ . Mengkombinasikan
( ) ( )dgcg ''−+ ≤ dengan ( ) ( )cgc '
+≤g '− untuk sebarang maka
diperoleh
( )Ix int∈
( ) ( ) ( ) ( )dgdgcgcg ''''+−+− ≤≤≤ .
Jadi adalah fungsi naik. ∎ '' dan −+ gg
Akibat 3.1.7
Jika g adalah konveks dan mempunyai turunan kedua pada I, maka ' adalah
fungsi naik pada I dan
g
( ) Ixxg ∈∀≥ ,0'' .
Definisi 3.1.5
Misakan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan S di
n. Misalkan x adalah titik di S, dan v adalah vektor di n sedemikian
sehingga vx λ+ S∈ untuk [ )1,0∈λ . Maka f dikatakan mempunyai turunan
berarah di x pada arah v jika
( ) ( )λ
λλ
xvx ff −++→ 0
lim
ada. Turunan berarah dapat dinotasikan dengan ( )vx ;'f .
Lema 3.1.8
Misalkan f adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks
C dan x adalah titik di C. Jika x adalah titik interior, maka ada untuk ( vx ;'f )
47
setiap v∈n. Jika x adalah titik batas dan v adalah vektor di n sedemikian
sehingga vx λ+ ∈ C untuk cukup kecil 0>λ , maka ( )vx ;'f ada.
Bukti :
Jika x adalah titik interior dari C, maka untuk setiap v∈n ada bilangan positif
00 ( )vλλ = ikian sehingga untuk sedem 0λλ < titik vx λ+ ∈ C.
)Karena itu fungsi ( vx,;⋅ϕ dari persamaan (3.1.4) didefinisikan untuk 0λλ < .
Dengan Lema 3.1.3, ( )vx,;⋅ϕ adalah konveks dan dengan Akibat 3.1.6
ada. Tetapi ( x;0'+ϕ )
(
v,
( ) ) ( ) ( )λ
λλϕ x;0λϕ vxvxx .0,; +−+
=ffv,v −
= ( ) ( )
λλ xvx ff −+
dan ada dan (x, )v'f ( )vx,;0'+ϕ juga sama. Jika x adalah titik batas dari C,
pernyataan mengikuti dari argumen yang sama dan Lema 3.1.3.
∎
Lema 3.1.9
Misalkan f adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks
C. Misalkan x dan y adalah titik–titik dalam C dan ( ) 10, <<−+= xz tt xy .
Maka
( ) ( ) ( )t
fff( ) xz
x−
≥−y (3.1.11) f
48
Bukti :
Fungsi ( )xyx −⋅ ,;ϕ pada persamaan (3.1.4) didefinisikan untuk 10 ≤≤ t
dengan ( ) ( )( ) ( )yxyx ffxyx =−+=−,;1 1ϕ ,
( )xyx −,;0ϕ = ( )( xyx )−+ 0f = ( )xf , dan
( ) ( )( ) ( )zxyxxyx ftft =−+=−,;ϕ untuk 10 << t . Dengan Akibat 3.1.5,
( ) ( ) ( ) ( )t
t xyxxyxxyxxyx
−−−≥−−−
,;0,;,;0,;1
ϕϕϕϕ
yang mana sama dengan pertidaksamaan (3.1.11).
∎
Teorema 3.1.10
Misalkan f adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks
C∈n. Jika x adalah titik interior dari C, maka f kontinu pada x.
Bukti :
Jika x adalah titik interior dari C, maka ada 0>ρ sedemikian sehingga
( ) CB ⊂ρ,x . Misalkan nρδ = dan merupakan kubus dengan pusat x
dan panjang sisinya sama dengan
δC
δ2 yang dapat dinyatakan dengan
{ }nixyC ii ,,1,| K=≤−= δδ y .
Untuk semua jika δC∈y nyx ii ρ≤− untuk setiap i, maka
2/1
1
2⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=− ∑
=
n
iii yxxy
49
Jadi ( )ρδ ,xBC ⊆ . Di sisi lain, jika δ≤− xy maka belum tentu δ>− jj xy
untuk sebarang j = { }, jadi n,,2,1 K ( ) δδ CB ⊆,x .
Langkah pertama dalam bukti menunjukkan bahwa f adalah terbatas ke atas
pada ( )δ,xB . Langkah tersebut lebih mudah untuk menunjukkan bahwa f
adalah terbatas ke atas pada himpunan lebih besar dibanding mengerjakan
secara langsung dengan
δC
( )δ,xB . Menurut Teorema 2.7.3, jika dinotasikan
sebagai himpunan titik ekstrim dari , maka
eCδ
δC ( )eCC δδ co= . Karena
adalah kompak, jadi menurut Lema 2.6.2,
eCδ
( )eco δC adalah kompak. Dengan
demikian
( ) ( )ee coco δδδ CCC == .
Jadi, untuk setiap ada δC∈y ∈p sedemikian sehingga n2
∑=
=n
iiip
2
1vy
dimana adalah vertices atau titik sudut dari . iv δC
Misalkan
( ){ }δCfM ∈= vv |max .
Maka dengan kekonveksan f dan Teorema 3.1.2, untuk setiap δC∈y
( ) ( ) MMpfpfnn
iii
ii =≤≤ ∑∑
==
2
1
2
1vy .
Jadi, karena ( ) δδ CB ⊆,x
( ) ( )δ,untuk xyy BMf ∈≤ (3.1.12)
50
Misalkan adalah sebarang titik di xz ≠ ( )δ,xB , dan menganggap garis
ditentukan dengan x dan z. Garis tersebut akan memotong permukaan dari
( )δ,xB pada dua titik x + u dan x – u, dimana ( )xzu −= t untuk dan 1>t
δ=u . Perhatikan gambar 3.1.4.
( )δ , B xδC
Gambar 3.1.4 Kubus dengan pusat x dan panjang δ2
Batas f dan kekonveksan dari f akan digunakan untuk menentukan
( ) ( )xz ff −
dalam syarat dari xz − dan jadi membuktikan kontinuitas dari f pada x.
Untuk terakhir, akan diperlihatkan z sebagai kombinasi konveks dari x dan
. Jadi ux +
( ) ( )uxxz ++−= λλ1
uxxx λλλ ++−=
ux λ+= , 10 <<λ (3.1.13)
Oleh karena itu, 1−−= δλ xz . Selanjutnya akan diperlihatkan x sebagai
kombinasi konveks dari x dan x – u. Jadi
( )( ) 10,1 <<+−−= ttt zuxx .
51
Menurut persamaan (2.2.1) dan menggunakan 1−−= δλ xz , jadi
( ) 1111 −−− =−=− λδ xztt ,
dan jadi . Oleh karena itu ( ) 11 −+= λt
( uxzx −+
++
=λ
)λλ 11
1 (3.1.14)
Karena f adalah konveks, dengan menggunakan (3.1.12), (3.1.13) dan (3.1.14),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mffff λλλλ +−≤++−≤ xuxxz 11
( ) ( ) ( ) ( ) Mffffλ
λλλ
λλ +
++
≤−+
++
≤11
111
1 zuxzx
Dari pertidaksamaan di atas diperoleh
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]xxzx fMfffM −≤−≤−− λλ
Karena itu, untuk ( )δ,xz B∈
( ) ( ) ( )[ ] xzxxz −−≤− − fMff 1δ , (3.1.15)
Dengan demikian f kontinu pada x.
∎
Catatan 3.1.11
Fungsi f didefinisikan pada himpunan D di m dengan range di m dikatakan
Kontinu Lipschitz pada D jika ada konstanta K > 0 sedemikian sehingga
( ) ( ) xyyfxf −≤− K
untuk semua . Karena fungsi kontinu bernilai real didefinisikan pada
himpunan kompak adalah terbatas ke atas dan ke bawah, pertidaksamaan
D∈yx,
52
(3.1.15) menyatakan bahwa fungsi konveks didefinisikan pada himpunan
konveks terbuka C adalah kontinu Lipschitz pada setiap sub himpunan
kompak yang termuat di C.
Teorema 3.1.12
Misalkan f adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks
C. Jika turunan parsial dari f dengan setiap variabel ada pada titik interior x
dari C, maka f mempunyai turunan di x.
Bukti :
Definisikan fungsi η pada n dengan
( ) ( ) ( ) ( ) j
n
j j
hxfff ∑
= ∂∂
−−+=1
xxhxhη .
Untuk membuktikan bahwa f mempunyai turunan di x, harus ditunjukkan
bahwa
( ) 0→hhη untuk 0→h (3.1.16)
Misalkan
( ) ( ) ( )xxex
ii
iii x
fnh
fnhf∂∂
−−+
=ε
Karena f adalah fungsi konveks dan fungsi linear adalah konkaf dan konveks,
fungsi η adalah konveks. Jadi
( ) ( )∑∑==
≤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
n
iii
n
i
ii nhnn
nh11
1 ee
h ηηη
53
h⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≤≤= ∑∑∑
===
n
iii
n
iii
n
ii hh
111
εεε (3.1.17)
untuk ni ,,1 K= . Adanya turunan parsial menyatakan bahwa setiap
0untuk0 →→ h ε . Juga
( ) ( ) ( ) ( )22
0hhhh
0−+
≤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
==ηη
ηη
Oleh karena itu
( ) ( ) hhh ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−≥−−≥ ∑
=
n
ii
1
εηη (3.1.18)
dimana, untuk setiap , ni ,,1 K= 0untuk0 →→ h ε
∎
B. Fungsi Konveks yang Diferensiabel
Jika f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan
n, maka grafik f adalah himpunan titik–titik ∈C ( ) ∈z,x n+1 yang berbentuk
. Jika f adalah fungsi diferensiabel, dan diberikan titik
interior C, maka grafik f mempunyai bidang singgung pada
dengan vektor normal adalah
( )( ) C∈xx dimana,
0x ∈
fx,
( )( )00 , xx f
( )( )1,0 −∇ xf .
Jika C adalah himpunan konveks dan f adalah fungsi konveks, maka f
tidak mempunyai turunan pada suatu titik interior di C, didapat fungsi f yang
didefinisikan dengan ( ) xxf = pada gambar 3.2.1.
54
y = |x|
(1, 0)
xy ω=
y= |x|
(-1, 0)
(0, 1)
(0, -1)
( )1, −ω
y
Gambar 3.2.1 f(x) = | x |
Dalam subbab ini akan diperkenalkan generalisasi vektor gradien yang
disebut subgradien.
Definisi 3.2.1
Fungsi f didefinisikan pada himpunan C dikatakan mempunyai subgradien
pada titik C∈0x jika ada vektor ∈ω �n sedemikian sehingga
( ) ( ) 00 , xxxx −+≥ ωff
untuk semua C∈x . Vektor ω disebut subgradien.
Secara geometris, ω adalah subgradien dari f pada 0x jika grafik f di
�n+1 terletak pada atau di atas grafik dari bidang hiper ( ) 00 , xxx −+= ωfy .
Karena ( )( )00 , xx f di dalam bidang hiper, maka bidang hiper ini akan
55
menjadi bidang hiper penyangga untuk ( )fepi pada ( )( )00 , xx f . Jadi, adanya
subgradien adalah pernyataan tentang adanya bidang hiper penyangga
nonvertikal untuk . Pada gambar 3.2.1 diilustasikan definisi dengan
fungsi
( )fepi
( ) xxf = pada x = 0.
Sebarang garis melalui titik asal dengan kemiringan ω memenuhi
11 ≤≤− ω mempunyai syarat ( )00 −+=≥ xxx ωω untuk semua x. Jadi
sebarang ω di interval [ ]1,1− adalah subgradien dari x pada x = 0. jika
maka 00 >x 1=ω hanya subgradien dari x pada x = 0, jika maka 00 <x
1−=ω adalah hanya subgradien dari x pada x = 0.
Definisi 3.2.2
Himpunan subgradien dari fungsi f pada titik disebut subdiferensial dari f
pada dan dinotasikan dengan
0x
0x ( )0xf∂ .
Contoh 3.2.1
Subdiferensial adalah himpunan kosong jika tidak ada subgradien. Sebagai
contoh, misalkan dan [ 1 1,-=C ] ( ) 21 xxf −−= . Grafik f mempunyai garis
singgung nonvertikal pada sebarang titik ( )1,10 −∈x . Dari grafik nampak
bahwa untuk terletak di atas garis singgung dan .
Meskipun dapat dibuktikan dalam contoh ini dengan perhitungan yang relatif
langsung, tetapi tidak dilakukan. Kebenaran dari pernyataan akan mengikuti
0x ( ) ( ){ }00 ' xfxf =∂
56
dari teorema umum yang akan dibuktikan. Pada titik , grafik
mempunyai garis singgung vertikal, tetapi garis singgung tidak terletak di
bawah grafik. Jadi tampak bahwa f tidak mempunyai subgradien pada titik ini.
Akan ditunjukkan secara analitik.
1±=x
Misalkan ω adalah subgradien dari f pada 1−=x jika dan hanya jika
( 11 2 +≥−− xx ω ) untuk semua [ ]1,1−∈x
Untuk [ ]1,1−∈x pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan
ω≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−2/1
11
xx
, [ ]1,1−∈x .
Misalkan jika menuju – 1, sisi sebelah kiri dari pertidaksamaan
menuju
[ 1,1−∈x ]
∞− . Oleh karena itu tidak ada ∈ω sedemikian sehingga
pertidaksamaan subgradien memenuhi untuk semua [ ]1,1−∈x .
Gambar 3.2.2 ( ) 21 xxf −−=
Teorema 3.2.1
Misalkan f adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks
C. Maka pada setiap titik ( )Cint0 ∈x ada vektor ∈ω n sedemikian sehingga
57
( ) ( ) 00 , xxxx −+≥ ωff (3.2.1)
untuk semua . Dengan kata lain C∈x ( ) φ≠∂ 0xf pada setiap titik interior
dari C.
0x
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa kesimpulan dari Teorema ini adalah akibat dari
keberadaan dari bidang hiper penyangga untuk ( ) (( )00 , padaepi xx ff )
)
.
Titik adalah titik batas dari ( )( 00 , xx f ( )fepi . Karena adalah
konveks, mengganti Teorema 2.7.2 dengan C =
( )fepi
( )fepi dan mendapatkan
bahwa ada vektor ( ) ( )∈≠ 0,, 0a β n +1 sedemikian sehingga
( ) ( ) ( ) ( )( )00 ,,,,,, xxaxa fy ββ ≤
untuk semua ( ) ( )fy epi, ∈x . Pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan
( )00,, xxaxa fy ββ +≤+ (3.2.2)
untuk semua ( ) ( )fy epi, ∈x , dimana untuk C∈x dan ( )xfy ≥ .
Karena sisi sebelah kanan dari pertidaksamaan (3.2.2) adalah konstan, jika β
positif, dengan memisalkan y menjadi lebih besar maka akan diperoleh
kontradiksi. Karena 0≤β .
Jika 0=β , maka dan pertidaksamaan (3.2.2) menjadi 0a≠
0,, xaxa ≤ , untuk C∈x (3.2.3)
Karena ( )Cint0 ∈x , ada 0>ε sedemikian sehingga axx ε+= 01 berada di C.
Berikan 1xx = di pertidaksamaan (3.2.3) diperoleh 0, ≤aaε dimana adalah
kontradiksi. Jadi 0<β .
58
Pada pertidaksamaan (3.2.2) dibagi dengan 0<β dan misalkan ( )xfy =
sehingga diperoleh
( ) ( ) xxaxx −+≥ 00 ,β
ff
untuk semua . Jika memisalkan C∈x βω /a−= maka akan diperoleh
pertidaksamaan (3.2.1). ∎
Jika f adalah fungsi konveks dan mempunyai turunan pada titik interior
maka disebut subgradien tunggal pada sebuah titik dan subgradien adalah
vektor gradien, dan jika f mempunyai subgradien tunggal di x, maka f
mempunyai turunan di x.
Teorema 3.2.2
Misalkan f adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks
n, dan x adalah titik interior dari C. Maka f mempunyai turunan di x jika
dan hanya jika f mempunyai subgradien tunggal di x. Selain itu, elemen
tunggal di subgradien adalah
∈C
( )xf∇ .
Bukti :
(⇒
int∈x
) Misalkan f mempunyai turunan pada x. Karena f adalah konveks dan
, dengan Teorema 3.2.1 subgradien ( )C ( )xf∂ adalah tak kosong.
Misalkan ( )xf∂∈ω . Maka untuk sebarang h∈n dan yang cukup kecil 0>t
( ) ( ) hxhx tftf ,ω+≥+ .
59
Karena f mempunyai turunan di x, untuk 0h≠
( ) ( ) ( ) ( )hhxxhx ttfftf η+∇+=+ ,
dimana ( ) 0→hh ttη untuk . Jika pertidaksamaan pertama dikurangi
dengan persamaan kedua, maka diperoleh
0→t
( ) ( ) hxhx tftf ,ω+≥+
( ) ( ) ( ) ( )hhxxhx ttfftf η+∇+=+ ,
( ) ( )hhxh ttft ηω −∇−≥ ,,0
( ) ( )[ ]hhhhxh ttft ηω −∇−≥ ,,0
Jika dibagi dengan dan misalkan , diperoleh 0>t 0→t
( ) ∈≠∀≤∇− 0hhx ,0,fω n. Khususnya, jika ( ) 0x ≠∇− fω maka
pertidaksamaan ini memenuhi untuk ( )xh f∇−=ω dimana ( ) 02 ≤∇− xfω .
Jadi ( )xf∇=ω .
(⇐) Misalkan subgradien ( )xf∂ terdapat elemen tunggal ω . Akan
ditunjukkan bahwa semua turunan parsial pertama dari f ada pada x.
Diferensiabilitas dari f pada x mengikuti Teorema 3.1.12.
Untuk menyerhanakan notasi, diasumsikan bahwa x = 0 dan .
Misalkan sekurang–kurangnya satu turunan parsial dari f pada 0 tidak ada.
Untuk pembatasan diasumsikan bahwa turunan parsial tersebut pada .
Misalkan , dimana adalah vektor basis baku pertama
. Karena f adalah fungsi konveks dan
( ) 0=xf
1x
( ) ( )1e0 tftg +=
)
1e
( 0,,0,1 K ( )Cint∈0 , maka fungsi g
didefinisikan dan konveks pada beberapa interval I yang memuat 0 pada titik
60
interior. Selain itu, 1xf ∂∂ tidak ada pada 0 jika dan hanya jika tidak
ada. Karena g adalah konveks, menurut Akibat 3.1.6 untuk Teorema 3.1.4
bahwa
( )0'g
( )0'−g dan ada dan ( )0'
+g ( ) ( )00 ''+− ≤ gg . Oleh karena itu, jika ( )0'g
tidak ada maka ( ) ( )0'+g 0'
− < g .
Misalkan 1ω adalah sebarang bilangan yang memenuhi
( ) ( )0'+< g0+
− 1<ωg (3.2.4)
Akan ditunjukkan bahwa sesuai dengan setiap 1ω dapat ditemukan ( )0f∂∈ω ,
dengan beda 1ω menentukan beda ω . Ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa
terdiri dari elemen tunggal dan bukti akan terpenuhi. ( )0f∂
Menurut pertidaksamaan (3.2.4) dan Akibat 3.1.6 bahwa untuk 0>h
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h
ghgg 00 '
1 << +ωgg 00 ' −
≤≤ −hgh
−−−
Karena ( ) (f
I∈
) 0=0
1
0 =g
h
, diperoleh dari pertidaksamaan sebelumnya bahwa
untuk semua
( ) ( ) hh 1gh 1f ω>=e (3.2.5)
dengan persamaan terpenuhi hanya jika h = 0. Misalkan dinotasikan
sebagai subruang dimensi satu direntang oleh . Jadi
1V
=1e { ∈= tt ,1eV .
Didefinisikan fungsi linear pada dengan rumus
|x1 x }
1L 1V
( ) ( ) tt 11L1L1 ω== ex . (3.2.6)
61
Karena penyajian adalah tunggal untuk 1ex t= 1V∈x
1L
, fungsi linear
didefinisikan dengan baik (well defined), dengan bergantung pada
1L
1ω .
Mengkombinasikan persamaan (3.2.5) dan (3.2.6), untuk C1 ∩∈Vx
diperoleh
( ) ( ) tLf 11 ω=≥ xx (3.2.7)
Jika n = 1, pembuktian selesai. Sebaliknya, misalkan adalah subruang
dimensi dua yang direntang oleh dan . Jadi
2V
1e 2e
{ ∈+== ututV ,,| 212 eeyy } { ∈∈+== uVu ,,| 12 xexyy . }
Akan ditunjukkan untuk fungsi linear yang didefinisikan pada dan
akan ditemukan sebuah bilangan
1L 2L 2V
2ω sedemikian sehingga untuk semua
C2 ∩∈Vy
( ) ( ) utLf 212 ωω +=≥ yy (3.2.8)
Misalkan dan CV, ∩∈ 1zx 0,0 >> βα . Menurut kelinearan dari , dari
kekonveksan pertidaksamaan (3.2.7) dan dari kekonveksan f bahwa
1L
CV ∩1
( ) ( )zx 11 LLβα
ββα
α+
++
= ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
zxβα
ββα
α1L
≤ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
zxβα
ββα
αf (menurut (3.2.7))
= ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++−
+ 22 ezex αβα
βββα
αf
≤ ( ) ( ) ( ) ( 22 ezex αβα
)βββα
α+
++−
+f (f konveks)
62
Melalui perkalian dengan βα + diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )2211 ezexzx αββαβα ++−≤+ ffLL .
dengan demikian
( ) ( ) ( ) ( )α
αβ
β zezexx 1221 LffL + −≤
−−
)
(3.2.9)
Sisi sebelah kiri dari pertidaksamaan (3.2.9) dinotasikan dengan ( βλ ,x n
sisi sebelah kana
da
n dari pertidaksamaan (3.2.9) dinotasikan dengan ( )αρ ,z .
Oleh karena itu
( ){ } ( ){ }0,C|,inf0,C|,sup 11 >∩∈≤>∩∈ ααρββλ VV zzxx
dimana supremum dan infimum keduanya adalah berhingga. Oleh karena itu
ada sebuah bilangan 2ω sedemikian sehingga
( ) ( ) ( ) ( )α
αω
ββ zezexx 12
221 LffL −+
≤≤−−
(3.2.10)
untuk semua 00,C, >>1 ∩∈ βαVx .
Misalkan y∈ C2 ∩V t di 1V . Maka 2exy uidak += dengan 1ex t= dan 0≠u .
> 0, ambil u=Jika u α pada pertidaksamaan (3.2.10), jika u <0, ambil
u−=β pada pertidaksamaan (3.2.10). K udian dari pertidaksam
a
em
C2
aan (3.2.10)
dan persamaan (3.2.6) untuk semu ∩∈Vy diperoleh
( ) ( )2
21 ωβ
β≤
−− exx fL
( ) ( )2
21 ω≤−
+−u
ufL exx (karena u−=β )
( ) ( ) uufL 221 ω≤+− exx
63
( ) ( ) uLuf 212 ω+−≥+ xex
( ) ( ) ( ) utuLuff 21212 ωωω +=+≥+= xexy (menurut (3.2.6))
a untuk setiap
dimana pertidaksamaan tersebut adalah persamaan (3.2.8).
Menurut induksi matematis, diperoleh bahw 1 ω memenuhi
pertidaksamaa a ada vektor n (3.2.4) diman ( )nωωω ,,, 21 K=ω sedemikian
sehingga jika adalah di C, m( )nxxx ,,, 21 K=x aka
( ) xωxf ,≥
Karena f(0) = 0 ini dikatakan bahwa ( )0f∂∈ω . ∎
iferen iabel pada C. Maka f adalah konveks jika dan hanya
jika untuk setiap
Teorema 3.2.3
Misalkan C adalah himpunan konveks terbuka di n dan f adalah fungsi
bernilai real dan d s
C∈0x
( ) ( ) ( ) 000 , xxxxx −∇+≥ fff
untuk semua .
Buk
Misal k sebarang , dan
C∈x
ti :
kan f adalah konveks pada C. Untu( )⇒
+
C∈0, xx
1=βα , maka menurut definisi kekonveksan
( )0xx β ( )( )01 xx αα −+f α +f =
( ) ( )0xx ff βα + ≤
( ) ( ) ( )01 xx ff αα −+ =
64
atau ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]0xf001 xxxx fff −≤−−+ . α αα
Jika dibagi dengan α dan misalkan 0→α , maka
( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]αα
ααα
αα
0
0
00
0lim
1lim
xxxxx ffff − − −≤
+→→
atau ( )( ) ( ) ( ) ( )0
000
0lim xx
xxxxff
ff−≤
−−+→ α
αα
.
Dengan menggunakan aturan rantai ( ) ( )xxix
ff
∂∂
=∇ , maka diperoleh
( ) ( ) ( )000 , xxxxx fff −≤−∇
( ) ( ) ( ) 000 , xxxxx ≥ ff −∇+ f
Jadi terbukti bahwa ( ) ( ) ( ) 000 , xxxxx −∇+≥ fff .
C( )⇐ Misalkan ∈2x , 1 ,x ( )1,0∈α , dan didefinisikan
( )− C∈+=0x 21 1 xx αα . Diasumsikan bahwa
( ) ( ) ( ) 000 , xxxxx −∇+≥ ii fff untuk i = 1, 2
Dengan kombinasi konveks maka diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0210021 1 xx ≥−+ αα fff 1, xxxxx −−+∇+ ααf
Jika disederhanakan diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )( ) +−+≥−+ 2121 11 xxxx αααα fff
( )( )( ) ( )αααα
α
00210
0
1lim xxxxx ff −−−++→
( ) ( ) ( ) ( )( ) +−+≥−+ 2121 11 xxxx αααα fff
( )( )( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−++
→ 002100
111lim xxxxx ffα
ααααα
65
( ) ( ) ( ) ( )( ) +−+≥−+ 2121 11 xxxx αααα fff 0
( ) ( ) ( ) ( )( )2121 11 xxxx αααα −+≥−+ fff
( )( ) ( ) ( ) ( )2121 11 xxxx fff αααα −+≤−+ .
Jadi terbukti bahwa f adalah konveks. ∎
ber
l sampai tingkat k ada
an memuat tingkat k itu sendiri serta kontinu pada D.
Definisi 3.2.3
Suatu fungsi f nilai real didefinisikan pada himpunan terbuka D di n
dikatakan klas ( )kC pada D jika semua turunan parsia
d
Lema 3.2.4
Misalkan f adalah klas ( )2C pada interval terbu adalah
jika dan hanya jika
ka , maka f
konveks pada I
⊆I
( )x ≥ 0 Ix∈∀,''f . Jika
, ma adalah konveks tegas.
Bukt
Jika f adalah konveks pada I, maka dengan Akibat 3.1.7,
m adalah titik di antara
dan x, maka
( )xf >'' Ix∈∀,0 ka f
i :
( )⇒
(f '' ) xx ∀≥ ,0
( )⇐ Misalkan ( ) Ixxf ∈∀≥ ,0'' . Misalkan 0x adalah titik sebarang di I dan
dalah titik lain di I. Da
I∈ .
x a
0x
ri Teore
diperoleh
a Taylor dengan *x
( ) ( ) ( )( ) ( )( )20*
''00
'0 2
1 xxxfxxxfxfxf −+−+=
66
sehingga ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 021 2
0*''
00'
0 ≥−=−−− xxxfxxxfxfxf
Menurut Teorema 3.2.3 maka f konveks pada I.
Jika pada I, maka menurut Teorema 3.2.3, f adalah konveks tegas.
∎
( ) 0'' >xf
Definisi 3.2.4
Misalkan A matriks simetrik nn × dengan anggota ( )jia . Matriks A
dikatakan semidefinit positif jika bentuk kuadratik
ji
n
jiji
T xaAA ∑=
==1,
, xxxx
adalah non negatif untuk semua ∈x n. Matriks A dikatakan definit positif
jika xx A, adalah positif untuk semua ∈≠ 0x n.
Teorema 3.2.5
Misalkan f adalah klas ( )2C pada himpunan konveks terbuka D, maka f adalah
konveks pada D jika dan hanya jika Matriks Hessian
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
= xxij xx
fH2
adalah semidefinit positif pada setiap titik x di D. Jika adalah definit
positif pada setiap x, maka f adalah konveks tegas.
( )xH
67
Bukti :
Misalkan x adalah titik di D. Karena D adalah terbuka, untuk setiap n,
, maka ada
∈v
0v ≠ 0>ε sedemikian sehingga segmen garis
( D∈)+−x vxv εε , . Oleh karena fungsi ( )vx,;⋅ϕ pada persamaan (3.1.4)
didefinisikan pada ( )εε ,− , dan karena f adalah klas pada D, serta ( )2C
jiij xxf∂∂
∂ 2
xxf∂∂
∂=
2
pada setiap titik di D, maka ( )xH adalah simetrik.
(⇒) ) Jika f adalah konveks, dengan Lema 3.1.3, fungsi ( vx,;⋅ϕ adalah
konveks pada interval ( )εε ,− . Dengan Lema 3.2.4, ( ) 0≥v,;0" xϕ . Misalkan
( )t = ( )hx tf +0ϕ , dengan menggunakan aturan rantai ( ) ( )xx ∑= ∂∂
=n
i 1∇ ,
maka
ixf
f
( ) ( ) iht h+0
n
it
∂∂
=∑=1
'ϕixf x .
Dari persamaan ( ) ( i
n
i i
htxft hx +
∂∂
=∑=
01
'ϕ ) , jika h = ( )nvvv ,,, 21 K=v , maka
diperoleh
( ) ( ) ( ) i
n
i i
vtxftf
dtdt vxvxvx +
∂∂
=+= ∑=1
' ,;ϕ
Jika f adalah klas dari ( )2C ( ) ( )hx tft += 0ϕ , maka
( ) ( ) ( )hhxhhx tHhhtxxft ji
n
i
n
j ij
+=+∂∂
∂=∑∑
= =00
1 1
2" ,ϕ ,
dengan ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
= 0
2
0 xxij xx
fH untuk h = ( )nvvv ,,, 21 K=v , maka diperoleh
68
( ) ( ) ( )vvxvvxvx tHvvtxxft ji
n
i
n
j ij
+=+∂∂
∂= ∑∑
= =
,,;1 1
2"ϕ . (3.2.11)
Misalkan diperoleh 0→t
( ) ( ) 0,;0, " ≥= vxvxv ϕH (3.2.12)
Jadi, persamaan (3.2.12) terpenuhi untuk semua v, maka adalah
semidefinit positif.
( )xH
( )⇐ Misalkan adalah semidefinit positif untuk semua . ( )xH D∈x
Untuk D∈x dan ∈v
)ε
n, menurut persamaan (3.2.11) maka
. Menurut Lema 3.2.4, ( ) ,0≥v ( εϕ ,,;" −∈tt x ( )vx,;⋅ϕ adalah konveks.
Karena x dan v adalah sebarang, menurut Lema 3.1.3 maka f adalah konveks
pada D. Pernyataan ini juga menunjukkan jika ( )xH adalah definit positif
untuk x , maka f adalah konveks sempurna. ∎ D∈
Jika diberikan suatu matriks A simetrik, ada matriks ortogonal P
sedemikian sehingga , dimana D adalah matiks diagonal dengan
elemen diagonal adalah nilai eigen dari A.
DAPPT =
Misalkan A adalah matriks nn × dengan anggota . Misalkan jia
111 a=Δ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Δ
2212
21112 det
aaaa
69
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Δ
kkk
k
k
aa
aa
L
MOM
L
1
111
det nk ,,4,3,2 K=
Determinan disebut minor utama (principal minors) dari A. kΔ
Lema 3.2.6
Matriks simetrik A dikatakan definit positif jika dan hanya jika
nkk ,,2,1,0 K=>Δ
( ) kkk ,2,1,01 =>Δ−
dan A dikatakan definit negatif jika dan hanya jika
. n,K
Lihat pada Berkovitz, L. D, 2002: 111.
Contoh 3.2.2
Misalkan , dengan
. Apakah f adalah konveks atau konveks tegas pada 3?
( ) 2332
223121
21 7342 xxxxxxxxxf +++++=x
)32 , x( 1 , xx=x
Penyelesaian :
Misalkan , maka ( ) 2332
223121
21 7342 xxxxxxxxxf +++++=x
3211
422 xxxxf
++=∂∂
⇒ 21
2
2
=∂∂
xf , 2
12
2
=∂∂
xxf , 4
13
2
=∂∂
xxf
3212
62 xxxxf
++=∂∂
⇒ 221
2
=∂∂
xxf , 6
22
2
=∂∂
xf , 1
23
2
=∂∂
xxf
3213
144 xxxxf
++=∂∂
⇒ 431
2
=∂∂
xxf , 1
32
2
=∂∂
xxf , 14
32
2
=∂∂
xf
70
Jadi . ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1414162422
xH
Untuk mengetahui apakah ( )xH definit positif atau semidefinit positif maka
perhatikan bahwa
2111 ==Δ a > 0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Δ
2212
21112 det
aaaa
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
6222
det ( ) ( ) 082*26*2 >=−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=Δ
1414162422
det3
162
422
1414162422
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= = 168 + 8 + 8 – 96 – 2 – 56 = 30 > 0.
Karena , untuk k = 1, 2 dan 3 maka 0>Δ k ( )xH adalah definit positif untuk
semua 3, maka f adalah konveks tegas atas 3. ∈x
BAB IV
OPTIMISASI FUNGSI KONVEKS
Masalah dasar dalam teori optimisasi adalah sebagai berikut: Diberikan
suatu himpunan S dan fungsi bernilai real f yang didefinisikan pada S, apakah
dapat ditemukan Ss ∈∗ sedemikian sehingga ( ) ( )sfsf ≤∗ untuk semua
Ss∈ . Masalah memaksimalkan f atas S ekuivalen dengan masalah
meminimalkan f− atas S.
Definisi 4.1
Misalkan S adalah himpunan di n dan f adalah fungsi bernilai real pada S,
maka titik Ss ∈0 adalah peminimal lokal atau f mempunyai minimum lokal
pada 0s jika ada 0>δ sedemikian sehingga ( ) ( )sfsf ≤0 untuk semua
( ) SsBs ∩∈ δ,0 .
Berikut ini adalah Teorema dimana fungsi konveks mencapai maksimum
atau minimum pada suatu titik yang mempunyai sifat penting yang tidak
dimiliki oleh fungsi–fungsi yang lain.
Teorema 4.1
Misalkan f adalah fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks
C.
72
(i). Jika f mencapai minimum lokal pada 0x , maka f mencapai minimum
pada 0x .
(ii). Jika f mencapai minimum di suatu titik–titik maka himpunan tersebut
adalah himpunan kosong atau konveks.
(iii). Jika f adalah konveks tegas dan f mencapai minimum pada *x , maka *x
adalah tunggal.
(iv). Jika f bukan fungsi konstan dan jika f mencapai maksimum pada suatu
titik C∈x , maka x pasti merupakan titik batas C.
Bukti :
(i). Karena f mencapai minimum lokal pada 0x , ada 0>δ sedemikian
sehingga untuk semua ( ) CB ∩∈ δ,0xz berlaku
( ) ( ) 00 ≥− xz ff (4.1)
Misalkan y adalah sebarang titik di C, maka [ ] C∈00 , yx . Karena itu
untuk 0/0 xy −<< δt maka titik ( ) ( ) C∩Bt ∈−+= δ,00 xxz 0xy .
Karena itu, dengan Lema 3.1.8 dan pertidaksamaan (4.1) maka diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )00
0 ≥−
≥−t
ffff
xzxy .
Dengan demikian ( ) ( ) 00 ≥− xy ff , C∈∀y
atau , ( ) (yx ff ≤0 ) C∈∀y .
Jadi f mencapai minimum lokal pada , maka f mencapai minimum
pada .
0x
0x
73
(ii). Jika f mencapai minimum pada titik tunggal , maka tidak ada yang perlu
dibuktikan, dari sifat sebelumnya diketahui bahwa titik tersebut anggota
himpunan konveks.
Misalkan f mencapai minimum pada dua titik berbeda yaitu
.Misalkan
21 dan xx
( ) ( ) ( )( )Cfff ∈=== xxxx |min21μ , maka untuk sebarang
( ), ∈ 2Pβα = ( ){ }1,0,0|, =+>> βαβαβα ,
( ) ( ) ( ) ( ) μμβαβαβαμ =+=+≤+≤ 2121 xxxx fff
Oleh karena f mencapai minimum pada setiap [ ]21 , xx .
Dengan demikian dari definisi himpunan konveks dapat diketahui bahwa
f mencapai minimum pada himpunan konveks.
(iii). Misalkan f adalah konveks tegas dan *21 xxx == .
Andaikan f mencapai minimum pada dua titik berbeda yaitu .
Misalkan
21 dan xx
( ) ( ) ( )( )Cfff ∈=== xxxx |min21μ , maka untuk sebarang
( ), ∈ 2Pβα
( ) ( ) ( ) ( ) μμβαβαβαμ =+=+<+≤ 2121 xxxx fff
Jadi, diperoleh kontradiksi μμ < maka tidak berbeda. 21 dan xx
Jadi jika f adalah konveks tegas dan f mencapai minimum pada , maka
adalah tunggal.
*x
*x
(iv). Misalkan f mencapai maksimum pada x. Andaikan x bukan titik batas
maka x adalah titik interior. Karena f bukan fungsi konstan, ada titik
C∈y sedemikian sehingga ( ) ( )xy ff < . Karena C adalah konveks,
segmen garis [ ] C∈yx, . Karena x adalah titik interior, ada segmen garis
74
[ ]yz, sedemikian sehingga x adalah titik interior dari [ ]yz, . Maka
yzx βα + untuk sebarang = ( ) 2, P∈βα dengan 0,0 >> βα , dan
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x ff = )xxzx f y fff +<+≤ βαβα .
Jadi diperoleh kontradiksi ( ) ( )xx ff < , berarti x adalah titik batas.
Jadi jika f bukan fungsi konstan dan f mencapai maksimum pada suatu
titik , maka x merupakan titik batas C. C∈x
∎
Teorema 4.2
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan C,
maka f mencapai minimum pada C∈*x
*x
jika dan hanya jika 0 ( )*xf∂∈
C∈x
Bukti :
(⇒) Jika f mencapai minimum pada , maka untuk semua ,
( ) ( ) ( )≥xf ∗∗∗ −+= xx0xx ,ff (4.2)
Berdasarkan Teorema 3.2.3, maka ( )*x0 f∇= .
Oleh karena itu . ( )*xf∂∈0
0 f∂∈
*x
(⇐) Jika , maka persamaan (4.2) terpenuhi dan f mencapai
minimum pada . ∎
( *x )
75
Teorema 4.3
Misalkan X adalah himpunan terbuka di n, f adalah fungsi bernilai real yang
didefinisikan pada X dan adalah peminimal lokal. Jika f mempunyai
turunan parsial tingkat pertama pada , maka
0x
0x
( ) nixf
i
,,3,2,1,00 K==∂∂
x . (4.3)
Bukti :
Karena X adalah terbuka, ada 0>δ sedemikian sehingga untuk setiap
titik ni ,,3,2,1 K=
( )niiii xxtxxxxt ,01,0,01,02,01,00 ,,,,,,, KK +− +=+ ex
berada di X dengan δ . Oleh karena itu untuk s n,,3 K
ngsi i
<t etiap
fu
i ,2,1=
ϕ didefinisikan dengan
( ) ( ) δϕ <+= ttfti ,10 ex ,
yang didefinisikan dengan baik dan mempunyai minimum lokal pada t = 0.
Karena turunan parsial f ada pada , maka untuk setiap
turunan
0x ni ,,3,2,1 K=
( )0'iϕ ada dan didefinisikan dengan
( ) ( )0' 0 x
ii x
f∂∂
=ϕ .
Karena setiap iϕ mempunyai minimum lokal pada t = 0, = 0. Jadi
persamaan (4.3) terpenuhi. ∎
( )0'iϕ
76
Akibat 4.1
Misalkan f adalah fungsi konveks dan diferensiabel pada himpunan konveks
terbuka C, maka f mencapai minimum pada C∈*x jika dan hanya jika
. ( ) 0x =∇ *f
Bukti :
Misalkan f mencapai minimum pada . Bahwa *x ( ) 0x =∇ *f adalah menurut
Teorema 4.3 tidak bergantung pada f dan C adalah konveks atau tidak. Jika f
adalah konveks dan diferensiabel pada himpunan konveks terbuka C dan
, maka dengan Teorema 3.2.2 ( ) 0x =∇ *f
{ } ( ){ } ( )** xx0 ff ∂=∇= .
Jadi, f mencapai minimum pada . ∎ *x
Contoh 4.1
Tunjukkan bahwa ( ) 212
22
1 73 xxxxf −−+=x , dengan
mencapai minimum pada 2 di titik tunggal dan carilah minimummnya!
( )21 , xx=x
Penyelesaian :
Langkah pertama akan ditunjukkan apakah f konveks. Menurut Teorema 3.2.5
maka
32 11
−=∂∂
xxf
⇒ 21
2
2
=∂∂
xf , 0
12
2
=∂∂
xxf
72 22
−=∂∂
xxf
⇒ 021
2
=∂∂
xxf , 2
22
2
=∂∂
xf
77
Jadi . ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2002
xH
2111 ==Δ a > 0
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Δ
2212
21112 det
aaaa
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2002
det = 4 – 0 = 4 > 0
Karena adalah definit positif untuk semua ( )xH ∈x 2, maka f adalah
konveks tegas atas 2.
Langkah selanjutnya adalah mencari nilai minimum dari fungsi tersebut.
Dari Akibat 4.1, dikatakan bahwa f mencapai minimum jika dan hanya jika
, maka diperoleh ( ) 0x =∇ *f
32 11
−=∂∂ xxf = 0 ⇒ 320 1 −= x
⇒23
1 =x
dan
72 22
−=∂∂ xxf = 0 ⇒ 720 2 −= x
⇒27
2 =x
Dengan demikian titik minimum f adalah ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
27,
23 .
78
Sehingga nilai minimumnya adalah
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
277
233
27
23 22
xf
= 249
29
449
49
−−+
= 4
58−
= 2114−
Jadi nilai minimum dari fungsi tersebut adalah 2114− .
Contoh 4.2
Tunjukkan bahwa ( ) 54247107 3231212
32
22
1 −−+−++= xxxxxxxxxf x
dengan ( ) ( 21 ,, xxxf =x )3 mencapai minimum pada 3 dan carilah titik
minimumnya!
Penyelesaian:
3211
2414 xxxxf
+−=∂∂
⇒ 141
2
2
=∂∂
xf , 4
12
2
−=∂∂
xxf , 2
13
2
=∂∂
xxf
3122
4420 xxxxf
−−=∂∂
⇒ 421
2
−=∂∂
xxf , 20
22
2
=∂∂
xf , 4
23
2
−=∂∂
xxf
2133
4214 xxxxf
−+=∂∂
⇒ 231
2
=∂∂
xxf , 4
32
2
−=∂∂
xxf , 14
32
2
=∂∂
xf
79
Jadi . ( )⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=
144242042414
xH
014111 >==Δ a
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Δ
2212
21112 det
aaaa
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
204414
det = 280 – 16 = 264 > 0
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=Δ
144242042414
det3 = 3920 + 32 + 32 – 80 – 224 – 224 = 3456 > 0
Karena adalah definit positif untuk semua ( )xH ∈x 3, maka f adalah
konveks tegas atas 3.
Langkah selanjutnya adalah mencari nilai minimum dari fungsi tersebut.
Dari Akibat 4.1, dikatakan bahwa f mencapai minimum jika dan hanya jika
, maka diperoleh ( ) 0x =∇ *f
3211
2414 xxxxf
+−=∂∂
= 0 ⇒ 02414 321 =+− xxx (i)
3122
4420 xxxxf
−−=∂∂ = 0 ⇒ 04204 321 =−+− xxx (ii)
2133
4214 xxxxf
−+=∂∂
= 0 ⇒ 01442 321 =+− xxx (iii)
Dari sistem persamaan ini nilai–nilai dan diperoleh dengan cara
eliminasi dan substitusi.
21 , xx 3x
80
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh
042040102070
15
0420402414
321
321
321
321
=−+−=+−
××
=−+−=+−
xxxxxx
xxxxxx
+
31 666 xx + = 0 (iv)
Dari persamaan (i) dan (iii) diperoleh
0144202414
321
321
=+−=+−
xxxxxx
−
31 1212 xx − = 0 (v)
Dari persamaan (iv) dan (v) diperoleh
01212012132
12
012120666
31
31
31
31
=−=+
××
=−=+
xxxx
xxxx
+
= 0 1120x
= 0 1x
Substitusi ke persamaan (iv) maka diperoleh 01 =x 03 =x .
Substitusi dan 01 =x 03 =x ke persamaan (i) maka diperoleh . 02 =x
Dengan demikian titik minimum f adalah ( )0,0,0 .
Sehingga nilai minimumnya adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 50040020040701007 222 −−+−++=xf
= 5−
Jadi nilai minimum dari fungsi tersebut adalah 5− .
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Fungsi konveks berguna dalam masalah optimisasi. Untuk mengetahui
suatu fungsi adalah konveks dapat menggunakan definisi atau sifat dari
matriks Hessian. Fungsi konveks bersifat kontinu pada setiap titik interior,
yaitu jika suatu fungsi adalah konveks yang didefinisikan pada himpunan
konveks dan ada titik interior dari himpunan konveks, maka fungsi tersebut
kontinu pada titik interior. Fungsi konveks juga mempunyai sifat
diferensiabel, yaitu jika suatu fungsi adalah konveks dan turunan parsial dari
fungsi tersebut dengan setiap variabel ada pada titik interior, maka fungsi
tersebut mempunyai turunan pada titik interior itu. Selain itu, jika suatu fungsi
adalah konveks dan ada titik interior di himpunan konveks, maka fungsi
tersebut mempunyai turunan pada titik interior jika dan hanya jika mempunyai
subgradien tunggal.
Suatu fungsi adalah konveks jika matriks Hessian dari fungsi tersebut
adalah semidefinit positif, dan dikatakan konveks tegas jika matriks Hessian
dari fungsi tersebut adalah definit positif. Suatu matriks simetrik dikatakan
definit positif jika dan hanya jika minor utama dari matriks tersebut lebih
besar dari nol.
Jika suatu fungsi konveks yang didefinisikan pada himpunan konveks
mencapai minimum lokal pada suatu titik maka fungsi tersebut mencapai
82
minimum pada titik tersebut. Jika suatu fungsi adalah konveks dan
diferensiabel pada himpunan konveks, maka fungsi tersebut mencapai
minimum jika gradien dari fungsi tersebut sama dengan nol.
B. Saran
Dalam penulisan skripsi ini penulis menyarankan untuk membahas
masalah optimisasi fungsi konveks lebih mendalam dengan membahas hal-hal
yang berkaitan dengan fungsi konveks tersebut, misalnya masalah ekonomi.
Serta membahas masalah optimisasi dalam memaksimumkan atau
meminimumkan fungsi sasaran dengan kendala maupun untuk terapan fungsi
konveks yang lain.
87
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R. G. and Sherbert, D. R. (1999). Introduction to Real Analysis. New
York: John Wiley and Sons, Inc.
Berkovitz, Leonard D. (2002). Convexity and Optimization in n. New York:
John Wiley and Sons, Inc.
Boyd, Stephen and Lieven Vandenberghe. (2004). Convex Optimization.
Cambridge: United Kingdom at the University Press.
Chong, Edwin K. P. and Stanislaw H. Zak. (1996). An Introduction to
Optimization. New York: John Wiley and Sons, Inc.
Hiriart-Urruty, et. al. (1993). Convex Analysis and Minimization Algorithms I.
Germany: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
Leon, Steven J. (2001). Ajlabar Linear Dan Aplikasinya. Alih bahasa: Drs.
Alit Bondan, M. Sc. dan Hendra Gunawan, Ph. D. Jakarta: Erlangga.
Peressini, A. L, et. al. (1988). The Mathematics of Nonlinear Programing.
New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. Singapore, McGraw-
Hill, Inc.
Soemantri, R. (2006). Bahan ajar Pengantar Analisis Real. Yogyakarta.