FUNGSI KONVEKS DAN KONKAF

Bagi himpunan R • Himpunan R konveks jika x., y z= (i-t) x + t y , t [0, 1 ]

x z y

• Sebuah fungsi f(x) konveks pada jika x., y : f((1-t) x + t y) < (1-t)f(x) + tf(y), t [0,1]

• Sebuah fungsi f(x) konkaf pada jika x., y : f((1-t) x + t y) (1-t)f(x) + tf(y), t [0,1]

TEOREMA 1

Jika f(x) konveks pada maka lokaI minimum adalah global minimum,

Jika f(x) konkaf pada maka lokaI maksimum adalah global maksimum.

TEOREMA 2

(fungsikonveks yang dapatditurunkansatu kali) adalahkonvekspadajikadanhanyajika:

x

(fungsikonkafyangdapatditurunkansatu kali) adalahkonkafpadajikadanhanyajika:

x

TEOREMA3:

 • (fungsikonveks yang dapatditurunkandua kali)

adalahfungsikonveksjikadanhanyajika:

• (fungsi konkaf yang dapatditurunkandua kali) adalahfungsikonkafjikadanhanyajika:

Contoh:

f(x) = eX dan f(x) = x2 adalah fungsi konveks

f(x) = adalahfungsikonkaf

Bagi himpunan dengan dimensi n: Rn

Rn adalah himpunan konveks jikax, y z = (1-t) x + t y , t [0,1]

di mana x = (x1 ,…,xn)

TEOREMA: • f : R adalah fungsi konveks jika x, y : f(( 1-t) x + t y ) < (1-t)f(x) + t f(y), t [0,1] dan

f(y) > f(x) + (y-x)' f(x) • f : R adalah fungsi konkaf jika x, y : f(( 1-t) x + t y ) ≥ 1-t)f(x) + t f(y), t [0,1] dan

f(y) ≤ f(x) + (y-x)' f(x)

Dimana

Adalahvektorgradien

Matriks Hessian suatu fungsi

𝛻2 𝑓 (𝒙)=[𝜕 𝑓 (𝒙 )𝜕𝑥1

❑❑2

𝜕 𝑓 (𝒙 )𝜕 𝑥1𝑥2

…𝜕 𝑓 (𝒙)𝜕 𝑥1𝑥𝑛

⋮ ⋮ ⋮𝜕 𝑓 (𝒙 )𝜕 𝑥𝑛 𝑥1

𝜕 𝑓 (𝒙 )𝜕 𝑥𝑛 𝑥2

…𝜕 𝑓 (𝒙)𝜕 𝑥𝑛𝑥𝑛

❑]

TEOREMA: • Jikabersifatpositif semi definitmaka f

adalahfungsikonveksdalam• Jikabersifatpositifdefinitmakaf

adalahfungsikonveksketatdalam

Definisi:• MatriksAberukurannxn adaiahmatrikspositif semi

definitjika:

Q(x) = x’Ax>0 x 0• Bersifatpositifdefinitjika:

Q(x) = x’Ax>0 x 0

TEOREMA: • Jikabersifatnegatifsemi definitmaka f

adalahfungsikonkafdalam• Jikabersifatnegatifdefinitmakaf

adalahfungsikonkafketatdalam

Definisi:• MatriksAberukurannxn adaiahmatriksnegatifsemi

definitjika:

Q(x) = - x’Ax>0 x 0• Bersifatnagatifdefinitjika:

Q(x) = - x’Ax>0 x 0

Definisi: • Minor utama ke i dari matriks nx n adalah determinan

dari matriks i x i yang diperoleh dari penghapusan n-i baris dan n-i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut

TEOREMA: • Suatu matriks A dikatakan positif semi definit jika seluruh

minor utama dari A bernilai >0 (non negatif) • Suatu matriks A dikatakan positif definit jika seluruh minor

utama dari A bemilai >0 (positif) • Suatu matriks A dikatakan negatif semi definit jika minor

utama ke-i dari A bernilai 0 atau bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n. • Suatu matriks A dikatakan negatif definit jika seluruh

minor utama dari A bertanda (-1) i ,i = 1, ... ,n

Dari teoremasebelumnyaberlaku:

• Jikaf(x) mempunyaiturunanparsialkedua yang kontinyupada x ,makaf(x) adalahfungsikonvekspadajikaseluruh minor utamadariadalah>0 (konveksketatjikaseluruh minor utamadariadalah >0).

• Jikaf(x)mempunyaiturunanparsialkedua yang kontinyupada x ,makaf(x) adalahfungsikonkafpadajikaseluruh minor utamadaribertanda(-1) i ,i = 1, ... ,n atausamadengan 0 ( konkafketatjikaseluruh minor utamadaribertanda(-1) i ,i = 1, ... ,n)