2do trabajo de matemática aplicada ii - limites y continuidad en complejos - untecs

UNIVERSIDAD NACIONAL

TECNOLÓGICA Ing. Electrónica y Telecomunicaciones V DEL CONO SUR DE LIMA

MATEMÁTICA APLICADA II 2

(1,1)

(2,-2)

(4,4)

(2,0)

FUNCIONES, LÍMITES Y

CONTINUIDAD - COMPLEJOS

47.- Sea ( ) ( ).hallar los valores de para: (a)

(b) y hacer la gráfica de los valores correspondientes en el plano .

Solución:

(a)

( ) ( )( ) ( )

(b)

( ) ( )( )

Plano z Plano w

48.- Si ( ) ( ) ( ), hallar ( ) ( ) ( ) ( ) y representarlos

gráficamente.

Solución:

(a) ( )

(b) ( )




(1,-1)

(-1,-2)

(0, 1) (0, 1)

Plano z Plano w

49.- Si ( ) ( ) ( ) , hallar ( ) ( ) ( ) * ( )+

Solución:

( ) (

)

( ) * ( )+ .

/

.

/

.

/

50.- Hallar:

( ) ( )

, hallar ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )




Solución:

) ( ) .

/ ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )( )

) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )




(1, 1) (2, 2)

S S’

Solución:

Plano z Plano w

) ( )

( )

Representamos a ( )

)

(( ) )

(( ) )(( ) )

( )

( ) (

( ) )

Remplazamos a:

( )




(1, 1)

(1, 1/2)

S (1/5, 0) (1, 0)

(1, 1)

(2, 2)

S1’ (-1, 1)

(-1,-1) (1, -1)

(2, 0)

(0, 2)

Plano z Plano w

52.- Discutir el problema 51 si el cuadrado tiene vértices en (1,1), (-1,1), (-1,-

1), (1,-1)

Solución:

El problema se plantearía exactamente igual con diferencia de la variación del

cuadrado de la transformación

Parte a)

Plano z Plano w

S’

S1




(1, 1) S (-1, 1)

(-1,-1) (1, -1)

(0,-1/5)

Parte b)

=

=

Plano z Plano w

53.- Separar cada una de las siguientes funciones en las partes real o

imaginaria, es decir hallar ( ) y ( ) tales que ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Reemplazamos:

( )

( )

( ) ( )

S1




( )

( )

( )

( )

(

)

Reemplazamos:

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( ) .

( ) /

Reemplazamos:

( )

( )

( ) ( )

, ( )-

0( .

/ .

/)1

Reemplazamos:

(

) (

)




54.- Si ( )

construir algunos miembros de las familias

( ) ( ) donde y son constantes y mostrar que aquellas

son familias de círculos.

Solución:

( )

( )

( )

( ) [

( )]

Reemplazamos:

( )

( )

Luego construimos:

) ( )

(

) (

)

(

)

(

)

[ (

)]

[ (

)]

(

)

Es una familia de círculo de radio

) ( )




(

) (

)

(

)

(

)

[ (

)]

[ (

)]

(

)

Es una familia de círculo de radio

LAS FUNCIONES ELEMENTALES

58.- Demostrar que:

( )

Sea:

( ) ( )

( )

( ) =

=

= ( )

=




( )| |

| | | ( )| | |

| || |

| |√

59.- Demostrar que ningún valor finito de z satisface la ecuación

( )

( )

, -

( Λ ) v ( Λ )

( )

60.- Demostrar que es un periodo de ¿tiene otros periodos?

Sea:

= ( )

( )

( ( ))

( )




61.- Hallar los valores de z para los cuales (a) , (b)

(a)

(b) =

=

= ( )

=

=

=

Obs:

62.- Demostrar: (a) , (b) ,

(c) .

/

( ) ( ) (

)

( )

Solución:

(a)

Sea:




( )( )

( )

( )

(b) ( )

)

6

7

6

7

(c) .

/

( )

Sea: .

/ 6

7

.

/ 6

7

6

7

, -




( ) (

)

( )

(

) *

+

6

7

( )

63.- Probar

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

[

]

[

]




64.- Si ( ) ( )

Solución:

( )

( )

( )

( )

( )

4

54( )

5

( )( ( ) )

( )( ( ) )

65).-Demostrar que todas las raíces de ( ) ( )

Solución:

Si

( )

, - , -

, -




, -

( , - ) { , -

( )

, - , -

, -

( , - ) { , -

66.- Demostrar que si | | para todo z, entonces z debe ser real.

Solución:

Si | |

Λ

Λ

( ) Λ ( )

( ) Λ ( )

(( ) ) Λ (( ) ) Si y=0: pues debe cumplir




( ) Λ ( )

67.- Mostrar que, (a) , (b) , (c)

Solución:

( )

( )

(

) (

) (

)

4( )( ) ( )

5

4 ( ) (( )( ))

5

4

5

4 ( ) ( )

5

( )

( )

Se demuestra que:

( )




(b)

( )

(

) (

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Se demuestra que:

( )

(c)

( )

( )

( )




68.- Para cada una de las funciones siguientes hallar ( ) ( )tal que

( ) o sea encontrar las partes real e imaginaria:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Encontramos u y v

( ) ( ) ( )

( )

, -. ( )

( ) , -

Demostrando que:

( )

( ) ( )

( )

Demostrando que:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) ( ))




Demostrando que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ( ))

( )( )( ( ) ( ))

*,( ( ))( ) ( )- ,( ) ( ) ( )- +

,( ( ))( ) ( )- ,( ) ( ) ( )-

Demostrando que:

,( ( ))( ) ( )-

,( ) ( ) ( )-

69.- Demostrar que ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )




70).-Demostrar que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Solución:

( ) ( ) 4 ( ) ( )

5(

)

4 ( ) ( ) ( ) ( )

5

4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5

4( )( )

54( )( )

5

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

4( ) ( )

5

4( ) ( )

5

( ) ( )




( )

Sea:

Dividimos entre

71).-Demostrar que (a) .

/

( ) ( ) .

/

( )

Solución:

(a) .

/ .

/

.

/

(

)

( ( ) )

( ) .

/ 4

5

.

/

(

)

( ( ) )




72.- Hallar ( ) ( ) ( ) ( )

Solución:

( )

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

4

5 ( ) 4

5 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Demostrando que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (

)

( ) 4

5

( ) ( ( ) ( )

)

,( ) - ,( ) -




Demostrando que:

,( ) -

,( ) -

73.- Hallar el valor de:

( ) (

) ( ) ( ) (

) ( )

Solución:

( ) (

) (

) (

. / .

/ .

/ .

/

)

.

/

( √ )

( ) [( ) (

)]

( ( )

( )

)

[

( ) ] [

( ) ] [

( ) ] [

( ) ]

6( )

7

0

1




74. - (a) .

√

/ = .

/

Solución:

‖ ‖ ( )

4

√

5 ‖

√

‖ ( )

√

√

4

√

5 ‖

√

‖ (

)

‖

√

‖ 4

√

5 (

)

(b) ¿Cuál es el valor principal?

Solución:

4

√

5 (

( ) )

4

√

5 (

)

75.- Obtener los valores de:

a) ( )

( ) ( ) ( )

La rama principal k=0 ( ) ( )




b) ( )

( ) ( ) (

)

La rama principal k=0 ( ) ( )

c) (√ )

( √ ) ( ) (

)

La rama principal k=0 ( √ ) ( ) (

)

76.- Mostrar que ( )

(( ) ) .

/

( ) (( ) ) (√( ) ) 4.

/ 5

k=0 ( )

(( ) ) .

/

77.- Demostrar que:

a)

√

√ ( √ )

( √ )

b)

( )

( )

( )

( )




Por proporción:

(

)

78.- Demostrar que :

a)

√

( √ )

b)

(

)

79.- Hallar los valores de:

a)

√

√ ( √ )

( √ )

( √ )

b)

( √ )

Luego:

{ (√ )

(√ )




80.- Hallar todos los valores de:

a)

cosh(m) = i

= i

√

√

M = { ln( 0+(1+√ ); ln (0+(1-√ )i}

Usamos ln (z) = ln(r) + ( θ+2k )i

Donde z =rcis θ

ln(√ +1 ) +

i +2k i

M= { ln(√ -1 ) +3

i +2k i

b) ( ( ))

Primero usamos: ln(-1) = ln(1) +( + 2k )

Reemplazando:

Senh(w) = ln(1) + (1+2k )

Senh(w) = (1+2k)

= (1+2k) i

- 2(1+2k) i -1 = 0

= 2(1+2k) i -1 = 0

= ( ) √ ( )




W= {(1+2k) i √ ( ) }

Luego por transformación:

W= { ln((1+2k) √( ) ) +

i +2m

{ ln((1+2k) √( ) ) +

i +2m

81.- Determinar todos los valores de :

a) ( )

( ) √ ( )

√ ( )

(√ ) ( )

( )

.{cos(ln√ ) ( √ )}

b) √

√ = ( )√

√ = cos(2√ ) (2√ )

82.- Hallar:

Re ( )( )

( )( ) = (

)√ ( )

( )

( )

( )

Re (z) = (

) ( )

. cos(

( ))




b) |( ) |

|( )(( )

) |

( )( )

83.- Hallar la parte real e imaginaria de :

= ( )( )

= r (

) )

= . ( ) .

/ /( )

= ( ) (

).

(

) ( )) .

La parte real: ( ) (

).{cos(x .

/ ( ))}

La parte imaginaria: ( ) (

).{sen(x .

/ ( )

Donde: r = √

84.- Mostrar que es función algebraica de z

a) F(z) = w = ( )

= -1

Es una función Algebraica.




LÍMITES

89.- (a) Si ( ) = , demostrar que ( )

Solución:

‖ ‖ ‖ ( ) ‖

‖ ‖ ‖ ‖

‖ ( ) ‖ ‖ ( )

( )( )‖

‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖

‖ ‖ ‖ ‖

2

3

(b) Si ( ) {

, hallar ( ) y justificar su respuesta

Solución:

) ( )

)

( )

)

( ) ( )

Por lo tanto, con esto se demuestra que no es continuo en z=i, ya que al evaluar el

límite cuando z tiende a i de la función es diferente a la función evaluado en z=i .




90.- Demostrar que

Si evaluamos el límite de manera directa se obtendrá

, lo cual es una

indeterminación, pero para eliminar esto aplicaremos L´ Hospital

Ahora evaluamos

( )

( )

( )

( )

91.- Adivinar un valor posible para (a)

, (b)

(a)

=

(b)

=

92.- Si ( ) ( ) , demostrar que,

(a) * ( ) ( )+

Debemos demostrar que para cualquier podemos encontrar un tal que:

|( ( ) ( )) ( )| | |

Tenemos:

|( ( ) ) ( ( ) )| | ( ) | | ( ) | ( )

Por hipótesis, dado un podemos encontrar un tales que

| ( ) |

| | ( )

| ( ) |

| | ( )

Entonces de (1), (2) y (3)

|( ( ) ( )) ( )|

| |




(b) * ( ) ( )+

Debemos demostrar que para cualquier podemos encontrar un tal que:

|( ( ) ( )) ( )| | |

Tenemos:

|( ( ) ) ( ( ) )| | ( ) | | ( ) | ( )

Por hipótesis, dado un podemos encontrar un tales que

| ( ) |

| | ( )

| ( ) |

| | ( )

Entonces de (1), (2) y (3)

|( ( ) ( )) ( )|

| |

93.- Si ( )

( )

* ( )+

Tenemos: | ( ) ( ) | | ( )( ( ) ) ( ( ) )| ( )

| ( )|| ( ) | | || ( ) |

| ( )|| ( ) | (| | )| ( ) |

Puesto que ( ) | ( ) | para

0<| |

| ( ) | | ( )| | | | ( )| | | | ( )| | |

O sea, | ( )|

Ya que ( )

| ( ) |

| |

Puesto que ( ) , dado podemos encontrar

| ( ) |

(| | ) | |




Utilizando en (1), tenemos

| ( ) ( ) |

(| | )

(| | )

| |

( )

* ( )+ .

En( b) se procede de forma análoga al ejercicio anterior.

94.- Calcular aplicando teoremas sobre límites los siguientes casos (en cada uno

establezca precisamente qué teorema utiliza).

( )

( )

En este caso solo será cuestión de evaluar directamente

( )

( ) ( )

( )

( ( ) ( ))

( )

Primero recordamos lo siguiente:

Ahora evaluamos

.

/

( ) .

/

√ ( )

√ ( ) √ ( )

√ ( ) √ ( )

√ ( )




( ( )

( ))

( ( ) ( ))

( )

( )( )

( )

En este caso solo será cuestión de evaluar directamente

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )( )

( ) . / .

/

. /

( )( )

( )

( ( ) ( )) . ( )

( )/

( )

Si evaluamos el límite de manera directa se obtendrá

, lo cual es una

indeterminación, pero para eliminar esto aplicaremos R´ Hospital

( )

{

}

Primero damos forma al denominador, con el fin de eliminar el numerador

{

}

6

( ( ))( ( ))7

Ahora podemos evaluar el límite y hallar su valor

(

( ))

(

( ) ( ))

(

)

{

}




95.- Hallar

.

/ .

/

Primero recordamos lo siguiente:

Segundo si evaluamos el límite de manera directa se obtendrá

, lo cual es una

indeterminación, pero para eliminar esto aplicaremos R´ Hospital

( ) .

/

(

)

(

( ))

Ahora recién evaluamos el límite pues ya no existe indeterminación

( )

.

/

.

/

( √ )

( √ )

( √ )( √ )

( √ )( √ )

√

( ) .

/

√

96.- Demostrar que si ( ) , entonces ( ) ( )

Solución:

( ) ( )

( )

( )




( ) ( )

97.- ( )

( ) ( )

( )

Solución:

( ( ) ( )

) . /

( ( ) )( ) ( )( ( ) )

( ( ) )( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ( ) ( )

) . /

( )

98.- ( ) √ ( ) √

√

Solución:

Si evaluamos directamente se obtiene

lo cual es una indeterminación, para ello

multiplicamos la conjugada del numerador, para eliminar la indeterminación

(√ )(√ )

( )(√ )

( )

( )(√ )




Ahora si se evalúa para hallar el valor del límite

( )( )

( )(√ )

√

99.

( )

( )

Es una aplicación de límites que tiene validez al cumplir la siguiente condición:

( )

( )

Comprobando su validez en el ejercicio:

( )

( )

Significa que para cada número positivo existe un número positivo tal que:

‖

( ) ‖

‖ ‖

( )

Notamos que el límite tiende al infinito por lo cual se cumplirá lo siguiente:

Para nuestro ejercicio, primero dividimos convenientemente entre para obtener la

forma planteada, tanto al numerador como al denominador




‖

‖ ‖ ‖

100.- Demostrar que :

( )

( )

Tomamos 2 caminos:

1. (x,0) (

) y=0 , x =

2. (

) (

) x=

, y = 0

1er camino: y = 0

( )

( )

( )

2do camino: x =

( )

( ) (

)

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

Luego como (1) = (2) el Limite existe y es: .

/




101.- Mostrar que si consideramos las ramas de f(z) = talque f(0) =0

entonces

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

, (√ )

. (√ )

/

(

)

(

)

Se demuestra el valor :

( )

( )

a) Demostrar que el limite existe y hallarlos

( )

( )( )

Esta función es continua por lo tanto el limite existe

b) Es continua?

Seria continua si : ( )

( )

Pero: f(2i) = 3+4i

( ) f(2i)

( ) No es continua

c) Es continua en cualquier otro punto (z 2i ) pues la f(Z) no se indertemina,

siempre tendrá imagen (Ǝ f(z ) )




103.- Resolver el problema 102 si f(2i) es ahora a 4i y explicar por qué algunas

diferencias ocurren.

( )

( )

( )

La discontinuidad del 102 era evitable si definimos f(2i)=4i

Pero como no era el caso(f(2i) = 3+4i) entonces surgen diferentes resultados.

V

Discontinuidad

2

-2 2 u

104 ) Demostrar que f(z) =

es continua en todos los puntos dentro y sobre el

circulo unidad | | exepto en 4 puntos y determinar esos puntos.

( 0,1)

| | √

Para

F(z) =

(-1,0) (1,0)

(0,-1)

𝑓(𝑧) 𝑧

𝑧 𝑖




Entonces: * + *

+

2

3

z = ( )

* +

105) Si f(z) y g(z) son continuas en z= demostrar que 3f(z)-4ig(z) es también

continua en z= .

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ), entonces:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

Entonces 3f(z) 4ig(z) es continua en z=

106) f(z) es continua en z = demostrar que : a) , ( )- y b) , ( )- don también

continuas en z =

( ) ( ) ( )

Es continuo , ( )- en z = ?

, ( )- ,

( )- , ( )-

es continua

Es continuo , ( )- en z = ?

, ( )- ,

( )- , ( )-

es continua

En genral: n ϵ , ( )- ,

( )- , ( )-

Es continua para todo n ϵ en z = ?




107 ) Hallar la continuidad de las siguientes funciones:

a) F(z) =

Para que sea discontinua f(zo) =

( ) = -1

Z1 = -1 i

b) F(z) =


= 16

Z1 = 2 2i

Z2 = -2 + 2i

Z3 = -2 - 2i

c) F(z) = cot(z) = ( )

( )

Para que sea discontinua f(zo) = ( )

En la circunferencia trigonométrica los puntos en los que el seno es cero son

los puntos de la forma:

, k = 0, +/- 1, +/-

d) F(z) = 1- sec(z) = ( )

( )

Para que sea discontinua f(zo) = ( )

En la circunferencia trigonométrica los puntos en los que el coseno es cero

son los puntos de la forma:

(

) , k = 0, +-1, +-




e) F(z) = ( )

=

( )

( )( )


( )

= 0 z = i, -i

= -1 = ( )

θ

(

) , k = 0, +-1, +-

108) Demostrar que f(z) = - 2z +3 es continua en todo el plano finito.

Solución.

Partimos de ϵ / zo ϵ Dom f(z)

F(z) es continua F(z) = f(z0) ϵ

( ) = f(zo)

Aplicando limite a la función:

( ) - 2 ( ) +3 = -2zo +3

zo ϵ ( )

F(z) es continua.




109) Demostrar que f(z) =

es,

a) Continua

Supongamos que f(z) es discontinua en z = zo

F(zo) =

= 0

= -9 +0i = r cis (θ)

9 cis( 0 +2k )

K= 0,1,2

√ (

)

(

)

Zo ϵ Dom f(z)

b) Acotada en la región | | 2

zo = (cos(

) + i sen(

))

√

+i√

√

√

- i√

√

zo = (cis(2k

))

| | 2

√ 2




4

Con lo cual luego de reemplazar los valores de k tendremos que estos se ubicaran

fuera de la gráfica del circulo:

110) Demostrar que si f(z) es continua en una región cerrada, es acotada en la región:

f(z) / f(z) es continua en | |

| | = a

f(zn) , ( )

Y comprobamos que:

f(zn) ( )

debido al probar en la definición:

{| | | ( ) ( )|

{1 , r

} = dmin ; para un r y m obtenidos al demostrar el limite




111) Demostrar que f(z) =

es continua para todo z tal que | | 0, pero que no es

acotada

Tenemos que : | | 0 +

Se cumple que

x

y

Gráficamente observamos que mientras en el eje x más se acerque a cero, en el eje y se

aproximara a infinito.

112) Demostrar que un polinomio es continuo en todo el plano finito.

F(z) =∑ /zo E Domf zo E C

F(z) = a0 +a1z +a2

Supongamos que f(zo) ( )

( f(zo) = ao +a1(zo) +a2( ) ( ) )

( ( ) ( ) +a2 ( ) ( )




ao +a1(z0) +a2( ) ( ) = ao +a1(z0) +a2( ) ( )

Para un zo C

113) Mostrar que la siguiente función es continua para todo z exterior a | | 2

Zo = 2

Z1= 1

Por lo tanto al ubicar los puntos probamos que la discontinuidad se encuentra dentro

de la región circular, por lo tanto es continua en la región exterior a | | 2

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