1

1. MATEMTICA Reviso de Conceitos Bsicos

Equao Simples:

2 (x + 4) = 3(x + 1)

distributiva: 2 x + 8 = 3 x + 3

isolando os fatores comuns:

8 3 = 3 x 2 x

5 = 1 x x = 5

Fraes Frao = Diviso numerador

3

= 3 4

4 denominador

Ex.: Igualdade de fraes (multiplicao em cruz)

3 x

= 3

3 x 5 = 43 = 15x = 12 4 5

x =

12 x =

4

15 5

X

X

X

X

2

Porcentagem

frao com denominador = 100

i| d|c|

15 (quinze centsimos) = 0,1 5 = 15%

100 notao notao

decimal porcentual i| d|c|

Ex.: 8

= 0,0 8 = 8 % ; i=inteiro; d=dcimo;c=centsimo

100

0,25 = 25%

18% = 0,18

110% = 1,10

Ex.: Quanto 20% de 1500 ?

Procedimentos:

1.) 1500 x 20 = 30.000 = 300

100 100

ou

2.) 1500 x 0,20 = 300

Decimal para % x 100

% para decimal 100

3

1

4

Potenciao: expoente

3 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

base

Radiciao: Propriedade bsica:

n b

a = b

Exemplos:

5 243

1 = 243 = 3

4 20736 = 20736 = 12

a

n

1

5

4

1

5

Mdia Aritmtica (A) e Mdia Geomtrica (G):

dos nmeros: 3 , 4 , 6 , 9 e 12

A = 3 + 4 + 6 + 9 + 12

= 6,8

5

G = 5 3 x 4 x 6 x 9 x 12 =

5 7776

G = (7776) = 6

A G

5

2. CONCEITOS FINANCEIROS BSICOS

2.1. Juro

Ex.: Emprestei R$ 5.000,00

Devolvi R$ 5.400,00

Juros R$ 400,00

2.2. Taxa de Juros

Ex.: Emprstimo: R$ 10.000,00

Perodo: 3 meses

Juros cobrados: R$ 300,00

TAXA DE JUROS = i = 300,00 = 3 % ao trimestre

10.000,00

2.3. Inflao, Correo Monetria e ndice de Preos

JURO "ALUGUEL" DO DINHEIRO EMPRESTADO

TAXA DE JUROS= JUROS RECEBIDOS OU PAGOS NUM PERODO

CAPITAL EMPREGADO

INFLAO DESVALORIZAO DA MOEDA

6

Exemplos:

Inflao Custo de uma cesta de produtos em 01/01/2003 = $ 140,00

Custo de uma cesta de produtos em 31/12/2003 = $ 160,00

Inflao da cesta de produtos no perodo= 20,00 (aumento)

140,00(base inicial)

= 0,143 = 14,3 % no ano

Correo monetria = inflao

Uma pessoa ganhava R$ 140,00 em 01/01/2003 e comprava a

cesta do exemplo anterior.

Para comprar a mesma cesta em 31/12/2003, a pessoa precisaria

ter um aumento (correo monetria) de 14,3 % no salrio.

CORREO MONETRIA Corrige o valor da moeda desvalorizada

NDICE DE PREOS Mede a inflao do perodo

VARIA - Setor da Economia - Critrios de cada entidade

7

ndice de Preos:

IGP-M (FGV)

IGP-DI (FGV)

CUB (Sinduscon) usado na construo civil .

.

.

etc.

2.4. Conceito Bsico da Matemtica Financeira:

Ter R$ 100,00 hoje melhor do que ter R$ 100,00

daqui a 1 ano.

R$ 100,00 (hoje) aplicado no mercado financeiro

valor maior que R$ 100,00 daqui a 1 ano (Por exemplo: R$ 110,00)

" PROIBIDO COMPARAR VALORES

MONETRIOS (DINHEIRO) EM DATAS

DIFERENTES."

R$ 100,00 HOJE OU

R$ 100,00 DAQUI A 1 ANO

8

2.5. Capital Inicial ou Valor Presente (VP)

Exemplo:

Emprstimo de R$ 10.000,00 hoje.

VP = R$ 10.000,00

2.6. Montante ou Valor Futuro (VF)

Exemplo:

Emprestei R$ 10.000,00 hoje

Devolverei R$ 12.000,00 daqui a 1 ano

Portanto, VF = R$ 12.000,00

VP = DINHEIRO NA DATA ATUAL (PRESENTE)

VF = DINHEIRO NA DATA FUTURA

9

Comparar valores monetrios "Transportar" os valores para a mesma data

VP VF

10

Se tenho 2 valores numa operao financeira, um no

presente (VP) e outro no futuro (VF), no posso

compar-los (nem som-los, nem subtra-los) dessa

forma. Devo transport-los para a mesma data.

Ou transporto o VP para o futuro, ou transporto o VF

para presente.

Como fazer isso ?

Resposta: Utilizando o conceito de Fator de

Capitalizao (FC) que veremos a seguir.

11

2.7. Fator de Capitalizao do Perodo (F.C.)

Transportar o $ para o futuro:

Transportar o $ do futuro para o passado:

$ X Fator de Capitalizao do Perodo

Multiplicao

Fator de Capitalizao

do Perodo

o "veculo" que transporta o

dinheiro no tempo.

$ Fator de Capitalizao do Perodo

Diviso

12

REGRA BSICA :

Como calcular o Fator de Capitalizao (FC) do

perodo?

Objeto dos prximos captulos

2.8. Fluxo de Caixa e Diagrama de Fluxo de Caixa:

VF = VP X FATOR DE CAPITALIZAO

VP = VF FATOR DE CAPITALIZAO

13

Fluxo de Caixa: sucesso de Pagamentos e Recebimentos no tempo (dinheiro no

tempo)

Diagrama de Fluxo de Caixa: Representao grfica do dinheiro no tempo

ORIENTAO DAS SETAS VERTICAIS :

(CONVENO)

PAGAMENTOS

RECEBIMENTOS

R$ 1.000,00

R$ 100,00

0 1 2 3 tempo

R$ 50,00

14

2.9. Desconto (D)

Exemplo:

Desconto de cheque pr-datado para 60 dias:

Valor do cheque: R$ 1.000,00 (VF)

Valor recebido hoje pelo cheque: R$ 800,00 (VP)

Valor do desconto: D = VF VP

D = 1.000,00 800,00 = 200,00

O Valor do Desconto (D=R$ 200,00) a

remunerao do banco (o valor que fica com o

banco)

Diferena entre o valor futuro (VF) e o valor presente

(VP) de um ttulo.

D = VF - VP

15

3. CAPITALIZAO SIMPLES DE JUROS

3.1. Conceito de Juros Simples:

Exemplo:

Emprstimo de R$ 5.000,00 por 3 meses

Taxa de juros: 2% a.m. = 0,02 a.m.

1 ms : Juros = 5.000,00 x 0,02 = 100,00

2 ms : Juros = 5.000,00 x 0,02 = 100,00

3 ms : Juros = 5.000,00 x 0,02 = 100,00

3.2. Clculo dos Juros Simples :

FRMULA DOS JUROS:

ONDE :

JUROS SIMPLES TAXA DE JUROS INCIDE SOMENTE SOBRE O

CAPITAL

VALOR DOS JUROS SEMPRE O MESMO NO DECORRER DOS

PERODOS (EM CADA PERODO)

J = VP x i x n

16

J = VALOR DOS JUROS

VP = VALOR DO CAPITAL INICIAL OU VALOR

PRESENTE

i = TAXA DE JUROS (em notao decimal)

n = PRAZO OU PERODO

Obs.: A taxa de juros (i) e o perodo (n) devem estar

necessariamente na mesma unidade de tempo.

Ex.: i = 10% a.m.(ao ms) = 0,10 a.m. n em meses

i = 5 % a.a. (ao ano) = 0,05 a.a. n em anos

Exemplo:

Considerando o exemplo anterior, temos:

VP= 5.000,00

i = 2 % a.m. = 0,02 a.m. (notao decimal)

n= 3 meses

J= ?

J=VP x i x n J=5.000,00 x 0,02 x 3

J= 300,00

17

3.3. Clculo do Valor Futuro (VF) e

Valor Presente (VP):

EXPRESSO FUNDAMENTAL (para transportar o $

no tempo):

Para Valor Futuro:

Para Valor Presente:

Portanto, conclui-se que :

(1 + i x n) = FC (fator de capitalizao p/ juros simples) ,

usado para transportar o dinheiro no tempo em

operaes financeiras a juros simples, num

determinado perodo.

VF = VP x (1 + i x n) ; para Valor Futuro

Fator de capitalizao para juros simples

VP = VF

; para Valor Presente

(1 + i x n)

18

Exemplo:

Realizei, hoje uma aplicao a juros simples de R$

50.000,00 a uma taxa de 5 % a.m. por um prazo de

4 meses.

Qual o valor do resgate dessa aplicao?

Quanto recebi de juros ?

VP = 50.000,00

i = 5 % a.m. = 0,05 a.m.

n = 4 meses

VF= ?

VF = VP x FC

VF = VP x(1 + i x n) = 50.000,00 (1 + 0,05 x 4)

VF = 5.000,00 x 1,20 VF = R$ 60.000,00

J= VF VP = 60.000,00 50.000,00

J= R$ 10.000,00

ou pela frmula:

J=VP x i x n= 50.000,00 x 0,005 x 4 J=50.000,00 x 0,20 J=R$ 10.000,00

19

3.4. Taxa de Juros Acumulada no Perodo

REGRA BSICA:

(em notao decimal)

Perodos com taxas diferentes

()

(em notao decimal)

Obs.: Para passar a taxa da notao decimal para

notao percentual x 100

Exemplos:

Um emprstimo foi realizado a juros simples por um perodo de 5 meses, com taxa de 2% a.m.

Taxa de juros acumulada = i acum

= i x n = 0,02 x5

i acum

= 0,10 = 10 %

Um emprstimo foi realizado a juros simples por um perodo de 5 meses, com taxas de 2% a.m. nos 3

primeiros meses, 3% a.m. no quarto ms e 4% a.m.

no quinto ms.

i acum

= i x n

i acum

= i1

x n1 + i

2x n

2 + i

3x n

3 + ...

in

x nn

20

Taxa de juros Acumulada = i

acum = i

1x n

1 + i

2x n

2 + i

3x n

3

i

acum = 0,02 x 3 + 0,03 x 1 + 0,04 x 1

i acum

= 0,13 = 13%

3.5. Taxas Proporcionais :

TAXAS DE PERODOS

DISTINTOS

MESMO VALOR

FUTURO

NO FINAL DE DETERMINADO TEMPO

21

EXEMPLO:

Horizonte de 30 dias

Outros exemplos : i anual

= imensal

x 12 ;

i anual

= idirio

x 360 ;

i mensal

= idirio

x 30

i mensal

= 5% a.m.

i dirio

= ?

VP (1 + i dirio

x 30 dias) = VP(1+ i mensal

x 1 ms)

Portanto: i dirio

x 30 dias = i mensal

x 1 ms

i dirio

=

imensal = 0,05 = 0,0017 a.d. = 0,17% a.d.

30 30

VF(30 dias)

= VP (1 + i dirio

x 30 dias )

VF(30 dias)

= VP (1 + i mensal

x 1 ms)

VP (1 + i dirio

x 30 dias) = VP(1+ i mensal

x 1 ms)

Portanto: i dirio

x 30 dias = i mensal

x 1 ms

i dirio

=

imensal = 0,05 = 0,0017 a.d. = 0,17% a.d.

30 30

22

4. CAPITALIZAO COMPOSTA DOS JUROS

4.1. Conceito de Juros Compostos :

Exemplo: Emprstimo de R$ 100,00 com taxa de 5%

a.m. por 3 meses (juros compostos)

Perodo Capital (VP) Taxa Juros Dvida (VF)

1 100,00 5% 5,00 105,00

2 105,00 5% 5,25 110,25

3 110,25 5% 5,51 115,76

JUROS COMPOSTOS TAXA DE JUROS INCIDE SOBRE O CAPITAL +

JUROS DO PERODO

ANTERIOR

VALOR DOS JUROS AUMENTA NO DECORRER DOS PERODOS (EM CADA PERODO)

23

4.2. Clculo do Valor Futuro (VF) e

Valor Presente (VP)

EXPRESSO FUNDAMENTAL :

Onde:

VF = VALOR FUTURO

VP = VALOR PRESENTE OU CAPITAL INICIAL

i = TAXA DE JUROS (JUROS COMPOSTOS)

n = PRAZO OU PERODO

notao decimal

PORTANTO:

Obs.: A taxa de juros (i) e o perodo (n) devem estar

necessariamente na mesma unidade de tempo.

VF = VP (1 + i) n

FATOR DE

CAPITALIZAO PARA

JUROS COMPOSTOS

(P/ VALOR FUTURO)

VP = VF

(1 + i) n

(P/ VALOR PRESENTE)

24

Portanto, conclui-se que:

(1 + i) n = FC (Fator de Capitalizao p/ Juros Compostos)

usado para transportar o dinheiro no tempo em

operaes financeiras a juros compostos, num

determinado perodo.

Exemplo:

Um emprstimo para compra de um imvel vista foi realizado junto a um agente financeiro, para ser

devolvido em 6 meses, com taxa de 2% a.m.

Sabendo que o valor do imvel R$ 80.000,00 qual

o valor a ser pago pelo emprstimo ?

VP = 80.000,00

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

n = 6 meses

VF = ?

VF = VP x FC = VP (1 + i ) n

VF = 80.000,00 (1+0,02)6= 80.000,00 x 1,1262

VF = 90.096,00

25

4.3. Fator de Capitalizao para Juros Compostos

Sua utilidade:

Transportar $ no tempo (do presente para o futuro e do futuro para o presente)

Usado para o clculo de acumular taxas de juros de diversos perodos

Usado para o clculo de deduzir taxas de juros

Usado para o clculo de taxas mdias

Como calcular o F.C.:

Para perodo unitrio:

(Soma-se 1 taxa de juros do perodo escrita em

notao decimal)

Para vrios perodos (n) com Taxa de Juros Iguais (i):

FC

acum = fator de capitalizao acumulado dos perodos

Para vrios perodos (n) com taxas de juros diferentes:

FC = 1 + i

FC acum

= (1 + i) n

FC acum

= FC1 x FC

2 x FC

3 x ... FC

n

(1 n)

26

ONDE:

FC acum

=

(1 n)

FC1

= FATOR DE CAPITALIZAO DO PERODO 1 1 + i1

FC2

= FATOR DE CAPITALIZAO DO PERODO 2 1 + i2

FC3

= FATOR DE CAPITALIZAO DO PERODO 3 1 + i3

FCn

= FATOR DE CAPITALIZAO DO PERODO n 1 + in

Exemplo:

Calcular o fator de capitalizao acumulado dos perodos

representados no fluxo:

VP

t

0 1 2 3

i

1=5% a.m. i

2=7% a.m. i

3=3% a.m.

FC acum

= (1 + i 1) x

(1 + i

2) x (1 + i

3)

FC acum

= (1 + 0,05) x (1 +0,07) x (1 + 0,03)

FC acum

= 1,05 x 1,07 x 1,03 = 1,157

FATOR DE CAPITALIZAO ACUMULADO

DOS PERODOS 1 AT n

27

Portanto, se desejarmos transportar o VP que est na

data 0 at a data 3 (final do 3 perodo), devemos

multiplicar o VP pelo FC acum

dos 3 perodos.

4.4. Taxa de Juros Acumulada no Perodo

REGRA BSICA:

Subtraindo-se 1 do fator de capitalizao do perodo,

encontra-se a taxa de juros acumulada do perodo, em

notao decimal.

Em Porcentagem:

i acum

= (FC acum

- 1) x 100

i acum

= FC acum

- 1

(em notao decimal)

VF (3)

= VP x FC acum

VF (3)

= VP x 1,157

28

4.5. Taxa de juros mdia do perodo (i mdio

)

Passos necessrios:

1.) Encontrar o FC mdio

do perodo, que a mdia

geomtrica dos FCs;

2.)

FC mdio

= n FC

1 x FC

2 x ... x FC

n ,

Onde n = n de perodos

i mdio

= (FC mdio

- 1) x 100

(em porcentagem)

29

4.6. Taxas Equivalentes

EXEMPLO: VALOR FUTURO P/ PERODO DE 1 ANO

ONDE:

ia = TAXA DE JUROS ANUAL

im

= TAXA DE JUROS MENSAL

Portanto:

dado ia i

m ou

dado i

m i

a

TAXAS DE PERODOS

DISTINTOS

MESMO VALOR

FUTURO

NO FINAL DE DETERMINADO TEMPO

VF (1 ano)

=VP x (1 + ia)

1= VP x (1 + i

m )

12

1 + ia = (1 + i

m )

12

30

VF VF

5. ANLISE COMPARATIVA ENTRE JUROS

SIMPLES E COMPOSTOS

(PARA O MESMO VP)

EX.: TAXA EM QUESTO MENSAL

PERODO ANALISADO 12 DIAS

EX.: TAXA EM QUESTO ANUAL

PERODO ANALISADO 5 MESES

NESSES CASOS:

CAPITALIZAO

A JUROS

COMPOSTOS

CAPITALIZAO

A JUROS

SIMPLES

JUROS COMPOSTOS REMUNERAM MELHOR O CAPITAL

EXCEO PARA PERODOS FRACIONRIOS DA TAXA EM QUESTO

VF > VF

CAPITALIZAO

A JUROS

SIMPLES

CAPITALIZAO

A JUROS

COMPOSTOS

31

6. SRIES DE PAGAMENTOS

6.1. Fluxo de Caixa :

SUCESSO DE PAGAMENTOS E/OU

RECEBIMENTOS NUM PERODO DE TEMPO

CONVENES USUAIS DO DIAGRAMA:

TEMPO t

0 1 2 3 4 ... n

PERODOS UNITRIOS

(DIA, MS, ANO, ETC)

RECEBIMENTOS

t

0 1 2 3 4 ... n

PAGAMENTOS

t

0 1 2 3 4 ... n

REPRESENTAO

GRFICA

DIAGRAMA DO

FLUXO DE CAIXA

32

6.2. Sries de Pagamentos ou Recebimentos

Uniformes :

REPRESENTAO:

VP VF

P P P P P P i

t 0 1 2 3 4 5 ... n Onde:

P = PRESTAO (PAGAMENTO OU RECEBIMENTO)

CONSTANTE OU UNIFORME

n = NMERO DE PRESTAES (FINITO)

i = TAXA DE JUROS COMPOSTOS

VP = VALOR PRESENTE (EQUIVALENTE DA SRIE)

VF = VALOR FUTURO (EQUIVALENTE DA SRIE)

OBS.: AS PRESTAES PODEM OCORRER

NO INCIO DO PERODO P P P ...

(TERMOS ANTECIPADOS)

0 1 2 ... t P P

NO FINAL DO PERODO 0 1 2 ... t (TERMOS VENCIDOS)

33

Os problemas que envolvem o fluxo Srie de

Pagamentos Uniformes se resumem em 8 casos.

Esses 8 casos podem ser divididos em 2 grupos.

A Grupo do Valor Presente (VP): 4 casos

B Grupo do Valor Futuro (VF): 4 casos

Os oito casos ocorrem tanto para termos vencidos

como para termos antecipados.

6.2.1. Sries de Pagamentos com Termos Vencidos (8

casos)

A GRUPO DO VALOR PRESENTE (VP)

ELEMENTOS DA EQUAO: VP P

i

n

DADOS 3 ELEMENTOS CALCULA-SE O 4 (4 CASOS)

USA-SE EQUAES ALGBRICAS :

EMBUTIDAS NA CALCULADORA FINANCEIRA

FEITAS NA MO

TABELAS FINANCEIRAS

34

B GRUPO DO VALOR FUTURO (VF)

ELEMENTOS DA EQUAO: VF P

i

n

DADOS 3 ELEMENTOS, CALCULA-SE O 4 (4 CASOS)

USA-SE EQUAES ALGBRICAS : EMBUTIDAS NA CALCULADORA FINANCEIRA

FEITAS NA MO (FRMULAS)

TABELAS FINANCEIRAS

6.2.2. Sries de Pagamentos com Termos Antecipados

(8 Casos)

A GRUPO DO VALOR PRESENTE (VP)

ELEMENTOS DA EQUAO: VP P

i

n

DADOS 3 ELEMENTOS CALCULA-SE O 4 (4 CASOS)

35

B GRUPO DO VALOR FUTURO (VF)

ELEMENTOS DA EQUAO: VF P

i

n

DADOS 3 ELEMENTOS CALCULA-SE O 4 (4 CASOS)

Exemplo:

O valor vista de um terreno R$ 100.000,00. Um comprador deseja

adquirir o terreno em 10 prestaes iguais mensais. Sabendo que a

taxa de juros de mercado de 1,5 % a.m., calcule o valor das

prestaes, a 1. Vencendo a 30 dias.

VP= 100.000,00

i = 1,5 % a.m.

n = 10

P = ?

(termos vencidos)

Resoluo usando calculadora financeira HP 12 C

Passos:

1.) limpar os registros

2.) termos vencidos;Obs.: Se os termos forem antecipados;

apertar

3.) 100000 digitar 100.000 e apertar PV

4.) 10 digitar 10 e apertar n

5.) 1,5 digitar 1,5 e apertar i

6.) apertar PMT

f REG

g END

g BEG

PV

n

i

PMT

36

Visor : - 10.843,42 o valor da prestao R$ 10.843,42

Obs.: PV e PMT devem ter sinais contrrios (por conveno da

mquina)