1. matemÁtica revisão de conceitos básicos · 7 ∙Índice de preços: igp-m (fgv) igp-di (fgv)...

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1 1. MATEMÁTICA Revisão de Conceitos Básicos Equação Simples: 2 (x + 4) = 3(x + 1) distributiva: 2 x + 8 = 3 x + 3 isolando os fatores comuns: 8 3 = 3 x 2 x 5 = 1 x x = 5 Frações Fração = Divisão numerador 3 = 3 4 4 denominador Ex.: Igualdade de frações (multiplicação em cruz) 3 x = 3 3 x 5 = 43 = 15x = 12 4 5 x = 12 x = 4 15 5 X X X X

Author: vuongkien

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  • 1

    1. MATEMTICA Reviso de Conceitos Bsicos

    Equao Simples:

    2 (x + 4) = 3(x + 1)

    distributiva: 2 x + 8 = 3 x + 3

    isolando os fatores comuns:

    8 3 = 3 x 2 x

    5 = 1 x x = 5

    Fraes Frao = Diviso numerador

    3

    = 3 4

    4 denominador

    Ex.: Igualdade de fraes (multiplicao em cruz)

    3 x

    = 3

    3 x 5 = 43 = 15x = 12 4 5

    x =

    12 x =

    4

    15 5

    X

    X

    X

    X

  • 2

    Porcentagem

    frao com denominador = 100

    i| d|c|

    15 (quinze centsimos) = 0,1 5 = 15%

    100 notao notao

    decimal porcentual i| d|c|

    Ex.: 8

    = 0,0 8 = 8 % ; i=inteiro; d=dcimo;c=centsimo

    100

    0,25 = 25%

    18% = 0,18

    110% = 1,10

    Ex.: Quanto 20% de 1500 ?

    Procedimentos:

    1.) 1500 x 20 = 30.000 = 300

    100 100

    ou

    2.) 1500 x 0,20 = 300

    Decimal para % x 100

    % para decimal 100

  • 3

    1

    4

    Potenciao: expoente

    3 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

    base

    Radiciao: Propriedade bsica:

    n b

    a = b

    Exemplos:

    5 243

    1 = 243 = 3

    4 20736 = 20736 = 12

    a

    n

    1

    5

  • 4

    1

    5

    Mdia Aritmtica (A) e Mdia Geomtrica (G):

    dos nmeros: 3 , 4 , 6 , 9 e 12

    A = 3 + 4 + 6 + 9 + 12

    = 6,8

    5

    G = 5 3 x 4 x 6 x 9 x 12 =

    5 7776

    G = (7776) = 6

    A G

  • 5

    2. CONCEITOS FINANCEIROS BSICOS

    2.1. Juro

    Ex.: Emprestei R$ 5.000,00

    Devolvi R$ 5.400,00

    Juros R$ 400,00

    2.2. Taxa de Juros

    Ex.: Emprstimo: R$ 10.000,00

    Perodo: 3 meses

    Juros cobrados: R$ 300,00

    TAXA DE JUROS = i = 300,00 = 3 % ao trimestre

    10.000,00

    2.3. Inflao, Correo Monetria e ndice de Preos

    JURO "ALUGUEL" DO DINHEIRO EMPRESTADO

    TAXA DE JUROS= JUROS RECEBIDOS OU PAGOS NUM PERODO

    CAPITAL EMPREGADO

    INFLAO DESVALORIZAO DA MOEDA

  • 6

    Exemplos:

    Inflao Custo de uma cesta de produtos em 01/01/2003 = $ 140,00

    Custo de uma cesta de produtos em 31/12/2003 = $ 160,00

    Inflao da cesta de produtos no perodo= 20,00 (aumento)

    140,00(base inicial)

    = 0,143 = 14,3 % no ano

    Correo monetria = inflao

    Uma pessoa ganhava R$ 140,00 em 01/01/2003 e comprava a

    cesta do exemplo anterior.

    Para comprar a mesma cesta em 31/12/2003, a pessoa precisaria

    ter um aumento (correo monetria) de 14,3 % no salrio.

    CORREO MONETRIA Corrige o valor da moeda desvalorizada

    NDICE DE PREOS Mede a inflao do perodo

    VARIA - Setor da Economia - Critrios de cada entidade

  • 7

    ndice de Preos:

    IGP-M (FGV)

    IGP-DI (FGV)

    CUB (Sinduscon) usado na construo civil .

    .

    .

    etc.

    2.4. Conceito Bsico da Matemtica Financeira:

    Ter R$ 100,00 hoje melhor do que ter R$ 100,00

    daqui a 1 ano.

    R$ 100,00 (hoje) aplicado no mercado financeiro

    valor maior que R$ 100,00 daqui a 1 ano (Por exemplo: R$ 110,00)

    " PROIBIDO COMPARAR VALORES

    MONETRIOS (DINHEIRO) EM DATAS

    DIFERENTES."

    R$ 100,00 HOJE OU

    R$ 100,00 DAQUI A 1 ANO

  • 8

    2.5. Capital Inicial ou Valor Presente (VP)

    Exemplo:

    Emprstimo de R$ 10.000,00 hoje.

    VP = R$ 10.000,00

    2.6. Montante ou Valor Futuro (VF)

    Exemplo:

    Emprestei R$ 10.000,00 hoje

    Devolverei R$ 12.000,00 daqui a 1 ano

    Portanto, VF = R$ 12.000,00

    VP = DINHEIRO NA DATA ATUAL (PRESENTE)

    VF = DINHEIRO NA DATA FUTURA

  • 9

    Comparar valores monetrios "Transportar" os valores para a mesma data

    VP VF

  • 10

    Se tenho 2 valores numa operao financeira, um no

    presente (VP) e outro no futuro (VF), no posso

    compar-los (nem som-los, nem subtra-los) dessa

    forma. Devo transport-los para a mesma data.

    Ou transporto o VP para o futuro, ou transporto o VF

    para presente.

    Como fazer isso ?

    Resposta: Utilizando o conceito de Fator de

    Capitalizao (FC) que veremos a seguir.

  • 11

    2.7. Fator de Capitalizao do Perodo (F.C.)

    Transportar o $ para o futuro:

    Transportar o $ do futuro para o passado:

    $ X Fator de Capitalizao do Perodo

    Multiplicao

    Fator de Capitalizao

    do Perodo

    o "veculo" que transporta o

    dinheiro no tempo.

    $ Fator de Capitalizao do Perodo

    Diviso

  • 12

    REGRA BSICA :

    Como calcular o Fator de Capitalizao (FC) do

    perodo?

    Objeto dos prximos captulos

    2.8. Fluxo de Caixa e Diagrama de Fluxo de Caixa:

    VF = VP X FATOR DE CAPITALIZAO

    VP = VF FATOR DE CAPITALIZAO

  • 13

    Fluxo de Caixa: sucesso de Pagamentos e Recebimentos no tempo (dinheiro no

    tempo)

    Diagrama de Fluxo de Caixa: Representao grfica do dinheiro no tempo

    ORIENTAO DAS SETAS VERTICAIS :

    (CONVENO)

    PAGAMENTOS

    RECEBIMENTOS

    R$ 1.000,00

    R$ 100,00

    0 1 2 3 tempo

    R$ 50,00

  • 14

    2.9. Desconto (D)

    Exemplo:

    Desconto de cheque pr-datado para 60 dias:

    Valor do cheque: R$ 1.000,00 (VF)

    Valor recebido hoje pelo cheque: R$ 800,00 (VP)

    Valor do desconto: D = VF VP

    D = 1.000,00 800,00 = 200,00

    O Valor do Desconto (D=R$ 200,00) a

    remunerao do banco (o valor que fica com o

    banco)

    Diferena entre o valor futuro (VF) e o valor presente

    (VP) de um ttulo.

    D = VF - VP

  • 15

    3. CAPITALIZAO SIMPLES DE JUROS

    3.1. Conceito de Juros Simples:

    Exemplo:

    Emprstimo de R$ 5.000,00 por 3 meses

    Taxa de juros: 2% a.m. = 0,02 a.m.

    1 ms : Juros = 5.000,00 x 0,02 = 100,00

    2 ms : Juros = 5.000,00 x 0,02 = 100,00

    3 ms : Juros = 5.000,00 x 0,02 = 100,00

    3.2. Clculo dos Juros Simples :

    FRMULA DOS JUROS:

    ONDE :

    JUROS SIMPLES TAXA DE JUROS INCIDE SOMENTE SOBRE O

    CAPITAL

    VALOR DOS JUROS SEMPRE O MESMO NO DECORRER DOS

    PERODOS (EM CADA PERODO)

    J = VP x i x n

  • 16

    J = VALOR DOS JUROS

    VP = VALOR DO CAPITAL INICIAL OU VALOR

    PRESENTE

    i = TAXA DE JUROS (em notao decimal)

    n = PRAZO OU PERODO

    Obs.: A taxa de juros (i) e o perodo (n) devem estar

    necessariamente na mesma unidade de tempo.

    Ex.: i = 10% a.m.(ao ms) = 0,10 a.m. n em meses

    i = 5 % a.a. (ao ano) = 0,05 a.a. n em anos

    Exemplo:

    Considerando o exemplo anterior, temos:

    VP= 5.000,00

    i = 2 % a.m. = 0,02 a.m. (notao decimal)

    n= 3 meses

    J= ?

    J=VP x i x n J=5.000,00 x 0,02 x 3

    J= 300,00

  • 17

    3.3. Clculo do Valor Futuro (VF) e

    Valor Presente (VP):

    EXPRESSO FUNDAMENTAL (para transportar o $

    no tempo):

    Para Valor Futuro:

    Para Valor Presente:

    Portanto, conclui-se que :

    (1 + i x n) = FC (fator de capitalizao p/ juros simples) ,

    usado para transportar o dinheiro no tempo em

    operaes financeiras a juros simples, num

    determinado perodo.

    VF = VP x (1 + i x n) ; para Valor Futuro

    Fator de capitalizao para juros simples

    VP = VF

    ; para Valor Presente

    (1 + i x n)

  • 18

    Exemplo:

    Realizei, hoje uma aplicao a juros simples de R$

    50.000,00 a uma taxa de 5 % a.m. por um prazo de

    4 meses.

    Qual o valor do resgate dessa aplicao?

    Quanto recebi de juros ?

    VP = 50.000,00

    i = 5 % a.m. = 0,05 a.m.

    n = 4 meses

    VF= ?

    VF = VP x FC

    VF = VP x(1 + i x n) = 50.000,00 (1 + 0,05 x 4)

    VF = 5.000,00 x 1,20 VF = R$ 60.000,00

    J= VF VP = 60.000,00 50.000,00

    J= R$ 10.000,00

    ou pela frmula:

    J=VP x i x n= 50.000,00 x 0,005 x 4 J=50.000,00 x 0,20 J=R$ 10.000,00

  • 19

    3.4. Taxa de Juros Acumulada no Perodo

    REGRA BSICA:

    (em notao decimal)

    Perodos com taxas diferentes

    ()

    (em notao decimal)

    Obs.: Para passar a taxa da notao decimal para

    notao percentual x 100

    Exemplos:

    Um emprstimo foi realizado a juros simples por um perodo de 5 meses, com taxa de 2% a.m.

    Taxa de juros acumulada = i acum

    = i x n = 0,02 x5

    i acum

    = 0,10 = 10 %

    Um emprstimo foi realizado a juros simples por um perodo de 5 meses, com taxas de 2% a.m. nos 3

    primeiros meses, 3% a.m. no quarto ms e 4% a.m.

    no quinto ms.

    i acum

    = i x n

    i acum

    = i1

    x n1 + i

    2x n

    2 + i

    3x n

    3 + ...

    in

    x nn

  • 20

    Taxa de juros Acumulada = i

    acum = i

    1x n

    1 + i

    2x n

    2 + i

    3x n

    3

    i

    acum = 0,02 x 3 + 0,03 x 1 + 0,04 x 1

    i acum

    = 0,13 = 13%

    3.5. Taxas Proporcionais :

    TAXAS DE PERODOS

    DISTINTOS

    MESMO VALOR

    FUTURO

    NO FINAL DE DETERMINADO TEMPO

  • 21

    EXEMPLO:

    Horizonte de 30 dias

    Outros exemplos : i anual

    = imensal

    x 12 ;

    i anual

    = idirio

    x 360 ;

    i mensal

    = idirio

    x 30

    i mensal

    = 5% a.m.

    i dirio

    = ?

    VP (1 + i dirio

    x 30 dias) = VP(1+ i mensal

    x 1 ms)

    Portanto: i dirio

    x 30 dias = i mensal

    x 1 ms

    i dirio

    =

    imensal = 0,05 = 0,0017 a.d. = 0,17% a.d.

    30 30

    VF(30 dias)

    = VP (1 + i dirio

    x 30 dias )

    VF(30 dias)

    = VP (1 + i mensal

    x 1 ms)

    VP (1 + i dirio

    x 30 dias) = VP(1+ i mensal

    x 1 ms)

    Portanto: i dirio

    x 30 dias = i mensal

    x 1 ms

    i dirio

    =

    imensal = 0,05 = 0,0017 a.d. = 0,17% a.d.

    30 30

  • 22

    4. CAPITALIZAO COMPOSTA DOS JUROS

    4.1. Conceito de Juros Compostos :

    Exemplo: Emprstimo de R$ 100,00 com taxa de 5%

    a.m. por 3 meses (juros compostos)

    Perodo Capital (VP) Taxa Juros Dvida (VF)

    1 100,00 5% 5,00 105,00

    2 105,00 5% 5,25 110,25

    3 110,25 5% 5,51 115,76

    JUROS COMPOSTOS TAXA DE JUROS INCIDE SOBRE O CAPITAL +

    JUROS DO PERODO

    ANTERIOR

    VALOR DOS JUROS AUMENTA NO DECORRER DOS PERODOS (EM CADA PERODO)

  • 23

    4.2. Clculo do Valor Futuro (VF) e

    Valor Presente (VP)

    EXPRESSO FUNDAMENTAL :

    Onde:

    VF = VALOR FUTURO

    VP = VALOR PRESENTE OU CAPITAL INICIAL

    i = TAXA DE JUROS (JUROS COMPOSTOS)

    n = PRAZO OU PERODO

    notao decimal

    PORTANTO:

    Obs.: A taxa de juros (i) e o perodo (n) devem estar

    necessariamente na mesma unidade de tempo.

    VF = VP (1 + i) n

    FATOR DE

    CAPITALIZAO PARA

    JUROS COMPOSTOS

    (P/ VALOR FUTURO)

    VP = VF

    (1 + i) n

    (P/ VALOR PRESENTE)

  • 24

    Portanto, conclui-se que:

    (1 + i) n = FC (Fator de Capitalizao p/ Juros Compostos)

    usado para transportar o dinheiro no tempo em

    operaes financeiras a juros compostos, num

    determinado perodo.

    Exemplo:

    Um emprstimo para compra de um imvel vista foi realizado junto a um agente financeiro, para ser

    devolvido em 6 meses, com taxa de 2% a.m.

    Sabendo que o valor do imvel R$ 80.000,00 qual

    o valor a ser pago pelo emprstimo ?

    VP = 80.000,00

    i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

    n = 6 meses

    VF = ?

    VF = VP x FC = VP (1 + i ) n

    VF = 80.000,00 (1+0,02)6= 80.000,00 x 1,1262

    VF = 90.096,00

  • 25

    4.3. Fator de Capitalizao para Juros Compostos

    Sua utilidade:

    Transportar $ no tempo (do presente para o futuro e do futuro para o presente)

    Usado para o clculo de acumular taxas de juros de diversos perodos

    Usado para o clculo de deduzir taxas de juros

    Usado para o clculo de taxas mdias

    Como calcular o F.C.:

    Para perodo unitrio:

    (Soma-se 1 taxa de juros do perodo escrita em

    notao decimal)

    Para vrios perodos (n) com Taxa de Juros Iguais (i):

    FC

    acum = fator de capitalizao acumulado dos perodos

    Para vrios perodos (n) com taxas de juros diferentes:

    FC = 1 + i

    FC acum

    = (1 + i) n

    FC acum

    = FC1 x FC

    2 x FC

    3 x ... FC

    n

    (1 n)

  • 26

    ONDE:

    FC acum

    =

    (1 n)

    FC1

    = FATOR DE CAPITALIZAO DO PERODO 1 1 + i1

    FC2

    = FATOR DE CAPITALIZAO DO PERODO 2 1 + i2

    FC3

    = FATOR DE CAPITALIZAO DO PERODO 3 1 + i3

    FCn

    = FATOR DE CAPITALIZAO DO PERODO n 1 + in

    Exemplo:

    Calcular o fator de capitalizao acumulado dos perodos

    representados no fluxo:

    VP

    t

    0 1 2 3

    i

    1=5% a.m. i

    2=7% a.m. i

    3=3% a.m.

    FC acum

    = (1 + i 1) x

    (1 + i

    2) x (1 + i

    3)

    FC acum

    = (1 + 0,05) x (1 +0,07) x (1 + 0,03)

    FC acum

    = 1,05 x 1,07 x 1,03 = 1,157

    FATOR DE CAPITALIZAO ACUMULADO

    DOS PERODOS 1 AT n

  • 27

    Portanto, se desejarmos transportar o VP que est na

    data 0 at a data 3 (final do 3 perodo), devemos

    multiplicar o VP pelo FC acum

    dos 3 perodos.

    4.4. Taxa de Juros Acumulada no Perodo

    REGRA BSICA:

    Subtraindo-se 1 do fator de capitalizao do perodo,

    encontra-se a taxa de juros acumulada do perodo, em

    notao decimal.

    Em Porcentagem:

    i acum

    = (FC acum

    - 1) x 100

    i acum

    = FC acum

    - 1

    (em notao decimal)

    VF (3)

    = VP x FC acum

    VF (3)

    = VP x 1,157

  • 28

    4.5. Taxa de juros mdia do perodo (i mdio

    )

    Passos necessrios:

    1.) Encontrar o FC mdio

    do perodo, que a mdia

    geomtrica dos FCs;

    2.)

    FC mdio

    = n FC

    1 x FC

    2 x ... x FC

    n ,

    Onde n = n de perodos

    i mdio

    = (FC mdio

    - 1) x 100

    (em porcentagem)

  • 29

    4.6. Taxas Equivalentes

    EXEMPLO: VALOR FUTURO P/ PERODO DE 1 ANO

    ONDE:

    ia = TAXA DE JUROS ANUAL

    im

    = TAXA DE JUROS MENSAL

    Portanto:

    dado ia i

    m ou

    dado i

    m i

    a

    TAXAS DE PERODOS

    DISTINTOS

    MESMO VALOR

    FUTURO

    NO FINAL DE DETERMINADO TEMPO

    VF (1 ano)

    =VP x (1 + ia)

    1= VP x (1 + i

    m )

    12

    1 + ia = (1 + i

    m )

    12

  • 30

    VF VF

    5. ANLISE COMPARATIVA ENTRE JUROS

    SIMPLES E COMPOSTOS

    (PARA O MESMO VP)

    EX.: TAXA EM QUESTO MENSAL

    PERODO ANALISADO 12 DIAS

    EX.: TAXA EM QUESTO ANUAL

    PERODO ANALISADO 5 MESES

    NESSES CASOS:

    CAPITALIZAO

    A JUROS

    COMPOSTOS

    CAPITALIZAO

    A JUROS

    SIMPLES

    JUROS COMPOSTOS REMUNERAM MELHOR O CAPITAL

    EXCEO PARA PERODOS FRACIONRIOS DA TAXA EM QUESTO

    VF > VF

    CAPITALIZAO

    A JUROS

    SIMPLES

    CAPITALIZAO

    A JUROS

    COMPOSTOS

  • 31

    6. SRIES DE PAGAMENTOS

    6.1. Fluxo de Caixa :

    SUCESSO DE PAGAMENTOS E/OU

    RECEBIMENTOS NUM PERODO DE TEMPO

    CONVENES USUAIS DO DIAGRAMA:

    TEMPO t

    0 1 2 3 4 ... n

    PERODOS UNITRIOS

    (DIA, MS, ANO, ETC)

    RECEBIMENTOS

    t

    0 1 2 3 4 ... n

    PAGAMENTOS

    t

    0 1 2 3 4 ... n

    REPRESENTAO

    GRFICA

    DIAGRAMA DO

    FLUXO DE CAIXA

  • 32

    6.2. Sries de Pagamentos ou Recebimentos

    Uniformes :

    REPRESENTAO:

    VP VF

    P P P P P P i

    t 0 1 2 3 4 5 ... n Onde:

    P = PRESTAO (PAGAMENTO OU RECEBIMENTO)

    CONSTANTE OU UNIFORME

    n = NMERO DE PRESTAES (FINITO)

    i = TAXA DE JUROS COMPOSTOS

    VP = VALOR PRESENTE (EQUIVALENTE DA SRIE)

    VF = VALOR FUTURO (EQUIVALENTE DA SRIE)

    OBS.: AS PRESTAES PODEM OCORRER

    NO INCIO DO PERODO P P P ...

    (TERMOS ANTECIPADOS)

    0 1 2 ... t P P

    NO FINAL DO PERODO 0 1 2 ... t (TERMOS VENCIDOS)

  • 33

    Os problemas que envolvem o fluxo Srie de

    Pagamentos Uniformes se resumem em 8 casos.

    Esses 8 casos podem ser divididos em 2 grupos.

    A Grupo do Valor Presente (VP): 4 casos

    B Grupo do Valor Futuro (VF): 4 casos

    Os oito casos ocorrem tanto para termos vencidos

    como para termos antecipados.

    6.2.1. Sries de Pagamentos com Termos Vencidos (8

    casos)

    A GRUPO DO VALOR PRESENTE (VP)

    ELEMENTOS DA EQUAO: VP P

    i

    n

    DADOS 3 ELEMENTOS CALCULA-SE O 4 (4 CASOS)

    USA-SE EQUAES ALGBRICAS :

    EMBUTIDAS NA CALCULADORA FINANCEIRA

    FEITAS NA MO

    TABELAS FINANCEIRAS

  • 34

    B GRUPO DO VALOR FUTURO (VF)

    ELEMENTOS DA EQUAO: VF P

    i

    n

    DADOS 3 ELEMENTOS, CALCULA-SE O 4 (4 CASOS)

    USA-SE EQUAES ALGBRICAS : EMBUTIDAS NA CALCULADORA FINANCEIRA

    FEITAS NA MO (FRMULAS)

    TABELAS FINANCEIRAS

    6.2.2. Sries de Pagamentos com Termos Antecipados

    (8 Casos)

    A GRUPO DO VALOR PRESENTE (VP)

    ELEMENTOS DA EQUAO: VP P

    i

    n

    DADOS 3 ELEMENTOS CALCULA-SE O 4 (4 CASOS)

  • 35

    B GRUPO DO VALOR FUTURO (VF)

    ELEMENTOS DA EQUAO: VF P

    i

    n

    DADOS 3 ELEMENTOS CALCULA-SE O 4 (4 CASOS)

    Exemplo:

    O valor vista de um terreno R$ 100.000,00. Um comprador deseja

    adquirir o terreno em 10 prestaes iguais mensais. Sabendo que a

    taxa de juros de mercado de 1,5 % a.m., calcule o valor das

    prestaes, a 1. Vencendo a 30 dias.

    VP= 100.000,00

    i = 1,5 % a.m.

    n = 10

    P = ?

    (termos vencidos)

    Resoluo usando calculadora financeira HP 12 C

    Passos:

    1.) limpar os registros

    2.) termos vencidos;Obs.: Se os termos forem antecipados;

    apertar

    3.) 100000 digitar 100.000 e apertar PV

    4.) 10 digitar 10 e apertar n

    5.) 1,5 digitar 1,5 e apertar i

    6.) apertar PMT

    f REG

    g END

    g BEG

    PV

    n

    i

    PMT

  • 36

    Visor : - 10.843,42 o valor da prestao R$ 10.843,42

    Obs.: PV e PMT devem ter sinais contrrios (por conveno da

    mquina)