1
1. MATEMÁTICA – Revisão de Conceitos Básicos
∙Equação Simples:
2 (x + 4) = 3(x + 1)
distributiva:
2 x + 8 = 3 x + 3
isolando os fatores comuns:
8 – 3 = 3 x – 2 x
5 = 1 x ⇨ x = 5
∙Frações
Fração = Divisão numerador
3
= 3 4
4 denominador
Ex.: Igualdade de frações (multiplicação em cruz)
3 x
= 3
⇨ 3 x ∙5 = 4∙3 = 15x = 12
4 5
∴ x =
12 ⇨ x =
4
15 5
X
X
X
X
2
∙Porcentagem
É fração com denominador = 100
i| d|c|
15 (quinze centésimos) = 0,1 5 = 15%
100 notação notação
decimal porcentual i| d|c|
Ex.: 8
= 0,0 8 = 8 % ; i=inteiro; d=décimo;c=centésimo
100
0,25 = 25%
18% = 0,18
110% = 1,10
Ex.: Quanto é 20% de 1500 ?
Procedimentos:
1.) 1500 x 20 = 30.000 = 300
100 100
ou
2.) 1500 x 0,20 = 300
∙ Decimal para % ⇨ x 100
∙ % para decimal ⇨ 100
3
1
4
∙Potenciação: expoente
3 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
base
∙Radiciação:
Propriedade básica:
n√ b
a = b
Exemplos:
5√ 243
1 = 243 = 3
4√ 20736 = 20736 = 12
a
n
1
5
4
1
5
∙Média Aritmética (A) e Média Geométrica (G):
dos números: 3 , 4 , 6 , 9 e 12
A = 3 + 4 + 6 + 9 + 12
= 6,8
5
G = 5√ 3 x 4 x 6 x 9 x 12 =
5√ 7776
G = (7776) = 6
A ≥ G
5
2. CONCEITOS FINANCEIROS BÁSICOS
2.1. Juro
Ex.: Emprestei R$ 5.000,00
Devolvi R$ 5.400,00
Juros R$ 400,00
2.2. Taxa de Juros
Ex.: Empréstimo: R$ 10.000,00
Período: 3 meses
Juros cobrados: R$ 300,00
TAXA DE JUROS = i = 300,00 = 3 % ao trimestre
10.000,00
2.3. Inflação, Correção Monetária e Índice de Preços
JURO ⇨ "ALUGUEL" DO DINHEIRO EMPRESTADO
TAXA DE JUROS= JUROS RECEBIDOS OU PAGOS NUM PERÍODO
CAPITAL EMPREGADO
INFLAÇÃO ⇨ DESVALORIZAÇÃO DA MOEDA
6
Exemplos:
∙Inflação Custo de uma cesta de produtos em 01/01/2003 = $ 140,00
Custo de uma cesta de produtos em 31/12/2003 = $ 160,00
Inflação da cesta de produtos no período= 20,00 (aumento)
140,00(base inicial)
= 0,143 = 14,3 % no ano
Correção monetária = inflação
Uma pessoa ganhava R$ 140,00 em 01/01/2003 e comprava a
cesta do exemplo anterior.
Para comprar a mesma cesta em 31/12/2003, a pessoa precisaria
ter um aumento (correção monetária) de 14,3 % no salário.
CORREÇÃO MONETÁRIA⇨ Corrige o valor da moeda
desvalorizada
ÍNDICE DE PREÇOS ⇨ Mede a inflação do período
VARIA - Setor da Economia
- Critérios de cada entidade
7
∙Índice de Preços:
IGP-M (FGV)
IGP-DI (FGV)
CUB (Sinduscon) →usado na construção civil
.
.
.
etc.
2.4. Conceito Básico da Matemática Financeira:
Ter R$ 100,00 hoje é melhor do que ter R$ 100,00
daqui a 1 ano.
R$ 100,00 (hoje) aplicado no mercado financeiro ⇨
⇨valor maior que R$ 100,00 daqui a 1 ano (Por
exemplo: R$ 110,00)
"É PROIBIDO COMPARAR VALORES
MONETÁRIOS (DINHEIRO) EM DATAS
DIFERENTES."
R$ 100,00 ⇨ HOJE
OU
R$ 100,00 ⇨ DAQUI A 1 ANO
8
2.5. Capital Inicial ou Valor Presente (VP)
Exemplo:
Empréstimo de R$ 10.000,00 hoje.
VP = R$ 10.000,00
2.6. Montante ou Valor Futuro (VF)
Exemplo:
Emprestei R$ 10.000,00 hoje
Devolverei R$ 12.000,00 daqui a 1 ano
Portanto, VF = R$ 12.000,00
VP = DINHEIRO NA DATA ATUAL (PRESENTE)
VF = DINHEIRO NA DATA FUTURA
9
Comparar valores monetários ⇨ "Transportar" os valores para a
mesma data
VP VF
10
Se tenho 2 valores numa operação financeira, um no
presente (VP) e outro no futuro (VF), não posso
compará-los (nem somá-los, nem subtraí-los) dessa
forma. Devo transportá-los para a mesma data.
Ou transporto o VP para o futuro, ou transporto o VF
para presente.
Como fazer isso ?
Resposta: Utilizando o conceito de Fator de
Capitalização (FC) que veremos a seguir.
11
2.7. Fator de Capitalização do Período (F.C.)
∙Transportar o $ para o futuro:
∙Transportar o $ do futuro para o passado:
$ X Fator de Capitalização do Período
Multiplicação
Fator de Capitalização
do Período
É o "veículo" que transporta o
dinheiro no tempo.
$ Fator de Capitalização do Período
Divisão
12
REGRA BÁSICA :
Como calcular o Fator de Capitalização (FC) do
período?
Objeto dos próximos capítulos
2.8. Fluxo de Caixa e Diagrama de Fluxo de Caixa:
VF = VP X FATOR DE CAPITALIZAÇÃO
VP = VF FATOR DE CAPITALIZAÇÃO
13
∙Fluxo de Caixa: sucessão de Pagamentos e
Recebimentos no tempo (dinheiro no
tempo)
∙ Diagrama de Fluxo de Caixa: Representação gráfica
do dinheiro no tempo
ORIENTAÇÃO DAS SETAS VERTICAIS :
(CONVENÇÃO)
PAGAMENTOS
RECEBIMENTOS
R$ 1.000,00
R$ 100,00
0 1 2 3 tempo
R$ 50,00
14
2.9. Desconto (D)
Exemplo:
Desconto de cheque pré-datado para 60 dias:
Valor do cheque: R$ 1.000,00 (VF)
Valor recebido hoje pelo cheque: R$ 800,00 (VP)
Valor do desconto: D = VF –VP
D = 1.000,00 – 800,00 = 200,00
O Valor do Desconto (D=R$ 200,00) é a
remuneração do banco (o valor que fica com o
banco)
Diferença entre o valor futuro (VF) e o valor presente
(VP) de um título.
D = VF - VP
15
3. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES DE JUROS
3.1. Conceito de Juros Simples:
Exemplo:
Empréstimo de R$ 5.000,00 por 3 meses
Taxa de juros: 2% a.m. = 0,02 a.m.
1º mês : Juros = 5.000,00 x 0,02 = 100,00
2º mês : Juros = 5.000,00 x 0,02 = 100,00
3º mês : Juros = 5.000,00 x 0,02 = 100,00
3.2. Cálculo dos Juros Simples :
FÓRMULA DOS JUROS:
ONDE :
JUROS SIMPLES ⇨ TAXA DE JUROS INCIDE
SOMENTE SOBRE O
CAPITAL
VALOR DOS JUROS ⇨SEMPRE O MESMO NO
DECORRER DOS
PERÍODOS (EM CADA PERÍODO)
J = VP x i x n
16
J = VALOR DOS JUROS
VP = VALOR DO CAPITAL INICIAL OU VALOR
PRESENTE
i = TAXA DE JUROS (em notação decimal)
n = PRAZO OU PERÍODO
Obs.: A taxa de juros (i) e o período (n) devem estar
necessariamente na mesma unidade de tempo.
Ex.: i = 10% a.m.(ao mês) = 0,10 a.m. → n em meses
i = 5 % a.a. (ao ano) = 0,05 a.a. → n em anos
Exemplo:
Considerando o exemplo anterior, temos:
VP= 5.000,00
i = 2 % a.m. = 0,02 a.m. (notação decimal)
n= 3 meses
J= ?
J=VP x i x n
J=5.000,00 x 0,02 x 3
J= 300,00
17
3.3. Cálculo do Valor Futuro (VF) e
Valor Presente (VP):
EXPRESSÃO FUNDAMENTAL (para transportar o $
no tempo):
Para Valor Futuro:
Para Valor Presente:
Portanto, conclui-se que :
(1 + i x n) = FC (fator de capitalização p/ juros simples) ,
usado para transportar o dinheiro no tempo em
operações financeiras a juros simples, num
determinado período.
VF = VP x (1 + i x n) ; para Valor Futuro
Fator de capitalização para juros simples
VP = VF
; para Valor Presente
(1 + i x n)
18
Exemplo:
Realizei, hoje uma aplicação a juros simples de R$
50.000,00 a uma taxa de 5 % a.m. por um prazo de
4 meses.
Qual o valor do resgate dessa aplicação?
Quanto recebi de juros ?
VP = 50.000,00
i = 5 % a.m. = 0,05 a.m.
n = 4 meses
VF= ?
VF = VP x FC
VF = VP x(1 + i x n) = 50.000,00 (1 + 0,05 x 4)
VF = 5.000,00 x 1,20 ⇨VF = R$ 60.000,00
J= VF – VP = 60.000,00 – 50.000,00
J= R$ 10.000,00
ou pela fórmula:
J=VP x i x n= 50.000,00 x 0,005 x 4
J=50.000,00 x 0,20
J=R$ 10.000,00
19
3.4. Taxa de Juros Acumulada no Período
REGRA BÁSICA:
(em notação decimal)
∙ Períodos com taxas diferentes
(∗)
∗(em notação decimal)
Obs.: Para passar a taxa da notação decimal para
notação percentual ⇨ x 100
Exemplos:
∙ Um empréstimo foi realizado a juros simples por um
período de 5 meses, com taxa de 2% a.m.
Taxa de juros acumulada = i acum
= i x n = 0,02 x5⇨
⇨ i acum
= 0,10 = 10 %
∙ Um empréstimo foi realizado a juros simples por um
período de 5 meses, com taxas de 2% a.m. nos 3
primeiros meses, 3% a.m. no quarto mês e 4% a.m.
no quinto mês.
i acum
= i x n
i acum
= i1
x n1 + i
2x n
2 + i
3x n
3 + ...
in
x nn
20
Taxa de juros Acumulada = i
acum = i
1x n
1 + i
2x n
2 + i
3x n
3
i
acum = 0,02 x 3 + 0,03 x 1 + 0,04 x 1
i acum
= 0,13 = 13%
3.5. Taxas Proporcionais :
TAXAS DE PERÍODOS
DISTINTOS
MESMO VALOR
FUTURO
NO FINAL DE DETERMINADO TEMPO
21
EXEMPLO:
Horizonte de 30 dias
Outros exemplos : i anual
= imensal
x 12 ;
i anual
= idiário
x 360 ;
i mensal
= idiário
x 30
i mensal
= 5% a.m.
i diário
= ?
VP (1 + i diário
x 30 dias) = VP(1+ i mensal
x 1 mês)
Portanto: i diário
x 30 dias = i mensal
x 1 mês
i diário
=
imensal = 0,05 = 0,0017 a.d. = 0,17% a.d.
30 30
VF(30 dias)
= VP (1 + i diário
x 30 dias )
VF(30 dias)
= VP (1 + i mensal
x 1 mês)
VP (1 + i diário
x 30 dias) = VP(1+ i mensal
x 1 mês)
Portanto: i diário
x 30 dias = i mensal
x 1 mês
i diário
=
imensal = 0,05 = 0,0017 a.d. = 0,17% a.d.
30 30
22
4. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA DOS JUROS
4.1. Conceito de Juros Compostos :
Exemplo: Empréstimo de R$ 100,00 com taxa de 5%
a.m. por 3 meses (juros compostos)
Período Capital (VP) Taxa Juros Dívida (VF)
1 100,00 5% 5,00 105,00
2 105,00 5% 5,25 110,25
3 110,25 5% 5,51 115,76
JUROS COMPOSTOS ⇨ TAXA DE JUROS INCIDE
SOBRE O CAPITAL +
JUROS DO PERÍODO
ANTERIOR
VALOR DOS JUROS⇨ AUMENTA NO DECORRER DOS
PERÍODOS (EM CADA PERÍODO)
23
4.2. Cálculo do Valor Futuro (VF) e
Valor Presente (VP)
EXPRESSÃO FUNDAMENTAL :
Onde:
VF = VALOR FUTURO
VP = VALOR PRESENTE OU CAPITAL INICIAL
i = TAXA DE JUROS (JUROS COMPOSTOS) ∗
n = PRAZO OU PERÍODO
∗notação decimal
PORTANTO:
Obs.: A taxa de juros (i) e o período (n) devem estar
necessariamente na mesma unidade de tempo.
VF = VP (1 + i) n
FATOR DE
CAPITALIZAÇÃO PARA
JUROS COMPOSTOS
(P/ VALOR FUTURO)
VP = VF
(1 + i) n
(P/ VALOR PRESENTE)
24
Portanto, conclui-se que:
(1 + i) n = FC (Fator de Capitalização p/ Juros Compostos)
usado para transportar o dinheiro no tempo em
operações financeiras a juros compostos, num
determinado período.
Exemplo:
∙ Um empréstimo para compra de um imóvel à vista
foi realizado junto a um agente financeiro, para ser
devolvido em 6 meses, com taxa de 2% a.m.
Sabendo que o valor do imóvel é R$ 80.000,00 qual
o valor a ser pago pelo empréstimo ?
VP = 80.000,00
i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
n = 6 meses
VF = ?
VF = VP x FC = VP (1 + i ) n
VF = 80.000,00 (1+0,02)6= 80.000,00 x 1,1262
VF = 90.096,00
25
4.3. Fator de Capitalização para Juros Compostos
Sua utilidade:
∙Transportar $ no tempo (do presente para o futuro e do futuro para
o presente)
∙Usado para o cálculo de acumular taxas de juros de diversos
períodos
∙Usado para o cálculo de deduzir taxas de juros
∙Usado para o cálculo de taxas médias
Como calcular o F.C.:
∙ Para período unitário:
(Soma-se 1 à taxa de juros do período escrita em
notação decimal)
∙Para vários períodos (n) com Taxa de Juros Iguais (i):
FC
acum = fator de capitalização acumulado dos períodos
∙Para vários períodos (n) com taxas de juros
diferentes:
FC = 1 + i
FC acum
= (1 + i) n
FC acum
= FC1 x FC
2 x FC
3 x ... FC
n
(1→ n)
26
ONDE:
FC acum
=
(1→ n)
FC1
= FATOR DE CAPITALIZAÇÃO DO PERÍODO 1 ⇨ 1 + i1
FC2
= FATOR DE CAPITALIZAÇÃO DO PERÍODO 2 ⇨ 1 + i2
FC3
= FATOR DE CAPITALIZAÇÃO DO PERÍODO 3 ⇨ 1 + i3
FCn
= FATOR DE CAPITALIZAÇÃO DO PERÍODO n ⇨ 1 + in
Exemplo:
Calcular o fator de capitalização acumulado dos períodos
representados no fluxo:
VP
t
0 1 2 3
i
1=5% a.m. i
2=7% a.m. i
3=3% a.m.
FC acum
= (1 + i 1) x
(1 + i
2) x (1 + i
3)
FC acum
= (1 + 0,05) x (1 +0,07) x (1 + 0,03)
FC acum
= 1,05 x 1,07 x 1,03 = 1,157
FATOR DE CAPITALIZAÇÃO ACUMULADO
DOS PERÍODOS 1 ATÉ n
27
Portanto, se desejarmos transportar o VP que está na
data “0” até a data “3” (final do 3º período), devemos
multiplicar o VP pelo FC acum
dos 3 períodos.
4.4. Taxa de Juros Acumulada no Período
REGRA BÁSICA:
Subtraindo-se 1 do fator de capitalização do período,
encontra-se a taxa de juros acumulada do período, em
notação decimal.
Em Porcentagem:
i acum
= (FC acum
- 1) x 100
i acum
= FC acum
- 1
(em notação decimal)
VF (3)
= VP x FC acum
⇨ VF (3)
= VP x 1,157
28
4.5. Taxa de juros média do período (i médio
)
Passos necessários:
1.) Encontrar o FC médio
do período, que é a média
geométrica dos FC´s;
2.)
FC médio
= n√ FC
1 x FC
2 x ... x FC
n ,
Onde n = nº de períodos
i médio
= (FC médio
- 1) x 100
(em porcentagem)
29
4.6. Taxas Equivalentes
EXEMPLO: VALOR FUTURO P/ PERÍODO DE 1 ANO
ONDE:
ia = TAXA DE JUROS ANUAL
im
= TAXA DE JUROS MENSAL
Portanto:
dado ia⇨ i
m ou
dado i
m⇨ i
a
TAXAS DE PERÍODOS
DISTINTOS
MESMO VALOR
FUTURO
NO FINAL DE DETERMINADO TEMPO
VF (1 ano)
=VP x (1 + ia)
1= VP x (1 + i
m )
12
1 + ia = (1 + i
m )
12
30
VF VF
5. ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE JUROS
SIMPLES E COMPOSTOS
(PARA O MESMO VP)
EX.: TAXA EM QUESTÃO MENSAL
PERÍODO ANALISADO 12 DIAS
EX.: TAXA EM QUESTÃO ANUAL
PERÍODO ANALISADO 5 MESES
NESSES CASOS:
CAPITALIZAÇÃO
A JUROS
COMPOSTOS
CAPITALIZAÇÃO
A JUROS
SIMPLES
JUROS COMPOSTOS ⇨ REMUNERAM MELHOR
O CAPITAL
EXCEÇÃO⇨ PARA PERÍODOS FRACIONÁRIOS
DA TAXA EM QUESTÃO
VF > VF
CAPITALIZAÇÃO
A JUROS
SIMPLES
CAPITALIZAÇÃO
A JUROS
COMPOSTOS
31
6. SÉRIES DE PAGAMENTOS
6.1. Fluxo de Caixa :
SUCESSÃO DE PAGAMENTOS E/OU
RECEBIMENTOS NUM PERÍODO DE TEMPO
⇨
CONVENÇÕES USUAIS DO DIAGRAMA:
TEMPO t
0 1 2 3 4 ... n
PERÍODOS UNITÁRIOS
(DIA, MÊS, ANO, ETC)
RECEBIMENTOS
t
0 1 2 3 4 ... n
PAGAMENTOS
t
0 1 2 3 4 ... n
REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA
DIAGRAMA DO
FLUXO DE CAIXA
32
6.2. Séries de Pagamentos ou Recebimentos
Uniformes :
REPRESENTAÇÃO:
VP VF
P P P P P P
i
t 0 1 2 3 4 5 ... n Onde:
P = PRESTAÇÃO (PAGAMENTO OU RECEBIMENTO)
CONSTANTE OU UNIFORME
n = NÚMERO DE PRESTAÇÕES (FINITO)
i = TAXA DE JUROS COMPOSTOS
VP = VALOR PRESENTE (EQUIVALENTE DA SÉRIE)
VF = VALOR FUTURO (EQUIVALENTE DA SÉRIE)
OBS.: AS PRESTAÇÕES PODEM OCORRER
NO INÍCIO DO PERÍODO P P P ...
(TERMOS ANTECIPADOS)
0 1 2 ... t P P
NO FINAL DO PERÍODO 0 1 2 ... t (TERMOS VENCIDOS)
33
Os problemas que envolvem o fluxo “Série de
Pagamentos Uniformes” se resumem em 8 casos.
Esses 8 casos podem ser divididos em 2 grupos.
A Grupo do Valor Presente (VP): 4 casos
B Grupo do Valor Futuro (VF): 4 casos
Os oito casos ocorrem tanto para termos vencidos
como para termos antecipados.
6.2.1. Séries de Pagamentos com Termos Vencidos (8
casos)
A GRUPO DO VALOR PRESENTE (VP)
ELEMENTOS DA EQUAÇÃO: VP
P
i
n
DADOS 3 ELEMENTOS CALCULA-SE O 4° (4 CASOS)
USA-SE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS :
EMBUTIDAS NA CALCULADORA FINANCEIRA
FEITAS NA MÃO
TABELAS FINANCEIRAS
34
B GRUPO DO VALOR FUTURO (VF)
ELEMENTOS DA EQUAÇÃO: VF
P
i
n
DADOS 3 ELEMENTOS, CALCULA-SE O 4° (4 CASOS)
USA-SE EQUAÇÕES ALGÉBRICAS :
EMBUTIDAS NA CALCULADORA FINANCEIRA
FEITAS NA MÃO (FÓRMULAS)
TABELAS FINANCEIRAS
6.2.2. Séries de Pagamentos com Termos Antecipados
(8 Casos)
A GRUPO DO VALOR PRESENTE (VP)
ELEMENTOS DA EQUAÇÃO: VP
P
i
n
DADOS 3 ELEMENTOS CALCULA-SE O 4° (4 CASOS)
35
B GRUPO DO VALOR FUTURO (VF)
ELEMENTOS DA EQUAÇÃO: VF
P
i
n
DADOS 3 ELEMENTOS CALCULA-SE O 4° (4 CASOS)
Exemplo:
O valor à vista de um terreno é R$ 100.000,00. Um comprador deseja
adquirir o terreno em 10 prestações iguais mensais. Sabendo que a
taxa de juros de mercado é de 1,5 % a.m., calcule o valor das
prestações, a 1ª. Vencendo a 30 dias.
VP= 100.000,00
i = 1,5 % a.m.
n = 10
P = ?
(termos vencidos)
Resolução usando calculadora financeira HP 12 C
Passos:
1.) ⇨limpar os registros
2.) ⇨termos vencidos;Obs.: Se os
termos forem antecipados;
apertar
3.) 100000 ⇨digitar 100.000 e apertar PV
4.) 10 ⇨digitar 10 e apertar n
5.) 1,5 ⇨digitar 1,5 e apertar i
6.) ⇨ apertar PMT
f REG
g END
g BEG
PV
n
i
PMT
36
Visor : - 10.843,42 ⇨ o valor da prestação é R$ 10.843,42
Obs.: PV e PMT devem ter sinais contrários (por convenção da
máquina)
