heni558.files.wordpress.com · web viewlimas dan kerucut makalah ini disusun guna memenuhi tugas...
TRANSCRIPT
LIMAS dan KERUCUT
Makalah ini Disusun guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah
Kajian Matematika SMP 2
Dosen Pengampu: Koryna Aviory, S.Si, M.Pd
Oleh:
1. Novia Nurfaida (14144100077)
2. Yohana Medita Kurniyati (14144100083)
3. Heni Novitasari (14144100104)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2016
LIMAS dan KERUCUT
A. LIMAS
1. Pengertian Limas
Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah segitiga atau
segibanyak sebagai alas dan beberapa buah segitiga sebagai bidang tegak
yang titik puncaknya bertemu pada satu titik. Limas terdiri dari beberapa
macam tergantung pada bentuk alasnya. Limas diberi nama berdasarkan
bentuk segi-n pada bidang alasnya. Berikut beberapa contoh bangun limas:
Limas yang mempunyai bidang alas dengan sisi-sisi yang sama
panjang disebut limas beraturan, sedangkan limas yang mempunyai bidang
alas dengan sisi-sisi yang tidak sama panjang disebut limas sebarang.
2. Unsur-unsur limas
Unsur-unsur yang dimiliki limas yaitu:
a) Titik sudut.
Titik sudut yaitu titik pertemuan dua rusuk atau lebih.
b) Rusuk.
Rusuk yaitu garis yang merupakan perpotongan antara dua sisi limas.
c) Bidang sisi.
Bidang sisi yaitu bidang yang terdiri dari bidang alas dan bidang sisi
tegak. Bidang alas yaitu bidang yang merupakan alas dari suatu limas.
Bidang sisi tegak yaitu bidang yang memotong bidang alas.
d) Titik puncak limas.
Titik puncak limas yaitu titik potong dari sisi-sisi tegak limas.
e) Tinggi limas.
Tinggi limas yaitu jarak terpendek dari puncak limas ke bidang alas
Contoh:
1. Perhatikan gambar berikut ini!
Dari gambar limas berikut ini manakah yang termasuk titik sudut, rusuk,
bidang sisi, titik puncak limas, dan tinggi limas?
Jawab:
Yang termasuk titik sudut: P, Q, R, S dan T
Yang termasuk rusuk: (rusuk tegak limas) dan
(rusuk bidang alas)
Yang termasuk bidang sisi:
a. Bidang sisi tegak limas berbentuk segitiga adalah
b. Bidang alas berbentuk segiempat adalah PQRS
Yang termasuk titik puncak limas: titik T
Yang termasuk tinggi limas:
3. Jaring-jaring limas
Limas apabila diiris sepanjang rusuk-rusuknya kemudian
dibentangkan sehingga membentuk bidang datar, maka disebut jaring-jaring
limas. Berikut beberapa contoh jaring-jaring limas:
a) Jaring-jaring limas segitiga
b) Jaring-jaring limas segiempat
c) Jaring-jaring limas segilima
Contoh:
1. Perhatikan gambar di bawah ini
Mana yang merupakan jaring-jaring limas segiempat!
(a) (b)
Jawab:
(a) Merupakan jaring-jaring limas segiempat.
(b)Bukan merupakan jaring-jaring limas segiempat, melainkan
merupakan jaring-jaring kubus
2. Perhatikan gambar di bawah ini !
Mana yang merupakan jaring-jaring limas segitiga!
(a) (b)
Jawab:
(a) Merupakan jaring-jaring limas segitiga
(b)Bukan merupakan jaring-jaring limas segitiga, melainkan merupakan
jaring-jaring prisma segitiga
4. Luas Permukaan Limas
Luas permukaan limas merupakan luas jaring-jaring limas. Jika
terdapat limas segitiga seperti gambar dibawah ini, maka luas permukaan
limas tersebut adalah jumlah luas permukaan segitiga alas dan tutupnya di
tambah luas segitiga sisi-sisinya.
Sehingga luas bangun di atas adalah luas segitiga sebagai alas
ditambah dua kali luas segitiga sisi-sisinya.
Luas permukaan limas O.ABC
= luas segitiga ABC + luas segitiga ABO + luas segitiga BCO +luas segitiga
ACO
= luas segitiga ABC + (luas segitiga ABO +luas segitiga BCO +luas segitiga
ACO)
= luas alas + jumlah luas segitiga pada sisi tegak.
Dengan cara seperti di atas, maka diperoleh bahwa luas permukaan
limas segi-n dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas alas dan luas
beberapa
segitiga yang merupakan bidang-bidang tegaknya. Untuk setiap limas
berlaku rumus sebagai berikut:
Luas Permukaan Limas = luas alas + jumlah luas segitiga pada bidang tegak
Contoh soal :
1. Alas limas T.ABCD pada gambar di bawah ini berbentuk persegi dengan
panjang sisi 12 cm dan tinggi lima 8 cm. Hitunglah:
Penyelesaian:
Diketahui : panjang sisi alas limas 12 cm dan tinggi limas 8 cm
Ditanyakan :
a. Panjang TP
b. Luas permukaan limas
Jawab :
a.QP=1
2AB
= 6 cm.
TP, TQ,dan QP merupakan sisi-sisi pada segitiga siku-siku TQP,
maka:
Jadi, tinggi TP = 10 cm.
b. Luas permukaan limas
Jadi, luas permukaan limas adalah 384 cm2 .
5. Volume Limas
Kubus Limas
Volume limas dapat diperoleh dari suatu kubus. Gambar di samping
menunjukan sebuah kubus yang panjang rusuknya s. Empat diagonal
bidangnya saling berpotongan di titik T.
Kubus ABCD.EFGH terbagi menjadi enam limas yang kongruen,
yaitu T.ABCD, T.BCGF, T.EFGH, T.ADHE, T.CDHG, T.ABFE. Salah
satu limasnya ditunjukkan pada gambar di samping.
Semua limas tersebut mempunyai titik
pusat T
Alasnya adalah semua bidang sisi kubus
Tinggi limas sama dengan setengah panjang rusuk kubus (t = ½s)
Bila volume masing-masing limas adalah V, maka volume enam limas
sama dengan volume kubus, sehingga diperoleh hubungan berikut ini.
Volume enam limas = Volume kubus
Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.
= ⅓ × Luas alas × tinggi.
Contoh:
1. Alas sebuah limas berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 cm dan
lebar 8 cm. Jika volume limas 336 cm3, tentukan tinggi limas tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui : Panjang alas limas 12 cm
Lebar alas limas 8 cm
Ditanyakan : Volume limas ?
Jawab :
Untuk setiap limas berlaku rumus berikut
V = 13 Lt
Atau
Volume limas = 13 luas alas × tinggi
Jadi, tinggi limas adalah 10,5 cm.
B. KERUCUT
1. Pengertian Kerucut
Kerucut merupakan bangun ruang sisi lengkung yang menyerupai
limas segi-n beraturan yang bidang alasnya berbentuk lingkaran. Kerucut
dapat dibentuk dari sebuah segitiga siku-siku yang diputar sejauh 360°,
dimana sisi siku-sikunya sebagai pusat putaran. Perhatikan gambar dibawah
ini.
Kerucut pada gambar diatas dapat dibentuk dari segitiga siku-siku
TOA yang diputar, di mana sisi TO sebagai pusat putaran.
2. Unsur-Unsur Kerucut
Amati kerucut pada gambar dibawah ini. Unsur-unsur kerucut dapat
diuraikan sebagai berikut:
a) Bidang alas
Bidang alas adalah sisi kerucut yang berbentuk lingkaran.
b) Diameter bidang alas (d)
Diameter bidang alas adalah ruas garis yang membagi bidang alas
menjadi dua sama besar.
c) Jari-jari bidang alas (r)
Jari-jari bidang alas adalah ruas garis yang membagi bidang alas menjadi
empat sama besar.
d) Tinggi kerucut (t)
Tinggi kerucut adalah jarak dari titik puncak kerucut ke pusat bidang
alas.
e) Selimut kerucut
Selimut kerucut adalah sisi dari kerucut yang tidak berbentuk lingkaran.
f) Garis pelukis (s)
Garis pelukis adalah ruas-ruas garis pada selimut kerucut yang
menghubungkan titik puncak dan titik-titik pada lingkaran.
Hubungan antara r, s, dan t pada kerucut dinyatakan dengan
persamaan-persamaan berikut.
Contoh :
Perhatikan gambar berikut ini!
Dari gambar disamping, tentukan jari-jari bidang
alas, diameter bidang alas, tinggi kerucut,dan garis
pelukis.
J
Jawab :
a. Jari-jari bidang alas : AO, BO
b. Diameter bidang alas : AB
c. Tinggi kerucut : CO
d. Garis pelukis : CB, CA, CD
3. Jaring-Jaring Kerucut
Jaring-jaring kerucut merupakan dua buah bangun datar yang
menyusun suatu kerucut. Perhatikan gambar dibawah ini.
Gambar (a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r,
tinggi kerucut t, garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri
atas dua buah bidang datar yang ditunjukkan gambar (b) yaitu:
a. Selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan
panjang busur 2πr,
b. Alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.
4. Luas Permukaan Kerucut
Luas permukaan kerucut merupakan jumlah dari luas selimut kerucut
dan luas alas kerucut. Untuk menentukan luas permukaan kerucut
perhatikan gambar dibawah ini.
Pada gambar diatas, terlihat bahwa panjang jari-jari juring lingkaran
sama dengan s (garis pelukis kerucut). Adapun panjang busur DD' sama
dengan keliling alas kerucut, yaitu 2πr. Jadi, luas selimut kerucut sama
dengan luas juring CDD'.
Luas juring CD D'
Luas lingkaran= Panjang busur D D'
Keliling lingkaran
Luas juringCD D'
π s2 =2πr2πs
Luas juringCD D'=2 πr2 πs
× π s2
Luas juring CD D'=πrs
Jadi luas selimut kerucut = πrs
Luas permukaan kerucut = luas selimut kerucut + luas alas kerucut
= πrs+π r2
= πr (s+r )
Dengan demikian, pada kerucut berlaku rumus sebagai berikut :
Contoh :
1. Diketahui jari-jari alas kerucut 8 cm dan tinggi kerucut 15 cm. Tentukan:
a. panjang apotema,
b. luas selimut kerucut,
c. luas sisi kerucut.
Jawab :
a. Panjang apotema (s) = √82+152
= √64+225
= √289
= 17 cm
b. Luas selimut = πrs
= 3,14 × 8cm × 15cm
= 370,8 cm2
c. Luas permukaan kerucut = πr (r + s)
Luas selimut kerucut = ð rs
Luas permukaan kerucut = ð r (s+r )
= 3,14 × 8cm × (8cm + 15cm)
= 25,12cm × 23cm
= 577,76 cm2
2. Diketahui luas permukaan suatu kerucut adalah 376,8 dm2. Jika jari-jari
alasnya 6 dm, tentukan panjang garis pelukis kerucut tersebut.
Jawab:
Diketahui: luas permukaan kerucut = 376,8 dm2
r = 6 dm
Ditanyakan: panjang garis pelukis (s)
Penyelesaian:
Jadi panjang garis pelukis kerucut tersebut adalah 14 dm.
5. Volume Kerucut
Untuk mengetahui rumus volume kerucut, pelajarilah uraian berikut
dengan saksama. Di kelas VIII, telah dipelajari cara menentukan volume
limas tegak, yaitu 13
×luas alas ×tinggi. Sekarang, amatilah gambar dibawah
ini.
Jika diamati dengan baik, volume limas bergantung pada bentuk
alasnya. Jika luas alasnya berbentuk segitiga maka volume limas segitiga
adalah 13
×( 12
alas ×tinggi)×t . Demikian pula dengan limas segiempat,
limas segilima, dan seterusnya. Bagaimana jika alas limas berbentuk
lingkaran?
Limas yang alasnya berbentuk lingkaran disebut kerucut. Akibatnya,
cara menentukan volume kerucut sama dengan cara menentukan limas, yaitu
V = 13
×luas alas ×tinggi
dalam hal ini,
V = 13
×luas lingkaran ×tinggi.
Dengan luas lingkaran = π r2. Jadi, volume kerucut adalah
Keterangan :
V = volume kerucut
r = jari-jari alas kerucut
t = tinggi kerucut
π = 3,14 atau 227
Contoh :
1. Diameter alas suatu kerucut 16 cm dan panjang apotemanya 17 cm.
Tentukan volume kerucut tersebut.
Jawab :
Diketahui : diameter = 16 cm : r = 8 cm ; panjang apotema(s) = 17 cm
Ditanya : Volume kerucut
Penyelesaian :
V = 13
× ðr2 ×t
2. Diketahui volume kerucut adalah 254,34 cm3. Jika jari-jarinya 4,5 cm,
tentukan tinggi kerucut tersebut.
Jawab :
Diketahui: V = 254,34 cm3
r = 4,5 cm
Ditanyakan: tinggi kerucut (t)
Penyelesaian:
jadi tinggi kerucut adalah 12 cm.
DAFTAR PUSTAKA
Agus, Nuniek Avianti. 2007 . Mudah Belajar Matematika. Jakarta: Pusat
Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Djumanta, Wahyudin dan Susanti, Dwi. 2008. Belajar Matematika Aktif dan
Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas IX. Jakarta: Departemen Pendidikan
Nasional.
Drs. Sukino dan Simangunsong, Drs. Wilson. 2006. Matematika untuk SMP Kelas
9. Jakarta : Erlangga.
Masduki dan Ichwan Budi Utomo. 2007. Matematika untuk SMP dan MTS Kelas
IX. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.