modul irisan kerucut

Modul Statistika Kelas XII SMKN 1 Stabat

IRISAN KERUCUT

1

LingkaranLingkaran

ElipsElips

Smk n 1 stabat


IRISAN KERUCUT

Disusun Oleh :

Dian Septiana

071244110049

Dalam PPL-T Unimed

SMK N 1 Stabat

SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 STABAT

LANGKAT

2


2010

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT karena atas pertolongan-Nya, modul ini dapat

diselesaikan tepat pada waktunya. Terima kasih juga kepada guru pamong penulis yaitu ibu

Nursiah, S.Pd yang telah memberi banyak masukan demi terselesaikannya modul ini. Modul

ini berisi tentang bahan ajar Irisan Kerucut yang diajarkan di kelas XII SMK Teknologi, dan

juga tentang tujuan pembelajaran serta hal-hal yang berkaitan dengan pembelajaran Irisan

Kerucut.

Materi yang disusun dalam modul diambil dari beberapa referensi khususnya buku paket

Matematika dari dari berbagai pengarang dan penerbit, dari internet, serta silabus Matematika

SMK Teknologi yang mendukung kelengkapan isi dari modul ini dan diharapkan dapat

menambah pengetahuan sasaran modul ini yaitu siswa SMK kelas XII khususnya dan juga

tenaga pendidik di SMK pada umumnya.

Penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih jauh dari sempurna. Oleh

karena itu, penyusun dengan terbuka menerima kritik dan saran soal dan penyelesaiannya.

Akhir kata, semoga modul ini bermanfaat bagi kita semua. Aaamiin…

Stabat, Oktober 2010

Dian Septiana

3


DAFTAR ISI

Halaman Sampul ............................................................................................................ 1Halaman Francis ............................................................................................................ 2Kata Pengantar ............................................................................................................... 3Daftar Isi ........................................................................................................................ 4Peta Konsep ................................................................................................................... 5Glosarium ...................................................................................................................... 6Bab I. Pendahuluan ....................................................................................................... 7

A. Deskripsi ............................................................................................................ 7B. Tujuan Akhir ...................................................................................................... 7C. Kompetensi ........................................................................................................ 8

Bab II. Pembelajaran .................................................................................................... 9Kegiatan Belajar 1 ................................................................................................... 9

A. Tujuan Pembelajaran .................................................................................. 9B. Uraian Materi ............................................................................................... 9C. Latihan 1 ...................................................................................................... 16D. Kunci Jawaban Latihan 1 ............................................................................. 16

Kegiatan Belajar 2 ................................................................................................... 17A. Tujuan Pembelajaran ................................................................................... 17B. Uraian Materi ............................................................................................... 17C. Latihan 2 ...................................................................................................... 19D. Kunci Jawaban Latihan 2 ............................................................................. 19



Bab III. Evaluasi ............................................................................................................ 27Daftar Pustaka ................................................................................................................ 31

4


PETA KONSEP

5


GLOSARIUM

Istilah Keterangan

Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki

jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya titik

itu disebut pusat lingkaran.

Jari jari lingkaran Ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap titik pada

lingkaran dan titik pusat lingkaran.

Ellips Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang jumlah

jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Parabola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki

jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis

tertentu pula. Titik itu disebut fokus parabola, sedangkan

garis itu disebut garis arah atau A direktriks. Parabola

dapat dilukis jika diketahui garis arah dan titik fokus yang

terletak pada suatu garis.

Hiperbola Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang selisih

jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola.

6


BAB I. PENDAHULUAN

A. DESKRIPSI

Dalam modul ini, akan dipelajari 4 Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar 1 adalah

Lingkaran. Kegiatan Belajar 2 adalah Parabola, Kegiatan Belajar 3 adalah Elips, dan

Kegiatan Belajar 4 adalah Hiperbola.

Dalam Kegiatan Belajar 1, yaitu Lingkaran, akan diuraikan mengenai:

Unsur-unsur lingkaran

Persamaan lingkaran

Garis singgung lingkaran

Dalam Kegiatan Belajar 2, yaitu Parabola, akan diuraikan mengenai:

Unsur-unsur parabola

Persamaan parabola

Sketsa parabola

Dalam Kegiatan Belajar 3, yaitu Elips, akan diuraikan mengenai:

Unsur – unsur elips

Persamaan elips

Sketsa elips

Dalam kegiatan belajar 4 yaitu Hiperbola, akan diuraikan menjadi :

Unsur – unsur hiperbola

Persamaan hiperbola

Sketsa hiperbola

B. TUJUAN AKHIR

Setelah mempelajari modul ini, siswa diharapkan dapat :

1. Mendeskripsikan unsur-unsur lingkaran

2. Menentukan persamaan lingkaran

3. Melukis garis singgung lingkaran

4. Menghitung panjang garis singgung lingkaran

5. Mendeskripsikan unsur-unsur parabola

6. Menentukan persamaan parabola

7. Menggambar sketsa parabola

8. Mendeskripsikan unsur-unsur ellips

9. Menentukan persamaan ellips

10. Menggambar sketsa ellips

7


11. Mendeskripsikan unsur-unsur hiperbola

12. Menentukan persamaan hiperbola

13. Menggambar sketsa hiperbola

C. KOMPETENSI

Standar Kompetensi : Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah

Kompetensi Dasar :

1. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran

2. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola

3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips

4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola

BAB II. PEMBELAJARAN

8


Kegiatan Belajar 1

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran

A. Tujuan Pembelajaran

1. Mendeskripsikan unsur-unsur lingkaran

2. Menentukan persamaan lingkaran

3. Melukis garis singgung lingkaran

4. Menghitung panjang garis singgung lingkaran

B. Uraian Materi

1. Unsur – Unsur Lingkaran

Kurva lengkung sederhana dan teratur yang banyak dijumpai dalam kehidupan

sehari-hari adalah lingkaran. Buatlah kerucut dari kertas manila, kemudian potong

sejajar bidang alas. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang dipotong tadi?

Permukaan kerucut yang dipotong tadi berbentuk lingkaran.

Dalam matematika, lingkaran didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada

bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu. Selanjutnya

titik itu disebut pusat lingkaran. Sedangkan ruas garis yang menghubungkan tiap-tiap

titik pada lingkaran dan titik pusat lingkaran disebut jari-jari lingkaran. Jadi

lingkaran dapat dilukis jika titik pusat dan jari-jari lingkaran diketahui.

Adapun unsur – unsur lingkaran adalah sebagai berikut :

a. Jari-jari lingkaran yaitu ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan

sebuah titik pada lingkaran

b. Tali busur yaitu garis yang menghubungkan dua buah tutuk pada lingkaran

c. Diameter yaitu tali busur yang melalui titik pusat lingkaran

d. Busur lingkaran yaitu kurva pada keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua

titik pada lingkaran

e. Juring yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan satu

tali busur

f. Tembereng yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah tali busur

dan busur lingkaran.

g. Apotema yaitu gari tegak lurus terhadap tali busur.

9

T(x1,y1)

r

O_

A


2. Persamaan Lingkaran

a. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(0, 0)

Ambil sebarang titik pada lingkaran misal T(x1 ,y1) dan titik O sebagai pusat

lingkaran.

Tarik garis melalui T tegak lurus sumbu

x misal di A.

Pandang OTA !

OTA merupakan segitiga siku-siku, dimana

membentuk sudut siku-siku di titik A.

Sehingga berlaku teorema pytagoras:

OA 2 + AT2 = OT2

Karena berlaku untuk semua titik pada lingkaran maka

Contoh

1. Persamaan lingkaran pusatnya O(0,0) dan jari-jari 3 adalah



Contoh

1. adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 4

2. adalah lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 2

10

merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya di (0,0) dengan jari-jari r

ID

P__ Q

r

A

T(x1,y1)


b. Persamaan Lingkaran dengan pusat O(a, b)

Ambil sebarang titik pada lingkaran

misal T(x1 ,y1) dan titik P(a,b)

sebagai pusat lingkaran.

Tarik garis melalui T tegak lurus

sumbu x misal titik A

Buat garis yang melalui titik P sejajar

sumbu x, sehingga memotong TA di

titik Q.

Pandang PQT! PQT

merupakan segitiga siku-siku di

titik Q, TQ = (y1 – b) dan PQ = (x1 –

a).

Sehingga berlaku teorema pytagoras:

PQ2 + QT2 = OT2

11


Karena berlaku untuk setiap titik T(x1,y1) pada lingkaran, maka berlaku :

Contoh

Tentukan persamaan lingkaran dengan

a. pusat (2, 3) dan jari-jari 5

b. pusat (-3,1) dan jari-jari 2

c. pusat (2, -2) dan jari-jari 1

Penyelesaian

a. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 5

adalah

b. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 5

adalah

c. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 5

adalah

Contoh

Tentukan koordinat pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan

4x2 +4y2 - 4x + 16y -19 = 0

Penyelesaian

4x2 + 4y2 -4x + 16y -19 = 0, kedua ruas dibagi 4 didapat

Jadi, koordinat pusat lingkaran adalah (1/2, -2) dan jari-jarinya 3

c. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

12

merupakan persamaan lingkaran yang pusatnya di (a,b) dengan jari-jari r


Bentuk umum persamaan lingkaran didapat dengan menurunkan persamaan

lingkaran yang berpusat tidak pada (0,0) berikut ini:

Contoh

Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan

R(2,2).

Penyelesaian

Missal persamaan lingkarannya adalah

Titik P (1,0) pada lingkaran berarti 12 + 02 + A.1 + B.0 + C = 0

A + C = -1 atau A = -1 – C ...........(1)

Titik Q (0,1) pada lingkaran berarti 02 + 12 + A.0 + B.1 + C = 0

B + C = -1 atau B = -1 - C ..........(2)

Titik R (2,2) pada lingkaran berarti 2 2 + 2 2 + A.2 + B.2 + C = 0

2A + 2B + C = -8 ...........................(3)

Substitusi (1) dan (2) pada (3) didapat 2(-1 – C ) + 2(-1-C) + C = -8

-2 - 2C – 2 –2C + C = 0

-3C = - 4

C = 4/3

Dari (1) didapat A = -7/3

Dari (2) didapat B = -7/3

Jadi, persamaan lingkarannya adalah

3. Garis Singgung Lingkaran

13

Y = mX +

r

r

X2+Y2 = r2

O


Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran tepat pada

satu titik.

a. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (0,0)

Misal persamaan garis singgung: y = mx + k

Sehingga ada satu titik pada lingkaran:

x2+y2 = r2 yang memenuhi persamaan garis

singgung di atas. Akibatnya:

Contoh 8

Tentukan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 dengan gradien 3

Penyelesaian

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradient m adalah

sebagai berikut

Maka

14


b. Gradien garis singgung diketahui dan lingkaran berpusat di (a, b)

Kita dapat menurunkan rumusnya dengan cara yang serupa dengan di atas. Maka akan

diperoleh persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a,b) yaitu

Contoh

Tentukan garis singgung pada lingkaran (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4 dengan gradien -2

Penyelesaian

Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)2 + (y - b)2 = r2 dengan gradient m

adalah

Maka,

c. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran

berpusat di (0,0)

Persamaan garis singgung dengan titik singgung (x1, y1) pada lingkaran

adalah

Contoh

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (3, -4)

Penyelesaian

Persamaan garis singgungnya adalah

d. Persamaan garis singgung jika titik singgungnya diketahui pada lingkaran

berpusat di (a,b)

15



adalah


adalah

LATIHAN 1

1. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (0,5).

2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran X2 + y2 = 100 yang melalui

titik (6,8)

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran X2 + y2 +8x – 6y = 0 dan apa keistimewaan

dari lingkaran ini?

KUNCI JAWABAN LATIHAN 1

1. Misal persamaan lingkaran yang melalui titik (3,4), (5,0) dan (-5,0), adalah x2 + y2

+Ax + By + C= 0

Titik (3,4) pada lingkaran: 9+16 + 3A + 4B + C= 0 atau 3A + 4B + C=-25

Titik (5,0) pada lingkaran: 25+0 + 5A + 0 + C= 0 atau 5A + C= -25 Titik (0,5)

pada lingkaran: 25+0 – 5A + 0 + C= 0 atau –5A + C= -25. Dari tiga persamaan di

atas didapat A = 0, B= 0 dan C = -25

Jadi persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 - 25 = 0

2. Titik (6,8) pada lingkaran x2 + y2 = 10

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 100 yang melalui titik

(6,8) adalah 6x + 8y = 100 atau 3x + 4y = 50

3. Persamaan x2 + y2 +8x – 6y = 0 dapat diubah menjadi

x2 + 8x + y2 – 6y = 0

x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9= 16 + 9

(x + 4)2 + (y - 4)2 = 25

Jadi pusat (-4, 3 ) dan jari-jari = 5

16


Kegiatan Belajar 2

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola


1. Mendeskripsikan unsur-unsur parabola

2. Menentukan persamaan parabola

3. Menggambar sketsa parabola

B. Uraian Materi

1. Unsur – Unsur Parabola

Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai satu sumbu simetri

adalah Parabola. Buatlah model kerucut dari kertas manila. Atau plastisin

(sering disebut malam). Iris dengan bidang yang tegak lurus alas kerucut.

Berbentuk apakah permukaan kerucut yang teriris? Permukaan kerucut yang

teriris benbentuk parabola. Parabola diperoleh dengan mengiris bangun kerucut

sejajar garis pelukisnya.

Dalam matematika parabola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada

bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik tertentu dan suatu

garis tertentu pula. Selanjutnya titik itu disebut fokus parabola, sedangkan garis itu

disebut garis arah atau A direktriks. Parabola dapat dilukis jika diketahui garis arah

dan titik fokus yang terletak pada suatu garis, di mana garis itu tegak lurus garis

arah.

2. Persamaan Parabola

a. Persamaan parabola dengan puncak (0,0)

Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan fokus di F(p,0) adalah

Secara analog, jika F(-p,0) dan persamaan direktrisnya x = p, maka persamaan

parabolanya adalah

17


- Untuk parabola dengan p > 0, maka parabola terbuka ke kanan

- Untuk parabola dengan p < 0, maka parabola terbuka ke kiri

Contoh

Tentukan koordinat fokus dan persamaan sumbu simetri, persamaan direktris,

dan panjang latus rectum dari persamaan parabola !

Penyelesaian

Diketahui persamaan parabola . Maka diperoleh 4px = 8x, sehingga

p = 2 > 0. Jadi parabola terbuka ke kanan.

Dari keterangan di atas diperoleh :

- Koordinat fokus parabola di F(2,0)

- Sumbu simetri: y = 0

- Persamaan direktris : x = -2

- Untuk x = 2, diperoleh y2 = 8.2 = 16. Sehingga y = 4. Jadi, koordinat

titik-titik ujung latus rectum adalah (2,4) dan (2, -4)

Persamaan parabola dengan puncak (0,0) dan fokus di F(0,p) adalah

Secara analog, jika F(0,-p) dan persamaan direktrisnya y = p, maka persamaan

parabolanya adalah

- Untuk parabola dengan p > 0, maka parabola terbuka ke atas

- Untuk parabola dengan p < 0, maka parabola terbuka ke bawah

b. Persamaan parabola dengan puncak (a,b)

Persamaan parabola dengan puncak (a,b) adalah

Secara umum, terdapat 4 macam bentuk baku persamaan parabola yang berpuncak

di (a,b), yaitu :

- merupakan parabola horizontal yang terbuka ke kanan

- merupakan parabola horizontal yang terbuka ke kiri

- merupakan parabola vertikal yang terbuka ke atas

- merupakan parabola vertikal yang terbuka ke bawah

Contoh

Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (2,3) dan titik fokusnya (6,3)!

Penyelesaian

Titik puncak adalah (2,3), maka a = 2 dan b = 3

18


Titik fokus (6,3), maka a + p = 6, sehingga diperoleh p = 4

Persamaan parabolanya adalah :

LATIHAN 2

1. Buatlah sketsa grafik parabola y2 = 4x dan x2 = -4y

2. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan melalui

(6,-6) serta menyinngung sumbu y

3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui (-2, -3) pada parabola y2

= 8x

4. Tentukan puncak, sumbu simetri, fokus dan direktrik dari parabola dengan

persamaan y2 = - 6x

Kunci Jawaban Latihan 2

1. a) Parabola y2 = 4x puncaknya (0,0),

dan melalui titik (1,1), (2,4), (-1, 1), (-2, 4) yang dicari dengan

menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri!

x 1 2 -1 -2

y 2 1 4 1 4

b) Parabola x2 = -4y puncaknya (0,0),

dan melalui titik (1,-4), (2,-8), (-1, 4), (-2, 8) yang dicari dengan

menggunakan tabel berikut. Anda dapat membuat sketsa sendiri!

y 1 2 -1 -2

x 2 -4 -8 4 8

2. Parabola yang berpuncak di titik pangkal O dan menyingung sumbu y, bentuk

umumnya adalah x2 = 2py

Melalui (6,-6), maka 36 = -12 p, didapat p = -3

Jadi persamaan parabola yang diminta adalah x2 = -6y

3. Titik (-2, -3) tidak pada parabola y 2 = 8x.

Dari y2 = 8x didapat p = 4

Misal titik singgungnya (a,b), maka persamaan garis singgungnya adalah

19


by = 4(x + a). Garis singgung ini melalui titik (-2, -3) maka -2b =

4(-3 + a) atau 4a + 2b = 12 .... (1)

Sedangkan (a, b) pada parabola y2 = 8x maka berlaku b 2 = 8a ..................(2)

Eliminasi dari (1) dan (2) didapat a = 2 dan b = 4 atau a = 4,5 dan b=-6

Jadi persamaan garis singgungnya adalah :

4y = 4( x + 2) atau y = x + 2, atau

-6y = 4( x + 4,5) atau 4x + 6y + 18 = 0

4. Persamaan parabola y2 = - 8x Puncak di (0,0) Persamaan

sumbu simetri adalah y = 0 atau sumbu x

Koordinat fokus adalah (-2, 0); Persamaan direktrik adalah x = 2

Kegiatan Belajar 3

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips


1. Mendeskripsikan unsur-unsur elips

2. Menentuan persamaan ellips

3. Menggambar sketsa ellips

B. Uraian Materi

1. Unsur – Unsur Elips

Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu

simetri adalah Ellips. Buatlah model kerucut dari kertas manila, kemudian

potong menurut bidang tidak sejajar bidang alas tetapi tidak memotong bidang

alas kerucut. Berbentuk apakah permukaan kerucut yang terpotong? Permukaan

kerucut yang terpotong berbentuk ellips.

Dalam matematika ellips didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (pada bidang

datar) yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Ellips

Elips mempunyai 2 sumbu simetri yaitu :

garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor

garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor

20


2. Persamaan Elips

a. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)

- Untuk elips yang berfokus di sumbu X, persamaan elips :


b. Persamaan elips yang berpusat di P(,)


- Untuk elips yang berfokus di sumbu Y, persamaan elips :

3. Sketsa Elips

Dapatkah anda membuat gambar ellips? Buatlah dengan langkah-langkah

sebagai berikut:

1. Gambarlah di bukumu titik F1, F2 dan panjang 2a > F1F2. Tentukan titik A dan B

pada perpanjangan garis F1F2 sedemikian hingga F2B = F1A dan AB = 2a

2. F2B= F1A = (2a - F1F2)

3. Titik Ti diperoleh sebagai berikut:

a) Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F1A

b) Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari 2a - ri

c) Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.

d) Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2 dan

sebaliknya. Akan didapat titik-titik C dan D yang memenuhi definisi ellips.

Hubungkan titik-titik itu dengan kurva mulus akan didapat sketsa ellips

21


LATIHAN 3

1. Tentukan sumbu mayor / minor, dari persamaan Ellips :

2. Tentukan persamaan Ellips jika diketahui titik puncak

( 0,-2 )

3. Gambar grafik Ellips jika Persamaannya :

a.


1.

2.

22-4 4

3

-3

0


3.

a. Titik pusat (0,0)

Sumbu mayor = 8

Sumbu minor = 6

b. Titik pusat (1,2)

Sumbu mayor = 4

Sumbu minor = 2

Kegiatan Belajar 4

Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola


1. Mendeskripsikan unsur-unsur hiperbola

2. Menentukan persamaan hiperbola

3. Menggambar sketsa hiperbola

B. Uraian Materi

23

-1 3

3

1

(1,2)

0


1. Unsur- Unsur Hiperbola

Kurva lengkung sederhana dan teratur yang mempunyai dua sumbu simetri

adalah Hiperbola. Hiperbola merupakan bangun datar yang diperoleh dengan

mengiris bangun ruang kerucut yang saling bertolak belakang memotong

tegak lurus bangun kerucut tersebut tetapi tidak memotong puncak kerucut.

Dalam matematika hiperbola didefinisikan sebagai himpunan titik-titik

(pada bidang datar) yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya.

Selanjutnya dua titik itu disebut Titik Fokus Hiperbola.

Jadi hiperbola dapat dilukis jika diketahui dua titik fokus hiperbola dan

suatu ruas garis yang panjangnya kurang dari dari jarak kedua titik fokus itu

diketahui.

2. Persamaan Hiperbola

a. Persamaan hiperbola yang berpusat di O(0,0)

- Titik pusat di (0,0)

- Titik puncak (a,0) dan (-a,0)

- Titik fokus di (c,0) dan (-c,0)

- Persamaan asimtot hiperbola :

- Eksentrisitas :

-

- Persamaan direktris :

- Persamaan hiperbola :

b. Persamaan hiperbola yang berpusat di P(,)

Untuk hiperbola yang berpusat di (,), maka :

- Titik pusat di (,)

- Titik fokus di (+c,) dan (-c,)

- Titik puncak di (+a,) dan (-a,)

24

______________________________

2 a

F,

C

A

Ti

F,B

D


- Persamaan direktris :

- Persamaan asimtot hiperbola :

- Persamaan hiperbola :

- Bentuk umum persamaan hiperbola :

Dengan A0, B0, dan

AB

3. Sketsa Hiperbola

1. Tetapkan titik F1, F2 dan panjang

2a <

2. Tentukan titik A dan B pada

perpanjangan garis F1F2 sedemikian

hingga F2B = F1A .

3. F2B = F,A = 1/2 ( F,F2 - 2a).

4. Titik Ti diperoleh sebagai berikut:

5. Buat lingkaran dengan pusat F1 dan jari-jari ri > F2A

6. Dari B busurkan lingkaran dengan jari-jari ri - 2a

7. Perpotongan lingkaran pada langkah (a) dan (b) adalah titik Ti.

8. Lakukan langkah yang sama dengan mengganti peran F1 dengan F2 dan sebaliknya.

Selamat mencoba

LATIHAN 4

1. Tentukan koordinat titik puncak dari Hiperbola !

2. Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui asimtotnya dan panjang sumbu

minor = 6!


25


1.

2.

26


BAB III. EVALUASI

A. Pilihan Ganda

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O ( 0.0 ) dan melalui titik potong garis x + y = 5 dan

2x – y = 1 adalah……

a. c. e.

b. d.

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di P ( -3.2 ) dan jari – jari 4 adalah…….

a.

b.

c.

d.

e.

3. Sebuah garis g = y = x + p menyinggung lingkaran , maka nilai p adalah……

a. 1 dan -1 c. dan - e. dan

b. 2 dan -2 d. 2 dan -1

27


4. Persamaan garis singgung di titik ( , 2 ) pada lingkaran adalah……

a. 2x + y = 0 c. x + y – 6 = 0 e. x + y + 6 =0

b. 2x + y + 6 = 0 d. x + y – 6 = 0

5. Persamaan garis singgung di titik ( 2.6 ) pada lingkaran ( x – 3 ) + ( y + 1 ) = 16

adalah….

a. x – 7y + 6 = 0 c. –x + 7y – 6 = 0 e. x – 7y – 6 =0

b. x + 7y – 6 = 0 d. –x – 7y – 6 = 0

6. Jika diketahui persamaan parabola maka parabola tersebut berpuncak di O (0,0)

dan fokus di…….

a. (0,12)

b. (0,6)

c. (0,4)

d. (0,2)

e. (0,3)

7. Persamaan parabola yang berpuncak di (3,7) dan fokusnya (3,5) adalah……

8. Persamaan parabola mempunyai persamaan direktris…..

a. x = -3

b. x = -2

c. x = 2

d. x = 3

e. x = 4

9. Koordinat titik puncak dari ellips dengan persamaan

adalah….

a. (8,5) dan (0,5)

b. (8,4) dan (0,4)

c. (10,4) dan (8,5)

d. (10,4) dan (0,4)

28


e. (10,5) dan (0,5)

10. Panjang sumbu mayor dari elips adalah….

a. 3

b. 6

c. 9

d. 12

e. 17

11. Persamaan elips yang memiliki titik pusat (4,-2), titik puncak (9,-2) dan titik fokus (0,-2)

adalah…

12. Koordinat titik puncak dari persamaan hiperbola adalah…..

a. (7,0) dan (-7,0)

b. (8,0) dan (-8,0)

c. (0,7) dan (0,-7)

d. (0,8) dan (0,-8)

e. (7,8) dan (-7,-8)

13. Persamaan asimtot dari hiperbola adalah…

29


14. Diketahui hiperbola mempunyai koordinat titik puncak di (8,0) dan (-8,0) serta koordinat

titik fokus di (4,0) dan (-4,0). Persamaan hiperbola tersebut adalah……

15. Diketahui persamaan hiperbola . Eksentrisitas dan

panjang lactus rectumnya adalah….

a. 5/4 dan 9/4

b. 5/4 dan 18/4

c. 3/4 dan 9/4

d. 9/4 dan 3/4

e. 3/4 dan 18/4

B. Isian

1. Hitunglah nilai m jika lingkaran

( x – 4 ) + ( y + 3 ) = m melalui titik A ( -1, -3 )!

2. Titik P ( 2,6 ) terletak pada lingkaran Tentukan nilai n !

3. Tentukan pusat dan jari – jari lingkaran

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P ( 2.4 ) dan jari – jari 5

5. Tentukan koordinat puncak, koordinat fokus, persamaan direktris, dan latus rectum dari

persamaan !

6. Tentukan persamaan parabola jika diketahui dan direktrisnya x = 4!

7. Gambar grafik parabola

30


DAFTAR PUSTAKA

Bahri, Samsul dan Mustain. 2009. Terampil Matematika untuk SMK (Teknik) Kelas XII.

Bekasi : Galaxy Puspa Mega

Mauludin, Ujang. 2007. Matematika untuk SMK kelas XII Program Keahlian Teknik

Industri. Jakarta : Indah Jaya Adipratama

Noormandiri, B.K. 2004. Matematika SMA untuk kelas XII program Ilmu Alam. Jakarta:

Erlangga

Teguh, Mega. 2004. Modul Irisan Kerucut. Departemen Pendidikan Nasional

31

modul irisan kerucut

Documents