• Lingkaran ; diperoleh jika bidang pengiris tegaklurus sumbu atau sejajar bidang alas

• Parabola ; diperoleh jika bidang pengiris sejajar dengan garis pelukis

• Elips ; diperoleh jika bidang pengiris memotong kerucut tetapi tidak tegaklurus sumbu

• Hiperbola ; diperoleh jika bidang pengiris memotong kerucut berdaun ganda sejajar sumbu

Definisi

• Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap.

• Jarak yang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran

Lingkaran berpusat di (0,0)

• Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari r adalah x2 + y2 = r2

• Contoh :• Persamaan lingkaran yang berpusat di O

(0, 0) dan jari jari 5 adalah x2 + y2 = 25

Lingkaran berpusat di (a,b)

• Persamaan lingkaran berpusat di (a,b) dan berjari-jari r adalah

• r2 = (x – a)2 + (y – b)2

Persamaan Umum Lingkaran

• (x – a)2 + (y – b)2 = r2• x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0• x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0• Persamaan umum lingkaran adalah

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

• Karena :• A = - 2a → a = -½ A• B = - 2b → b = -½ B• C = a2 + b2 – r2 → r2 = a2 + b2 – C

Maka

• Koordinat titik Pusat Lingkaran dengan persamaan

• x2 + y2 + Ax + By + C = 0

• Pusat lingkaran

• Jari-jari lingkaran

• Jari-jari lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan garis singgung P(x1,y1) pada lingkaran dengan pusat O (0,0)

• Misal : garis g menyinggung di titik P(x1,y1)

11

11

11

1

1

1

1

xxy

xyy

xxmyy

y

xmmm

x

ym

gs

gsgsOP

OP

211

21

2111

211

211

1111

rxxyy

yxxxyy

xxxyyy

xxxyyy

• Persamaan garis singgung di titik P (x1,y1) untuk lingkaran berjari-jari r dan berpusat di O(0,0) adalah

•x1x + y1y = r2

Contoh

• Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik yang

• a) Ber-absis – 4• b) Ber-ordinat 4

Persamaan garis singgung P(x1,y1) pada lingkaran dengan pusat (a,b)

• Misal : garis g menyinggung di titik P(x1,y1)

11

11

1

1

1

1

xxby

axyy

by

axm

ax

bym

gOP

g

OP

• (y – y1) (y1 - b) = − (x1 – a) (x – x1)

• xx1 – ax + ax1 + a2 + yy1 – by – by1 + b2 = x12 –

2ax1 + a2 + y12 – 2by1 + b2

• ( x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = (x1 – a)2 + (y1 – b)2

• (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

• Analog :• Persamaan garis singgung pada lingkaran• x2 + y2 + Ax + By + C = 0

x1x + y1y + ½A (x + x1) + ½B(y + y1) + C = 0

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m

• Misal : persamaan garis singgung dengan gradien m

• y = mx + n ……………….….(1)• x2 + y2 = r2 ……………….….(2)• x2 + y2 = r2

• x2 + (mx + n)2 = r2

• x2 +m2x2 +2mnx + n2 = r2

• (1+ m2)x2 + 2mnx + ( n2 – r2) = 0

• syarat menyinggung D = 0• b2 – 4ac = 0• (2mn)2 – 4 (1 + m2) . (n2 – r2) = 0• 4m2n2 – 4 (n2 – r2 + m2n2 – m2r2) = 0• 2m2n2 – 4n2 + 4r2 – 4m2n2 + 4m2n2 = 0• – 4n2 + 4r2 + 4m2r2 = 0 : 4• – n2 + r2 + m2n2 = 0• n2 = r2 + m2r2

• n2 = r2 (1 + m2)

• Sehingga Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m

222 11 mrnmrn

21 mrmxy

Analog

• Persamaan garis singgung pada lingkaran• (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah

21)( mraxmby

• Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (2,3) dan berjari-jari 5 di titik (5,7)

• Tentukanlah persamaan garis singgung dari lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 yang melalui titik (5,1) !