Комбинаторика (повторение)

1. Туристическая фирма провела акцию: «Купи путёвку в Египет, приведи

четырёх друзей, которые также купят путёвку, и получи стоимость путёвки

обратно». За время действия акции 13 покупателей пришли сами, остальных

привели друзья. Некоторые из них привели ровно по 4 новых клиента, а

остальные 100 не привели никого. Сколько туристов отправились в Страну

Пирамид бесплатно?

2. На каждой стороне треугольника отметили по nточек. Сколько

треугольников с вершинами в этих точках можно составить?

3. Сколько существует трапеций с вершинами в вершинах правильного

2n-угольника?

4. Сколько существует в таблице (на клетчатой бумаге) m*n квадратов со

стороной 5? (Вершины квадрата в углах клеток).

ТЕОРИЯ ИГР

Примечание. В каждой из последующих задач необходимо установить,

который из двух игроков имеет возможность выиграть независимо от игры

противника и как он должен играть.

Симметрия

1. Имеется две кучки камней а) по 11 в каждой; б) в одной 30 камней, в

другой 20. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из

одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

2. Даны два ящика с шариками: а) 9 и 10; а) 12 и 10; а) 9 и 11 шарика. За

ход разрешается взять один шарик из любого ящика. Выигрывает тот, после

хода которого один из ящиков опустеет.

3. Двое по очереди ставят: а) ладьи; б) слонов; в) коней на клетки

шахматной доски так, чтобы фигуры не били друг друга. Проигрывает тот,

кто не может сделать ход.

Ход с конца (выигрышные и проигрышные позиции)

Пусть имеется некоторая игра. Назовем позицию в ней выигрышной, если

игрок, после хода которого возникла эта позиция, имеет возможность

выиграть вне зависимости от игры противника, и проигрышной в противном

случае. Нетрудно установить, что из выигрышной позиции можно походить

только в проигрышную позицию, а из проигрышной позиции обязательно

можно попасть хотя бы в одну выигрышную (почему?). Это соображение

иногда позволяет разбить все позиции, которые могут возникнуть в игре, на

проигрышные и выигрышные и тем самым установить, который из игроков в

ней выигрывает.

4. Ладья стоит на поле а1. За ход разрешается сдвинуть её на любое

число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто

поставит ладью на клетку h8.

5. Ферзь стоит на поле с1. За ход его можно передвинуть на любое число

полей вправо, вверх или по диагонали вправо-вверх. Выигрывает тот, кто

поставит ферзя на поле h8.

6. Имеется куча из а) 16; б) 17; в) n камней. Двое играющих берут из неё

камни по очереди. Каждый может взять 1, 2 или 3 камня. Выигрывает тот,

кто берёт последние камни. Кто выигрывает при правильной игре? г) тот же

вопрос, если в куче n камней, а каждый может брать от 1 до m камней.

7. Двое играют в игру: поочерёдно называют целые положительные

числа, причём сначала первый называет число не больше 10, потом второй

игрок называет число, превышающее число, названное первым не более чем

на 10 и так далее. Выигрывает тот, кто назовёт число 100.

8. Игра начинается с числа 1. За ход разрешается умножить имеющееся

число на любое натуральное число от 2 до 9. Выигрывает тот, кто первым

получит число, большее 1000.

9. На доске выписаны числа: 1, 2, 3, …, 2n. Двое по очереди закрашивают

любое из чисел (которое не закрашено до этого). Выигрывает тот, после хода

которого 3 любых закрашенных числа образуют арифметическую

прогрессию. Кто выиграет при правильной игре?

10. В таблице 1*2n записаны натуральные числа, так что сумма чисел,

стоящих на четных позициях не равна сумме чисел на нечетных позициях.

Двое по очереди «забирают себе» любую из крайних клеток. (т.е. они

убирают клетку из таблицы и записывают себе число, которое было в

клетке). По окончании у каждого окажется по n чисел. Выигрывает тот, у

кого сумма чисел больше. Кто выиграет при правильной игре?

Многочлены

1. Представить в виде полного квадрата (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1.

2. Доказать, что остаток от деления P(x) на (x-a) равен P(a).

3. Доказать, что если b – корень многочлена P(x), то P(x) делится на (x-b).

4. Найдите многочлен с целыми коэффициентами, один из корней

которого равен .

5. Определить коэффициенты при .

6. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты

, чтобы его корни образовывали арифметическую

прогрессию?

7. Пусть a, b, c – корни . Доказать, что .

8. Доказать, что для P(x) с целыми коэффициентами P(b)-P(a) делится на

b-a; a,b – целые.

9. Найти многочлен P(x) с целыми коэффициентами, для которого P(7) =

11; P(11)=13.

10. P(x) с целыми коэффициентами, такой что существует целое n, для

которого P(n); P(n+1); P(n+2) делятся на 3. Доказать, что для любого

целого m P(m) делится на 3.

Последовательности

Рекуррентной последовательностью порядка k называют последовательность чисел

u1, u2, . . . , где числа u1, u2, . . . , uk произвольные, а при всех n ≥ 1 выполняется

соотношение

un+k = a1un+k−1 +. . .+akun, где a1, a2, . . . , ak — некоторые фиксированные числа.

Числа Фибонначи

Числами Фибоначчи называют последовательность чисел F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2

при n ≥ 3.

1. Докажите, что Fn+k = Fn−1Fk + FnFk+1.

2. Докажите, что числа Fn и Fn+1 взаимно просты.

3. Докажите, что для любого натурального числа n найдётся число Фибоначчи,

делящееся на n.

4. Чему равно количество подмножеств множества {1, 2, 3, . . ., n}, не содержащих

двух последовательных чисел?

5. Докажите, что Fn+5 > 10Fn при n ≥ 2.

Различные последовательности

1. Продолжите последовательность и найдите чему равно an:

2, 6, 12, 20, 30, …

2. Доказать, что являются точными квадратами все числа вида 16; 1156; 111556 и т.д.

(в середину предыдущего числа вставляется число 15).

3. Последовательность {xn} определяется условиями:

Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер этого

члена.

4. Найдите сумму 1·1! + 2·2! + 3·3! + … + n·n!.

5. По кругу записано больше трех натуральных чисел, сумма которых равна 37.

Известно, что суммы любых трех последовательных чисел равны между собой. Какие

числа написаны по кругу?

6. Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом

членов, сумма которых равна 1, и каждый член имеет вид 1/k, где k – натуральное.

7. Найдите все строго возрастающие последовательности натуральных чисел a1, a2,

..., an, ..., в которых a2 = 2 и anm = anam для любых натуральных n и m.

Векторы

1. Пусть – медиана треугольника ABC. Доказать, что

.

2. Докажите, что

.

3. Докажите, что если векторы и ортогональны, то .

4. Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.

5. Из медиан треугольника ABC составлен треугольник , а из

медиан треугольника составлен треугольник . Докажите,

что треугольники АВС и подобны, причем коэффициент

подобия равен

.

6. Стороны треугольника Т параллельны медианам треугольника Т1.

Докажите, что стороны треугольника Т1 параллельны медианам

треугольника Т.

7. Пусть E и F – середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD. K,

L, M, N – середины отрезков AF, CE, BF, DE. Докажите, что KLMN –

параллелограмм.

8. Пусть A, B, C, D – произвольные точки плоскости. Докажите, что

.

9. Пусть О – центр описанной окружности треугольника АВС, а точка Н

обладает свойством, что . Докажите, что Н – точка

пересечения высот треугольника АВС.

10. Даны точки А, В, С, D. Докажите, что

. Причем равенство достигается, только если ABCD –

параллелограмм.

Метод координат на плоскости

1. Найдите расстояние от точки (x0, y0) до прямой ax + by + c = 0.

2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(- 3;2)

параллельно прямой 2x - 3y + 4 = 0.

3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M(- 1;4)

перпендикулярно прямой x - 2y + 4 = 0.

4. Даны точки A(–1, 5) и B(3, –7). Найдите расстояние от начала координат

до середины отрезка AB.

5. На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её

центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех

белых клеток – через b. Докажите, что a = b.

6. Даны точки A(4;1), B(- 8;0) и C(0; - 6). Составьте уравнение прямой, на

которой лежит медиана AM треугольника ABC.

7. Найдите периметр треугольника ABC, если известны координаты его

вершин A(–3, 5), B(3, –3) и точки M(6, 1), являющейся серединой стороны

BC.

8. Даны точки A(2;4), B(6; - 4) и C(- 8; - 1). Докажите, что треугольник ABC

прямоугольный.

9. Даны точки A(0;0), B(4;0) и C(0;6). Составьте уравнение окружности,

описанной около треугольника ABC.

10. Координаты вершин треугольника рациональны. Докажите, что

координаты центра его описанной окружности также рациональны.

11. Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол.

Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на

диагонали квадрата.