Комбинаторика слов и ее приложения, весна 2015: Лекция 3

Ëåêöèÿ 3: Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿÀ. Ì. ØóðÈíñòèòóò ìàòåìàòèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê (ìàòìåõ) ÓðÔÓ19 ìàðòà 2015 ã.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 1 / 16

Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîêÂî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óäîáíî ñ÷èòàòü àë�àâèò (ëèíåéíî) óïîðÿäî÷åííûì. Íàïðèìåð,ìíîãèå àëãîðèòìû îáðàáîòêè ñòðîê, èñïîëüçóþùèå ñðàâíåíèå áóêâ, ðàáîòàþòãîðàçäî áûñòðåå, åñëè ðåçóëüòàòîâ ñðàâíåíèÿ íå äâà (= è 6=), à òðè (=, < è >)Ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà àë�àâèòå Σ ïîðîæäàåò ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé (ñëîâàðíûé)ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå ñëîâ Σ∗.

À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 2 / 16

Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîêÂî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óäîáíî ñ÷èòàòü àë�àâèò (ëèíåéíî) óïîðÿäî÷åííûì. Íàïðèìåð,ìíîãèå àëãîðèòìû îáðàáîòêè ñòðîê, èñïîëüçóþùèå ñðàâíåíèå áóêâ, ðàáîòàþòãîðàçäî áûñòðåå, åñëè ðåçóëüòàòîâ ñðàâíåíèÿ íå äâà (= è 6=), à òðè (=, < è >)Ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà àë�àâèòå Σ ïîðîæäàåò ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé (ñëîâàðíûé)ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå ñëîâ Σ∗.ÎïðåäåëåíèåÏóñòü < � ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà Σ. Äëÿ ëþáûõ u, v ∈ Σ∗, u 6= v , ïîëîæèì u < v ,åñëè1) u � ïðå�èêñ v èëè2) ñóùåñòâóåò i > 0 òàêîå, ÷òî u[1..i ] = v [1..i ], u[i+1] < v [i+1].Â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî u ëåêñèêîãðà�è÷åñêè ìåíüøå v .À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 2 / 16

Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîêÂî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óäîáíî ñ÷èòàòü àë�àâèò (ëèíåéíî) óïîðÿäî÷åííûì. Íàïðèìåð,ìíîãèå àëãîðèòìû îáðàáîòêè ñòðîê, èñïîëüçóþùèå ñðàâíåíèå áóêâ, ðàáîòàþòãîðàçäî áûñòðåå, åñëè ðåçóëüòàòîâ ñðàâíåíèÿ íå äâà (= è 6=), à òðè (=, < è >)Ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà àë�àâèòå Σ ïîðîæäàåò ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé (ñëîâàðíûé)ïîðÿäîê íà ìíîæåñòâå ñëîâ Σ∗.ÎïðåäåëåíèåÏóñòü < � ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà Σ. Äëÿ ëþáûõ u, v ∈ Σ∗, u 6= v , ïîëîæèì u < v ,åñëè1) u � ïðå�èêñ v èëè2) ñóùåñòâóåò i > 0 òàêîå, ÷òî u[1..i ] = v [1..i ], u[i+1] < v [i+1].Â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî u ëåêñèêîãðà�è÷åñêè ìåíüøå v .Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûìÄëÿ ëþáûõ ñëîâ u, v è áóêâû a èìååì u < v ⇐⇒ au < avÅñëè u < v ïî ïðàâèëó 2, òî ux < vy äëÿ ëþáûõ ñëîâ x , yÅñëè u < v ïî ïðàâèëó 1, òî äîïèñûâàíèå äàæå îäíîé áóêâû ñïðàâà ìîæåòèíâåðòèðîâàòü íåðàâåíñòâî (ab < aba, íî ab > aba )À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 2 / 16

Ñëîâà ËèíäîíàÑëîâîì Ëèíäîíà íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ïðèìèòèâíîå ñëîâî, ìèíèìàëüíîåëåêñèêîãðà�è÷åñêè â ñâîåì êëàññå ñîïðÿæåííîñòè.Ââåäåíû â 1954 ãîäó Ëèíäîíîì è ïðèìåðíî â òîæå âðåìÿ Øèðøîâûì (îáàáûëè àëãåáðàèñòàìè)Ñëîâà Ëèíäîíà � ¾êàíîíè÷åñêèå ïðåäñòàâèòåëè¿ êëàññîâ ñîïðÿæåííîñòèÂ êëàññå ñëîâà 101100 ñëîâî Ëèíäîíà � 001011 (åñëè 0 < 1; íî 110010 åñëè1 < 0)Áèíàðíûå ñëîâà Ëèíäîíà äëèíû 6 4 (ïðè 0 < 1): 0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 3 / 16

Ñëîâà ËèíäîíàÑëîâîì Ëèíäîíà íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ïðèìèòèâíîå ñëîâî, ìèíèìàëüíîåëåêñèêîãðà�è÷åñêè â ñâîåì êëàññå ñîïðÿæåííîñòè.Ââåäåíû â 1954 ãîäó Ëèíäîíîì è ïðèìåðíî â òîæå âðåìÿ Øèðøîâûì (îáàáûëè àëãåáðàèñòàìè)Ñëîâà Ëèíäîíà � ¾êàíîíè÷åñêèå ïðåäñòàâèòåëè¿ êëàññîâ ñîïðÿæåííîñòèÂ êëàññå ñëîâà 101100 ñëîâî Ëèíäîíà � 001011 (åñëè 0 < 1; íî 110010 åñëè1 < 0)Áèíàðíûå ñëîâà Ëèíäîíà äëèíû 6 4 (ïðè 0 < 1): 0, 1, 01, 001, 011, 0001, 0011Ëåììà îá àïåðèîäè÷íîñòèÑëîâî Ëèíäîíà íå èìååò ïåðèîäîâ, ìåíüøèõ ñâîåé äëèíû.Ïóñòü ñëîâî w [1..n] èìååò ïåðèîä p < n. Òîãäà w [1..n−p] = w [p+1..n] = u. Èìååìw = uv = zu äëÿ íåêîòîðûõ íåïóñòûõ ñëîâ v , z . Ïî ñâîéñòâó ñîïðÿæåííîñòèw = (xy)nx , ãäå x 6= λ è n > 1. Åñëè y = λ, òî w íå ïðèìèòèâíî, ò.å. íå ñëîâîËèíäîíà. Åñëè y 6= λ, ñðàâíèì xy è yx . Åñëè îíè ðàâíû, òî ïî ñâîéñòâóêîììóòèðîâàíèÿ w íå ïðèìèòèâíî. Åñëè xy < yx , òî x(xy)n < x(yx)n = w , ò.å. w íåñëîâî Ëèíäîíà; íàêîíåö, åñëè Åñëè yx < xy , òî (yx)nx < (xy)nx = w , ò.å. w îïÿòü íåñëîâî Ëèíäîíà.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 3 / 16

Òåîðåìà î êàíîíè÷åñêîì ðàçáèåíèèÑëåäóþùàÿ îñíîâíàÿ òåîðåìà âïåðâûå óïîìèíàåòñÿ ó Øèðøîâà â êîíòåêñòå¾î÷åâèäíî, ÷òî...¿.Åå äîêàçàòåëüñòâà Øèðøîâ íèãäå íå ïðèâåë, ïîýòîìó íå ñîâñåì î÷åâèäíî, ÷òîèìåííî åìó áûëî î÷åâèäíî.Òåîðåìà (×åíü-Ôîêñ-Ëèíäîí 1958)Âñÿêîå ñëîâî íàä óïîðÿäî÷åííûì àë�àâèòîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü, ïðè÷åìåäèíñòâåííûì îáðàçîì, â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ñëîâ Ëèíäîíà, âçÿòûõ âíåâîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 4 / 16

Òåîðåìà î êàíîíè÷åñêîì ðàçáèåíèèÑëåäóþùàÿ îñíîâíàÿ òåîðåìà âïåðâûå óïîìèíàåòñÿ ó Øèðøîâà â êîíòåêñòå¾î÷åâèäíî, ÷òî...¿.Åå äîêàçàòåëüñòâà Øèðøîâ íèãäå íå ïðèâåë, ïîýòîìó íå ñîâñåì î÷åâèäíî, ÷òîèìåííî åìó áûëî î÷åâèäíî.Òåîðåìà (×åíü-Ôîêñ-Ëèíäîí 1958)Âñÿêîå ñëîâî íàä óïîðÿäî÷åííûì àë�àâèòîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü, ïðè÷åìåäèíñòâåííûì îáðàçîì, â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ñëîâ Ëèíäîíà, âçÿòûõ âíåâîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå.Ïðèìåð:ðàçëîæåíèå ñëîâà w = 110100101 âûãëÿäèò êàê 1 · 1 · 01 · 00101.Óïîìÿíóòîå â òåîðåìå ïðåäñòàâëåíèå ñëîâ ïðèíÿòî íàçûâàòü êàíîíè÷åñêèìðàçáèåíèåì èëè ðàçáèåíèåì Ëèíäîíà.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 4 / 16

Ëåììà î ñó��èêñàõËåììà î ñó��èêñàõÏðèìèòèâíîå ñëîâî ÿâëÿåòñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíîëåêñèêîãðà�è÷åñêè ìåíüøå ëþáîãî ñâîåãî íåïóñòîãî ñó��èêñà.


Ëåììà î ñó��èêñàõËåììà î ñó��èêñàõÏðèìèòèâíîå ñëîâî ÿâëÿåòñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíîëåêñèêîãðà�è÷åñêè ìåíüøå ëþáîãî ñâîåãî íåïóñòîãî ñó��èêñà.⇐: Åñëè y � ñó��èêñ w , òî w = xy äëÿ íåêîòîðîãî x . Ïîñêîëüêó w < y , à y < yx ,èìååì w < yx . Ïåðåáèðàÿ ñó��èêñû y , ïîëó÷èì, ÷òî w ìåíüøå âñåõ ñîïðÿæåííûõ,ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà.


Ëåììà î ñó��èêñàõËåììà î ñó��èêñàõÏðèìèòèâíîå ñëîâî ÿâëÿåòñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíîëåêñèêîãðà�è÷åñêè ìåíüøå ëþáîãî ñâîåãî íåïóñòîãî ñó��èêñà.⇐: Åñëè y � ñó��èêñ w , òî w = xy äëÿ íåêîòîðîãî x . Ïîñêîëüêó w < y , à y < yx ,èìååì w < yx . Ïåðåáèðàÿ ñó��èêñû y , ïîëó÷èì, ÷òî w ìåíüøå âñåõ ñîïðÿæåííûõ,ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà.⇒: Îò ïðîòèâíîãî: w � ñëîâî Ëèíäîíà, w = xy , y 6= λ è w > y . Òàê êàê y íåÿâëÿåòñÿ ïðå�èêñîì w (èíà÷å |w | − |y | áûëî áû ïåðèîäîì w , ïðîòèâîðå÷à ëåììå îáàïåðèîäè÷íîñòè), íåðàâåíñòâî y < w âûïîëíåíî ïî ïðàâèëó 2: y [1..i ] = w [1..i ],y [i+1] < w [1..i+1]. Íî òîãäà ïî ýòîìó æå ïðàâèëó yx < w , ïðîòèâîðå÷èå ñîïðåäåëåíèåì ñëîâ Ëèíäîíà.


Ëåììà î ïðîèçâåäåíèèËåììà î ïðîèçâåäåíèèÅñëè u è w � ñëîâà Ëèíäîíà è u < w , òî uw òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà èu < uw < w .


Ëåììà î ïðîèçâåäåíèèËåììà î ïðîèçâåäåíèèÅñëè u è w � ñëîâà Ëèíäîíà è u < w , òî uw òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà èu < uw < w .Íåðàâåíñòâî u < uw î÷åâèäíî, äîêàæåì, ÷òî uw < w . Åñëè u < w ïî ïðàâèëó 1, òîw = uy è w < y ïî ëåììå î ñó��èêñàõ. Òîãäà uw < uy = w . Åñëè æå u < w ïîïðàâèëó 2, òî ê ýòîìó íåðàâåíñòâó ìîæíî äîïèñàòü ñïðàâà ÷òî óãîäíî; â ÷àñòíîñòèuw < w .À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 6 / 16

Ëåììà î ïðîèçâåäåíèèËåììà î ïðîèçâåäåíèèÅñëè u è w � ñëîâà Ëèíäîíà è u < w , òî uw òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà èu < uw < w .Íåðàâåíñòâî u < uw î÷åâèäíî, äîêàæåì, ÷òî uw < w . Åñëè u < w ïî ïðàâèëó 1, òîw = uy è w < y ïî ëåììå î ñó��èêñàõ. Òîãäà uw < uy = w . Åñëè æå u < w ïîïðàâèëó 2, òî ê ýòîìó íåðàâåíñòâó ìîæíî äîïèñàòü ñïðàâà ÷òî óãîäíî; â ÷àñòíîñòèuw < w .Äîêàæåì, ÷òî uw � ñëîâî Ëèíäîíà. Ïóñòü y � ñîáñòâåííûé ñó��èêñ uw . Åñëè yÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ñó��èêñîì w , òî ïî ëåììå î ñó��èêñàõ w < v , îòêóäàuw < v . Åñëè æå y = xw , òî x � ñó��èêñ u, ò. å. u < x ïî ëåììå î ñó��èêñàõ; òàêêàê ýòî ¾<¿ � ïî ïðàâèëó 2, uw < xw = v . Â èòîãå uw ìåíüøå ëþáîãî ñâîåãîíåïóñòîãî ñó��èêñà, à çíà÷èò, ÿâëÿåòñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà ïî ëåììå î ñó��èêñàõ.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 6 / 16

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î êàíîíè÷åñêîì ðàçáèåíèèÑóùåñòâîâàíèå. Ïîñêîëüêó âñå ñëîâà äëèíû 1 ÿâëÿþòñÿ ñëîâàìè Ëèíäîíà, âñÿêîåñëîâî � ïðîèçâåäåíèå ñëîâ Ëèíäîíà. Ïóñòü k � ìèíèìàëüíîå ÷èñëî ñîìíîæèòåëåéâ ðàçëîæåíèè ñëîâà w â ïðîèçâåäåíèå ñëîâ Ëèíäîíà, u1, . . . , uk � ñëîâà Ëèíäîíà èw = u1 · · · uk . Òîãäà åñëè äëÿ íåêîòîðîãî i âûïîëíÿåòñÿ ui < ui+1, òî ïî ëåììå îïðîèçâåäåíèè uiui+1 åñòü ñëîâî Ëèíäîíà, ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëó âûáîðà k. Çíà÷èò,ui > ui+1 äëÿ âñåõ i .


Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î êàíîíè÷åñêîì ðàçáèåíèèÑóùåñòâîâàíèå. Ïîñêîëüêó âñå ñëîâà äëèíû 1 ÿâëÿþòñÿ ñëîâàìè Ëèíäîíà, âñÿêîåñëîâî � ïðîèçâåäåíèå ñëîâ Ëèíäîíà. Ïóñòü k � ìèíèìàëüíîå ÷èñëî ñîìíîæèòåëåéâ ðàçëîæåíèè ñëîâà w â ïðîèçâåäåíèå ñëîâ Ëèíäîíà, u1, . . . , uk � ñëîâà Ëèíäîíà èw = u1 · · · uk . Òîãäà åñëè äëÿ íåêîòîðîãî i âûïîëíÿåòñÿ ui < ui+1, òî ïî ëåììå îïðîèçâåäåíèè uiui+1 åñòü ñëîâî Ëèíäîíà, ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëó âûáîðà k. Çíà÷èò,ui > ui+1 äëÿ âñåõ i .Åäèíñòâåííîñòü. Îò ïðîòèâíîãî: ïóñòü w � ìèíèìàëüíîå ïî äëèíå ñëîâî ñ íååäèíñòâåííûì ðàçëîæåíèåì â ïðîèçâåäåíèå ñëîâ Ëèíäîíà, âçÿòûõ âíåâîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå; w = u1 . . . uk è w = v1 . . . vm � äâà òàêèõ ðàçëîæåíèÿ w .Èç ìèíèìàëüíîñòè w èìååì u1 6= v1 (á.î.î., |u1| > |v1|). Òîãäà u1 = v1 . . . viv ′, ãäåv ′ � ñîáñòâåííûé ïðå�èêñ vi+1. Åñëè v ′ 6= λ, ïîëó÷àåìu1 < v ′

< vi+1 6 v1 < u1,ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè æå v ′ = λ, òî àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåìu1 < vi 6 v1 < u1,ñíîâà ïðîòèâîðå÷èå.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 7 / 16

Ïîñòðîåíèå êàíîíè÷åñêîãî ðàçáèåíèÿÑóùåñòâóåò àëãîðèòì Äþâàëÿ (1983), ïîçâîëÿþùèé ïîñòðîèòü êàíîíè÷åñêîåðàçáèåíèå ñëîâà äëèíû n îíëàéí çà âðåìÿ O(n) è ïàìÿòü O(1). Â åãî îñíîâå ëåæèòËåììà î ïðå�èêñåÅñëè w = u1 · · · uk � êàíîíè÷åñêîå ðàçáèåíèå ñëîâà w , òî u1 � ñàìûé äëèííûéïðå�èêñ w , ÿâëÿþùèéñÿ ñëîâîì Ëèíäîíà.Äîêàçàòåëüñòâî � óïðàæíåíèå.


Ëîêàëüíûé ïåðèîä ñëîâà â òî÷êåÄîêàæåì åùå îäíî �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî ïåðèîäîâ.


Ëîêàëüíûé ïåðèîä ñëîâà â òî÷êåÄîêàæåì åùå îäíî �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî ïåðèîäîâ.Íàì áóäåò óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñëîâà èçîáðàæåííûìè íà îòðåçêå [0, n]äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé òàê, ÷òî i-ÿ áóêâà çàíèìàåò îòðåçîê [i−1, i ]:w = . . .a1 a2 an0 1 2 n−1 nÎïðåäåëåíèå×èñëî p ∈ N íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì ïåðèîäîì ñëîâà w â òî÷êå k, k ∈ N, k < |w |,åñëè ñëîâî w [n1..n2] èìååò ïåðèîä p, ãäå n1 = max{k−p+1, 1}, n2 = min{k+p, |w |}.


Ëîêàëüíûé ïåðèîä ñëîâà â òî÷êåÄîêàæåì åùå îäíî �óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî ïåðèîäîâ.Íàì áóäåò óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñëîâà èçîáðàæåííûìè íà îòðåçêå [0, n]äåéñòâèòåëüíîé ïðÿìîé òàê, ÷òî i-ÿ áóêâà çàíèìàåò îòðåçîê [i−1, i ]:w = . . .a1 a2 an0 1 2 n−1 nÎïðåäåëåíèå×èñëî p ∈ N íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì ïåðèîäîì ñëîâà w â òî÷êå k, k ∈ N, k < |w |,åñëè ñëîâî w [n1..n2] èìååò ïåðèîä p, ãäå n1 = max{k−p+1, 1}, n2 = min{k+p, |w |}.Äðóãèìè ñëîâàìè, p åñòü ëîêàëüíûé ïåðèîä w â òî÷êå k, åñëè íàéäåòñÿ ñëîâî zäëèíû p òàêîå, ÷òî w è z2 ¾íàêëàäûâàþòñÿ¿ äðóã íà äðóãà îäíèì èç ñëåäóþùèõ÷åòûðåõ ñïîñîáîâ: zz zzkkà) w =á) w =

zz zzkkâ) w =ã) w =À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 9 / 16

Ìèíèìàëüíûé ëîêàëüíûé ïåðèîä ñëîâà â òî÷êåÌèíèìàëüíûé ëîêàëüíûé ïåðèîä ñëîâà w â òî÷êå k îáîçíà÷èì ÷åðåç per(w , k), àìèíèìàëüíûé ïåðèîä w � ÷åðåç per(w).ÏðèìåðÏóñòü w = ÀÀÕÀÕÀÀÀ. Òîãäà per(w) = 6, à âû÷èñëåíèå ëîêàëüíûõ ïåðèîäîâ äàåòper(w , 1) = 1 , z = À ,per(w , 2) = 5 , z = ÕÀÕÀÀ ,per(w , 3) = 2 , z = ÀÕ ,per(w , 4) = 2 , z = ÕÀ ,per(w , 5) = 6 , z = ÀÀÀÕÀÕ ,per(w , 6) = 1 , z = À ,per(w , 7) = 1 , z = À .


Ìèíèìàëüíûé ëîêàëüíûé ïåðèîä ñëîâà â òî÷êåÌèíèìàëüíûé ëîêàëüíûé ïåðèîä ñëîâà w â òî÷êå k îáîçíà÷èì ÷åðåç per(w , k), àìèíèìàëüíûé ïåðèîä w � ÷åðåç per(w).ÏðèìåðÏóñòü w = ÀÀÕÀÕÀÀÀ. Òîãäà per(w) = 6, à âû÷èñëåíèå ëîêàëüíûõ ïåðèîäîâ äàåòper(w , 1) = 1 , z = À ,per(w , 2) = 5 , z = ÕÀÕÀÀ ,per(w , 3) = 2 , z = ÀÕ ,per(w , 4) = 2 , z = ÕÀ ,per(w , 5) = 6 , z = ÀÀÀÕÀÕ ,per(w , 6) = 1 , z = À ,per(w , 7) = 1 , z = À .Ñëó÷àåí ëè òîò �àêò, ÷òî max{per(w , k)} = per(w)?À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 10 / 16

Òåîðåìà î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèèÂñÿêèé ïåðèîä ñëîâà ÿâëÿåòñÿ åãî ëîêàëüíûì ïåðèîäîì â ëþáîé òî÷êå, îòêóäàper(w , k) 6 per(w) äëÿ ëþáîãî k.ÎïðåäåëåíèåÊðèòè÷åñêèì ðàçáèåíèåì ñëîâà w íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå w â âèäå w = uvòàêîì, ÷òî u, v 6= λ è per(w , |u|) = per(w).Êðèòè÷åñêîå ðàçáèåíèå îòìå÷àåò òî÷êó, â êîòîðîé ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà ñëîâà(ñ òî÷êè çðåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ñâîéñòâ) íàèáîëåå òî÷íî îòðàæàåò åãîãëîáàëüíóþ ñòðóêòóðó.Ñëîâî èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà èìååò ðîâíî îäíî êðèòè÷åñêîå ðàçáèåíèå:w = ÀÀÕÀÕ · ÀÀÀ.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 11 / 16

Òåîðåìà î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèèÂñÿêèé ïåðèîä ñëîâà ÿâëÿåòñÿ åãî ëîêàëüíûì ïåðèîäîì â ëþáîé òî÷êå, îòêóäàper(w , k) 6 per(w) äëÿ ëþáîãî k.ÎïðåäåëåíèåÊðèòè÷åñêèì ðàçáèåíèåì ñëîâà w íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå w â âèäå w = uvòàêîì, ÷òî u, v 6= λ è per(w , |u|) = per(w).Êðèòè÷åñêîå ðàçáèåíèå îòìå÷àåò òî÷êó, â êîòîðîé ëîêàëüíàÿ ñòðóêòóðà ñëîâà(ñ òî÷êè çðåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ñâîéñòâ) íàèáîëåå òî÷íî îòðàæàåò åãîãëîáàëüíóþ ñòðóêòóðó.Ñëîâî èç ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà èìååò ðîâíî îäíî êðèòè÷åñêîå ðàçáèåíèå:w = ÀÀÕÀÕ · ÀÀÀ.Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ãëàñèò, ÷òî êàæäîå ñëîâî îáëàäàåò êðèòè÷åñêèì ðàçáèåíèåì,ïðè÷åì òàêèì, ÷òî òî÷êà k ðàñïîëîæåíà äîñòàòî÷íî áëèçêî ê íà÷àëó ñëîâà(ðàñïîëîæåíèå â èëè ã), à èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ñëåäóåò ý��åêòèâíûéàëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ýòîãî ðàçáèåíèÿ.Òåîðåìà î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèè (×åçàðè, Âèíñåíò, Äþâàëü, 1979)Âñÿêîå ñëîâî w ñ ìèíèìàëüíûì ïåðèîäîì p > 1 îáëàäàåò êðèòè÷åñêèì ðàçáèåíèåìw = uv ñ óñëîâèåì |u| < p.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 11 / 16

Òåîðåìà î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèè: ëåêñèêîãðà�è÷åñêèå ïîðÿäêèÏóñòü Σ � ìíîæåñòâî âñåõ áóêâ â w (|Σ| > 2, òàê êàê èíà÷å per(w) = 1 èäîêàçûâàòü íå÷åãî). Îïðåäåëèì íà Σ∗ äâà ëåêñèêîãðà�è÷åñêèõ ïîðÿäêà:âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà Σ; ñîîòâåòñòâóþùèé åìóëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê íà Σ∗ îáîçíà÷èì 6l ;âîçüìåì ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà Σ, îáðàòíûé ïåðâîìó; ñîîòâåòñòâóþùèéëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê íà Σ∗ îáîçíà÷èì 6r .À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 12 / 16

Òåîðåìà î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèè: ëåêñèêîãðà�è÷åñêèå ïîðÿäêèÏóñòü Σ � ìíîæåñòâî âñåõ áóêâ â w (|Σ| > 2, òàê êàê èíà÷å per(w) = 1 èäîêàçûâàòü íå÷åãî). Îïðåäåëèì íà Σ∗ äâà ëåêñèêîãðà�è÷åñêèõ ïîðÿäêà:âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà Σ; ñîîòâåòñòâóþùèé åìóëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê íà Σ∗ îáîçíà÷èì 6l ;âîçüìåì ëèíåéíûé ïîðÿäîê íà Σ, îáðàòíûé ïåðâîìó; ñîîòâåòñòâóþùèéëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê íà Σ∗ îáîçíà÷èì 6r .Çàìå÷àíèå î ïîðÿäêàõÅñëè u 6l v è u 6r v , òî u � ïðå�èêñ v .Î÷åâèäíî, ÷òî ïðàâèëî 2 èç îïðåäåëåíèÿ ëåêñèêîãðà�è÷åñêîãî ïîðÿäêà ê u è víåïðèìåíèìî.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 12 / 16

Òåîðåìà î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèè: ëåììà î ìàêñèìàëüíîì ñó��èêñåËåììà î ìàêñèìàëüíîì ñó��èêñåÏóñòü w = uv , ãäå v � ìàêñèìàëüíûé â îòíîøåíèè íåêîòîðîãîëåêñèêîãðà�è÷åñêîãî ïîðÿäêà ñó��èêñ ñëîâà w . Òîãäà åñëè ñëîâî x ÿâëÿåòñÿîäíîâðåìåííî ñó��èêñîì u è ïðå�èêñîì v , òî x = λ.


Òåîðåìà î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèè: ëåììà î ìàêñèìàëüíîì ñó��èêñåËåììà î ìàêñèìàëüíîì ñó��èêñåÏóñòü w = uv , ãäå v � ìàêñèìàëüíûé â îòíîøåíèè íåêîòîðîãîëåêñèêîãðà�è÷åñêîãî ïîðÿäêà ñó��èêñ ñëîâà w . Òîãäà åñëè ñëîâî x ÿâëÿåòñÿîäíîâðåìåííî ñó��èêñîì u è ïðå�èêñîì v , òî x = λ.Î÷åâèäíî, ÷òî v 6= λ; åñëè u = λ, òî âñå âûïîëíåíî, ïîýòîìó ñ÷èòàåì u 6= λ.Óêàçàííîå â óñëîâèè âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ñëîâ w , u, v , x èçîáðàæåíî íèæå:x xu v v ′w =Ïóñòü v = xv ′. Òîãäà v ′ � ñó��èêñ w , îòêóäà v > v ′, ò. å. xv ′> v ′. Ñ äðóãîéñòîðîíû, xv ÿâëÿåòñÿ ñó��èêñîì w , îòêóäà xv 6 v èëè xxv ′

6 xv ′. Ïîñëåäíååíåðàâåíñòâî âëå÷åò xv ′6 v ′. Â èòîãå ïîëó÷àåì xv ′ = v ′, ò. å. x = λ.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 13 / 16

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèèÏóñòü v � ìàêñèìàëüíûé ñó��èêñ w â îòíîøåíèè ïîðÿäêà 6l , v ′ � ìàêñèìàëüíûéñó��èêñ w â îòíîøåíèè ïîðÿäêà 6r , w = uv = u′v ′.Ïðèìåð: äëÿ w = ÀÀÕÀÕÀÀÀ, À < Õ, èìååì v = ÕÀÕÀÀÀ, v ′ = ÀÀÀ.Á.î.î. |u| > |u′|. Äîêàæåì, ÷òî w = uv ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì ðàçáèåíèåì.


Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèèÏóñòü v � ìàêñèìàëüíûé ñó��èêñ w â îòíîøåíèè ïîðÿäêà 6l , v ′ � ìàêñèìàëüíûéñó��èêñ w â îòíîøåíèè ïîðÿäêà 6r , w = uv = u′v ′.Ïðèìåð: äëÿ w = ÀÀÕÀÕÀÀÀ, À < Õ, èìååì v = ÕÀÕÀÀÀ, v ′ = ÀÀÀ.Á.î.î. |u| > |u′|. Äîêàæåì, ÷òî w = uv ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì ðàçáèåíèåì.Âíà÷àëå äîêàæåì, ÷òî u 6= λ. Ïóñòü u = λ, ò. å. w = v = v ′. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîw = ax , ãäå a ∈ Σ. Òîãäà x � ñó��èêñ w , îòêóäà x <l v = w , x <r v ′ = w ïî âûáîðóv è v ′. Ïî çàìå÷àíèþ î ïîðÿäêàõ x � ïðå�èêñ w , ò. å. w = xb, b ∈ Σ. Îòñþäàa = w [1] = x [1] = w [2] = x [2] = . . . = w(|w |) = b,ò.å. |Σ| = 1, ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, u 6= λ, à çíà÷èò, w = uv � ðàçáèåíèå.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 14 / 16

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèèÏóñòü v � ìàêñèìàëüíûé ñó��èêñ w â îòíîøåíèè ïîðÿäêà 6l , v ′ � ìàêñèìàëüíûéñó��èêñ w â îòíîøåíèè ïîðÿäêà 6r , w = uv = u′v ′.Ïðèìåð: äëÿ w = ÀÀÕÀÕÀÀÀ, À < Õ, èìååì v = ÕÀÕÀÀÀ, v ′ = ÀÀÀ.Á.î.î. |u| > |u′|. Äîêàæåì, ÷òî w = uv ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì ðàçáèåíèåì.Âíà÷àëå äîêàæåì, ÷òî u 6= λ. Ïóñòü u = λ, ò. å. w = v = v ′. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîw = ax , ãäå a ∈ Σ. Òîãäà x � ñó��èêñ w , îòêóäà x <l v = w , x <r v ′ = w ïî âûáîðóv è v ′. Ïî çàìå÷àíèþ î ïîðÿäêàõ x � ïðå�èêñ w , ò. å. w = xb, b ∈ Σ. Îòñþäàa = w [1] = x [1] = w [2] = x [2] = . . . = w(|w |) = b,ò.å. |Σ| = 1, ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, u 6= λ, à çíà÷èò, w = uv � ðàçáèåíèå.Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêèé ëîêàëüíûé ïåðèîä ñëîâà w â òî÷êå |u| ÿâëÿåòñÿïåðèîäîì w . Òåì ñàìûì áóäåò äîêàçàíî, ÷òî per(w , |u|) = per(w) è êðèòè÷åñêîåðàçáèåíèå íàéäåíî. Ïóñòü p � êàêîé-íèáóäü ëîêàëüíûé ïåðèîä w â òî÷êå |u|;ðàññìîòðèì ñëó÷àè à�ã âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ñëîâ w è z2 (k = |u|; |z | = p). =⇒À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 14 / 16

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèè (ïðîäîëæåíèå)zz zzkkà) w =á) w =

zz zzkkâ) w =ã) w =�à� ïðîòèâîðå÷èò ëåììå î ìàêñèìàëüíîì ñó��èêñå: z ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûìñó��èêñîì u è ïðå�èêñîì v .�á� òàêæå íåâîçìîæåí: v � ïðå�èêñ z , îòêóäà v < zv â ëþáîìëåêñèêîãðà�è÷åñêîì ïîðÿäêå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìàêñèìàëüíîñòè v â ïîðÿäêå6l .â ñëó÷àå �ã�, î÷åâèäíî, p ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .


Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèè (ïðîäîëæåíèå)zz zzkkà) w =á) w =

zz zzkkâ) w =ã) w =�à� ïðîòèâîðå÷èò ëåììå î ìàêñèìàëüíîì ñó��èêñå: z ÿâëÿåòñÿ íåïóñòûìñó��èêñîì u è ïðå�èêñîì v .�á� òàêæå íåâîçìîæåí: v � ïðå�èêñ z , îòêóäà v < zv â ëþáîìëåêñèêîãðà�è÷åñêîì ïîðÿäêå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ìàêñèìàëüíîñòè v â ïîðÿäêå6l .â ñëó÷àå �ã�, î÷åâèäíî, p ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì w .Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî w èìååò ïåðèîä p â ñëó÷àå �â�. Ïîñêîëüêó |u| > |u′|,çàïèøåì u = u′z ′; òîãäà z ′ � ñó��èêñ z è v ′ = z ′v . Ïîëîæèì, êðîìå òîãî, v = zz ′′.Òîãäà êàðòèíêó äëÿ ñëó÷àÿ �â� ìîæíî óòî÷íèòü =⇒À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 15 / 16

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î êðèòè÷åñêîì ðàçáèåíèè (îêîí÷àíèå)v ′

z zu vu′ z ′ z ′ z ′′w =Ïî âûáîðó v èìååì z ′′ <l v , à ïî âûáîðó v ′ ïîëó÷àåì z ′z ′′ <r v ′ = z ′v , îòêóäàz ′′ <r v . Òîãäà ïî çàìå÷àíèþ î ïîðÿäêàõ z ′′ åñòü ïðå�èêñ v , ò. å. v = z ′′s äëÿíåêîòîðîãî s.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 16 / 16


z zu vu′ z ′ z ′ z ′′w =Ïî âûáîðó v èìååì z ′′ <l v , à ïî âûáîðó v ′ ïîëó÷àåì z ′z ′′ <r v ′ = z ′v , îòêóäàz ′′ <r v . Òîãäà ïî çàìå÷àíèþ î ïîðÿäêàõ z ′′ åñòü ïðå�èêñ v , ò. å. v = z ′′s äëÿíåêîòîðîãî s.Èòàê, v = zz ′′ = z ′′s è ìîæíî ïðèìåíèòü âîéñòâî ñîïðÿæ¼ííîñòè: ñóùåñòâóþòòàêèå x , y ∈ Σ+, n > 0, ÷òî z = xy , s = yx , z ′′ = (xy)nx . Òîãäà ñëîâîv = zz ′′ = (xy)n+1x èìååò ïåðèîä |xy | = |z | = p. Ïîñêîëüêó è ïðå�èêñ uz , èñó��èêñ v ñëîâà w èìåþò ïåðèîä p, ïî çàìå÷àíèþ î ïðîäîëæåíèè ïåðèîäà ñàìî wèìååò ïåðèîä p, ÷òî è òðåáîâàëîñü.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 16 / 16


z zu vu′ z ′ z ′ z ′′w =Ïî âûáîðó v èìååì z ′′ <l v , à ïî âûáîðó v ′ ïîëó÷àåì z ′z ′′ <r v ′ = z ′v , îòêóäàz ′′ <r v . Òîãäà ïî çàìå÷àíèþ î ïîðÿäêàõ z ′′ åñòü ïðå�èêñ v , ò. å. v = z ′′s äëÿíåêîòîðîãî s.Èòàê, v = zz ′′ = z ′′s è ìîæíî ïðèìåíèòü âîéñòâî ñîïðÿæ¼ííîñòè: ñóùåñòâóþòòàêèå x , y ∈ Σ+, n > 0, ÷òî z = xy , s = yx , z ′′ = (xy)nx . Òîãäà ñëîâîv = zz ′′ = (xy)n+1x èìååò ïåðèîä |xy | = |z | = p. Ïîñêîëüêó è ïðå�èêñ uz , èñó��èêñ v ñëîâà w èìåþò ïåðèîä p, ïî çàìå÷àíèþ î ïðîäîëæåíèè ïåðèîäà ñàìî wèìååò ïåðèîä p, ÷òî è òðåáîâàëîñü.Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ðàçáèåíèå ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì. Êðîìåòîãî, ìû äîêàçàëè, ÷òî åñëè p � ëîêàëüíûé ïåðèîä w â òî÷êå |u|, òî èìååò ìåñòîîäèí èç ñëó÷àåâ ¾â¿, ¾ã¿, îòêóäà |u| < p.À. Ì. Øóð (ÈÌÊÍ ÓðÔÓ) Ëåêñèêîãðà�è÷åñêèé ïîðÿäîê è ðàçáèåíèÿ 19 ìàðòà 2015 ã. 16 / 16

Комбинаторика слов и ее приложения, весна 2015: Лекция 3

Documents