МатеМатикаg g место «число 56 делится на 7 без...

1

Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский

МатеМатикаУчебное пособие для 5 класса

учреждений общего среднего образования с русским языком обучения

В 2 частях

Часть 2

Допущено Министерством образования

Республики Беларусь

Минск«Адукацыя і выхаванне»

2013

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е

Правообладатель "Адукацыя i выхаванне"

2

УДК 51(075.3=161.1)ББК 22.1я721 Л27

Перевод с белорусского языка Л. В. Латотиной

Р е ц е н з е н т: старший преподаватель кафедры естественно-научных дисциплин и информационных технологий государственного учреждения образования «Минский областной институт развития образования» В. В. Казаков

Латотин, Л. А.Математика : учеб. пособие для 5-го кл. учреж-

дений общ. сред. образования с рус. яз. обучения. В 2 ч. Ч. 2 / Л. А. Латотин, Б. Д. Чеботаревский; пер. с белорус. яз. Л. В. Латотиной. — Минск : Аду-кацыя и выхаванне, 2013. — 192 с. : ил.

ISBN 978-985-471-579-7.

Л27

УДК 51(075.3=161.1) ББК 22.1я721

ISBN 978-985-471-579-7 (ч. 2)ISBN 978-985-471-578-0

© Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2001© Латотин Л. А., Чеботаревский Б. Д., 2013, с изменениями© Латотина Л. В., перевод на русский язык, 2013© Оформление. РУП «Издательство “Адукацыя i выхаванне”», 2013

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


3

Дорогие девочки и мальчики!

В первой части вы изучали натуральные числа, научились называть их на обычном языке и язы-ке десятичной системы счисления, выполнять над ними четыре арифметических действия — сло-жение, вычитание, умножение и деление. В этой части учебного пособия вы будете изучать но- вые — дробные — числа. Вы научитесь называть и записывать такие числа, выполнять над ними арифметические действия. Дроби используются человечеством уже более четырёх тысячелетий. Они вместе с натуральными числами позволяют решать новые классы задач, возникающих в тех или иных жизненных ситуациях.

Каждый из трёх разделов этой части состоит из отдельных параграфов. Параграф начинается с обсуждения вопроса, обозначенного в названии. Чтобы вы могли проверить себя, после объясни-тельного текста приводятся контрольные вопро-

сы. Они отмечены знаком . Если вы не можете ответить на какой-либо вопрос, поищите ответ на него с помощью объяснительного текста.

Задачи, идущие после контрольных вопросов, разделены на три группы.

Задачи из первой группы — это в основном тренировочные упражнения на обсуждаемую в со-ответствующем параграфе тему.

Во второй группе помещены разнообразные задания, при выполнении которых нужно при-

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


4

менять то, чему вы уже научились. Здесь поме-щено много текстовых задач. К некоторым из них даются пояснения о том, как их решать, и показывается, как можно оформить записи при их решении в тетради. При решении текстовых задач полезно обратиться к рисункам и схемам. Они помогут сделать условие задачи наглядным и подскажут путь к получению ответов на постав-ленные вопросы.

Задачи третьей группы чаще всего являются творческими. Они не требуют дополнительных знаний — успех здесь сопутствует тем, кто не по-боится «провести разведку боем».

В некоторых задачах вы найдёте интересные сведения из истории, географии, биологии. Бла-годаря таким задачам вы научитесь применять математику в различных жизненных ситуациях. Возможно, это подтолкнёт вас обратиться к дру-гим книгам, чтобы расширить свои знания о том, с чем вы встретились в задаче.

Желаем вам успехов!Авторы

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


5

III Натуральные числа:делимость

раздел

17. Простые и составные числаБудем делить число 481 на число 13 и на число 14

(рис. 176). Видим, что число 481 разделилось на 13 до конца и получилось частное 37, при другом делении после второго шага деления осталось чис-ло 5. Дальнейшее деление невозможно, так как 5 оставшихся единиц меньше делителя 14. Число 5 называют остатком от деления числа 481 на число 14. Числа 481 и 14, как и раньше, называ-ют делимым и делителем соответственно, а число 34 — неполным частным. Если при делении по-лучается ненулевой остаток, говорят о делении с остатком, если нулевой — о делении без остатка, или делении нацело.

Разделив число 481 на 14, мы нашли, что в числе 481 содержится 34 раза по 14 и ещё 5. Зна-чит, 481 = 14 · 34 + 5. Результат деления можно записать и так:

481 : 14 = 34 (ост. 5).

Рис. 176

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


6

При делении с остатком остаток меньше дели-теля, а делимое равно произведению делителя и частного, увеличенному на остаток.

Разделить с остатком натуральное число a на натуральное число b означает найти таких два числа q и r, что a = bq + r, причём r < b (рис. 177).

Число 56 делится на 7 без остатка, так как 56 = 7 · 8. Вместо «число 56 делится на 7 без остатка» гово-рят короче: «число 56 делится на 7», или «число 56 кратно 7», или «число 7 есть делитель числа 56» (рис. 178).

Не нужно путать высказывание «a делится на b» и задание «a разделить на b». Например, высказы- вание «42 делится на 5» вы оцените как ложное, а если потребуют «42 разделить на 5», вы назо-вёте неполное частное 8 и остаток 2. Высказыва-ние «42 делится на 6» вы оцените как истинное,

Рис. 177

Рис. 178

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


7

а выполняя задание «42 разделить на 6», вы на-зовёте частное 7.

У натуральных чисел может быть разное коли-чество делителей (рис. 179).

Число 36 имеет 9 делителей — числа 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Можно назвать число с любым количеством делителей.

Привлекают к себе внимание числа, которые делятся только на число 1 и на себя, т. е. имеют только два делителя. Это числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и другие.

Натуральное число, которое имеет точно два различных делителя, называют простым. Нату-ральное число, имеющее больше двух различных делителей, называют составным.

Числа 2, 3, 5, 7 — простые.Число 15 составное, так как оно делится не

только на 1 и 15, но и на 3.Число 1 не относят ни к простым, ни к составным

числам, так как оно имеет только один делитель.Число 2 — единственное чётное простое число.

Все остальные чётные числа составные, так как для любого такого числа можно указать три раз-личных делителя: 1, 2 и само это число. Значит, все чётные числа, большие 2, — составные.

Выяснить для большого числа, простое оно или составное, не так легко. Например, число 26 573 — простое, но чтобы убедиться в этом, нужно прове-рить, что оно не делится ни на одно меньшее число.

Рис. 179

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


8

Чтобы не терять напрасно время на эту однообразную работу, поль-зуются рядом простых чисел, в котором простые числа, начиная с числа 2, записаны по возраста-нию. Первых 549 простых чисел приведены в таблице, помещён-ной в конце учебного пособия.

Таблица простых чисел позво-ляет легко установить, простое данное число или составное:

нужно только посмотреть, помещено ли это число в таблицу. Например, число 3331 есть в таблице, значит, оно простое. А вот числа 3017 в таблице нет: после простого числа 3011 сразу идёт число 3019. Значит, число 3017 составное.

А что делать, если проверяемое число выходит за пределы данной таблицы простых чисел? Здесь может помочь ЭВМ.

Древнегреческий математик Евклид (рис. 180) доказал, что простых чисел бесконечно много, а значит, наибольшего простого числа не существу- ет. Какое бы большое простое число мы ни взяли, можно будет назвать ещё большее простое число.

1. Что означает требование Разделите с остатком на-туральное число a на натуральное число b?2. Как называют при делении с остатком компоненты и результат деления?3. Может ли остаток быть больше делителя; равным делителю?4. Как проверить правильность выполнения деления с остатком?5. Как можно переформулировать утверждение Число a делится на число b?6. Чем отличается утверждение Число a делится на число b от задания Число a разделить на число b?

Рис. 180

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


9

7. Какое натуральное число называют простым и какое составным?8. Что такое ряд простых чисел и каким числом он на-чинается?9. Какое свойство ряда простых чисел установил Ев-клид?

455. Результат деления поровну 20 конфет (рис. 181, а) между тремя детьми показан на ри-сунке 181, б. Отразите это двумя видами записи.

456. В классе 32 ученика. Они выстроились в шеренги по 7 человек. Определите, сколько по-лучилось полных шеренг и сколько человек в не-полной шеренге.

457. Проверьте, правильно ли выполнено де-ление с остатком. Назовите делимое, делитель, неполное частное, остаток:

а) 3125 = 56 · 55 + 45;б) 2466 = 78 · 31 + 48;в) 36 071 = 36 · 998 + 143; г) 15 700 = 39 · 393 + 373;д) 98 613 = 231 · 425 + 430;е) 159 000 = 706 · 225 + 150;ж) 72 004 = 204 · 351 + 400;з) 602 160 = 771 · 780 + 780.

а б

Рис. 181

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


10

458. Найдите недостающие числа в столбцах таблицы:

Делимое 5327 400 708 9499 5600

Делитель 219 59 2007 678 7809

Частное 207 74 773

Остаток 41 27 0

а) б) в) г) д) е)

459. Разделите с остатком:

а) 37 : 5; д) 101 : 11; и) 69 941 : 349;б) 59 : 7; е) 1999 : 41; к) 36 877 : 617;в) 97 : 7; ж) 5171 : 97; л) 138 647 : 487;г) 317 : 13; з) 5437 : 101; м) 173 629 : 859.

460. Найдите такие значения переменных, при которых истинно утверждение:

а) 42 : 10 = a (ост. b);б) x : 12 = 5 (ост. 11);в) 110 : 16 = m (ост. n);г) 456 : y = 9 (ост. 6);д) z : 111 = 9 (ост. 0);е) 0 : 789 = r (ост. s);ж) c : 42 = 18 (ост. 16);з) 30 : u = 7 (ост. u – 2);и) 88 : 13 = v (ост. v + 4).

461. а) Делимое равно 2525, делитель — 20. Найдите неполное частное и остаток.б) Делимое равно 2525, неполное частное — 126. Найдите делитель и остаток.в) При делении числа 2236 на некоторое число получили остаток 66. Назовите возможные дели-

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


11

тели и соответствующие им неполные частные. Сколько решений имеет задача?г) При делении некоторого числа на 5 получили неполное частное 31. Назовите возможные остат-ки и соответствующие им делимые.д) При делении некоторого числа на 7 получили остаток 3. Приведите примеры возможных не-полных частных и соответствующих им делимых. Сколько решений имеет задача?е) При делении некоторого числа на другое число получили неполное частное 31 и остаток 30. При-ведите примеры делителей и соответствующих им делимых. Сколько решений имеет задача?

462. Из куска ткани длиной 50 м и шириной 1 м 40 см шьют одинаковые костюмы, на каждый из которых расходуется 2 м 90 см. Сколько будет сшито костюмов и какой кусок ткани останется? Какова площадь куска ткани, расходуемой на один костюм?

463. Выполните деление с остатком и ответ за-пишите равенством a = bq + r:

а) 2004 на 100; г) 36 587 на 83;б) 22 504 на 12; д) 3 105 009 на 901;в) 7989 на 98; е) 8 530 412 на 321.

464. Определите:а) сколько понедельников может быть на протя-жении года;б) сколько понедельников в текущем году; сколь-ко пятниц;в) какой день недели в текущем году встретится 53 раза.

465. Учитывая, что 1 июня 2019 года — суббо-та, определите, каким днём недели будет:

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


12

а) 8 июня; д) 27 июня;б) 10 июня; е) 30 июня;в) 16 июня; ж) 2 июля;г) 21 июня; з) 31 июля.

466. Докажите без использования таблицы про-стых чисел, что число составное (рис. 182):

а) 33; в) 93; д) 377;б) 54; г) 315; е) 1020.

467. Докажите без использования таблицы про-стых чисел, что число простое (рис. 183):

а) 3; б) 13; в) 23; г) 31.

468. Доказано, что если число составное, то у него есть простой делитель, квадрат которого не превосходит это число. Если же такого делителя нет, то это число простое.

Выясните, пользуясь этим, простое или состав-ное число (рис. 184):

а) 19; в) 97; д) 229; ж) 217;б) 57; г) 147; е) 243; з) 219.

Рис. 182

Рис. 183

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


13

Например, для числа 17 нужно убедиться, что это число не делится ни на 2, ни на 3. Делимость на 5 проверять уже не нужно, так как 52 = 25, а это больше 17.

469. Используя таблицу простых чисел, устано-вите, простое или составное число:

а) 129; в) 1049; д) 1947;б) 163; г) 1937; е) 2841.

470. Из чисел 1, 2, 5, 9, 21, 35, 39, 41, 45, 49 выберите:

а) простые числа; б) составные числа.

471. Определите, в каком промежутке простых чисел больше и на сколько:

а) от 100 до 200 или от 200 до 300;б) от 400 до 500 или от 1400 до 1500.

472. Используя таблицу простых чисел, най-дите:

а) 3 последовательных составных числа;б) 5 последовательных составных чисел.

473. Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны есть прос- тое число?

Рис. 184

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


14

474. Составное число можно представить произ-ведением двух других чисел, не равных 1, например, 18 = 2 · 9. Проверьте, что данное число составное, и представьте его произведением двух чисел:

а) 21; в) 450; д) 441;б) 32; г) 125; е) 133.

475. а) Картофель рассыпали в пакеты по 5 кг и 3 кг. Получилось 24 пакета. При этом масса всех пятикилограммовых пакетов такая же, как и всех трёхкилограммовых. Найдите количество тех и других пакетов.

Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 1).

Обратим внимание на то, что масса пяти па-кетов по 3 кг равна 3 кг · 5, т. е. 15 кг. Такую же массу имеют и три пакета по 5 кг, так как 5 кг · 3 = 15 кг. Вместе эти количества состав-ляют 5 + 3, т. е. 8 пакетов. А по условию всего пакетов 24, т. е. в 24 : 8, или в 3 раза больше. Значит, пакетов по 3 кг имеется 5 · 3, т. е. 15, а пакетов по 5 кг — 3 · 3, т. е. 9.

б) Картофель рассыпали в 18 меньших и 12 боль- ших пакетов так, что масса всех меньших паке-тов такая же, как и всех больших. Найдите массу большего и массу меньшего пакета, учитывая, что вместе эти массы составляют 10 кг.

476. а) С первого поля, площадь которого равна 70 га, собрали такой же урожай, как и со второго поля, площадь которого составляет 72 га. Найдите урожайности первого и второго полей, учитывая, что они вместе составляют 71 ц/га.

б) Урожайность первого поля составила 45 ц/га, а урожайность второго — 35 ц/га. Найди-

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


15

те площадь первого и площадь второго полей, учитывая, что вместе эти площади составляют 144 га и то, что с обоих полей собрали одинако-вые урожаи.

—————

477. От Мяделя до Молодечно через Вилейку 67 км, причём путь от Мяделя до Вилейки на 23 км длиннее пути от Вилейки до Молодечно. Найдите пути от Вилейки до Мяделя и до Молодечно.

478. Вычислите:

а) 23 040 + 197 · 451:41 – 2208;б) 191 · 67 + 16 999 : 89 – 7999;в) 139 049 : 211 · 73 + 1893 – 49 957;г) 6782 · (2034 : 678) – 2030 · 678.

479. Решите уравнение:

а) 976x + 4332 = 34 588;б) 709 · (z – 4909) = 22 542 655;в) 4 897 651 – (v – 987 652) = 4 860 607;г) (567 897 – t) · 6001 – 311 619 928 = 0.

480. В полдень от пристани отплыл теплоход. Через 3 ч от той же пристани вслед за теплоходом отплыл катер. Когда катер догонит теплоход, если его скорость равна 55 км/ч, а скорость теплохода — 25 км/ч? На каком расстоянии от пристани будут они в этот момент?

481. По плану 18 рабочих должны выполнить работу за 45 дней. Сколько понадобится рабочих, чтобы выполнить эту работу за 30 дней?

482. В школе 1315 учеников, а классов 41. Най-дётся ли такой класс, в котором не менее 33 учени- ков?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


16

483. Из 3 кг ржаной муки получается 4 кг хле-ба. Сколько килограммов хлеба будет выпечено из 120 кг муки? Сколько муки понадобится для выпечки 220 кг хлеба?

484. Металлический прут длиной 3 м 50 см весит 8 кг 750 г. От него нужно отрезать кусок массой 2 кг. Какой длины должна быть отрезан-ная часть?

485. Из 100 кг пшеницы получается 95 кг пше-ничных хлопьев. Сколько пшеницы было исполь-зовано для получения 2850 кг хлопьев?

486. Объём комнаты 72 м3. Учитывая, что длина комнаты равна 6 м, а высота в 2 раза меньше дли-ны, найдите неизвестные измерения комнаты.

487. Нарочь, Уша, Ошмянка — притоки Ви-лии. Нарочь и Уша имеют одинаковые длины, а длины Ошмянки и Уши состоят из 7 и 5 долей соответственно. Найдите длины этих рек, учиты-вая, что Нарочь короче Ошмянки на 30 км.

488. Мястро и Баторино — озёра Нарочанской группы озёр. Их суммарная площадь составляет 1935 га. Найдите площадь каждого озера, учиты-вая, что площадь Мястро на 685 га больше.

489. Озеро Нарочь занимает площадь на 160 га больше увеличенной в 40 раз площади озера Блед-ное. Найдите площади каждого из этих озёр, если вместе они занимают 8155 га.

490. При посеве гречихи на площади 200 га и пшеницы на площади 240 га было израсходовано вместе 64 т 600 кг семян. Определите нормы вы-сева гречихи и пшеницы, учитывая, что норма высева гречихи в 2 раза меньше.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


17

491. При посеве овса с нормой высева 195 кг/га и ячменя с нормой высева 180 кг/га было израс-ходовано вместе 30 т 870 кг семян. Определите площади, на которых посеяли овёс и ячмень, учи-тывая, что для овса она в 3 раза меньше.

492. Есть два прямоугольных параллелепипеда с одинаковыми основаниями и высотами, рав-ными 10 см и 7 см (рис. 185). Найдите площади оснований параллелепипедов и их объёмы, учитывая, что эти объёмы отличаются на 60 см3.

493. Есть два прямоугольных параллелепипеда с одинаковыми высотами. Площади оснований параллелепипедов равны 35 см2 и 77 см2, а объёмы отличаются на 336 см3 (рис. 186). Найдите:

а) объёмы параллелепипедов;б) измерения параллелепипеда с большим объёмом, учитывая,что измерения основания отличают-ся на 4 см.

* * *

494. Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

495. Как разрезать квадрат на два равных пя-тиугольника; шестиугольника?

496. Сколько есть двузначных чисел, в запи-си каждого из которых встречается хотя бы раз цифра 7?

Рис. 185

Рис. 186

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


18

18. Признаки делимостиКаждое число ряда

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... ,

начиная со второго числа, получено из предыду-щего числа прибавлением числа 2. Поэтому каж-дое такое число получено сложением некоторого количества двоек и, значит, делится на 2.

Число, которое делится на 2, называют чётным числом.

Каждое число ряда

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ... ,

начиная со второго числа, получено из предыду-щего числа прибавлением к единице некоторого количества двоек и, значит, не делится на 2.

Натуральное число, которое не делится на 2, называют нечётным числом.

В натуральном ряду чётные и нечётные числа чередуются (рис. 187).

Узнать о том, делится ли одно число на другое, можно непосредственным делением. Однако для некоторых делителей это делается более просто с помощью соответствующих признаков делимости.

Самый простой из них вы уже знаете — это признак делимости на 10 (рис. 188).

Рис. 187

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


19

Каждое число можно представить суммой пол-ных десятков и единиц:

697 = 69 · 10 + 7; 5786 = 578 · 10 + 6.

Полные десятки можно разделить на 2. Поэто-му, если единицы разделятся на 2, то и всё число разделится на 2. А если при делении единиц на 2 получится ненулевой остаток, то этот остаток будет и при делении на 2 всего числа. Количество единиц выражается однозначным числом, а из та-ких на 2 делятся числа 0, 2, 4, 6, 8 и не делятся числа 1, 3, 5, 7, 9. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечётными. Получили признак делимости на 2 (рис. 189).

Полные десятки можно разделить на 5. Поэто-му, чтобы всё число разделилось на 5, нужно, чтобы на 5 разделились и единицы, количество которых представляется последней цифрой, т. е. однозначным числом, из которых на 5 делятся только 0 и 5. Получили признак делимости на 5 (рис. 190).

Рис. 188

Рис. 189

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


20

Делимость числа на 2, на 5 и на 10 мы опреде-ляем по последней его цифре. Иначе устроены признаки делимости на 9 и на 3.

Возьмём число 237 и представим его суммой разрядных слагаемых:

237 = 200 + 30 + 7.

Из каждой сотни выделим 99 единиц, которые можно разделить на 9. После этого от 2 сотен оста-нутся 2 единицы. Так же из каждого десятка на 9 можно разделить 9 единиц. Поэтому от 2 сотен останутся 2 единицы, а от 3 десятков — 3 едини-цы. Учитывая 7 единиц из разряда единиц, полу-чим, что неразделёнными остаются 2 + 3 + 7 еди-ниц. Если их можно разделить на 9, то и исходное число 237 разделится на 9. Говорят, что 2 + 3 + 7 есть сумма цифр числа 237, хотя, понятно, знаки-цифры не складывают: складывают однозначные числа, записанные этими цифрами. Сумма 2 + 3 + 7 равна 12 и не делится на 9, поэтому и само чис-ло 237 не разделится на 9. Проводя такие же рассуждения для числа 8937, найдём, что нераз-делёнными останутся 8 + 9 + 3 + 7 единиц. Эта сумма равна 27, а число 27 делится на 9, значит, и число 8937 делится на 9. Получили признак делимости на 9 (рис. 191).

Подобными рассуждениями устанавливается признак делимости на 3 (рис. 192).

Рис. 190

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


21

Пример 1. Число 292 677 делится на 3, так как сумма его цифр 2 + 9 + 2 + 6 + 7 + 7 равна 33, а число 33 делится на 3. Число 292 677 не делится на 9, так как сумма его цифр 33 не делится на 9.

Пример 2. Число 462 699 делится на 9, так как сумма его цифр равна 36, а число 36 делится на 9. Число 462 699 делится и на 3.

Пример 3. Установим, делится ли число 992 271 на 3 и на 9 (рис. 193).

Рис. 191

Рис. 192

Рис. 193

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


22

При определении делимости числа на 3 или на 9 признаки делимости могут использоваться не-однократно (рис. 194).

1. Какое натуральное число называют чётным и какое нечётным?2. Как выяснить, делится ли натуральное число a на натуральное число b?3. Сформулируйте признак делимости числа на 10.4. Какие цифры называют чётными; нечётными?5. Сформулируйте признаки делимости числа на 2 и на 5.6. Что такое сумма цифр числа?7. Сформулируйте признаки делимости числа на 3 и на 9.

497. Сформулируйте признак делимости числа на 100 и используйте его для установления того, делится ли на 100 число:

а) 20; в) 2030; д) 200 000;б) 2000; г) 45 700; е) 497.

498. Делением определите, делится ли первое число на второе:

а) 170 на 17; г) 16 459 на 109;б) 234 на 13; д) 87 917 на 2029;в) 948 на 79; е) 20 655 450 на 459.

499. Из чисел 1, 2, 3, 4, 6, 12, 13, 24, 22, 42, 48 выберите:

Рис. 194

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


23

а) те, которые делятся на число 6;б) те, которые делят число 24;в) делители числа 12;г) кратные числа 3.

500. Назовите остаток, который получится при делении на 100 числа:

а) 520; в) 982; д) 6696;б) 79; г) 7701; е) 1740.

501. Назовите остаток, который получится при делении на 5 числа:

а) 9; б) 25; в) 86; г) 853; д) 157.

502. Учитывая, что y — чётное число, опреде-лите, какое — чётное или нечётное — число:

а) y + 1; г) y + 2; ж) y – 96;б) y – 1; д) y + 73; з) y – 73;в) y – 2; е) y + 96; и) y + 291.

503. Без подсчёта по рисунку 195 определите, чётное или нечётное количество учеников пришло на урок.

Рис. 195

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


24

504. Докажите, что число:а) 926 890 делится на 2;б) 26 897 не делится на 5;в) 89 673 не делится на 2;г) 76 545 делится на 5.

505. Учитывая, что звёздочками заменены не-которые цифры, найдите, сколько чётных чисел можно получить из записи:а) 67∗; в) 89∗27; д) 7∗4∗3;б) 89∗6; г) ∗97∗; е) 6∗21∗.

506. Учитывая, что звёздочками заменены не-которые цифры, найдите, сколько нечётных чисел можно получить из записи:а) 73∗; в) 80∗20; д) ∗03∗;б) 62∗7; г) 7∗4∗6; е) 5∗∗3.

507. Напишите ряд чисел, кратных 25. Обрати-те внимание на две последние цифры этого числа. Сформулируйте признак делимости на 25.

508. Запишите все числа из промежутка:а) от 80 до 91, кратные 2;б) от 127 до 139, кратные 5;в) от 78 до 116, кратные 10;г) от 80 до 123, кратные 2 и не кратные 5;д) от 293 до 790, кратные 100;е) от 125 до 5789, кратные 1000.

509. Определите, делится ли на 9 число:а) 792; г) 90 631; ж) 7 564 893;б) 7864; д) 76 318; з) 234 562 895;в) 8532; е) 785 327; и) 808 109.

510. Запишите три натуральных, кратных трём, числа, которые:а) трёхзначные; в) пятизначные;б) четырёхзначные; г) шестизначные.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


25

511. Запишите три натуральных, кратных де-вяти, числа, которые:

а) трёхзначные; в) пятизначные;б) четырёхзначные; г) шестизначные.

512. Выпишите из натурального ряда все чис-ла, кратные девяти, которые принадлежат про-межутку от:

а) 325 до 425; в) 17 090 до 17 230;б) 990 до 1120; г) 23 000 до 23 051.

513. Учитывая, что звёздочки обозначают не-которые цифры, найдите, сколько кратных трём чисел получится из записи:

а) 67∗; в) 89∗21; д) ∗97∗;б) 89∗1; г) 7∗74; е) 6∗21∗.

514. Найдите трёхзначное число, которое на-чинается цифрой:

а) 1, делится на 9, на 5 и на 2;б) 2, делится на 9 и на 5, но не делится на 2;в) 5, делится на 2, на 3 и на 5, но не делится на 9.

515. Запишите все:

а) двузначные числа, кратные 3 и 13;б) двузначные числа, кратные 17 и не кратные 3;в) трёхзначные числа, кратные 97, которые де-лятся на 9.

516. Определите, какие из чисел 144, 2400, 4896, 13 005 делятся на:

а) 2; б) 3; в) 5; г) 9.

517. Найдите:

а) наименьшее пятизначное число, которое делит-ся на 9;б) наибольшее четырёхзначное число, которое де-лится на 4.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


26

518. Найдите, сколько есть трёхзначных чисел, которые содержат по крайней мере одну цифру 7 и делятся на 9.

519. Представьте произведением двух чисел все составные числа из промежутка:

а) от 100 до 110; в) от 463 до 467;б) от 207 до 211; г) от 421 до 425.

520. С поля урожайностью 25 ц/га собрали ячменя на 660 ц больше, чем с поля урожай- ностью 40 ц/га. Найдите площади полей, учиты-вая, что одна из них в 4 раза больше.

Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 1):

Первое поле Второе поле

Урожай На 660 ц больше

Урожайность 25 ц/га 40 ц/га

Площадь В 4 раза больше

Из условия следует, что площадь первого поля в 4 раза больше. Допустим, что площади обоих полей равны площади второго поля, т. е. пло-щадь первого поля уменьшим в 4 раза. Тогда, чтобы с первого поля собрать прежний урожай, его урожайность должна быть увеличена в 4 раза: 25 ц/га · 4 = 100 ц/га. Видим, что при одинако-вых площадях урожайность первого поля была бы на 100 ц/га – 40 ц/га, т. е. на 60 ц/га больше. И это повлекло бы за собой дополнительный урожай в 660 ц. Значит, уменьшенная площадь первого поля и, следовательно, площадь второго поля равна 660 ц : 60 ц/га, т. е. 11 га. Тогда площадь первого поля равна 11 га · 4, т. е. 44 га.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


27

521. С поля площадью 58 га собрали ячменя на 18 ц больше, чем с поля площадью 19 га. Найдите урожайности полей, учитывая, что урожайность второго поля в 3 раза больше.

—————522. Провитамина A в 1 кг куриных яиц на 4 мг

больше, чем витамина PP. Найдите, сколько каждого витамина в 500 г яиц, учитывая, что содержание провитамина A в 3 раза больше.

523. Свислочь и Рось — притоки Немана. Суммарная площадь их водосбора равна 3050 км2. Найдите площади водосборов каждой из этих рек, учитывая, что тридцать шестая доля площади водосбора Свислочи равна двадцать пятой доле площади водосбора Роси.

524. Найдите угол, который на 30° больше своего смежного.


а) m · 97 – 318 220 : 35 + 427 = 1617;б) 352 · 311 – 374 274 : 478 + t = 110 643;в) 354 · 806 – c : 257 + 14 676 = 299 594;г) 418 · 304 – 469 440 : x – 103 902 = 22 690.

526. На 21 га посажен картофель. Определите, какой урожай предполагается собрать, учитывая, что с контрольного квадратного участка со сторо-ной 5 м собрали 55 кг картофеля.

527. Для измерения длины в прежние времена в Беларуси использовали локоть, равный 65 см, и вершок, равный 4 см 5 мм. Использовались и дру-гие меры: аршин, равный 16 вершкам; четверть, равная четвёртой доле аршина; миля, равная

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


28

120 локтям; верста, равная 2400 локтям. Выра-зите эти единицы в современных мерах. Запиши-те их по возрастанию.

528. По приведённой схеме вычислений (рис. 196) составьте соответствующую формулу и найдите недостающие числа в таблице:

a 809 778 3155 665 1130

b 702 180 854 885

c 7097 4853 14 218 56 725

d 5479 4561 11 706 13 059 56 047

e 548 308 827 402

f 106 982 497 865 49 807 1 393 452

k 96 634 186 587 67 409 24 921

а) б) в) г) д)

529. Из 3 ц пшеницы получают 240 кг муки, 6 кг манной крупы и 54 кг отрубей. Сколько муки, крупы и отрубей получится из 24 т пшеницы?

530. На 7 овец в день расходуют 14 кг сена. Сколько сена нужно заготовить для четырёх овец на стойловый период, который длится с ноября по апрель включительно?

Рис. 196

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


29

531. Постройте угол в 145° и на его сторонах от вершины отложите отрезки длиной 72 мм и 56 мм. Соедините концы этих отрезков. Получил-ся треугольник. Измерьте третью сторону и боль-ший из остальных углов. Найдите вычислением третий угол. Проверьте вычисления измерением.

532. Книгу, в которой 224 страницы, Катя не-сколько дней читала по 16 страниц в день, а затем столько же дней — по 12 страниц в день. Найдите:

а) сколько дней читала книгу Катя;б) сколько страниц книги прочитала Катя с боль-шей скоростью.

533. После того, как первый рабочий с произво-дительностью 9 деталей в час выполнил половину заказа, работу заканчивал второй рабочий с произ-водительностью 12 деталей в час. Найдите время работы первого и время работы второго рабочего, учитывая, что заказ был выполнен за 7 ч.

534. После того, как первый рабочий выпол-нил половину заказа, затратив 12 ч, работу за-канчивал второй рабочий, который работал ещё 9 ч. Найдите производительность труда первого и второго рабочего, учитывая, что вместе она со-ставляет 14 деталей в час.

* * *535. В семье 3 брата, а у каждого брата по

одной сестре. Сколько детей в семье?

536. В книжный магазин привезли 223 книги в упаковках по 10 и 17 книг. Сколько было упа-ковок?

537. Сколько есть трёхзначных чисел, в записи которых использована хотя бы одна цифра 2?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


30

19. Общие делители чиселЧисло 350 составное, и его можно предста-

вить произведением не равных единице мно-жителей (рис. 197, а). Получили разложение 350 = 5 · 7 · 2 · 5.

В правой части равенства все множители — простые числа. Говорят, что число 350 разложено на простые множители.

Разложить натуральное число на простые множители означает представить его произведе-нием простых чисел.

Число 350 можно разложить на простые множите-ли иным путём (рис. 197, б). Полученное разложение 2 · 7 · 5 · 5 отличается от разложения 5 · 7 · 2 · 5 только порядком множителей. Обычно множители разложения числа записывают по возрастанию:

350 = 2 · 5 · 5 · 7.Число 1 и каждое простое число не расклады-

ваются в произведение других чисел. А каждое составное число можно разложить в произведение простых множителей. Поэтому такие числа и на-зывают составными: они построены, составлены из простых множителей. При любом способе разложе-

Рис. 197

а б

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


31

ния получится один и тот же результат, если не об-ращать внимания на порядок записи множителей.

При разложении числа на простые множители можно пользоваться признаками делимости. Процесс разложения можно проследить по рисунку 198.

Из разложения числа на простые множители мож-но получить все возможные его делители, вычислив частичные произведения этого разложения. Напри-мер, делителями числа 350 являются числа: 1; 2; 5; 7; 2 · 5; 2 · 7; 5 · 5; 5 · 7; 2 · 5 · 5; 2 · 5 · 7; 5 · 5 · 7; 2 · 5 · 5 · 7. Всего число 350 имеет 12 различных делителей.

Задача. Воспитательница детского сада на за-нятие по рисованию раздала поровну детям 76 ка-рандашей и 57 книжек-раскрасок. Сколько детей в группе? Сколько карандашей и книжек-раскра- сок получил каждый ребёнок?

Карандаши и книжки были розданы детям по-ровну. Поэтому количество детей в группе — это делитель и числа 76, и числа 57.

Число Делители

76 1, 2, 4, 19, 38, 76

57 1, 3, 19, 57

Рис. 198

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


32

У чисел 76 и 57 есть два общих делителя — чис- ла 1 и 19. Но в группе не может быть один ре-бёнок. Значит, на занятии по рисованию присут-ствовало 19 детей. Теперь можно найти, сколько карандашей и сколько книжек-раскрасок получил каждый ребёнок: 76 : 19 = 4; 57 : 19 = 3.

Получили, что в группе было 19 детей, и каждый ребёнок получил по 4 карандаша и 3 раскраски.

При решении задачи нас интересовали общие делители двух данных чисел. У чисел 76 и 57 их оказалось два — 1 и 19.

Пример 1. Найдём общие делители чисел 42 и 28 (рис. 199).

Общим делителем нескольких натуральных чисел называют натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.

Общие делители чисел удобно находить, ис-пользуя их разложения на простые множители.

Два натуральных числа называют взаимно про-стыми, если единственным их общим делителем является число 1.

Пример 2. Найдём общие делители чисел 39 и 20. Их разложения на простые множители следующие: 39 = 3 · 13; 20 = 2 · 2 · 5. Ни один из простых делителей 3 и 13 числа 39 не является простым делителем числа 20. Значит, единственным общим делителем чисел 39 и 20 является число 1.

Пример 3. Найдём общие делители чисел 300 и 180 (рис. 200).

Рис. 199

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


33

Два или больше чисел могут иметь больше одного общего делителя. Например, числа 42 и 28 имеют 4 общих делителя — 1, 2, 7, 14. Все эти делители не превосходят меньшего из данных чи-сел. Поэтому среди всех общих делителей всегда найдётся наибольший.

Наибольшее из натуральных чисел, на которое делятся числа a и b, называют наибольшим общим делителем чисел a и b.

Наибольший общий делитель чисел a и b обо-значают НОД (a, b).

НОД (42, 28) = 14, НОД (76, 57) = 19, НОД (39, 20) = 1.

Для нахождения НОД (a, b) можно использо-вать разложения чисел на простые множители.

Пример 4. Найдём НОД (84, 140) (рис. 201).

Рис. 200

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


34

НОД двух чисел равен произведению всех их общих простых делителей. Поэтому возьмём раз-ложение 2 · 2 · 3 · 7 первого числа и проверим, какие из множителей этого разложения принад-лежат разложению второго числа. Два первых множителя 2 есть в обоих разложениях. Значит, в НОД входит произведение 2 · 2. Множитель 3 отсутствует в разложении второго числа, а мно-житель 7 входит в разложение второго числа. Поэтому НОД (84, 140) = 2 · 2 · 7 = 28.

Таким же способом находят НОД трёх и боль-ше чисел.

Чтобы найти НОД нескольких чисел, можно:разложить эти числа на простые множители; �выбрав разложение одного из чисел, отобрать �те из его множителей, которые входят в раз-ложения всех остальных чисел;найти произведение отобранных общих мно- �жителей.Пример 5. Найдём НОД (210, 126, 462)

(рис. 202).

Рис. 201

Рис. 202

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


35

Понятно, что если все данные числа делятся на одно из этих чисел, то оно и будет наиболь-шим общим делителем данных чисел.

Например, НОД (147, 21, 420, 210) = 21, по-скольку на 21 делятся все данные числа.

1. Что означает требование Разложите число на про-стые множители?2. Какое число называют делителем другого числа?3. Какое число называют общим делителем нескольких чисел?4. Как можно найти все общие делители чисел?5. Каких два натуральных числа называют взаимно простыми?6. Какое число называют наибольшим общим делителем нескольких чисел и как его обозначают?7. Как можно найти наибольший общий делитель не-скольких чисел?8. Чему равен наибольший общий делитель взаимно простых чисел?

538. Делится ли число 12 012 на число:

а) 2; в) 3; д) 11; ж) 25; и) 91;б) 5; г) 9; е) 21; з) 33; к) 140?

539. Запишите разложение числа на простые множители, запишите все его простые делители и найдите все делители:

а) 11; в) 129; д) 24;б) 14; г) 27; е) 36.

540. Разложите на простые множители число:

а) 165; в) 468; д) 702;б) 126; г) 525; е) 780.

541. Разложите на простые множители все числа:

а) от 97 до 101; в) от 113 до 120;б) от 191 до 197; г) от 121 до 128.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


36

542. Найдите все простые делители числа:

а) 110; в) 310; д) 990; ж) 864;б) 210; г) 260; е) 512; з) 1000.

543. Восстановите пример:

а) ∗ · ∗∗ = 111; д) ∗∗ · ∗∗ = 121;б) ∗ · ∗∗∗ = 274; е) ∗∗ · ∗∗ = 583;в) ∗∗ · ∗ = 485; ж) ∗∗ · ∗∗ = 1027;г) ∗∗ · ∗ = 581; з) ∗∗ · ∗∗ = 1633.

544. Прямоугольный участок с измерениями 141 и 86 м заменили другим участком такой же пло-щади, у которого длина больше ширины на 35 м. Найдите измерения другого участка.

545. Назовите по 2 общих делителя чисел:

а) 2 и 4; г) 22 и 33; ж) 125 и 35;б) 12 и 6; д) 16 и 34; з) 228 и 39;в) 8 и 10; е) 56 и 21; и) 282 и 36.

546. Найдите общие делители чисел по их раз-ложениям на простые множители:

а) 231 = 3 · 7 · 11, 2002 = 2 · 7 · 11 · 13;б) 324 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3, 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5;в) 270 = 2 · 3 · 3 · 3 · 5, 340 = 2 · 2 · 5 · 17,510 = 2 · 3 · 5 · 17;г) 231 = 3 · 7 · 11, 2002 = 2 · 7 · 11 · 13,6545 = 5 · 7 · 11 · 17.

547. Назовите число, взаимно простое с числом:

а) 7; в) 21; д) 595;б) 12; г) 210; е) 700.

548. Назовите число, взаимно простое с числами:

а) 8 и 12; в) 2 и 3; д) 12, 24, 30;б) 12, 39; г) 2, 4, 6; е) 25, 75, 100, 200.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


37

549. Найдите наибольший общий делитель чи-сел:а) 4 и 6; д) 42 и 36; и) 137 и 727;б) 4 и 12; е) 27 и 81; к) 216 и 504;в) 12 и 15; ж) 65 и 70; л) 282 и 36;г) 12 и 18; з) 70 и 80; м) 311 и 57.

550. Найдите наибольший общий делитель чи-сел:а) 8, 6, 4; г) 26, 14, 12;б) 28, 16, 36; д) 30, 15, 10, 25;в) 15, 21, 27; е) 90, 60, 150, 210.

551. Найдите:а) НОД (7, 3);б) НОД (17, 13);в) НОД (27, 33).

552. Найдите наименьшее шестизначное число, которое делится на 7, 11 и 13.

553. Люба и Оля покупали одинаковые каран-даши. Люба уплатила 910 р., а Оля — на 260 р. меньше. Определите, сколько карандашей купила каждая из девочек и сколько стоит один каран-даш, учитывая, что каждая из девочек купила меньше 10 карандашей.

554. Пол в комнате размерами 425 см × 650 см нужно выложить декоративной квадратной плит-кой. Найдите, каковы наибольшие возможные размеры плитки и сколько плиток таких размеров понадобится.

555. Иногда ученики ошибочно вместо «наи-больший общий делитель» говорят «наименьший общий делитель». Чему равен наименьший общий делитель любой пары натуральных чисел?

556. От Волковыска до Слонима (рис. 203) ве-лосипедист ехал со скоростью 20 км/ч, а назад —

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


38

со скоростью 12 км/ч и на обратный путь затра-тил на 2 ч больше. Найдите расстояние по шоссе от Волковыска до:

а) Слонима;б) Зельвы, учитывая, что это расстояние на 14 км

больше расстояния от Слонима до Зельвы.Условие задачи представим краткой записью

(см. форзац 3):

До Слонима До Волковыска

Путь Один и тот же

Скорость 20 км/ч 12 км/ч

Время На 2 ч больше

Пусть после выезда велосипедиста из Слонима прошло время, равное времени, затраченному на поездку от Волковыска до Слонима. После этого велосипедист будет находиться в пути ещё 2 ч и за это время проедет 12 км/ч · 2 ч, т. е. 24 км. Можно сказать и иначе, теперь велосипедист от-стал от прежнего графика на 24 км. Это отстава-ние произошло из-за того, что его скорость умень-шилась на 20 км/ч – 12 км/ч, т. е. на 8 км/ч. Иными словами, каждый час велосипедист отста-вал на 8 км. Поэтому отставание происходило на протяжении 24 км : 8 км/ч, т. е. на протяжении 3 ч. Иными словами, велосипедист при поездке от

Рис. 203

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


39

Волковыска до Слонима был в дороге 3 ч. Значит, расстояние по шоссе между этими городами равно 20 км/ч · 3 ч, т. е. 60 км.

557. От Славгорода до Иванова автомобилист ехал 6 ч, а назад — 8 ч. Найдите расстояние по шоссе между этими городами, учитывая, что ско-рости движения отличались на 24 км/ч.

—————558. Докажите, что составным является число:

а) 95; в) 267; д) 1661;б) 1206; г) 1929; е) 3997.

559. На 1 га нужно высевать примерно 4200 тыс. зёрен ячменя. Определите, сколько весит это зер-но, учитывая, что 28 зёрен весят 1 г.

560. Старинная белорусская мера объёма гар-нец равна 2824 см3. Определите, сколько гарнцев составляет:

а) чаша, равная 33 888 см3;б) карец, равный 101 664 см3;в) шанок новый, равный 67 776 см3;г) шанок старый, равный 135 552 см3.

561. Начертите окружность с центром O радиу-сом 5 см и её хорду MN длиной 5 см. Измерьте угол MON. Проведите диаметр MK. Измерьте углы треугольника MNK. Найдите его периметр.

562. Середины M и N отрезков AB и BC, рас-положенных на координатном луче, имеют коор-динаты 152 и 402 соответственно. Найдите коор-динаты точек A, B, C, учитывая, что:

а) отрезки AB и BC равны;б) отрезок AB состоит из двух долей, а отрезок BC — из трёх таких же долей.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


40

563. Углы A и E треугольника ACE соответ-ственно равны 35° и 25° (рис. 204). Из вершины C проведён луч CB, составляющий с лучом CE угол в 62° и пересекающий сторону AE в точке K. Определите, какой — острый, прямой, тупой — угол:

а) CKE; в) CKA; д) EKB;б) ACK; г) AKB; е) АСЕ.


а) (3636 – 36 · (834 – 781)) : 48 + 964;б) 125 644 – ((395 + 207) · 198 + 5619);в) 191 · (7 + (7743 + 9256) : 89) : 573;г) 73 040 – (1997 · (1313 – 1067) : 41) – 2278.

565. В мастерской сшили 7 костюмов, и оста-лось 43 м ткани. Если бы было сшито 13 таких костюмов, то осталось бы 23 м 50 см. Определите расход ткани на один костюм.

566. Первый автомобиль проехал 420 км, а вто-рой — на 112 км больше. Первый автомобиль рас-ходовал 500 мл бензина на 5 км пути, а второй — 560 мл на 7 км. Определите, какой из автомобилей израсходовал больше топлива и на сколько.

567. Составьте задачу и решите её, учитывая связи между:

Рис. 204

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


41

а) сторонами треугольника, изображёнными схе-мой на рисунке 205, а, и то, что периметр тре- угольника равен 37 см;б) углами треугольника, изображёнными схемой на рисунке 205, б.

568. Восстановите пример, изображённый схе-мой:

а) × ∗∗4

∗∗∗

+4∗∗2

1∗48∗17∗2∗∗∗∗∗∗∗∗

; б) –

∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗8∗∗ ∗4∗

–∗∗∗∗∗1436

– ∗∗∗2 ∗∗∗∗

0

; в) –

∗∗∗∗∗∗ 2∗∗∗∗∗2∗∗ ∗7∗

–∗∗∗∗∗∗∗1

–∗∗4∗∗∗∗7

0

.

569. Объясните, почему одно число не делится на другое:а) 2715 на 26; в) 8069 на 21;б) 4328 на 35; г) 9354 на 170.

570. Решите уравнение:а) 41x – 7x = 7174;б) 32a + 47a = 6241;в) 24x + 25x = 24 576 + 5461;г) 169m – 72m = 68 053 + 720.

571. Периметр прямоугольника равен 112 м. Найдите его стороны, учитывая, что одна из них больше другой в 3 раза.

Рис. 205

а б

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


42

572. От Вишнева до Сморгони (рис. 206) велосипедист ехал 3 ч со скоростью 17 км/ч. Найдите расстояния от Крева до Смор-гони и до Гольшан, учитывая, что второе расстояние на 6 км меньше.

573. Из стальной болванки массой 25 кг сделали 64 дета-ли, на каждую из которых из-расходовано 185 г. Определите массу оставшейся стали.

574. Туристы прошли 78 км за 3 дня. За первый день они прошли в 2 раза меньше, чем за второй, а за третий — в 3 раза больше, чем за первый. Сколько километров проходили туристы за каждый день?

575. Первая труба заполняет за 5 ч половину бассейна, вторая за то же время — третью его долю. Найдите, за сколько часов обе трубы вместе заполнят бассейн, учитывая, что он имеет разме-ры 10 м × 6 м × 2 м.

576. На 200 столовых и 160 чайных ложек израс-ходовано 14 кг серебра. Найдите массу одной сто-ловой и одной чайной ложки, учитывая, что масса чайной ложки вдвое меньше массы столовой.

577. Есть столовые ложки массой по 60 г и чайные ложки массой по 20 г, которых в 3 раза меньше. Вместе они весят 6 кг. Найдите количе-ство столовых и количество чайных ложек.

578. Картофель расфасовали в пакеты по 6 кг, а морковь — в пакеты по 2 кг. Пакетов с карто-фелем получилось в 3 раза больше, а картофеля в них — на 480 кг больше. Найдите, сколько по-лучилось пакетов с картофелем.

Рис. 206

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


43

579. В 60 одинаковых пакетах картофеля на 310 кг больше, чем в 25 одинаковых пакетах моркови. Найдите, сколько весит пакет картофеля, учиты-вая, что он в 3 раза тяжелее пакета моркови.

580. Из одного населённого пункта выехал ве-лосипедист, а через некоторое время навстречу ему из другого населённого пункта вышел пеше-ход. Когда они встретились, то оказалось, что ве-лосипедист был в пути в 2 раза дольше и проехал 52 км, а пешеход прошёл 8 км. Найдите скорости велосипедиста и пешехода, учитывая, что вместе они составляют 17 км/ч.

* * *581. Найдите, сколько в первой тысяче нату-

ральных чисел, кратных 7.582. Найдите, сколько различных произведе-

ний, кратных числу 10, можно образовать из чи-сел 2, 3, 5, 7, 9.

583. Какое число нужно подать на вход машины (рис. 207), чтобы на её выходе получить число:а) 71; в) 138; д) 4213; ж) 291;б) 1032; г) 4018; е) 4086; з) 135 036?

Рис. 207

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


44

20. Общие кратные чисел

Чисел, кратных данному числу, можно запи-сать любое количество, или, как говорят в мате-матике, бесконечно много (рис. 208).

Запишем кратные чисел 2 и 3 (рис. 209). Ви-дим, что некоторые из записанных чисел являют-ся общими кратными для обоих чисел 2 и 3.

Общим кратным нескольких чисел называют число, которое делится на каждое из этих чисел.

Среди общих кратных есть наименьшее и нет наибольшего.

Наименьшим общим кратным двух чисел на-зывают наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел a и b обозна-чают НОК (a, b).

НОК (2, 3) = 6.

По наименьшему общему кратному чисел мож-но найти их другие общие кратные, умножив НОК на то или иное число (рис. 210).

Чтобы найти наименьшее общее кратное чисел, необязательно выписывать последовательно крат-

Рис. 208

Рис. 209

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


45

ные этих чисел до момента, пока не встретится первое общее кратное.

Пример 1. Найдём НОК (21, 14).Разложим числа 21 и 14 на простые множители:

21 = 3 · 7, 14 = 2 · 7.

НОК (21, 14) должно делиться на 21, поэтому оно должно содержать все множители числа 21, т. е. в НОК должно входить произведение 3 · 7. Так же НОК (21, 14) должно делиться и на 14, значит, оно должно содержать и все множители числа 14. Множитель 7 входит в произведение 3 · 7. Поэтому допишем к этому произведению не-достающий множитель 2. Получим произведение (3 · 7) · 2, равное числу 42. Таким образом,

НОК (21, 14) = 21 · 2 = 42.

Так же находится наименьшее общее кратное больше чем двух чисел (рис. 211).

Чтобы найти наименьшее общее кратное не-скольких чисел, можно:

разложить каждое из этих чисел на простые �множители;записать разложение одного из чисел и допол- �нить его недостающими множителями из дру-гих разложений;вычислить записанное произведение. �

Рис. 210

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


46

Пример 2. Найдём НОК (12, 18, 72, 144) (рис. 212).

Если одно из данных чисел делится на все остальные числа, то оно является наименьшим общим кратным данных чисел.

Пример 3. Найдём НОК (12, 25). Числа 12 и 25 взаимно простые, т. е. их разложения 2 · 2 · 3 и 5 · 5 не имеют общих множителей. Поэтому НОК (12, 25) = 12 · 25 = 300.

Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

1. Что означает утверждение Число a кратно числу b?2. Какое число называют общим кратным нескольких чисел?

Рис. 211

Рис. 212

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


47

3. Какое число называют наименьшим общим кратным нескольких чисел и как его обозначают?4. Как можно найти наименьшее общее кратное не-скольких чисел?5. Чему равно наименьшее общее кратное нескольких чисел, из которых одно делится на все остальные?6. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно про-стых чисел?

584. Запишите три первых числа, кратных чис-лам:а) 5; б) 6; в) 7; г) 27; д) 16; е) 18.

585. Запишите все трёхзначные числа, кратные числам:а) 719; в) 331; д) 137;б) 499; г) 157; е) 127.

586. Запишите все чётные четырёхзначные чис-ла, кратные числам:а) 4993; в) 2297; д) 997;б) 3329; г) 1117; е) 5077.

587. Запишите восемь первых чисел, кратных 6, и восемь первых чисел, кратных 8. Из записанных чисел выберите общие кратные чисел 6 и 8. Запи-шите три следующих общих кратных этих чисел.

588. Запишите четыре первых общих кратных чисел:а) 6 и 4; б) 6 и 5; в) 6 и 35; г) 24 и 36.

589. Найдите наименьшее общее кратное чисел:а) 18 и 12; в) 45 и 54; д) 54 и 81;б) 28 и 98; г) 96 и 72; е) 19 и 76.

590. Запишите все чётные трёхзначные общие кратные чисел:а) 21 и 15; в) 56 и 72; д) 12 и 43;б) 23 и 15; г) 11 и 13; е) 35 и 55.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


48

591. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 6, 8 и 10; б) 15, 10 и 12; в) 21, 14 и 18.

592. Для чисел a и b, записанных в столбцах таблицы, найдите НОД (a, b), НОК (a, b). Срав-ните произведения НОД (a, b) · НОК (a, b) и ab. Сделайте вывод.

a 16 6 21 82 50 225 156 564

b 24 9 35 123 125 75 336 564

593. С двух полей площадью 25 га и 36 га вме-сте собрали 2640 ц тритикале. Найдите урожаи с этих полей в отдельности, учитывая, что их уро-жайности относятся как 6 : 5.


Урожай 2640 ц

Урожайность 6 долей 5 долей

Площадь 25 га 36 га

Уравняем урожайность первого поля до уро-жайности второго, для чего урожайность первого поля сначала уменьшим в 6 раз, а затем результат увеличим в 5 раз. Для того, чтобы не изменился урожай, нужно площадь первого поля уменьшить в 5 раз и полученный результат увеличить в 6 раз. Получим, что площадь первого поля должна быть равной 25 : 5 · 6, т. е. 30 га.

Теперь первое и второе поля вместе имеют пло-щадь, равную 30 га + 36 га, т. е. 66 га. Учитывая, что общий урожай с этих полей равен 2640 ц, получаем, что урожайность второго поля равна 2640 ц : 66 га, т. е. 40 ц/га. Поэтому урожай со вто-рого поля составляет 40 ц/га · 36 га, т. е. 1440 ц,

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


49

а урожай с первого поля — 2640 ц – 1440 ц, т. е. 1200 ц (см. форзац 1).

594. С двух полей урожайностями 43 ц/га и 47 ц/га вместе собрали 6057 ц тритикале. Най-дите урожай с каждого из этих полей, учитывая, что их площади относятся как 8 : 7.

595. С двух полей, площади которых равны 40 га и 36 га, вместе собрали 2444 ц ржи. Найди-те урожайности полей, учитывая, что вместе они составляют 64 ц/га.

Условие задачи представим краткой записью (см. форзац 3).


Урожай 2444 ц

Урожайность 64 ц/га


Уравняем площади полей, например, до площади второго поля. Поскольку с одного гектара первого поля и с одного гектара второго вместе собрали 64 ц, то с 36 га первого и с 36 га второго поля вместе со-брали 64 ц/га · 36 га, т. е. 2304 ц. Это меньше со-бранного урожая на 2444 ц – 2304 ц, т. е. на 140 ц. Разность в 140 ц получилась из-за того, что первое поле было уменьшено на 40 га – 36 га, т. е. на 4 га. Значит, урожайность первого поля равна 140 ц : 4 га, т. е. 35 ц/га. А тогда урожайность второго поля со-ставляет 64 ц/га – 35 ц/га, т. е. 29 ц/га.

596. С двух полей, урожайности которых рав-ны 25 ц/га и 36 ц/га, вместе собрали 2444 ц ржи. Найдите площади полей, учитывая, что вместе они составляют 85 га.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


50

—————597. Вычислите:

а) 362 + 123 – 2595; в) 5072 – (3212 + 152 125);б) 1093 + (992 + 333); г) 5073 – (5023 – 4812).

598. Восстановите пример:а) ∗ · ∗∗∗ = 204; е) ∗∗ · ∗∗∗ = 1111;б) ∗ · ∗∗∗ = 791; ж) ∗∗ · ∗∗ = 1752;в) ∗∗ · ∗∗ = 304; з) ∗∗∗ · ∗∗ = 6516;г) ∗ · ∗∗∗ = 4595; и) ∗∗ · ∗∗∗ = 2147;д) ∗∗∗ · ∗ = 1145; к) ∗∗ · ∗∗∗ = 29 393.

599. В конюшне был сделан запас овса для 8 ко- ней на 6 дней. На сколько дней хватит этого за-паса для 12 коней?

600. Найдите объём прямоугольного параллеле-пипеда, изображённого на рисунке 213, учитывая, что размеры даны в сантиметрах.

601. Медный лист длиной 1 м 20 см и ши-риной 90 см имеет толщину 6 мм. Определите, сколько весит такой лист, учитывая, что 1 см3 меди весит 8900 мг. Ответ запишите в граммах; в килограммах и граммах.

602. На координатном луче отложены три рав-ных отрезка AB, BC, CD. Точка C имеет коорди-нату 150, а середина M отрезка CD — координату 175. Найдите координаты точек A, B, D и середин K и L отрезков AB и BC.

603. Составьте и решите задачу по схеме, изобра-жённой на рисунке 214, где показаны связи между длинами притоков Немана — Свислочи и Роси.

Рис. 213

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


51

604. Ян сначала 3 ч ехал на велосипеде, а за-тем 5 ч поездом, причём поездом он проехал на 255 км больше. Найдите скорость движения Яна поездом, учитывая, что она в 4 раза больше ско-рости движения на велосипеде.

605. Яна сначала ехала на велосипеде со ско-ростью 13 км/ч, а затем поездом со скоростью 55 км/ч, причём поездом она проехала на 456 км больше. Найдите время движения Яны на велоси-педе, учитывая, что оно в 3 раза меньше времени движения на поезде.

606. У одного хозяина есть козы и утки, кото-рых вместе 27. Учитывая, что у всех коз столько ног, как и у всех уток, найдите количество тех и других животных.

* * *607. Найдите количество трёхзначных чисел, в

записи которых использованы хотя бы один раз и цифра 0, и цифра 1.

608. Решите уравнение НОД (16; x) = 16 – x.

609. На заводе работают трое друзей: конструк-тор, электрик и токарь. Их фамилии: Ткачёв, Кулеш и Батян. У конструктора нет ни братьев, ни сестёр, и он самый младший из друзей. Батян женат на сестре Ткачёва и старше токаря. Назо-вите фамилии конструктора и электрика.

Рис. 214

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


52

IVраздел

21. Доля и дробь

Дециметр разделён на 10 одинаковых частей —сантиметров (рис. 215). Дециметр разделён также на100 одинаковых частей — миллиметров (рис. 216).Угол в 1 на транспортире получен делением раз�вёрнутого угла на 180 равных частей (рис. 217).

Рис. 215

Рис. 217

Рис. 216

Дроби:сложение и вычитание

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


53

Доля есть каждая из равных частей, на которыеразделено целое.

На рисунке 218, а—е показаны доли пирога:вторая доля, или половина; третья доля, илитреть; четвёртая доля, или четверть; пятаядоля; шестая доля; двенадцатая доля.

Для обозначения доли используют двухуровне�вую запись из двух чисел, разделённых горизон�тальной чертой. Например, десятую долю обозна�

чают 1

10. Число под чертой показывает количество

долей, на которые разделили целое, число над чер�той — то, что взята одна из полученных долей.

На рисунке 219 круг разделён насемь долей, и пять из них закраше�ны. Говорят, что закрашеннаячасть есть пять седьмых круга, и

записывают 5

7. Получили дробное

число, или дробь, 5

7.

Рис. 218

а б в

г д е

Рис. 219

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


54

Число, записанное над чертой дроби, называютчислителем дроби, а число, записанное под чер�той, — знаменателем дроби. Знаменатель называ�ет, на сколько долей разделено целое, числительпоказывает, сколько этих долей взято, он полученперечислением взятых долей (рис. 220).

Дробь есть доля или результат сложения не�скольких долей.

Сложение равных натуральных чисел можно за�менить умножением числа на количество чисел:8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4. Это же можно сделать и ссуммой долей:

5 1 1 1 1 1 15

7 7 7 7 7 7 7= + + + + = ⋅ .

Вообще, для дроби с числителем m и знаменате�лем n верно равенство

1·

mm

n n= .

Между четырьмя детьми разделим 12 яблок(рис. 221, а), т. е. найдём частное 12 : 4 — полу�чим число 3. Значит, каждый ребёнок получит по3 яблока (рис. 221, б).

Между этими детьми разделим 3 яблока (рис.222, а), т. е. найдём частное 3 : 4. Для этого сна�чала разделим каждое яблоко на 4 доли и получим

Рис. 220

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


55

12 кусочков (рис. 222, б). Значит, каждый из детейполучит по 3 кусочка. Но 1 кусочек есть1

4 яблока, а 3 кусочка составляют

3

4 яблока. По�

лучается, что каждый ребёнок получит 3

4 яблока

(рис. 222, в). Значит, 3 : 4 = 3

4, или

3

4 = 3 : 4.

Каждую дробь можно рассматривать как част�ное от деления её числителя на знаменатель:

:m

m nn= .

Пример 1. 24

8= 24 : 8;

5

7 = 5 : 7.

Частное 24 : 8 показывает, во сколько раз чис�ло 24 больше числа 8. О частном 5 : 7 говорят, чтооно показывает, какую часть число 5 составляет

от числа 7, и эта часть равна 5

7.

а

б

Рис. 221

а б в

Рис. 222

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


56

Частное m : n показывает:во сколько раз число m больше числа n, если

делимое m больше делителя n;какую часть число m составляет от числа n,

если делимое m меньше делителя n.

Например, частное 8 : 6 = 8

6 показывает, что

число 8 больше числа 6 в 8

6 раза. А поскольку

12 : 4 = 12

4 и 12 : 4 = 3, то получается, что нату�

ральное число 3 равно дроби 12

4.

Вообще, каждое натуральное число можно вы�разить дробью. Например,

1 = 7 : 7 = 7

7; 3 =

12

4; 7 = 14 : 2 =

14

2.

Представление натурального числа дробью не�однозначное:

3 6 9 123 ... .

1 2 3 4= = = = =

Пример 2. Найдём значение дробного выраже�

ния 40 38

22 19

+−

.

Поскольку черта дроби обозначает действие де�

ления, то выражение 40 38

22 19

+−

можно записать как

частное (40 + 38) : (22 – 19).Чтобы найти значение дробного выражения,

нужно найти по отдельности значения его чис�лителя и знаменателя и затем первый резуль�тат разделить на второй.

Получаем:40 38

22 19

+−

= 78

3 = 78 : 3 = 26.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


57

Пример 3. Дробное выражение 4 18

22:11 2

+−

не име�

ет значения, так как его знаменатель 22 : 11 – 2равен нулю, а деление на нуль невозможно.

1. Что называют долей?2. Что называют дробью?3. Как называются числа в записи дроби?4. Что показывает знаменатель дроби? Где он записы�вается?5. Что показывает числитель дроби? Где он записывается?6. Как выразить дробь суммой; произведением?7. Как частное записать дробью? Как дробь записатьчастным?8. Как установить, во сколько раз одно натуральноечисло больше другого?9. Как установить, какую часть одно натуральное чис�ло составляет от другого?10. Можно ли натуральное число выразить дробью?11. Как найти значение дробного выражения?

610. Выразите словами и числом, какую долюплощади составляет закрашенная часть от площа�ди всей фигуры, представленной на рисунке:

а) 223, а; в) 223, в; д) 223, д;б) 223, б; г) 223, г; е) 223, е.

?

Рис. 223

а б в

г д е

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


58

611. Выразите словами и числом, какую частьплощади составляет закрашенная часть от площа�ди всей фигуры, представленной на рисунке:

а) 224, а; д) 224, д; и) 225, в;б) 224, б; е) 224, е; к) 225, г.в) 224, в; ж) 225, а;г) 224, г; з) 225, б;

612. Выразите словами и числом, какую частьобъёма составляет закрашенная часть от объёмавсей фигуры, представленной на рисунке:

Рис. 225

Рис. 224

а б в

г д

е

а б в

г

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


59

а) 226, а; в) 226, в; д) 226, д; ж) 226, ж;б) 226, б; г) 226, г; е) 226, е; з) 226, з.

613. Прямоугольный лист бумаги сложите так,чтобы получилось:

а) 4 его доли и 3

4 площади листа закрасьте;

б) 8 его долей и 5

8 площади листа закрасьте.

614. Верно ли, что записанное число выражаетту часть площади фигуры, которая закрашена нарисунке:

а) 227, а; в) 227, в; д) 227, д.б) 227, б; г) 227, г;

615. Нарисуйте в тетради пять квадратов по 16клеток каждый. На каждом из них выделите

Рис. 226

а б в г

д е

ж з

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


60

цветом четвёртую долю так, чтобы закрашенныефигуры имели различную форму.

616. Определите, каким числом выражается по�меченная тем или иным номером часть площадиквадрата, представленного на рисунке:а) 228, а; б) 228, б; в) 228, в.

617. Выразите дробью долю:а) одна вторая; в) одна десятитысячная;б) одна триста седьмая; г) одна миллионная.

618. Найдите, сколько килограммов в:

а) 1

10 ц; б)

1

10 т; в)

1

100 т; г)

1

1000 т.

619. Найдите, сколько минут в:

а) 1

2 ч; б)

1

4 ч; в)

1

5 ч; г)

1

3 ч; д)

2

3 ч.

620. Запишите дробью и выразите суммой до�лей число:а) три четвёртые;б) две сотые;

Рис. 227

Рис. 228

а б в

г д

а б в

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


61

в) шесть шестых;г) пять двести седьмых;д) семь пятьсот двадцать вторых;е) три тысяча пятых.

621. Прямоугольник на рисунке 229разделён на 24 квадрата�доли. Запиши�те по меньшей мере два числа, которыевыражают площадь части прямоуголь�ника, состоящей из:а) двух квадратов; д) шести квадратов;б) трёх квадратов; г) восьми квадратов;в) четырёх квадратов; е) двенадцати квадратов.

622. Определите, на какие доли разделён отре�зок HK на рисунке 230 и какую часть этого отрез�ка составляет отрезок:

а) BC; г) AB; ж) AC;б) AH; д) HM; з) AK;в) AM; е) KB; и) CD.

623. Запишите дробь, у которой:

а) числитель равен 38, а знаменатель на 26 больше;б) знаменатель равен 648, а числитель в 8 раз меньше;в) числитель равен значению выражения 2173 : 53 –– 1147 : 31, а знаменатель — значению выражения51 · (147 – 131) : 8.

624. 3

2 кг можно найти так:

3

2 кг =

1

2 кг · 3 = 500 г · 3 = 1500 г.

Точно так же найдите:

а) 4

5 м; б)

2

3 ч; в)

7

20 ц; г)

120

4 мин.

Рис. 229

Рис. 230

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


62

625. Нарисуйте отрезок PQ длиной 12 см. Раз�делите его на 6 долей и точки деления обозначьтебуквами. Запишите один, а если можно, дваотрезка, которые составляют часть отрезка PQ,равную:

а) 1

6; б)

2

6; в)

3

6; г) 4

6; д) 5

6; е)

6

6.

626. Нарисуйте отрезок длиной 9 см. Раздели�те его на 6 долей. Каждую из полученных шестыхдолей разделите на 3 меньшие доли. Обозначьтеточки деления. Запишите по два отрезка, которыесоответствуют дроби:

а) 1

6; в)

5

18; д)

7

18; ж)

2

6;

б) 3

18; г)

1

18; е)

6

18; з)

13

18.

627. По рисунку 231 запишите дробь, котораяявляется координатой точки:

а) A; в) C; д) E; ж) G; и) I;б) B; г) D; е) F; з) H; к) J.

628. На координатном луче выберите единич�ный отрезок, равный 12 клеткам. Отметьте на нёмточку, соответствующую числу:

а) 1

2; в)

3

4; д)

5

3; ж)

14

12;

б) 1

12; г)

7

6; е)

8

4; з)

7

6.

Рис. 231

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


63

629. Нарисуйте прямоугольник со сторонами9 см и 6 см. Разделите каждую его сторону на6 равных отрезков. Через точки деления проведи�те отрезки, параллельные сторонам. Определите,какую часть прямоугольника:

а) составляет один малый прямоугольник;б) составляют малые прямоугольники, прилежа�щие к сторонам.

630. В роще растут липы, берёзы и сосны. Сосны

составляют 3

20 всех деревьев, липы —

4

20. Определи�

те, какую часть деревьев в роще составляют берёзы.

631. Запишите дробью число, показывающее,во сколько раз первое натуральное число большевторого:

а) 24 и 4; в) 96 и 32; д) 111 и 37;б) 24 и 18; г) 346 и 28; е) 255 и 17.

632. Запишите дробью число, показывающее,какую часть первое число составляет от второго:а) 4 и 40; в) 6 и 65; д) 86 и 129;б) 4 и 18; г) 34 и 68; е) 5 и 100.

633. Выразите натуральное число 5 дробью сознаменателем:

а) 1; б) 2; в) 10; г) 50.

634. Дробью со знаменателем 3 запишите число:

а) 25; в) 13; д) 50; ж) 37;б) 32; г) 46; е) 100; з) 25.

635. Запишите дробью частное:

а) 35 : 5; в) 8 : 5; д) 65 : 15;б) 1 : 11; г) 12 : 6; е) 110 : 20.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


64

636. Запишите частным дробь:

а) 8

3; в)

10

1000; д)

0

7;

б) 15

5; г)

12

12; е)

50

60.

637. Найдите, во сколько раз:

а) 6 тыс. р. меньше 24 тыс. р.;б) 40 учеников больше 8 учеников;в) 14 конфет меньше 70 конфет;г) 20 см меньше 3 м;д) 5 т больше 4 ц;е) 5 дм3 меньше 3 м3.

638. Найдите, какую часть составляет:

а) 6 тыс. р. от 24 тыс. р.; е) 8 л от 56 л;б) 8 учеников от 40 учеников; ж) 20 см от 3 м;в) 14 конфет от 70 конфет; з) 4 ц от 5 т;г) 75 м от 150 м; и) 5 см3 от 2 дм3;д) 200 г от 3000 г; к) 5 кг от 2 ц.

639. Определите, во сколько раз число:

а) 6 меньше числа 60;б) 90 больше числа 15;в) 6 больше числа 4;г) 84 больше числа 37;д) 11 меньше числа 23;е) 13 больше числа 11.

640. Определите, какую часть составляет число:

а) 6 от числа 60; г) 37 от числа 84;б) 15 от числа 90; д) 11 от числа 23;в) 4 от числа 6; е) 11 от числа 13.

641. Найдите сторону квадрата, учитывая, чтоего периметр равен:

а) 20 см; б) 30 см; в) 61 см; г) 57 см.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


65

642. Путь от Могилёва до Минска составляет пошоссе 201 км (рис. 232). Определите, какую частьэтого пути составляет путь:

а) от Могилёва до Белынич;б) от Минска до Березино;в) от Могилёва до Березино;г) от Минска до Белынич.

643. На рисунке 233 показана шахматная дос�ка. Какую её часть составляют:

а) белые клетки;б) клетки первой горизонтали;в) клетки вертикали d;г) клетки горизонталей 3, 4, 5;д) клетки, занятые шахматными фигурами передначалом партии;е) чёрные клетки вертикалей c, d, e;ж) белые клетки вертикалей c, d, e?

Рис. 232

Рис. 233

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


66

644. Самостоятельная работа заняла 15 мин.Какая это часть урока?

645. Дробь равна своему числителю. Чему ра�вен её знаменатель?


а) +32

10 6 ; д) 13 860

36 55·; и)

−2 2

3

15 13

2 7·;

б) −97 32

13; е) −

12 648

3000 81 32·; к)

−3

2

56 75 616

100;

в)67 · 44

67; ж)

1005 : 67

795 : 53 ; л) +2

2

1007 5951

51 100·;

г) +45 · 14 570

150; з) 2

6384 :19 : 21

4; м)

−+ +

3 3

2 2 3

50 42

8 3 1.

647. Два велосипедиста выехали одновременнонавстречу друг другу и через 3 ч встретились. Най�дите скорость каждого велосипедиста, учитывая,что первый проезжал за час на 4 км больше второ�го, а вместе они проехали 108 км (см. форзац 4).

648. Первый велосипедист выехал из Червеня соскоростью 15 км/ч, а через 2 ч из Белынич на�встречу ему выехал второй велосипедист со скорос�тью 18 км/ч (рис. 234). Определите, на каком рас�стоянии от Березино встретились велосипедисты.

—————649. Суммарная площадь водосбора Усысы и

Свины 783 км2. Найдите площади водосборов этих

Рис. 234

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


67

рек, учитывая, что площадь водосбора первойреки на 63 км2 больше.

650. На схеме, приведённой на рисунке 235, по�казаны связи между длинами Усысы и Свины. Со�ставьте задачу по этой схеме и решите её.

651. Составьте формулу для вычисления площа�ди заштрихованной фигуры (рис. 236). Вычислитеэту площадь, учитывая, что:

а) a = 13 см, b = 22 см, m = 4 см,n = 7 см;б) a = 27 см, b = 48 см, m = 10 см,n = 21 см;в) a = 42 м, b = 67 м, m = 17 м,n = 25 м.

652. Андрей перемножил пятьпопарно взаимно простых чисел иполучил в произведении 272 272.Найдите эти числа.

653. Длина Припяти равна 761 км, а площадьеё водосбора — 121 тыс. км2. Какова средняя пло�щадь водосбора на 1 км длины Припяти? Вычис�ления проведите с точностью до гектара.

654. Из Несвижа и Городеи в Новогрудок(рис. 237) одновременно выехали два велосипедистасо скоростями 18 км/ч и 14 км/ч соответственно.

Рис. 235

Рис. 236

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


68

За сколько километров до Новогрудка первый ве�лосипедист догонит второго?

655. Постройте в тетради угол, градусная меракоторого равна:

а) 90; в) 45; д) 0;б) 150; г) 180; е) 105.

656. 20 столовых и 70 чайных ложек весят вме�сте 2150 г. Определите, сколько весят столовая ичайная ложка в отдельности, если 11 чайных ло�жек весят столько, сколько 3 столовые.

657. Путь, который проехал велосипедист за 4 ч,на 50 км больше пути, который прошёл пешеход за2 ч. Найдите скорости пешехода и велосипедиста,учитывая, что скорость велосипедиста втрое больше.

658. Скорости велосипедиста и пешехода равнысоответственно 15 км/ч и 5 км/ч. Велосипедист про�ехал на 50 км больше, чем прошёл пешеход. Найди�те время движения велосипедиста, учитывая, чтооно в 2 раза больше времени движения пешехода.

659. У всех коров, которые есть у одногохозяина, столько же ног, сколько их у всех его

Рис. 237

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


69

индюков. Определите, сколько есть коров и сколь�ко индюков, учитывая, что индюков на 5 больше.

* * *660. Записано 16 нечётных чисел. Можно ли

утверждать,что по крайней мере 4 из них оканчи�ваются одной и той же цифрой?

661. Докажите, что если к любому двузначномучислу приписать справа это же число, то получит�ся четырёхзначное число, которое делится на 101.

662. Два невисокосных года идут друг за другом.В первом понедельников больше, чем пятниц. Какихиз семи дней недели больше содержит второй год?

22. Задачи с известными значениямиодного из множителей и отношением

значений произведения

Задача 1. Масса одного количества чайных ложекпо 20 г такая же, как и масса другого количествачайных ложек по 30 г. Определите, сколько есть техи других ложек, учитывая, что всего их 20.

Задача построена на зависимости M = mn мас�сы M определённого количества однородных пред�метов от массы m одного предмета и количества nпредметов. В соответствии с условием известно:

масса M1 всех чайных ложек одного вида равнамассе M2 всех чайных ложек другого вида, т. е.M1 = M2, или M1 : M2 = 1;

масса m1 чайной ложки одного вида равна 20 г;масса m2 чайной ложки другого вида равна 30 г;сумма n1 + n2 количеств n1 и n2 чайных ложек

одного и другого вида равна 20.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


70

Таблицей условие задачи можно представить так:

Ложки Ложкиодного вида другого вида

Масса всех ложек Одна и та же

Масса одной ложки 20 г 30 г

Количество ложек 20

Обратим внимание на то, что 3 ложки по 20 гвесят 20 г · 3, т. е. 60 г, и столько же весят 2 лож�ки по 30 г, поскольку 30 г · 2 = 60 г. Два этих ко�личества вместе составляют 3 + 2, т. е. 5 ложек.А по условию всего ложек 20, т. е. в 20 : 5, илив 4 раза больше. Поэтому ложек первого видаесть 3 · 4, т. е. 12, а ложек второго вида — 2 · 4,т. е. 8.

Задача 2. На первом поле посеяли ячмень с нор�мой высева 180 кг/га, на втором — тритикалес нормой высева 175 кг/га, при этом ячменя израс�ходовали в 2 раза больше. Найдите площадь вто�рого поля, учитывая, что она вместе с площадьюпервого поля составляет 106 га.

Условие задачи представим таблицей:


Расход семян В 2 раза больше

Норма высева 180 кг/га 175 кг/га

Площадь 106 га

В задаче использована зависимость M = mSрасхода семян M от нормы высева m и площади S.

Структуры сведений в задачах 1 и 2 анало�гичны с тем отличием, что в задаче 1 отношение

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


71

M1 : M2 значений произведения M равно едини�це, а в условии задачи 2 отношение M1 : M2

значений произведения M — двум. Тем не менеепри соответствующей предварительной перефор�мулировке условия можно использовать преж�ний способ решения.

Уравняем расход семян на первом поле до рас�хода семян на втором поле, т. е. расход семян напервом поле уменьшим в 2 раза. Этого можно дос�тичь, если норму высева на первом поле уменьшимв 2 раза. Тогда получим, что эта норма будет рав�на 180 кг/га : 2, т. е. 90 кг/га.

Теперь обратим внимание на то, что расход се�мян с нормой высева 90 кг/га на 175 га такой же,как и расход семян с нормой высева 175 кг/га на90 га, т. е.

90 кг/га · 175 га = 175 кг/га · 90 га.

Если площади 175 га и 90 га уменьшить в однои то же число раз, то записанное равенство не на�рушится. Поэтому, уменьшив указанные площадив 5 раз, получим равенство

90 кг/га · 35 га = 175 кг/га · 18 га.

Площади в 35 га и 18 га вместе составляют35 га + 18 га, т. е. 53 га, что меньше действитель�ной суммы площадей первого и второго полейв 106 га : 53 га, т. е. в 2 раза. Поэтому площадьвторого поля равна 18 га · 2, т. е. 36 га.

Задача 3. Ученик за 6 ч изготавливает деталейв 3 раза меньше, чем мастер за 8 ч. Определитепроизводительность мастера, учитывая, что она на10 дет./ч больше производительности ученика.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


72


Ученик Мастер

Работа В 3 раза меньше

Производительность На 10 дет./чбольше

Время 6 ч 8 ч

В задаче использована зависимость A = pt вы�полненной работы A от производительности p ивремени работы t.

Сравнение структуры сведений этой задачи сосведениями задачи 2 показывает, что они отлича�ются только тем, что в задаче 2 дана суммаS1 + S2 значений множителя S, а в задаче 3 —разность p1 – p2 значений множителя p. Это требу�ет внесения соответствующих изменений в методрешения, но основная идея остаётся прежней.

1. Уравняем работу, выполненную учеником, доработы, выполненной мастером.

2. 6 ч · 3 = 18 ч — таким было бы время рабо�ты ученика.

3. 8 дет./ч · 18 ч = 18 дет./ч · 8 ч — работа спроизводительностью 8 дет./ч за 18 ч равна рабо�те с производительностью 18 дет./ч за 8 ч.

4. 18 дет./ч – 8 дет./ч = 10 дет./ч — на столькобольше производительность мастера, и это соответ�ствует условию.

Ответ. 18 дет./ч.

1. Величина a есть произведение величин b и c , т. е.a = bc. Известны сумма b1 + b2 значений b1 и b2 мно�жителя b и значения c1 и c2 множителя c при неизмен�ном произведении a. Какое из значений — c1 или c2 —больше?

?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


73

663. На отрезке PQ длиной 45 см выбрана точ�ка A, и на полученных частях AP и AQ, как насторонах, построены равносторонние двенадцати�угольник и восьмиугольник (рис. 238). Найдитепериметры двенадцатиугольника и восьмиугольни�ка, учитывая, что периметр восьмиугольникав 3 раза меньше (см. форзац 1).

664. На отрезке RS длиной 90 дм выбрана точкаB, отстоящая от точки R на 48 дм, и на полученныхчастях BR и BS, как на сторонах, построены равно�сторонние многоугольники, причём периметр много�угольника со стороной BR в 2 раза меньше(рис. 239). Найдите количество сторон каждогомногоугольника, учитывая, что в сумме они дают 23.

665. Есть 30 одинаковых пакетов с морковью и72 одинаковых пакета с картофелем, причём пакетс морковью весит на 3 кг меньше пакета с карто�фелем. Найдите, сколько весит пакет с морковью,учитывая, что картофеля в пакетах в 6 раз боль�ше, чем моркови.

Рис. 238

Рис. 239

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


74

666. Есть шестикилограммовые пакеты с карто�фелем и двухкилограммовые пакеты с морковью.При этом пакетов с картофелем на 40 больше, акартофеля в них в 7 раз больше, чем в пакетах сморковью. Определите, сколько овощей во всехэтих пакетах (см. форзац 3).

667. В Брест из Полоцка и Мстиславля выехалидва автомобилиста (рис. 240). Найдите скоростидвижения полоцкого и мстиславльского автомоби�листов, учитывая, что они относятся как 15 : 14 ито, что полоцкий автомобилист затратил на дорогуна 2 ч меньше.

668. В Гродно из Черикова и Пинска выехалидва автомобилиста (рис. 241). Найдите время дви�

Рис. 241

Рис. 240

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


75

жения чериковского и время движения пинскогоавтомобилиста, учитывая, что они относятся как3 : 2 и то, что скорость пинского автомобилистана 24 км/ч меньше.

669. Путешественник 3 ч ехал на машине и за�тем 10 ч поездом и всего проехал 840 км. Опреде�лите скорость поезда, учитывая, что она относит�ся к скорости машины как 3 : 4.

670. Первый автомобилист выехал из одного насе�лённого пункта со скоростью 76 км/ч, второй выехалчерез некоторое время навстречу первому со скорос�тью 90 км/ч. Когда они встретились, то оказалось,что вместе они проехали 1224 км. Определите времядвижения первого автомобилиста, учитывая, что оноотносится ко времени движения второго как 3 : 2.

—————671. Запишите формулу, связывающую массу

M израсходованных семян, норму m высева и пло�щадь S поля. Скажите, как найти:а) массу израсходованных семян, если известнынорма высева и площадь поля;б) норму высева, если известны масса израсходо�ванных семян и площадь поля;в) площадь поля, если известны масса израсходо�ванных семян и норма высева.

672. Объясните, почему истинно равенство90 · 390 = 390 · 90. Используя его, объясните, по�чему истинно равенство:а) 9 · 390 = 39 · 90; в) 45 · 390 = 195 · 90;б) 18 · 390 = 78 · 90; г) 3 · 390 = 13 · 90.

673. Найдите:а) НОД (18; 24); в) НОД (90; 390);б) НОД (90; 390; 180); г) НОД (90; 360; 108).

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


76

* * *674. В примере на деление делимое и делитель

увеличили в 3 раза. Определите, изменились личастное и остаток.

675. При умножении некоторого двузначногочисла на все однозначные числа, кроме нуля, по�лучаются произведения с одной и той же суммойцифр. Какое это число?

676. Нарисуйте, как нужно разрезать треуголь�ник на три части, чтобы из них можно было сло�жить прямоугольник.

23. Сравнение, сложение и вычитаниедробей с одинаковыми знаменателями

Пример 1. Сравним дроби 2

5 и

3

5.

Дроби 2

5 и

3

5 состоят из двух и из трёх пятых

долей (рис. 242). Вторая дробь содержит столькоже долей, как и первая, и ещё одну. Поэтому вто�рая дробь больше первой.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателямибольше та, числитель которой больше (рис. 243).

Рис. 242

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


77


4 и

3

5. Эти дроби

имеют одинаковые числители, т. е. они состоят изодинакового количества различных долей. Поэто�му сравним сначала сами доли. Понятно, что чет�вёртая доля некоторой величины больше пятойдоли этой же величины (рис. 244, а). Поэтому и3

4 >

3

5 (рис. 244, б).

Из двух дробей с одинаковыми числителямибольше та, знаменатель которой меньше.

Пример 3. Упорядочим дроби 5

11,

7

11 и

5

13 по

возрастанию.

Рис. 243

Рис. 244

а б

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


78

У дробей 5

11 и

7

11 одинаковые знаменатели и

5 < 7, поэтому 5

11 <

7

11.

У дробей 5

13 и

5

11 одинаковые числители и

13 > 11, поэтому 5

13 <

5

11.

Значит, 5

13 <

5

11 <

7

11.

Задача 1. Картофель посадили на 3

7 участка,

а томаты — на 2

7 его. Какая часть участка занята

этими культурами?Рисунок 245 показывает, что если к 3 седьмым

долям участка, занятым картофелем, прибавить2 такие же доли, занятые томатами, то получится5 седьмых долей.

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаме�нателями, нужно сложить их числители, оста�вив тот же знаменатель:

++ =

a b a bn n n

.

Задача 2. Картофель и томаты занимают 7

8

участка, а только картофель — 4

8 его. Какая

часть участка занята томатами?Рисунок 246 позволяет понять, что если из

7 восьмых долей участка, занятых картофелем и

Рис. 245

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


79

томатами, вычесть 4 такие же доли, занятые кар�тофелем, то получится 3 восьмых доли.

Чтобы из одной дроби вычесть другую дробьс таким же знаменателем, нужно из числителяуменьшаемого вычесть числитель вычитаемо�го, оставив тот же знаменатель.

a b a bn n n

−− = .

1. Какая из двух дробей с одинаковыми знаменателямименьше; больше?2. Какая из двух дробей с одинаковыми числителямибольше; меньше?3. Как сложить дроби с одинаковыми знаменателями?4. Как из одной дроби вычесть другую дробь с тем жезнаменателем?

677. Для каждой дроби можно указать дробь,меньше её, и дробь, больше её. Например,2

5 <

3

5 <

4

5. Укажите такие дроби для дроби:

а) 5

6; б)

7

11; в)

4

5; г)

11

10; д)

1

12.

678. Определите, при каких значениях перемен�ной верно неравенство:

а) 9

2 <

2

a <

13

2; б)

0

10 <

10

b <

5

10; в)

20

20 <

20

c

25

20.

679. Укажите все дроби со знаменателем:

а) 9, которые меньше 5

9;

б) 8, которые больше 7

8 и меньше 2.

Рис. 246

?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


80

680. Назовите:

а) две дроби со знаменателем 3, которые меньше 2

3;

б) четыре дроби со знаменателем 11, которые боль�

ше 19

11;

в) четыре дроби со знаменателем 1, которые боль�

ше 19

11;

г) четыре дроби со знаменателем 100, которые

меньше 19

10.

681. Сравните числа:

а) 2

7 и

5

7; г)

4

7 и

6

7; ж)

17

9 и

22

9;

б) 7

4 и

5

4; д) 4

9 и

0

9; з) 2 и

5

2;

в) 12

5 и

17

5; е)

11

1 и

7

1; и)

39

12 и 4.

682. Упорядочите числа по возрастанию:

а) 3 7 2

; ;9 9 9

; г) 5

6;

7

6;

3

6;

б) 5

2;

0

2;

1

2; д)

20

11;

11

11;

18

11;

16

11;

8

11;

в) 7

5;

2

5;

8

5; е)

2

2;

1

2;

2

2;

0

2.

683. Упорядочите числа по убыванию:

а) 4

5;

6

5;

2

5; в)

12

11;

2

11;

112

11;

11

11;

111

11;

б) 3

3;

10

3;

5

3;

12

3;

0

3; г)

13

7;

5

7;

15

7;

3

7;

9

7.

684. Витя и Таня упорядочили вместимости по

убыванию. Витя упорядочил так: 2 л; 3

2 л; 1 л;

2

4 л;

1

4 л, а Таня — так: 2 л;

3

2 л; 1 л;

1

4 л;

1

2 л.

Найдите ошибку.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


81

685. Запишите по возрастанию дроби, которыевыражают часть величины, показанную на рисунке:а) 247; б) 248; в) 249.

686. Запишите 3 числа, которые удовлетворяютусловию:

а) a < 1; б) a < 2; в) a < 3; г) 1

2 < a < 1.


а) 3

13;

9

13;

45

13;

13

13;

4

13;

7

13; б)

3

14;

3

12;

3

16;

3

7;

3

5;

3

9.


а) 20

20;

20

5;

20

2;

20

18;

20

36;

б) 7

8;

7

18;

5

18;

13

8;

13

7;

5

38.

689. Олег истратил на хлеб 2

40 всех денег, на

молоко — 9

40, на крупу —

7

40, на лимоны —

15

40всех денег. Определите:

а) на покупку чего истрачено больше всего денег;б) на покупку чего истрачено меньше всего денег;в) какая часть денег осталась у Олега.

Рис. 247 Рис. 248

Рис. 249

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


82

690. Какая из дробей больше:

а) 5

6 или

6

5; в)

157

158 или

18

17;

б) 13

12 или

3

4; г)

402

403 или

215

193?

691. В бидоне было 23

10 л молока, долили ещё

5

10 л.

Сколько молока стало в бидоне?

692. За два дня выполнили 11

16 всей работы, при�

чём в первый день — 7

16 работы. Определите, ка�

кую часть работы:

а) выполнили во второй день;б) нужно ещё выполнить.

693. Найдите сумму:

а) +1 3

5 5; в) +

3 9

11 11; д) +

19 6

21 21;

б) +2 4

7 7; г) +

5 1

8 8; е) +

23 18

100 100.

694. Найдите разность:

а) −5 1

9 9; в) −

13 9

16 16; д) −

45 29

69 69;

б) −7 3

10 10; г) −

15 9

17 17; е) −

77 58

123 123.

695. Выполните сложение:

а) +1 2

4 4; в) +

1 1

2 2; д) +

3 7

10 10;

б) +0 3

3 3; г) +

9 2

8 8; е) +

1 1

4 4.

696. Выполните действия:

а) +3 1

5 5; в) +

5 4

10 10; д) −

7 4

3 3;

б) +4 2

7 7; г) −

3 1

4 4; е) −

1 1

2 2;

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


83

ж) −4 3

4 4; и) + +

1 1 2

3 3 3; л) −

13 3

10 10;

з) +3 5

2 2; к) −

3 1

8 8; м) + +

5 5 5

6 6 6.


а) + + +33 7 10 25

100 100 100 100; в) −

1000 999

9 9;

б) − −900 90 8

1000 1000 1000; г)

971 671

30 30− .

698. Составьте все меньшие единицы дроби сознаменателями:

а) 3; б) 4; в) 5; г) 6.

699. Определите, при каком значении перемен�ной верно равенство:

а) + =6 10

7 7 7

x; в) − =

19 22

10 10 10

y;

б) − =8 3

15 15 15

a; г) + =

9 11 20

50 50b.

700. Определите, при каком значении перемен�ной верно неравенство:

а) 1

4 +

4

x < 1; в)

1

3 +

3

x < 2;

б) 3

8 +

8

x < 1; г)

10

x +

1

10 <

7

10.


а) p + 1

9 =

5

9; в)

13

51 – l =

6

51;

б) 8

7 + x =

12

7; г) f –

16

27 =

11

27.

702. Сравните значения выражений:

а) +3 9

11 11 и +

2 10

11 11; в) +

57 19

87 87 и −

106 29

87 87;

б) −31 25

45 45 и −

44 35

45 45; г) −

26 13

27 27 и +

14 19

33 33.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


84

703. Длина прямоугольника 9

16 м, а ширина на

2

16 м больше. Найдите периметр прямоугольника.

704. Нарисуйте 3 равных отрезка. Один разде�лите на 2 доли, второй — на 6, а третий — на12 долей. По рисунку определите, во сколько раз:

а) 1

2 больше

1

6; г)

1

3 больше

1

6;

б) 1

6 больше

1

12; д)

1

3 больше

1

12;

в) 1

2 больше

1

12; е)

5

6 больше

1

12.

705. В первый день машина сделала 8 рейсов,во второй — 11 рейсов и перевезла на 15 т зернабольше. Определите, сколько зерна перевезла ма�шина за первый и за второй день.

706. Машина грузоподъёмностью 4 т перевез�ла на 14 т зерна меньше, чем вторая машинагрузоподъёмностью 6 т. Определите, сколькозерна перевезли первая и вторая машины, учиты�

вая, что они сделали одинако�вое количество рейсов.

707. На отрезке AB выбранатакая точка K, что KA : KB = 3 : 4(рис. 250). На отрезках�частяхKA и KB построены равносто�ронние восьмиугольник и пяти�угольник соответственно. Найди�те периметры многоугольников,учитывая, что периметр восьми�угольника на 48 см больше.Рис. 250

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


85

Условие задачи представим краткой записью(см. форзац 1):

Первый Второймногоугольник многоугольник

Периметр На 48 см больше

Длина стороны 3 доли 4 доли

Количество сторон 8 5

Уравняем длины сторон многоугольников, на�пример, до длины стороны второго многоугольни�ка. Для этого длину стороны первого многоуголь�ника уменьшим в 3 раза и затем полученный ре�зультат увеличим в 4 раза. Для того, чтобы пери�метр первого многоугольника не изменился, коли�чество его сторон нужно уменьшить в 4 раза, а за�тем полученный результат увеличить в 3 раза. По�лучаем, что количество сторон первого много�угольника станет равным 8 : 4 · 3, т. е. равным 6.

При равных длинах сторон периметр первогомногоугольника больше на 48 см из�за того, что унего сторон больше на одну. Поэтому длина сторо�ны уменьшенного первого многоугольника и, зна�чит, длина стороны второго много�угольника равна 48 см. Посколькувторой многоугольник имеет 5 сто�рон, то его периметр равен 48 см · 5,т. е. 240 см. Тогда периметр перво�го многоугольника равен 240 см ++ 48 см, т. е. 288 см.

708. На отрезке RS длиной100 мм выбрана такая точка A, чтоAR – AS = 18 мм (рис. 251). На Рис. 251

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


86

отрезках�частях AR и AS построены равносторон�ние многоугольники, количества сторон которыхотносятся как 2 : 3. Найдите периметры много�угольников, учитывая, что у многоугольника состороной AR периметр на 20 мм меньше.

—————709. Постройте угол, составляющий:

а) 1

9 развёрнутого угла;

б) 1

3 прямого угла;

в) 1

12 полного угла;

г) 5

20 развёрнутого угла.

710. Отрезок OA координатного луча междучислами 0 и 1 точками M, N, P, Q, R, S разделённа доли (рис. 252). Определите, какое число соот�ветствует точке:

а) M; б) N; в) P; г) Q; д) R; е) S.

711. Перенесите рисунок 252 в тетрадь. Каждуюиз долей отрезка OA разделите на 3 меньшие доли.

Постройте точку S, соответствующую числу 8

7, и

определите, какое число соответствует точке:а) M; б) N; в) P; г) Q; д) R; е) A.

712. Нарисуйте круг. Разделите его пополам,каждую из полученных долей ещё пополам, потомещё раз каждую долю пополам. Определите, какаячасть круга получится, если взять:а) 5 долей; б) 6 долей; в) 4 доли.

Рис. 252

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


87

713. Найдите отрезки, на которые данная точ�ка разделяет данный отрезок длиной 376 мм, учи�тывая, что один из них в 7 раз меньше другого.

714. Дорога из Пружан в Ружаны (рис. 253) накарте показана линией длиной 25 мм. Определите,какую длину имеет на этой карте линия, изобра�жающая дорогу из Кобрина до Баранович; из Сло�нима до Баранович.

715. Из 12 кг муки выпекают 16 кг хлеба.Сколько хлеба будет выпечено из 75 кг муки?

716. За 14 мин колесо сделало 35 полных оборо�тов. Определите, на какой угол оно повернётся за:

а) 1 мин; б) 10 с; в) 1 с.

717. Антон сначала шёл со скоростью 5 км/ч, апотом снизил её до 4 км/ч и прошёл с меньшейскоростью на 6 км больше. Найдите, сколько вре�мени шёл Антон с той и другой скоростью, учиты�вая, что он был в пути 6 ч.

718. Туристы за 7 ч прошли пешком и проеха�ли автобусом 230 км. Найдите, сколько времениони шли пешком, учитывая, что автобус проезжал

Рис. 253

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


88

70 км за час, а пешком туристы проходили 5 кмза час.

719. Туристы 3 ч шли пешком и 5 ч ехали ав�тобусом и всего преодолели расстояние в 340 км.Определите, с какой скоростью они шли пешком,учитывая, что эта скорость в сумме со скоростьюавтобуса даёт 70 км/ч.

* * *720. 9 одинаковых конструкторов вместе содер�

жат меньше 100 деталей, а 12 таких же конструк�торов — больше 130 деталей. Сколько деталей водном конструкторе?

721. Четырём мотоциклистам нужно доставитьпакет из одного места в другое за 250 км. Устано�вите, смогут ли они это сделать, если полногобака топлива хватает мотоциклу на 120 км пути,учитывая, что получить топливо в дороге нельзя,можно только слить топливо из бака одного мото�цикла в бак другого.

722. Чётными цифрами записано 25 трёхзнач�ных чисел. Докажите, что по крайней мере 7 изних принадлежат одной сотне.

24. Основное свойство дроби

Пример 1. Мама угощала детей пирогом. Лене

она дала 1

4 пирога, Васе —

2

8 и Янке —

3

12 пиро�

га. Сравним части пирога, полученные детьми.Изобразим части пирога, полученные деть�

ми, — получим рисунок 254, а—в.Видим, что если пирог разделить на 4 доли, а

потом каждую из них ещё и пополам, то получит�

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


89

ся 8 долей. При этом из 1 четвёртой доли полу�чится 2 восьмых. Значит, Лена и Вася получилипирога поровну:

=1 2

4 8.

А если каждую из четвёртых долей разделитьна 3 доли, то получится 12 долей, и при этом3 двенадцатые доли составят 1 четвёртую долю.Значит, Лена и Янка также получили равные час�ти пирога:

=1 3

4 12.

Как результат можем утверждать, что все детиполучили одинаковые части пирога:

= =1 2 3

4 8 12.

Обратим внимание на то, что вторая дробь полу�чается из первой умножением числителя и знаме�нателя её на 2, а третья дробь — умножением на 3.


3 и

4

6. Для этого ис�

пользуем основное свойство частного, заменив чер�ту дроби знаком деления:

2

3 = 2 : 3 = (2 · 2) : (3 · 2) = 4 : 6 =

4

6.

а б в

Рис. 254

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


90

Значит, дроби 2

3 и

4

6 представляют одно и то

же число.Пример 3. Сравним дроби

11

8 и

36

24. Получим:

36

24 = 36 : 24 = (36 : 3) : (24 : 3) = 12 : 8 =

12

8.

Значит, 36

24 =

12

8. Но

11

8 <

12

8. Поэтому

11

8 <

36

24.

Отметим, что дробь 12

6 получена из дроби

6

3умножением на 2 её числителя и знаменателя, а

дробь 12

8 — из дроби

36

24 делением на 3 числителя

и знаменателя (рис. 255).

Основное свойство дроби даёт возможность преоб�разовывать дробь, заменяя её другой равной дробью.

Пример 4. Число 3

5 представим дробью со зна�

менателем 35.Обратим внимание на то, что новый знаменатель

35 больше исходного знаменателя 5 в 35 : 5, т. е.в 7 раз. Поэтому

= =3 3 7 21

5 5 7 35

·

· .

Говорят, что дробь 3

5 привели к новому знаме�

нателю 35. Число 7, на которое умножили числи�

Рис. 255

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


91

тель и знаменатель дроби 3

5, называют дополни�

тельным множителем.

Понятно, что дробь 3

5 можно привести и к дру�

гим знаменателям, которые кратны числу 5:

=

2

3 6

5 10; =

3

3 9

5 15; =

4

3 12

5 20; =

5

3 15

5 25; ….

Пример 5. Числитель и знаменатель дроби 12

20имеют общий делитель 4. Поэтому её можно заме�нить более простой дробью:

= =12 3 4 3

20 5 4 5

·

· .

Говорят, что дробь 12

20 сократили на число 4

(рис. 256).

Действия приведения дроби к новому знаменате�лю и сокращения дроби взаимно обратны (рис. 257).

Не каждую дробь можно сократить. Например,

дробь 3

5 сократить нельзя, так как числа 3 и 5

взаимно просты, они не имеют других общих де�лителей, кроме числа 1. Такая дробь называетсянесократимой.

Рис. 256

Рис. 257

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


92

Дробь обычно сокращают на наибольший об�щий делитель числителя и знаменателя. После та�кого сокращения общих делителей уже не остаёт�ся, поэтому получается несократимая дробь.

Каждую дробь можно заменить равной ей не�сократимой дробью.

Пример 6. Сократим дробь 72

60 (рис. 258).

Пример 7. Сократим дробь 162 490

700 243

·

· .

При сокращении дроби необязательно искатьНОД её числителя и знаменателя. Можно сокра�щать последовательно. Обратив внимание на то,что числа 490 и 700 имеют общий делитель 10, ачисла 162 и 243 делятся на 9, можем выполнитьсокращение на 10 · 9:

16218

490·49

70070

243·27

18 49

70 27=

·

· .

Теперь замечаем, что числа 18 и 27 делятся на 9,а числа 49 и 70 — на 7, и продолжаем сокращение:

182

49·7

7010

27·3

2=

1

7

10

·

5

7

153=

· .

Иной раз полезно не уменьшить, а, наоборот,увеличить знаменатель дроби. Это мы делали впримере 4.

Рис. 258

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


93

1. Сформулируйте основное свойство частного.2. Что заменяет в дробном выражении черта дроби?3. Сформулируйте основное свойство дроби.4. Какое действие называют приведением дроби к ново�му знаменателю?5. Как называют число, на которое умножают числи�тель и знаменатель дроби?6. Какое действие называют сокращением дроби?7. Какую дробь называют несократимой?8. Как данную дробь заменить равной несократимойдробью?

723. Как нужно изменить знаменатель дроби,чтобы величина дроби не изменилась, если:

а) числитель дроби умножили на 5;б) знаменатель дроби разделили на 5?

724. Найдите равные дроби среди дробей:

а) 6

12;

20

55;

1

2;

4

11;

50

100; б)

7

8;

10

100;

30

300;

21

24;

1

10.

725. Замените число:

а) 5

7 дробью со знаменателем 42;

б) 4

11 дробью с числителем 76.

726. Восстановите записи:3

7 =

∗21

= ∗

12 =

∗21

= ∗

63 =

∗84

= ∗

102 =

∗210

= ∗

126 =

∗126

.

727. Сравните дроби:

а) 1

2 и

3

6; г)

15

25 и

3

4; ж)

12

21 и

15

35;

б) 1

2 и

3

5; д)

3

4 и

5

8; з)

20

28 и

25

30;

в) 4

6 и

2

5; е)

7

39 и

5

26; и)

43

86 и

65

195.

?АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


94

728. Упорядочите величины по возрастанию:

а) 3

2 м;

1

2 м;

4

2 м;

б) 7

10кг;

11

10кг;

2

10кг;

в) 5

4 ч;

1

2 ч;

3

4 ч;

г) 2 т; 4

2 т;

20

10 т;

д) 8

5 дм;

5

2 дм;

12

2 дм;

е) 10

100 км2;

125

1000 км2;

1

2 км2.

729. Сократите дробь:

а) 22

44; д)

14

52; и)

8 · 11 · 19 · 3

19 · 22 · 4 · 20;

б) 45

90; е)

14

91; к)

25 · 56 · 98 · 154

33 · 70 · 42 · 280;

в) 35

140; ж)

9 · 17 · 3

15 · 6 · 51 ; л) 6 · 10 · 18 · 21

8 · 15 · 27;

г) 45

270; з)

15 · 6 · 13

9 · 5 · 6 · 26 ; м) 144 · 98 · 24

12 · 42 · 168.

730. Вычислите и ответ запишите несократи�мой дробью:

а) +8 7

25; д) +

6 4

9 12;

б) −2 · 15 3 · 4

48; е) −

12 3

16 12;

в) +−

4 · 13 13 · 17

9 · 13 5 · 13 ; ж) −21 5

28 20;

г) −−

21 · 39 13 · 21

7 · 37 7 · 11 ; з) + −6 18 2

18 27 6.

731. Самые большие птицы — в надотряде

птиц�бегунов. Масса нанду достигает 1

2 ц, эму тя�

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


95

желее нанду на 1

20 ц, казуар тяжелее эму на

1

4 ц,

а страус тяжелее казуара на 1

10 ц. Найдите массы

этих птиц в килограммах.

732. Выразите в одинаковых долях:

а) 3

5 и

2

3; в)

2

9 и

5

12;

б) 1

2 и

5

6; г)

4

12 и

3

5.

733. Приведите дроби к общему знаменателю:

а) 1

4 и

1

3; д)

1

2,

1

3 и

1

5;

б) 5

6 и

7

8; е)

2

15,

7

20 и

4

25;

в) 1

2 и

4

5; ж)

1

4,

1

6,

7

15 и

101

120;

г) 5

11 и

4

33; з)

1

4,

5

6,

7

30 и

11

45.

734. Приведите дробь:

а) 1

3 к числителю 2; 4; 6; 8; 11;

б) 1

4 к числителю 3; 5; 7; 9; 10; 13;

в) 1

9 к числителю 3; 4; 6; 8; 10; 12;

г) 6

12 к знаменателю 4; 6; 24; 60; 18;

д) 4

10 к знаменателю 5; 20; 40; 15; 25;

е) 14

42 к знаменателю 21; 6; 3; 9; 63.

735. Сократите дроби 72

96,

60

24,

48

36,

84

120 и

12

180 на:

а) 2; б) 3; в) 4; г) 6.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


96

736. Укажите действие, c помощью которого отлевой части равенства перешли к его правой части:

а) 2

3 =

16

24; г)

7

8 =

28

32; ж)

80

48 =

40

24;

б) 3

4 =

21

28; д)

24

54 =

4

9; з)

93

27 =

31

9;

в) 4

5 =

20

25; е)

63

72 =

7

8; и)

7

13 =

56

104.

737. Сократите дробь 20

30 на все возможные числа.

738. Приведите, если возможно, к знаменате�лю 48 число:

а) 5

8; г)

3

2; ж)

3

4; к) 2;

б) 11

16; д)

7

15; з)

17

24; л) 10;

в) 5

1; е)

5

6; и)

2

7; м) 111.

739. Приведите, если возможно, к числите�лю 80 дробь:

а) 8

7; г)

1

2; ж)

12

37; к) 4;

б) 20

9; д)

5

2; з)

40

27; л) 20;

в) 6

17; е)

10

9; и)

4

5; м) 222.

740. Приведите, если возможно, к знаменате�лю 10 или знаменателю 100 дробь:

а) 1

2;

1

3;

1

4;

1

5;

1

6;

1

7;

1

8;

1

9;

б) 7

20;

8

25;

3

20;

4

30;

35

50;

в) 57

65;

150

75;

9

30;

13

65;

113

1130.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


97

741. Со знаменателем 24 запишите дробь:

а) 9

4;

1

6;

5

8; 10; 12; б)

40

48;

20

96;

100

120;

10

240;

30

72.

742. Определите, сокращением или приведени�ем к новому знаменателю получается одна дробьиз другой:

а) 5

6 и

20

24; в)

9

15 и

27

45;

б) 9

16 и

18

32; г)

72

96 и

6

8.

743. Докажите, что равны дроби:

а) 8

12 и

12

18; в)

30

48 и

45

72;

б) 18

48 и

24

64; г)

20

35 и

8

14.

744. Сократите дробь:

а) 32

12; в)

120

160; д)

92

138;

б) 64

56; г)

320

960; е)

1386

1848.

745. Запишите дробь натуральным числом:

а) 28

7; д)

144

12; и)

480

160;

б) 54

9; е)

125

25; к)

105

15;

в) 120

10; ж)

56

14; л)

192

96;

г) 11

1; з)

81

27; м)

438

73.

746. Приведите к общему знаменателю дроби:

а) 4

5 и

5

9; в)

3

2 и

3

5; д)

2

11 и

3

5;

б) 1

2 и

11

16; г)

7

10 и

16

15; е)

4

15 и

7

9;

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


98

ж) 4

3 и

2

5; и)

5

4 и

15

6; л)

5

6 и

3

20;

з) 4

7 и

6

10; к)

22

7 и

55

100; м)

7

15 и

1

13.

747. Упростите:

а) 7 · 5

45 8 ·; в)

15 · 24

6 · 4 ; д) 12 · 3

16 · 9 ;

б) 4 · 15

16 · 24 ; г) 7 · 18

63 · 4 ; е) 18 · 32

8 · 16 .

748. Приведите дроби к наименьшему общемузнаменателю:

а) 1

6 и

5

4; в)

5

8 и

7

20; д)

6

15 и

2

10;

б) 4

9 и

1

6; г)

7

8 и

1

12; е)

7

6 и

1

15.

749. Сократите дроби и приведите их к наимень�шему общему знаменателю:

а) 15

108,

70

180 и

20

225; б)

10

72,

96

108 и

70

144.

750. Сравните дроби, приведя их к общему чис�лителю:

а) 1

2 и

2

3; в)

4

9 и

12

25; д)

21

37 и

3

5;

б) 2

3 и

6

7; г)

15

67 и

3

13; е)

8

17 и

2

5.

751. Запишите числа по убыванию:

а) 1

2;

3

7;

11

20;

13

30;

31

70;

б) 2

3;

5

6;

10

25;

11

21;

11

23;

в) 2

3;

4

5;

8

9;

13

13;

16

17;

32

39;

32

31;

г) 16

17;

18

17;

12

19;

3

4;

12

17;

15

19.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


99

752. Из одного килограмма глины вылепили9 одинаковых зубров, а из другого — 7 одинако�вых бегемотов. Определите, что тяжелее — 5 беге�мотов или 7 зубров.

753. На отрезке KL длиной 47 см выбрана такаяточка P, что PK – PL = 11 см (рис. 259). На от�резках�частях PK и PL, как на сторонах, построе�ны равносторонние многоугольники, у которыхвместе 22 стороны. Найдите периметры много�угольников, учитывая, что у многоугольника состороной PK периметр на 67 см меньше.

Из условия о том, что отрезки PK и PL вместесоставляют 47 см и PK – PL = 11 см, находим, чтоPK = (47 см + 11 см) : 2 = 29 см, и PL = 29 см –– 11 см = 18 см.

С учётом этого условие задачи представимкраткой записью (см. форзац 3).

Допустим, что оба многоугольника имеют оди�наковое количество сторон, тогда этих сторонбудет 22 : 2, т. е. 11. С учётом этого периметрмногоугольника со стороной PK был бы равен29 см · 11, т. е. 319 см, а периметр многоугольни�ка со стороной PL — 18 см · 11, т. е. 198 см.

Значит, периметр первого многоугольника на319 см – 198 см , т. е. на 121 см, больше. Но по

Рис. 259

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


100

условию этот периметр на 67 см меньше. Получа�ется, что периметр многоугольника со сторонойPK нужно уменьшить на 121 см + 67 см, т. е. на188 см.

Если на единицу уменьшить количество сторонпервого многоугольника (со стороной PK) и увели�чить на 1 количество сторон второго многоугольни�ка (со стороной PL), то отличие периметров этихмногоугольников уменьшится на 29 см + 18 см,т. е. на 47 см. Поэтому количество сторон первогомногоугольника нужно уменьшить, а количествосторон второго многоугольника нужно увеличитьна 188 см : 47 см, т. е. на 4.

Поэтому многоугольник со стороной PK имеет11 – 4, т. е. 7 сторон, а многоугольник со сторо�ной PL — 11 + 4, т. е. 15 сторон. Значит, пери�метр многоугольника со стороной PK равен29 см · 7, т. е. 203 см, а периметр многоугольникасо стороной PL — 18 см · 15, т. е. 270 см.

754. На отрезке XY длиной 104 мм выбранаточка T (рис. 260) и на отрезках�частях TY и TX,

как на сторонах, построены рав�носторонние одиннадцатиуголь�ник и восьмиугольник соответ�ственно. Найдите периметрымногоугольников, учитывая, чтопериметр восьмиугольника на34 мм больше.

755. Чтобы засеять 10 га ро�жью и 5 га озимой пшеницей,понадобилось 3 т 70 кг семян.Найдите нормы высева ржи иРис. 260

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


101

пшеницы, учитывая, что пшеницы на 1 га высева�ли на 40 кг меньше, чем ржи.

Условие задачи представьте краткой записью.Явления, описанные в задаче, — посев ржи и посевпшеницы — отличаются в двух отношениях: засея�ны разные площади и нормы высева разные. «Отка�жемся» от второго отличия, т. е. допустим, чтонормы высева одинаковые и равны, например, нор�ме высева ржи. Тогда бы на 5 га, на которых былапосеяна пшеница, было бы израсходовано семянбольше на 40 кг/га · 5 га, т. е. на 200 кг. А всегобыло бы израсходовано семян 3070 кг + 200 кг,т. е. 3270 кг. Этими семенами была бы засеянаплощадь, равная 10 га + 5 га, т. е. 15 га. Поэтомурасход семян на гектар, т. е. норма высева ржи,равен 3270 кг : 15 га, т. е. 218 кг/га. Тогда нормавысева пшеницы равна 218 кг/га – 40 кг/га,т. е. 178 кг/га.

756. На первом поле посеяли ячмень с нормойвысева 180 кг/га, на втором, площадь которогона 8 га больше, — тритикале с нормой высева175 кг/га. Найдите площади полей, учитывая, чтовсего было израсходовано 14 т 180 кг семян.

—————

757. Найдите число:

а) при делении на которое числа 2236 получаетсянеполное частное 31 и остаток 66;б) при делении которого на 70 получается непол�ное частное 21 и остаток 3;в) наибольшее из двузначных чисел, при делениикоторого на 13 получается остаток 7. Определите,каким при этом будет неполное частное.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


102

758. На координатном луче в одном направле�нии отложены три отрезка AB, BC, CD, причёмкаждый следующий отрезок вдвое длиннее преды�дущего. Учитывая, что точка C имеет координату256, а середина M отрезка CD — координату 320,найдите координаты точек A, B, D и середин K иL отрезков AB и BC.

759. Через точку M внутри угла ABC, равного65, проведены две прямые, которые пересекаютстороны BA и BC в точках P, K, L, Q ( рис. 261).Найдите углы четырёхугольника BPML и тре�угольников LMQ и PMK, учитывая, что прямаяPQ пересекает сторону BA под прямым углом, апрямая KL — сторону BC под углом в 74.

760. За несколько ручек по 2000 р. уплатили в3 раза больше, чем за несколько карандашей по1200 р. Найдите, сколько куплено ручек и сколькокарандашей, учитывая, что всего их оказалось 14.

761. За 10 ручек уплатили в 3 раза больше, чемза 5 карандашей. Найдите цену ручки и цену ка�рандаша, учитывая, что в сумме эти цены состав�ляют 3000 р.

Рис. 261

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


103

* * *762. Решите уравнение НОК (16; x) + x = 60.

763. Двузначное число получается из трёхзнач�ного после зачёркивания одной цифры. Суммаэтих чисел равна 187. Найдите числа.

764. В каждом из 75 ящиков лежит не более 17предметов. Докажите, что по крайней мере в 5ящиках лежат одинаковые количества предметов.

25. Смешанные дроби

Разделим каждый из двух прямоугольников напять долей (рис. 262). Три из этих долей составля�

ют дробь 3

5 (рис. 263), пять — дробь

5

5 (рис. 264),

семь — дробь 7

5 (рис. 265). У первой из получен�

ных дробей числитель меньше знаменателя, у вто�рой — числитель равен знаменателю, у третьей —числитель больше знаменателя.

Дробь, числитель которой меньше знаменателя,называют правильной.

Дробь, числитель которой больше знаменателяили равен ему, называют неправильной (рис. 266).

Рис. 262 Рис. 263

Рис. 264 Рис. 265АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


104

Пример 1. Изобразим на координатном луче

числа 3

5,

5

5,

7

5.

Чтобы изобразить дробь 3

5, нужно единичный

отрезок разделить на пять долей и отложить тритакие доли (рис. 267, а).

Дробь 5

5 изображается той же точкой, что и

число 1 (рис. 267, б), так как 5 пятых долей со�ставляют единичный отрезок OE.

Чтобы изобразить дробь 7

5, снова единичный

отрезок разделим на пять долей и отложим семьтаких долей (рис. 267, в).

Правильная дробь меньше числа 1, неправиль�ная — больше или равна числу 1.

Рис. 266

Рис. 267

а

б

в

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


105

Задача. Есть 7 яблок, которые нужно разделитьпоровну между тремя детьми. Сколько яблок по�лучит каждый ребёнок?

Задача решается делением — получим 7 : 3 =

= 7

3 (рис. 268). Каждый ребёнок получит

7

3 яблока.

Можно рассуждать и иначе. Каждому ребёнку до�

станется по 2 целых яблока и ещё по 1

3 оставшегося

яблока. Для такого числа, которое складывается изнатурального числа и дроби, принято обозначение

12

3, которое означает сумму чисел 2 и

1

3 (рис. 269).

Сумму натурального числа и правильной дроби,записанную без знака «+», называют смешаннойдробью. При этом первое слагаемое называют

Рис. 268

Рис. 269

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


106

целой частью смешанной дроби, а второе слагае�мое — его дробной частью (см. рис. 269).

Каждую смешанную дробь можно выразить не�правильной дробью.

Пример 2. Представим неправильной дробью

смешанную дробь 2

35

(рис. 270).

Смешанная дробь равна обыкновенной дроби,у которой тот же знаменатель, а числительявляется суммой числителя дробной части ипроизведения целой части на знаменатель дроб�ной части (рис. 271).

Каждую неправильную дробь можно выразитьсмешанной дробью.

Пример 3. Выразим неправильную дробь 25

7смешанной дробью. Выделим из неё целую часть:25 : 7 = 3 (ост. 4). Значит, 25 = 7 · 3 + 4. Поэтому:

+= = + = + =

25 7 · 3 4 7 · 3 4 4 43 3

7 7 7 7 7 7.

Пример 4. Запишем дробь 932

37 смешанной

дробью (рис. 272).

Рис. 270

Рис. 271

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


107

Чтобы неправильную дробь выразить сме�шанной дробью, нужно разделить с остатком еёчислитель на знаменатель; неполное частноеявляется целой частью смешанной дроби, а ос�таток — числителем дробной части (рис. 273).

Пример 5. Сравним числа 25

7 и

13

3. Запишем

числа смешанными дробями:

=25 4

37 7

; 13 1

43 3= .

Видим, что первое число меньше числа 4, а вто�рое — больше этого числа:

25

7 < 4 и 4 <

14

3 (рис. 274).

Значит, 25

7 <

14

3.

Рис. 272

Рис. 273

Рис. 274

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


108

Из двух чисел больше то, целая часть которо�го больше. Если целые части чисел равны, тобольше то число, дробная часть которого больше.

1. Какую дробь называют правильной и какую непра�вильной?2. Как правильная и неправильная дроби связаны счислом 1?3. Как дробное число изобразить на координатном луче?4. Что называют смешанной дробью; целой частью сме�шанной дроби; дробной частью смешанной дроби?5. Как читают смешанную дробь?6. Как смешанную дробь выразить неправильной дробью?7. Как неправильную дробь выразить смешанной дробью?8. Как сравнивают смешанные дроби?

765. Запишите отдельными строчками правиль�ные и неправильные дроби:1

6;

5

6;

13

18;

29

18;

21

16;

45

16;

86

92;

56

92;

12

12;

9

7;

91

76;

75

76;

3131

264;

263

264;

192

192;

56

192;

408

513;

510

409;

510

511;

511

1000.

766. Из дробей1

5;

7

6;

13

10;

90

18;

32

16;

15

16;

8

93;

36

36;

15

12;

3

7;

90

75;

47

45;

3113

211;

261

216;

149

149;

156

192;

408

407;

400

200;

500

1000;

311

113выпишите те, которые:а) меньше 1; б) больше 1; в) равны 1.

767. Запишите все:а) правильные дроби со знаменателем 6;б) неправильные дроби с числителем 6.

768. Определите, какую цифру может заменять

переменная a, учитывая, что дробь 2 6

265

a является

неправильной, а дробь 5

81

aaa

— правильной.

?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


109

769. Нарисуйте отрезок длиной 6 см. Построй�те отрезки, которые от его длины составляют3

4,

11

4,

31

4,

12

4,

21

4. По рисунку определите,

сколько четвёртых долей содержит каждый из по�строенных отрезков.

770. Выразите неправильной дробью:

а) 3

14

; в) 5

78

; д) 3

124

; ж) 7

1115

;

б) 2

47

; г) 7

812

; е) 13

2634

; з) 13

2524

.

771. Нарисуйте в тетради отрезок длиной 6 см.

Постройте отрезок, который составляет 7

3 его дли�

ны. С помощью рисунка поясните, как неправиль�

ную дробь 7

3 заменить смешанной дробью.

772. Запишите смешанной дробью число:

а) 5

3; в)

127

12; д)

665

22; ж)

432

25;

б) 15

7; г)

147

36; е)

1213

55; з)

2858

19.

773. Найдите целую и дробную части числа:

а) 7

3; в)

15

13; д)

936

100; ж)

349

17;

б) 40

9; г)

25

7; е)

537

53; з)

978

22.

774. Покажите на координатном луче число:

а) 3; в) 1

2; д)

3

5; ж)

31

4;

б) 1

13

; г) 3

210

; е) 6

10; з)

12

5.

775. Между какими последовательными нату�ральными числами заключено число:

а) 67

23; б)

122

12; в)

145

13; г)

247

82?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


110

776. Сравните числа:

а) 20

3 и

21

3; в)

28

7 и

32

8; д)

411

17 и

440

19;

б) 17

4 и 4; г)

53

10 и

48

9; е)

301

23 и

376

29.

777. Запишите по:

а) возрастанию числа 50

7;

25

4;

45

9; 7;

11

2; 8;

б) убыванию числа 65

8;

100

11;

126

14;

78

9; 10;

29

11.

778. Выделите целую часть, предварительно со�кратив дробь:

а) 10

6; в)

10

15; д)

40

15; ж)

50

15; и)

72

45;

б) 18

12; г)

28

8; е)

42

9; з)

56

12; к)

252

224.

779. Определите, какое из чисел наибольшее икакое наименьшее:

а) 7

10;

11

15;

2

3;

1

2; б)

12

3;

22

5;

72

10;

52

6.

780. Найдите наибольшее натуральное число,удовлетворяющее неравенству:

а) a < 113

49; б)

779

41 l k; в) 1 m t m

379

19.

781. Выполните действия:

а) 3 1

14 4+ ; б) −

2 64 2

7 7; в)

1 1 15 4 5

2 2 2− + .


а) + =1 3

3 54 4

x ; б) − =3 7

6 59 9

z ; в) − =3 7

410 10

t .

783. Максим бежит со скоростью 8 км/ч, а Ан�дрей едет на велосипеде со скоростью 18 км/ч.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


111

Найдите, на сколько метров в минуту сближают�ся Максим и Андрей, учитывая, что:а) Андрей догоняет Максима (рис. 275);б) Андрей и Максим движутся навстречу другдругу (рис. 276).

—————784. Найдите отрезки�части, на которые точка

разделяет данный отрезок, учитывая, что одначасть относится ко второй как 5 : 3 и больше неёна 36 мм.

785. Нарисуйте отрезок SD и постройте окруж�ности с центрами в точках S и D, радиусы кото�рых равны 3 см и 2 см. Покажите на рисунке об�щие точки кругов, ограниченных этими окружно�стями, учитывая, что длина отрезка SD равна:

а) 4 см; б) 5 см; в) 6 см.

786. Постройте угол величиной в 48° и на егосторонах от вершины отложите отрезки длинами43 мм и 64 мм. Соедините концы этих отрезков.Вы построили треугольник. Измерьте третью егосторону. Измерьте один из углов и найдите вычис�

Рис. 275

Рис. 276

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


112

лением третий угол. Проверьте вычисления изме�рением.

787. На координатном луче отложены в однусторону 3 отрезка AB, BC, CD так, что BC в 7 разкороче AB, а CD в 2 раза короче BC. Точка C име�ет координату 290, а середина K отрезка AB —координату 236. Найдите координаты точек A, B,D и середин L, M отрезков BC и CD.

788. На рисунке 277 показан прямоугольныйпараллелепипед и указаны в дециметрах его из�мерения. Запишите три разных пути по рёбрам

параллелепипеда из точки P в точ�ку C кратчайшей длины и найдитеэту длину.

789. В 500 г мака и 900 г просанасчитывается примерно 1930 тыс.штук семян, а в 250 г мака и1100 г проса — 1095 тыс. штук.Сколько штук семян в одном грам�ме той и другой культуры?

790. Купили несколько карандашей по 1200 р.за карандаш и столько же ручек по 2000 р. за руч�ку. Найдите стоимость всей покупки, учитывая,что за карандаши уплатили на 4000 р. меньше.

791. Антон за 4 ручки уплатил на 4500 р. мень�ше, чем Аня за 7 таких же ручек. Найдите ценуручки.

792. Ира за 7 дней прочитала повесть, занима�ющую на 14 страниц больше повести, которуюпрочитал Олег за 12 дней. Найдите скорости, с ко�торыми читали книги Ира и Олег, учитывая, чтоодна из них в два раза больше.

Рис. 277

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


113

793. Янка читал по 15 страниц в день, а Зи�на — по 7 страниц в день. Янка прочитал повесть,занимающую на 36 страниц меньше повести, кото�рую прочитала Зина. Найдите время, за котороепрочитали повести Янка и Зина, учитывая, чтоЗина читала книгу в 3 раза дольше.

794. Есть два прямоугольных параллелепи�педа — один с высотой 8 см, второй с высотой9 см. Площадь основания второго параллелепипе�да больше на 70 см2, а объём больше в три раза(рис. 278). Найдите:

а) объёмы параллелепипедов;б) измерения оснований параллелепипедов, учиты�вая, что у первого параллелепипеда они отличают�ся на 1 см, у второго — на 9 см.

795. Есть два прямоугольных параллелепи�педа — один с площадью основания 96 см2, второйс площадью основания 36 см2. Высота первого па�раллелепипеда больше на 3 см, а объём больше в4 раза (рис. 279). Найдите:

а) объёмы параллелепипедов;б) измерения оснований параллелепипеда, учиты�вая, что у первого параллелепипеда они относятсякак 3 : 8, у второго отличаются на 5 см.

Рис. 278 Рис. 279

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


114

* * *796. На какое наибольшее число частей четырь�

мя прямыми можно разделить круг?

797. У продавца было 6 ящиков с вишнямимассами 15 кг, 16 кг, 18 кг, 19 кг, 20 кг, 31 кг.Два покупателя взяли 5 ящиков, причём одинвзял вишен по массе вдвое больше другого. Какойящик остался?

798. Решите уравнениеНОК (12; x) + НОД (12; x) = 42.

26. Сложение и вычитание дробей

Мы умеем сравнивать, складывать и вычитатьдроби с одинаковыми знаменателями. А если зна�менатели разные, то данные дроби заменяют рав�ными им дробями с одинаковыми знаменателями.Это можно сделать всегда, используя основноесвойство дроби.

Замену данных дробей равными им дробями содинаковыми знаменателями называют приведени�ем дробей к общему знаменателю.

Пример 1. Приведём к общему знаменателю

дроби 5

7 и

10

21.

Больший знаменатель 21 делится на меньшийзнаменатель 7. Значит, число 21 может быть об�щим знаменателем данных дробей. Понятно, чтоэтот общий знаменатель является наименьшим из

всех общих знаменателей дробей 5

7 и

10

21. Получи�

ли, что для решения нужно привести дробь 5

7 к

знаменателю 21 (рис. 280).

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


115


дроби 3

4 и

2

5.

Общий знаменатель данных дробей должен бытьобщим кратным чисел 4 и 5, которых бесконечномного: 20, 40, 60, …. Возьмём наименьшее изних — число 20, равное произведению чисел 4 и 5(рис. 281).

Вообще, общим знаменателем дробей всегдаможно взять произведение их знаменателей.


дроби 4

9 и

7

12.

Произведение 9 · 12, равное 108, являетсяобщим знаменателем данных дробей, но не явля�ется наименьшим. Поэтому используем такойприём. Будем последовательно перебирать числа,кратные большему знаменателю 24, и проверять,делятся ли они на 9. Число 24 на 9 не делится, ачисло 36 уже делится. Общий знаменатель 36 —

Рис. 280 Рис. 281

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


116

наименьший. Приведём дроби к этому знаменате�лю (рис. 282).

Понятно, что наименьшим общим знаменателемдробей является наименьшее общее кратное ихзнаменателей.

Пример 4. Территория Гомельской области со�

ставляет 39

200 территории нашей страны, а Брест�

ской — 39

250. Найдём:

а) какую часть эти южные области вместе со�ставляют от территории всей страны;

б) территория какой области больше и на сколько.

а) Чтобы ответить на первый вопрос, сложим

дроби 39

200 и

39

250, приведя их предварительно к об�

щему знаменателю 1000:5 4

39 39 195 156 351

200 250 1000 1000 1000+ = + = .

Гомельская и Брестская области вместе занима�

ют 351

1000 территории Беларуси.

Рис. 282

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


117

б) Территория Гомельщины больше, так как39

200 >

39

250. Найдём, на какую часть. Для этого

нужно вычислить разность −39 39

200 250. Получим:

5 4

39 39 195 156 39

200 250 1000 1000 1000− = − = .

Чтобы выполнить сложение или вычитаниедробей, нужно предварительно привести их к об�щему знаменателю.

На практике приведение дробей к общему зна�менателю и выполнение действий совмещают в од�ной записи. Если в результате получается сокра�тимая дробь, её сокращают, в неправильной дробивыделяют целую часть.

Пример 5. Найдём сумму чисел 9

14 и

11

21(рис. 283).

Для дробных чисел, как и для натуральных,справедливы переместительное и сочетательноесвойства сложения.

Пример 6. Найдём сумму чисел 23

15 и 3

520

.

Поскольку смешанная дробь есть сумма целой идробной частей, то, используя сочетательное и пе�реместительное свойства сложения, получим:

2 3 2 33 5 3 5

15 20 15 20⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4 3

2 3 8 9 17(3 5) 8 8

15 20 60 60

⎛ ⎞+⎜ ⎟= + + + = + =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Рис. 283

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


118

Чтобы сложить смешанные дроби, нужно сло�жить отдельно их целые и дробные части и за�писать сумму полученных чисел.

Пример 7. Найдём разность:

а) −7

19

; б) −7

69

.

а) Учитывая, что =9

19

, получим:

− = − =7 9 7 2

19 9 9 9

.

б) Учтём, что 6 = 5 + 1. Тогда:

− = + − = + =7 7 2 2

6 5 1 5 59 9 9 9

.

Понятно, что промежуточные шаги можно вы�полнить и устно.

Пример 8. Найдём разность −2

11 33

.

Будем вычитать постепенно — сначала целую

часть 3, а затем дробную часть 2

3 (рис. 284).

Пример 9. Выполним вычитание 5 5

10 612 6

− .

Вычитая из 5

1012

целую часть 6, получим:

5 5 5 510 6 4

12 6 12 6− = − .

Рис. 284

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


119

Поскольку 5

12 <

5

6, то займём единицу в целой

части числа 5

412

:

54

12 –

5

6 = 3 +

12

12 +

5

12 –

5

6 =

= 3 + 17

12 –

10

12 = 3 +

7

12 =

73

12.

1. Сформулируйте основное свойство дроби.2. Какое число называется общим кратным данныхчисел?3. Как найти НОК двух или нескольких чисел?4. Какое действие называют приведением дробей к об�щему знаменателю?5. Какие числа можно выбирать в качестве общих зна�менателей нескольких дробей?6. Как при приведении к общему знаменателю опреде�ляют дополнительные множители дробей?7. Как привести несколько дробей к общему знаменателю?8. Как складывают дроби с разными знаменателями?9. Как выполнить вычитание дробей с разными знаме�нателями?10. Сформулируйте переместительное свойство сложения.11. Сформулируйте сочетательное свойство сложения.12. Как складывают смешанные дроби?13. Что делают, когда дробная часть уменьшаемогоменьше дробной части вычитаемого?

799. Для выращивания комнатных лимонов

приготовили смесь из 11

2 кг дерновой земли,

3

4 кг

листовой земли, 3

4 кг перегноя и

3

8 кг речного

песка. Найдите массу смеси.

?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


120


а) +3

18

; ж) −1 1

6 14; н) −

46 3

5;

б) +1 1

4 8; з) −

1 51

3 6; о) −

3 14 2

4 8;

в) +1 1

10 15; и) +

2 5

3 6; п) −

4 15 2

15 10;

г) +1 2

2 3; к) +

5 7

6 10; р) −

1 54 1

14 21;

д) −3

15

; л) +1 1

23 6

; с) 2 3

5 215 10

− ;

е) −1 1

3 9; м) +

1 32

2 10; т)

1 34 1

8 10− .


а) −3

47

; в) 4

9 +

52

9 –

3

8; д)

23

5 –

4

5 +

4

15;

б) −4

9 35

; г) 6 –5

46

+ 2

13

; е) 4 + 3

24

– 7

58

.

802. Масса котёнка составляет 3

5 кг, а масса

щенка — 31

4 кг. Определите в килограммах, а за�

тем в килограммах и граммах, что покажут весы,если котёнка и щенка взвесить вместе.

803. Выполните сложение и сделайте проверку:

а) +1 3

6 14; б) +

16 12

21 14; в) +

5 74 5

5 10.

804. Выполните вычитание и сделайте проверкусложением и вычитанием:

а) −7

12 318

; в) −5 11

7 36 15

; д) 4 7

6 215 10

− ;

б) −7 11

1216 16

; г) −3 5

8 110 6

; е) 1 7

7 58 10− .


а) + +1 1 1

2 4 8; в) + +

1 1 1

10 8 4;

б) + +3 2 1

7 5 3; г) + +

1 12 3 5

2 5;

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


121

д) − −19 9

6 3 228 35

; з) − +7 3 7

8 510 20 30

;

е) − −14 3 3

5 2 115 5 20

; и) − −77 3 7

7 4 1100 20 60

;

ж) − −7 31 541

4 110 100 1000

; к) 1 1 3

6 1 210 8 4

− − .

806. Вычислите наиболее удобным способом:

а) + + + + +3 7 5 1 7 1

4 1 3 6 24 8 12 8 12 4

;

б) + + + +1 1 1 1 5

2 3 4 62 3 4 6 12

.

807. Проверьте, верно ли равенство:

а) + + = +11 5 5 97 103

17 23 41 49 2938 61 59 716 342

;

б) + + = +2 7 2 1 9

3 2 1 2 45 10 15 7 28

.

808. Найдите значение выражения:

а) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 3 1

4 5 35 28; б)

3 818 3 13 2

20 15⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.


а) + =7 11

12 18a ; г) + =

4 11

15 12e ;

б) − =7 6

11 7c ; д) + =

4 1 6

5 5 7k k ;

в) − =2 5

13 7

g ; е) 1 1 5

6 56 6 8

l l− = .

810. В трёх пакетах был творог. Когда из перво�

го пакета взяли 1

4 кг, из второго —

7

10 кг, а из тре�

тьего — 3

4 кг, то в каждом пакете осталось по

31

5 кг.

Сколько творога было в каждом пакете сначала?

811. Через одну трубу бак заполняется за 4 ч, ачерез другую — за 5 ч. Какая часть бака будет за�полнена, если открыть обе трубы на 2 ч?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


122

—————812. Сократите дробь и выделите целую часть:

а) 24

16; б)

35

25; в)

350

140; г)

880

100.

813. Глубокое и Середник — озёра Обстернов�ской группы озёр в Миорском районе. Найдите,сколько воды в каждом из озёр, учитывая сведе�ния, представленные схемой на рисунке 285.

814. В гостинице 24 одноместные и двухмест�ные комнаты. Определите, сколько тех и другихкомнат, учитывая, что в них одновременно можноразместить 40 человек.

815. В 70 одинаковых пакетах картофеля и20 одинаковых пакетах моркови находится 390 кговощей. Определите, сколько весит пакет морко�ви, учитывая, что он вместе с пакетом картофелявесит 7 кг.

816. На первой ферме 400 коров, от которыхнадаивают за день молока на 6000 л больше, чемот 200 коров на второй ферме. Найдите, сколькомолока надаивают в день на первой ферме, учиты�вая, что удойность коровы на ней в среднем на5 л больше, чем на второй ферме.

817. Средняя удойность коровы на первой фер�ме составляет 25 л молока, что на 5 л больше сред�ней удойности коровы на второй ферме, а всего напервой ферме надаивают за день молока на 3500 лбольше. Найдите, сколько молока надаивают в

Рис. 285

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


123

день на первой ферме, учитывая, чтона ней на 100 коров больше.

818. Для посева ржи на площади120 га и пшеницы на площади 275 габыло израсходовано вместе 82 т 100 кгсемян. Определите нормы высева ржии пшеницы на 1 га, если ржи на 1 гавысевали на 40 кг меньше, чем пше�ницы.

819. Найдите смежные углы, учиты�

вая, что один из них составляет 9

11 второго.

820. У прямоугольного параллелепипеда, изобра�жённого на рисунке 286, площадь грани ABCD в2 раза меньше площади грани APSD и в 3 раза мень�ше площади грани DSRC. Найдите площади гра�ней параллелепипеда, учитывая, что площадь гра�ни DSRC на 24 см2 больше площади грани APSD.

821. На координатном луче в одном направле�нии отложены три отрезка AB, BC, CD, причёмотрезок BC в 3 раза длиннее отрезка AB, а отрезокCD в 2 раза длиннее отрезка BC. Учитывая, чтоточка C имеет координату 768, а середина M от�резка CD — координату 832, найдите координатыточек A, B, D и середин K и L отрезков AB и BC.

822. 41 дм3 ёлки и 72 дм3 дуба вместе весят78 кг 720 г. Сколько граммов весит 1 дм3 каждогоматериала, если 41 дм3 ёлки весит столько, сколь�ко 24 дм3 дуба?

823. 200 г малины и 700 г вишен содержат165 мг витамина C, а 300 г малины и 800 г вишен —210 мг. Сколько витамина C содержит 100 г каж�дой ягоды в отдельности?

Рис. 286

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


124

824. За 8 карандашей уплатили столько же, сколь�ко за 6 ручек. Найдите цену карандаша и цену руч�ки, учитывая, что эти цены отличаются на 500 р.

825. Купили несколько карандашей по 1200 р.и несколько ручек по 1800 р. и уплатили за ка�рандаши столько же, как и за ручки. Найдите,сколько купили карандашей и сколько ручек,учитывая, что ручек купили на 4 меньше.

826. Женя купил несколько карандашей по2000 р. и на 4 меньше ручек по 5000 р., уплативза всё 29 000 р. Определите, сколько карандашейи сколько ручек купил Женя.

827. Ира купила 3 ручки и 8 карандашей, упла�тив за всё 14 800 р. Определите цену ручки и ценукарандаша, учитывая, что ручка дороже на 900 р.

828. Турист сначала шёл со скоростью 4 км/ч,а затем ехал на велосипеде со скоростью 14 км/ч.Всего в пути он был 8 ч и на велосипеде проехална 22 км больше. Найдите, сколько времени ту�рист шёл пешком.

829. Первый автомобилист за 9 ч проехал на201 км больше второго, который был в пути 6 ч.Найдите скорости движения автомобилистов, учиты�вая, что вместе эти скорости составляют 164 км/ч.

* * *830. Какие три цифры нужно дописать к числу

19 981 999, чтобы полученное число делилось безостатка на 7, на 8 и на 9?

831. Найдите наибольшее пятизначное число, укоторого каждые две соседние цифры образуютдвузначное число, делящееся на 13. Какое пяти�значное число, ближайшее к этому числу, имеетэто же свойство?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


125

832. Найдите трёхзначное число, равное кубусуммы его цифр.

27. Задачи, требующиеуравнивания произведений

Рассмотрим теперь задачи, условия которых несодержат отношений значений величин зависи�мости a = bc.

Задача 1. На первом и втором полях общей пло�щадью 58 га посеяли соответственно люпин и вику,которых израсходовали 11 т. Найдите площадипервого и второго полей, учитывая, что нормы вы�сева люпина и вики равны 200 кг/га и 170 кг/га.

В задаче использована зависимость M = mSрасхода семян M от нормы высева m и площади S.



Расход семян 11 000 кг

Норма высева 200 кг/га 170 кг/га

Площадь 58 га

В условии этой задачи даны сумма M1 + M2значений произведения M, отдельные значенияm1 и m2 одного множителя m и сумма значенийS1 + S2 второго множителя S.

Допустим, что на всей площади в 58 га высе�вали только люпин. Тогда израсходовали бы200 кг/га · 58 га, т. е. 11 600 кг семян. Но на самомделе семян израсходовали меньше на 11 600 – 11 000,т. е. на 600 кг. Это превышение расхода семянпроизошло из�за того, что на втором поле нормавысева была больше действительной нормы высевана 200 кг/га – 170 кг/га, т. е. на 30 кг/га. Зна�

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


126

чит, площадь второго поля равна 600 кг : 30 кг/га,т. е. 20 га. А тогда площадь первого поля равна58 га – 20 га, т. е. 38 га.

Задача 2. На луче с началом A отложены дваотрезка AP и AQ длиной 20 см и 30 см соответ�ственно, на которых, как на сторонах, построеныравносторонние многоугольники, причём первыймногоугольник со стороной AP имеет на три сторо�ны больше (рис. 287). Найдите периметр второгомногоугольника, учитывая, что вместе с перимет�ром первого многоугольника он составляет 410 см.

В задаче использована зависимость P = an пе�риметра многоугольника P от длины его стороныa и количества сторон n.


Первый Второймногоугольник многоугольник

Периметр 410 см

Длина стороны 20 см 30 см

Количество сторон На 3 больше

В условии этой задачи даны сумма P1 + P2 зна�чений произведения P, отдельные значения a1 и a2

одного множителя a и разность n1 – n2 значенийвторого множителя n.

Рис. 287

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


127

Допустим, что первый многоугольник имеет тоже количество сторон, что и второй многоугольник.Это уменьшит периметр первого многоугольника на20 см · 3, т. е. на 60 см, а сумма периметров станетравной 410 см – 60 см, т. е. 350 см. Поскольку те�перь оба многоугольника имеют одинаковое количе�ство сторон и сторона первого многоугольника в сум�ме со стороной второго составляет 20 см + 30 см,т. е. 50 см, то количество сторон каждого из этихмногоугольников и, значит, действительное коли�чество сторон второго многоугольника равно350 см : 50 см, т. е. 7. Тогда периметр второгомногоугольника составляет 30 см · 7, т. е. 210 см.

Задача 3. Купили несколько ручек по 2000 р.и несколько карандашей по 700 р., причём за руч�ки уплатили на 4400 р. больше, чем за каранда�ши. Определите, сколько купили ручек, учиты�вая, что это количество на 3 меньше количествакупленных карандашей.

В задаче использована зависимость K = pn сто�имости K покупки от цены p единицы товара иколичества купленных единиц n.


Карандаши Ручки

Стоимость На 4400 р. больше

Цена 700 р. 2000 р.

Количество На 3 меньше

В условии этой задачи даны разность K1 – K2

значений произведения P, отдельные значенияp1 и p2 одного множителя p и разность n1 – n2

значений второго множителя n.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


128

Уравняем количество купленных ручек до ко�личества купленных карандашей, т. е. количествокупленных ручек увеличим на 3. Тогда за ручкиуплатили бы на 2000 р. · 3, т. е. на 6000 р. боль�ше, и всего за ручки уплатили бы на 6000 + 4400,т. е. на 10 400 р. больше. Эта разность в стоимос�тях возникает из�за того, что цена ручки на2000 – 700, т. е. на 1300 р., больше цены каран�даша. Значит, увеличенное количество ручек и по�тому действительное количество карандашей рав�но 10 400 р. : 1300 р., т. е. 8. Поэтому количествокупленных ручек равно 8 – 3, т. е. 5.

Задача 4. С первого поля площадью 50 га собра�ли пшеницы на 500 ц больше, чем со второго поляплощадью 30 га. Найдите урожайности полей,учитывая, что вместе они составляют 90 ц/га.

Задача построена на зависимости m = pS со�бранного урожая m от урожайности поля p и егоплощади S.



Урожай На 500 ц больше

Урожайность 90 ц/га


В условии этой задачи даны разность m1 – m2значений произведения m, сумма значений p1 + p2второго множителя p и отдельные значения S1 иS2 первого множителя S.

Допустим, что урожайности двух полей одинако�вые, т. е. каждая из этих урожайностей равна90 ц/га : 2, т. е. 45 ц/га. С учётом этого урожай спервого поля был бы равным 45 ц/га · 50, т. е.2250 ц, а со второго поля — 45 ц · 30, т. е. 1350 ц.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


129

Получили, что урожай с первого поля на2250 ц – 1350 ц, т. е. на 900 ц, больше. Но по ус�ловию этот урожай больше на 500 ц. Значит,урожай с первого поля нужно уменьшить на900 ц – 500 ц, т. е. на 400 ц.

Если на 1 ц/га уменьшить урожайность перво�го поля и увеличить урожайность второго поля, тоотличие в урожаях с этих полей уменьшится на1 ц/га · 50 га + 1 ц/га · 30 га, т. е. на 80 ц.Значит, таких уменьшений нужно выполнить400 ц : 80 ц, т. е. 5.

Значит, урожайность первого поля равна45 ц/га – 5 ц/га, т. е. 40 ц/га, а урожайностьвторого — 45 ц/га + 5 ц/га, т. е. 50 ц/га.

1. Множитель a произведения 5a увеличили на 2. Какизменилось произведение?2. Как нужно изменить множитель b, чтобы произве�дение 3b уменьшилось на 12?

833. На отрезке MN длиной 22 см выбрана точ�ка B, и на отрезках�частях BM и BN, как на вы�сотах, построены прямоугольные па�раллелепипеды (рис. 288), площадиоснований которых соответственноравны 84 см2 и 50 см2, а суммарныйобъём — 1406 см3. Найдите:а) высоты параллелепипедов;б) подбором измерения основаниянижнего параллелепипеда, учитывая,что они отличаются на 5 см;в) подбором измерения основания верх�него параллелепипеда, учитывая, чтоодно из них в два раза больше другого.

?

Рис. 288

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


130

834. На отрезке UV длиной 14 см выбрана точкаC, отстоящая от точки V на 8 см, и на отрезках�ча�стях CU и CV, как на высотах, построены прямо�угольные параллелепипеды (рис. 289), площадиоснований которых вместе составляют 1156 см2,а суммарный объём равен 7956 см3. Найдите:

а) отдельные объёмы параллелепипедов;б) подбором измерения оснований верхнего и ниж�него параллелепипедов, учитывая, что большее изних на 4 меньше удвоенного меньшего.

835. Участок, на котором посажен картофель,имеет форму шестиугольника, составленного издвух прямоугольников ABCD и EFGB (рис. 290).Стороны FG, GC и CD этого шестиугольника соот�ветственно равны 4 м, 3 м и 7 м, а площадь —1 а 44 м2. Найдите другие стороны шестиугольника.

836. Для детского сада купили несколько коро�бок цветных карандашей по 12 штук в коробке ина 4 меньше коробок цветных карандашей по8 штук в коробке. Найдите, сколько коробок ку�пили, учитывая, что в них всего 168 карандашей.

837. Для детского сада закупили 15 коробок цвет�ных карандашей с одним количеством карандашей вкоробке и 8 коробок цветных карандашей, в каждой

Рис. 290Рис. 289

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


131

из которых было на 6 карандашей больше. Найдитеколичество карандашей в коробках каждого вида,учитывая, что всего в коробках 324 карандаша.

838. В хозяйстве было 126 дойных коров. Наследующий год дойных коров стало 138, и от нихнадоили за год на 83 160 кг молока больше, чем запредыдущий год. Найдите нынешнюю удойностькоровы, учитывая, что прирост составил 180 кг(см. форзац 4).

839. В первом хозяйстве удойность коровы ока�залась равной 5120 кг, а во втором — 5310 кг. Го�довой надой второго хозяйства получился на105 300 кг больше. Найдите количество коров впервом хозяйстве, учитывая, что оно на 15 коровменьше количества коров во втором хозяйстве.

840. С первого поля урожайностью 38 ц/гасобрали на 116 ц пшеницы больше, чем со второ�го поля урожайностью 42 ц/га. Найдите отдель�ные площади полей, учитывая, что вместе эти пло�щади составляют 102 га.

841. С первого поля площадью 41 га собралиячменя на 142 ц больше, чем со второго поля пло�щадью 47 га. Найдите отдельные урожайности по�лей, учитывая, что вместе они составляют 70 ц/га.

—————842. Запишите зависимость, связывающую пери�

метр P равностороннего многоугольника, длину aего стороны и количество n сторон многоугольника.

843. Периметр первого равностороннего много�угольника равен 300 см. Найдите, чему равен пе�риметр второго многоугольника, учитывая, что:

а) он имеет столько же сторон, как и первый много�угольник, а длина стороны в 2 раза больше;

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


132

б) его сторона равна стороне первого многоуголь�ника, а количество сторон в 5 раз меньше;в) его сторона в 3 раза меньше стороны первогомногоугольника, а количество сторон в 5 разменьше;г) его сторона в 5 раз больше стороны первогомногоугольника, а количество сторон в 10 разбольше;д) его сторона в 6 раз меньше стороны первого мно�гоугольника, а количество сторон в 7 раз больше.

844. Есть разность 16t1 – 5t2 двух произведений16t1 и 5t2. Укажите, как изменится эта разность,если:

а) множитель t1 увеличить на 1;б) множитель t2 увеличить на 1;в) множитель t1 уменьшить на 1;г) множитель t2 уменьшить на 1;д) множитель t1 увеличить на 2;е) множитель t2 увеличить на 3;ж) множитель t1 уменьшить на 3;з) множитель t2 уменьшить на 2.

845. Есть разность 37p1 – 52p2 двух произведе�ний 37p1 и 52p2. Укажите, как изменится эта раз�ность, если:

а) множители p1 и p2 увеличить на 1;б) множители p1 и p2 уменьшить на 1;в) множитель p1 увеличить на 1, а множитель p2

уменьшить на 1;г) множитель p1 уменьшить на 1, а множитель p2

увеличить на 1;д) множитель p1 уменьшить на 2, а множитель p2

увеличить на 3;

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


133

е) множитель p1 увеличить на 3, а множитель p2

уменьшить на 5.

846. От Марьиной Горки до Гродно (рис. 291)машина ехала 4 ч, а назад — 5 ч, уменьшив своюскорость на 17 км/ч. Найдите расстояние по шос�се от Марьиной Горки:

а) до Гродно;б) до Лиды, учитывая, что это расстояние относит�ся к расстоянию от Гродно до Лиды как 58 : 27.

* * *847. Можно ли найти значение выражения n17,

если разрешается выполнять умножение не болеепяти раз?

848. Можно ли число 1 представить суммойпяти дробей с числителем 1 и разными знамена�телями?

849. Найдите два числа, разность и частное ко�торых равны пяти.

Рис. 291

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


134

28. Умножение и деление дробина натуральное число

Умножение дроби на натуральное число имееттот же смысл, что и умножение натурального чис�ла на натуральное, а именно произведение естьсумма одинаковых слагаемых.

Пример 1. За минуту Алесь прошёл 3

10 всего

пути от дома до школы. Найдём, какую частьпути он пройдёт за 3 мин.

По смыслу умножения путь, пройденный Але�

сем за 3 мин, можно записать выражением 3

· 310

.Покажем весь путь отрезком MN, разделённым на10 долей (рис. 292). За первую минуту Алесь прой�дёт 3 десятые доли пути — отрезок MA, за вторую —ещё 3 десятые доли — отрезок AB, за третью —ещё 3 десятые доли — отрезок BN, а за 3 мин —3 · 3 десятых долей. Получается, что путь, пройден�ный Алесем за 3 мин, можно передать выраже�

Рис. 292

Vраздел

Дроби:умножение и деление

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


135

нием 3 3

10

·. Учитывая, что выражения 3

· 310

и 3 3

10

·

выражают один и тот же путь, можем записать:3

· 310

= 3 3

10

·.

Чтобы умножить дробь на натуральное чис�ло, можно на это число умножить числитель,оставив неизменным знаменатель:

ak

n· =

a kn·

.

Пример 2. Закрашенный на рисунке 293 прямо�

угольник показывает 1

12 долю огорода, которую

пропалывает Олеся за час. Найдём, какую частьогорода она прополет за 3 ч.

По смыслу умножения часть огорода, прополотая

за 3 ч, равна 13

12· , на рисунке 294 она закрашена.

Но закрашенная часть составляет 1

4 огорода.

Поэтому можно записать:1

312

· = 1

4.

Теперь обратим внимание на то, что дробь 1

4

получается из дроби 1

12, если её знаменатель 12

разделить на 3. Значит,1

312

· = 1

12:3 .

Рис. 293 Рис. 294

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


136

Чтобы умножить дробь на натуральное чис�ло, можно на это число разделить знамена�тель, оставив неизменным числитель.

ak

n· = :

an k .

Пример 3. Сравним с 1

3 дроби:

75

61,

13

41 и

9

23.

Замечаем, что дробь 75

61 неправильная, она боль�

ше 1 и, значит, больше 1

3.

Чтобы сравнить числа 13

43 и

1

3, сравним снача�

ла втрое большие числа 133

43· и 1

33

· , которые рав�

ны 39

41 и 1. Поскольку дробь

39

41 — правильная, то

39

41 < 1. Поэтому третья доля числа

39

41 меньше

третьей доли числа 1. Это значит 13

43 <

1

3.

При сравнении чисел 9

23 и

1

3 поступим так же:

93

23· =

27

23; 1

33

· = 1. Поскольку дробь 27

23 являет�

ся неправильной, то 27

23 > 1, и поэтому

9

23 >

1

3.

Разделить дробь на натуральное число означаетуменьшить её в соответствующее количество раз.

Пример 4. За 2 ч бассейн был заполнен на 4

5своего объёма. Найдём, какая часть бассейна былазаполнена за 1 ч.

Представим заполненную часть бассейна на ри�сунке 295. Часть, которую нужно найти, в 2 раза

меньше числа 4

5, её можно записать выражением

4

5 : 2. Но разделить число

4

5 на 2 означает 4 пя�

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


137

тых доли разделить на 2 (рис. 296) — получится

4 : 2 пятых доли, т. е. 4 :2

5. Таким образом,

4

5 : 2 =

4 : 2

5.

Чтобы разделить дробь на натуральное чис�ло, можно на это число разделить числитель,оставив неизменным знаменатель:

::

a a kk

n n= .

Пример 5. На рисунке 297 показана 1

4 часть

пирога, разрезанная на 3 доли. Найдём, какую долювсего пирога составляет один кусочек. Поскольку

кусочек получен при делении 1

4 части пирога на 3 до�

ли, то, по смыслу деления, величину кусочка можно

записать выражением 1

4 : 3. С другой стороны, по�

скольку из 1

4 части пирога получено 3 кусочка, то из

целого пирога было бы получено 12 кусочков. Значит,

каждый кусочек равен 1

12 пирога. Получается, что

1

4 : 3 =

1

12.

Дробь в правой части можно по�

лучить из дроби 1

4, если умножить

на 3 её знаменатель. Таким образом,

Рис. 295 Рис. 296

Рис. 297

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


138

1

4 : 3 =

1

4 3· .

Чтобы разделить дробь на натуральное чис�ло, можно на это число умножить знамена�тель, оставив неизменным числитель.

:a a

kn n k

=·

.

1. Как выразить дробь суммой; произведением?2. Как умножить дробь на натуральное число без изме�нения знаменателя дроби?3. Как умножить дробь на натуральное число без изме�нения числителя дроби? Всегда ли это можно сделать?4. Как разделить дробь на натуральное число без изме�нения числителя дроби?5. Как разделить дробь на натуральное число без измене�ния знаменателя дроби? Всегда ли это можно сделать?

850. На рисунке 298 представлены дроби 3

8 и

3

4.

Определите:а) какая из дробей больше и во сколько раз;

б) как число 3

4 получить из числа

3

8.

851. Увеличьте в 3 раза число:

а) 1

5; в)

5

6; д)

56

168;

б) 2

9; г)

7

24; е)

792

4581.

852. Увеличьте двумя способами:

а) 1

4 в 2 раза; в)

21

9 в 3 раза;

б) 1

12 в 6 раз; г)

13

30 в 5 раз.

?

Рис. 298

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


139

853. Во сколько раз нужно увеличить число3

20, чтобы получить:

а) 21

20; б)

33

20; в)

3

2; г)

3

4; д)

27

10; е)

54

1?

854. Во сколько раз:

а) 1

8 меньше

1

2; в)

1

12 больше

1

144;

б) 1

75 меньше

1

25; г)

1

37 больше

1

111?

855. Какую долю единицы составляют:а) 3 двадцать четвёртые доли;б) 7 пятьдесят шестых долей?

856. Сравните выражения:

а) 135

3· и 1

373

· ; в) 121

7· и 1

218

· ;

б) 236

7· и 2

369

· ; г) 415

23· и 4

1425

· .


а) +7 7

31 7911 11

· · ; в) +6 7

347 34713 13

· · ;

б) −672 672

124 123887 887

· · ; г) −23 5

584 58418 18

· · .

858. Ширина прямоугольника 14

3 см, а длина

в 3 раза больше. Найдите его периметр.

859. Найдите площади различ�ных граней прямоугольного парал�лелепипеда по размерам в метрах,приведённым на рисунке 299.


а) +1 1

· 4 · 32 3

; в) 7 8 25 3.

10 10 11 11⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

б) −19 1

· 76 6

; г) 13 7 8 3.20 20 15 15⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Рис. 299

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


140

861. Земляника занимает 1

5 площади

огорода (рис. 300). Коля прополол тре�тью часть земляничной делянки. Какуючасть огорода прополол Коля?

862. Сравните графически числа 2

3 и

2

9и определите:а) какое из чисел меньше и во сколько раз;

б) как дробь 2

9 получить из дроби

2

3.

863. Первый рабочий за 3 ч выполнил 1

5 часть

работы, второй за 4 ч — 1

4 часть работы. Какой

рабочий за час выполнил большую часть работы?864. Уменьшите в 5 раз число:

а) 4

5; в)

15

23; д)

365

366; ж)

211

220;

б) 5

7; г)

23

35; е)

987

98; з)

105

107.

865. Уменьшите двумя способами:

а) 16

17 в 4 раза; б)

15

16 в 3 раза.

866. Найдите частное:

а) 8: 9

9; б) 21

: 734

; в) 5

: 123

; г) 1: 50

30.


а) 276 : 8

29⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) ( )2 2125: 3 4

76+ ;

б) ( )14: 65 58

19− ; д) ( )3 2183

: 5 826

− ;

в) 14 21

: 527 27

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

; е) 245 29: 4

147 147⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

868. Во сколько раз нужно уменьшить число 24

23,

чтобы получить:

а) 4

23; б)

24

46; в)

1

69; г )

6

69?

Рис. 300

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


141

869. Запишите выражение, показывающее уве�личение дроби в 6 раз и последующее уменьшениерезультата в 7 раз, и найдите значение записанно�го выражения:

а) 7

12; б)

35

42; в)

14

18; г)

301

288.

870. Найдите:а) ширину прямоугольника по сведениям, приве�дённым на рисунке 301;б) высоту прямоугольного параллелепипеда, пред�ставленного на рисунке 302, учитывая, что его

объём равен 48

5 м3.

871. Найдите число, являющееся значением пе�ременной в равенстве:

а) 2

3 9

t= ; б)

84 12

91 p= ; в) 255

18 408

a= .

—————872. Найдите отрезки, на которые точка делит

данный отрезок длиной 180 см, учитывая, что от�резки�части относятся как 3 : 7.

873. У всех коров одного хозяина столько ног,сколько их у всех его индюков. Определите, сколь�ко имеется коров и сколько индюков, учитывая,что индюков на 5 больше.

874. Определённую работу 160 рабочих выпол�нили за 96 дней. Какое количество рабочих вы�полнили бы эту работу за 120 дней?

Рис. 302Рис. 301

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


142

875. Встретились рак и щука. Рак спросил:«Сколько тебе лет?» — «А тебе сколько?» — «Мне18». — «Тогда я в пять раз старше тебя да ещё наодну треть». Сколько лет щуке?

876. Найдите, сколько весит:а) воздух в вашей комнате, учитывая, что 1 м3

воздуха весит 1300 г;б) железный лист размерами 110 см на 240 см итолщиной 1 мм, учитывая, что 1 см3 железа весит7680 мг.

877. Одна сторона прямоугольника8

3 м, вторая в 3 раза больше. Найди�

те площадь прямоугольника.878. Прямая ND пересекает сто�

роны AB и BM треугольника ABM ипродолжение третьей стороны AM(рис. 303). Известно, что ∠ A = 70,

∠ B = 40, ∠ MCD = 20, найдите углы треуголь�ников NCB и MCD.

879. Пешеход и велосипедист, двигаясь навстре�чу друг другу, до встречи преодолели 72 кмза 3 ч. Определите скорости каждого, учитывая,что скорость велосипедиста в 5 раз больше, чемскорость пешехода.

880. Автомобилист со скоростью 85 км/ч про�ехал путь, в 10 раз больше пути, который проехалвелосипедист со скоростью 17 км/ч. Найдите,сколько времени был в пути автомобилист, учиты�вая, что это время вместе со временем движениявелосипедиста составляет 9 ч.

881. Велосипедист за 4 ч проехал путь, который в3 раза больше пути, который прошёл пешеход за 5 ч.Найдите скорость велосипедиста, учитывая, что вмес�те со скоростью пешехода она составляет 19 км/ч.

Рис. 303

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


143

882. В общежитии есть трёхместные и пятиме�стные комнаты, причём пятиместных комнат на 42больше. Найдите количество тех и других комнат,учитывая, что в больших комнатах мест в 4 разабольше.

Условие задачи представим краткой записью:

Комнаты Комнатыодного типа другого типа

Всего мест В 4 раза больше

Мест в комнате 3 5

Комнат На 42 больше

Уравняем количество мест в трёхместных комна�тах до количества всех мест в пятиместных комна�тах, т. е. количество всех мест в трёхместных ком�натах увеличим в четыре раза. Для этого количе�ство мест в трёхместной комнате увеличим в четы�ре раза, т. е. сделаем его равным 3 · 4, т. е. 12.

Пусть теперь двенадцатиместных комнат столь�ко же, как и пятиместных, т. е. на 42 ком�наты больше их действительного количества. Тог�да количество мест в них будет превышать коли�чество мест в пятиместных комнатах на 12 · 42,т. е. на 504. Это превышение вызвано тем, чтомест в двенадцатиместной комнате на 12 – 5,т. е. на 7, больше. Значит, количество пятимест�ных комнат равно 504 : 7, т. е. 72, а количествотрёхместных комнат — 72 – 42, т. е. 30.

883. В общежитии в 96 комнатах меньшей вме�стимости мест в 5 раз меньше, чем в 240 комнатахбольшей вместимости. Найдите вместимость ком�нат, учитывая, что комната большей вместимостиимеет на два места больше.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


144

884. Вася прочитал повесть, занимающую на 22страницы больше, чем повесть, которую прочита�ла Лена. Лена читала в день по 19 страниц,а Вася — по 13 страниц и на 4 дня дольше Лены.Найдите, сколько страниц занимает та и другаяповесть.

Условие задачи представим краткой записью(см. форзац 3).

Допустим, что Вася читал с той же скоростью,что и Лена. Поскольку он читал на 4 дня дольше,то за эти дни он прочитал бы на 19 · 4, т. е. на76 страниц больше. Но это больше действительнойразности прочитанных страниц на 76 – 22, т. е.на 54. Это вызвано тем, что в действительностиВася читал в день на 19 – 13, т. е. на 6 страницменьше. Значит, Вася читал повесть 54 : 6, т. е.9 дней. Тогда Лена читала повесть 9 – 4, т. е. 5 дней.

885. Повесть, которую за 7 дней прочитал Сер�гей, занимает на 6 страниц больше повести, которуюза 9 дней прочитала Кира. Учитывая, что Кира чи�тала в день на 4 страницы меньше Сергея, найдите,сколько страниц занимает та и другая повесть.

* * *886. Сколько есть четырёхзначных чисел, все

цифры которых чётные?

887. Из какого количества четырёхзначных чи�сел вычёркиванием одной цифры можно получитьчисло 552?

888. Есть набор из 20 кружков и 45 треуголь�ников. Два одинаковых предмета из набора можнозаменить одним кружком, а два разных — тре�угольником. Может ли после нескольких такихзамен остаться один кружок?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


145

29. Нахождение дроби числа и числапо его дроби

Дроби используют для того, чтобы обозначитьчасть некоторой величины. Например, предложениеОстаётся пройти пять седьмых пути в математи�ческом тексте записывают как Остаётся пройти5

7 пути, а предложение Выполнена треть нуж�

ной работы — как Выполнена 1

3 нужной работы.

Если говорят о части, то подразумевают и неко�торое целое — то, от чего берётся эта часть. В на�ших примерах целое — это весь путь и вся работа.

В жизни часто по целому нужно находить егочасть и, наоборот, по известной части устанавли�вать целое.

Пример 1. Путешественники на велосипедах до

первого привала проехали 2

5 пути от Вильнюса до

Гродно (рис. 304). Найдём, сколько километровпроехали путешественники.

Здесь требуется найти 2

5 от

175 км. Весь путь есть 5 пятыхдолей (рис. 305). Поэтому 1 пятаядоля пути составляет 175 км : 5,

т. е. 35 км, а тогда 2

5 всего

пути — это 2 такие доли:35 км · 2 = 70 км.

Пример 2. Дачнику нужновысадить 90 растений томатов. Рис. 304

Рис. 305

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


146

Уже сделано 4

5 всей работы. Определим, сколько

растений уже высажено.

Нужно найти 4

5 от 90. Чтобы найти

1

5 от 90,

нужно 90 разделить на 5 долей: 90 : 5 = 18. По�лучили, что пятая доля всей работы — это посад�

ка 18 растений. Чтобы найти 4

5 всей работы, нуж�

но взять 4 такие доли: 18 · 4 = 72. Таким образом,уже посажено 72 растения.

В обеих этих задачах мы находили часть, задан�

ную дробью mn

, от целого, заданного числом A

(рис. 306).Пример 3. Велосипедист отправился из Бобруй�

ска в Солигорск (рис. 307) и доехал до Слуцка.

Проделанный им путь составляет 5

6 всей дороги.

Найдём путь от Бобруйска до Солигорска.

Рис. 306

Рис. 307

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


147

Проделанный велосипедистом путь равен115 км, и это составляет 5 шестых долей всегопути (рис. 308). Значит, 1 такая доля в 5 разменьше, она составляет 115 км : 5, т. е. 23 км.Весь путь велосипедиста состоит из 6 шестыхдолей. Поэтому он в 6 раз больше одной доли:23 км · 6 = 138 км. Значит, путь от Бобруйска доСолигорска составляет 138 км.

Пример 4. У кролика 28 зубов, что составляет2

3 количества зубов собаки. Найдём, сколько зубов

у собаки.Количество 28 зубов у кролика составляет

2 третьи доли от количества зубов собаки (рис. 309).Поэтому 1 третья доля в 2 раза меньше, она состо�ит из 28 зубов : 2, т. е. из 14, зубов. Коли�чество зубов собаки состоит из 3 таких долей:14 зубов · 3 = 42 зуба. Значит, у собаки 42 зуба.

В обеих этих задачах мы находили целое по

части mn

, равной A (рис. 310).Пример 5. Волчес — правый приток Сожа.

Длина Сожа составляет 648 км, а Волчеса —80 км. Найдём:

Рис. 308

Рис. 309

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


148

а) во сколько раз длина Волчеса меньше длиныСожа;

б) какую часть длина Волчеса составляет отдлины Сожа.

а) По смыслу деления, если большее значение ве�личины делят на меньшее, то определяют, во сколь�ко раз делимое больше делителя, или во сколькораз делитель меньше делимого. Поэтому для ответана первый вопрос разделим 648 км на 80 км:

648 км : 80 км = 648

81

8010

= 81

10 =

18

10.

Значит, Волчес короче Сожа в 18

10 раза.

б) Если меньшее значение величины делят набольшее, то определяют, какую часть делимое со�ставляет от делителя. Поэтому для ответа на вто�рой вопрос разделим 80 км на 648 км:

80 км : 648 км = 80

648 =

10

81.

Значит, длина Волчеса составляет 10

81 длины

Сожа.

Рис. 310

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


149

1. Как найти величину данной части, выраженной дробью,от данного числа?2. Как найти число по указанной величине его даннойчасти, выраженной дробью?3. Как найти, во сколько раз одно число больше другого?4. Как найти, какую часть от числа составляет другоечисло?

889. Найдите, какую часть часа составляет:а) 15 мин (рис. 311, а); д) 12 мин;б) 30 мин; е) 5 мин (рис. 311, б);в) 45 мин; ж) 7 мин;г) 1 мин; з) 10 мин.

890. Найдите, какую часть килограмма состав�ляет:а) 500 г; в) 100 г; д) 125 г;б) 750 г; г) 1 г; е) 7255 г.

891. Выразите в следующей меньшей единицеизмерения:

а) 1

2 кг; г)

7

2 м; ж) 7

1

2 см;

б) 51

2 кг; д) 4

1

2 м; з)

3

20 см2;

в) 3

4 кг; е)

3

10 кг; и)

4

25 м3 (рис. 312).

?

Рис. 311

Рис. 312

а б

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


150

892. Определите, верно ли, что:

а) 5 яблок от 30 яблок составляют шестую долю;

б) 1

6 от 25 л составляет 4 л;

в) 4 конфеты есть 1

8 от 32 конфет;

г) десятая доля от 32 тыс. р. есть 3200 р.

893. Определите, сколько литров воды в ёмкос�ти, представленной на рисунке:

а) 313, а; б) 313, б; в) 313, в.

894. Устно найдите четверть от:

а) 20 л; г) 92 тыс. р.; ж) 480 000 м2;б) 1200 г; д) 488 кг; з) 180°;в) 52 м; е) 600 000 м3; и) 3 сут.

895. Устно найдите три четверти от:

а) 12 г; г) 580 км3; ж) 670 000 т;б) 52 л; д) 996 кг; з) 20 мин;в) 48 км; е) 60 000 дм2; и) 1 км.

896. Устно найдите сотую долю от:

а) 300 т; в) 7812 км; д) 1996 га;б) 98 тыс. р.; г) 150 000 км; е) 60 дм2.

Рис. 313

а б в

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


151

897. Найдите всю величину, учитывая, что:

а) 1

2 стоимости покупки составляет 125 тыс. р.;

б) 1

4 пути до школы составляет 135 м;

в) 2

3 времени ожидания составляют 14 мин;

г) стоимость покупки без её восьмой доли состав�ляет 560 р.

898. Найдите:

а) 3

8 от 240 тыс. р.; е)

4

9 от 99 км3;

б) 5

6 от 96 г; ж)

5

12 от 144 тетрадей;

в) 5

12 от 60 дней; з)

7

15 от 90;

г) 3

7 от 126 см; и)

12

13 от 286 га;

д) 2

5 от 100 л; к)

3

10 от 120 м2.

899. Определите, чему равна:

а) 1

5 от 15; в)

9

6 от 42; д)

4

9 от 351;

б) 5

7 от 28; г)

9

8 от 56; е)

7

13 от 416.

900. Найдите, чему равно число, учитывая, что:

а) 2

3 его равны 20; в)

32

5 его равны 117;

б) 11

10 его равны 165; г)

410

11 его равны 1482.

901. Периметр треугольника 24 см. Одна его

сторона составляет 5

12 периметра, вторая —

3

8 его.

Найдите стороны треугольника.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


152

902. За неделю Артём исписал 5 страниц в но�

вой тетради по математике, что составляет 5

36всей тетради. Сколько чистых страниц осталось?

903. Определите длину отрезка AB, учитывая,

что 3

7 его составляют 21 см.

904. Найдите число, которое получится послеувеличения числа 60 на следующую его часть:

а) 1

10; б)

5

12; в)

11

4.

905. После уменьшения данного числа получи�ли 420. Найдите это число, если уменьшение со�ставляет следующую часть его:

а) 7

8; б)

3

4; в)

1

4.

906. Постройте прямой угол PQR. Проведителуч QT, разделяющий угол PQR на части, из ко�

торых одна составляет 5

4 другой. Какой может

быть величина угла TQR?

907. Найдите угол сектора, который составляет:

а) 4

9 круга (рис. 314, а);

б) 11

12 круга (рис. 314, б).

908. Постройте сектор с радиусом45 мм и углом, который составляет:

а) 5

18 круга; б)

8

15 круга.

909. Нарисуйте круг радиусом 5 см.Проведите два радиуса так, чтобыодин из полученных секторов состав�

лял 2

7 другого. Рис. 314

а

бАДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


153

910. Площадь водосбора притока Днепра реки

Березины равна 24 500 км2, что составляет 7

144площади водосбора Днепра. Определите, во сколь�ко раз площадь водосбора Березины меньше пло�щади водосбора Днепра.

911. Усвейка и Свечанка — притоки Улы. Дли�

на Усвейки 116 км, и это составляет 29

21 длины

Свечанки, а длина Улы равна 41

28 длины Свечанки.

Найдите длины Улы и Свечанки.

912. Количество пакетов, в которые расфасова�но 60 кг моркови, относится к количеству паке�тов, в которые расфасовано 360 кг картофеля, как5 : 12. Учитывая, что пакет с картофелем вместес пакетом с морковью весят 7 кг, найдите, сколь�ко весит каждый пакет в отдельности.

913. Количество пакетов, в которые расфасова�но 200 кг моркови, вместе с количеством пакетов,в которые расфасовано 180 кг картофеля, даютчисло 80. Найдите массу пакета с морковью, учи�тывая, что она относится к массе пакета с карто�фелем как 2 : 3.

—————914. Решите уравнение:

а) (43a + 4319) – 2702 = 3681;б) 41 546 – (52x – 3075) = 41 449;в) 201 512 – (29t + 169 028) = 26 887;г) 720 108 – (754 027 – 91b) = 58 173.

915. Заметив закономерность, четырьмя числа�ми продолжите следующий ряд чисел:

а) 8; 19; 30; 41; …;б) 63; 57; 51; 45; …;

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


154

в) 1; 3; 9; 27; …;г) 22; 6; 33; 8; 44; 10; …;д) 15; 18; 16; 19; 17; 20; …;е) 5; 13; 6; 12; 7; 11; ….

916. Восстановите пример:

917. Нарисуйте отрезок MN длиной 5 см. Пост�ройте окружность с центром в точке M радиусом2 см. Определите, какому условию должен удов�летворять радиус окружности с центром в точкеN, чтобы:

а) она имела две общие точки с построенной ок�ружностью;б) соответствующие круги имели общие точки.

918. В Средние века для взвешивания изделийиз золота часто пользовались гривной и дукатом:1 гривна = 197 680 мг, 1 дукат = 3490 мг. С точ�ностью до десятков определите, во сколько разгривна больше дуката.

919. В 3 кг гороха и 4 кг ячневой крупы содер�жится 120 г жиров. Найдите, сколько миллиграм�мов жиров в 100 г каждого продукта, учитывая,что жиров в горохе в два раза больше, чем в ячне�вой крупе.

920. Площади озёр Снуды и Свирь одинаковыеи меньше на 22 км2 площади озера Чырвоное. Най�дите эти площади, учитывая, что площадь Чырво�ного озера в 2 раза больше площади Свири.

а) × ***

3*

+****

1191*****8

; б) × ***

**4

+21**

***5****2****1**8

; в) ×

**54*

+3**

11********

.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


155

921. Работу выполняют 3 человека. Если быони работали по отдельности, то первый мог бывыполнить её за 12 дней, второй — за 15, а тре�тий — за 18. Определите, какую часть работы онивыполнят за 3 дня, если будут работать вместе.

922. Машина грузоподъёмностью 5 т перевезлазерна на 2 т больше машины грузоподъёмностью6 т. Определите, сколько рейсов сделала машина сменьшей грузоподъёмностью, учитывая, что коли�чество её рейсов относится к количеству рейсовдругой машины как 5 : 4.

923. Первая машина за 7 рейсов перевезла зер�на на 4 т меньше, чем вторая машина за 10 рей�сов. Найдите грузоподъёмности первой и второймашины, учитывая, что они относятся как 4 : 3.

924. Легковой автомобиль на путь в 60 км игрузовой на путь в 88 км израсходовали вместе 18 лтоплива. Определите расход топлива на 100 кмкаждым автомобилем, учитывая, что на километрони вместе расходуют 230 мл топлива.

925. Легковой автомобиль с расходом топлива5 л/100 км и грузовой с расходом 8 л/100 км из�расходовали вместе 20 л топлива. Определитепуть, пройденный каждым автомобилем, учиты�вая, что вместе они проехали 292 км.

* * *926. Сколько можно записать

трёхзначных чисел, у которых перваяцифра чётная, а вторая нечётная?

927. Как разрезать квадрат, по�казанный на рисунке 315, на 4одинаковые по форме и по размерам Рис. 315

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


156

части так, чтобы каждая из них содержала по од�ному закрашенному квадратику?

928. (Старинная задача.) Летела стая гусей.На первое озеро села половина всех гусей и ещёполгуся, на второе — половина всех остальных гу�сей и ещё полгуся, на третье — половина остав�шихся гусей и ещё полгуся, на четвёртое —половина остатка и ещё полгуся и, наконец, напятое — половина остальных и ещё полгуся. Пос�ле этого все гуси оказались на пяти озёрах. Сколь�ко гусей было в стае?

30. Умножение дробей

Пример 1. Сухой берёзовый брусок объёмом

1 дм3 весит 13

20 кг. Найдём массу берёзового брус�

ка объёмом V дм3.По смыслу умножения ответом нужно считать

произведение 13

20 · V кг.

Вычислим это произведение для значений V,

равных 7; 1

9 и

7

9. Иными словами, нас интересу�

ют произведения 13· 7

20,

13 1·

20 9 и

13 7·

20 9.

Произведение 13

· 720

можно найти по правилу

умножения дроби на натуральное число:13

· 720

= 13 · 7

20 =

91

20 (кг).

При нахождении произведения 13 1

·20 9

обратим

внимание на то, что девятая доля кубического де�циметра берёзы весит в 9 раз меньше одного куби�ческого дециметра:

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


157

13 1·

20 9 =

13

20 : 9 =

13

20 9· (кг).

При нахождении произведения 13 7

·20 9

учтём, что7

9 дм3 в 7 раз больше

1

9 дм3. Поэтому:

13 7·

20 9 =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

13 1· · 7

20 9 =

13· 7

20 9· = 13 · 7

20 9· = 91

180.

Вообще,⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

1· · · ·

aa m a a mm m

b n n b n b nb·

· · .

Получили правило умножения дробей (рис. 316).

Пример 2. Озёра Можейское и Ксензовское на�ходятся в Поставском районе. Площадь Можейс�кого озера равна 66 га, а площадь Ксензовского

озера составляет 3

11 от этой площади. Найдём пло�

щадь Ксензовского озера.По правилу нахождения части от целого реше�

ние запишется выражением 66 : 11 · 3, котороеможно преобразовать так:

66 : 11 · 3 = 66

11 · 3 =

66 3

11

· =

66 3

1 · 11

· =

66

1 ·

3

11 = 66 ·

3

11.

Таким образом, получили другую формулиров�ку правила нахождения части от целого:

Рис. 316

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


158

чтобы найти величину части,

заданной дробью mn

, от целого C,можно целое C умножить на

дробь mn

.Пример 3. Найдём площадь

прямоугольника, длина которого

31

4 см, а ширина — 2

3

5см (рис. 317).

Мы знаем, что для нахождения площади прямо�угольника нужно его длину умножить на ширину.

Для вычисления произведения 31

4 · 2

3

5 предваритель�

но преобразуем смешанные дроби в неправильные:

31

4 · 2

3

5 =

13

4 ·

13

5 =

13 13

4 5·

· =

169

20 = 8

9

20.

Получили, что площадь прямоугольника равна

89

20 см2.

Чтобы перемножить смешанные дроби, нужносначала преобразовать их в неправильные дроби.

Умножение дробей имеет переместительное и со�четательное свойства, а также распределительноесвойство относительно сложения. Справедливытакже свойства нуля и единицы при умножении.

1. Как умножить дробь на натуральное число?2. Как найти долю от данного натурального числа?3. Как найти часть от данного натурального числа?4. Как умножить дробь на дробь?5. Как найти часть от данного числа?6. Как найти произведение смешанных дробей?7. Сформулируйте переместительное и сочетательноесвойства умножения.8. Сформулируйте распределительное свойство умноже�ния относительно сложения.9. Запишите свойства нуля и единицы при умножении.

Рис. 317

?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


159

929. Определите, сколько времени занимают6 уроков, если продолжительность одного урока:

а) 3

4 ч; б)

2

3 ч.


а) 3 1

·5 2

; г) 1 1

·2 6

; ж) 5 3

·6 10

; к) 3

1

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

;

б) 5 1

·9 5

; д) 1 3

·2 7

; з) 3 1

· 14 3

; л) ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

32

3;

в) 8 1

·9 4

; е) 7 4

·12 5

; и) 5 7

3 · 49 8

; м) 4

2

3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

931. Найдите произведение:

а) 4 · 2

3; в)

4

15 · 4; д) 5 ·

4

5; ж)

4

91 · 13;

б) 5

14 · 4; г) 4 ·

7

16; е) 7 ·

13

77; з) 19 ·

131

209.


а) 4 56 31

· ·31 89 4

; в) 7 9 7 9

1 · ·9 17 9 17

− ;

б) 7 17 8

3 · ·8 19 31

; г) 7 19 6 19

· ·13 34 13 34

+ .


а) 7 5 6

· ·12 14 15

; б) 13 24 15

· ·16 25 26

; в) 17 14 25

1 · 3 · 125 17 26

.

934. Найдите значение числового выражения:

а) 3 87 · 2

13 9+ ; в)

2 313 2 1

1 ·23 3 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠.

б) 11 4 13 1· 4 8 · 3 9 · 3

16 11 32 4+ − ;

935. Сравните выражения:

а) 2 12 1

4 3 · 515 17 2

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

и 2 12

4 · 5 3 · 615 17

+ ;

б) 1 3 1 33 1 · 3 1

3 4 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

и 2 2

1 33 1

3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


160

936. Упростите выражение 3 3 1

2 2 38 4 4

z z z+ − и

найдите его значение при z, равном 8

9;

11

3;

16

27;

11

63;

204

27.

937. В школьной библиотеке 15 600 экземпля�

ров книг, из которых 6

13 — учебники,

5

12 — ху�

дожественная литература на русском языке, а ос�тальные книги — художественная литература набелорусском языке. Какую часть всех книг биб�лиотеки составляет художественная литература набелорусском языке?

938. В швейной мастерской было 300 м ткани. За

первую неделю израсходовали 2

5 запаса ткани, за

вторую — 4

9 остатка. Какая часть ткани осталась?

939. Самый большой валунна территории нашей страныоколо д. Горки Шумилинскогорайона (рис. 318) имеет размеры11 м в длину, 5 м 60 см в шири�ну и 2 м 80 см в высоту. Опре�делите:

а) объём этого валуна, приняв, что он занимает 3

4прямоугольного параллелепипеда с этими измере�ниями;б) массу валуна, учитывая, что 1 дм3 камня весит3 кг.

940. С поверхности Мирового океана ежегодно ис�

паряется около 452 тыс. км3 воды, из которой 103

113дождём снова выливается в океан, а остальное вы�

Рис. 318

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


161

ливается на сушу (рис. 319). На сколько большеводы выливается с дождём в океан, чем на сушу?

941. Бобр, Плиса, Сха, Гайна, Поня — притокиБерезины. Длины Бобра и Схи составляют соответ�

ственно 115

16 и 1

1

4 длины Плисы, длина Гайны —

11

4 длины Схи, а длина Пони —

9

20 длины Гайны.

Найдите длины этих притоков, учитывая, что дли�на Плисы равна 64 км. Постройте соответствую�щую линейную диаграмму.

942. Длина стола составляет 4

5 м, а ширина —

5

8 его длины. Какова площадь стола?

943. У прямоугольного параллеле�пипеда, изображённого на рисун�ке 320, площади граней MNOP и

MCFP составляют соответственно 1

2

и 3

4 от площади грани PFEO. Пло�

щадь грани MNOP на 6 дм2 меньшеплощади грани MCFP. Найдите из�мерения прямоугольного параллеле�пипеда и его объём, учитывая, чтодлина ребра PO равна 4 дм.

Рис. 319

Рис. 320

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


162

944. На отрезке PQ длиной 45 см выбрана точ�ка A, и на полученных частях AP и AQ, как на сто�ронах, построены равносторонние двенадцатиуголь�ник и восьмиугольник (рис. 321). Найдите стороныдвенадцатиугольника и восьмиугольника, учитывая,что их периметры относятся как 3 : 4 (см. форзац 2).

945. На отрезке AB длиной 33 см выбрана точ�ка T, отстоящая от точки B на 18 см, и на полу�ченных частях TA и TB, как на сторонах, постро�ены равносторонние многоугольники, периметрыкоторых относятся как 20 : 27 (рис. 322). Найди�те количество сторон этих многоугольников, учи�тывая, что они вместе дают число 17.

—————946. Заготовленного фуража хватит для 77 го�

лов скота на 135 суток. На сколько суток хватитэтого запаса для: а) 99 голов; б) 100 голов?

947. За 8 ч токарь изготовил 120 деталей.Сколько деталей он сделает за это время, если вчас будет изготавливать на 2 детали больше?Решите задачу двумя способами.

948. Каждые 100 г воздуха содержат 2047

50 г

кислорода, а в 100 г выдохнутого человеком возду�

Рис. 321 Рис. 322

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


163

ха его 1613

50 г. Сколько кислорода поглощает чело�

век за 1 ч, если за это время он пропускает через

лёгкие 31

2 кг воздуха?

949. Какое из чисел больше, если первое состав�

ляет 2

7 от 126, а

3

5 второго равны 21.

950. Янке теперь 10 лет, что составляет 2

7 от

возраста отца. Найдите возраст матери, если он

составляет 6

7 возраста отца.

951. Озёра Яново, Берёзовское, Паульское вхо�дят в Ушачскую группу озёр. Площадь озера Яно�

во 770 га, что составляет 11

7 площади Берёзовско�

го озера, а площадь Берёзовского озера составляет98

169 Паульского. Найдите площади Берёзовского и

Паульского озёр.952. Первый и второй легковые автомобили

проехали пути, которые относятся как 3 : 4, приэтом они израсходовали 6 л и 10 л топлива соот�ветственно. Найдите расход топлива каждого авто�мобиля, учитывая, что их общий расход составляет9 л/100 км.


Первый автомобиль Второй автомобиль

Топливо 6 л 10 л

Расход топлива 9 л/100 км

Путь 3 доли 4 доли

Уравняем пути, пройденные первым и вторымавтомобилями, например, до пути, пройденного

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


164

вторым автомобилем, т. е. путь, пройденный пер�вым автомобилем, сначала уменьшим в 3 раза, азатем результат увеличим в 4 раза. Тогда соответ�ствующим образом изменится и масса израсходо�ванного топлива. Получим, что первый автомо�биль израсходовал топлива 6 л : 3 · 4, т. е. 8 л.

Теперь нужно 9 л/100 км разделить на две час�ти так, чтобы одна часть составляла 8 долей, адругая — 10 долей. Получаем, что величина доли

равна 9 л/100 км : (8 + 10), т. е. 12

л/100 км.

Значит, расход топлива первым автомобилем равен12

л/100 км · 8, т. е. 4 л/100 км, а расход топли�

ва вторым автомобилем — 12

л/100 км · 10, т. е.5 л/100 км.

953. Из двух населённых пунктов, отстоящих на550 км, навстречу друг другу выехали легковой ав�томобиль и грузовик. Когда они встретились, тооказалось, что легковой автомобиль израсходовалтоплива 10 л, а грузовик — 30 л. При этом они из�расходовали 6 л и 10 л соответственно. Найдите рас�ходы топлива на 10 км легковым автомобилем игрузовиком, учитывая, что они относятся как 3 : 4.

954. Урожай ржи, собранный с поля площадью56 га, относится к урожаю ржи, собранному споля площадью 21 га, как 16 : 5. Найдитеурожайность большего поля, учитывая, что онана 7 ц/га больше урожайности меньшего поля(см. форзац 4).

955. Урожай ржи, собранный с первого поляурожайностью 40 ц/га, относится к урожаюржи, собранному со второго поля урожайностью45 ц/га, как 14 : 15. Найдите площадь первого

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


165

поля, учитывая, что она на 3 га больше площадивторого поля.

956. Легковой автомобиль на путь в 75 км игрузовик на путь в 140 км израсходовали вместе27 л топлива. Определите расход топлива на100 км каждого автомобиля, учитывая, что на ки�лометр грузовик расходует топлива на 70 мл боль�ше, чем легковой автомобиль.

957. Легковой автомобиль с расходом топлива4 л/100 км и грузовик с расходом 10 л/100 кмизрасходовали вместе 11 л топлива. Определитепуть, который прошёл каждый автомобиль, учи�тывая, что грузовик проехал на 37 км меньше.

* * *958. Сколько есть натуральных чисел, которые

в семь раз больше своей последней цифры?

959. С помощью чисел 1, 3, 5, 10 запишитечисло 25 суммой шести слагаемых. Каждое числоможно использовать несколько раз или ни разу.Сколькими способами это можно сделать?

960. Сколько можно записать трёхзначных чи�сел, у которых первая цифра чётная, а последняянечётная?

31. Деление дробей

Умножим число 7

18 на число

18

7 — получим

7

18 ·

18

7 =

7 18

18 7·

· = 1. Говорят, что число

18

7 обрат�

но числу 7

18. Произведение

18

7 ·

7

18 также равно

единице, поэтому 7

18 обратно числу

18

7. Числа

7

18

и 18

7 взаимно обратные.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


166

Числа 5 и 1

5, 1

5

9 и

9

14 также взаимно обратные.

Два числа, произведение которых равно едини�це, называют взаимно обратными.

С помощью переменных взаимно обратные чис�

ла можно записать как ab

и ba

.Если одно из двух взаимно обратных чисел —

правильная дробь, то другое — неправильная дробь.Число 1 взаимно обратно самому себе, а число

0 не имеет обратного себе числа.Для нахождения правила деления дробей учтём

то, что действие деления обратно действию умноже�ния, т. е. делением находят неизвестный множи�тель по произведению и известному множителю.

Пример 1. Найдём частное 4

5 :

3

7. Его значени�

ем является такое число a, что произведение его и

делителя 3

7 равно делимому

4

5:

a · 3

7 =

4

5.

Умножим обе части этого равенства на число,

обратное числу 3

7, т. е. на число

7

3, от этого равен�

ство не нарушится:⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

7a · ·

7

3 =

4

5 ·

7

3.

В левой части равенства используем сочетатель�ное свойство умножения:

a · ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3 7

7 3· =

4

5 ·

7

3.

Но произведение взаимно обратных чисел 3

7 и

7

3 равно единице, поэтому

a = 4

5 ·

7

3.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


167

Таким образом, частное 4

5 :

3

7 равно произведе�

нию 4

5 ·

7

3, в котором первый множитель является

делимым, а второй — числом, обратным делителю.Получили правило деления дробей (рис. 323).

Пример 2. Площадь прямоугольника составляет

131

8 см2, а ширина 2

1

2 см (рис. 324). Найдём его

длину.Поскольку площадь прямоугольника есть про�

изведение длины и ширины, то для нахождениядлины прямоугольника нужно его площадь разде�лить на ширину, т. е. найти значение частного

131

8 : 2

1

2. Прежде чем выполнять деление, преоб�

разуем смешанные дроби в неправильные:

131

8 : 2

1

2 =

105

8 :

5

2 =

= 105

8·

2

5 =

105 2

8 5

·

· = 21

4 = 5

1

4.

Значит, длина прямоугольника равна

51

4 см.

Чтобы разделить смешанные дроби,нужно предварительно преобразоватьих в неправильные дроби.

Рис. 323

Рис. 324

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


168

Пример 4. Площадь Минской области равна

4080 тыс. га, что составляет 34

173 площади нашей

страны. Найдём эту площадь.По правилу нахождения целого по величине

его части решение запишется выражением4080 : 34 · 173. Его можно переписать так:

4080 : 34 · 173 = 4080

34 · 173 =

4080 173

34

· =

= 4080 173

1 34

·

· = 4080

1 ·

173

34 = 4080 :

34

173.

Таким образом, чтобы найти целое по величи�не его части, заданной дробью, можно эту вели�чину разделить на данную дробь.

Введение дробей и понимание черты дроби какдействия деления расширяет возможности пред�ставления чисел. Например, для числа 3 вместес представлениями с помощью действий сложения,вычитания, умножения и деления:

2 + 1, 1 + 1 + 1, 3 – 0, 4 – 1, 5 – 2, 24 : 8, 1 · 3

теперь возможны и представления с помощью дробей:6

2;

6

4 +

6

4;

11

3 –

2

3;

1

3 :

1

9;

4

5 ·

15

4.

Каждое из записанных представлений числа3 является числовым выражением, а число 3 —его значением.

Пример 5. Найдём значение числового выражения:

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

+

17 11 25

36 54 2917 15

14 14

5 5 1 ·

.

Оно образовано из чисел 517

36, 5

11

54, 1

25

29,

17

14 и

15

14с помощью действий вычитания, умножения, сло�жения и деления. Учтём, что деление, обозначен�

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


169

ное чертой дроби, будет выполняться последним. По�этому исходное выражение можно записать и так:

17 11 255 5 1

36 54 29

⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠· :

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

17 15

14 14.

Соглашение о порядке выполнения действий,принятое для выражений с натуральными числа�ми, распространим и на выражения с дробями.Напомним его.

1. Если выражение без скобок содержит дей�ствия одной ступени, то действия выполняютсяв порядке их записи слева направо.

2. Если выражение без скобок содержит дей�ствия разных ступеней, то сначала выполняютсядействия третьей ступени — возведение в сте�пень, затем второй — умножение и деление и, на�конец, первой ступени — сложение и вычитание.

3. Если выражение содержит скобки, то снача�ла выполняются действия в скобках, а потом ос�тальные, причём порядок их выполнения опреде�ляется пунктами 1 и 2.

Составим схему вычисления значения данноговыражения (рис. 325). Проведём намеченные вы�числения.

1) 517

36 – 5

11

54 =

17

36 –

11

54 =

17 3 11 2

36 3

−· ·

· = 29

108;

2) 29

108 · 1

25

29 =

29

108 ·

54

29 =

29 54

108 29

·

· = 1

2;

Рис. 325АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


170

3) 17

14 +

15

14 =

+17 15

14 =

32

14 =

16

7;

4) 1

2 :

16

7 =

1

2 ·

7

16 =

7

32.

Таким образом, значение данного числового вы�

ражения равно 7

32.

1. Какие числа называют взаимно обратными?2. Что вы можете сказать о числе, обратном единице;о числе, обратном нулю?3. Как разделить одну дробь на другую?4. Как разделить одну смешанную дробь на другую?5. Как найти целое по величине его части, заданнойдробью?6. Как найти значение числового выражения?7. Какое действие заменяет черта дроби в дробном вы�ражении?8. Когда говорят, что выражение не имеет значения?

961. Найдите число, обратное числу:

а) 7; б) 7

11; в)

33

23; г) 5

3

10; д) 1.

962. Выполните деление:

а) 38

9 : 3; г)

2 3:

5 5; ж) 1 :

8

13; к) 1 1

3 : 15 7

;

б) 912

31 : 3; д) 3 :

7

9; з)

13

25 : 1; л) 7

0 :9

;

в) 1 2

:4 5

; е) 9 : 3

10; и) 1 6

2 :3 7

; м) 3: 0

5.

963. Найдите значение выражения 4 21:

25 32r r+

при значении переменной r, равном:

а) 1

2; б)

21

32; в)

9

16.


а) 2 5 5:

3 7 14⋅ ; в)

5 7 16 : 6 2

8 12 6⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

;

б) 7 14 4

: :8 15 5

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

; г) 5 11 179 :

12 12 60⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


171


а) 5 41

9 5q = ; в)

5 4: 1

6 21t = ; д) 6 14 3

: 47 25 7

h+ = ;

б) 2 5 1

1 33 6 6

y + = ; г) 4 4

: 2 15 21

r = ; е) 5 4 16

: 3 49 5 45

s+ = .

966. Определите, за какое время можно пройти

214

5 км, если идти со скоростью

14

2 км/ч.

967. Выход масла из сливок составляет 2

9 мас�

сы сливок, а выход сливок из молока — 4

25 массы

молока. Сколько нужно молока для изготовления24 кг масла?

968. Озёра Верхи, Велец, Мнюта находятся вГлубокском районе. Площади первых двух озёр со�

ставляют 3

32 и

11

48 от площади озера Мнюта. Най�

дите площади этих озёр, учитывая, что площадьозера Велец на 13 га больше площади озера Верхи.

969. Определите, какое из чисел больше, учи�

тывая, что первое составляет 5

17 от числа 181, а

13

16 второго равны 52.


а) 5 1· 2 : 20

9 4; г)

22 1 2

:3 3 3

⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠;

б) 1 31 : 7

2 8⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

; д) 3 2

4 3

5 5⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;

в) 1 1 11 :

2 2 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; е) 2

5 7 6·

12 18 7⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


172


а)

3 3 113 9

4 8 51 3

5 32 4

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

−

·

; в)

4 3 4 112 3 4 4

5 4 11 82 4

11 23 7

−· ·

·;

б)

1 4 1 11 : 2

2 5 2 21 1 5

3 5 22 6 6

+ −

+ −; г)

4 5 3 228 : 13 6 :

5 7 5 311 1

1 : 216 4

+.

972. Два насоса вместе заполняют бассейн за10 ч. После 4 ч совместной работы первый насосиспортился, из�за чего бассейн был заполнен толь�ко за 18 ч. За какое время каждый насос в отдель�ности мог бы заполнить бассейн?

—————973. Повесть, напечатанная в трёх номерах

журнала «Полымя», содержит 156 страниц. Вто�

рая часть составляет 1

13

от первой, а третья — 2

13

от первой. Сколько страниц содержит каждая изчастей повести?

974. (Из книги «Косс» Адама Ризе, XVI в.). Троевыиграли некоторую сумму денег. Первому доста�

лась 1

4 этой суммы, второму —

1

7, а третьему —

17 флоринов. Какова величина всего выигрыша?

975. Один экскаватор может вырыть котлованза 5 ч, второй — за 8 ч. Какую часть работы онивыполнят за 2 ч, работая вместе?

976. Найдите периметр прямоугольной пласти�ны размерами 15 см на 24 см, из которой вырезанквадратный кусок площадью 49 см2. Сколько ре�шений имеет задача?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


173

977. В прямоугольном паралле�лепипеде (рис. 326) площадь грани

KLMN составляет 7

8 площади гра�

ни KRVN, площадь грани KRSLбольше на 14 см2 площади граниKLMN и на 8 см2 площади граниKRVN. Найдите объём параллелепипеда, учиты�вая, что ребро KR равно 8 см.

978. Из Слуцка в Кричев в 7 ч утра выехал мо�тоциклист и через три часа был в Рогачёве. Най�дите с точностью до минуты время прибытия мо�тоциклиста в населённые пункты, обозначенные намаршруте на рисунке 327.

979. Суммарная длина всех рёбер прямоугольногопараллелепипеда, изображённого на рисунке 328, рав�на 12 м 8 дм. Найдите боковую поверхность и объёмпрямоугольного параллелепипеда,учитывая, что от ребра MA ребро

QM составляет 2

3, а ребро QN —

7

15.

980. От Мстиславля до Солигор�ска автомобилист ехал 5 ч, а назад —5 ч 20 мин. Найдите расстояние

Рис. 327

Рис. 326

Рис. 328

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


174

по шоссе от Мстиславля до Солигорска, учитывая,

что скорости движения отличались на 41

2 км/ч.

981. Над заказом сначала работал первый рабо�чий с производительностью 6 дет./ч, а затем егозаканчивал второй рабочий с производительнос�тью 8 дет./ч. Всего было затрачено 13 ч. Найдитеколичества деталей, изготовленных каждым рабо�чим, учитывая, что они относятся как 6 : 5.

982. Над заказом сначала 10 ч работал первыйрабочий, а затем 6 ч второй рабочий. Количествадеталей, изготовленных первым и вторым рабочи�ми, относятся как 4 : 3. Найдите производитель�ность первого и производительность второго рабоче�го, учитывая, что вместе они составляют 27 дет./ч.

983. На отрезке MN длиной 116 мм выбрана та�кая точка C, что отрезки CM и CN относятся как14 : 15. На отрезках CM и CN, как на сторонах,построены равносторонние многоугольники, пери�метры которых относятся как 4 : 3 (рис. 329). Най�дите количество сторон многоугольника, построен�ного на отрезке CM, учитывая, что оно на 3 боль�ше количества сторон второго многоугольника.

984. На отрезке UV выбрана такая точка D, чтоDV – DU = 6 мм. На отрезках DU и DV, как на сто�ронах, построены равносторонние девятиугольник идесятиугольник, периметры которых относятся как4 : 5 (рис. 330). Найдите отрезки DU и DV.

985. У одного хозяина кур на 8 больше, чемкоз, и у всех коз ног на 8 больше, чем у всех кур.Сколько есть кур и сколько коз?

986. Легковой автомобиль с расходом топлива6 л/100 км израсходовал топлива на 4 л меньше,

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


175

чем грузовик с расходом топлива 10 л/100 км. Оп�ределите пути, пройденные каждым автомобилем,учитывая, что вместе они проехали 440 км.

987. Грузовик на путь в 250 км израсходовална 20 л топлива больше, чем легковой автомобильна путь в 200 км. Найдите расходы топлива гру�зовиком и легковым автомобилем, учитывая, чтона 100 км вместе они расходуют 17 л.

* * *988. Три пальто стоят больше, чем 5 курток.

Определите, могут ли:

а) 5 пальто стоить меньше, чем 7 курток;б) 7 пальто стоить меньше, чем 13 курток.

989. Пётр и Адам собирают почтовые марки.Если бы Пётр дал Адаму столько марок, сколькоих было у Адама, а затем Адам дал Петру столько,сколько осталось у Петра, то в результате у Пет�ра было бы на 30 марок больше, чем он собрал, ау Адама — в 3 раза меньше, чем собрал он. Сколь�ко марок собрали Пётр и Адам в отдельности?

990. Решите уравнениеНОК (8; x) – НОК (6; x) = 12.

Рис. 329 Рис. 330

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


176

32. Среднее арифметическое

Пример 1. Из десяти мальчиков, посещающихзанятия шахматного кружка, самому младшему10 лет, ещё одному — 11, двоим по 12, четверымпо 13 и ещё двоим по 14 лет. Определим, каковсредний возраст участников шахматного кружка.Для этого найдём общий возраст участниковкружка и разделим его на их количество. Полу�чим:

10 + 11 + 12 · 2 + 13 · 4 + 14 · 2 = 125;

125 : 10 = 121

2.

Значит, средний возраст участников кружка

равен 121

2 года.

Средним арифметическим нескольких чиселназывается частное от деления суммы этих чиселна их количество.

Взвешивать один мелкий предмет неудобно, иточность взвешивания будет невысокой. Поэтомуобычно отсчитывают определённое количествомелких однородных предметов, например, 100 или1000, находят их общую массу, а потом высчиты�вают среднюю массу одного предмета.

Пример 2. Масса 100 зёрен проса оказалась рав�ной 620 мг. Найдём среднюю массу одного зёр�нышка проса. Одно зёрнышко весит в 100 разменьше, чем 100 зёрен, поэтому масса одного зёр�

нышка равна 620

100 мг, или 6

1

5 мг.

Среднее арифметическое часто характеризуетбольшое количество однородных измерений.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


177

Пример 3. Для определения всхожести зерна по�сеяли отдельно одна от одной 5 партий по 100 зёрен.Из первой сотни проросло 90 зёрен, из второй — 93,из третьей — 87, из четвёртой — 92 и из пятой —88. Определим среднюю всхожесть зерна. Всхожестьпоказывает, какая часть посеянных зёрен прорастёт.Она, понятно, может изменяться в зависимостиот выбора опытной партии зёрен. Так, для пер�

вой партии она составляет 90

100, второй —

93

100,

третьей — 87

100, четвёртой —

92

100 и пятой —

88

100.

Понятно, что чем большая партия зёрен иссле�дуется, тем более точными будут результаты. В за�даче из партии в 500 зёрен взошло 90 + 93 + 87 ++ 92 + 88 = 450 зёрен. Поэтому всхожесть составля�

ет 450

500, или

9

10. Говорят, что число

9

10 является

средней всхожестью зерна. Оно показывает, что изкаждых 10 зёрен в среднем 9 должны взойти.Могут взойти из одной десятки и 6 зёрен, из дру�гой — все 10, из какой�либо десятки — вообще ни

одного, но из большой партии зёрен около 9

10 из

них взойдёт.Пример 4. В таблице приведены результаты на�

блюдений за количеством птенцов в гнезде ласточ�ки. Найдём среднее количество птенцов в гнезде.

Количество птенцовв гнезде 2 3 4 5 6 7

Количество гнёзд 3 4 10 17 10 1

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


178

Из таблицы видим, что по 2 птенца было в3 гнёздах, по 3 — в 4, по 4 — в 10, по 5 — в 17,по 6 — в 10 гнёздах и 7 — в 1 гнезде. Найдём об�щее количество птенцов во всех гнёздах:

2 · 3 + 3 · 4 + 4 · 10 + 5 · 17 + 6 · 10 + 7 · 1 = 210

и общее количество гнёзд:

3 + 4 + 10 + 17 + 10 + 1 = 45.

Среднее количество птенцов в одном гнезде рав�

но 210

45, т. е. 4

2

3. Среднее количество 4

2

3 птенцов

в одном гнезде нужно понимать так: в гнезде ско�рее всего будет 4 или 5 птенцов, причём 5 птенцов

встречаться будет чаще, так как число 42

3 ближе

к числу 5, чем к числу 4.

Пример 5. Автомобиль 32

3 ч ехал по асфальти�

рованной дороге со скоростью 90 км/ч, 13

4 ч — по

гравийной дороге со скоростью 50 км/ч и 7

12 ч — по

полевой дороге со скоростью 30 км/ч. Найдём сред�нюю скорость движения автомобиля на всём пути.

Для этого нужно знать пройденный путь и вре�мя, затраченное на него. По асфальтированной до�

роге автомобиль проехал 90 · 32

3 км, по гравий�

ной — 50 · 13

4 км, по полевой — 30 ·

7

12 км. Все�

го автомобиль проехал

90 · 32

3 км + 50 · 1

3

4 км + 30 ·

7

12 км, т. е. 435 км.

На этот путь автомобиль затратил времени

32

3 ч + 1

3

4 ч +

7

12 ч, т. е. 6 ч.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


179

Поэтому средняя скорость движения автомоби�ля на всём пути равна

435 км : 6 ч, т. е. 721

2 км/ч.

1. Какое число называют средним арифметическим не�скольких чисел?2. Как найти среднюю скорость движения тела?3. Как найти среднее арифметическое нескольких изме�рений?4. Как находят массу одного мелкого предмета?

991. Найдите среднее арифметическое чисел:

а) 3 и 15; г) 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3 и 4;

б) 51; 37 и 44; д) 1311

13 и 17

25

26;

в) 1; 2; 3; 4 и 5; е) 1919

48; 19

17

36 и 19

23

72.

992. С трёх полей, площади которых 37 га,54 га и 24 га, собрали картофеля соответственно5550 ц, 9720 ц, 5040 ц. Определите среднюю уро�жайность картофеля.

993. Турист в первый день прошёл 27 км за 6 ч,во второй — 16 км за 3 ч, в третий — 19 км за 5 ч,в четвёртый — 23 км за 5 ч. Какова средняя ско�рость движения туриста на всём пройденном пути?

994. Среднее арифметическое двух чисел равно13, одно из этих чисел — 17. Найдите другое число.

995. Чтобы определить массу одной капливоды, взвесили пустой стакан, накапали в него 100капель воды и взвесили снова. Пустой стакан ве�сил 60 г, а с водой — 67 г. Какова масса однойкапли воды?

996. В таблице приведены сведения о весе телятпри рождении. Найдите средний вес телёнка.

?

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


180

Масса, Количество Масса, Количествокг телят кг телят

23 1 34 2

24 1 35 6

26 5 36 7

27 3 37 4

28 7 38 1

30 4 39 2

31 3 40 1

32 11 43 1

33 3 45 1

997. Длина реки Юкон, находящейся в Аме�рике, равна 3700 км, а площадь её водосбора875 тыс. км2. Найдите среднюю площадь водосбо�ра на 1 км длины реки. Вычисления проведите сточностью до гектара.

998. Купили 4 кг одних конфет, за которые уп�латили 52 тыс. р. и ещё других конфет по 16 тыс. р.за килограмм. Найдите, сколько купили другихконфет, учитывая, что средняя цена килограммаконфет оказалась равной 14 тыс. р.

999. Купили 3 кг одних конфет, за которые уп�латили 210 тыс. р., и ещё 18 кг других конфет.Найдите цену других конфет, учитывая, что заденьги, затраченные на всю эту покупку, можнобыло бы купить 11 кг конфет по цене, равной сум�ме цен купленных конфет.

—————1000. Решите уравнение:

а) ⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1 15 18 : 8 2

8 2 3c ; б) ⎛ ⎞− + + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠1 2 3 2

3 2 4 24 2702 3 5 5

b .

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


181

1001. От прямоугольного параллелепипеда с из�мерениями 5 см, 7 см, 4 см отрезали три куска та�ким образом, что в новом прямоугольном паралле�

лепипеде каждое измерение уменьшилось на 21

2 см.

Определите, во сколько раз:а) уменьшился объём прямоугольного параллеле�пипеда;б) уменьшилась боковая поверхность прямоуголь�ного параллелепипеда, учитывая, что основаниемявляется грань с измерениями 5 см и 7 см;в) уменьшилась полная поверхность прямоугольно�го параллелепипеда.

1002. Трое друзей выигрыш за участие в кон�курсе разделили следующим образом. Первому до�

сталось 3

8 выигрыша, второму —

2

5 того, что ос�

талось, а третьему — оставшиеся 45 000 р. Какимбыл выигрыш?

1003. Провод длиной 1121

2 м нужно разрезать на

три части так, чтобы вторая часть была в 21

4 раза

больше первой, а третья — в 15

9 раза больше вто�

рой. Какова длина каждой из частей?

1004. Мастер может выполнить заказ за 121

2 ч,

а ученик 3

100 заказа — за 1

1

2 ч. За какое время

они могут выполнить этот заказ вместе?

1005. В прямоугольном паралле�лепипеде, изображённом на рисунке331, суммарная площадь всех егограней равна 700 см2. Площадь гра�

ни EFGH составляет 11

2 площади

Рис. 331

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


182

грани EHSP, а площадь грани EFQP — 11

4 площа�

ди грани EFGH. Найдите объём параллелепипеда,учитывая, что ребро GR равно 10 см.

1006. Бассейн наполняется через две трубы. Сна�чала открыли первую трубу, а через 2 ч 15 мин,когда наполнилась половина бассейна, — вторую.

Через 11

2 ч совместной работы бассейн был напол�

нен. Какова вместимость бассейна, если через вто�рую трубу вливалось за час 36 000 л?

1007. Двое рабочих могут выполнить задание за8 ч. Если первый рабочий будет работать один, онсможет выполнить это заданне за 12 ч. Определите:

а) во сколько раз производительность труда первогорабочего больше производительности труда второго;б) какую часть производительности труда первого ра�бочего составляет производительность труда второго.

1008. Пешеход со скоростью 5 км/ч прошёл путьв 2 раза меньше, чем велосипедист со скоростью15 км/ч. Найдите время, которое был в пути вело�сипедист, учитывая, что это время вместе со време�нем нахождения в пути пешехода составляет 5 ч.

1009. С двух полей площадью 43 га и 69 га вме�сте собрали 3255 ц тритикале. Найдите урожай,собранный с каждого поля, учитывая, что их уро�жайности относятся как 2 : 1.

1010. На отрезке AB выбрана такая точка T,что TA – TB = 3 мм. На отрезках TA и TB, как насторонах, построены равносторонние девятиуголь�ник и десятиугольник, периметры которых отно�сятся как 24 : 25 (рис. 332). Найдите отрезкиTA и TB.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


183

1011. На отрезке AB выбрана точка C, отстоя�щая от точки B на 22 мм. На отрезках AB и AC,как на сторонах, построены равносторонние семи�угольник и девятиугольник (рис. 333). Найдитепериметры многоугольников, учитывая, что у се�миугольника он на 88 мм больше.

Условие задачи представим краткой записью:

Семиугольник Девятиугольник

Периметр На 88 мм больше

Длина стороны На 22 мм больше

Количество сторон 7 9

Уравняем стороны многоугольников, например,до стороны девятиугольника, т. е. сторону семи�угольника уменьшим на 22 мм. Тогда его периметруменьшится на 22 мм · 7 мм, т. е. на 144 мм, ив сравнении с периметром девятиугольника станетменьшим на 154 мм – 88 мм, т. е. на 66 мм.Эта разность связана с тем, что у семиугольникана 9 – 7, т. е. на 2 стороны меньше. Значит, сто�

Рис. 332 Рис. 333

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


184

рона девятиугольника равна 66 мм : 2, т. е. 33 мм.Тогда его периметр равен 33 мм · 9 = 297 мм, апериметр семиугольника — 297 мм + 88 мм,т. е. 385 мм.

1012. На луче с началом A выбраны точки Bи C, отстоящие от точки A на 47 мм и 41 мм соот�ветственно (рис. 334) и на отрезках AB и AC, какна сторонах, построены равносторонние много�угольники. При этом сторон у первого многоуголь�ника со стороной AB оказалось на 3 меньше, аего периметр — на 75 мм меньше. Найдите пери�метры многоугольников.

* * *1013. Восстановите пример

(ЕМ)Д = ДОМ,учитывая, что одинаковые буквы заменяют одина�ковые цифры, а разные буквы — разные цифры.

1014. Рыбаки выловили сетью в пруду 85 рыб,пометили их и снова выпустили в пруд. Во второйдень они поймали 120 рыб, среди которых 6 ока�зались помеченными. Сколько всего рыб в пруду?

1015. Сколько можно записать трёхзначных чи�сел, у которых первая цифра чётная, а послед�няя — нечётная?

Рис. 334

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


185

ОТВЕТЫ

Раздел III

460. б) x = 71; г) y = 50; д) z = 999; е) r = 0, s = 0;ж) c = 772; з) и = 4; и) v = 6. 477. 45 км, 22 км.479. а) 31; б) 36 704; в) 1 024 696; г) 515 969. 480. В 17 ч30 мин; за 137 км 500 м. 481. 27. 483. 160 кг, 165 кг.484. 80 см. 485. 3 т. 486. 3 м, 4 м. 487. 75 км, 105 км,75 км. 488. 1310 га, 625 га. 489. 7960 га, 195 га.490. Гречихи — 70 кг, пшеницы — 210 кг. 492. 20 см2;200 см3, 140 см3. 493. а) 280 см3, 616 см3; б) 7 см и11 см. 496. 18. 505. а) 5; б) 10; в) 0; г) 45; д) 0. 513. а) 3;б) 4; в) 3; г) 4; д) 30; е) 34. 518. 31. 521. 18 ц/га,54 ц/га. 522. 3 мг, 1 мг. 523. 1800 км2, 1250 км2.524. 105°. 525. а) 106; б) 1954; в) 104 342; г) 978.526. 462 т. 527. Четверть — 18 см, аршин — 72 см,миля — 78 м, верста — 1 км 560 м. 529. 192 ц,480 кг, 4320 кг. 530. d15 ц. 532. а) 16 дней; б) 128 с.533. 4 ч, 3 ч. 534. 6 дет./ч, 8 дет./ч. 536. 16.537. 252. 544. 94 м × 129 м. 552. 100 100. 553. 7, 5;130 р. 554. 25 см × 25 см; 442. 557. 576 км. 559. 150 кг.560. а) 12; б) 36; в) 24; г) 48. 562. а) A(27), B(277),C(527); б) A(52), B(252), C(552). 564. а) 1000; б) 829;в) 66; г) 58 780. 565. 3 м 25 см. 566. Второй, на 560 мм.570. а) 211; б) 79; в) 613; г) 709. 571. 14 м, 42 м.573. 13 кг 160 г. 574. 13 км, 26 км, 39 км. 575. За 6 ч.576. 50 г, 25 г. 577. 90 и 30. 578. 90. 579. 6 кг.580. 13 км/ч, 4 км/ч. 581. 142. 582. 8. 594. 3096 ц,2961 ц. 595. 35 га, 29 га. 597. а) 429; б) 1 340 767;в) 1883; г) 4 049 196. 599. На 4 дня. 601. 57 кг 672 г.602. A(50), B(100), D(200), K(75), L(125). 604. 60 км/ч.605. 3 ч. 606. 9 и 18.

Раздел IV

646. а) 2; б) 5; в) 44; г) 8; д) 7; е) 31; ж) 1; з) 1; и) 1;к) 10; л) 2; м) 688. 647. 20 км/ч, 16 км/ч. 649. 423 км2,

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


186

360 км2. 651. ab – 3mn. 652. 7, 11, 13, 16, 17.653. 15 900 га/км. 654. За 14 км. 656. 55 г, 15 г.657. 5 км/ч, 15 км/ч. 658. 4 ч. 659. 5 и 10.663. 360 см и 120 см. 664. 7 и 16. 665. 2 кг. 666. 480 кг.

669. 60 км/ч. 670. 9 ч. 701. а) 4

9; б)

4

7; в)

7

51; г)

27

27.

703. 40

16 м. 705. 40 т, 55 т. 706. 28 т, 42 т. 708. 472 мм,

492 мм. 714. 85 мм; 30 мм. 715. 100 кг. 716. а) 900°;б) 150°; в) 15°. 718. 4 ч. 719. 65 км/ч. 720. 11.

730. а) 3

5; б)

3

8; в)

21

4. 731. Нанду — 50 кг, эму —

55 кг, казуар — 80 кг, страус — 90 кг. 756. 36 га,44 га. 757. а) 70; б) 1473; в) 98; 7. 758. A(160),B(192), D(384), K(176), L(224). 759. ∠ PML = 131°,∠ MLQ = 106°, ∠ LMQ = 49°, ∠ PMK = 49°, ∠ PKM = 41°.760. 9 и 5. 761. 1800 р., 1200 р. 763. 170 и 17.

770. б) 30

7; в)

61

8; г)

103

12; д)

51

4; е)

897

34. 772. в) 10

7

12;

г) 41

12; д) 30

5

22; е) 22

3

55. 773. а) 2 +

1

3; е) 10 +

7

53.

775. а) 2 и 3; г) 3 и 4. 778. в) 02

5. 780. а) 2; б) 19.

782. а) 21

2; б)

5

9; в) 5. 783. а) На 166

2

3 м; б) на 433

1

3 м.

784. 90 мм, 54 мм. 787. A(194), B(278), D(296),L(284), M(293). 789. Мака — 3500, проса — 200.790. 16 000 р. 791. 1500 р. 792. 14 с./день, 7 с./день.793. 6 дней, 18 дней. 794. а) 336 см3, 1008 см3;б) 6 см и 7 см; 7 см и 16 см. 795. а) 864 см3, 216 см3;

б) 6 см и 16 см; 4 см и 9 см. 799. 33

8 кг. 800. л) 2

1

2;

м) 24

5; н) 2

1

5; о) 2

5

8; п) 3

1

6; р) 2

5

6. 801. в) 2

5

8; г) 2

5

6;

д) 213

15; е)

7

8. 802. 2 кг 350 г. 805. а)

7

8; б) 1

17

105; в)

19

40;

г) 107

10; д) 1

59

140; е) 2

11

60; ж) 2

849

1000; з) 3

47

60; и) 2

151

300.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


187

808. а) 2

5; б) 4

23

60. 809. в)

20

21; г)

13

20; д)

6

7; е)

1

8.

810. 117

20 кг, 2

3

10 кг, 2

7

20 кг. 811.

9

10. 813. 810 тыс. м3,

210 тыс. м3. 814. 8 и 16. 815. 2 кг. 816. 10 000 л.817. 7500 л. 818. 180 кг, 220 кг. 819. 81°, 99°.

820. 24 см2, 48 см2, 72 см2. 821. A(6822

3), B(704),

D(896), K(6931

3), L(736). 822. 480 г, 820 г. 824. 1500 р.,

2000 р. 825. 12, 8. 826. 7 и 3. 827. 6300 р., 5400 р.828. 5 ч. 829. 79 км/ч, 85 км/ч. 833. а) 9 см, 13 см;б) 12 см и 7 см; в) 10 см и 5 см. 834. а) 4080 см3,3876 см3; б) 34 см и 15 см; 38 см и 17 см. 835. 12 м,11 м, 15 м. 836. 10 и 6. 837. 12 и 18. 838. 5040 кг.839. 150. 840. 55 га, 47 га. 846. а) 340 км; б) 232 км.

Раздел V

859. 10 м2, 9

2 м2,

9

5 м2. 860. а) 3; б) 2; в) 3. 869. а)

1

2;

б) 5

7; в)

2

3. 870. а)

3

5 м; б)

8

5 м. 871. а) 6; б) 13.

872. 54 см и 126 см. 873. 5 коров и 10 индюков. 874. 128.

875. 96. 876. б) d20 кг. 877. 211

3 м2. 878. ∠ NCB = 20°,

∠ BNC = 120°, ∠ CDM = 50°, ∠ CMD = 110°. 879. 4 км/ч,20 км/ч. 880. 6 ч. 881. 15 км/ч. 883. 2 и 4. 885. 105 с.,99 с. 886. 500. 887. 36. 900. а) 30; б) 150; в) 45;г) 143. 901. 10 см, 9 см, 5 см. 902. 31. 903. 49 см.904. в) 135. 905. а) 3360; б) 1680; в) 560. 906. 40° или 50°.

907. а) 160°. 910. В 204

7 раза. 911. 123 км, 84 км.

914. а) 48; б) 61; в) 193; г) 1012. 918. В 60 раз.

919. 2400 мг; 1200 мг. 921. 37

60. 922. 10. 923. 8 т, 6 т.

924. 8 л/100 км, 15 л/100 км. 925. 112 км, 180 км.

928. 31. 930. з) 1; и) 171

3; к)

8

27. 933. а)

1

12; б)

9

20;

в) 123

5. 934. а) 7

2

3; б) 1; в)

1

2. 937.

19

156. 938.

1

3.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


188

939. а) 129 360 дм3, б) d388 т. 940. На 372 тыс. км3.

942. 2

5 м2. 943. 3 дм, 4 дм, 6 дм; 72 дм3. 944. 15 см,

30 см. 945. 8 и 9. 946. а) На 105 сут.; б) на 103 сут.947. 136. 948. d164 г. 950. 30 лет. 951. 490 га, 845 га.

953. 1

2 л/10 км,

2

3 л/10 км. 954. 42 ц/га. 955. 63 га.

956. 8 л и 15 л. 957. 208 км, 171 км. 960. 200.

963. а) 1157

400; б) 1

21

400; в) 1

77

300. 964. а) 1

1

3; б)

3

4;

в) 11

2; г) 30. 965. а) 3

6

25; б) 2; в)

7

10; г) 3

1

3; д) 2; е) 1.

966. 3 ч 12 мин. 967. 675 кг. 968. Верхи — 9 га,

Велец — 22 га, Мнюта — 96 га. 970. а) 1

16; б)

1

8;

в) 3; г) 11

6; д)

19

125; е)

1

49. 971. а)

1

2; б)

3

25; в) 1;

г) 16. 972. За 17 ч 30 мин и за 23 ч 20 мин. 973. 39 с.,

52 с. и 65 с. 974. 28 флоринов. 975. 13

20. 977. 336 см3.

979. 350 дм2, 1050 дм3. 980. 360 км. 981. 48 и 40.982. 12 дет./ч, 15 дет./ч. 983. 10. 984. 48 мм, 54 мм.985. 20 кур и 12 коз. 986. 250 км, 190 км.987. 12 л/100 км, 5 л/100 км. 989. Пётр — 120,

Адам — 45. 991. д) 1547

52; е) 19

19

48. 992. 176

14

23 ц/га.

993. 49

19 км/ч. 994. 9. 995.

7

100 г. 996. 32

8

21 кг.

997. 23 649 га/км. 998. 2 кг. 999. 80 тыс. р.

1000. а) 75

24; б) 5

5

6. 1001. а) В 8

8

27 раза; б) в 4

4

7 раза;

в) в 371

87 раза. 1002. 120 000 р. 1003. 16

2

3 м, 37

1

2 м,

581

3 м. 1004. За 10 ч. 1005. 1200 см3. 1006. 324 м3.

1007. а) В 2 раза; б) 1

2. 1008. 2 ч. 1009. 1806 ц, 1449 ц.

1010. 48 мм, 45 мм. 1012. 376 мм, 451 мм. 1014. 1700.

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


189

Таблица простых чисел

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31

37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79

83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137

139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193

197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257

263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317

331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389

397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457

461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523

541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601

607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661

673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743

751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823

827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887

907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977

983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049

1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117

1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1225

1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289

1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373

1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453

1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531

1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607

1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693

1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


190

1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871

1873 1877 1879 1889 1901 1907 1913 1931 1933 1949 1951

1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2027 2029

2039 2053 2063 2069 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113

2129 2251 2257 2141 2143 2151 2161 2179 2203 2207 2225

2221 2237 2239 2243 2251 2267 2269 2273 2281 2287 2293

2297 2309 2311 2333 2339 2341 2347 2351 2357 2371 2377

2381 2383 2389 2393 2399 2411 2417 2423 2437 2441 2447

2459 2467 2473 2477 2503 2521 2531 2539 2541 2549 2551

2557 2579 2591 2593 2609 2617 2621 2633 2641 2657 2659

2663 2671 2677 2683 2687 2689 2693 2699 2707 2711 2713

2719 2729 2731 2741 2749 2753 2767 2777 2789 2791 2797

2801 2803 2819 2833 2837 2843 2851 2857 2861 2879 2887

2897 2903 2909 2917 2927 2939 2953 2957 2963 2969 2971

2999 3001 3011 3019 3023 3037 3041 3049 3061 3067 3079

3083 3089 3109 3119 3121 3137 3163 3167 3169 3181 3187

3191 3203 3209 3217 3221 3229 3251 3253 3257 3259 3271

3299 3301 3307 3313 3319 3323 3329 3331 3343 3347 3359

3361 3371 3373 3389 3391 3407 3413 3433 3449 3457 3461

3463 3467 3469 3491 3499 3511 3517 3527 3529 3533 3539

3541 3547 3557 3559 3571 3581 3583 3593 3607 3613 3617

3623 3631 3637 3643 3659 3671 3673 3677 3691 3697 3701

3709 3719 3727 3733 3739 3761 3767 3769 3779 3793 3797

3803 3821 3823 3833 3847 3851 3853 3863 3877 3881 3889

3907 3911 3917 3919 3923 3929 3931 3943 3947 3967 3989

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


191

Содержание

раздел III натуральные числа: делимость

17. Простые и составные числа........................518. Признаки делимости............................... 1819. Общие делители чисел............................. 3020. Общие кратные чисел.............................. 44

раздел IV дроби: сложение и вычитание

21. Доля и дробь.......................................... 5222. Задачи с известными значениями одного из множителей и отношением значений произведения............................ 6923. Сравнение, сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями...... 7624. Основное свойство дроби.......................... 8825. Смешанные дроби................................. 10326. Сложение и вычитание дробей............... 11427. Задачи, требующие уравнивания произведений........................................ 125

раздел Vдроби: умножение и деление

28. Умножение и деление дроби на натуральное число............................ 13429. Нахождение дроби числа и числа по его дроби......................................... 14530. Умножение дробей................................ 15631. Деление дробей..................................... 16532. Среднее арифметическое........................ 176ответы...................................................... 185

АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


192

Учебное издание

Латотин ЛеонидАлександровичЧеботаревский БорисДмитриевич

МатеМатикаУчебное пособие для 5 класса учреждений

общего среднего образования с русским языком обучения

В 2 частяхЧасть 2

Редактор Е. А. Пастушенко Художник обложки К. К. Шестовский Художник А. Л. Латотин Компьютерный набор Е. Э. Задорожная, Л. В. Латотина Компьютерная вёрстка Е. Э. Задорожная Корректор Е. В. Полянская

Подписано в печать 18.05.2013.Формат 60×90 1/16.Бумага офсетная№ 1.Печать офсетная.Усл. печ. л. 12,0.

Уч.-изд. л. 5,9. Тираж 4440 экз. Заказ

РУП «Издательство “Адукацыя і выхаванне”».ЛИ№ 02330/639 от 31.01.2012.

Ул. Будённого, 21, 220070, г.Минск.

ООО «Принтхаус».ЛП№ 02330/0552738 от 02.02.2010.

Ул. Одоевского, 117, 220015, г.Минск.

Учебный год

Имя и фамилия ученика

Состояние учебного

пособия при получении

Отметка ученику за

пользование учебным пособием

20 /

20 /

20 /

20 /

(Название и номер школы)АДУКАЦ

ЫЯ I

ВЫХАВАНН

Е


МатеМатикаg g место «число 56 делится на 7 без...

Documents