第四章 微积分运算命令与例题

北京交通大学

4.1 求极限运算 Mathematica 提供了计算函数极限的命令的一般形式为：

Limit[ 函数 , 极限过程 ] 具体命令形式为命令形式 1:Limit[f, x->x0]

功能 : 计算 , 其中 f 是 x 的函数。命令形式 2:Limit[f, x->x0, Direction->1]

功能 : 计算，即求左极限 , 其中 f 是 x 的函数。命令形式 3:Limit[f, x->x0, Direction->-1]

功能 : 计算，即求右极限，其中 f 是 x 的函数。注意 : 在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时 ,Ma

thematica 的默认状态为求右极限。

例 1. 求极限解： Mathematica 命令为In[1]:=Limit[n^2*Sin[1/n^2],n->Infinity]

Out[1]=1

例 2: 求极限解：

Mathematica 命令为In[2]:=Limit[(1+1/n)^n, n->Infinity]Out[2]=E

n

n n

11lim

例 3: 写出求函数 在 x->0 的三个极限命令解： Mathematica 命令为1.Limit[Exp[1/x], x->0]2.Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->1]3.Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->-1]例 4. 求解： Sin[x]/x x->∞ 的极限Mathematica 命令为 In[3]:=Limit[Sin[x]/x, x->Infinity]Out[3]=2 Out[3]=0例 5 In[4]:= Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->+1] Out[4]=0例 6 In[5]:= Limit[1/(x*Log[x]^2)-1/(x-1)^2, x->1] Out[5]=1/12

xe1

例 7. 求极限解： Mathematica 命令为In[1]:=Limit[Sin[x]^Tan[x], x->Pi/2]

Out[1]=1

例 8: 求极限解

Mathematica 命令为In[2]:=Limit[Cos[1/x],x->0]

Out[2]=Interval[{-1, 1}]

例 9: 求极限解

Mathematica 命令为In[3]:=Limit[Exp[1/x], x->0, Direction->-1]

Out[3]=∞

• 例 10 求极限解 :

若输入命令In[4]:=Limit[ Integrate[ArcTan[t]^2, {t,0,x}] / Sqrt[1+x^2] , x->+Infini

ty]屏幕会出现如下的红色英文提示信息 :

On::none: Message SeriesData::csa not found. ……………………………………………………

ComplexInfinity + <<1>> encountered.• 说明不能得出正确结果。此时可以借助人工处理，如用一次

洛必达法则后再求极限 :In[5]:=Limit[ArcTan[x]^2/(x/Sqrt[1+x^2]), x->Infinity]

Out[5]=

4

Pi 2

4.2 求导数与微分 4.2.1 求一元函数的导数与微分

例 6: 变上限函数 求导解： Mathematica 命令为In[6]:=D[Integrate[Sqrt[1-t^2], {t,0,x^2}], x]

Out[6]=

In[7]:=Simplify[%]Out[7]=

● 显函数求导命令形式 1: D[f, x] 功能 : 求函数 f 对 x 的偏导数。命令形式 2: D[f, {x, n}] 功能 : 求函数 f 对 x 的 n 阶偏导

数。

dttxfx

2

0

21)(

]x2xSqrt[1 4

]/2x2xSqrt[1]xSqrt[1

2x

]xSqrt[1

2x 44

5

4

参数方程求导

对参数方程 所确定的函数 y=f(x), 根据公式和命令形式 1 ，可用三个 Mathematica 命令实现对参数方程的求导 :

r=D[x, t] ； s=D[y,t] ； Simplify[s/r]

或用 Mathematica 自定义一个函数： pD[x_, y_, t_]:=Module[{s=D[y,t], r=D[x,t]}, Simplify[s/r]]

来实现。

y(t)y

x(t)x

例 7. 求参数方程 的一阶导数

tty

ttx

cos

)sin1(

解 :Mathematica 命令In[8]:=x=t*(1-Sin[t]);y=t*Cos[t]; s=D[y,t]; r=D[x,t]; Simplify[s/r] Cos[t] - t Sin[t]Out[8]= ----------------------- 1 - t Cos[t] - Sin[t]

或In[9]:= pD[x_,y_,t_]:=Module[{s=D[y,t], r=D[x,t]}, Simplify[s/r]]In[10]:= pD[t*(1-Sin[t] ), t*Cos[t], t]

Cos[t] - t Sin[t]Out[10]= ----------------------- 1 - t Cos[t] - Sin[t]

隐函数求导

由方程 f(x, y) = 0 所确定的函数 y=y(x) 的导数可用一个自定义函数完成，这个函数为 :

impD[eqn_,y_,x_]:=Module[{s, r, t}, s=D[eqn, x, NonConstants->{y}]; r=Solve[s, D[y, x, NonConstants->{y}]]; t=D[y,x, NonConstants->{y}]/.r; Simplify[t] ]

例 8. In[11]:= D[Tan[x+a],x]Out[11]= Sec[a + x] 2

In[12]:=D[2^(x/Log[x]),x]Out[12]=

In[13]:=D[x*Tan[x]-Sqrt[x],x]Out[13]=

In[14]:=D[Sin[x]^n*Cos[n*x],x]Out[14]=

In[15]:=Plot[Evaluate[D[Sin[x^2],x]],{x,-2,2}]Out[15]=

练习 .

1 要对一个方程求导，应该怎么做？ 例如方程 y5+2y-x-3x7=0

2 选择一道与求导有关的应用题，用 mathematica 数学软件命令来计算。

微分

微分是函数增量的线性主部，函数 y=f(x) 的微分与导数的关系为 : dy = df =f (x)dxMathematica 命令为：命令形式： Dt[f] 功能 : 对函数 f(x) 求微分 df

例 9. 求和 y=sinv 的微分 .解 :In[13]:=Dt[Sin[x^2]] Out[13]=2 x Cos[x2 ] Dt[x]In[14]:=Dt[Sin[v]] Out[14]=Cos[v] Dt[v]

例 .

In[1]:=Dt[Sin[u]^6]

Out[1]=6 Cos[u]Dt[u]Sin[u]5

In[2]:=Dt[x*Sin[2^x]]

Out[2]=

练习 .

1 一幢楼的后面是一个很大的花园，在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室深入花园宽 2m ，高 3m ，温室正上方是楼房的窗台。清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短不行，现有一架 7m 长的梯子。问：它能达到要求吗？通过 mathematica 计算至少需要多长？

2 在你所学的微积分教材中，选择两道有关泰勒公式计算的习题，用 mathematica 数学软件命令来计算。

4.2.2 求多元函数偏导数与全微分偏导数对多元函数 f(x1,x2,…xn) 的求导数的命

令有如下几个：命令形式 1: D[f, x] 功能 : 求函数 f 对 x 的偏导数；命令形式 2: D[f, x1, x2, …] 功能 : 求函数 f 高阶混合偏导数；命令形式 3: D[f, x, NonConstants->{v1,v2,

…}]

功能 : 求函数 f 对 x 的偏导数，其中 v1,v2,… 是关于 x 的函数。

例 10: 求 z=asin(xy) 对 y 和 对 z 的偏导数 .解 :Mathematica 命令In[15]:=D[a*Sin[x*y], y] Out[15]=axCos[x y]In[16]:=D[Exp[x+y+z^2], z] Out[16]=

例 11: 对函数 , 求解 :Mathematica 命令In[17]:=D[x^3 *y^2+Sin[x*y], x, y] Out[17]=

2zyxeu

z2E2zyx

sin(xy)yxz 23 yx

z2

]yySin[xxyxCosy6x 2

例 12: 对函数 , 求解 :Mathematica 命令 In[18]:=D[x^3 *y^2+Sin[x y], {x,3}];

Out[18]=

例 13. ，其中 y ， z 是 x 的函数。解 :Mathematica 命令In[19]:=D[x^2+y^2+z^2, x, NonConstants->{y, z}]

Out[19]=2 x + 2 y D[y, x, NonConstants -> {y, z}] +

2 z D[z, x, NonConstants -> {y, z}]

sin(xy)yxz 23

222 zyxu

3

3

x

z

yxCosy6y 32

例

例

全微分多元函数 f(x,y,z,…) 的全微分命令同一元函数的微分，其命令为：命令形式 : Dt[f] 功能 : 求函数 f 的全微分。

例 14: 求 的全微分 dz 。解 :Mathematica 命令In[20]:=Dt[x^2+y^2]Out[20]=2 x Dt[x] + 2 y Dt[y]

22 yxz

●Mathematica 有如下两个求全导数的命令：命令形式 1: Dt[f, x] 功能 : 求函数 f 的全导数。命令形式 2: Dt[f, x, Constants->{c1,c2,…}]功能 : 求函数 f 的全导数，其中 f 中的变元与 x 无关。

例 15: 求 的全导数，其中 y 是 x 的函数。

解 :Mathematica 命令In[21]:=Dt[x^2+y^2,x]Out[21]=2 x + 2 y Dt[y, x]

22 yxz

例 16: 求 ，其中 y 是与 x 无关的独立变量。

解 :Mathematica 命令In[22]:=Dt[x^2+Sin[x y]+z^2, x, Constants->{y}]Out[22]=2 x + y Cos[x y] + 2 z Dt[z, x, Constants -> {y}]

x

zsinxyx 22

• 4.3 求不定积分命令形式 :Integrate[f, x]

功能 : 计算不定积分。例 17: 计算

解 :Mathematica 命令In[23]:=Integrate[1/(Sin[x]^2 Cos[x]^2),x]

Out[23]=-(Cos[2 x] Csc[x] Sec[x])

dxxxcossin

122

4.4 求定积分 命令形式 1: Integrate[f[x],{x,xmin,xmax}] 功能 : 计算定积分， xmin ， xmax 分别表示积分变量的

下限和上限。

命令形式 2: NIntegrate[f[x],{x,xmin,xmax}] 功能 : 计算定积分的数值积分， xmin ， xmax 必须是数

字，不能是字母。

命令形式 3: Integrate[f[x,y], {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] 功能 : 计算重积分 ,xmin,xmax ,ymin,ymax 表示积分限。

例 18. 计算定积分

解 :Mathematica 命令In[24]:=Integrate[(1+x-1/x)*Exp[x+1/x], {x, 1/2, 2}]

Out[24]= 例 19. 计算广义积分

解 :Mathematica 命令In[25]:=Integrate[1/x^4, {x, 1, +Infinity}]Out[25]:=

例 20. 计算瑕积分解 :Mathematica 命令In[26]:=Integrate[x/Sqrt[1-x^2], {x, 0, 1}]Out[26]=1

dxex

x xx

12

2

1

)1

1(

14

1dx

x

2

3E5/2

3

1

例 21: 计算定积分

解 : 本题用定积分基本公式是积不出来的，用上面命令 2 可以计算出结果：

In[27]:=NIntegrate[Exp[x^2], {x, 0, 1}]Out[27]= 1.46265例 22 ：计算　　　　， D 由 y=1,x=4,x=2y 所围

解 : 对二重积分要先化为累次积分，定好积分限后，再使用命令形式 3 。

本题的 Mathematica 命令为In[28]:=Integrate[x*y, {x, 2, 4}, {y, 1, x/2}] Out[28]=

例 23. 计算

解 :Mathematica 命令In[29]:=Integrate[x^2+y, {x, 0, 1}, {y, x^2, Sqrt[x]}]Out[29]=

dx1

0

2

xe

D

xydxdy

2

9

x

xdyyxdx 2 )( 21

0

140

33

4.5 函数展开成幂级数

命令形式 :Series[f, {x, x0, n}] 功能 : 把函数 f 在 x=x0 点展开成幂级数，最高项为 n 次。命令形式 :Normal[expr] 功能 : 去掉幂级数表达式 expr 中的截断误差项，获得剩余

的多项式。例 24. 将函数 展开为 x 的最高次为 6 的幂级数。 解 :Mathematica 命令 In[30]:=Series[x*ArcTan[x]-Log[Sqrt[1+x^2]], {x, 0, 6}]

Out[30]= 7642

xo30

x

12

x

2

x

2x1lnxarctanxf(x)

例 25. 将函数 展开为关于 (x-2) 的最高次为 4 的幂级数。解 :Mathematica 命令In[31]:=Series[1/x^2, {x, 2, 4}]

Out[31]=

In[32]:= Normal[%]

Out[32]=

数学实验 :用正弦函数 sin x 的不同 Taylor 展式观察函数的 Taylor 逼近特

点。

2x

1f(x)

]2[64

25

8

2

16

23

4

2

4

1 5432

xOxxxx

64

25

8

2

16

23

4

2

4

1 432 xxxx

练习 .

1 在某化学反应里，由实验得到生成物的浓度 y 与时间 t 有如下表所示的关系，求浓度与时间的关系的经验公式。

2 在你学习过的数学教材中，分别选择一道有关偏导数和全微分的习题，用 mathematica 数学软件命令来计算。

t/min 1 2 3 4 5 6 7 8

y 4 6.4 8 8.4 9.28 9.5 9.7 9.86

t/min 9 10 11 12 13 14 15 16

y 10 10.2 10.32 10.42 10.5 10.55 10.58 10.6